PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

Grado: quinto Duración: 2 horas pedagógicasI. TÍTULO DE LA SESIÓN

Ecuación de la circunferencias

II. APRENDIZAJES ESPERADOSCOMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES

ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN

SITUACIONES DE FORMA, MOVIMIENTO Y

LOCALIZACIÓN.

Matematiza situaciones.

Examina propuestas de modelos analíticos de la circunferencia al plantear y resolver problemas.

Elabora y usa estrategias.

Halla puntos de coordenadas en el plano cartesiano a partir de la ecuación de la circunferencia.

III. SECUENCIA DIDÁCTICAInicio (20 minutos): El docente da la bienvenida a los estudiantes y presenta la siguiente situación problemática:

Los estudiantes dialogan e intercambian opiniones al interior del grupo. El docente hace referencia a las actividades en las cuales centrará su atención para el logro

de los aprendizajes esperados. -La verificación de un conjunto de posibilidades para determinar la ecuación de la circunferencia que responde a las condiciones del problema.-La representación gráfica de la circunferencia a partir de su ecuación.

El docente plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los estudiantes:

Desarrollo (60 minutos):

o Se organizan en grupos de trabajo.o Acuerdan una forma o estrategia para comunicar los resultados. o Se respetan los acuerdos y los tiempos estipulados para cada actividad garantizando un

trabajo efectivo.o Se respetan las opiniones e intervenciones de los estudiantes y se fomentan los

espacios de diálogos y reflexión.

Un estudiante sale a correr todas las mañanas alrededor de la Plaza de la Bandera en el distrito de Pueblo libre; se sabe que da 10 vueltas cada mañana. Con ayuda del Google Maps Satelital se puede apreciar una vista panorámica de dicha plaza; la línea que la bordea se aproxima a una circunferencia. La escala del plano es: 1 cuadradito equivale a 12m en la vida real.

¿Cómo podríamos determinar el radio de dicha plaza? ¿Cuál será el modelo matemático de dicha circunferencia? ¿Será posible determinar la longitud que recorre el estudiante cada mañana?

UNIDAD 7NÚMERO DE SESIÓN

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El docente solicita a los estudiantes que observen el mapa de la Plaza de la Bandera (anexo 1) y que identifiquen la forma que tiene la línea que bordea dicha plaza.

Los estudiantes desarrollan la actividad 1 de la ficha de trabajo (anexo 2).

El docente les solicita que:A. Dibujen un plano cartesiano sobre el mapa y que ubiquen las coordenadas de su centro y 2 puntos cualesquiera que pasan por ella. El docente indica que, en la medida de lo posible, ubiquen aquellos puntos que pasen por la línea de cruce de la cuadrícula o que hagan los ajustes necesarios.B. Hallen el radio de la circunferencia que rodea la Plaza de la Bandera considerando las coordenadas de su centro.

A continuación, el docente presenta las 4 ecuaciones generales de la circunferencia que se presentan en la ficha y pregunta:

C. ¿Cuál de las ecuaciones responde a las características de la circunferencia que rodea la Plaza de la Bandera?

a¿ x ¿2+ y2+12 x−22 y+116=0b¿ x ¿2+ y2−24 x+12 y+216=0c ¿ x¿2+ y2−12 x−11 y+216=0d ¿ x¿2+ y2−24 x−22 y+216=0

Los estudiantes, con la mediación del docente, examinan cada una de las ecuaciones presentadas y evalúan la estrategia adecuada para resolver el problema.Procesos que se evidencian en los estudiantes con la mediación del docente:Primera posibilidadPrimera forma:

Los estudiantes identifican en el plano cartesiano las coordenadas del centro de la circunferencia y, considerando otro punto, determinan su radio (aproximando a décimo). Anotan los datos obtenidos: C: (12;11) r = 7

Considerando la ecuación general, en cada caso, los estudiantes determinan el valor de A; B y C de los modelos presentados.

Verifican la existencia de la circunferencia en cada ecuación general y comprueban las tres condiciones explicitadas en la clase anterior. Completan la siguiente tabla:

Los estudiantes hallan el centro de la circunferencia en cada caso utilizando la expresión

Condiciones de existencia de la circunferencia

Ecuacionesa b c d

¿Los coeficientes de

x2e y2 sonel número1? ¿Tienen términos con XY?

¿El radio es mayor que 0?

¿Es una circunferencia?

matemática: y hallan el radio de la circunferencia en cada caso, aplicando la

expresión matemática: Los estudiantes comparan en cada caso si los pares ordenados del centro de la circunferencia

obtenido y el radio de la circunferencia coinciden con los datos obtenidos inicialmente. Organizan dicha información en cuadro de doble entrada y van discriminando según sea el

caso con argumentos válidos. Completan la siguiente tabla:

Ejemplo:

a¿ x ¿2+ y2+12 x−22 y+116=0

A=12; B=−22;C=116

( 122 )

2

+(−222 )

2

−116>0 (6 )2+ (−11)2−116>0 41>0

b¿ x ¿2+ y2−24 x+12 y+216=0A=−24 ; B=12 ;C=216

C ¿) C (−(−24)

2;− (12 )

2)C(12 ;−6)

(−−242 )

2

+(−122 )

2

−116>0 (12 )2+(−6 )2−216>0−36>0¿umple)

c ¿ x¿2+ y2−12 x−11 y+216=0

A=−12; B=−11;C=116

C ¿) C (−(−12)

2;− (−11 )

2)C (6 ;5,5)

(−−122 )

2

+(−−112 )

2

−216>0 (6 )2+(5,5 )2−216>0−149.75>0(nocumple )

d ¿ x¿2+ y2−24 x−22 y+216=0

De las circunferencias con la ecuación general

De la plaza de la Bandera en el

Plano cartesianoa b c d

Coordenadas del centro

Radio

A=−24 ; B=−22 ;C=116

(−−242 )

2

+(−−222 )

2

−216>0 (12 )2+(11)2−216>049>0

Condiciones de existencia de la circunferencia

Ecuacionesa b c d

¿Los coeficientes dex2e y2es 1? : Sí Sí Sí Sí ¿Tienen términos con XY? No No No No Se cumple que : Sí No No Sí¿Es una circunferencia? Sí No No Sí

Considerando las ecuaciones que sí representan una circunferencia (a y d), los estudiantes hallan las coordenadas de su centro y su respectivo radio.

a¿ x ¿2+ y2+12 x−22 y+116=0

C ¿) C (−122;− (−22 )

2)C (−6 ;11)

r2=( 122 )

2

+(−222 )

2

−116 r=√41= 6,4

d ¿ x¿2+ y2−24 x−22 y+216=0

C ¿) C (−(−24)

2;− (−22 )

2)C(12;11)

r=(−−242 )

2

+(−−222 )

2

−216 r=√49= 7

Un integrante de cada grupo identifica el modelo cuyos valores obtenidos coinciden con el centro y radio de la circunferencia que rodea la Plaza de la Bandera según el plano cartesiano.

r=√(12−5)2+(11−11)2= 7 Ensayan con otro punto de la circunferencia y corroboran con aproximación el valor

numérico del radio, y hallan la ecuación canónica:

72=(x−12)2+( y−11)2

Ecuación general de la circunferencia Plano cartesianoa b c d

Coordenadas del centro (−6 ;11) 12 ;11 12;11

Radio 6,4 7 7

Desarrollan la expresión y obtienen la expresión:

x2+ y2−24 x−22 y+216=0 Los estudiantes pasan a desarrollar la actividad 2 de la ficha de trabajo (anexo 2); la cual

consiste en observar las 5 gráficas de circunferencias en el plano cartesiano en diferentes posiciones para establecer la correspondencia con las ecuaciones generales que se muestran a continuación:

1¿ x¿2+ y2−6 x+4 y−3=02¿4 x ¿2+4 y2+16 x+4 y−8=03¿ x¿2+ y2−8 x−8 y+28=04 ¿2x ¿2+2 y2−16 x+18 y+48=05¿ x¿2+ y2+4 x−10 y+20=0

Cada equipo coloca sus respuestas en tarjetas y la pegan en la pizarra. El docente promueve el diálogo para la realización del análisis de cada caso, coloca los gráficos de las elipses (en formato grande) en la pizarra y, con la intervención de los estudiantes, verifica dichas correspondencias.

Cierre (10 minutos): El docente con la participación de los estudiantes llegan a las siguientes conclusiones:

El docente plantea algunas preguntas metacognitivas:¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿De qué manera lo aprendido nos ayuda en nuestra vida cotidiana?

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA El docente solicita a los estudiantes que desarrollen las siguientes actividades:

- Ubicar en su entorno elementos circulares y tomar una fotografía a uno de ellos. Luego, sobre la foto impresa, dibujan un plano cartesiano con la escala respectiva. Ubican el centro de la circunferencia en el origen de las coordenadas y hallan la ecuación canónica de dicha circunferencia.

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR

Para graficar una circunferencia solo es necesario conocer su centro y un punto que pase por dicha circunferencia.

Cada circunferencia responde a una determinada ecuación matemática.

Recursos para el docente:- Ministerio de Educación (2015). Rutas del Aprendizaje ciclo VII. Lima: autor.

Anexo 1

Mapa vista en GPS – Ciudad de Lima- Pueblo Libre- Plaza de la BanderaEscala: 1 cuadradito equivale a 12m

Mapa vista en GPS – Ciudad de Lima- Distrito La Victoriahttps://goo.gl/molPDM

Anexo 2. Ficha de trabajo

Propósito: - Verificar, de un conjunto de posibilidades, la ecuación que responde a las condiciones del

problema.- Representar gráficamente una circunferencia a partir de su ecuación.

Integrantes: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Considerando la situación problemática que se presentó al inicio de la sesión, desarrolla las siguientes actividades: Actividad 1

A. Dibuja un plano cartesiano sobre el mapa de la plaza de la Bandera (anexo 1). Ubican las coordenadas de su centro y 2 puntos cualesquiera que pasa por ella. (Ubicar aquellos puntos que pasen por la línea de cruce de la cuadrícula en la medida de lo posible o hacer ajustes).

B. Halla el radio de la circunferencia que rodea la Plaza de la Bandera considerando las coordenadas de su centro.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

C. ¿Cuál de las ecuaciones responde a las características de la circunferencia que rodea la Plaza de la Bandera? (Previamente, verifica la existencia de dichas circunferencias).

a¿ x ¿2+ y2+12 x−22 y+116=0b¿ x ¿2+ y2−24 x+12 y+216=0c ¿ x¿2+ y2−12 x−11 y+216=0d ¿ x¿2+ y2−24 x−22 y+216=0

Verificando la existencia de las circunferencias:

Comparando centros y radios radios:

Actividad 2. Observa las 5 gráficas de circunferencias en el plano cartesiano y establece la correspondencia entre las gráficas mostradas y las ecuaciones de la circunferencia.

a) b) c)

Condiciones de existencia de la circunferencia

Ecuaciones

a b c d

¿Los coeficientes dex2e y2es 1? :

¿Tienen términos con XY?

¿El radio es mayor que 0?

¿Es una circunferencia?

De las circunferencias con la ecuación general

De la plaza de la Bandera en el

plano cartesiano a b c d

Coordenadas del centro

Radio

1¿ x¿2+ y2−6 x+4 y−3=02¿4 x ¿2+4 y2+16 x+4 y−8=03¿ x¿2+ y2−8 x−8 y+28=04 ¿2x ¿2+2 y2−16 x+18 y+48=05¿ x¿2+ y2+4 x−10 y+20=0

d)e)