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Departamento de Matemática Liceo Galvarino Riveros Cárdenas Castro – Chiloé SISTEMA DE ECUACIONES II (Clase 06) Hola, esperamos que se encuentre todes bien junto a sus familias. Recuerden seguir cuidándose, porque no ha estado muy tranquilo el tema del Covid-19 en nuestra provincia, hay comunas que se están complicando así que el llamado es a mantenerte en casa, evitar salir para cuidar de los nuestros. Dividiremos estas dos semanas de trabajo, la primera semana en aprender los distintos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones, es decir, las técnicas de reducción, sustitución e igualación. Y en la siguiente semana aplicaremos las técnicas aprendidas resolviendo problemas asociados a distintos contextos. PASO PREVIO Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, se representan en el plano cartesiano las rectas correspondientes a cada ecuación. La solución del sistema, cuando existe y es única, será al punto de intersección de ambas rectas. Al graficar el sistema de ecuaciones: ax +by =c dx +ey =f Con a, b, c, d, e y f números racionales distintos de cero, se tienen 3 posibles casos: Clase 06- Sistemas de ecuaciones II
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SISTEMA DE ECUACIONES II
(Clase 06)
Hola, esperamos que se encuentre todes bien junto a sus familias. Recuerden seguir cuidándose, porque no ha estado muy tranquilo el tema del Covid-19 en nuestra provincia, hay comunas que se están complicando así que el llamado es a mantenerte en casa, evitar salir para cuidar de los nuestros.
Dividiremos estas dos semanas de trabajo, la primera semana en aprender los distintos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones, es decir, las técnicas de reducción, sustitución e igualación. Y en la siguiente semana aplicaremos las técnicas aprendidas resolviendo problemas asociados a distintos contextos.
PASO PREVIO
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, se representan en el plano cartesiano las rectas correspondientes a cada ecuación. La solución del sistema, cuando existe y es única, será al punto de intersección de ambas rectas.
Al graficar el sistema de ecuaciones:
Con a, b, c, d, e y f números racionales distintos de cero, se tienen 3 posibles casos:
Caso 1: El sistema es compatible, es decir, tiene una única solución y es cuando las dos rectas son secantes. Además, se cumple que:
Caso 2. El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones y es cuando las dos rectas son coincidentes. Además, se cumple que:
Caso 3. El sistema es incompatible, es decir, no tiene solución, y es cuando las dos rectas son paralelas no coincidentes. Además, se cumple que:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODO REDUCCIÓN
“Consiste en eliminar una de las incógnitas al sumar las dos ecuaciones”
Ejemplo 1: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método reducción.
Antes de comenzar la resolución, analizamos el sistema de ecuaciones , , y
, como la proposición es verdadera, el sistema es compatible, es decir, tiene una única solución (las rectas son secantes).
Pasos:
A:
B:
A:
B:
1°: Conseguir que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones, pero con signo contrario, para ello multiplicaremos una, dos o ninguna ecuación según nos convenga.
A:
B:
2°: Sumas o restas (reduces) ambas ecuaciones, de manera que quede una ecuación con una incógnita.
3°: Resuelves la ecuación con una incógnita que resulta del paso anterior.
en Ecuación B
4°: Remplazas la solución de la ecuación en una de las ecuaciones del sistema (la ecuación más simple) y resuelves la ecuación obtenida para la incógnita restante.
Como e
Ec. A
Ec. B
5°: Luego verificas las soluciones en ambas ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es , donde e .
MÉTODO SUSTITUCIÓN
“Consiste en despejar de una ecuación del sistema una de las incógnitas y luego reemplazarla en la otra ecuación del sistema.”
Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método sustitución.
Primero ordenamos y analizamos el tipo de sistema que se nos presenta
Como la proposición es verdadera, el sistema es compatible, es decir, tiene una única solución (las rectas son secantes).
Considera los siguientes pasos:
A: De Ec. B
B:
1° ''Despejas'' una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones dadas.
en Ec. A
2° Remplazas la expresión obtenida en la otra ecuación del sistema
y resuelves.
e en
3° Remplazas la solución de la ecuación en una de las ecuaciones del sistema (la ecuación más simple) o en el primer despeje y resuelves para la incógnita restante
Como e
Ec. A
Ec. B
4° Verificas las soluciones en ambas ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es , donde e .
MÉTODO IGUALACIÓN
“Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones del sistema y luego igualar.”
Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método igualación.
Primero ordenamos y analizamos el tipo de sistema que se nos presenta
Como la última proposición es verdadera, el sistema es compatible, es decir, tiene una solución única (las rectas son secantes).
Considera los siguientes pasos:
A:
B:
De Ec. A De Ec. B
1°: ''Despejas'' la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2°: Igualas las expresiones obtenidas en el primer paso y ''despejas'' la incógnita restante.
en despeje de Ec. A
3°: Determinas el valor de la otra incógnita remplazando en alguna de las ecuaciones ''despejadas'' el valor de la incógnita calculada anteriormente.
Como e
Ec. A
Ec. B
4°: Verificas las soluciones en ambas ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es , donde e .
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Ejemplo 1:
Las balanzas se encuentran formadas por cubos de igual masa, cilindros de igual masa y esferas de igual masa. Si cada esfera tiene una masa de 1 kg, ¿cuánto es la masa de cada cubo y cilindro? Balanza 1 Balanza 2
Plantea el sistema de ecuaciones que corresponde a cada situación y luego resuelve.
Resolución:
Primero: Para plantear el sistema de ecuaciones, defines las incógnitas.
x = masa del cubo en kg
y = masa del cilindro en kg
Segundo: Planteas las ecuaciones para cada balanza
Balanza 1: Balanza 2:
Tercero: Ordenas y analizas el tipo de sistema
Como la última proposición es verdadera, el sistema es compatible, es decir, tiene una solución única (las rectas son secantes).
Cuarto: Decidimos el método más cómodo a utilizar, en este caso utilizaremos el más común que es método reducción.
A:
B:
A:
B:
1°: Conseguir que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones, pero con signo contrario, para ello multiplicaremos una, dos o ninguna ecuación según nos convenga.
A:
B:
2°: Sumas o restas (reduces) ambas ecuaciones, de manera que quede una ecuación con una incógnita.
3°: Resuelves la ecuación con una incógnita que resulta del paso anterior.
en Ecuación A
4°: Remplazas la solución de la ecuación en una de las ecuaciones del sistema (la ecuación más simple) y resuelves la ecuación obtenida para la incógnita restante.
Como e
Ec. A
Ec. B
5°: Luego verificas las soluciones en ambas ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es , donde e .
Por lo que el cubo tiene una masa (peso) 1 kg y el cilindro de 2kg.
Ejemplo 2:
La diferencia de dos números es 126 y uno de ellos es 14 unidades menos que el triple del otro. ¿Cuáles son los números?
Primero: Para plantear el sistema de ecuaciones, defines las incógnitas.
x = un número
y = otro número
Segundo: Planteas las ecuaciones para cada enunciado
La diferencia de dos números es 126 uno de ellos es 14 unidades menos que el
triple del otro
Tercero: Ordenas y analizas el tipo de sistema
Como la última proposición es verdadera, el sistema es compatible, es decir, tiene una solución única (las rectas son secantes).
Cuarto: Decidimos el método más cómodo a utilizar, en este caso utilizaremos el método igualación.
A:
B:
De Ec. A De Ec. B
1°: ''Despejas'' la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2°: Igualas las expresiones obtenidas en el primer paso y ''despejas'' la incógnita restante.
en despeje de Ec. A
3°: Determinas el valor de la otra incógnita remplazando en alguna de las ecuaciones ''despejadas'' el valor de la incógnita calculada anteriormente.
Como e
Ec. A
Ec. B
4°: Verificas las soluciones en ambas ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es , donde e .
Por lo que los números buscados son y .
Actividad 04:
Resuelve en tu cuaderno de matemática los siguientes ejercicios, aplicando el método recomendado.
1. Sin resolver los sistemas, identifica si son compatibles (tiene una única solución), compatibles indeterminados (tiene infinitas soluciones) o incompatibles (No tiene solución), justificando tus conclusiones.
Departamento de Matemática
Liceo Galvarino Riveros Cárdenas
Castro – Chiloé
Clase 06- Sistemas de ecuaciones II
a)
b)
c)
2. Resuelve cada sistema de ecuaciones con el método solicitado.
a) Igualación.
b) Reducción.
c) Sustitución.
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3. Resuelve los siguientes problemas de aplicación utilizando el método que más te acomode.
a) Las balanzas se encuentran formadas por cubos de igual masa, cilindros de igual masa y esferas de igual masa. Si cada cilindro tiene una masa de 3 kg, ¿cuál es la masa de cada cubo y esfera?
b) En una librería, han vendido 20 libros a dos precios distintos, unos a $ 8 000 y otros a $ 12 000, con los que han obtenido $ 192 000. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
c) Antonia tiene la mitad de la edad de Emilia. En 20 años, Emilia será 10 años mayor que Antonia. ¿Cuál es la edad de cada una?
