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Ing. Rebeca valle Hernández. CEB 5/1

INTEGRANDO

CUADERNILLO DE EJERCICIOS

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA

NOMBRE DEL ALUMNO (A): ________________________________________

GRUPO: ____________________

TURNO: ___________________

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ELABORADO POR: ING. REBECA VALLE HERNÁNDEZ

Una reflexión para ti joven estudiante.

“La oportunidad”

Hoy que inicias un nuevo ciclo escolar te propongo la siguiente reflexión.

1. Ya no eres niñ@ -lo siento-, ese tiempo ya pasó, eres adolescente y puedes hacer más y mejores cosas. Ten conciencia de ello y ten cuidado con lo que haces, pues a tu edad es fácil perderse.

2. Esta es una nueva etapa en tu destino, es una oportunidad que la vida te dio para que seas mejor. No hay mañana para empezar, es hoy.

3. Considera que en este momento estás exactamente igual que tus demás compañeros de grupo, no eres mejor ni peor, al inicio de cada etapa de la educación nadie se distingue por nada. Tienes un 10 de calificación, consérvalo siempre.

4. ¿Qué tanto quieres progresar en la vida? Disciplina es orden y orden es progreso.

5. La vida te puso aquí por alguna razón, y aquí mismo tienes que demostrar que eres mejor que los demás.

6. No hay materias imposibles de pasar, todas están hechas para la capacidad que hoy tienes. (Incluida Cálculo Integral).

7. A la escuela veniste a estudiar y a aprender cosas positivas, no lo olvides.

8. Respeta a los demás y exige el respeto de todos.

http://iguerrero.wordpress.com/category/reflexiones-para-estudiantes/

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9. En ocasiones tendrás que ayudar a los demás y otras veces recibirás ayuda. Pero entiende y aplica bien la palabra ayuda, pues es fácil crear vicios de tanto “ayudar” o caer en ellos de tanto recibir “ayuda”.

10. Administra bien el tiempo. Todo se puede hacer, pero tienes que asignar un momento para cada cosa. Dale mayor importancia y tiempo a las cosas que te traerán beneficios. El tiempo es como el dinero: debe invertirse no gastarse, y no debe utilizarse para comprar lo que quieras sino lo que necesites.

11. Si algo debe quedar bien claro en tu cerebro es que no hay imposibles. Puedes ser lo que quieras, grande o pequeño como quieras. Todo empieza en la imaginación, imagina que eres el mejor y lo serás, imagina que puedes y podrás. Pero tienes que acompañar tu pensamiento con la acción, de lo contrario no pasarás de ser un soñador.

Tienes un horizonte lleno de posibilidades, no desaproveches esta nueva oportunidad que la vida te dio.

Joven… ¿para cuánto te sirve tu cerebro?

¿Para qué cosas utilizas tu cerebro?

¿Te sirve para ser original o solo para imitar a los demás?

¿Te sirve para hacer las cosas por ti mismo o solo te alcanza para atenerte a los demás?

¿Te sirve para resolver exámenes por tu propio mérito, o solo te alcanza para hacer trampa copiando a los demás?

¿Te sirve para aprender lo positivo que tiene tu escuela, o solo para aprender lo negativo que en ella encuentras?

¿Te sirve para estudiar y ser mejor que los demás o solo te alcanza para ver obstáculos, materias imposibles de pasar y maestros complicados?

¿Te sirve para perseguir tus propios ideales, o solo te alcanza para seguir los sueños de los demás?

¿Te sirve para ser feliz o solo para hablar de tu infelicidad?

¿Te sirve para soñar sin concretar nada?

¿Te sirve para mirar lo pequeño de tu espacio sin ver lo grande del universo?

¿Te sirve para conformarte con lo poco que tienes sin buscar mejores niveles de vida?

¿Te sirve solo para sentarte a ver el paso de los triunfadores?

¿Te sirve para…?.... En realidad no hay imposibles. La verdad es que los límites están dentro de la cabeza de cada persona, es uno mismo el que se pone trabas, mayores incluso que las que la vida nos pone.

Se puede actuar positivamente en el tiempo que te tocó vivir haciendo las cosas que siempre/jamás imaginaste, solo necesitas utilizar más tu cerebro. Hay infinitas realidades que puedes escoger cada día.

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FÓRMULA 1

1.- ∫dx = x+C

EJEMPLOS:

• ∫dq = q+c • -∫d = - +c Φ Φ

• -∫-dp = p+c

EJERCICIOS:

• ∫dr= • -∫dw=

• -∫-dm= • ∫- dt=

• ∫dh= • -∫dB=

• -∫-dy= • ∫- dz=

• ∫dQ= • -∫dN=

• -∫-df= • ∫- dA=

6


• ∫dt= • -∫dj=

7


FÓRMULA 2

2.- ∫ dxx = lnx+ C

EJEMPLOS

• ∫dtt = ln t + c

• ∫-drr = -ln r + c

• ∫Q−1dQ=dQQ = lnQ+c

• ∫1/m dm = ln m + c

EJERCICIOS

• ∫dmm = • ∫

djj =

• ∫-dpp = • ∫n−1dn=¿

• ∫1/z dz = • ∫-1xdx =

• ∫dhh = • ∫-

1fdf =

• ∫-dtt = • ∫r−1dr=¿

• ∫1/z dz = • ∫-1wdw =

8


• ∫dBB = • ∫-

1ydy =

FÓRMULA 3

3.- ∫adx= a∫dx+C

EJEMPLOS:

• ∫5dx= 5∫dx= 5x+C

• ∫−√2 dw= −√2∫dw= −√2 w+C

• ∫ 38 dj= 38 ∫dj=

38 j+C

EJERCICIOS

• ∫12dx= • ∫−7 /8 dm=

• ∫-9dx= • ∫−√2 dT=

• ∫ 35 dQ= • ∫3 r−1dr=¿

9


• ∫8/z dz = • ∫-15w

dw =

• ∫dh7 = • ∫-

12dy =

EJERCICIOS EXTRACLASE

• ∫dy= • -∫dJ=

• ∫dh4 = • ∫-

19dZ=

• -∫-dg= • ∫- 6 dt=

• ∫- 8 di= • -∫dB=

• -∫dmm = • ∫

djj =

• ∫12dm= • ∫−7 /8 dn=

• ∫-5dx= • ∫−√2 dy=

• ∫ 3/7 dr= • -∫3 dw=

• -∫-dm= • ∫- dt=

• ∫dL= • -∫dw=

• ∫-dp4 p = • ∫5n−1dn=¿

• ∫9/z dz = • ∫-16 x

dx =

10


• ∫4dhh = • ∫-

11fdf =

• ∫-dt5t = • ∫3/7 r−1dr=¿

FÓRMULA 4

4.- ∫xndx= Xn+ 1

n+1 + C

EJEMPLOS:

• ∫ x8dx = X9

9

+ C

• ∫ x−11dx = X−10

−10

+ C

• ∫x3/8dx = x118

118

+c

• ∫ 10 x8dx =10 X9

9

+ C

• ∫ 4 x−11dx = 4 X−10

−10

+ C = −2 X5

−10

+ C

11


• ∫x3/8dx = 6 x

118

118

+c=48 x118

11+c

∫ 7√X5 dx=∫ x57 dx= x

127

127

+c

EJERCICIOS:

∫ x4dx =

∫ 5 x−9dx =

∫6 x7/12dx =

∫ 5√X 2dx=

∫ −2m3/5dx =

12


∫ x−9 /10dx =

∫x7/9dx =

∫ 3√X 8dx=

∫ dt√t 3 =

13


10)∫ 7dt√ t 4 =

11)∫ 6 tdt√ t❑ =

12)∫ 8 tdt4 √t 3 =

13)∫ t3dt√ t 4 =

14


FÓRMULA 5

5.- ∫(du+dv+dw)= ∫du+∫dv-∫dw +C

EJEMPLOS:

• ∫ (6 x2+16x+12)dx u =

6∫x2dx + 16∫xdx + 12∫dx

6 x33 +

16x 22 + 12x + C

2x3 + 8x2 +12x + C

• ∫(1x+ 8√ x

+4√ x)dx =

∫ dxx

+8∫ x−1 /2dx+4 ∫ x1 /2dx

Ln x + 8 x1/21/2 +

4 x 3/23 /2 +C

Ln x + 16√x + 83 √x3 + C

∫ (8x2−10√ x)2x

dx= ∫ (8x2)

2 xdx - ∫

(10√ x)2 x

dx

∫ 4x dx−5∫ x−1/2dx =

4 x2

2 - 5x 1/21/2

+C =

2x2 - 10 x1/2+C

15


EJERCICIOS:

∫(5x -6x³+9x²-3) dx⁴

∫(4x²-8x+6) x dx

∫(6x²-4x+3) 2x³ dx

∫(5x³-8x²+6) x dx

∫(4x³-8x+2) dx

∫(5x+ 19√ x

−6√ x)dx =

∫ (5 x3−15 x2+10√ x)

5√x

16


Fórmula 6

6.- U ndU=U n+1

n+1+C

EJEMPLOS:

• ∫(6x2 - 4x) (2x3 - 2x2) dx

¿¿¿

• ∫(2 x5−8)9 x4dx = 110∫(2 x5−8)910 x4dx

110∫(2 x5−8)10

10 = (2 x

5−8)10

100+C

• ∫ √¿¿-8) 18x2dx

∫(6 x3−8)1 /218 x2dx

(6 x3−8)3 /2

3 /2+C

17


EJERCICIOS:

• ∫(2x4 - 9x) (8x3 - 9) dx

• ∫(3 x5−1)9 15 x4dx

• ∫ √¿¿-5) x2dx

• ∫(24 x2 - 3) (8x3 – 3X) dx

• ∫(x5−6)9 x4dx

• ∫ √¿¿-5) 21 x2dx

•∫(4 x3−8 x )dx√(x4¿−4 x2)¿

=

•∫( x3 )dx√x4−1

18


•∫(−3+20 x3 )dx√5 x4−3 X

FÓRMULA 7

7.- ∫ dUU = ln u + C

EJEMPLOS:

• ∫3 x2dx(x3+9)

= ln (x3+9 ¿+C

• 15∫

5dx5 x−4 =

15 ln (5x – 4) + C

•∫(4 x3−8x )dx√ x4−4 x2 = (x¿¿4−4 x2)−1 /2 ¿ (4 x3−8 x )dx=

(x4−4 x )1/2

1/2+C Ó 2√ x4−4 x2+C

• ∫x2dx

(x3+9) =1/3 ln (x3+9¿+C

19


EJERCICIOS:

• ∫6 x2dx

(2 x3+9) =

• ∫8dx8 x−4

•∫(8 x3−8 x )dx√2x4−4 x2

• ∫x2dx

(3 x3+9) =

• ∫dx8 x−4

•∫(20 x3−8 x )dx√5 x4−4 x2

• ∫x2dx

(5 x3+1) =

20


• ∫dx

10x−3

VERIFICA LAS SIGUIENTES INTEGRACIONES:

Ejercicios del Granville. (ver bibliografía)

1. ∫ x4dx= x55

=c .

2. ∫ dxx2

=−1x

+c .

3.∫ x 2

3dx=¿3 x 535

+C .¿

4. ∫ dx√ x

=2√ x+C .

21


5. ∫ dx3√ x=3 x 232

+c .

6. ∫ 3a y2dy=a y3+c .

7. ∫ 2dtt 2

=−2t

+c .

8. ∫ √axdx=2 x√ax3+c .

9. ∫ dx√2x

=√2x+c .

10. ∫ 3√3 t dt=(3 t ) 4

24

+c .

11. ∫ 4 x2−2√ x dx

xdx=2x2−4√ x +c.

22


12. ∫ ( x22 − 2x2 )dx= x3

6+ 2x+c .

13. ∫ √ x (3 x−2 )dx=6 x 525 −

4 x 323 +c .

¿¿

14. ∫x3−6 x+5

xdx= x3

3−6x+5∈x+c .

15. ∫ √a+bxdx=2 (a+bx ) 3

23b

+c .

16. ∫ dy√a−by

=−2√a−byb

+c .

17. ∫ (a+bt )2dt= (a+bt )3

3b+c .

23


18. ∫ x (2+x2)2dx= (2+x2 )3

6+c .

19. ∫ y (2−b y2) dy=− (a−b y2 )2

4 b+c .

20. ∫ t √2 t 2+3dt=(2 t 2+3 ) 3

26

+c .

24


FÓRMULA 8

8.- ∫ eudu =eu + C

EJEMPLOS:

• ∫e(8x4-3) 32x3dx = e(8x4-3) + C

• ∫e (4x5+6)xdx = 120 e (4x5+6) 20x4 dx

120 e (4x5+6) + C

• ∫e (2 x3−8 x ) (6 x2−8 )dx = e (2 x3−8 x ) + C

EJERCICIOS:

• ∫e(4x-3) 4dx =

• ∫e (3 x3−5 ) (x2 )dx

• ∫e (4x5) (10 x4 )dx

25


FÓRMULA 9

9.- ∫audU= aU

ln a+C

EJEMPLOS:

• ∫a(3x2−8)6 xdx = a(3 x2−8)

lna+C

• ∫5(7x2)14 xdx=¿ 57 x2

ln 5+C

• 16 ∫a¿¿6x2dx=

16 a¿¿+C

EJERCICIOS:

• ∫8(3x2−8)6 xdx =

• ∫5(2x2)4 xdx=¿

• ∫4 (3x2) xdx=¿

26


EJERCICIOS EXTRACLASE

Verificar las siguientes integraciones:

Ejercicios del Granville. (ver bibliografía)

∫6 e3 xdx=2e3x+C

∫ xen dx=ne

xn+C

∫ dxex

=−1ex

+C

∫10X dx= 10x

ln 10+C

∫ anydy= any

n ln a+C

∫ e√x dx√ x

=2e√x+C

27


∫ ( xea+e− xa )dx=a ( xea−e

− xa )+C

¿

¿

∫( xea−e−xa )2

dx=a2 ( xea−e

−xa )−2 x+C

¿

¿

∫ xex2

dx=12ex2+C

∫ esin xcos xdx=esin x+C

∫ etanθ

sec2θdθ=e tanθ+C

∫√d t dt=2√d t+C

∫ ax ex dx= axex

1+ ln a+C

∫ a2x dx=¿ a2x

2 ln a+C ¿

28


∫ (ex+a5 x)dx=15 (e5x+ a5 x

ln a )+C

29


FÓRMULA 10

10.- ∫senU dU= -cosU + C

EJEMPLOS:

• ∫sen 5 x2 10x dx = -cos 5 x2 + C

• 112∫-sen 3x2 12xdx =

112 cos 3x4 + C

• ∫sen 2x 2dx = - cos 2x + C

• ∫sen 8 x2 16x dx = -cos 8 x2 + C

• ∫-sen 3x2 6xdx = 16∫-sen 3x2 12xdx =

16 cos 3x2 + C

• ∫sen 12x dx = - 2cos

12x + C

30


EJERCICIOS:

• ∫sen 4 x2 8x dx =

• 15∫-sen 6x2 12xdx =

• ∫sen 9x 9dx =

• ∫sen 3 x3 9 x2dx =

• ∫-sen 7x2 x dx =

• ∫sen 15x dx =

• ∫6sen x3 x2dx =

• ∫-2sen x2 x dx =

• ∫5 sen 15x dx =

31


FÓRMULA 11

11.- ∫cos UdU= sen U + C

EJEMPLOS:

• ∫cos 3x2 6xdx= sen 3x2 + C

• ∫cos 10x 10dx = sen 10x + C

• 14 ∫cos 4x3 12 x2dx =

14 sen de 4x3 + C

• ∫cos 3x2 xdx= 16 ∫cos 3x2 6xdx=

16 sen 3x2 + C

• ∫-2cos 5x2 xdx= - 110 2∫cos 5x2 10xdx=

−15 sen 5x2 + C

• ∫cos 3x3 x2dx= 19 ∫cos 3x3 9 x2dx=

19 sen 3x3 + C

32


EJERCICIOS:

• ∫cos 4x2 8xdx=

• ∫-cos 3x 3dx =

• 12∫cos 4x3 x2dx =

• ∫5 cos x2 xdx=

• ∫-2cos 6x2 xdx=

• ∫12 cos 4x3 x2dx=

• 17∫cos x3 x2dx =

33


• −110 ∫cos 6x3 x2dx =

• 12∫cos 10x3 x2dx =

FÓRMULA 12

12.- ∫sec2U dU= tg U + C

EJEMPLOS:

• ∫Sec2 (3x2 – 5) 6x dx = tg (3x2 – 5) + C

• 16∫ Sec2 (3x2 – 2) 6 x dx =

16tg (3x2 – 2) + C

• ∫sec2 (4x3- 3) 12x2dx= tg (4x3-3) +C

• ∫4 Sec2 (2x2 – 5) x dx = tg (2x2 – 5) + C

34


• 13∫ Sec2 (4x2 – 1) x dx =

1318∫ Sec2 (4x2 – 1) 8x dx

¿124tg (4x2 – 1) + C

EJERCICIOS:

• ∫Sec2 (9x2 – 5) 18x dx =

• 16∫ Sec2 (2x2 – 2) 4 x dx =

• ∫3 sec2 (x3 + 7) x2dx=

• ∫6 Sec2 (8x2 – 5) x dx =

• 25∫ Sec2 (6x2 – 1) x dx =

35


• ∫12 sec2 (x3 + 8) x2dx=

• ∫-3Sec2 (x2 – 7) x dx =

• 38∫ Sec2 (3x2 – 1) x dx =

FÓRMULA 13

13.- ∫csc2 U= -ctg U+ C

EJEMPLOS:

• ∫csc2 (3x)3dx= -ctg 3x + C

• 116∫csc2 (4x2) 16xdx = -

116 ctg 4x2 + C

• ∫csc2 (5x - 3) 5dx = -ctg (5x – 3) + C

36


• ∫csc2 (3x)3dx= -ctg 3x + C

• 25∫csc2 (5x2) xdx =

110

25∫csc2 (5x2) 10xdx =-

15 ctg 5x2 + C

• ∫-4 csc2 (9x - 3) dx = (-4)( 19)∫csc2 (9x) 9dx=

49 ctg (9x – 3) + C

EJERCICIOS:

• ∫csc2 (12x)12dx=

• 16∫csc2 (3x2) 6xdx =

• ∫7 csc2 (4x - 2) dx =

• ∫6 csc2 (6x) dx=

37


• 25∫csc2 (10x2) xdx =

• ∫-6 csc2 (6x - 5) dx =

• ∫csc2 (25x2) x dx =

• 25∫csc2 (

25x2) xdx =

FÓRMULA 14

14.- ∫secU tgU dU= sec U +C

EJEMPLOS:

• ∫sec x5 tg x5 5x4dx= sec x5 +C

• ∫tag 2x3 sec 2x3 6x2dx= sec 2x3 + C

• ∫sec 4x tg 4x 4dx= sec 4x + C

38


• 25∫sec 5x3tg 5x3 15x2dx=

25 sec 5x3 + C

• 16∫sec 2x3tg 2x3 x2dx=

16 sec 2x3 + C

Ejercicios:

• ∫sec 3x5 tg 3x5 15x4dx=

• ∫tag x3sec x3 x2dx=

• ∫6 sec 7x tg 7x 7dx=

• 25∫sec x3tg x3 x2dx=

39



• ∫4 sec 5x tg 5x dx=


• 16∫tag 4x2sec 4x2 x dx=

15.- ∫cscU tgU dU= csc U+ C

EJEMPLOS:

•1125∫csc 5x3 tg 5x315x2 dx =

1125csc 5x3 + C

• ∫tag 2x csc 2x 2dx= csc 2x + C

40


• ∫csc 6x2 tg 6x2 36xdx= csc 6x2 + C

•∫csc 3x3 tg 3x3 x2 dx = 19∫csc 5x3 tg 5x3 9 x2 dx =

19csc 5x3 + C

EJERCICIOS:

•∫csc x3 tg x3 3x2 dx =

• ∫2/3 tag 2x csc 2x dx=

• ∫csc 8x2 tg 8x2 xdx=

•∫csc 3x3 tg 3x3 x2 dx = 19∫csc 5x3 tg 5x3 9 x2 dx =

19csc 5x3 + C

16.- ∫tgU dU= -ln cosU+ C = ln sec U+C

EJEMPLOS:

• 15∫tg 5x2 10xdx= -

15 ln cos 5x2 + C Ó también

= 15 ln sec 5x2 + C

41


• ∫tg 8x dx= 18 ∫tg 8x 8 dx= - ln cos 8x + C Ó también

= ln sec 8x + C

• ∫tg 3x3 x2dx= 19∫tg 3x3 9x2dx= -

19 ln cos 3x3 + C

= 19ln sec 3x3 + C

EJERCICIOS:

• ∫tg 9x2 18xdx=

• ∫tg 19x dx=

• ∫5 tg 7x3 x2dx=

17.- ʃ ctg U dU = ln sen U + C

EJEMPLOS:

42


•ʃ ctg x³ 3x²du= ln sen x³ +C

• ∫5 ctg x³ 3x²du= 5 ln sen x3 + C

• ∫ ctg 89x dx=

98∫ ctg

89x

89dx=

98 ln sen x + C

EJERCICIOS:

•ʃ ctg 6x³ 18x²du=

• ∫10 ctg 4x³ x²du=

• ∫89 ctg

35x dx=

•ʃ 2/5 ctg x³ x²du=

• ∫-3 ctg 10x³ x²du=

• ∫45 ctg

35x dx=

18.- ∫sec UdU=ln (secU+tg U) +C

43


EJEMPLOS:

• ∫sec 5x2 10xdx= ln (sec 5x2+tg 5x2) + C

•14 ∫sec 4x 4dx=

14 ln (sec 4x+tg 4x) + C

• ∫sec (3x3 -7) x2dx= 19∫sec (3x3 -7) 9x2dx=

19 ln (sec 3x3 -7)+ tg (3x3- 7 )

+ C

EJERCICIOS:

• ∫sec 9x2 18xdx=

•14 ∫sec 4x dx=

• ∫sec (2x3 - 5) x2dx=

• ∫7sec x2 2xdx=

•34 ∫sec 8x dx=

• ∫3 sec (3x3 - 9) x2dx=

44


19.- ∫csc UdU= ln (csc U-ctgU) +C

EJEMPLOS:

• ∫csc3xdx= ln (csc 3x-ctg 3x) + C

• ∫8csc5xdx= 8 ln (csc 5x-ctg 5x) + C

• ∫csc 4x2 8xdx= ln(csc 4x2-ctg 4x2) + C

• ∫5csc x dx= 15 ∫5csc x 5dx= ln (csc x - ctg x) + C

• ∫8csc 6x dx= 16∫8csc 6x 6 dx=

86 ln (csc 6x - ctg 6x) + C

EJERCICIOS:

• ∫7 csc7xdx=

• ∫8cscxdx=

• ∫2csc 6x2 xdx=

• ∫86csc 6x dx=

• ∫4csc (5x + 3) dx=

45


20.- ∫dU

U 2+a2 = 1a arctg

Ua + C

NOTA: EN EL DENOMINADOR EL ORDEN DE LOS SUMANDOS NO ALTERA LA SUMA, POR LO QUE EL ORDEN EN QUE SE PRESENTEN NO IMPORTA.

EJEMPLOS:

• ∫ dx

x2+49 =17 arctg

x7 + C

U2= x2

a2=49

a=7

U=x

dU= dx

• ∫dx

4+16 x2 =14 ∫

4 dx16x2+4

= 1412 arctg

4 x2 + C =

18 arctg

4 x2 + C

U2= 16x2

a2=4

a = 2

U=4x

dU= 4dx

46


• ∫dx

9 x2+4 =

13 ∫

3dx9 x2+4

= 13 12 arc ctg

3x2 + C =

16 arc ctg

3x2 + C

a2=4

a = 2

U2= 9x2

U=3x

dU = 3dx

EJERCICIOS:

• ∫ dx

x2+81 =

• ∫dx

25x2+9

47


• ∫dx

36+16 x2 =

21.- dU

U 2−a2 = 12a ln

U−aU+a +C

NOTA: AQUÍ SI IMPORTA IDENTIFICAR QUIÉNES SON EL MINUENDO Y EL SUSTRAENDO… U2−a2

Ejemplos:

• ∫dx

9 x2−25 =

13∫

3dx9 x2−25

= 13 110ln

3x−53 x+5 + C =

130ln

3x−53 x+5 + C

u2 = 9x2

u = 3x

du = 3 dx

a2 = 25

a = 5

• ∫dx

25−x2 = 110 ln

x−5x+5 + C

48


u2 = x2

u = x

du = dx

a2 = 25

a = 5

• ∫dx

16−4 x2= 12∫

2dx16−4 x2

=12 18 ln

2x−42 x+4 + C =

116 ln

2x−42 x+4 + C

u2 = 4x2

u = 2x

du = 2 dx

a2 =16

a = 4

EJERCICIOS:

• ∫dx

49 x2−16 =

49


• ∫10dx

16−25 x2=

22.- ∫ dU

a2−U 2 = 12a ln

a+Ua−U +C

NOTA: ES IMPORTANTE OBSERVAR EL ORDEN DEL MINUENDO Y SUSTRAENDO.

a2−U 2

Ejemplos:

• ∫8dx

9−64 x2 = 16 ln

3+8 x3−8 x + C

U2= 64x2

U=8x

dU= 8dx

a2= 9

a= 3

50


• ∫9dx

25−81 x2 =110 ln

5+9 x5−9 x + C

U2= 81x2

U=9x

dU = 9 dx

a2= 25

a= 5

• ∫dx

49−9 x2 = 13∫

3 dx49−9 x2 =

13 114 ln

7+3 x7−3 x + C =

142 ln

7+3 x7−3 x + C

U2= 9x2

U=3x

dU= 3 dx

a2= 49

a= 7

EJERCICIOS:

51


• ∫2dx

36−4 x2 =

• ∫dx

81−100 x2 =

23.- ∫ dU

√(a2¿−U 2)¿ =arc sen Ua + C

NOTA: ES IMPORTANTE VERIFICAR EL ORDEN DEL MINUENDO Y SUSTRAENDO. √(a¿¿2¿−U 2)¿ ¿

Ejemplos:

∫dx

√(25¿−3 x2)¿

•1√3 ∫

√3 xdx√25−3 x2=

1√3 arc sen

√3 x5 + C

a²=25

52


a =5

u²=3x²

u =√3 x

du=√3 dx

•1√5 ∫

√5dx√16−5 x2=

1√5 arc sen

√5 x4 + C

a²= 16

a= 4

u²=5x²

u=√5x

du=√5dx

•16 ∫

6 dx√64−36 x2=

16 arc sen

6 x8 + C

a²=64

a=8

u²=36x²

u=6x

du=6 dx

53


EJERCICIOS:

∫dx

√25−2 x2 =

•∫dx

√4−36 x2=

• ∫6dx

√64−81x2=

24.- ∫ dU

√U 2±a2 = ln (U+√U 2±a2 )+C

Nota: Ésta fórmula tiene dos aplicaciones, cuando están sumando (no importa el orden de los sumandos) y cuando están restando (verificar el orden)

Ejemplos:

54


• ∫dx

√x2−9 = In (x+√ x2−9 + C

= In (x+√ x2−9) + C

a²= 9

a=3

u²=x²

u=x

du=dx

• ∫dx

√36 x2+16 = 16 ∫

6dx√36 x2+16 =

16ln (6x + √36 x2+16) +C

a²= 16

a=4

u²=36x2

u=6x

dU= 6 dx

• ∫dx

√9x2−4 = 13∫

3dx√9x2−4 =

13 ln (3x+ √9 x2−4 + C

a²=4

a=2

55


u²=9x2

u=3x

du=3dx

EJERCICIOS:

• ∫dx

√4 x2−9 =

• ∫dx

√25 x2+4 =

25.- ∫√a2−U 2 dU = U2 √a2−U 2 + a

2

2 arc sen Ua + C

Nota: Verificar el orden del minuendo y sustraendo.. a2−U 2

56


Ejemplos:

• ∫√16−9x23dx = 3x2 √16−9x2+¿

162 arc sen

3x4 + C

a²=16

a=4

u²=9x2

u=3x

du=3dx

• ∫√4−4 x22dx = 2x2 √4−4 x2+

42 arc sen

2x2 + C

a²=4

a=2

u²=4x2

u=2x

du=2dx

• ∫√36−16 x2dx = 14 ∫√(36¿−16 x2)4dx=¿¿

4 x4 √36−16 x2+

362 arc sen

4 x6 + C

57


¿ x √36−16 x2+ 362 arc sen

4 x6 + C

a²=36

a=6

u²=16x2

u=4x

du=4dx

EJERCICIOS:

∫√49−100x2 dX =

∫√16−9 X2 dX =

26.- ∫√U 2±a2 dU = U2 √U 2±a2 ± a

2

2 ln(U+√U 2±a2)+ C

58


Nota: Ésta fórmula tiene dos aplicaciones, cuando están sumando (no importa el orden de los sumandos) y cuando están restando (verificar el orden).

Ejemplo:

•∫√9 x2−16 3dx = 3x2 √9 x2−16 +

162 ln(3x+√9 x2−16)+ C

= 3x2 √9 x2+16 -

162 ln(3x+√9 x2+16)+ C

a²=16

a=4

u²=9x2

u=3x

du=3dx

•∫√25 x2+49 xdx= 15∫ √25 x2+495xdx =

155x2 √25 x2+49 +

492 ln(5x+√25 x2+49)+ C

= 5x10 √25 x2+49 -

492 ln(5x+√25 x2+49)+ C

a²=49

a=7

u²=25x2

u=5x

du=5dx

59


•∫√100 x2−81 10dx = 10x2 √10x2−81 +

812 ln(10x+√10x2−81)+C

= 10x2 √10x2+81 -

812 ln(10x+√10 x2+81)+C

a²=81

a=9

u²=100x2

u=10x

du=10dx

Ejercicios:

•∫√2x2−9 dx

•∫√36 x2+25 xdx

60


INSTRUCCIONES: OBTENER LA FUNCIÓN ORIGINAL O PRIMITIVA, USANDO FORMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA

∫ dm=

∫(2t2−5 t+9 )dt

∫(9 x+8)7 9dx=

∫12dqq =

∫sec2 4 x 4dx=

∫10ctg 10 xdx=

∫ dq(7q−4 )2

=

∫−dr=

∫(6 x3−9x2+4 x−8 ) x2 dx=

∫ 29 e2 xdx=

∫ Sec8 xTg8 xdx=

∫ dx36+ x2

=

∫ dx√16 x2−9

61


∫ √3 t2−8∗6 tdt

∫(3x+2 )73dx=

Creemos que necesitamos "más tiempo" para hacer más cosas.. cuando en realidad lo que hace falta es un tiempo más pleno.

Albert Einstein: "Una persona que nunca cometió un error jamás probó nada nuevo"

Thomas A. Edison: "El genio es perseverancia: 90% transpiración, 10% inspiración".

62


¡Hasta pronto!

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