Elactrieidady magnetismo

E¡tratogiac ptra la rs¡oluclónde problemar y apllcacloner

Electricidady magnetismo

Estrategias parade problemas y

la resoluciónaplicaciones

Víctor Gerardo Serrano DomínguezGraciela García Arana

caflos Gutiérlez AranzetaInstituto Politéc¡ico Nacion¿l

Escuela Superior de Ingetriela Mecá¡ica y Elé.dca zúatenco

Méiico

névis¡ón Técn¡ca:

Marc€la Villega. GártidoITESM, CEM

Depto. Cierci¡s Básicas

Antonio Gen Mora

Univenid¡d Iberoamericod

Area de Física, Ciencia-s Básicas

""w:"'ffi*'o

Senono Domírgüz, Victo. G.

Ebcficid¡d y Msneritmo

PEARSON EDUCACIóN, MÉXICO. 2OO1

ISBN: 968-44'1_501 6ÁFa: Unir.sianos

Fómalo: 20 ! 25.5 cns Pási¡tur 563

Elecnici¡lal ! hagnetitño: Est/ot¿|ias poto b resolu'ión de Ptublenas ! aplícdciows

Editor: José Luis Vázquez Cbavarfa

tdjtor de de.anollo. I-ehpe de J C¡\úo PeF¿

Supervisor de producción: Ennque Trcjo Hemández

PRIMERA EDICIóN, 2OOI

D.R. O 2001 por Pedson Educación de México S.A rle c v

arlsonulco Nún 50G5' PisoCol. Indusl,r¡l Atoto53519, Naücalpd dé JuáEz, Edo de Ménco

Cá¡ran Nacional de la lnduslrial Editorial Mexicma Reg Núm 1031'

Resena.¡ostodoslosde@hos'Ni latolal idadn|par leúeesrapub| icr 'dnpuederepBluc|Áe'registrdseo;;ismitise, por un ,istema de rccuPe€ción de infomaciór, en ninsun¿ f(ma ñi por nin8r:n D€dio sea electiónico'

me.ánico, foioquÍmico, Mgnético o el€ctoóptico, por fotocolia. Srabáción o cualquier otro' srn pem6o prevro lor

El préramo, alquiler o cualquier otra lbma de cesión de uso de este ejemplar requerirá lambién la autÓrizeión del

editor o de sus represenla¡tes.

ISBN 9ó8-,144 501-ó

Imlreso en México. Pnn¡¿d ¡, M¿¡i¿r'

1234567E90-0:1030201

UrGd no ¡¡bo nadr lót!¡1Bo h|rt¡ $¡a lo há

Fród{|do.

i&t{|dft,|t'i¿¡

A nl $po!¡ Súdy y ¡ Í¡ir hilo! Cátloi, Südr¡ y R¡t1por ru conprentlón y ¡poyo'

Ct bt Mhrta

A nüar!ü hljor vfctor y olit'l¡ !ü todo ru dcnpo y rüi6o,

vt¿ü/t sañtro y orroh¡¡ 6arch

Go

I Copftulo'l Fuetz o eléctrlcq y Gqmpo eléctrico

I Copftulo 2 Ley de Gouss

Lueas de campo eléctrico

Conducror en €qui l ¡bno electrostál ico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problemas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los(rayo<deccargasaurostérica').... . . . .. ..

53

54559494

Cteclrlcidod y mdqnetlsrño

I Cqpltulo 3 Diferenclo de potenclol y potenciql eléctrlco

Cap¿citorCapacitanciaE¡ergi¡ porencialde u¡ raprcrror

145145146t46146146t47188188

Capacito¡es en paraleloCapacitores en sericCapacitancia de capacitorcs

Cáprciran(¡a parávra

Copftulo 5 Corrlente eléctrico y res¡slenciq

La s percond!¡crLvrdrd

191t9lt92t92t92r93194224221

Copftulo 6 C¡rcultos de corriente continuo

Generador elécrrico.........Fuerza elcctromotriz........Ley de Ohm pa|a un circuiro.. . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .Conexión de iesisrores.... .. ...Circui¡o elécrr ico.. . - . . . . . . . . . . . . . . . .Reglas o leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 'Medición d; conienrc eré"."" y lrr"*"1" l" p"é""iái;b";;i;" . ....... .. ..... ...

221227228228228228229

Conlenido

I Copftulo 7 Compos mqgnéticos

E1ectrctnagnet ismo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -219Campo magnético.-.......... . . .. .. ... . . .. .. .. . . 219

Fuerza magnélica sobre una carga enmoviniento en elinterior d€ un campo magnético .... . .. . . . . .. .. -. 2'79Movimiento de una parlícula cargadá cn el interior

de un campo magnérico. . . . . - . . . . . . . . . - 280Fueúadel-orentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280Fuerza sobre un conductor rectilíneo que lleva una co¡rienle.. . ... .. .. .. . 281Fuerzasobreunelemenlodecorr iente. . . . . - . . . - . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . 281Momenlomagnét icosobreunaespira. . . . . - . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 281Momento de torsión sobre unaespir¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 281

probtenas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . .282Ap1icaciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . 322

Enpleo de los imanes.. . . . . . . . . . . . . . . . .322

I Copltulo 8 Fuentes de cqmpos mqgnéticos

Ley de Biot-Savaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325C¡npo magnético creado por u¡a c¿rga eléctrica en movimiento . .- . . .. . 326C¡mpo magnético de un alanbre reclo y largo - . .. .. .. ... . ... ... .. .- 326

Campomagnéticocreadoporunaespiracircularconductoracnsücentro.. . . . . 326

Campo magnét ico cn el inter ior de un solenoidc. . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Fuerza entre dos conientes paralclas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 327

Definic ión de1ampere.. . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . - 327Ley de Ampere (Do general izada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Problemas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . - - 328Ap1icaciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . - . 355

El te léfono.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 355

CoDltulo9 Inducclón etectromqqnétlcq

Apl icacioncs.. . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . - -

Los úanJúrm¿dore\'.

40'740'7

Bobina o induclof . . . . . . . . .

lnductancir . . . . . . . .lnductanci¿ de una bobinEnergía en una bobinaAuroindu, ción . . .ln, luctanria mutua.. . . . . . . .Cir .urto RL.. . .Circuito LC... ..

Apl icaLioncr. . . . . . .P¡ leomagnet ismo.. . . . . . . .

4 l l4 l l4124tz4134134134t4414415466466

Copftulo | | Circu¡tos de corrienie qllerno

Corriente alterna.............Corrientes y vohajes en circuitos dc coffienÉ altem

Valores ef i caces.. . . . . . . . - . . . . .Voltaje e inlensidad de codcnte en circuitos de comente ¡rllerna - '

Circuilos ¡le corriente aitema co¡ un resislor '...Circuito de coniente altema con un capacitor. ..

4694694101',to41i4',7 r4',714121',72

1',734',71

Circuito de coffienle al&ma con ün nductor "..Circuito en serie RLC ..Conerión de rmpeJancia.Potencia elécr ica. . . . . . . . . . . .

ProblemJ' . . . . .

La corriente ¡ltena en los hog¡res ... . . .. ..

522522

Apéndices

III

IIIIV

Respuestas a problemas rmpa'€s . ... ..AlgunJ' c"n ' tanle\ fundamenrdle 'Unidades de algun¡s cantid¡des físicas ... ..

Tablas malemát lca! . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . .

525531533

541543

Blbl¡ogrof fo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1nd1ce.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En momentos como los actuales, países como el nuestro necesitan de técnicos e ingcnie-ros que pucdan desanollar una tecnología autosuficiente o aprovechar al máximo la ürc-nología que se esri importando o que existe en estos momenlos en el país. Pam fo¡m¡r esteripo de profesionales se requiere de una base firme en cicncias básicas como la Físic¡t,

Dues sin esta basc dichos Fofesionalcs se verán aplastados en pocos años por ios avanccsde sus especialidades. En este seotido, es lundamental una buena enseñanza de la Física,pues ésta p¡oporciona los conocimientos básicos neces¡rios para que puedan comprendertemas de su especialidad, así como conocer y usar métodos y henamientas que les permi-tan enfrenlar en forma cientíñca los problemas técnicos que se les prcsenten

La Física es una ciencia que no sólo se interesa por los aspectos c&dli¡driror de losfenómenos, sino que lambién atiende a los aspec¡os .Ld"¡i¡u¡ir¿r. Por ejernplo, cuando 13Física estudia el movimiento de los cuerpos, se ocupa dc los aspectos cualitativos comoel tipo de trayectoria que describe el cue¡po. perc t¡mbién le interesa conocer aspectoscuantitativos como cuál es el valor de su velocidad, de su aceleración, de la fuerza queprovoca djcho movimiento. etc. Por tal razón. en los cusos de Física sc incluven proble-mas de n¿turaleza numérica. y¿qüe, además de ser una ciencia experincnl¡il, es una cien'

Dentro del proceso de enseiianza-aPrendizaje dc la Física, las dificult¿dcs que pue-den tener los alunnos para su aprendizaje se evidencia en el momento en que tienen queresolver proble¡n¿s. Esle es un asünlo de suna importancia. ya que el propósib de losproblemas es el dc crear una situación en la que reflexlonen. razonen y tomen una actrtudinvesrigador¡ al tratar de resolverlos. Así como un gran descubrimiento resuelve un granproblerna. en la solüción de todo prcblema existe un descubrimiento. El problema presen-tado a los alumnos puede ser sencillo. pero si se les induce a poner en juego sus Iacul't¡des inventivas y lo rssuelven por ¡¡edios propios. es probable que expcrimenten el en-canto del descubri¡nienlo y el goce del lriunfo Esto es una condicióD p¡ia mantener su in-terés por el aprendizaie.

Electrlcldod y mo9¡etlsmo

El estudio de la Física pucde permitir a los fuluros técnicos e ingenjeros adquirir co-nocrmrcntos y desarrollar h¿bilidades y actitudes lonsideradas valiosas para desenvotverse con más posibilidades de éxiro en los ámbitos ¿cadémico, sociat y del trabajo.

Los cursos de Física ¡leben coadyuvar cn l¿ fomación de técnjcos e ingenieros c¿paces de ¡esolvcr situaciones problemáti€as nuevas en forma cientficai en este senri¡to, scles debe dar oportunidad de cntrenarse para hacerlo. Por ello,la sotución de probtemas esuna acu\rddJ de gr¡n rcle\rncia en.u tbrm¿cion.

Para atende¡ ere punto se ha prep¿¡ado este cuademo de r¡abajo sobre dos de los re-mas relevantes de laFlsic¡: la electricidad y los principios básicos det elecrromagnelismo.

Hemos escrito estecuademode trabajo pens¡ndo en los alumnos que esrudian una carrera de Ciencias o de lngenierí¿ para que tes ayude ¿ adquirir una fomac¡ón básica queles pcnnita resolver p¡oblemas que sobre ésros lemas aparecen en las ev¿tuaciorcs de loscursos de ¡Ái.¿ -I ¿l€c¡¡'rii¿dd a nivel supe¡io.

La de.cisión para elaboraf el cuaderno de rabajo se debió, t¿mbién, a que en los librosde lcxto no aparccen sulicientcs problernas resueltos que les pe¡mitán a los alur¡nos identificar ¡as estrategi¿s y metodologlas que se emplean en su sotución. Este cuademo de 1rabajo complementa Ios libros de Flsica y de elecrricidad que normalmcnte se emplean anivel supe.ior en los países ladnoamericanos.

Esle cuademo de trabajo tue también concebido como un apoyo más para elevar elnivel académico y de aprendizaje de los alumnos, y¿que éstos se verán obligados a resotrer ün mayor número de problemas duranre el cufso.

Por su diseño. el cu¡derno de rrabajo pennite conrrolar el trabajo reatiz¿do por los alurn-nos, ya que éstos debcn resolve¡ los problemas en et espacio conespondicnte en el propio

Esle cuademo de trabajo consla de 660 probiel¡as. de los cuátes ta mitad (los probte,mas pareE están ¡csuelros y el resto (los imparet deberán sef resuettos por los atumnos.La obra se ha dividido en once capltulos que aba¡can los principales temas de la etectricidad y el m¿gnetismo. como se ilusaa en J¿ siguiente tabla:

Cspttulo

2:l

5

8

prcblens

6l

5512

4252

660

Fuerza elécúi.a y cañpo eléclico

Difeencia de poteñcill y potencial elé.úico

Coúicnre elstica y ¡cssrencia eléctricaCircuitos d€ coniente conti¡nr

Fue¡r.s de c¡npo nae¡óti.oI¡ducciór Elect¡omgnérica

Prólogo mEl presente libro puede ser utilizado de diferentes nanems: como un texto auxiliar.

como libro de.exto complementádo por las explicaciones del pmf€sot corno lib.o de re-páso, o cono cuademo de trabajo del alumno.

Este lib¡o, junto con cualquier otro libro de Física sobre esie lema (como el libloFísica para científicos e ingenieros, tomo II de Dougl¿J C. Giancolli. de Prentice Hall)puede ser utiLizado para los cursos de Electromagnelislno y de Fisica que se impa¡ten enel nivel superior en las Escuelas de Ingenieúa y de Ciencias.

En cada capítulo se presenta una introducción teórica. de forma concisa, de los concetrtos y ecuaciones más impofantes que posteriormente se han de urilizar en la resoluciónde problemas. Estos se han ordenado en grado progresivo de dificultad. Los problenasresueltos sirven de referencia para la solución de los problemas sin resolyer. Una caracte-ústica de este cuademo de trabajo es que se han dejado los espacios necesarios despuésde cada problema no resuelto para que el ¿lumno registre en ellos los procedimientos yresultados obtenidos. Los resultados de los problemas impares aparecen en el Apéndice Ial tural d€l libro.

Esperamos que el tatamiento dado a cada uno de los temas sea del agrado de losalumnos y profesores, y así poder contribuir a una nejor pleparación de los científicos eing€nieros que requie¡en países como México.

Acogeremos con agrado cualquier comentario y sugerencia que nos permita mejorareste libro en ediciones poste¡iores-

Intro

I UNA ESTMTEGTA PARA LASOLUCTON DE PROBLEMAS

Actualmente, es uD hecho reconocido Ia impo(ancia de Ia solución de problemas en elproceso de enseñanza'aprcndizaje de Ia física. pero t¿mbién se admite la dificuhad quepueden llegar a tener los estudiantes al enfrentarlos. Esla dificultad. la mayoría de lasveces, se puede atribuir a lo siguientel

l .

La diñcultad puede ser superada si se logra que los efudianies reconozcan 10 siguiente:

A que no se han comprendido los lérminos. conceplos y leyes fundamentales de la

A que se han memorizado fó¡mulas sin comprenderl¡s, de manera que normalmentese sustituyen valores nurnéricos en ést¡s, p¡ra aslcalcular el valor de la cantidad des-conocida. Sin embargo. ante problemas en los cuales no es posible obtener el resul-lado mediante la aplicación directa de una fómula. los esludiantes se encuentranperdidos y frustrados, por lo qüc llegan apcns¡| quc l¡ física está fuera de su alcance.Aque no se cüenta con una estrategia para enfrenlar los problc¡nas quc se prescnt¿n.

La impot¿ncia de comprendef los conceplos fíicos y la mane|a lógica d€relácionarlos entre sí pá¡a expresarlos t¡nlo cualitalila como cuantil¡li!¿mentc(rnedi¡nle fórmülat.

Resulta útil recordar ciertas 1órmulas. pues no hay sustitulo para la memoria enel apr€ndizaje. En este punto conviene señalar que el número de 1órmulas y con-ceptos por comprender y merno¡izar en física es pequeño comparado con e1número de táminos, conceplos y hechos que se deben memorizar en cienciascomo la biología o la hislori¡.Las ventajas de e¡nple¡r una rnetodología adecüada par¡ enfrenhr y resoller demanera eficient€ los probleqas.

a)

b)

- - oen"tt"rno

De lo anterior podemos concluir que si un estudi¡nte comprende los conceptos y leves

fundamentales de la físim y es capaz de recordarlos y de emplear u¡¡ estrategi¡' podrá

rcsolver por sí mismo problemas que en otras condiciones Ie resultarían insuperables

Con el fin de contribuir, aunque de manera modesta. a que los estudiantes l¡ejoren v

!e.rn capaccs de resolver de mareir Inás cficiente ios problemas que se presentan EN

ESTE CURSO y en los cursos de tísica, se presenta en l¡ figura 1 una estralegla par¡

L¡ ñgura l , como sc observa. es un diag¡ama que consta de larias elapns En el diagrama

se le indioa la secuencia {tue exisle entre l¡s etapas así como a qué elapa de la estrategia

hny que regresar cu¡ndo no se pueda avanzar a la siguiente Como la figura I es lo

sufrcrenrcmenle e\pl( , rd. 'o1, , 'e agregafu alguno' comenlar io '

L6er elproblema

an¡l,zarlvdescrlbr cua itatvamente elprob ema - No t "n" "unt¿o--l

Determ ¡ar ló qre se preg!nia

Ica cuLar la r€splest¿ usando agortmos o artmétca No,lodavia hav uña Incog

selecconar reacó.es que involcren as vanables que se queren coñocef

Determ n¿r s son váldas las rel¿conos para as co.d c ones dadas + No buscarotra reLacrÓ'

Suslrl! r valores n!mércos

FeMSar ós pasos ¿ gonrñ cos

I

verl caf e intefpretar ¿! rés!liado

Teñe sent do e res! t¿do+No, r€g¡esara a etapa donde pldohaberse comet do elerof

l'igura 1 Estraregia para ln solución de problemas

Comeniqrios generotes sobre lo estroteg¡q desoluc¡ón de problemqs

Fjt'¡pa I Leer ¿l enunria¿o. Puede pensarse que esle paso es obvio' pero se h¡

constatado que los estudiantes no saben leer es decir, no leen cuidadosa y

comple¡amentc haciendo un análisis de la información que se les da y que se

les pide.

Etapa 2 Anatizat r detcribir cualitatiwnent¿ el p¡'d¡ltn¿ Esta etapa es ciale para la

resolución del problema, pues en ésta se traduce el enunciado' una vez

comprendido, a ur ¡libujo esquemático' seleccion¡ndo el sistcma de referencia

(si se nccesita), y ,e describe con palabras Fopias el ploblema

Et^pA3 D¿te¡minar l¿ que se pteSuntn. Et esra fase €l estudianG se da cuenta de los

concepros rclacionados con el problerna, hace una lista de las variables v datos'

lnlroducción Mlos asocia con !ínbolos ¿dccuados, evillndo rcpclirlos y cxprcsa lasnagnitudes vectori¿les (cuando las hay)i ¡simismo uniform¿ las unidades conel mismo sistema en caso necesario.

EtApa 4 Seleccionar ecuaciones que inwlucrcn lds wridbles estu.lio¿os. En esr^ erap^se elabor¿r ¡nle todo una lista de las ecuaciones posiblemente útiles en tunciónde los dabs e incógnitas del problema y posteriormente se efectúa la selección.

Etapa5 Determinarsi son úlidas estas relacíones paru las condiciones ¡iadas.Enesremomento debe verific¿rse si exislen t¿nlo l¡s ecuaoiones como incógnilas en elproblema. Si no es así, han de buscarse I¿s relaciones que lleven a estacondición.

Etapa 6 Sunituir wLrcr ¡¿n1n.or. Una vez seleccionadas las relaciones que permitenc¡lcülar, sustiluir los valores numéricos Gi los hay).

Et8'pa7 Calculü la respuest¿ usando olsoritmos o d¡it¿1¡i.d. Esta etapa liene el pro-pósilo de verificar si sc puede oblener la respuela solicit¡da en el problena.Si la respuesta es numé ca, k,s datos numéricos dcbc¡ scr suiicicnics y Iaexpresión algebrarca conecta.

Etapa 8 Rerird¡ l¿s ¡,¿rds a¡s¿¡r¿i.¿r. Como su nombre lo indica. es preciso examinarkÁ dcspcjes de las incógnitas. la sustilución de valores, etc. con el propósi1o deoblener el resullado correclo.

Etapa9 Obtener el retul¡ado. En estaclapa son susliiuidos los v¿lores numéricos enlasexpresiones ¿lgebráicas y se realizan las operaciones a.itméticas para obtenerel resultado, o Ia expresión algebraica de la variable desconocida cuando no sedan lalores numéricos a las váriables en el €nunciado del problema.

Et^p lO Uerifrco e interyrctar el rcsultado. Esfá ct¿p¡ tieDe el propósito de vedficarque el problema se ha resuello correcta y completamente.

Etsp 11 Conpnbú si el rcsuhado tiene ¡e,¡id¿. Como en muchas ocasiones se h¡constatado que el estudiante da un resultado que no licne senlido, csconveniente que se pregunte si es razonable el resultado obtenido y si lasünidades son las conectas.

Etap 12 Est tibir eL resul¡¿d¿. En esta etapa se escribe el resultado. el cual puede ser unagráfica, una ecu¡ción o uno o varios valores numéricos.

Por ú1timo, es corvcnienle aclarar que la estrategia de solución de problemas por sí solaro es suficienle. ya que cada estudiante adenr.is debe poseer las herramient¿s matemáricasnecesarias para el nivel de complejidad del problema y una clara comprensión de losconceptos y leyes de la física.

CAP¡TULO

Fuerzactrico

I Corgoeléclrico

La carga elé€trica es una propiedad fundamental de la materia.

I Propiedodes de los corgos eléctrlcos

. Las cargas eléctricas pueden ser de dos tipos: positivas o neg¡tivas

. Las ca¡gas eléctricas de signo distinto se atmen y las del mis¡ro signo se repelen

. La carga eléctrica está cuantizada, es d€cir, existe en múltiplos enteros de la carga del

C¿rga eléclrica = (número entero) (carga del elecirón)q=Ne

. La ca¡ga eléctrica siemFe se conserva en los sistemas

La unidad de ca4a eléctrica en el SI es el coulomb (C).La carga del el€ctrón es de - 1.6 x l0 te C.

I Ley de Coulomb

La fuerza electrostática enixe dos cargas eléctricas puntuales y estacionarias 4r y 4, es pro-porcional al produclo de sus cargas€ inversamerúe proporcional al cuadrado de la distan-

cia que la separa, y su dirección se determina con la recta que las une ln magdtud de esta

fuerza se calcula de:

' ' q| 'az

donde la conslante ¿ (en el vaclol 'ale

en ef Sf

Nm'? Nmrt: 8.8975 x 10, -=- - 9 x loY=i

c¿ L'

En foma vectoriál:q\qz^

F: i ( - r

donde i : vector unitario adimensional.En muchos pmblemas se expresa la ¿ en tunción de la permitividad del vacío' É,' es

Ik--

donde: €, - 8.8542 x 10 r'z C':N n¿Cuando el medio que ro¿lea a las cargas no es el vacío. disminuye la fuerza entre las

cargas puntuales.Si el mate¡ial tiene u¡a constante dieléctrica (permitividad relativa) €., la permitividad

del vacío €" se debe reemplázar por € - €"€., donde € es la permitiüdad del material

Prlnclplo de superpos¡ción

En una distribución añitaria de cargas eléctricas. La fuerza que elefce una carga soÚe

otra, no depende de las fuerzas que ejercen las demás. De acuerdo co¡¡ esio, la fuerza eléc-

tric¡ iotal sobre una €arga se determina at sumar vectorialmente las füerzas que exlsten

enrre dicha c¡rga y c¿da una de ló olm\ cargo\'

F=Fr+tr ,+Fj+"

F - fuerza total sobre la carga qFl : fueiza entr€ ql y qF? : firerza entre qr y qFj = fuetza entre 4r y q.

El pdncipio de superposición es válido para todas las si$aciones qüe consideraremos en

En general, la fuerza eléclxica es mucho más intensa que la füe¿¿ gravit&cional' sal-

vo a escalas astronómicas.

Es una región de espácio en donde una carga eléctrica experime¡ta una fuerza de origen

Cop. I Fuérzo eléclricoycoñpo eléctr¡co E

lntens¡dqd de comDo eléctrico

Se llama intensidaddc campo eléctrico (en un punto) a la fuerza eléctrica que ¿ctúa sobre

la unida¡l de carga elécrica positiva (carga de prueba) que está colocada en dicho punlo:

Fu¿rza eléclricaIntensidad de cañpo eléclrico =

Carga eléctrica

La unidad de la intensidad de campo eléc.rico en el Sl es el N/C La inGnsidad de campo

eléctrico E, es unamagnitud vectorial que tiene la misma d¡rección qoe la fuerza eléctrica

La intensidád de c¡mpo electrico dcbido a una carga punlual que eslá a una dislancia

¡de clla se calcula por:

i = vector unitario que va de Ia carga eléctrica ¿l punlo consideradoq - cafga eleclricd que gene'r cl cdmpo elec¡nL

FE- -

E=-+r

Inlensidqd de compo etéctrico debido o vqr¡os corgos punluoles

La intensidad de c¡mpo ele'clrico que se genera en un punto debido ¡ ün grupo de cargrs

püede oblenerse con el principio de supeQosición, es decir. la intcnsidad de campo eléc'

lico tolal es igu¡t a la sun¿ veclorial de las intensidades de ca¡npo eléctrico de todas las

cársas en dicho Dunto

¡¡ : la distancia de la carga 4¡ al Punto donde se calcula el campo

i¡ : vector unitario cuyo sentido apunla hacia I¿ carga 4'.

De forma análoga, si l¡ distribución de carga eléctrica es conlinua la intensidad de campo

eléctrico se calcula por:

E:*t+i .7t- t

E=

dS = carga en un elemento dc la distribución de carga eléctdca

¡ : distancia dcl elemento al punto en cuesliÓn

L

I Dipoto eléctrico

Eleclr¡cldod y mognetlsmo

Consisie en una cárga positiva q, separada de una carga negativa -q. por una distancia a.Este sistema de cargas tiene una propiedad llamada rnomento dipolar eléctrico p, defrni-

p:qa

El momento dipolar es una propiedad fundamental de las molécul¡s.

I Cqrgo eléctr¡co en un compo

Una p¿rtlcula de masa ,'l y carga electrica 4 que se rnueve en un campo elécÚico E consta¡te tiene una aceleración dada por:

4L

En elas condiciores la carga tiene un moümiento semejante al de un proyectil que estásujeto a la acción de un campo gravitacional.

R¡Grzo €léctrlao y aonpo oléctrlco

P*t,ffi

Una esfera tiene un exceso de 25 x 103 electrones, calcule la carga neta en l¡ esfer¿'

P*2 Calcule la carga neta en una sustancia $re está fomada por:

s) 5 x 1013 el€cfonesb) una combinación de 4.3 X lora protones y 2 5 X 10ta electrones

lora pmtones, ¡y'd*d, : 2.5 X l01a electones

q = (4.3 x tota - 2.5 x l0ra) (1.ó x l0 l'y)

ffi La carga neia en una paljcula está dada por

q : (Ne,tu." - Nd..MJ cargae..¡ó.

a) ¡{da* = 5 x l0t3 electrores

4=(0 5 x l0¡3) (1 6 x 10-")

q=-gpf:

q:28 8 ñ

P*z

ffi

Dos ca¡gas fijas, de 1 lrc y - 2.9 t¡C, eslán separadas por una distancia de 10 cm Deter_

mine la-frrerza electrostática que ejerce por una ca¡ga sob¡e la otra'

il Eleclrlcldod y ñogn€llsmo

Como las mag tudes de Fl, y F?r son iguales éstas se pueden represent¿r por F.La m¿gnilud de la fuerza eléctrica ente dos cargas puntuales está dete¡minada por

- ,4¡Qz

(1.6 x l0 re) (1.6 x 10 D)

4 oo' pro'on...n ,nu molécula de lxdroseno e\rrln sep+ fufr é+rado'porunaú'rancia. le0'74l0 '0mCalcu|e|a."-luer/a el€rtnca que ejerce un prordn \obre el ofio.

¡OtUOül s, = 1.6 x l0-r 'qc, sr = 1.6 x 10 1 'c ' .=074x l0-r0m

F&tr

sustituyendo valores

F-9x10, (0.74.10rn)¿

F:42.07x10YN

¡'"f 5 srpongu qo. I g de hidrdseno se separa en electrones y protones. Los electrones se colo-

can sobre una pequeña región de la superfrcie de la Lüna y los protones t¿mbión se mlmanen ol¡a pequ€ña región de la superficie de la Luna pcro en el lado opuesto. C¿lcule la ñ¡er-za de compresión sobre la Luna (radio promedio de la Luna 1.74 x lS m).

soLUcroN

t't

-* 6 Con respecto a la ligura A. calcule la fuerza electrostáti 2 tc

ca sobre la carga q, de -2 ¡'¿C que p¡¡duce la carga 4rde 4 /¿C.

EQLUCIOX 4, :4x10 6c,4, : 2xl0óc

La fuerza eléctrica entre dos c¿rgas pu¡tuales estrá figuro A

4 pc

definida por

F=*; i

Cop. I Fuerzo €lécl¡lco y coñpo elé.l.lco

F:9x10'

de la figura B, se observa que

0.05sen 30' :

despejando /, se tiene

005¡=-=01m

sen 30"

de la figura C, se observa que el vector unita¡io i está

i - ¡ i + ¡,.i co\ 30'i - .en l0"j - 0.866i 05j

tn esle cá\o el ve{lor unitario delermina Ia direccidn }sentido de la fuerza.Sustituyendo valores

J

10 ") -, ._(0.866i - 0.5j)

Magnnud de h fuet¿

F : (6.23s2i - 3.6j) N

También se puede determinar la fueza que actrla sobre lacarga de 2 ¡rC, si en lugar de asociar el vector unitarioala dirección y sentido de la fu€rza, se consideraque es-te vector ünilario apunta hacia la carga de 2 PC comose muefm en la figura D.Este nuevo vector unit¡rio i, de acuerdo a la figlra E, seexpresa en función de ¡ Y i Por:

r ¡ . ¡ ! ¡ , j - co' JU- r- l r ' \en ru J

i=-0.86ói+o.sj

Sustituyendo valores en

f = :jr;? ;

(4x10 ó)(2x

(0.1f

9x1oe(4x10-9( 2x106)(0.1fF: (-0.866i + 0.5j)

En esta ocasión en las cargas ./r y qr, se debe incluir el signo de la cargaSimplificando

F (ó.2ls2i - Loi' N

Este valor coincide con el que h¡bl¿mos obtenido con el otro p¡ocedifnienlo Por 10 tanto

ambos métodos son equivalentes.

(-'--¡,

\\

Fiquro B

F¡guroC

Figuro E

F,,7 Con respecto a la figw4 encuentr€ la fuerz a electrostáti-

ca sobre la carga de 15 /¿C que produce la carga de

13 pC.

ffi$*wt

15 4C

ú-* B Una c¡rga O se divide en dos panes: q y O q ¿cuá]es

el valor de q para que las dos pafes colocadas a una dis-

tancia ale separación ¡, tengan la máxima repulsión eléc"

trica?

oFr- r- -------¡¡,1

ffiHfiG- La magnitud de la fuerza eléctnca entre dos cargas pun-tuales está definida Por

qt. tzF-k-

tomanalo qr = I 4 y qz = q, y sustituyendo en la fuer¿a, se tiene

tO o\o k

derivando Ia fuerza con respecto a 4' se tiene

]--(Q-2q¡aq f'

luego se igu¿.I¿ a cero, p¿ra obtener los puntos extremos

+t8-2s)-o

despejando 4, se tlene

^ Q-2s:o

al calcular la segunda ¿le¡ivada de lo con respecto a 4. se trene

dzF 2k

ésta siempre es negativa, por lo tanto el valor de la carga que se obtiene al igualar la deri'

vada a cero es un máximo,

o? 9 r"".*gu' puntuaLes se colocan sobrc el eje ¡ 12 pC en t = 15.? m, 38 /,¿C en

¡ : 5.2 m y 3 pC en el origen Calcule l¿ tuerza r¡eta sobre la carga de -3 ¡tC

sffi

ognal"to

1 O rr"" "u'gu.

p'n,oales. 4, : -3.¡ pC' q2 = t 2 pC vq3 = 5 /rC. se colocan como se muestra en la figura A'

Determine la tuera resultante sobre q3

t '

sot{rc|oN 4r= 3.1 x l0 uC,q, : t .z t l0 6c 'qr:5 x 10 6 C

l-a fuerza net¡ sobre la carga 4' está dada por

F: l r ,

donde tr, es la fuerza entre dos ca¡gas puntuales. que es-

tá d¿da porq' l^

F=k-r

Para calcular Ia fuerza F r que siente 4r debido a q I se tie-

nen los siguientes valores

q =.r t - ,3.1X l0 óC,4r- 4r :5 x l0 6C

de la figura B se obserYa que

. = úoJf + (o3f = o.a2a m

de l¡ figura C y utilizando triángulos semejantes.se tiene que el vector unilario ; que apunta

0.J 0.1 , - -^- ,; - l i ; j *r i

.ú j 0.707i - 0.707. i

susliluyendo valores( -3.1 x10 9(5x lo 9

Fr :9x10' (oJt) ,

F, = ( 0.549i +0.s49i) N

(o.7o7i o.7o7j)

Para c¿lcular la fuerza F que siente qr debido a q?, se tienen los siguienles valores

q = q2= I .zx 10 óC, q-= qj = 5 X 10 6C

de la figüra D, se observa quea-r+

ffi--q.

FiquroA

Flgu¡o B

FiguroC

sustituyendo válores

F,=9x10'y

F¡=06iN

(1.2 x 10 6)(5 x l0 1(0.1)'

FtguroD

Cdp. I Fuérrd aládflcd y €oirpo ék¡clt¡ro

S¡rmando las dos fuerzas, se tie¡e

F: Fr + F,: (-0.549i + 0.549j) + 0.6i

F : (0.051¡ +0.549j)N

Itr

P* t t

ffiÉ{i

T¡es ca¡gas pr¡ntualés,4r = 4pC,qz= l0pfyq3= 9 /rC, se colocan como sé ilustaen la figttra, Determine la fi¡erza resr¡ltante sob¡e la cs¡ga qr,

0,12 m

P* tz Tles .argas pr¡ntuales q = 1.5 pC, q, = -3,5 ,¡ t{, = -3.1 pc se colocan en 1as esquinas de ú triánguloisdsceles. como se múestra en 1a figura A. Calcule la fue¿aeléctdca net¿ sobre la carga de 1 .5 ,rC.

cr = -3.5 x 10 ó C, q. = 3.1 ¡ 1¡-o g,

c=1.5x10óC

l,a fuerz¿ neta sottre la carga q está dáda por

-3.1pC

f- rt"a.r"¡¿o¿ y,nlii![ñ

donde Fr es la fue¡za entre dos cargas puntuales, que es-Lá dada por

F: r+r

De la figura B se observa que

CAcosd=

¡

dcspejando el ángulo, se liene

/ CA\d=cos' l , I

\n /

sustituyendo yalores

/025\d:cos' l ¡ i J :80.4"

\ . , " /Para ( ál( uld la luef7a ¡ qu. \icnre 4 debido a 4 . ,e rrenen los siguientes valores

st : 9t : 3.5 ) . . IO 6 C,qj- q : 1.5 x l0 6C

de l¿ figura C, se observa que

i : cosdi + sen dj

: co(80.a0 )i + sen(80.a'f

= 0. r67i + 0.es6j

EI sentido de vector unit¿rio i apuntá en cada caso hacia1¿ c¿rga 4, ya que sobre ella esrán actuando las fuerzasdebidas a a, y4r.Sustituyendo valores

Fr=9x10'(-3.5 x 10 9(r.5 x l0 6)

(0.r67i + 0.986j)( r .5¡

F : ( 3.507 x l0 r i 20.706 x 10 3j)N

Para calcular la fueza F, que sienre q debido a 4,,se trenen los siguientes valores

Q,=ez= 31 ) . . l0 6c,qj=q:1.5/ l0 6C

de la figura D, se observa que

i : -msoi + sen ej: -co(80.a0)i + sen(So.a0)i= o.l67i + 0.986j

Figuro B

Fiquro C

FiguroD

cqp.l Fuet2o etéctrico y compo eléctrico

-sustjtuyendo valores

lz-9X l0 '( -3.1 x r0 )(1.5 x 10 ó)

( 0.16?i + 0.986j)(1.st

F, : (3.106 x 10 ri rS.34 x 10 rj) N

Sumando Fr y F, para obtener la tuerza resultante. se iiene

F = r, + Fr: ( 3.507 x 10 3i 20.706 x t0 i)+ (3.106 x l0 , i - 18.3a x 10 i)

F : (-4 03 x l0-4i 39.05 x 10 3j) N

P#| 5 Tre. carga' idenric¿\ punruales. cada una dc magnirud q. \e t,'cali/on ,obfe to\ !enices de

un triángulo isósceles con su alrura orientad¿ veticalrnenrc. t a altura del lriángulo es de9 cm y su base es de 24 cm.3) Si la fuerz¡ eléctrica resultante ejercjda sobre la carga locatizadaen et vérice superior

del triángulo tiene una magnitud de 0.5 N y con una dirección verrical coD senridohacia aniba; detennine 4.

b) Si la carga del vértice inferior izquierdo se rcemplaza por üna carga 4. deieÍnine lamagnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la carga locatizada en el vér-tice superior del triángulo.

tr

FlguroB

!F ' ; ^ql9--:- rJ

f iguroC

t^ l^

v2" v2"

,J'# l4

soLUctóx

Cuatro c¿rgas puntuales se colocan en las esquinas de uncuadrado de lado .l. como se ilustra en la figüra A. Siq : 3 pC y a = L2 In, determine la fuerza resultanle so-b.e la carga positiva 4.

q1: q ' qz: 2q, q1= 2q

La fuerza neta sohe la carga 4. está dada por

F=)F,

donde F, es la fuerza que existe entre dos ca¡gas puntua

F=r+i

Para calcr¡lar la luerza Fr que siente 4 debido a,,

4t= I ' A¡:9

de Ia figu.a C se tiene

¡ -¿ y r : - '

suslituyendo Yalorcs(d) l - , / )

F: l ] - ( i ) : r i - i

Para calcular la fuerza F, que siente ¡7 debido a ",

q i= 2q' q j=q

de la figura D se liene

,=\E+"'=" '" ,5de la ñgur¿ E y utitizando triángulos sernejantes. el vec-

l+ l : - . . . . . - t+ ' - laV2 aV2'

"'=-:#(-+'.+j)=r5(

- i , ; : ¡

Etectrlcldod y ñognetbño

sus¡ituyendo valores

Cop. I R¡.r2a.la.trlao y corñpo olóclrlco

Para calcular Ia firer¿a F3 que siente q debido a q3

q=k' q¡ : cde la figur"¿ F, s€ tiene

r=a y i= i

Sustitüyendo valores

t2al la t ̂Ft = k-:¡: i = ki\2jt

Sunando Fr, F, y F! para c¡lcular la fuerza resultant€, se tiene

F = F, r rz + r, : r4i. k\(+i, $i). r$<rit

-o4l( t* l l i * f r - - ' " ld-L\ \2) f VzI l

r=*$o.twi+tzezJ>

sustituyendo valores, q : 3 X 10-6C, d : 1.2m

13 x l0 6r¡r=su ro"- ( r t i (1.7011+ | .293i1

F = (96.02 x lO-,i + rZ.z¡ x ro-,i r,l

IE

{ ',1I'

ó%

ñcurq F

P* ts

ffi

¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que actlia sobre la c¿¡ga del vérice i¡ferior izquierdo delrectángulo mostrado en la fieura. Si4 = 5 ¡.¡C, L = 2ócmyW = 1l cm.

Electdcidod Y ñognet¡smo

&rs

s0uKlox

Cu ro c¿rgd' punlu¿le' idenrica' de talor arbrtrarr" <e

loc! l i¿¿n en l¡s e'qurn, ' de una placa r 'grda c 'r¿draoa

Demuestre que el momenlo {ie una fuerza neta ahededor

del centro de Ia Placa es cero

Se identiflcan a las c¿rgas e¡ lbrm¡ arbitrana

q' qr q, qr

Ahora sc dará una orientación arbitr¿ria ¡l cu¡drado v

una colocación arbitari¿ de las cargas esro se rrusr¿ en

Pri;rc se calculará la fueEa nela que siente q debido

a las otras cargas. Ésta esr4 dada por

-t.E=\F

donde Fr es la fuerza entre -='

*'r* Oo**"t' n* "*

s q, ̂F=

-rPara c¿lcular la iuer¿¿ Fr que

"ienre a debrdo a i/r' 'e

úe'

/=¿ v r= I

susliiuyendo Yalores

Fr =l+(-¡)= *- l

Parb c¿lcular h ruer/d F: que 'ienre a debrdo a '1' 'e úe-

ne de la figura C

, : \ /¿+¿=a\2

us¡ndo lriángutos semejantes en l¡ frgura D'el lector ünltano es

¡ : - ! : i - 2¡' ¿V2 ¿V2--t" 1^

' : -E 'süsrituyendo valores

F1 t_¿A

FiguroA

Fiqr¡rog

\v2

^ 1^\

' ttjJ

^¡í)

FigurdC

a1 | 1.r,: r; \ t i ,r '- Figuro D

Cop. I Fuerzo eléctrico y cornpo eléctrico ----------

Para calcular la luerz¿ Fr, que siente 4 dcbido a 4r. se rie-ne de la figura E

¡:¿ y i=- j

sufituyendo, se lieDe

au^Fr - ¡ - r - j ) : * ; j

Sumando Fr. Fr y Fi para obtener la fuerz¿ resulranle, seliene (ver figura F)

I

F:Fr+F,+Fr=

r4;*04( l - ¡a- a" \ 2!2

Flguro Et. \

:ur iJ *; t -¡ i

n =r i { r I

2\t 2) r i+ i rCono se ve en est¡ última ñgura, esta fuena esrá en 1¿misma dirección que I¿ diagonal que une al cenrro delcr¡¡dr¡do y la carga 4, por lo que el momenro de la fuer-za nellt es cero. si se rom¡ el centro del cuadr¡do como

Como l¡ di\tnbuLión de la, c¿rgr\ fue arb¡rrJri¡ a,í co-mo la selección de la carga, el momento para cu¿lquierade las esquinas es igual a cerc. Por lo tánto, el cuadradono gira alrcdedor de sL¡ cenlro.

FlquroF

-# 17

soruclóf¡

Tres cargas puntuales están alineadas sobrc el eje ¡. tn c¿rga qr = -6 /¿C esrá en .r : 2.5 m.q, = -4 ¡¿C está en r = -2.6 m. ¿Dónde debe colocarse la rercera c¿rga q para quc I¿Iuerza neta sobre ésta sea cero?

IB Tres partículas separadas por una distancia ¡l' se e¡cuen_

tran ¿lineadas como se ilustra en la figüra A Las cargas

qr y 42 se mantienen fijas. La carga 4r tiene liberiad de

;olimiento pero, de hecho, permanece en reposo ¿Cuáles la relación que existe entre 4r y 4,?

La fuerza neta que siente ulra carga es¡Á dada por

F: iF,

donde Fi es la fuerza entre dos cargas punluales' que está dada por

F=k- i r

Para calcular la luerza Fr que siente q3 debido a 4r (que

se supuso positiva), se tiene de la frgura B

,=u v i= iEn este caso el ve€tor unitario se dirige hacia 4rSustituyendo valores

F:r4+i : t14i\¿a) '

Para calcular la fuerza F, que sienle qr debido a q?' (que

se consideró negaliva), se liene de la figura C

r=rt Y i= i

El ve€tor unitario ¡ hmbién se dirige hacia 43sustituyendo valores

at ).t 1 .-F,= k- ; i i= k

d- l

sumando las tuerzas e igualándola a cero' se tiene

F:Fr+tr ,= k#1-k 941

F=-k

! ! . - "7 ' t t "

l-as magnitudes de las cargas eslan relacionadas por.¡,

' , =q7

-4t= 1tz

Cabe indic¡r que son de signos corlrarios

P*

4¡ 4z q3

Fl9uroA

+d+ts- d+

FiqurqB

+d- -)

a;\- --r¡"q, i Fz4

+ r= d

FiguroC

#(? "1; :"

Cap. | fucrzo.Ladco y coñpo eléctlao

| 9 oe acuer¿o con t* r€glas del tra¿ado de lfneás del campo eléctrico, dibuja las líneas delcanrpo eléctrico qu€ se forman entre dos cargas puntuales de 8 ,rC y -16 f.C en un pla¡o

E

P*

que pasa por amb¿s ca¡g¡s puntuales.

P* zo

ffi

Un disco cargado positivamente tiene una carga por unid¿d área .' Trace las llneas decampo €l&trico sobr€ el plano del disco.

P* zt

mUna bafla (con ca¡g¡ negativa) de longitud infrita ti€ne una carga uniforme por unidadde longitud. Dbuje las fneas de campo eléctrico en un pla¡o que conte¡ga a la ba¡r¿.

P*zz

ruCuatm cá¡g¡s f¡¡ntuales igualcs cstán en las esquinas de un cuad¡ado. Tr¿ce lás línea¡ decampo eléctrico en el plano del cuadndo fuera del mismo.

r Eleclrlddod y mogn€llsmo

SEZreñ[ \ / ] t\ \Ai- l /

P#ZJ l,a figura muestra las lJneas de campo elécEico de dos

cargas puntuáles que están s€pamdas por una distanciapequeña.a) DelEú iúe Ia razót qtlq2.b) ¿Cuáles son los signos de 4r y q,?

24 U. pr"oo. *¡"ri-en1a una fi¡erza eléctrica de3.0 x 10 !7 i N, en ciefo punto P del espacio. Encuen-tte el valor del campo electrico er este punto.

q=l .6xlO "C,¡ : : .Ox tO t t iN

Bl campo eléctrico en una región del espacio está dado por

_Fq

sustituyendo valores

¡xto" it= _--_r .u. l0 rq

E : 18?.s¡N/c

P*

E#¿t La fuerza electrica que actrla sobre una carga puntual de -1.6 /rC en algún punro es

6.9 X lo-a N en la dirección del eje y positivo. ¿Cuál es el valo¡ del campo etéctrico en

Fuerzo eléctdcd y cqmpo el¡áclrlco

P*26 ¿coát ""

ta nugnitud y ta dirección del campo €léctricoque compensa el Peso de:a) un electónb) de un protón?

"l rl l

I

II

, i Del dia$ama de cuerpo libre, se tiene

F+W=0

Por otro lado, el campo eléctrico está dado por

(r)

.Fq

Despejando f, se tieüe

F=sE

Y el peso de una partícula esiá dado por

w- -s i

Sustituyendo la fuer¿a eléctrica y el peso en Ia ecuación (l), se tiene

qn-mgf=O

Despejando E

n= ryi e,q

a)q: l .6x l0 ' 'qc,¡ ,=9.1 x l0 3rkg,a:9 81 r /sz.Sustituyendo v¡lores en la ecuación (2)

t9. l >( l0 ¡r)(9.81r,E= _lóxlbl- j

E: s.58 x 10 t iN/C

br4- ¡ .6 10- iC.mo- l .ó? Y l0 r 'K8.8-q.81 m/r:Susdruyendo valores en la ecuación 12)

(1.67 x l0 ,?) (9.81)^E= -rr x lofl i

n : Loz¿ x to-T N¡c

P* zz Un cuerpo que tiene una carg¿ neta de 52 /,C se coloca en un campo eléctrico uniforme

de 980 N/C. el campo esrá dirigido veficalme¡te hacia aniba ¿Cuál es la masa del cuer

po si consideramos que está flolando eD el campo eléctrico?

roüclo{

'lf 28 u* ".r-"

*" *rga ele.trica, sosterida por un hilo, seencuentra en un campo eléctrico veúical cuando elcampo se dirige hácia arriba, la tensión en el hilo es de0.027 N. Cuando cl campo se dirige hacia abajo la ten-sión es cero. Encuentre la masa rle la esfe¡a

T = 0.027 N

En la figura B se presema el diagrama de cuerpo librepara primer ca'o. ¡a que ha) equilibrio. 'e riene

T:F+W

donde F - ,1, f ) w d8. sus( i lu lendo .e l iene

T:qE+ng

En la figura C se presenta el diagrama de cueryo librepa-ra el segundo caso, también en cquilibrio, se tiene

F:W

donde t 4f ) W - d8. su'uruyendo se lienc

qE-nB

sustituyendo en la expresión de la tensión ?. se tiene

T:m8+m8-2mg

despejando lá rnasa. se ti€ne

F¡guroa

T

I ' 'on,". .

I -i*i"

fl, -,Fiquro B

l' , **"A *ftil*\ ./ lB)

IIFiquroC

suslituyendo valores

m = 1.376I

0.02'7"' 2(9.81)

fucr¿o alá.üLo y aÁmpo €léckko

P*29 un"

"rrgu p*tu"t de -1.5 íC s€ localiza €n él eje y en y = 3 m. Dctefmine el campo

eléctricoe) sobre el eje de las x en t = 2.4 ñb) sobre el eje y en ) = -15 mc) en ün punto con coordedadas ¡ = 2 m, y = 2 m.

P* so

:{roDetemine €l cenpo €léctrico debiilit a la3 dos cargasque s€ ven en la ñ8rlr¿ A en el punto medio d€ ellas.

qt = -5.6 t l0-óc,4, = 8.? x l0-ó C

El campo eléctrico nelo en u¡ Pu o P debido a \ariasc¿¡gas puntüalcs, está d¡do por

E:Ir ,

donde E¡ es €l campo eléctrico debido a la c6¡ga q, en elpü*o P, y éste está dado por

F__ ¡l m __-_________rt

H.-6,atc ai |lC

FgurqA

l--2 m+1+2 m--i

Hgutq B

F-- 4 m -=-i

4trq2

n=*4¡

Electricidod y moEne rno

Para cr lculár el .ámpo ctecln, o E d.bidoaqr. \econsi_oera que et \ecror un¡tano i \e d¡r ige hacia et punro p.

- : -como se rlust¡a en ta figura c, es dccir:

-

¡=lm ] r=¡

sustiluyendo valores

- q l0 ' ( 5b. l0 bl .

"= -

¡ - 'Er = 12600¡ N/C

Como ,e ob5e'ra E ,e di¡ ice hária ¿ .Para catcutar et ("mpo etecJico a. deuido a.i.. ,e con,i ..- '- -

7,.,oera ¡uevamenle que et vector unitario sc dirige hacia el i dpunlo P.

/=rm ) r_ i

sust¡tuyendo valores

E, : -19575i N/c

t , :e. 16"!J.{1¡- i ¡

Como se observa. E, sate de q, hacia el pun¡o p. SurDando Er y E,, se tie¡eE=E, +Er =1-rzoooi l+1 tes:s i1

E = 32175'iN/C

Flguro C

Figuro0

,"tE¿g

J I ar Calcüle et cumF, etécrr ico en el punro j I m. debi¡1., a do, cdrg¿, pun¡uate. de iguál¡¡agnitud 8.3 ¡¿C que están locatiz¿das en el eje y e¡ -y = 0.2 m y en ¡ = _0.2 mlb) Deler¡nine Ia fuerza sobre otra lercera cdrsa de _s.i ¡,c, *r.*a" í1," .i.¡. . *r = 1.1¡ m.

soruoór{

Cqp. I Fuerzo eléclr¡co y compo eléclricd

32 Un dipolo eléctnco está formado por dos c¿rgas de igualmagnitud pero de signo contrario. separ¿das por una dis-lancia 2a. Detennine el canpo eléctrico en el punto P dc-bido al dipolo eléctrico ¡nostrado en la figura A.

El campo eléctrico nelo en un punto P deb;do a vánascargas puntuales está dado por

E:: E,

donde E, es el carnpo eléctrico debido a la carga 4¡ en elpu o P, y éste está dado por

E:t+r

Para calcularel campo eléctrico Er debido a qr : 4, de la

figur¿ C se ticne

r=Vi ' :+() a) 'z

y el vector uflitano apunta hacia el punlo P, por lo tanto

su valor en función de los datos es

:_ . : .V¡¡ + (y a)'?

sustituyendo las o(presiones. se tiene

E

.P#

Flguro B

".=(¡#¡'i..+#+ri)N/cPara calcular el carnpo eléctrico E, debido a 4? = q, Ide la fisurr D 'e riene X:--:

' : \ '7+ L, +,¡

esle nuevo vector unitario támbién se dinge hacia el pun-

to P, por lo que su valor en función de los datos es:

;L¡ l - - -g i' V, -1" - ;

ú t d,- '

' r ¡ . rrrulendo la ' e\p'e. ione.. .e l iene

-4 , r i ) 'd : \' - , . , i ,_r¡r¡- V(.t' + 0/ + ¿1':)r \ vr + (! + d)'

FiguroA

FiguroC

FiguroD

r Electrl€ldod y moqnelismo

u=(-""".&;¡¡"1sunando los campos eléciricos, se tiene

ffi-;¡*,.E=8, +8,: c;{ f i ; . ,of f _$* i -

E=

, kq, : Át( , I d) i r

l ' , , -u ' r* ' , t ' Lr , r . ' i r /

L \ i *1.i + ¡r a.¡:.¡r/: (1') + U + d)'?)r/¡ /

| -a ) j N/c(t + () ¿tf2 ( , f+Cv+d),)r ,

*. (

_,(

P* sz

soLUcl&¡

i;Cuát es la magniNd y dirección del campo eléctrico enel centro del rectánguio mostrado en la figura? Supónga-se que./ = 7.8 r,C, L = 27 cm Y tt : 19 cm.

F* e¿

30rücrÓN

Tres cargas puntuales idénticas. q. se localizan a lo largode una circunferencia de radio / a ánsulos de 30', 150'y270' como se muestra en la figura A. ¿Cuál es el carnpoeléct¡ico resultante en el centro del círculo?

El campo eléctrico neto en el ce¡tro del clrcülo (punlo P)que se genera debido a varia-r ciJg¿s punlüales. esüi dado

E=Ig,

donde Ei es el campo eléctrico debido a 1a carga 4i en elpunto P, y éste está dado por

H'-\

-,.'Á2)O.

A, = r!;

FiguroA

Fuerzo eléctrlco y aompo eléctrico

Para calcular el campo eléctrico Er, debido a la carga qr'

determinamos primero el vector unilmio, el cual apu¡tahacia et centro de la circunferencia (figura C).

i = ms:o"i - sen:o"i = o.s66i - osj

sustituyendo v¿lores

E =r4(o.8o6i -0.5i)

Para calcular el campo eléctrico Er, debido a la carga qr'

determinamos otlo nuevo vector unitario que apunta tam_bién hacia el cenrro de la circunfefencia (ñgura D)'

i 'co'lo' i - 'en¡o* - oseoi osj

sustituyendo valores

E"=k1r-0.866i -o5i)

Para calcular el campo e]éctico q, debido a la carga '1r'

de la figula E se tiene

r :J

sustituyendo Yalores

E.: k+i

Para obtener el campo eléctnco neto, tc suman los

E = El + Ez + Er = rÉ (o.B66i o.sj)

E= + l+ (-0.866i - 0 5j) + k , i

E Á q,0.86ói- 0.s j -0.8oói-05¡ - j '

E=0

flquro C

Á- .15g., --'1

210'

FlguraB

30'

pi l j 5) Dos cargas puntuales 4 esrán en las esquinas de ta base

de un triángulo cquilárero de lado d como se muesra enla ñgura. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campoeléctrico en el punro P debido a las dos cargas que estánen la base del triingulo?

soluct0r{

ttiÍ 5t]

soLrroéra

Dos cargas están en las esquinas de un fj¿ngulo isósce_les co¡no en la figura A. Calculc 1¿ intensidad del campoeléctrico en el punto P.

41 = 4 x l0 6C,S, = 5 x l0 6C

tl t¿mpo elechco neto en un punto p debjdo r v]na,cargas punruales, es¡á dado por

":)" 'donde E es el campo eléctrico debido ¡ la carga qi en elpunto P, y ésre esrá dado pol

4pc

FlguroA

E=r+i

En esta sotución en particul¿r consideraremos que los vectores unit¡Iios coi¡ciden con t¿dirccción y el senlido del campo eléclrico, y que en el punto p se encuentra una carsa de

Cop.l Fuer¿c etéclri(o y compo eléctrlao E

P¿ra el campo elécldco Er debido ¿ ./1. se tiene de la fi-gura C que la dislancia entre 4r y el punto P se obliene

t06

despejando r, se tiene

r - 2(0.6)cos 70' : 0.41 m

el vector unit¡rio coincide con Er, por lo taDto:

susti$yendo valores

4 X 10 b-E -o lo ' - - i

(u 4l l '

E, : 2l,l158.2,1i N/C

Para dererminar el campo eléctrico E, debido a 4,. se tiene que cono€r la distancia e¡lte qrY e\ punto P. d. l. fi_

gura D se tiene:

r=0.6n

el vec|or unilario coincide con Er. por 10 tanto:

i co' ro'i - 'en 70'j - u ia2i - 0 eaj

sustiluyendo valores

5 ^ rñ 6

E, q l0 ' - (0142i 0q4i ,' (u.or

E,: 12?5út - 1l7s00j N/c

Para calcular el campo eléctrico neto' se sum¡¡ vecto-rialme¡te las intensidades de campo elécrrico (Figura E)

E - E, E-- 2 l ¡15R.24i | ,4.2?50i - l l7s00i ' N/c

E : (256908.24i 11750oi) N/c

FlguroB

FisuroD

ol*,r2*i

FiguroE

p., --fr J / CuaÚo cargas e,r¡in en ta, e\quina. de un , uudrado com,,

se ilustra en la ñgurá.a) Determine la magnitud y la dj¡rcción del c¿mpo eléc

trico en l¿ posició¡ de la carga e.b) ¿Cuál es la fuerza eléc.rica sobre esla carga?

p'# 3B Una carga de 16 ¡¡C esrá colo€ada en el ejc.n en

¡r = 5.0 m y ot|a carg¿ de 8 pC está colocada a tolargo del eje ¡ e¡r, = 3.0 m (FiguraA) ¿En qué puntoa 10 largo del eje,r el c¿mpo elécrrico es cero?

qt= 16 x 10 6C,rr : -5.0In,q, = 8 X 10 6C.¡ ,=3.0m

El punlo donde podría ser cero et campo etéctrico es a taderech¿ de la c¿rga de 8 pC, pues si esrá entre las cargas,los cünpos es¡án en la misma dire.ción y no se ¿nula-ian, y si esluviera a la izquierda de la cárga de ,16 pCla magnitud de esta carga seía mayo¡ quc la olra y loscampos eléctricos no se eliminarí¡n.

16 pC apca)-- tA_-YfY

-5,0 m 3.0 m

Figuro ^

FlguroB

Co.l Fuer2o eléctrlco y cotñpo elédrlco

El campo eléclrico neto en un punio P debido a va¡ias caryas puntuales. está d¿do por

E=tE.

donde E¡ es el campo eléctrico debido a la carga qt eo el pwtto P, y está dado por

E=k+i

Pa¡a el campo eléctrico Er debido a qr, se tiene

- ( -5.0)=¡+s

el vector unitano en esla ocasión tendrá la misma dire€- ql i. pción y sentido que trr (figura C), por lo que: ffi

¡r: i F - 4 -----------l

susdnryendo valores, considerando en qr su valor ¿bsolu- Flguro c

16x10-ó ^ l44x 103^ NEr -q lo '

t r -s l - i=- r , -s, ic

Para el campo eléclrico 82 debido a q . se üene

. ,=¡_-t ,= j 3

el !eclor uni tar io coincide con la di 'ección

'

senudode E] rfigura D,. por lo q*

; ^ r"

ru=i

sustiiuyendo valo¡es figuro D

8 106. 12^tAE'-C/ |D ------- - - - : - , i ' - - : - i ¡

' (.r Jl' tr rr'

Sunando los campo\. igualando a cero y de\pejando.r.

'e riene ¿í l, E' E¡

r44, lo. 12'ro ' . Figuro EE-E E.-- - i - - - - - - - - - - - : , ¡

' (r . 5t (.r J)'

Puesro que E debe ser igual a cero en P se iiene

E=?rx,o. f6;r . o1¡) l=.

'= a: t+ oio-o

EI

2(r -3) 'z: (x.+ 5Y2(* 6r+9): i+ l0r+25Lf I2r+ 18: l+ 10¡+25

*-2bt- '7=0

como es ür¡a ecuación de 2' grado, el valor de .' se obtiene de:

22 ! \/ l- 221 - 4(l\ ( -1')2(r)

\ = -0.314 m, \ = 22.314 n1

Como 11 está ¿ la izquierda de 4r no se toma en considemción, por 10 que el punto dondeel campo eléctdco es cero es:

' = 22.314 m

P*J9 Dos cargas puntuales de 3.9 /¡C y l 5 /¿c e\uin reparada por una distanc ia de 4 m En-

cuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las cargas) donde el campo eléctrico

Cop. | [ueEo eléctrlco y compo eléctrlco E

F 66,9 cm -

Flquro A

F d -1. d I. t:::=Fat

Figuro B

&40 Una barra de 24 cm de lonsitud está carsada unifonne-mente con una carga total de 80.7 pC. Detemine la mag-nitud del campo eléctrico sobre el eje de la barra a 66.9cm del certro de la barra (Figura A).

¿:0.24ñ, Q: a0.7 x l0 óC,d:0.ó69n

La magnitud de la intensidad del campo eléctrico debidoa una baÍa cargada en ün punto que está situado a un la-do de la bar¡a (ñgura B), esá dado por

Ejé

k8. l+d)

Como d es la distancia del centro de la bar¡a al Dunto donde se desea calcular el camDoeléctrico. d es isual a

: 0.669 : 0.549 no.24

2

ta

sustituyendo valores

(9 . 10)(807 . I0 1(0.549) (0.24 + 0.549)

E : 1.68 x l0ó N/C

p"e4 I Una linea continua de carsa se encuentra a lo largo del eje x extendiéndose desde.r : ^"

hasta el infinito negativo. La línea posee una densidad de carga un;fome ¡. ¿Cuál es elc¿mpo eléc¡rico cn el origen?

P*42 ur tt*u a.

"oga empieza en r = -¡o y se extiende

hasta el infinito negativo. Si la densidad lineal de cá¡ga

está dada por ^

= Il/¡, dete¡mine el campo eléctrico en

Flguro A

F¡gurq B

*=rffr=rY,

a=f t , ,wt l=,¿. l f $ :_^".i(_*)l,j

_ *.r¡ , i ¡ r 1¡ ' , -_*r¡ , i ¡ r ,n¡- 2 \ . t ' / l - . 2 \ .4 I

"=-ai

ü*ffiffi H campo eléctrico debido a una diferencial de carga, est'á dado Por

da"dE=k_:r

Considerando una dilerencial de carga dq ed la posición

¡. como se muestra en la frgr¡a B, se tiene

r=0 r= r

el vector unit¡¡io di¡igido hacia el origen

r=r

por otro lado la densidad de ca¡ga lineal' está clada por

d4'- dt

despejando d4. se ¡ene

dq-¡¿x-- í ú

sustituyendo en el campo eléctrico e integando, se obtiene

¡CoD. I Fu.|zo elédco y oompo etéct l.o EE

43 Un -itto

cargaao unifomeFente de radro 20 cm tiene una carga total de 119.6 ¡¿C De-

termine el campo eléctrico sobrc el eje del anillo a uÍa distancia del centro de éste de:

a)1cmb) 13 cfnc) 14.14 cmd) 15 cine) 100 cm

P*

P*44 Demüestre que la magnitud máxima del campo eléctricot- a 10 largo del eje de lln anillo ca¡gado uniformementeocurre cuando r = a/V2 (véase figüa) y tiene un valo¡

deE=Ql6\/5;qó.

El c¿mpo eléctrico debido a un anillo cargado u¡ifome-mente a um distarcia r del centro del anillo, sobre el ejedel anilo, está dado por

o'_ ., (¿: + ,rr-Derivando con resp€cto a ¡, se tiene

dE

/ r \taz + ?tn _

\::)ta, + ittn 2r

LO --,=-+-._- (a. + f ) ,

E Eloctrk¡dod y nrcanetl3rno

Facto;zando e igualando a cero, se tiene

.. (¿, _ Fr '¿l¿r _ t ' _ l ,¿ltñ '^ l¿ (a '+"/

-u

n =o*u \" ,+f f

Despejando ¡, se tiene

v2Valuando la exFesión del campo eléctrico en ¡ = d/\¿, se tiene

- \/2

az-2. t :0

kQa

(.'.(+))- *(.,+)-=kQa_kQa:kQ=Q

a(1¿\'''\¿t

^o

,5(+)#, +. ^^(+)",

0? 45 Un ¿¡-.-gado uniformemente con 27 cm de radio tiene una densidad de carga de

27.8 X l0 5 C/m'?. Calcule el campo eléctico sobrc el eje del disco a una distáncia delcentro de éste de:a) rcmb)scmc) 10 crnd) 100 cm€) 300 cm

Cop. I Fueno eléctrlco y cdmpo eléctrlco

Sustituyendo

l-a expresión exacla para el cámpo eléctrico en un punto sobre el eje de un disco cargado

E-2raút. ' . . ' \ r t l\ l r l L( R\" I

Considere un disco de radio R = 3 cm, que liene una carga unifomemenle dislribuida de+5.2 pC.a) Uliliza¡do la ecu¡ción (1), calcule el carnpo eléctrico en un punlo sobrc su eje y a

0.3 mm de su cenlro. Comp¡re esla respuesta con ta del campo calcülado con la ¿proxim¿ción realiz¡da p¡ra punlos cercanos dada por t : (r/2€o.

b) Utilizando la ecuación (l) c¡lcule el canpo eléctrico en un punto sobrc el eje a 30 cmdel centro del disco. Compáre este resullado con el del campo eléctrico oblenido al tra-lar el disco como una carga puntual de +5.2 ¡¿C a una disl¡ncia de 30 cm.

R : 0.03 m, 0 = 5.2 x 10 6 C,.r : 0.003 m

La magnitüd de la intensidad del campo eléctrico debido a un disco unifomemente car-gádo á una distancia ¡ desde su cenho, sobre su eje, eslá dado por

- . , t \ r \. , "_\ ; , ;= | ñ, , , , /

Por otro lado, la densidad de carga eslá dada por

_:o : o-AtRt

- ^ kQt \L:¿r--- ; - l . -* |r^ ' \ l r l \ r+K) ' t

^ 2kQlr r \R,\ . 1. t '+R,t ' , /

E

&46

s) :r : 0.003 m

La aproximación del valor de la intensidad del campo eléctrico. considerando que elpunto está cerca del cenlro del anillo. es

(2t

(3)2kQRz

0.0003

2(9 x l0) (5.2 x l0 )(0.03f

¿ = 1.03 x 103 N/C. E" : 1.04 x 103 N/C

( (0.00011 + (0.0311 /:

b)r=0.3m

I¡ magnitud de la intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntual es

E": k + ({)

Sustituyendo valorcs en las ecuaciones (2) y (4), considerando que r = r, se tiene

_ 2(9 x l0) (5.2 x 10 I / o.o3 o.o3 \' - ¡0Jl l \ OJX , ro¡ : ¡ ¡ O¡: , , ' " /

5.2 x 10-6r , :9x lo '

16:¡

t = 5.16 x 1Cr5 N/C, tp = 5.2 X 1S N/C

P*47 gt cünpoeléclrco a 10 largo del eje de un disco unifonnemente ca¡gado de mdio R y ca¡-

ga tot¡l o está dado port . . - \

r=2,¡ .1 -L- . x. . ¡- - ' - \ l ' l ( i2+nz¡n I

Demuestre que el campo eléctrico a una distancia r, grande compa¡ada con R, se aproxi-ma ¿l de una carga puntual O = dnR'z. (SuCsencia: primero demuestre que]r'('l + n1L2= (1 + R?¡) r2 usando la expansión binomial (1 + 6)' = I + ¿6 cuando 6 < l).

Cop. I Fuerzd eléc{r¡co y aompo eléclr¡co E

F*48 Considere un disco de radio R y densidad de carga c-Demuestre que Ia inGnsidad del campo eléci¡ico a lo lar-go del eje peryendicülár al disco y a una dislancia.r delcentro (¡ << R) se aproxima al de un pla¡o infi¡ito üdo

po.E-; .

La intensidad del campo eléctrico debido a un disco unl-fomemente cargado á una distancia i desde su cento,sobre su eje, está determinado Por

u:r*"( l - - ' \\ ' l

6"-Rl l*)

Considerando que x es positiva, se tiene

n:2,*o(t- . ' \

\ " ' *ot lo ' /

Como ¡ es aproxinadamente igual a cero, enlonces

a = 2¡kt (t 0)

recordando que ¡ se puede esc¡ibir como k : I / (4? €"). entonces

.2rú

&49 un anillo circular plano tiene un radio intemo a. un radioextemo ó y ura carga superficial unifome por unidad deá¡ea ¿¡, como se muestra en la figura. Determine el cam-po eléctrico sobre el eje del anillo a una distancia x, me-dida desde el ceniro del anillo.

@ Electrlcldod y ñogneti3rno

FlqurcA

F¡guroB

&so

tro del semicírculo.

SOLUCIO|I r 0.30 m. O - -lo.s to , c

Una barra cargada unifomemente de 30 cm se dobla pa-ra ibrmar un semiclrculo como se indica en la figura A.Si la barra tiene una carga dc 10.5 ¡rC, detemine lamagnitud y la dirección del carnpo eléctrico en O, el cen-

La intensidad del campo eléctrico debido a una diferen-cial de carga eslá dado por

¿E= I- i

el yector unitario de la ñgura B está dirigido hacia elcentro del semicírcülo

i= '.neí *,ej

el pelmetro de la semicircünferencia es

l-nr

dcspejando el radio, se tiene

(

Por otro lado, I¿ densidad de carga está detemi¡ada por

,_Q _dq"r^

despejando la difercncial de carga, se tiene

od't = =ds

I

pero dr : ¡'dd, surituye¡do en la expresión de ia diferenci¿l de carga. se tiene

odq: =rdg

t

sustituyendo el radio en tunción de r en la expresión de la diferencial de carga, se ¡iene

, Qt. . . Q.^aq

- at- ad

(1f

tuerzo eléctrico y compo eléclrlco

susti¡ryendo el vector unitario i, el radio / y l¡ diferencial de carga./4 en la expresió¡ de

la intensidad del campo electrico, se tiene

Qro

m..L-" . , t ,enoi cor pj ,47€- / ' r. \ ; l

o_a4d.. . .nei_*.aj ,

,o*,*"oi * .u j '

¿loE - . | (sen ddoi cos dddi)

4q,r ' 'o

oi ' ( ' " 'u l , , i t .nd I ' i )

.0.-L , . .o '180' co.0"r¡ ( 'enl80' 'en0'r i l4€ ( '

E= o..2¡: .a- , ¡" a€'lz -' 2e"r'1

sustituyendo valorcs10.5 x 10-ó

2(8.85 x 10 D) (0.30f

E = -6.59 10bi N/C

tr¿t5l Unapieza,Je5 g rrene una carga ne¡a de l5 lC) nouenelcenrro) cercadeunal¿-

min;de plástico horizontál muy gran¡le que tiene una densidad de carga üniforme sobre su

superficie. ¿Cuál es la c¡rga por unidad de área sobre la superficie en la lámina de plás-

lico?

g Ele.ldcidod y moqnoliño

Un electrón, üna partícula alfa y un prorón esrán en ¡eposo denro de ull campo clécrricoextemo de 460 N/C. Calcule la rapidez de cada pafícula después de 48 nanosegundos(considere que las tres pafículas fueron colocadas en el campo elécrrico en diferenteshempos para no considerar la fuerza elécrrica enlre ellas)

¿ = 460 N/C

La fuerza eléctrica que siente una parrícula dentro de uncampo eléclrico está dada por

F:qE

Y como ésta es la única fuerza que acnia sobre ,as p{u-cul¿s, aplicando la ley de Newton, se riene

qL-n-

Despejando I¿ magnitud dc la aceleración

u- qE

Por otro iado, la magni.ud de la aceleración en iunción del tiernpo cuando u. : 0 es

Suslituyendo la nagnitud d€ la aceleración en fünción de t en la expresión ¡te ta magni-tud d€ Ia velocidad o rapidez, se liene

, : 4,

Sust i tuycndo valores para el elect¡ón, m:9.1 x10-31kg,q=l.6x10 BC

(1.6 x 10 L) (4ó0)

' " : 9 lx1031 (48x10'y)n/s

Y" : 3.88 X 106 rn/s

Sustituyendo valores para Ia partícula alf¿ n = 4 x 1.67 x 10,7kg = 6.68 x 10 2? kg,q=2x 1.6x l0 r 'C=3.2x10 rrc

(3.2 x l0 ') (460)% =

6;t *l (48 x 10 '!) nl/s

r; : 1.06 x l0r r/s

Sustituycndo valorcs pa¡a el protón "¡

: 1.67 t< 10 11k8, ¿¿ = 1.6 x 10 i, C

52

srurctóll

p*#

rp : 2.12 x 10r m/s

(16 . 10 rql i :160)

' ¡ =

ló7 . t0 i? r48 lo ' r m/s

igualatrdo las d(x expresiones d€ la ac€leración y despeja¡do el campo eléctrico, s€ tiene

(vj v, : qE

tv|- v4nE= ' '

zrc

_ ((3 x 1CÉX - 01(9.1 x 10 3)

"= ,(olotxlóx 1ü"')E: 255.94 N/C

b) .r : 0.00,1 n

desp€jando la velocidad fi¡al de la expresión del campo eléctrico en función de las ve-locidades, se tiene

sustituyendo valores

susltuyendo valores

Yt=

t¡ = 6.0 X 105 m/s

2(0.004)(1.ó x 10-p)(2ss.94)9.1 x10!

zrqE .

P*55 Un

"t""oOn *o ona energía cinética de 127.ó X 10-,7 J entra a una región donde exisre

un campo eléc.rico. ¿Cuál es la dir€cción y la magnitud det campo eléatrico que puedef¡enar este electrón en una distancia de I m?

Cop. I Füer¿q eléctrlco y compo eléclrico

JO Un¿ farn ul¿ ¿l f ¡ \e mueve con una le locidad Inic ia l de 5.0 ld m/( . 'e lán/a par¡ lclamente a un campo eléclrico uniforme de magnitud 5.3 x 10r N/C. La p¿flcula sc lanzde tal forma que se retird¡ su movimient¡r.s) Calcule la aceleración de I¡ pánícula alfa.b) Delermine el ticmpo que loma la partícula alfa al legar al reposo después de enrr¡r al

c) ¿Qué distancia reconc la paúcula alfa antes de llegar al rcposo?

y,- 5.0x lO5 m,/s, ¿ = 5.3 x l0rN/C,q:2(1.6 x 10 D) : 3.2 x 10 DC.

m: 4(.t.6',7 x 10 ,1 : 6.68 x l0 '? kg

t) Sabernos que I¿ m¡gnitud de l¡ aceleración en fun-ción del c¿mpo eléctrico esLí dada por

qE

suslituyendo valores

(3.2 x l0 D) (5.3 x 10)

Epu

l?

- ó.68 x 10 z7

r¡ - 2.54 X 10rr m-/sz (su sentido es contrario al de E)

b) La magnitud de la velocidad final eslá detem;n¿da por

! : |o-at

como la pafícula alfa se deten&á, la velocidad final es cero. entonces

o-t . at

despcj¿ndo el tiempo, se tiene

sustitüyendo valores

5 x 105' 2.54 X l0r l

¡ = 1.97 ps

c) La accleración está determinada por

26 = t'i v,i

despejando el desplazamiento y considerando que ta velocidad ñna1 es cero, se tiene

'-*

E Eleclricidqd y moqn€llsño

sustituyendo valores

(5.0 x 10)z*= 212.s, ' ¡ ¡" ,

r : 492.1 mm (el signo menos indica que el desplazamiento es conrrá¡io al sentidode E)

,!tre

7f 5 7 Un protOn ti.n. una velocidad inicial de 6.56 x I 05 nrls en la direrción verticat h¿cia arri-ba. En¡ra en un campo elécaico de 13.13 x l0r N/C dirigido horizontalmenle. Ignorecualquier efecto gravitacional y derermine:a) el tiernpo que le toma al protón reconer l0 cm vericalmenteb) el despl¿zamiento ho¡izo¡l¡l del prorón después de reconer l0 cm en foÍna veficalc) las cornponentes vertical y horizontal de la velocidad dei prorón después de recorer

10 ün en fornü verical.

tt )( l Una pu nrcula rrene rurga po5iLrvd v. nr¿sa m ) una reto-cidad inicial vo, la velocidad inicial forma un ángulo 0sobre la horizontal. La pafícula enlra a un campo eléc-trico uniforme E dirigido veriicalmenr€ haci¿ abajo. co-mo se úuestra en la figura. Despreciando Ia gravedad.

a) el lienpo que le lorna a la partí€ula regres¡r ¿ la mis-ma altura del punro donde entró al campo eléctrico

b) la altura máxima alcanzada por la parrícul¡c) su desplazamiento horizontal cuando alcanza su al¡ura mríximad) el atcance ho¡izontal de la pafícula al regesar a la misma alrura det pun¡o donde en-

tró al carnpo eléclrico.

fuc|zq elácblcd y coñpo €léclrlao

Soiffi 1. La velocidad inicial de la partícula está dada por

v" = v, , i + v, ' ¡ =, ,cosa¡ + Y,sendj

2. La magritud de la aceleración de la p¡rdculs debido al campo eléctrico, ya que tienela mism¿ dirtcción y\enti¿lo. está defnida por

AE

J. La magnitud del desplazamiento verlcal, considerandoque la parrcula enua i campoeléctrico en l = 0, está dado por

l^y: rqt _

tx

¡) Pam detemina¡ el tiempo que t¿rda la pa¡tlcula en regesar se iguala a cero el despla-zamiento y despejando el tiempo, se tiene

l^O-vqr- l t

, | \4v" ' - ;at l= o

It=0, v" , - -2at =0

I,',:

2'",2r^

sustituyendo la componente vertical de la velocidad y 1¡ ac€leración en el ti€mpo, se tiene

-- 2v,sen0

;

ento¡ces el tiempo tr que le toma a la partlcu¡a r€gesar a la misma alrura es

2mv.seÍeqE

b) El ti€mpo r,{ para alcanzar la altura nráxiEa es la mitad del ti€mPo t", es decir

| 2m,.sella _ mv;seú2cEqE

t,"42

f Ebctricidodv mognetisño

surtilüyendo el tiempo ¡¡. la componenle vertical de la velocidad v la aceleració¡ en el

desplazarniento vellical, se tiene

i "r f .send

\ r / ¡ ¡ i /¿ l *"¡¡ \ :) lu \enol l - - - | . I l l , - |\ s¿ | , \m)\ qL )

,¡, sen)o f ce )/r-'*

o¡q" . \n l \ q-E- I

- ' ; 'enrd l / - ' : *" 'á\. .

qL : \ , l t - l

entonces la altura máxima 1",¡, cs

r / ."i*"'s \)mr\ : ; l

' I. \

c) E1 despl¿zamiento horizontal, erá dado por

j r :L:r¡

sustituyendo el liempo ¡r y la componente horizontal de la velolidad en el desplaza

miento horizontal, se tiene

' : , ' , . * r ' f aga)\Y- l

entonces el desplazamiento horizontal cuando se alcanza la altum márdna es

r n':send cosd

qE

d) El desplizamienlo horizontalrm¡ en el instante que la pafícula regresa a su altura inicial, es el doble del despl¿zámiento del inciso c), es decir

2,¡ r ;senácosdr^^=

SE

usando la identidad tdgonornétrica sen 2d : 2 ser 0 cos P, el desplazamienro horizon-1al o alca¡ce máximo cs

, m)"sen2 0

qE

Cdp. I Fuerzo eléalrlca y coñpo elé€lrlco

soruclÓN

rc¡E.? 59 u" a*n¿"

'e lanza con un ánsulo de 60' sobre la ho.izonlal con una ¡apidez i¡ici¡] de

?.1 x t(' r/s, en una región con un campo eléctdco E = 500i N/C. Desprccie l¡ grale-

a) el tiempo que le toma al electrón regresar a su ¡tllüra inicialb) la máxima ahura alcanzada por el etectrónc) su desplazamie¡to horizonlal cuando alcanza Ia altura máxima-

r¿!$lüBlbl loteca

l iooSe lanzan Fotones con üna velocidad inicial i', = 9.55 x10r m./s denro de una región donde el campo eléctricouniforme presente es E = ?20i N/C, como se nuestmen la figura. Los prolones choc¿n en un blanco que se ercuenta a una distancia horizont¿l de 1.27 mm del puntodonde se lanzan los protones. Detemine:a) los dos ángulos , de lanzamjento con que se dará cn

b) el tiempo total de ruelo par¡ cada una de estas tayec-

m = 1.6 '7 / . l0 'kg.q=1.6x^10 uC.

r,, = 9.55 x 103 r/s, E = 720j N/C. i : 1.27 mrn

a) La magnitud del desplazamienlo horizontal máximo, es

mr1.. .en 20

FiguroA

g

despejando 2d, se tiene

2d = s€n

202: t8ú '73.86"

etrtonces los dos valo¡es de d son

et : 36.93', 0t = 5J.07"

b) El tiempo de welo está dado por

2mv"*n:0qr:

susrituyendo valore¡. coo 0r - ló.91'

2(1.ó7 x 10-'X9.55 x ld) ser

sustituyendo valores

^^ - l t l .27, l0-rnló\ lo-rox7m)\' " '

: *" \ , ló? \ I0" 'xr '5s, r0, t /

2q = 73.a6"

. -

.n, l¡ecÍirEqlyfi¡gr.t$¡o

Hgurc B

sen2e. x4E

ryv3

- ,1,q6\| -----i I

De la figura B para la fución seno, el otro valor de 2 á2 para el cual seno tenga el mismo va-

36.93'

¡ = 166.36 ns

sustituyendo valores, con d? : 53.07'

2(1.61 x l0-' )(9.55 x lff) sen 53.07'

(1.ó x 10-trx720)

(1.6 x 10-DX720)

Cop. I fuerzoeléctricdycompoeléct.ico

I APLTCACTONES

E

Lofoloaop¡odoro

Hasta nediados ¡lel liglo xx, hacer la copi¿ de un docurnenro o dibujo cra üna tarea laboriosa y, en oc¡siones, difícil. Un mérodo era tonarle xna f¡fografía (cuyo recio era fnuyelevádo): otro método era "picar" un esténcil para sac¡r copias enlint¡das con un apararollamado mineógr¿fo que rodavía sc usa por ser barato. Actuatmenle, para obrener un¡ omás copias de uD documenro se puede enplear idl¿,tocopiartoro.

Las fotocopi¿doras modemas ¡o usan tint3 líquida y funcionan aprcvechando la ¿¿¿.tricitld¿ estática. P\eden sacar lnás de 135 copias por ninuto y hacen ¡mplificacionr\ yreduccioncs del original.

Las copi¡doras eleclrostáticrs ¡ctuales son descendienres de u mÍquina inventad¡en Nueva York cn 1938 por el lisico cstadounidense Chcsrer Carlson, qLrjc¡ ttamó a eslrproceso xerogr¿fía (nombre griego quc signiñca escri¡L¡ra en seco).

¿Cómo func¡onon los fotocopiodoros?

Una luz fluorescente o de halógeno iluminaeloriginal. quees analizado porün espejoqucse desplaz¡ en v¿ivén. por debajo, y qüe proyecta la imagen en un rodillo principal recu-bierto de m¡rerial fotoconducror. Erc mnrerial conduce I.r electricidad cuando los raroslunlno.o, in( iJen drrectamenre en {1. T, ,mhien.e cuent.r . ! ,n un si . rem:r úfr i !o intemo.constiluido porespcjos y lentes. que permile modificar el tnm¡tño de la imaaen. L¿ mavo

FOTOCOPIADORA

Carga positiváOris inal

't) 2)E rodilo de acopadora Lásparéd6nég6sders.arc¿ cón electic dad la imágen no bféjan6látcaalg¡ftrfienbá uz, por lo que la @rgaunsnsb zador de á[o póstvápe¡man€e

3) 4lL.s p¿nes ebddrádás E pape corc por el

mdilloyeinpregnád6adhié€a¿ ásy róngl qué d6pu6 srcprcd0cá ás zóras tunde on ¿l€ ornesras del or g ná . de ono ¡odil o

Flguro A Prcceso p¡r¡ obLe.er lna copia en un¿ ftfocopiadon.

rla de las fotocopiadoras tienen un rcdillo principal. El rodillo lleva carg¿s positivas (elec-

tncidad estátic¡) al principio, y tiene un recubrinienlo espe€ial de silicio' que conduce la

elcctricidad cu¿ndo la luz incide en é1. He aquí el truco: las panes blancas del original rc

flejan la luz en el rodillo y hacen que lacargaelécrica se elimine de esos lugares' Las par-

lcs negras no rcflejan la luz, y ]a carga cléctrica permanece en el ¡ecubriniento Después

se pasa el rodillo por una cap:t fina de tóner El tóncr es un polvo fino (generalmente ne

gro) que va adherido a pequeñísinas bolitas de plástico cargadas negativ¿mente: es l¡r

"tinla'de la copia¡tora. Dich¡s bolitas de plástico quedan adheridas a las pafcs del mdi

llo que tienen carga, junto con el tóner' Despu6 se hace pasar el papel por el rodilo El

tórer se adhiere al papel. Por último. el papel se hacc pasar por un rodillo calicnte' que se

encarga de denetir el tóner, log¡ando que éste se adhiera al papel y la copia no se borre'

Por eso las copias salen "calientes" de la copiadora (fisura A).En las copiadoras de color. ta imagen se analiza tres veces v se expone en el rodillo

a través de tres filtros (rojo, azul y vcrde). mismos que la dividen según los colores l-os

colores se reproducen en el papel por medio de un tóner de los siguientes colores: magen

1a, azul y amarillo. adenás del negm