visualización con mathematica

Abril 2003 • 2003ko Apirila 55

Visualización con Mathematica

VISUALIZACIÓN CON MATHEMATICA

Fernando Castañeda (*)

1. INTRODUCCIÓN

Un buen amigo me ha hecho ver en numerosas ocasiones que cuando los periódicos dan noti-cias relativas a incendios de bosques la superficie quemada es tan grande como la provinciacompleta, a veces se quema el país entero. Seguro que usted, amable lector, también ha tenidoexperiencias parecidas. El año 2002 se ha producido un fenómeno similar al tener que utilizarlos periodistas el euro para dar las noticias relacionadas con los presupuestos. Las cantidadesque citaban eran en muchas ocasiones totalmente exageradas. Quienes así escriben sobre lasuperficie quemada en un incendio o hablan sobre el coste de una determinada carretera nose han parado un segundo a pensar lo que de verdad están diciendo.

Las matemáticas deben servir además de para torturar (falsa idea muy generalizada) a los estu-diantes, para enseñar y aprender a ser críticos con nuestros propios comentarios: el área deuna figura plana no puede ser negativa, una cúbica no tiene puntos picudos, ... En las siguien-tes líneas, usando fundamentalmente la visualización trataré de indicar como pueden intentarobviarse algunos problemas como los señalados cuando se considera el problema de la repre-sentación gráfica de funciones. Para ello haré uso de una herramienta muy interesante que yaes conocida por los profesores y está disponible en los centros de enseñanza como es el pro-grama Mathematica. El interés que estas ideas pudieran tener se pone de manifiesto con todaseguridad de forma mucho más clara en un laboratorio de informática-matemática viviendo loque aquí, en las siguientes lineas, sólo se puede escribir.

2. FUNCIONES ELEMENTALES

En primer lugar se deben presentar las gráficas de las funciones elementales a partir de las cua-les se irán construyendo mediante distintas manipulaciones todas las que pueden aparecer eneste nivel.

2.1. Funciones polinómicas

Son funciones definidas por f (x) = an x n + an-1 x n -1 + · · · + a1 x + a0 , an Þ 0 siendo todos losak números reales. El grado del polinomio es n y el dominio de cualquier función polinómicaes todo R.

La gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta, por lo que para su repre-sentación bastará considerar dos puntos distintos y unirlos con cuidado (a veces se ven rec-tas torcidas). La de una función polinómica de segundo grado es una parábola y en conse-cuencia sus elementos determinantes son el eje de la parábola y el extremo (máximo omínimo). Una forma sencilla de dibujar parábolas puede ser la siguiente: para representar lagráfica de f (x) = x2 – 2x – 2 podemos escribir x2 – 2x – 2 = (x - 1)2 – 3, luego la parábola quebuscamos tiene eje de simetría x = 1, mira hacia arriba (coeficiente de x2 positivo), tiene unmínimo en el punto (1,-3) y, por lo tanto, es una de las que aparecen en la Figura 1.

(*) Profesor de la Universidad del País Vasco. Euskal Herriko Unibertsitatea.

Figura 1: Gráficas de varias parábolas

El valor de la función en cero, o en otro punto, determina finalmente cual de ellas es (Figura 2).

Figura 2: Gráfica de la parábola y = x 2 – 2x – 2

Lo que se ha hecho en este caso se puede hacer también para la representación de cualquierfunción polinómica de segundo grado.La representación gráfica de la función y = ax 2 + bx + c, a Þ 0, se puede obtener a partir dela gráfica de y = x 2, mediante las transformaciones siguientes:

Cualesquiera que sean los coeficientes a Þ 0, b y c, podemos escribir:

Por lo tanto, para llegar a la representación gráfica de la función ax 2 + bx + c, a partir de lade x 2, necesitamos hacer el siguiente tipo de transformaciones:

1: Pasar de x 2 a (x + a)2, para un número a positivo o negativo.2: Pasar de (x + a)2 a (x + a)2 + b, para un número b positivo o negativo.3: Pasar de (x + a)2 + b a g ((x + a)2 + b), para un número g positivo (g > 1 ó 0 < g < 1)

o negativo (g < –1 ó –1 < g < 0).

En el caso que hemos considerado, el polinomio x2 - 2x - 2 se puede escribir en la forma(x – 1)2 – 3, por lo que su representación gráfica (ver Figura 3) se obtiene a partir de la gráficade x 2, pasando por la de (x-1)2 (se traslada el dibujo una unidad hacia la derecha), para fina-lizar con la de (x-1)2 -3 (se traslada el dibujo tres unidades hacia abajo).

Figura 3: Gráficas de y = x 2, y = (x –1)2 e y = (x –1)2-3

SIGMA Nº 22 fi SIGMA zk. 2256

Fernando Castañeda

4

2

-2

-1 1 2 3

4

2

-2

-1 1 2 3

La gráfica de una cúbica, polinomio de tercer grado, es siempre como una de las que apare-cen en la Figura 4.

Figura 4: Gráficas de varias cúbicas

Por lo tanto, para hacer su representación bastará con localizar sus elementos esenciales que,a la vista de la Figura 4 son: el coeficiente de x 3 (determina si es como las dos primeras ocomo las dos últimas), los cortes con los ejes, los extremos: un máximo y un mínimo (si lostiene será como la primera o la cuarta; en otro caso como la segunda o la tercera), y el puntode inflexión.

Un ejercicio interesante puede ser estudiar los efectos que en la gráfica de una función poli-nómica, por ejemplo en una cúbica, produce el cambio de uno de sus coeficientes.

Figura 5: Gráficas de y = x 3 – (2 + a) x 2 – x + 2 para distintos valores de a

Para representar funciones polinómicas de grados superiores se pueden utilizar métodos similares.

2.2. Funciones racionales

Son el cociente de dos funciones polinómicas. La función racional más sencilla es la función1/x, es decir, la función de proporcionalidad inversa.

Figura 6: Gráfica de la función de proporcionalidad inversa

A partir de la gráfica anterior se puede obtener la gráfica de una función racional que sea elcociente de dos polinomios de primer grado, mediante transformaciones elementales de formamuy sencilla. La gráfica de la función



se obtiene a partir de la y = 1/x pasando por y = 1/(x + d/c) (es decir la asíntota vertical se des-plaza), luego multiplicando por la constante (b/a) – (d/c), después se le suma una unidad yfinalmente se multiplica por la constante a/c.

En el dibujo siguiente aparecen la gráfica de una función racional, cociente de dos polinomiosde primer grado obtenida de esta forma

Figura 7: Gráfica de una función racional

La representación de funciones racionales del tipo 1/(ax 2 + bx + c) se puede hacer, según seanlas raíces del denominador, sumando dos más sencillas. Si, por ejemplo, el denominador tienedos raíces reales a y b distintas, entonces

con lo que su gráfica se obtiene sumando las gráficas de y = 1/(x – a) e y = –1/(x – b), paraterminar multiplicando el resultado por la constante 1/(a(a – b)). La gráfica de la función

está obtenida utilizando este procedimiento. Las dos asíntotas, x = 1 y x = 2, son un datoimportante para la realización del dibujo.

Figura 8: Gráfica de una función racional con dos asíntotas verticales

SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. 58

Fernando Castañeda

También es posible la utilización de estos métodos para la representación de otras funcionesracionales.

En el caso general, los elementos esenciales en la representación gráfica de las funcionesracionales son: los cortes con los ejes, las asíntotas (verticales, horizontales e inclinadas), losextremos (crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión (concavidad).

2.3. Funciones radicales

Partimos de la más sencilla de todas, la función y = √x y dado que esta es la inversa dey = x 2, su gráfica es su simétrica con respecto a la recta y = x (ver Figura 9).

Figura 9: Gráfica de la función y = √x (junto con las de y = x 2 e y = x)

Se pueden considerar otras funciones radicales. Puesto que una función radical y = √g(x) es lacompuesta de las funciones y = √t y t = g(x), se puede obtener su gráfica a partir de las deéstas.

Para estas funciones radicales, resulta esencial determinar los conjuntos de puntos donde elradicando mantiene el signo positivo, para que la función esté definida. En el dibujo de laFigura 10 se ha utilizado este método para representar y = √p(x), con p(x) un polinomio desegundo grado, por lo que la función no está definida allí donde el polinomio p(x) es nega-tivo. En este caso, para todos los valores de x pertenecientes al intervalo (1, 2).

Figura 10: Gráfica de la función raíz cuadrada de un polinomio de grado dos

También se puede ir un poco más lejos en la utilización de estos métodos y plantear la repre-sentación de funciones radicales donde el radicando sea, por ejemplo, un polinomio de grado3 o superior, o incluso una función racional sencilla (cociente de dos polinomios de primergrado) u otras funciones elementales.



2

1

1 2 3

Otras funciones radicales de interés son las funciones y = n√ x, para n = 3, 4, 5, . . . . Para n

par estas funciones tienen como dominio la semirrecta positiva y para n impar toda la recta.

En el dibujo siguiente (Figura 11) se representa y = n√ x, para distintos valores de n y x ≥ 0,

junto con las funciones y = x n, para los mismos valores de n.

Figura 11: Diversas funciones potenciales y radicales

En este dibujo se observa, además de la simetría, que, para x = a fijo, los sucesivos valores den√ a son cada vez más grandes si 0 < a < 1 y se van aproximando a 1 cuando n crece indefi-nidamente; si 1 < a, son cada vez menores y también se acercan a 1.

Si tomamos dos gráficas distintas, es decir, n y m distintos con n < m, resulta que, si 0 < a < 1,entonces

n√ a < mn√ a, y si 1 < a, entonces

n√ a > mn√ a,.

2.4. Funciones trigonométricas

Son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente y sus inversas. Una característica esen-cial de estas funciones es la periodicidad. También son importantes las posibles simetrías. Enlos siguientes dibujos (Figuras 12 y 13) se representan las gráficas de las funciones y = sin x,y = cos x, y = tan x e y = cot x, y se pueden observar sus correspondientes períodos; por lotanto, estos dibujos se repiten a lo largo de la recta teniendo en cuenta que las funcionesy = sin x e y = cos x son 2π-periódicas y que las funciones y = tan x e y = cot x son π-periódicas.

Figura 12: Gráficas de las funciones seno y coseno

Un dato notable en el caso de las funciones tan x y cot x es que aparecen las asíntotas vertica-les, x = π/2, x = -π/2 para la tangente, y x = 0 y x = π para la cotangente, que, como es lógico,también se repiten a lo largo del eje de abscisas, dada la periodicidad de las funciones.


Fernando Castañeda

1

-1-2p -p p 2p

-2p

-p p

2p

Figura 13: Gráficas de las funciones tangente y cotangente

La representación gráfica de otras funciones trigonométricas se puede obtener a partir delconocimiento de las gráficas anteriores mediante sencillas transformaciones. La gráfica de lafunción y = sin (x - a) se obtiene desplazando hacia la derecha a unidades la gráfica del sin x(Figura 14).

Figura14: Gráficas de la función y = sin (x – a) para distintos valores de a positivos

En el dibujo siguiente se representan las funciones inversas arcsin x, arccos x y arctan x. Comose observa, las gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de las fun-ciones sin x, cos x y tan x.

Figura 15: Gráficas de funciones trigonométricas inversas

2.5. Funciones exponenciales y logarítmicas

Estas funciones se pueden estudiar conjuntamente teniendo en cuenta que unas son las inver-sas de las otras. Las exponenciales y = a x (a = 1) están definidas en toda la recta. En el siguientedibujo (Figura 16) están representadas diversas funciones exponenciales, para bases a mayo-res o menores que 1, y quedan reflejadas algunas de sus propiedades principales. Las funcio-nes exponenciales son siempre positivas y en x = 0 valen todas ellas 1. El crecimiento o decre-cimiento de las mismas (dependiendo de si la base es mayor o menor que 1), el valor de loslímites de las funciones, cuando x tiende a -∞ o a +∞ permiten completar las gráficas.



1

-1

2pp

Figura 16: Gráficas de funciones exponenciales, para distintos valores de la base

Para las funciones logarítmicas escribimos logx para los logaritmos decimales, es decir, debase 10, lnx para los logaritmos neperianos, luego de base e y loga x para los logaritmos debase a Þ 1 en los demás casos.

Las representaciones gráficas de las logarítmicas, cuyo dominio es la semirrecta (0,+∞), sepueden obtener a partir de las de las exponenciales, dado que son sus inversas, y por lo tantosus gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de aquéllas.

Figura 17: Gráficas de funciones logarítmicas, para distintos valores de la base

En la Figura 17, se pueden observar algunas de las principales propiedades de las funcioneslogarítmicas.

Son funciones continuas con dominio el intervalo (0,+∞); crecientes o decrecientes depen-diendo de que la base a sea mayor o menor que 1; y, tienden a 7∞ cerca de 0 y a ±∞ en +∞,con el signo dependiendo, de nuevo, de que la base a sea mayor o menor que 1.

2.6. Funciones hiperbólicas

A partir de las gráficas de las funciones exponenciales se pueden obtener de forma sencilla lasde las funciones hiperbólicas que están definidas de la siguiente manera:


Fernando Castañeda

En la Figura 18 se representan las gráficas del seno y del coseno hiperbólicos obtenidos a par-tir de las gráficas de las exponenciales e x y e - x.

Figura 18: Gráficas de las funciones seno y coseno hiperbólicos

Como se observa en el dibujo, la función seno hiperbólico es impar (simétrica con relación alorigen de coordenadas), vale 0 en x = 0, es creciente (la derivada, que es el coseno hiperbó-lico, es siempre positiva), su derivada en x = 0 es 1, tiene un punto de inflexión en x = 0 ytiende a +∞ cuando x tiende a +∞ (y, por tanto, a -∞ cuando x tiende a -∞). La función cosenohiperbólico es siempre positiva; de hecho se verifica que cosh x ≥ 1, es una función par (simé-trica respecto del eje vertical), tiene un mínimo en el punto x = 0 cuyo valor es 1 (su derivada,que es el seno hiperbólico, se anula en x = 0 y es positiva a la derecha y negativa a laizquierda de 0), es, por tanto, creciente en (0,+∞) y decreciente en (-∞, 0) y tiende a +∞cuando x tiende a ±∞.

En la Figura 19 se representan las gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbóli-cas:

Figura 19: Gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas

De las propiedades de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas se pueden destacarlas siguientes: la tangente hiperbólica vale 0 en x = 0, es una función impar, es creciente ytiende a ±1 cuando x tiende a ±∞; en cuanto a la cotangente hiperbólica no está definida enx = 0 y los límites laterales en x = 0 valen ±∞ (positivo por la derecha); es impar, decrecientetanto en (-∞, 0) como en (0,+∞) y cuando x tiende a +∞ la función tiende a 1 y cuando xtiende a -∞ la función tiende a -1.

Las funciones hiperbólicas inversas, el argumento seno hiperbólico y el argumento cosenohiperbólico, se pueden escribir de la siguiente forma con ayuda de la función logaritmo nepe-riano:



Y, el argumento tangente hiperbólico, definido para |x| < 1, y el argumento cotangente hiper-bólico, definido para |x| > 1, son

En los siguientes dibujos se representan las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas:

Figura 20: Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas

Cada una de las gráficas es simétrica, respecto de la recta y = x, de su correspondiente fun-ción inversa.

3. ALGUNAS MANIPULACIONES CON GRÁFICAS DE FUNCIONES

En este apartado vamos a ver como el conocimiento de las gráficas de las funciones elemen-tales (sección anterior) permite, mediante distintas manipulaciones sencillas obtener otrasmuchas representaciones.

3.1. Cambios (sencillos) en las variables independientes y dependientes

Partimos de la gráfica de la función y = f (x) y vemos como son las de las funcionesy = f (x) + 2, y = f (x + 2), y = f (x/2), y = 2f (x), y = f (|x|), y = |f (x)|, y = 1/f (x). Lo hacemos apartir de la cúbica y = f (x) siendo f (x) = 2x 3 - 2x (en todos los dibujos está representada contrazo discontinuo la cúbica original y con trazo continuo la gráfica de la nueva función).

Al sumar una cantidad a la variable dependiente, la gráfica se mueve en sentido vertical: haciaarriba si la cantidad es positiva y hacia abajo si es negativa (Figura 21).

Figura 21: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x)+2


Fernando Castañeda

Si sumamos una cantidad a la variable independiente el movimiento de la gráfica es en sen-tido horizontal: hacia la izquierda si la cantidad es positiva y hacia la derecha si es negativa(Figura 22).

Figura 22: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x + 2)

Si multiplicamos las variables x o y por constantes los efectos que se producen quedan refle-jados en la Figura 23, lo que ocurría antes en x ahora ocurre en 2x, y en la Figura 24, los ceros,puntos x donde f (x) = 0 son ahora esenciales.

Figura 23: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x/2)

Figura 24: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = 2f (x)

También podemos considerar las gráficas de y = f (|x|) o de y = |f (x)| (Figuras 25 y 26).

Figura 25: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = f (|x|)



Figura 26: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = |f (x)|

En fin, podríamos considerar también la gráfica de y = 1/f (x).

Figura 27: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = 1/f (x)

Quizás es más interesante realizar este mismo trabajo a partir de la gráfica de una función sindar explícitamente su expresión analítica. Por ejemplo, partimos del dibujo que aparece en laFigura 28:

Figura 28: Gráfica de una función y = f (x)

Se puede obtener entonces las gráficas de las funciones: y = f (2x), y = f (|x|), y = |f (x)| oincluso las de y = e f (x) e y = log |f (x)| (Figuras 29, 30, 31, 32 y 33), u otras.

Figura 29: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (2x)

Figura 30: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (|x|)


Fernando Castañeda

Figura 31: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = |f (x)|

Figura 32: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = e f (x)

Figura 33: Gráficas de las funciones y = f (x), y = |f (x)| e y = log |f (x)|

3.2. Suma de funciones (de sus gráficas)

En este apartado vamos a obtener la gráfica de la función y = f (x)+g (x) a partir de las de lasfunciones y = f (x) e y = g (x). En el apartado anterior hemos visto el caso en que una de lasfunciones es constante y también ha aparecido ya (Figura 8) la representación gráfica de lafunción

como ejemplo de función racional.

El conocimiento de las gráficas de y = 1/(x – 1) e y = 1/(x – 2) (trazo discontinuo), permite obte-ner la de su suma (trazo continuo) de forma sencilla (Figura 34):



Figura 34: Gráficas de las tres funciones (los dos sumandos y la suma)

Este método está especialmente indicado cuando uno de los sumandos es una función trigo-nométrica.

Consideremos por ejemplo el caso y = x / 2 + sin x. A partir de las gráficas de las funcionesy = x / 2 e y = sin x obtenemos la siguiente representación gráfica:

Figura 35: Gráficas de las funciones y = x / 2, y = sin x e y = x / 2 + sin x

Dado que la derivada de la función es 1/2 + cos x, las soluciones de la ecuación cos x = –1/2son las abscisas de los extremos (máximos y mínimos) de la gráfica de y = x / 2 + sin x.

3.3. Producto de funciones (de sus gráficas)

Dadas dos funciones f y g con gráficas sencillas, podemos hacer la representación de y = f (x) g(x)a partir del conocimiento de las de los factores. El caso en que una de ellas, por ejemplo g(x) = k,es una función constante es el más sencillo: debemos tener en cuenta si la constante es positivay mayor o menor que 1 o negativa y menor o mayor que -1; el otro elemento importante esel conjunto de puntos donde se anula la función f (x) que, lógicamente quedará invariable. Enlas Figuras 36 y 37 se pueden ver las distintas situaciones siendo f (x) = x2 - 2x – 3, es decir,como se mueve la parábola.

Figura 36: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes positivas


Fernando Castañeda

Figura 37: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes negativas

Algo más complicado puede resultar el caso general, no obstante, es muy interesante hacer elesfuerzo cuando, por ejemplo, una de las funciones es sencilla (un monomio: x, x 2, ...) y laotra es una función trigonométrica. Vamos a considerar las gráficas de las funcionesy = x sin x e y = x 2 sin x (Figura 38).

Figura 38: Gráfica de y = x sin x y de y = x 2 sin x

Observemos que, como ya hemos comentado, se mantienen los ceros (puntos de corte con eleje horizontal) y, cuando sin x = ±1, las gráficas de las funciones y = x sin x e y = x 2 sin x lle-gan a tocar las rectas y = ±x o las parábolas y = ±x 2 respectivamente. Además, dado que| sin x| ≤ 1 los dibujos se mantienen en los recintos limitados por y = ±|x| el primero y pory = ±x 2 el segundo.

3.4. Composición de funciones (de sus gráficas)

El problema de la composición es más complicado pero, también se pueden hacer cosas inte-resantes.

Vamos a considerar algunos ejemplos.

Para representar gráficamente la función y = ln(3x – 2) podemos considerar las gráficas dey = lnt y de t = 3x – 2 (que, evidentemente, ya conocemos) y a partir de ellas hacer la com-posición.

Figura 39: Gráficas de las funciones y = ln t y t = 3x – 2

La función ln t sólo está definida cuando t > 0, luego 3x – 2 > 0, es decir, para x > 2/3 está defi-nida la función propuesta. Además aquella tiene una asíntota vertical x = 0, luego ésta tendrála asíntota vertical x = 2/3. Cuando x recorre el intervalo (2/3,+∞), entonces t recorre el inter-valo (0,+∞), luego y = ln t se moverá desde -∞ hasta +∞ siempre creciendo y será igual a cero



sólo una vez, cuando t = 3x – 2 = 1, es decir, cuando x = 1. Con todos estos elementos pode-mos hacer ya el siguiente dibujo (Figura 40).

Figura 40: Gráfica de y = ln (3x – 2)

Vamos a considerar otros dos ejemplos interesantes,las gráficas de las funciones y = sin2 x – 2 sin x e y = e3x – 4e2x + 5ex – 2. La primera de ellas esla compuesta de las funciones t = sin x e y = t 2 – 2t cuyas gráficas ya conocemos (Figura 41).

Figura 41: Gráficas de t = sin x e y = t 2 – 2t

A partir de ellas construimos la gráfica propuesta. Consideremos lo que ocurre en los sucesi-vos intervalos:

cuando x e [0, π/2] entonces t = sin x recorre creciendo el intervalo [0, 1], luego y = t 2 – 2trecorre decreciendo el intervalo [0,-1]; el mismo análisis podemos hacer en los intervalos[π/2, π], [π, 3π/2] y [3π/2, 2π]. Así, por ejemplo, en el intervalo [π, 3π/2] el sin x se mueveentre 0 y -1, luego y = t 2 – 2t irá desde 0 hasta 3 creciendo. De esta forma resulta el dibujosiguiente (ver Figura 42).

Figura 42: Gráfica de y = sin2 x – 2 sin x

Para hacer la representación gráfica de la función y = e 3 x – 4e 2x + 5e x – 2 debemos partir det = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2 cuyas gráficas ya hemos hecho (Figura 43).


Fernando Castañeda

Figura 43: Gráficas de t = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2

A partir de ellas construir la gráfica de la función propuesta. En este caso los elementos esen-ciales son: cuando x va desde -∞ hasta 0 entonces e x crece desde 0 hasta 1 y la cúbica crecedesde -2 hasta 0, luego la gráfica propuesta tiene en -∞ una asíntota horizontal y = -2 y desdeallí crece hasta el origen de coordenadas. Si x se mueve en el intervalo [0, ln2] entonces e x

crece desde 1 hasta 2 y la cúbica se mueve primero decreciendo y luego creciendo pasandopor el mínimo con lo que la función compuesta hará este recorrido. Finalmente, cuandox e [ln2,+∞), entonces t = e x crece en [2,+∞) y la cúbica también crece en el intervalo [0,+∞).Con todos estos datos tenemos el siguiente dibujo (ver Figura 44).

Figura 44: Gráfica de y = e 3 x – 4e 2x + 5e x – 2

Observemos como ya hemos mencionado que

3.5. Un ejemplo completo de manipulación gráfica

Si queremos obtener la representación gráfica de la función

podemos actuar de la siguiente manera: Partimos de la conocida gráfica de la función y = x 2

(Figura 45).

Figura 45: Gráfica de y = x 2



3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2

a partir de ella por simetría con relación al eje horizontal obtenemos la de y = -x 2 (Figura 46).

Figura 46: Gráfica de y = x 2 y de y = -x 2

a continuación obtenemos la de y = 3 – x 2 sin más que subir tres unidades la anterior (Figura47). Los puntos x = ±√3, cortes con el eje OX, cobran importancia.

Figura 47: Gráfica de y = -x 2 y de y = 3 – x 2

La gráfica de y = √3 – x 2 se obtiene a partir de la de y = 3 – x 2 teniendo en cuenta lo siguiente:en primer lugar, √3 – x 2 sólo está definida si 3 – x 2 ≥ 0, es decir en el intervalo [-√3,√3]; lafunción vale 0 en x = ±√3 y cuando 3 – x 2 = 1, es decir en x = ±√2, también vale 1; se man-tiene el crecimiento y la concavidad del radicando; y, por último √t < t cuando t > 1, pero seda la desigualdad contraria √t > t si t < 1 (ver Figura 48). La visualización de estas últimas desi-gualdades resulta muy importante.

Figura 48: Gráfica de y = 3 – x 2 y de y = √3 – x 2

Observemos también que la gráfica de y = √3 – x 2 es la semi-circunferencia (superior) deecuación x 2 + y 2 = 3, es decir, de centro el origen de coordenadas (0, 0) y radio √3.

Finalmente, en la Figura 49 tenemos la representación gráfica propuesta. Aquí pasamos dey = t a y = 1/t, siendo t = √3 - x 2. Debemos señalar los siguientes elementos: la gráfica de par-tida es simétrica, luego también lo es la final; t es siempre positiva, luego también es positiva1/t; cuando t = 1 también 1/t = 1; cuando t tiende a 0, entonces 1/t tiende a +∞ con lo que


Fernando Castañeda

3

2

1

-1

-2

-3

-2 -1 1 2

3

2

1

-1

-2

-3

-2 -1 1 2

3

2

1

-1 1√2 √3

√3

aparece la asíntota vertical x = √3 y claro la simétrica; cuando t crece, entonces 1/t decrece yviceversa; en fin, con todos estos datos obtenemos la gráfica de y = 1/√3 – x 2 de forma sen-cilla y, sobre todo, viendo en cada momento y en cada paso (en cada manipulación) lo queestá ocurriendo.

Figura 49: Gráfica de y = √3 – x 2 y de y = 1/√3 – x 2

4. OTRAS CUESTIONES RELACIONADAS CON LA VISUALIZACIÓN

En las secciones anteriores hemos visto como se pueden aprovechar al máximo los conoci-mientos que ya se tienen sobre las representaciones gráficas más sencillas (funciones ele-mentales) para a partir de ellas obtener otras más complicadas. No debemos caer en pérdidasinnecesarias de tiempo como ocurre, con toda seguridad, cuando por ejemplo buscamosasíntotas y la curva no las va a tener o al no considerar la periodicidad cuando ésta va a resul-tar fundamental. En resumen, proponemos dedicar los primeros momentos a ver qué tipo defunción tenemos y por lo tanto qué tipo de gráfica esperamos; una vez hecho este análisis,buscamos sólo los elementos esenciales de ese dibujo y, para ello, lo relacionamos con otrosde tal suerte que mediante manipulaciones sencillas como las que se han comentado, poda-mos obtener la gráfica planteada.

Lo que tenemos que evitar por todos los medios es que, como decíamos al principio, las rec-tas resulten a veces torcidas, las cúbicas pinchen, la recta tangente a una curva en un puntono pase por ese punto, no sea tangente y a veces, ni siquiera sea una recta, etcétera. En lasFiguras 50 y 51 se han reproducido dos ejercicios de un examen de estudiantes de primercurso de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco. En ellos se pueden obser-var varias de las cosas que venimos comentando y que no deberían pasar.

En la Figura 50 para representar una cúbica se han obtenido 6 parejas de valores (x, y = f (x)),y después se han unido con todo cuidado. También resulta curioso ver cómo se resuelven lasecuaciones de tercer grado. Pero sobre todo resulta tremendo constatar la falta total de espí-ritu crítico: nada termina de encajar en la gráfica y, sin embargo, todo se deja escrito y dibu-jado.



3

2

1

-1 1 √2

√3

√3

Figura 50: Un ejemplo de algo que no debería ocurrir

En la Figura 51 ocurren cosas similares. La recta tangente a la curva, que por cierto está bas-tante bien dibujada (al menos en sus elementos esenciales), ni es tangente, ni pasa por elpunto en cuestión. Parece como si primero hubiera hecho la representación gráfica de lacurva y = x 2 e - x, luego hubiera hecho las cuentas para obtener la ecuación de la tangente(lamentablemente con error) y, finalmente, hubiese puesto el dibujo de la recta encima. Lo tre-mendo del asunto es que al ver el resultado final no se le planteara ningún tipo de duda.


Fernando Castañeda

Figura 51: Otro ejemplo

Situaciones como las anteriores se encuentra uno con cierta frecuencia y, como se ha dichoal comienzo no sólo en los exámenes de matemáticas de los estudiantes. Tenemos que tratarde evitar que ocurran este tipo de cosas.

Además de permitir resolver problemas como los tratados, la visualización gráfica ayuda aentender mejor, y poder resolver, otros muchos y muy variados problemas. Sin ánimo de serexhaustivo, vamos a ver a continuación unos cuantos ejemplos en los que un buen dibujo,que no es un dibujo aparentemente perfecto, sino el que muestra mejor lo que es esencial enrelación con el problema concreto, ayuda a resolver la cuestión planteada.

4.1. La derivada de Nora

En algunas ocasiones hemos denominado el problema de la derivada de Nora a la siguientecuestión: Bajo qué condiciones se verifica la igualdad:



Es decir cuándo la derivada lateral (en este caso por la derecha) es el límite lateral (por la dere-cha) de las derivadas. El siguiente ejemplo pone claramente de manifiesto que es bueno tenercierto cuidado. Dada la función f definida en el intervalo (0, 6) por

se pregunta si existen valores del parámetro a que hacen que f sea derivable en todo punto.La “tentación” es hacer lo siguiente. La función derivada para x Þ 1 es

y para que f sea derivable en todo punto, también en x = 1, tendrá que ocurrir que

es decir, en este caso, tendrá que ocurrir que 1 = a e -1, luego que a = e.

Parece la solución, pero no lo es. El siguiente dibujo (Figura 52) pone de manifiesto el error.

Figura 52: Gráfica de la función f (x), para distintos valores de a

Para que la función sea derivable primero tiene que ser continua y el único valor de a quehace la función continua en x = 1 es el que hace que los límites siguientes sean iguales

es decir, en este caso, 0 = a (1 – e -1), luego a = 0. Para este valor de a la función no es deri-vable en el punto x = 1, pues las derivadas laterales son, respectivamente, 1 por la izquierday 0 por la derecha.

4.2. Resolución de ecuaciones

Unos problemas en los que la visualización gráfica puede ser de gran ayuda son los que seplantean en la resolución de ecuaciones. Si queremos, por ejemplo, ver si la ecuación

cos x = x

tiene alguna solución, un buen dibujo (Figura 53) es fundamental.


Fernando Castañeda

Figura 53: La solución de cos x = x

Ahora ya estamos seguros de que hay solución y que está en el intervalo (0, π/2). Resolver laecuación equivale a encontrar un punto c en el que la función continua

f (x) = cosx – x

se anule, es decir, verifique f (c) = 0. Para ello utilizamos los teoremas de las funciones con-tinuas, en concreto el de los valores intermedios, ya que en el intervalo [0, π/2] la funciónf cambia de signo. En efecto, f (0) = 1, luego positivo, y f (π/2) = -π/2, es decir, negativo. Enconsecuencia, existe un punto c e (0, π/2) tal que f (c) = 0. Partiendo el intervalo por la mitadpodemos aproximarnos más a la solución, y reiterando el proceso, podemos acercarnos tantocomo queramos.

Tenemos que f (π/4) < 0, luego la solución está en el intervalo [0, π/4]. Siguiendo este proceso,resulta que f (π/8) > 0, luego c e [π/8, π/4]. En fin, es sencillo comprobar que c está compren-dido entre 7π/32 y 8π/32, es decir, aproximadamente, entre 0.687 y 0.785. El valor de c, concinco cifras decimales, es 0.73908.

(ver Figura 54).

Figura 54: La solución de la ecuación cos x = x está cerca de π/4

También podíamos haber utilizado los conocidos métodos de la secante o Newton para apro-ximar la solución.

4.3. Desigualdades

En muchas ocasiones un buen dibujo es suficiente para probar desigualdades. Si queremosestudiar, por ejemplo, cómo de pequeño es ln (1+x) cuando x es pequeño, podemos probar lavalidez de la desigualdad:



1

-1

p 2p-2p -p

Figura 55: La función f (x) = 1/x entre x = 1 y x = 1+1/n

El dibujo anterior es claramente una prueba de la desigualdad propuesta. Las áreas de los rec-tángulos sombreados y de la región bajo la curva y = 1/x en el intervalo [1,1+(1/n)] son pre-cisamente las cantidades 1/(n + 1), 1/n y ln(1 + (1/n)), respectivamente. Por lo que, a la vistadel dibujo, se tiene en efecto la desigualdad planteada; así pues ln (1 + 1n) es pequeño, menorque 1/n, cuando n es grande pero, además es mayor que 1/(n + 1).

En las lineas anteriores hemos visto como un buen dibujo sirve para demostrar una desigualdad.

4.4. Problemas de optimización

Vamos a ver ahora como otro buen dibujo es suficiente para resolver un problema de optimi-zación que, como se puede comprobar, su resolución analítica es bastante farragosa. Se tratade encontrar el triángulo inscrito en una circunferencia de radio r que tenga área máxima.Podemos razonar de la siguiente manera: suponer que el problema está resuelto y dibujar lacircunferencia y el triángulo solución. Si giramos el dibujo, lo que no cambia las áreas de lasfiguras, podemos colocar uno de los lados del triángulo horizontal y, a la vista de la Figura 56resulta evidente que de todos los triángulos inscritos en la circunferencia y con la misma base(horizontal en el dibujo) tiene área máxima el isósceles, pues es el que tiene la mayor altura.

Figura 56: El triángulo isósceles tiene mayor área


Fernando Castañeda

Claro, si giramos el dibujo y tomamos otro lado (uno de los iguales del isósceles) como baseresulta que la solución que buscamos es el triángulo equilátero. Hemos encontrado la solu-ción (Figura 57) mediante la visualización de la misma.

Figura 57: El triángulo de área máxima

Analíticamente puede comprobarse que el área máxima es 3√3 r 2/4.

4.5. Problemas inversos

Cuando uno ha cogido suficiente destreza en relación con estos problemas de representacióngráfica de funciones y está familiarizado con las gráficas de las funciones más sencillas, resultamuy interesante plantearse problemas inversos, dada una gráfica identificar su expresión ana-lítica o problemas de emparejar gráficas y funciones. En la Figura 58 aparecen 12 gráficas (encada una se pueden ver los elementos esenciales) y a continuación un listado con 18 expre-siones analíticas de otras tantas funciones. Se trata de “casar” cada gráfica con la correspon-diente expresión analítica.

Figura 58: Gráficas de doce funciones



Las 18 expresiones analíticas:

La correspondencia entre gráfica y función es (el primer número corresponde a la gráfica y elsegundo a la expresión analítica):

1, 6 2, 8 3, 14

4, 17 5, 13 6, 9

7, 16 8, 15 9, 12

10, 5 11, 2 12, 7

Para realizar la identificación entre las distintas funciones y sus correspondientes gráficashemos estudiado los elementos esenciales que caracterizan a cada tipo de funciones: polinó-micas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Es decir, en losdistintos casos, hemos analizado, para las diversas funciones sus dominios, rangos, cortes conlos ejes, periodicidad, simetrías, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión, asín-totas, comportamiento en +∞ y en -∞.

Este problema se puede plantear a distintos niveles; por ejemplo, facilita las cosas que elnúmero de gráficas y de funciones sea el mismo. También se puede hacer por familias de fun-ciones: sólo polinómicas, o sólo trigonométricas, etcétera.

4.6. Una resultado importante (y difícil de obtener) demostrado casi sin palabras

No quiero terminar este apartado sin mostrar el mejor dibujo de todo el documento. En laFigura 59 se resuelve un problema clásico que hemos tomado de unas notas publicadas porT. Apóstol (“An elementary view of Euler’s summation formula”, Amer. Math. Montly, 1999).

Dada una función f positiva y estrictamente decreciente en el intervalo (0, ∞), consideramosla sucesión de números {dn}neN definida por

El problema que nos planteamos es estudiar el siguiente límite:

El siguiente dibujo es casi una demostración.


Fernando Castañeda

Figura 59: Los triángulos curvilíneos caben en un rectángulo de área f (1)

Como se observa en la Figura 59, estos números son la suma de las áreas de los triángulos cur-vilíneos sombreados (gris claro), dentro del intervalo [1, n]. La sucesión dn es evidentementecreciente y, como muestra el dibujo está acotada superiormente por f (1), ya que todos lostriángulos curvilíneos, del intervalo [1, n] se pueden trasladar al rectángulo de área f (1) sinsolapamiento. Por lo tanto,

, para todo n

con lo que resulta que la sucesión dn es convergente. Escribimos

La constante C (f) se denomina constante de Euler generalizada y representa la suma de lasáreas de todos los triángulos curvilíneos. Se verifica

0 < C (f) < f (1)

La función f puede ser cualquiera con las propiedades indicadas, cuando tomamos la funciónf (x) = 1/x, entonces C (f) es la clásica constante de Euler, que se representa por g. Entoncestenemos que

El valor de la constante de Euler, con 20 decimales correctos, es

g = 0.57721566490153286060 . . .

y, no se sabe si es un número racional o irracional.

Todas las cuestiones que nos hemos planteado en este apartado no son más que una muestrade como la visualización permite resolver de forma sencilla problemas que de otra forma pue-den resultar mucho más complicados. Con los ejemplos que hemos mostrado y las herramien-tas que hemos utilizado, tratamos de poner de manifiesto que no sólo se pueden evitar errores(y se deben evitar, claro): recordar las rectas torcidas, las tangentes que no lo son, etcétera, sinoque además se pueden interiorizar los elementos esenciales de las gráficas de las funcioneshabituales y, utilizar estos conocimientos en la resolución de otros y variados problemas.



5. A MODO DE RESUMEN

En la introducción decíamos que el posible interés de estas notas quedaría más patenteviviendo lo que aquí sólo se puede escribir. Si usted ha llegado hasta este punto, con todaseguridad que se habrá dado perfecta cuenta de ello. Le animamos a que se siente con suordenador, entre en su programa Mathematica u otros similares y resuelva los problemas quehemos planteados a lo largo de estas páginas u otros parecidos.

Llevar luego todas estas historias al aula creemos que puede tener cierto atractivo y, desdeluego, resultar muy positivo para los estudiantes.

Este pequeño programa puede desarrollarse simultaneando la pizarra en el aula clásica conlas prácticas en el laboratorio de informática-matemática de la siguiente forma: en primerlugar, dedicar un cierto tiempo a identificar los elementos esenciales de las gráficas de las fun-ciones elementales: polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas y trigo-nométricas, primero con problemas directos de representación gráfica, luego con otros inver-sos o de emparejamiento de gráficas y expresiones analíticas. Después se puede jugar conmanipulaciones sencillas que permitan obtener rápidamente unas gráficas a partir de otras yaconocidas: cambios en las variables, sumas, productos o composición de funciones. Todo ellopermitirá en fin evitar errores como los mencionados, el relacionado con las derivadas latera-les es especialmente grave, incrementará sin duda el espíritu crítico, auto-crítico, de los estu-diantes y se podrá aprovechar el material y las herramientas desarrolladas para la resoluciónde otros problemas: aproximación de soluciones de ecuaciones, desigualdades, problemas deoptimización, etcétera. En definitiva familiarizar a los alumnos con la visualización gráfica.

Como ya hemos comentado todos los dibujos que aparecen en estas lineas, más de 50 hansido realizados con el programa Mathematica e incorporados posteriormente al texto.

6. BIBLIOGRAFÍA

Apóstol, T. M.: “An Elementary View of Euler’s Summation Formula”. Amer. Math.Monthly, 1999.

Bartle, R. G.: “The Elements of Real Analysis”. John Wiley, 1976.

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Bilbao, M.; Castañeda, F.; Peral, J. C.: “Problemas de Cálculo”. Pirámide, 1998.

Enzensberger, H. M.: “El Diablo de los Números”. Siruela, 1997.

Guzmán, M. de; Rubio, B.: “Problemas conceptos y métodos del Análisis Matemático”.(3 tomos). Pirámide, 1993.

Larson, R. E.; Hostetler, R. P.; Edwars, B. H..: “Cálculo I”. Pirámide, 2002.

Hairer, E.; Wanner, G.: “Analysis by Its History”. Benjamin, 1995.

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Rudin, W.: “Principios de Análisis Matemático”. Ediciones del Castillo, 1966.

Spivak, M.S.: “Calculus”. (3 tomos) Reverté, 1970.

Stewart, J.: “Cálculo. Conceptos y contextos”. Thomson, 1999.


Fernando Castañeda

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