Campos vectoriales con Matlab y Mathematica

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

GEOMETRIA DIFERENCIAL

CAMPOS VECTORIALES Y SUS APLICACIONES ENMATLAB - MATHEMATICA

Presentado por

Junior Lino Mera Carrasco

Docente

Lic. Jose A. Chiroque Baldera

Lambayeque - 28 de diciembre de 2011

1

Resumen:

Puesto que el Calculo Vectorial tiene gran aplicacion en las areas de la Ingenierıa y en

la ciencias es fundamental para todo estudiante y egresado en estas areas, poseer los

conocimientos no solo de los calculos que esta materia ofrece sino tambien poder mod-

elarlos y graficarlos, para su futura interpretacion.

La presenta investigacion hace uso de dos grandes herramientas informaticas tales como

Matlab y Mathematica, con las que se a realizados aplicaciones de Campos Vectoriales

en 2D y 3D, no solo graficando sino tambien calculando su Gradiente, Rotacional y

Divergencia.

Abstract:

Since the Vectorial Calculation has great application in the areas of the Engineering

and in the sciences it is fundamental for every student and gone away in these areas, to

possess the knowledge not only of the calculations that this one matter offers to be able

to shape but also and graphing, for his future interpretation.

The presents investigation uses two such big IT tools as Matlab and Mathematica, with

which to realized applications of Vectorial Fields in 2D and 3D, not only graphing but

also calculating his Gradient, Rotacional and Difference.

2

Indice general

1. Problematica de la Investigacion 4

1.1. Situacion Problematica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Formulacion del problema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Importancia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Objetivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Justificacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Software Utilizado: 6

2.1. Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Marco Teorico-Practico: 8

3.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1. APLICACIONES EN MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. APLICACIONES EN MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


3.3. Rotacional y divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1. APLICACIONES EN MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


4. Conclusiones 30

[BIBLIOGRAFIA]

3

Capıtulo 1:

Problematica de la Investigacion

1.1 Situacion Problematica:

Puesto que el Calculo Vectorial tiene gran aplicacion en las areas de la Ingenierıa

Mecanica, Industrial, Electrica, Electronica y en la ciencias como la Fısica, Quımica,

etc.

Es fundamental el estudio de Campos Vectoriales puesto que estas sirven para repre-

sentar y modelar las corrientes oceanicas, la velocidad del viento durante un tornado, la

corriente de aire que pasa junto a una superficie aerodinamica inclinada. Ası mismo este

conocimiento resulta indispensable para comprender el comportamiento de los campos

fısicos vectoriales, tales como el electromagnetico y el gravitatorio.

1.2 Formulacion del problema:

¿Sera posible modelar los campos vectoriales de algunas superficies en Mathematica y

Matlab?

4

Geometrıa Diferencial Pagina:�

�

�

�5

1.3 Importancia:

Es indispensable que tanto estudiantes como profesionales en Ciencias y otras especial-

idades manejen un software matematico pues esta es una herramienta primordial.

Es por ello que basados en el estudio de los campos vectoriales podemos interpretar y

predecir sucesos como la distancia que abarcara un fenomeno natural.

1.4 Objetivos:

Graficar campos vectoriales en Mathematica y Matlab.

Analizar e interpretar las representaciones graficas de dichos campos vectoriales.

1.5 Justificacion:

Basados en nuestra situacion problematica y la falta de investigaciones Explicativas-

Aplicadas sobre los Campos Vectoriales en Matlab y Mathematica, tales como su rutina

de ingreso, calculos, graficas, entre otras.

Docente: Lic. Jose Chiroque Baldera

Capıtulo 2:

Software Utilizado:

2.1 Matlab

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, ”laboratorio de matrices”) es un soft-

ware matematico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje

de programacion propio (lenguaje M). Esta disponible para las plataformas Unix, Win-

dows y Apple Mac OS X.

Entre sus prestaciones basicas se hallan: la manipulacion de matrices, la representacion

de datos y funciones, la implementacion de algoritmos, la creacion de interfaces de

usuario (GUI) y la comunicacion con programas en otros lenguajes y con otros dis-

positivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que

expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulacion multidominio)

y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI).

Ademas, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas

(toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software

muy usado en universidades y centros de investigacion y desarrollo. En los ultimos anos

ha aumentado el numero de prestaciones, como la de programar directamente proce-

sadores digitales de senal o crear codigo VHDL.

6


�

�

�7

2.2 Mathematica

Mathematica es un programa utilizado en areas cientıficas, de ingenierıa, matematicas

y areas computacionales. Originalmente fue concebido por Stephen Wolfram, quien con-

tinua siendo el lıder del grupo de matematicos y programadores que desarrollan el pro-

ducto en Wolfram Research, companıa ubicada en Champaign, Illinois. Comunmente

considerado como un sistema de algebra computacional, Mathematica es tambien un

poderoso lenguaje de programacion de proposito general.

La interfaz preseleccionada por Mathematica tiene extensas caracterısticas y capaci-

dades graficas, ofreciendo analogıas a un cuaderno de trabajo: la entrada de datos por

parte del usuario y los resultados enviados por el nucleo (incluyendo graficas y sonidos),

son colocados en forma de celdas jerarquicas (igual que Maple), lo cual permite seguir

con facilidad la secuencia de las manipulaciones algebraicas o calculos que se estan de-

sarrollando en una sesion. Comenzando con la version 3.0 del software, los cuadernos se

representan como expresiones que puedan ser manipuladas, a su vez, por el nucleo.

Para permitir a aquellos usuarios que no tienen una licencia, la visualizacion de los

cuadernos de trabajo escritos en Mathematica, se creo un paquete de lectura dedicado.

Este paquete, llamado MathReader puede bajarse de la red gratuitamente.

Otras interfaces se encuentran disponibles, como, JMath o mash, pero la interfaz estandar

de Mathematica es la mas popular.


Capıtulo 3:

Marco Teorico-Practico:

3.1 Campos vectoriales

Recuerda que un campo escalar de n variables es una funcion f : A → R donde A es

un subconjunto de Rn. Un campo vectorial es una funcion que a cada punto de una

region de un espacio vectorial hace corresponder un vector de dicho espacio. Concreta-

mente, un campo vectorial de n variables es una aplicacion FFF : A → Rn donde A es un

subconjunto de Rn. Dicha funcion debe ser de la forma FFF (x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x))

donde F1, F2, .., Fnson campos escalares de n variables llamados componentes de FFF .

Se dice que FFF es continuo o que tiene derivadas parciales o que es de clase Ck (tiene

derivadas parciales de orden k continuas) cuando todos los campos escalares compo-

nentes de FFF tienen la correspondiente propiedad. Por ejemplo, las funciones

FFF (x, y) =(

x1+x2+y2

, −y

1+x2+y2

)

= x1+x2+y2

iii− y

1+x2+y2jjj

GGG(x, y, z) =(

−x1+x2 ,

−y

1+y2, −z1+z2

)

= − x1+x2 iii−

y

1+y2jjj − z

1+z2kkk

son campos vectoriales de 2 y 3 variables de clase C∞ definidos en R2 y en R

3 respecti-

vamente. Como puedes ver, nada nuevo hay en el concepto de campo vectorial pues se

trata de un tipo particular de funciones que ya conoces. Ahora bien, cuando decimos que

una funcion FFF : A → Rn donde A ⊂ R

n es un campo vectorial es porque la visualizamos

de una forma especial y consideramos que dicha funcion hace corresponder a cada vector

x ∈ A el vector FFF (x) con origen en el punto x.

8


�

�

�9

Mathematica dispone de los comandos

PlotVectorField[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},opciones]

PlotVectorField3D[f[x,y,z],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax},opciones]

para representa graficamente campos vectoriales de 2 y 3 variables respectivamente.

Para poder usarlos hay que cargar los correspondientes paquetes.

≪GraphicsPlotField

F[x ,y ]:= x1+x2+y2

, −y

1+x2+y2

PlotVectorField[ F[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}];

≪GraphicsPlotField3D

G[x ,y ,z ]:= −x1+x2 ,

−y

1+y2, −z1+z2

PlotVectorField3D[ G[x,y,z],{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},VectorHeads->True,

ColorFunction->Hue];



�

�

�10

En general, los campos vectoriales de 2 variables son funciones de la forma

FFF (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = P (x, y)iii+Q(x, y)jjj

y los campos vectoriales de 3 variables son funciones de la forma

FFF (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = P (x, y, z)iii+Q(x, y, z)jjj +R(x, y, z)kkk

Ejemplos

Campo gravitacional. La ley de la gravitacion de Newton establece que la norma

euclıdea (la magnitud se dice en fısica) de la fuerza (no olvides que la fueza es un

vector) de atraccion gravitacional, FFF , entre dos objetos de masas m y M es

‖FFF‖ = mMGr2

donde r es la distancia euclıdea entre dichos objetos y G es la constante gravitacional

universal. Si el objeto de masa M se encuentra en el origen y el objeto de masa m se

encuentra en un punto rrr = (x, y, z), entonces r = ‖rrr‖. Como, ademas, la fuerza ejercida

por el objeto de masa M sobre el objeto de masa m esta dirigida desde este hacia el

origen y un vector unitario en dicha direccion es −rrr/‖rrr‖, deducimos que dicha fuerza

viene dada por

F (r)F (r)F (r) = −mMG‖rrr‖3

rrr

Esta igualdad vectorial puede escribirse tambien en la forma:

F (x, y, z)=- mMGx

(x2+y2+z2)3/2i - mMGy

(x2+y2+z2)3/2j- mMGz

(x2+y2+z2)3/2k

Campo electrico producido por una carga. La ley de Coulomb establece que la

norma euclıdea (la magnitud se dice en fısica) de la fuerza (no olvides que la fuerza es

un vector), FFF , ejercida entre dos cargas electricas q y Q es

‖FFF‖ = |qQ|4πǫr2

donde r es la distancia euclıdea entre dichas cargas y ǫ es una constante. Si la carga Q

se encuentra en el origen y la carga q se encuentra en un punto x = (x, y, z), entonces

r = ‖x‖.



�

�

�11

Como, ademas, la fuerza ejercida por la carga Q sobre la carga q actua en la direccion

del segmento de recta que une ambas cargas y es atractiva o repulsiva segun que ambas

cargas sean de distinto o de igual signo, y un vector unitario en la direccion del vector

xxx es x/‖x‖, deducimos que dicha fuerza viene dada por

F (x)= qQ

4πǫ‖xxx‖3x

La fuerza ejercida por unidad de carga es, por definicion, el campo electrico, E, creado

por la carga Q que viene dado por

E(x)E(x)E(x) = F (x)F (x)F (x)q

= Q

4πǫ‖xxx‖3xxx

Campos de gradiente. Sea f : A → R donde A es un subconjunto de Rn un

campo escalar de n variables. El gradiente de dicho campo escalar en un punto x =

(x1, x2, ..., xn) ∈ A es, por definicion, el vector

∇f(x) =(

∂f

∂x1

(x), ∂f

∂x2

(x), ..., ∂f

∂xn(x)

)

La aplicacion ∇f : A → R que a cada x ∈ A hace corresponder el gradiente de f en x

se llama campo vectorial gradiente de f.



�

�

�12

3.1.1 APLICACIONES EN MATHEMATICA

≪Graphics PlotField;

w= {2 x,y};

PlotVectorField[w,{x,-8,8},{y,-8,8}, Axes → True];

-5 5

-5

5


PlotVectorField[{x,y},{x,0,1},{y,0,1}]



�

�

�13


PlotGradientField[Sin[x]Cos[y],{x, 0, 2Pi}, {y, 0, 2Pi}]

≪GraphicsPlotField3D;

PlotVectorField3D[{x,y,z},{x,0,1},{y,0,1}, {z, 0, 1}]



�

�

�14


G = {Sin[x], Cos[y], z2 };

PlotVectorField3D[G,{x,-5,5},{y,-5,5}, {z, -5, 5} ,VectorHeads → True];


T={6xy + z3, 3x2 + z, 3xz2 − y};

PlotVectorField3D[T,{x,-5,5},{y,-5,5}, {z, -5, 5} ,VectorHeads → True]



�

�

�15

3.2 Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar f es el campo vectorial ∇f cuyas componentes son

las derivadas parciales de primer orden de f . El vector gradiente es util para calcular

derivadas de un campo escalar en una direccion dada. Te recuerdo que una direccion en

Rn es un vector de norma 1.

Si f es un campo escalar con derivadas parciales continuas, la derivada de f en un pun-

to a en la direccion dada por el vector u viene dada por el producto escalar 〈∇f(a)|u〉.

Supuesto que ∇f(a) 6= 0, la direccion en la cual la derivada direccional de f en a es

maxima, que indica la direccion en la cual el campo en a crece mas rapidamente, viene

dada por el vector ∇f(a)/‖∇f(a)‖.

Por tanto, el vector gradiente en cada punto indica la direccion en la que el

campo aumenta mas rapidamente en dicho punto. Analogamente, la direccion en

la cual la derivada direccional de f en a es mınima, que indica la direccion en la cual

el campo en a decrece mas rapidamente, viene dada por el vector −∇f(a)/‖∇f(a)‖.

Si a y b son puntos de Rn la direccion del punto a hacia el punto b viene dada por

el vector (b− a)/‖b− a‖.

En lo que sigue trabajaremos con campos escalares de dos o de tres variables. Aunque

Mathematica dispone de comandos para calcular el vector gradiente de un campo escalar

no vamos a usarlos en esta practica.



�

�

�16

3.2.1 APLICACIONES EN MATLAB

Ejemplo 1:

Sea f(x, y, z) = z + (y2 − x2)/4

Calcular y graficar su campo Gradiente.

[X,Y] = meshgrid(0:.4 :2);

U = -X/2;

V = Y/2;

W = 1+0*X;

subplot(1,2,1)

for z = [-1,0,1]

Z = z +0*X;

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)

hold on

end

axis image

01

2

0

1

2

−1

−0.5

0

0.5

1



�

�

�17

Ejemplo 2:

[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2);

Z = X.*exp(-X.^2 - Y.^2);

[DX,DY] = gradient(Z,.2,.2);

contour(X,Y,Z)

hold on

quiver(X,Y,DX,DY)

colormap hsv

hold off

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2



�

�

�18

Ejemplo 3:

n = -2.0:.2:2.0;

[X,Y,Z] = peaks(n);

contour(X,Y,Z,10)

hold on

[U,V] = gradient(Z,.2);

quiver(X,Y,U,V)

hold off

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2



�

�

�19


Ejemplo 4:


PlotGradientField[Sin[x]Cos[y],{x,0,1},{y,0,1}]

Ejemplo 5:

≪CalculusVectorAnalysis

SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]

Grad[x2 Sin[y] - z4]

RESULTADO:

{2 x Sin[y],x2 Cos[y],-4 z3}



�

�

�20

3.3 Rotacional y divergencia de un campo vectorial

Para dar una interpretacion intuitiva del significado fısico del rotacional y de la diver-

gencia de un campo vectorial es conveniente considerar en primer lugar campos bidi-

mensionales.

Sea FFF (x, y) = P (x, y)iii+Q(x, y)jjj un campo vectorial de clase C1, sea γ un camino cer-

rado simple positivamente orientado y D la region del plano limitada por γ. El teorema

de Green afirma que

∫

γFFF =

∫ ∫

DDD

(

∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

)

d(x, y) (1)

Como ya sabes, la integral∫

γFFF se llama circulacion del campo FFF a lo largo de γ.

Para dar una interpretacion de dicha integral consideremos que el campo FFF (x, y) =

P (x, y)iii+Q(x, y)jjj es el campo de velocidades de un fluido plano, esto es, FFF (x, y) es el

vector velocidad del fluido en el punto (x, y). Se supone que la velocidad no depende del

tiempo sino solamente de las coordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de

un fluido estacionario.

En cada punto γ(t) del camino γ la velocidad del fluido es FFF (γ(t)); la proyeccion

ortogonal de dicho vector sobre el vector tangente a γ en el punto γ(t) es el vector

〈FFF (γ(t))|TTT (t)〉TTT (t) donde TTT (t) = γ′(t)/‖γ′(t)‖. Este vector tiene el mismo sentido que el

vector tangente si el numero 〈FFF (γ(t))|γ′(t)〉 es positivo y distinto sentido cuando dicho

numero es negativo; en el primer caso la velocidad del fluido en el punto γ(t) va en el

mismo sentido que el del recorrido de la curva y en el segundo caso la velocidad del

fluido en el punto γ(t) va en sentido opuesto al del recorrido de la curva.



�

�

�21

La siguiente grafica muestra un campo vectorial.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

La siguiente grafica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una

elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo anterior en

rojo, los vectores tangente en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre

los segundos en negro. En uno de los puntos la proyeccion ortogonal tiene el mismo

sentido que el vector tangente y en el otro tiene sentido opuesto.

-1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Puesto que∫

γFFF =

∫ b

a〈FFF (γ(t))|γ′(t)〉 dt, si el valor de esta integral es positivo esto nos

dice que el fluido circula a lo largo de la curva γ en el mismo sentido que el definido por

la orientacion de γ y si el valor de esta integral es negativo entonces el fluido circula a lo

largo de la curva γ en sentido opuesto al de la orientacion de γ. Si el valor de la integral

es nulo es porque no hay circulacion neta del fluido a lo largo de γ.

Supongamos que∫

γFFF > 0. En tal caso, por la continuidad del campo, se verificara tam-

bien que∫

σFFF > 0 para todo camino cerrado simple σ positivamente orientado que

este suficientemente proximo al camino γ. Deducimos que en este caso se formara en las

proximidades de γ un pequeno tubo que el fluido recorrera en sentido antihorario.

Consideremos ahora la igualdad (1) y supongamos que en un punto (a, b) se verifica

que ∂Q

∂x(a, b) − ∂P

∂y(a, b) > 0. Entonces, por la continuidad de las derivadas parciales,

se tendra que ∂Q

∂x(x, y) − ∂P

∂y(x, y) > 0 para todo punto (x, y) en un disco centrado en

(a, b) de radio suficientemente pequeno. Si γ es cualquier camino de Jordan contenido en

dicho disco, se deduce de dicha igualdad que la circulacion del campo a lo largo de dicho

camino sera en sentido antihorario y concluimos que en el punto (a, b) se formara un

pequeno remolino.



�

�

�22

Una propiedad, facil de justificar, de las integrales dobles afirma que si h es una fun-

cion continua en una region del plano D cerrada y acotada entonces hay algun punto

(a, b) ∈ D para el que se verifica la igualdad∫ ∫

Dh(x, y)d(x, y) = h(a, b)Area(D).

Usando esta propiedad y de la igualdad (1) es facil probar que

lımρ→01

πρ2

∫

C((a,b),ρ)FFF = ∂Q

∂x(a, b)− ∂P

∂y(a, b)

El numero ∂Q

∂x(x, y) − ∂P

∂y(x, y) se llama rotacion del campo FFF en el punto (x, y). Se

dice que el campo es irrotacional cuando ∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y) = 0 para todo punto (x, y)

de su dominio de definicion.

Como consecuencia tambien del teorema de Green, sin mas que cambiar Q por P y

P por - Q, se verifica la igualdad

∫

γP (x, y)dy −Q(x, y)dx =

∫ ∫

DDD

(

∂P∂x(x, y) + ∂Q

∂y(x, y)

)

d(x, y) (2)

Pongamos γ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Tenemos que:

∫

γP (x, y)dy−Q(x, y)dx =

∫ b

a(P (x(t), y(t))y′(t)−Q(x(t), y(t))x′(t)) dt =

∫ b

a〈〈〈P (x(t), y(t))iii+

Q(x(t), y(t))jjj∣

∣

∣

y′(t)iii−x′(t)jjj‖y′(t)iii−x′(t)jjj‖

〉〉〉‖x′(t)iii+ y′(t)jjj‖dt =∫ b

a〈FFF (γ(t))|nnn(t)〉‖γ′(t)‖dt =

∫

γF.nF.nF.n

donde hemos representado por nnn(t) el vector unitario normal a la curva γ en el punto

γ(t) que apuntan hacia el exterior de la misma. Supuesto que la curva esta orientada

positivamente, nnn(t) viene dado por:

nnn(t) = y′(t)iii−x′(t)jjj‖y′(t)iii−x′(t)jjj‖

= y′(t)iii−x′(t)jjj‖x′(t)iii+y′(t)jjj‖

Al igual que la proyeccion ortogonal del vector campo sobre el vector tangente a la curva

mide la circulacion del fuido a lo largo de la curva, la proyeccion ortogonal del vector

campo sobre el vector normal exterior a la curva mide el flujo de fluido a traves

de la curva, por ello, se define el flujo del campo a traves del camino γ como

la integral∫

γF.nF.nF.n. Si dicha integral es positiva eso significa que sale mas fluido del que

entra (por lo que dentro de la curva debe haber manantiales) y si es negativa significa

que sale menos fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber sumideros).



�

�

�23

Hemos justificado la igualdad

∫

γP (x, y)dy −Q(x, y)dx =

∫

γF.nF.nF.n =

∫ ∫

DDD

(

∂P∂x(x, y) + ∂Q

∂y(x, y)

)

d(x, y)

A partir de aquı podemos razonar como lo hicimos anteriormente para obtener que

lımρ→01

πρ2

∫

C((a,b),ρ)F.nF.nF.n = ∂P

∂x(a, b) + ∂Q

∂y(a, b)

El numero ∂P∂x(x, y) + ∂Q

∂y(x, y) se llama divergencia del campo FFF en el punto (x, y).

Donde la divergencia es positiva hay manantiales y el fluido diverge hacia otros lados y

donde la divergencia es negativa hay sumideros y el fluido converge hacia ellos. Se dice

que el campo es incompresible cuando su divergencia es identicamente nula.

En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto lo que acabamos de afirmar.

F[x ,y ]:={Sin[x],Cos[y]}

Show[Graphics[Table[{Red,Arrow[{x,y},{x,y}+F[x,y], HeadScaling ->

Relative,HeadWidth->.3]},{x,-5,5,.5},{y,-8,5,.5}]],Axes->True,ImageSize->{437, 378}]

-4 -2 2 4

-8

-6

-4

-2

2

4

Observa que hay puntos a los que los vectores de este campo parecen dirigirse (por ejem-

plo, los puntos (3.1,1.6), (3.1,-4.7) y sus simetricos respecto al eje de ordenadas) y otros

en los que el campo parece estar divergiendo (por ejemplo, los puntos (0,1.5), (0,-1.5)

, (.5,-4.5)). Si este campo lo interpretamos como el campo de velocidades de un fluido

estacionario, las zonas hacia donde se dirigen los vectores son sumideros y las zonas

donde los vectores divergen son manantiales. Es decir, el fluido fluye de los manantiales

a los sumideros. La divergencia es una medida de la magnitud de un manantial o de un

sumidero.



�

�

�24

La siguiente grafica es una representacion por curvas de nivel de la divergencia del cam-

po anterior.

ContourPlot[Cos[x]-Sin[y],{x,-5,5},{y,-8,5}]

-4 -2 0 2 4

-8

-6

-4

-2

0

2

4

En las zonas mas claras la divergencia es positiva (fuentes o manantiales) y en las mas

oscuras es negativa (sumideros).

Veamos un ejemplo mas.

F[x ,y ]:={x Cos[y],-Sin[y]}

Show[Graphics[Table[{Red,Arrow[{x,y},{x,y}+F[x,y], HeadScaling ->

Relative,HeadWidth->.3]},{x,-5,5,.5},{y,-5,5,.5}]],Axes->True,ImageSize->{437, 378}]

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

En esta grafica no hay puntos a los que desde todas las direcciones converjan o diver-

jan los vectores del campo. Aparentemente no hay fuentes ni sumideros. De hecho este

campo tiene divergencia nula.

D[x Cos[y],x]+D[-Sin[y],y] = 0



�

�

�25

A continuacion nos proponemos generalizar los conceptos anteriores. No hay dificultad

ninguna en extender el concepto de divergencia para campos vectoriales de n variables.

Definicion. Sea F : A → Rn un campo vectorial con derivadas parciales de

primer orden definido en un abierto A ⊂ Rn. Sea F (x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)).

Se llama divergencia de F en un punto x = (x1, x2, ..., xn) ∈ A y se nota divF (x)

al numero.

divFFF (x) = ∂F 1

∂x1

(x) + ∂F 2

∂x2

(x) + ... + ∂Fn

∂xn(x)

Observa que la diveregcncia de un campo vectorial es un campo escalar. Suele usarse

una notacion simbolica para representar la divergencia. Para ello se define el operador

nabla, ∇, como

∇ =(

∂∂x1

, ∂∂x2

, ..., ∂∂xn

)

Este operador cuando actua sobre un campo escalar, f, produce su gradiente:

∇f(x) =(

∂∂x1

, ∂∂x2

, ..., ∂∂xn

)

f(x) =(

∂f

∂x1

(x), ∂f

∂x2

(x), ..., ∂f

∂xn(x)

)

La divergencia de un campo vectorial FFF en un punto x puede escribirse como el pro-

ducto escalar simbolico del vector ∇ por el vector FFF ( x ) .

divFFF (x) = ∇.F.F.F (x) =(

∂∂x1

, ∂∂x2

, ..., ∂∂xn

)

...(F 1(x), F 2( x), ..., F n( x)) =∂F 1

∂x1

(x)+ ∂F 2

∂x2

(x)+

... + ∂Fn

∂xn(x)

Comprobaremos mas adelante que la divergencia de un campo en R3 tiene un signifi-

cado fısico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.

Es conveniente enunciar ahora, para refercncia posterior, un resultado obtenido anteri-

ormente como consecuencia del teorema de Green.



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Teorema de la divergencia para campos en R2

Sea γ un camino cerrado simple positivamente orientado y D la region del plano limitada

por γ. Sea FFF : A → R2 un campo vectorial de clase C1definido en un abierto que contiene

a D. Notemos por nnn el vector normal unitario exterior a γ. Entonces se verifica que

∫

γF.nF .nF .n =

∫ ∫

DdivFFF (x, y)d(x, y)

Nota. Este resultado puede generalizarse, al igual que el teorema de Green, para do-

minios con agujeros.

En el caso particular de que el campo FFF sea el campo de gradiente de un campo escalar

f, FFF = ∇f , la igualdad anterior nos dice que

∫

γ∇f...nnn =

∫ ∫

Ddiv(∇f)(x, y)d(x, y) =

∫ ∫

D

(

∂2f

∂x2(x, y) + ∂2f

∂y2(x, y)

)

d(x, y)

Como nnn es el vector unitario normal exterior a γ, en cada punto (x, y) de γ el producto

escalar ∇f(x, y)...nnn(x, y) es la derivada del campo escalar f en el punto (x, y) en la

direccion del vector unitario normal exterior a γ en dicho punto y suele usarse la notacion

∇f(x, y)...nnn(x, y) = ∂f

∂n(x, y), con ello obtenemos la igualdad

∫

γ

∂f

∂n=

∫ ∫

D

(

∂2f

∂x2 (x, y) +∂2f

∂y2(x, y)

)

d(x, y)

La generalizacion del concepto de rotacion de un campo bidimensional vamos a hacerla

para campos vectoriales en el espacio. Para ello nos vamos a guiar por un resultado que

conocemos de la leccion anterior que afirma que una condicion necesaria y suficiente para

que un campo vectorial de dos variables FFF (x, y) = P (x, y)iii+Q(x, y)jjj de clase C1definido

en un abierto A ⊂ R2sea localmente conservativo es que para todo (x, y) ∈ A se verifique

la igualdad ∂P∂y(x, y) = ∂Q

∂x(x, y) o, lo que es igual, ∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y) = 0 ; esto es, con

la terminologıa introducida mas arriba, que el campo sea irrotacional.

El resultado analogo para un campo de tres variablesFFF (x, y, z) = P (x, y, z)iii+Q(x, y, z)jjj+

R(x, y, z)kkk establece las condiciones

∂R∂y(x, y, z)− ∂Q

∂z(x, y, z) = ∂P

∂z(x, y, z)− ∂R

∂x(x, y, z) = ∂Q

∂x(x, y, z)− ∂P

∂y(x, y, z) = 0



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Estas ideas llevan a la siguiente definicion.

Rotacional de un campo vectorial

Sea FFF (x, y, z) = P (x, y, z)iii+Q(x, y, z)jjj +R(x, y, z)kkk un campo vectorial con derivadas

parciales de primer orden definido en un abierto A ⊂ R3. Se define el rotacional de FFF

en un punto (x, y, z) ∈ A como el vector

rotFFF(((x, y, z) =(

∂R∂y(x, y, z)− ∂Q

∂z(x, y, z)

)

iii+(

∂P∂z(x, y, z)− ∂R

∂x(x, y, z)

)

jjj+(

∂Q

∂x(x, y, z)− ∂P

∂y(x, y, z)

)

kkk

Se dice que un campo es irrotacional cuando su rotacional es identicamente nulo.

Para recordar esta definicion se acostumbra a representar simbolicamente el rotacional

por medio del operador nabla en tres dimensiones

∇ =(

∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

)

= ∂∂xiii+ ∂

∂yjjj + ∂

∂zkkk

con ello podemos escribir el rotacional como el siguiente producto vectorial simbolico

rotFFF(((x, y, z) = ∇×FFF(((x, y, z) = determinante

iii jjj kkk∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

=

(

∂R∂y(x, y, z)− ∂Q

∂z(x, y, z)

)

iii+(

∂P∂z(x, y, z)− ∂R

∂x(x, y, z)

)

jjj+(

∂Q

∂x(x, y, z)− ∂P

∂y(x, y, z)

)

kkk

Podemos tambien definir el rotacional de un campo de dos variables, FFF (x, y) = P (x, y)iii+

Q(x, y)jjj, por el convenio de asociar a dicho campo el campo de tres variables FFF 3(x, y, z) =

P (x, y)iii+ Q(x, y)jjj y definir rotFFF (x, y) = rotFFF 3(x, y, z). Con ello, se obtiene facilmente

que rotFFF (x, y) =(

∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

)

kkk. Observa que el teorema de Green puede es-

cribirse en la forma:

∫

γFFF =

∫ ∫

DrotFFF (x, y)...kkkd(x, y)

Comprobaremos mas adelante que el rotacional de un campo en R3 tiene un significado

fısico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.

De la definicion dada se sigue que una condicion necesaria y suficiente para que un

campo vectorial de tres variables de clase C1 sea localmente conservativo es que sea

irrotacional. En consecuencia, el campo de gradiente de un campo escalar de clase C2

es irrotacional, lo que suele expresarse en la forma rot(∇f) = 0. Tambien se comprueba

con facilidad que div(rotFFF ) = 0.



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3.3.1 APLICACIONES EN MATLAB

Codigo Fuente:

% Datos: las coordenadas de F=[u,v,w]

% Resultados: la divergencia (div) y el rotacional (rot)

function [div,rot]=operadores(F)

syms x y z

u=F(1); v=F(2); w=F(3);

div=simplify(diff(u,x)+diff(v,y)+diff(w,z))

r1=diff(w,y)-diff(v,z); % rotacional 1 componente

r2=diff(u,z)-diff(w,x); % rotacional 2 componente

r3=diff(v,x)-diff(u,y); % rotacional 3 componente

rot=[r1,r2,r3];

Ejemplo 1

syms x y

F=[x/(x^2+y^2)^0.5,y/(x^2+y^2)^0.5,0];

[div,rot]=operadores(F)

div = 1/(x^2 + y^2)^(1/2)

rot = [ 0, 0, 0]

Ejemplo 2

syms x y z

F=[2,2*x,3*y];

G=[x,-y,z];

H=cross(F,G)

H =[ 3*y^2 + 2*x*z, 3*x*y - 2*z, - 2*x^2 - 2*y]

[div,rot]=operadores(H)

div = 3*x + 2*z

rot = [ 0, 6*x, -3*y]



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Ejemplo 1



F={2 x Sin[y],x2 Cos[y],-4 z3}

Curl[F]

Resultado:

{0,0,0}

Ejemplo 2



F={2 x Sin[y],x2 Cos[y],-4 z3}

Div[F]

Resultado:

-12 z2+2 Sin[y]-x2 Sin[y]


Capıtulo 4:

Conclusiones

1. Es indispensable para todo profesional en ciencias el manejo de una herramienta

matematica para ası poder facilitar y/o perfeccionar tanto su metodologıa como

las aplicaciones de muchas de investigaciones.

2. Tanto Matlab como Mathematica son herramientas muy potentes para el desarrollo

del Calculo Vectorial, ambas facilitan el desarrollo y los calculos necesarios para

el Gradiente, Divergencia, Rotacional de un Campo Escalar y Vectorial.

3. Ambos programas poseen una variada programacion asi como muchos metodos

para realizar una misma tarea.

4. Con los codigos y la programacion realizada en esta investigacion, cualquier in-

vestigador estara en la capacidad de resolver y/o graficar toda funcion escalar y

vectorial, ası como sus respectivos Gradiente, Rotacional y Divergencia.

30

Bibliografıa

[1] O, Santamarıa,L Damian S,F. Huancas,P Julca C., Introduccion a la

geometrıa diferencial de curvas y superficies, Editorial MOSHERA, febrero,

2008.

[2] Luis Y. Garay, Notas de geometrıa diferencial clasica, Madrid, junio 2006.

[3] Javier Dafuente Lopez., Geometrıa Diferencial de curvas y superficies

en el espacio euclıdeo, febrero de 2002.

[4] Misael Avendano Gamacho., Teorema fundamental de superficies y el

criterio de Frobenius, 2003.

[5] Paulo Ventura Araujo., Geometrıa Diferencial, Instituto de Matematica y

Ciencias Afines, IMCA, 2003.

[6] Martin M. LIPSCHUTZ, Ph.D, Geometrıa Diferencial , Universidad de

Bridgeport.

[7] Marıa del Carmen Suarez Rodrıguez, Calculo integral y aplicaciones

con Matlab, Pearson Educacion, 2004.

[8] Robert Ipanaque Chero, Ricardo Velesmoro Leon., Breve manual de

MATHEMATICA 5.1, Juan Carlos Martınez Coll.

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Campos vectoriales con Matlab y Mathematica

Education

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