Álgebra Básica, Soluciones Con El Paquete Mathematica (2001)

Soluciones con el paquete Mathematica

• CLARAMARTHA ADALID DÍEZ DE U. • EDITH ARIZA GÓMEZ • VÍCTOR

A. BREÑA VALLE • JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA • ANDRÉS MORALES

ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ • VICENTE RAMÍREZ

• ARACELI RENDÓN TREJO • JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO • ANGÉLICA

ROSAS HUERTA • JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO • IRENE

SÁNCHEZ GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL

Casa abierta al tiempo

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANAUNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades

COLECCIÓN

LA LLAVE

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

ÁLGEBRA BÁSICA



UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

Rector general, doctor Luis Mier y Terán Casanueva

Secretario general, doctor Ricardo Solís Rosales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-XOCHIMILCO

Rectora, doctora Patricia Elena Aceves Pastrana

Secretario, doctor Ernesto Soto Reyes Garmendia

DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES

Director, licenciado Gerardo Zamora Fernández de Lara

Secretario académico, maestro Roberto Martín Constantino Toto

Jefe de la Sección de Publicaciones, licenciado Miguel Ángel Hinojosa Carranza

COMITÉ EDITORIAL

Presidente, Carlos Alfonso Hernández Gómez

Marta G. Rivas Zivy / Martha Griselda Martínez Vázquez / Myriam Cardozo Brum

Enrique Cerón Ferrer / Teseo Rafael López Vargas / Rogelio Martínez Flores



Álgebra básicaSoluciones con el paquete Mathematica

CLARAMARTHA ADALID DIEZ DE U. Y EDITH ARIZA GÓMEZ• VÍCTOR A. BREÑA VALLE Y JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA

r ANDRÉS MORALES ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZT VICENTE RAMÍREZ T ARACELI RENDÓN TREJO

T JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO T ANGÉLICA ROSAS HUERTAT JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO T IRENE SÁNCHEZ

GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL

j ^ \ \ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANAcasa abierta ai tiempo UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades

2001



Cuidado de la edición: Dora Luz Juárez Cerdi, Renata Soto-Elízaga y los autores

Diseño de la portada: Mónica Cortés Genis

Composición y formación: Irma Leticia Valera Jaso

Elaboración de gráficas y cuadros: Laura Mier

Producción editorial: Centro Editorial Versal, s.c.

Primera edición, diciembre de 2001

D.R.© 2001 Universidad Autónoma Metropolitana

Unidad Xochimilco

Calzada del Hueso 1100

Colonia Villa Quietud, Coyoacán

0496o México, D.F.

ISBN de la colección: 970-654-452-6

ISBN: 970-654-902-1

Impreso y hecho en México / Printed and made in México



ÍNDICE

PRESENTACIÓN 15

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 17Objetivos 19Estructura del capítulo 19Introducción 191.1. Conceptos básicos de conjuntos 20

1.1.1. Definición de conjunto 201.1.2. Notación 20

Ejemplos de 1.1.2 211.1.3. Conjuntos especiales 21

Ejemplos de 1.1.3 221.2. Relaciones entre conjuntos 22

1.2.1. Igualdad y contención 22Ejemplos de 1.2.1 22

1.2.2. Subconjuntos de un conjunto 23Ejercicios de 1.2.2 23

1.3 Operaciones entre conjuntos 241.3.1. Complementación 25

Ejemplos de 1.3.1 251.3.2. Intersección 251.3.3. Unión 261.3.4. Diferencia de conjuntos 26

Ejemplos de 1.3 261.4. Diagramas de Venn 28

1.4.1. Regiones en los diagramas 301.5. Aplicaciones 31

1.5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos 31



8 Álgebra básica

Ejemplos de 1.5.1 32Ejercicios de 1.5.1 39

1.6. El paquete Mathematica 411.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos 421.6.2. Mathematica y teoría de conjuntos 46

Solución a los ejercicios propuestos 52Bibliografía 53

CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 55Objetivos 57Estructura del capítulo 57Introducción 572.1. Números enteros y fraccionarios 58

2.1.1. Los números negativos 60Ejercicios de 2.1.1 62

2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones 63Ejercicios de 2.1.2 66

2.2. Números reales 672.2.1. Números irracionales 67

Ejercicios de 2.2.1 702.3. Leyes y propiedades 73

2.3.1. Axiomas relativos a los números 73Ejercicios de 2.3.1 77

2.3.2. Propiedades de igualdad 792.3.3. Postulados de orden 802.3.4. Postulado de tricotomía 80

Ejercicios de 2.3 832.4. Valor absoluto 84

Ejemplos de 2.4 85Ejercicios de 2.4 86

2.5. Aplicaciones 872.6. El paquete Mathematica y los sistemas numéricos 89Solución a los ejercicios propuestos 98Bibliografía 101

Capítulo 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 103Objetivos 105Estructura del capítulo 105Introducción 105



índice

3.1. Potenciación3.1.1. Potencia de un monomio

Ejemplos de 3.1.13.2. Exponentes enteros

3.2.1. Producto de potencias de igual baseEjemplos de 3.2.1

3.2.2. Elevar una potencia a otra potenciaEjemplos de 3.2.2

3.2.3. Producto elevado a una potencia nEjemplos de 3.2.3

3.2.4. Elevar un cociente a una potencia nEjemplos de 3.2.4

3.2.5. Cociente de dos potencias de igual base y exponente diferenteEjemplos de 3.2.5

3.3. Exponente cero y negativo3.3.1. Exponente cero

Ejemplos de 3.3.13.3.2. Exponente negativo

Ejemplos de 3.3.2Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3

3.4. Radicales3.4.1. Exponente fraccionario

Ejemplos de 3.4.13.4.2. Radicales semejantes

Ejemplos de 3.4.23.4.3. Simplificación de un radical

Ejemplos de 3.4.33.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical

Ejemplos de 3.4.43.4.5. Suma de radicales semejantes

Ejemplos de 3.4.53.4.6. Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual

al m.c.m. de los índicesEjemplos de 3.4.6

3.4.7. Suma y resta de radicalesEjemplos de 3.4.7

3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índiceEjemplos de 3.4.8

3.4.9. División de radicales del mismo índice

106107107107107108108108108109109109110110111111111111112113114114115117117117117118118118118

119119119120121121121



10 Algebra básica

3.5

Ejemplos de 3.4.93.4.10. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)

Ejemplos de 3.4.103.4.11. Radicación de radicales

Ejemplos de 3.4.113.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio

Ejemplos de 3.4.123.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuando

es un binomio con raíces cuadradasEjemplos de 3.4.13Ejercicios de 3.4

Polinomios3.5.1. Suma de monomios

Ejemplos de 3.5.13.5.2. Suma de polinomios

Ejemplos de 3.5.23.5.3. Ley distributiva de la multiplicación

Ejemplos de 3.5.33.5.4. Sustracción de monomios

Ejemplos de 3.5.43.5.5. Sustracción de un polinomio

Ejemplos de 3.5.53.5.6. Multiplicación

Ejemplos de 3.5.63.5.7. Multiplicación de monomios

Ejemplos de 3.5.73.5.8. Monomio por polinomio

Ejemplos de 3.5.83.5.9. Multiplicación de dos polinomios

Ejemplos de 3.5.93.5.10. División3.5.11. Propiedades de la división3.5.12. División de monomios

Ejemplos de 3.5.123.5.13. División de un polinomio por un monomio

Ejemplos de 3.5.133.5.14. División de dos polinomios

Ejemplos de 3.5.14Ejercicios de 3.5

122122122123123123123

124124125128128128129129130130131132132132134135136136138138139139141141142142143143145145148



índice 11

3.6. Aplicaciones 1503.7. Manejo de polinomios con Mathematica 152Bibliografía 165

CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 167Objetivos 169Estructura del capítulo 169Introducción 1694.1. Factorización de polinomios 1704.2. Productos notables 171


4.3. Factorización con factor común, productos notablesy combinación de ambos 174

4.3.1. Factorización con factor común 174Ejemplos de 4.3.1 174

4.3.2. Factorización con productos notables 175Ejemplos de 4.3.2 175

4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos 177Ejercicios de 4.3.3 177

4.4. Factorización por agrupamiento 179Ejemplos de 4.4 180

4.5. Factorización de una ecuación cuadrática 181Ejemplos de 4.5 181

4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado 182Ejemplo de 4.5.1 183Ejercicios de 4.5.1 184

4.6. Descomposición factorial de polinomios 1844.6.1. Raíces de polinomios 1844.6.2. Teorema del residuo 186

Ejemplos de 4.6.2 1864.6.3. División por Regla de Ruffini 186

Ejemplos de 4.6.3 1874.6.4. Descomposición factorial de polinomios 189

Ejemplo de 4.6.4 1894.7. Fracciones algebraicas 190

4.7.1. Propiedades de las fracciones 191Ejemplo de 4.7.1 192

4.8. Simplificación mediante factorización 192



12 Álgebra básica


4.9. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 1934.9.1. Multiplicación de fracciones 193

Ejemplos de 4.9.1 1944.9.2. División de fracciones 196

Ejemplos de 4.9.2 196Ejercicios de 4.9.2 198

4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas 198Ejemplo de 4.10 200

4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones 201Ejemplos de 4.10.1 202

4.11. Aplicaciones 2044.12. Productos notables y factorización con Mathematica 204Solución a los ejercicios propuestos 212Bibliografía 216

CAPÍTULO 5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES 217Y DESIGUALDADES

Objetivos 219Estructura del capítulo 219Introducción 219

5.1. Ecuaciones de primer grado 220Ejemplos de 5.1 221

5.2. Ecuaciones de segundo grado 2215.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura 222

Ejemplos de 5.2.1 2225.2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición

en factores 225Ejemplos 5.2.2 226

5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta 228Ejemplos de 5.2.3 228

5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completapor descomposición en factores 230

Ejemplos de 5.2.4 2305.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa

por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto 232Ejemplos de 5.2.5 233

5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por mediode la fórmula general 236



índice 13

Ejemplos de 5.2.6Ejercicios de 5.2

5.3. Sistemas de ecuaciones de primer gradoEjemplos de 5.3

5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones linealescon dos incógnitas

Ejemplos de 5.3.1Ejercicios de 5.3.1

5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo gradosEjemplos de 5.4Ejercicios de 5.4

5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo gradoEjemplos de 5.5Ejercicios de 5.5

5.6. Desigualdades5.6.1. Concepto

Ejemplos de 5.6.15.6.2. Desigualdades con una incógnita

Ejemplos de 5.6.2Ejercicios de 5.6.2

5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnitaEjemplos de 5.6.3Ejercicios de 5.6.3

5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitasEjemplos de 5.6.4Ejercicios de 5.6.4

5.6.5. Sistemas de desigualdades lineales con dos variablesEjemplos de 5.6.5Ejercicios de 5.6.5

5.7. Aplicaciones5.7.1. El ingreso nacional

Ejemplos del 5.7.15.7.2. Modelo de mercado con dos bienes

Ejemplos del 5.7.25.7.3. Análisis de optimización

Ejemplo del 5.7.35.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete MathematicaApéndice del 5.6Bibliografía

237238239239

241241243244244249249250253253253254255255258258258260260260262263264265266266269271273277278280297299



PRESENTACIÓN

LA PRESENTE OBRA está dirigida a cubrir los temas básicos de álgebra quelos estudiantes de ciencias sociales deben conocer y manejar, en especial los depolítica y gestión social, economía y administración; también de aquellas ca-

rreras en las que no requieran conocimientos muy avanzados de matemáticas como:comunicación social, sociología y psicología, entre otras.

Este material tiene como objetivo apoyar a los alumnos que ingresan a launiversidad en los temas básicos de álgebra. Los contenidos se plantean de formaaccesible, cuidando que el balance sea el adecuado entre la teoría, los cálculos ylas aplicaciones; haciendo énfasis en las técnicas y métodos que el estudianterequiere para solucionar problemas específicos. En cada uno de los capítulos, elestudiante puede avanzar paso a paso para adquirir el conocimiento en formagradual. Después de cada nuevo concepto se procede a ilustrarlo con varios ejem-plos, complementando algunos de ellos con su solución por medio del paquetede computación Mathematica. Se incluyen aproximadamente 600 ejemplos, de loscuales 250 están resueltos con Mathematica y se identifican con el símbolo de lacomputadora (B). Al final de cada capítulo se encuentran los problemas porresolver, para que el estudiante reafirme y maneje las diferentes técnicasalgebraicas en la solución de los mismos, empleando la forma tradicional o utili-zando Mathematica.

El primer capítulo se conforma de dos partes importantes, en la primera sedescriben los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, como son su definición,su notación, la relación entre conjuntos, las operaciones básicas entre conjuntos,la representación de éstas a través de diagramas de Venn y sus aplicaciones. En lasegunda parte se dan a conocer los elementos básicos para el manejo del paquetede computación Mathematica, en la solución de cálculos numéricos y en la aplica-ción a la teoría de conjuntos.

En el capítulo dos se estudia el sistema de números reales: los números enterosy fraccionarios, los números irracionales, sus leyes y propiedades más usuales;

15



también se trata el concepto de valor absoluto y el manejo de los sistemas numéri-cos con el paquete Mathematica.

El capítulo tres se divide en cuatro partes, para estudiar las operaciones conexpresiones racionales e irracionales. En la primera sección se aborda lapotenciación, exponentes enteros, negativos y cero. En la segunda parte se estu-dian los exponentes fraccionarios, los radicales, la racionalización del denomina-dor cuando es un monomio y la racionalización del denominador cuando es unbinomio con radicales de segundo grado. En la tercera sección se explica la formade efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre monomios,entre monomio y polinomio y entre polinomios. En la última parte se presenta elmanejo de polinomios con el paquete Mathematica.

El capítulo cuatro se refiere a la factorización y las operaciones con fraccionesalgebraicas. En el primer caso se analiza la factorización de polinomios, productosnotables, factorización común, factorización con productos notables y la combina-ción de ambos; asimismo, se plantea cómo factorizar por agolpamiento, la factori-zación de la ecuación cuadrática y la descomposición factorial de polinomios. Parael caso de las fracciones algebraicas, se estudian sus propiedades, la simplificaciónmediante la factorización, así como las operaciones de suma, resta, multiplicacióny división. En la última parte del capítulo se indica cómo dar solución a los pro-ductos notables y a la factorización con el paquete Mathematica.

El capítulo cinco está dividido en cuatro partes. En la primera se trabaja con lasecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución; la solución de la ecua-ción cuadrática pura, cuadrática mixta incompleta, cuadrática mixta completa pordescomposición de factores, mixta completa por el procedimiento de completar elcuadrado perfecto, cuadrática mixta completa por descomposición de factores ymixta completa a partir de la ecuación general. La segunda parte se refiere a lasolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, utilizandolos métodos de igualación, sustitución, diferencia y determinantes; y la soluciónpara sistemas de ecuaciones de segundo grado. En la tercera parte se tratan losconceptos básicos de las desigualdades, la solución de desigualdades con una in-cógnita, sistema de desigualdades simultáneas con una incógnita, desigualdadeslineales con dos incógnitas y el sistema de desigualdades con dos incógnitas. En laúltima parte del capítulo se presenta la solución de las desigualdades con el paque-te de cómputo Mathematica.

Los autores



CAPÍTULO 1Teoría de conjuntos



1. TEORÍA DE CONJUNTOS

Al terminar este capítulo, el lector podrá:y Identificar los elementos de un conjunto.</ Calcular la cardinalidad de un conjunto./ Realizar operaciones con conjuntos./ Resolver problemas utilizando los conjuntos y

las regiones que definen.

Estructura del capítulo

Introducción.1. Conceptos básicos de conjuntos..2. Relaciones entre conjuntos..3. Operaciones entre conjuntos..4. Diagramas de Venn..5. Aplicaciones..6. El paquete Mathematica.

Solución a los ejercicios propuestos

INTRODUCCIÓN

AUNQUE SIEMPRE hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamosparte de diversos conjuntos, la noción de conjunto tardó en aparecer, segura-mente debido al nivel de abstracción que requiere este concepto, semejante

al de los números; por ejemplo, la cinquidadftiz captada bastante tiempo después dela utilización del cinco ligado a cinco cosas.

A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que haafectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas.

Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemáticautilizan conjuntos. Por ejemplo, en aritmética se trabaja con los conjuntos de nú-meros y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría estudia los conjuntos depuntos que definen diversas figuras y sus propiedades; el muestreo analiza lascaracterísticas de subconjuntos de una población, etcétera.

Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de losmatemáticos alemanes Richard Dedekind (1831 -1916) y Georg Cantor (1845-1918).

19



20 Álgebra básica

Aunque ambos estaban fundamentalmente preocupados por conjuntos infinitos (conun número infinito de elementos), construyeron las bases de los números naturalessobre el concepto de conjunto. Por su parte, el matemático alemán Ernst Zermelo(1861-1953) estableció los axiomas sobre los que se desarrolló la teoría de conjuntos.

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

1.11. Definición de conjunto

Se llama conjunto a una colección de objetos de cualquier índole, relacionadoso ajenos.

Así, por ejemplo, se puede hablar en la UAM Xochimilco del conjunto de li-bros de la biblioteca, del conjunto de bienes que conforman el inventario, del con-junto de reglamentos, del conjunto de proveedores, del conjunto de egresados, delconjunto de docentes, del conjunto de alumnos reprobados en el trimestre pasado,etcétera. También puede hablarse de conjuntos en los que no hay relación explícitaentre los objetos que los integran: "número, papel, vestido, planta, gises" o "refresco,árbol, auto, computadora, piedra".

Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son:

1. La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certezacuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no.

El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los ele-mentos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales paraidentificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios queconfieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, nú-mero de empleados, etcétera.

2. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos debenser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabraCacahuamilpa es: c, a, h, u, m, i, I, p.

3. El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia.

1.1.2. Notación

Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, por ejemplo A ={letras consonantes} que se lee: A es el conjunto de letras consonantes. Las



/ Teoría de conjuntos 21

llaves sirven para encerrar entre ellas los componentes del conjunto o su des-cripción.

Los objetos que forman parte del conjunto se conocen como elementosry gene-ralmente se simbolizan mediante letras minúsculas. Se utiliza el símbolo e paraindicar pertenencia y £ para negarla. Así, con respecto al conjunto A mencionadoantes, se puede afirmar que/? e A y que o£ A.

Se emplean dos formas para especificar un conjunto:

1. Por extensión, que consiste en listar todos los elementos que constituyen elconjunto, separados por comas y encerrados entre llaves.

2. Por comprensión, indicando dentro de las llaves las propiedades que sirvanpara describir los elementos del conjunto.

Ejemplos de 1.1.2

^ = { 0 , 7 , 14,21,28} = {x\ xe Aí,x=7n,Q<n<4} B

C- {x\ xzs proveedor de El Palacio de Hierro}

D- {x I .res ciudadano mexicano}

1.1.3 Conjuntos especiales

En el análisis de una situación particular, la colección de todos los elementos queintervienen constituye un conjunto especial denominado conjunto universal, que serepresenta por £1 Debe tomarse en cuenta que este conjunto universal no es único,pues cambia con el problema que se pretende resolver.

Otro conjunto especial es aquel que no contiene elementos; este conjunto sedenomina conjunto vacío y se denota por <|) o por { }.

Al número de elementos del conjunto A se le llama cardinalidady se denota por8{A). Un conjunto se consideray?////¿> cuando su cardinalidad es un número natu-ral, de otra manera se le dice infinito. Cuando es infinito pero puede contarse,ponerse en correspondencia con los números naturales, se le llama numerable.

1 Ejemplos resueltos utilizando el paquete de computación Mathematica.



22 Álgebra básica

Ejemplos de 1.1.3

C- N— {números naturales), 8(C) es infinita numerable.

/?= {O, 2, 4, 6, 8, . . . } , 8{D) es infinita numerable.

^ = 91= {números reales}, 8{E) es infinita no numerable.

F- {números irracionales}, 8{F) es infinita no numerable.

1.2. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

/ 2.1. Igualdad y contención

Se dice que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos y sedenota por A = B; cuando no sucede así se indica mediante A^ B. La definiciónformal de conjuntos distintos es:

A^Bsiy sólo si 3 (existe) x^ A^ (tal que)x<£ Bf o bien 3 (existe)(tal que)y& A.

Dados dos conjuntos cualesquiera, AyB, se dice que uno incluye a otro, A c B(se lee A es subconjunto deBoB incluye a^)s i¿?e^/=> (implica que) a e B.

Es importante destacar la diferencia entre la relación de pertenencia (e) que seda entre un elemento y un conjunto y la relación de inclusión (c) que se estableceentre dos conjuntos. Sin embargo, puede suceder que los elementos de un conjuntosean a su vez conjuntos.

Ejemplos de 1.2.1

SiA= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B= {0, 2, 4, 6, 8} y C= {1, 3, 5, 7} entoncesBczAy CaA,peroB<£C, C<zB,A<zBf Aa C




SiZ>= {{1,2}, {3,5,7}, {0,4,6,8}} entonces {1,2} e D, {3,5,7} e D,{0, 4, 6, 8} e D y {{1,2}} c D (el conjunto con un elemento que es unconjunto es subconjunto de D), {{1, 2}, {3, 5, 7}} cz£>, {{0, 4, 6, 8}}

Una manera más formal de establecer la igualdad entre conjuntos consiste enafirmar A = B, si y sólo si cada elemento de uno de los conjuntos es también ele-mento del otro, esto es:

\a e A=> ae B (que significa A c B) y

G B=>be A (que significa B c A)

Siempre es cierto que A - A, y en particular AczA, pero a este tipo de inclusiónse le llama inclusión impropia y se simboliza por c ; las demás inclusiones se dicenpropias. Es igualmente cierto que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto,( | )c4

1.2.2. Subconjuntos de un conjunto

Al conjunto de subconjuntos de un conjunto A se le llama conjunto potencia y se ledenota por 2A; esta notación puede explicarse porque cuando el conjunto es finito,con cardinalidad n, la cardinalidad del conjunto de subconjuntos correspondientees precisamente 2n.

Ejercicios de 1.2.2

1. Colocar un signo = o ^ según convenga:

a) {a+b, (b-a)(b+a), a+a) {b2- a\2"a+¿>}

b) {5 + 1, 7, 34 + 16, 0} {5 - 5, 50, 6, 8 - 1}

c) {34, 2o, 52, 25} {92, 1, 25} {81, 37°, 25, 25}

d) {0, 1, 2o, 3 - 3,1°} {0, 1}

2. Anota sobre la línea si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:

a) {P\ = {P, $}



24 Algebra básica

b) {c{>, O , 1 } = {<}>, 1 }

c) Ws = {0}

d) {2 -2} = {0}

f) 0 = W

£> {5} = 5

y {x

3. Completa la tabla siguiente, colocando el símbolo de c , c o <Z según convenga:

Conjuntos*

{1}{1,3}{0,1}

{0,1,3}{0}

{1} {0} {1,0} {3,0,1}

1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntospara formar nuevos conjuntos. Las operaciones más importantes son: complemen-tación, intersección, unión y diferencia.



/. Teoría de conjuntos 25

1.3.1. Complementación

Si A c Q, el complemento de con respecto a Í2 es el conjunto de elementos de Q,que no están en A y se representa como:

A',Ac={xe

Ejemplos de 1.3.1

1. Si Q, es el conjunto de lectores de La Jornada y A son los suscriptores de eseperiódico, entonces Ac- {lectores de La Jornadano suscriptores}.

2. Si Í2 es el conjunto de mexicanos y A es el conjunto de ciudadanos con derechoa voto, Ac- {mexicanos sin derecho a voto}.

13.2. Intersección

Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la intersección de estosconjuntos es la colección de elementos que pertenecen a ambos:

AnB= {xe £l\ xe Ayxe A}

Propiedades:

*(An£)c=Acv£c

Donde u significa unión, operación definida a continuación.

Cuando A n B- O los conjuntos se llaman ajenos o disjuntos.



26 Algebra básica

1.3.3. Unión

Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la unión de estos conjuntoses la colección de elementos que pertenecen al menos a uno de ellos:

AuB= {XG Q| XG Ay XG B)

Propiedades:

Donde B- Crepresenta la diferencia de conjuntos, que es la siguiente opera-ción explicada. Esta propiedad también se da para la intersección.

B-C) = (AnB)-(AnC)

1.3.4. Diferencia de conjuntos

SiAy Bson dos subconjuntos del conjunto universal, la diferencia de estos conjun-tos es la colección de elementos que pertenecen al primero de ellos y no al segundo:

J-B={xe Q | xe Ayx£ B}

Propiedades:

-C) = (AnB)-(AnC)

Ejemplos de 1.3

1. Se efectúa una encuesta entre 250 empleados de una empresa, acerca de unnuevo plan de jubilación. Los resultados son los siguientes:




RespuestaEn favor

En contra

Indiferentes

Total

Trabajadores

Directores

1

2

14

Gerentes

5

8

2

15

Empleados

88

32

11

131

Temporales

52

38

10100

Total

146

80

24250

Los 250 empleados de la encuesta son los elementos del conjunto universal. Silos elementos que contestan en favor, N los que están en contra, Z> los direc-

tores, Glos gerentes, irlos empleados de base y T los empleados temporales

a) Determinar el número de empleados en cada uno de los siguientes conjuntos:

S,D, G, T,Du G, Sn T,(Su N)', (Eu T) n N, N- (Tu E\(SU N)'n G, T- (SKJ N)

b) Escribir cada uno de los siguientes conjuntos usando sólo los símbolos S, N,GE, T/,u,r\\

• El conjunto de empleados que contestaron en favor y no son empleadosde base.

• El conjunto de empleados indiferentes.• El conjunto de empleados indiferentes que son trabajadores de base.• El conjunto de empleados que se pronunciaron en contra del proyecto y

son trabajadores temporales.

Solución:a) S(S) = 146, 8(D) = 4, 8(G) = 15

5(7*) = 100, 5(¿>u G) = 19, S(Sn T) = 52,8{{Ev T)nJV) = 70, 8(N- (Tu E)) = 10,8(T-(Su JV))= 10

b)• Sc\(Du Gu T)• (SuNY• (Su N)' n E• Nr\T

N)' = 24N)' nG



28 Algebra básica

2. Sean £2= {0,1,2,3,4,5,6,7} el conjunto universal y sus subconjuntos A= {0,1,2,3}, B= {0,2,4, 6}, C= {1, 3, 5, 7}, £>= {7}, aplicando las definiciones deoperaciones obtener: A', B', C,Av£,{AvB)\ A-B, An Q B'n C, B- Cf A

Solución:• A'= {4, 5, 6, 7}, B'= {1, 3, 5, 7}, r = {0, 2, 4, 6}• AuB= {0,1,2,3,4,6}• (AvB)'= {5, 7 } , ^ - ^ = {1,3}

-C=B,A-D = A, ¿7-Z?={l,3,5}={l, 3, 7}, i?u C= fí, (^X = {0, 1, 2, 3}

1.4. DIAGRAMAS DE VENN

Al trabajar con los conjuntos, sus relaciones y operaciones, es útil contar con unsistema de representación gráfica que permita visualizar lo que ocurre e interpretarcon diagramas las relaciones lógicas correspondientes.

El procedimiento usual, que consiste en dibujar rectángulos y círculos, se conocecomo diagrama de Venn-Euler. En este diagrama, el conjunto de puntos interiores alrectángulo es el conjunto universal. Los subconjuntos del conjunto universal se repre-sentan a partir de los puntos interiores a los círculos trazados dentro del rectángulo.

Los diagramas correspondientes al ejemplo anterior son:

f :

D

7V

, - -

5

/

c

( 1

1 3 /) (A

-~

' 0 ^

\ 2 /

B

6 )

-




AUB

(A U

/T ¿51 í 7

V Vv_

5._) (

c

3 j

...

• •

A

í 0 >i 2 ,

4 \ -6 j

yB

AC\C

f\ ^

D

>r 5 21

wC A

/o \ 4 \6

y. y

B



30 Álgebra básica

C-D

1.4.1. Regiones en los diagramas

En todo diagrama de Venn-Euler se pueden identificar regiones que son útiles parareconocer relaciones de pertenencia.

En el caso de un subconjunto se aprecian dos regiones: Rv que es la región delos puntos en A; y Rv la región de los puntos fuera de A.

En el caso de dos subconjuntos, se obtienen cuatro regiones:




xe Ay xe B}=AnBxe Ay x£ B}=A-Bx£ Ay xe B}=B-Ax£ Ay x£ B}=(A'KJB')

En el caso de tres subconjuntos, se obtienen ocho regiones:

R2={x

4R5={x

Rn={xR = {x

xe A, xe By xe C) •xeA,xeByx<£ C}xe A, x<£. By xe C)J Í A, xe By xe C)xe A, xí By xí C}x£ A,xe Byx<Z C)x£A, xéByxe C}x<£ A, x£ By x<£ C}

--AnBnC--Ar\Br\C-•AnB'nC--A'nBnC--AnB'nC--A'nBnC--A'nB'nC--A'nB'nC

1.5. APLICACIONES

/ 5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos

Una de las relaciones más utilizadas en las aplicaciones de teoría de conjuntos esaquella que permite conocer la cardinalidad de la unión de varios conjuntos,a partir del conocimiento de la cardinalidad de cada uno de ellos y la de susintersecciones.

Dados dos conjuntos, o son ajenos o tienen intersección distinta del vacío.Cuando son disjuntos, el número de elementos de la unión no es más que la

suma de los elementos de ambos conjuntos S(A u B) = S(A) + S(B), si A n B= <j),



32 Álgebra básica

de otra manera, 8{A u B) = 8(A) + 8(B) - 5(^ n B), ya que al sumar los ele-mentos de A con los de B, los elementos comunes son contados dos veces porlo que es necesario restarlos.

Ejemplos de 1.5.1

1. Si todos los estudiantes del grupo SJO1 compraron boletos para asistir a losencuentros de fútbol el próximo fin de semana: 24 compraron para el partidoAtlas-Toluca, 10 tienen boletos para el juego de Cruz Azul-Morelia y seis asis-tirán a los dos juegos. ¿Cuántos estudiantes forman este grupo?

Solución:8(A) = 24, 8(B) = 10, = 69 entonces 8{Au B) = 24 + 10 - 6 = 28

2. La "técnica de panel", que consiste en seleccionar una muestra de la poblacióny entrevistarla repetidas veces en diferentes intervalos de tiempo, en relacióncon el consumo de un producto determinado, es un método muy utilizado en lainvestigación de mercado.

Por ejemplo, se elige una muestra de 2000 empleados, a los que se entrevistapreguntándoles si utilizan cierta marca de productos para oficina, para analizarlos efectos de la publicidad sobre el consumo. Seis meses después se entrevistaa esas mismas personas para preguntarles si continúan utilizándolos y lo mismose hace un año después. Sean P, Sy T los conjuntos de personas que respondie-ron afirmativamente a las entrevistas en la primera, segunda y tercera ocasio-nes. En el cuadro siguiente se especifican los datos obtenidos:

Conjuntos

PST

POSPDTSDT

PDSDT

Personas querespondieron

afirmativamente

838827808542474498317

Entrevistas

Ia

2a

3a

Ia y 2a

Ia y 3a

2a y 3a

Ia, 2a y 3a




Utilizando el diagrama de Venn-Euler para tres conjuntos, se determinará lacantidad de usuarios que pertenecen a cada una de las ocho categorías osubconjuntos de empleados. Esto es, los elementos de las regiones R2 a J?r

a) Como 8(Sn T) = 498 y 8(PnSn T) = 317 y<5(7?4) = 8{P'n Sn T) = 8(Sn T) - 8(Pn Sn T) entonces5 ( ^ = 498-317=181

Esto significa que en la muestra hay 317 personas que respondieron enlas tres oportunidades que utilizan los productos investigados, mientras quehay 181 personas que informaron que no los usaban en la primera entrevistay respondieron afirmativamente en la segunda y tercera entrevistas.

b) Análogamente 8(Pn S) = 542 y 8{Pn Sn T) = 317,de donde 8(Pn Sn 7") = 8(Pn S) - 8(Pn Sn T) = 542 - 317 = 225

Entonces, 225 personas respondieron que utilizaban los productos en laprimera y en la segunda entrevistas, pero no en la tercera. En términos deregiones del diagrama

c) De la misma manera se tiene queS(Pn T) = 474 y 8(Pn Sn T) - 317, de donde8{Pn S'n T) = 8(Pn T) - 8(Pn Sn T) = 474 - 317 = 157

Esto es, hubo 157 entrevistados que informaron que utilizaban los pro-ductos en la primera y tercera ocasiones en que fueron interrogados, pero noen la segunda. En términos de regiones

d) Por otro lado, se sabe que8(P) = 838, 8(J>n S) = 542, S(Pn T) = 474y 8(/>n Sn T) = 317 => 8(Pn Sf n 7")= 8(P) - 8(Pn S) - 8(Pn T) + 8(Pn Sn T)= 8 3 8 - 5 4 2 - 4 7 4 + 317=139

que corresponde a la región R$, es decir, los consumidores que respondieronafirmativamente sólo en la primera entrevista.



34 Álgebra básica

e) Además, 8(S) = 827, 8(Pn S) = 542, 5 ( ^ n 7*) = 498y 8(Pn Sn T) = 317 => b{F n Sn F)= 5(J) - S(Pn S) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)= 827 - 542 - 498 + 317 = 104, que corresponde a la región R6.

f) Se tiene que 8{T) = 808, 5(^n T7) - 474, 5(^n T7) - 498y 8(Pn Sn T) = 317, de donde5(/"n ^n r) = 5(r) - 8(Pn T) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)= 808 - 474 - 498 + 317 = 153, que corresponde a la región Rr

g) Finalmente, para determinar el número de elementos de la región Rg se recurrea la fórmula que proporciona la cardinalidad de la unión de tres conjuntos:

T) = 8{P) + 8{S) + 8{T) - 8(Pn S) - 8(Pn T) - 8(Sn T)+ 8{Pn Sn T) = 838 + 827 + 808 - 542 - 474 - 498 + 317 = 1276

Por lo tanto 8(P'n S'n F) = 8(O) - 8(Pu Su T) = 2000 - 1276 = 724que corresponde a la región Rg.

La conclusión correspondiente al análisis de los datos obtenidos de loscuestionarios es la siguiente: al comparar las cifras de respuestas afirmativasen cada entrevista, se observa que la población de consumidores se mantie-ne aproximadamente estable, con una leve declinación: 8(P) = 838, 8(S) =827 y 8{T) = 808. Sin embargo, la cifra 8(Pn Sn T) = 3\7 está indicandoque la cantidad de consumidores fieles al producto es mucho menor. Entérminos porcentuales, las respuestas afirmativas constituyen respectivamente41.9,41.4 y 40.4% de la población muestreada, mientras el porcentaje "cau-tivo" de ese mercado es sólo de 15.8 por ciento.

Suponiendo que la información original es fidedigna, estos hechos se pue-den interpretar de la siguiente manera:

I. 8(Pn S' n T) = 157 significa que 7.8% de los consumidores no estuvieronmuy convencidos de las propiedades del producto; que en el momento de lasegunda encuesta estaban experimentando con algún producto competidory que finalmente han regresado al producto original.

II. S(Pn Sn F) = 225 significa que 11.3% de los consumidores estabanprobando otros productos al ser interrogados en la tercera ocasión.

III. 8{P/n Sn T) = 181 puede interpretarse como el incremento de mercadologrado durante el periodo que se está analizando, que representa 9% del total.




IV. 5(Pc\ S' n T') = 139 puede interpretarse como la disminución de merca-do ocurrida en ese periodo, que es cercana a 7% del total.

V. Tanto 5 ( ^ n Sn T') = 104 como S(P'n S"n T) = 153 representangrupos de consumidores sobre los cuales ha influido la publicidad efectuadaen el periodo considerado; 5.2% probaron los productos investigados enla época de la segunda encuesta y al no convencerse de sus cualidadesvolvieron a usar el producto que consumían originalmente. Por otra parte,7.6% de los consumidores estaban experimentando con estos productos alefectuarse la tercera entrevista.

VI. 8(P'c\ S' n T') = 724 significa que 36.2% del mercado no consume estosproductos y que la publicidad no ha tenido efecto sobre esas personas.

VIL En resumen: los productos son conocidos por 63.8% de la población so-metida a las entrevistas; 15.8% es mercado "cautivo" de los productos; elefecto neto de la publicidad ha sido aumentar 2% ese mercado (puntos IIIy IV), a ese 15.8% debe agregarse 7.8% de consumidores que ha vuelto ausar este producto después de experimentar con otros y, además, que hay11.3% de consumidores no satisfechos.

3. Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2000 personas para apreciar los efectosde tres campañas publicitarias, con los siguientes resultados:

580 personas conocen la campaña^.840 personas conocen la campaña B.920 personas conocen la campaña C.260 personas conocen las campañas A y B.220 personas conocen las campañas A y C.300 personas conocen las campañas i? y C.100 personas conocen las tres campañas.

Se desea saber:a) ¿Cuántas personas conocen sólo la campaña A?, ¿sólo la campaña B?, ¿sólo

la campaña C?b) ¿Cuántas personas conocen sólo las campañas A y B?, ¿sólo las campañas A

y C?, ¿sólo las campañas By C?c) ¿Cuántas personas conocen la campaña B, la Co ambas?d) ¿Cuántas personas conocen al menos una de las campañas?e) ¿Cuántas personas no conocen ninguna de las campañas?



36 Algebra básica

Solución:Los datos con los que se cuenta son:

8{A) = 580 8(AnB) = 260 S(AnBnC) = 1008{B) = 840 8(A nC) = 220 5(Q) - 2000

= 920 8(£nC) = 300

a) "Sólo la campaña^ "significa el conjunto AnB'n C, que en el diagramade Venn-Euler corresponde a la región Ry

Se sabe que:8(AnB'nC/) = S(A)-S(AnB)-8(AnC) + S(AnBnC)- 5 8 0 - 2 6 0 - 2 2 0 + 1 0 0 = 200

Análogamente, "sólo la campaña B " significa el conjunto A' c\Br\ C\que en un diagrama de Venn-Euler corresponde a la región R6.

Utilizando los datos originales, se obtiene:

8(A'nBn C) = 8(0)- 8(AnB)- 8(Bn C) + S(AnBn C)= 840-260-300 + 100-380

De la misma manera, "sólo la campaña ¿""corresponde al conjunto A' nB' c\ C, o sea, la región Rn de un diagrama de Venn-Euler.

Como en los dos casos anteriores:

8(A' n JFn C) = 8(C) - S(AnC)- 8(Bn C) + S(AnBn C)= 920-220-300+100 = 500

b) "Sólo las campañas A y B" corresponde a la región R2 de un diagrama deVenn-Euler. Su cardinalidad se calcula así:

S(A n B n C) = 8{A n B) - 8(A n B n C) = 260 - 100 = 160

"Sólo las campañas A y ¿^'corresponde al conjunto A n B'n C, o sea, ala región R3 de un diagrama de Venn-Euler y su cardinalidad es:

8{AnB'n C) = 8{An C)- 8{AnBn C) = 220- 100 = 120



1. Teoría de conjuntos 37

Y "sólo las campañas By C" corresponde a la región R4 de un diagramade Venn-Euler y

8(A'nBn C) = 8(£n C)-8(AnBnC) = 300- 100 = 200

c) "La campaña B, o la C, o ambas", en el diagrama de Venn-Euler correspondea ^ u C que son las regiones Rp R2, R3, J?4, i?6, i?r El número de elementosse calcula:

8{BKJ C) = 8(B) + 8{C) - 8(Bn C) = 840 + 920 - 300 - 1460

d) "Al menos una de las campañas" corresponde a las regiones Rv Rv Rv R4,R5, R6, Rr Su cardinalidad se calcula:

= 580 + 840 + 920 - 260 - 220 - 300 + 100 = 1660

e) "Ninguna de las tres" corresponde a la región R que es el conjunto A'c\ B'n C Utilizando el resultado de 8{A u £\j C) - 1660 se tiene:

8{A'c\ B'n C) = 8(íl) -8(AUBKJ C) = 2000 - 1660 = 340

La información obtenida permite efectuar análisis semejantes al del ejemploanterior.

4. Se desea comparar la preferencia de una población sobre el consumo de tresproductos y para esto se ha contratado a un investigador de mercados. Es natu-ral que algunas de las personas entrevistadas declaren que les gustan todos losproductos investigados, que algunos gusten de sólo dos de ellos y a otros no lesguste ninguno. El investigador decidió que estas últimas personas no se inclui-rían en la muestra y entrevistó a 1000 personas que gustaban de al menos unode los productos. El reporte que presentó indicaba que:

729 gustan del producto 1.814 gustan del producto 2.628 gustan del producto 3.592 gustan de los productos 1 y 2.465 gustan de los productos 1 y 3.



3 8 Álgebra básica

411 gustan de los productos 2 y 3.300 gustan de los tres productos.

La empresa que contrató al investigador sospecha que las entrevistas no se rea-lizaron con honestidad, es decir, que algunas de las cifras presentadas fueron in-ventadas por el investigador. Se trata de comprobar esta hipótesis.

Solución:Sean1 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 1.2 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 2.3 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 3.

Entonces,1 u 2 u 3 = Conjunto de personas entrevistadas.1 n 2 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 2.1 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 3.2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 2 y 3.1 n 2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los tres productos.

De acuerdo con la información reportada:5(1 u 2 u 3) = 1000 5(1 n 2) = 5925(1) =729 5(1 n 3) = 4655(2) =814 5(2 n 3) = 4115(3) =628 5 ( l n 2 n 3 ) = 300

Si el investigador no miente, se debe satisfacer la ecuación de la cardinalidadde la unión de tres conjuntos 5(1 u 2 u 3) = 1000 =>

5(1 u2u3) = w = 5(1) + 5(2) + 5(3) - 5(1 n 2) - 5(1 n 3) - 5(2 n 3) + 5(1 n 2 n 3) =w= 729 + 814 + 628 - 592 - 465 - 411 + 300w= 1003

Por lo que se concluye que el reporte no es internamente consistente.




Ejercicios de 1.5.1

1. El departamento de publicidad de El Palacio de Hierro interroga a una muestrade 1000 clientes, seleccionados de entre todos los que abrieron su cuenta decrédito en el pasado mes de diciembre, y se les pregunta si su crédito fue utili-zado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes.

Los resultados fueron los siguientes:

MercancíaArtículos para el hogar

Artículos de vestir

JuguetesArtículos del hogar y de vestir

Artículos del hogar y juguetesArtículos de vestir y juguetes

Artículos de vestir, del hogar y juguetes

Número de personas275

400

550

150

110250

100

Se desea saber:

a) ¿Cuántas personas no usaron su crédito en alguna de esas tres mercancías?b) ¿Cuántas personas utilizaron su crédito sólo para comprar artículos de vestir?c) ¿Sólo para artículos del hogar?, ¿sólo para juguetes?

2. Un investigador de mercados efectúa una encuesta sobre los hábitos de lecturade periódicos de la ciudad, con los siguientes resultados:

PeriódicoLa Jornada

El Financiero

Reforma

La Jornada y El Financiero

La Jornada y Reforma

El Financiero y Reforma

Al menos uno de los tres

Lectores9.8%

22.9%

12.1%

5.1%

3.7%6.0%

32.4%



40 Álgebra básica

Calcular el porcentaje de personas que:

a) No leen ninguno de los periódicos mencionados.b) Leen dos de los periódicos.

3. La compañía Central de Suministros Metálicos, distribuidora de artículos deferretería, ha adquirido un lote de tuercas a granel en una subasta de la Direc-ción de Aduanas. Una muestra de 500 tuercas reveló que éstas pueden utilizarseen tres diferentes operaciones básicas, como se indica a continuación:

OperaciónContrapiezaSoporteContrapieza y soporteContrapieza y nivelaciónSólo para nivelaciónContrapieza o soporteNivelación y soporte

Tuercas255

215

25

125105

39560

Se desea conocer:

a) Número de tuercas que pueden utilizarse en las tres operaciones.b) Número de tuercas que tienen que ser desechadas.

4. AMSA realizó una encuesta de opinión sobre la preferencia de los productos TíaRosa. Se entrevistó a 900 amas de casa y se obtuvieron los siguientes datos:

Productos de preferenciaSólo conchasSólo cuernitosSólo mantecadasConchas y cuernitosCuernitos y mantecadasConchas y mantecadasLos tres productos

Personas130

88

32

144

86

89

205




Se pregunta:

a) ¿Cuántas personas consumen al menos conchas o cuernitos?b) ¿Cuántas personas no consumen alguno de estos productos?c) Analiza la información obtenida. En caso de ser necesario, obten la información

adicional que requiere este análisis mediante operaciones entre conjuntos.

5. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efec-tuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información:

55% fuma cigarros Boots.50% fuma cigarros Delicados.40% fuma cigarros Benson.10% fuma las tres marcas de cigarros.20% fuma las dos primeras pero no la tercera.18% no fuma las dos primeras pero sí la tercera.5% sólo fuma la tercera y segunda marcas o no fuma.

Se pregunta:

a) ¿Qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros?b) ¿Qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?

1.6. EL PAQUETE MATHEMATICA

Debido a los grandes avances logrados en el campo de la computación aplicada, sehan creado herramientas que, además de ser fáciles de manejar e interactivas, cons-tituyen un gran apoyo para quien usa las matemáticas.

Mathematica, más que un paquete, es un sistema general de computación yun lenguaje; permite manipular símbolos, hacer cálculos numéricos y granearde manera simple; calcula integrales indefinidas; resuelve ecuaciones y siste-mas de ecuaciones; encuentra la solución de una ecuación diferencial o de unsistema de ecuaciones diferenciales; resuelve problemas de programación li-neal, no lineal y entera. Además, es posible extender sus alcances programandoen el lenguaje que incluye.



42 Álgebra básica

1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos

Para utilizar este paquete es necesario entrar a Windows y después abrir Mathematicamarcando dos veces el icono correspondiente.

Una vez dentro se pueden incluir comentarios, títulos o explicaciones sobre laoperación que se realizará, tecleando e ingresando con enter (véase imagen 1.1).

IMAGEN 1.1

Efe £tót Qe\l £raph ¿ction

Aqui se muestra el icono de Mathematica,así como el menú que aparece en pantalla yel corchete a la derecha acompañacada operación

Mathematica Front End Ready

Cada operación consiste en un pequeño diálogo con el paquete. El texto queaparece en las líneas marcadas con InfnJ es lo que se tecleó en el renglón n, omejor dicho, es la operación n-ésima. Lo que aparece en el renglón marcado conOutfn] es la respuesta correspondiente a esa operación proporcionada por el pa-quete; cuando no cabe en un solo renglón, se indica con \ y se continúa en elrenglón siguiente.

Para obtener el resultado de la operación que se desea efectuar, es necesarioapretar simultáneamente las teclas shifty enter.

Cada operación queda indicada con un paréntesis rectangular o corchete, queaparece del lado derecho; al solicitar el resultado, una recta da por terminada laoperación. Cuando el cursor se coloca arriba de la recta se tiene la oportunidad de




aumentar el número de instrucciones para la misma operación y si el cursor se colocapor debajo de esta línea y se oprime return, se puede introducir una nueva operación,tecleando otro conjunto de instrucciones marcadas con un nuevo corchete del ladoderecho.

Es importante notar que la primera letra de cada instrucción es la única ma-yúscula, las demás deben ser minúsculas.

El menú que aparece en la ventana de Mathematica contiene las funciones:File, Edit, Cell, Graph, Action, Style, Options, Windowy Help. Aquí se señalan lasoperaciones más usuales.

Cuando se selecciona File aparece un menú que ofrece, entre otras, la op-ción New, que permite crear un archivo nuevo; se obtiene el mismo resultadoapretando simultáneamente las teclas Controly No el icono de hoja blanca (véaseimagen 1.2).

IMAGEN 1.2

£d¡l £©B firaph Action £lyle fiptíoms

New Ctrl+Nupen... Ctrl+O

Save As...

import..Export...

Print...

Ctrl+S

Drl+P

AU+F4

1AAC0NJUNT0.MAZ NOTEBOOKSCHAOS.MA3D0CSNWINFEAT.MA

fclelp

iCtose the current N otebook.

i j ^ inicio | i£J Disco de 3H (A;)

f [15876K Bytes Fi

| % f Microsoft Word* capi.doc | [%& Mathematica for Win. 20:58

Open sirve para abrir un archivo existente y puede sustituirse oprimiendo Con-trol7y OOQI icono de carpeta semiabierta; Cióse se utiliza para cerrar el archivo conel que se está trabajando y corresponde a oprimir Control^ F4; Save y Save as seutilizan para grabar un archivo, la primera en el disco en el que se trabaja y la segunda



44 Álgebra básica

en el que se seleccione, y estas operaciones pueden realizarse también apretandolas teclas Control y S, Shifty Control y So el icono del disco; para imprimir, aquíaparece la instrucción Print, también puede usarse el icono de impresora o lasteclas Control y P; para salir, en este menú aparece como última opción Exit. Otraopción interesante que aparece en File es la que se llama Palettes, que proporcionasímbolos, como extensiones del teclado, muy útiles para simplificar la entrada dedatos; por ejemplo, la correspondiente a operadores generales de caracteres com-pletos es la que se muestra en la imagen 1.3:

IMAGEN 1.3

t> Letters

t> Letter—I i Ice Forms

^ ^ O^ierators

35 •

.,„£,.!.w i"V :« :

ut<

-*- 13FI;£j

m \

j j>

—.

\

nr

±,3 »

«E>

**.

niy

mm

.TU

<&*

•v •

un

W>

- • •

s*_-•o

^ .

XX

H

s

O í

En lo que respecta a iT¿/// (véase imagen 1.4), el menú que aparece al apretaresta opción ofrece, entre otras operaciones, Cuty Clear, que se usan para borrar; laforma de aplicarlos consiste en: primero, marcar lo que se desea borrar, posando elcursor en el paréntesis de la derecha, correspondiente a las instrucciones o resulta-dos que se deseen desaparecer, después se pulsa Edit y luego Cut o Clear oControl y X. El icono de Copy se utiliza para reproducir lo que ya se tecleó, proce-diendo de la misma manera que con las instrucciones anteriores o apretando elicono de las dos hojas; su instrucción compañera es Paste, que sirve para queaparezca en el lugar en el que se ponga el cursor lo que se había copiado con lainstrucción anterior.




IMAGEN 1.4

jlnput

£ite § ü | £ell £raph éction £tyle Qptions

Undo Ctrl+2

Cu]

i JJ

Drl+X

Drl+C

Clear Del

Paúe and Discard

Auto Paste

Find... SNII+F3

FindandReplace...

SelectAHCells Shift-Drl+A

,_IJA-J-.J.J—I-J-JJ:L-J-.J-.L.J-J-.J.J.ÍLJ.

Seiect aJI the cells in the Notebook.

I g f Microsoft Word -oapi.doc ||^MathemaUca foi Win.. 21:05

Cuando se tenga alguna duda se puede recurrir al menú Help (véase imagen1.5), que presenta una explicación amplia sobre la utilización del paquete y funcionaofreciendo opciones en menús sucesivos hasta llegar a la respuesta buscada.



46 Álgebra básica

IMAGEN 1.5

About Mathematica...

V/hv the Beep?... DrkH

Mathematíca Help contents page.

I ]^f Microsoft Word -capi.doc ||^pMathematíca for Win. . 21:09

/ 6.2. Mathematica y teoría de conjuntos

Mathematica utiliza la notación ^r/ //jr/V¿7para denotar los conjuntos, esto es, entrellaves enumera sus elementos, separándolos por comas (véase imagen 1.6).




IMAGEN 1.6

¡g] £¡le Edil £ell Graph Action Style üptions V¿indow Help -Ifli xj

ú L I JL I I K i l M I fl-IMlS,!, ] S C m i IMiTTtl

Ejemplos de la seccitfn 1.1.2

^7,14,21,28} ={lo5 mineros THturales x =7n, 0<=¿TK=4}C={Proveedores de El Palacio de Hierro}D={ciudadaTOs mexicanos}

About M athematica. 15878K Byte$ Ftee

jgB Inicio | ^JDi$code3^(A:l | Jgy Microsoft Word • capVdoc | | ^ Matemát ica for Win.. . ü s ü & J 21:15

Unión de conjuntos

La unión de conjuntos se obtiene a partir de la instrucción

Unionfconjunto,, conjunto2, ..., conjuntoj

Ejemplo

A= {1,3,5,7,9}B = {2,3,4,5,8}

In[2]:=Union[A,B]Out[2]={l,2,3,4,5,7, 8,9}



48 Álgebra básica

Intersección

También maneja la notación comprensiva, definiendo el conjunto a partir de suspropiedades. La intersección se indica mediante

Intersection[conjunto1? conjunto2,..., conjuntoj

In[3]:=A = Table[2An-l, {n, 1, 16}]B = Table[Prime[i], 1,5000}]

In[4]:= Intersection[A, B]Out[4]={3,7,31, 127,8191}

La función Table[2An-l, {n, 1, 16}] representa una tabla que contiene el con-junto de números de la forma 2n~\ donde n- 1, ...,16. Análogamente, el conjunto Bestá expresado mediante una tabla, que contiene los números primos entre 1 y5000, y la función intersectionfA, B] devuelve los elementos comunes a ambosconjuntos.

Complementación

Otra instrucción relativa a conjuntos es la que permite encontrar el complementode un conjunto o una colección de conjuntos:

Complementfuniverse, Ap A2,...] proporciona los elementos del primerconjunto que están fuera de los conjuntos señalados posteriormente.

Ejemplo

In[5]:=Enteros ={1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15,16, 17, 18,19,20}Primos = { 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}Números ={1,3, 7, 15,31}

In[6]:= Complement[Enteros, Primos]Out[6]= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}




In[7]:= Complement[Enteros, Primos, Números]Out[7]= {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

En las imágenes 1.7 y 1.8 se muestra la forma como se introducen las operacio-nes entre conjuntos y aparecen los resultados.

IMAGEN 1.7

m UrttílletM

mil]:- A = U , 3 , 5, 7, 9}

B = { 1 , 2, 3 , 4 , 5, 7, 8, 9}

Union[A, B]

Intersection[A, B]

Out[1]= ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9}

Out[2]= { 1 , 2, 3 , 4, S, 1, 8 , 9}

Out[3]= { 1 , 2, 3, 4, 5 , 1, 8 , 9}

0ut[4]= { 1 , 3 , 5 , 1, 9}

ln[5]:= L = {0, 3, 5, 11, 15}

F={1, 2, 3, 6, 12}

Union [A, B, L, F]

Intersection[A, B, L, F]

Out[5]= { 0 , 3 , 5 , 1 1 , 15}

Out[6]= { 1 , 2 , 3 , 6 , 12}

Out[7]= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 2 , 15}

Out|8]= {3}



50 Algebra básica

IMAGEN 1.8

ln[9]:= U - {X, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, XO ,

Out[0]=

Out[1D]=

ln[11]:=

Out[11]=

ln[12]:«

Quil-

ín [13]:-

Out[13]=

{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5,

<1O, 13 , 14}

Coir^leirentCa,

{ }

Co^lenentCF,

<2, 6, 12}

Com^leineiit [L ,

{O, 5, 11 , 15}

. 6, 7

B ]

A ] 1-f % ;-

En las imágenes 1.9 y 1.10 se muestran las operaciones entre conjuntos sugeri-das en el ejemplo 2 de la sección 1.3. Observe que las etiquetas de los conjuntos Cy D son sustituidas por Fy G, debido a que las letras Cy D son reservadas por elpaquete Mathematica para usos predeterminados internos.




IMAGEN 1.9

U . {O, 1, 2, 3 , 4 , 5, 6, 7}; A -{O, 1, 2, 3}; B - { 0 , 2 , 4 , ( } ;F * { 1 , 3 , 5, 7}; G- {7};Canvlenent[U, A]

, B]U, F]

Union[A, B]CoiTi)lejnent[U, Unió*[A, B] ] ;

Coiri>le™>nt[A, B]IntersectionCA, F]Intersect ion[B, F]

B, F]A, G]F, G]

Union[Intersection[A, F ] , G], Ccnt*lei«nt[U, A]]

IMAGEN 1.10

Outp2]« { 4 , 5 , 6 , 7}

Outp3]= { 1 , 3 , 5 , 7}

0utp4]= { 0 , 2, 4, 6}

Outp5]= { 0 , 1 , 2, 3 , 4 , 6}

Outp6]= { 5 , 7}

Outp?]= { 1 , 3}

Outp8]= { 1 , 3}

Outp9]= { }

Outp0]= { 0 , 2, 4, 6}

Outpi]= { 0 , 1 , 2, 3}

Outp2]= { 1 , 3 , 5}

Outp3]= { 1 , 3 , 7}

0utp4]= { 0 , 1 , Z, 3}

J3333333333333.

'A

}',

'•'',



52 Álgebra básica

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Tema 1.2.21. a) *

bj =

2. a) (f)

c)d)ej

f)

h)

0J)

(í)(v)(f)(í)

(í)(v)(f)

3.

Conjuntos

•{1}

{1,3}{0,1}

{0,1,3}{0}

{1}C

c

{0}

c

t<ttc

{1,0}

cctQ

tc

{3,0,1}

ctcccc

Tema ]. 5.11. tfy1 185

^ 100c) Sólo hogar: 115

Sólo juguetes: 290

2. 67.6%10%



1. Teoría de conjuntos 53

3. a) 20b) 0

4. a) 142^ 126

5. a) 42%b) 32%

BIBLIOGRAFÍA

Bartle, Bartle, y Sheerbert Donald, Introducción al análisis matemático de unavariable, Limusa, México, 1994.

Kleiman, Ariel, Teoría de conjuntos para economía y administración, Limusa,México, 1997.

Lipschutz, Seymour, Probabilidad, McGraw-Hill, México, 1994.Lovaglia, Florence, et al, Álgebra, Haría, México, 1997.Sauvegrain, Robert, et al, Tópicos de matemáticas para administración y econo-

mía, Trillas, México, 1993.Weber, E. Jean, Matemáticasparaadministración yeconomía, Haría, México, 1994.



CAPÍTULO 2Sistemas numéricos



2. SISTEMAS NUMÉRICOS

Al terminar este capítulo, el lector podrá:Identificar los elementos de los distintossistemas numéricos.Conocer sus propiedades y limitaciones.Efectuar las distintas operaciones definidasentre sus elementos.Dominar las leyes que rigen estas operaciones.

Estructura del capítulo

Introducción2.1. Números enteros y fraccionarios.2.2. Números reales.2.3. Leyes y propiedades.2.4. Valor absoluto.2.5. Aplicaciones.2.6. El paquete Mathematica y los sistemas

numéricos.Solución a los ejercicios propuestos

INTRODUCCIÓN

Así COMO ESTAMOS acostumbrados a ver el Sol, la Luna y las estrellas en elcielo y no nos llama la atención su existencia ni valoramos su grandeza,también aceptamos nuestro sistema de números. Pero hay una diferencia:

nos vemos forzados al aprendizaje de números y operaciones numéricas cuandosomos pequeños y no podemos apreciarlos, por lo que crecemos en la creencia deque los números son monótonos y aburridos. Sin embargo, el sistema de númerosmerece toda nuestra atención, no sólo porque es la base de las matemáticas, sinoporque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones.

Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos quienes mejor evaluaronel prodigio y las virtudes del concepto de número. Hubo otros pueblos bien dota-dos intelectualmente, pero debido a que no consideraron los números de maneraabstracta, no pudieron comprender su naturaleza. Para los griegos fue un maravi-lloso descubrimiento el hecho de abstraer de muchas y diversas colecciones deobjetos una propiedad como la cinquidad(á& cinco).

57



58 Álgebra básica

En este capítulo se presentan los sistemas numéricos más utlizados, sus propie-dades y operaciones.

2 .1 . NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS

Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N- {1, 2, 3, 4, .. .},utilizados para contar y ligados siempre con objetos. Su justificación fue la necesi-dad de distinguir entre las diferentes cantidades de objetos, pues no es lo mismoposeer tres animales que cinco y fue necesario diferenciarlos de alguna forma. Porlo tanto, los números se utilizaban como calificativos de las cosas y era difícilhacer una separación entre ellos y los objetos.

Por esta dependencia, no fue fácil concebir el número correspondiente a la au-sencia de cosas, el cero, además de que presenta mayor dificultad distinguir entrelo que es ausencia de cosas y lo que significa vacío. Los mismos griegos no lolograron. Esta distinción puede entenderse claramente en los siguientes ejemplos:no es lo mismo no tener calificación por haber faltado a un curso que tener cerodespués de haber presentado el examen; asimismo, es distinto no tener cuenta en elbanco, y por consiguiente carecer de saldo, que tener en su cuenta bancada unsaldo de cero. Al sistema formado por los números naturales y el cero se le repre-senta por ^ = N u {0}.

Además, incluyendo al cero en el sistema numérico, fue posible establecer elmétodo actual de escritura de números: primero se cuentan las unidades, las grandescantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de dece-nas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa 252. El 2 de la iz-quierda significa dos decenas de decenas, el 5 indica cinco veces 10 y el 2 de laderecha simboliza dos unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el sis-tema de escribir cantidades, pues permite, por ejemplo, distinguir entre 22 y 202.Como el 10 desempeña un papel fundamental en el sistema numérico, se le llamasistema decimal, en el cual el 10 es la base. Lo más seguro es que el uso del 10resulte del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y,habiendo pasado por todos los dedos de las manos, consideraba que el número alque había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de unnúmero es lo que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional.El sistema decimal de notación posicional que usamos es un legado hindú.

Pero volviendo a los griegos, es interesante resaltar las ideas de los seguido-res de Pitágoras con respecto a los números; a los pitagóricos les emocionabanlos números y, dado que eran místicos, les asignaban importancia y significadosque ahora juzgamos infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la



2. Sistemas numéricos 59

naturaleza misma de la razón, pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doc-trina. El número "dos" lo identificaban con la opinión, ya que ésta implica clara-mente la posibilidad de que exista opinión contraria y, por consiguiente, hay porlo menos dos. En el "cuatro" reconocían la justicia, porque es el primer númeroque resulta un producto de iguales. Los pitagóricos representaban los númeroscomo puntos en la arena o por medio de piedritas. Para cada número, los puntoso las piedritas se ordenaban de manera especial. El "cuatro", por ejemplo, serepresentaba con cuatro puntos, que sugerían un cuadrado. Así quedaban vincu-lados también el cuadrado y la justicia. Hasta hoy, "cuadrar" significa en españolajustar una cosa a otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primernúmero masculino, tres, con el primer femenino, dos (los números impares eranmasculinos y los pares, femeninos). El número "siete" indicaba salud y el "ocho",amistad o amor.

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y divisiónnos resultan tan familiares que no percibimos que son en extremo complejas y, a lavez, de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos y poco apoco fueron evolucionando, a medida que mejoraban los procedimientos paraescribir números y aparecía el concepto de cero. Los europeos heredaron de losárabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron elsistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron quebasarse en este sistema. En parte, porque estos procedimientos eran laboriosos yen parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían elarte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad, los pro-cedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayo-ría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales ha-bilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidoscomo practicantes del "arte negro".

Una operación definida entre los números naturales es una función de Nx N{X)

en N(operación: Nx N —> JV), que asocia a cada par de números naturales otronúmero llamado resultado de la operación. Se dice que una operación está biendefinida cuando satisface la cerradura, esto es, para cualquier par de números elresultado es un número del mismo conjunto.

(1) Ax Bes producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es la colección de parejas ordenadas (a, b)con a e A y óe B.



60 Álgebra básica

Las operaciones bien definidas entre los números naturales son la adición y lamultiplicación (adición abreviada), pero al trabajar con la suma s de dos númerosa y b se observó que no siempre era posible encontrar en los números naturales unnúmero b que al ser sumado con a diera s. Por ejemplo, no hay un número quesumado a 5 dé 3, por esta razón la resta no está bien definida entre los númerosnaturales, ya que para encontrar la solución de b + 5 = 3 es necesario restar 5 de 3,esto es, b = 3 - 5 y este número no está entre los naturales.

Para que fuera posible restar entre cualquier pareja de números fue necesarioampliar el sistema numérico y agregar el cero y los números negativos. Cuando elsistema numérico incluye el cero y los negativos se llama sistema de los númerosenteros, Z- {..., - 5 , -4 , - 3 , -2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. En este sistema están biendefinidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

2.1.1. Los números negativos

Añadir los números negativos al sistema numérico fue también idea de proceden-cia hindú. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, enparticular las que se deben. Quizá porque la condición normal de los hindúes era lade estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que repre-sentaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se co-noce como números negativos; para distinguir claramente los números positivosde los negativos se añade un signo - antes del número para indicar que es negativo.En los bancos y las grandes empresas comerciales, que manejan constantementenúmeros negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja, mientras paralos positivos utilizan tinta azul.

El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación deingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativaslas temperaturas por debajo de 0o y como positivas las que están por encima deesta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar tambiéncon números positivos y negativos, respectivamente. A veces, tiene sus ventajasrepresentar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con númerosnegativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como puntode partida, el año 50 a.C. se podría indicar como el año -50.

Para sacar el máximo provecho al concepto de números negativos debe serposible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entenderlas operaciones con números negativos, así como con números negativos ypositivos simultáneamente, si se tiene en mente el significado físico de estasoperaciones.




Como los números negativos representan deudas, y por lo regular la sustrac-ción tiene el significado físico de "quitar", entonces la resta de un número negativosignifica la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene, porejemplo, $3.00 y le pagan una deuda de $8.00, entonces la cancelación de ésta dejaa la persona con $ 11.00. En términos matemáticos se ve que +3 - (-8) = +11. Y enpalabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número posi-tivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5.00por día. A los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $15.00. Si denota-mos la deuda de $5.00 con -5 y si se endeuda a razón de $5.00 por día durante tres días,su deuda se representa matemáticamente como 3 (-5) = -15. Así, la multiplicaciónde un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valornumérico es el producto de los valores numéricos implicados.

Hay una definición más sobre los números negativos, cuya veracidad es fácilde percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del cero que 3 esmayor que 2, que 2 es menor que 12 y que cualquier número positivo es mayor quecero. De los números negativos se dice que son menores que los positivos y que el cero.Además, que -5 es menor que -3 o que -3 es mayor que - 5 .

Es fácil comprender la posición relativa de los números positivos, los negativosy el cero imaginando estos números como los puntos de una línea que crecen haciala derecha, como en la figura siguiente. Lo que se aprecia en ella no difiere muchode lo que se observa cuando se pone la escala de un termómetro en posición hori-zontal (véase figura 2.1):

FIGURA 2.1

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5Dirección de crecimiento

Los subconjuntos más importantes del conjunto Zson:

N- {1, 2, 3, 4,...} los números naturales o enteros positivos.W— {0, 1, 2, 3, 4,...} los enteros no negativos.{..., -4 , - 3 , -2 , -1} los enteros negativos.{..., -4 , - 3 , -2 , -1,0} los enteros no positivos.



62 Álgebra básica

Reglas de los signos

Para operar con los números enteros es importante tener presentes las reglas de lossignos:

• Para sumar dos elementos del conjunto /Fsólo se suman y su resultado estáen /F(la suma de positivos es positiva y con magnitud(2) igual a la suma de lasmagnitudes), así 8 + 23 = 31.

• Para sumar dos elementos del conjunto de enteros negativos, se suman susmagnitudes y al resultado se le asigna el signo negativo, -7 + (-13) = -20.

• La suma entre un número positivo y un negativo es igual a la resta desus magnitudes con el signo correspondiente al de mayor magnitud, 36 +(-47) = -11.

• La multiplicación de números con el mismo signo (positivo o negativo)es igual al producto de los números con signo positivo, (5)(8) = (-5)(-8) = 40.

• La multiplicación de dos números con distinto signo es igual al producto de lasmagnitudes de los números y su signo es negativo, (7)(-8) = (-7)(8) = -56.

Ejercicios de 2.1.1

1. Supóngase que una persona tiene $3.00 y contrae una deuda de $5.00. ¿Cuál essu capital neto?

2. Una persona debe $5.00 y luego adquiere una deuda nueva de $8.00. Utilizanúmeros negativos para determinar su situación financiera.

3. Un comerciante debe $5.00 y gana $8.00. Utiliza números positivos y negati-vos para calcular su capital neto.

4. Supóngase que una persona debe $13.00 y paga una deuda de $8.00. Utilizanúmeros positivos y negativos para calcular su capital neto.

5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $100.00 por semana.Indica este cambio de capital con -100, el tiempo futuro con números positivosy el tiempo pasado con números negativos.a) ¿Cuánto perderá esta persona en cinco semanas?b) ¿Cuánto tenía hace cinco semanas?

(2) Se llama magnitud a la distancia del número al cero en la recta.




2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones

Como ya se mencionó, en el sistema de los números enteros están bien definidas lasuma, la resta y la multiplicación, que son cerradas. La resta, además, es la opera-ción inversa a la suma, deshace lo que la suma hizo. Pero la multiplicación noposee una operación inversa, pues la división, que tiene este papel, no está biendefinida en este conjunto. Para que sea factible su definición es necesario ampliarnuevamente el sistema de números, agregando las fracciones.

Así, los números fraccionarios deben su existencia a la operación división.Se dice que un número b divide a otro número a, y se indica como b/a, si existe

un número c tal que cb = a, pero no todos los números son divisibles entre losdemás; cuando existe c tal que cb = a, se dice que c y b son factores o divisores de a.Si b no divide exactamente a a, se indica como bYa, entonces el resultado no es unnúmero del mismo conjunto, es una fracción.

Es importante destacar que se deduce de la definición de la división que ésta noes posible entre cero, pues para que O/a se requiere que exista c tal que Oc = a, loque no es cierto para ninguna a^Q porque el resultado de multiplicar por cero essiempre cero.

Cuando se empiezan a manejar fracciones y la división es también una opera-ción bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales Q-{p/q\p,q e Z, con q± 0}, es decir, £?es el conjunto de cocientes de enteros condenominador diferente de cero.

Aunque el procedimiento común de escribir fracciones, por ejemplo 2/3 o 7/5,para expresar partes de un todo no es difícil de comprender, las operaciones confracciones parecen tener algo de misterioso. Para sumar 2/3 a 7/5 se lleva a cabo elsiguiente proceso:

2, 7 10 21 31+ +

Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente,de modo que los denominadores fueran iguales, y luego se sumaron los numeradores.Para convertir una fracción en otra equivalente basta multiplicarla por la unidadexpresada como fracción, con el numerador y el denominador iguales. En estecaso, la primera se multiplicó por 5/5 y la segunda por 3/3.

Los números fraccionarios se agrupan en clases de fracciones equivalentes, ycada clase tiene un representante llamado fracción irreducible. Así, están en lamisma clase

1 = 1(2) = 2 = 1(3) _ 3 _ 1(4) _ 4 _ 52 " 2(2) " 4 " 2(3) " 6 " 2(4) ~ 8 " 10



64 Algebra básica

El representante de esta clase es 1/2, el cual es irreducible. Una fracción se diceirreducible cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, esdecir, son primos relativos.^ Es recomendable utilizar este representante irreduciblepara simplificar los cálculos. La operación que consiste en reducir una fracción asu representante irreducible se llama simplificación y se efectúa cancelando losfactores comunes a numerador y denominador.

En el ejemplo anterior los denominadores 3 y 5 son primos relativos, por esobasta con cruzarlos; es decir, la primera fracción se multiplica por el denominador dela segunda y la segunda por el denominador de la primera, y el común divisor resultaser el producto de los denominadores; pero, en general, el que funciona comocomún denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores, y paraaveriguar el número por el que se debe multiplicar cada fracción, para convertirlaen otra equivalente con un denominador igual al denominador común, es necesariodividir el máximo común divisor entre el denominador correspondiente:

3 _5___3x3 5x2__9_ 10__19^8 12 " 8x3 12x2 " 24 24 ~ 24

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se obtiene descomponiendo los denomi-nadores en sus factores primos y se multiplican todos los factores primos distintosa la mayor potencia a la que aparecen. Así,

m.cm. (8, 12) =

12

8 - 23 12 = 22 x 3 entonces m.c.m. (8, 12) = 23 x 3 = 24además 24/8 = 3 y 24/12 = 2

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denomi-nadores; ésta es la operación que se utilizó cuando se multiplicó cada fracción porla unidad, convertida en una fracción con el numerador y el denominador iguales:

> Dos números se dicen primos relativos cuando su máximo común divisor es 1.




1 7 7— x — = —3 5 15

o también

. 1 7 . 7 14O V v / V

3 5 15 15La operación de dividir una fracción entre otra consiste en multiplicar el nume-

rador por el inverso del denominador, por ejemplo:

3

2- T3

| 1 2 2

3

= x =

} 5 2 10

Notación decimal

Las fracciones, como los números enteros, se pueden escribir en notación posicional.Así,

j L _ ^ 5 _ _ ^ 0 _ _5__J2_ _5_4 ~ 100 ~ 100 100 ~ 10 100



66 Álgebra básica

Si se conviene en suprimir las potencias de 10, esto es, 10 y 100, así como lasmayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir 1/4 = 0.25. El puntodecimal recuerda que el primer número es en realidad 2/10, el segundo 5/100, y asísucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional para las frac-ciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de 10, igual que para los númerosenteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los algebristaseuropeos del siglo XVI.

Las operaciones con fracciones se pueden efectuar también en forma decimal.Lo que resulta frustrante de la representación decimal de fracciones es que no todaslas fracciones simples se pueden escribir como decimales con un número finito dedígitos. Así, cuando se trata de expresar 1/3 como decimal, resulta que no bastacon 0.3, ni con 0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de éste yotros casos parecidos es que, agregando dígitos, es posible aproximarse cada vezmás a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta.Este hecho se expresa con la notación:

- = 0.333...,

en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un 3para aproximarse más y más a la fracción 1/3. Es importante resaltar que la expre-sión decimal de los números fraccionarios es finita o periódica; en el ejemplo ante-rior el periodo que se repite es el número 3, lo cual también se indica como:

-- = 0.333...,= 0.3

Cuando la expresión decimal de un número no es de ninguno de los tipos men-cionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente no esracional y se llama entonces irracional:

{irracionales} = Qf- complemento de los racionales Q.

Ejercicios de 2.1.2

1. ¿Cuál es el principio de la notación posicional?2. ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional?3. ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número?4. ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones?




2.2. NÚMEROS REALES

2.2.1. Números irracionales

Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el concep-to mismo de número y en tratar de emplear los números para describir los fenóme-nos fundamentales de los mundos físico y social. Para los pitagóricos, los númerostambién fueron interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les gustaron los núme-ros cuadráticos, es decir, números como 4,9,16,25,36, etcétera, y observaron quelas sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados perfectos, eran tambiénnúmeros cuadráticos. Por ejemplo, 9 + 16 = 25, 25 + 144 = 169 y 36 + 64 = 100.También se pueden escribir así estas relaciones:

32+42=52, 52+122=132 62+82=102

A los conjuntos de tres números, cuyos cuadrados satisfacen igualdades comoéstas, se les sigue llamando ternas pitagóricas. Así, 3, 4 y 5 constituyen una ternapitagórica porque: 32+ 42 = 52.

Los pitagóricos trabajaron mucho con estas ternas, fundamentalmente porquese prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras).Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman elángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir, los catetos, entonces el tercernúmero será la longitud de la hipotenusa (véase figura 2.2).

FIGURA 2.2

13

Los pitagóricos edificaron una filosofía, para ellos muy satisfactoria, en la quese aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y socialesno eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre números enteros.



68 Álgebra básica

Pero cierto día, a uno de los miembros de la secta se le ocurrió examinar el caso, alparecer más sencillo, del Teorema de Pitágoras: supongamos que cada uno de loscatetos de un triángulo (figura 2.3) tiene una longitud de 1. ¿Cuál será entonces lalongitud de la hipotenusa? El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado (dela longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.Por lo tanto, si llamamos c a la longitud desconocida de la hipotenusa, de acuerdocon el teorema tendremos que:

c2=2

FIGURA 2.3

-J2

Pero 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y entonces cno es un número entero. Pero podría ser una fracción, esto es, seguramente habríauna fracción cuyo cuadrado fiiera 2. La fracción 7/5 se acerca al valor correctoporque (7/5)2= 49/25, que es casi 2. Pero por muchas pruebas que se hagan no seencontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2.

Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así: serequiere encontrar un número cuyo cuadrado sea 2. Supóngase ahora que 2 es lafracción [a/ó]2, en donde a y b son números enteros. Para simplificar más el proble-ma, se supone que ya se han eliminado todos los factores comunes de a y b (a/b esuna fracción irreducible).

La operación inversa de elevar al cuadrado es obtener la raíz cuadrada:

De ser correcta la ecuación 1, entonces, elevando al cuadrado sus dos miembros,paso que se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números




iguales dan resultados iguales (multiplicando el miembro izquierdo por VJ Y e^ dere-cho por alb), se obtiene:

Aplicando el axioma anterior, se multiplican ambos miembros de la ecuaciónpor b2 y se tiene:

2b2•= a2 (2)

El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número par.Pero si a1 es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, a deberá ser partambién. Si a es par debe contener 2 como factor, esto es, a=2d, en donde ¿/es unnúmero entero. Sustituyendo este valor de a en la ecuación 2 se obtiene:

2b2 = (2d)2 = (2d)(2d) = Ad2 (3)

Como: 2b2=4d2

se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener

b2=2d2 (4)

Por lo que b2 es número par y recurriendo una vez más al resultado del ejercicio 3,b tendrá que ser igualmente número par.

Lo que demuestra esta argumentación es que si V2" - Qlb> entonces a y b debenser números pares. Pero la fracción es irreducible, y a y b siguen conteniendo 2como factor común. ¡Contradicción! Como el razonamiento es correcto, la únicaposible equivocación estriba en el supuesto de que V2" equivale a una fracción. Enotras palabras, VJ no puede ser la razón de dos números enteros.

El símbolo ^/2 es un número porque representa la longitud de una línea, lahipotenusa de un triángulo, pero este número no es ni un entero ni una fracción.También descubrieron que hay una colección infinita de otros números que tampo-co son enteros o fracciones. Así, VJ, V5~ y V7> e n general, la raíz cuadrada decualquier número que no sea cuadrado perfecto, la raíz cúbica de cualquier núme-ro que no sea cubo perfecto, y así sucesivamente, son números que ni son enterosni son fracciones. El número TC, que es la razón de la circunferencia a su diámetro,tampoco es entero o fraccionario. Todos estos "nuevos" números se llaman números



70 Álgebra básica

irracionales. La palabra irracional significa ahora que estos números no puedenexpresarse como razones de números enteros, pero en tiempos de los pitagóricosquería decir inmencionable, inescrutable o inconocible.

Al agregar los irracionales a los racionales se obtiene el sistema de númerosreales 91 = QKJ {Irracionales}, en el que están bien definidas: la adición, la sus-tracción, la multiplicación, la división, la potenciación(4) y la radicación(5) de nú-meros no negativos.

Para poder utilizar los números irracionales se debe establecer la manera deoperar con ellos; es decir, cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

Es cierto que

Para multiplicar raíces cuadradas es suficiente con multiplicar los radicandos.Para la división, -V9~/-Vi> el procedimiento es semejante al caso de la multi-

plicación:

¡9 = \9~-74 V 4 '

pues esta ecuación informa sencillamente que 3/2 = 3/2.

Ejercicios de 2.2.1

1. Demostrar que el cuadrado de cualquier número par es par también. (Sugeren-cia: por definición, todo número par contiene 2 como factor, es decir, se repre-senta como 2n.)

2. Demostrar que el cuadrado de cualquier número impar es también impar. (Su-gerencia: todo número impar termina e n l , 3 , 5 , 7 o 9 y puede representarsecomo 2/z+ 1.)

3. Sea a un número entero. Demostrar que si a2 es par, entonces a es par también.(Sugerencia: utilizar el resultado del ejercicio 1.)

4. Establecer la verdad o la falsedad de la afirmación de que la suma de cuales-quiera dos cuadrados es asimismo el cuadrado de un número.

(4) Potenciación es la operación inversa de la radicación: elevar a una potencia un número, multipli-carlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente.

(5) Radicación es la operación para obtener la raíz de un número.




5. Expresar las soluciones a estos problemas de la manera más concisa posible:

a) V7 +V7 b) V3>V7 c) (VI2)(V3)

6. Simplificar las siguientes expresiones:

a) V50 b) V200 ^ V75

(Sugerencia: V5Q = V(25)(2) = V25 * -V2)

7. Explicar qué significa la afirmación de que n no es un número racional. ¿Escierto que n = 22/7?

8. Dado

A = {3, -1/3, V3 , 1/7, 0, 272727..., 3/7 , -2, 8/7, 3, 1/4, 0, 1/2}

escribir los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:

a) £= {x\ XG Jyxe Z)b) C= {x\ XG AyXG Q)c) D= {x\ XG AyxG W)d) E= \x\ XG AyxG N)e) G- {x\ XG A y xes irracional}f) H- {x\ XG A y x es un entero positivo par}g) J = {x| x G A y x es un número primo}h) K= {x\ XG A y .res el inverso aditivo de un número natural}

9. De los conjuntos siguientes, ¿cuáles son finitos y cuáles infinitos?

a) {x\ xes número natural par}b) {x\ xes cualquiera del primer millón de números naturales}c) {x\ XG £? y .resta entre 3 y 4}d) \x\ XG Qy xzsXk entre 1/4 y 1/3}e) \x\ XG QyxQStk entre 1/4000 y 1/3000}f) \x\ XG Wy .resta entre 3000 y 4000}g) {x\ XG Wy xestá entre 3 y 3 billones}h) {x\ XG Wy xes menor que 3 billones}i) {x\ x G Wy xes mayor que 3 billones}



72 Álgebra básica

Analizar las afirmaciones de los ejercicios 10 a 30 y marcar si son verdaderas ofalsas.

10. WaN11. NczQ12.13.14.15. 2 e Q16. QKJQ'=3Í

17. Si ae Q, entonces ae 9i18. Si^e % entonces ae Q19. Si ae Z, entonces ae Q20. Sií7e {0},«e 9f21. Zu^=V22. 0u#=F23. {0} € N24. ZVJQ=Q

25. TKn /F= {0}26. 0 c {0}27. -3 e W28. -3 e £>29. JVe 9f30.

Explicar por qué los números de los ejercicios 31 a 36 son racionales.

31. 0.332. 3.6133. 1/734. 141635. 15%36. 0.5%

En los ejercicios 37 a 46, encontrar el número decimal que es equivalente alnúmero dado.

37. 7/838. 3/500




39. 5 2/340. 1/941. 7/1142. 3 3/743. 1444. 2/5%45. 0.7%46. 102%

Encontrar una fracción que sea equivalente a cada uno de los números decima-les periódicos dados en los ejercicios 47 a 50.

47. 0.44448. 0.707070...49. 1.2141450. 3.023023...

2.3. LEYES Y PROPIEDADES

2.3.1. Axiomas relativos a los números

Para entender el proceso deductivo de las matemáticas de los números es necesarioreconocer la existencia y el empleo de axiomas (verdades absolutas). Los másimportantes son los siguientes:

Axioma 1. Para cualesquiera dos números a y b:

a+b=b+a

Éste es el axioma conmutativo de la adición. Afirma que se puede conmutar, ointercambiar, el orden de los dos números al sumarlos.

La sustracción no es conmutativa: 3 - 5 no es lo mismo que 5 - 3 .

Si se tuviera que calcular 3 + 4 + 5, primero se podrían sumar 4 y 3 y luegoañadir 5 a este resultado; o se podrían sumar 5 y 4 y después el resultado a 3. Desdeluego, la suma será la misma en ambos casos, y esto es exactamente lo que afirmael segundo axioma.



74 Álgebra básica

Axioma 2. Para cualesquiera números a, b y c:

{a + b) + c=a+(b+c)

Éste es el axioma asociativo de la adición. Indica que se pueden asociar los tresnúmeros de dos maneras diferentes al ejecutar la adición.

Los dos axiomas anteriores tienen sus correspondientes para la multiplicación.

Axioma?>. Para cualesquiera dos números a y b:

ab- ba

Éste se llama axioma conmutativo de la multiplicación.

Axioma 4. Para cualesquiera tres números a, b y c:

(ab)c = a(bc)

Éste se denomina axioma asociativo de la multiplicación. Significa que [(3)(4)]5 =

Como ya se destacó, la existencia del número 0 fue crucial para el avance de lossistemas numéricos. Para reconocer formalmente que existe tal número y posee laspropiedades que requiere su significado físico, se enuncia el siguiente axioma:

Axioma 5. Hay un único número 0 tal que

a) 0 + a- a para todo número ab) 0 (a) - 0 para todo número ac) si ab- 0, entonces a=0 o b=0, o ambos son 0

El número 1 es otro número con propiedades especiales, que se especifican enel sexto axioma.

Axioma 6. Hay un único número 1 tal que

I (a) = ¿7 para todo número a

) Observa el uso de los diferentes tipos de paréntesis para aclarar la forma de asociación.




Como ya se ha mencionado, además de la suma y la multiplicación se tienenoperaciones como la sustracción y la división. Se sabe que, dados cualesquiera dosnúmeros a y b, hay otro número c que resulta de sustraer b a a. Pero la sustracciónes la operación inversa de la adición. Esto significa sencillamente que si se tieneque encontrar la solución a 5 - 3 se puede preguntar, y de hecho así se hace, ¿cuáles el número que agregado a 3 da 5? Si se sabe sumar se puede solucionar elproblema de restar. Aun cuando se obtiene la respuesta mediante un procedimientoespecial de sustracción, la comprobación consiste en sumar el resultado a la canti-dad sustraída para ver si da el número original, o minuendo.(7) Por lo tanto, es unproblema de sustracción, como 5 - 3 = x; pero lo que en realidad se está pidiendoes el número x que sumado a 3 dé 5: es decir, x + 3 = 5. El axioma 7 establece laexistencia de la solución(8) de esta ecuación:(9)

Axioma 7. Si a y b son dos números cualesquiera, hay un único número xtal que

a= b + x

El número x es lo que comúnmente se representa con a - b.Con respecto a la multiplicación, la división es también su operación inversa.

Cuando se trata de calcular 8/2 se puede reducir el problema de división a proble-ma de multiplicación, preguntando qué número x, multiplicado por 2, da 8, y si sesabe multiplicar se encontrará la respuesta. También aquí, como en el caso de lasustracción, aun si se aplica un procedimiento especial de división, larga, paraencontrar la respuesta, se comprobará el resultado multiplicando el divisor(10) porel cociente para ver si el producto es el dividendo (cuando la división es exacta, deotra manera es necesario sumar el residuo). Esto quiere decir sencillamente que elsignificado básico de alb es el de encontrar algún número xtal que bx — a.

(7) Los números que intervienen en la resta se llaman minuendo, el número del que se desea sustraerotro; sustraendo, que es el que se quita al minuendo; y resta, que se refiere al resultado.

(8) Se llama solución al número que hace cierta la igualdad establecida.(9) Se llama ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una

combinación de letras y números relacionados mediante operaciones aritméticas.(•o) Divisor, dividendo y cociente son los nombres que reciben los números que intervienen en una

división. Dividendo es el número que se va a repartir, divisor es el número entre el que se va arepartir el dividendo y cociente es el resultado de la operación.



76 Algebra básica

Axioma 8. Siay bson dos números cualesquiera, pero b^ 0, entonces hayun único número x tal que

bx= a

Por supuesto, x es el número que se acostumbra designar con a Ib.El axioma que aparece a continuación no es tan obvio. Afirma, por ejemplo,

que (3)(6) + (3)(5) = 3(6 + 5). En este ejemplo se pueden hacer los cálculos parasaber si los miembros izquierdo y derecho son iguales. Supóngase que se tienendos lotes de producción, uno de 157 y el otro de 379 artículos, y que el costo deproducción por artículo no depende del tamaño del lote y es de $7.00; el costo totalentonces es de (7)(157) + (7)(379). Pero si todos estos artículos hubieran resultadode una sola corrida, es decir, se hubieran producido (157 + 379), entonces el costohabría sido de (7)(157 + 379). Los hechos muestran que, en estas condiciones, elcosto de producir dos lotes es el mismo que el de producir uno solo mayor, esto es:(7)(157) + (7)(379) = (7)(157 + 379).

Dicho en términos generales, queda:

Axioma 9. Para cualesquiera tres números a, b y c:

ab + ac- a(b + c)

Éste es el axioma distributivo o ley distributiva, que relaciona las dos operacio-nes, la suma y la multiplicación. Por ejemplo, para calcular 571 x 36 + 571 x 64 =571(36 + 64) = (571) (100) = 57100. Ordinariamente se dice que se obtiene 571como factor común de la suma (o bien, que se ha factorizado esta expresión). Seobserva que:

ab + ac - a (b + c)

y también:

ba + ca = (b + c) a

Además de los axiomas anteriores, se tienen otros que se refieren a propiedadesevidentes de los números:

Axioma 10. Números iguales a otro son iguales entre sí.




Axioma 11. Si a números iguales se suman o restan números iguales, losresultados serán iguales; y si números iguales se multiplican odividen entre números iguales, los resultados serán iguales. (Noolvidar que está prohibida la división entre 0.)

El conjunto de axiomas enunciados no está completo, es decir, no forma la baselógica de todas las propiedades de los números enteros positivos y negativos, losfraccionarios y los irracionales. Sin embargo, en estos axiomas se tiene la baselógica de lo que se acostumbra hacer con los números en el álgebra básica.

Ejercicios de 2.3.1

1. ¿Es cierto que 256(437 + 729) = 256 x 437 + 256 x 729?¿Por qué?

2. ¿Es correcto afirmar que a(b - c) = ab- acl(Sugerencia: b-c = b + {-c))

3. Completa las operaciones que se piden en los siguientes ejemplos:

a)3a+9a B ¿>Ja(3) + a(9) c) la-9a B

d) 3(2¿? + 4¿) B ^(4*+5¿)7 f)a{a+b)

g) a(a-b)

4. Efectúa la multiplicación

(Sugerencia: trata (a+ 3) como un solo número y aplica el axioma distributivo.)

5. Calcula (/?+l)(/?+l)6. Si3x=6, ¿esx=2?, ¿porqué?7. ¿Es correcto que a + {be) -{a-\- b)(a + c)l8. Calcula:

a) 3/4 + 4/7 B b) 3/5 - 4/7 B c) 4/7 - 3/5

d) 2/9 + 5/12 B e) 2/9 - 5/12 f) 2/9 - (-5 /12)



g)-2l9 +(-5/12)

j) alb-(-cid)

9. Calcula:

a) (3/5X4/9)

d) (-3/5)(-4/9)

g) (alb)(bla)

j) 2/3 + 3/7

m) alb -s- cid

10. Calcula:

a11. Calcula:

a) (3/4X5/7) + 3/2

<# (4or+8^)/2 B

12. Calcula:

a) x/49 # «im

Jt ¡W

^ V2-7T ^ ^"-J? a

Algebra básica

h) alb-Y cid

k) Vx+ 1/2

/^ (3/5X-4/9) B

e) (alb)(cld)

h) (alb)(-cld)

k) 3/5 + 6/10

n) 21/8 + 5 (1/2)

b) (2a)(2b)

e) (2x)(3y)(4z)

b) (3 + 6a)/3

e) (ab + ac)la B

i) alb-cid

c) (-3/5)(-4/9)

^ (alb)(cla) B

# 2/5 + 1/5

^ 21/6 + 7/4 a

^ -8 - 2

cy (2^)(3¿)

cj(3a+6b)!3




13. Simplifica:

a) V32 b) V48 c) /72 d) M

[9~ [W [27~ [27

14. Escribe como fracción:

a) 0.294 # 0.3742 c) 0.08 ^ 0.003

15. Aproxima, con números que sean correctos, hasta una cifra decimal:

a) VT b) ,/T c) . /y

2.3.2. Propiedades de igualdad

El símbolo = se usa entre conjuntos para indicar que ambos tienen los mismos ele-mentos. También se escribe a = b para indicar que a y b representan el mismoelemento de algún conjunto. Se requieren ciertas suposiciones acerca de la rela-ción de igualdad respecto al conjunto de los números reales. Estas hipótesis puedenparecer triviales, pero son extremadamente importantes en el desarrollo lógico deeste sistema.

Postulado 1. La propiedad reflexiva de la igualdadPara cada ae % a- a

Postulado 2. La propiedad de simetría de la igualdadSi a, be SÍ y si a = b, entonces b - a

Postulado 3. La propiedad transitiva de la igualdadSi a, b, c e 9? y si a - b y b - c, entonces a - c

Postulado 4. La propiedad de sustitución de la igualdadSi a, b G SRyúa-b, entonces a puede ser sustituida por b en cualquierexpresión, enunciado específico o proposición abierta. Tal sustitución



80 Algebra básica

no cambia el valor de la expresión ni altera la veracidad del enunciadoespecífico, ni el conjunto de verdad de la proposición abierta.

La primera de estas propiedades, la propiedad reflexiva, ciertamente parece ob-via, pero debe destacarse que no todas las relaciones sobre el conjunto de los nú-meros reales tienen esta propiedad. Por ejemplo, no es cierto que a < a para cadanúmero real a. Nótese también que si a, b e 9Íysia<b,nose sigue que b < a. Esdecir, la relación menor que no tiene la propiedad de simetría. ¿Tendrá la propie-dad transitiva?

2.3.3. Postulados de orden

Los postulados de la igualdad ayudan a comparar números que no son iguales, talescomo 13 y 2. En el caso de 13 y 2 se sabe que 2 es la cardinalidad de un conjunto quese puede equiparar con un subconjunto propio de un conjunto de cardinalidad 13 y,por tanto, 2 es menor que 13. Se dice que una persona con un cuarto de su problemacorrecto tiene menor cantidad correcta que una persona con la mitad correcta; o queun terreno de media hectárea es mayor que otro de un cuarto de hectárea. Éste es ellenguaje que se requiere formalizar.

Se desea establecer una relación de orden entre los números reales. Esto signi-fica que dados dos elementos diferentes de 9Í uno debe ser menor que el otro y sedebe tener la posibilidad de decidir cuál es el más pequeño.

Como primer paso en el desarrollo de estas nociones se supone que el conjuntode los números reales 9Í tiene un subconjunto propio P, con las propiedades descri-tas en los postulados siguientes, llamados postulados de orden.

2.3.4. Postulado de tricotomía

Si x G % entonces una, y sólo una, de las proposiciones siguientes es verdadera:

xe P, -XE P o x=0

Postulado de cerradura para P:

Six ,^e P, entonces^-+ye Pyxye. P

Se procede a definir P:




Todo elemento de Pse llama número real positivo.

x es negativo si y sólo si -x es positivo

Para cada par de números reales x y y se dice que x es menor que y (se denotapor x<y) si y sólo si (y-x) e P

Para cada par de números reales x, y

x es mayor que y (se denota por x >y) si y sólo siy<x.

Las siguientes proposiciones se llaman desigualdades:

x<y (XQS menor que y)x> y {XQS mayor que y)

x<y fxcs menor o igual que y)x>y (xes mayor o igual que y)

Así, el conjunto de los números reales se expresa como la unión de tres conjun-tos ajenos: el de los números positivos, el que contiene sólo al 0 y el de los númerosnegativos.

SH = Fu {0} u {x | -XG P}

Los números positivos son mayores tanto que 0 como que todos los negativos.Entonces, todo número no nulo es positivo o negativo. De ser positivo es mayor

que 0 y si es negativo es menor que 0.

Teorema de tricotomía

Dados cualesquiera dos números reales xyy una y sólo una de las proposicionessiguientes es verdadera:

x<y y<x, x-y

La desigualdad tiene propiedades similares a las de la igualdad, que son nece-sarias para encontrar la solución de ecuaciones.



82 Álgebra básica

Teorema, x<y=>(U) x + z<y + zx>y=>x+z>y+z

Se puede sumar cualquier número a ambos lados de una desigualdad y obte-ner una desigualdad equivalente. Sin embargo, el resultado de multiplicar amboslados por un número depende de si el multiplicador es positivo o negativo. Almultiplicar por un número positivo se cumple:

x<yx> y

y z>0y z>0

Segunda proposición:

x>y y z> 0

=$ xz<yz=> xz> yz

<=><12V<- z>0 =$yz<xz=$ xz>yz

Es muy importante destacar que cuando se multiplica una desigualdad por unnúmero negativo, se debe cambiar un menor que por un mayor que y viceversa.

z < 0 al multiplicar por z:2<4 *=-2 (-2)(2)>(-

- 4 > - 8

z<03>2 z=-2 3(-2)<2(-2)

- 6 < - 4

Las relaciones de orden < y >, al igual que =, son transitivas.

Teorema de transitividad para desigualdades

x<y y y<z=> x<zx> y y y> z=> x>z

<") => es el símbolo de implicación, corresponde a j / . . , entonces...(12) <=$ es el símbolo de equivalencia, se lee ...siy sólo si...




También son ciertas:

x<yx> y

x, y a,x, y a,

a<ba> b

b>0,b>0,

Ejercicios del 2.3

=>x+ a<y +=>x+ a>y+

x<y yx>y y

bb

a< b=$a> b=>

ax>ax>

byby

1. ¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 0?2. ¿Es 1=0? Justifica la respuesta.3. ¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 1?4. ¿Qué expresa el teorema de tricotomía acerca del par de números 0 y 1?5. ¿Qué dice el teorema de tricotomía acerca del par de números - 1 y 1?6. Aplica la definición de menor que a los siguientes hechos. ¿Qué se puede

concluir?

a) 5<1 dj 20-16 e Pb) -3<-2 H e) 14-18 e Pc) 15-5 e P f) -3(-2)eP

7. Aplica la definición de mayor que a, los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir?

aj 5>2bJ-3>-7 Oc) 10 >0

8. Aplica la definición de negativo a los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir?

a) -5 es negativo.b) 4 es negativo.c) a+ bes negativo.d) a + ¿espositivo.e) xy es positivo.f) xy es negativo.g) (a+ b) es negativo.h) (xy) es positivo.



84 Álgebra básica

9. Aplica la definición de > a cada una de las proposiciones del ejercicio anterior¿Cuáles son las conclusiones?

10. Supon que cada una de las proposiciones siguientes es verdadera y escribe unaconclusión que se pueda derivar de ella. La conclusión no es necesariamentecierta. ¿Por qué?

a) -5 > 0bj -le P Bcj a^ by ano es menor que bd) 7 - 5 e Pe) 7>0f) -8 - 6 e P

h) 5 no es menor que 3 y 5 3i) 2 y 7 e Pj) -4 es un número negativok) a no es mayor que 0 y a no es menor que 0

2.4. VALOR ABSOLUTO

¿Qué tienen en común los números 7 y -7? Son números enteros que constituyenlas coordenadas de dos puntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambosquedan a la misma distancia del origen (véase figura 2.4).

FIGURA 2.4

-7

En otras palabras, -7 está tan lejos a la izquierda de 0 como 7 a la derecha delmismo. Este hecho se señala empleando la notación de valor absoluto en la formasiguiente:

|-7| = 7, que se lee: el valor absoluto de -7 es 7.|7| = 7, que se lee: el valor absoluto de 7 es 7.




Geométricamente, para cualquier número real x, \x\ es la distancia (sin tomar encuenta el sentido) del origen al número x. Observa que para un número positivo |jr| =x y para un número negativo \x\ = —x

Así, la definición de valor absoluto es:

x cuando x >0

-x cuando x < 0

Propiedades:

1. Para k> 0, \x\ = k, si y sólo si, x= ko -x= k, además |0| = 02. Para k> 0, \x\ < k, si y sólo si, -k< x< k3. Para k> 0, \x\ > k, si y sólo si, x< -kox> k4. \x\ = \-x\5. W>jr>-|x|6. \xy\ = \x\\y\7- x \x\

- =—, con y ^ 0y\ \y\

8. |^"+^| < \x\ + l^| desigualdad del triángulo9. \x"\ = x" si n es un entero par

Ejemplos de 2.4

1. Resuelve = 1|JC — 5 |

Solución:Esta ecuación se resuelve(13) a partir de la definición de valor absoluto y delconocimiento de las fracciones:

\x- 5| = x- 5 cuando x- 5 > 0 => x> 5, pero x= 5 => \x- 5| = 0 que no puedeaparecer en el denominador, entonces la solución es x> 5.

(13) Resuelve se refiere a encontrar el o los valores de x que hacen cierta la ecuación.



86 Álgebra básica

2. Encuentra el conjunto solución que satisface \x- 2| < 3.

Solución:Por la propiedad 2 es equivalente a - 3 < . r - 2 < 3 = > - l < . r < 5

3. Gráfica |^+ 1|>2

Solución:Esto es lo mismo que | . r-(- l) | que se interpreta como la distancia entre x y -1mayor que 2 .\ la representación gráfica se presenta en la figura 2.5:

FIGURA 2.5

-3 - 1 0 1

Ejercicios de 2.4

1. Califica cada proposición como falsa o verdadera:

= 2/3 Hb) |-1000|<0c) |-1/2| = 2d)\-(-X)\ =-1e) \x\-\y\=x-yf) \x-y\=x-y

2. Resuelve para x y gráfica

a) \x\ = 3/2bj \x-l\ = 3c) |3 JT-4| = 0

^| l /(x-l) | = 2e) | jr|/jtr=—1




2.5. APLICACIONES

Uno de los usos frecuentes de la propiedad distributiva es la de abreviar los cálcu-los, así por ejemplo, el producto de 7(999) = 7(1000 - 1) = 7000 - 7 = 6993.

Ejercicio

Aplicar esta idea para realizar los siguientes cálculos:

1. 4(9995)2. 6(99997)3. 3(999992)

Otra muestra de la aplicación de esta propiedad es el juego de adivinanzasnuméricas:

Estrategia Operaciones• Piensa un número x• Súmale 3 x+3• Triplica el resultado• Réstale 9

• Divide entre el número que pensaste -^——'-— = 3x

• El resultado es 3

4. ¿Cuál es el resultado del siguiente acertijo?

Estrategia Operaciones

• Piensa un número• Súmale 5• Quintuplica el resultado• Réstale 25• Divide entre el número que pensaste• El resultado es



88 Algebra básica

5. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 120 km/hora encarretera y de 80 km/hora en la ciudad. Maneja diariamente 6 horas y recorre660 km. ¿Cuánto tiempo conduce en carretera y cuánto en la ciudad?

Solución:Si XQS el tiempo que conduce en carretera, el tiempo que conduce en la ciudades 6 - x; entonces la distancia de cada recorrido se expresa, recordando que ladistancia se calcula como el tiempo por la velocidad, como 120x+ 80(6 — x)yes de 660 km, entonces, 120x+ 80(6 -x) = 660, que se convierte, usando la leydistributiva, en: 120x+ 80(6) - 80^= 40^+480 = 660 ,\ x= (660 - 480)/40 =4.5 => en la ciudad conduce 6 - 4.5 = 1.5 horas y en carretera 4.5 horas.

6. El propietario de una tienda, con objeto de aumentar la venta de 30 kilos deavellanas, que no ha podido vender, con precio de venta de $150.00 por kilo,pretende mezclarlas con nueces, que vende a $120.00 el kilo y vender la mezclaa $138.00. ¿Cuántos kilos de nueces debe agregar a las avellanas?

Solución:Si XQS el número de kilos de nueces que debe agregar, entonces la mezcla será de30 + x kilos, el precio de la mezcla se puede expresar como 120^+ 150(30) =138(30 + ) , lo que se convierte en 120^+4500= 138(30) +138^=4140 + 13&tr .\\%x- 360 => x- 20; esto es, necesita agregar a las avellanas 20 kilos de nueces.

7. Con una pequeña sierra un talador clandestino puede limpiar en seis días unkilómetro de camino en un bosque. Con una sierra mayor, puede hacerlo en tresdías. Si tuviera ambas a su disposición, ¿en cuánto tiempo podría terminar?

Solución:Si con la sierra pequeña en seis días se tala un kilómetro, esto significa que cadadía limpia 1/6 de kilómetro, y con la grande, cada día avanza 1/3 de kilómetro. SiXQS el número de días que necesita trabajar con ambas herramientas, entonces

con las dos sierras juntas tardaría dos días en talar un kilómetro de bosque.




2.6. EL PAQUETE MATHEMATICA Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS

Muchos programas pueden realizar cálculos numéricos. Mathematica va más allá,ya que puede efectuar cálculos en los que la respuesta no es un número sino unaexpresión como: 21 x+ 8. En vez de manejar: (5 + 4) A7(14) puede manejar (a+ b)A7. Puede multiplicar: Expand^ [(a + b) A7] = a1 + ...; integrar: Intégrate (16)

[(a + b) A7, a]; o efectuar cálculos simbólicos como Permutations{X1) [{jorge, eva,daniel, femando}].(18)

Mathematica permite la manipulación de una amplia variedad de funcionesmatemáticas, así como también de objetos, como matrices. Pueden efectuarse ope-raciones como suma, resta, multiplicación, inversión, composición de funciones omatrices, cálculo de valores y vectores propios. También maneja datos, proporcionasus estadísticas y efectúa análisis. De la misma manera, permite la interpolación yel cálculo de mínimos cuadrados, pudiendo encontrar la función que mejor repre-senta el comportamiento de una variable.

La diagonal / indica división y el asterisco * o el espacio significan multiplica-ción 2 * 3 * 4 = (2) (3) (4) = 24.

También utiliza la notación científica (potencias de 10). Dos diagonales al finalindican que se desea un resultado aproximado.

In[40]:=2A100Out[40]= 1267650600228229401496703205376

In[41]:=2A100//Out[41]= 1.26765x1030

(14) A Este símbolo se usa para indicar exponente, por ejemplo x2 se indica como x A2.(15) Expandsignifica desarrollar.(16) Intégrate quiere decir integrar.(17) Permutations significa permutaciones, cambio de orden.(18) Mathematica cuenta con una sección de ayuda a la cual el usuario tiene acceso mediante el uso de

los siguientes símbolos, además del Help:? seguida del símbolo, función, comando, operador o aquello de lo cual se tiene duda. Por ejem-plo, suponga que se desea información del comando Plot, entonces el usuario deberá dar la ins-trucción ? Plot; la máquina mostrará la información básica de cómo usar el comando /%?/paragraficar. Si se requiere más información, se usan entonces dos signos de interrogación: ??Plot.



90 Álgebra básica

En Mathematicano se efectúan automáticamente las aproximaciones de un cálcu-lo numérico, a menos que se le indique. Por ejemplo, si se desea calcular la raízcuadrada de 12, el resultado que muestra es:

In[2]:= Sqrt(12)Out[2]= 2 Sqrt [3]

Pero si se desea el cálculo numérico, debe indicarse añadiendo la función: N

In[3]:=N[Sqrt[12]], obteniéndose: Out[3]= 3.4641

Para encontrar el valor numérico del logaritmo de 4TI, se procede:

In[4]:=N[Log[4Pi]](19>Out[4]= 2.53102

Si se desea una expresión con 40 decimales, entonces se agrega a la función Nun segundo argumento que lo indica:

In[5]:=N[Log[4Pi],40]Out[5]= 2.531024246969290792977891594269411847798

Cuando se aplica un exponente a un decimal, automáticamente contesta conotro decimal, y cuando la operación se efectúa con fracciones la respuesta se obtieneen fracciones.

In[6]:= Sqrt[2.5], respondeOut[6]= 1.4421

In[7]:=3/4 + 5/8Out[7]=ll/8

Cuando se manejan números racionales pueden elegirse resultados fraccionarioso decimales; cuando se requieren decimales se agregan IIN^ al final.

(19) Las funciones se indican con la primera letra mayúscula y las demás minúsculas, y su argumentose encierra entre corchetes, como ya se indicó.

(20) La instrucción //N solicita un valor numérico.




In[42]:=l/3+2/7Out[42]= 13/21

In[43]:=l/3 + 2/7//NOut[43]= 0.619048

Otra forma de indicar aproximaciones es el uso de un punto después delnúmero. 3 es un número exacto y 3. es un número aproximado.

La instrucción N[ ] puede convertir un número exacto en aproximado.

El paquete obtiene el valor exacto de factoriales y también sus resultadosaproximados.

In[44]:=28!Out[44]= 3048883446117138605015040000

In[45]:=35!//NOut[45]=1.0331xl040

También maneja números complejos, pero la parte imaginaria que aparece multi-plicada por el número i, la raíz cuadrada de — 1, se representa con / ( i mayúscula).

In[46]:=Sqrt[-16]Out[46]=4I

Logfxjss el logaritmo natural, un logaritmo de otra base se representa añadiendodentro del paréntesis primero la base: Log[2, 256J se refiere al logaritmo base 2del número 256, /og2(256).

El signo % se usa para referirse a valores asignados anteriormente a las variables.

% obtiene el último resultado generado.%% se refiere al penúltimo resultado generado.%...% {n veces) obtiene el //-ésimo resultado previo.%n se refiere al resultado de la entrada n, OutfnJ.

Es importante resaltar que, una vez asignado un valor a una variable, éste semantiene mientras no se indique lo contrario mediante x=. o ClearfxJ.



92 Algebra básica

La aplicación más sencilla es la de utilizar el paquete como calculadora pararealizar cálculos numéricos. Se teclea la operación que se desea efectuar y el pa-quete da el resultado. La capacidad del paquete es, sin embargo, mayor que la decualquier calculadora, soporta 750 operaciones y maneja no sólo operaciones nu-méricas, sino también simbólicas y gráficas.

In[l]:= 52+158Out[l]=210

Mathematica usualmente envía mensajes de aviso al usuario, cuando la entradade datos no es la correcta o la esperada por el sistema.

Los argumentos de las funciones deben aparecer dentro de corchetes; si no seintroduce de esta manera aparece el mensaje de error. En la imagen 2.1 se muestraun mensaje de error para la raíz cuadrada de 12.

IMAGEN 2.1Mathematica foi Windows - [Newnb-1]

[ Ríe £dft Ce» £raphBOO

~n i i mmmmi PTÍ ÍMI \mm\

Sqrt(12)

Syntax:rtaktwrn:

¥arning: "Sqrt(12)" should probably be "Sqrt [12] " .

Out¡2¡=

12 Sqrt

Sqrt[12]

Out¡3¡=

2 Sqrt[3]

•Tinte8




La función raíz cuadrada debe tener un solo argumento y Mathematica envía unmensaje cuando se ha dado entrada a dos argumentos:

In[l]:=Sqrt[4,5]

Aparece, con letras rojas

Sqrt: : argx: Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected.Out[l]=Sqrt[4,5]

Esto es, el paquete no realiza alguna operación, así reacciona cuando se le haceuna solicitud incorrectamente.

Cada mensaje tiene un nombre y este mensaje se puede eliminar a partir de sunombre y la instrucción Off:

In[2]:=Off[Sqrt::argx]In[l]:=Sqrt[4,5]Out[l]=Sqrt[4,5]

Para activarla nuevamente se utiliza la instrucción On acompañada por el nom-bre del mensaje:

In[4]:=On[Sqrt: : argx]



94 Álgebra básica

En la siguiente tabla se muestra un diccionario de los símbolos más usados enel paquete para las operaciones:

SímboloA

/

*

0

[ ]

{}

%

I

=

:=

= =

<

< =>

> =

SignificadoIndica la operación de exponenciación.

Expresa la operación de división.

Indica la operación de multiplicación. Este operadorpuede sustituirse por un espacio.

Permite especificar la prioridad de las operaciones, aligual que en álgebra.

Se usa para especificar los argumentos de funciones ycomandos.

Permite especificar un conjunto a partir de laenumeración de sus elementos.

Se utiliza para referirse al resultado del cálculo anterior.

Permite el cálculo de un factorial.

Indica asignación, conservando el mismo valor a travésdel cálculo conjunto.

Corresponde a la definición de una función; es unaecuación expresada con una o varias variables.

Prueba la igualdad

Diferente. Es el contrario de = =

Permite una comparación: menor que.

Indica una comparación: menor o igual.

Expresa una comparación: mayor que.

Permite una comparación: mayor o igual.

Ejemplos2A3 = 23

1/2 = 0.5

34*89 = (34)(89)34 89 = (34)(89)

observe que:(x + 3)/x*x + 3/xSin[jc]

{1,3,5,7}un conjunto concuatro números

5*8 = 40%A2=1600

5! = 120

a = 5

F[JC]:=3X + 2

F[a]= 17

3JC + 2 = = 0

paraje = -2/3

La forma abreviada de expresar operaciones como suma y el producto de mu-chos términos es a partir de las funciones:

Sum[f, {i, imin, imax}] suma la función/de i, desde imin hasta imax.

(2I) imin, imax son los extremos del intervalo en el que se hace variar i. Por ejemplosum[3/2 + 8, {/; 2, 5}] da 3(22) + 8 + 3(32) + 8 + 3(42) + 8 + 3(52) + 8 = 194.

(21)




Sum[f, {i, imin, imax, di}] suma la función/de i, desde imin hasta imax, creciendoen pasos de tamaño di.

Sum[3/2 - 3, {/; 2,10,2}] da 3(22) + 8 + 3(42) + 8 + 3(62) + 8 + 3(82) + 8 + 3(102) +8 = 700

Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}] es la doble suma sobre ambos índices i,j.Product[f, {i, imin, imax}] es el producto de la fimción/de i, desde imin hasta imax.

El punto y coma (;) al final de un renglón tiene el efecto de efectuar las opera-ciones sin indicar el resultado, se usa para operaciones intermedias.

Cuando se desea interrumpir la operación que Mathematica está efectuando, yasea porque se cree que hay un error o porque se tarda demasiado y se quiere saberqué está haciendo, se logra con las instrucciones: Contro/y CoA/t y,. La respuestadel paquete es el menú:

Continué para continuar.ShowpdiX'di mostrar lo que está haciendo.fnspectpara analizar el estado actual del cálculo.

abortar el cálculo actual,salir del paquete.

Los siguientes son los alcances de Mathematica:

• Efectúa operaciones aritméticas con números de hasta 1000 dígitos.• Desarrolla un polinomio con hasta 1000 términos.• Factoriza polinomios en tres variables con hasta 500 términos.• Aplica una regla recursiva con hasta 10 000 iteraciones.• Encuentra la matriz inversa de una matriz de hasta 100 x 100.

Estas operaciones toman sólo unos segundos.

Los siguientes ejemplos corresponden a algunos de los ejercicios propuestos,resueltos usando Mathematica: 10 d), 11 d), Me), \2f)y\2h)de\os ejercicios2.3.1 (véase imagen 2.2).



96 Álgebra básica

O<Jt[1]=

Out T2]-

ln[3]: =

Outf3]=

Out[5]=

Out [10]-

O>jt[1 1]=

Our[12]«

algunos de' e j e rc ic ios e l

1 + 2 n + n£

E:xE>-curMÍ[2 x 3 y ]

6 x Y

S±iT^l±£y[í4 ac + 8 y) / 2 ]

2 (x+2Y)

ID -I- c

Sqfrt[21 wSqcrt[8]

4

Scir-t [21 * S«rt [5 / 3]

j 1O

IMAGEN 2.2

los paquete propuestos Solución usando

2.3.1. Ejercicio 10 d)


* 3 2.3.1. Ejercicio 11 e)

2.3.1. Ejercicio \2f)

2.3.1. Ejercicio 12 h)

3J

3J J113J

11^

En la imagen 2.3 aparece el 3 a), 3 ¿^ 3 d), 4, 8 ¿^y 8 b)áe los ejercicios 2.3.1.

IMAGEN 2.3

infi4j = 3 a + 9 a

Out 114]= 12 a

ln[15]:= 7 a - 9 a

Out {153= - 2 a

ln[16]:= 3 ( 2 A a + 4 b )

Out[16]= 3 (2*+ 4 b)

Out[17]= 3 2*+ 12 b

In[l3]:=

( a + 3 ) ( a + 2 )

uu t i i 8 j - ( 2 + a ) ( 3 + a )

¡n[í-3]:= 3 / 4 + 4 / 7

Out[t9]=2 8

ln|20J:= 3 / 5 - 4 / 7

1

35

Wn* 2 / 9 + 5 / 1 2

«1 i

2.3.1. Ejercicio 3 a)

2.3.1. Ejercicio 3 c)


2.3.1. Ejercicio 4


2.3.1. Ejercicio 8 b)

]]]iJ

11

i

\i1

i




En la imagen 2.4 se muestra el 8 d), 9 a), 9f), 91), 9n)y Yhf) de los ejercicios 2.3.1.

IMAGEN 2.4

ln[2i] - 2 / 9 + 5 / 1 2

3 6

i«p>J« 3 / 5 ( - 4 / 9 )

15

I n p í J * ( 2 1 / 8 ) / ( 5 * 1 / 2 )

, , , , i

ln[24j- a / b * c / a

0utp4]« —

lnf«]= 2 1 / 6 + 7 / 4

21—

inptv- Sqrt[18/4]

„>,„„,. - i .

"Si se escribe N antes y se agrega "



2.3.1. Ejercicio 9 /^

2.3.1. Ejercicio 9/7

2.3.1. Ejercicio 9 #

2.3.1. Ejercicio 13^?

, número de decimales deseados " se obtiene:"

\

IIJj

\ .

\ \

f\y.

Entre los ejemplos siguientes están: 6 b), 7 b), 10 b) de los ejercicios 2.3 y 1 a)de los 2.4; como puede observarse, también califica de verdadera o falsa una pro-posición (véase imagen 2.5).

"Si se escribe H antes y se agrega "

mpc]= H[Sgrt[3], 8]

Outpo]- 1.7320508

Inpi].- H[Sgrt[7], 12]

O.itpil= 2.64575131106

Ir» pe] = -5 < 0

0utp4]= True

inpíj= -3 > - 7

Outfi5j= True

lnpej.= - 3 < - 2

Outt e]- True

Ir.p71-a -2 > 0

0uip7]= Fal3e

•npsj* -flbs[-2/3]

2

" " ""•• 0 1

IMAGEN 2.5

, número de decimales deseados " se obtiene:"

2.3. Ejercicio 7 b)

2.3. Ejercicio 6 b)

2.3. Ejercicio 10 b)

]1ili]ú3J

i]¡]i]JVJ



98 Álgebra básica


Tema 2.1.11. -22. -133. 34. -55. aj-500

ÓJ500

Tema 2.1.21. La posición del número determina la cantidad.2. Permite distinguir entre 55 y 505.3. Se puede operar con él.4. Con notación decimal y como cociente de enteros.

Terna 2.2.11. (2/z)2 = 4/z2=22/?2

2. (2n + I)2 = 2(2/?2 + 2rí) + 13. a impar => a2 impar .*. a es par4. Falso 52+32= 345- a) 2 /7

b) ¡2\c) 6

6- ^ 5 / 2b) 10 /2^ 5/3

7. No8. *> {3, -2 , 0}

b) {3, -1/3, 1/7, 0.2727, -2 , 8/7,31/41,0, 1/2}

c) {3,0}^ {3}^ {V7,'73}

^ {2}^ {3}# {-2}

9. < Infinitob) Finito

c) Infinito¿^Infinitoe) Infinito

/i. Finitog) Finito^Finitoi) Infinito

10. F11. V12. V13. V14. V15. F16. V17. V18. F19. V20. V21. F22. V23. F24. V




25. F26. F27. F28. V29. F30. V31. Decimal32. Decimal33. Fracción34. Decimal35. Fracción36. Fracción37. .875

Tema <1. Sí,2. Sí3. a)

b)cjd)e)f)

4. a1

5. n1

7.3.1ley distributiva

12*a{\2)-2a6a+ Ylb28«+35¿a1 + ab+ 5^+6+ 2n+ 1

6. (3(2) = 6)7. Nc8. a)

b)c)d)e)f)g)h)

0j)k)

9.a)

>37/281/35-1/3528/36-7/3623/36-23/36(ad+ bc)lbd{bad+ bc)lbd(ad+ bc)lbd(2+x)l2x4/15

38. .00639. 5.6640. .1141. .636342. 3.428571443. .444. .00445. .00746. 1.0247.41948. 70/9949. 601/49550. 3020/999

b)c)d)e)f)g)h)

0j)k)1)m)n)o)

10. a)b)

d)e)

11. a)b)c)d)e)

-4/15-4/154/15aclbdclb1-aclbd3/523/216/563/12adlbc21/44-10140Aab6ab6xy2Axyz5/141+2*a+2b

b+c



100

12.

13. a)b)c)d)

Tema.1.

2.3.4.5.6.

Te?

1.

Ur

Algebra básica

1113/29/4342-/2,/TO734-/24-/36-/22-/2

7.3\ número real es 0,

positivo o negativo.Nc).x+0 = x±x+ 11 es positivo porque -1 es negativo0 < llea)c)d)e)

na.a)

%d)e)f)

E P porque - 1 <x P7-5<=P15 > 520>16Falso

F

F

FFF

14.

15.

7.

8.

10.

2.

e)f)g)h)a)b)c)d)a)b)c)

a)b)

3/2(3/2)V2(3/2)V3(3/2)V37247/5001871/5002/253/1001.7322.2362.645

5 - 2 e P-3 - (7) e P

bj-4e Pc) -(a+b)e Pdj-(a+b)e Nej-(a+b)e N

f)g)h)

. Nc

a)

c)d)e)

f)g)

-xy& P-{a + b) e P-xye. N) es cierta la pr

x= 3/2 0-3/2

J = 3 / 2 O J = ]

x es negativa- 2 < x < 4-2/5<^-<0




BIBLIOGRAFÍA

Dorofeiev, G., etal, Temas selectos de matemáticas elementales, Mir, Moscú, 1983.Kline, Morris, Matemáticas para humanidades, Siglo XXI Editores, México, 1998.Leithold, Louis, Álgebra superior, CECSA, México, 1995.Lovaglia, Florence, et al, Algebra, Haría, México, 1997.



CAPÍTULO 3Expresiones algebraicas



3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al terminar este capítulo, el lector podrá:

/ Manejar expresiones algebraicas conexponentes enteros positivos, negativos yfraccionarios.

/ Reducir, multiplicar, dividir y racionalizarexpresiones con radicales.

y Convertir expresiones con exponentesfraccionarios a expresiones con radicales.

</ Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. Estructura del capítuloIntroducción3.1. Potenciación.3.2. Exponentes enteros.3.3. Exponente cero y negativo.3.4. Radicales.3.5. Polinomios.3.6. Aplicaciones.3.7. Manejo de polinomios con Mathematica.

INTRODUCCIÓN

EN EL LENGUAJE de las matemáticas, los símbolos son elementos esencialespara escribir expresiones en forma concisa y breve; esto nos permite planteary resolver diferentes tipos de problemas utilizando el mismo razonamiento. El

desarrollo de este lenguaje tuvo lugar al generalizarse de la aritmética al álgebra.El álgebra, por lo tanto, tiene una estructura sencilla, caracterizada por un con-

junto de operaciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y ex-tracción de raíces, que se realizan de la misma forma que en la aritmética connúmeros, sólo que en el álgebra se utilizan símbolos.

Los números se usan, como en la aritmética, para representar cantidades determi-nadas y, generalizando, una letra representa una cantidad cualquiera. Asimismo, lasoperaciones están sujetas a determinadas condiciones, llamadas propiedades o leyes.

Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias de las operacio-nes mencionadas, con números o símbolos cualesquiera. Así, las siguientes expre-siones son algebraicas:

?>x2y\x1-5xy+yA

•IXasí como también 3b - —

y

105



106 Algebra básica

Las expresiones algebraicas más sencillas se denominan términos y son aque-llas en las que sólo intervienen números, letras y cualesquiera de las operaciones,exceptuando la suma y la resta, como: 3xl2y 5 lab, 5x2y3.

Un solo término algebraico se denomina monomio; pero si las expresiones es-tán ligadas mediante las operaciones de suma o resta se denotan de acuerdo con elnúmero de términos utilizados.

Así, un binomio consta de dos términos, un trinomio de tres y un polinomio decuatro o más términos. Por ejemplo: -2x,Jy + /Zes un binomio, 4x2 - 5xy+y4 esun trinomio y 3xA + 5x3 - 2x2 + x- 3 es un polinomio.

Como resumen tenemos que:• El álgebra es la parte de las matemáticas que trabaja con las propiedades

generales de los números y las generalizaciones que de éstas provienen.• Las propiedades generales de los números y las generalizaciones se usan para

denotar números arbitrarios y establecer propiedades válidas en general.• Una expresión algebraica es la combinación de una o varias de las opera-

ciones, con letras o símbolos.• Una ecuación es una proposición que establece la igualdad de dos expresio-

nes algebraicas.• Un término es una expresión algebraica en la que no intervienen las operacio-

nes de suma o resta, como 3x2yo 58x3yg.• Un monomio es una expresión algebraica con un solo término. El binomio

tiene dos términos, el trinomio tres y el polinomio consta de cuatro términoso más, así 3x2y + 5%x3y% es un binomio y 3x2y - 5Sx3ys + 347xyz es unpolinomio.

3.1. POTENCIACIÓN

La potenciación es una operación que consiste en tomar una expresión algebraicacomo factor dos o más veces; al resultado de esta operación se le llama potencia. Así:

Si xe R, n e vVentonces: xn - (x) (x) (x)... (x) = n-ésimapotencia de x.

Al entero positivo n se le denomina exponente y a x se le llama base.La primera potencia de una expresión es la misma expresión: xl = x.La segunda potencia, o cuadrado de una expresión, es tomar dos veces como

factor a la expresión: x2 = (x) (x).



3. Expresiones algebraicas 107

3.1.1. Potencia de un monomio

Para elevar un monomio a un exponente, es necesario elevar el coeficiente adicho exponente y multiplicar el exponente de cada literal por el exponente de lapotencia.

Ejemplos de 3.1.1

1. (4 ab3f = (42) O2)( bM) = 16 a2b6 H(4 ab3f= (4ab3)(4aP) = I6a2b6

2. (-2 a2b4)2 = (-22)O2x2)(¿4x2) = 4 aAb* H

3. (-3x2l?y = -33x6b9=

3a1) 21a6

s í ; T^ lx3)

En los ejemplos anteriores se presentan dos casos, cuando el monomio es nega-tivo: 1) Si el exponente es par, el signo de la potencia es positivo; 2) Si el exponen-te es impar, el signo en la potencia es negativo.

3.2. EXPONENTES ENTEROS

3.2.1. Producto de potencias de igual base

Este producto es igual a la potencia que se obtiene de elevar la base común alexponente que resulta de la suma de los exponentes de las potencias que se deseanmultiplicar.

(an){am) = an



108 Álgebra básica

Ejemplos de 3.2.1

1. (22)(23) = 22+3 = 25 - 32 B

2. (3-2)(34) = 3"2+4 = 32

3. (-2)4(-2)2 = (-2)4+2 = (-2)6 = 64 B

4. (x-2)(x4)(x5) = x~2+4+5 = x1 B

5. ( J ^ ) 3 ( ^ ) 2 = (xy)M = (xy)s B

J. J7. J7. Elevar una potencia a otra potencia

Esto es igual a la base elevada a un exponente, que se obtiene de multiplicar losexponentes originales.

Ejemplos de 3.2.2

1 # M2\3 _ 4(2)(3) _ 46

2 . ( ^ 5 ) 4 = ^5)(4) = ^20

3. [(-1)3]4 = (-1)0X4) = ( .

4.

5.

(a")"7 — flW

a

J.^. 3. Producto elevado a una potencia n

Este producto es igual al primer factor elevado a esta potencia por el segundofactor elevado a la misma potencia.




Ejemplos de 3.2.3

1. ((2)(5))3 = (23)(53)

2. {Axyf = (42)(x2)O2)

3. {-Zaby = (-3)V4)(

4. (1/2 ^ ^

5. (3x2)2=(32

J.i7. . Elevar un cociente a una potencia n

La operación de elevar un cociente a una potencia n es igual a elevar por separadoel numerador y el denominador a esa potencia.

b) b"

Ejemplos de 3.2.4

3 34

\y) y

(3x)4

a I a

4.3ab

j a




5. mx) _ (nvc)3

Kny) ~\nyf

3.2. S. Cociente de dos potencias de igual base y exponente diferente

Este cociente es igual a elevar la base a la potencia que resulta de la diferenciaentre los exponentes. Los resultados posibles son:

Ejemplos de 3.2.5

~8JT~2V~

2. —- = —- = -

a)

b)

am

a"

am

a"

a

= i;

i—-; si m

sin=m

> m

H

3. " . =

4. = 3V =

5. Ix1 tx2 1

343x4 " 7 V " (73-')(x4-2) ~ 7 V " 49?B



3. Expresiones algebraicas

3.3. EXPONENTE CERO Y NEGATIVO

3.3.1. Exponente cero

Se obtiene de dividir potencias iguales y con la misma base

111

a

a2-2 o—a

donde toda cantidad elevada a cero equivale a 1.

a°= 1; si

Ejemplos de 3.3.1

1. 5°=1

2. í.=

3. (^3)(/^0)=^3+0 = w

5.

J.J.2 Exponente negativo

Se obtiene de dividir dos potencias de igual base, con exponente mayor en el divi-sor y menor en el numerador.

2-3 - i= a

si a ^ 0, entonces es conocido como el inverso multiplicativo de a.a




Por ejemplo:

a — ay — ya ) — a a a

Toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a tener en el numeradorel 1 y en el denominador la base con el exponente positivo. Si a es un número realdiferente de cero y n es un entero positivo:

Ejemplos de 3.3.2

3. | Ij =,4 = 512

1

1X3

4. I-1 1

5 2U

, 16mV




Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3

Descomponer en factores

1. (-4<7)3 R. - í2. (-6a2bf R. 36 aAb2

3. (4ab4c3)2 R. 16 aWc6

( 1 Uí Y . 2,44. tó, R. 4 4V 3m- ) 9m6

2 ) 32

6. (Ú- 5 +7¿ 4 ) 2 R. tf'°4

9. ^ - S Z - 2 ) 3 R. 64¿?3-10. (-x3)3 R. (-.r)9

11. [(-2)3]4 R. (-2)12

12. (l/3x)2 R.13. (4^) 3 R. (43)(x3)14. {-2mnf R. \-2)\m15. (2)(7)5 R. (2)(7)5

Elevar un cociente a una potencia4

16.m R.(4x)Obf

Exponentes fraccionarios y negativos

4 v2 117. ^ ^ R. - 1 -

64y3

18. ^4- R.9xy2

19 _.^Z__ R _ 1 ^' 6561y8 ' 81j6




2 3

x y20. - -V

xxy y

R. 1

Exponentes cero, fraccionarios y negativos

.(m2\

R.21. mT- 2

22. ¿"3

23.

24.

25.

R.

1R. 1

uR. -~

R . ( 1 , V 3 m', 3 ;

3.4. RADICALES

Radical es la raíz de una cantidad denotada por el signo $/~, que consta de uníndice y una cantidad subradical, a la que se le extrae la raíz indicada por el índice.

3.4.1. Exponente fraccionario

Se obtiene de extraer una raíz a una potencia




donde:

n es el índice de la raíza la cantidad del subradical

r símbolo del radical

Ejemplos de 3.4.1

1. 16^=4/16 = 2

2. 16^=V¿

3. 4a^=4/a

4. 8^=V8 = 2 B

5. (-8)^ = 3/-8 = -2

6. (0)^ = "0 = 0

Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo, que satisface:

como bn- a y n es un entero positivo, entonces b es una raíz /z-ésima de a.

7. (-4)2 = 16, la raíz de 16 es 44 y -4

2/16 = + 4

8. (-3)2 = 9, la raíz de 9 es +3 y -3

V9 = + 3

9. (-2)3 = -8 , la raíz cúbica de -8 es solamente -2



116 Algebra básica

De los ejemplos anteriores se puede afirmar que:

Es positiva y negativa sia es positiva y n es par

niv a

Es negativa si a es negativay n es impar

Toda potencia fraccionaria mln, my n enteros, con una base a diferente de cero{a 0) se expresa en forma de radical, en donde n es el índice del radical, a es elsubradical y m es exponente de este último.

=Na

10.

11.

2/ 5/12. 5m7 5 /r7 3=5 5/m2

13.




3.4.2. Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice (n) y la misma cantidad en el subradical.

Ejemplos de 3.4.2

1. <zV3, mV3, JCV3

2. 2V5, xV5

3. 6/95, abe ¡95, c ¡95

4. aV2, mV8, xV3

5. 2A/5, x^/5

6. frV95, abcM95* cA/95

Radicales semejantes

Radicales no semejantes

3.4.3. Simplificación de un radical

Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores,hasta llevarlos a su mínima expresión.

Ejemplos de 3.4.3

2. X

3. 3VI6 = 3

-,^ H




3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical

Se eleva el coeficiente a una potencia igual al índice del radical.

Ejemplos de 3.4.4

1. 4-íx = •\Í4Tx= J16x

2. 2jc^/¿^ = -v/?(JP7^ = ' /4JcVí¿

3. 2m Vrn1 = I R S i 2 = VSm5 H

( ¿) \| ( fe)

3.4.5. Suma de radicales semejantes

Se suman algebraicamente los coeficientes y la suma de éstos es el coeficiente delradical común.

Ejemplos de 3.4.5

2. 4V ( )

3. 3V7-4<77 = (3-4H7 = -V7 H

4. 5




3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros,con índice igual al m.c.m. de los índices

Se obtiene el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, se divide entre cadaíndice, y el subradical se eleva al cociente calculado.

Ejemplos de 3.4.6

1. V3, V4, 4/2

El m.c.m. de los índices (3, 4, 2) = 12

índice común 12 12 12 , . _= —; —; — = 6, 4, 3

índice del radical 2 3 4

12/ 6 12/^f Yllj?,

Wffi, l?/556, m

2. 72JC, V3?)>, ^/Í8pz

El m.c.m. de los índices es el 6

índice común _ 6 6 6 _índice del radical 2' 3' 6

3.4.7. Suma y resta de radicales

Para sumar y restar radicales, primero se operan los radicales semejantes y des-pués se simplifican los radicales no semejantes.



120

Ejemplos de 3.4.7

(2 + 8)V5 + 9.J(22)(3

10/5 + 18/3-28/3

10 5-10/3

1263

2 (22) (3)2

Álgebra básica

)-~7./(2 J(3)

48241263

2 (24) (3)

222

2. -/45--/27-V20

7(3

3v5-373-275

45155

(32)

33

(5)

2793

(32)

33

(3)

20105

(22)

22

(5)

3. 780- / 63 - /180

4',/5-3x/7-6-75

-2-/5-3^/7




3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice

Se multiplican los subradicales, el resultado queda dentro del radical con el índicede la raíz.

i\,ra i/b = v

Ejemplos de 3.4.8

1. (3/ÍO)(2 /T5)

(3)(2W(IOXI5) - 6VT50 = 6-N/'(2)(3)(5T) = 30 y6

2. (4V3)(3 /I2) = (3)(4)V(3)a2) = 12/36 = 72

3. í3

4. 5Ií6x}= — lílAax = — V(23)(3)(a)(*) = — VJ 42 42 42

5. (2x,í2a) 5¿)

6. B

B

B

3.4.9. División de radicales del mismo índice

Se obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos subradicales.

— — n -

Vb'lb




Ejemplos de 3.4.9

x ~X + l

2

4-,¡3xys ~2\í 3xy3 ~ 2 ¡

1 ,"--4-2

4. 2 ' = 4

2?^71(4xy-1).2x

2 y

J". JO. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)

En este caso, se eleva a la potencia cada uno de los valores que se encuentra fueray dentro del subradical.

(a"fb)m=an"!lrb"

Ejemplos de 3.4.10

1. (a"fb)m = {ab/n)"' = a"'^^ = a"'"

2. ( 5 / 2 x ) 2 = [ ^ ]

3. [2\/2?)0]

4. (*./8i')2= 4/(8P

5. (4fV9?7)3 = 43

H

= I92xy2 -Jx H




3.4.11. Radicación de radicales

La raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una,mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.

Ejemplos de 3.4.11

1. W729 = V729 = 3 B

2. iNa^ia B

3. JV4a1 = $J4a2 = WJa B

4. AA/T0~24 = ^ T 0 2 4 = 2 B

5. V6V6 = A7(62)(6) = V6J = -y6 B

3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio

La racionalización consiste en eliminar los radicales de una fracción, ya sea queéstos se encuentren en el numerador o en el denominador.

Si la fracción tiene un monomio con un radical en el denominador, para racio-nalizarla se multiplican tanto el numerador como el denominador por el radicalque desea eliminarse.

Ejemplos de 3.4.12

2

8JC ( Sx \( /2x)&x/2x72x)W2x) llx '




6 _( 6 VV3?1_ 6V3?

36* _ 36*V2? V2p

J. . 7J. Racionalización del denominador de una fracción cuandoes un binomio con raíces cuadradas

Se multiplica el denominador y el numerador de la fracción por el conjugado(1) deldenominador.

Ejemplos de 3.4.13

a2 + 5V2

En general, el conjugado de (a+ b) es {a- b\ y (a+ b) es el conjugado de (a- b)\así, el conjugado de (2 + 5 V2) es (2 - 5 V2).

2-V2 )(2-5-J2) 4-12V2 + 10 14-12-/2 14-12-72

2.

+ 575A2-575; 22-(575)2 4-125 121

12 „

75-72

El conjugado de (75 - 72) es (75 + 72)

12 V-75 + 72^ 12(75 + 72) 12(75 + 72) 12(75 + 72)

75-72AV5 + 72J (75)2-(72)2 5-2

(1)E1 conjugado es una expresión que sólo difiere en un signo.




D. z z zn r&»\

El conjugado de (/JC - V3) es ( VJC + v.3)

( JC-3 \( VJC + V S I (JC - 3)(VJC + V3) _ (JC - 3)(VJC + V3) _ , -

Ux - V3JI-VJC + '/3j~ T / ^ M V S ) 1 " ~ (JC —3) ~ V X + "

Ejercicios de 3.4

Expresar con signo delYadical

l .xy^ R. x.x/y

2. ¿^ R.

3. 8^¿^c^ 5 R.

Expresar con exponente fraccionario

4. 2V? R. 2a^

5. ",/P' 5/74 R. jc^y'

6.5fl5/PvV R.

7. 3^/a7 5/¿? R. 3

Simplificar el subradical

8. /49x3y7 R.

9. 3/25O~¿3¿8 R.

10. ~-/125iwn8 R. 3«3-/5m




Introducir la cantidad dentro del radical

11. 3-76 R. V54

12.

13. (I-a)J—-

1/1 / v J_ 1 \

Reducir los radicales semejantes

15. 8-75-10-75

16. ^3/2-iV24 2

17. 3V8--785

Reducir los radicales al menor índice

18. 3/4, V5

19. W Z ? , V3?/^

20. 3Va, 2 V25, 4V5?

Sumar los radicales

21. v

R. V75P7

R. Vi-a2

R.

R. -2-/5

R.-V24

R.-2V8

R.VI6, S/

R.

R. 3^? , 2 l

R. 2-77--73

22. 3-780-4-7320-5-/800+7-7450 R. 5-72-2075

Multiplicar los radicales

R. V6I

24. (8-712) (3-/T5) R. 720



3. Expresiones algebraicas Yll

25. (4}J9a2b)(&!3ab2)

26. (2 /35)( /14)(3 /6)

Elevar los radicales a una potencia

27. (6 /2)2

28. (2 ¡lf

29. (2V8P)2

30. (4V9aV)3

Radicación de radicales

31 ••f^^x2

32.4///Sl

33. 3/278

~Ji. ~\; ' \ / ^ / Ci- V

Racionalizar el denominador

35. -A.5>V3a

36.4 - / 3

37. ^ 3 v 32V2+ /5

R. 96<2¿>

R. 84 T5

R. 72

R. 28

R. %X'í2x

R. 192 ab2-.ía

R. 3/A:

R. /3

R. 6/25

R. 4/3ay

R. 3 '9a2

5a

R. 2 + V3

_ 19-7/10R.

3




3.5. POLINOMIOS

3.5.1. Suma de monomios

En álgebra, la suma significa aumento o disminución, mientras que en aritméticasignifica solamente aumento.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se debe escribir una a continuaciónde la otra, con sus respectivos signos, y reducir los términos semejantes si los hay.

Son términossemejantes'los que tienen factores literales idénticos, las mismasletras elevadas a los mismos exponentes: 3abc, %abc, -lOeba.

Son términos no semejanteslos que no tienen factores literales idénticos (por lomenos uno difiere en los exponentes): 5abe, \0abx, -%abe, 4dab.

Sumar a y +bes igual a (a + b).Sumar a y-bes igual a (a - b), que significa restar de a el valor absoluto de -b

(que es \b\).Sumar -a y —b es igual a {-a - b), que implica restar de a el valor absoluto de

-¿(que es \b\).

Ejemplos de 3.5.1

1. Sumar 3a, 6a, 8b H3a+6a+8b=9a+$b

2. Sumar 5xy, -3 a5xy- 3a

3. Sumar lx, 4a, \5x, 9a, -4 H7x+4a+ \5x+9a-4 = 22x+ \3a-4

4. Sumar 7x^\ Sy2/\ 3x^\ 4y2/\ 2z3 H

lxA + 8 > ^ + 3X% + 4y% + 2Z3

% + 2z>




3.5.2. Suma de polinomios

Para sumar polinomios se acostumbra colocar uno debajo del otro (o de los otros),para que todos los términos semejantes queden en una sola columna y se procede ahacer la operación con éstos.

Ejemplos de 3.5.2

1. Sumar 5a- 6b y -2a + 4b B

Solución:5a-6b

-2a + 4b3a -2b

2. Sum<ir2a-2b + c

Solución:2a -2b + c

4b- 3c8a+2b-2c

3. Sumar 2x2 - Axy + 2y2\ -5xy + %x2 - 4y2; -9y2 - 6xy - 9x2 Q

Solución:2x2-4xy+2y2

8x2-5xy-4y2

-9x2-6xy-9y2

x2-l5xy- lly2

1 2 1 1 1 n4. Sumar - x + -xy; - xy + y H

Solución:

1 , 1-• JC" + xy

2 2 y

1 14 4

1 o 3 1 .x + xy+ y

2 4 4




v y y y

5. Sumar 5a/2-6b/4 y -2a/2 + 3b/4

Solución:

-2c/1

Otra forma de sumar los polinomios es mediante el uso de la ley distributiva dela multiplicación.

3.5.3. Ley distributiva de la multiplicación

Si a, b, ce 9?a{a + b) = ab + aca{b - c) = a[b + (-c)] = ab+ a(~c) = ab- ac-a(b + c) = -a(b) + (-a)(c) = -ab - ac-a(b - c) = (-#)(¿) - (-#)(¿0 = -ab + ¿rc

Ejemplos de 3.5.3

1. Sumaré-

Solución:

2. Sumar-2¿ + 3¿?+2^y4¿+8¿7-6^ H

Solución:2c) + (4¿+ 8¿7- 6^) = -2b + 3a + 2c + 4b + %a- 6c

= (3ÚT + 8/ar) + (-2¿ + 4¿) + (2c - 6c)- (3 + 8)¿7+ (-2 + 4)¿ + (2 - 6)^




3. Sumar 2x2 + 2y2; 8x2-Ay2; -9y2 - 6x2

Solución:(2x2 + 2y2) + (Sx2 - Ay2) + (-9y2 - 6x2) = 2x2 + 2y2 + Sx2 - Ay2 - 9y2 - 6x2

= (2x2 + Sx2 - 6x2) + (2y2 - Ay2 - 9y2)= (2 + 8 - 6)x2+ (2 - 4 - 9)y2

= Ax2-lly2

A. Sumar - x 2 + -xy; -xy + -y2 H2 3 y 2 3

Solución:

1 2 1 | f l 1 2 1 1 2 1 1 1 2-x +- xy \+\ -xy + -y \=-x +-xy + -xy + -y2 3 ) \2 3 ) 2 3 2 3

1 2 1 2 (l 1= -x2 + -y +\ - + -

2 3 U 31 2 1 2 5

= - * + -y +~xy2 3 6

/ / / / / 7

5. Sumar - 2b/4 + 3a/2 + 2c'4; 4b/4 + Sa/2 -6c/4 H

Solución:

(-2b74 + 3a72 +2c74) + (W4 + $a'2 -6c'4)

= (-2 + 4)¿^ + (3 + 8)a-í/2 + (2 -

3.5.4. Sustracción de monomios

En álgebra, la sustracción o resta significa el aumento o disminución, mientras queen aritmética significa disminución.




La operación de restar b de a significa que a es el minuendo que deseamos restarde b (sustraendo) y se simboliza como a - b; esto es lo mismo que a+ (-b), en dondepara restar b de a sumamos el inverso aditivo (o negativo) de b al número a.

Ejemplos de 3.5.4

1. De (-5) restar 9(-5) - (+9) = -5 - 9 = -14

2. Restar 3¿?de 8¿7- (3¿?) = %a- 3a = (8 - 3)a =

3. Restar (-5 a) de 9 a(9a) - (-5a) = 9a+5a=(9 + 5)a = 14a

4. Restar (4a) de (-7a)(-la) - (4a) = -la-4a= (-7 - 4)a=-Ua

5. Restar (-2a) de (-6a)(-6a) - (-2a) = -6a +2a= (-6 + 2)a = -4a

3.5.5. Sustracción de un polinomio

Se escribe el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de maneraque todos los términos semejantes queden en la misma columna y se procede ahacer la operación de éstos.

Ejemplos de 3.5.5

1. De 2a- 3b restar -a+2b B

Solución:2a-3b

3a-5b




2. D

Solución:%ab-2c

-4ab + 5c- 44ab + 3c-4

3. De 2x2-3x restar -5^2 + 6x B

Solución:2x2 - 3x5x2 - 6xIx2-9x

4. De-;r3-;r2 + 6restar5.r2-3.r+2 B

Solución:-x3-x2 + 6

-5x2 - 2 + 3x

Ordenando el polinomio se tiene: -x3 - óx2-^-

5. De 2al//4-3b^2 restar -a^+b^2 B

Solución:

Otra forma de realizar la sustracción de los polinomios es utilizando el inversoaditivo, el cual se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos delpolinomio.

6. De 6x - ly restar 2x - 4y




Solución:(6x- ly) - (2x-4y) = 6x- ly- 2x+4y

= (6x- 2x) + {-ly + 4y)

= 4x-3y

7. D

Solución:(8¿7+ 6 ¿ - 2) - (2¿/- 3¿+ 8) = 8^+6^-2 - 2a+3ó- 8

= (Sa-2a) + {6b + 3b) + (-2 - 8)

8. De9xy-2ty+3rGSter6xy+2z-4 H

Solución:(9xy- 2y+ 3) - {6xy+2z-4) = 9xy- 2y+ 3 - 6xy- 2z+ 4

= (9xy- 6xy) - 2y- 2z+ 7= (9-6)xy-2y-2z+l= 3xy-2y-2z+l

9. De %x%-ly% restar 2x^-4y^4 B

Solución:

(Sx^ -ly3/4)-(2x2/3 -4y3/4) = Sx2/3 -ly3/4 -2x% 3/

+ 4y3/4)

2/ 3/

= 6x/3-3yÁ

3.5.6. Multiplicación

La rnuliiplicación en aritmética y álgebra significa que, dadas dos cantidades llama-das multiplicando y multiplicador, se encuentra una tercera cantidad conocida comoproducto. Al multiplicando y multiplicador se les llama también factores del producto.




Las siguientes son leyes de multiplicación:1. Ley conmutativa: ab = ba2. Ley asociativa: a(bc) = (ab)c3. Ley distributiva: a(¿ + c) = (b + c)a = ab + ac4. Multiplicación de cantidades con signo: (+á)(+b) = +ab

{-a){-b) = +ab

Los símbolos de agrupación son los paréntesis () , las llaves { } y el paréntesisrectangular o corchete [ ]; se emplean para manejar las cantidades encerradas den-tro de ellos (como una sola cantidad) de una manera más sencilla, cuando haynecesidad de realizar más de una operación.

Ejemplos de 3. S. 6

1. 2x-4{x+y)

Solución:

= -2x-4y

2. 2x-

Solución:= 2x- (2y+4x) + 3(x-= 2x- 2y- 4x+ 3x- ISy= x-20y

3. 3x+2[2y-3(3x-5y)] H

Solución:= 3x+2[2y-9x+\5y]= 3x+2[l7y-9x]= 3x+34y-= -\5x+34y



13 6 Algebra básica

4. 6x- {2^+2[3

Solución:= 6x- {2y+2[3-x- y + lftr+2]}= 6x- {2y + 6 - 2x-

= -12r-10

5. 2A/2 -

•/I _ ( V y/2 I A , / 3 >

Solución:

= 2xl//l-9(x/2 + y73)

= 2x/2-9x/2-9y%1/ 2/

= -lx/2-9yA

J. 5.7. Multiplicación de monomios

Se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben los factores en ordenalfabético, colocándole a cada uno su exponente, que se obtiene de la suma de losexponentes de cada uno de los factores.

Ejemplos de 3.5.7

1. 2^2por-3x H

Solución:

2. a2Ppor3a2¿?x

Solución:= 3a2+2b3+lx= 3aAbAx




3. -4a2 por -5 ab2c

Solución:(-4a2)(-5a¿>2c) = +20a2+lb2c

= 20a3b2c

4. -x2y7>zpov4yAz2 B

Solución:( - J 2 / Z ) ( 4 / V ) = -4x2y3+4zl+2

= -4x2y1zl

5. 3¿r"+4¿*+1 por -4an+2b-"+3 H

Solución:

r 3 2 7 2 ,6. — JC y por — x y

7 4

Solución:

( 3 2 V 7 2 3 ) 21 2+2 1— x y \\—xy \=—x y

{ 7 y){ 4 ) 2821 4 4

= —* y28

7. ¿A^ 2 por

Solución:




3.5.8. Monomio por polinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos de 3.5.8

1. 3x2-4r+9por4.r2 B

Solución:(3x2- 4r + 9)(4r2) = 3*2(4r2) - 4;r(4r2) + 9(4r2)

Otra forma de resolver el ejercicio es:

3x2 -Ax+9 Multiplicando4x2 Multiplicador

\2xA-\6x3 + 36x2 Producto o resultado

2. Sx^-Sj^porlaxy B

Solución:(%x2y- %y2\2axy) = %x2y{2axy) - %y\2axy)

= I6ax3y2 - lóaxy3

Empleando la otra%x2y-%y2

2axy\6ax3y2- \6axy3

Solución:

(3a-5b-8c{-3<

forma:

-3aV4

a2b2)= J 3 :\ 4

MultiplicandoMultiplicadorProducto o resultado

15 2 3 24 2,2




4.

Solución:x^5 --2x2

+ 4x^6 - óx^5

5. 3xl/l-4x'/4 + 9 por

Solución:

MultiplicandoMultiplicadorProducto o resultado

3.5.9. Multiplicación de dos polinomios

Se multiplican todos los términos del primer polinomio (multiplicando) por cadauno de los términos del segundo polinomio (multiplicador).

Ejemplos de 3.5.9

1. Multiplicar (x - 3) por (4 + x) H

Solución:Los factores se ordenan con respecto a cada literalx-3 Multiplicando4 + x Multiplicadorx(x) — 3x

+ 4x - 3(4)x2 + x - 12 Producto o resultado

Otra forma de solucionarlo:(x- 3)(x + 4) = x(x) + 4(x) -3(x)~ 3(4)




2. 8x

Solución:

5x-2y(5x)(Sx)-3y(5x)

-2y{%x)-3y{-2y)

Entonces:Sx-3y5x-2y40x2- \5xy

- \6xy+6y2

40x2-3lxy+6y2

MultiplicandoMultiplicador

Producto o resultado

Otra forma de solución es:(8x- 3y)(-2y+ 5x) = %x(-2y) + 8x(5x) - 3y(-2y) - 3y(5x)

= -\6xy + 40x2+ 6y2- I5xy= 40x2+6y2-l6xy-l5xy= 40x2+6y2-3lxy

3. x3 + 2 x 2 - x p o r x 2 - 2 ^ - + 5 H

Solución:(x3 + 2x2 - x)(x2 - 2x + 5) = x\x2) + x\-2x) + x\5) + 2x\x2)

2x2(5)-x(x2)-x(-2x)-x(5)= x5-2x4+ 5x3 + 2x4-4r3+ \0x2-x3+ 2x2- 5x= x5-2x4+2x4+ 5x3-4x%-x*+ \Qx2 + 2x2- 5x= xs+\2x2-5x

4. 8x^2-3y^4 por -2y^ + 5x^2 H

Solución:




= 40x + ó / 4 - 2y/4 -

3.5.10. División

La división consiste en obtener el cociente de dos términos alb. Al primero (a) sele llama dividiendo y al segundo (b) divisor.

DividendoDivisor = Cociente Dividendo -s- divisor = cociente

ab= a ab-^b — a

3.5.11. Propiedades de la división

Si a, b, c, ¿/e Z,(2) todos los denominadores de las fracciones deben ser diferen-tes a cero.

1. a no está definida cuando b - 0b

u.!=o¿7

1.2. - no es un número

1.3. - es indeterminado0

a_acb'bc

(2)Números enteros Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}




a + b a b

ce

<• iacJaVd

3.5.12. División de monomios

Primero se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, des-pués se escriben las letras en orden alfabético con su respectivo exponente, que seobtiene de la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Ejemplos de 3.5.127

1. a- = a1-5 = a2 H

2. *a--b- =-2a2b

3. ilOflW =-5ab c

(a-1)3

5 Z<£±2)! = J = L_ HO + 2)7 (x + 2)7""3 (x + 2)4

m+3

6a _ m + 3-(m+l) _ m + 3-m-l _ 2

. r — d — U, — Um + l

B

6xy2 J L J 3




(2aVe 3 ) 3 _ 23a6b6c9 _ 8 a V8- l3a¥cf~¥aJbs?''~9yr B

9. —Y/—i/ — & b — a i b H

J. J. 13. División de un polinomio por un monomio

Cada uno de los términos del polinomio se dividen entre el monomio.

Ejemplos de 3.5.13

Dividir y simplificar los siguientes polinomios

12a 3 -6a 2 + 24a

Solución:

12a3 6a2 24a _ 21 = 2 a •

6a 6a 6a 6a

3a

Solución:3a3 18a¿ 2 7 a V 2 ^ . . | 4+ = a2 - 6ab + 9ab

j.

3a 3a 3a 3a

- bf - a(3y + b) n

Solución:

b)2 a(3y + b)

(3y + b) (3y




Í2axbm + Sax+¡bm'[-4ax+2b'"-2 p

Solución:

l-3b-4-4er2bm-5 + 2a*-1bm-6

5.

Solución:

2 TX X

= x3-2x2-2x2-5x

= x3-4x2-5x

6¿

Solución:

y ^ T— = 2a /4 /2 - a/2 /2b + 4a/2 /2b/2

6aÁ 6aÁ 6aA

Definición: El grado de un polinomio con respecto a una literal es el exponentemayor de esta literal presente en el polinomio.




3.5.14. División de dos polinomios

Para dividir dos polinomios se realizan los siguientes pasos:

1. Ordenar ambos polinomios en relación con una misma letra, en orden decre-ciente de potencias.

2. Dividir el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor,obteniendo el primer término del cociente.

3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor, el producto obtenido se resta término a término del polinomio original(dividendo); para hacerlo, al producto obtenido se le cambian los signos y seescribe cada término debajo de su semejante.

4. La diferencia obtenida es el nuevo dividendo; se divide el primer término delnuevo dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el segundocociente; se repiten los pasos anteriores hasta obtener el residuo igual a cero ode grado menor al dividendo.

Ejemplos de 3.5.14

1. Dividir 3y2 +2y-8 entre y + 2

Solución:Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

y + 2

y + 2)3y2^

3yy + 2) 3yl

-3 /0

y + 2) 3y2

0

h2y-8

+ 2y-S

-6y-4y-8

-4+ 2y-8

'-6y-4y-8

0 0




2. Dividir -x2 + x4+4 entre x-l H

Solución:Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

x4-x2 +x-l

r3

* - l ) * 4 -

x-l) x

— x'

0

x-l) x

— X

0

4

-x¿ + <

4 - J C 2 -

»+x3

+x3-

* 3 + jt2

4 - * 2 -

4 , 3

+x3-

- X 3 +

0

h4

-x2 + 4

(-4

-*2 + 4

0 +4

3. Dividir 6 / + 10^+ 12^+ 1 + ly> entre 2^+^+ 4 H

Solución: ,Paso 1 ^

2y2

Paso 2 2y2 + y + 4)6 / + 7y3 + I2y2 + lOy +1

Paso 3 2 / + y+ 4 ) 6 / + Ty

- 6 y 4 - 3y3-l2y2

0 +l0y




- 1Paso 4 4)6/

-6/0

+ 7/

- 3 /

- 4 y 3

0

+ 12y2

-12y2

+ 0

-2y 2

+ 10y + l

+ 10y + l

- 8y

+ 2y + l

+ y + 4

0 3y + 5

4. Dividir 6a3 -11 a1+16 entre 3a - 4 H

Solución:Paso 1

Paso 2

Paso 3

6a3-17a2+ 163a-4

la2

3a-4)6a3-17a2 + 16

7.a2

3a-4)6a3 -17a2+ 16

-6a3 + 8a2

0 - 9a2+ 16

2n2 -3a -4Paso 4 3a - 4)6a3-17a2

-6a3 +8a2

0 -9a2

+9a2-12a

0 -12a + 16+ 12a-16

0 0




5. Dividir 2x4 + Ox3y - 13x2y2 + 14xy2 - 3y4 entre *2 + 2xy - 3y2 H

2 + 2xy- 3y 2)

2*2

2*4-4xy

+ 4x1

+ y'-13x

' + 6*2

\ + %x-

-x'

2y

• y

2 + 14xy

! + 14xy

J + 2xy3

2-2^y3

3 - 3 /

' -3 /

- 3 y 4

O O

Ejercicios de 3.5

Sumar los monomios y polinomios

1.

2.

3.

4.

1 2 3-x + -y; —x2 3 4-8^A-5tf¿2;-*2¿-lltf¿2;-7¿3

2 1 , 1 , 1 2a +-aí>; —ab+-a

2 4 2— ;c4 + -x 3 — x ; x4 -x2 + 5;

5 6 4

3X ~ 8 X ~

Restar los monomios y polinomios

5.6.7.

8.

De -Aab2 restar - ó ^ 2

De 2« - 3b restar - # + 2bT>exi-9x+6y1- 19restar -1 \x2 + 2 Ix - 43 + 6x3

De a2 restar —a2—ab + -b2

2 4 3 5

R.

R.

R.

R.

R.R.

R.

R.

2 1-y — x3 4

- 9 ^ 2 ¿ - 6 ^ 2 - 7 ¿ 3

3 2 1 ,-a --ab2 4

- x 4 + - x —A: — J C + 25 2 8

2tf¿2

3a-5b

-5x2 -Ux1-3Qx+6y1+24

4a 3a ~5

r , T ^ 5 2 3 2 5 1 2 3 ^ 5 2 5 19 2 39. De -JC - - y restar -xy-\—y R. - JC — x y y H—

9 8 7 10 11 9 7 40 11




Multiplicar los monomios

10. —%a2b3 por -9a2bx4

11. -xm+lya+2 por 4xm-3ya~5z2

12. -jt2y3 por -~a2x4y3 F 5

R.R.

R.

Multiplicar el monomio por el polinomio

13. x3 - 4x2y + 6xy2 por ax3y14. -3x3 + 5x2y- Ixy2 - 4y3

por 5¿72x^2

R.R.

R.

Dividir los polinomios y simplificar

a4

n 36a1 V

' -\2aAb*

9 9

15m n x

R.

R.

R.

72*4¿4.r4

-2a2xV

axey - 4ax5y2 + 6¿zr4^3

\5a2x4y2 + 25¿7V^3 —20¿72^5

4^r3^ + 2xy - 6x2y - Sy

1a

3a6b

\

5

19. ^ ^ R. +64r6

20. ^ R. - ^ 4

21. R. —x +-•)-2x 2 2

22. "^L^L ° ~" ° R. a^h^a^b-^-a^b-^a3b

-2.x2 x



150 Algebra básica

0 4 9(x-a)2 + 3(^:-a)2

3(x-a)R

25. 18a4-6a^ + 12a 2 _ 2 a ( 3 a _ 2 ) R

3¿T

26. — — 3 * +J* R 4jr2_ 9 ; r + 1 21 Residuo = 0

Residuo = 5

28. ^ - ^ - R. ¿ 7 5 + ^ ¿ ¿ 7a~b Residuo = 0

3.6. APLICACIONES

Entre las muchas expresiones algebraicas en economía podemos mencionar lassiguientes:

1. El consumo. En economía, el consumo depende del ingreso, y en su forma mássimple, la ecuación de consumo se representa mediante la fórmula:

C=a+bV

en donde C= consumoY- ingresoa - consumo autónomob - propensión marginal al consumo

2. La expresión

representa el valor obtenido al acumular un capital dado P, a una tasa de interési, durante cierta cantidad de años /.




3. La expresión algebraica

representa la producción obtenida con Ky L, insumos de capital y de mano deobra, respectivamente.

Se dice que hay rendimientos a escala constantes si cuando se incrementantodos los insumos en determinada proporción, la producción aumenta en el mismoporcentaje. Si la producción aumenta, hay rendimientos crecientes a escala; y siel crecimiento es menor que determinada proporción, entonces hay rendimientosdecrecientes a escala. Los rendimientos se pueden obtener de la suma de losexponentes.

Si a + /?= 1, se tienen rendimientos a escala constantes.Si a + /?> 1, se tienen rendimientos a escala crecientes.Si a + p < 1, se tienen rendimientos a escala decrecientes.

Por ejemplo, en la expresión:

a=0.6/?=0.8

como a + j 8=1 .4> l se tiene rendimientos a escala crecientes.

Pero si la expresión es 320Jf02l05

a=0.2£=0.5

a + {}= 0.7 < 1 se tiene rendimientos a escala decrecientes.



152 Algebra básica

3.7. MANEJO DE POLINOMIOS CON MATHEMATICA

Las operaciones que tiene disponibles el paquete Mathematica para manipular lasexpresiones algebraicas son las siguientes:

OperacionesNombre

Expand[polinomio]Factor[polinomio]Simplify [polinomio]Together[polinomio]Apart[polinomio]Cancel[polinomio]FactorTerms[polinomio]Collectfpolinomio, x]

Collect[polinomio, {x, y,...}]

PowerExpandfexpresión]

estructurales en polinomiosOperación

Efectúa los productos y potencias indicados.Realiza factorización completa.Simplifica a la menor expresión.Escribe los términos con común denominador.Separa en términos con denominador simple.Simplifica expresión fraccionaria.Obtiene los factores comunes.Acomoda el polinomio de acuerdo con la sumade potencias de x.Acomoda el polinomio de acuerdo con la sumade potencias de x, y, ...Desarrolla expresiones de la forma {ab)c y (ab)c.

Ejemplos (véase imagen 3.1)

(2 + 4x A 2) A 2 (x - l ) A 3Out [ l ]= ( - l+x 3 ) (2

(Polinomio en una variable.)

In[2]:= t = Expand[%] (Lo presenta en términos simples.)Out[2]= -4 +12x - 28x2 + 52x3 - 64x4 + 64x5 - 48x6 + 16x7

In[3]:=Factor[t]Out[3]= 4(-l + x)3(l + 2 x2)2

(Lo factoriza completamente.)

In[4]:= FactorTerms[t] (Calcula el factor numérico común.)Out[4]= 4(-l + 3x - 7x2 + 13x3 - 16x4 + 16x5 - 12x6 + 4x7)

Cuando el polinomio contiene varias variables puede acomodarse de diversasmaneras, eligiendo la variable dominante.




In[5]:=Expand[(l+3x + y)3]Out[5]= 1 + 9x + 27x2 + 27x3 + 3y + 18xy + 27x2y + 3y2 + 9xy2 + y3

In[6]:= Collect[%, x] (Lo acomoda eligiendo x como dominante.)Out[6]= 1 + 27x3 + 3y + 3y2 + y3 + x2 (27 + 27y) + x(9 + 18y + 9y2)In[7]:= Collect[Expand[(l + x + 2y + 3z)A3], {x, y}] (Desarrolla y lo acomoda

eligiendo x y después ycomo dominantes.)

Out[7]= 1 + x3 + 8y3 + 9z + 27z2 + 27z3 + x2(3 + 6y + 9z) + y2(12 + 36z) + y(6 +36z + 54z2 + x(3 + 12y2 + 18z + 27z2 + y(12 + 36z))

IMAGEN 3 .1

Out[1]- (-1

inp]- Factor[%]

Outp]" 4 (-1 + x) J ( U 2 x V

ln[41 = FactorTermltJ

0^(4]= 4 ( - 1 * 3 x - 7 x l - 13 x * - 16 x 4 * 16 x* - 12 x* * 4 x 7 )

Out[6]* 1 + 9 x + 27 xx + 27 x* + 3 y + 18 x y + 27 x 1 y + 3 y 1 + 9 x y* + y3

ln[61 - C o l l C C t [%, X]

Out[6)« l + 2 7 x ) + 3 y + 3 y 1 4 - y ' t x ' (27 + 27 y) + x (9 + 18 y -t- 9 y* )

m[7)- Co lXect : [Z:3vaLJMt[ ( l+X4 . 2 y + 3 z ) » 3 ] , { x , y } ]

x (3 • 12 y* * 18 z + 27 z1 + y (12 + 3 6 i ) )

313!

I

Respecto a la estructura de los polinomios, existen las siguientes funciones:

NombrePolynomialQ[expr, x]PolynomialQ[expr, {Xj, x2

Variables[polinomio]Length[polinomio]Exponent[polinomio, x]Coefficient[pol, expr,]Coefficient[pol, expr, n]Coefficient[pol, expr, 0]CoefficientList[pol, {x,, x

Estructura de un polinomio

> ' " ) J

„ -}]

OperaciónDemuestra si la expresión es polimonio en x.Prueba si la expresión es polinomio en xr

Enlista las variables en el polinomio.Muestra el número de términos.Indica el máximo exponente de x.Señala el coeficiente de la expresión.Indica el coeficiente de la expresión a la n.Da el término independiente de la expresión.Ordena los coeficientes de x. en el polinomio.




Ejemplos

In[22]:= t = Expand[(l + x)A3 (1 - y - x)A2]Out[22]= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy + 4x3y + 2x4y + y2

3xy2 + 3x2y2 + x3y2

In[23]:= PolynomialQ[t,x]Out[23]= True

In[24]:= PolynomialQfx + Sin[x], x]Out[24]= False

In[25]:=Variable[t]Out[25]= {x, y}

In[26]:=Length[t]Out[26]= 14

In[27]:=Exponent[t,x]Out[27]= 5

In[28]:= Coefficient[t, xA2]Out[28]= -2 + 3y2

(Es verdad que /es un polinomio en x.)

(No es verdad que x + Sin\x\ esun polinomio enx)

(Enlista las variables en /.)

(Muestra el número de términos.)

(Indica el mayor exponente de x en /.)

(Da el coeficiente total de jr2 en /.)

Para solicitar el coeficiente de x2 se usa también: Coefficientft, x, 2J. Así,Coefficientft, x, ¿y proporciona el coeficiente de x° en t, esto es: 1 - 2y+y2.

(Enlista los coeficientes.)In[29]:= CoefficientList[l + 3xA2 + 4xA4, x]Out[29]={l,0,3,0,4}

In[30]:= CoefficientList[t, {x, y}] (Ordena los coeficientes de cadapotencia de cada variable.)

Out[30]= {{1, -2 , 1}, {1, -4 , 3}, {-2, 0, 3}, {-2, 4, 1}, {1, 2, 0}, {1, 0, 0}}

Si el polinomio es /= 1 + x- 2x2 - 2x3 + x4 + x5-2y- 4xy + 4.r3^ + 2xAy+y2 +3xy2 + 3x2y2 + .r3^2, entonces el primer subconjunto corresponde a los coeficientesde los términos con x°, que son: término independiente, término en^; término eny2; el siguiente subconjunto son los coeficientes de los términos enx, en xy y en xy2:




a continuación aparecen los coeficientes de los términos en x2, x2y y x2 y1, y asísucesivamente.

Las siguientes instrucciones corresponden a operaciones entre polinomios or-dinarios, con exponentes enteros y coeficientes racionales:

Operaciones entre polinomiosInstrucción

PolynomialQuotientfpol!, pol2, x]PolynominalRemainder[pol,, pol2, x]PolynominalGCDtpolj, pol2]

(3)

PolynominalLCMIjpol!, polj

OperaciónDa el cociente de dividir pol^/pol^jc).Proporciona el residuo de dividir pol^/pol^*).Máximo común divisor.Mínimo común múltiplo.

Otra instrucción útil en el caso de polinomios es la que permite evaluar elpolinomio en un valor dado para la variable. Esta operación se logra con "Expre-sión I. x-> valor". Por ejemplo:

In[21]:=l+x + x A 2 / . x - > 3Out[21]= 13

También puede utilizarse para lograr la composición de funciones. Si/Xr) = 3 +l&x- 5x2 pQrox = g(y) = 4y-35, entonces/j^(^)) puede obtenerse con las ins-trucciones:

In[22]:= 3 + 18x - 5xA2.x - >4y - 35Out[22]= 3 + 18(4y - 35) - 5(4y - 35)A2

Otro ejemplo con dos variables

In[23]:= (x + y) (x - y)A2 /.{x - > 3, y - > 1 - z}Out[23]= (4 - z) (2 + z)2

La instrucción PolynomialQuotient proporciona el resultado de la división dedos polinomios y PolynomialRemainder devuelve el residuo. El máximo comúndivisor de varios polinomios se obtiene a partir de PolynomialGCD y el mínimocomún múltiplo con PolynomialLCM.

(3) Pueden incluirse más de dos polinomios.




Ejercicios del capítulo 3 resueltos con Mathematica

IMAGEN 3.2a

in(4i].= E x p a n d [ ( 4 a b A 3 ) A 2 ] " \

Outj4i]= 16 a* b*

h[42j« Expand[(-2aA2bA4)A2]

Out[42]= 4 a 4 b *

ln[43]= Expand[(-3xA2bA3)A3]

O.jt¡43]= - 2 7 b ' x S

in[44].= ExpaiUt[(-4x/(3aA2»A3]

64xJ

ln[46]= E x p a n d [ ( - 5 y A 2 / ( 7 x A 3 ) ) A 2 ]

25 y*Outf45)=

49 x* J

tn[46) = 2 A 2 ir 2 A 3

0ut(46!= 32

ln(47] = - 2 A 4 * - 2 A 2

Out(47]= 64

i * W " « É ; l

" 3.1.1. Ejercicios del 1 al 5

3.2.1. Ejercicio 1

3.2.1. Ejercicio 3

3.2.1. Ejercicio 4

]1

11]J]1

]JJ

]ii

ii

0utf48}= X7

mpo]- ( x y ) A 3 * ( x y ) A 2

Out[50]= X5y5

mpi]- ( ( x y ) A 2 ) A 3

Out[51]= x 'y*

ir>[52J« ( - 3 a b ) A 4

0ut[52]= 81 a* b*

mp3]« (4xy/(3ab))A5

1024 xs y5

OUtf531 243 a5 b 5

;n[«].= 16xA4/ (tx)

Out{55]= 2X5

mpe]- 7 x A 2 / (343 x A 4 )

49 x*

• < ! • 1

IMAGEN 3.2b

3.2.1. Ejercicio 5

3.2.2. Ejercicio 4

3.2.3. Ejercicio 3

3.2.4. Ejercicio 4

>- 3.2.5. Ejercicios 1 y 5

3

3iy

1 •

1ii

]



3. Expresiones algebraicas

IMAGEN 3.2c

157

Out[59]=

ln|í>0]:= 8 A ( 1 / 3 )

Out(BO]> 2

Ir,[61):= X A ( 3 / 4 )

Out[61]= X J / *

in[82]= (Sgrt[W8aA5bA7])*(l/2)

Out[82]= 3 < /¥ V a5 b T

ln(65]~ 3Sqrt[7] - 4Sqrt[7]

Out[65]= - \T7

!n[66]:= 5 a ( 5 A ( l / 3 ) ) - 8 a ( 5 A ( l / 3 ) )

Out[66]= - 3 5 1 ' 3 a

3.3.2. Ejercicio 4

3.3.2. Ejercicio 5

3.4.1. Ejercicio 4

3.4.1. Ejercicio 10

3.4.3. Ejercicio 2

3.4.5. Ejercicio 3

3.4.5. Ejercicio 4

íxl

J

]

]i]

IMAGEN 3.2d

Outp"1]= - 2 V 5 - 3 V ?

lr.[75]:= ( 3 / « ) ir (3 a A 2) A ( 1 / 3 ) * 8 * ( 3 a b A 2 ) A ( 1 / 3)

Otro- 9 (a1)1^ ( a b V 5

ln[76]:= ( 3 / 7 ) ( 4 a ) A ( l / 3 ) * ( 5 / í ) ( 6 x ) A ( l / 3 )

OutiTei- i 3 1 / 3 a 1 " x 1 ' 3

ln[77]:- 5 ( 2 a ) A ( l / 3 ) ( 4 a A 2 ) A ( l / 3 )

Out{77]= 1 0 a 1 / 3 ( a 1 ) 1 ' *

Inp5]:« 2Sqrt[48xA3y]/ (4 Sqrt[3 xy A3])

in(90]:= (Sqrt[72>])A(l/3)

Out[90]= 3

mpi]:- Sqrt[(4aA2)A(l/3)]

Outpij- 21/:> ( a 1 ) 1 ' 8

3.4.8. Ejercicio 3

3.4.8. Ejercicio 4

3.4.8. Ejercicio 6

3.4.9. Ejercicio 3

3.4.11. Ejercicio 1

3.4.11. Ejercicio 3

1L

11




IMAGEN 3.2eExpresiones Racionales.nb

Out(93}=

lnp4]:-

OutDMJ»

k M ,

Out(96J=

OUTP7J-

OutW

x' - lSxy- l ly*

-2b +3a + 2c + 4b + 8a-6c

l l a + 2 b - 4 c

(1/2) x A 2+(l /3)xy + (1/2) xy + (1

x* 5xy y1

T + 6 + T

-2bA(3/4) + 3a A ( l /2 ) + 2 c A ( l / 4 )

l l V I + 2 b ^ - 4 c ^

8x A (2 /3) -7y A (3 /4) - (2xA(2/3) -

(xA(a + 5)-2xA(a + 4) + 3xA(a + 3))#

-2x* (3x3+1-2x4fi + x5+i)

E3cpand[%]

- 6 x 5 + 4+ 4 x f + * - 2 x 7 + 1

/ 3 ) l

+ 4b

4 y A

(-2x

A 2

A(3/4) + 8 a A ( l / 2 ) - 6 c A ( l / 4 )

(3/4))

A2)

3.5

3.5

3.5

3.5

3.

.3.

.3.

.5.

Ejercicio 2

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 9

3.13

3J

1]]1

í1]]J|

J

IMAGEN 3.3a

S i i v l i f y [ l / 2 S q r t [ 3 x A 4 y A 2 ] / ( ( 3 / 4 ) ( S q r t [ x A 2 ] ) ) ] ( e j a r c i o 4 s e c c i ó n 3 . 4 . 9 )

2x yOijt¡H]= =-

(5Sqrt[2x])A2 (ejemplo 2sección 3.4 .10)

0ut{i4]= 50 x

ln[W]:« (2 ( 2 x A 2 y ) A ( l / 3 ) ) A 4

Outp5)= 32 2ín (x* y) */J

Ouiliej- 32 2 1 ' 3 x í y ( x í y ) 1 ' 3

| ( 8 x A 3 ) A ( l / 4 ) ) A2 (ejerció 4 sección 3.4 .10)

Outp8}= 2 "J~2 y x3

(4 ( > x A 3 y A 4 ) A ( l / f i ) ) A 3 (ejai^lo 5 sección 3.4 .10)

Outp2J» 192 V*3Y4

out í2.:<]= 192 x"1 y*




IMAGEN 3.3b

(Sqrt[a])A (1 / 3) (Ejemplo 2 sección 3.4 .11)

Outpej» a x / í

(Sqrt[1024])A (1 / 5) (Ejemplo 4 sección 3.4 .11)

Out[27]= 2

( * S q r t [ 6 ] ) A ( l / 3 ) (Ejemplo 5 sección 3.4 .11)

Out[2S]= j l

4/(Sqrt[2]) (Ejemplo 1 sección 3.4 .12)

üut[29]= 2 V"2~

8 x / (Sqrt [2 x]) (Ejemplo 2 sección 3.4 .12)

OutpO]= 4 "fl </x"

6 / ( 9 a ) A ( 1 / 3 ) (Ejemplo 3 sección 3 .4 .12)

2 3 1 ' 3 iOutp2]=

IMAGEN 3.3c

<2-Sqrt[2])/(2 + 5Sqrt[2]| (ejen^lo 1 sección 3.4 .13)

OutJ41]-

Outf«]- —— (14-12121 V

12 / (Sqrt [5] - Sqrt [2]) (ejen^lo 2 sección 3.4 .13)

12

(x-3)/(S«rt[x] -Sgrt[3]) (ejen^lo 3 sección 3.4 .13)

II11

<! I




IMAGEN 3.4a

3 a + f a + 8 b (e jemplo 1 s e c c i ó n 3 . 5 . 1 )

Outí4?3= 9 a + 8 b

7 x + 4 a + 1 5 x + 9 a - 4 (ejarc io3secc ión3.5 .1)

Out[4S]= - 4 + 13 a + 22 x

7 x A ( l / 2 ) + 8 y A ( 2 / 3 ) + 3 x A ( l / 2 ) + 4 y A ( 2 / 3 ) + 2 z A 3

( e j e r c i ó 4 s e c c i ó n 3 . 5 . 1 )

0ut[49]= 10 *fí< + 12 y t / J + 2 Z*

( 5 a - 6 b ) + ( - 2 a + 4 b ) ( e j o i p l o l s e c c i ó n 3 . 5 . 2 )

Out[50J= 3 a - 2 b

( 2 x A 2 - 4 x y + 2 y A 2 ) + < - 5 x y + 8 x A 2 - 4 y A 2 ) + ( - 9 y A 2 - 6 x y - 9 x A 2 ) ( e j e n * l o 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 2 )

out[5i]= x^lSxy-lly*

( ( l /2)x A 2 + ( l /2 )xy) + ( ( l / 4 ) x y + (1/4) r) (ejemplo 4 sección 3.5 .2

x í y 3 x yOut[52]= + — +

2 4 4

( 5 a A ( l / 2 ) - 6 b A ( l / 4 ) ) + ( - 2 a A ( 1 / 2 ) + 3 b A ( 1 / 4 ) ) (ejeui»lo 51 s e c c i ó n 3 . 5 . 2 )

Jy\

IMAGEN 3.4b

• •( 2 a - 3 b ) - (-a + 2b) (ejemplo 1 secc ión3 .5 .5)

Out[54]= 3 a - 5 b

( 2 x A 2 - 3 x ) - ( - 5 x A 2 + í x ) ( e j e m p l o 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 )

OuiJ35]« - 9 x + 7x*

< - x A 3 - x A 2 + 6) - ( 5 x A 2 - 3 x + 2 ) ( e j e m p l o 4 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 )

Outpe]* 4 + 3 x - 6 x ' - x 3

( 2 a A ( l / 4 ) - 3 b A ( l / 2 ) ) - ( - a A ( l / 4 ) + b A ( l / 2 ) ) ( e j e n p l o 5 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 )

Out[57]= 3 a 1 / 4 - 4 V F

( 6 x - 7 y ) - (2x-4y) (ejemplo 6sección3.5 .5)|

Out[58]= 4 x - 3 y

( 9 x y - 2 y + 3 ) - ( 6 x y + 2 z - 4 ) ( e j e m p l o 8 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 ) |

üutf59]= 7 - 2 y + 3 x y - 2 z

( 8 x A ( 2 / 3 ) - 7 y A ( 3 / 4 ) ) - ( 2 x A ( 2 / 3 ) - 4 y A ( 3 / 4 ) ) (ejemplo 9 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 ) |

]J31

3 J ••

3J

3




IMAGEN 3.4c

2 x - ( 2 y + 4 x ) + 3 ( x - í y ) ( e j e i p l o 2 s e c c i ó * 3 . 5 . í )

OutfBij» - 2 x + 3 (x - 6 y ) - 2 y

3 x + ( 2 y - 3 ( 3 x - 5 y ) ) (ejen^lo 3secc ión3 .5 . ( )

. Outf82]= 3 x - 3 ( 3 x - 5 y ) +2y

í x - ( 2 y + 2 ( 3 - ( x + y) + 2 ( 5 x + l ) ) ) (ejenplo 4 sección 3.5 . ( )

Out{63]= 6 x - 2 ( 3 - x + 2 ( l + S x ) - y ) - 2 y

2 x A ( l / 2 ) - f ( x A ( l / 2 ) + y A ( 2 / 3 ) ) (ejen^lo 5 sección 3.5 . í )

Outf64J= 2 Vx" - 9 (^/x + y í / J )

2xA2(-3x) (ejen9lolseccion3.9.7)¡

Out{65]= -6xi

(a A 2b A 3) ( 3 a A 2 b x ) (ejeqplo 2secc ión3 .5 . 7 ) |

Ojtf66]= 3a 4 b*x

( -x A 2y A 3z) (4y A 4z A 2) (ejerció42sección3.5 .7)

Out|67]= - 4 x l y 7 z }

M

í

IMAGEN 3.4d

(3aA(n +1) bA (m+1)) (-4aA (n + 2) b A ( -n + 3)) (ejen^lo 5sección3.5 .7)

Outp8]« -12ttí+Inb*

( a A ( 2 / 3 ) b A ( l / 2 ) ) ( 3 a A ( l / 3 ) b A ( 2 / 3 ) c A ( l / 2 ) ) (ejenplo 7 sección 3.5 .7)

( 3 x A 2 - 4 x + 9) (4xA2) (ejenploIsección3.5 .8)

0>jt[?0]s 4 x l ( 9 - 4 X + 3X*)

ln[72]:» Expand[4xA2 ( 9 - 4 x + 3 x A 2 ) ]

OutF2]« 36x í -16x 3 + 12x4

( 8 x A 2 y - 8 y A 2 ) (2axy) (ejenplo 2sección3.5 .8)

2 a x y (Qx^-Sy*)

Expand[2axy(8x2y-8y2)]

out|73]= í e a x ' y

(x A (a + 5) - 2 x A ( a + 4) + 3 x A ( a +3)) ( -2x A 2 ) (eje^Dlo4sección3 .5 . 8 )

Cut[74]= -2X1 (3x í + *-2x 4 + * + X$+i)

Out[75]= - 6 x s + i+ 4 x í + 4 - 2 x ? + a

T3

33M

3-3




IMAGEN 3.4e

(X-3M4+X) ( e j enp lo l s ecc ión3 .5 .9)

Out|?6]= (-3+X) (4+X)

ln[7?]:= Expand[%]

Out[7?]= - 1 2 + x +X1

( 8 x - 3 y ) ( - 2 7 + 5 x ) ( e j e n p l o 2 s e c c i ó n 3 . 5 . 9 )

Out[78]- (-27 + Sx) ( 8 x - 3 y )

in[?9]:= ExpandO]

ÜIJII?9]= -216 x + 40 x* + 81 y - 15 x y

( x A 3 + 2 x A 2 - x ) ( - 2 x + 5 ) ( e j e r c i ó 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 9 )

Out[80]= ( S - 2 x ) ( - x + 2 x í + x 3 )

U»pi]:« Expand[%]

Out|31]= - S x + 1 2 X 1 + x 3 - 2 x *

( 8 x A ( l / 2 ) - 3 y A ( 3 / 4 ) ) ( -2y A (3 / 4 ) + 5 xA ( 1 / 2 ) ) (ejemplo 4 sección 3. 5 .9 ) |

0<Jt[82]= ( 8 ^ - 3 y3 / 4) ( 5 ^ / 7 - 2 y3'4)

lr,I83]:= Expand[%]

Outp3}= 40 x - 31 -Jx y 3 / 4 + 6 Y 3 / Í

\ "" *l 1

3J]1]J]]]J]1]J] |

]J]1 ,]J]1]JJ]1]J ,

IMAGEN 3.4f

a A 7 / a A 5 (ejen^lo 1 sección 3.5 .12) ]

üut|84]= az ^

( - 1 0 a A 4 b A 3 c A 2 ) / ( - 5 a b A 2 c ) (ejemplo 3 sección 3.5 .12) ]

Outp5]= 2 a3 b c ^

- ( x + 2 ) A 3 / ( x + 2)A7 (e jenv lo5secc ión3 .5 .12) ]

Outl86]= - -(2+x)4 j

aA(m+3)/aA(m+l) (ejemplo 6 sección 3.5 .12) ]

Out|87]= a1 ]

(2xA4yzA2/6xyA2)A3 (ejeu^loT sección 3. 5 .12) ]

Oijt|88]= — x 1 5 y 9 z6

Out¡89]=

( 2 a A 2 b A 2 c A 3 ) A 3 / ( 3 a b A 4 c ) A 2 (ejeni)lo8sección 3.5 .12)

8 a 4 c 7

aA(l/2)bA(l/2)/aA(l/4)bA(l/4) (ejerció 9 sección 3.5 .12)

jl 1

]J




IMAGEN 3.4g

(12aA3 - 6 aA 2 + 24 a) / (6 a) (ejenplo 1 sección 3.5 .13)

24 a - 6 a* + 12 aJ

0ut(B4]> 4 - a + 2 a *

<3aA3-18aA2b+27aA2bA4)/(3a) (ejenplo 2sección3.5 .13)

3 aJ - 18 a* b + 27 a* b*

Outp]= a ( a - 6 b + 9b4)

in[97] = Expand[%]

Out(07]= a * - 6 a b + 9 a b *

( ( 3 y + b ) A 2 - a ( 3 y + b ) ) / ( 3 y + b ) ( e j e m p l o 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 1 3 )

b + 3y

!n[9S] = Sinplify[%]

Outp]= -a + b + 3 y

-i 1

]"

1

] •

ij .

j

]1ilyi

J.i

]1iJ

. .. . irf

OutílC2]=

Out[1G3]=

Out[104]=

InfiOS] =

Out[1ü8]=

InfiOS] =

OUIPC8].

Our[H0]=

Jn'JHJ"

_ 4 a í+x b - í+m + 8 a l+x b - U K + 1 2 a x b »

Sinplifym

2a-3+xb-6+m(a í-2ab-3b í)

Expand[%]

z a D - 4 a D - 6 a D

( x A 5 - 2 x A 4 ) / x A 2 - x ( 2 x + 5)

x (5 i °x) i ~ + X

-2x*+x 5

ir í *E • f> v'k . / A - Í M I M I n K AAV-U-I<« AHÍ O

Together[%]

-5x-4xí+x3

(12aA(3/4)-6aA(l/2)b + 24aA(5/2)b

12 aí/4 - 6-/I b + 48a5/íb

6 VI

M«Hf.l*l...it j

IMAGEN

. 5 . 1 3 )

4 ( l / 2 ) ) / ( í

3.4h

aA(l/2)) (ej

A4) (ejenplo 4 sección 3.5 .13)

euplo 6 sección 3.5.13)|

i

3"

]

]

y

y

ij




IMAGEN 3.4Í

WipWililll< 1 2 a A ( 3 / 4 ) - 6 a A ( l / 2 ) b + 2 4 a A ( 5 / 2 ) b 4 ( 1 / 2 ) ) / ( < a A ( 1 / 2 ) ) ( e j o r p l o 6 s e c c i ó n 3 . 5 . 1 3 )

\mmmffimm

6VI

ln[iH]=SÍjnplify[%]

Out[ii i]= 2 a1'4 - b + 8 a4 b

(3y A 2 + 2 y - 8 ) / ( y + 2) (ejarpio 1 secc ión3 .5 .14)

Out[112]= ^—^2 + y

0ut[U3)= - 4 + 3 y

( x A 2 + xA4+ 4) / ( x - 1 ) (ejemplo 2 sección 3.5 .14)

4-X* +X4

0ut[114]=

Out[115]=

- 1 + x

. ftpart[%]

4

Como se observa en el ejemplo, se usa Simplify cuando la división es exacta, obien Apart^di2i que separe la parte entera de la fraccionaria. Puede utilizarse siem-pre la segunda instrucción; cuando es exacta, reporta el cociente.

IMAGEN 3.5

1 0 y + 1 2 y A 2 + l + 7 r A 3 ) / ( 2 y A 2 + y + 4) (ejemplo 3 sección 3.5 .13)

( < a A 3 - r i a A 2 + 1 6 ) / (3 a - 4 ) (ejenvlo4 sección 3.5 .13)

16 - 17 a* + 6 aJ

Out[)20]= -4 - 3 a + 2 a*

(2x A 4 + 0 x A 3 y - 1 3 x A 2 y A 2 + 14x y A 3 - 3y A 4) / (xA 2 + 2 x y - 3 y A 2) (ejen*lo 5 sección 3.5 .13) |

11* + 2 x y - 3 y*

O-jt[122]= 2 x* - 4 x y + y*

ADERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]



BIBLIOGRAFÍA

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Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1998.



CAPÍTULO 4Factorizacion

y fracciones algebraicas



4. FACTORIZACIÓNY FRACCIONES ALGEBRAICAS

Al terminar este capítulo, el lector podrá:• Ejecutar productos usuales en operaciones

algebraicas.y Establecer el método adecuado para factorizar

una expresión.y Conocer el método para la búsqueda de raíces

de un polinomio.y Descomponer distintos tipos de polinomios de

grado».</ Simplificar tracciones algebraicas.</ Realizar operaciones con tracciones

algebraicas.

Estructura del capítuloIntroducción4.1. Factorización de polinomios.4.2. Productos notables.4.3. Factorización con factor común, productos

notables y combinación de ambos.4.4. Factorización por agrupamiento.4.5. Factorización de una ecuación cuadrática.4.6. Descomposición factorial de polinomios.4.7. Fracciones algebraicas.4.8. Simplificación mediante factorización.4.9. Multiplicación y división de fracciones

algebraicas.4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas.4.11. Aplicaciones.4.12. Productos notables y factorización con

Mathematica.Solución a los ejercicios propuestos.

INTRODUCCIÓN

ESTE CAPÍTULO se refiere a distintas formas de descomponer un polinomiointegrado por una suma de factores; éste es el proceso de factorización,útil cuando se requiere simplificar. Además se ampliarán las operaciones

de suma, resta, multiplicación y división con fracciones aritméticas ya estudiadasen capítulos anteriores, a operaciones con fracciones algebraicas.

Se tratarán también formas de resolver ecuaciones que contengan expresiones convariables en el denominador. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones con fraccio-nesTy son empleadas frecuentemente en el campo de la economía y la administración.

Para desarrollar la práctica necesaria a fin de resolver este tipo de ecuacionescon fracciones, como también ecuaciones polinomiales no lineales, el lector deberealizar un esfuerzo para manejar con agilidad la forma de factorizar, simplificarexpresiones algebraicas y resolver operaciones con fracciones algebraicas. El re-sultado de todo este esfuerzo se reflejará al final de este capítulo (tema 4.11) y enel siguiente.

169




4 . 1 . FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Se ha dicho que cuando se multiplican dos números reales a y by éstos se denomi-nan factores del producto (a){b). Es decir, si se tiene el producto de (3)(8) = 24,entonces 3 y 8 son factores de 24.

Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de lospolinomios anteriores se le denominz factores del polinomio original.

Como:O-8)Cr+8) = . r 2 -64

se deduce que los polinomios j - 8 y j + 8 son factores del polinomio x2 - 64.

El proceso de hallar los factores de un polinomio se conoce como factori-zación o descomposición del polinomio.

La factorización es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelvenecuaciones. También se puede decir que:

La descomposición de un polinomio p(x) consiste en expresarlo como pro-ducto de otros polinomios, de igual o menor grado que el mismo.

Antes de comenzar con factorización de polinomios, es necesario especificar elsistema del que se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente esválida la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces losfactores deberán ser polinomios con coeficientes enteros.

Asimismo, si se comienza con un polinomio que contiene coeficientes raciona-les, la regla es que los factores también deben tener coeficientes racionales.

Ejemplos

x2 + x- 6= (x+ 3)Cr- 2) S 4x2 - 9/16 = (2x- 3/4)(2r + 3/4) H= (3 + x)(-2 +x) = (-3/4 + 2r)(3/4 + 2x) '

En general, no es fácil descomponer polinomios con grados altos. Hay diversastécnicas que se pueden utilizar, según sea la forma de la expresión por factorizar:por factor común, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el métodode ensayo y error, completando cuadrados y mediante la obtención de raíces pordivisiones sucesivas, entre otras técnicas usuales.



4. Faetorización y fracciones algebraicas 171

4.2. PRODUCTOS NOTABLES

Los siguientes productos de polinomios son muy usuales en álgebra, normalmenteidentificables y ayudan en el proceso de faetorización de polinomios. Por tal razónse denominan productos notables.

Sean dos monomios cualesquiera denominados A y B, sumándolos y restándo-los se obtienen los binomios: A + By A- B

Primero: binomio al cuadrado

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero másel doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

A2 + (2A)(B) + B2

Segundo: binomio al cuadrado

El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primeromenos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Tanto en el primero como en el segundo caso, el producto de un binomio por símismo da como resultado un binomio al cuadrado.

Tercero: binomio conjugado

El producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos esigual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo.

A este producto también se le conoce como producto de binomios conjugados ya su resultado como diferencia de dos cuadrados.



172 Algebra básica

Los binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado sólo en el signode uno de los binomios.

Aplicando estas reglas se pueden escribir directamente los resultados de lassiguientes operaciones:

(4r+ 3)2 = I6x2 + 24r+ 9 = 9 + 24*+ lar2

(2x - 5)2 = 4x2 - 20* + 25 = 25 - 20* + 4x2

(2x+ 1X2*- 1) = 4x2 - 1 = -1 + 4r2

Cuarto: binomio al cubo

2A2B+AB2+A2B+2AB2 + B3

2. (A-B)(A-B)(A-B) = (A-Bf

= A3-3A2B+3AB2-B3

Quinto: suma y diferencia de dos cubos

1. (A + B)(A2-AB+B2)=A3

2. (A-

Sexto: binomio con término común

2. (Ax + By){Cx + Dy) = ACx2 + {AD + 3C)xy+BDy2

3. (x + A)(x+B) = x2 + (A + B)x+AB

Las letras A, B, C, D pueden ser números reales o expresiones algebraicas.



4. Factorización y fracciones algebraicas 173

Ejemplos de 4.2

1. (2a+5¿>)2 B

Solución:

Mediante la aplicación del producto notable del caso primero, donde A es 2a, Bes 5b, se tiene:

(2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2

= 4a2 + 20ab + 25b2

2. (72+7)(/2-2) 9

Solución:Mediante la aplicación 3 del caso sexto de productos notables, donde x es t1.

(t2 + l)(t2 - 2) = (Z2)2 + (7 - 2)/2 + 7(-2)= /4 + 5 / 2 -14= - i 4 + 5/2 + /4 a

3. ( 3 « 3 + 4 V 2 ) ( 3 « 3 - 4 J / 2 ) B

Solución:Mediante la aplicación del producto notable del caso tercero, donde A es 3z/3 y

= (3u3)2 - (4v2)2

= 9«6-16v4

4.

Solución:Mediante la aplicación del producto notable 2 del binomio con término común,

donde x es x2, y es y, A es 5, Bes -2, Ces 3 y D es 6.

(5x2- 2JO(3X2+ 6 J ) = (5)(3)(.r2)2+ [(5)(6) + (- 2)3]x2y+ (- 2)6y2

= l5x4+24x2y-l2y2




Ejercicios de 4.2

Utilizar las reglas mencionadas para encontrar los siguientes productos:

1. (r-7)(.r+4) 5. (2x-

2. (2x+4y)(6x-ly) 6.

3. Í3jc + |

4. O 2 + 4 ) O 2 - 3 ) 8.

4.3. FACTORIZACIÓN CON FACTOR COMÚN,

PRODUCTOS NOTABLES Y COMBINACIÓN DE AMBOS

4.3.1. Factorización con factor común

Esta forma de descomposición de un polinomio es una de las más útiles, ya quepermite factorizar casi todas las expresiones. Como su nombre lo indica, se factorizala expresión dada, buscando un factor común a todos los términos o, en su defecto,se obtiene el máximo común divisor.

Los pasos por seguir son los siguientes:De acuerdo con la expresión abx + cdx + efx

• Buscar un factor que aparezca en todos los términos. En este caso el factorcomún es x.

• Al encontrar el factor común se debe multiplicar por los factores no comunes:

x(ab + cd+ ef)

Ejemplos de 4.3.1

1. Observar la factorización de los polinomios en los que se han obtenido losfactores comunes 5x2, 6x2 y 6x3

9 respectivamente.

Solución:5x2 = 5^2(5^2 - 6x+ 1) S




l) B( - 3 ) B

2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. En el inciso b), n es un enteropositivo.

a) -\0r3s2t4-2(W/3+ 5r2s4t4 B b) x2n+xn+2 B

Solución:a) -10/*V/4- 20r3s2 /3 + 5/*W4 = -5r2s2t3 (2A-/+ 4A-- J*2 /)b) x2"+ xn+1 = ^ ( ^

. J.2. Factorización con productos notables

Con la aplicación de los productos notables, pero en sentido contrario, se puedendescomponer algunos polinomios en producto de otros dos más simples.

Se puede aplicar el cuadrado de una suma o de una diferencia, un binomio alcuadrado, como es el ejemplo del siguiente trinomio dado/?(;r):

Considerando que x4 es el cuadrado de x2

25 es el cuadrado de 510;r2 es el doble del producto de x2 por 5

entonces: p(x) = (x2 + 5)2

Si se factoriza aplicando suma por diferencia, es decir, un binomio conjugadode la forma 25x4 - 64, su resultado es:

- 64 = (5;r2 + S)(5x2 - 8)

Ejemplos de 4.3.2

1. Factorizar los siguientes polinomios, reconociendo productos notables.

B




(4)2 B9x2 - 6x + 1 = ( 3 * - I)2 = ( 3 * - l)(3x- 1) H

2. El polinomio Sx6 - 21 y9 se reconoce como la diferencia de dos cubos, el casoquinto de productos notables.

Solución:Sx6 - 21 y9 = (2x2f - (3y3)3 S

- 3y3)(4x4 + 6x2y3 + 9y6)

3. El polinomio \6xA - (y- 2z)2 se resuelve al observar que es una diferencia dedos cuadrados, resultado de un binomio conjugado.

Solución:\6xA -(y- 2z)2= (4x2)2- (y- 2zf

= [(4^2) + (y-2z)][(4x2) - (y- 2z)\= (4x2 +y- 2z)(4x2 -y+2z)

4. El trinomio x2 + 3x- 28 es de la forma del segundo miembro en la aplicación 3del binomio con término común. Éste puede factorizarse en el producto de dosbinomios x+ayx+¿?si hay dos enteros a y b tales que a¿> = -28y a+ b=3.Los enteros -4 y 7 satisfacen estas condiciones, y de este modo se tiene:

x2 + 3x- 28 = (x- 4)(x+ 7) = (-4 + x)(l + x)

El trinomio también puede factorizarse aplicando la ley distributiva, es decir:

x2 + 3x - 28 = x2 + (-4)x= x(x-4) +

5. Algunos polinomios de tres términos se resuelven mediante la aplicación 2 delcaso sexto para productos notables, de una manera sencilla y rápida, factorizandopor un método de ensayo y error que requiere memorizar una pequeña regla:

A * C- coeficiente del primer término del trinomio.B* D= coeficiente del tercer término del trinomio.A* D+ B * C- coeficiente del segundo término del trinomio.




Para factorizar el trinomio \5x2 + Ixy- 2y2 como un producto de dos binomios(Ax+By){Cx+Dy), como el indicado en el punto 2 del caso sexto de produc-tos notables, se determinan dos números^y £7cuyo producto sea 15 y dos númerosB y D cuyo producto sea -2 , tal que AD + BCsea, igual a 7. Si A y ¿7 van a serpositivos, las posibilidades de^y ¿7son 1 y 15, o bien, 3 y 5. Las posibilidades deBy Dson I y - 2 y - l y 2 . Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene el térmi-no medio requerido Ixy si se escribe:

Ixy- 2y2 = (3x+ 2y)(5x-y)

4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos

1. En el polinomio/7(jr) = x3 + 2x2 + xse observa un factor común x, por tanto seescribe x(x2 + 2x+ 1), y este nuevo trinomio es el resultado de un binomioal cuadrado. De esta forma, combinando los dos métodos se descompone elpolinomio, expresándolo como una serie de productos:

p{x) = x> + 2x2 + x = x(x2 + 2x+ l)=x(x + I)2 = x(x+ l)(x+ 1)

2. En el trinomio 2st4- 8st2- 90s hay un factor común monomial 2s. De aquí eltrinomio pueda escribirse como 2s(t4 - 4t2- 45). Este nuevo trinomio puedefactorizarse y expresarlo como el producto de dos binomios, uno de los cualeses la diferencia de dos cuadrados:

- Sst2 - 90s= 2s(t4 - 4 / 2 - 45)

Ejercicios de 4.3.3

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los factores de (x+ l ) 2 ( r - I)2?

aj x2 + 2x-lb) 2x2 + x-\c) xA-x2+\dj x4-2x2+l




2. ¿Cuál es el resultado de faetorizar 9JT3 - 729xy2c?

a) 3x(x-9y2)(x+9y2)b) 9x\x-9y){x+9y)c) 9x(x-9y)(x+9y)d) Ninguno de los anteriores

3. ¿Cuál es el resultado de faetorizar x3 + 125?

a) (X+5)(X2-5JT+25)

b) (x-c)d) (x-

4. ¿Cuál es el resultado de faetorizar l%x1y-v Wlxy1 hasta el último término?

a) x(78xy+my)bj xy(7Sx+U7y2)c) Todos los anterioresd) Ninguno de los anteriores

5. ¿Cuál es el resultado de faetorizar x6- y9l

a) (x2 +y3)(x4 + xY -y6)b) (x2 +yi)(x4 - 2x2y2 +y6)c) (x2-yi)(x4 + x2y2+y6)d) (x2 -/)(•*•" - 2-r>3 +y6)

6. ¿Cuál es el resultado de faetorizar 2xy5 - 32xy?

aJxy(y+4)\y-4)2

bJxy(y2 + 4)(y2-4)cJ2xy(y2 + 4)(y2-4)dJ2xy(y2 + 4)(y+2)(y-2)

7. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) (x+yf = xi- 3x2y+ 3xy2

b) (x+y)5 = x5- 5x4y- lOx3/ + lOx2y3 + 5xyA +y5




c) (x-y)3 = x3 -y3

d) Ninguna de las anteriores

8. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) 5002-4002 = (9)(103)

b) 120002-(-13000)2 = (-2.5)(106)c) 8 8 2 - 872= 175d) 196(25)2-169(25)2 = 675

4.4. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO

Es otra técnica muy sencilla, que consiste en buscar los posibles factores comunesen la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después sefactorice por factor común. En esta técnica de factorización se encuentran factoresque no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos.

Si se requiere factorizar una expresión « = = o ax + by + ay + bx

Pasos por seguir:1. Identificar los términos con posibles factores comunes.

Es posible darse cuenta de que no existe un factor común a todos los términos,pero sí hay dos factores comunes a términos diferentes: x es factor común deax, bx;yes factor común de ay, by.

2. Agrupar los factores de acuerdo con cada factor común.

bx+ ay+ by

3. Factorizar por cada factor común.

x(a+b)+y(a+b)

4. Como se obtuvieron dos términos, se localiza nuevamente el factor común. Elfactor común de ambos términos es (a+ b).

5. Factorizar nuevamente por cada factor común, multiplicando el término comúnpor los no comunes {x, y), obteniendo como resultado:

(a+b)(x+y)




Ejemplos de 4.4

1. Factorizar el polinomio

B

Solución:Se agrupan los dos primeros y los dos últimos términos, y se tiene:

Los dos primeros términos tienen un factor común igual a x y los dos últimostienen un factor común -2y. Por lo tanto, el polinomio puede expresarse como:

x{3x+l)-2y(3x+l)

Se observa que hay un factor común 3x+ 7 en cada término. De aquí se tiene que:

(3* + T)(x - 2y) = (7 + 3x)(x - 2y)

2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

a) 5xz-5yz-x+y B b) 42- 6u3 - Iv2 + u* v2 B

Solución:

a) 5xz-5yz-x+y=5z(x-y)-l(x-y)= (x-y)(5z-l)= (-x+y)(\-5z)

b) 42 - 6u3 - lv2 + uz v2= 6 (7 - //3) - v\l - u3)

3. Factorizar 3;r3 + 2x2 - \2x- 8

Solución:3x3 + 2x2 - \2x- 8 = x2 (3*+ 2) - 4(3*+ 2)

= (3.r+2)( .r2-4)




4.5. FACTORIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Un binomio al cuadrado tiene como resultado un trinomio cuadrado perfecto'.

Se le llama trinomio cuadrado perfecto porque los términos que están en los ex-tremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto debeexpresarse como el producto de un binomio al cuadrado, pero antes hay que determi-nar si ese trinomio realmente es cuadrado perfecto.

Se requiere factorizar el siguiente polinomio

p(x):4a2+l6ab+l6b2

Pasos por seguir:1. Reconocer si es un trinomio cuadrado perfecto.2. Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer términos.

V i? = 2a VÍ6F = 4b

3. El doble producto 2(2a)(4b) = \6ab, por lo tanto es un trinomio cuadradoperfecto.

4. Sustituir en la fórmula del binomio al cuadrado.

(2a + 4b)2

5. Para comprobarlo, resolver el binomio al cuadrado.

(2a + 4b)2 = (2a)2 + 2(2a)(4b) + (4b)2 = 4a2 + \6ab + b2

Ejemplos de 4.5

1. El trinomio 16¿/2 + 40¿7 + 25 tiene dos términos cuadrados perfectos, es decir,16¿z2 que es (4a)2, y 25 que es 52; además, el otro término es 40¿z, el cual es2(4¿7)(5). Por tanto, es un trinomio cuadrado perfecto y se aplica la fórmula delbinomio al cuadrado. En consecuencia:

16a2 + 40¿7 + 25 = (4a + 5)2 = (5 + 4# )2 H




2. Factorizar 4x2 -\2xy+ 9y2 H

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Como la raíz cuadrada de 4x2

es 2* y la raíz cuadrada de 9y2 es 3y, se tiene que:

4x2 - \2xy + 9y2 = (2x- 3yf = (-2x+ 3yf

4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado

El polinomio por factorizar es de la forma:(1)

Ax2 + Bx+C

Se plantea la siguiente expresión algebraica:

6*2 + 5;r-6 H

Pasos por seguir:1. Determinar los coeficientes numéricos.

J=6 £=5 C=-6

2. Encontrar dos números cuyo producto sea igual a -36(^ *C) y cuya suma seaigual a 50?).Para agilizar la búsqueda de esos dos números, es necesario descomponer elnúmero -36 en factores como:

-36 = (9)(-4) -36 = (-9)(4) -36 = (6)(-6)

3. Cuando se tengan los factores deben sumarse y así se encontrarán dos númerosque cumplan las condiciones que se piden.

Los números que satisfacen las condiciones son: 9 y -4 .

) Esta expresión es un trinomio de segundo grado, pero no es un trinomio cuadrado perfecto.




4. Tomar el término que se encuentra al centro del polinomio. En este caso 5x

6^2 + 5 z ~ 6

5. Luego factorizar este término como la suma de los dos números encontrados.

5x = 9x-4x

6. Sustituir en la fórmula original.

7. Factorizar por agolpamiento.La factorización por agrupamiento implica factorización por factor común.

de donde: lx(2x + 3) - 2(2x + 3)

Se obtuvieron dos términos con un factor común, que es: {2x+ 3).

8. Factorizar multiplicando el término común por los no comunes.

(2r+3)(3;r-2)

Ejemplo de 4.5.1

Factorizar: 6x2 + 19.T +

Solución:

Si 19;r= 15x+4xReemplazando en el6x2+15^ + 4^+10

io a

ac-(15)(4) =

trinomio

6060

¿=1915 + 4=19




se obtiene factor común:+ 15JT= 3JT(2JT+ 5)

10 = 2(2*+5)

El resultado es6x2 + 19* + 10 = (3*+ 2)(2*+ 5) = (2 + 3*)(5 + 2x)

Ejercicios de 4.5.1

1. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 9x2 + 24*7 + I6y2 b) 9x2 - 24xy+ I6y2

c) 9x2 + 25xy+ I6y2 d) 9x2 - \45xy+ \6y2

e) 9x2-\6y2 f) 9x2+\6y2

4.6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Cuando se tienen polinomios con grado n de la forma

p{x) = anxn + anX xn~x + anl xn~2 -\-... + a{x+ aQ

considerando que a0, av ..., an son números reales con an * 0 y n es un númeroentero no negativo, es posible descomponerlo de la siguiente manera:

p(x) = (x- rx)(x- r2)(x- rj ... (x- r) C(x)

donde rv rv rv ..., rn son raíces del polinomiop{x), que se encuentran por divisio-nes sucesivas, y C{x) es el último cociente.

A continuación se hace un recorrido para recordar estos temas: raíces de unpolinomio, teorema del residuo, división de polinomios aplicando la Regla de Ruffiniy descomposición factorial de todo polinomio de grado n.

4.6.1. Raíces de polinomios

Un número r se dice que es una raíz del polinomiop(x) si el valor numéricodel polinomio para x = r es cero, es decir, s\p(r) = 0




El polinomio p{x) = x- 3 tiene por raíz x= 3, ya que/?(3) = 0El siguiente cuadro permite ver otros ejemplos.

PolinomioJ C 2 - 1

* 2 - lJC2 - 5x + 6JC2 - 5JC + 6

Raíz1

- 123

ComprobaciónI 2 - 1 = 0

(-l)2-l=022 - 5(2) + 6 = 032 - 5(3) + 6 = 0

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de gradon tiene n raíces (para algunos números reales y otros complejos).

Para encontrar las raíces de un polinomio/?^) se resuelve la ecuación/?^) = 0;en el caso de ecuaciones de segundo grado véase el capítulo 5.

Si no es posible resolver la ecuación/?^) = 0, recordar que las raíces enteras deun polinomio son divisores del término independiente ayudará en la búsqueda de lasraíces enteras.

Cuando se tienen polinomios de grado superior a 2 es factible aplicar el métodode ir calculando el valor numérico del polinomio para los distintos divisores deltérmino independiente.

Los pasos para hallar las raíces del polinomio x4 + 3x3 - x2 - 3x son:

1. Se obtiene factor común x3x2-x-3)

de donde se deduce que x= 0 es una raíz.2. Se observa que los divisores del término independiente del polinomio que que-

da dentro del paréntesis x3 + 3x2 - x- 3 son 1, -1 ,3 y - 3 . Entre ellos estarán lasraíces enteras.

3. Se comprueba cuáles son raíces enteras:

Polinomiox3 + 3x2-x-3*3 + 3JC2-JC-3

xi + 2>x1-x-3

*3 + 3JC2-JC-3

Posible raíz1

-13

-3

Comprobación(I)3 + 3(1)2 - 1 - 3 = 0

(-l)3 + 3 ( - l ) 2 - ( - l ) -3 = 0(3)3 + 3(3)2-3-3=48

(_3)3 + 3(-3)2-(-3)-3 = 0

¿Es raíz?SíSíNoSí

4. Luego de comprobarlo, las raíces encontradas son cuatro: 0, 1,-1, - 3 , cuyonúmero coincide con el grado del polinomio propuesto.



186 Algebra básica

4.6.2. Teorema del residuo

Sea R el residuo de la división de un polinomio p(x) entre x - r, el teorema delresiduo dice que el valor numérico dep(x) para x- r coincide con R.

Si/?(x) es un polinomio y r es un número real, entonces sip(x) se divideentre x - r, el residuo esp(r).

Este teorema permite determinar el residuo de la división de un polinomio porx - r sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos de 4.6.2

1. Dividir el polinomio x4 + x3 - 5 entre j + 2 y luego encontrar el residuo pormedio del teorema del residuo.Al realizar la división del polinomio por la forma ya vista en el capítulo ante-rior, se encuentra el valor 3 como residuo.

Mediante el teorema del residuo, sip(x) se divide entre x+ 2, el residuo R debeser/?(-2), porque x+ 2 = x- (-2).

Luego se comprueba que/?(-2)= (-2)4 + (-2)3 - 5= 1 6 - 8 - 5 = 3

que coincide con el residuo de la división.

2. Si se divide xA - 2x2 entre x+ 5 se halla un residuo de 575.

Con la utilización del teorema, como el divisor es x+ 5 = x- (-5), entonces elnúmero r- -5 y el valor numérico dzp(x) para x= res:

4.6 3. División por Regla de Ruffini

Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor, del cual sedesprende que res miz dep(x) si y sólo si el residuo de dividirp(x) entre x-res cero.




Por ejemplo, x3 - 8 es divisible por x- 2, ya que el 2 es raíz/>(2) = 23 - 8 = 0

Teorema del factor. Si p(x) es un polinomio y r es un número real, entoncesp(x) tiene JT- /-corno un factor si y sólo si p(r) = 0.

Ejemplo del teorema del factor

Probar que x - 4 es un factor de 2x3 - 6x2 - 5x - 12. H

Solución:Sip(x) = 2x3 - 6x2 -5x- 12, entonces

p(4) = 2(4)3 - 6(4)2 - 5(4) - 12= 2(64) -6(16) - 2 0 - 1 2= 1 2 8 - 9 6 - 3 2 = 0

Por lo tanto, del teorema del factor se deduce que x— 4 es un factor dep(x).

Regla de Ruffini. Un polinomio completo y ordenado en x, dividido por un binomiode la forma x- r. da por cociente un polinomio de grado menoren una unidad que el dividendo, cuyos coeficientes son:

• El primero es el primero del dividendo.• El segundo es igual al producto del primer coeficiente por r

cambiando de signo, más el segundo del dividendo; en la mis-ma forma se obtienen los restantes.

Ejemplos de 4.6.3

1. Dividir 3x5 + 1 Ox4 - 15x2 + 5 entre x + 2

Solución:Primero hay que completar el dividendo: 3x5 + 10x4 + Ox3 - 15.r2 + 0x+ 5.

Como el dividendo es de quinto grado, el cociente es de cuarto grado y suprimer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo, o sea, 3.

Como r- 2, cambiando de signo es r- -2; se multiplica 3(-2) = -6, se agregaal segundo coeficiente 10 del dividendo y se tiene -6+10 = 4, que es el segundocoeficiente del cociente, y así se continúa.




Para entender mejor esta regla, conviene utilizar la siguiente distribuciónpráctica, con la colocación de los coeficientes numéricos:

-23 10 0 -15 0

3(-2) = -6 4(-2) = -8 (-8)(-2) - 16 l(-2) - -2

3 1 0 - 6 = 4 -8 -15 + 16=1 0 - 2 = -2 5 + 4 = 9

Es decir que los coeficientes del cociente son: 3,4, - 8 , 1 , -2 y el residuo quese obtiene con el mismo procedimiento es 9.

Luego:3x5 + l&r4 - Í5x2 + 5 entre x+ 2 tiene como cociente:

C(x) = 3x4 + 4x3-$x2 + x-2y como residuo R= 9

Una forma de comprobar si r es una raíz dep(x) es dividirp(x) entrex-rpor la Regla de Ruffíni y observar si el residuo es cero.

2. Dividir p(^) = x4 - x3 - 4x2 + 2x + 4 entre x-2 S

Solución:Al dividir se obtiene un residuo R= 0, por lo tanto se comprueba la raíz r=2yel cociente C(x)= x3+x2-2x-2

CUADRO 4.1

Para comprobar si r es una raíz dep(x), puede dividirsep(x) entre x-r por Ruffini y observar si el residuoes cero.

2

x4 -x3 -4x2 +2x

1 - 1 - 4 2

2 2 - 4

1 1 - 2 - 2

/División de p(x) Residuo

entre x - 2

+4

4

-4



4. Factorizacióny fracciones algebraicas 189

4.6.4. Descomposición factorial de polinomios

La descomposición factorial de polinomios implica encontrar las raíces de unpolinomio por divisiones sucesivas, utilizando la regla de Ruffini.

Como/?(>) = (x- r) C(x), en lugar de buscar las raíces dsp(x) se buscan lasraíces del cociente, ya que se tiene la ventaja de que el grado de C(x) es unaunidad menor.

Ejemplo de 4.6.4

1. Descomponer el polinomio x3 + x2 - 4x - 4 H

Solución:Las posibles raíces son los divisores del término independiente: 1,-1,2, -2,4, -4.

En el cuadro 4.2 se indica el inicio de la división del polinomio por las posiblesraíces:

CUADRO 4.2

r—*-2

1

\

X3

1

1

i1

+JC2

1

2

31

4

\1 no es raíz

-4x

-4

6

24

6

-4-4

4

06

6

— Pto

C(x) = x2 + 3x + 2Posibles raíces

1,-1,2,-2

Cuando se divide por la posible raíz 2 se obtiene un residuo 0, con ello seconfirma que r = 2 es raíz. El cociente C(x) = x2 + 3x + 2 tiene como posiblesraíces 1, - 1 , 2, -2 , todos ellos divisores del término independiente 2. Al elegir elvalor 1 se observa que no es raíz al dar un residuo distinto de cero.

Se intenta con el valor de otra posible raíz, por ejemplo - 1 , comprobando que r—-1 es raíz al dar un residuo de cero. El nuevo cociente es C{x) = x+2 que tiene




también como posibles raíces: 1, - 1 , 2, -2. Con el valor de -2 se obtiene la últimaraíz con un cociente de C{x) = 1.

La operación completa se muestra en el cuadro 4.3:

CUADRO 4.3

2

-1

-2

1

1

1

1

12

3-1

2-2

0

-46

2-2

0

-44

0 CM-JC + 2

Posibles raíces1,-1,2,-2

Las raíces obtenidas 2 , -1 , -2 determinan los factores x- /*en donde r se cam-bia de signo:

2=>(jr-2) - l = > ( r + l ) -2=»(;r+2)

El polinomio descompuesto esp(x) = (x - 2)(x + l)(x + 2)(1).

4.7. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones, también llamadas expresiones algebraicas racionales, consisten enun cociente de dos polinomios.

Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y variables de lamisma manera como se hace con fracciones aritméticas. Aquí es importante recor-dar la propiedad fundamental de las fracciones:

ax _abx~b

donde




Al proceso de pasar de axibx a alb se le denomina simplificación y se realizaeliminando factores idénticos del numerador y el denominador. Si a y b no tienenningún factor común, excepto 1, entonces se dice que ¿?/¿está en los términos mássimples, es irreducible.

El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas.

4.7.1. Propiedades de las fracciones

1. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:

-a__a ^8_A-_4b~-b T " ^ 2 ~


-a = a -20_20_4

-b~b -5 ~ 5 ~


a-b_ 1 0 - 5 _ 5 _ - 5 _ i

b^a~ 5^To~^5~T~~4. Propiedad de suma de fracciones

Si ¿T, by c son números reales, donde b es diferente de cero:

a c_a+c 4 5 4+5 9b b~~ b 2 + 2~~2~~2

Si a, b, c y ¿/son números reales, donde b y ¿/son diferentes de cero:

a c _ad be _ad + bc 6 2_24 16_24 + 16_40b d~bd bd~ l*d~ 8 4~32 32~ 32 ~32

5. Propiedad de multiplicación de fraccionesSi a, b, c y ¿/son números reales, donde b y ¿/son diferentes de cero:

a)(c)_(a)(c)_ac (6)(x) _ 6x _ 6je _6

b)\d) (b)(d) bd (5)(JC) 5x 5Je 5

(a)(d)Ja)(á) = a Í5x](ly) (5*)(7y) = 35xy(b)(d) (b)(d) b UJUJ 16 16




6. Propiedad de división de fraccionesSi a,b,cy ¿/son números reales, donde b, cy ¿/son diferentes de cero:

a c

Ejemplo de 4.7.1

Resolver utilizando las propiedades de multiplicación y división.

12= =

18 (3)(6) 3

4.8. SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE FACTORIZACIÓN

La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla.

Ejemplos de expresiones algebraicas racionales

6 J C 4 - 8 4JC2 + 20*+ 25 8*

50;y jt4 + 5 4y8z

El primer ejemplo se llama expresión racional entera enxyy pues cada uno delos polinomios en el cociente es un polinomio en xy un polinomio eny La segundaexpresión es una expresión racional en x, ya que cada uno de los polinomios en elcociente es un polinomio en x. Por razones similares, la tercera expresión es racio-nal en x,yyz. Las propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificarexpresiones como las anteriores.

Ejemplos de 4.8

1. Factorizar y eliminar términos semejantes.

- 1 ) 2 J C - 1

Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza pri-mero la expresión y después se utilizan las propiedades de las fraccionespara reducirla.





4 -y 2 22-y2 (2-y)(2 + y)

Se puede considerar que: (2 -y) = —{y- 2)

= (4y-l)(y-2) = 4y- l

(y-2)(2 + y) 2 +y


2 5 - x 2 (5-x)(5 + x) n _ , , . . „~2 = — H Recuérdese que 5 - x = -(x - 5)x - 3 x - 1 0 (jc-5)(jc + 2) Asíque(5-x)/(jr-5) = l

Ejercicios de 4.8

Simplificar las siguientes expresiones racionales:

6JC2-JC-2

4xy

4.9. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Como se ha indicado previamente, el cálculo con fracciones algebraicas se facilitaal simplificar expresiones algebraicas, y son menores los esfuerzos al resolverecuaciones con fracciones.

4.9.1. Multiplicación de fracciones

Recordemos la forma como multiplicamos las fracciones numéricas.

Multiplicar 2/5 por 6/7.




Solución:

12(5)(7) 35

Para multiplicar dos fracciones se obtiene el producto de los numeradores y elproducto de los denominadores.

La aritmética con fracciones numéricas proporciona un modelo para la aritmé-tica con fracciones algebraicas. Se multiplican las fracciones algebraicas exacta-mente en la misma forma.

Definición de producto de fracciones

Dadas dos fracciones algebraicas alb y cid, se define su producto

a\\c

b(dcíe

como: — donde b ^ 0,bd

Para multiplicar expresiones racionales algebraicas se utiliza la propiedad 5 delas fracciones.

Cuando se multiplican dos expresiones racionales, los numeradores y denomi-nadores deben factorizarse completamente antes de aplicar la propiedad de la defi-nición de producto de fracciones; esto facilita la reducción al mínimo de la expre-sión racional que representa el producto.

Ejemplos de 4.9.1

1. Multiplicar y simplificar tanto como sea posible.

Ax-\) yU+3,Soluciones:

.hrfYex3) (3^2)(6 ) .,a) —y- = - p — ^ - Definición de multiplicación

A c (4wz)(5w¿y)




= ~- Propiedades de los exponentes20w3yz

La multiplicación está efectuada, pero tal vez la fracción resultante tenga unaforma equivalente más simple. De hecho la tiene, ya que:

lSx4y2 (2)(9)x4yy

20w3yz (2)(lO)w3yz

9x4y

= -—f-

n . A A ~ A • i , * , * •Propiedad fundamental de las fracciones

Respuesta en la forma más simpleflOw z

V 3 * + 5^ JC(3JC + 5 ) . . , .,

Definición de multiplicación

Respuesta en la forma más simple

u-i)

También es correcto dejar la respuesta de este problema en forma factorizada:

Si se quiere escribir la respuesta en la forma más simple, se pregunta: ¿hayfactores comunes en el numerador y el denominador?

c) = V^^—;— Definición de multiplicación7 {x + 3){ x ) (x + 3)(x)

Factorícese tanto como sea posible:

x\x2-9) = x\x + 3)(x-3)(x + 3)x (x + 3)x

Se simplifican las xy los términos (x+ 3), quedando:

= x\x- 3) o bien x3 - 3x2 Respuesta en la forma más simple

Este ejemplo sugiere que debería factorizarse tanto como sea posible antes^demultiplicar los numeradores y denominadores. De esta manera, es posible descu-brir una forma simple de la respuesta.




4.9.2. División de fracciones

Recordemos que para dividir una fracción numérica entre otra, digamos 3/5 -*- 8/7,cambiamos el problema de división a un problema de multiplicación (invertir eldivisor y multiplicar), de este modo 3/5 •*• 8/7 se transforma en 3/5 * 7/8 = 21/40.

La división de fracciones algebraicas se hace exactamente de la misma manera,aplicando la propiedad 6 de las fracciones.

Definición de cociente de fracciones

Dadas dos fracciones algebraicas

a c- y - donde c ^ 0b dsu cociente es igual a

donde b, d* 0

Ejemplos de 4.9.2

1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.

4wz2

,. 25x2-l6y2 x2-4

2xy-6y2

3

Soluciones:

a) — ^ - -s- — Se cambia el problema de división a unw z x y problema de multiplicación, de acuerdo

con la definición anterior




4wz2

(4)(2wY)

4 j Propiedades de los exponentes y defini-w z ción de multiplicación

-y Respuesta en la forma más simple

,. 25x -I6y x-4 -, , . i , J , . - . . ,^ ~2 * ~2 Cambio a un problema de multiplicación

x2-4

10)(x2-4)

(5x - 4y)(5x + 4y)(x + 5)(x - 2)

(x-2)(x + 2)

= (5x-4y)(5x +(x + 2)(x + 2)

2xy-6y2 4xy-\2y2

Factorizar completamente

Respuesta de la forma más simple

No se necesita multiplicar

c)ix~ +oxy x + zy

Utilizar la propiedad de la definición3 + 6x2y)[4xy-l2y2)

Buscar factores comunes(3xi + 6x2y)(4xy-l2y2)

= 2y(x-3y)(x + 2y)3x2((x + 2y))(4y)(x-3y)

La respuesta hasta la forma más simple6x posible




Observar el ejemplo \cnuevamente. ¿Cómo puede ayudar la división de frac-ciones algebraicas? Suponiendo que estas fracciones provienen de la aplicación deun problema real, y también suponiendo que x= 1.5 y y- 2,,se tiene la elecciónde: a) poner los valores de x y y en el primer renglón del ejemplo l e y obtener:

2(1.5)(2) - 6(2)2 4(1.5)(2) -12(2)2

3(1.5)3 + 6(1.5r(2) 1.5 + 2(2)

(lo cual implica más cálculos), o b) se puede hacer el álgebra primero (como en elejemplo \c)y luego sustituir en el resultado obtenido los valores ásxy y:

—~ = ~ = = = 0.074 con una exactitud de tres decimales6x2 6(1.5)2 6(2.25) 13.5Es más probable que la aritmética resulte más fácil en el segundo caso, y de

esto es lo que trata la simplificación de fracciones algebraicas, de hacer los cálcu-los más fáciles.

Ejercicios de 4.9.2

Multiplicar, dividir y simplificar tanto como sea posible.

4 5 0 ^' 2 8 V '

(x6x + 9)Í2x_2

+ 9^ Ax2-9y2 6x2-xy-l2y

5 J ' 2 ' 2xy + y2 ' xy + x2

x + 2 t J C 2 - 4

4.10. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La suma y la diferencia de expresiones racionales se determinan aplicando la pro-piedad 4 de las fracciones:

a b_a+b a b_a-bd d'IT d~~d~^dT




Para ello es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Si sedesea sumar o restar fracciones que no tengan el mismo denominador, se sustitu-yen por fracciones equivalentes que tengan mínimo común denominador.

El mínimo común denominador (MCDn) de expresiones racionales dadas es elpolinomio de grado mínimo que es múltiplo de cada uno de los denominadores.Para determinar este polinomio, primero se obtiene la forma completamentefaetorizada de los denominadores. El MCDn es el producto de los diferentes facto-res primos que hay en alguno de los denominadores, donde la potencia de cadafactor es la potencia más elevada que aparece. Por ejemplo:

Desarrollar las operaciones indicadas.

,37 ,,79a) - + - b)

8 8 y 12 20

Soluciones:a) Considérese 3/8 + 7/8. Los denominadores j4? están en unidades comunes.

Por lo tanto, se puede simplemente sumar los numeradores:

3 7 3 + 7 10 5 D t . , . t- + - = = — = - Respuesta en la forma mas simpleO O O O 4

b) Considérese 7/12 - 9/20. En este caso, los denominadores no son los mis-mos. Si se quiere volver a definir cada fracción de tal forma que los denomi-nadores estén en unidades comunes, ¿cómo debe encontrarse el MCDn de12 y 20? Tanto 12 como 20 deben dividir a este MCDn exactamente. Por lotanto, todo factores 12 y 20 debe dividir también al MCDn. Se factoriza 12y 20 para ver cómo se obtiene el MCDn.

12 = 4(3) =20 = 4(5) = (2)(2)(5) Factorizado en factores primos

El MCDn necesitará dos factores iguales a 2, un factor igual a 3 y un factorigual a 5. De este modo, el MCDn es (2)(2)(3)(5) = 60. Luego:

7 9 35 27 8 212"20 = 60"60 = 60 = 15 Respuesta en la forma mas simple

En este caso, el denominador 12 necesitaba un factor 5 para alcanzar elMCDn. El denominador 20 necesitaba un factor 3 para alcanzar el MCDn.




Cuando se determina el MCDn, es útil considerar el procedimiento deredefinición de una fracción como una multiplicación por 1 en una manera conve-niente. Por ejemplo:

7 9 (7 ^ 9= — (1) (1) Multiplicar por 1 no cambia nada

12 20 U2j 20 F F

7 )(5] ( 9 V 3

60 6 0 6 0 l 5

Se ha vuelto a escribir el 1 de manera conveniente, utilizando lo que hacía faltapara el MCDn. Esto implica la propiedad fundamental de las fracciones:

7V5 > |_ (7 ) (5 )_35 9 _ f 9 V 3 > | (9) (3) 27

12 \12J\5) (12) (5) 60 20 \20j\3J (20) (3) 60

Esto es, se multiplica cada fracción por 1 en la forma de:

_ factores del MCDn que faltan en el numeradorfactores del MCDn faltantes en el denominador

Escribir fracciones con el MCDn implica el inverso de la propiedad fundamen-tal de las fracciones:

b b (b)(c) be

Se suman (o se restan) fracciones algebraicas, como lo efectuado en el modeloaritmético en el ejemplo 1.

Ejemplo de 4.10

1. Desarrollar las operaciones indicadas.

3JC 3JC x 2y




Soluciones:

. 5 y lz 5y+ 7z T , . , ,¿27 — H = — Los denominadores son los mismos, asi

3x 3x 3x qUe s e s u m a n io s numeradores

Respuesta en la forma más simple

3 xPrimero encontrar el MCDn:

2y=2(y)

3 x 3Í2y) x(x2) o u . r 1 .~2 = ~2 \~2\ multiplica por 1 en una forma conve-x 2y x \2yJ 2y\x J nientepara redefinir las fracciones

6y JC3

= \ A h o r a las fracciones tienen el mismo2x y 2x y denominador

_6y-x3 _-x3

- 2 - 2 Se restan los numeradores y se obtiene2x y 2x y la respuesta

Los pasos seguidos son exactamente los mismos utilizados cuando se sumanfracciones numéricas.

4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones

Caso 1: Si las fracciones ya tienen el mismo denominador, sumar (restar) los nu-meradores y escribir la suma (diferencia) sobre el denominador. Luegoreducir la respuesta a la forma más simple:

a c a+c+

Caso 2: Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces:

a) Hallar el mínimo común denominador (MCDn)1. Factorizando cada denominador completamente y2. Formando el MCDn.




b) Redefinir cada fracción con el MCDn como denominador, multiplicandopor 1 en una forma conveniente.

c) Los denominadores ahora son los mismos, así que debe procederse como enel caso 1.

b d [bAd) [dAb bd bd bd

Ejemplos de 4.10.1

1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.

Estos denominadores son monomiosy z xz

x + 7 x

. a bc) +

a-b a+b

Solución:

y z xz y z\xzj xz yy J

5x2zxyh1

Algunos de estos denominadores tienenmás de un término

Hallar el MCDn:

Se multiplica por 1

Los denominadores son iguales

Respuesta

Solución:

3 5b)

x + 7 x

Hallar el MCDn:El único factor x+ 7 es x+ 7 y de xes x, luego el MCDn es x(x+ 7)




x + l\x) x\x + '

3xx(x + l) x(x

Se multiplica por 1 en formaconveniente

Se tienen los mismos denominadores

_ - 2 J C - 3 5 _ - 3 5 - 2 J C

JC(JC + 7) X(7 + JC)

Puede simplificarse el numerador

Se llega a la respuesta

Solución:

a bC)

a-b a+b

a (a + b\ b (a-ba-b\a + b) a + b\a-b

a(a + b) b(a-b)

(a-b)(a + b) (a + b)(a-b)

_a(a + b) + b(a-b)(a-b)(a ~

a2 + ab+ab-b2

(a-b)(a + b)

a2 + 2ab-b2

2b2a2-b

Multiplicar por 1 para redefinir

Se tienen fracciones con los mismosdenominadores

Se multiplica y se suman losnumeradores

Simplificar el numerador hasta dondesea posible

Respuesta



204 Algebra básica

4.11. APLICACIONES

En ciencias sociales, especialmente en administración y economía, frecuentemen-te se encuentran funciones como: costo de producción en función de las unidadesque se fabrican, cantidades demandadas por el mercado con base en los precios,ingresos obtenidos en función de las unidades vendidas, entre otros ejemplos. Enocasiones, estas funciones pueden parecer, a simple vista, complicadas para sugraficación; sin embargo, esta situación se resuelve mediante la factorización y eluso de productos notables.

Los siguientes ejemplos se refieren a dos funciones, donde C es el costo deproducción y Q las unidades que se fabrican.

02-36 (0+6)(0-6)

2 C(0)= Q+1 = Q+1 = l

02-49 (0+7)(0-7) 0 - 7

Las siguientes funciones representan al ingreso (R) en función de las cantida-des vendidas (Q).

160 160

(2+3X0+5)

4. g + 62

Q2 + 2 g - 2 4 (G + 6)(Q-4) Q-4Los ejemplos planteados se comprenden mejor cuando se trata de encontrar la

continuidad de la gráfica o de la función.

4.12. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN CON MATHEMATICA

Mathematica ofrece fundamentalmente dos instrucciones que apoyan estas ope-raciones.

Para efectuar un producto de polinomios o expresiones, aun no algebraicas, seutiliza la instrucción Expandfoperación deseada]. En lo que respecta a lafactorización, la instrucción Factorfexpresiónj^ realiza la factorización completa yFactorTerms'[expresión]'genera los factores comunes. Como ejemplos, véanse imá-genes 4.1 y 4.2.




IMAGEN 4.1

ln[46]:=

Out[46]=

ln[47]:=

Out[47]=

ln[48]:=

Out[48]=

ln[40]:=

Out[49]=

ln[50]:=

Out[50]=

ln[51]:=

Out[51]=-

ln[53]:=

Out[53]=

16 - 9 x* + 40 y + 25 y£

Expand[(-2xA3yA2+5t) (2x A 3y A 2+5t) ]

25 t* - 4x6 y4

-2 + 9 X*

Expand[(l / 2 x ^ 2 - 3 / 5 y) A3]

x6 9 x 4 y 27 X* y* 27yJ

5 0 1 2 58 2 0

E x p a n d [ ( 2 X + 3 Y + 4 ) ( 2 X + 3 Y - 8 ) ]

- 3 2 - 8 x + 4 x * - 4 y + 1 6 x y + 1 5 y í

Expaiul[(3 xA3 - 54yA2)A4]

81 x1* - 5832 x9 y* + 157464X6 y* - 1889568 x2 y* + 85O3O56 y*

3 1 ' :

IV-

í -;

IMAGEN 4.2

ln[54]:= FactorTen»[7 xSqrt [y] + 14 x A 2 Sqrt [y] - 2 1 Sqrt [y]]

0ut[54]= 7 (-3 -/Y +X</y +2X1 -/y)

ln[íí]:= Factor [%]

Out[65|= 7 ( - 1 + X) ( 3 + 2 X ) \ T y

ln|56]:= Factor[9 yA4 - « l x A 2]

Out[66]= - 9 ( 3 x - y * ) ( 3 K + y l )

; ln[«7]:= Factor[ -4y A 2 - 144yA8 + 48 yA 5]

Outp?]- -4y 1 C-l + e y V

in[«8]:= Factor[9 yA2 - 30 y + 23]

Out[58]= (-5 + 3 y ) r

ln[59]:= Factor[6xA4 y A6 - 9 x A 2 y A 3 - tO]

Out[69]= 3 (-4 + x^*) (5+2xíyJ)

ln[6ü]:= Factor[8 xA3 - 125 yA 3]

Outpo]= ( 2 x - 5 y ) (4xl + 10xy + 25y1)

Inpi]:» Factor[xA2 - 2 x y + yA2 - z A 2]

outpij» ( x - y - z ) ( x - y + z)

II •

1

1]"

1T1




Para simplificar expresiones algebraicas, el paquete brinda las instruccionessiguientes:

Simp/i/yfexpresión]. Busca una forma simple de expresión, utilizando transfor-maciones algebraicas.

FullSimplify[expresión]. Encuentra la forma más simple de expresión, utilizandoincluso transformaciones no algebraicas.

Together[expresión]. Coloca todos los términos sobre un común denominador.Apart[expresión]. Separa términos con denominadores simples (véanse imáge-

nes 4.3 y 4.4).Cancel[expresión]. Cancela factores comunes entre numeradores y denomi-

nadores.

IMAGEN 4.3

ln|68].= f = ( X - 1 ) A 2 ( 2 + X ) / ( ( 1 + X ) ( x - 3 ) * 2 )

(- l+x) í (2 + x)i Outf68]=

( - 3 + x ) í ( i + x)

ln|68J:= Expailll[f]

Out(69]=3x

(-3+x)i (i + x)

in[7i)):= ExpandAll[f]

2

(-3 + x)« (1 + x)

Out[70]=3x

+ 3x-5x£ +

ln[7i]:= Together[%]

2 - 3 x + x }

Out[71]«

ln[721:«

Out[721« 1 + •19

4(-3 + x) 4( l + x)

in[74]:= Cancel[(3xA2 - 3 x - 2) / ( x A 2 - 4 ) ]

l + 3xOut[74]=

2 + x

Inp5]:= Cai»cel[(2-x-3xA2)/(íxA2-x-2)]




IMAGEN 4.4

1 + 2x

In [7«1:= Sin^li fy[(6xA2yA3/4wzA2)/(2wA3zA3/lOxA4yA4)]

Out[76]= -ÍÍ2 w* x í y z

ln[77]:= Siji»li£y[((2xy-6yA2) / (3 xA3 - t xA2 y)) / ((4 xy - 12 y A2) / (x + 2 y))]

OutP7]= X + 2 Y

6 x * ( x - 2 y )

, ln[7S]:= Cance l O ]

x + 2 y

x 1 (x - 2 y)

9]:= T o g e t h e r [ ( 3 / x A 2 ) - ( x / 2 y ) ]

6 - x ' y79]= *

DJ:- T o g e t h e r [ ( 5 x / ( y A 2 z ) ) + ( 2 y / ( x z A 2 ) ) ]

xy* z

Ejemplos resueltos con Mathematica

IMAGEN 4.5

Ejenplos de Xa secc ión 4 . 1

Factor[xA 2 +x-6]

( - 2 -4- X ) ( 3 - 4 - X )

Factor[4 xA2-9/16]

( - 3 •+- 8 x ) (3 -+- 8 x )1 6

E j e n ^ l o s d e Xa s e c c i ó n 4 . 2

2 24 a -+- 20 a b + 25 b

Expand[(tA2+7) ( t A 2 -2 ) ]

Expand [(3uA3+4vA2) <3n.A3— 4v

i _£j I

TJ]J

JSEÍ

]]

]JJ]j1]]]J]

1




IMAGEN 4.6

1^ liiiillíiii^Ejenplos de l a sección 4 . 3 . 1Factor[25xA4-30xA3+5xA2]

S (1 - 5 x) (1 - x) x

Factor[12xA3-«xA2]

26 x (-1 + 2 x)

Factor[3 0xA 6-18xA 3]

3 36 x (-3 + 5 x )

r ~ ~~" *i i

TJ1

*

]J-]1"

IMAGEN 4.7

Ejemplos sección 4.3.1

Factor [-10rA3sA2tA4-20i:A3sA2tA3-i-Si:A2sA4tA4]

2 2 3 25 r s t (-4 r - 2 r t + s t)

Factor [xA ( 2n) +x~ ( 2n+l) ]

i];2 n

( 1 ]j




Sección 4 .3 .2Ejen^los ±

Factor- £x^ 2 + 6x+ 9]

(3 -»- x)

Factor- [x~ 2 - 8x+ ±6]

2(-4 -»- x)

Factor- [ 9xA 2 - 6x+ ±2

(-1 + 3 X)2

: Ejerció 2! Factor[8xA6-27yA9]

2 3 4(2 x - 3 y ) (4 x

i

IMAGEN 4.8

2 3 6•+• 6 x y -»- 9 y )

]Jl!m:¡m

1

]1111].

IIIÜ

iill

lili

WBSMMMJÍ

IMAGEN 4.9

Ejerrólos de l a secc ión 4.4Factor [ 3xA 2 + 7x- 6x y-14y]

(7 + 3 x) (x - 2 y)

Ej erólos 2Factor[5x z-5y z-x+y]

(-x + y) (1 - 5 z)

Factor[42-6uA3-7vA2+uA3

(-7 + u ) (-6 + v )

]J




IMAGEN 4.10

Secc ión 4 . 5Ejemplo 1Factor[16a~ 2 +4 0a+ 2 5}

(5 -+- 4 a)

Factor[4x A 2-12x y+9yA2]

2(-2 x + 3 Y)

Factor[6x A 2 + 5x-6]

(3 + 2 x) (-2 + 3 x)

Factor C 6xA2 + 19x+10]

(5 + 2 x) (2 + 3 x)

11

1T J

IMAGEN 4.11

Sección 4.6

L.A división sólo se efectúa cuando el divisor es

factor y se realiza a partir de la instriiccón

Ejen^los

(x-4) 3

3 -+• 2 x + 2 x _]_

S i m ^ l i f y [ (xA4-xA3-4xA2+2x+4) / <x-2) ]

2 3 1- 2 - 2 X H - X + X J_

Factor [xA 3 +xA 2 -4x -4 ] ] "1

(-2 + x) (1 + x) (2 + x) ]J

«i i




Sección 4 . 8

IMAGEN 4.12

-4) / (4x A 2-4x+l) ]

4 •+• 3 X

-1 + 2 x

S±JT*>Xif y [ < 2-9y+4y~2) / <4-y~2) ]

1 - 4 y2 + Y

]\

5 + x

Sección 4 .9Cancel [ ( ( 3x y A 2) / (4w z) ) (6xA3/(5wA2 y) > ]

49 x y

IMAGEN 4.13

s e c c i ó n 4 . 9 . 2Cancel[ ( (6x A 2 y A 3) / (4w

6 715 x y

Cancel[<<2x y-6yA2)/(3xA3+6xA2 y>>/((4x y-12yA2)/<x+2y))J

1

6 x




IMAGEN 4.14

Sección 4.10

Para sacar e l comcún djenomxnaidLoi: se

together[.]

Together[(5y)/(3x) + <7z)/<3x>]

5 y -I- 7 z

3 x

Together[3/xA2-x/< 2y) ]

3

la instrucción

- x 6 y

2 x y

Together[5x/(yA2z)+2y/<

3 22 y -4- 5 X Z

2 2x y z

Together£3/(x+7)-5/x]

-35 - 2 x

x (7 + x)


Tema 4.2

2.

3.

4.

5.

6.

7.

- 12




8. a2

Tema 4.3

1. d)x4-2x2 + \

2. cJ9x(x-9y)(x+9y)

3. aJ(x+5)(x2-5x+25)

4. d) Ninguno de los anteriores

5. c) (x2 -y%c* + x2y + y6)

6. d)2xy(y2 + 4){y+2)(y-2)

7. d) Ninguna de las anteriores

8. ^ 8 8 2 - 8 7 2 = 1 7 5

Tema 4.5

1. a) El primer y tercer términos del trinomio son cuadrados perfectos, es decir,(3x)2 y {Ay)\ y 24xy es 2(3x)(4y).

De aquí que se aplique el caso primero del binomio al cuadrado y se obtenga:

9x2 + 24xy+

b) El primer y tercer términos son los mismos que los del inciso a), perodebido a que el término medio del trinomio es -24xy, se considera a 16^como {~4y). Del caso primero del binomio al cuadrado:

25xy+ \6y= {3x- 4y)




c) Se tiene un polinomio de segundo grado del tipo que se indica en el punto 2del caso sexto del binomio con término común. Mediante aproximaciones su-cesivas se obtiene:

9x2 + 25xy + I6y2 = (9x+ \6y)(x+y)

d) Una vez más se tiene un trinomio de segundo grado del tipo que se indica enel punto 2 del caso sexto, y nuevamente por aproximaciones sucesivas queda:

9x2 - I45xy + \6y2 = {9x-y){x- \6y)

e) Se tiene un binomio que es la diferencia de dos cuadrados, por lo que seaplica el caso tercero y resulta:

9x2 -I6y2 = (3x + 4y)(3x - 4y)

f) Este binomio es la suma de dos cuadrados.

Tema 4.8

3JC2-5X-21.

x2-4 (x-2)(x + 2) x + 2

2-x-3x2 _(\ + x)(2-3x) _-' 2 ~ ^ ~

donde se utiliza el hecho de que (2 - 3x) = -(3x - 2). Esto explica el signomenos en la respuesta final.

x+3

Á 6x2y-2y 2y(3x2-1) 3x 2 - l _ + . t . r t . Á ,4. — ~ - —-— = Factonzar y luego utilizar la propiedad

4xy 2y(2x) 2x fundamental de las fracciones




Tema 4.9

La multiplicación y división se manejan usando las reglas para cocientes de núme-ros reales y después se simplifica:

10 J (3)0(2*57

= 2x3y((2)(3y))5((2)(3y))

( x - 5 \Ux2 + \2x + 9\( x - 52-9j[2x2-llx + 5){(2x+3)(2x-3)){(2x-l)(x-5)

(2x - 3)(2x - l)[(2x + 3)(x - 5)]

3 í-y - 2 V Qc-3)2(2(;c-l)) = 2(^-3)

4

- l ) { x - 3 J ( ( ) (

V f -3y) (2x + 3y)^í x(y + x)xy + y2 xy + x2 ( y(x + y)

x(2x - 3y)(2x + 3y)(y + x)y(x + y)(2x-3y)(3x + 4y)

x-3y)]

_x(2x + 3y)~y(3x + 4y)

_2x2 + 2xy4y2 + 3xy



216 Algebra básica

45a3b -75a4b f(32)(5aV) ¥ 23c2d4

5. ^—¿-n + -28c V 3 8c 2d* {(22)(lc4d3)){(-3)52a4b)

(-22)(3)(52)(7a4bc4d3)

(2)(3bd(22*3*5a3bc2d3))' (-5)(7ac2(22 * 3 * 5a3¿c2d3))

35ac2

6 ±±2_ + .x 4 _( x + 2){2xz-3x}_ (x + 2)(x(2x-3))2 x - 3 2x - 3 x U ^ - 3 A x-4 ) (2x-3)(x + 2)(x-2) x-2

BIBLIOGRAFÍA

Lovaglia, Florence M., etal., Álgebra, Haría, México, 1994.Swokowski, Earl W., Algebra universitaria, Compañía Editorial Continental,

México, 1971.



CAPÍTULO 5Ecuaciones, sistemas

de ecuaciones y desigualdades



5. ECUACIONES, SISTEMASDE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Al terminar este capítulo, el lector podrá:</ Identificar, construir y resolver ecuaciones de

primer y segundo grados.y Conocer diferentes métodos para la solución de

ecuaciones de primer y segundo grados.J Identificar y construir las gráficas de sistemas

de ecuaciones de primer grado, sistemascombinados de primer y segundo grados ysistemas de segundo grado.

</ Resolver ecuaciones simultáneas de primergrado, de segundo grado y combinadas.

y Usar diferentes métodos para la solución desistemas de ecuaciones.

y Identificar, plantear y resolver desigualdades.

Estructura del capítuloIntroducción5.1. Ecuaciones de primer grado.5.2. Ecuaciones de segundo grado.5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado.5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo

grados.5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado.5.6. Desigualdades.5.7. Aplicaciones.5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el

paquete Mathematica.

INTRODUCCIÓN

EN LA CIENCIA ECONÓMICA y en la administración hay una gran cantidadde problemas que se resuelven utilizando ecuaciones y sistemas deecuaciones lineales y cuadráticos. También hay problemas que requie-

ren, para su solución, sistemas que combinan ecuaciones de primer y segundogrados.

En este capítulo se explica la forma de plantear, resolver y grafícar: ecuacionesde primer y segundo grados, sistemas simultáneos de primer y segundo grados,sistemas simultáneos combinados (de primer y segundo grados), así comoinecuaciones.

En la sección 5.6 se desarrolla el concepto de desigualdad y se explica cómoresolver sistemas de desigualdades. Éstos tienen especial relevancia y utilidad enmodelos de programación lineal.

En la penúltima sección se muestran algunas aplicaciones en las ciencias so-ciales. En la última se resuelven ejercicios utilizando el paquete Mathematica.

219



220 Algebra básica

5.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Definición: Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias incógnitas ysólo se puede comprobar que es verdadera para determinados valores de las incóg-nitas, por ejemplo:

Sea la ecuación 3.r= 2.r+ 3

Es verdadera si x se sustituye por el valor de 3, porque entonces tanto el ladoderecho como el izquierdo son iguales a 9.

3(3) = 2(3) 4- 39 = 9

Es falsa si x se sustituye por el valor de 4, ya que el lado izquierdo es igual a 12y el derecho igual a 11.

Esto da lugar al concepto de conjunto solución, formado por todos los númerosque satisfacen la igualdad. A los elementos del conjunto solución se les denominaraíces de la ecuación.

Definición: Una ecuación se dice lineal cuando está formada con variables quetienen exponente 1, y ningún término de la ecuación es un producto cruzado de doso más variables, por ejemplo:

x-h2x-\-6x = 5

Sea la ecuación: 5x2 + x- 9

No es una ecuación lineal, porque el exponente de la variable es igual a 2.

Sea la ecuación: 2x+ 5xy= 8

No es una ecuación lineal, porque tiene el producto cruzado xy como uno desus términos.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Una ecuación de primer grado con una incógnita se escribe de la siguiente forma:ax= b



S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 221

En donde:

a y b: son constantesx: es una variable

En la solución de esta ecuación se presentan solamente tres casos:

• Si a± 0, la ecuación tiene una única solución: x- bla• Si a- 0 y b- 0, la solución tiene número infinito de opciones (0x= 0), porque

cualquier número real x satisface a la ecuación ax- b, y por lo tanto, essolución de ésta.

• Si a - 0 y b ^ 0, la ecuación no tiene solución (Ox = b), ya que cualquiernúmero real x, al sustituirlo del lado izquierdo de la ecuación y multiplicarlopor cero, da como resultado que el primer miembro sea cero y el segundo seadistinto de cero (0 ^ b).

Ejemplos de 5.1

1. Sea la ecuación: 3x = 6, la solución única es x = 2. H2. Sea la ecuación: -6 = 2x, la solución es x- - 3 .3. La ecuación: 0 = Obtiene un número infinito de soluciones.

5.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado relacionado con la solu-ción de ecuaciones. Hay una amplia variedad de problemas en las ciencias eco-nómico administrativas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas o desegundo grado.

En esta sección se explica en qué consiste una ecuación de segundo grado,cuáles son sus elementos, qué procedimientos hay para encontrar sus raíces, cómose representan gráficamente, etcétera.

Las ecuaciones de la forma ax1 + bx + c - 0, donde ¿7^0, son ecuaciones desegundo grado o cuadráticas.

Toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadráticapura. Las ecuaciones: axljr c= 0, 5x2- 25 = 0, Ax1- 36 = 0 y Ix2+ 24 = 0 soncuadráticas puras. La ecuación cuadrática pura carece del término de primergrado.



222 Algebra básica

La ecuación de segundo grado en la que c- 0 es una ecuación cuadrática mixtaincompleta. Las ecuaciones: ax2 + bx- 0, 6x2- 36*= 0 y 14*2 + 16* = 0 soncuadráticas mixtas incompletas. La ecuación cuadrática mixta incompleta carecedel término independiente.

Las ecuaciones de segundo grado en que aÔ, bÔycÔ son ecuacionescuadráticas mixtas completas. Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: ax2+ bx+¿?=0, 2*2 + 6*- 9 = 0, 4x2- 15* + 2 = 0, 35*2- 30*+ 22 = 0.

Las ecuaciones cuadráticas mixtas completas tienen término de segundo grado,término de primer grado y término independiente.

5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura

Para resolver una ecuación cuadrática pura se realizan los siguientes pasos:

1. Se despeja el término de segundo grado.2. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita.3. Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación.

Ejemplos de 5.2.1

1. *2-4 = 0 B

• Se despeja el término de segundo grado: x2= 4

• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: * = +2. Lasraíces de la ecuación son: 2 y -2

Las raíces se identifican de la siguiente forma: xx = -2 , x2= 2.

Comprobación:Sustituyendo xx = -2: - 2 2 - 4 = 0

4 - 4 = 0

Para*2 = 2: (2)2-4 = 04 - 4 = 0

Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse la tabla ygráfica 5.1).



5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 223

TABLA 5.1

VALORES DEy = X2- 4 = <

X

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0-1.5

-1.0-0.5

0.0

0.5

1.0

1.52.0

2.5

3.0

3.5

4.0

y - x2 - 4

12.0

8.3

5.0

2.3

0.0

-1.8-3.0

-3.8

-4.0

-3.8

-3.0

-1.80.0

2.3

5.0

8.3

12.0

GRÁFICA 5.1VALORES DEy = x2-4 = 0

2. 3x2-48 = 0 B

• Se despeja el término de segundo grado: 3x2 = 48• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2=\6• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: x- ±4

Las raíces son: x{ = -4, x2 = 4.

Comprobación:Sustituyendo en la ecuación x por -4 resulta: 3(-4)2- 48 = 0

3(16)-48 = 0

Sustituyendo x por 4 se obtiene: 3(4)2 - 48 = 03(16)-48 = 0




Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse tabla y gráfica 5.2).

TABLA 5.2VALORES DE y = 3x2- 48 = 0

3.

X

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5-1.0-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.02.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

y = 3x> - 4827.0

12.8

0.0

-11.3

-21.0

-29.3

-36.0

-41.3-45.0

-47.3

-48.0

-47.3

-45.0

-41.3

-36.0-29.3

-21.0

-11.3

0.0

12.827.0

GRÁFICA 5.2VALORES DE^= 3x2- 48 = 0

• Se despeja el término de segundo grado: 7x2 = 56• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 •• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación:




4. 4 r 2 - 2 7 = ;r2 B

• Se despeja el término de segundo grado: 4x2 - x2 - 27; 3x2 = 27• Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2= 9• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x- ±3

Las raíces son: xl=-3,x2 =

5 Q

3 x-2• Se quitan los denominadores y se tiene: x2-4-\2• Se despeja el término de segundo grado: x2 = 16

• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x=±4

Las raíces son: xx = - 4 , x 2 - A

6. (;r+6)Cr-6) = 28 B

• Se efectúa el producto en el primer miembro: x2-36 = 28• Se despeja el término de segundo grado: x2 — 64• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x- ±8

Las raíces de la ecuación son: xx - -8 y x2 = 8

5.2.2. Solución de la ecuación cuadrática purapor descomposición en factores

Para resolver una ecuación cuadrática pura por descomposición en factores se rea-lizan los siguientes pasos:

1. Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen.2. Se divide entre el coeficiente de la incógnita.3. Se descompone el primer miembro en factores.4. Se iguala a cero cada uno de los factores y se resuelven las dos ecuaciones así

obtenidas.




Ejemplos de 5.2.2

1. 3x2 - 36 - x1 B (Por descomposición de factores)

• Se pasan todos los términos al primer miembro: 3x2 + x2- 36 = 0

4 r 2 - 3 6 = 0• Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2 - 9 = 0• Se descompone el primer miembro en factores: (x+ 3)(x- 3) = 0• Se iguala a cero cada uno de los factores: x + 3 = 0, ; r - 3 = 0

Al resolver: x+ 3 = 0, xx - -3Al resolver: x- 3 = 0, x2 = 3

Comprobación:Para ^ = - 3 : 3(-3)2= 36 - (-3)2

3(9)= 3 6 - 927 = 27

Para^2 = 3: 3(32) = 36 - (3)2

3(9) = 3 6 - 927 = 27

Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.3).




TABLA 5.3VALORES = 4x2- 36 = 0

2.

X

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0-0.5

0.0

0.5

1.0

1.52.0

2.5

3.03.5

4.0

4.5

5.0

y = 4JC2 - 36

64.0

45.0

28.0

13.0

0.0

-11.0

-20.0

-27.0

-32.0

-35.0

-36.0

-35.0

-32.0

-27.0-20.0

-11.0

0.013.0

28.045.0

64.0

GRÁFICA 5.3VALORES T>Ey=4x2- 36 = 0

• Al pasar todos los términos al primer miembro y reducir se obtiene:4 ^ - 7 6 = 0

• Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2- 19 = 0• Se descompone el primer miembro en factores: (x + fl9)(x- VI9) = 0• Se iguala a cero cada uno de los factores: x + VI9 = 0, x- VI9 = 0

Al resolverx + vT9 = 0, xx = -A /19Al resolver X - =09x = VI9



228 Algebra básica

Comprobación:= -VT9: 2(-Vl9)2 = 2(19) = 38

Parax2=VT9: 2(VÍ9)2 = 2(19) = 38

Ambas respuestas son raíces de la ecuación.

5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta

Para resolver la ecuación cuadrática mixta incompleta se realizan los siguientespasos:

1. Se le da la forma ax2 + bx = 0.2. Se descompone ax2 + bx en factores.3. Se iguala a cero cada uno de los factores.4. Se resuelven las dos ecuaciones que resultan.5. La ecuación cuadrática mixta incompleta siempre tiene una raíz igual a cero.

Ejemplos de 5.2.3

1. * 2 -5x=0 B

• Se descompone x2 - 5x en factores: x2- 5x=x(x- 5)• Se iguala a cero cada uno de los factores: = 0 , ^ - 5 = 0• Se resuelven las dos ecuaciones x = 0 y x- 5 - 0. Las raíces son:

xx = 0, x2 = 5

Comprobación:Parax^O: 02-5(0) = 0Para.r2 = 5: 52-5(5) = 25-25 = 0

2. 6.r2+5;r=0 H

• Se descompone 6x2+ 5* en factores: x{6x+ 5)• Se iguala a cero cada uno de los factores: x- 0, 6x+ 5 = 0




• Se resuelven las ecuaciones j r=0y6jr+5 = 0. Las raíces son:

5

Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.4).

TABLA 5.4

VALORES 5xX

-1.1

-1.0

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.00.10.20.3

y = 6x2 + 5x

1.81.00.4

-0.2

-0.6

-0.8

-1.0

-1.0

-1.0

-0.8

-0.4

0.00.61.22.0

GRÁFICA 5.4

VALORES DEy= 6x2 + 5x

L-i.o

3.

• Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen: 2;r2+ 3x= 0• Se descompone 2^2+ 3xen factores: 2x2+ ?>x = x(2x+ 3)• Se iguala a cero cada uno de los factores: x= 0, 2x+ 3 = 0• Se resuelven las ecuaciones . r=0y2 . r+3 = 0. Las raíces son:




5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completapor descomposición en factores

Este método se emplea principalmente para resolver trinomios de la forma x2 +(a+ b)x+ ab. Para resolver una ecuación cuadrática mixta completa por descom-posición en factores se realizan los siguientes pasos:

1. Se le da a la ecuación la forma general de una ecuación de segundo grado:ax2+ bx+ c=0

2. Se descompone en factores el trinomio ax2 + bx + c = 03. Se iguala a cero cada uno de los factores (para que un producto sea cero es

necesario que por lo menos uno de los factores sea cero).4. Se resuelve cada una de las ecuaciones obtenidas.

Ejemplos de 5.2.4

1. x2 + 3x + 2 = 0 B (Por descomposición en factores)

• Como ya tiene la forma general se descompone x2+ 3x+ 2 en factores:

Se iguala a cero cada uno de los factores: ;r+2 = 0 y ; r + l = 0Se resuelven las ecuaciones .r+2 = 0 y . r + l = 0 . Las raíces son:

Comprobación:Para*, = -2 : (-2)2+ 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0Para^2 = - 1 : (-1)2+ 3(-l) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Los dos resultados son raíces de la ecuación (véase tabla 5.5).




TABLA 5.5. VALORES DEj /= X2 + 3x + 2 = 0

X

-7-6-5-4-3-2-1012

34567

>>=;C2 + 3JC + 2 = 0

30201262

0026

12

2030425672

2. x 2 - 3x- 10 = 0 B

• Se descompone x1- 3x- 10 en factores: (.r— 5)(;r + 2)• Se iguala a cero cada uno de los factores: ^r-5 =

3.

Se resuelven las ecuaciones: x - 5 = 0 y x+ 2 = 0. Las raíces son: xx = -2 y x2 = 5

• Se descompone 2.r2 + Ix + 6 en factores. Para ello se multiplica el términoindependiente 6 por el coeficiente del término de segundo grado 2, 2(6) =12y se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den el coefi-ciente del término de primer grado 7; así, los números son 3 y 4.

• El término de primer grado se descompone en la suma de los dos númerosanteriores y se va agrupando.

7^+6 =




• Se iguala a cero cada uno de los factores: .r+2 = 0y2 . r+3• Se resuelven las ecuaciones: .r+2 = 0y2 . r+3 = 0

Las raíces son x{=-2yx2 = —

Comprobación:Para x{ = -2: 2(-2)2 + 7(-2) + 6 = 0

8 - 1 4 + 6 = 0

Para,,»-?: / - f J + TT-¡]+ 6.0

+ 0

2 2 2

Las dos respuestas son raíces de la ecuación.

4. 2;r2 -lx-A = 0 B (Por descomposición en factores)

• Primero se descompone 2x2- Ix- 4 en factores; para ello se buscan dos núme-ros que multiplicados den 2(-4) = -8 y sumados -7 ; estos números son -8 y 1

• Se descompone el término de primer grado en -&x+xy se agrupa: 2x2- &x+x-4 = 2x{x-A) + l ( r - 4) = ( r - 4)(2r + 1)

• Se iguala a cero cada uno de los factores: . r - 4 = 0 y 2 . r + l = 0• Se resuelven las ecuaciones . r - 4 = 0 y 2 ; r + l = 0 . Las raíces son:

4

5.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completapor el procedimiento de completar el cuadrado perfecto

Para resolver una ecuación cuadrática mixta por este procedimiento se realizan lossiguientes pasos:

1. Se despeja el término independiente: ax2+ bx= -c




2. Se divide entre el coeficiente del término de segundo grado:

2 b cx +-x=—

a a3. Se suma, en ambos miembros de la igualdad, el cuadrado de la mitad del coefi-

ciente del término de primer grado:

2

x +-

b b2 b2 c+x ~ = ~

a 4a 4a a

4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce elsegundo:

bY b2-4ac•y I I

2a) Aa2

5. Se extrae raíz cuadrada de ambos miembros:

b ±~Jb2-4acx + — =

2a 2a6. Se despeja la incógnita:

Ejemplos de 5.2.5

1. x 2 + 6 x - 1 6 = 0 H (Completando el cuadrado)

• Se despeja el término independiente: x2+ 6x= 16• Como el coeficiente de x1 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación.• Se suma, en ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

x2+ 6x+ 9 =16 + 9 = 25• Se descompone en factores el primer miembro: (x+ 3)2 = 25• Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x+ 3 = ±5• Se despeja la incógnita: x- -3 ± 5. Las raíces que resultan son:

xx = -3 + 5 xx = 2.r2=-3-5 x2=-S

• Reordenando se obtiene: xx = -8 y x2- 2




2. x2 -lx+\2 = 0 B (Completando el cuadrado)

• Se despeja el término independiente: x2- lx- -12• Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación.• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

X14 4

Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce elsegundo:

j 49 482) 4 4

• Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: x — = ± -2 2

• Se despeja la incógnita: x = -±-

7 1

*2 = =2~2 *2=3

• Reordenando se obtiene: xx = 3 y x2= 4

3. 3x2 - lx - 6 = 0 H (Completando el cuadrado)

• Se despeja el término independiente: 3x2- lx=6• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 - - x = 2

3• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

2 7 49 . 49JC — J C H — = 2 H —

3 36 36• Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo:

7Y 72 49 121x-- = — + — = —

6 36 36 36




Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:_ 7 _ + H

6~"i7 11

Se despeja la incógnita: x = - ± —6 6

7 11 .*, = - + — x. = 3

1 6 6 '

*2 6 6 6 *2 3

• Reordenando se obtiene: jr, = — y x2= 32

"3

4. 2x2 - Ix - 4 = 0 (Completando el cuadrado)

2 7• Se despeja el término independiente: 2x2- lx=A• Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 - - x = 2

2• Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

x2--x + — = 2 + -9

2X 16~ 16

• Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo:

814 j 16 16

7 9• Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: x - - = ± -

4 47 9

• Se despeja la incógnita: x = -±-4 4

7 9* ! = - + - X = 4

1 4 4_ 7 _ 9 __1

* 2 ~4 4 * 2 ~ 2• Reordenando se obtiene: xx = — y x2 = 4




5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completapor medio de la fórmula general

Para obtener la fórmula general se resuelve la ecuación ax1 + bx + c = 0 comple-mentando el cuadrado. Para ello se desarrollan los siguientes pasos:

1. Se despeja el término independiente: ax2+ óx=-c<

b c2. Se divide entre el coeficiente de x2: x2 + ~x = —

a a3. Se suma, a ambos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coefi-

ciente de x:b b2 b2

a 4a2 4a2 a

4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce elsegundo:

¿Y b2-4acJC + T - = -

2a) 4a2

5. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

b ^b4ac ^

2a I4a¿ 2a

a c A • i • ' •• ^ ,lb2-4ac6. Se despeja la incógnita: x- ±2a 2a

n o 1 • i. -b±-Jb2-4ac7. Se suma el segundo miembro: x = 2a

o y ~ i i -b±

8. La formula general es: x = 2a




Ejemplos de 5.2.6

1. x2+4.r+3 = 0 a

• Se identifica que en esta ecuación: a= \, ¿? = 4y c=3

o t , r, t ~¿±V¿2-4ac• Se sustituyen estos valores en la tormula: x =

J 2a

x = 2(1)

~~ 1Xt 1 ^C^ D1 2 2 2

• Reordenando se obtiene: x{ = -3 y x2= -1

2. x 2 - 14r+ 13 = 0 S

• En esta ecuación: a= 1, ¿> = -\4, ye- 13-¿ ± Ví>2 - 4aco i i c i

Se sustituyen estos valores en la formula: x 2a

^ 14 + / H 4 ) 2 -4(Í)Q3) _ 14± 7196^52_-14 + T44 14 + 122(1) ~ 2 " 2 2

14 + 12 14-12 ,

• Reordenando se obtiene: xt = 1 y x2= 13

3. 2 x 2 - 4 x - l = 0 H

• En la ecuación propuesta: <ar = 2, ¿ = -4y<?=-l

• Sustituyendo los valores en la fórmula x = se obtiene:2a

4±V(-4) -4(2)(-l)_4±-yT6^8_4±V24_4±2V62(2) " 4 4 " 4




_4 + 2 /6_2 + /6 _4-2/6_2--76*' "" ~4~ ~ 2~" *2 ~ 4~" ~ ~ 2 ~

_ . , w . 2 - / 6 2 + -/6• Reordenando se obtiene: x = y x, =

' 2 * 2 24. 9^2

• En la ecuación propuesta: a =9, 3 = -36 y c = 31

_, , , , , -, -b±fb2 -4ac , .• Sustituyendo los valores en la formula x = se obtiene:

_ 36± ,/(-%)2-J(9)(3J)_ 36± /ñ96Tni6_ 36±_/180_ 36±6 52(9) " 18 - - — — — - i 8

_36 + 6/5_6+ -75 _ 3 6 - 6 / 5 _ 6 - /5Xt — ---- — X*) —~ —

18 3 18 3D A A U.- 6 - ' 5 6 + f5

• Reordenando se obtiene: x, = y x, =1 3 y 2 3

Ejercicios de 5.2

Resuelva los siguientes ejercicios:

2.3. 2x2 + 7x+6 =

4.3^-5=5 9

5.

Solución:

Solución:Solución:

Solución:

Solución:

x=±9

4

x=lx=-2

3x= —2 2

x=l

x = 0

3Xl~ 2




5.3. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe, en forma general,como:

a\\x\ + anxi = b\

Los elementos axv axv alx y a22 son coeficientes de las variables xx yxv mientrasque b{ y b2 representan los términos independientes (constantes numéricas reales).

La solución de este sistema de ecuaciones con dos incógnitas es una pareja denúmeros: xx = a y x2 = b, que al sustituirlos en ambas ecuaciones las convierte enidentidades.

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden presentarse trescasos:

1. El sistema tiene solución única.2. El sistema tiene un número infinito de soluciones.3. El sistema no tiene solución.

Al sistema de ecuaciones lineales que tenga al menos una solución se le deno-mina compatible o consistente determinado; al que tiene un número infinito desoluciones se le conoce como incompatible o consistente indeterminado; y si notiene solución, se dice que es inconsistente.

Ejemplos de 5.3

1. 2x-2y + -% B-2x+4y= 14

El sistema tiene una solución única, la pareja (-1, 3); por lo tanto, el sistema esconsistente determinado, como se muestra en la tabla 5.6 y gráfica 5.5:




TABLA 5.6

VALORES DEL SISTEMA 1

X

-7

-6

-5-4

-3

-2-1

0

1

2

3

y = 4 + x

-3

-2-1

01

2

34

5

6

7

7 = ( 1 4 / 4 ) + (1/2)JC

0

0.5

1

1.52

2.5

3

3.5

4

4.5

5 GRÁFICA 5.5

VALORES DEL SISTEMA 1

v — 4 + xy ^ ~ •*

v « ri4/41 + (\l2\x

-8 -7 -6 -5/^-A

(-i.

|

-3 -2 -1

Y

7_

3) 6_

5-

2 -

0

- 2 -

1 2 3i X

Observe que las ecuaciones 2.r- 2^= -8 y -2x+ 4j/= 14 pueden ser represen-tadas como:/= 4 + x,y= (14/4) + (1/2)^ respectivamente.

2.

—> ^ = 2 -

El sistema tiene una infinidad de soluciones. El sistema es consistente indeter-minado y su representación gráfica es una sola línea recta. Cualquier punto enla línea es solución del sistema.




3.x+y=3

No hay ningún punto común (intersección) en el sistema de ecuaciones; por lotanto, no tiene solución: el sistema es inconsistente. Su gráfica son dos rectasparalelas.

5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuacioneslineales con dos incógnitas

Sólo se pueden resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siéstas son equivalentes; es decir, si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplos de 5.3.1

1. x + 3y = 9 (1)1 H

4x + 5y = l (2)J

• Multiplicando la primera ecuación por 4, tenemos el sistema II, equivalenteal sistema I.

3 6 (1)14x + 5y=+l (2)J

• Multiplicando la segunda ecuación del sistema II por - 1 y sumándosela a laprimera ecuación, tenemos el sistema III, equivalente al I y al II.

Entonces:

7>> = 35

Ax + 5y =

= 35

(1)L (2)

III



242 Algebra básica

• El valor de jipara la primera ecuación del sistema III es:

^=35/7 = 5

• Sustituyendo el valor de^en la segunda ecuación del sistema III:

y= 1

4x = 1-25x=-6

El sistema tiene una solución única, la pareja (-6, 5); por lo tanto, el sistema esconsistente determinado.

2. x + y=2 (1)1

2jc + 2y = 4 (2)J

• Multiplicando la primera ecuación por 2, obtenemos el sistema II, equivalen-te al sistema I.

n

• Multiplicando la primera ecuación por -1 y sumándosela a la segunda ecua-ción, tenemos el sistema III.

-2x-2y =

0 = 0

El sistema puede ser representado por una sola ecuación y hay infinidad desoluciones que satisfacen la ecuación; el sistema es consistente e indeterminado.

3. -4x + 6y = 2 (1)1 H

6x-9y = 4 (2)J

• Multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 4, se obtiene elsistema II, equivalente al sistema I.




(1)II

24x-36v = 16 (21

• Sumando la primera ecuación a la segunda del sistema II se tiene:

-24x+36y=l224x-36y=l6

0 + 0 = 4

0 = 4 0)(2).

III

La primera ecuación del sistema III es falsa, entonces el sistema no tiene solu-ción y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema I y II porque sonrectas paralelas que no llegan a intersectarse.

Ejercicios de 5.3.1

Resuelva los siguientes ejercicios:

1. a) 2x+ 2^=344b) 2x-2_y=40

2. a) 2x+5y= 10b) 6x-1.5y=9

3. a)

4. a) 2\y-2x=\Ab) 13*+8^= 32

x + 3 25. a) = -

y + 3 3

Solución

Solución

Solución

Solución

=1y

^ = 3 6

Solución x=7

x-2 1y=l2




5.4. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER

Y SEGUNDO GRADOS

Para resolver un sistema simultáneo, formado por ecuaciones de primer y segundogrados, se procede de la siguiente forma:

1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema.2. Se igualan las ecuaciones.3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.4. Se resuelve la ecuación cuadrática por cualquier método: descomposición por

factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera.5. Aunque los sistemas simultáneos de ecuaciones de primer y segundo grados

pueden tener ninguna, una o dos soluciones, en ciencias sociales, por lo gene-ral, sólo se utiliza la que se ubica en el primer cuadrante (xpositiva,y positiva).Por esta razón, para los siguientes ejercicios sólo se calcula la solución ubicadaen ese cuadrante.

Ejemplos de 5.4

1. Resolver el sistema:

o * * 2 30-x n

y = 2 + - + — y = H5 20 y A

• Se igualan las ecuaciones: 20>> = 40 + Ax + x2 = 150 - 5x• Se reducen: x2 + 9x- 110 = 0

c A n i *> i i - 9 ± V 8 1 + 440Se desarrolla la formula general: x =

-9±V521x = -

JC = -

2

-9 ±22.825

Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones dadas para obtener elvalor de y.

Las raíces son: x=6.9l9y=5.17



5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

GRÁFICA 5.6. GRÁFICA DEL SISTEMA 1

245

-20 J

En este sistema simultáneo combinado de primer y segundo grados, se tienendos puntos en los que se interseetan ambas funciones, aquí sólo se anotan los valo-res de xyj^que se encuentran en el cuadrante positivo {x— 6.9\,y= 5.77).

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

y-\6-x2 y=4 + x H

x=3





20 y

(3,7)

I- 2

I- 1

- 5 .

- 1 0 .

- 1 5 .

- 2 0 .

- 2 5 .

- 3 0 .

- 3 5 .

4 + x


3x2

X =

X =

X =

X —

- 3 + 7 9 + 36"" 2

-3+ -/452^

-3 ±6.708

1.8528.65





-i X-6 -5 -4 -1

-10 _

-20 _

- 3 0 .

-40 _

-50 _

-60 _

-70 _

-80 _

1 2 3 \ 4 5 6


Cr+6)O/+12)=144

2 x + 6

4jr+24 + x 2 6x=288-x2-

x =

x=y=

t-34x- 120 = 0

-34 ±71156+ 4802

3.223.61

24x-144

-34 ±-71636X —

2

-34 + 40.447X —

2



248 Algebra básica

TABLA 5.7VALORES DEL SISTEMA 4

X

-5-4

-3

-2-1

01

2

34

5

y = (144/(JC + 6)) - 12

132.0

60.036.024.016.8

12.08.6

6.04.02.41.1

^ = 2+JC/2

-0.50.00.5

1.01.5

2.02.5

3.0

3.5

4.0

4.5 GRÁFICA 5.9GRÁFICA DEL SISTEMA 4


(.r+4)O+2) = 24 B




48 -4x- 16 =x2 + 10^-24 =Cr+12)(.r-2) =x=2

Ejercicios de 5.4

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

1. y =4

2. X

3. 0+12)0+6)= 169x-j,+ 6 = 0

4. 0+5)0+6) = 80

Solución: jr=4

Solución: x= 3

Solución: x= 17=7

Solución: ^r=3

5. xy= 15

6. x(y+6) =y

7. (j = 225

Solución: jr=37=5

Solución: x=37=2

Solución: ;r=5

5.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Un sistema simultáneo formado por ecuaciones de segundo grado se resuelve me-diante el siguiente procedimiento:




1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema.2. Se igualan las ecuaciones.3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.4. La ecuación cuadrática se resuelve por cualquier método: descomposición de

factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera.

Ejemplos de 5.5

Resolver el sistema:

1. y = 6 H x- A/36 - y H

x=2V6

El punto de intersección es: x= 4.90,^= 12


Y' ^ 40^ X-

"(4.9, 12)

I I I I 7 1 I I I I I-10 - 9 - 8 - 7 A 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1

-10J

-20 .

-30 .

-40

-50

- 6 0




2. y=\§-

4x2 + 2^-6 =

y=l


Y

y =10-3^

3. y=. y+2x2-9 = 0 B

(3jr+8)(jr- 1) = 0x=ly=l





0,7)

y = x2 + 5x + 1

- 5 .

- 1 0 .

-15

-20

-25 J

0.5 1 1.5

y~-2x1

4. x=2_y2-2_y-6

y=3x=6

5. X=3J>*-3J>-2

3y2-3y-2 = l0-y2-y4y2-2y-l2 = 02y2-y-6 = 0(2y+3)(y-2) = 0y=2x=4

x=\0-y2-y H




Ejercicios de 5.5

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

1. ^=48-3 ; r 2

j = x 2 + 4r+ 16

2. x=\0y+5y2

x=64-Sy-2y2

3. y=(x+2)2

y=39-3x2

4. x= y yx=96-8y-2y2

5. A-=84-y

Solución: x=2.31^=31.15

Solución: x=40y=2

Solución: ;r=5/2

Solución: y =2.77.*•= 58.39

Solución: ^ = 4

5.6. DESIGUALDADES

/ .á/ . Concepto

Desigualdad: relación matemática donde se tiene en cuenta el orden de los númerosSi a y b son números reales, se dice que a es mayor que b, y se denota a > b si

y sólo si a- b es positivo. Esto es equivalente a decir que a> b si y sólo si existe unnúmero positivo xtal que a= b-\-x.

Si ¿7 no es mayor que b, entonces:

• a debe ser menor que b{a < b) o• a es igual a b.

Si se desea indicar que a es mayor o igual a ¿ se denota a>b;o que ¿7 es menoro igual &b, a<b.

Símbolos de desigualdad

< menor que> mayor que

a<ba> b




< menor o igual a < b> mayor o igual a > b

Propiedades de las desigualdades

Las demostraciones de estas propiedades se encuentran en el apéndice 5.6.

• Si a> by b> c, entonces a> c

Ejemplos de 5.6.1

1. Si el costo marginal (cm) de producir 100 unidades de un producto (100 cm)es mayor que el costo marginal de 90 unidades (90 cm) y éste es mayor queel costo marginal de 80 unidades (80 cm), entonces por el teorema anterior100 cm >80cm.

Si a> bentonces a+ o ¿>+ c, ce 9Í

2. Si 100 cm > 90 cm y se les impone un impuesto de $5.00 en cada unidad produ-cida, entonces se tiene:

100cm + 5>90cm + 5

Si a > b y c es positivo, entonces ac > be

El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de ladesigualdad por un número positivo.

Si a > b y c es un número negativo, entonces ac < be

El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica en ambos lados por elmismo número negativo.




5.6.2. Desigualdades con una incógnita

La solución de una desigualdad con una incógnita es el intervalo donde la incógni-ta toma valores que satisfacen la desigualdad.

Para resolver una desigualdad con una incógnita se siguen los siguientes pasos:

• Con base en la propiedades de las desigualdades, se despeja la incógnita.• Se determina el intervalo de solución, es decir, los valores que puede tomar la

incógnita para los cuales se satisface la desigualdad.• Se gráfica el intervalo en la recta de los números reales (opcional).

Ejemplos de 5.6.2

1. - 2 ^ + 6 >0

• Se despeja el término que contiene a la incógnita: -2x> -6• Se multiplica por (-1) ambos lados, cambiando el sentido de la desigualdad:

x<3

La solución es:• La desigualdad se satisface para x < 3; el intervalo solución es: (-<*>, 3), o

bien, -oo < x < 3• Gráficamente:

GRÁFICA 5.13

- 1 0 1 2 3

Intervalo solución-oo,3

El límite inferior de la desigualdad es -°° y el límite superior de la desigualdades 3 (sólo se acostumbra identificar el límite superior).




3

Procedimiento algebraico

1. Determinar los valores de x que hacen no definidas a las fracciones:

Para si x - — la fracción es no definida.2x + \ 2

Para si x = — la fracción es no definida.2 5 2

Por lo tanto, para x = — y x = — no es posible determinar si la desigual-dad se cumple o no.

2. Determinar los valores para los cuales las fracciones se hacen cero, es decir,cuando el numerador se anula, pues sirven de referentes para encontrar elconjunto solución de la desigualdad.

Para ^ si * = ! la fracción es cero.2 l 3

n 3x + 2 . 2 , .,Para si x = — la fracción es cero.

3Gráficamente:

GRÁFICA 5.14

Intervalo donde se cumple Intervalo donde se cumplela desigualdad la desigualdad

-5/2 -2 -1 -2/3 -1/2 0 1/3 1 7/6

No Nodefinida definida

Para determinar los intervalos donde se cumple o no la desigualdad, es necesa-rio hacerlo segmento a segmento.




TABLA 5.8

Intervalo

5x< —

25

x = --2

5 2— <x< —

2 32 1

— <x< —3 2

1x = —

21 1— <x<2 3

1JC = -

3

1 7- < JC<

3 67- < JC<oo

6

3 x - l 3x + 22JC + 1 2x + 5

o 3 x - l . 3x + 2 _Seax=3 = 2 = 7

2* + l 2x + 52 ¿ 7 No se cumple

3x + 2 t , J f l ( 1no esta definida2JC + 5

2 3x-l n 3x + 2 .Seax =— = 9 = 03 2x + l 2x + 5

Si^=-.51 3x-~4 = 126.5 3 x + 2 = 0.1182x + l 2x + 5

9 > 3

126.5 > 0.118

Sí se cumple

Sí se cumple

no está definida2x + 5

SÍ^=O ^ " ^ - i 3x+2=2

2x + l 2x + 5 53 x - l _ Q 3x + 2 _ 9

2x + l 2JC + 5 17

-M-2 No se cumple

No se cumple

Como ya no hay valores de x donde se llegue a una indefinición o lasfracciones tengan valor de cero, el procedimiento es el siguiente:

3 x 1 3JC 4-2 7>^ =$(3x-l)(2x + 5)>(3x + 2)(2x + l) = 6x>l=>x>~

2i + l 2x + 5 6

No se cumple

Sí se cumple

En conclusión:

2x +

Si J C < - -2

SÍ - 5 < , < - 1

2 2

SÍ ~6

No se cumple la desigualdad

Sí se cumple la desigualdad

No se cumple la desigualdad

Sí se cumple la desigualdad




Ejercicios de 5.6.2

Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades, representando gráfica-mente la solución:

2. 3^-12>2^-2 x> 10 xe (10, oo) 10<x<°o

2x + l 3JC + 2 5 i~ 2 < X < ~ 2

3)2 > f ]4. (x-l)2-5>(^-3)2 x> j c e f , ]V } y } 4 U 4 J 4

5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneascon una incógnita

Los sistemas de desigualdades con una variable contienen dos o más desigualda-des; el problema consiste en hallar el intervalo de valores para la incógnita, quesatisfaga el conjunto de desigualdades simultáneamente.

Para resolver un sistema de desigualdades se procede a:

• Resolver cada una de las desigualdades por separado.• Obtener la intersección de los intervalos resultantes.• Granear en la recta de los números reales (opcional).

Ejemplos de 5.6.3

1. Hallar los valores de x que satisfacen el sistema de desigualdades con una incógnita

5-;r>-6

Solución de la primera desigualdad:5-.r>-6-x>-\\x<\\ xe (-oo, 11)




Solución de la segunda desigualdad:

-x>-9x<9 xe (-<~, 9)

Los valores de x que satisfacen simultáneamente son los que están en el inter-valo (-©o, 9), es decir, x< 9.

2. Hallar el intervalo de valores de x que satisface el siguiente sistema de des-igualdades:

>03

Se resuelve la primer desigualdad:

-2 ; t>0, =>-2x>—=>*<-8 8 4

Se resuelve la segunda desigualdad:

- + 3x > 0 => 3A: > — =» x > —4 4 12

— , ©o

Se resuelve la tercera desigualdad:

2 n c 2 2->0=>5;c> — => x>3 3 15

x e I , 0015




La solución es la intersección de los tres intervalos:

, 2 3x e , -

1 15 4

Ejercicios de 5.6.3

Encontrar el conjunto solución que satisface las siguientes dos desigualdades:

Ux-5>lx-l61. i Solución: x e

7-8* < 16-15*

5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitas

Las soluciones de las desigualdades con dos incógnitas generan un plano.El procedimiento para encontrar el plano donde se encuentran los puntos que

satisfacen la solución es el siguiente:

• Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra.• Aquí es importante granear para visualizar mejor la solución; para ello, pri-

mero se gráfica la ecuación de la recta que limita al plano.

Ejemplos de 5.6.4

1. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad:

2x+4y< 12

esta desigualdad se satisface sij/< 3 - 1/2 x




Gráficamente:GRÁFICA 5.15

(0,3)

Plano solución

(6,0)

2. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad lineal:

x-y> 1

Esta desigualdad se satisface para /< x — 1

• Se g rá f i cax -y - 1

• Como el (0, 0) no satisface la desigualdad, no está contenida en el planosolución, entonces el plano es el que se muestra:

GRÁFICA 5.16

(0,1)

(0,0) 0,0)




Ejercicios de 5.6.4

Encuentra el plano solución para las siguientes desigualdades lineales:

1. 4r+2>><12

2. 2x + 4y<S

3. 2x-6y<9

4. x+y> 1

Las desigualdades lineales con dos incógnitas tienen una aplicación importanteen problemas de programación lineal de dos variables.

Por ejemplo, una fábrica de ropa tiene 100 metros de lana, con lo que quierefabricar faldas y sacos, y sabe que cada saco requiere 2.5 metros y cada falda 1.2metros de lana. Expresar esta situación como una desigualdad.

Sean x- número de sacosy = número de faldas

Entonces 2.5* + \2y < 100

Observa que:

• Aquí marcamos < porque es posible acabarse los 100 metros de tela.• Este problema es puramente matemático, pues resultados negativos para la

variable x (número de sacos) y la variable y (número de faldas) no tienensentido práctico.

Considera que 2.5 metros/sacos (número de sacos) + 1.2 metros/faldas (númerode faldas) = metros. Y la solución será:




GRÁFICA 5.17

2 .5JC+1 .2J ;=100

aquí la región de puntos factibles contiene a la recta 2.5;tr + \.2y- 100

La solución es el plano y < x3 12

Ejercicios

1. Una máquina verificadora de emisión de gases para autos trabaja 10 horas aldía. Por cada automóvil se tarda 20 minutos y por cada camión 45 minutos.Expresa esta situación con una desigualdad.

2. Una empacadora hace dos tipos de paquetes (grandes y chicos) y los guarda enun almacén con capacidad de 10/?. Los paquetes grandes ocupan 2/7 y los chicos1.2/7. Expresa esta situación con una desigualdad.

5.6.5. Sistemas de desigualdades linealescon dos variables

En los sistemas de desigualdades se busca el conjunto de puntos (x,y) en el planoque satisfagan dos o más desigualdades lineales.




El procedimiento algebraico de solución es el siguiente:

• Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra para dada desigualdad.

El procedimiento gráfico consiste en granear la ecuación límite de cada des-igualdad y visualizar el plano intersección.

Ejemplos de 5.6.5

1. 2x+2y<64x+y< 6

De2x+2>><6=>^<3- . r=>;re (-©o, °o)? y <= (-<*>, oo)

De4x+y< 6 =$y< 6-4x=>xe {-<*>, °°)^ye (-oo, oo)

No todos los sistemas de desigualdades tienen solución.

2. x+y> 1

- 1 - x

Lo cual es imposible, pues si suponemos que x - 0, los valores para y sonmayor que 1 y menor que - 1 .




Gráficamente:

GRÁFICA 5.18

Y

x + y < 1

- • X

x + y < -

Ejercicios de 5.6.5

Encuentra gráficamente el plano de soluciones.

1.i

L-2x + 3y>2

3 ,* + y<lOx>5




\x + 2y<4

x-2y>45* x>0

5.7. APLICACIONES

En esta sección se presentan algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones,en el campo de las ciencias económicas.

5.7.1. El ingreso nacional

El ingreso nacional es un modelo que permite cuantifícar la producción global deun país durante un periodo de tiempo, el cual generalmente es un año. En éste seintegra y registra la producción del sector privado, la del sector público y la mixta,así como el intercambio comercial con el exterior. También se asienta el ingresoque perciben quienes proporcionan los factores de la producción (capital, trabajo)y el destino de ese ingreso (consumo, ahorro o inversión).

Del ingreso nacional se deduce una serie de categorías macroeconómicas bási-cas, para entender la dinámica de la economía de un país. Estas categorías son:

• Producto Nacional Bruto (PNB)• Producto Interno Bruto (PIB)• Producto Nacional Neto (PNN)• Ingreso Nacional (IN)• Ingreso Privado (I Priv.)• Ingreso Personal (I Pe)• Ingreso Personal Disponible (I Pe D)

John Maynard Keynes hace un análisis macroeconómico del sistema capitalista,en el que plantea un posible equilibrio económico general, que ocurre cuando elingreso nacional es igual al consumo nacional más el ahorro nacional.




Es decir que:

Ingreso nacional = Consumo nacional + Ahorro nacional

El ahorro nacional {A) es igual a la inversión nacional (/), por lo que:

r=c+i

Se observa que el equilibrio económico existe cuando:

• El ingreso es igual a la producción, es decir, a la oferta, representada por Y,que a su vez es igual a la demanda, o sea, consumo más ahorro.

• Los ingresos (Y) son iguales a los "gastos" (£7+/).

Si el ingreso nacional se incrementa, aumenta el consumo y la inversión, demanera que:

AY=AC+Df

Para Keynes, uno de los factores básicos de la dinámica económica es la inver-sión, por lo que es necesario incrementarla e impulsarla, ya que lleva consigo unefecto multiplicador en la economía.

El multiplicador de la inversión expuesto por Keynes es igual al recíproco dela propensión a invertir. El multiplicador provoca que los efectos de una inver-sión inicial sean mayores en un múltiplo de ella; esto se debe a que una inversióninicial incrementa la producción, ésta a su vez el empleo y, por lo tanto, la de-manda, lo que provoca el incremento de la producción y nuevamente se incrementael empleo y con él, la demanda. Este ciclo (inversión, producción, empleo ydemanda) se activa a través del multiplicador, teniendo como límite el que ésteseñala.

La fórmula del multiplicador es:

A/ / - A CLa inversión depende de lo que se gaste en consumo (propensión al consumo);

esto también determina al multiplicador, por ejemplo:




Supongamos que el ingreso (Y) es igual a 100, que el consumo (C) es igual a80 y que la inversión (/) es igual a 20

Si Y= C+1 entonces 100 = 80 + 20

En este caso, la propensión al consumo es de 80%, lo que quiere decir que decada $100.00 de ingreso se destinan $80.00 (80%) al consumo y $20.00 (20%) a lainversión.

Si el multiplicador es el inverso de la propensión a la inversión, que es de 20%,entonces K- 5. Manteniendo la misma propensión al consumo y a la inversión, ycon el multiplicador de 5, el ingreso se incrementa a 500, el consumo a 400 y lainversión a 100, por lo que el nuevo equilibrio general queda como:

Z(500) = ^(400) +7(100)

Un modelo keynesiano simple del ingreso nacional puede ser resuelto median-te sistemas de ecuaciones simultáneas. Con ello se obtienen los valores de equili-brio para el ingreso (F) y el consumo (C).

Supongamos el modelo de dos ecuaciones simultáneas.

Donde:

Go = Gasto del gobierno (variable exógena).70 = Inversión determinada exógenamente.a - Consumo autónomo (donde a > o).b - Propensión marginal al consumo (suponemos o < b < 1).

Definidos los parámetros y las variables exógenas (7Q9 GQ9 a y b), así como lasrestricciones para a y b, el sistema de ecuaciones puede ser planteado de la si-guiente forma:

r-c=/0 + G0-bY+ C= a

De esta manera, las variables endógenas Yy Caparecen únicamente en el pri-mer miembro de las igualdades, en tanto que las variables exógenas y los parámetrosindependientes aparecen sólo en el segundo miembro.




Enseguida mediante despejes sucesivos se calculan los valores de equilibriopara el ingreso y el consumo.

Ejemplo de 5.7.1

Considerando la siguiente información, se calculan los valores de equilibrio parael ingreso (y) y el consumo (C).

Gasto del gobierno (É?o = 100)Inversión determinada exógenamente (fQ = 400)Consumo autónomo (a = 5)Propensión marginal al consumo (b = 0.60)

Solución:Como primer paso se establece un modelo de dos ecuaciones simultáneas.

0 0

C=a+¿?Y

Enseguida se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (F) y el con-sumo (C).

Despejando se tiene que: Y- C- fQ + GQ

-bY+ C= a

Sustituyendo los valores en el sistema se escribe:

Ecuación 1 Y- C= 400 + 100

Ecuación 2 -0.60 Y+ C= 5

Despejando se obtiene:

Ecuación 1 modificada Y- C= 400 + 100-C= 500 - Y

Ecuación 2 modificada C2 = 5 4- 0.6 Y



270 Algebra básica

Igualando Cx y C2

- 500 + r= 5 + 0.67Y- 0.6F= 5 + 5007(1-0 .6) = 5057(0.4) = 5057=505/0.4=1262.5

El ingreso de equilibrio es 1262.5

Sustituyendo en la ecuación original 2, se obtiene el consumo de equilibrio:

-0.607+ C= 5-0.60(1262.5) + C= 5-757.50 + C= 5C= 5 + 757.50C= 762.50

Comprobación:Sustituyendo en la ecuación original 1 se obtiene la igualdad de la ecuación:

^ -£ -=400+1001262.5 - 762.5 = 400 + 100500 = 500

Sustituyendo en la ecuación original 2, también se obtiene la igualdad de laecuación:

-0.60 (1262.5)+ 762.5 = 5-757.50 + 762.5 = 55 = 5




GRÁFICA 5.19

755

750

1255 1257 1259 1261 1263 1265 1267 1269 1271 1273 1275

En la gráfica se muestra el punto de equilibrio para el ingreso y el consumo.

5.7.2. Modelo de mercado con dos bienes

Una de las aplicaciones más comunes de los sistemas de ecuaciones en economíase desarrolla en el análisis de mercados. En esta aplicación se expone un modelode mercado con dos bienes. Es necesario mencionar que se ejemplifica con unmodelo en equilibrio, donde los bienes tienen sustitutos cercanos, de manera quela cantidad (£?) y el precio (/*) de un bien afectan la cantidad y el precio del otrobien; no hay excedente, por lo cual la oferta es igual a la demanda. Bajo estascondiciones el equilibrio se da cuando Qd.= Qs.. El equilibrio en el modelo demercado con n mercancías comprenderá n ecuaciones, una para cada mercancía,de modo que




Donde:

£= Equilibrio del mercado.Qd- Cantidad demandada de d..Qs = Cantidad ofertada de d..

Si hay una solución, tendremos un conjunto de precios Pi y sus correspondien-tes cantidades Q.9 de manera que se satisfarán en forma simultánea todas las necuaciones de las condiciones de equilibrio.(1)

Al plantear el modelo simplificamos las funciones de demanda y oferta de am-bas mercancías haciéndolas lineales. Con parámetros, el modelo puede escribirsecomo:

2.3. Qf4- #/-£& =05. Qdz=h+*X

6. Qs = 8Q

Donde:

Q. es variable endógena.a, b, 0 y 8 son coeficientes de demanda y oferta./ z corresponden a bienes.Un primer paso en la solución de este modelo consiste en la eliminación de

variables. Sustituyendo las ecuaciones segunda y tercera en la primera (del primerbien) y la quinta y sexta en la cuarta (del segundo bien), el modelo se simplifica ados ecuaciones de dos variables.

Aquí se presenta la versión de dos mercancías, luego que se han sustituido lasfunciones de oferta y demanda en las dos ecuaciones de la condición de equilibrio.Este sistema de sólo dos ecuaciones contiene no menos de 12 parámetros, lo cual

(1) P¡, Q¡ se refieren a precio y cantidad de equilibrio para el bien /




complica la manipulación algebraica; por ello definimos dos símbolos simpli-ficadores.

Donde: /= 1,2

De esta manera, después de despejar eQ y ¿?oal lado derecho de la igualdad,se tiene:

Planteado así, el sistema de ecuaciones para obtener los precios de equilibriopuede resolverse mediante sistemas de ecuaciones simultáneas.

Ejemplos de 5.7.2

1. Suponga que en el mercado de la fresa la demanda está determinada por lasiguiente ecuación:

£ , = 1000-100/?

y la oferta tiene la siguiente:

£ = - 1 2 5 + 125/»

Obtener el precio y las cantidades de equilibrio en ese mercado.

Solución:En equilibrio, las cantidades ofertadas y demandadas se igualan, por lo que:

1000 - 100/?= -125 + 125/7-100/7-125/;=-125 - 1000

-225/7 =-1125/? = -1125/-225

/7=5




El precio de equilibrio se sustituye en cualesquiera de las dos ecuaciones paraencontrar la cantidad de equilibrio; utilizando la ecuación de demanda se tiene:

£ , = 1000-100/>£ , = 1000-100(5)

£ , = 1000-500£ , = 500

Por lo tanto, en el mercado de la fresa, el precio de equilibrio es de $5.00, conuna cantidad de 500 unidades (pueden ser toneladas, kilogramos, etcétera).

Un precio por arriba del precio de equilibrio provocará un exceso de oferta. Elprecio por debajo llevará a una escasez del producto.

GRÁFICA 5.20

11 12

-500 _

2. Supongamos que la ecuación de demanda de cierto artículo para un individuo es:

Para un productor individual, su función de oferta es:



/. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 275

Supongamos que hay 1000 individuos idénticos con la misma función de de-manda y 100 productores con la misma función de oferta. Determinar la cantidad yprecio de equilibrio de mercado.

Solución:En equilibrio, la oferta es igual a la demanda de mercado. Se requiere tener la

función de demanda y de oferta de mercado.Puesto que se tienen 1000 individuos con la misma función de demanda, la

demanda de mercado está determinada por:

Qd= ^Qd= 1000(10 -3/;2)Qd= 10000 - 3000/?2

La oferta de mercado se obtiene multiplicando la función por los 100 pro-ductores:

¿o= 100(4£ , = 400 + 200/;+ 100/72

Para encontrar precio y cantidad de equilibrio se requiere igualar las ecuaciones:

10000 - 3000/?2 = 400 + 200/7+ 100/72

-3000/?2 -l00p2= 400 - 10000 + 200/7-3100/72 =-9600+ 200/7-3100p2 - 200p + 9600 = 0-31/72-2/7+96 = 0

Aplicando la fórmula general:

_-b±-J~b2-4ac"" " 2a

_ _ -(-2)±V(-2)2-4(-31)(96)

+2±V4-4(-2976)-62




+2 ± 7 4 + 11904

' ^62

+2± /TT908

" ^62

+2 + 109.12378

-62

Q<=111.12378

-62

£ , = -1.79

_-107.12378°~ ^62

£=1.7278029

Sustituyendo en la ecuación de oferta se encuentra la cantidad que se oferta:

£ = 400 + 200/7 + 100/72

Qo = 400 + 200(1.7278029) + 100(1.7278029)2

£o=1044

GRÁFICA 5.21Qd,Qo

-2.0/1.8 -1.5 -1.3 -1.0 -0.8 -0.5 -0.3 (

-2500.

-5000J

0.3 0.5 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 V.0 2.3 2.5 2.8 3.0

P




Como puede observarse, el equilibrio del mercado en la parte negativa no tienesentido; la siguiente gráfica muestra sólo el equilibrio positivo.

GRÁFICA 5.22

Qd,Qo

3000 _

2000 _

Oferta

1.6 1.6 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.8 1.8 1.8 1.8

De esta forma, el precio al que se equilibra el mercado es $1.727; la cantidaddemandada y ofrecida es de 1044 unidades.

5.7.3. Análisis de optimización

En microeconomia frecuentemente nos encontramos con problemas de optimiza-ción, que se refieren a determinar la producción óptima de artículos, con recursosescasos, en el sentido de maximizar las ganancias o bien minimizar los costos deproducción.

Si el problema tiene sólo dos variables se representa mediante el siguiente mo-delo, denominado modelo de programación lineal.(2)

max/min z = clxl + c2x2

(<

(2) La programación lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa de problemas de optimización,con relevante utilidad en las carreras de economía y administración.




a2\X\ 2

x,>0 x2>0

Un método de solución para este modelo de sólo dos variables consiste en en-contrar el plano de soluciones.

• Si no existe, se dirá que el problema no tiene soluciones.• Si no está acotado, se dirá que el problema no es acotado y tampoco tiene

solución.• Si tiene un plano de soluciones acotado, entonces:

- Se procede a determinar los vértices (intersección de las rectas de los pla-nos generados por cada restricción).

- Se evalúa la función objetivo z en cada vértice.- Se elige la mejor (es decir, la máxima o la mínima según sea el sentido de

la función objetivo).

Ejemplo de 5.7.3

Consideremos la fábrica de ropa de punto Crece, que produce camisetas y trusaspara niños.

Cada día cuenta con 1000 metros de tela de algodón, 500 metros de resorte y 40horas/costura.

Un ciento de camisetas requiere 50 metros de algodón, no necesita resorte, seocupa una hora para su producción y genera una ganancia de $500.00.

Un ciento de trusas requiere 25 metros de algodón, 25 metros de resorte, 1.6horas para su producción y genera $400.00 de ganancia.

Se desea saber cuántos cientos de cada producto se deben fabricar con los re-cursos, de tal manera que se maximice la ganancia.

Una forma conveniente de resolver este tipo de problemas consiste en organi-zar los datos:




TABLA 5.9

Materia prima

Algodón

Resorte

Horas / costura

Ganancia

Productos

Camiseta (100)

5001

500

Trusa (100)

2525

1.6450

Límite

1000

50040

El modelo de programación lineal para este problema es:

max¿r=500x+450.r.50*,

x\

xx>

+

+

0

25x,2Sx2

\.6x2

<1000<500<40

x2>0

RlRlR3

Método gráfico de solución:

40

35 _

30 _

25 _

20 _

15 _

10 _

5_

0

- 5 .

—-—-—.

V2

VI1

GRÁFICA

^1 Vértices

^ - *

V3

' 5 ' ' ' ' <>

5.23

Región factibleR2

^ - ^ - ^ ^

' \ . KS

' ' l3' ' 1 7 ^ ' 21

Cada una de las restricciones genera un plano, la intersección de los planosgenera la región de soluciones y las intersecciones de las rectas que limitan losplanos son los vértices y las posibles soluciones óptimas. Los vértices son las in-tersecciones de las rectas.




En la siguiente tabla se presentan los vértices, la intersección a la que corres-ponde y la evaluación de la función objetivo.

TABLA 5.10

Vértices

VI

V2

V3

V4

V5

Sistema o intersecciónde rectas

JC2 = 0

x . -Ox2 = 20

25JC2 = 500

^ + 1.6x2-4050JC, + 2 5 X 2 = 1 0 0 0

xx + 1.6JC2 = 4 0

50JC, + 25JC2=1000

* 2 = 0

(xl9 x2)

(0,0)

(0,20)

(8, 20)

(10.9, 18, 2)

(20, 0)

Z - 500x, + 450x2

0

9,000

13,000

13,640

10,000

La solución óptima matemática es: x{ = 10.9 y x2 = 18.2 con Z- 13,640Sin embargo, en la práctica la solución óptima será fabricar 11 cientos de cami-

setas y 18 cientos de trusas para niños diariamente, con una ganancia óptima de$13,600.00.

5.8. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

CON EL PAQUETE MATHEMATICA

Ecuaciones de primer y segundo grados y sus soluciones

Mathematica maneja las ecuaciones como proposiciones lógicas, incluso manejala composición de proposiciones a partir de los conectivos: usa 11 para disyuncióny && para conjunción. Si se teclea la ecuación xA2 + 3x== 2, el paquete la inter-preta como la afirmación de que la suma del cuadrado de xy su triple es igual a 2;si se le asigna a ;r un valor, como 4, el paquete evalúa la proposición como verda-dera o falsa.

Para encontrar las soluciones de la ecuación se utiliza la instrucción Solve,indicando las variables cuyos valores se desean. También Roots proporciona lasolución.




Ejemplo:

In[31]:=xA2 + 3x==2

In[32]:=Roots[%,x]Out[32]= x == -3 + Sqrt[17] I |x == -3 - Sqrt[17]

La expresión producida por Roots tiene la forma: x == rx 11 x == /;, la cual esta-blece que tanto x - r{ como x - r2 son valores que hacen cierta la afirmaciónestablecida por la ecuación.

En ocasiones se requiere sustituir las soluciones de una ecuación en otra y lainterpretación de la proposición no lo permite; entonces es necesario transformarla proposición, para tener la solución en una forma explícita que permita la sustitu-ción; esto se logra mediante la instrucción ToRules:

In[33]:= {ToRules[%]}Out[33]= {{x -> -3 + Sqrt[17]}, {x -> -3 - Sqrt[17]}}(3)

Para sustituir estas raíces en otra expresión que involucre x se utiliza la ins-trucción (/.).

In[34]:=xA2Out[34]= {(-3 + Sqrt[17])2+ (-3 + Sqrt[17])} {x -> -3 - Sqrt[17]}}

Ecuaciones en una variable

Mathematica puede encontrar la solución exacta de las ecuaciones.

In[35]:= Solve[xA3 + 3xA2 + 3x + 2 == 0, x]Out[35]= {{x -> -2} , {x -> -1 + Sqrt[-3]}, {x -> -1 - Sqrt[-3]}}

Como se observa, el primer elemento en la pareja es la ecuación que desearesolverse y el segundo es la variable cuyo valor se busca.

El resultado se da como lista de reglas de reemplazo (->)

(3) Recuerda que el signo -> que se obtiene combinando el menos con el mayor que, sin espaciointermedio, sirve para asignar valores a las variables en una expresión.




Para obtener una lista de las raíces en una ecuación se usa Variable/. Solve.

In[36]:= x/. Solve[xA2 == 4, x]Out[36]= {2, -2}

Anteponiendo Nse obtiene la expresión numérica de las raíces; si además seagrega al final TableForm precedida de //, se obtiene como tabla:

In[37]:= N[Solve[xA6 + xA5 + xA2 + 1 == 0, x]]//TableFormOut[37]= x -> -1.15408 - 0.613723 I(4)

x->-1.15408+ 0.613723 Ix -> -0.08275 - 0.795302 Ix - > -0.08275 + 0.795302 Ix - > 0.736832-0.6103391x - > 0.736832 + 0.6103391

Por otro lado, si la expresión involucra más variables, éstas son tratadas comoconstantes.

In[38]:= Solve[xA2 - 5xy + 4yA2 == 0, x]Out[38]={{x->4y},{x-»y}}

Para encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor, la operación se faci-lita si la expresión primero se descompone en factores, usando Factor, o se escribecomo composición de polinomios de grados menores, utilizando Descompose.

In[39]:= Factor[xA5 - 2xA4 - 9xA3 + 14xA2 + 20x - 24] (Primero factoriza)Out[39]= (x + 2)2(x - l)(x - 2)(x - 3) (Automáticamente proporciona las raíces)

In[40]:= Expand[Product[x - i, {i, 5}]]Esta instrucción está pidiendo desarrollar el producto de los factores (x- í) con /=1, 2, 3, 4, 5, esto es, (x- \){x-2){x- 3)(x-4)(x- 5)Out[40]= -120 + 274x - 225xA2 + 85xA3 - 15xA4 + xA5

In[41]:=Solve[%==0,x]Esta instrucción solicita encontrar las raíces de la ecuación anterior, igualada a cero.Out[41]= {{x->5}, {x->4}, {x->3}, {x->2}, {x-> 1}}

(4)I significa número imaginario, esto es, V^l




In[42]:=Solve[xA6==l,x]

í { x - > 1}, { x - > E(I) /3Pl}, { x - > E(2I ) /3P l},Out[42] = | ^ ^ ^

Esta salida se interpreta como que la ecuación tiene dos raíces reales, 1 y - 1 , ycuatro raíces imaginarias, expresadas en su representación a partir de la funciónexponencial.

Para aproximar la solución de ecuaciones generales se utiliza la instrucciónFindRoot.

In[43]:= FindRoot[x Sin[x] -1/2 == 0, {x, 1}] (Encuentra una solución para estaecuación cercana a x= 1)Out[43]={x-> 0.740841}

Sin instrucciones adicionales, el paquete factoriza en enteros, pero si se deseamanejar números complejos se puede usar la instrucción Gaussianlntegers.

Ejemplo

In[44]:= Factor[xA2 + 9 Gaussianlntegers -> True]Out[44]=(x-3I)(x + 3I)

El paquete no factoriza usando radicales; éstos sólo aparecen como raíces de unpolinomio.

La forma de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones que involucranmás de una variable, es a partir de una lista que incluya las ecuaciones y las varia-bles cuyos valores se desea encontrar, por ejemplo:

In[45]:=Solve[{2x + 3 y = = 7 , 3 x - 2 y = = l l } , {x,y}]Out[45]= {x -> 47/13, y -> -(1/13)}}

Si el sistema tiene más de una solución, se obtiene la lista de los valores:

In[46]:= Solve[{xA2 + yA2 == 16, xA2 - 4 == y}, {x,y}]Out[46]= {{y -> 3, x -> sqrt[7]}, {y -> 3, x -> -sqrt[7]}, {y -> -4 , x -> 0},




Asimismo, se puede añadir el comando //TableForm para obtener las solucio-nes en forma de tabla, como en el caso de una sola ecuación:

In[47]:= Solve[{xA2 + yA2 == 16, xA2 - 4 == y}, {x,y}]//TableFormOut[47]= y -> 3 x -> sqrt[7]

y -> 3 x -> -sqrt[7]y -> -4 x -> 0y -> -4 x -> 0

En general, para solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas debe-rá utilizarse la instrucción:

Solve[{ecuación 1 == bj,ecuación2 == b2,...,ecuación n == bn}, {x1?x2,..,xn}]

Los operadores relaciónales utilizados por el paquete son:

TABLA 5.11

Operadoresx==yx¡=yx > yx<yx>=yx <= yx » y - - zx¡—y¡—z

SignificadoIgualdadDesigualdadMayor queMenor queMayor o igual queMenor o igual queLos tres igualesLos tres distintos

Mathematica realiza la prueba de las afirmaciones relaciónales que se le intro-ducen y contesta con verdadero o falso.

In[27]:=3<5< = Sqrt[37]Out[27]= True

Los operadores lógicos que se manejan en el paquete son:




TABLA 5.12

Operador¡p (proposición)

p&&q&&...

P l l q l l -Xor[p, q,...]If[p, then, else]

LogicalExpand[expresión]

SignificadoNegación

Conjunción

Disyunción

Disyunción exclusiva

Si/? verdadera entonces...

Expande expresiones lógicas

Este paquete siempre proporciona las raíces de un polinomio hasta de gradocinco; cuando el grado es mayor, en ocasiones no puede generar fórmulas explíci-tas y utiliza objetos Roo t para representar las soluciones. La instrucción FindRootse usa para encontrar las raíces de una expresión no algebraica.

Ejemplos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

IMAGEN 5.1

mp4]= H[Solve[xA3 + xA 2 - 25 x - 25 « 0, x ] ] / / TábléForm

01jt[84]//TableFom=x- t -5 .X-+-1.X->5.

in[86]:= Expand[Product[x- i , { i , 5} ] ]

Out[85]- -120 + 274x - 225 x1 + 85 xJ - 15 x 4 + x5

ln[86]:= Solve[*== 0, x]

OutP6]= ( { x - , l } , í x ^ 2 } / { x ^ 3 } , { x ^ 4 } / ( x - , 5 } }

Inl87]:= Factor[xA5 - 2 xA4 - 9 xA3 + 14 xA2 + 20 x - 24]

Out[87]= ( - 3 + x ) ( - 2 + x) ( - 1 + x ) ( 2 + x ) 1

!n[88]:= H[Solve[xA6 -» 1, x ] ] / / TábléForm

0ut|88]//TableForm=X - f - 1 .

X - » - 0 . 5 - 0 . 8 6 6 0 2 5 I

X - ^ 0 . 5 + 0. 8660251

x ^ O . 5 - 0 . 8 6 6 0 2 5 1

x - » - 0 . 5 + 0.866025 I

_ r r

1"1J.

,*'

11J

1;

]

-




IMAGEN 5.2

ln[89]:= 3< 5 <= Sqrt[37]

Outl89]= True

¡n|90] = Solve[xA4 - 5 xA 2 - 3 == O, x]

}, {x i (s

S o l v e [ 2 - 4 x + 5x A 5==O, x]

üutp}i> {{x-*Root [2-4#l + 5#15&, 1 ] } , {x-»Root[2- 4 #1 + 5#15&, 2 ] } , {x -> Root[2 - 4 #1 + 5 #15&, 3 ] } ,

{x~*Root[2~4#l + 5 #1!&, 4 ] } , {x-+Root [2-4#l + 5 # l s s , 5]}}

Out{5¿]= {{x-»-1.04302}, {:<-* 0.587454}, {x -* 0. 674467}, {x-»-0.109451 - 0.977715 I } ,

{x-»-0.109451 + 0.977715 I}}

inp?] = S o l v e [ - 6 x + 2 y - 5 = = 0 , { x , y } ]

Solver :svars : Equations may not give so lu t ions for a l l "solve" va r i ab l e s .

Ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

IMAGEN 5.3

ln[97] =

Oit[1012»

Out[1ú2]=

, Out[10J]-

' ¡n[104] =

Solve[-6x+2y

Solve::svars :

Solve[{3x-4y

<{x-l,y->-2

Solve[{2x-4y

f f 874{{x-> , y-*1 1 291

Solve[{2x-3y

Solve[{6y+6z

- 5 « 0 , {x, y}]

Equations may

« 11, - x - 5y==

}

-5z== 12, -x-

97 291J

= = - 1 , Sx + 6 z =

n o t

5y +

}

= -1

give soiutions for

íx, y}]

7z== -15,

, 4 x + 9 y =

2 x ^

= «},

5y +

ail "solve" variables.

10z==-7>, {x, y, z}]

{x, y, z>]

]"|]]JJ

11

1"

1

M]Ji




IMAGEN 5.4

inp?]:= S o l v e [ - 6 x + 2 y - 5 == O, ( x , y ) ]

5olve::svar3 : Equations may not give solutions foc all "solve" variables.

in[10i]= Solve[{3x-4 y == 11, -x - 5y == 9}, {x, y}]

O . j t f i D ! ] » { { x - » l , Y - > - 2 } }

!n[iO2}= Solve[{2 x - 4 y - 5 z == 12, - x - 5 y + 7 2 == -15 , 2 x + 5 y + 10 z == - 7 } , {x, y, z>]

874 33 4 2 8 ^« 874 33

ln[ii)3]:- S o l v e [ { 2 x - 3 y + z - w = = - 8 , x + y - z - w = = - 4 ,

Out[:03]= ( { x - » 4 , y - » 5 , z - + 6 , w - > 7 } }

= 2 2 , x - y - z - w = = - 1 4 } / { x , y , z,

in[iO4]:= S o l v e [ { 6 y + fiz==-l, 8 x + 6 z == - 1 , 4 x + 9 y = = 8 } / ( x , y , z } ]

1 2 5 -i« 1 2 5 -i

if.[iO5]~ S o l v e [ { x A 2 + y A 2 == 1 , x + 3 Y == 0 } , { x , y } ]

v i o v i o Vio

Para sistemas de ecuaciones cuadráticas las instrucciones son las mismas; enrealidad, se utilizan para cualquier sistema de ecuaciones:

IMAGEN 5.5

Solve[{2x-374

• { { -33 42S

íhitiü3J=: S o l v c [ { 2 x - 3 y + z - w «= - 8 , x + y - z - w == - 4

;OutI103J» {{X-» 4 , y -» 5 , 2-» 6 , W-• 7 } }

kr.[iü4]:* Solve[{6 y+ í z == - 1 , 8x+ 6 z == - 1 , 4x+ 9 y

1041= {{x-»i / y- ,2,Z —1}}

Í »n[107]:» Solve[2xA2 + 13 X- 24 == 0, x]

;0ut[1071- {(x-»-8), (x-* - | } }

in[105]:= Solve[{x*2 +yA2=»l , x + 3 y « 0 } , {x, y}]

', Ir.[106]:= Solve[{-3x'-2 1 ) ,

s = = - 7 } , { x , y , z } ]

-14}, {x, y, z, vU

lnt)03]= Solve[{xA2+yA2-- 25, 2xA2 + y*2«= 34), {x, y>l

{{x-*-3 , Y - ^ - 4 } , {x - » - 3 , Y-^4} , {x -» 3 , Y-> -4} , {x - * 3 , Y-+¿

]



288 Algebra básica

IMAGEN 5.6

,üut[11¿l= •

[ y + _ ¡899 - 6 V 22389 ) + - (899 + 6 V 22389 ) (899-6V22389)3 3 l ]

3 '••8?9+° ^io3f, A 899 + 6V22389]

! - + - Í399-6 V223 3 '•

- (899+6V22389)1

1 i r—— ,1/J 1b _ [899 + 6 V 22389 } + —

3 ^ ' 2 3 3 v ;

1 + A (899 - 6 V22389)1 / 3 + A (899 + 6 V 22389 ^

Solución de algunos de los ejemplos y ejercicios propuestos en este capítuloutilizando Mathematica

IMAGEN 5.7

5olvc[3 x - 6 =- 0, X]

Solve [xA 2 - 4 » 0 , x ]

{{x-» - 2 > , {x-»2}>

5olve[3 XA2 - 4» == 0, x]

{ (x-» -A}, {x -*4} >

Solve[7xA2 - 56 == 0, x]

S o l v e [ 3 x A 2 - 2 7 — 0, x ]

<<x-» - 3 } / {x -»3)>

Sol ve [ ( x + 2 ) / 3 - 4 / ( x - 2 ) - -

( ( x > 8 ) , (x - ^ 8 ) )

S o l v e [ 3 x « 2 - 36 + x r t 2 — 0 , x ]

( ( x > - 3 ) , ( x - > 3 ) }

5.1.1. Ejemplo 1

5.2.1. Ejemplos del 1 aló

5.2.2. Ejemplo 1




Otros ejercicios

IMAGEN 5.8

Solve [4xA2-3{» 0, x]

{{X-+-3}, {x-*3}}

Plot[4xA2 - 36, {x, - 5 , 5}]

5.2.2. Ejemplo 1

La gráfica se solicita con la instrucción Plot/función, {variable, límite inferior,límite superior}]

IMAGEN 5.9

Solve[xA2 - 5 x . . 0, x]

Solve[6x^2 t ü x » l , x ]

5.2.3. Ejemplo 1

5.2.3. Ejemplo 3

¿ft,



290 Algebra básica

IMAGEN 5.10

Solve[xA2 + 0, x]

Plot[xA2 + 3x + 2, {x, - 4 , 4}]

- Graphics -

Solve[x*2-3x-10~ B, x]

5.2.4. Ejemplo 1

5.2.4. Ejemplo 2

T

5olve[2x"2 + 7x + C«

Plot[2xA2 + 7x+S, {x

\

-4 -i

- Graphicsu-

Solve[2xA2-7x-4==

, -5,

31

1»

1»

3 ) ]

/

/

/

1

0, x]

IMAGEN 5.11

5.2.4. Ejemplo 3

//

iJ

ij

1

1

1

i]J

A



5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

Soluciones de ecuaciones cuadráticas mixtas completas

IMAGEN 5.12

- Graphics -

5olve[2xA2-Tx-4« O, x]

Solve[xrt2 + 6x-16== O, x]

Ux->-8}, {x-»2}}

Plot[xA2 + 6 x - 1 6 , {x, - 8 , 4

5.2.4. Ejemplo 1

5.2.5. Ejemplo 1

-S - 4 -t

- Graphics -

291

- Graphics -

5olve[xA2-7x+12== 0, x]

Plot[xA2-7x+12/ <x, -12, 18}]

IMAGEN 5.13

5.2.5. Ejemplo 2

-10 -5

- Graphics -

Solve[3xA2-7x-6== O, x]5.2.5. Ejemplo 3

Ti i




IMAGEN 5.14

E j e m p l o s i l , 2, 3 , y 4 d e l a s e c c i ó n 5 . 2 . 6

inm:- S o l v e [ x A 2 + 4 x + 3 = = 0 , x ]

Out[2]= { { X -> - 3 } , { X -* - 1 } }

me»:- Solve [x A2 - 14 x + 13 == 0 , xj

outP]= {{x + l } , { x - > 1 3 } }

m[4]= Solve [x A 2 - 4 x - 1 » 0 , x]

Solve [9 x A 2 - 36 x + 31 == 0 , x]

{ { x 1 ( 6 - V 5 ) } , { x . i ( 6 +

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Solve[{2 x- 2 Y +

Solve[{x+y-l==

Solve[{x+ 3y-9

{{x-»-6, Y-»5}}

Plot[{(-x+9)/3

-í -t

• Gcaphics -

í . . 0, - 2 x + 4 Y

0 , x + y - 3 = = 0

- - 0, 4 x + 5 y - l

, (-4X/D/5),

-4 -t

«I |

-14 - -

\, (X, ]

- 0 ) ,

(x, -8

6

4

0}, {x,

f>]

{x, y}]

, 2}]

t

IMAGEN

y } ]

5. 15

5.3. Ejemplo 1

5.3. Ejemplo 3

5.3.1. Ejemplo 1

i

,. -

• >

\ \




IMAGEN 5.16

- Graphics -

Solve[{-4x+ 6 y » 2 , i x - 9 y « > 4 ) , (x, y)]5.3.1. Ejemplo 3

Plot[{(2 + 4x)

-3 - í

/ 6 , (6 y

t

X

- í

- 4 ) / J > , {J

,^x— i

c, - 3 ,

t

3 } ]

^ ^

3

• Graphics -

Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados

IMAGEN 5.17

- Graphics -

SolTrc[<y-2-(x/5) + (xA2/20) == O, 4y+x-30==0>, {x, y}]

| |y_» i (51-1 V359), x-* - (9+1 V359)}, {y-> i (SI + I V~3~

Plot[{2+ ( x / 5 ) + ( x A 2 / 2 0 ) , ( 3 9 - x ) / 4 } , {x , - 5 0 , 50}]

5.4. Ejemplo 1) , x -» Í (9 - l /3S9) } }



294 Algebra básica

IMAGEN 5.18

Solve[{xA2 +y

:<{y->-0, x - - 4

Plot[{l«-atA2

¡ /

¡/¡ - Graphics -

^Solve[{9x-y +

-16

}, {

4 +

^——"

-t

1 2 =

V7

== 0

x>,

10

- ¿ - — •

-xo

- Í 0

-30

= 0

, X-Y +

7 x-»3

{x, -7

^——-

3 xA 2

4==

-1 -

,—--

* \

vi)]

f

\

0}

y } ]

\

, {x, j\l

i (-1*9 VI)

5.4.

5.4., x - > i ( - i + V

Ejemplo 2 ^

1

1

11

1

;:p|

11¡11

|

¡11

III

i SIEjemplo 3

*)}} ] ¡

IMAGEN 5.19

i - Graphics

Solve[{(x +i¡{{x^-17-

iSolve[{(x +

j {{x-^-12,

-

6) (y

Vio?

4) (y

y-»-5

lili

Í 0

-10

-40

- Í 0

>

í

+ 12) - 144 = =

, y ^ i . ( - 1 3

+ 2) -24 « 0

}, (x-*2, y-

\

\

0, x/2-y+2 =

- V 409 ) } , {XH

x / 2 - y + l - - l

+ 2}}

| | | i lÍIÍ!¡ÍI¡Í

= 8}, {x, y}]

-17 +V 409 , Y

I}/ {x,y}]

1-»• —

2

íifíiiíiiils

(-13

5.4. Ejemplo 4+ Vio?)}}

5.4. Ejemplo 5

IHIIiilBI1 i ¡1

i ! 111

lili

ll¡¡] • Í Ü Í

1 ¡i

11 il l l

1DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]



Gráficas de los ejercicios anteriores

IMAGEN 5.20

Plot[{144/(x + 6) - 12, x / 2 +

- Graphics -

P l o t [ { 2 4 / ( x + 4 ) - 2 , X / 2 + 1 ) , {X, 0 , 4 } ]

4

Í . 5

5.4. Ejemplo 4

5.4. Ejemplo 5

j"""• « L



296 Algebra básica

Sistemas de ecuaciones de segundo grado

IMAGEN 5.21

5olvc[{xA2/4

Plot[{6 + xA2/

/

/

- &raphics -

U "* 4 ~*

5 " " " '

- y

2

+ 6 -

"113 6 - 1

10

- Í 0

-fO

- o ,

f A 2 }

x-Sqrt[36

. , . . - ! . . ,

. . \ .5 \

\

,x- , l}}

\

- y ]

0 } ]

\

\

i «

\

v i l

5.5.

c c5.5.

Ejemplo 1

P • i oEjemplo 2

j

La función se expresa de la formay-f{x) (despejandoy)

IMAGEN 5.22

, {x, - 3 , 3}]

Solve[{xA2 + 5 x - y 4 l = = 0 , 2 x A 2 + y - 9 == 0 ) , {x ,

5olve[{x- 2y A 2 + 2y+6 ==8, x + y A 2 + y - l S = = 0>, {x , y} ]

({x-»6,y-»3},(x-í- , y-* \\• I I 9 3-IJ

Solvc[{3yA2-3y-x-2==8,yA2+y+x-10==0}/ <x, y}]

5.5. Ejemplo 3

5.5. Ejemplo 4

5.5. Ejemplo 5 ¡U




APÉNDICE DE 5.6

Teorema

Si a> by b> c, entonces a> c

Demostración:a> b<=> a- b-x, y b— c-y

donde xyy son positivos

a-c = x+ya> cporque xyy son positivos

Teorema

Si¿?> b, entonces a+ c> b+ c, CG SÍ por hipótesis a > b<^> a- b + x,xes positivosumando c en ambos lados.

a-v c- b+ c + xa+c>b+c

Teorema

Si a > b y c es positivoac> be

El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de ladesigualdad por un número positivo.

Demostración:Por hipótesis, a> b$=> a=b + x, xes positivo multiplicando ambos lados por c.

ac- bc + xc




ahora xc es positivo ya que x y c son positivos

ac> be

Teorema

Si a > b y c es un número negativo, entonces

ac< be

El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica a ambos lados por el mis-mo número negativo.

Demostración:

Por hipótesis, a> ¿ <=> a=- b + x, xes positivo multiplicando ambos lados por c.

ac= be- xc

esto es equivalente a:

be- ac — xc

ahora xc es negativo porque x es positivo y c negativo

.°. —xc es positivo

.\ be— ac+ algún número positivo

.*. be > ac

.*. ac < be

Ejercicios del apéndice 5.6

Demuestra que:

1. Si a, b, c, ¿/son positivos y úa> by e> d, entonces: ac> bd

2. Si a> by c> d, entonces: a+ c> b + d3. Si a y b son positivos y a > b, entonces: a1 > b2




BIBLIOGRAFÍA

Chiang, A., Métodos fundamentalesde economía matemática, McGraw-Hill, Méxi-co, 1994.

Weber, J., Matemáticas para administración y economía, Haría, México, 1984.Frank, S.B., Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias

sociales, 3a. ed., McGraw-Hill, México, 1990.Haeussler, Jr. Ernest R, y Richard S. Paul, Matemáticas para administración y

economía, 2a. ed., Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1992.



La primera edición de Álgebra básica / Soluciones con el

paquete Mathematica, de Claramartha Adalid Díez de U.,

Edith Ariza Gómez, Víctor A. Breña Valle, José Fernández

García, Andrés Morales Alquicira, Ana Elena Narro Ramírez,

Vicente Ramírez, Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez

Franco, Angélica Rosas Huerta, Jorge Óscar Rouquette

Alvarado, Irene Sánchez Guevara, Tomasa Tlahuel Tlahuel,

se terminó de imprimir en la ciudad de México el 15 de

diciembre de 2001 en Impresora Publicitaria y Editorial;

Serapio Rendón, 82; colonia San Rafael; México, D.F. Se

imprimió en prensa offset de pliego o cama plana Aurelia 52

de 4 oficios. Para la composición se emplearon las familias

Times New Roman (10/12 y 11/13), Symbol (10/12 y 11/13) y

Garamond Light Condensed (24/26,14/16 y 9/13) con el

programa PageMaker 6.5 de Adobe en plataforma Apple

Macintosh G3 iMac a 600 mhz. Los negativos se hicieron

mediante contacto con positivos de poüéster Myriad II de Agfa

impresos con PlateMaker 3 de Xanté. Se emplearon papel

Cultural de 90 g y cartulina Lustrolito mate de 255 g, ambos

de Kimberly Clark de México. Se encuadernó en Servicios y

Publicaciones Grande. La edición consta de 500 ejemplares,

más sobrantes para reposición.



""""Alma y poiqueDel mito af Método""? ñ

ÁÜÜk ü WERSIOAO AUTC9NOMA METHOi

\\



ste libro se elaboró para apoyar académicamente alos estudiantes de las licenciaturas en administración

y economía en sus cursos de álgebra básica. ¿Qué es loque caracteriza este libro? Básicamente dos elementos:además de explicar en forma detallada la lógica de lostemas y de resolver numerosos ejercicios y problemascomo lo hacen otros libros, éste muestra también (enforma detallada y con el auxilio de numerosas imágenes)los procedimientos para resolver problemas y operacionesalgebraicas mediante el uso del paquete Mathematica, locual permite a los lectores aumentar su eficiencia en la solu-ción de problemas algebraicos. La demostración de cómoopera Mathematica no incluye una copia del mismo. Sinembargo, se decidió explicar su uso, ya que es el paquetemás utilizado en la mayoría de las universidades e institu-tos de educación superior de México.

El segundo elemento que distingue el libro son sus exposi-ciones del uso real del álgebra en el campo de la adminis-tración y la economía. Esto se desarrolla en el último capí-tulo mediante aplicaciones que son resueltas íntegramenteen forma manual y mediante el uso del paquete.

Casa abierta al tiempoDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


Álgebra Básica, Soluciones Con El Paquete Mathematica (2001)

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