Visualización Computacional de Visualización Computacional de Datos I Datos I

Visualización Computacional de Visualización Computacional de Datos I Datos I

Transformaciones

TransformacionesTransformaciones

P1

P2

Pi

Pi = (px, py)

Las transformaciones se aplican sobrelos puntos que definen el objeto

Transformaciones SimplesTransformaciones Simples

Escala isotrópica

Pi = S.Pi

Pi = (px, py)

sx 00 syS =

Transformaciones SimplesTransformaciones Simples

Traslación

Pi = Pi + D

Pi = (px, py)

D = (dx, dy)

dxdy

Transformaciones SimplesTransformaciones Simples

Rotación

Pi = R.Pi

Pi = (px, py)

cos -sin sin cos R =

Cuerpo rígido / EucledianasCuerpo rígido / Eucledianas

Preserva distancias

Preserva ángulos

TranslaciónRotación

Rigidas / Euclideanas

SimilaresSimilares

Conserva ángulos

TranslaciónRotación

Similares

Escala isotrópica

Rígidas / Euclideanas

LinealesLineales

Escala

Shear

Reflexión

TranslaciónRotación

Rígidas / Eucledianas

Similares

Escala isotrópica

Lineales

Transformaciones afinesTransformaciones afines

Preserva lineas paralelas

Afines

Escala

Shear

Reflexión

TranslaciónRotación

Similares

Escala isotrópica

LinealesRígidas / Euclideanas

Transformaciones ProjectivasTransformaciones Projectivas

Preserva líneas Projectivas

Perspectivas

Afines

Escala

Shear

Reflexión

TranslaciónRotación

Similares

Escala isotrópica

LinealesRígidas / Euclideanas

Perspective ProjectionPerspective Projection

General / no linealesGeneral / no lineales

No preserva líneas

From Sederberg and Parry, Siggraph 1986

Como representar las transformaciones?Como representar las transformaciones?

x' = ax + by + c

y' = dx + ey + f

x'

y'

a b

d e

c

f=

x

y+

p' = M p + t

Coordenadas homogeneasCoordenadas homogeneas

Se agrega una dimensión extraen 2D, se usa 3 x 3 matrices

en 3D, se usa 4 x 4 matrices

Cada punto tiene entonces un valor extra, w

x'

y'

z'

w'

=

x

y

z

w

a

e

i

m

b

f

j

n

c

g

k

o

d

h

l

p

p' = M p

Pasar a coordenadas homogeneasPasar a coordenadas homogeneas

x' = ax + by + c

y' = dx + ey + f

x'

y‘

1

a b

d e

0 0

c

f

1

=x

y

1

p' = M p

x'

y'

a b

d e

c

f=

x

y+

p' = M p + t

Affine formulation Homogeneous formulation

Translación (Translación (ttxx, t, tyy, t, tzz))

Por que utilizar coordenadas homogeneas?Porque ahora traslaciones se expresan como matriz!

x'

y'

z'

0

=

x

y

z

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

tx

ty

tz

1

x'

y'

z'

1

Escala (Escala (ssxx, s, syy, s, szz))

Isotropica (uniforme) scaling: sx = sy = sz

x'

y'

z'

1

=

x

y

z

1

sx

0

0

0

0

sy

0

0

0

0

sz

0

0

0

0

1

Scale(s,s,s)

x

p

p'

qq'

y

RotaciónRotación

Sobre eje z

x'

y'

z'

1

=

x

y

z

1

cos θ

sin θ

0

0

-sin θ

cos θ

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

ZRotate(θ)

x

y

z

p

p'

θ