Vibraciones y oscilaciones

El Movimiento Armónico Simple

Introducción MAS IIntroducción MAS I

·x(t)ω)Asen(ωωdt

xd

dt

dva(t)

)ωAcos(ωtdt

dxv(t)

)Asen(ωx(t)

20

22

2

0

0

t

t

Movimiento Armónico Simple (MAS): Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una pequeña

perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas elásticas) A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores armónicos. Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas (senos y

cosenos):

Magnitudes del MAS:• Elongación (x): Distancia del móvil a la

posición de equilibrio o centro de oscilación• Amplitud (A): Máxima elongación• Fase (φ): Es el valor del argumento de las

funciones• seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0 • Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0

• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)

Tf

22 ω

• Período (T): Tiempo que dura cada ciclo u osciación completa

• Frecuencia (f): Numero de ciclos en la unidad de tiempo (1s en SI)

• Frecuencia Angular (ω): Es el número de ciclos que se dan en 2πunidades de tiempo

Tf

1

Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las matemáticas no son muy difíciles):

El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”

Introducción MAS IIIntroducción MAS II

Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.

• Edificaciones (edificios, puentes, etc)• Maquinas• Los átomos en las redes cristalinas de los

sólidos• Instrumentos musicales

• Todo objeto que produce sonidos• Circuitos electricos• Columpio• Etc.

Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a): Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):

Características del MAS ICaracterísticas del MAS I

tt x(t)x(t) v(t)v(t) a(t)a(t)

00 00 ωωAA 00

T/4T/4 AA 00 --ωω22AA

T/2T/2 00 --ωωAA 00

3T/43T/4 -A-A 00 ωω22AA

Muelle oscilante (Walter Fendt)Muelle oscilante (Walter Fendt)

La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t) La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a

x(t)

Nota: La columna de t solo es válida si Nota: La columna de t solo es válida si φφ00=0=0..

Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones cada 40s. Calcula

a) La frecuencia b) el período c) la pulsación de este movimiento

Características del MAS (ejemplos)Características del MAS (ejemplos)

Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0, su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:

a) el período b) la pulsación de este movimiento c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y t=10s

Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:

a) el período b) la pulsación de este movimiento c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y

t=10se) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los instantes t=0s y t=15s

Características del MAS (ejemplos)Características del MAS (ejemplos)

Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a): Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):

Características del MAS IICaracterísticas del MAS II

En un MAS la frecuencia angular (En un MAS la frecuencia angular (ωω) la frecuencia () la frecuencia (ff) y ) y el período (T) no el período (T) no dependen de la amplitud ni de las condiciones inicialesdependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad (posición y velocidad iniciales ). iniciales ).

Solo dependen de las características físicas del sistemaSolo dependen de las características físicas del sistema. . La amplitud (A) y la fase inicial (La amplitud (A) y la fase inicial (φφ00), en cambio, si dependen de las ), en cambio, si dependen de las

condiciones inciales.condiciones inciales.

SimulacionSimulacion condiciones condiciones incialesinciales

)ωAcos(v0)v(t

)Asen(x0)x(t

00

00

AA φφ00

x(0)=xx(0)=x00

v(t)=0v(t)=0xx00 ππ/2/2

x(0)=0x(0)=0

v(0)=vv(0)=v00

vv00//ωω 00

0

00 v

xω)tg(

)ω·cos(

vAó

)sen(

xA

0

0

0

0

Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de

la oscilación con velocidad positiva, halla:

a) La fase inicial b) la pulsación de este movimiento

c) la ecuación de la elongación d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el movimiento

Características del MAS (ejemplos)Características del MAS (ejemplos)

El MAS y el Movimiento Circular Uniforme El MAS y el Movimiento Circular Uniforme

Características del MAS III Características del MAS III (MAS y MCU)(MAS y MCU)

El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo moviéndose con un MCUun cuerpo moviéndose con un MCU

Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad vector de posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide con la angular coincide con la ωω del MAS y el radio de la trayectoria con la del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A)Amplitud (A) . .

Animacion MAS y MCU colombiaAnimacion MAS y MCU colombia Animacion FlashAnimacion Flash Animación NewtonAnimación Newton

Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelleEjemplos de MAS I: El sistema masa-muelle

Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular y un períodos dados por las siguientes expresiones:angular y un períodos dados por las siguientes expresiones:

Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y K)Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y K). .

m

K

K

mT 2

)(

:

:

2xaconComparando

maKxmaFNewtondeLey

KxFHookedeLey

Nota importante:Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de sentido contrario Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de sentido contrario ( ) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora ( ) se mueve de con un MAS( ) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora ( ) se mueve de con un MAS

xa 2 KxF

Ejemplos de MAS II: El péndulo simpleEjemplos de MAS II: El péndulo simple

Se puede demostrar (p126 del libro) que Se puede demostrar (p126 del libro) que el sistema “péndulo simple” tiene una el sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia angular y un período dados frecuencia angular y un período dados por las siguientes expresiones:por las siguientes expresiones:

Como puede verse solo dependen de las Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (L y g)características físicas del sistema (L y g). .

L

g

g

LT 2

Este resultado es valido para ángulos de oscilación Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños (<20º)pequeños (<20º)

Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<<L) el péndulo Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<<L) el péndulo simple se comporta como un Oscilador Armónico simple se comporta como un Oscilador Armónico SimpleSimple

• Péndulo (Walter Péndulo (Walter FendtFendt)) Animación péndulo Animación péndulo colombiacolombia

Energía en el MASEnergía en el MAS

Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de estos sistemas se conserva:mecánica de estos sistemas se conserva:

2

2

1KActeEEE pcinmec

)(2

1

2

10

222 tsenKAKxE p

)(cos2

1)(

2

10

2222 tKAxAKEcin

Animación 1Animación 1 AnimaciónAnimación 2 2 animación 3animación 3Muelle oscilante (Walter Muelle oscilante (Walter FendtFendt))

Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos los más importantes son:los más importantes son:

El movimiento oscilatorio amortiguado: El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese Se da cuando existe rozamiento. En ese caso caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada una de esa oscilaciones sigue siendo constanteuna de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto). . (cumple la forma que hemos visto). Animación Animación colombcolomb animacionanimacion flash flash

El grado de amortiguamiento depende de la El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del cte. de amortiguamiento del sistema sistema ““γγ””

Otros tipos de movimientos oscilatoriosOtros tipos de movimientos oscilatorios

)tsen(Aey(t) 0t γ

m

KAmplitud decrece con el tiempo.

A mayor “γ” (mayor rozamiento) más rápido decrece La ω y el T siguen

siendo iguales

El movimiento oscilatorio Forzado:El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica adicional Se da cuando actúa una fuerza periódica adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y sorprendentes de sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y sorprendentes de la física, la física, la resonanciala resonancia. Pero eso ya es otra historia:. Pero eso ya es otra historia:

Recordad: Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación los aparta Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación los aparta

del equilibrio del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características físicas del sistemaoscilan con una frecuencia que solo depende de las características físicas del sistema

(su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..). (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).

A esta frecuencia se le llama A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (frecuencia natural del sistema (ωω00))..

Hemos visto dos ejemplos básicos:Hemos visto dos ejemplos básicos:

El movimiento oscilatorio forzado IEl movimiento oscilatorio forzado I

L

g0

m

K0

El El movimiento oscilatorio Forzadomovimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una frecuencia frecuencia ωω

En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila finalmente el sistema oscila con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ωω))..

Resonancia Resonancia colombiacolombia

Resonancia flashResonancia flash

La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia entreentre la frecuencia de oscilación de la fuerza la frecuencia de oscilación de la fuerza ((ωω)) y la frecuencia natural del sistema y la frecuencia natural del sistema ((ωω00))..

El movimiento oscilatorio forzado IEl movimiento oscilatorio forzado I

La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia

entreentre la frecuencia de oscilación de la fuerza la frecuencia de oscilación de la fuerza ((ωω)) y la frecuencia natural del sistema y la frecuencia natural del sistema ((ωω00))..

¿Qué cojo… quiere decir esto?¿Qué cojo… quiere decir esto?

Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” ((ωω)) a la frecuencia natural del a la frecuencia natural del

sistema sistema ((ωω00), ), mayor será la amplitud de las oscilacionesmayor será la amplitud de las oscilaciones

En el límite cuando En el límite cuando ωω= = ωω00 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se

hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonanciaresonancia. Y a . Y a

ese valor de frecuencia también se le llama ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistemafrecuencia de resonancia del sistema

Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñasincluso para fuerzas pequeñas!!!!!!

Resonancia (Walter Resonancia (Walter FendtFendt) )

El movimiento oscilatorio forzado II El movimiento oscilatorio forzado II ResonanciaResonancia

Para un sistema real (con rozamiento): Para un sistema real (con rozamiento):

Amplitud Máxima =es grande pero no Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!! infinita!!!!

El valor concreto depende de la cte. de El valor concreto depende de la cte. de amortiguamientoamortiguamiento

La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia

entreentre la frecuencia de oscilación de la fuerza la frecuencia de oscilación de la fuerza ((ωω)) y la frecuencia natural del sistema y la frecuencia natural del sistema ((ωω00))..

¿Qué cojo… quiere decir esto?¿Qué cojo… quiere decir esto?

Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñasincluso para fuerzas pequeñas!!!!!!

Resonancia (Walter Resonancia (Walter FendtFendt) )

El movimiento oscilatorio forzado III El movimiento oscilatorio forzado III ResonanciaResonancia

A (m)

ω1

A1

ω (rad/s)ω0 ω0 ω (rad/s)

A (m)

Amax

ω1

A1

Para un sistema ideal (sin rozamiento): Para un sistema ideal (sin rozamiento):

Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!! Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!

A tomar por cul… el sistema A tomar por cul… el sistema Catastrofe Catastrofe resonante!!!resonante!!!