VIBRACIONES Y ONDAS

VIBRACIONES Y ONDAS 1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

2.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.

3.- DINÁMICA DEL M.A.S.

4.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO.

5.- MOVIMIENTO ONDULATORIO. TIPOS DE ONDAS.

6.- DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.

7.- ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS.

8.- ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO.

9.- PRINCIPIO DE HUYGENS.

10.- PROPIEDADES DE LAS ONDAS.

11.- INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

12.- ONDAS ESTACIONARIAS..

Ver

Onda gravitacional

Vibraciones y ondas

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque

se puede expresar mediante funciones armónicas (que repitenuna secuencia de valores entre dos extremos), como el seno y elcoseno, de una sola variable.

Si dejamos oscilar libremente un objeto colgado deun muelle, éste describe un movimiento armónicosimple.

muelle horizontal

Si O es la posición de equilibrio, cuando se suelta el objeto desde laposición -A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración(acelera); rebasado el punto O, va disminuyendo su velocidad (frena)hasta llegar al punto A, en que se detendrá. Después volverá amoverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian losrozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo-A simétrico de A, respecto de O.

Características fundamentales del M.A.S. son:

El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente unsegmento de recta.

Es un movimiento periódico. Son movimientos cuyas magnitudescaracterísticas se repiten regularmente.

La aceleración del mismo no es constante. La aceleracióndepende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que vibra:acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se desplazadesde el centro hacia los extremos.

Si la aceleración no es constante, en virtud de la segunda ley deNewton, tampoco lo será la fuerza que actúa sobre el objeto.

El péndulo Muelle

Magnitudes del M.A.S.

La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el

objeto del punto de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el

metro.

-A

A

Oy

La amplitud (A) es la elongación máxima, es decir,la máxima separación del móvil de la posición deequilibrio.

El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilacióncompleta. Si el objeto parte de A, es el tiempo que tarda en volvera A. Su unidad en el S.I. es el segundo.

La frecuencia (f) es el número deoscilaciones que repite el móvil en la unidadde tiempo. Es, por tanto, la inversa delperíodo. Su unidad en el S.I. es el segundo-1

y recibe el nombre de Herz (Hz).

CINEMÁTICA DEL M.A.S.

Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nosproporcione la posición del objeto en función del tiempo y = y (t).

La ecuación de la posición que se obtiene es del tipo:

y = A · sen ( t + 0)donde:

“y” es la elongación.

“A” representa la amplitud del movimiento.

( t + 0) es lo que se conoce como fase del movimiento. Suvalor determina el estado de la vibración. Su unidad en el S.I. sonradianes.

recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular.Representa el incremento del ángulo de fase en la unidad detiempo. Su unidad en el S.I es radianes/segundo.

= 2 = 2 · · f

T

0 es la fase inicial. Su valor determina el estado de vibraciónpara t = 0. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partículapasa por la posición de equilibrio, resulta 0 = 0.

Si la fase inicial es cero, laelongación “y” pasa por lossiguientes valores a lo largo deuna vibración (T representa elperíodo).

A partir de la ecuación de movimiento, podemos obtener la ecuaciónde la velocidad derivando la ecuación y=A·sen(t + 0) con respectoal tiempo.

vdy

dtA t cos( )0

Si la fase inicial es cero, lagráfica de la velocidad enfunción del tiempo tiene laforma:

y = A · sen ( t + 0)

velocidad del oscilador

El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar laecuación de la velocidad respecto del tiempo.

Si derivamos v = A · · cos ( t + 0)

adv

dtA t 2

0sen( )

como la elongación y = A · sen ( t + 0), la aceleración puedeponerse expresarse como:

a y 2

Si la fase inicial es cero, lagráfica de la aceleración enfunción del tiempo tiene laforma:

- De 0 a T/2 la velocidad vadisminuyendo y laaceleración es negativa.

- De T/2 a T la velocidad vaaumentando y la aceleraciónserá positiva.

A

-A

a

T/4 T/2 T3T/4 tiempo

DINÁMICA DEL M.A.S. Conocida la aceleración de que está animado todo movimiento

armónico, la segunda ecuación de la Dinámica, F = m · a, permiteencontrar qué tipo de fuerza es la causante del movimiento.

Si la partícula que vibra tiene una masa “m”, como:

a y 2yωmF 2

Debido a que m ·2 es constante, la fuerza se puede poner en laforma:

yKF

expresión se conoce con en nombre de ley de

Hooke e indica que, la fuerza es proporcional

al desplazamiento, pero de sentido contrario. A

estas fuerzas se le denomina fuerzas

recuperadoras o elásticas

La constante K se conoce con el nombre deconstante recuperadora. Sus unidades en elS.I. son Newton/metro (N/m)

El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturalezaelástica, no depende de la amplitud de las oscilaciones sino de lamasa del cuerpo y de la constante recuperadora.

El período de las oscilaciones, puede calcularse a partir de laexpresión:

K m mT

2

2

2

4

despejando el período:

Tm

K 2

Las fuerzas que actúan sobre el resorte son elpeso del cuerpo (fuerza deformadora) y lafuerza recuperadora Fr del muelle que equilibraa la anterior. Si el muelle está en reposo ycumple la ley de Hooke, tenemos:

- Cálculo de K por el método estático.

Al colgar un cuerpo de masa “m” de un muelleo resorte, de masa despreciable y longitud “l0”,se estira hasta una longitud “l”. El alargamientoque experimenta el muelle es: l = l - l0.

P - Fr = 0 ; Fr = K (l - l0)

de donde resulta P = m · g = K ( l -l0)

y despejando K Km g

l l0

Esta constante K mide el grado de elesticidad del muelle o resorte.

ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO Una partícula que está animada de M.A.S. (oscilador mecánico) tiene

dos tipos de energía: una asociada al movimiento (energía cinética) y

otra asociada al dispositivo que vibra (potencial elástica).

La energía cinética de la partícula que vibra es: E1

2m vC

2

Como: v A t cos( )0

Resulta E1

2m A tC

2 2 2

0cos ( ) y cos ( ) sen ( )2

0

2

0 1 t t

E1

2m A tC

2 2 2

01 sen ( ) 1

2m A A t2 2 2 2

0sen ( )

puesto que y A t sen( ) 0 E1

2m A yC

2 2 2

m·2 es la constante K E K A yC

2 2 1

2

Es decir, la energía cinética depende de laposición. Tiene su valor máximo en el centro de latrayectoria (y =0) y es cero en los extremos.

y

A-A

½ Ka2E

Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas, tienen, por tanto,una función energía potencial que depende exclusivamente de laposición.

el trabajo realizado por la fuerza elástica paratrasladar la partícula de la posición de elongación y1a la de elongación y2. Tomando un desplazamientoinfinitesimal “dy” en el que la fuerza es constante (demódulo K·y) y sumando para todo el camino:

W F dy K y dy1 2 y

y

y

y

1

2

1

2

Integrando la expresión anterior entre las posiciones 1 y 2:

2

1

2

2

y

y

2

21 yK2

1yK

2

1

2

yKW

2

1

Por otro lado: W E (E E ) E E1 2 P P2 P1 P2 P1

pΔEW

El trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partículaentre dos posiciones no depende del camino seguido y es igual amenos el incremento de la energía potencial asociada a esasposiciones.

Comparando ambas expresiones, resulta que la energía potencial elásticaasociada a una partícula situada en la posición de elongación y es:

E1

2K yp 2

La energía potencial tiene su valormáximo en los extremos de la trayectoriay es cero en el centro.

La energía mecánica es la suma de las energías cinética ypotencial:

222PCm yK

2

1)y(AK

2

1EEE

de dónde se obtiene que:

E1

2K Am

2

En un movimiento armónico la energía mecánica permanececonstante mientras no haya rozamiento. Al vibrar la masa en uno yotro sentido, la energía se transforma de potencial a cinética y decinética a potencial.

Energía mecánica

yA-A

½ Ka2E

S.1

Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 π2x.

a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.

b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.

S.2

Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de unresorte de constante elástica k = 72 N m-1. Al desplazar elbloque verticalmente hacia abajo de su posición deequilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto deequilibrio con una velocidad de 6 m s -1.

a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.

b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.

S.3

Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m/spor una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre deun resorte horizontal, de constante elástica 200 N/m, fijopor el otro extremo.

a) Analiza las variaciones de energía que tienen lugar apartir de un instante anterior al impacto con el resorte ycalcula la máxima compresión del resorte.

b) Discute en términos energéticos las modificacionesrelativas al apartado a) si la superficie horizontal tuvierarozamiento.

S.4

Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte,efectúa oscilaciones armónicas de 0,1 s de período y suenergía cinética máxima es de 0,5 J.

a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto ydetermine la constante elástica del resorte.

b) Explique cómo cambiarían las características delmovimiento si:

i)se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble;

ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.

S.5

a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado físico de cada una de las variables que aparecen en ella.

b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula?

S.6

Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónicosimple a lo largo del eje X, de frecuencia 20 Hz. En elinstante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndosehacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otroinstante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y laenergía potencial es 0,6 J.

a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula ycalcule su aceleración máxima.

b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios deenergía cinética y de energía potencial durante unaoscilación.

MOVIMIENTO ONDULATORIO Al tirar una piedra en un estanque,

observamos círculos concéntricos que sepropagan por la superficie del estanque. Siagitamos una cuerda por extremos,observamos que la agitación se transmitea lo largo de la cuerda.

De igual forma al conectar la radiocaptamos una señal que ha sidoenviada desde cierta distancia; a suvez, el altavoz emite un sonido, quepercibimos a distancia del lugardonde se produce.

En todos estos ejemplos se aprecia una característica común: ciertasituación física (una perturbación), producida en un punto se propaga,alcanzando otros puntos

Denominamos onda o, en general, movimiento ondulatorio, alfenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otrodel espacio sin que exista un transporte neto de materia entreambos.

- TIPOS DE ONDAS La ondas existentes en la naturaleza se pueden clasificar

atendiendo a varios criterios:

1.- Según la naturaleza del medio en que se propagan.

- Ondas materiales o mecánicas:Necesitan un medio material parapropagarse. Las ondas se originan alperturbar un medio elástico (cuerda, aguao aire) y se transmiten gracias a laelasticidad del medio. Sin él no habríapropagación.

Como ejemplo de ondas mecánicaspodemos citar: las ondas sonoras, lasondas en cuerdas, las ondas en el agua.

- Ondas electromagnéticas: Nonecesitan de un medio material parapropagarse, sino que lo hacen en elvacío. Por ejemplo: la luz.

2.- Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección devibración.

Una onda mecánica lleva asociados dos movimientos:

a.- El movimiento de propagación de la onda a través del medio.

b.- El movimiento vibratorio, de las partículas del medio.

- Ondas longitudinales: cuando ladirección de vibración de las partículascoincide con la dirección de propagación.Este tipo de ondas se propaga encualquier medio material.

El sonido o las vibraciones producidas alcomprimir y dilatar un muelle.

Cuando este tipo de ondas se propaga enel seno de un fluido (gas o líquido) sedenominan ondas de presión. O.longitudinales y O. de presión

- Ondas transversales: cuando la dirección de propagación de laonda es perpendicular a la dirección en que vibran las partículas. Estasondas sólo se propagan en los medios sólidos o en la superficie de loslíquidos, pero no en el interior de estos.

Cuando agitamos una cuerda verticalmente se produce una ondatransversal.

ondas en una cuerda

3.- Según el número de dimensiones en las que se propaga la energía,son:

Ondas unidimensionales, cuando la energíase propaga a lo largo de una línea. Porejemplo, al onda que se propaga en unacuerda.

Ondas bidimensionales, cuandola energía se propaga en unplano. Por ejemplo, las ondas quese propagan en la superficie delagua.

Ondas tridimensionales, cuandose propagan por todo el espacio.Por ejemplo, el sonido en el aire.

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Pulso. Se trata de una onda de pocaduración. Cada partícula está en reposohasta que le llega el pulso. En ese instantese mueve durante cierto tiempo y despuésvuelve al reposo. Cualquier punto que seencuentre en reposo antes de que pase elpulso volverá al reposo después de quehaya pasado.

Pulso

Si en lugar de dar un golpe al extremo lo movemos continuamentehacia arriba y hacia abajo, estamos produciendo una sucesión depulsos que viajarán a lo largo de la cuerda. En este caso todas laspartículas de la cuerda se están moviendo y decimos que se hagenerado un tren de ondas.

v

Tren de ondas

De ahora en adelante siempre quehablemos de ondas nos estamosrefiriendo a trenes de ondas

Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de cumplir dosrequisitos debe tener elasticidad e inercia. La elasticidad del medio dalugar a la aparición de fuerzas restauradoras cuando una porción delmismo es apartada de su posición de equilibrio. La inercia del medio esque en última instancia explica el tipo de movimiento debido a laperturbación. Ambas propiedades del medio son las que determinanfinalmente la velocidad a la que se propaga una onda.

- Magnitudes características de una onda

Velocidad de propagación (v) es la rapidez con la que se desplazala perturbación por un medio. Esta magnitud depende de lascaracterísticas del medio y es independiente de las del foco emisor.Para un medio determinado y un tipo de perturbación es una cantidadconstante. Por ejemplo es sonido se propaga en el aire a unavelocidad de 340 m/s y en el agua a 1400 m/s.

inercial propiedad

elástica propiedadv

Está comprobado que, en general, la velocidad de propagación de unaonda en un medio puede expresarse como:

Aunque estas propiedades son diferentes para cada medio, no es lomismo que la onda se propague el agua, que una cuerda o en el aire.

Velocidad de vibración (vvibración) es la rapidez con la que sedesplaza una partícula del medio en torno a su posición deequilibrio. Esta magnitud se modifica de un instante a otro.

Período (T) es el tiempo que tarda cada punto en estar en el mismoestado de vibración, es decir, en dar una oscilación completa.También es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. Suunidad en el S.I. es el segundo

Frecuencia (f o ) es el número de vibraciones que realiza unapartícula en la unidad de tiempo. También es el número de pulsosproducidos en la unidad de tiempo.

La unidad en el S.I. es el herzio (Hz = s-1)

T

1f

Pulsación o frecuencia angular () : = 2 · f = 2 / T

Su unidad en el S.I. son radianes/s, aunque su sentido físico no es

el de una velocidad angular.

Longitud de onda () es la distancia entre dos puntos sucesivosconsecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración. Lalongitud de onda será la distancia que avanza la onda en un período.Por tanto:

= v · T

Donde v es la velocidad de propagación por un determinado medio y Tes el período. Su unidad en el S.I. es el metro.

Número de onda (k) es el número de longitudes de onda contenidasen 2. (A veces se define como el número de longitudes de ondacontenidos en la unidad de longitud). Su unidad es el m-1

Amplitud (A) se define como la distanciamáxima que separa un punto de laposición de equilibrio. Representa el valormáximo que alcanza la perturbación enun punto; por tanto sus unidades sonaquellas en que se mide la perturbación(longitud, presión, etc.).

k 2

Terminología de laFísica de ondas

ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS

El movimiento ondulatorio supone la transmisión de unaperturbación de un punto a otro sin transporte neto de materia.Nuestro objetivo es obtener la expresión matemática que permitaconocer el estado de vibración de cada punto a medida quetranscurre el tiempo

Supongamos que por una cuerda se propaga una onda armónicacon cierta velocidad “v”. Esto supone admitir que cada punto de lacuerda describe un M.A.S.

Supondremos asimismo que un pulsocomo el representado en la figura sedesplaza hacia la derecha a lo largodel eje X, con velocidad “v”.

Transcurrido un tiempo t’, si en elmedio no se produce amortiguamientoy la velocidad de propagación esconstante, el pulso se habrádesplazado una distancia

t'vx

encontrándose en la posición de la figura y la partícula situada en esaposición empezará a moverse con un retraso t’ = x/v

Pulso

Si en lugar de un pulso consideramos un tren de ondas armónicopropagándose por la cuerda, la ecuación que describe la posición dela partícula x = 0 viene dada por:

y (x =0,t) = A · sen ·t

Si admitimos que, a medida quetranscurre el tiempo, ese tren deondas se propaga con velocidad “v”hacia la derecha sin deformarse, laecuación que describe elmovimiento de una partícula situadaen cualquier punto x será de laforma:

y (x,t) = A · sen (t - t’)

donde t es el tiempo transcurrido desde que se produce el tren deondas y t’ representa el retraso con el que se produce el fenómenoen el punto x, es decir el tiempo que tarda en llegar el tren de ondasal punto x.

x

X

Y

y (x,t) = A · sen (t - t’)

Ecuación de D’Alembert

Como t’ = x/v y = 2/T

v

xt

T

2πsenAt)y(x,

Tv

x

T

t 2sen At)y(x,

puesto que la longitud de onda = v · T

x

T

t 2sen At)y(x,

y si utilizamos el número de ondas k 2

xktωsen At)y(x,

A esta ecuación se le conoce como ecuación de D’Alembert oecuación de propagación de las ondas armónicasunidimensionales

Aunque en las deducción hemos considerado una onda que sedesplaza por una cuerda, la ecuación obtenida es válida en muchasotras ocasiones.

x

X

Y

En ocasiones, para ajustarse a las condiciones iniciales, la ecuaciónanterior debe incluir una constante , que recibe el nombre de fase inicial,quedando la ecuación de D’Alembert

- Consideraciónes sobre la ecuación de D’Alembert

xktωsen At)y(x,

Cuando la diferencia de fase entre dospuntos es 2 radianes, su estado devibración es el mismo y decimos que estánen fase. Y si la diferencia de fase es radianes, los estados de vibración están enoposición de fase.

Al ángulo ( t - k x) se le denomina fase de la onda.

Si partiendo del origen la onda avanza a lo largo de la parte negativa del ejeX, puesto que la velocidad va en sentido negativo, la ecuación que describela perturbación es:

xktωsen At)y(x,

De igual forma puede utilizarse en lugar de la función seno, la funcióncoseno y la ecuación tendrá la forma:

xktω cosAt)y(x,

Incluso a veces, la ecuación aparece escritacomo txksen At)y(x,

- Consideraciones físicas sobre la ecuación de propagación

xktωsen At)y(x,

Si fijamos el tiempo t, la ecuación proporciona la posición en uninstante dado de todos los puntos de la cuerda. Describe la forma dela onda en ese instante; es como una fotografía de la onda.

La ecuación de propagación es una función de dos variables

La ecuación de ondas es doblemente periódica, con un períodoespacial, caracterizado por la longitud de onda y un períodotemporal, caracterizado por el período T.

Es periódica en el espacio, laperturbación se repite en todos lospuntos cuyas distancias al origenson múltiplos de la longitud deonda. Es decir, en un instante dadot, la onda tiene el mismo valor enlas posiciones x, x + , x + 2, etc.Por tanto, en un instantedeterminado están en fase laspartículas separadas por unadistancia igual a un número enterode longitudes de onda.

Es periódica en el tiempo conun período T. Para cualquierposición dada x, la función “y”toma el mismo valor en lostiempo t, t + T, t, + 2T, etc.

Es decir, que para un puntodeterminado están en fase losinstantes separados en eltiempo por un número enterode períodos

Si, por el contrario, se mantiene fija la posición x, es decir, siconsideramos un punto fijo de la cuerda, la ecuación nos indica cómovaría la posición de ese punto con el tiempo. Nos describe elmovimiento vibratorio de la partícula situada en la posición x.

Velocidad y aceleración de la onda armónica.

Conocida la ecuación de la onda, se calcula la velocidad devibración de un punto derivando la posición respecto del tiempo:

xktωsen At)y(x,

x)ktωcos(A

dt

xktωsen d(A

dt

dyv

Conocida la velocidad, se calcula la aceleración derivando laposición respecto del tiempo:

xktω oscAt)v(x,

x)ktω(senA

dt

xktω oscAd(

dt

dva 2

)t,x(ya 2

S.7

a) Explique qué es una onda armónica y escriba suecuación.

b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Quésignificado tiene esa afirmación? Haga esquemas pararepresentar ambas periodicidades y coméntelos.

S.8

La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es:

y(x,t) = 0,05 sen 2π (25 t – 2 x) (S.I.)

a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentidose propaga e indique cuáles son su amplitud, frecuencia ylongitud de onda.

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y lavelocidad del punto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1s y explique el significado de cada una de ellas.

S.9

La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:

y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.)

a) Determine el sentido de propagación de la onda, suamplitud, periodo, longitud de onda y velocidad depropagación.

b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un puntode la cuerda y calcule su velocidad máxima.

S.10

Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga unaonda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y defrecuencia f = 2 Hz con una velocidad de propagaciónv = 1,2 m s - 1.

a) Escriba la ecuación de la onda.

b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de lacuerda situado en x = 1 m y calcule su velocidad máxima.

ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Un movimiento ondulatorio supone la propagación de unaperturbación de un punto del espacio a otro, sin que existatransporte neto de materia.

Vamos a evaluar la energía que se transfiere en el movimientoondulatorio.

Si consideramos ondas armónicas, cada partícula del mediodescribe un M.A.S. y comunica a sus vecinas dicho movimiento.

La energía total de una de esas partículas será la suma de laenergía cinética y potencial:

E1

2m v

1

2K ypart vibración

2 2

donde K representa la constante elástica del medio (no confundircon el nº de ondas k).

Cuando la partícula alcanza la máxima elongación (A), su velocidades cero y, como ya vimos, toda la energía de la partícula es:

E1

2K Apart

2

El resultado muestra que la energía que se transfiere de una

partícula a otra es función del cuadrado de la frecuencia de la onda

(f 2) y del cuadrado de la amplitud (A2).

Teniendo en cuenta que K = m · 2 y que 2 f

E1

2m A f Apart

2 2 2 2 22 m

Si el medio es homogéneo, la energía se irradia por igual en todaslas direcciones, repartiéndose en superficies concéntricas de centroel foco emisor y cuyo radio aumenta en el transcurso del tiempo. Laenergía se distribuye a lo largo del frente de ondas.

Al avanzar la onda, la cantidadde partículas puestas envibración aumenta, por lo que laenergía se reparte para máspartículas y les toca a menoscantidad, por lo que la amplituddisminuye y la onda se atenúa.

Si hubiera pérdidas de energíapor rozamiento, viscosidad, etc,supone que parte de la energíava siendo absorbida por elmedio y, por tanto, la onda sedebilita, acaba por amortiguarsey desaparece. A estedebilitamiento se le conoce conel nombre de absorción.

PRINCIPIO DE HUYGENS Para explicar los fenómenos ondulatorios

Huygens, en 1678, ideó un métodogeométrico que permite conocer como sepasa de un frente de onda al siguiente y portanto cómo se propaga la energía a travésdel medio.

Entendemos por frente de onda los puntos alos que ha llegado la perturbación. Huygens (1629-1695)

Si tenemos un frente de ondas en un instante t, cada punto del frentede ondas se convierte en un foco secundario de emisión que emiteondas de características idénticas a la original. Al cabo de un tiempo t’,estas ondas elementales alcanzarán los puntos a’, b’ c’,simultáneamente. Uniendo estos puntos, tenemos el nuevo frente deondas.

Observaciones

PROPIEDADES DE LAS ONDAS

El fenómeno de la reflexión es propio decualquier tipo de ondas y se producecuando al encontrarse la onda con unasuperficie que separa dos medios (aire-cristal plateado, aire-pared), “rebota”hacia atrás, propagándose por el mismomedio de donde provenía y cambiandode dirección y sentido.

Vamos a realizar un breve análisis cualitativo de los siguientes fenómenos:

- Reflexión

2) El ángulo que forma la dirección de propagaciónde la onda incidente con la normal, ángulo deincidencia (i), es igual al ángulo que forma ladirección de propagación de la onda reflejadacon la normal, ángulo de reflexión (r)

La reflexión cumple las leyes experimentales siguientes

1) La dirección de propagación de la ondaincidente y de la onda reflejada están en unmismo plano, que es perpendicular a lasuperficie de separación y contiene a la normal.

La primera ley se justifica simplemente por simetría: la ondaincidente y la normal a la superficie determinan un plano y no hayninguna razón que aparte de dicho plano a las ondas reflejadas yrefractadas

La segunda ley se justifica con ayuda del principio de Huygens:supón que tenemos un frente de onda AB y que llega con ciertainclinación “i” a la superficie de separación de dos medios.

Cuando el punto A del frente de ondaalcanza la superficie de separación, el puntoB dista un segmento BC de la misma.

Consideraremos un frente de ondas plano que se dirige hacia lasuperficie de separación de ambos medios.

De ese modo, cuando el punto B llegue a lasuperficie de separación, las ondas emitidaspor A, X, Y, Z habrán originado un nuevofrente de ondas, envolvente de las ondassecundarias, el A’C que constituye la ondareflejada.

En ese instante, el punto alcanzado por A seconvierte en un foco emisor de ondassecundarias. A medida que transcurre eltiempo, ocurre lo mismo con los puntos X, Y,Z.

Si la onda incidente forma un ángulo “i” con la superficie y la onda reflejadaun ángulo “r”, resulta:

sen i = BC/AC sen r = AA’/AC

La onda no cambia de medio, el módulo de la velocidad no se modifica, y portanto BC = AA´, puesto que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. Portanto: ángulo de incidencia (i) = ángulo de reflexión (r)

-Refracción Un hecho curioso que habrás

observado alguna vez es que alintroducir, por ejemplo, una pajita rectaen agua esta parece torcida. Estefenómeno es debido a la refracción dela luz al pasar del agua al aire y, aligual que con la reflexión, ocurre contodos los tipos de ondas.

La refracción se produce cuando la onda atraviesa la superficie quesepara dos medios y se propaga por el segundo medio, modificando suvelocidad de propagación y dirección.

La refracción cumple dos leyes similares a las de la reflexión:

1) La dirección de propagación de la onda incidente yde la onda refractada están en un mismo plano, quees perpendicular a la superficie de separación ycontiene a la normal.

2) La relación que existe entre el seno del ángulo deincidencia (i) y el seno del ángulo que forma la ondarefractada con la normal, ángulo de refracción (t), esla misma que la que existe entre las velocidades depropagación de la onda en los dos medios.

Ley de Snell sen

sen

i

t

v

v

1

2

v1 representa la velocidad de propagación en el medio incidente y v2la velocidad de propagación por el medio en que se refracta.

De esta relación se deduce que cuando la onda accede a un mediopor el que se propaga más despacio, el ángulo de refracción esmenor que el de incidencia (la dirección de propagación se acerca ala normal). En caso contrario, el ángulo de refracción es mayor que elde incidencia (la dirección de propagación se aleja de la normal)

La ley de Snell puede justificarse con el principio de Huygens,teniendo en cuenta que la velocidad de la onda al penetrar en elsegundo medio varía por tener éste características diferentes alprimero.

Supongamos que un frente de ondas plano incidesobre la superficie que separa los dos medios.Sean v1 y v2 las velocidades de propagación de laonda en los medios 1 y 2 respectivamente.

Cuando el punto A es alcanzado por el frente deondas se comportará como foco emisor de ondassecundarias, en ese caso hacia el segundo medio,y lo mismo ocurrirá con los puntos X, Y, Z, a medidaque son alcanzados por la onda.

Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C,se ha generado en el segundo medio un nuevofrente de ondas, A’C,

De la figura se deduce:

AC

AA'sen t ;

AC

BCisen

Si v1 y v2 son las respectivas velocidadesde propagación en cada uno de losmedios, tendremos:

BC = v1 · t AA’ = v2 · t

siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’, idéntico al

que emplea en pasar de B a C.

AC

tvsen t ;

AC

tvisen 21

y dividiendo miembro a miembro:

sen

sen

i

t

v

v

1

2

que es la ley de Snell.

- Difracción

La difracción es el fenómeno que seproduce cuando en la propagación de unaonda ésta encuentra un obstáculo o unaabertura de tamaño comparable al de sulongitud de onda.

La difracción es característica delmovimiento ondulatorio. Si existedifracción, el fenómeno tiene naturalezaondulatoria

Si en el camino de las ondas colocamos un obstáculocuyo tamaño sea del orden del de la longitud de onda seobserva que los puntos del frente de ondas que no estántapados por el obstáculo se convierten en centrosemisores de nuevos frentes de ondas, logrando la ondabordear el obstáculo y propagarse detrás del mismo.

El sonido es capaz de bordear obstáculos pequeños que encuentre en sucamino, ya que su longitud de onda está comprendida entre unos cm y varios m.Hecho que nos permite escuchar a las personas situadas al otro lado de unaesquina aunque no las veamos. Sin embargo, no puede salvar obstáculos comoun edificio o una montaña.

Si en vez de un obstáculo interponemos en el camino de la onda incidente unorificio del tamaño de la longitud de onda, el orificio se convierte en centroemisor. La onda incidente difiere tanto más de la difractada cuánto más próximosea el tamaño del orificio al de la longitud de onda.

Difracción

- Polarización

Una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles

planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero si

forzamos, por medio de algún dispositivo, a que las vibraciones se

produzcan en un único plano, decimos que hemos polarizado la

onda.

El plano determinado por las direcciones de propagación y devibración de la onda se denomina plano de polarización.

Al generar una onda en una cuerda, las partículas pueden vibrar encualquier dirección. Si en el camino de la cuerda ponemos unaventana estrecha, las ondas que son paralelas a la ranura puedenpasar al otro lado porque están orientadas debidamente, pero lasque vibran en cualquier otra dirección no atravesarán la ventana.

La polarización es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondastransversales y cobra especial importancia en el caso de la luz, yaque sirvió para demostrar su carácter de onda transversal.

Polarizador

S.11

Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatoriocaracterizado por la función de onda:

Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esacuerda si:

a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes.

b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de uncuarto de periodo.

T

t

λ

x 2πsen Ay

S.12

Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerdade gran longitud con un período de 0,5 s y una amplitudde 0,2 cm, propagándose a través de ella una onda conuna velocidad de 0,1 m s – 1.

a) Escriba la ecuación de la onda, indicando elrazonamiento seguido.

b) Explique qué características de la onda cambian si:

i)se aumenta el período de la vibración en el extremo de la cuerda;

ii)se varía la tensión de la cuerda.

INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Al encuentro en un punto delespacio de dos o másmovimientos ondulatorios que sepropagan por en mismo medio sele llama interferencia.

El hecho de que dos pulsos secrucen sin alterar su naturaleza esuna propiedad fundamental de lasondas y caracteriza al movimientoondulatorio

Este comportamiento constituye la base experimental que permiteenunciar lo que se conoce como el principio de superposición.

“Cuando se propagan dos o más ondas por un medio, laperturbación resultante en cada punto del medio es igual a lasuma de las perturbaciones que producirían cada una de lasondas por separado”

Tras la coincidencia, cada onda vuelve a conservar su forma original como si nohubiera pasado nada.

El principio de superposición permite estudiar analíticamente qué ocurrecuando por un medio se propaga más de una onda: basta sumar los efectos decada una de las ondas individuales.

Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o másondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva,y la perturbación resultante es mayor que las originales.

Si la perturbación resultante es menor que las originales, lainterferencia es destructiva.

El estudio de la interferencia de dos ondas cualesquiera esdemasiado complejo para ser tratado aquí. Resolveremosúnicamente algunas situaciones simples.

Vamos a resolver un caso sencillo de interferencia de ondas:

1º.- Supondremos que las ondas que interfieren son idénticas, esdecir, tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud.

2º.- Además, tendrán la misma fase o una diferencia de faseconstante. A este tipo de fuentes se les llama coherentes.

3º.- Consideramos que la propagación se produce en un plano, comolas ondas que se propagan por la superficie del agua, generadas pordos agitadores idénticos.

Considera que disponemos de dos focosemisores de ondas armónicas, F1 y F2 yque estamos interesados en determinar laperturbación resultante en un punto Pcualquiera.

De ese modo, las perturbaciones queproducen en P cada uno de los focos,suponiendo que están en fase, son:

y1 = A · sen ( t - k d1) ; y2 = A · sen ( t - k d2)

donde d1 y d2 son las respectivas distancias de los focos al punto P.Aunque A, k y son idénticas para cada onda, no lo son lasperturbaciones y1 e y2 en el instante t, ya que la distancia del punto P acada uno de los focos no tiene por qué ser la misma.

El principio de superposición permite afirmar que la perturbación

resultante en un punto P es:y = y1 + y2

y = A sen ( t - k d1) + sen ( t - k d2)

y = A · sen ( t - k d1) + A · sen ( t - k d2)

Sabiendo que: sen sen sen cosa ba b a b

22 2

2

kdωtkdωtcos

2

kdωtkdωtsen2Ay 2121

2

ddkcos

2

ddkωtsenA2y 1221

Si denominamos amplitud resultante (Ar) a A 2 A kd d

2r

2 1

cos

2

ddktωsenAy 21

r

Por tanto, la perturbación resultante es una onda armónica de la mismafrecuencia y longitud de onda que las ondas originales, cuyo origen podríaencontrarse a una distancia (d1+d2)/2 del punto P, pero cuya amplitud esdiferente para cada punto del plano, según la situación de éste respecto a losfocos emisores.

La amplitud resultante,

A 2 A kd d

2r

2 1

cos

alcanza su valor máximo en los puntos del plano para los que:

kd d

2n

2 1

con n = 0, 1, 2 ...

Recordando que k = 2/, resulta d2 - d1 = n ·

Por tanto, en aquellos puntos delplano tales que la diferencia entre lasdistancias a los focos es un múltiploentero de la longitud de onda, laamplitud resultante es máxima(vientres).

En ellos se producirá una interferenciatotalmente constructiva.

Del mismo modo, la amplitud resultante será nula y la interferencia

destructiva, en aquellos puntos del plano que verifiquen la

expresión:

kd d

2

2 1 2 1

2n

con n = 0, 1, 2 ...

Siguiendo el razonamiento anterior, ahora resulta:

2

)12(2

12dd 12

n

n

La interferencia es destructivapara todos los puntos cuyadiferencia de distancias a losfocos es un número impar desemilongitudes de onda.

A estos puntos del plano, en losque la amplitud de la ondaresultante es nula, se lesdenomina nodos.

Cubeta de ondas

ONDAS ESTACIONARIAS

Estudiaremos ahora el caso de que las ondas no sepropaguen por un medio abierto, por ejemplo, si enuna cuerda con un extremo fijo y el otro libregeneramos una onda en el extremo libre, ésta sepropaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendopor la cuerda hasta el extremo libre.

La onda incidente y la reflejada (si no existeamortiguamiento) tienen las mismas características,pero viajan en sentidos contrarios. ¿Cómointerfieren esas dos ondas?

El resultado de esta interferencia esque unos puntos están siempre enreposo y otros presentan movimientovibratorio armónico de distintasamplitudes. Esta onda se denominaonda estacionaria porque el perfil dela onda no se desplaza debido a queexisten unos puntos para los cuales laamplitud es siempre cero.

Ondas estacionarias

La interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y

longitud de onda que se propagan en la misma dirección pero en

sentido contrario se le llama onda estacionaria.

La ecuación de la onda estacionaria es de la forma:

y = 2 · A sen (kx) · cos (t)

ecuación que depende del tiempo y de la posición separadamente:

- A es la amplitud de las ondas que por superposición originan laonda estacionaria.

- es la frecuencia angular de las ondas originales

- k el nº de ondas de las ondas que originan la onda estacionaria

- x es la distancia de cualquier punto al extremo fijo.

Si denominamos amplitud resultante (Ar) a : Ar = 2 A sen kx

la ecuación de la onda estacionaria es.

y = Ar cos t

Esta onda estacionaria resultante, tiene la misma frecuencia ylongitud de onda que las ondas originales y la amplitud dependede la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo.

opciones

Analicemos la expresión de la amplitud resultante:

Ar = 2 A sen kx

- La amplitud Ar es máxima cuando: sen kx = 1

por lo que:2

π1)(2nnπ

2

πkx con n = 0, 1, 2 ...

Como k = 2/ , resulta: 4

λ12nx

Es decir, todos los puntos que distan un número impar de cuartos delongitudes de onda vibran con la amplitud máxima. Estos puntos sedenominan vientres.

- La amplitud resultante será nula en los puntos que verifiquen:

kx = n con n = 0, 1, 2 ...

2

λnx

A estos puntos se les denomina nodos, y al tener amplitud nula,permanecen constantemente en reposo.

De ello se deriva una conclusión muy importante:

Si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos quepermanecen en reposo (nodos), resulta imposible transmitir energíamás allá de ellos, por lo que la energía no se puede propagar porel medio. La onda estacionaria no es una onda viajera; de ahí elnombre de estacionaria.

Como se observa en la figura, todos los puntos, salvo los nodos, semueven con M.A.S. de la misma frecuencia y amplitud variable, deacuerdo con su posición. Todos vibran a la vez y alcanzansimultáneamente los posiciones de equilibrio.

Observa que la distanciaentre dos nodos o dosvientres consecutivos es /2

La distancia entre un nodoy un vientre /4

Applet Ondas estacionarias

Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias es elque ocurre en una cuerda fija por sus dos extremos en la queprovocamos una perturbación.

Si la cuerda es de longitud L, al estar fijos ambos extremos, lospuntos x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias.Por tanto, en la longutid L debe haber un número entero desemilongitudes de onda, esto es:

2

λnL

Las posibles longitudes de onda han de cumplir: n

L2

La figura muestra los tres primeros modos de vibración de unacuerda. La longitud de onda del primer modo (n =1) es 2 L. Para elsiguiente modo de vibración (n = 2) es símplemente L y asísucesivamente.

Recordando la relación que existe entre la longitud de onda y la

frecuencia,

L2

vn

vf

Denominamos frecuencia fundamental de vibración al valor

fv

2 L

con n = 1

Observa que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia devibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental y que lafrecuencia no varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendovalores que se diferencian en v/(2L).

Podemos afirmar que estas ondas están “cuantizadas”, siendo elloconsecuencia de las condiciones de contorno (longitud de la cuerda Ly sus extremos fijos).

Esta situación se da con frecuencia en física, ocurre, por ejemplo, conlas ondas estacionarias asociadas al movimiento del electrón en elátomo y con la interpretación de los niveles energéticos de dichoelectrón.

Las ondas sonoras que se generan en los instrumentos de cuerda,así como las formadas en los tubos sonoros son estacionarias.

S.13

a) Explique las diferencias entre ondas transversales yondas longitudinales y ponga algún ejemplo.

b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente suscaracterísticas.

S.14

La ecuación de una onda en una cuerda es:

y(x,t)= 0,4 sen(12π x)· cos(40π t) (S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule superiodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivoscon amplitud cero.

S.15

En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con susextremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:

a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podríaproducirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia.

b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntosde la cuerda que se encuentran a 4 m y a 6 m,respectivamente, de unos de los extremos y comente losresultados

.).()8cos()4

(02,0),( IStxsentxy

S.16

Por una cuerda tensa se propaga la onda:

a) Indique las características de la onda y calcule ladistancia entre el 2º y el 5 nodo.

b)Explique las características de las ondas cuyasuperposición daría lugar a esa onda, escriba susecuaciones y calcule su velocidad de propagación.

.).()50()5,0cos(10·8),( 2 IStsenxtxy

S.17

La ecuación de una onda es:

y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.)

a) Con la ayuda de un dibujo, explique las característicasde dicha onda.

b) Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia yvelocidad de propagación de las ondas cuya superposiciónpodría generar dicha onda.

S.18

a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4 m delongitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuenciafundamental de vibración, suponiendo que la velocidad depropagación de la onda en la cuerda es de 352 m s - 1.

b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerdaen una guitarra, el sonido resulta más agudo.

S.19

En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación:

a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique lascaracterísticas de las ondas que dan lugar a la indicada yescriba sus respectivas ecuaciones.

b) Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerdaque puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda enuna cuerda más larga? Razone las respuestas.

.).()200cos()4(02,0),( IStxsentxy

S.20

a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda.

b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidadde propagación la onda incidente, la reflejada y larefractada?

S.21

a) Comente la siguiente afirmación: “las ondasestacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone siuna onda estacionaria transporta energía.

b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsarla cuerda de una guitarra se producen fenómenosondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido encada caso y comente las diferencias entre ambas.

Podemos enunciar el principio de Huygens comosigue:

Todo punto de un frente de onda es centroemisor de nuevas ondas elementales cuyaenvolvente es el nuevo frente de ondas.

Esta forma de interpretar la propagación de una onda resultaapropiada en el caso de ondas materiales, en las que lasvibraciones de las partículas del medio se transmiten de unas aotras, pero carece de significado físico si consideramos las ondaselectromagnéticas, que se propagan en el vacío.

Asimismo, si somos rigurosos con la idea de que cada punto delmedio alcanzado por una onda se convierte en foco emisor deondas secundarias, habría que admitir la propagación “haciaatrás”, que realmente no se observa. Una modificación posteriordel principio de Huygens, permitió soslayar estos defectos.

Kirchhoff modifica el enunciado original, de modoque el principio puede aplicarse a cualquier tipo deonda y, además, establece que las ondas deretroceso poseen energía nula y , por tanto, noexisten. Las dificultades matemáticas añadidasque suponen estas modificaciones harán queaceptemos sin más los resultados obtenidos porKirchhoff

Kirchhoff (1824-1887)

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ECUACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS Hemos visto que una onda

estacionaria es el resultado de lainterferencia de dos ondas idénticasque se propagan en sentido opuesto.

Si elegimos como referencia el puntoen el que se refleja la onda, laecuación de la onda que viaja haciala derecha es de la forma:

y1 = A sen ( · t + k x)

La onda incidente al reflejarse, en el extremo fijo, sufre un cambiode fase de radianes y como sen ( + ) = - sen , la onda reflejadaque viaja hacia la derecha es:

y2 = A sen ( · t - k x + ) = - A sen ( · t - k x)

de modo que la perturbación resultante en cada punto de la cuerda,vendrá dada por:

y = y1 + y2 = A sen ( · t + k x) - A sen ( · t - k x)

y = 2 · A · sen kx · cos t

que es la ecuación de las ondas estacionarias

Utilizando la relación sen sen cos sena ba b a b

22 2

Otras formas de la ecuación de las ondas estacionarias

Aunque en la presentación hemos usado la ecuación

y = 2 · A sen (kx) · cos (t)

Es posibles encontrar la ecuación escrita de forma diferente,veamos otras formas posibles:

y = 2 · A cos (kx) · sen (t) Si con estas ecuación aplicamos lacondición de vientre, cos (kx) 1, con loque resulta x n·/2

Y para los nodos cos (kx) 0 y resulta x (2n+1)·/4

Que como vemos es diferente a lasposiciones obtenidas con la ecuación (1).Pero lo importante es que los nodos y losvientres sucesivos están separadosigualmente /4

(1)

y = 2 · A cos (kx) · cos (t)

Estas ondas representa con respecto a la de la ecuación (1) undesfase de /2, puesto que cos(kx)sen(kx/2) o biencos(kx/2) sen (kx)

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