VIBRACIONES Y ONDAS

Robert Hooke1635 - 1703

Cristiaan Huygens

1629 - 1695

Alexander Graham Bell

1847 - 1922

Willebrord Snell (1591-1626

1.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1.1 Características generales

Antes de nada veamos una serie de definiciones necesarias en el estudio de este movimiento: Movimiento periódico: Un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio, de trayectoria rectilínea que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Movimiento vibratorio armónico simple (M.A.S.): es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.Observando el movimiento del resorte, vemos

que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos amplitud y la representamos por A.

La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como elongación, y.El tiempo en realizar una oscilación completa es el período, representado por T y medido en segundos.La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por f.Es la inversa del período:

Relación entre el M.A.S. y el M.C.U.

:                

Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir deducir sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en la figura siguiente

El movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular es el de la partícula que da vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están directamente

relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

La figura , representa lo que hemos visto en el gráfico animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido.

Y = elongaciónA = amplitud Φo = fase inicial ω = pulsación Φ = ω.t + Φo faseY0 = elongación inicial

Φo. Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar. ω. Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s. Φ. Representa la posición angular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.

La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u.

y = A . sen (ω.t + φ0)   

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. La elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.

Relación de la pulsación, ω, con el período, T, y con la frecuencia, f.Como en un m.c.u. Φ = ω.t, cuando t = T entonces Φ = 2π radianes, entonces: ω = 2π / TComo f = 1/T entonces: ω = 2π.f

1.2 Estudio cinemático, dinámico y energético del M.A.S.

•1.2.1 Magnitudes cinemáticas y ecuaciones: -Posición. Viene dada por la ecuación general:

y = A . sen (ω.t + Φo)  -Velocidad. Mide la variación instantánea de la posición con el tiempo. Su valor es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

v = dy/dt = A.ω cos (ω.t + Φo)

donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su máximo valor, A.ω, cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los extremos el ángulo de fase es 90º  y 270º, la velocidad es nula.

-Aceleración. Mide la variación instantánea de la velocidad con el tiempo. Su valor es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

a = dv/dt = - A.ω2 sen (w.t + Φo)

que teniendo en cuenta el valor de la elongación, y, se convierte en: a = - y.ω2   En un m.a.s. la aceleración es proporcional a la elongación, pero de sentido contrario.Cuando la fase es cero, sen 0º = 0 y por tanto la aceleración es nula. Para valores de 90º y 270º la aceleración es máxima en valor absoluto, los valores son -A.ω2 y +A.ω2 respectivamente.En los tramos en los que la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el movimiento es acelerado y los que tienen sentido contrario el movimiento es decelerado.

- Gráficas cinemáticas del m.a.s.

Como ω = 2π/T, y suponiendo Φ0 = 0, la ecuación del m.a.s. toma la forma:

y = A . Sen (2π/T . t)Dando valores a t: t = 0, t = T/4, t= T/2 … etc. Se obtiene la gráfica: Y - t

Procediendo de forma similar, la ecuación de la velocidad toma la forma:Y = A.ω . cos (2π/T . t) y obtenemos la gráfica: v - t

La ecuación de la aceleración tomaría la forma:a = -A.ω2 . sen (2π/T . t) y obtendríamos la representación gráfica situada a la izquierda: a -t

Analizando las gráficas podemos decir que: Las tres magnitudes, y, v y a, varían periódicamente, pues vuelven a tener los mismos valores transcurrido un período ya que como sabemos sen Φ = sen (Φ + 2π) y cos Φ = cos (Φ + 2π). Están desfasadas entre si, pues ni se anulan a la vez ni alcanzan sus valores máximos en el mismo instante. Así cuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y la aceleración es mínima.

La velocidad está adelantada en un cuarto de período respecto a la elongación, y la aceleración está desfasada medio período respecto a la elongación.

•1.2.2 Dinámica del m.a.s.La ecuación dinámica de este movimiento se obtiene, lógicamente, sustituyendo la ecuación de la aceleración en la ley fundamental de la dinámica.

F = m . a = m . (-ω2 . y) = - m . ω2 . y = - k . yEsta expresión nos dice que la fuerza necesaria para producir un m.a.s. , en un cuerpo material, es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo respecto a su posición de equilibrio, pero de sentido contrario.La constante k se mide en N/m. Cuando se trata de un resorte elástico, en el que se cumple la Ley de Hooke, F = ke . Δx. La constante elástica coincide con la del oscilador armónico: ke = m . ω2

Luego cada oscilador armónico se caracteriza por los valores de su constante recuperadora, K, y de su masa de oscilación, m. A partir de estos valores pueden calcularse, ω, f y T:

ω = √k/m T = 2π/ ω = 2π . √m/k f = ω/ 2π = √k/m / 2π

•1.2.3 Estudio energético del m.a.s.Un oscilador armónico tiene energía cinética por estar en movimiento, y energía potencial porque la fuerza recuperadora, que lo obliga a oscilar armónicamente es una fuerza conservativa. Energía cinética:

Ec = ½ mv2 = ½ k/ω2 . A2 ω2 cos2 (ω t + Φ0) = =½ k A2 cos2 (ω t + Φ0)

La expresión de la energía cinética suele expresarse preferentemente en función de la posición del cuerpo.

Para ello veamos como es la relación entre la posición y la velocidad:Y = A sen (ω t + Φ0) y v = A.ω cos (ω.t + Φo) además conocemos la expresión trigonométrica sen2Φ + cos2 Φ = 1Elevando al cuadrado las expresiones de Y e v, despejando de ellas los senos y cosenos cuadrados, obtendremos:

Y2 = A2 sen2 (ω t + Φ0) ; v2 = A2. ω2 cos2 (ω.t + Φo) sen2 (ω t + Φ0) = Y2/ A2 ; cos2 (ω.t + Φo) = v2/ A2. ω2 Sustituyendo en la expresión trigonométrica:

Y2/ A2 + v2/ A2. ω2 = 1 v2 = ω2 (A2 – y2)Entonces la expresión de la energía cinética será:

Ec = ½ m . ω2 (A2 – y2); Ec= ½ k (A2 – y2)

La energía cinética varía periódicamente, y depende de la elongación; es nula en los extremos y máxima en la posición de equilibrio.

Energía potencial)Como la fuerza productora del m.a.s. es una fuerza conservativa, el trabajo realizado por ella entre dos posiciones A y B será igual a – ΔEp, es decir: B

WA B = ∫ F. dr = ∫ -k . y dy = -[ ½ k . y2 ] = A

-(½ k yB2 – ½ K yA

2) = -(EpB – EpA)

Entonces: EpB = ½ k yB2 y EpA = ½ k yA

2 y en general tendremos que:

Ep = ½ k y2

La energía potencial que adquiere el oscilador armónico varía periódicamente, y es proporcional al cuadrado de la elongación.Esta expresión puede también ponerse de otra forma:

Ep = ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)

La energía potencial es nula en la posición de equilibrio,x = 0, y alcanza el valor máximo en los extremos, x = ± A.

Energía mecánicaEs la suma de las energías cinética y potencias.

Em = Ec + Ep = ½ k v2 + ½ k y2

Si sustituimos las expresiones obtenidas anteriormente:Em = ½ k A2 cos2 (ω t + Φ0) + ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)

Em = ½ k A2 [cos2 (ω t + Φ0) + sen2 (ω t + Φ0) ]Y como sen2 Φ + cos2 Φ = 1, nos queda la expresión:

Em = ½ k A2

La energía mecánica de un oscilador armónico es siempre constante y su valor es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones.Se cumple pues el principio de conservación de la energía.

En el gráfico se observa la representación del comportamiento de la energía en el proceso del movimiento armónico simple.

La energía total se encuentra representada por la recta roja, que es horizontal, dado que se conserva.Dicha energía total como se ve en la figura coincide con el valor de la energía potencial máxima en los extremos del desplazamiento de la partícula y con la energía cinética máxima en el punto de equilibrio del movimiento

1.2.4 El resorte elástico. Cálculo de la constante elástica.• Método estático

Cuando se cuelgan pesas del extremo inferior de un muelle metálico helicoidal sujeto por su extremo superior, se puede observar que experimenta un alargamiento. Dicho alargamiento es proporcional a la fuerza recuperadora del muelle que equilibra la fuerza de las pesas (peso), siempre que no se sobrepase el límite elástico del muelle, ley de Hooke.

Si l0 es la longitud antes de cargar ninguna pesa y l la longitud cuando lo sometemos a una determinada carga, el alargamiento viene dado por Δl = l – l0. Según la ley de Hooke dicho alargamiento es proporcional a la fuerza de tracción a la que lo somete la carga: F = -k Δl. La constante k es la que llamamos constante elástica o recuperadora del muelle.Colgando del muelle diferentes pesas y determinando los alargamientos correspondientes a ellas, podemos determinar el valor de la constate k de forma gráfica si representamos las fuerzas colocadas frente a los alargamientos (elongaciones) sufridos por el muelle. Debemos obtener una línea recta. K es la pendiente de la recta.

tag φ = y / x = k

y

x

Método dinámico

En la determinación de la constante elástica de un resorte por el método dinámico, lo que hacemos es dejar oscilar el resorte y medir su periodo de oscilación.Si colgamos distintas masas de un resorte y tiramos de ellas separándolas de su posición de equilibrio, al soltarlas oscilan con distintos periodos.

Medimos los periodos del resorte para distintas masas oscilantes (teniendo en cuenta la masa del porta pesas). No importa si estiramos más o menos antes de soltarlas.A partir de la relación de la masa y del periodo de oscilación podemos hallar la constante del resorte.

T = 2π . √m/k T2 =4π2 . m/k k = 4π2m/T2

1.2.5 El péndulo simpleUn péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos: •el peso: p = mg •la tensión T del hilo

θ

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg.senθ  en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial. • Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración centrípeta de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.Aplicando la segunda ley de Newton se escribe

m.an=T-mg·cosθ ; m.v2/l = T – mg.cosθConocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es at=dv/dt.La segunda ley de Newton se escribe:

mat=-mg·senθ

Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora. El signo menos indica que la fuerza es siempre de sentido contrario al desplazamiento.Si θ no es demasiado grande ≤ 15º entonces sen θ es aproximadamente θ si lo expresamos en radianes.

sen θ ≈ θ Para estos pequeños ángulos puede considerarse que el movimiento del péndulo es un m.a.s. La expresión del movimiento en la dirección tangencial toma la forma:

mat = - mgθY teniendo en cuenta que: θ = x/l entonces mat =-mg.x/l

at = -g.x/lComparando la expresión de la fuerza con la ley de Hooke: F = -k.x k = m.g/l = m.ω2 ω2 =g/l ω = √g/l

(rad)

Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia angular y el período: T = 2π/ω Sustituyendo, nos queda:

T = 2π/ √g/l = 2π . √l/g

El período depende de g y de l pero no de la masa m del péndulo.

2. ONDAS ARMÓNICAS PLANAS. 

2.1. Propagación de perturbaciones en medios materiales elásticos. 

Los medios materiales reales son deformables, y por tanto, dentro de determinados rangos son elásticos. Es esta propiedad la que permite explicar que a través de ellos se propaguen ondas mecánicas.

Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los animales y de los hombres que permite la comunicación entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las ondas electromagnéticas producidas por emisoras de radio y televisión, etc.

Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Se forman ondas que se propagan de manera uniforme a partir del punto en el que se produjo la perturbación.

Si ponemos un corcho veremos que se mueve hacia arriba y hacia abajo pero que no se traslada en la dirección que vemos se trasladan las ondas.Si fijamos el extremo de una cuerda y movemos el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, vemos como a lo largo de la cuerda se mueve una onda. Sin embargo los puntos que forman la cuerda no se desplazan a lo largo de ella, lo que se propaga es, como en el caso del estanque, la perturbación producida.Según esto decimos que: En el movimiento ondulatorio hay un transporte de energía y de cantidad de movimiento de un punto a otro del espacio, sin existir transporte de materia.En los dos casos indicados, las partículas del medio oscilan alrededor de su posición de equilibrio, debido a la acción de las fuerzas elásticas.

2.2. Tipos de ondas: longitudinales y transversales; materiales y electromagnéticas.  Para facilitar su estudio, las ondas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios.-Según la dirección de propagación:• Unidimensionales, como las que se propagan por una cuerda tensa.• Bidimensionales, como las que se propagan por la superficie de un estanque.• Tridimensionales, como las ondas acústicas.

-Según la naturaleza:• Mecánicas, necesitan de un medio material para propagarse.• Electromagnéticas, no necesitan de ningún medio materia para propagarse. Se propagan por el vacío.

-Según la forma de transmisión:• Longitudinales, cuando la dirección de

propagación de la onda coincide con la dirección de vibración de las partículas del medio. Por ejemplo el sonido.

• Transversales, cuando la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas del medio. Por ejemplo las ondas de una cuerda o las electromagnéticas.

2.3. Magnitudes características: longitud de onda, frecuencia, amplitud y número de ondas.

En la figura se representa una onda armónica transversal. Se producen alternativamente una serie de "crestas" y de "valles".

Para describir a la onda se definen las siguientes magnitudes: • La longitud de onda, λ, es la distancia entre los centros de dos crestas o dos valles consecutivos. • El periodo, T, que es el tiempo que tarda la perturbación en avanzar una longitud de onda. • La velocidad de propagación de la onda, c, que es la rapidez con la que avanza la perturbación. Estas tres magnitudes cumplen la siguiente relación:

c = λ/T• La amplitud, A, es la máxima separación que alcanza cada partícula vibrante respecto de su posición de equilibrio. • La frecuencia, f, número de oscilaciones que realiza por unidad de tiempo.• La pulsación, ω, equivalente a la frecuencia, pero expresada en radianes por segundo

• El número de ondas, k, es una magnitud de frecuencia que es el cociente que indica cuantas longitudes de onda existen en una distancia 2π. Es entonces:

k = 2π /λ

2.4. Velocidad de propagación. Factores de los que depende. 

La velocidad de propagación de las ondas mecánicas depende del tipo de onda concreto, pero, en general, se cumplen las siguientes reglas:• Depende de las propiedades mecánicas del medio de propagación.• En los sólidos, que propagan ondas mecánicas transversales y longitudinales, su velocidad de propagación aumenta con la rigidez del medio y disminuye con la densidad. Así las espiras de un muelle muy rígido y ligero propagan ondas mas rápidamente que las de un muelle

blando y pesado.• En los fluidos ( líquidos y gases), solo se propagan ondas longitudinales, la velocidad de propagación aumenta con la compresibilidad y disminuye con la densidad del fluido

3.ECUACIÓNES DE ONDAS ARMÓNICAS  

3.1 Ecuación de ondas unidimensionales.

Sea una onda transversal que se propaga con velocidad constante en una sola dimensión, sentido positivo del eje X. Si no hay perdida de energía en la propagación

Propagación de la onda

.P xy

Todos sus puntos vibran con igual amplitud y frecuencia.Para obtener la ecuación de la onda tendremos en cuenta que todos los puntos repiten el movimiento y vibran siguiendo un m.a.s. según el eje Y:

y = A . sen (ωt + Φ0) = A . sen (2π/T . t + Φ0)Siendo A la amplitud de la onda; ω, la pulsación o frecuencia angular del m.a.s. y Φ0, la fase inicial del m.a.s.Un punto P, distante del origen una distancia x, comenzará a vibrar con cierto retraso, t’, con respecto a la vibración del punto O. La ecuación que describe el estado de vibración del punto P será:

y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-t’) + Φ0]Si expresamos t’ en función de la velocidad de propagación, v, y de la distancia recorrida, x. Nos queda:

y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-x/v) + Φ0]y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/Tv) + Φ0]

Sabiendo que λ = v . T, llegamos a la ecuación general del movimiento armónico de una onda transversal unidimensional:

y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ) + Φ0]

3.1.1 Doble periodicidad de la ecuación de onda.• Periodicidad respecto al tiempoSupongamos una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X y queremos determinar el valor de la elongación y de un punto situado a una distancia x del origen de la perturbación, en función del tiempo.Las ecuaciones para t y t + n.T son:

y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)]y (x,t) = A . sen [2π . (t + nT/T-x/λ)] =

= A.sen [2π . (t/T-x/λ) + 2πn]

Recordando que sen α = sen (α + 2πn), entonces:y(x,t) = y(x,t + nT)

Una onda armónica es periódica en el tiempo porque el valor de la elongación de una partícula toma el mismo valor en los instantes t, t + T; t + 2T etc.• Periodicidad respecto a la posiciónSupongamos ahora la vibración de dos partículas, en el mismo tiempo, t, y en las posiciones x y x + n.λLas ecuaciones respectivas son:

y(x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)y(x + n.λ, t) = A . sen[2π . (t /T-x + n.λ /λ)] =

= A . sen [2π . (t /T-x/λ) - 2πn]Y como sen α = sen (α - 2πn)

y(x,t) = y(x + nλ, t)Una onda armónica es periódica en el espacio porque en cualquier instante coincide el valor de la elongación de las partículas situadas en las posiciones x, x + λ, x + 2λ etc.

3.2 Distintas expresiones de la ecuación de ondas La ecuación de una onda armónica transversal puede escribirse de varias formas equivalentes.

Forma de la ecuación de ondas

Velocidad de

propagación

En función de T y λ

y(x,t)=A.sen[2π.(t/T±x/λ)+θ0]

v = λ/T

En función de f y λ

y(x,t)=A.sen[2π.(f.t±x/λ)+θ0]

v = λ.f

En función de ω y k

y(x,t)=A.sen(ωt±xk+θ0) v = ω/k

El signo ± expresa los dos posibles sentidos de la velocidad, negativo si se propaga en el sentido positivo del eje X y positivo si se propaga en el sentido negativo de dicho eje.

4. ENERGÍA E INTENSIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO. ATENUACIÓN E ABSORCIÓN POR EL MEDIO. 

Como ya se ha dicho, cuando una onda avanza se propaga energía sin que halla transporte de materia. Esta energía es una energía mecánica, suma de sus energías cinética y potencial elástica.Vamos a calcular la energía de la partícula en el caso mas sencillo, cuando pasa por la posición de equilibrio, donde toda la energía es energía cinética.Obtenemos la velocidad de la partícula por medio de dy/dt

v = dy/dt = A. ω cos(ωt±kx + θ0), en la posición de equilibrio, la velocidad es máxima:

Vmáx = A. ω = 2π.f. AEc = ½ m.v2 = ½ m 4π2f2. A2 = 2 m π2f2. A2

Este valor máximo es el valor de la energía mecánica total, pues se cumple el principio de conservación de la energía.Si dividimos esta energía por el tiempo, t, durante el cual tiene lugar el proceso de transferencia, obtenemos el valor de la potencia que la onda transmite a la partícula.

P = Em/t = 2 m π2f2. A2/t

De estas expresiones deducimos que la energía y la potencia transmitidas por una onda son directamente proporcionales al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud.

Se define la intensidad de una onda, I, como la cantidad de energía que se propaga por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie colocada de forma perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

I = E/S.t = P/S = 2 m π2f2. A2/t. S

P es la potencia de la onda y S la superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda.La unidad de intensidad en el S.I. es J. s-1. m-2 = W . m-2.También la intensidad de una onda es proporcional a los cuadrados de la frecuencia y de la amplitud.La intensidad de una onda puede disminuir al alejarse del foco emisor, aunque no exista absorción de energía por parte del medio, esta disminución se conoce con el nombre de atenuación de onda.Este fenómeno ocurre en los frentes de ondas esféricas.

A medida que la onda se desplaza, se va extendiendo y va alcanzando mayor número de puntos del medio, aumentando así la superficie de la onda pero no la energía total, que se conserva, entonces se produce la disminución de la intensidad de la onda.

Así para dos frentes de ondas esféricas, situadas a

distancias r1 y r2 del foco, las intensidades respectivas son:

I1 = E/4πr12 t = P/4πr1

2 ; I2 = E/4πr22 t = P/4πr2

2 Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones:

I1/I2 = r22/r1

2

La intensidad de un movimiento ondulatorio de frentes de ondas esféricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que se encuentre el foco.

r1

r2

Muchos movimientos ondulatorios presentan una disminución de la intensidad de la onda mayor que la que prevé la atenuación. La causa de esta menor intensidad es que las partículas gastan parte de la energía en fenómenos de absorción por parte del medio.En este proceso si hay una disminución de la energía y por tanto de la amplitud de la onda.En las ondas materiales, el efecto principal se debe al rozamiento, la energía mecánica se transforma en calor. En las ondas electromagnéticas no hay adsorción en el vacío pero si cuando hay interacción con la materia. Para deducir la ley que rige esta absorción de energía imaginamos la incidencia de una onda plana sobre una lámina de grosor dx. La intensidad de la onda que sale después de atravesar dicha lámina es menor que la incidente y la disminución que se ha producido en la

intensidad dI es mayor cuanto mayor es el grosor dx y diferente según cual sea el material de la lámina, que caracterizamos mediante un coeficiente β. Es decir, escribimos a modo de hipótesis la siguiente expresión para la disminución de intensidad durante la penetración de la onda: dI = - I β·dx. Integrando esta expresión diferencial, se obtiene la ley de absorción:∫dI/I = - β. ∫dx ln I – ln I0 = - β x ln I/I0 = - β x

I = I0 e- β x Entre los muchos ejemplos de aplicación de esta ley mencionamos la pérdida de intensidad que experimentan las ondas sonoras al atravesar paredes y ventanas de

diferentes materiales y grosores, y en el interés práctico que tiene el estudio de este fenómeno para poder aislar acústicamente viviendas, salas de música, etc.

5. PRINCIPIO DE HUYGENS.  Mucho antes de conocerse la ecuación del movimiento ondulatorio, Huygens describió, de forma geométrica, como se propagan las ondas en el espacio.Cada punto de un frente de ondas puede considerarse como un foco emisor de nuevas ondas que se propagan con la misma velocidad y frecuencia que la onda inicial. Al cabo de un tiempo se crea un nuevo frente de ondas.

6. PROPIEDADES DE LAS ONDAS: 

6.1. Reflexión.

La reflexión se produce cuando las ondas que viajan en un medio alcanzan la superficie de separación con otro medio, cambiando la dirección de propagación en el primer medio.

La reflexión cumple dos leyes: • El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano.• El ángulo de incidencia i es igual al ángulo de reflexión r; i = r

6.2 Refracción

Es el cambio de dirección y velocidad que experimenta una onda al pasar de un medio a otro

Leyes de la refracción:– 1ª ley. La dirección de las ondas incidente y refractada y la normal están en el mismo plano.

- 2ª ley. La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es la misma que entre las velocidades respectivas

sen i / sen r = v1 / v2

Es la denominada ley de Snell

6.3 Difracción

Este fenómeno se produce cuando un obstáculo impide el avance de una parte de un frente de onda. Según el principio de Huygens, cada punto alcanzado por la onda se comporta como un nuevo punto emisor de ondas, de esta forma se explica que las ondas logran bordear el obstáculo y propagarse detrás.Para que se aprecie bien este fenómeno el tamaño del obstáculo debe ser del orden de la longitud de onda.

6.4 PolarizaciónEn las ondas transversales es posible que todas las partículas alcanzadas por la onda vibren en la misma dirección, entonces se dice que la onda esta polarizada y se llama plano de polarización al plano formado por la dirección de vibración y la dirección de propagación.

En el caso de que las partículas alcanzadas por la onda tengan varias direcciones de vibración, es posible que al pasar por un filtro determinado solo se propaguen las vibraciones de determinada dirección, es decir la onda se polariza.

6.4.1. Principio de superposición. Interferencia constructiva e destructiva: descripción cualitativa

6.1 Interferencias

Una característica muy importante del movimiento ondulatorio es el fenómeno de interferencia. Ocurre cuando dos o más ondas coinciden en el espacio y en el tiempo.

Cuando dos ondas se encuentran en un punto o una región del espacio, el resultado es una nueva onda cuya perturbación es la suma de las perturbaciones de las dos ondas originales.

Principio de Superposición"La elongación resultante de la interacción de dos ondas es la suma algebraica de las elongaciones correspondientes a las ondas individuales".

Resultados de aplicar el principio de superposición a dos ondas en fase, primer dibujo, y a dos ondas desfasadas π radianes, segundo dibujo.

El caso mas sencillo de interferencia de ondas que podemos estudiar es cuando interfieren dos ondas armónicas coherentes, es decir, ondas de características similares que están en fase, o en diferencia de fase que se mantiene constante con el tiempo.

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular ω , y que emiten ondas armónicas. Las dos ondas interfieren en el punto P, distante r1 y r2, respectivamente, de los focos S1 y S2. Si las dos ondas tienen la misma amplitud, A, sus

ecuaciones serán:

y1 (r1,t) = A sen (ωt – kr1)y2 (r2,t) = A sen (ωt – kr2)

Según el principio de superposición, la onda resultante será:

y = y1 + y2 = A [sen (ωt – kr1) + sen (ωt – kr2)]Y recordando la relación trigonométrica

sen α + sen β = 2 sen α + β/2 . cos α – β/2Obtenemos la expresión

Y= 2 A sen[(ωt–kr1)+(ωt–kr2)/2] . cos[(ωt–kr1) - (ωt–kr2)/2]

y = 2 A cos [k ( r2 – r1)/2] . sen [ ωt – k (r1 + r2)/2]Los factores que no dependen del tiempo, son por tanto constantes y se pueden agrupar en nuevo factor, Ar, denominado amplitud resultante,

Ar = 2 A cos k (r2 – r1)/2 La expresión de la interferencia de las dos ondas es ahora:

y = Ar sen [ ωt – k (r1 + r2)/2] El punto P vibra armónicamente con la misma frecuencia que los focos y con amplitud Ar.

Interferencias constructivas y destructivasAl superponerse la ondas en el punto P puede producirse un aumento en la amplitud de la onda resultante o una disminución. Los dos casos extremos corresponden a amplitud máxima o amplitud mínima.La diferencia de fase que corresponde a las ondas en

P es:Δθ = θ1 – θ2 = (ωt – kr1) – (ωt – kr2) = k (r2 – r1)

Δθ = 2π (r2 – r1)/λ Sustituyendo en la expresión de Ar

Ar = 2 A cos (Δθ/2)De esta expresión se deduce que la amplitud resultante es: - máxima si: cos (Δθ/2) = ± 1 Δθ/2 = n π

Δθ = 2 π n = 2 π (r2 – r1)/λr2 – r1 = n λ donde n = 0, 1, 2. 3,…

Se produce una interferencia constructiva en aquellos puntos del medio en los cuales la diferencia entre las distancias a cada foco es un número entero de longitudes

de onda. Las ondas llegan a estos puntos en concordancia de fase. A los puntos donde se producen interferencias constructivas se les denominan vientres.

- Es mínima si: cos (Δθ/2) = 0 Δθ/2 = n π + π/2 Δθ = 2 n π + π = π (2n + 1) = 2 π (r2 – r1)/λr2 - r1 = (2n + 1) λ /2 siendo n = 0, 1, 2, 3,…

Se produce una interferencia destructiva en aquellos puntos del medio en los cuales la diferencia entre las distancias a los focos es un número impar de semilongitudes de onda. La ondas llegan a estos puntos en oposición de fase. Estos puntos se denominan nodos. Las ondas de las figuras anteriores corresponde a estos dos tipos de interferencias, constructiva y destructiva, respectivamente.

6.4.2 Ondas estacionariasSe llaman ondas estacionarias a las que resultan de la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario.

Es el caso de una onda que se encuentra con su onda reflejada.Las ecuaciones de ambas ondas, considerando el origen en la pared y teniendo en cuenta que las ondas se propagan en sentidos opuestos, son:

y1 = A sen (ωt - k x) y2 = A sen (ωt + k x + π) = -A sen (ωt + k x)

La ecuación de ondas resultante se obtiene sumando las dos ecuaciones.

y = y1 + y2 = 2 A sen (-k x) . cos (ω t)Agrupando los factores que no dependen del tiempo

y = Ar cos (ω t) siendo Ar = 2 A sen (k x)

La amplitud resultante, Ar, con que oscila cada punto de la onda estacionaria depende de la posición, x. Habrá puntos donde la Ar será máxima, vientres, y puntos donde Ar se anule, nodos.- El valor máximo de Ar será cuando sen (k x) = ± 1 k x = π/2 + n π ; x = 1/k ( π/2 + n π ) x = (2 n +1) λ/4 para valores de n = 0, 1, 2, 3, … La amplitud máxima se produce en aquellos puntos cuya distancia al origen es un número impar de cuartos de longitudes de onda.- El valor cero de Ar será cuando sen (k x) = 0 k x = n π ; x = n π/4 =( n π/2 π ) . λ ; x = 2 n λ/4 ; n = 0, 1, 2, 3, …

La amplitud Ar se anula en los puntos cuya distancia al origen en un número par de cuartos de longitud de onda.

En la primera figura se muestra la interferencia de una onda azul que viaja hacia la derecha con otra onda verde que viaja hacia la izquierda. El resultado de la superposición de estas ondas es la onda estacionaria negra.En la segunda figura se muestra la onda estacionaria resultado de la interferencia. Observar como el punto A del medio se mueve de arriba hacia abajo y viceversa al transcurrir el tiempo mientras que el punto B nunca se mueve.

La distancia entre dos vientres consecutivos será:xn+1 – xn = [2 (n + 1) + 1] λ/4 – (2 n + 1) λ/4 = λ /2

Y la distancia entre dos nodos será:xn+1 – xn = 2 (n + 1) λ/4 - 2 n λ/4 = λ /2

7. EL SONIDO

7.1 Propagación del sonido. Velocidad de propagación. El sonido es el ejemplo mas

representativo de ondas longitudinales, se desplaza por cualquier medio material elástico, sólido, líquido o gaseoso, con una velocidad que depende de las características del medio.

La velocidad de una onda depende de la elasticidad del medio y de la inercia de sus partículas. Los materiales más elásticos permiten mayores velocidades de onda, mientras que los materiales más densos retardan el movimiento ondulatoria. Velocidad del sonido en los sólidosPara las ondas sonoras longitudinales en un alambre o varilla, la velocidad de onda está dada por:

donde Y es el módulo de Young para el sólido y ρ es su densidad.El módulo de Young es una constante propia de cada material que mide su elasticidad y que se expresa en N.m-2

Velocidad del sonido en los líquidosLas ondas longitudinales transmitidas en un fluido tienen una velocidad que se determina a partir de:

Donde B es el módulo de volumen para el fluido y ρ es su densidad. Velocidad del sonido en los gasesLas ondas sonoras e propagan en los gases de forma adiabática, es decir, sin que exista cambio de calor con el contorno, para un gas ideal la velocidad de propagación viene dada por:

Donde γ = 1,4 es el coeficiente adiabático del gas. Para el aire queda: vaire = 20,1 √T

Las ondas sonaras pueden clasificarse en: Ondas audibles. Son las que están dentro del intervalo de frecuencia

que generan una sensación sonora en

el oído humano. Está comprendidas entre

16 Hz y 20.000 Hz. Ondas no audibles. Son las que no

son percibidas por el oído humano. Si

su frecuencia es inferior a 20 Hz sellaman infrasónicas, si su frecuencia es superior a20.000 Hz se llaman ultrasónicas.

7.1 Cualidades del sonido

La onda sonora al propagarse sufre cambios de presión que son percibidos por el oído humano y que los caracteriza y distingue unos de otros por una serie de cualidades: intensidad, tono y timbre.

• Intensidad. Esta cualidad es lo que llamamos comúnmente volumen sonoro, es decir, un sonido fuerte o un sonido débil.Se define como la energía que se transporta a través de una unidad de superficie en la unidad de tiempo. Se mide en W . m-2. El intervalo que puede percibir el oído humano, depende de la frecuencia, y va desde 1,0 .10-12 W . m-2 hasta 1 W . m-2 que produce sensación de dolor.

La intensidad se asocia a la amplitud de la onda sonora. La figura muestra dos ondas sonoras; una fuerte y otra débil.

• Tono: Es la cualidad de los sonidos que permite distinguir entre sonidos graves (o bajos) y agudos (o altos)

Los sonidos graves son los de frecuencia baja y los sonidos agudos son los de gran frecuencia.

•Timbre. Es la cualidad qe nos permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y la misma frecuencia procedentes de dos fuentes sonoras distintas. Por ejemplo nos permite distinguir el sonido de una trompeta y un violín aunque emitan la misma nota con la misma intensidad. En general, los sonidos no son puros, de una sola frecuencia, los sonidos suelen tener una onda principal que va acompañada de otras ondas de menor amplitud llamadas armónicos cuya frecuencia es múltiplo de la onda principal.

la suma de esas ondas da lugar a una onda que tiene una forma determinada. El timbre está relacionado con la forma de la onda.A continuación puedes ver dos representaciones de ondas de la misma frecuencia principal pero que se diferencian por su forma, es decir se diferencian en los armónicos y por ello si los escucháramos podríamos distinguir los dos sonidos, pues tienen distinto timbre.

7.3 Percepción del sonido

La sonoridad o percepción fisiológica que percibe el oído, varía con la frecuencia y no es proporcional a su intensidad.

Así un sonido con una frecuencia de 100 Hz no se oye si su intensidad es inferior a 10-8 W . m-2 y si es audible un sonido con mayor frecuencia y menor intensidad de onda.Por tanto como la intensidad sonora en el limite de audición es distinta para cada frecuencia, se define una nueva magnitud llamada sensación sonora, S, que relaciona la intensidad de cada sonido con la intensidad limite de referencia para la cual la sensación sonora del sonido de la misma frecuencia es cero, S0 = 0

S = log I/I0 La unidad de sensación sonora es el belio, B. Un sonido tiene la sensación sonora de 1 B cuando su intensidad es diez veces superior a la intensidad limite.Es habitual tomar como intensidad limite de referencia, I0, la que corresponde a 1000 Hz, I0 = 1 . 10-12 W . m-2.

Se suele usar como unidad de medida de la sensación sonora un submúltiplo del belio, el decibelio, es la décima parte del belio.

8. RESONANCIA: CONCEPTO Y DESCRIPCIÓN CUALITATIVA MEDIANTE EJEMPLOS.

Es el fenómeno que se produce cuando los cuerpos vibran con la misma frecuencia, uno de los cuales se puso a vibrar al recibir las frecuencias del otro.Supongamos un tubo con agua y muy cerca de él colocamos un diapasón, si golpeamos el diapasón con un metal, mientras echamos agua en el tubo, cuando el agua alcance determinada altura el sonido será mas fuerte; esto se debe a que la columna de agua contenida en el tubo se pone a vibrar con la misma frecuencia que la que tiene el diapasón, lo que evidencia por qué las frecuencias se refuerzan y en consecuencia aumenta la intensidad del sonido.

Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidades resonantes para producir una variedad de sonidos. http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Cajas_de_resonancia:_Instrumentos_musicales http://www.youtube.com/watch?v=sxAqNMLH9Qc http://web.educastur.princast.es/proyectos/jimena/pj_franciscga/cualison.htm La resonancia eléctrica en los receptores de radio permite al oyente percibir con claridad las señales débiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estación elegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica. En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto, la música y las voces pueden tener un sonido profundo que resulta desagradable al oído. Se sabe que los puentes se destruyen debido a vibraciones resonantes de gran amplitud producidas por ráfagas de viento.