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SEMINARIO DE VIBRACIONES

VIBRACIONES TORSIONALES EN CIGÜEÑALES

PROFESOR: ING. EDUARDO ALVAREZ

LODATO, LUIS ANDRES 78367 ZAIN, MATIAS JAVIER 77281

MARZO 2006

http://www.fi.uba.ar/materias/7306/vibraindex.htm

VIBRACIONES EN CIGUENALES LODATO - ZAIN

1. INTRODUCCION

En general, en el estudio de sistemas oscilantes, los modelos

matemáticos continuos son permiten soluciones medianamente

sencillas para casos de geometrías simples, como ser el caso de

barras esbeltas, o modelos de pocos grados de libertad.

En el caso que nos interesa, la propia geometría del cigüeñal

obliga a crear un modelo simplificado. Para esto se opta por la

discretización de cada parte del objeto estudiado, que permita

sustituir el objeto real por uno estática y dinámicamente

equivalente.

Dicha discretización consiste básicamente en los siguientes

conceptos:

• Separar el objeto en secciones de geometría similar, cuyas

características (masa, posición del centro de masa, etc.)

sean posibles de obtener con estudios relativamente

sencillos.

• Reemplazar la masa distribuida de la parte, por una masa

puntual equivalente.

• Reemplazar las características elásticas distribuidas de la

parte, por un resorte equivalente.

1


En la figura se observa el modelo discretizado del cigüeñal de un

motor bicilindrico:

Como se ve, a partir de ahora un cigüeñal será para nosotros un

árbol sin masa con volantes distanciados cada Li y con inercias Ji.

Como metodología de desarrollo, se estudiara primero un árbol

con dos volantes, luego uno con tres, y luego se generalizaran los

resultados para n volantes de manera de poder abarcar cualquier

cigüeñal.

2


2. ARBOL CON DOS VOLANTES

Si los momentos Mt y –Mt están aplicados en las secciones donde

están colocados los volantes, dichas secciones girarán una

respecto de la otra un ángulo θ, tal que:

θ = Mt / k

Donde la rigidez torsional k esta dada por:

k = G . Jp / L

Con:

G = modulo de elasticidad transversal

Jp = momento de inercia polar

3


Si instantáneamente desaparecen los momentos aplicados Mt y

-Mt, los volantes de inercias J1 y J2 comenzaran un movimiento

oscilatorio uno respecto del otro. Dicho movimiento se denomina

oscilación propia del árbol. Desde el punto de vista cualitativo,

estas oscilaciones serán tanto más rápidas como rígido sea el

árbol y menores las inercias de los volantes.

Es fácil visualizar que a medida que transcurra el tiempo, este

movimiento relativo ira desapareciendo como resultado de las

propias resistencias internas y externas, transformando en calor

parte de la energía elástica, hasta agotarse.

De la misma manera, también es fácil intuir que si se aplicara de

un momento externo de manera sincronizada con la oscilación

propia, el efecto de amortiguamiento podría anularse, o incluso

revertirse. Dicho momento externo, se dice que esta en

resonancia con el árbol, y sus efectos sobre las oscilaciones de

este dependen de la cantidad de energía que sea aportada:

Eaportada = Edisipada oscilaciones de amplitud constante

Eaportada > Edisipada oscilaciones de amplitud creciente

Por lo expuesto, resulta evidente que conociendo la frecuencia del

modo de oscilación propia del árbol, o frecuencia fundamental, se

puede luego abarcar el caso con una excitación externa dada y

prever sus resultados por lo menos cualitativamente.

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2.1 CALCULO DE LA FRECUENCIA FUNDAMENTAL

Así como definimos el giro relativo entre ambas secciones θ,

definimos ahora los giros absolutos instantáneos de dichas

secciones como θ1 y θ2.

Podemos entonces expresar las aceleraciones angulares de cada

sección como:

α1 = ∂2θ1 / ∂t2

α2 = ∂2θ2 / ∂t2

Y por lo tanto, las cuplas de origen inercial de cada volante:

M1 = -J1 . α1 = -J1 . ∂2θ1 / ∂t

2

M2 = J2 . α2 = J2 . ∂2θ2 / ∂t

2

Para que haya equilibrio estático instante a instante, las cuplas

inerciales deben ser constantemente de igual magnitud y sentido

contrario, por lo que podemos plantear:

-J1 . α1 - J2 . α2 = 0 (1)

5


Pero sabemos también que cada una de estas cuplas esta

equilibrada dinámicamente por la deformación elástica del árbol,

con lo cual podemos plantear una ecuación más tomando como

referencia uno de los volantes, por ejemplo el primero:

-J1 . α1 – k . (θ1 – θ2) = 0 (2)

Estas dos últimas ecuaciones conforman un sistema de 2x2 que

permitiría resolver el sistema, pero e puede conformar un sistema

más sencillo si se apela a plantear el mismo equilibrio que para la

(2), pero tomando como referencia al volante 2:

J2 . α2 – k . (θ2 – θ1) = 0 (3)

La (2) y la (3) forman un sistema de 2x2 con solución conocida, y

podemos verificar que ambas ecuaciones cumplen también con la

(1).

El sistema de 2x2 planteado por las (2) y (3) acepta solución del

tipo:

θ1 = Θ1 . sen(ω.t) (4)

θ2 = Θ2 . sen(ω.t) (5)

6


Las soluciones (4) y (5) coinciden con la suposición de que las

oscilaciones son armónicas, y donde la frecuencia que buscamos

se relaciona con la pulsación:

f = ω / 2π

Para calcular ω, recurrimos a las (4) y (5) y al sistema planteado

anteriormente:

α1 = -Θ1 . ω2 . sen(ω.t) = -ω2 . θ1

α2 = -Θ2 . ω2 . sen(ω.t) = -ω2 . θ2

entonces:

J1 . (-Θ1 . ω2 . sen(ω.t)) + k . (Θ1 . sen(ω.t) - Θ2 . sen(ω.t)) = 0

J2 . (-Θ2 . ω2 . sen(ω.t)) + k . (Θ2 . sen(ω.t) - Θ1 . sen(ω.t)) = 0

Son el sistema final, con el que vamos a trabajar para calcular ω.

J1 . (-Θ1 . ω2) + k . (Θ1 - Θ2) = 0

J2 . (-Θ2 . ω2) + k . (Θ2 - Θ1) = 0

(-J1 ω2 + k) . Θ1 - k . Θ2 = 0

-k . Θ1 + (-J2 ω2 + k) . Θ2 = 0

7


El sistema anterior tiene solución trivial Θ1 = Θ2 = 0. La solución

no trivial se encuentra igualando a cero el determinante de la

matriz de coeficientes, lo que resulta en:

J1 . J2 . ω4 - ω2 . K . (J1 + J2)

La anterior es una ecuación bicuadratica que se resuelve

reemplazando ω2 = r, de la que resulta:

r1 = 0

r2 = k . (J1 + J2) / (J1 . J2)

Con lo que hallamos la frecuencia buscada:

f = {(k . (J1 + J2) / (J1 . J2)) / 2π}1/2

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8


2.2 NODOS

Debe observarse de la ecuación (1) que los momentos inerciales

son iguales y opuestos instante a instante, con lo que producen

aceleraciones angulares también iguales y opuestas instante a

instante.

-J1 . α1 = J2 . α2

Y recordando que:

α1 = -ω2 . θ1

α2 = -ω2 . θ2

Podemos decir que los giros también son de signo opuesto

instante a instante.

Esto significa que existe una sección del árbol que no experimenta

rotaciones. Esta sección (N) se define como sección nodal o nodo.

A partir del nodo, cada tramo del árbol oscila en fase con su

respectivo volante.

Para hallar la posición del nodo, recurrimos de nuevo a las tres

ecuaciones recién mencionadas, de las que deducimos:

-J1 . θ1 = J2 . θ2

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o sea,

-J1 / J2 = Θ2 / Θ1

Por otro lado, sabemos que la magnitud de los giros es

proporcional al la distancia al nodo, o sea:

-L2 / L1 = Θ2 / Θ1

Con lo que obtenemos la posición del nodo:

L2 / L1 = J1 / J2

IMPORTANTE: Debe mencionarse que el sistema de ecuaciones

planteado no permite conocer los valores de las rotaciones, sino

solo su proporción

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3. ARBOL CON TRES VOLANTES

Por las mismas condiciones de equilibrio planteadas para el caso

anterior, formamos el sistema:

J1 . α1 + k1 . (θ1 - θ2) = 0

J2 . α2 + k2 . (θ2 - θ3) – k1 (θ1 - θ2) = 0

J3 . α3 - k2 . (θ2 - θ3) = 0

De la misma forma que antes, consideramos las soluciones

armónicas:

θ1 = Θ1 . sen(ω.t)

θ2 = Θ2 . sen(ω.t)

θ3 = Θ3 . sen(ω.t)

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Y por lo tanto,

α1 = -ω2 . θ1

α2 = - 2 . θ2

α3 = - 2 . θ3

usando estos valores en las tres ecuaciones anteriores tenemos:

1 -J1 ω2) . Θ1 – k1 . Θ2 = 0

2 - k2 . Θ3 = 0

omo volvemos a despreciar la solución trivial, volvemos a

ω6.J1.J2.J3 - ω6.(k1.(J2.J3 + J1.J3) + k1.(J1.J2 + J1.J3)) +

sta es la ecuación gobernante del fenómeno, y aunque no la

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ω

ω

Y

(k

– k1 . Θ1 + (k1 + k2 -J2 ω2) . Θ

(k2 -J3 ω2) . Θ3 – k2 . Θ2 = 0

C

plantear el determinante de la matriz de coeficientes igualado a

cero, y queda la ecuación:

ω2.k1.k2.(J1 + J2 + J3) = 0

E

resolveremos, podemos observar que una solución es ω = 0.

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De la misma forma que antes, una vez conocida la solución ω, se

pueden resolver las ecuaciones de equilibrio planteadas, y obtener

las relaciones entre los giros Θ1, Θ2 y Θ3. Esta solución aportará

tres ecuaciones de relaciones entre los Θ, una de las cuales es

dependiente. De estas ecuaciones se toman dos (las que

relacionan Θ1 con Θ2 y Θ2 con Θ3). El sistema conformado por ellas

se llama vector característico, vector modal, o vector propio. Cada

solución de ω tiene su correspondiente y único vector propio.

Para expresar el vector propio de un sistema oscilante, se recurre

a normalizarlo. Como las soluciones implican siempre relaciones

entre los giros, pero no valores absolutos, se asigna el valor

arbitrario Θ1 = 1 y se expresa el resto del vector con esta

convención. El vector propio así expresado se dice normalizado.

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4. ARBOL CON n VOLANTES

Como es de esperarse, a medida que se agregan volantes al

sistema, las ecuaciones de equilibrio se van complicando y

también la ecuación final de ω. Siempre habrá tantas soluciones

para ω como cantidad de volantes tenga el sistema, y una será

ω = 0. A su vez cada solución creciente en frecuencia implica la

existencia de un nodo más:

ω = 0 no hay nodo

ω = ω1 1 nodo

ω = ω2 2 nodos

.

.

ω = ωn n nodos

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A continuación, se presenta un método práctico para hallar

frecuencias naturales de sistemas lineales de n volantes.

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4.1 METODO HOLZER

Es un método básicamente lógico de suposición y comprobación.

Como se dijo al principio, las soluciones de las pulsaciones ω para

los modos de oscilación propia son aquellas en que, bajo la

ausencia de amortiguación, la amplitud de las oscilaciones se

mantiene constante. Como también dijimos antes, dichas

magnitudes son arbitrarias, y sus valores se expresan en función

de Θ1 = 1.

n un sistema oscilante general como el de la figura, el E

movimiento total será el resultante de la superposición de los n-1

movimientos relativos. Estos n-1 movimientos representan todas

las oscilaciones propias del árbol, por lo que el problema consiste

básicamente en hallar todas las pulsaciones ω tal que la suma de

las cuplas inerciales de los volantes sea nula.

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El árbol de la figura se encuentra moviéndose con una pulsación ω

perteneciente a un modo propio. En esta situación sabemos que

los giros de las secciones se comportan de la forma:

θ1 = Θ1 . sen(ω.t)

θ2 = Θ2 . sen(ω.t)

θ3 = Θ3 . sen(ω.t)

.

.

θi = Θi . sen(ω.t)

Considerando como siempre el equilibrio entre las cuplas

inerciales y las elásticas, se puede plantear el siguiente sistema:

-J1 . ω2 . Θ1 + k1 . (Θ1 - Θ2) = 0

-J2 . ω2 . Θ2 + k1 . (Θ2 - Θ1) + k2 . (Θ2 - Θ3) = 0

-J3 . ω2 . Θ3 + k2 . (Θ3 - Θ2) + k3 . (Θ3 – Θ2) = 0

.

.

-Ji . ω2 . Θi + ki-1 . (Θi – Θi-1) + ki . (Θi - Θi-1) = 0

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Recordando que Θ1 no es una incógnita sino que tiene el valor 1

por convención, podemos escribir la primera ecuación como Θ2 en

función de Θ1, luego la segunda como Θ3 en función de Θ1 y Θ2 y

así sucesivamente, con lo que nos queda:

Θ1 = 1

Θ2 = Θ1 . (1 - J1 . ω2 / k1)

Θ3 = Θ2 . (1 - J2 . ω2 / k2) - Θ1 . J1 . ω

2 / k2

.

.

.

Prosiguiendo de este modo se obtendrán ecuaciones para cada Θi

en función de los Θi-1 anteriores.

Será necesario agregar una última ecuación para el último

volante, que puede ser la que se obtiene planteando el equilibrio

del árbol instante a instante, lo que implica que la suma de las

cuplas inerciales es nula:

Σ Ji ω2 Θi = 0

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De esta manera podemos armar el sistema:

Θ2 = Θ1 . (1 - J1 . ω2 / k1)

Θ3 = Θ2 . (1 - J2 . ω2 / k2) - Θ1 . J1 . ω

2 / k2

.

.

Θn = Θn-1 . (1 - Jn-1 . ω2 / kn-1) - Θn-2 . Jn-2 . ω

2 / kn-1 - . . . . . . . .

- Θ1 . J1 . ω2 / k2

0 = J1 . Θ1 + J2 . Θ2 + J3 . Θ3 + . . . . + Jn . Θn

Eliminando sucesivamente las amplitudes se llega a una ecuación

de ω2 de orden n-1, que aporta n-1 soluciones de ω que son las

n-1 pulsaciones de los modos naturales de vibración.

Como es sabido, las ecuaciones de orden grande pueden ser

extremadamente complejas de resolver de manera directa o

incluso irresolubles, por lo que a veces se debe recurrir a métodos

iterativos o numéricos para hallar los n-1 valores de ω. también

puede graficarse la función aproximándola con una buena cantidad

de puntos representativos y así obtener valores tentativos de las

raíces ω2 que luego se pueden afinar con métodos de mayor

precisión.

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En resumen:

• Se asigna el valor arbitrario Θ1 = 1

• Se obtienen progresivamente los valores de las amplitudes Θi

en función de las Θi-1 anteriores

• Se sustituyen los Θn valores obtenidos en la ultima ecuación

y se iguala a una función F(ω2)

• Se grafica F(ω2) y se hallan las raíces aproximadas

• Se afinan los valores de las raíces hasta la precisión deseada

En la practica, es suficiente buscar las frecuencias de los primeros

modos, dado que son las más bajas y por lo tanto las más fáciles

de alcanzar.

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4.2 NODOS

Los nodos de sistemas de n volantes se pueden hallar

gráficamente una vez que se han determinado todos los valores

relativos a Θ1.

Recordando que para cada modo de vibración su orden implica

igual cantidad de nodos, podemos trazar una “elástica” que una

de manera rectilínea los Θi correspondientes a cada volante.

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El análisis de nodos es de vital importancia en árboles con

volantes dado que las máximas tensiones se producirán en los

tramos donde haya nodos, y sobre todo en los cuales la elástica

tenga mayor pendiente.

5. APLICACION A CIGÜEÑALES

Los análisis realizados hasta ahora son validos partiendo claro

esta, de la base de poder modelar un cigüeñal como un eje sin

masa y volantes de inercia equivalente. E ahí el verdadero

problema: reemplazar el cigüeñal real por un modelo totalmente

equivalente.

Luego de muchos estudios exhaustivos, con los años se han

logrado compilar datos que permiten determinar parámetros que

modelen de manera lo más precisa posible el árbol equivalente.

Las masas rotantes a tener en cuenta son:

• la masa del cigüeñal

• la masa rotativa de la biela

• la mitad de la masa de las partes con movimiento alternativo

• la masa del volante de inercia

• la masa de los órganos cuyo movimiento es transmitido por

engranajes (distribución, etc.)

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El estudio de la biela merece una consideración aparte, ya que es

el único elemento cuyo movimiento es en parte lineal y en parte

rotativo, por esto se recurre a dividir su masa total en dos

fracciones, una correspondiente a movimiento rotativo y otra al

alternativo. Esta separación es difícil de realizar dado que debe

cumplir dos condiciones que generalmente son excluyentes:

-no debe cambiar la posición del centro de masa global

-ídem el centro de percusión

Por esto, en general se adopta una solución de compromiso que

minimice el error.

Para las partes con movimiento alternativo (pistones y fracción de

biela) el momento de inercia equivalente se calcula:

JALTER = JCIG + mALTER . r2 / 2

donde:

JCIG = inercia del cigüeñal y masas rotativas

mALTER = masa de las partes alternativas

r = radio de la manivela

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Para los accesorios arrastrados por engranajes se considera la

inercia equivalente mediante un análisis de la energía cinética del

conjunto, reducida al eje principal que es en este caso el del

cigüeñal. Se obtiene entonces:

JACCES = Ji . i2

donde:

Ji = inercia de los accesorios respecto de su propio eje

i = relación de transmisión entre el eje del accesorio considerado

y el del cigüeñal

Una vez conocidas las inercias de cada parte involucrada, se

deberá dividir el cigüeñal en una cantidad representativa de partes

cada una con su baricentro definido. El árbol equivalente estará

conformado por volantes que comparten con su correspondiente

sección las siguientes características:

• misma masa que las partes que allí actúan

• mismo baricentro

• misma inercia que las partes que allí actúan

• misma rigidez torsional de cada tramo

De esta última condición depende la validez de todo el modelo.

Por lo tanto se recure al siguiente análisis:

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La rotación real de una sección baricentrica respecto de la

siguiente estará dada por la siguiente relación correspondiente a

resistencia de materiales:

θ = Mt . L / (G . JP)

Si asignamos momentos de inercia arbitrarios a los tramos que

separan a cada volante, podemos decir:

θ’ = Mt . L’ / (G . JP’)

y como la rotación relativa debe ser la misma en el real y en el

modelo:

Mt . L / (G . JP) = Mt . L’ / (G . JP’)

con lo que obtenemos la relación:

L’ = L . JP / JP’

De esta manera se puede construir el árbol equivalente para

calcular las frecuencias propias del cigüeñal.

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