Vibraciones Torsionales 1

Mecánica: EjerciciosVibraciones Torsionales-Ejes5º Año Mecánico

2 de 43Mecánica - Vibraciones – ESING – M. Tubino S. - 2010

Vibración libre no amortiguada

Frecuencia natural de vibración:

Es el inverso del periodo natural. Se mide en Hertz [Hz] (ciclos por segundo):

La vibración natural solo depende de la masa y la rigidez del sistema

00 n n

n

2

2 0 0 n0 n

n 0

xx(t) x cos t sen t

x xx(t) x sen t arctg

x

nn

1f

T

Definiciones importantes

Periodo natural de vibración:

Es el tiempo en [s]) requerido por una estructura sin amortiguamiento para completar un ciclo en vibración libre

nn

2T

nn

1f

T

nnf 2

n

km

m m mv x 2m m na x


Vibración libre amortiguada

Razón de amortiguamiento

mx cx kx 0

2n nx 2 x x 0

n

km

cr n

c cc 2m

ct

2m0 dx x e sen t

2m c k 0

tcon x e

2c c k2m 2m m

cr

2

cr n

n

c ksi 0

2m mc c

y defi niendo "f actor de amortiguamiento"c 2m

c c 2m


Vibración libre amortiguada

2n nx 2 x x 0

(0) (0)( ) (0)n t n

d dd

x xx t e x cos t sen t

ct

2m0 dx x e sen t

21d n


Vibraciones Torsionales

Consideremos un sistema compuesto por un disco circular en un extremo de un eje.El disco posee un momento de inercia I sobre el eje de rotación. A su vez, el eje tiene una constante torsional k.Si la masa rota en un ángulo θ0 y liberada se genera una vibración torsional. Típicamente la inercia del eje puede ser despreciable en muchos casos.

La rigidez torsional del eje, k, es igual al T aplicado dividido por el ángulo de giro.

Esto es similar al movimiento armónico de masa-resorte.

I k

n

kI

GJ

kL


Vibraciones TorsionalesG es el módulo de rigidez del material, J es el momento de inercia polar y L es el largo del eje.

(t) = A cos t + B sen t

d/dt = (-A sen t + B cos t)

d2/dt2 = -2(A cos t + B sen t)

( ) ( ) ( ) ( )TT cg cg

cgIkM k t I I t t t

22 ( ) ( ) nTT T

ncgcg cg

kI

k kt tI I


Vibraciones: Constantes de resortes

Los elementos de resorte que hemos considerados son del tipo ideal y por simplificación su masa no tiene influencia, esto es su contribución se limita al aporte de rigidez del sistema y no a su masa. Entre otros, ejemplos de elementos ideales tenemos:

1. Resorte helicoidal

k = (d4G)/(8D3N) donde d = diámetro del alambreD = diámetro medio de la

espira G = módulo de corte o rigidez

N = número de espiras activas

2. Varilla: rigidez axial

k = (AE)/L A = área de la secciónE = módulo de Young

L = largo varilla

Varilla: rigidez torsional k = (GJ)/L donde J = momento inercia polar

G = módulo de corte o rigidez L = largo varilla


Vibraciones: Constantes de resortes

4. Viga voladizo con carga en extremo

k = (3EI)/L3 donde I = momento inercia sobre eje neutro

5. Viga simplemente apoyada con carga central

k = (48EI)/L3

6. Viga empotrada en ambos extremos con carga central

k = (192EI)/L3

7. Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro con carga central

k = (768EI)/7L3


Vibraciones-Torsión: ejes de secciones diferentes

Ejemplo Genérico de un sistema de torsión con diámetro no constante.

Ejes cilíndricos compuestos de largo l1 y diámetro d1 y largo l2 y diámetro d2 se puede reemplazar por l1 of diámetro d1 y un largo l de diámetro d1 donde, para la misma rigidez o material del eje igual:

4

1e 1 2

2

dl l l

d

4 42 1

2

d dl l

4

e 1 2

d1l l l

d2

Por tanto el eje equivalente de largo le y diámetro constante d1 es:

GJ

kLGJ

kL


Constantes de resortes: ejemplo

10

En ocasiones es necesario alterar la frecuencia vibracional de un sistema o diseñar un sistema con una frecuencia fundamental específica.

Un ejemplo típico de esto es el diseño de tacómetros que miden an base a vibraciones. Este es un instrumento manual que posee de 5 a 10 vigas en voladizo sintonizadas a frecuencias específicas.

Cada lector es una viga en voladizo con un pequeño peso en su extremo libre que se utiliza para sintonizar y la viga y actuar como un indicador.

x

Y

L

M

Y0



Por tanto las relaciones de velocidad y energía cinética serían:

2 3

0

1 [3 ]2

x xy yl l

2 3

0

23

61 [3 ]2

Px l xEI

x xy yl l

y

donde y0 = deflexión máxima

x = punto de análisis

l = largo de la viga

Para diseñar un lector, se debe determinar la masa dinámica de la viga en voladizo. Para esto primero se debe determinar la deflexión dinámica de la viga. Una buena aproximación es usar la función de la deflexión estática bajo las mismas condiciones de carga. Para este caso se tiene:

2

0

4 5 620

0

1

2

19 6

2 4

l

l

T m y dx

m x x xT y dx

l l l

x

Y

L

Y0



O 2 2 2 2

0 0 0 0

9 11

5 733331 1 1 1

140 1402 4 2 2 2VIGA

eff

mmlmlT y y y m y

El resultado muestra que menos de ¼ de la masa de la viga tiene movimiento suficiente para contribuir a la vibración.

Ahora se requiere determinar la cantidad de masa , M, que se debe agregar al extremo de la viga para producir una frecuencia fundamental de 20 Hz si:

b = 0,635 cm; h = 0,1016 cm; l = 8,89 cm;

= 0,07655 N/cm3; E = 20 1010 N/m2

V= 0,57355 cm3 P=0,04391 [N]

m = 0,07655 [N/cm3]0,57355 [cm3]/9,81 [m/s2]=0,044756 kg

x

Y

L

Y0



De los valores indicados:

ml = 0,00475 kg; I = 0,0000555 x 10-8 m4; k = 473,96 N/m;

Que permite determinar la masa efectiva y, por tanto, la masa a agregar:

3 2 2 2

12

33 3 472,36 0,029913140 4 (4 ) 400

0,029913 0,0010130 0,0289

neff

effn

kf m

ml EIm Ml f

M kg

x

Y

L

M

Y0



Para el péndulo horizontal indicada, la barra AB es rígida y uniforma y posee masa.

Determinar la frecuencia de vibración si:

l = 0,3 m; a = 0,15 m; mbarra = 10 kg; M = 7 kg; k = 2 kN/m

2

0A

kaI

ak

M

l

A

B

Para una perturbación pequeña se tiene para la EDM: AI ka a

2effI m l

A



El movimiento armónico tendrá una frecuencia:

2

A

k a1f = HzI2

IA = [7 + (1/3)(10)] (0,3)2 = 0,930 kg m2

,Hz

,1,07 Hz

2

n

n

2000 0 151f =0 932

f

IA = [M + (1/3)(mbarra)] (l)2


Vibraciones en Ejes

Todos los ejes, aun sin cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema.

Representación de comportamiento “whirling”:

Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación.

La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema de 1 GDL, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n GDL, habrán n velocidades críticas


El modelo más simple de un rotor se muestra en la figura, consiste de una masa rígida m montada sobre un resorte lineal con constante k; considerando la segunda ley de Newton:

o expresado en rpm

xm x(t) k x(t) f (t)

N = 60 · fn rpm

La primera velocidad crítica puede ser estimada a partir de:

Para un rotor flexible montado sobre descansos rígidos simples:

rn ns

k 1 k= f = Hz

m 2 m

k=2kb

A B

3

48EIk =

l


Sin embargo, un modelo tan simple posee una serie de limitaciones:

• El modelo de ecuación solo modela vibraciones en un plano (xz en este caso), y los rotores giran en orbitas.

• 2. La combinación de las vibraciones en los planos xy y yz pueden producir varios tipos de orbita:

• círculos, elipses, líneas.

Lo anterior se supera al considerar un modelo con 2 grados de libertad, uno en cada plano:

x

z

m x(t) k x(t) f (t)

m z(t) k z(t) f (t)

M x K x f

x

z

1 0 1 0 f (t) x(t)M m K k f x

0 1 0 1 f (t) z(t)


La vibración tiene como causa más común el desbalanceo. Si el punto pesado para t=0 es:

x

z

k 0K

0 k

e x

y

meω2

0

ex (0)

0

2ˆ( )cos t

t j f mesen t

En el caso del rotor rígido en descansos flexibles se puede tener que las rigideces son distintas en los planos xz e yz, por tanto:


Así, tendríamos:

2 2

0 02 2

2 2

0 02 2

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1 1

x x xx

x x

z z zz

z z

kx t x cos t x t e cos t x e

m

kz t z sen t z t e sen t z e

m


Vibraciones en Ejes

En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según la configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad crítica respectivamente.

Primera velocidad crítica Segunda velocidad crítica


Vibraciones en Ejes

Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación con la masa que lleva unida:

La tabla siguiente indica la “velocidad crítica fundamental” . Normalmente la masa del eje o cilindro rotante se desprecia, de lo contrario debe considerarse agregar entre ½ y 1/3 de la masa del eje a la masa de la carga. Las fórmulas de la tabla consideran E=29106 [lb/in2]. Aunque un eje con varias masas puede tener un alto número de velocidades críticas, la más importante en diseño es la primera crítica o fundamental.


Vibraciones en Ejes

Configuración carga Ecuación Descansos

Descansos de

soporte

Descansos fijos

Un descanso fijo y extremo libre

1ª velocidad crítica: eje con carga

http://www.engineersedge.com/bearing/critical-speed-distributed-load.htm

N =velocidad crítica, RPM N1 = velocidad crítica del eje solo d = diámetro eje, in W = carga en el eje, lbl = distancia entre centros descansos, in

l

Carga total W

l

Carga total W

l

Carga total W

2

2.232.500d

Nl W l

1 24.760.000

dN

l

2

4.979.250d

Nl W l

1 210.616.740

dN

l

2

795.200d

Nl W l

1 21.695.500

dN

l


Frecuencias críticas en ejes: cálculo simplificado

Bajo la situación de deflexión estática, se puede calcular la frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexión estática.

Así pues, si δ es la deflexión estática y g es la aceleración de la gravedad, la constante de resorte bajo la situación de deflexión estática, se puede calcular la frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexión estática.

la conservación de la energía del sistema cumplirá con la siguiente condición:

o bien

d

T(t) V(t) 0dt

T(t) P(t) cte

nn

g1f

2 2



Siendo T y V la energía cinética y energía potencial del sistema, respectivamente. Recuérdese que si el sistema mecánico posee un movimiento armónico y libre de amortiguamiento (o de otras solicitaciones no conservativas),

max maxT V

conduce a que la energía potencial se transforma totalmente en energía cinética y viceversa, es decir que se tiene:

d

T(t) V(t) 0 *dt

jj j j j

21j2

* E.Lagrange, recordar :

d T T D VQ donde

dt x x x x

T E.Cinética;V E.Potencial;D f unción de disipación

ej. : cx ; Q trabajo externo;x coord.generalizada)



Empleando el método de energía deducir la frecuencia natural flexional de un eje de longitud L simplemente apoyado que soporta en el medio del tramo un rotor de masa M. El eje tiene una rigidez flexional EI.

Ejemplo:

M

EI



Ejemplo:

Sin embargo esta última expresión no contempla la distribución de masa del eje. Por otro lado, la frecuencia natural se podría haber obtenido a partir de

Tmax = Vmax

teniendo presente que la energía cinética máxima y la energía potencial máxima vienen dadas por:

La solución puede obtenerse de

nn 3

48EI1f

2 2 ML

Y considerando que:

3PLcon P M g

48EI

nn

g1f

2 2

M

EI



Como:

2 2 2max n max max max

1 1T M v V kv

2 2

max maxT V

n 3 3 3

k 48EI P P 48 EI 48EIdado que : k

M ML PL L



Sistema de masas concentradas en un eje: usando el método de la energía

Eje simplemente apoyado con un par masas rotantes adosadas (poleas o engranajes o volantes, etc).

para hallar la frecuencia crítica o natural a partir de la metodología energética se debe conocer una configuración de los desplazamientos

Los desplazamientos estáticos, que se pueden determinar conociendo los pesos de las masas, lo que permite calcular la energía potencial máxima y la energía cinética máxima vienen, que están dadas por:

2 2max 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1V k x k x Px Px

2 2

1

22 2 2 2n

max 1 1 2 2 1 2 2

1 1T m x m x Px Px

2 2 g


Donde P1 y P2

son los pesos de las masas y ωn es la frecuencia circular crítica. De

manera que se puede despejar la frecuencia crítica como:

bien en el caso que el sistema tenga una cantidad arbitraria de masas condensadas, la expresión de cálculo se desprende inmediatamente del procedimiento precedente. De manera que para N masas condensadas la frecuencia crítica del eje está dada por la siguiente expresión, también llamada ecuación de Rayleigh:

i

N

i in i 1

n N2

ii 1

g P x1

f2 2 P x

1 2

1 1 2 2nn 2 2

1 2

g P x P x1f

2 2 P x P x



La ecuación de Rayleigh sobrestima el valor de la frecuencia natural ya que los desplazamientos efectivos son mayores que los empleados en la ecuación, es decir los estáticos. La siguiente expresión, denominada ecuación de Dunkerley (W.T. Thomson, “Teoría de Vibraciones: Aplicaciones”), permite establecer una cota inferior para el cálculo de la frecuencia crítica.

Donde ωn es la frecuencia circular crítica del sistema, en tanto que ωi es la

frecuencia circular crítica de la i-ésima masa actuando por si sola en el sistema y en ausencia de las restantes.


n i

N

2 2i 1

1 1



Obviamente ωi se puede calcular

empleando

La razón por la cual la ecuación de Dunkerley da una cota inferior de la frecuencia crítica verdadera reside en el hecho que se emplea la deflexión de una de las masas actuando por si sola.

ii

g1f

2 2

Observaciones:

Tanto la ecuación de Dunkerley cuanto la de Rayleigh no contemplan la masa asociada al eje, que puede incluirse como en el Ejemplo siguiente. Este efecto puede ser de mucha importancia si el eje es relativamente grueso.

Las ecuaciones de Dunkerley y Rayleigh están limitadas para condiciones de borde sencillas (simplemente apoyadas, o empotradas) en cada extremo de manera que se sepa el desplazamiento flexional en todo el sistema. Además el modelo de estudio es regido por la teoría de vigas de Bernoulli-Euler.

Es claro que un eje que porta masas adosadas también está rotando y este aspecto debe tenerse en cuenta para poder determinar con mayor detalle el patrón vibratorio el sistema


Cálculo simplificado: Ejemplo

Calcule la frecuencia natural del sistema del ejemplo de una masa, pero considerando ahora el efecto de la masa m del eje. Este problema se puede resolver teniendo presente que la deflexión a lo largo de la viga viene dada por:

Luego la energía cinética máxima de la masa del eje se tiene que integrar empleando:

Luego la máxima energía cinética total del sistema para el movimiento armónico viene dada por:

3

max

3x x Lx x 4 con x

L L 2

max

max

L / 2 2 2e 0

1 m 117T 2 x dl mx

2 L 2 35

2 2 2 2max n max n max

1 117T M x m x

2 2 35

2 2 2 2 2 2max n max n max n maxef

1 117 1T M x m x M x

2 2 35 2


Cálculo simplificado: Ejemplo

ef

17M M m

35

nn 3

ef

48EI1f

2 2 M L

Lo cual de acuerdo al ejemplo del eje con una masa:


Ejemplo simple: Método de Rayleigh

Determinar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado en figura

0 0

0 n 0 n n

2 2 2 2max max n max

y(t) y sen t y(t) y cos t

1 1 1T m y m y V k y

2 2 2

Según el método:

0 0

2 2 2n n

1 1 km y k y

2 2 m


Se desea construir un modelo de la viga simplemente apoyada de la figura : Una forma compatible de deformación es un semi-seno:

donde x es la posición medida desde un extremo y l es la distancia entre apoyos. Tal deformada se muestra en figura

Una forma alternativa es suponer una parábola:

Al suponer una forma de vibrar, la deformación del sistema puede ser expresada como el producto entre una función que depende de la posición (la forma de vibrar) y otra que depende del tiempo:

0

πxy(x) = y sen

l

0

x x - ly(x) = y

l l

y(x,t) = y(x) q(t)

Donde y(x) es asumida y q(t) es incógnita

40 k

A B

A B


Obtener ωn de la viga indicada, asumiendo una ecuación de deformación tipo semisenoidal

Tratándose de un sistema conservativo y 1 GDL para q(t) tendríamos:

0

πxy(x) = y sen

l

nq(t)= sen t

Por tanto:

cos0 n n n

xy(x,t)= y sen sen t y(x,t)= y(x) t

l

Para la E. Cinética:

M M2 2

max max

1 1 mT = y m = y (x) x

2 2 l


2

2

l2

max max

1 yV = EI y x

2 x

max maxT V

2M 2

22 4n nl 3 3 3

2

yEI x

x EI EI EI97,4 9,87

ml ml mlmy (x) x

l


Desequilibrio de par

Dos desequilibrios pueden tener el mismo valor, pero en su posición angular estar exactamente 180º desfasados el uno del otro.La distribución del desequilibrio no producirá ninguna oscilación pendular y se tiene equilibrio estático, ya que el rotor libre no tomará una posición determinada.

http://www.equilibrar.net/

El rotor girando tambalea alrededor de un perpendicular al eje de giro, los dos desequilibrios realizan un par, por lo tanto a este tipo de distribución se le denomina "desequilibrio de par".Para la corrección de este tipo de desequilibrio se requiere un par contrario, lo que implica dos correcciones de desequilibrio igual de grandes, correspondientes al desequilibrio inicial, en los que ambos niveles de compensación serán desplazados unos 180º.Este tipo de desequilibrio adquiere especial importancia en rotores alargados


Desequilibrio dinámico

En un eje con masas o en un rotor real no se presenta solamente un desequilibrio, sino teóricamente infinitos, distribuidos aleatoriamente a lo largo del eje de giro.

Estos se pueden representar por dos desequilibrios resultantes en dos planos cualesquiera, los que por general tienen valores y posiciones angulares distintas.

Debido a que esta condición de desequilibrio sólo puede ser verificada sólo bajo rotación, estamos en `presencia de un desequilibrio dinámico. Se divide en un desequilibrio estático y en uno de par, pudiendo predominar uno u otro.

Para la corrección completa del desequilibrio dinámico se requieren dos planos de compensación.El desequilibrio dinámico aparece prácticamente en todos los rotores o ejes con masas tipo volantes, hélices, etc.


Procedimiento para balanceo

• Cigüeñales, ejes con masas se balancean dinámicamente en dos planospara eliminar el bamboleo

• Las correcciones se aplican en los contrapesos de los extremos

Máquinas Balanceo Dinámico


Dimensiones requeridas:

• Radio desde el centro de los contrapesos• Distancia entre los contrapesos• Distancia entre los contrapesos y los descansos






• El equipo de balanceo ubica el punto de corrección• Peso es agregado en un lado o removido del otro• Distancia entre los contrapesos y los descansos• Tamaño del peso depende del radio

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