VIBRACIONES - Chimenoscientia.chimeno.net/VibracionesEstudianteAutonomo_ed2.pdfSorribes Palmer por...

VIBRACIONES

Problemas o Ejercicios

para el estudiante autonomo

Marcos Chimeno Manguan

VIBRACIONES: Problemas o Ejercicios para el estudiante autonomo2a edicion, septiembre 2018

Enlace a la ultima edicion:http://scientia.chimeno.net/mdocente.php

cbnd Marcos Chimeno ManguanDr. Ingeniero AeronauticoE.T.S.I. Aeronautica y del EspacioUniversidad Politecnica de Madrid

Este documento esta realizado bajo licencia Creative Com-mons “Reconocimiento-NoCommercial-SinObraDerivada4.0 Internacional” .

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Self-education is, I firmly believe, the only kind of education there is.Isaac Asimov

Indice general

1. Prologo 3

I Enunciados 5

2. Modelos de un grado de libertad 72.1. Una grua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Un pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Un cilindro rodante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Un soporte para maquina industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Una grua tras la suelta de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Una piscina de olas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Un piston con fallo de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8. Un sensor embarcado en un UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9. Una bascula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10. Una turbina de aire de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11. El modulo centrıfugo de la ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Modelos de varios grados de libertad 313.1. El arranque de un motor de helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Un apoyo con seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Un ensayo de choque por caıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Las actuaciones de la Discovery One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Un ensayo de fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6. Un avion contra-incendios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7. Un poste de camara de Street View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8. El despegue del Saturn V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9. El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 493.10. Una atraccion de feria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.11. Un instrumento de observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.12. Las protecciones de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.13. Las protecciones complejas de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . 57

II Resoluciones 59

No debieran ser los primeros capıtulos en ser leıdos...

4. Modelos de un grado de libertad 614.1. Una grua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Un pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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INDICE GENERAL

4.3. Un cilindro rodante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4. Un soporte para maquina industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5. Una grua tras la suelta de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6. Una piscina de olas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7. Un piston con fallo de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.8. Un sensor embarcado en un UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.9. Una bascula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.10. Una turbina de aire de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.11. El modulo centrıfugo de la ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5. Modelos de varios grados de libertad 935.1. El arranque de un motor de helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2. Un apoyo con seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3. Un ensayo de choque por caıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4. Las actuaciones de la Discovery One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5. Un ensayo de fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6. Un avion contra-incendios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.7. Un poste de camara de Street View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8. El despegue del Saturn V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.9. El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.10. Una atraccion de feria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.11. Un instrumento de observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.12. Las protecciones de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.13. Las protecciones complejas de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . 139

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1Prologo

Esta coleccion recoge una serie de tareas que estudian diferentes sistemas o estruc-turas desde el punto de vista del analisis dinamico o de vibraciones. Abarcan tanto laresolucion de modelos de un grado de libertad como de varios grados de libertad. Lamayor parte de ellos se plantearon inicialmente como ejercicios de examen del tıtulode Ingeniero Aeronautico o del Grado en Ingenierıa Aeroespacial de la UniversidadPolitecnica de Madrid.

El enfoque pedagogico de esta coleccion surge del curso Desarrollo del aprendizajeautonomo en el estudiante universitario organizado por el ICE de la UPM e impartidopor Jorge Hens al que agradezco el enfoque dinamico del mismo. Con este espıritu enmente, cada tarea propuesta en esta coleccion se propone al alumno como problema ocomo ejercicio para que el mismo elija el grado de control que quiere ejercer en cadacaso. Ası, cada tarea se propone inicialmente como un problema en el que se planteael sistema a estudiar y se indica que se quiere conocer o resolver del mismo. En el re-verso de cada uno de estos problemas se encuentra una lista de apartados a resolversecuencialmente que permite enfocarlos como si de ejercicios se tratasen. En el mismoenunciado se proporcionan algunos resultados particulares que permiten comprobarel acierto en la resolucion del sistema.

Centrando la coleccion en el aprendizaje autonomo no era coherente dejar fuera laresolucion completa de las tareas. Especialmente porque en ellas se describen los razo-namientos necesarios mas alla del resultado final, que tienen aun mas valor didacticoque la respuesta final. Esta claro que esta seccion en la que se explican con profundidadla resolucion de las tareas ejerce una cierta atraccion gravitatoria sobre el alumno.*

*Es ampliamente conocido el efecto de atraccion gravitatoria que ejerce el conocimiento. En ingles,como idioma mas directo, es facil ver que el conocimiento es poder (power), que la potencia (power) esenergıa, y por supuesto que esta es directamente proporcional a la masa. Ası que aunque la atracciongravitatoria producida por las soluciones de esta coleccion sea debil1, esta ahı.

1El caso mas notable de este efecto de distorsion del espacio se da en el Multiverso donde los Bibliote-carios son capaces de utilizarla para pasar de biblioteca en biblioteca, conectadas a traves del espacio-B.Una descripcion no exhaustiva del Multiverso y sus leyes fısicas puede disfrutarse en toda la obra deTerry Pratchett centrada en el Mundodisco.

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CAPITULO 1. PROLOGO

1. Aunque las resoluciones se han planteado como un discurso continuo, se han anadi-do indicadores en el margen (como el que acompana a este parrafo) por si el alumnodesea consultar alguno de los apartados de la resolucion para comprobar si ha plan-teado bien la misma hasta ese momento.

Sin embargo, el beneficio maximo de la coleccion solo se consigue si se afronta co-mo se debe afrontar el desempeno de la ingenierıa: enfrentandose uno mismo con losproblemas. Por esa misma razon debe intentar resistirse la atraccion hacia la resolucionhasta haber planteado y luchado con ellos uno mismo.

Esta segunda edicion incorpora algunos retoques esteticos; correccion de erratas —buena parte de ellas localizadas por los propios lectores a los que doy las gracias denuevo—; la reescritura de alguna que otra explicacion y algunos problemas mas tantode uno como de varios grados de libertad.

Para terminar, quiero agradecer a Pablo Garcıa-Fogeda Nunez —catedratico con elque comparto la docencia en las asignaturas de vibraciones— tanto sus comentarios alos enunciados originales de los problemas de examen ası como por su companerismoa lo largo de estos anos de colaboracion. Tambien a Joseba Garcıa Etxebarrıa y FelixSorribes Palmer por la ardua tarea de revisitar las vibraciones para encontrar fallos enlas resoluciones de esta coleccion. Y por ultimo a todos mis alumnos, razon ultima detoda esta labor, por aguantar enunciados de examen que intentan entretener a la vezque verificar conocimientos aprendidos.

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Parte I

Enunciados

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2Modelos de un grado de libertad

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2.1. UNA GRUA

2.1 Una grua

Se desea estudiar la respuesta de una grua ante un posible fallo del enganche de lacarga. En primera aproximacion el brazo de la grua se puede modelizar mediante unaviga infinitamente rıgida de longitud L y masa por unidad de longitud m que puedegirar libremente alrededor de uno de sus extremo que se considera fijo. Se puede asu-mir una masa puntual M en el otro extremo y que la rigidez aportada por la torre de lagrua se puede modelizar ası mismo como dos elementos elasticos ideales de rigidecesK1 y K2 a una distancia aL y bL respectivamente del extremo fijo del brazo.

Analizar la respuesta dinamica del sistema determinando su resonancia principaly la coordenada absoluta del extremo libre cuando se suelta la carga de modo repen-tino desde la posicion de equilibrio. Para ello, puede suponerse que se produce unavelocidad inicial del extremo de valor q0.

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CAPITULO 2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Apartados para afrontar la tarea como un ejercicio:

1. Determinar la posicion de equilibrio del sistema θeq.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

3. Determinar la frecuencia natural del sistema en funcion de a, b, L, K1, K2, m y M .

4. Determinar el movimiento absoluto del sistema para una velocidad inicial delextremo q0.

Algunos resultados:

La frecuencia natural es ω0 =√

KJ

=√[

K1 (aL)2 +K2 (bL)2] / (ML2 + 13mL3

).

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2.2. UN PENDULO

2.2 Un pendulo

El sistema de la figura representa un modelo simplificado de un nuevo sistemade sujeccion de turbinas de gas. El modelo se compone de una barra rıgida de ma-sa despreciable y longitud L articulada en uno de sus extremos. En el otro extremo seconsidera una masa puntual de valorm. Para representar el comportamiento de la arti-culacion se considera un muelle de torsion en la misma de rigidez k y un amortiguadorideal lineal situado a una distancia aL de la articulacion.

Estudiar el sistema determinando cual es su resonancia principal en terminos de lafrecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento adimensional. Determinar asımismo cual es la respuesta del sistema ante unas condiciones iniciales genericas en po-sicion y velocidad.

NOTA: Se recomienda expresar el desarrollo en terminos de la frecuencia natural

del pendulo simple Ω0 y de los parametros adimensionales α = kmgL

y η = a2 Fm

√Lg

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1. Determinar la energıa cinetica, la potencial y la de disipacion.

2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema alrededor de laposicion de equilibrio.

3. Determinar la frecuencia propia ω y el factor de amortiguamiento γ.

4. Determinar la respuesta del sistema para unas condiciones iniciales en posicion(θ0) y velocidad (θ0).

Algunos resultados:Frecuencia natural: ω0 = Ω0

√1 + α, coeficiente de amortiguamiento adimensional:

γ = ηΩ0

2ω0.

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2.3. UN CILINDRO RODANTE

2.3 Un cilindro rodante

Se desea analizar la respuesta de un cilindro oscilante de masa m y radio R como elmostrado en el esquema. El cilindro rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal.El cilindro esta unido a un soporte fijo mediante un conjunto de elementos elasticosy amortiguadores viscosos ideales de constantes K1 K2, F1 y F2 que estan unidos alcilindro en un punto del mismo que esta a una distancia a del centro.

Analizar la respuesta dinamica del sistema determinando su resonancia fundamen-tal y cual es el movimiento del cilindro y la fuerza que soporta el soporte fijo superiorcuando se aplica en el eje de giro un momento armonico de modulo M1 y frecuenciaΩ1.

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1. Determinar la ecuacion del sistema para pequenos desplazamientos alrededor dela posicion de equilibrio.

2. Determinar la frecuencia natural del sistema (ω0) y el coeficiente de amortigua-miento adimensional γ.

Para el momento exterior aplicado:

3. Determinar el giro del cilindro en funcion del tiempo y los parametros del siste-ma.

4. Determinar la fuerza que soporta la estructura superior debido a este movimien-to.

Algunos resultados:La frecuencia natural es ω0 =

√(R + a)2(K1 +K2)/(1, 5(mR2). La amplitud del mo-

vimiento es θa = M1/[(K1 +K2)(R + a)2].

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2.4. UN SOPORTE PARA MAQUINA INDUSTRIAL

2.4 Un soporte para maquina industrial

Para disminuir las cargas transmitidas por maquinas industriales rotatorias se haplanteado un nuevo diseno basado en colgarlas de una viga a la que se han anadidoamortiguamiento adicional. El sistema se puede modelizar como se indica en la figura:una viga biempotrada de longitud L, momento de inercia I y densidad por unidad delongitud ρ fabricada en un material de modulo elastico E. El nuevo sistema de amor-tiguamiento puede modelizarse mediante dos amortiguadores viscosos ideales: unoentre el punto medio de la viga y la pared y otro que sirve de union entre la viga y lamaquina.

La actuacion de la maquina en el extremos inferior del sistema se puede reducir aun desplazamiento armonico impuesto de frecuencia Ω de la forma d(t) = d0e

iΩt.

El objetivo del analisis es determinar la carga que soporta la pared del edificio al queesta unido el conjunto en el regimen de respuesta permanente del sistema, estudiandocomo influye en ella la relacion Ω/ω0. Se puede asumir que la masa de la viga soportese concentra en su punto medio.

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1. Determinar la rigidez equivalente (Ks) del sistema de un grado de libertad equi-valente asumiendo que la masa de la viga se puede asimilar a una masa puntualdel mismo valor en su punto medio.

2. Determinar la ecuacion que determina las pequenas oscilaciones del sistema al-rededor de la posicion de equilibrio obteniendo ası la rigidez (Js) y el coeficientede amortiguamiento (Fs) equivalentes del sistema.

3. Determinar la respuesta permanente del sistema determinando el modulo adi-mensional |q|/d0 en funcion del ratio entre la frecuencia del movimiento impues-to y la frecuencia natural del sistema Ω/ω0 y el coeficiente de amortiguamientoadimensional del sistema γ.

4. Determinar el modulo de la fuerza transmitida FTR(t) y estudiar la influencia deΩ/ω0 en el modulo adimensional |FTR/ (Ksd0) |.

Algunos resultados:La rigidez equivalente es Ks = 192EI/L3 y tanto la respuesta como la fuerza trans-

mitida maximas se producen alrededor de Ω/ω0 = 1 y su valor con la adimensionali-zacion indicada es cercana a 0,5.

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2.5. UNA GRUA TRAS LA SUELTA DE LA CARGA

2.5 Una grua tras la suelta de la carga

Se esta disenando un nuevo modelo de grua y se quiere analizar cual serıa la res-puesta de la misma si por causas imprevistas se suelta repentinamente la carga (porejemplo por rotura del cable desde el brazo de la grua a la carga).

En este primer calculo se considera suficiente utilizar un sistema de un grado delibertad para el extremo de la grua donde se ancla la carga. De este modo, se consideraque para este punto se conocen los valores equivalente de inercia J , de rigidez equiva-lente K y que esta caracterizada por un coeficiente de amortiguamiento viscoso F quese considera muy pequeno.

El caso de estudio es el mas crıtico en el que el anclaje de la carga se rompe cuandose estaba manejando la carga maxima M (que es una fraccion µ de la inercia de la gruaen si, J). Se desea conocer cual es la respuesta de la grua tras esta rotura. Para ello, seasume que la grua parte de la condicion de equilibrio cuando soportaba la carga M .Durante la respuesta libre de la grua tras la rotura del anclaje de la carga, aparece unacarga transmitida transitoria en la base de la grua que tambien se desea conocer, enparticular su desfase con el movimiento del extremo de la grua y su valor maximo.

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1. Determinar la ecuacion diferencial y condiciones iniciales que se correspondencon la situacion inicial tras la rotura del cable.

2. Determinar la respuesta del extremo de la grua en funcion de la frecuencia natu-ral, el coeficiente de amortiguamiento y µ.

3. Determinar la fuerza que aparece sobre la base de la grua, calculando tanto sumodulo como su desfase.

4. Determinar el valor maximo de esta fuerza.

Algunos resultados:

La respuesta del extremo de la grua es µgω2

0

√1 + γ2

1−γ2f(t). La fuerza maxima se pro-

duce en t = π+δπ

siendo δ la diferencia de desfases entre la respuesta y la fuerza queaparece sobre la torre.

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2.6. UNA PISCINA DE OLAS

2.6 Una piscina de olas

Se desea disenar una piscina de olas que se generan por el movimiento de dos palasen uno de los extremos de la piscina. La clave del diseno es conseguir que las dos palasse muevan en fase durante la fase estacionaria de funcionamiento. Para el modelo sepuede considerar que las palas son infinitamente rıgidas y que tienen longitudes dife-rentes L1 y L2 pero el mismo espesor t, ancho b y estan hechas del mismo material dedensidad ρ.

Los ejes de giro de las palas estan caracterizados por una constante de rigidez K yun amortiguamiento viscoso F del que se sabe que es menor que el crıtico. Las palasse instalan de modo que en la posicion vertical no aparecen cargas en el eje. Duran-te el funcionamiento las palas son movidas por motores que producen un momentoarmonico en el eje.

Considerando este modelo simple en el que no se tiene en cuenta la presencia delagua en la piscina, calcular las resonancias del sistema para determinar en que rangode frecuencias puede funcionar la piscina. Ası mismo, dado que entre encendidos pue-de atascarse alguna de las palas, calcular la respuesta si cuando se enciende la primerapala esta se encontrase en un angulo θ0. Por ultimo, tomando como referencia el instan-te en el que se pone en marcha la primera pala, determinar cuando hay que encenderel motor de la pala 2 para que las dos vayan en fase durante la parte estacionaria defuncionamiento.

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1. Determinar la ecuacion que determina las pequenas oscilaciones de la pala 1 delongitud L1 respecto a la posicion de equilibrio.

2. Definir en funcion de los parametros conocidos su frecuencia natural, su coefi-ciente de amortiguamiento y su frecuencia propia.

3. Determinar la respuesta completa de la pala si cuando se pone en marcha el mo-tor, que ejerce un momento de modulo M1 y frecuencia Ω, la pala esta en unaposicion θ0 sin velocidad.

4. Calcular en que instante, respecto al encendido del motor de la primera pala,debe ponerse en marcha el motor de la segunda pala para que el movimiento delas dos este en fase durante el funcionamiento del sistema.

Algunos resultados: La frecuencia natural es ω0 =

√K+

m1gL12

I0, el tiempo de arran-

que del segundo motor es t = (ϕ2 − ϕ1)/Ω.

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2.7. UN PISTON CON FALLO DE COMBUSTION

2.7 Un piston con fallo de combustion

En los motores de multiples cilindros es interesante conocer la respuesta de un ci-lindro en el que la combustion no se produce por algun fallo. En este escenario, elmovimiento del embolo se produce unicamente por el movimiento del ciguenal pro-ducido por el resto de cilindros.

El sistema por lo tanto se puede modelizar como un embolo de masa M que semueve en su cilindro. La presencia de aire en la camara del cilindro y el rozamientocon las paredes se pueden incluir en el modelo mediante una cierta rigidez K y amor-tiguamiento F1. La union del embolo al ciguenal, puede representarse por otro ladomediante un amortiguador viscoso de valor F2 que representa el rozamiento en la ca-beza y pie de la biela y una rigidez K2. Se propone incluir estos dos efectos como unmuelle y un amortiguador viscoso en serie.

Por ultimo, el movimiento del ciguenal debido al resto de cilindros del motor sepuede asumir armonico de amplitud d0 y frecuencia Ω, d(t) = d0 sin(Ωt).

Del sistema ası modelado se consideran de interes dos casos: a) Conocer las ecua-ciones del sistema que permitirıan determinar las oscilaciones del cilindro respecto ala posicion de equilibrio en un caso general como el definido, y b) Considerar que larigidez de la biela es infinita K2 ≈ ∞ y calcular que debe cumplires para que no hayadesfase entre el ciguenal y el embolo y cuanto vale en esta circunstancia el movimientodel embolo.

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2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema.

Suponiendo que la rigidez de la biela es infinita (K2 =∞):

3. Determinar la frecuencia de excitacion Ω que hace nulo el desfase entre el emboloy el ciguenal.

4. Determinar el modulo del desplazamiento del embolo para este caso.

Algunos resultados: La amplitud del embolo es q0 = F2Ωd0√(K1−Ω2M)2+[Ω(F1+F2)]2

, el des-

fase es nulo si Ω =√K1/M .

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2.8. UN SENSOR EMBARCADO EN UN UAV

2.8 Un sensor embarcado en un UAV

Se esta disenando el montaje de un sensor de observacion para ser embarcado enun UAV. El diseno preliminar de la estructura se basa en una viga flexible de seccioncircular de diametro d hecha de un material de modulo elastico E cuya masa puedeconsiderarse despreciable. La union de la viga al fuselaje se puede considerar equiva-lente a un empotramiento para este estudio. En el otro extremo se instala el sensor quese puede considerar puntual y de masa M . Para reducir las vibraciones del sistema secoloca un difusor viscoso en el extremo que presenta un coeficiente de amortiguamien-to F y actua en funcion de la velocidad vertical de ese punto.

Durante el vuelo, se desprenden torbellinos por la presencia de la viga lo que dalugar a una carga armonica en la direccion vertical que se puede considerar concen-trada en el propio sensor para este estudio. La frecuencia de la carga es la frecuenciadel desprendimiento de torbellinos que es funcion del numero de Strouhal St (que sepuede considerar constante), de la velocidad de vuelo y del diametro de la viga de laforma Ω = 2πU∞St/d.

Interesa conocer de este sistema las caractarısticas modales y como influyen en estaslos diferentes parametros del diseno y la respuesta si cuando empiezan a desprenderselos torbellinios, el sensor esta en equilibrio vertical.

Para estudiar la influencia del desprendimiento de torbellinos, se considera sufi-ciente tener en cuenta la respuesta permanente y un nivel de amortiguamiento bajo(γ = 0,05). Se ha determinado que la amplitud maxima admisible debido a estos tor-bellinos es 1,10 veces una deformacion estatica p0/K, lo que se corresponde con unavelocidad maxima de vuelo que interesa conocer para definir las actuaciones del UAV.Establecer a la vista de los resultados como se podrıa cambiar el diseno de la viga paraaumentar esta velocidad de vuelo lımite.

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1. Determinar la energıa cinetica, la energıa de disipacion y el trabajo de las fuerzasexternas.

2. Determinar la rigidez equivalente de la viga en el extremo y la energıa potencialcorrespondiente.

3. Determinar la ecuacion de pequenas oscilaciones del sensor respecto a la posicionde equilibrio.

4. Determinar la frecuencia natural ω0, el factor de amortiguamiento γ y la frecuen-cia propia ω

5. Determinar la respuesta del sistema si cuando empiezan a desprenderse torbelli-nos y empieza la carga el sistema esta en equilibrio vertical.

6. Considerando solo la respuesta permanente y γ = 0,05: Si la amplitud maximaadmisible es 1,10p0/K el valor maximo admisible de Ω/ω0 y la correspondientevelocidad de vuelo maxima.

7. Proponer un cambio de diseno de la viga que permita incrementar la velocidadde vuelo maxima obtenida en el apartado anterior.

Algunos resultados:

Frecuencia natural: ω0 =√

3π64

Ed4

ML3 . El valor de Ω/ω0 que proviene del lımite indica-do es 0,30.

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2.9. UNA BASCULA

2.9 Una bascula

El departamento comercial de RENFE quiere proponer la venta de productos a gra-nel a bordo del tren de la fresa y propone un nuevo diseno de bascula. Esta formadopor dos varillas infinitamente rıgidas de longitudes y masas L1, L2, m1 y m2 que estansoldadas entre sı y giran alrededor de un eje cuyo amortiguamiento puede aproximar-se por un coeficiente viscoso F (de modo que disipa energıa en funcion de la velocidadde giro de las varillas).

La varilla vertical esta unida a la pared del vagon por un muelle lineal de constanteK a una distancia d del eje de giro. La masa que se quiere medir se puede asumir pun-tual, de valor M y situada en el extremo de la varilla horizontal.

El principal problema reside en que la rugosidad de la vıa y el funcionamiento delos equipos en el vagon producen un desplazamiento vertical de la pared de valorz(t) = z0 sin(Ωt) afectando al eje de giro y a todo el muelle. Se ha estimado que estemovimiento es suficientemente pequeno como para poder considerar pequenos des-plazamientos en el estudio.

El objetivo del estudio es determinar la frecuencia propia del sistema para evaluarla importancia de la frecuencia del movimiento del suelo y determinar la respuestapermanente debida al suelo. Para finalizar, como decision de diseno, ¿como debe ele-girse d para que las oscilaciones de la bascula no cambien debido a cambios en Ω a lolargo del trayecto?

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1. Determinar las energıas cinetica y potencial y la funcion de disipacion.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio debido al movimiento del vagon.

3. Determinar la respuesta permanente del sistema.

4. Analizar la variacion en el modulo de la respuesta debido a cambios en Ω

Algunos resultados:La frecuencia natural es ω0 =

√Kd2+m2gL2/2

ML21+m1L2

1/3+m2L22/3

. Interesa que d sea lo menorposible.

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2.10. UNA TURBINA DE AIRE DE IMPACTO

2.10 Una turbina de aire de impacto

La figura muestra el montaje propuesto para una turbina de aire de impacto o RamAir Turbine (RAT). El modelo se compone de una viga infinitamente rıgida de longitudL y una densidad por unidad de longitud ρ kg/m que puede girar libremente alre-dedor de su extremo superior y un elemento elastico y un disipador viscoso situadosa distancias aL y bL del eje de giro respectivamente. La turbina en sı se incluye en elmodelo como una masa puntual de valor M en el extremo libre. Se puede asumir quela posicion de equilibrio estable se corresponde con la representada en la figura.

El objetivo del estudio es determinar las actuaciones del montaje, en particular co-mo varıa la frecuencia natural en funcion de la masa de la turbina M y cual es la res-puesta del sistema si debido a un descentramiento de la turbina aparece una fuerzaarmonica que actue siempre en la direccion horizontal. Esta carga puede aparecer encualquier momento por lo que deben considerarse las condiciones iniciales mas ge-nerales posibles. Para evaluar el diseno elegido, estudiar como afecta a la respuesta adicha carga (amplitud y desfase) la variacion de a en funcion de la frecuencia de lacarga.

cbnd M. Chimeno 27



1. Determinar la energıa cinetica, la potencial y la de disipacion y el trabajo de lasfuerzas externas.


3. Determinar la frecuencia natural ω0, el factor de amortiguamiento γ y la frecuen-cia propia ω.

4. Estudiar como varıa la frecuencia natural si aumenta la masa de la turbina.

5. Determinar la respuesta total a la carga p(t) = p0 sin(Ωt) para unas condicionesiniciales generales de desplazamiento y velocidad θ0 y θ0.

6. Considerando la parte permanence de la respuesta anterior, estudiar como afec-ta un incremento de a representando como cambian las curvas de amplitud ydesfase.

Algunos resultados:La inercia del sistema es Js = 1

3ρL3 + ML2. La rigidez del sistema es a2L2K +

MgL + ρgL2/2. Al aumentar la masa, la frecuencia natural disminuye. Al aumentar a,la frecuencia de resonancia en amplitud aumenta pero la amplitud del sistema en estadisminuye.

28 cbnd M. Chimeno

2.11. EL MODULO CENTRIFUGO DE LA ISS

2.11 El modulo centrıfugo de la ISS

Se esta estudiando un nuevo modulo para la ISS: un modulo centrıfugo para con-seguir un entorno de gravedad simulada como el mostrado en la figura. El escenarioque se quiere estudiar es el impacto lateral de un meteorito en dicho modulo que pro-duzca danos estructurales suficientes como para perder la simetrıa del modulo con laconsiguiente aparicion de cargas armonicas.

Para ello se propone un modelo de un grado de libertad en el que se asume que:lo que queda del modulo tras la colision puede aproximarse por un elemento puntualde inercia J en el centro del anillo; que el modulo de union con el resto de la estacionpuede modelarse mediante una viga empotrada-libre de longitud L y modulo de rigi-dez EI con masa despreciable y que el amortiguamiento del modulo de union puedeaproximarse por un amortiguamiento estructuralH que se asume muy pequeno frentea la rigidez (H K).

Las consecuencias de la colision pueden simularse por una velocidad inicial q0 yuna fuerza p(t) = p0 cos(Ωt). El principal interes es determinar la respuesta del sistemadesde el instante de la colision y en el regimen permanente la fuerza transmitida alresto de la estacion.

NASA, Mark L Holderman

cbnd M. Chimeno 29



1. Determinar la rigidez equivalente del modulo de union.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

3. Determinar la respuesta total del sistema despues del impacto.

4. Determinar la fuerza transmitida al resto de la estacion debida a la respuestapermanente.

Algunos resultados:La rigidez equivalente es K = 3EI/L3.

30 cbnd M. Chimeno

3Modelos de varios grados de libertad

cbnd M. Chimeno 31

3.1. EL ARRANQUE DE UN MOTOR DE HELICE

3.1 El arranque de un motor de helice

Durante el desarrollo de una nueva helice para el Havilland DH.82 Tiger Moth sedesea estudiar el comportamiento del motor cuando se arranca manualmente y lasconsecuencias que puede tener que los primeros prototipos de la nueva helice en desa-rrollo no tengan su centro de masas alineado con el motor.

Para ello se propone el estudio de un modelo simple de dos grados de libertad sinamortiguamiento que representa el movimiento de la helice (q1) y la seccion externadel eje propulsor (q2). El objetivo es determinar la respuesta del sistema desde el ins-tante inicial en el que se inicia el movimiento del motor, suponiendo que se alcanzala velocidad de giro nominal instantaneamente. Debido a la asimetrıa de la helice y altiron necesario para el arranque, se asume sobre el extremo (q1) una velocidad de valorv0 y una carga armonica de modulo P0 y frecuencia Ω.

A la vista de los resultados determinar como puede modificarse el diseno del ejepara disminuir la influencia del arranque manual que induce la condicion inicial develocidad y ası mismo, indicar el valor de la intensidad de la carga P0 para una helicecompuesta de dos palas ambas con masa m/2, una de ellas de longitud L y la otra delongitud un 10 % menor que esta.

Charles William Jefferys (1918)

cbnd M. Chimeno 33

CAPITULO 3. MODELOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD


1. Obtener las ecuaciones para las pequenas oscilaciones alrededor de la posicionde equilibrio.

2. Calcular las frecuencias naturales y los modos propios.

3. Calcular la respuesta a la condicion inicial y la carga externa resolviendo el pro-blema en el espacio modal.

4. Estudiar la respuesta y como cambiar el diseno del eje para disminuir la influen-cia de la condicion inicial.

5. Calcular el valor de la intensidad de la carga P0 para una helice compuesta dedos palas ambas con masa m/2, una de ellas de longitud L y la otra de longitudun 10 % menor que esta.

Algunos resultados:

Frecuencias naturales: ω01 =√

16Km

, ω02 =√

Km

. Modos propios: ψ1 = 3/2, 1T ,

ψ2 = −1, 1T . La carga de la helice descrita es: P0 = mΩ2d.

34 cbnd M. Chimeno

3.2. UN APOYO CON SECCION VARIABLE

3.2 Un apoyo con seccion variable

Se esta estudiando como anclar una maquina herramienta en una fabrica. Para ellose han propuesto dos disenos diferentes para el anclaje de la maquina al suelo. Aunqueel equipo de analisis estatico ha dado el visto bueno a ambos disenos desde el puntode vista de vista de los esfuerzos maximos admisibles, existe preocupacion por comode diferente puede ser el comportamiento dinamico entre un apoyo y otro.

El primero de los apoyos consiste en una viga que trabaja a traccion compresion delongitud 2L y un area A0 uniforme construida de un material con modulo elastico E ydensidad ρ kg/m3 como se ve a la izquierda.

El segundo diseno que tiene como objetivo disminuir la cantidad de material em-pleado se basa en una propuesta area variable a lo largo del apoyo. Teniendo la mismalongitud y construido con el mismo material, el apoyo tiene un area constanteA0 desdeel suelo hasta la mitad del mismo y de la mitad al extremo superior una ley de areasde la forma A(x) = A0L/x en un eje x con origen en el suelo.

Para analizar ambos disenos a este nivel de desarrollo se considera suficiente uti-lizar un modelo de dos grados del libertad, uno asociado al extremo superior y otroasociado al punto medio del apoyo. La inercia del apoyo se considera concentradaequitativamente entre estos dos puntos.

El objetivo es estudiar el comportamiento del apoyo para diferentes valores de fre-cuencia de funcionamiento de la maquina herramienta, es decir de una posible fuerzaarmonica aplicada en el extremo superior, y decidir si desde este punto de vista existenproblemas por utilizar un apoyo u otro.

cbnd M. Chimeno 35



1. Determinar las matrices de inercia de los dos apoyos.

2. Determinar las matrices de rigidez de ambos apoyos.

3. Definir las ecuaciones que determinan las oscilaciones alrededor de la posicionde equilibrio para ambos apoyos.

4. Determinar la respuesta permanente de ambos apoyos si la carga en el extremolibre es de la forma p(t) = p0 sin(Ωt).

5. Representar la amplitud de las dos coordenadas para ambos apoyos en funcionde Ω/

√E/ρL2

6. Comentar las diferencias entre ambos apoyos y discutir cual es la mejor eleccion.

Algunos resultados:

Algunos terminos de la matriz de rigidez del apoyo con seccion constante son[K]c11 = 2EA0/L, [K]c12 = −EA0/L y algunos de los terminos de la matriz de rigidezdel apoyo con seccion variable son [K]v11 = 5EA0/3L, [K]v22 = 2EA0/3L. Frecuen-

cias naturales para el apoyo con seccion constante ω01c= 0,618

√km

, ω02c= 1,618

√km

.

Frecuencias naturales del apoyo con seccion variable ω01v= 0,627

√km

, ω02v= 1,537

√km

36 cbnd M. Chimeno

3.3. UN ENSAYO DE CHOQUE POR CAIDA

3.3 Un ensayo de choque por caıda

Uno de los metodos para analizar la respuesta de estructuras a cargas de choque,especialmente en estructuras pequenas, es realizar ensayos de choque por caıda. En es-tos, se deja caer la estructura desde una determinada altura h (que determina la energıaen el choque) sobre una superficie que se considera infinitamente rıgida. Se proponeanalizar la respuesta de una caja electronica de un satelite durante este ensayo.

Para ello, se puede considerar que la caja electronica se comporta como una vigaen traccion compresion con un area A, modulo de elasticidad E y densidad ρ equiva-lentes y constantes en toda su longitud 2L. Para obtener resultados conservativos, sedesprecia el amortiguamiento en el analisis.

A partir de las ecuaciones del sistema en la fase de caıda libre, determinar la res-puesta antes del choque y la aceleracion maxima del punto medio de la caja despuesdel choque. Para analizar el choque, considerese que el extremo inferior de la caja seune solidamente al suelo inmovil.

cbnd M. Chimeno 37



1. Determinar la matriz de rigidez del sistema debida a la deformacion elastica delsistema.

2. Determinar la energıa cinetica, la potencial y el trabajo de las fuerzas externas.

3. Determinar el valor del impulso producido por el choque.

4. Formular las ecuaciones y condiciones iniciales del sistema en tiempos posterio-res al choque.

5. Calcular la expresion de la aceleracion del punto medio de la seccion.

Algunos resultados (considerando un modelo de 3 grados de libertad para el siste-ma libre):

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica: k12 =

−EAL

, k22 = 2EAL

.

Las frecuencias propias del sistema despues del choque son ω01 =√

2−√

22

Km

, ω02 =√2−√

22

Km

.

38 cbnd M. Chimeno

3.4. LAS ACTUACIONES DE LA DISCOVERY ONE

3.4 Las actuaciones de la Discovery One

Se desean estudiar dos actuaciones del sistema de propulsion de la Discovery One.Para ello se propone usar un modelo unidimensional longitudinal de masas concen-tradas. Los elementos de interes son la planta propulsora (de masa 10m), el centro decomunicaciones (masa m) y el modulo habitable (masa 5m).

Para modelar la estructura que une estos tres puntos de interes se propone un mo-delo de masa despreciable y rigidez distribuida. De este modo, la seccion entre la plan-ta propulsora y el centro de comunicaciones se puede asimilar a una viga de moduloaxial constante 2EA y masa despreciable, y la seccion entre el centro de comunicacionesy el modulo habitable como una viga de modulo constante EA y masa despreciable.Cada seccion se considera de longitud L.

La primera actuacion que se desea estudiar es como afectarıa una posible fluctua-cion en el empuje a la estabilidad del centro de comunicaciones. Para ello, considereseque la fluctuacion en el empuje es equivalente a una carga armonica de modulo T yfrecuencia Ω. El ordenador de a bordo puede controlar el apuntamiento hacia la Tierrasiempre que el movimiento del centro de comunicaciones debido a esta perturbacionsea menor a un 2 % de una cierta desviacion estatica T/(EA/L). ¿Cual es la frecuenciaΩmin de la fluctuacion para poder seguir comunicandose con la Tierra durante las ma-niobras orbitales?

La segunda actuacion que se desea estudiar es referida a la seguridad de los tri-pulantes de la Discovery One. El sistema de propulsion esta disenado para realizar pe-quenos ajustes de orbita mediante pequenos impulsos instantaneos. Este efecto puedemodelarse como un cambio instantaneo de la velocidad de la planta propulsora ∆V .Cuando este incremento repentino alcanza el modulo habitable puede poner en peli-gro a la tripulacion no hibernada por lo que hay dos cabinas de amortiguamiento enel modulo habitable. Es necesario implementar en el sistema operativo de la nave laexpresion de la velocidad del modulo habitable ante esta velocidad inicial en la plantapropulsora, para que ası el ordenador de a bordo pueda avisar a la tripulacion a tiempode ocupar las cabinas de amortiguamiento.

cbnd M. Chimeno 39



1. Determinar las matrices de inercia y de rigidez del sistema, esta ultima medianteel metodo de desplazamientos.

2. Determinar las frecuencias y modos propios (sin normalizar) del sistema.

3. Obtener la matriz de rigidez dinamica [D] ([D(iΩ)] q(t) = p(t)) que determi-na la respuesta permanente del sistema y obtener el movimiento del centro decomunicaciones debido a la fluctuacion en el empuje.

4. Determinar la condicion que debe cumplir la frecuencia de las oscilaciones delempuje para mantener el apuntamiento.

5. Calcular la expresion de la velocidad del modulo habitable ante la velocidad ini-cial ∆V .

Algunos resultados :

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica: K12 = −2EAL

,K22 = 3EA

L.

Las frecuencias naturales de los modos flexibles del sistema son ω02 =√

15EALm

, ω03 =√165EALm

.

40 cbnd M. Chimeno

3.5. UN ENSAYO DE FATIGA

3.5 Un ensayo de fatiga

Como fase previa de un ensayo de fatiga del ala de un avion, se desea analizar larespuesta dinamica del sistema ante la carga externa aplicada durante el ensayo. Paraanalizar el comportamiento se propone un modelo simple de dos grados de libertadcomo el representado en el esquema: la seccion con la planta propulsora se modelizamediante un elemento de inercia 6m y la seccion extrema del ala por un elemento tam-bien puntual de inercia m. La rigidez equivalente entre la seccion del encastre que sesupone rıgida y el motor es 10k mientras que la rigidez equivalente entre la seccion delmotor y la punta de ala es k.

El ensayo de fatiga se realiza aplicando una carga sinusoidal en el extremo del alamediante un actuador hidraulico unido rıgidamente al ala. Durante el ensayo se regis-tra la fuerza ejercida por el actuador, los esfuerzos en la estructura y mediante capta-dores de desplazamientos el movimiento del motor y de la punta de ala.

El primer objetivo es determinar cual es la respuesta del ala al iniciar el ensayo des-de el reposo si el actuador aplica una carga de la forma p(t) = p0 sin(Ωt).

En segundo lugar, para estimar cual puede ser la respuesta en caso de fallo, intere-sa conocer la respuesta del ala si el actuador hidraulico falla en el instante de mayordesplazamiento de la punta del ala, de la cual se conoce la posicion de cada seccion,siendo la de la punta de ala once veces la de la seccion propulsora

cbnd M. Chimeno 41



1. Obtener las ecuaciones para las pequenas oscilaciones alrededor de la posicionde equilibrio.

2. Calcular las frecuencias naturales y los modos propios.

3. Calcular la respuesta total para la carga aplicada por el actuador partiendo decondiciones iniciales nulas.

4. Calcular la respuesta libre del sistema para una condicion inicial en desplaza-miento q2 = q0 y q1 = 11q0 y velocidad nula.

Algunos resultados:

Frecuencias propias: ω01 =√

56km

, ω02 =√

2 km

. Modos propios: ψ1 = 6, 1T , ψ2 =

1,−1T

42 cbnd M. Chimeno

3.6. UN AVION CONTRA-INCENDIOS

3.6 Un avion contra-incendios

Se desea realizar un estudio de viabilidad de un nuevo avion contra-incendios. Unode los escenarios a evaluar es la influencia de la suelta rapida de la carga de agua sobreel incendio. Para evaluar la respuesta del avion ante esta situacion se desea realizar unmodelo discreto como el mostrado en la figura (vista frontal).

El modelo del avion es de tres masas para tener en cuenta la masa del fuselaje (2m)y la de cada semi-ala con su motor (m). La carga de agua a liberar se modeliza en pri-mera aproximacion como una masa compacta de valor m0 unida a la parte inferior delfuselaje. La rigidez de la estructura se modeliza mediante una viga de longitud L ymodulo de rigidez a flexion EI constante cuyos giros no estan restringidos ni en losextremos ni en el fuselaje. Para obtener resultados conservadores en la respuesta delsistema no se considera amortiguamiento y respecto a la suelta de la carga de aguase considera que esta es expulsada a una velocidad V0 frente a la suelta por gravedadhabitual.

Determinar las aceleraciones que sufren los pilotos del avion tras liberar la carga.

cbnd M. Chimeno 43



1. Determinar el numero de grados de libertad y definir las coordenadas generali-zadas.

2. Determinar la energıa cinetica y la energıa potencial.

3. Determinar las ecuaciones, incluyendo las fuerzas aplicadas, y las condicionesiniciales.

4. Calcular la respuesta modal.

5. Finalmente, calcular la aceleracion del fuselaje tras liberar la carga.

Algunos resultados:

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica:K12 = −24EIL3 ,

K13 = 12EIL3 .

Frecuencia natural del modo flexible: ω03 =√

48EImL3 .

44 cbnd M. Chimeno

3.7. UN POSTE DE CAMARA DE STREET VIEW

3.7 Un poste de camara de Street View

Google esta analizando varios disenos para las estructuras donde se montan lasdiversas camaras de sus coches Street View con una nueva disposicion de las camarasen vertical. Para un diseno preliminar se asume que se puede despreciar el amorti-guamiento del sistema y que las camaras se pueden representar por masas puntualescolocadas una encima de la otra mientras que la rigidez de la estructura se puede asi-milar por dos elementos elasticos ideales: uno de ellos entre ambas camaras y otroentre la camara inferior y el techo del coche.

El objetivo del estudio es conocer como responden las camaras a las posibles vibra-ciones del techo del coche. En el diseno inicial, mostrado en la figura a la izquierda,solo se monta la estructura basica de soporte de las camaras y se quiere caracterizar apartir de sus caracterısticas modales.

A la vista de sistemas similares y conociendo los problemas que pueden plantear,se propone un diseno final (mostrado a la derecha) en el que se anade una cierta masaa la camara superior con un anclaje elastico. Para este diseno se desea conocer cuales el movimiento de las camaras si el techo se mueve armonicamente de la formaz(t) = z0 sin(Ωt) y cual debe ser la masa anadida Ma para un determinado par Ω yKa conocidas para que la distancia relativa entre ambas camaras sea constante.

Diseno inicial Diseno final

cbnd M. Chimeno 45



1. Determinar las ecuaciones de pequenas oscilaciones alrededor de la posicion deequilibrio para el diseno inicial.

2. Determinar las frecuencias naturales y modos propios de este diseno.

3. Determinar las ecuaciones de pequenas oscilaciones alrededor de la posicion deequilibrio para el diseno final.

4. Determinar la respuesta permanente de las camaras debida al movimiento deltecho.

5. Determinar el valor de Ma para unas Ω y Ka que hace que la amplitud del movi-miento de ambas camaras sea la misma.

Algunos resultados:

Frecuencias naturales del diseno inicial: ω01 =√

23Km

, ω02 =√

3Km

. El valor de Ma esKaM/ (Ω2M −Ka).

46 cbnd M. Chimeno

3.8. EL DESPEGUE DEL SATURN V

3.8 El despegue del Saturn V

La combustion de los motores cohete de un vehıculo lanzador proporcionan un em-puje variable que puede condicionar la respuesta del sistema en determinadas circuns-tancias. Una de las posibilidades de diseno de dichos motores es la de proporcionar unempuje constante aunque debido a caracterısticas de fabricacion el empuje resulantepuede caracterizarse como una cierta componente principal constante y una perturba-cion alrededor de esta. Este estudio pretende analizar cual es la consecuencia de quedicha perturbacion sea armonica y por lo tanto el empuje se pueda expresar de la for-ma p(t) = p0 + εp0 sin(Ωt).

Para estudiar la respuesta de la estructura del lanzador durante el funcionamientode la primera etapa se propone un modelo simple de dos grados de libertad como elmostrado en la figura. El modelo se compone de dos masas puntuales de valor 3M

para representar la primera etapa donde se supone aplicado el empuje y otra de valorM que representa las etapas superiores del vehıculo lanzador.

Usando este modelo se desea conocer la respuesta del sistema y como asciende elvehıculo lanzador desde la plataforma de lanzamiento para el empuje compuesto dela componente principal y la perturbacion armonica y para el caso ideal en el que laperturbacion armonica no exista.

NASA, Kelvin Case

NOTA: Para este estudio se asume que la masa del lanzador permanece constante.

cbnd M. Chimeno 47



1. Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema.

2. Detarminar las caracterısticas modales del sistema: frecuencias y modos propiosnormalizados.

3. Determinar la posicion absoluta del sistema en el espacio modal debido al empujeindicado si el vehıculo lanzador parte de condiciones iniciales nulas.

4. Determinar la posicion del vehıculo en el espacio fısico para el caso de empujeconstante (ε = 0) y comentar el significado fısico de sus terminos.

Algunos resultados:

Frecuencias naturales: ω01 = 0, ω01 =√

43KM

. Modos propio flexible: ψ2 = 1,−3T .

Para el caso de empuje constante las coordenadas modales son η1 = p0−4Mg4M

t2

2y

η2 = p0

12Mω202

1−

[cos(ω2t) + γ2√

1−γ22

sin(ω2t)

]e−γ2ω02 t

48 cbnd M. Chimeno

3.9. EL ATERRIZAJE DE LA ETAPA PRINCIPAL DEL FALCON 9

3.9 El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9

Se desea analizar el aterrizaje del cohete Falcon 9 de Space X en la plataforma flotan-te ASDS (Autonomous Spaceport Drone Ship). Para ello se propone un modelo simplepara estudiar la respuesta una vez producido el contacto con la plataforma y asumien-do esta inmovil

El modelo, mostrado en la figura, esta compuesto de dos masas puntuales (de valor2m y 5m), dos elementos elasticos con rigideces 3K y 5K y dos amortiguadores visco-sos de coeficientes 3F y 5F .

Con este modelo se desea conocer el movimiento de la etapa si tras el contacto con laplataforma el extremo superior tiene una velocidad V0. Tambien es necesario conocerel comportamiento de la etapa si una vez completamente detenida en la plataformaesta (la plataforma) se mueve de la forma z(t) = z0 sin(Ωt) debido al oleaje.

Space X

NOTA: Suponer que la diferencia entre la posicion inicial de contacto y la posicionde equilibrio del sistema es despreciable.

cbnd M. Chimeno 49





3. Calcular las frecuencias naturales y las frecuencias propias del sistema ası comolos modos propios asociados.

4. Calcular la respuesta transitoria del sistema para la condicion inicial de posicionnula y velocidad V0 del extremo superior.

5. Calcular la respuesta permanente para un movimiento de la plataforma de laforma z(t) = z0 sin(Ωt).

Algunos resultados:


35Km

, ω02 =√

52Km

. Modos propios: ψ1 = 3/5, 1T , ψ2 =

−2/3, 1T

50 cbnd M. Chimeno

3.10. UNA ATRACCION DE FERIA

3.10 Una atraccion de feria

Se desea analizar el movimiento de la torre de una atraccion de feria debido a la ro-tacion de la misma. El principal interes reside en determinar el movimiento de la parteinferior de la torre para determinar si el nivel de vibraciones de la cabina de controles aceptable. En un estudio preliminar, se puede plantear un modelo en el que la torrese idealiza mediante dos masas, de valor 6m la mas cercana al suelo y de valor 3/4m

la masa del extremo superior. La rigidez y el amortiguamiento se pueden modelizarmediante elementos elasticos ideales y amortiguadores viscosos de coeficiente 4K y4F para la seccion inferior y K y F para la seccion superior. Se ha determinado expe-rimentalmente que se cumple la relacion K = 50F . La barcaza que gira a velocidadangular constante Ω gira alrededor de un eje sin rozamiento en la seccion superior conun brazo L como se muestra en el esquema. La masa de este elemento incluidos lospasajeros es 1/4m.

En primer lugar, debido a la carga armonica que aparece, es de interes conocer lasfrecuencias propias del sistema ası como los modos propios de vibracion asociados aestas. En segundo lugar, considerando el funcionamiento permanente de la atraccion,determinar la amplitud del movimiento de la seccion inferior y determinar si existeuna velocidad de giro de la atraccion para que la cabina de control situada aquı novibre.

cbnd M. Chimeno 51




2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema.

3. Calcular las frecuencias naturales y las frecuencias propias del sistema ası comolos modos propios asociados.

4. Calcular la amplitud de la seccion inferior para el funcionamiento permanentedel sistema y si es posible seleccionar una velocidad de giro de la barcaza paraque la cabina de control no se mueva.

Algunos resultados:


12Km

, ω02 =√

43Km


ψ2 = −1/3, 1T

52 cbnd M. Chimeno

3.11. UN INSTRUMENTO DE OBSERVACION

3.11 Un instrumento de observacion

El esquema de la figura representa un modelo simple de un instrumento de obser-vacion celeste sobre una plataforma amortiguada. El instrumento se puede asimilara una masa puntual de valor m cuyo anclaje a la plataforma puede simularse me-diante un elemento elastico lineal de constante K y un amortiguador viscoso de valorF = 0,1K. El comportamiento de la plataforma decide incluirse en este modelo me-diante un solo grado de libertad en la direccion vertical con inercia 6m con dos apoyoselasticos de constante 2K cada uno y dos apoyos amortiguadores de constante 2F .

El principal criterio de diseno del sistema es la estabilidad ante perturbaciones ex-ternas en dos escenarios: Un primer escenario en el que interesa conocer la respuestadel sistema ante una perturbacion en el instrumento que se puede simplificar comouna velocidad instantanea V0. Un segundo escenario en el que dos perturbaciones dela misma frecuencia Ω actuan sobre el instrumento y la plataforma con distinto moduloy no en fase. En este segundo caso se busca si es posible que la respuesta del sistematenga la forma del segundo modo propio para alguna combinacion de cargas externas.

cbnd M. Chimeno 53



1. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

2. Determinar las frecuencias propias y los modos propios del sistema.

3. Calcular la respuesta del sistema para una condicion inicial de velocidad en elinstrumento V0.

4. Calcular la respuesta permanente del sistema ante dos cargas armonicas de fre-cuencia Ω y no en fase. Determinar que caracterısticas tienen que tener las cargasexternas para que la respuesta sea proporcional al segundo modo propio.

Algunos resultados:


12Km

, ω02 =√

43Km


ψ2 = −1/3, 1T

54 cbnd M. Chimeno

3.12. LAS PROTECCIONES DE UN CIRCUITO DE F1

3.12 Las protecciones de un circuito de F1

Se desean disenar las protecciones de un nuevo circuito de Formula 1. Para unanalisis preliminar se propone el modelo simple mostrado en la figura.

Este incluye por un lado el vehıculo, modelizado mediante dos masas rıgidas M1 yM2 y la rigidez y amortiguamiento mediante dos elementos ideales de valor K1 y F1.Se ha asumido que el amortiguamiento puede aproximarse por un amortiguamientoviscoso y que el valor de este es muy pequeno.

Las protecciones se incluyen en este modelo de un modo conservativo desprecian-do su masa y teniendo en cuenta solo su rigidez (K2) y su amortiguamiento (F2).

El choque del vehıculo con las protecciones se puede simular asumiendo que lasdos masas que representan el vehıculo tienen una velocidad V0 en el momento del im-pacto.

La configuracion actual del diseno es M1 = 3/2M2, F1 = 2F2, K1 = 2K2.

El objetivo del analisis es utilizar este modelo para determinar de modo cualitati-vo, asumiendo teorıas lineales, la velocidad del habıtaculo (incluido en la masa M1)durante la deceleracion.

cbnd M. Chimeno 55



Determinar la energıa cinetica, potencial y de disipacion.

Determinar las ecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

Determinar las frecuencias naturales y propias del sistema ası como los modospropios.

Calcular la velocidad del habitaculo (q1) durante la respuesta libre para la condi-cion inicial de velocidad V0 en ambas masas.

Algunos resultados:Para la configuracion indicada las frecuencias naturales son ω01 =

√13K2

M2, ω01 =

√4K2

M2.

Modos propios: ψ1 = 4, 3T , ψ2 = 1,−2T

56 cbnd M. Chimeno

3.13. LAS PROTECCIONES COMPLEJAS DE UN CIRCUITO DE F1

3.13 Las protecciones complejas de un circuito de F1

Se desean disenar las protecciones de un nuevo circuito de Formula 1. Para unanalisis preliminar se propone el modelo simple mostrado en la figura.

Este incluye por un lado el vehıculo, modelizado mediante dos grados de libertadq1 y q2 donde el primero representa el habitaculo del vehıculo y el segundo la posicionfrontal del coche tras el choque. La masa del vehıculo y el piloto se distribuye en lamasa M1 y parte de la M2 que tambien incluye la masa de las protecciones. La rigidezy el amortiguamiento del coche se tiene en cuenta mediante dos elementos ideales devalor K1 y F1. La rigidez y la disipacion de energıa debido a la proteccion se incluyemediante un elemento elastico ideal de constante K2 y un amortiguador viscoso devalor F2. Para el amortiguamiento del vehıculo tambien se puede asumir amortigua-miento viscoso.

El choque del vehıculo con las protecciones se puede simular asumiendo que lasdos masas que representan el vehıculo tienen una velocidad V0 en el momento del im-pacto.

El diseno actual se corresponde con M1 = M2 = 560 Kg, F1 = 10000 Kg·s, F2 = 7F1,K1 = 10 GN/m, K2 = 5 GN/m.

El objetivo del analisis es utilizar este modelo para determinar de modo cualitati-vo, asumiendo teorıas lineales, la velocidad del habıtaculo (incluido en la masa M1)durante la deceleracion.

cbnd M. Chimeno 57



1. Determinar la energıa cinetica, potencial y de disipacion.

2. Determinar las ecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

3. Determinar las frecuencias naturales y propias del sistema ası como los modospropios.

4. Calcular la velocidad del habitaculo (q1) durante la respuesta libre para la condi-cion inicial de velocidad V0 en ambas masas.

Algunos resultados:Para la configuracion indicada las frecuencias naturales son ω01 = 1978, 64 rad/s,,ω02 = 6381, 59 rad/s. Modos propios: ψ1,2 = 1, 7, 8081× 10−1 ∓ 4, 8711× 10−3iT ,ψ2,3 = 1,−1,2805∓ 2,5771× 10−2iT

58 cbnd M. Chimeno

Parte II

Resoluciones

A pesar de la explicable atraccionde esta parte, se recomienda su

consulta solo cuando las tareas ya sehan afrontado por uno mismo.

cbnd M. Chimeno 59

4Modelos de un grado de libertad

cbnd M. Chimeno 61

4.1. UNA GRUA

4.1 Una grua

El primer paso para analizar el sistema es elegir una coordenada que determine laposicion del sistema. En este caso, pueden considerarse por ejemplo la posicion verti-cal del extremo, q(t), o el angulo girado por el brazo de la grua, θ(t). La primera facilitala expresion de la condicion inicial mientras que la segunda permite expresar de modomuy sencillo la respuesta de los elementos elasticos, por lo que se elige esta ultima,θ(t) como la coordenada generalizada del sistema. Como se indica en la Introduccion,esta coleccion se centra en el estudio de problemas de vibraciones lineales por lo que seasume en todo el desarrollo que las oscilaciones son pequenas y por lo tanto las ecua-ciones pueden linealizarse y la coordenada vertical del extremo se puede aproximarcomo q(t) = L sin(θ(t)) ' Lθ(t).

1.Las ecuaciones del sistema pueden determinarse en coordenadas absolutas o to-mando como referencia la posicion de equilibrio y determinando las oscilaciones delsistema alrededor de esta. Esta segunda estrategia conduce a una ecuacion diferencialmas sencilla, por lo que se elige esta estrategia. En cualquier caso, como se pide la res-puesta del sistema en coordenadas absolutas, debe calcularse la posicion de equilibrioθeq para sumarla a las oscilaciones.

La posicion de equilibrio de este sistema puede determinarse estableciendo el equi-librio de momentos alrededor del eje de giro del brazo. Suponiendo que se cumpleθeq 1 entonces el momento en el eje de giro sera:

MgL+ (mL) g

(L

2

)− (K1aLθeq) aL− (K2bLθeq) bL = 0 (4.1)

Por lo que la posicion de equilibrio sera

θeq =Mgl +mgL

2

2

K1 (aL)2 +K2 (bL)2 (4.2)

que deberıa cumplir θeq 1 para considerar valida la hipotesis.2.

Puesto que ya se conoce la posicion de equilibrio, se pueden plantear la ecuaciondel sistema que define las pequenas oscilaciones del sistema. Para ello basta definirla energıa cinetica y potencial (o elastica) del sistema en funcion de la coordenada ge-neralizada, ya que no hay trabajo de fuerzas externas (Wf ) ni disipacion de energıa (D).

De este modo, la energıa cinetica se puede expresar como la suma de la energıacinetica de la masa puntual y la energıa cinetica de la barra:

T =1

2M(Lθ)2

+1

2(mL)

(L

2θ

)2

+1

2ICM θ

2 (4.3)

donde ICM es el momento de inercia de la viga alrededor de su centro de masas,ICM = 1

12(mL)L2.

cbnd M. Chimeno 63


Puesto que analizamos las oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio laenergıa potencial es solo la debida a los elementos elasticos (al ser el peso una fuerzaconstante en el sistema, este solo define la posicion de equilibrio):

U =1

2K1 (aLθ)2 +

1

2K2 (bLθ)2 (4.4)

Aplicando la ecuacion de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂U

∂θ=

∂Wf

∂θse obtiene(

ML2 +1

3mL3

)θ +

[K1 (aL)2 +K2 (bL)2] θ = 0 (4.5)

3. Por lo tanto la inercia del sistema vale J = ML2+ 13mL3, la rigidez esK = K1 (aL)2+

K2 (bL)2 y la resonancia del sistema se producira con cargas de su frecuencia natural(rad/s) ya que el sistema no tiene amortiguamiento:

ω0 =

√K

J=

√K1 (aL)2 +K2 (bL)2

ML2 + 13mL3

(4.6)

4.

Las oscilaciones del sistema, solucion de la ecuacion (4.5) son de la forma

θ(t) = A cos(ω0t) +B sin(ω0t) (4.7)

Para determinar las constantes A y B en funcion de las condiciones iniciales, hayque tener en cuenta que en este desarrollo θ, o bien q = Lθ, representan las oscilacionesalrededor de la posicion. Por lo tanto, la condicion inicial de que la grua este en la po-sicion de equilibrio significa que se cumple θ(0) = 0. La condicion inicial de velocidadconocida q0 se traduce en una condicion inicial en el angulo θ(0) = q0/L. Estas condi-ciones iniciales conducen a que las constantes sean A = 0 y B = q0

Lω0.

De este modo θ(t) queda determinada y tambien la coordenada vertical absoluta:

q(t) = qeq + Lθ(t) = L(θeq + θ(t)) =Mgl +mgL

2

2

K1a2L+K2b2L+q0

ω0

sin(ω0t) (4.8)

64 cbnd M. Chimeno

4.2. UN PENDULO

4.2 Un pendulo

Aunque existen otra posibilidades como parametro de posicion o grado de libertad,como por ejemplo la posicion horizontal de la masa x(t), en este caso —como suele serhabitual en pendulos— resulta muy recomendable utilizar el angulo de giro alrededordel eje, θ(t), ya que facilita tanto la expresion de la energıa cinetica como de la elasticadebida al muelle.

1.Aunque consideremos esta coordenada alrededor de la posicion de equilibrio, enlos pendulos el peso como tal no es una fuerza constante. La parte del peso que estangencial a la trayectoria (y por tanto la que realiza trabajo) es variable y dependede la posicion del sistema. Por ello es necesario incluir la variacion de energıa poten-cial gravitatoria en la energıa potencial del sistema, cuyo origen se toma en el puntoinferior de recorrido del pendulo. De este modo, las energıas cineticas, potencial y dedisipacion del sistema son

T =1

2m(Lθ)2

(4.9)

U =1

2kθ2 +mgL(1− cos θ) ≈ 1

2kθ2 +mgL

θ2

2(4.10)

D =1

2F

(∂(aL sin θ)

∂t

)2

=1

2F(aLθ cos θ

)2

≈ 1

2F(aLθ

)2

(4.11)

donde se ha tenido en cuenta que el desplazamiento del sistema es pequeno (tantoen la energıa potencial como en la de disipacion).

2.La aplicacion de la ecuacion de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂D

∂θ+ ∂U

∂θ= 0 permite expresar

la ecuacion diferencial de las oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio como

mL2θ + a2L2F θ + (mgL+K) θ = 0 (4.12)

Esta ecuacion puede expresarse en funcion de los parametros adimensionales su-geridos dividiendola por mL2 y operando:

θ + a2F

mθ +

(g

L+

K

mL2

)θ = 0

θ + a2F

m

√L

g

√g

Lθ +

g

L

(1 +

K

mgL

)θ = 0

θ + ηΩ0θ + Ω20 (1 + α) θ = 0 (4.13)

3.Puesto que la ultima expresion en terminos de la frecuencia natural y el coeficientede amortiguamiento serıa θ + 2γω0θ + ω2

0θ = 0, se pueden definir tanto la frecuencianatural, como el coeficiente de amortiguamiento y por tanto la frecuencia propia (oamortiguada) del sistema:

cbnd M. Chimeno 65


ω0 = Ω0

√1 + α (4.14)

γ =ηΩ0

2ω0

=η

2√

1 + α(4.15)

ω = ω0

√1− γ2 = Ω0

√(1 + α) (1− γ2) (4.16)

Las raıces del sistema pueden determinarse a partir de la ecuacion (4.13) suponien-do una solucion de la forma θ = ert, lo que permite obtener la expresion de las raıcesen funcion de los terminos sugeridos o de la frecuencia natural y el amortiguamientocomo

r = −ηΩ0

2± Ω0

√1 + α

√η2

4(1 + α)− 1 = −γω0 ± ω0

√γ2 − 1 (4.17)

4. Si se asume que el sistema esta poco amortiguado, es decir, amortiguamiento me-nor que el crıtico (γ < 1), entonces las raıces resultan r = −γω0 ± iω0

√1− γ2 que

corresponden a una solucion de la forma

θ(t) = e−γω0t[A cos

(ω0

√1− γ2t

)+B sin

(ω0

√1− γ2t

)](4.18)

Los coeficientes A y B para unas condiciones generales en posicion (θ0) y velocidad(θ0) resultan

A = θ0 B =θ0 + γω0θ0

ω0

√1− γ2

(4.19)

De modo que la respuesta del pendulo a estas condiciones iniciales resulta:

θ(t) = e−ηΩ0

2t

[θ0 cos

(Ω0

√(1 + α)(1− γ2)t

)+θ0 + γω0θ0

ω0

√1− γ2

sin(

Ω0

√(1 + α)(1− γ2)t

)](4.20)

66 cbnd M. Chimeno

4.3. UN CILINDRO RODANTE

4.3 Un cilindro rodante

La posicion del sistema queda definida por un unico parametro de posicion: o laposicion horizontal del centro del cilindro (x) o el giro del cilindro (θ) ambos respectode la posicion de equilibrio, que cumplen la relacion x = θR debido a la condicion derodadura sin deslizamiento.

1.Eligiendo el angulo girado como grado de libertad la energıa cinetica del sistema(suma de la de traslacion del centro de masas y giro alrededor de este) resulta:

T =1

2mx2 +

1

2I0θ

2 =1

2m(Rθ)2

+1

2

(1

2mR2

)θ2 =

1

2

(3

2mR2

)θ2 (4.21)

Puesto que no hay variacion de energıa potencial, la energıa potencial del sistema(y la de disipacion) solo dependen de la deformacion que sufren los elementos elasticosy los disipadores viscosos. Ambos dependen del desplazamiento del punto de unionde estos al cilindro (el punto del cilindro a un radio a). Asumiendo pequenos despla-zamientos respecto de la posicion de equilibrio, el desplazamiento horizontal de estepunto, δ, es

δ = x+ a sin(θ) ' x+ aθ = (R + a)θ (4.22)

De modo que la energıa potencial y la de disipacion son:

U =1

2K1δ

2 +1

2K2δ

2 =1

2(K1 +K2) (R + a)2 θ2 (4.23)

D =1

2F1δ

2 +1

2F2δ

2 =1

2(F1 + F2) (R + a)2 θ2 (4.24)

El trabajo del momento externo, asumiendo el mismo criterio de signos para el giroy el momento, es

Wf = M1(t)θ(t) (4.25)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂D

∂θ+ ∂U

∂θ=

∂Wf

∂θpermite

obtener la ecuacion de oscilaciones del sistema alrededor de la posicion de equilibrio:2.De esta expresion se pueden definir los coeficientes de inercia, amortiguamiento y

rigidez del sistema como: Js = 32mR2,Fs = (F1 + F2) (R + a)2 yKs = (K1 +K2) (R + a)2

pudiendo escribir la ecuacion anterior de un modo mas resumido como

Jsθ + Fsθ +Ksθ = M1(t) (4.26)

Ası mismo, estos coeficientes permiten definir la frecuencia natural, el coeficientede amortiguamiento y la frecuencia propia del sistema:

ω0 =

√Ks

Js=

√(K1 +K2) (R + a)2

32mR2

(4.27)

γ =Fs

2√JsKs

=(F1 + F2) (R + a)√

(K1 +K2) 6mR2(4.28)

ω = ω0

√1− γ2 (4.29)

cbnd M. Chimeno 67


3. La respuesta del sistema para la carga externa puede obtenerse de la ecuacion (4.26).Tomando una carga externa de la forma M1(t) = M1ae

iΩ1t, la respuesta sera de la formaθ(t) = θae

iΩ1t, donde la amplitud θa es una variable compleja que incluye el desfase delmovimiento del cilindro respecto a la carga externa. Introduciendo esta expresion deθ(t) en la ecuacion (4.26) se puede despejar la respuesta como

θ(t) =M1a

Ks − Ω21Js + iΩ1Fs

eiΩ1t (4.30)

La respuesta puede expresarse en la forma modulo/argumento y en funcion de lafrecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento como

θ(t) =

M1a

Ks√[1−

(Ω1

ω0

)2]2

+(

2γ Ω1

ω0

)2

ei(Ω1t−ϕθ) (4.31)

siendo

ϕθ = atan

2γ Ω1

ω0

1−(

Ω1

ω0

)2

(4.32)

el desfase del movimiento respecto al momento externo.

4. La carga que soporta la estructura superior sera la transmitida por los elementoselasticos y los disipadores viscosos. En este caso todos transmiten una carga del mismosigno para un desplazamiento dado del punto de union al cilindro

FT (t) = (K1 +K2) δ + (F1 + F2) δ = [K1 +K2 + iΩ1 (F1 + F2)] (R + a) θ(t) (4.33)

que expresada como modulo/argumento es FT (t) = |FT (t)|ei(Ω1t−ϕθ+β) siendo β eldesfase producido por la presencia de los elementos viscosos:

|FT (t)| =

√(K1 +K2)2 + Ω2

1 (F1 + F2)2 (R + a) |θ(t)| (4.34)

β = atan

(Ω1 (F1 + F2)

K1 +K2

)(4.35)

Puede observarse que la respuesta del cilindro esta retrasada un angulo ϕθ respectoa la carga externa mientras que la fuerza transmitida a la estructura superior esta ade-lantada respecto al movimiento del cilindro un angulo β. ¿La fuerza transmitida estaretrasada frente a la externa? El primero de los desfases puede expresarse a partir dela ecuacion (4.30) como

ϕ = atan

(Ω1Fs

Ks − Ω21Js

)= atan

(Ω1 (F1 + F2)

(K1 +K2)− Ω21Js

)(4.36)

de donde se deduce que puesto que para Ω1 > 0 es ϕθ > β. Por lo tanto la fuerzatransmitida esta retrasada respecto a la externa pero adelantada respecto al movimien-to del cilindro.

68 cbnd M. Chimeno


4.4 Un soporte para maquina industrial

La posicion del sistema puede determinarse mediante dosparametros de posicion: la posicion vertical del punto medio dela viga , q(t), y la posicion de la maquina, d(t), que en este ca-so es conocida. Por lo tanto el sistema puede modelizarse me-diante un unico grado de libertad cuya rigidez serıa la rigidezde la viga en su punto medio. La coordenada q se toma res-pecto a la posicion de equilibrio por lo que los efectos del pe-so (como fuerza constante) no se tendran en cuenta ya que noafectan a las oscilaciones sino a la propia posicion de equili-brio. Ası el modelo equivalente serıa el mostrado en la figu-ra.

1.Para determinar la rigidez del sistema es necesario definir la deformacion de laviga en su punto medio para una carga en el mismo punto. Para ello puede resolversela deformacion de la viga w(x) mediante la ecuacion de la elastica en un sistema dereferencia con su origen en el extremo izquierdo de la viga

EI∂4w

∂x4= Pδ

(x− L

2

)(4.37)

con condiciones de contornow(0) = w′(0) = w(L) = w′(L) = 0. Ası puede obtenersela deformada de la viga que resulta

w(x) =P

EI

[H

(x− L

2

) (x− L

2

)3

6− 1

12x3 +

L

16x2

](4.38)

Por lo tanto, la rigidez de la viga en el punto medio sera

Ks =P

w(L/2)=

192EI

L3(4.39)

2.Una vez determinada la rigidez equivalente del sistema pueden determinarse lafuncion de disipacion y la energıa cinetica directamente, esta ultima teniendo en cuentaque la masa de la viga se asume puntual y en su punto medio

T =1

2(ρL) q2 (4.40)

U =1

2Ksq

2 (4.41)

D =1

2F q2 +

1

2F(q − d

)2

(4.42)

Wf = 0 (4.43)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange ∂∂t

(∂T∂q

)+ ∂D

∂q+ ∂U

∂q= 0 define la ecuacion

de pequenas oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

(ρL) q + 2F q +Ksq = F d (4.44)

cbnd M. Chimeno 69


donde se han agrupado a la derecha del signo igual los terminos no asociados a qque es la fuerza debida al movimiento de la maquina que proviene de la funcion dedisipacion. A partir de esta ecuacion se definen la inercia del sistema Js = ρL y el coefi-ciente de amortiguamiento del sistema Fs = 2F . De modo que la frecuencia natural delsistema sera ω0 =

√Ks/Js, el coeficiente de amortiguamiento γ = (2F ) /

(2√ρLKs

)y

la frecuencia propia ω = ω0

√1− γ2.

3. Puesto que el movimiento del extremo inferior del sistema es armonico d(t) = d0eiΩt

la ecuacion esJsq + Fsq +Ksq = iΩFd0e

iΩt (4.45)

La respuesta permanente sera armonica de frecuencia Ω

q(t) =iΩFd0

Ks − Ω2Js + iΩFseiΩt (4.46)

Su modulo se puede expresar en funcion de las frecuencias del movimiento im-puesto, la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento adimensional como

|q| = ΩFd0√(Ks − Ω2Js) + (ΩFs)

2=

Ω FKsd0√[

1−(

Ωωo

)2]2

+(

ΩFsKs

)2

=γ Ωω0d0√[

1−(

Ωωo

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.47)Esta ultima expresion puede representarse en funcion de Ω/ω0 y el coeficiente de amor-tiguamiento para determinar el desplazamiento maximo y la influencia del amortigua-miento

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,2

0,4

0,6

Ω/ω0

|q|/d

0

γ = 0,1γ = 0,2γ = 0,3

Figura 4.1: Amplitud del movimiento de la maquina en funcion de la frecuencia de la excitacionpara distintos valores de amortiguamiento

Se observa que el modulo de la respuesta es proporcional a γ y tiende a cero fuerade la resonancia (para Ω = 0 el amortiguador inferior no transmite carga a la viga).

70 cbnd M. Chimeno


4.Una vez determinada la respuesta del sistema puede determinarse la fuerza trans-mitida a la pared que se transmitira por ambos apoyos de la viga y por el amortiguadorsuperior

FT (t) = Ksq + F q = (Ks + iΩF ) q (4.48)

cuyo modulo sera

|FT | =√K2s + (ΩF )2|q| =

√1 +

(γ Ωω0

)2

γ Ωω0

(Ksd0)√[1−

(Ωωo

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.49)

De nuevo, puede verse que la fuerza transmitida es proporcional a γ y tiende a ceropara Ω→ 0 y a γ2Ksd0 para Ω→∞.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,2

0,4

0,6

Ω/ω0

|FT|/

(Ksd

0)

γ = 0,1γ = 0,2γ = 0,3

Figura 4.2: Modulo de la fuerza transmitida en funcion de la frecuencia de la excitacion

cbnd M. Chimeno 71

4.5. UNA GRUA TRAS LA SUELTA DE LA CARGA

4.5 Una grua tras la suelta de la carga

1.Puesto que la situacion descrita es una respuesta libre de la grua desde una cier-ta deformacion debida a la carga que se estaba operando, resulta logico plantear lasecuaciones como oscilaciones respecto a la posicion de equilibrio la que tendera paradetenerse debido al amortiguamiento. Si se asume que el extremo de la grua se mueveverticalmente durante este movimiento, el peso realizara un trabajo constante que solodetermina cual es esa posicion de equilibrio hacia la que tiende la respuesta de la grua,no como son las oscilaciones alrededor de esta. De este modo, si se denomina q la po-sicion de la grua respecto de la posicion de equilibrio de la grua en vacıo, la ecuaciondel movimiento sera simplemente

Jq + F q +Kq = 0 (4.50)

La condicion inicial en velocidad sera nula, q(0) = 0 ya que antes de la rotura lagrua estaba en equilibrio. La condicion inicial en posicion se correspondera con la po-sicion de equilibrio estable alcanzada por culpa de la cargaM , que sera q(0) = Mg

K= µg

ω20

donde se ha tomado q positiva hacia el suelo por comodidad.

2.Ası pues, la respuesta posterior a la rotura del anclaje de la carga se correspon-dera con la respuesta de un sistema a una carga estatica seguida de suelta rapida. Lasolucion sera de la forma

q(t) = [A cos (ωt) +B sin (ωt)] e−γω0t (4.51)

donde ω0 =√K/J es la frecuencia natural, γ = F/(2

√JK) es el coeficiente de

amortiguamiento y ω = ω0

√1− γ2 es la frecuencia propia. Notese que se ha asumido

que el amortiguamiento es menor que el crıtico (γ < 1).

La imposicion de las condiciones iniciales permite determinar las constantes A y Bresultando la respuesta del sistema:

q(t) =µg

ω20

[cos (ωt) +

γ√1− γ2

sin (ωt)

]e−γω0t (4.52)

3.La fuerza transmitida a la base sera de la forma FT (t) = Kq(t) + F q(t) por lo queconviene expresar la respuesta del extremo como una unica funcion armonica:

q(t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2cos (ωt− ϕ) e−γω0t con ϕ = arctan

(γ√

1− γ2

)(4.53)

Ası, derivando respuesto al tiempo la respuesta, la fuerza que aparece sobre la basees

FT (t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2[(K − Fγω0) cos(ωt− ϕ)− Fω sin(ωt− ϕ)] e−γω0t (4.54)

cbnd M. Chimeno 73


Tanto para expresar facilmente su desfase como para obtener el valor maximo de lafuerza, lo mas conveniente es expresarla como una unica funcion armonica:

FT (t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2

√(K − Fγω0)2 + (Fω)2 cos(ωt− ϕ+ β)e−γω0t (4.55)

con

β = arctan

(Fω

K − Fγω0

)= arctan

(2γ√

1− γ2

1− 2γ2

)(4.56)

De este modo, el desfase absoluto de la fuerza es β−ϕ mientras que su desfase conel movimiento del extremo del brazo es solo β.

4. Como se deduce de la ecuacion (4.55) los valores extremos de la fuerza se produ-ciran para tiempos que cumplan

| cos(ωt− ϕ+ β)| = 1⇒ ωt− ϕ+ β = nπ, n = 0, 1, 2, 3, . . . (4.57)

El primer tiempo positivo se corresponde con n = 1 y sera ademas el del valormaximo de la fuerza al ser su amplitud decreciente por el termino e−γω0t. Ası, el valorde la fuerza sera

|FT (t)|max =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2

√(K − Fγω0)2 + (Fω)2e

−γ π+ϕ−β√1−γ2 (4.58)

Se ve ademas que este valor es varias veces mayor que la carga estatica

Fest = Mg = µJg =µg

ω20

K

74 cbnd M. Chimeno

4.6. UNA PISCINA DE OLAS

4.6 Una piscina de olas

1.Debido a la ausencia de cargas cuando las palas estan en vertical y la gravedad, es-ta posicion (la representada) es la posicion de equilibrio estable. Por lo tanto se puedetomar el angulo girado respecto de esta posicion θ como el grado de libertad de cadapala. La masa de la primera pala es m1 = ρbtL1. El momento de inercia alrededor delcentro de gravedad es Icg = 1

12m1L

21 y alrededor del eje de giro I0 = 1

3m1L

21 donde se

ha considerado despreciable la inercia asociada al espesor t.

Por lo tanto la energıa cinetica, potencial y de disipacion, ası como el trabajo reali-zado por el motor de la primera pala es:

T =1

2m1

(L1

2θ1

)2

+1

2Icgθ1

2=

1

2I0θ1

2(4.59)

U =1

2Kθ2

1 −m1gL1

2cos θ1 (4.60)

D =1

2F θ1

2(4.61)

Wf = M1(t)θ1(t) (4.62)

donde se ha tomado como origen de la energıa potencial la altura del eje de girode la pala. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se obtiene la ecuacion de pequenasoscilaciones de la primera pala

I0θ1 + F θ1 +

(K +

m1gL1

2

)θ1 = M1(t) (4.63)

2.De esta ecuacion pueden definirse directamente la frecuencia natural, el coeficientede amortiguamiento y la frecuencia propia:

ω01 =

√K+

m1gL12

I0γ1 = F

2√

(K+m1gL1

2 )I0ω1 = ω01

√1− γ2

1 (4.64)

Llamando J1, F1 y K1 a los coeficientes de inercia, amortiguamiento y rigidez de laprimera pala, y asumiendo que el motor aplica un momento de modulo M1 y frecuen-cia Ω, la ecuacion del sistema es

J1θ1 + F1θ1 +K1θ = M1 sin(Ωt) (4.65)

3.Si las condiciones iniciales no son nulas sino que la pala quedo atascada en θ1(0) = θ0

y θ(0) = 0, la respuesta sera la suma de una respuesta homogenea y una solucion par-ticular θ1(t) = θ1H (t) + θ1P (t). Asumiendo amortiguamiento menor que el crıtico, laprimera sera de la forma

θ1H (t) = [A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t)] e−γ1ω01 t (4.66)

Dada la carga externa, la respuesta particular sera de la forma θ1P (t) = θ1a sin(Ωt)

cbnd M. Chimeno 75


con una cierta amplitud compleja θ1a . Introduciendo esta solucion en la ecuacion per-mite definir la solucion particular con una amplitud real y un cierto desfase como

θ1P (t) =M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2sin (Ωt− ϕ1) con ϕ1 = arctan

(ΩF1

K1 − Ω2J1

)(4.67)

La solucion completa, θ1(t) = θ1H (t) + θ1P (t), debera cumplir las condiciones ini-ciales θ1(0) = θ1H (0) + θ1P (0) = θ0 y θ1(0) = θ1H (0) + θ1P (0) = θ0. Estas condicionesiniciales definen las constantes como:

A1 = θ0 +M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2sin(ϕ1) (4.68)

B1 =γ1√

1− γ21

θ0 +M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2

[γ1√

1− γ21

sinϕ1 −Ω

ω1

cosϕ1

](4.69)

4. Para determinar cuando hay que arrancar el motor de la segunda pala para quelas dos vayan en fase hay que tener en cuenta en primer lugar que para que puedanir en fase los dos motores deben aplicar un momento de la misma frecuencia Ω y queel movimiento en fase se conseguira una vez la respuesta se deba solo a la solucionparticular o permanente. Que el arranque del segundo motor se produzca en un ins-tante distinto puede expresarse como un desfase en el segundo momento de la formaM2(t) = M2 sin (Ωt+ ϕM). Debido a que el segundo eje tambien tiene un cierto amor-tiguamiento, el movimiento de la segunda pala estara retrasado respecto a este motor,θ2(t) = |θ2P | sin (Ωt+ ϕM − ϕ2). Este desfase puede establecerse por analogıa con el dela primera pala:

ϕ2 = arctan

(ΩF2

K2 − Ω2J2

)= arctan

(ΩF

K + m2gL2

2− Ω2

(13m2L2

2

)) (4.70)

De este modo, para que ambas palas se muevan en fase tendra que tener el mismodesfase:−ϕ1 = ϕM − ϕ2. El instante de tiempo sera entonces t = ϕM

Ω= ϕ2−ϕ1

Ω. Este valor

depende de la velocidad de giro de las palas. Para frecuencias muy bajas, la segundapala tendra que arrancarse despues de la primera y para frecuencias altas antes. Ellımite es el valor de Ω que haga nulo el desfase a imponer en el motor, ϕM , o lo que eslo mismo, el valor de Ω que haga que se cumpla ϕ2 = ϕ1. Por lo tanto esta frecuencialımite es la que cumple (K2 −K1) − Ω2

∗ (J2 − J1) = 0. Para el caso Ω < Ω∗ el motor dela segunda pala debera encenderse despues de la primera, y para Ω > Ω∗ el motor dela segunda pala tendra que arrancarse antes.

76 cbnd M. Chimeno

4.7. UN PISTON CON FALLO DE COMBUSTION

4.7 Un piston con fallo de combustion

En este caso, los parametros de posicion que determinan la posicion de todo el sis-tema son tres: la posicion del embolo, q(t), la posicion de la union entre el muelle y elamortiguador que estan en serie, qA(t), y la posicion del ciguenal, d(t). Puesto que estaultima es conocida, el sistema solo tiene dos grados de libertad: q(t) y qA(t).

1.A partir de los tres parametros de posicion se pueden definir todas las energıas delsistema ası como el trabajo de las fuerzas externas (que es nulo ya que no hay fuerzasaplicadas, sino un movimiento impuesto).

T =1

2Mq2 (4.71)

V =1

2K1q

2 +1

2K2 (d− qa)2 (4.72)

D =1

2F1q

2 +1

2F2 (qA − q)2 (4.73)

Wf = 0 (4.74)

2.La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange,

d

dt

(∂T

∂q

)+∂D

∂q+∂U

∂q=

∂Wf

∂q(4.75)

d

dt

(∂T

∂qA

)+∂D

∂qA+∂U

∂qA=

∂Wf

∂qA(4.76)

(4.77)

conduce a

Mq + (F1 + F2) q +K1q = F2qA (4.78)

F2 (qA − q) +K2qA = K2d (4.79)

3.Estas ecuaciones para el caso general muestran que los movimientos de ambos gra-dos de libertad estan acoplados. Para el caso particular que se pide,K2 →∞, se deduceque al ser el sistema infinitamente rıgido entre A y el ciguenal, sera qA = d. Esta condi-cion puede deducirse tambien a partir de la ecuacion (4.79) dividiendo por K2

F2

K2

(qA − q) + qA = dK2→∞−−−−→ qA(t) = d(t) (4.80)

Entonces, la ecuacion (4.78) resulta

Mq + (F1 + F2) q +K1q = F2d = F2d0Ω cos(Ωt) = ReF2d0ΩeiΩt

(4.81)

La respuesta del embolo en el campo complejo sera entonces:

q(t) =F2Ωd0

K1 − Ω2M + iΩ(F1 + F2)eiΩt =

F2Ωd0√(K1 − Ω2M)2 + [Ω(F1 + F2)]2

ei(Ωt−ϕ) (4.82)

cbnd M. Chimeno 77


con un modulo|q(t)| = F2Ωd0√

(K1 − Ω2M)2 + [Ω(F1 + F2)]2

y un desfase

ϕ = atan

(Ω(F1 + F2)

K1 − Ω2M

)La respuesta sera por tanto la parte real de esta respuesta compleja:

q(t) = Re|q(t)|ei(Ωt−ϕ)

= |q(t)| cos(Ωt− ϕ) = |q(t)| sen(Ωt+

π

2− ϕ) (4.83)

donde la ultima expresion en terminos del seno tiene como objetivo poder evaluarel desfase con el movimiento impuesto por el ciguenal d(t) = d0 sin(Ωt).

El desfase entre el embolo y el ciguenal es entonces ϕ = π2−ϕ que sera nulo cuando

sea ϕ = π2. Como en ese caso tan(ϕ) = ∞, la condicion es K1 − Ω2M = 0. Ası pues,

la frecuencia de la carga que hace que el desfase entre el embolo y el movimiento im-

puesto por el ciguenal sea nulo es Ω∗ =√

K1

M.

4. Para una excitacion de esta frecuencia, la respuesta del embolo resulta finalmente

q(t) =F2d0

F1 + F2

sin (Ω∗t) (4.84)

78 cbnd M. Chimeno


4.8 Un sensor embarcado en un UAV

Debido al diseno del montaje del sensor, que incluye unos difusores en el extremode la vida donde esta situado el propio sensor, la coordenada vertical del sensor (q)puede ser una buena eleccion de grado de libertad para plantear las ecuaciones delsistema.

Para aplicar las ecuaciones de Lagrange respecto a esta coordenada es necesarioplantear las energıas (cinetica, potencial y de disipacion) y el trabajo de las fuerzas ex-ternas en funcion de esta cordenada.

1.La energıa cinetica del sistema y la funcion de disipacion de Rayleigh se puedenplantear de modo directo al considerarse que la viga no tiene masa y que se conoce laconstante del difusor viscoso y que depende de la velocidad vertical en este punto. Delmismo modo puede definirse directamente el trabajo de las fuerzas externas:

T =1

2Mq2 T =

1

2F q2 Wf = p0 sin(Ωt)q(t) (4.85)

2.Como interesan principalmente las oscilaciones del sensor respecto de la posicionde equilibrio y la variacion de energıa potencial gravitatoria es lineal, esta no afecta alas oscilaciones y solo a la posicion de equilibrio. Por lo tanto en la energıa potencialsolo se incluye la debida a la deformacion de la viga. Para determinar esta energıapotencial, es necesario conocer la rigidez equivalente de la viga en su extremo K, yaque una vez conocida esta, la energıa serıa directamente

U =1

2Kq2 (4.86)

La rigidez equivalente puede determinarse a partir de la deformada vertical de laviga en su extremo cuando en este se aplica una carga puntual en dicho punto. Debidoa la simplicidad de la estructura, puede hacerse uso del primer teorema de Mohr quepermite obtener la flecha de una estructura en un punto B debida a la flexion a partirde la flecha y giro de otro punto A, la ley de momentos flectores entre ambos puntos yel modulo de rigidez:

wB = wA + θA(xB − xA) +

∫ xB

xA

Mf (s)

EI(s− xB)ds (4.87)

Para una carga unitaria en el extremo libre (punto B) y un parametro s tomadodesde este punto, la distribucion de momento flector es Mf = s tomado positivo siproduce flecha positiva. Si se toma el extremo empotrado como punto A la ecuacion4.87 queda entonces

wB =1

EI

∫ L

0

s2ds =L3

3EI(4.88)

El momento de inercia alrededor del eje horizontal se puede calcular como la mitaddel momento de inercia respecto del eje de la viga:

I =I0

2=

1

2

∫ d/2

0

(2πr)r2dr =π

64d4 (4.89)

cbnd M. Chimeno 79


Por lo tanto, la rigidez del sistema es

K =1

wB=

3EI

L3=

3π

64

Ed4

L3(4.90)

3. Con todas estas magnitudes definidas se puede aplicar la ecuacion de Lagrangepara definir la ecuacion de las oscilaciones del sensor alrededor de la posicion de equi-librio:

Mq + F q +Kq = p0 sin(Ωt) (4.91)

4. A partir de la inercia, amortiguamiento y rigidez del sistema se pueden definir las

caracterısticas modales: la frecuencia natural es ω0 =√

3π64

Ed4

ML3 , el coeficiente de amor-

tiguamiento γ = F2√MK

y la frecuencia propia ω = ω0

√1− γ2.

5. La respuesta del sistema a partir de unas condiciones inciales nulas (que se corres-ponden con el equilibrio vertical indicado) sera la suma de una solucion homogeneade la forma qh(t) = [A cos(ωt) +B sin(Ωt)] e−γω0t para un amortiguamiento menor queel crıtico y una solucion particular que resulta qp(t) = p0√

(K−Ω2M)2+(ΩF )2sin(Ωt− ϕ) con

ϕ = atan(

ΩFK−Ω2M

).

La imposicion de las condiciones iniciales a la solucion q(t) = qh(t) + qp(t) determi-na las constantes A = |qp| sin(ϕ) y B = |qp| [γω0 sin(ϕ)− Ω cos(ϕ)] /ω donde |qp| es elmodulo de la respuesta particular.

6. Para determinar la velocidad maxima del UAV debido a la limitacion indicada, ydado que la velocidad de vuelo determina la frecuencia de desprendimiento de torbe-llinos Ω, lo que hay que determinar es la frecuencia de la carga externa para la que elmodulo de la respuesta permanente alcanza ese lımite de 1,10p0/K. El primer paso esexpresar el modulo de la respuesta permanente en terminos de p0/K y la relacion entrela frecuencia de la carga y las magnitudes modales

|qp| =p0√

(K − Ω2M)2 + (ΩF )2=

p0/K√[1−

(Ωω0

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.92)

Llamando α = Ω/ω0 la relacion que determina la frecuencia de la carga lımite es

p0/K√(1− α2)2 + (2γα)2

= 1,10p0/K (4.93)

que define una ecuacion para el valor de α lımite

α4 +(4γ2 − 2

)α2 +

(1− 1

1,102

)= 0 (4.94)

80 cbnd M. Chimeno


0 0,3 1,38 20

1,1

2

α : 2πU∞Stdω0

|qp|p0/K

Figura 4.3: Amplitud del sensor en funcion de la velocidad de vuelo

Para el valor de amortiguamiento γ = 0,05 esta ecuacion proporciona dos solucio-nes validas fısicamente (las positivas) que son α1 = 0,30 y α2 = 1,38 como se ve en lasiguiente figura:

Sin embargo, teniendo en cuenta que estan relacionadas con la velocidad de vuelo,siendo las correspondientes U∞1 y U∞2 , el lımite es la primera solucion ya que repre-senta la velocidad de vuelo a la que se alcanza el lımite 1,10p0/K por primera vez. Enrealidad estas velocidades determinan el rango de velocidades donde la deformaciones menor que el lımite admisible: [0, U∞1 ] y [U∞2 ,∞].

Por lo tanto, la velocidad maxima es la que se corresponde con el primer caso:

U∞max = U∞1 = 0,30ω0d

2πSt= 0,018

√Ed6

ML3

St(4.95)

7.Esta ultima expresion muestra que la velocidad de vuelo maxima impuesta por lalimitacion en la deformacion del sistema es proporcional a E y d e inversamente pro-porcional a L. Desde el punto de vista de modificar el sistema lo mas eficientementedeberıa incrementarse en primer el diametro de la viga ya que U∞max ∝ d3 y en segun-do lugar deberıa disminuirse la longitud de la viga ya que U∞max ∝ d−3/2.

cbnd M. Chimeno 81

4.9. UNA BASCULA

4.9 Una bascula

1.Puesto que la disipacion del sistema se produce en el eje de giro y depende direc-tamente del giro de las barillas, este es una buena eleccion como coordenada genera-lizada. Ası, se toma θ en sentido horario como coordenada generalizada del sistema.Aunque z(t) afecta a la energıa cinetica, es solo un parametro de posicion conocido.Ası, la energıa cinetica del sistema es

T =1

2Mv2

M +

[1

2m1

(z +

L1

2θ

)2

+1

2I1θ

2

]+

[1

2m2

(z2 +

L22

4θ2

)+

1

2I2θ

2

](4.96)

siendo vM la velocidad de la masa puntual

v2M =

(z + L1θ cos θ

)2

+(L1θ sin θ

)2

' z2 + L21θ

2 + 2L1zθ (4.97)

e I1 = 112m1L

21 e I2 = 1

12m2L

22 los momentos de inercia de las varillas 1 y 2 respectiva-

mente, alrededor de sus centros de masas.

Si se desea obtener la ecuacion de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibriono es necesario incluir en la energıa potencial aquellos terminos producidos por el pesocuando este sea constante. Para pequenos desplazamientos tanto en el caso de la masapuntual como en el de la varilla horizontal la fuerza que ejerce el peso es constanteen primera aproximacion (lo que conducirıa a potenciales lineales en θ y terminos deconstantes en la ecuacion final). Por ello solo se incluye la variacion de energıa en elcaso de la varilla vertical para la que el trabajo que realiza el peso depende de θ:

U =1

2K (d sin θ)2 +m2g

L2

2(1− cos θ) ' 1

2Kd2θ2 +m2g

L2

2

θ2

2(4.98)

2.La energıa de disipacion sera directamente D = 12F θ2 y la aplicacion de las ecua-

ciones de Lagrange permite determinar la ecuacion de oscilaciones de la bascula alre-dedor de la posicion de equilibrio:(

ML21 +

1

3m1L

21 +

1

3m2L

22

)θ + F θ +

(Kd2 +

m2gL2

2

)θ = −

(M +

m1

2

)L1z (4.99)

Por lo tanto la frecuencia natural del sistema, el coeficiente de amortiguamientoadimensional y la frecuencia propia resultan

ω0 =

√Ks

Js=

√Kd2 + m2gL2

2

ML21 + 1

3m1L2

1 + 13m2L2

2

(4.100)

γ =Fs

2√JsKs

=F

2√(

ML21 + 1

3m1L2

1 + 13m2L2

2

) (Kd2 + m2gL2

2

) (4.101)

ω = ω0

√1− γ2 (4.102)

Teniendo en cuenta que z(t) = z0 sin(Ωt) la ecuacion (4.99) puede escribirse como

Jsθ + Fsθ +Ksθ = ML1Ω2z0 sin(Ωt) (4.103)

cbnd M. Chimeno 83


con Js, Fs y Ks siendo la inercia, el amortiguamiento y la rigidez del sistema y M =

M +m1/2. En el campo complejo sera entonces

Jsθ + Fsθ +Ksθ = ML1Ω2z0eiΩt (4.104)

3. La respuesta de la bascula en el campo complejo sera entonces

θ(t) =ML1Ω2z0

Ks − Ω2Js + iΩFeiΩt (4.105)

que corresponde con un respuesta en el campo real

θ(t) =ML1Ω2z0√

(Ks − Ω2Js)2 + (ΩFs)

2sin (Ωt− ϕ) (4.106)

con un desfase respecto al movimiento del suelo

ϕ = arctan

(ΩFs

Ks − Ω2Js

)(4.107)

4. Para estudiar como debe elegirse d conviene expresar la amplitud de la respuestapermanente en funcion de la relacion entre la frecuencia del movimiento del suelo Ω yla frecuencia natural del sistema ω0.

|θ(t)| = ML1Ω2z0

Ks

√[1−

(Ωω0

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

=ML1z0

Js

(Ωω0

)2

Ks

√[1−

(Ωω0

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.108)

Para que la amplitud de las oscilaciones no cambie al cambiar Ω interesa que lasegunda fraccion de esta expresion sea constante. De hecho para Ω/ω0 →∞ tiende a 1por lo que la amplitud de las oscilaciones tiende a ML1z0

Js. Por lo tanto interesa que ω0

sea lo mas pequena posible, o lo que es lo mismo, que la distancia del muelle al eje dsea lo mas pequena posible.

84 cbnd M. Chimeno


4.10 Una turbina de aire de impacto

La posicion del sistema puede definirse a partir de varias coordenadas, como laposicion horizontal de la turbina o bien el angulo girado respecto a la vertical (la posi-cion de equilibrio). La primera permite definir de modo sencillo el trabajo de la fuerzaexterna mientras que la primera simplifica las expresiones de las energıa cinetica y po-tenciales por lo que es la elegida para el presente desarrollo.

1.Tomando pues θ como el angulo formado con la vertical la energıa cinetica delsistema es

T =1

2(ρL)

(L

2θ

)2

+1

2

(1

12ρL3

)θ2 +

1

2M(Lθ)2

=1

2

(1

3ρL3 +ML2

)θ2 (4.109)

La energıa potencial (debida al elemento elastico y a la variacion de energıa poten-cial gravitatoria), la energıa de disipacion y el trabajo de las fuerzas externas son

U =1

2K (aL sin θ)2 +MgL (1− cos θ) + (ρL) g

L

2(1− cos θ) (4.110)

D =1

2F(bLθ cos θ

)2

(4.111)

Wf = p(t)L sin θ (4.112)

que para el caso de pequenos desplazamientos (θ 1) son

U =1

2K (aLθ)2 +

(MgL+ ρg

L

2

)θ2

2(4.113)

D =1

2F(bLθ)2

(4.114)

Wf = p(t)Lθ (4.115)

2.La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange permite determinar la ecuacion querige las oscilaciones del sistemas alrededor de la posicion de equilibrio debidas a lafuerza externa:(

1

3ρL3 +ML2

)θ +

(b2L2F

)θ +

(a2L2K +MgL+ ρg

L2

2

)θ = Lp(t) (4.116)

3.Llamando a los coeficientes de la ecuacion JS θ + FS θ + KSθ = Lp(t) se puedendefinir las caracterısticas modales: frecuencia natural, coeficientes de amortiguamientoadimensional y frecuencia propia como

ω0 =

√KS

JSγ =

FS

2√JSKS

ω = ω0

√1− γ2 (4.117)

4.Como se puede ver en la expresion de la frecuencia natural

ω0 =

√a2L2K +MgL+ ρgL

2

213ρL3 +ML2

(4.118)

cbnd M. Chimeno 85


la masa de la turbina contribuye tanto al numerador como al denominador. Unaforma de conocer su influencia sin tener que conocer el resto de parametros es estudiarlos casos lımite M = 0 y M →∞. Para estos casos la frecuencia natural es

M = 0 : ω0 =

√a2L2K + ρgL

2

213ρL3

=

√3a2K

ρL+

3g

2L

M →∞ : ω0 →√MgL

ML2=

√g

L

Se observa que en el segundo caso, al ser la masa de la viga despreciable frente ala de la turbina, el sistema tiende a ser un pendulo simple con su correspondiente fre-cuencia. Ademas, comparando ambas se observa que la primera es mayor y por tantoque al aumentar la masa de la turbina disminuye la frecuencia natural del sistema.

5. La respuesta de la turbina cuando aparece la fuerza armonica en un instante arbi-trario, sera la solucion de

JS θ + FS θ +KSθ = Lp0eiΩt (4.119)

θ(0) = θ0 θ(0) = θ0

donde se ha expresado la carga en el campo complejo para simplificar la operativa.Dicha solucion sera la suma de una solucion homogenea y una solucion particular. Estaultima se obtiene de asumir una solucion de la forma θp(t) ∝ eiΩt, obteniendo

θp(t) =p0L

KS − Ω2JS + iΩFSeiΩt (4.120)

Expresandola en forma modulo/argumento y tomando la parte imaginaria (puestoque la carga era p(t) = p0 sin(Ωt) resulta

θp(t) =p0L√

(KS − Ω2JS)2 + (ΩFS)2sin (Ωt− ϕ) ϕ = atan

(ΩFS

KS − Ω2JS

)(4.121)

Asumiendo que el amortiguamiento es menor que el crıtico la solucion homogeneao transitoria sera de la forma

θh(t) = [A cos(ωt) +B sin(ωt)] e−γω0t (4.122)

Denominando |θp| al modulo de la respuesta permanente la respuesta total es

θ(t) = [A cos(ωt) +B sin(ωt)] e−γω0t + |θp| sin (Ωt− ϕ) (4.123)

La imposicion de las condiciones iniciales a esta solucion permite determinar lasdos constantes que resultan

A = θ0 + |θp| sin(ϕ) (4.124)

B =θ0 + γω0A− Ω|θp| cos(ϕ)

ω(4.125)

86 cbnd M. Chimeno


6.Respecto a como varıa el sistema en funcion del valor de a elegido, se puede ver enla ecuacion 4.116 que un incremento de a produce exclusivamente un incremento de larigidez del sistema y por tanto un aumento de la frecuencia natural ω0 y una disminu-cion del coeficiente de amortiguamiento adimensional γ. Por lo tanto aumentaran lasfrecuencias a las que se producen tanto la resonancia en amplitud (w0

√1− 2γ2) como

la resonancia en fase (ω0).

La amplitud maxima del sistema en la resonancia en amplitud es |θp| = p0L

KS2γ√

1−γ2.

Para valores pequenos del amortiguamiento sera |θp| ' p0LKS2γ

∝ 1√KS

por lo que al au-mentar a la amplitud maxima disminuira.

Las siguientes figuras muestran la variacion de las curvas de amplitud y desfa-se en funcion de Ω para un sistema que inicialmente tiene una frecuencia natural deω0 = 1 rad/s y γ = 0,05 en el que el aumento de a produce un incremento de la rigidezdel sistema del 50 %.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

5

10

−−−−−−→ aumenta a

Ω (rad/s)

|θp|p0L/KS

γ = 0,050γ = 0,041

Figura 4.4: Amplitud de la respuesta en funcion de la frecuencia de la carga para dos valoresde a

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

90

180

−−−−−−→ aumenta a

Ω (rad/s)

ϕ (o)

γ = 0,050γ = 0,041

Figura 4.5: Desfase de la respuesta en funcion de la frecuencia de la carga para dos valores dea

cbnd M. Chimeno 87


4.11 El modulo centrıfugo de la ISS

1.Dado que se conoce directamente la inercia y el amortiguamiento del sistema el pri-mer paso es determinar la rigidez del sistema a partir de la equivalencia con una vigaempotrada-libre. Para determinar la rigidez equivalente es suficiente determinar la de-flexion del extremo de la viga δ ante una determinada carga P como K = P/δ. Debidoa lo sencillo del caso, se puede aplicar por ejemplo el segundo teorema de Mohr.

Para ello es necesario determinar la ley de momento flector que para una carga Pen el extremo es lineal valiendo cero en el extremo libre y PL en el empotramiento. Elsegundo teorema de Mohr indica que la flecha en el extremo es

δ = vB = vA + θA(xB − xA) +

∫ xB

xA

1

EIM(ξ)(ξ − xA)dξ (4.126)

Tomando A como el empotramiento (vA = θA = 0) solo queda el termino de laintegral que puede substituirse por el area de la ley de momento flector por el brazo(en este caso 2

3L)

δ =1

EI

(1

2LPL

)2

3L =

PL3

3EI(4.127)

resultando en una rigidez equivalente

K =P

δ=

3EI

L3(4.128)

que tiene efectivamente unidades de N/m.

2.Para un sistema con amortiguamiento viscoso la funcion de disipacion esD = 12F q2.

Para un sistema con amortiguamiento estructural, tambien se puede definir una fun-cion de disipacion para el caso de respuestas armonicas, D = 1

2HΩq2, siendo Ω la fre-

cuencia de la respuesta.

Como en este caso la carga externa es armonica, puede utilizarse esta funcion dedisipacion efectiva y obtener la ecuacion del sistema como

Jq +H

Ωq +Kq = p(t) = p0 cos(Ωt) (4.129)

con condiciones iniciales q(0) = 0 y q(0) = q0.

Esta ecuacion puede escribirse tambien en funcion de la frecuencia natural del sis-tema, ω0 =

√K/J , y el coeficiente de amortiguamiento h = H/K

q +1

Ωhω2

0 q + ω20q =

p0

Jcos(Ωt) (4.130)

cbnd M. Chimeno 89


3. La respuesta del sistema sera la suma de la solucion homogenea y la particular.La particular puede obtenerse a partir de las ecuaciones (4.129) o (4.130) en el campocomplejo expresando la carga como p0e

iΩt

qP (t) =p0

K − Ω2J + iHeiΩt =

p0√(K − Ω2J)2 +H2

ei(Ωt−ϕ) (4.131)

y tomando la parte real de esta solucion

qP (t) =p0√

(K − Ω2J)2 +H2

cos (Ωt− ϕ) =p0/K√[

1−(

Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ) (4.132)

con un desfase respecto a la carga

ϕ = arctan

(H

K − Ω2J

)= arctan

h

1−(

Ωω0

)2

(4.133)

Para obtener la respuesta homogenea, es necesario tener en cuenta que para definirla funcion de disipacion se asumio que el movimiento era armonico de frecuencia Ω.En el caso de la respuesta homogenea, si se asume una respuesta de la forma qaeiλt, eltermino de disipacion serıa H

λq = iHq:

Jq + iHq +Kq = 0 (4.134)

De esta ecuacion puede obtenerse una ecuacion caracterıstica para λ y su valor

− λ2J + iH +K = 0⇒ λ2 =K

J

(1 + i

H

K

)= ω2

0(1 + ih) (4.135)

Tomando h 1, λ se puede aproximar por λ = ω0

√1 + ih ' ω0(1 + ih

2), por lo que

la respuesta homogena es de la forma

qH(t) = [A cos(ω0t) +B sin(ωot)] e−ω0

h2t (4.136)

La solucion completa del sistema es entonces

q(t) = [A cos(ω0t) +B sin(ωot)] e−ω0

h2t +

p0/K√[1−

(Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ) (4.137)

cuyas constantes A y B pueden obtenerse imponiendo las condiciones iniciales. Lla-mando |qP | a la amplitud de la respuesta permanente, estas constantes resultan

A = −|qP | cos(ϕ) (4.138)

B =q0

ω0

− |qP |[h

2cos(ϕ) +

Ω

ω0

sin(ϕ)

](4.139)

90 cbnd M. Chimeno


4.Por ultimo, queda determinar la fuerza transmitida al resto de la estacion debida ala respuesta permanente

qP (t) =p0/K√[

1−(

Ωω0

)2]2

+ h2

ei(Ωt−ϕ) (4.140)

La fuerza transmitida tendra una parte debida a la rigidez del sistema Kq y otradebida al amortiguamiento H

Ωq:

FT = Kq +H

Ωq = (K + iH) q ⇒ FT (t) = p0

√√√√√ 1 + h2[1−

(Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ+ β)

(4.141)con un desfase entre la fuerza transmitida y el movimiento del modulo

β = arctan

(H

K

)= arctan (h) (4.142)

cbnd M. Chimeno 91

5Modelos de varios grados de libertad

cbnd M. Chimeno 93

5.1. EL ARRANQUE DE UN MOTOR DE HELICE

5.1 El arranque de un motor de helice

1.Dada la definicion de coordenadas indicadas, las energıas cinetica y potencial y eltrabajo de las fuerzas externas son de la forma

T =1

22mq2

1 +1

23mq2

V =1

2K (q2 − q1)2 +

1

2Kq2

2

W = p(t)q1

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange permite definir las ecuaciones de pe-quenas oscilaciones del sistema, expresadas en forma matricial son[

2m 0

0 3m

]q1

q2

+

[K −K−K 2K

]q1

q2

=

P (t)

0

(5.1)

con las condiciones iniciales q1(0) = q2(0) = q2(0) = 0 y q1(0) = v0.

2.La respuesta transitoria del sistema vendra determinada por las frecuencias y mo-dos propios del sistema que se corresponden con soluciones armonicas q ∝ eiωt de laecuacion homogenea. Esto conduce a un problema cuya solucion no trivial (no nula)se corresponde con los valores de frecuencia que hacen singular a la matriz [K]−ω2 [J ]

por lo que la ecuacion caracterıstica es la del determinante de esta matriz igual a cero:∣∣[K]− ω2 [J ]∣∣ = 0→

(K − ω22m

) (2K − ω23m

)−K2 = 0 (5.2)

Las soluciones de esta ecuacion, las frecuencias naturales del sistema, son ω01 =√16Km

y ω02 =√

Km

. Los autovectores correspondientes son (o cualesquiera proporcio-nales a estos)

ψ1 =

3/2

1

ψ2 =

−1

1

(5.3)

con los que puede definirse la matriz modal [Ψ] = [ψ1ψ2]

3.Conocidos los modos propios del sistema es posible expresar las ecuaciones delsistema, ecuacion (5.1), en el espacio modal

[Ψ]T [J ] [Ψ] η+ [Ψ]T [K] [Ψ] η = [Ψ]T p(t) (5.4)[152m 0

0 5m

]η1

η2

+

[54K 0

0 5K

]η1

η2

=

32

−1

P (t) =

32

−1

P0 sin (Ωt)

(5.5)Las condiciones iniciales en el espacio modal se obtienen tambien a traves de la

matriz modal ya que q(t) = [Ψ] η(t):η1(0)

η2(0)

= [Ψ]−1

q1(0)

q2(0)

=

0

0

(5.6)

cbnd M. Chimeno 95

CAPITULO 5. MODELOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTADη1(0)

η2(0)

= [Ψ]−1

q1(0)

q2(0)

=

2

5v0

1

−1

(5.7)

Ası pues, se puede resolver la ecuacion diferencial de cada uno de los modos. Parael primer modo sera

152mη1 + 5

4Kη1 = 3

2P0 sin (Ωt)

η1(0) = 0

η1(0) = 25v0

⇒

η1 + ω2

01η1 = 1

5mP0 sin (Ωt)

η1(0) = 0

η1(0) = 25v0

cuya solucion (suma de homogenea y particular es)

η1(t) = A cos (ω01t) +B sin (ω01t) +1

5mP0

ω201− Ω2

sin (Ωt) (5.8)

La imposicion de las condiciones iniciales conduce a

η1(t) =

[2v0

5ω01

−P0Ω5m(

ω201− Ω2

)ω01

]sin(ω01t) +

P0

5m

ω201− Ω2

sin (Ωt) (5.9)

De un modo similar se obtiene la segunda coordenada modal:

η2(t) =

[− 2v0

5ω02

+P0Ω5m(

ω202− Ω2

)ω02

]sin(ω02t)−

P0

5m

ω202− Ω2

sin (Ωt) (5.10)

Una vez obtenida la solucion en el espacio modal puede expresar el movimiento enel espacio fısico mediante el cambio de coordenadas

q1(t)

q2(t)

= [Ψ]

η1(t)

η2(t)

=

32η1(t)− η2(t)

η1(t) + η2(t)

(5.11)

4. De la propia respuesta en el espacio modal se observa que la importancia de lavelocidad inicial en la respuesta del sistema se puede disminuir si se aumentan lasfrecuencias propias del sistema (debido a los terminos v0/ω0i) por lo que podrıa conse-guirse aumentando la rigidez del sistema o bien optimizando el diseno para disminuirla masa de los componentes.

5. Respecto a la estimacion de la carga P0 para la pala indicada, si se asume que cadapala tiene densidad por unidad de longitud constante, sus centros de masas estaransituados a L/2 y 0,9L/2 del eje de giro. Ası que el centro de masas de la helice estarasituado a d = 0, 025L del eje de giro.

Para este caso la energıa cinetica incluirıa un termino adicional debido a la asimetrıaque serıa de la forma

1

2m[(q1 + dΩ sin(Ωt))2 + (dΩ cos(Ωt))2] (5.12)

por lo que en la ecuacion correspondiente a q1 aparecera un termino forzante de laforma −mΩ2d cos(Ωt) y por lo tanto la carga serıa P0 = mΩ2d.

96 cbnd M. Chimeno


5.2 Un apoyo con seccion variable

Dado que las coordenadas de ambos modelos (para el apoyo con area constante yvariable) ya estan fijadas, antes de empezar a discutir las magnitudes energeticas delsistema es conveniente concretar si se quieren obtener las ecuaciones del movimientoabsoluto o alrededor de la posicion de equilibrio. Puesto que interesa conocer princi-palmente la respuesta dinamica y se indica que el analisis estatico ya se ha realizado,es mejor centrarse en el segundo caso. Por lo tanto, dado que el peso actua con valorconstante en la direccion de las coordenadas, solo determina la posicion de equilibrio yno las oscilaciones alrededor de esta. Ası que a la hora de calcular la energıa potencialdel sistema, la contribucion gravitatoria no se tendra en cuenta.

1.La energıa cinetica de cada apoyo dependera de su masa total y quedara distribuidaequitativamente entre q1 y q2. Para el primer apoyo la masa total sera

Mc =

∫ 2L

0

ρA(x)dx = ρA02L (5.13)

donde el subındice c se refiere de aquı en adelante a las magnitudes del apoyo con areaconstante. La inercia asociada a cada grado de libertad sera entonces mc = Mc/2 por loque la energıa cinetica sera

Tc =1

2mcq

21c +

1

2mcq

22c (5.14)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange a esta energıa respecto a q1c y q2c per-mite definir la matriz de inercia del apoyo constante

Jc =

[mc 0

0 mc

]=

[ρA0L 0

0 ρA0L

](5.15)

Para el apoyo variable, la masa total es

Mv =

∫ 2L

0

ρA(x)dx = ρA0L+

∫ 2L

L

ρA0L

xdx = ρA0L [1 + ln(2)] (5.16)

lo que de un modo analogo al apoyo uniforme conduce a la matriz de inercia

[J ]v =

[mv 0

0 mv

]=

1 + ln(2)

2

[ρA0L 0

0 ρA0L

](5.17)

2.Para calcular la matriz de rigidez de los apoyos, en particular para el apoyo con sec-cion variable resulta indispensable aplicar el metodo de Metodo de los desplazamientoso deformaciones que se basa en calcular la energıa en funcion del trabajo de deforma-cion de ciertas cargas externas. Si se asumen unas ciertas fuerzas f que produzcanunos desplazamientos q la energıa potencial se puede escribir en funcion del trabajorealizado como

U =1

2qTf (5.18)

A traves de teorıas estructurales puede definirse la deformada del apoyo debida aestas fuerzas a traves de una matriz de desplazamientos o deformaciones [D∗] de modoque se pueda escribir

q = [D∗] f (5.19)

cbnd M. Chimeno 97


Introduciendo esta relacion en la ecuacion 5.18 la energıa potencial y la matriz derigidez se pueden definir a partir de la matriz de deformaciones [D∗] ya que

U =1

2qT [D∗]−1 q (5.20)

de donde resulta directo concluir que la matriz de rigidez es la inversa de la matriz dedeformaciones [K] = [D∗]−1.

Por lo tanto para obtener la matriz de rigidez de los dos apoyos basta con obtenersus matrices de deformacion. Esto puede hacerse a partir de la aplicacion sucesiva decargas unitarias en cada uno de los grados de libertad. Al aplicar una carga 1, 0Ty determinar las deformadas lo que se esta obteniendo es directamente la primera co-lumna de la matriz [D∗] como se puede ver a traves de la ecuacion 5.19. Y al determinarla deformacion para una carga 0, 1T las deformadas obtenidas son la segunda colum-na de la matriz.

Ası pues, aplicando este metodo al primer apoyo (el de area constante), si se aplicauna carga unitaria en el punto medio, entre x = 0 y x = L el esfuerzo es σ = 1/A0 yla deformacion ε = 1/EA0 y entre x = L y x = 2L son nulos tanto el esfuerzo como ladeformacion. El desplazamiento de cada punto es entonces

q(L) =

∫ L

0

εds =

∫ L

0

1

EA0

ds =L

EA0

(5.21)

q(2L) =

∫ 2L

0

εds =

∫ L

0

1

EA0

ds =L

EA0

(5.22)

Para definir la segunda columna de [D∗] aplicamos una carga unitaria en el extremolibre: entre x = 0 y x = 2L el esfuerzo es σ = 1/A0 y la deformacion ε = 1/EA0. Losdesplazamientos son

q(L) =

∫ L

0

εds =

∫ L

0

1

EA0

ds =L

EA0

(5.23)

q(2L) =

∫ 2L

0

εds =

∫ 2L

0

1

EA0

ds =2L

EA0

(5.24)

Por lo tanto la matriz de deformaciones y la matriz de rigidez del apoyo con seccionconstante son

[D∗]c =L

EA0

[1 1

1 2

]⇒ [K]c = [D∗]−1

c =EA0

L

[2 −1

−1 1

](5.25)

Como se puede observar las unidades de la matriz de deformaciones es de m/N y dela matriz de rigidez N/m.

Para el apoyo con seccion variable el procedimiento es el mismo. Para determinarla primera columna de [D∗]v se aplica una carga unitaria en el punto medio. Entre x = 0

y x = L el esfuerzo es σ = 1/A0 y la deformacion ε = 1/EA0 y entre x = L y x = 2L son

98 cbnd M. Chimeno


nulos tanto el esfuerzo como la deformacion por lo que los desplazamientos son losmismos que para la viga constante (ecuaciones 5.21 y 5.22). Para la segunda columna,al aplicar una carga unitaria en el extremo libre, entre x = 0 y x = L el esfuerzo esσ = 1/A0 y la deformacion ε = 1/EA0 mientras que entre x = L y x = 2L el esfuerzoes σ = x/A0L y la deformacion ε = x/EA0L. Los desplazamientos de los puntos sonentonces

q(L) =

∫ L

0

1

EA0

ds =L

EA0

(5.26)

q(2L) =

∫ L

0

1

EA0

ds+

∫ 2L

L

x

EA0Ldx =

L

EA0

+1

EA0L

[x2

2

]2L

L

=5

2

L

EA0

(5.27)

Por lo tanto la matriz de deformaciones y la matriz de rigidez del apoyo con seccionvariable son

[D∗]v =L

EA0

[1 1

1 5/2

]⇒ [K]v = [D∗]−1

v =EA0

L

[5/3 −2

−2 2/3

](5.28)

3.Teniendo en cuenta que el trabajo de las fuerzas es Wf = p(t)q2 para ambos apoyos,las ecuaciones que rigen las vibraciones alrededor de la posicion de equilibrio para elapoyo con seccion constante son[

ρA0L 0

0 ρA0L

]q1c

q2c

+EA0

L

[2 −1

−1 1

]q1c

q2c

=

0

p(t)

(5.29)

mientras que para el apoyo con seccion variable son

1 + ln(2)

2

[ρA0L 0

0 ρA0L

]q1v

q2v

+EA0

L

[5/3 −2/3

−2/3 2/3

]q1v

q2v

=

0

p(t)

(5.30)

4.Si se asume que la carga producida por la maquina herramienta es armonica purade la forma p(t) = p0 sin(Ωt) se puede obtener la respuesta permanente de los apoyos atraves de la matriz de transferencia. Ası pues, si la carga es armonica, se puede asumirque lo es tambien la respuesta y de la misma frecuencia q = qa sin(Ωt) con unaamplitud qa que se sabe real por ser un sistema conservativo. Introduciendo estaforma de la respuesta en la ecuacion se obtiene[

−Ω2 [J ] + [K]]q = p (5.31)

Es decir que la respuesta permanente del sistema es funcion de la carga de la forma

q = [H] p (5.32)

donde [H] es la matriz de transferencia

[H(Ω)] =[−Ω2 [J ] + [K]

]−1 (5.33)

cbnd M. Chimeno 99


Llamandom = ρA0L y k = EA0/L, la matriz de transferencia del apoyo con seccionconstante es

[H(Ω)]c =1

∆(Ω)c

[k − Ω2m k

k 2k − Ω2m

](5.34)

siendo ∆(Ω)c = (2k − Ω2m) (k − Ω2m) − k2 el determinante de la matriz y tambien laecuacion caracterıstica que determina las frecuencias naturales de este apoyo.

Llamando ası mismo α = 1+ln(2)2

= 0,846 la matriz de transferencia del apoyo conseccion variable es

[H(Ω)]v =1

∆(Ω)v

[23k − Ω2αm 2

3k

23k 5

3k − Ω2αm

](5.35)

siendo ∆(Ω)v =(

53k − Ω2αm

) (23k − Ω2αm

)− 4

9k2 el determinante de la matriz y tam-

bien la ecuacion caracterıstica que determina las frecuencias naturales de este apoyo.

Aplicando la ecuacion 5.32 teniendo en cuenta que es p = 0, p(t)T las respuestasde ambos apoyos resultan

q1c(t) =k

∆(Ω)cp0 sin(Ωt) (5.36)

q2c(t) =2k − Ω2m

∆(Ω)cp0 sin(Ωt) (5.37)

q1v(t) =23k

∆(Ω)vp0 sin(Ωt) (5.38)

q2v(t) =53k − Ω2αm

∆(Ω)vp0 sin(Ωt) (5.39)

5. La respuesta entrara en resonancia cuando se anule el denominador correspondien-te, es decir cuando se haga nulo el determinante, lo que sucede para las frecuenciasnaturales. Para el caso del apoyo con seccion constante, estas son

ω01c=

√3−√

5

2

k

m= 0,618

√k

m

ω02c=

√3 +√

5

2

k

m= 1,618

√k

m

mientras que para el apoyo con seccion variable resultan

ω01v=

√7/3− 5/3

2α

k

m= 0,627

√k

m

ω02v=

√7/3 + 5/3

2α

k

m= 1,537

√k

m

Como se puede ver a partir de los resultados, aunque existen cambios en las fre-cuencias naturales del sistema, estos son pequenos: un 1 % para la primera y un 5 %

100 cbnd M. Chimeno


para la segunda comparados con la disminucion de masa que es del 15 % entre el apo-yo con seccion constante y el apoyo con seccion variable.

Ademas de estos valores concretos, es interesante comparar la respuesta de ambosapoyos en funcion de la frecuencia de la carga Ω. Las siguientes figuras muestran elmodulo de los dos grados de libertad para cada uno de los apoyos destacando losvalores mas significativos:

0 0,62 1 1,41 1,62 2012

5

10

Ω/√k/m

|q|p0

q1cq2c

Figura 5.1: Amplitud de la respuesta del apoyo con seccion constante en funcion de la frecuen-cia de la excitacion

0 0,63 1,08 1,4 1,54 2012

5

10

Ω/√k/m

|q|p0/k

q1vq2v

Figura 5.2: Amplitud de la respuesta del apoyo con seccion variable en funcion de la frecuenciade la excitacion

6.Se observa que efectivamente la respuesta dinamica entre ambos apoyos muestramuchas similitudes, no solo en terminos de sus resonancias. Por ejemplo, en ambos ca-sos el desplazamiento del extremo del apoyo q2 es nulo para frecuencias de excitacionmuy similares, para el apoyo de seccion Ω =

√2√k/m = 1,41

√k/m y para el apoyo

de seccion variable Ω =√

5/3α√k/m = 1,40

√k/m.

Se puede concluir por tanto que salvo que la maquina herramienta trabaje en fre-cuencias cercanas a la segunda resonancia (donde mas divergen las respuestas de losdos apoyos), el apoyo con seccion variable es la mejor opcion ya que el comporta-miento es equivalente al de seccion constante pero con un menor coste en material.Por supuesto, como se indicaba en el enunciado, esto esta sujeto a que el margen deseguridad relativo a los esfuerzos sea aceptable en ambos casos.

cbnd M. Chimeno 101


5.3 Un ensayo de choque por caıda

El primer paso es establecer el numero de grados de libertad que se desea incluir enel modelo. En este caso, resulta imprescindible considerar al menos el extremo inferiory el punto medio ya que afectan al choque y a la respuesta deseada. Por lo tanto se eligeincluir tres grados de libertad: el extremo superior de la caja (q1), el punto medio (q2) yel extremo inferior de la seccion (q3), todos ellos considerados positivos hacia arriba.

Dado que hay una fase de movimiento libre, es importante establecer claramente elsignificado fısico de las coordenadas en la primera fase del movimiento, especialmentela diferencias existentes a la hora de afrontar la determinacion de la matriz de rigidezy a la hora de calcular la respuesta.

1.,2.La distribucion de la masa de la caja (ρAL) en los grados de libertad se hace te-niendo en cuenta que los grados de libertad de los extremos representan una porcionmenor de la caja, resultando ası una distribucion como la que se muestra en la figura5.3. Por lo tanto se pueden establecer directamente la energıa cinetica y el trabajo delas fuerzas externas:

T =1

2mq2

1 +1

22mq2

2 +1

2mq2

3 (5.40)

Wf = −(mg)q1 − (2mg)q2 − (mg)q3 (5.41)

Figura 5.3: Modelo de distribucion de masa y definicion de deformaciones

Por otro lado, el calculo de la matriz de rigidez puede afrontarse aplicando el Meto-do de los desplazamientos, o deformaciones. Puesto que el modelo tiene modos como solidorıgido es necesario restringirlos. Para ello se considera fija q3 y se definen las deforma-ciones del sistema como δ1 = q2 − q3 y δ2 = q1 − q3 como se muestra en la Figura 5.3.Esta relacion puede expresarse matricialmente como δ = [R] q con

[R] =

[0 1 −1

1 0 ,1

](5.42)

Estas deformaciones se relacionaran con unas hipoteticas cargas sobre la estructurarestringida P a traves de una matriz de deformaciones o desplazamientos, [D∗], co-

cbnd M. Chimeno 103


mo δ = [D∗] P.

Para hallar la matriz de deformaciones basta aplicar una carga unitaria en cada gra-do de libertad que queda libre y resolver la deformacion del sistema. En este caso lomas sencillo es aplicar elasticidad basica.

Al aplicar una carga unitaria en la masa 2m aparece un esfuerzo σ = 1/A en la sec-cion inferior y ninguno en la superior. Ası solo hay deformacion en la seccion inferiorde valor ε = 1/EA. Las deformaciones son por tanto

δ1 =

∫ L

0

εds =L

EA(5.43)

δ2 =

∫ 2L

0

εds =

∫ L

0

1

EAds =

L

EA(5.44)

que constituyen la primera columna de [D∗]. Del mismo modo, al aplicar una carga enla masa m superior aparece una deformacion constante en toda la estructura ε = 1/EA

lo que conduce a las deformadas

δ1 =

∫ L

0

εds =L

EA(5.45)

δ2 =

∫ 2L

0

εds =2L

EA(5.46)

Por lo tanto, la matriz de deformaciones para este sistema es

[D∗] =L

EA

[1 1

1 2

](5.47)

La energıa potencial debida a la deformacion de la estructura sera igual a la mitaddel trabajo que realizan las fuerzas externas. Sera por lo tanto

U =1

2δT P =

1

2qT [R]T [D∗]−1 [R] q (5.48)

De donde se obtiene la matriz de rigidez por la deformacion elastica

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =EA

L

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

= K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

(5.49)

definiendo la rigidez equivalente K = EAL

.

Aplicando las ecuaciones de Lagrange a la energıa cinetica y el trabajo de las fuerzasexternas, y anadiendo el termino de rigidez con la matriz obtenida, las ecuaciones delsistema resultan m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

= −mg

1

2

1

(5.50)

104 cbnd M. Chimeno


El movimiento libre puede resolverse en el espacio modal, para lo cual es necesariodeterminar las frecuencias naturales y los modos propios que resultan ω1 = 0, ψ1 =

1, 1, 1T ; ω2 =√K/m, ψ2 = −1, 0, 1T y ω3 =

√2K/m, ψ3 = −1, 1,−1T . Haciendo

el cambio de variable a las coordenadas modales, q = [ψ] η, las ecuaciones resultan 4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+

0 0 0

0 2mω22 0

0 0 4mω23

η1

η2

η3

=

−4mg

0

0

(5.51)

Para resolver este sistema es necesario definir las condiciones iniciales lo que re-quiere, como se indicaba al inicio de la resolucion, discutir el significado de las coor-denadas qi en el desarrollo realizado. En t = 0 el sistema se supone a una altura h delsuelo con velocidad nula. Si se considera directamente que qi es sin mas la altura de esepunto, entonces serıa por ejemplo q3 = h y q1 = h+2L. Sin embargo, eso significarıa enel desarrollo anterior que el sistema esta deformado (p. ej. δ2 = 2L) lo que no es cierto.Por eso debe considerarse que qi es la desviacion del sistema respecto a la posicion ini-cial. De ahı que las condiciones iniciales tanto en posicion y velocidad se deban definircomo nulas q0i = 0, q0i = 0.

Con estas condiciones iniciales la solucion de la ecuacion (5.51) es η1(t) = −gt2

2,

η2(t) = 0 y η3(t) = 0. Para obtener la respuesta del sistema en el espacio fısico esimportante tener en cuenta de nuevo lo dicho en el parrafo anterior por lo que ademasdel cambio de base (q = [Ψ] η) habra que anadir la altura real de cada punto:

q1

q2

q3

=

1 −1 −1

1 0 1

1 1 −1

−gt2/2

0

0

+

h+ 2L

h+ L

h

=

h+ 2L− gt2/2h+ L− gt2/2h− gt2/2

(5.52)

Se observa que esta solucion es identica a la que se obtendrıa si se hubiese analiza-do el problema mediante mecanica y que cuando el extremo inferior llega al suelo todoel sistema tiene la misma velocidad, v0 = −

√2gh.

3.El analisis del choque contra el suelo se centra en las fuerzas que aparecen duran-te el mismo entre la pared y la masa que representa el extremo inferior de la seccion.Si asumimos que ambos quedan solidamente unidos, el extremo inferior de la seccionpasa de tener una velocidad inicial v0 a una velocidad nula en un determinado pe-riodo de tiempo ε 1 correspondiente al tiempo caracterıstico de la percusion quese produce. Partiendo de la 2a ley de Newton se puede definir la intensidad de lapercusion (o impulso) como la variacion de la cantidad de movimiento del sistemaY = (−mv0 − 2mv0)− (−mv0 − 2mv0 −mv0) = mv0. De este modo, las ecuaciones querigen la respuesta durante el choque son: m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

= −mg

−mg−2mg

−mg +mv0δ(t)

(5.53)

cbnd M. Chimeno 105


donde δ(t) es la funcion delta de Dirac.

Para definir las condiciones iniciales, podemos tomar como referencia para el ejetemporal el instante inicial del choque y analizar las coordenadas qi alrededor de laposicion del sistema en ese momento que serıa la referencia: q1ref = 2L, q2ref = L yq3ref = 0. Las condiciones iniciales correspondientes a la desviacion respecto a estaposicion de referencia seran:

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

0

0

0

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

−v0

−v0

−v0

(5.54)

4. Puesto que la percusion se produce en un tiempo ε 1 puede demostrarse quelas variaciones de desplazamiento son despreciables frente a la variacion de velocidad.Por lo tanto, la percusion de impulso mv0 puede asimilarse a una variacion en veloci-dad inicial de la masa 3 de valor (mv0)/m sin variacion de su posicion, por lo que lasecuaciones y condiciones iniciales del sistema para el movimiento posterior al choqueseran m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

=

−mg−2mg

−mg +R(t)

(5.55)

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

0

0

0

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

−v0

−v0

−v0 + mv0

m

=

−v0

−v0

0

(5.56)

donde se ha incluido en la tercera componente del termino derecho de la ecuacion(5.55) la reaccion del suelo sobre la estructura a lo largo del tiempo.

Aunque esta fuerza R(t) es desconocida, sı se conocen sus efectos: el extremo infe-rior de la seccion esta fijo q3(t) = 0 lo que permite resolver el problema y el valor deesta reaccion. Es posible por tanto, expresar de modo aislado la tercera ecuacion en elsistema de ecuaciones (5.55) para definir la reaccion en la pared en base a la respuestadel sistema:

mq3 + K (−q2 + q3) = −mg +R(t)q3(t)=0−−−−→ R(t) = −K q2(t) +mg (5.57)

Por otro lado, las dos primeras ecuaciones del sistema (5.55) resultan:[m 0

0 2m

]q1

q2

+ K

[1 −1

−1 2

]q1

q2

=

−mg−2mg

(5.58)

q1(0)

q2(0)

=

0

0

q1(0)

q2(0)

=

−v0

−v0

(5.59)

Donde ya se ha tenido en cuenta que q3(t) = 0.

106 cbnd M. Chimeno


5.La solucion de este sistema sera la suma de una cierta solucion particular y la so-lucion de la ecuacion homogenea. Como la carga es constante, la solucion particularpuede asumirse constante y obtenerse directamente:[

K −K−K 2K

]q1P

q2P

=

−mg−2mg

(5.60)

q1P

q2P

=

[K −K−K 2K

]−1 −mg−2mg

=

1

K

−4mg

−3mg

(5.61)

La solucion homogenea puede obtenerse aplicando el teorema de expansion, ex-presando la respuesta del sistema como la suma de las respuestas modales por losmodos propios. Las frecuencias naturales y modos propios del sistema (5.58) resultan:ω2

01= 2−

√2

2Km

, ψ1 = √

2, 1T ; ω202

= 2+√

22

Km

, ψ2 = −√

2, 1T . Al ser un sistema conser-vativo las coordenadas modales seran de la forma ηi(t) = Ai cos(ω0it) +Bi sin(ω0it) y larespuesta homogenea sera:

q1H

q2H

= [A1 cos(ω01t) +B1 sin(ω01t)]

√2

1

+[A2 cos(ω02t) +B2 sin(ω02t)]

−√

2

1

(5.62)

Solo queda imponer las condiciones iniciales tanto en posicion como en velocidada la respuesta del sistema (suma de la particular mas la homogenea):

q(0) = qP+ qH(0) =

−4mgK

+√

2A1 −√

2A2−3mgK

+ A1 + A2

=

0

0

(5.63)

O lo que es lo mismo[ √2 −

√2

1 1

]A1

A2

=

4mgK

3mgK

⇒A1

A2

=mg

2K

3 + 2

√2

3− 2√

2

(5.64)

Y respecto a las condiciones iniciales en velocidad:

q(0) = qH(0) =

√2B1ω01 −

√2B2ω02

B1ω01 +B2ω02

=

−v0

−v0

(5.65)

O lo que es lo mismo[ √2 −

√2

1 1

]B1ω01

B2ω02

=

−v0

−v0

⇒B1

B2

= − v0

2√

2

(√

2 + 1)/ω01

(√

2− 1)/ω02

(5.66)

Determinadas estas constantes puede expresarse finalmente el movimiento de lacaja electronica despues del choque. Si se incluye en esta expresion final la posicion dereferencia de cada una de ellas (q1ref = 2L, q2ref = L) la posicion absoluta del extremossuperior y el punto medio de la caja son

q1ABS(t) = 2L− 4mg

K+

(3 + 2√

2)mg√2K

cos(ω01t)−v0

2

√2 + 1

ω01

sin(ω01t)−

−(3− 2√

2)mg√2K

cos(ω02t) +v0

2

√2− 1

ω02

sin(ω02t)

(5.67)

cbnd M. Chimeno 107


q2ABS(t) = L− 3mg

K+

(3 + 2√

2)mg

2Kcos(ω01t)−

v0

2√

2

√2 + 1

ω01

sin(ω01t)−

−(3− 2√

2)mg

2Kcos(ω02t)−

v0

2√

2

√2− 1

ω02

sin(ω02t)

(5.68)

Como se observa en las ecuaciones (5.67) y (5.68), la respuesta se compone de untermino constante que es la posicion de equilibrio estable del sistema debido a la fuer-za de la gravedad y un termino oscilatorio alrededor de esta posicion de equilibrio.

La aceleracion del punto medio de la seccion sera por tanto:

q2(t) = −(3 + 2

√2)mgω2

01

2Kcos(ω01t) +

v0ω01

2√

2(√

2 + 1) sin(ω01t)+

+(3− 2

√2)mgω2

02

2Kcos(ω02t) +

v0ω02

2√

2(√

2− 1) sin(ω02t)

(5.69)

La respuesta del sistema, ası como la aceleracion del punto medio de la estructura semuestran a continuacion para el caso h = 2 m, L = 0,05 m, m = 1 Kg y K = 60 MN/m.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,200,00

0,05

0,10

t (s)

|q|(

m)

q1ABSq2ABS

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

−2

0

2

·104

t (s)

q 2(m

/s2)

Figura 5.4: Desplazamiento del sistema (izquierda) y aceleracion del punto medio (derecha) enfuncion del tiempo para h = 2 m, L = 0,05 m, m = 1 Kg y K = 60 MN/m

108 cbnd M. Chimeno


5.4 Las actuaciones de la Discovery One

1.Puesto que el modelo propuesto se compone de tres masas puntuales se eligen susposiciones en ejes absolutos como coordenadas generalizadas, siendo q1 la de la plantapropulsora, q2 la del centro de comunicaciones y q3 la del modulo habitable. Con estaseleccion de coordenadas la energıa cinetica del sistema puede expresarse directamentecomo

T =1

210mq2

1 +1

2mq2

2 +1

25mq2

3 (5.70)

lo que define la matriz de inercia como

[J ] =

10m 0 0

0 m 0

0 0 5m

(5.71)

Para poder obtener la matriz de rigidez por el Metodo de desplazamientos o deforma-ciones es necesario restringir en primer lugar el modo como solido rıgido que tiene elsistema. Para ello en este caso se puede considerar fija la posicion del centro de comuni-caciones para obtener de modo independiente las deformaciones de la parte delanteray trasera de la nave. De este modo la deformacion del sistema entre la planta propul-sora y el modulo de comunicaciones serıa δ1 = q1 − q2 mientras que la deformacion dela seccion entre el centro de comunicaciones y el modulo habitable serıa δ2 = q3 − q2

como se representa en la figura. La matriz de relaciones entre estas deformaciones ylas coordenadas del sistema sera entonces δ = [R] q con

[R] =

[1 −1 0

0 −1 1

]

La matriz de desplazamientos de este sistema, que relaciona las cargas aplicadascon las deformaciones, δ = [D∗] p, se puede determinar a base de las deformacio-nes longitudinales resultando

[D∗] =

[L

2EA0

0 LEA

]La energıa potencial sera por lo tanto

U =1

2δT P =

1

2qT [R]T [D∗]−1 [R] q (5.72)

por lo que la matriz de rigidez del sistema es

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =EA

L

2 −2 0

−2 3 −1

0 −1 1

(5.73)

cbnd M. Chimeno 109


Denominado k = EA/L las ecuaciones del sistema para un estado de cargas generi-co resulta: 10m 0 0

0 m 0

0 0 5m

q1

q2

q3

+ k

2 −2 0

−2 3 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

=

p1(t)

p2(t)

p3(t)

(5.74)

2. Las frecuencias naturales y los modos propios del sistema corresponden a los auto-valores y autovectores del problema libre. Asumiendo que el movimiento es armonicode frecuencia ω la ecuacion caracterıstica es la del determinante nulo∣∣[K]− ω2 [J ]

∣∣ =(k − ω25m

) [(2k − ω210m

) (3k − ω2m

)− 6k 2

]=

=(k − ω25m

) (−32km+ ω210m2

)ω2 = 0 (5.75)

Las frecuencias naturales y los modos propios resultan entonces:

ω01 = 0, ψ1 =

1

1

1

; ω02 =

√1

5

k

m,ψ2 =

−1/2

0

1

; ω03 =

√16

5

k

m,ψ3 =

1

−15

1

(5.76)

3. La respuesta permanente del sistema para la fluctuacion en la propulsion, que esuna carga armonica de frecuencia Ω esta determinada por la ecuacion

[[K]− Ω2 [J ]

]q = [D] q =

TeiΩt

0

0

(5.77)

donde [D] es la matriz de rigidez dinamica

[D] =

2k − Ω210m −2k 0

−2k 3k − Ω2m −k0 −k k − Ω25m

(5.78)

El movimiento del centro de comunicaciones puede determinarse calculando la se-gunda coordenada generalizada, por ejemplo mediante la regla de Cramer

q2(t) =

∣∣∣∣∣∣2k − Ω210m TeiΩt 0

−2k 0 −k0 0 k − Ω25m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2k − Ω210m −2k 0

−2k 3k − Ω2m −k0 −k k − Ω25m

∣∣∣∣∣∣= q2ae

iΩt (5.79)

La amplitud del movimiento del centro de comunicaciones sera

q2a =T2k (k − Ω25m)

(k − Ω25m) (−32km+ Ω210m2) Ω2=

T k

(Ω25m2 − 16km) Ω2(5.80)

110 cbnd M. Chimeno


Esta amplitud puede expresarse en funcion de un parametro α = Ω2

k/mcomo

q2a =T2k

(5kmα− 16km)α km

=1

(5α− 16)α

T

k(5.81)

4.Esta amplitud alcanza el lımite admisible para mantener las comunicaciones con laTierra cuando

q2a = 0,02T

EA/L= 0,02

T

k=

1

(5α− 16)α

T

k⇒ 5α2 − 16α− 50 = 0⇒ α = 5,144 (5.82)

Por lo que el apuntamiento puede mantenerse siempre que la frecuencia de las fluc-tuaciones en el empujen cumplan

Ω >

√5,144

k

m

5.Respecto a la segunda actuacion, la respuesta de toda la nave, y por ello tambien ladel modulo habitable sera la del problema sin cargas externas a las siguientes condi-ciones iniciales que aproximan el sistema de correccion de orbita indicado:

q(0) =

0

0

0

q(0) =

∆V

0

0

(5.83)

donde se han tomado como referencia de desplazamientos la posicion en el instantedel cambio de velocidad.

Teniendo en cuenta que el primer modo propio del sistema es como solido rıgido yque los otros dos son modos flexibles de frecuencias ω02 y ω03 , la respuesta del sistemapuede expresarse a traves del Teorema de expansion como

q(t) = (A1t+B1)

1

1

1

+ [A2 cos(ω02t) +B2 sin(ω02t)]

−1/2

0

1

+


1

−15

1

(5.84)

La imposicion de las condiciones iniciales permite determinar las seis constantesque resultan:

A1 =15

24∆V, B1 = 0, A2 = 0, B2 = − 2

3ω02

∆V, A3 = 0, B3 =1

24ω03

∆V (5.85)

Y por lo tanto la expresion de la velocidad del modulo habitable que permitirıa alordenador de a bordo avisar con tiempo a los tripulantes es

q3(t) = ∆V

[15

24− 2

3cos(ω02t) +

1

24cos(ω03t)

](5.86)

cbnd M. Chimeno 111


5.5 Un ensayo de fatiga

1.Asumiendo que las coordenadas q1 y q2 son relativas a la posicion de equilibrioestable, las energıas cinetica y potencial del sistema son

T =1

2mq2

1 +1

26mq2

2 (5.87)

U =1

2k (q2 − q1)2 +

1

26kq2

2 (5.88)

El actuador aplica una carga p(t) sobre la punta de ala por lo que realiza un trabajoW = p(t)q1 que junto con las energıas y las ecuaciones de Lagrange permite definir lasecuaciones de movimiento del ala alrededor de la posicion de equilibrio estable (al nohaber incluido el peso en el sistema)[

m 0

0 6m

]q1

q2

+

[k −k−k 11k

]q1

q2

=

p(t)

0

(5.89)

q(0) = 0 (5.90)

q(0) = 0 (5.91)

2.Para poder determinar la respuesta total del sistema es necesario desacoplar el sis-tema y por lo tanto conocer los modos propios del sistema. Estos y las frecuenciasnaturales del sistema son los autovectores y autovalores asociados al problema libreque se puede definir asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt y obtenien-do aquellas frecuencias ω que hacen singular la matriz [−ω2 [J ] + [K]]. Su determinantenulo define la ecuacion caracterıstica∣∣∣∣ k − ω2m −k

−k 11k − ω26m

∣∣∣∣ = 0⇒ ω4 − ω2 17

6

k

m+

10

6

(k

m

)2

= 0 (5.92)

cuyas soluciones son las frecuencias naturales del sistema ω01 =√

56km

y ω02 =√2 km

. Los modos propios correspondientes son los proporcionales a ψ1 =

6

1

,

ψ2 =

1

−1

.

Estos modos se normalizan con la matriz de inercia de modo que se cumpla queφiT [J ] φi = 1 para i = 1, 2, resultando la matriz modal normalizada:

[Φ] =

[6√42m

1√7m

1√42m

11√7m

](5.93)

3.Definida la matriz modal es posible obtener las ecuaciones desacopladas del siste-ma y las condiciones iniciales. Para estas ultimas puede invertirse la matriz modal obien aprovechar la condicion de ortogonalidad:

[Φ]T [J ] [Φ] η+ [Φ]T [K] [Φ] η = [Φ]T p (5.94)

cbnd M. Chimeno 113


η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) (5.95)

η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) (5.96)

Este cambio de base conduce a dos modelos de un unico grado de libertad cadauno, ambos con condiciones iniciales nulas para este problema.

El problema asociado al primer modo es

η1 + ω201η1 =

6√42m

p0 sin(Ωt) (5.97)

η1(0) = 0

η1(0) = 0

cuya solucion es la suma de una solucion homogenea y una solucion particular dela forma

η1(t) = A1 cos(ω01t) +B1 sin(ω01t) + η1p(t) (5.98)

Tomando como solucion particular η1p = 1ω2

01−Ω2

6√42m

p0 sin(Ωt) e imponiendo las condi-

ciones nulas a la solucion (5.98), resulta

η1(t) =6√42m

p01

ω201− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω01

sin(ω01t)

](5.99)

De un modo similar se obtiene la solucion de la segunda coordenada modal

η2 + ω202η2 =

6√7m

p0 sin(Ωt) (5.100)

η2(0) = 0

η2(0) = 0

que resulta

η2(t) =1√7m

p01

ω202− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω02

sin(ω02t)

](5.101)

Una vez obtenida la solucion en el espacio modal, puede realizarse el cambio decoordenadas q = [Φ] η para obtener el movimiento de la seccion de la planta pro-pulsora y la punta de ala:

q1(t) =6√42m

η1(t) +1√7m

η2(t) = (5.102)

=p0

7m

6

ω201− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω01

sin(ω01t)

]+

1

ω202− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω02

sin(ω02t)

]

q2(t) =1√42m

η1(t)− 1√7m

η2(t) = (5.103)

=p0

7m

1

ω201− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω01

sin(ω01t)

]− 1

ω202− Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω02

sin(ω02t)

]

114 cbnd M. Chimeno


4.Para analizar el fallo descrito, al asumir que el fallo se produce en la union del ac-tuador con el ala se puede resolver directamente el problema libre en el que el ala partede unas ciertas condiciones iniciales q(0) = 11q0, q0T y q(0) = 0, 0T .

Aunque es posible transformar estas condiciones iniciales al espacio modal hacien-do uso de (5.95) y (5.96) resolviendo el problema en el espacio modal, es mas practicopor la sencillez del sistema, aplicar el teorema de expansion y expresar la respuesta enla forma

q = η1(t) ψ1+ η2(t) ψ2 (5.104)

Teniendo en cuenta que ambos modos son flexibles con frecuencias ω01 y ω02 esq1

q2

= [A1 cos(ω01t) +B1 sin(ω01t)]

6

1


1

−1

(5.105)

Ası, las constantes Ai y Bi pueden obtenerse imponiendo en esta expresion las con-diciones iniciales:

q1(0)

q2(0)

= A1

6

1

+ A2

1

−1

=

11q0

q0

⇒ A1 =

12

7q0, A2 =

5

7q0 (5.106)

q1(0)

q2(0)

= B1ω01

6

1

+B2ω02

1

−1

=

11q0

q0

⇒ B1 = 0, B2 = 0 (5.107)

De modo que el movimiento del sistema tras el fallo esq1(t)

q2(t)

= q0

727

cos(ω01t) + 57

cos(ω02t)127

cos(ω01t)− 57

cos(ω02t)

(5.108)

cbnd M. Chimeno 115


5.6 Un avion contra-incendios

1.Debido a la flexibilidad de la estructura, no es posible utilizar como coordenadasgeneralizadas la deflexion de las semi-alas en el encastre, ya que el angulo girado enla union al fuselaje no determina donde esta el extremo libre. Por lo tanto se eligencomo coordenadas generalizadas los desplazamientos verticales del sistema, siendo q1

el del extremo izquierdo del ala, q2 el del fuselaje y q3 el del extremo derecho del ala,todos ellos considerados como los relativos a la posicion de equilibrio estable previo ala suelta.

2.Puesto que el interes se centra en el movimiento del avion tras la suelta de agua,esta no forma ya parte del sistema y por lo tanto aunque como se vera mas tarde in-fluye en las condiciones iniciales, no participa en la energıa cinetica del avion. Con lascoordenadas generalizadas indicadas, esta resulta

T =1

2mq2

1 +1

22mq2

2 +1

2mq2

3 (5.109)

lo que define la matriz de rigidez como

[J ] =

m 0 0

0 2m 0

0 0 m

(5.110)

Para poder obtener la matriz de rigidez por el metodo de desplazamientos o deformacio-nes es necesario restringir en primer lugar los dos modos como solido rıgido que tieneel sistema. En este caso es importante restringirlos sin modificar el comportamientode la estructura por lo que han de restringirse los desplazamientos verticales (y no losgiros). Si se restringen los desplazamientos verticales de los extremos del ala el siste-ma se reduce a una viga doblemente apoyada, por lo que solo hay una deformacionδ. En este caso lo delicado es expresar la deformada en funcion de las coordenadasgeneralizadas originales ya que al haber restringido los dos extremos, δ representa ladiferencia entre la posicion del fuselaje y el punto medio de la recta que une los extre-mos del ala. Ası pues es δ = q2 − q3+q1

2y la matriz de cambio δ = [R] q se reduce a

[R] =[−1/2 1 −1/2

]

Al solo haber una deformada, la matriz de desplazamientos se reduce a un unico valor,δ = D∗p, que para una viga doblemente apoyada resultaD∗ = L3

48EIpor lo que la matriz

cbnd M. Chimeno 117


de rigidez del sistema es

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =

−1/2

1

−1/2

48EI

L3

[−1/2 1 −1/2

]=

12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

(5.111)

Se observa que la matriz es singular como corresponde a un sistema con modoscomo solido rıgido. En este caso deberan ser dos, correspondientes al desplazamientovertical y al giro en el plano.

3. Para determinar las ecuaciones del sistema solo resta determinar las fuerzas queactuan sobre el sistema durante la suelta de la carga de agua. Al asumir que la sueltade la carga es instantanea, esta se puede aproximar por una percusion sobre la cargade agua cuyo impulso es igual a la variacion de la cantidad de movimiento del aguaque pasa de velocidad vertical nula a V0: Y = m0V0. Por lo tanto esta misma percusionactuara sobre el fuselaje hacia arriba p2(t) = m0V0δ(t). Las ecuaciones del sistema seranentonces: m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

q1

q2

q3

=

0

m0V0δ(t)

0

(5.112)

con condiciones iniciales nulas q(0) = 0, q(0) = 0.

4. Las frecuencias naturales y los modos propios del sistema son los autovalores yautovectores del problema libre que pueden determinarse imponiendo un movimientoarmonico de la forma q = qae

iωt y determinando los valores de ω para los que la matriz[K − ω2J ] resulta singular. El determinante de esta matriz igual a cero conduce a unaecuacion caracterıstica para ω:

− 2m3ω6 + 8

(12EI

L3

)m2ω4 = 0 (5.113)

cuyas soluciones, que incluyen una raız doble, son las frecuencias naturales del sis-

tema ω01 = ω02 = 0 y ω03 =√

48EImL3 .

Los dos primeros modos tienen que cumplir la ecuacion

12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

ψi1ψi2ψi3

=

0

0

0

i = 1, 2 (5.114)

es decir (tomando por ejemplo la primera de de las tres):

ψi1 − 2ψi2 + ψi3 = 0 (5.115)

El modo propio que representa el movimiento vertical del avion y que cumple es-ta ecuacion es ψ1 =

1 1 1

T. El segundo modo tendra que verificar la ecuacion

118 cbnd M. Chimeno


(5.115) y ademasψ1T [J ] ψ2 = 0 (5.116)

que conduce aψ21 + 2ψ22 + ψ23 = 0 (5.117)

Ambas ecuaciones, (5.115) y (5.117) las cumple el modo ψ2 =−1 0 1

Tque repre-

senta el giro del avion alrededor del fuselaje. Ademas de los dos modos como solidorıgido, el modelo incluye el primer modo flexible, de frecuencia ω03 =

√48EI/L3 que

es ψ3 =

1 −1 1T

o cualquiera proporcional a este.

Determinados los modos propios del sistema es posible expresar las ecuaciones enel espacio modal a traves de la matriz modal [Ψ]:

[Ψ]T [J ] [Ψ] η+ [Ψ]T [K] [Ψ] η = [Ψ]T p(t) 4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+12EI

L3

0 0 0

0 0 0

0 0 16

η1

η2

η3

=

1

0

−1

m0V0δ(t) (5.118)

con condiciones iniciales nulas η(0) = 0, η(0) = 0.

Las percusiones en el primer y tercer modo propios pueden traducirse en un cambiode las condiciones iniciales, ya que una percusion de impulso Y sobre un elemento deinercia J es equivalente a un problema libre con velocidad inicial Y/J . Entonces, elproblema en el espacio modal puede expresarse como

4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+12EI

L3

0 0 0

0 0 0

0 0 16

η1

η2

η3

=

0

0

0

(5.119)

con condiciones iniciales η(0) = 0, η(0) = m0V0

4m0 −m0V0

4mT .

Las coordenadas modales resultan de este sistema de ecuaciones:

η1(t) =m0V0

4mt (5.120)

η2(t) = 0 (5.121)

η3(t) = −m0V0

4mω3

sin(ω03t) (5.122)

5.La respuesta del sistema en el espacio fısico se obtiene de trasladar estas coordena-das al espacio fısico q = [Ψ] η, o en aceleraciones q = [Ψ] η:

q1

q2

q3

=

1 −1 1

1 0 −1

1 1 1

η1

η2

η3

(5.123)

por lo que la aceleracion del fuselaje que sufren los pilotos es

q2 = η1 − η3 =m0V0

4mt+

m0V0

4mω03

sin(ω03t) (5.124)

cbnd M. Chimeno 119

5.7. UN POSTE DE CAMARA DE STREET VIEW

5.7 Un poste de camara de Street View

1.El diseno inicial esta modelizado mediante un modelo de dos grados de libertadconservativos que dependen de las posiciones de las camaras. Siendo q1 y q2 las posi-ciones absolutas de las camaras respecto a la posicion de equilibrio las energıas cineticay potencial del sistema son

T =1

2Mq1 +

1

23Mq2 (5.125)

U =1

22K (q1 − q2)2 +

1

23K (q2 − z)2 (5.126)

donde no se ha incluido ningun termino gravitatorio al buscar la ecuacion de oscila-ciones alrededor de la posicion de equilibrio y donde se ha incluido la influencia delmovimiento del techo del coche.

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange respecto a q1 y q2 conduce a dos ecua-ciones diferenciales que expresadas en forma matricial son[

M 0

0 3M

]q1

q2

+

[2K −2K

−2K 5K

]q1

q2

=

0

3Kz(t)

(5.127)

2.Las caracterısticas modales del sistema vienen determinada por las soluciones sin-gulares del problema libre asociadas a soluciondes de la forma q ∝ eiωt que estanrelacionadas con los valores de ω que hacen nulo el determinante |[K]− ω2[J ]| = 0:∣∣∣∣ 2K − ω2M −2K

−2K 5K − ω23M

∣∣∣∣ = 3M2ω4 − 11KMω2 + 6K2 = 0 (5.128)

Las soluciones de esta ecuacion caracterıstica son las frecuencias naturales del sis-tema ω01 =

√23KM

y ω02 =√

3KM

y cuyos modos propios asociados son (o cualesquieraproporcionales a estos) ψ1 = 3

2, 1T y ψ2 = −2, 1T . La normalizacion de los modos

propios para que cumplan φiT [J ]φi = 1 para i = 1, 2 conduce a φ1 = 1√21M/4

32, 1T

y φ2 = 1√7M3

2, 1T .

3.El modelo del diseno final incluye ademas de las dos camaras una masa puntualMa unida la camara superior (q1) mediante un elemento elastico ideal de rigidez Ka

lo que supone que las energıas cinetica y potencial incluyen los terminos incluidos enlas ecuaciones 5.125 y 5.126 y otros debidos a esta masa: 1

2Maqa en la energıa cinetica

y 12Ka (q1 − qa)2 en la energıa potencial. La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange

a las energıas de este nuevo modelo conduce a las ecuaciones del diseno final que enforma matricial son M 0 0

0 3M 0

0 0 Ma

q1

q2

qa

+

2K +Ka −2K −Ka

−2K 5K 0

−Ka 0 Ka

q1

q2

qa

=

0

3Kz(t)

0

(5.129)

cbnd M. Chimeno 121


4. Ya que la carga es de tipo armonico al serlo el movimiento del techo del coche y serde interes la respuesta permanente, se puede asumir que la respuesta es armonica dela misma frecuencia q =∝ eiΩt. De este modo la ecuacion toma la forma 2K +Ka − Ω2M −2K −Ka

−2K 5K − Ω23M 0

−Ka 0 Ka − Ω2Ma

q1

q2

qa

=

0

3Kz0 sin(Ωt)

0

(5.130)

El desplazamiento de las camaras se puede determinar aplicando la Regla de Cra-mer. Siendo ∆(Ω) el determinante de la ecuacion de coeficientes de la ecuacion 5.130,la respuesta de la camara superior es

q1(t) =1

∆(Ω)

∣∣∣∣∣∣0 −2K −Ka

3Kz0 5K − Ω23M 0

0 0 Ka − Ω2Ma

∣∣∣∣∣∣ sin(Ωt) = (5.131)

= 6K2(Ka − Ω2Ma

) z0 sin(Ωt)

∆(Ω)

y la respuetsa de la camara inferior sera

q1(t) =1

∆(Ω)

∣∣∣∣∣∣2K +Ka − Ω2M 0 −Ka

−2K 3Kz0 0

−Ka 0 Ka − Ω2Ma

∣∣∣∣∣∣ sin(Ωt) = (5.132)

=[3K(Ka − Ω2Ma

) (2K +Ka − Ω2M

)− 3KK2

a

] z0 sin(Ωt)

∆(Ω)

5. La distancia relativa entre ambas camaras se mantendra constante cuando ambastengan la misma amplitud. Vistas las expresiones de la respuestas para las dos, estosucedera cuando se cumpla

6K2(Ka − Ω2Ma

)= 3K

(Ka − Ω2Ma

) (2K +Ka − Ω2M

)− 3KK2

a (5.133)

Esta expresion permite despejar el valor de masasMa necesario en funcion del restode parametros del sistema y de la frecuencia de vibracion del suelo:

Ma =KaM

Ω2M −Ka

(5.134)

122 cbnd M. Chimeno


5.8 El despegue del Saturn V

El objetivo del estudio es conocer como asciende el cohete durante los primeros ins-tantes del lanzamiento. Para poder hacerlo es necesario utilizar las cordenadas abso-lutas de las masas respecto al suelo. El peso producira una cierta deformacion estaticapero no es una posicion de equilibrio en el sentido habitual y ademas si no se incluyelas ecuaciones arrojarıan sentidos poco logicos, como que el Saturn V pueda ascenderindependientemente del valor del empuje. Por ambas razones, el peso debe incluirseen la energıa potencial.

1.Ası pues, tomando q1 como la coordenada absoluta de la primera etapa y q2 comola coordenada absoluta del resto de etapas las energıas cinetica, potencial y la funcionde disipacion de Rayleigh son

T =1

23Mq2

1 +1

2Mq2

2 (5.135)

U =1

2K (q2 − q1)2 + 3Mgq1 +Mgq2 (5.136)

D =1

2F (q2 − q1)2 (5.137)

mientras que el trabajo realizado por el empuje es Wf = p(t)q1.

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange respecto a las dos coordenadas permitedefinir las ecuaciones del movimiento que en forma matricial son[

3M 0

0 M

]q1

q2

+

[F −F−F F

]q1

q2

+

[K −K−K K

]q1

q2

=

p(t)− 3Mg

−Mg

(5.138)

2.Se observa que la matriz de amortiguamiento se puede expresar como una com-binacion lineal de las matrices de inercia en la forma [F ] = α[J ] + β[K] con α = 0 yβ = F/K. Esta relacion matematica hace que la matriz de amortiguamiento sea diago-nalizable con la matriz modal de modos conservativos, por lo que estos son tambienlos modos propios del modelo no conservativo. Las frecuencias naturales ω0i son tam-bien las del modelo conservativo mientras que las frecuencias propias son de la formaωi = ω0i

√1− γi con factores de amortiguamiento adimensionales que dependen de la

frecuencia en la forma γi = α2ω0i

+βω0i

2, en este caso γi = F

2Kω0i .

La ecuacion caracterıstica del sistema conservativo que esta asociada a que el pro-blema libre sea singular, |[K]− ω2[J ]| = 0, es

3Mω4 − 4KMω2 = 0 (5.139)

que tiene dos soluciones, una primera frecuencia nula ω01 = 0 asociada a un modo

como solido rıgido y una segunda ω02 =√

43KM

. Los modos propios correspondientesson ψ1 = 1, 1T y ψ2 = 1,−3T o cualesquiera proporcionales a estos. Normalizados

cbnd M. Chimeno 123


a traves de la matriz de inercia son φ1 = 1√4M1, 1T y φ2 = 1√

12M1,−3T .

El primer modo propio es conservativo al ser un modo como solido rıgido y dehecho siguiendo el desarrollo resulta γ1 = 0 mientras que el segundo modo tiene un

coeficiente de amortiguamiento adimensional γ2 = F2K

√43KM

y oscila a la frecuenciapropia ω2 = ω02

√1− γ2.

3. Para obtener la respuesta del sistema, dado que la carga no es puramente armoni-ca y se desea conocer la respuesta total incluida la parte transitoria, es recomendableresolver las ecuaciones en el espacio modal. Usando los modos no normalizados comobase modal q = [Ψ]η se pueden trasladar las ecuaciones al espacio modal realizan-do el cambio de base y premultiplicando por [Ψ]T :

[Ψ]T [J ][Ψ]η+ [Ψ]T [F ][Ψ]η+ [Ψ]T [K][Ψ]η = [Ψ]Tp (5.140)

que resultan[4M 0

0 12M

]η1

η2

+

[0 0

0 16F

]η1

η2

+

[0 0

0 16K

]η1

η2

=

p(t)− 4Mg

p(t)

(5.141)

A estas ecuaciones hay que anadir las condiciones iniciales, que al ser nulas en el es-pacio fısico tambien lo son en el espacio modal η = [Ψ]−1q. Este cambio de basepermite desacoplar las ecuaciones y resolver cada una de las respuestas modales porseparado.

Ası, la respuesta del primer modo propio es la solucion del problema

4Mη1 = p0 − 4Mg + εp0 sin(Ωt)

η1(0) = 0

η1(0) = 0

(5.142)

Debido a que el termino forzante tiene una componente constante y una variable larespuesta estara compuesta de una solucion homogenea o transitoria y dos solucionesparticulares o permanentes:

4Mη1h = 0→ η1h(t) = A1t+B1 (5.143)

4Mη1pA= p0 − 4Mg → η1pA

(t) =p0 − 4Mg

4M

t2

2(5.144)

4Mη1pB= εp0 sin(Ωt)→ η1pB

(t) = − εp0

4MΩ2sin(Ωt) (5.145)

Ası la respuesta del primer modo propio es de la forma

η1(t) = A1t+B1 +p0 − 4Mg

4M

t2

2− εp0

4MΩ2sin(Ωt) (5.146)

Imponer las condiciones iniciales nulas a esta solucion determina las dos constantesresultando A1 = εp0

4MΩy B1 = 0 por lo que la respuesta del primer modo propio es

η1(t) =p0 − 4Mg

4M

t2

2+

εp0

4MΩt− εp0

4MΩ2sin(Ωt) (5.147)

124 cbnd M. Chimeno


Volviendo a las ecuaciones de los modos, el problema del segundo modo a partirde la ecuacion 5.141 es

12Mη2 + 16F η2 + 16Kη2 = p0 + εp0 sin(Ωt)

η2(0) = 0

η2(0) = 0

(5.148)

Aunque puede resolverse el problema a partir de esta expresion, para simplificar lasexpresiones posteriores conviene expresar el problema en funcion de los parametrosmodales dividiendo la ecuacion por 12M :

η2 + 2γ2ω02 η2 + ω202η2 = p0

12M+ εp0

12Msin(Ωt)

η2(0) = 0

η2(0) = 0

(5.149)

La estructura de la solucion del problema es la misma que para el primer modopropio: Una solucion transitoria (para la que se puede asumir que el amortiguamientoes menor que el crıtico, γ2 < 1) y dos soluciones particulares (una correspondiente a lacomponente constante y otra corespondiente a la variable):

η2h + 2γ2ω02 η2h + ω202η2h = 0→ η2h(t) = [A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)] e

−γω02 t (5.150)

η2pA+ 2γ2ω02 η2pA

+ ω202η2pA =

p0

12M→ η2pA

(t) =p0

12Mω202

(5.151)

η2pB+ 2γ2ω02 η2pB

+ ω202η2pB =

εp0

12Msin(Ωt)→ η2pb=|η2pB

| sin(Ωt− ϕ) (5.152)

con |η2pB| = εp0

12M

√(ω2

02−Ω2)

2+(2γ2ω02Ω)

2y ϕ = atan

(2γ2ω02Ω

ω202−Ω2

).

Por lo tanto, la respuesta completa del segundo modo que debe cumplir las condi-ciones iniciales es

η2(t) = [A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)] e−γω02 t +

p0

12Mω202

+ |η2pB| sin(Ωt− ϕ) (5.153)

lo que conduce a los valores de las constantes

A2 = |η2pB| sin(ϕ)− p0

12Mω202

B2 =1

ω2

(γ2ω02A2 − |η2pB

|Ω cos(ϕ)))

La respuesta en el espacio fısico se puede definir realizando nuevamente el cambiode base:

q1(t)

q2(t)

= [Ψ]

η1(t)

η2(t)

=

[1 1

1 −3

]η1(t)

η2(t)

=

η1(t) + η2(t)

η1(t)− 3η2(t)

(5.154)

4.

cbnd M. Chimeno 125


Para un caso de funcionamiento ideal de los motores que produzca un empuje cons-tante, la respuesta del sistema es la de las anteriores expresiones con ε = 0:

η1(t) =p0 − 4M

4M

t2

2(5.155)

η2(t) =p0

12Mω202

1−

[cos(ω2t) +

γ2√1− γ2

2

sin(ω2t)

]e−γ2ω02 t

(5.156)

En este caso de empuje constante resulta sencillo identificar el sentido fısico de estasexpresiones en las que se descompone el movimiento del lanzador: la primera respues-ta modal que no es mas que el movimiento uniformemente acelerado que se obtendrıacon mecanica clasica y la segunda respuesta modal que tiene en cuenta la flexibilidaddel sistema y que en este caso concreto se corresponde con la respuesta del segundomodo a una carga escalon.

La respuesta en el espacio fısico en este caso es

q1(t) =p0 − 4M

4M

t2

2+

p0

12Mω202

1−

[cos(ω2t) +

γ2√1− γ2

2

sin(ω2t)

]e−γ2ω02 t

(5.157)

q2(t) =p0 − 4M

4M

t2

2− p0

4Mω202

1−

[cos(ω2t) +

γ2√1− γ2

2

sin(ω2t)

]e−γ2ω02 t

(5.158)

De nuevo puede verse en estas expresiones las diferentes componentes del movi-miento: en primer lugar el movimiento uniformemente acelerado debido al empujeconstante; en segundo lugar los terminos constantes que responden a la deformacionestatica del sistema en la que la estructura del lanzador se comprime debida al empuje;y por ultimo las oscilaciones del sistema debida a la dinamica del sistema que terminadesapareciendo debido al amortiguamiento del sistema.

126 cbnd M. Chimeno


5.9 El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9

1.Para determinar las ecuaciones del sistema dado que las coordenadas generaliza-das estan dadas (q1 y q2), es necesario definir las energıas cinetica, potencial elastica yde disipacion. Aunque no se requiere hasta el caso de movimiento del ASDS, convieneincluir su posible movimiento z(t) en dichas expresiones para obtener directamenteecuaciones que abarquen los dos casos de interes: la respuesta transitoria sin movi-miento del ASDS y la respuesta permanente por el movimiento de esta.

T =1

25mq2

1 +1

22mq2

2 (5.159)

U =1

25K [z(t)− q1]2 +

1

23K (q1 − q2)2 (5.160)

D =1

25F [z(t)− q1]2 +

1

2F (q2 − q1)2 (5.161)

Aunque se indica despreciable la posicion de equilibrio del sistema, resulta intere-sante incluir el peso para estudiar su influencia. En este caso (y para no modificar laexpresion anterior de la energıa potencial) el peso puede incluirse definiendo el trabajoque realiza:

W = 2mgq1 + 5mgq2 (5.162)

2.De modo que con lo anterior y aplicando las ecuaciones de Lagrange se obtienenlas ecuaciones del sistema respecto a la posicion de la etapa cuando contacta con laplataforma (que no es la de equilibrio)[

5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

=

5kz + 5F z

0

+

5mg

2mg

(5.163)

La resolucion de la respuesta para el segundo termino de la derecha definirıa laposicion de equilibrio estable referida a la posicion de contacto y la respuesta al primertermino (variable) define las oscilaciones alrededor de dicha posicion de equilibrio:

[5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

5kz + 5F z

0

(5.164)

3.Debido a la configuracion del sistema, que conduce a las matrices obtenidas, seobserva que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez. Por lo tan-to, sera diagonalizable por los modos propios del sistema conservativo. Definimos esecoeficiente de proporcionalidad como [F ] = β [K] con β = F/K. Por lo tanto, los mo-dos propios seran los del sistema conservativo, las frecuencias naturales (ω0i) serantambien las conservativas y las propias tendran un coeficiente de amortiguamientoγi = β

ω0i

2y su valor sera ωi = ω0i

√1− γ2

i .

cbnd M. Chimeno 127


Asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt, los modos propios se obtie-nen de la condicion de que la matriz [−ω2 [J ] + [K]] sea singular. Su determinante nulodefine la ecuacion caracterıstica

10m2ω4 − 31Kmω2 + 15K2 = 0 (5.165)

cuyas soluciones constituyen las frecuencias naturales del sistema: ω01 =√

35Km

y ω02 =√52Km

. Los coeficientes de amortiguamiento del sistema ası como las frecuencias pro-pias resultan

γ1 = F2K

√35Km

γ2 = F2K

√52Km

ω1 = ω01

√1− γ2

1 ω2 = ω02

√1− γ2

2

(5.166)

Los modos propios cumplen el sistema de ecuaciones[[8K −3K

−3K 3K

]− ω2

0i

[5m 0

0 2m

]]ψi

=

0

0

(5.167)

que conducen como posible solucion (ası como todas las proporcionales) a

ψ1 =

3/5

1

y ψ2 =

−2/3

1

4. Una vez conocidas las caracterısticas modales del sistema (frecuencias, amortigua-

mientos y modos propios) puede plantearse la respuesta transitoria del sistema expre-sando la respuesta en el espacio fısico como la suma de las coordenadas modales porlos modos propios teniendo en cuenta que al tratarse de modos propios flexibles conamortiguamiento, dichas coordenadas modales son de la forma

ηi(t) = [Ai cos(ωit) +Bi sin(ωit)] e−γiω0i

t (5.168)

Por lo tanto la respuesta sera:q1

q2

= [A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t)] e

−γ1ω01 t

3/5

1

+ (5.169)

+ [A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)] e−γ2ω02 t

−2/3

1

Para definirla completamente es suficiente determinar las cuatro constantes A1, A2,

B1 y B2 a partir de las condiciones iniciales del sistema. La posicion inicial en el mo-mento de contacto (que son nulas al despreciar la diferencia entre esta y la de equili-brio) es

q1(0)

q2(0)

= A1

3/5

1

+ A2

−2/3

1

=

0

0

⇒ A1 = A2 = 0 (5.170)

Por otro lado, la velocidad inicial del sistema seraq1(0)

q2(0)

= B1ω1

3/5

1

+B2ω2

−2/3

1

=

0

V0

⇒ B1 =

10

19

V0

ω1

, B2 =9

19

V0

ω2

(5.171)

128 cbnd M. Chimeno


5.Como se observa en las ecuaciones, al existir cierto amortiguamiento la respuestacalculada tiende a cero, en realidad a la posicion de equilibrio que se ha despreciadoen este analisis. Si se inicia entonces el oleaje descrito, z(t) = z0 sin(Ωt), un tiempo de-terminado despues la respuesta sera unicamente la parte permanente de la misma (denuevo por existir amortiguamiento).

Esta respuesta permanente puede obtenerse definiendo la matriz de transferenciadel sistema ya que el movimiento de la plataforma es armonico. Expresando el des-plazamiento del ASDS en el campo complejo como z(t) = z0e

iΩt las ecuaciones (5.164)resultan[

5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

=

5k + iΩ5F

0

z0e

iΩt (5.172)

La respuesta puede expresarse entonces en funcion de la matriz de transferencia[H(iΩ)] como

q1

q2

= [H(iΩ)]

5k + iΩ5F

0

z0e

iΩt (5.173)

donde la matriz de transferencia es

[H(iΩ)] =[−Ω2 [J ] + iΩ [F ] + [K]

]−1= (5.174)

=1

∆(iΩ)

[3K + iΩ3F − Ω22m 3K + iΩ3F

3K + iΩ3F 8K + iΩ8F − Ω25m

]con ∆(iΩ) = (8K + iΩ8F − Ω25m) (3K + iΩ3F − Ω22m)− (3K + iΩ3F )2.

La solucion en el campo complejo es por lo tanto

q1(t) =(3K + iΩ3F − Ω22m) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt (5.175)

q2(t) =(3K + iΩ3F ) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt (5.176)

Puesto que las cargas que aparecen sobre el sistema son sinusoidales, la respuestaen el espacio fısico es la parte imaginaria de la solucion en el campo complejo:

q1(t) = Im

(3K + iΩ3F − Ω22m) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt

(5.177)

q2(t) = Im

(3K + iΩ3F ) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt

(5.178)

cbnd M. Chimeno 129

5.10. UNA ATRACCION DE FERIA

5.10 Una atraccion de feria

El primer paso es establecer el numero de grados de libertad que dado el modelopropuesto serıan las posiciones verticales de la seccion inferior (q1) y la seccion supe-rior (q2). Si se consideran q1 y q2 como las posiciones verticales respecto de la posicionde equilibrio estable, la energıa potencial puede plantearse sin los terminos gravitato-rios, por lo que lo que se obtendra seran las ecuaciones de oscilaciones alrededor deesta posicion de equilibrio estable. La variacion de energıa gravitatoria por el movi-miento de la barcaza no es necesario incluirla si el objetivo es aplicar las ecuaciones deLagrange: 1.

T =1

26mq2

1 +1

2

3

4mq2

2 +1

2

1

4m

[ΩL cos(Ωt)]2 + [q2 + ΩL sin(Ωt)]2

(5.179)

U =1

24Kq2

1 +1

2K (q2 − q1)2 (5.180)

D =1

24F q2

1 +1

2F (q2 − q1)2 (5.181)

2.Las ecuaciones del sistema resultantes de aplicar las ecuaciones de Lagrange son[6m 0

0 m

]q1

q2

+

[5F −F−F F

]q1

q2

+

[5K −K−K K

]q1

q2

=

0

−14mΩ2L cos(Ωt)

(5.182)

3.Debido a la configuracion del sistema, que conduce a las matrices obtenidas, se ob-serva que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez. Por lo tanto,sera diagonalizable por los modos propios del sistema conservativo. Definiendo esecoeficiente de proporcionalidad como [F ] = β [K] y dada la relacion conocida entre Ky F , es β = 0,02. Por lo tanto, los modos propios seran los del sistema conservativo,las frecuencias naturales seran tambien las conservativas (ω0i) y las propias tendran uncoeficiente de amortiguamiento γi = β

ω0i

2y su valor sera ωi = ω0i

√1− γ2

i .

Asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt, los modos propios se obtie-nen de la condicion de que la matriz [−ω2 [J ] + [K]] sea singular. Su determinante nulodefine la ecuacion caracterıstica

ω4 − 11

6

K

mω2 +

2

3

K2

m2= 0 (5.183)

cuyas soluciones, ω01 =√

12Km

y ω02 =√

43Km

constituyen las frecuencias naturales delsistema. Los coeficientes de amortiguamiento del sistema ası como las frecuencias pro-pias resultan

γ1 = 0, 01√

12Km

γ2 = 0, 01√

43Km

ω1 = ω01

√1− γ2

1 ω2 = ω02

√1− γ2

2

(5.184)

Los modos propios cumplen el sistema de ecuaciones[[5K −K−K K

]− ω2

0i

[6m 0

0 m

]]ψi

=

0

0

(5.185)

cbnd M. Chimeno 131


que conducen como posible solucion (ası como todas las proporcionales) a

ψ1 =

1/2

1

y ψ2 =

−1/3

1

4. En el regimen permanente de la atraccion, la respuesta sera de la frecuencia de

giro Ω y la respuesta del sistema tendra la forma q = qa eiΩt. Introduciendo estarespuesta en la ecuacion del sistema se puede determinar la respuesta del sistema atraves de la matriz de transferencia del sistema:

q =[[K] + iΩ [F ]− Ω2 [J ]

]−1 p(t) (5.186)q1(t)

q2(t)

=

1

∆ (iΩ)

[K + iΩF − Ω2m K + iΩF

K + iΩF 5K + iΩ5F − Ω26m

]0

−14mΩ2L cos(Ωt)

(5.187)

con ∆ (iΩ) = (5K + iΩ5F − Ω26m) (K + iΩF − Ω2m)− (K + iΩF )2.

La respuesta de la seccion inferior es pues

q1(t) =K + iΩF

∆ (iΩ)

[−1

4mΩ2L cos(Ωt)

](5.188)

La amplitud de la cabina de control en esta seccion solo podrıa ser nula si se cum-pliese 1

4mΩ2L |K + iΩF | = 0, es decir que la atraccion no este en marcha (Ω = 0) o

K2 + Ω2F 2 = 0. Puesto que esta relacion no puede cumplirse para ninguna velocidadde giro, es imposible que la seccion inferior no vibre durante el funcionamiento de laatraccion.

132 cbnd M. Chimeno


5.11 Un instrumento de observacion

1.Dado el modelo propuesto, se incluye solo el desplazamiento vertical de la plata-forma por lo que se puede reducir el sistema a un modelo de dos grado de libertad:q1 el desplazamiento vertical de la plataforma y q2 el desplazamiento del instrumento.Ambas se toman absolutas respecto a la posicion de equilibrio estable, por lo que nose tendra en cuenta la variacion de energıa potencial gravitatoria, obteniendo ası lasecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio estable.

Con estas consideraciones las energıas cineticas, potencial de deformacion y de di-sipacion con estos grados de libertad son

T =1

26mq2

1 +1

2mq2

2 (5.189)

U = 2

(1

22Kq2

1

)+

1

2K (q2 − q1)2 (5.190)

D = 2

(1

22F q2

1

)+

1

2F (q2 − q1)2 (5.191)

Ante dos cargas genericas p1(t) y p2(t) actuando sobre el sistema, el trabajo querealizan sera

W = p1q1 + p2q2 (5.192)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange determinan las ecuaciones de pequenasoscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio:

6mq1 + 5F q1 − F q2 + 5Kq1 −Kq2 = p1(t) (5.193)

mq1 + F q2 − F q1 +Kq2 −Kq1 = p2(t) (5.194)

que se pueden expresar de modo matricial como[6m 0

0 m

]q1

q2

+

[5F −F−F F

]q1

q2

+

[5K −K−K K

]q1

q2

=

p1

p2

(5.195)

En cualquier caso, si interesase conocer la posicion de equilibrio estable alrededorde la que oscila el sistema, esta se podrıa determinar analizando la deformacion delsistema debida al peso: [

5K −K−K K

]q1eq

q2eq

=

−6mg

−mg

(5.196)

que resulta ser q1eq

q2eq

=

−7

4mgK

−114mgK

(5.197)

2.Volviendo al analisis dinamico, como se observa en la ecuacion (5.195), la matriz dedisipacion puede expresarse como una combinacion lineal de las matrices de inerciay rigidez [F ] = α [J ] + β [K] por lo que es diagonalizable por los modos propios delsistema conservativo [J ] q + [K] q = 0, en este caso con α = 0 y β = 0,1. Por

cbnd M. Chimeno 133


lo tanto los modos propios del sistema conservativo son tambien los del sistema noconservativo, las frecuencias naturales ω0i son tambien las del sistema conservativo yel coeficiente de amortiguamiento de cada modo es γi = α

2ω0i+ β

ω0i

2.

La ecuacion caracterıstica del sistema conservativo se puede definir considerandouna solucion del tipo q(t) = qa eiωt en la ecuacion [J ] q+ [K] q = 0 resultando

6m2ω4 − 11Kmω2 + 4K2 = 0 (5.198)

cuya resolucion permite definir las frecuencias naturales

ω01 =

√1

2

K

m(5.199)

ω02 =

√4

3

K

m

ası como las frecuencias propias

ω1 = ω01

√1− γ2

1 = ω01

√√√√1−

(0,1

2

√1

2

K

m

)2

(5.200)

ω2 = ω02

√1− γ2

2 = ω02

√√√√1−

(0,1

2

√4

3

K

m

)2

Los modos propios del sistema son los del conservativo y resultan (o cualquieraproporcional a estos)

ψ1 =

1/2

1

ψ2 =

−1/3

1

(5.201)

Ası, la matriz modal sera:

[Ψ] =

[1/2 −1/3

1 1

](5.202)

3. El primero de los escenarios planteados es un problema libre de condiciones inicia-les (una velocidad V0 en el instrumento) que puede resolverse por ejemplo planteandola respuesta del sistema como la suma de los modos propios por las coordenadas mo-dales:

q(t) = η1(t) ψ1+ η2(t) ψ2 (5.203)

Si se asume que el amortiguamiento es pequeno, menor que el crıtico, las coorde-nadas modales seran de la forma

ηi(t) = [Ai cos(ωit) +Bi sin(ωit)] e−γiω0i

t

La condicion inicial en desplazamiento determinara en este caso el valor de lasconstantes Ai:

q1(0)

q2(0)

= A1

1/2

1

+ A2

−1/3

1

=

0

0

(5.204)

134 cbnd M. Chimeno


de donde se obtiene que A1 = A2 = 0.La condicion inicial en velocidad implica

q1(0)

q2(0)

= B1ω1

1/2

1

+B2ω2

−1/3

1

=

0

V0

(5.205)

Lo que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas cuya soluciones

B1ω1

B2ω2

=

[1/2 −1/3

1 1

]−10

V0

⇒B1

B2

=

2/(5ω1)

3/(5ω2)

V0 (5.206)

Determinadas las constantes, el movimiento del instrumento debido a esta veloci-dad inicial es

q2(t) =V0

5

[2

ω1

sin(ω1t)e−γ1ω01 t +

3

ω2

sin(ω2t)e−γ2ω02 t

](5.207)

4.El segundo escenario es un caso de respuesta permanente a una carga armonica.En este caso las cargas externas son de la misma frecuencia pero no necesariamente enfase por lo que se pueden expresar como

p(t) =

p1

p2

eiΩt (5.208)

donde p1 y p1 son numeros complejos con un cierto desfase entre si.

En este caso la respuesta puede resolverse bien en el espacio fısico a traves de la ma-triz de transferencia del sistema o bien estudiando la respuestas modales permanentesa la cargas generalizadas. Dado que se quiere conocer si es posible que la respuesta seaproporcional solo a uno de los modos el segundo enfoque es el adecuado. Para ello,sera necesario definir las cargas generalizadas en el espacio modal pM(t)

pM(t) = [Ψ]T p(t) =

[1/2 1

−1/3 1

]p1

p2

eiΩt (5.209)

pM(t) =

p1

2+ p2

− p1

3+ p2

eiΩt (5.210)

Para que la respuesta sea proporcional solo al segundo modo propio, la respuestadel primero ha de ser nula, es decir ha de ser nula la primer fuerza generalizada modal.La condicion es entonces p1

2+ p2 = 0. Por lo tanto es necesario que ambas cargas esten

en contrafase y que el modulo de la fuerza sobre el instrumento sea la mitad de lafuerza sobre la plataforma (p2 = − p1

2).

cbnd M. Chimeno 135

5.12. LAS PROTECCIONES DE UN CIRCUITO DE F1

5.12 Las protecciones de un circuito de F1

Asumiendo que tras el choque el coche y las protecciones quedan solidariamenteunidas y tomando la posicion del choque como de referencia, pueden expresarse lasenergıas potenciales, elastica y de disipacion en funcion de q1 y q2 de la forma

T =1

2M1q

21 +

1

2M2q

22 (5.211)

U =1

2K1 (q2 − q1)2 +

1

2K2q

22 (5.212)

D =1

2F1 (q2 − q1)2 +

1

2F2q

22 (5.213)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange para q1 y q2 permite definir las ecua-ciones del movimiento alrededor de las posiciones del instante del choque, que expre-sadas en forma matricial son[M1 0

0 M2

]q1

q2

+

[F1 −F1

−F1 F1 + F2

]q1

q2

+

[K1 −K1

−K1 K1 +K2

]q1

q2

=

0

0

(5.214)

Para el problema general, el sistema tendrıa modos propios complejos debidos alamortiguamiento viscoso, por lo que habrıa que resolver el problema obteniendo estosde este sistema o bien planteando el problema en terminos de la matriz ampliada. Sinembargo, para la configuracion indicada[

3/2M2 0

0 M2

]q1

q2

+

[2F2 −2F2

−2F2 3F2

]q1

q2

+

[2K2 −2K2

−2K2 3K2

]q1

q2

=

0

0

(5.215)

se observa que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez de laforma ([F ] = F2

K2[K]) lo que significa que es diagonalizable por los modos propios del

sistema conservativo. Por lo tanto, los modos propios del sistema seran los del sistemaconservativo, ası como las frecuencias naturales. Por otro lado, las frecuencias propiasdel sistema (ωi = ω0i

√1− γi) se pueden definir a partir del coeficiente de amortigua-

miento adimensional que para este caso sera γi = 12F2

K2ω0i .

Las frecuencias naturales y los modos propios pueden obtenerse analizando el pro-blema conservativo libre [J ] q + [K] q = 0 imponiendo una solucion armonicade la forma q(t) = qa eiωt y determinando las frecuencias ω0i que hacen singular lamatriz |

[[K]− ω2

0i[J ]]| = 0.

Ası se obtienen las frecuencias naturales ω01 =√

13K2

M2y ω02 =

√4K2

M2y los mo-

dos propios que son ψ1 =

43, 1T , ψ2 = 1,−2T o cualquiera otros propor-

cionales a estos. Los modos se normalizan con la matriz de inercia para que resulte

φiT [J ] φi = 1 para i = 1, 2 obteniendo los modos normalizados φ1 =√

311M2

43, 1T

y φ2 =√

211M2

1,−2T .

cbnd M. Chimeno 137


La respuesta del sistema tras el choque puede obtenerse resolviendo esta para lacondicion inicial indicada (V0 en ambos grados de libertad). La resolucion puede plan-tearse en el espacio modal si se obtiene la proyeccion de estas condiciones iniciales enel mismo:

η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) = 0 (5.216)

η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) =

3V0

√3M2

11

−V0

√M2

22

(5.217)

De este modo los dos problemas de un grado de libertad en el espacio modal son

η1 + 2γ1ω01 + ω201η1 = 0 (5.218)

con condiciones iniciales η1(0) = 0, η1(0) = 3V0

√3M2

11y

η2 + 2γ2ω02 + ω202η2 = 0 (5.219)

con condiciones iniciales η2(0) = 0, η2(0) = −V0

√M2

11cuyas soluciones respectivas son

η1(t) =3V0

ω1

√3M2

11sin (ω1t) e

−γ1ω01 t (5.220)

η2(t) =−V0

ω2

√M2

22sin (ω2t) e

−γ2ω02 t (5.221)

A partir de esta solucion puede obtenerse la velocidad del habitaculo (masa M1,coordenada q1) aplicando el cambio de base al espacio fısico q = [Φ] η:

q1(t) =1√

11M2

[4√

3

3η1(t) +

√2η2(t)

]= (5.222)

=V0

11

[12

ω1

sin (ω1t) e−γ1ω01 t − 1

ω2

sin (ω2t) e−γ2ω02 t

]Por lo que finalmente la velocidad sera

q1(t) =V0

11

12

ω1

[ω1 cos(ω1t)− γ1ω01 sin(ω1t)] e−γ1ω01 t + (5.223)

− 1

ω2

[ω2 cos(ω2t)− γ2ω02 sin(ω2t)] e−γ2ω02 t

138 cbnd M. Chimeno


5.13 Las protecciones complejas de un circuito de F1

1.Asumiendo que tras el choque el vehıculo y las protecciones quedan solidariamenteunidas y tomando la posicion del choque como de referencia, las energıas potenciales,elastica y de disipacion pueden expresarse en funcion de q1 y q2 de la forma

T =1

2M1q

21 +

1

2M2q

22 (5.224)

U =1

2K1 (q2 − q1)2 +

1

2K2q

22 (5.225)

D =1

2F1 (q2 − q1)2 +

1

2F2q

22 (5.226)

2.La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange para q1 y q2 permite definir las ecua-ciones del movimiento alrededor de las posiciones del instante del choque, que expre-sadas en forma matricial son[M1 0

0 M2

]q1

q2

+

[F1 −F1

−F1 F1 + F2

]q1

q2

+

[K1 −K1

−K1 K1 +K2

]q1

q2

=

0

0

(5.227)

Para los valores del diseno actual las ecuaciones son[560 0

0 560

]q1

q2

+ 104

[1 −1

−1 8

]q1

q2

+ 1010

[1 −1

−1 1, 5

]q1

q2

=

0

0

(5.228)

3.Puesto que la matriz de amortiguamiento no es combinacion lineal de las de inerciay rigidez, es necesario resolver los autovalores del problema amortiguado que resul-taran complejos, ası como los modos propios del sistema que tambien resultaran com-plejos.

Este problema puede resolverse mediante el metodo de la matriz ampliada defi-niendo un nuevo vector de estado x = q1, q2, q1, q2T , para el que las anterioresecuaciones pueden escribirse como[

JA]x+

[KA]x = 0 (5.229)

donde las matrices ampliadas son funcion de las matrices de inercia, amortiguamientoy rigidez, [J ], [F ] y [K] del problema original de la forma

[JA]

=

[[F ] [J ]

[J ] 0

] [KA]

=

[[K] 0

0 [−J ]

](5.230)

Las condiciones iniciales para el problema expresadas en el vector de estado sonunicas ya que el nuevo sistema de ecuaciones es de primer orden: x(0) = 0, 0, V0, V0T .

Ası, asumiendo que la respuesta es de la forma x = xa eλt donde tanto la ampli-tud de la respuesta xa como las raıces λ se asumen complejas, la ecuacion del sistemaresulta [

λ[JA]

+[KA]]x = 0 (5.231)

cbnd M. Chimeno 139


Los autovalores seran las raices del determinante∣∣λ [JA]+

[KA]∣∣ = 0. Estas resul-

tan dos parejas de autovalores complejos

λ1,2 = −2,3939× 10−2 ± 1,9785× 103i

λ3,4 = −5,6418× 10−2 ± 6,3813× 103i

A partir de los autovalores se pueden definir las frecuencias naturales y los coefi-cientes de amortiguamiento teniendo en cuenta que los autovalores se expresan dela forma λr = −ω0rγr ± ω0r

√1− γ2

r i. Ası, las frecuencias naturales (ω0r = |λr|) y loscoeficientes de amortiguamiento (γr = −Reλr/|λr|) resultan

ω01 = 1978,64 rad/s, γ1 = 0,0121, ω1 = ω01

√1− γ2

1

ω02 = 6381,59 rad/s, γ2 = 0,0088, ω2 = ω02

√1− γ2

2

Los diferentes modos propios cumplen la ecuacion[λr[JA]

+[KA]]ψr = 0 (5.232)

Los modos propios (o cualquieras proporcionales a ellos) que resultan dos parejasde complejos conjugados son

ψ1,2 =

7,1923× 10−6 ∓ 4,9237× 10−4i

3,2173× 10−6 ∓ 3,8448× 10−4i

9,7398× 10−1 ± 2,6017× 10−2i

7,6062× 10−1 ± 1,5570× 10−2i

ψ3,4 =

3,2615× 10−6 ± 1,2203× 10−4i

−1,0315× 10−6 ∓ 1,5634× 10−4i

−7,7891× 10−1 ± 1,3928× 10−2i

9,9978× 10−1 ± 2,2383× 10−3i

Ası, la matriz modal sera

[Ψ] =[ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

](5.233)

4. La solucion puede obtenerse mediante el teorema de expansion o bien expresandoel problema en el espacio modal de la forma

[Ψ]T[JA]

[Ψ] η+ [Ψ]T[KA]

[Ψ] η = 0 (5.234)

obteniendo dos parejas de ecuaciones complejas conjugadas. Aunque no se han norma-lizado los modos propios basta dividir cada ecuacion por el coeficiente que multiplicaa ηr para que las ecuaciones resulten de la forma

ηr − λrηr = 0 r = 1, 2, 3, 4 (5.235)

cuyas soluciones son del tipoηr(t) = Are

λrt (5.236)

140 cbnd M. Chimeno


Las condiciones iniciales en el espacio modal se determina mediante la matriz mo-dal:

η(0) = [Ψ]−1 x(0) (5.237)

resultando

η1,2(0) = (0,5678± 0,0072i)V0 = 0,567831V0e±0,0126163i

η3,4(0) = (0,0682∓ 0,0064i)V0 = 0,068485V0e∓0,0933308i

Con estas condiciones se pueden determinar las constantesAr de la ecuacion (5.236).Ası, la respuesta modal del sistema es

η1(t) = (0,5678 + 0,0072i)V0eλ1t

η2(t) = (0,5678− 0,0072i)V0eλ2t

η3(t) = (0,0682− 0,0064i)V0eλ3t

η4(t) = (0,0682 + 0,0064i)V0eλ4t

A partir de esta solucion puede obtenerse la velocidad del habitaculo (masa M1,coordenada q1) aplicando el cambio de base al espacio fısico x = [Ψ] η. Denomi-nando ψij a la componente j del modo i, el desplazamiento del habitaculo es:

q1(t) = ψ11η1(t) + ψ21η2(t) + ψ31η3(t) + ψ41η4(t) (5.238)

Ahora bien, puesto que los modos propios son parejas de complejas conjugadasa pares, ψ21 = ψ11, ψ41 = ψ31, y esto tambien sucede con las diferentes coordenadasmodales, η2(t) = η1(t), η4(t) = η3(t), esta expresion se reduce a

q1(t) = 2 Re ψ11η1(t)+ 2 Re ψ31η3(t) (5.239)

Es decir

q1(t) = 2 Re

2,7961× 10−4V0e+1,5688ieλ1t

+ 2 Re

8,3603× 10−6V0e

−1,6374ieλ3t

El argumento de los coeficientes complejos resulta el desfase de las diferentes com-ponentes de la respuesta, que expresada en su forma final es

q1(t) = 5,5923× 10−4V0 cos (ω1t+ 1,5688) e−γ1ω01 t +

+ 1,6721× 10−5 cos (ω2t− 1,6374) e−γ2ω02 t

La derivada de esta expresion determina la velocidad que experimenta el piloto enel habitaculo durante el choque

q1(t) = V0

5,5923× 10−4V0 [ω1 sin(ω1t+ 1,5688)− γ1ω01 cos(ω1t+ 1,5688)] e−γ1ω01 t +

+ 1,6721× 10−5 [ω3 sin(ω3t− 1,6374)− γ3ω03 cos(ω3t− 1,6374)] e−γ3ω03 t

Puede comprobarse que se verifican las condiciones iniciales

q1(0) = 5,5923× 10−4V0 cos (1,5688) + 1, 6721× 10−5 cos (−1,6374) = 0

q1(0) = V0

5,5923× 10−4 [ω1 sin(1,5688)− γ1ω01 cos(1,5688)] +

+ 1,6721× 10−5 [ω3 sin(−1,6374)− γ3ω02 cos(−1,6374)]

= V0

cbnd M. Chimeno 141

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