UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

C970- Verificación de la ecuación de Navier en

Vigas isostáticas.

FRANCISCO JAVIER PINO MOLINA

Profesor:

Bernardo Garate.

Asignatura:

Resistencia de Materiales II (Vespertino).

Carrera:

Ingeniería Civil Mecánica.

2do Semestre 2014.

Santiago - Chile

2014

Índice.

Resumen del contenido del informe… …………………………………….…………..3

Objetivo…………………………………………………………………………….……….3

Características técnicas de los equipos e instrumentos empleados...……..……….4

Descripción del método seguido……………………………..………………….………5

Presentación de resultados…………………………………..……………………….….6

Discusión de los resultados, conclusiones y observaciones personales…….……..8

ApéndiceTeoría del experimento…………………………………………………………...9

Desarrollo de los cálculos……………………………….………………………15

Tablas de valores obtenidos y calculados…………………………………….17

Bibliografía empleada…………………..……………………………………….19

Resumen del contenido del informe.

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En este informe se presentara lo realizado en la experiencia de laboratorio

“Verificación de la ecuación de Navier en vigas isostáticas”, primero se establecen

los objetivos generales y específicos propuestos para la experiencia, después se

presentan y describen las características técnicas de los instrumentos y equipos

empleados para el desarrollo de la experiencia, seguido, se describe el método a

seguir en la experiencia iniciado con una introducción teórica para los casos

experimentales del laboratorio, finalmente en el informe se presentan los

resultados obtenido para establecer los análisis de los datos y las conclusiones

respectivas.

Objetivo.

Objetivo General

- En una viga isostática sometida a flexión, determinar experimentalmente los

esfuerzos mediante Strain Gages; y comparar con los valores teóricos

dados por la ecuación de Navier.

Objetivos Específicos

- Analizar las hipótesis de cálculo en que se basa la deducción de la

ecuación de Navier.

- Analizar y confirmar, en qué casos se cumple la ecuación de Navier y en

cuáles casos no se cumple.

- Verificar la distribución de esfuerzos en una sección transversal dada.

3

Características técnicas de los equipos e instrumentos empleados.

- Cinta extensométrica.

- Medidor de deformaciones.

- Pesos.

4

Marca: Micro Measurements Group.

Marca: Micro Measurements Group.

Resolución: 1 x 10-6

Modelo: P-3500

- Pie de metro.

Descripción del método seguido.

La experiencia inicia con una introducción hecha por el profesor, explicando

el marco teórico de la flexión en resistencia de materiales, demostrando como se

relacionan los esfuerzos normales de Hooke y los esfuerzos normales de Navier

para un mismo punto en una viga sometida a una carga en su extremo para

determinar el módulo de elasticidad mediante el ensayo de flexión, además, el

profesor explica el principio de funcionamiento de las cintas extensométricas. En la

parte experimental el profesor nos explica que el laboratorio se desarrolla en dos

partes, para el caso 1 se carga una viga en el extremo con pesos ya determinados

y se toma la lectura de la deformación en la cinta extensométrica ubicada

longitudinalmente, con estos datos más los proporcionados con la sección de la

barra se puede calcular un módulo de elasticidad promedio, en el caso 2 el

procedimiento es el mismo, solo que ahora se tiene una cinta extensométrica

ubicada transversalmente, las cargas se aplican 2 veces para tomar lecturas tanto

de cinta transversal como de la longitudinal con el fin de poder determinar el

coeficiente de Poisson en la barra.

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Marca: Mitutoyo.

Rango de operación: 0-360mm.

Resolución: 0.05 mm.

Presentación de resultados.

Caso1.

Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)

26,1 0,31 2,575

Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) ε (x10^-6)

1 0,1 89

2 0,2 181

3 0,3 271

4 0,4 362

5 0,5 453

6 0,6 542

7 0,7 634

El módulo de elasticidad se calcula:

E= 6LPb h2 ε

Ensayos N°Módulo de elasticidad

(Mpa)1 697302 685753 687014 685755 684996 687017 68521

Módulo de Elasticidad promedio± Desviación estándar68757 ± 436.1 Mpa

L: Largo de la barra.h: Altura espesor de la barra.b: Ancho de la barra.P: Carga efectuada para el ensayo de flexión.ε: Deformación (adimensional)

Caso 2.

6

Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)

26 0,635 2,54

Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) εL (x10^-6) εt (x10^-6)1 0,5 109 342 1 216 683 1,5 325 1014 2 429 134

5 2,5 538 168

El módulo de elasticidad se calcula:

E= 6LPb h2 ε

Y el coeficiente de Poisson:

ν=|εtεl|Ensayos N°

Módulo de Elasticidad Coef de PoissonResultados Mpa

1 68518 0,31192 69153 0,31483 68940 0,31084 69636 0,31245 69410 0,3123

Módulo de Elasticidad promedio ± Desviación estándar69132 ± 431.7 Mpa

Coeficiente de Poisson Promedio ± Desviación estándar0,3124 ± 0.00148

L: Largo de la barra.h: Altura espesor de la barra.b: Ancho de la barra.P: Carga efectuada para el ensayo de flexión.ε: Deformación (adimensional)

Discusión de los resultados, conclusiones, y observaciones personales.

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Analizando los resultados obtenidos, se puede decir que para el caso 1 el

valor calculado promedio de 68757 Mpa y al compararlo con el referencial del

Aluminio 7075 con módulo de elasticidad de 72000 Mpa el error porcentual

equivale a un 4.5%, análogamente para el caso 2 el error es de 3.9%, son errores

bajos para considerar que se trata de la misma gamma de materiales de aluminio

por lo tanto se puede aceptar que se trabaja con el material correcto, Ahora,

analizando cada ensayo se puede evidenciar, que los módulos de elasticidad

calculados no varían considerablemente de uno respecto a otro según las

condiciones del ensayo, es decir cambiando pesos y longitudes, por lo tanto, se

demuestra experimentalmente que el módulo de elasticidad es una propiedad

mecánica que depende solo de material y esta puede variar solo si se trata

especialmente con algún tratamiento de dureza, con tratamiento térmico para

mejorar sus propiedades; respecto al resultado obtenido al calcular el coeficiente

de Poisson se obtiene un valor muy semejante al presentado en la tabla de

propiedades físicas del aluminio mostrado en el anexo c.

El ensayo puede estar sometido a varias fuentes de error asociadas a que

no obtuviéramos resultados más precisos con los valores obtenidos al buscar las

propiedades mecánicas del aluminio, como por ejemplo, configurar correctamente

el medidor de deformaciones y/o la calibración del instrumento ya que puede

resultar ser un error propio de la instrumentación, se debió haber corroborado el

peso real de las cargas aplicadas con una balanza ya calibrada para así asegurar

un buen calculo y finalmente la sensibilidad de las cintas extensométricas ya que

están cintas debieran ser cambiadas después de un periodo de experimentación,

dato que desconocemos para asegurar una buena medición.

En forma general el experimento cumplió con los objetivos, ya que logro

determinar los esfuerzos mediante cintas extensométricas de una viga sometida a

flexión y estos valores son comparados por la ecuación de Navier.

Apéndice

8

a) Teoría del experimento

La determinación de las deformaciones y esfuerzos en un elemento

estructural sometido a diferentes tipos de solicitaciones, se efectúa a través de

diversos métodos experimentales, tales como: Cintas extensométricas,

fotoelasticidad, barnices frágiles, entre los más usados. Estos métodos permiten

determinar las deformaciones y con ellas determinar el estado de esfuerzos o

tensiones de una pieza, midiendo con los instrumentos apropiados algún cambio

en las propiedades físicas de ella, o bien, de un modelo, al ser sometido a una

cierta solicitación, ya sea, tracción, flexión o torsión.

Las cinta extensométrica o strain gage, es la técnica más usada para medir

deformación en el campo del análisis experimental de esfuerzos; se pega

adecuadamente sobre ciertos puntos de interés sobre la superficie del elemento a

analizar y no se requiriere elaborar un modelo que represente al elemento en

estudio.

Básicamente, el "strain gage de resistencia óhmica variable" consiste de

una resistencia eléctrica extremadamente delgada y pequeña, pegada entre dos

hojas de material flexible que le sirven como soporte. Los valores de resistencia

eléctrica de 120 y 350 ohm son los más comunes. Hoy en día la resistencia

eléctrica de los strain gage se elabora al grabar una rejilla sobre un papel metálico

extremadamente delgado (foil), donde gran parte de la longitud de los hilos de la

rejilla es paralela a una dirección fija. Usualmente el espesor del gage es de

9

0.05 mm o menos, el cual incluye el soporte y la rejilla. Los strain gage se diseñan

para medir el promedio de deformación bajo sí mismos, en la dirección axial de la

rejilla, y para ser insensibles lo más posible a la deformación en la dirección

transversal. Debido a que los hilos metálicos de la rejilla, soportan la misma

deformación que el objeto al cual están firmemente pegados, su longitud inicial y a

la vez su sección, se modifica, lo cual conduce a la variación de la resistencia

eléctrica.

La resistencia eléctrica comúnmente se fabrica con una aleación metálica,

compuesta por cobre y níquel, conocida como constatan, y el soporte se fabrica de

un material duro y flexible de polymide o de resina epóxica reforzada con fibras de

vidrio para elevadas temperaturas, el cual sirve para mantener aislada

eléctricamente a la rejilla del objeto y transferir la deformación de la superficie

hacia la rejilla. Medir directamente la variación de la resistencia eléctrica del strain

gage no es práctico debido a que las variaciones son muy pequeñas

(0.00024 ohm/md para un gage de 120 ohm). Generalmente se emplea un

dispositivo de medición que cuente con el puente de Wheatstone como el circuito

primario sensitivo, y con un circuito eléctrico de amplificación la pequeña señal del

puente puede ser manejada hacia un dispositivo de lectura. Un indicador de

deformación comercial típico es el indicador P-3500 de la marca VISHAY, el cual

arroja las lecturas de deformación en términos de micro deformaciones (me). Lo

que se mide con una cinta extensométrica es la variación de la resistencia

eléctrica producida por un cambio de longitud, estos cambios están relacionados

de la siguiente manera:

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En que:

= Cambio de resistencia eléctrica de la C.E.

F = Factor de cinta (gage factor)

= Resistencia inicial de la C.E.

= Longitud inicial de la cinta

= Cambio de longitud de la C.E.

Generalmente, esta relación se expresa de la siguiente forma:

Donde

= Deformación unitaria de la C.E. y se designa por

Es decir, el factor F de la cinta extensométrica, también, se puede expresar de la

siguiente manera:

Por lo tanto, el valor de la deformación es igual a:

11

La ecuación anterior es el fundamento de la medición eléctrica de

magnitudes mecánicas.

Se usará una C.E. simple, siempre y cuando se sepa de antemano que el

estado de esfuerzos es uniaxial y se conoce con una precisión mejor al 5 % las

direcciones principales. La medición de la deformación de una cinta

extensométrica se efectúa a través de un puente de Wheatstone. En la rama AB

del puente se conecta la resistencia eléctrica correspondiente a la cinta

extensométrica, en las tres ramas restantes se conectan resistencias eléctricas

iguales a la resistencia de la cinta, con el objeto de equilibrar el puente. La

conexión se denomina medio puente de Wheatstone cuando dos de las ramas del

puente son activas, ya sea dos cintas activas, o bien, una cinta activa y la otra

compensadora, debido al efecto de la temperatura en la resistencia eléctrica de la

cinta.

Módulo de Young

La determinación del módulo de elasticidad o módulo de Young se puede

determinar experimentalmente, sometiendo una viga en voladizo a una fuerza en

el extremo libre de dicha viga.

El valor del esfuerzo por flexión es igual a:

12

Siendo M el momento flector y el módulo resistente a la flexión. El valor

máximo de M es igual a:

Siendo P la fuerza aplicada y L la distancia comprendida entre el centro de la

cinta y la línea de acción de la fuerza P aplicada.

El valor del módulo resistente a la flexión es igual a:

Donde corresponde al momento de inercia ecuatorial de la sección

transversal de la probeta y c corresponde a la distancia más alejada entre la fibra

del material y el eje neutro. El momento de inercia, en este caso, es igual a:

Siendo b el ancho de la sección transversal de la probeta y t corresponde al

espesor de dicha probeta. Por lo tanto, el esfuerzo por flexión en la fibra más

alejada de la probeta es:

En el estado uniaxial de esfuerzos se cumple que el esfuerzo está dado por la ley

de Hooke:

Dónde:

= Deformación unitaria

= Módulo de Young del material

La ecuación anterior se cumple también aproximadamente para los

esfuerzos producidos por flexión. Por lo tanto, reemplazando, se pueden deducir

las siguientes ecuaciones:

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Despejando el valor del módulo elástico, se obtiene finalmente:

En la determinación experimental del módulo de elasticidad se debe medir

la deformación correspondiente a cada una de las fuerzas P aplicadas.

Determinación de la razón de Poisson

La razón de Poisson se puede determinar experimentalmente midiendo las

deformaciones longitudinal y transversal de una probeta. La cinta longitudinal está

instalada en el anverso de la probeta y la cinta transversal está instalada en el

reverso de ella.

Si es la deformación longitudinal en la parte superior de la probeta,

solicitada, y es la deformación transversal en la parte inferior de dicha probeta,

la razón de Poisson , por definición, se determina a través del siguiente

cuociente:

Por lo tanto, para determinar la razón de Poisson se debe aplicar una serie

de fuerzas, que no excedan el esfuerzo de fluencia del material, y medir las

respectivas deformaciones unitarias.

La medición eléctrica de magnitudes mecánicas tiene una gran aplicación

en el campo industrial para determinar constantes elásticas y propiedades de los

materiales en general, sean estos metales, hormigones y polímeros en general.

También se puede aplicar este método para medir la resistencia mecánica y el

estado de esfuerzos de diferentes elementos estructurales, usados en la industria

y en la construcción.

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Las cintas extensométricas se aplican en la construcción de transductores

para medir diferentes magnitudes físicas, tales como: Velocidad de una correa

transportadora, flujo másico, fuerza, presión, desplazamiento, aceleración, fuerza

de inercia, entre otras.

b) Desarrollo de cálculos.

Para cada caso determinaremos el módulo de elasticidad y en el caso 2

también determinaremos el coeficiente de Poisson; en la experiencia el caso 1 y 2

se trabajaran con distintos pesos para determinar E y coef de Poisson, la

deformación se tomará lectura desde el medidor de deformaciones en que el

resultado estará presentado en micras, una vez que este ya haya sido calibrado,

antes de poder calcular el módulo de elasticidad necesitamos conocer las

dimensiones que las vigas empotradas tienen, ancho (b), alto (h) y largo (L).

Caso1

Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)

26,1 0,31 2,575Caso2

Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)26 0,635 2,54

Teniendo todos estos datos se pueden establecer las siguientes relaciones:

Momento de inercia: I=b×h3

12

Conociendo el momento de inercia se establece que:

σ=P×L

h2

b×h3

12

=6×P× L

b×h2

Como: σ=E×ε

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Por lo tanto el modulo elástico se puede determinar cómo:

E=6× L×Pb×h2×ε

Para determinar el coeficiente de Poisson debemos conocer las

deformaciones transversales y las longitudinales, este coeficiente está dado por:

ν=|εtεl|Para efecto del desarrollo de cálculos, se presentara el desarrollo para una

medición para el caso 1 y otra para el caso 2.

Caso1:

Módulo de elasticidad para el ensayo N°1:

E=6×26.1(cm)×0.1(kgf )

2.575 (cm )× (0.31cm )2×89×10−6

E=711052¿

E=69730Mpa

Caso2:

El cálculo del módulo de elasticidad es análogo al caso 1 por lo tanto calcularemos el coeficiente de Poisson.

ν=| 34×10−6

109×10−6|ν=0.3119

c) Tablas de valores obtenidos y calculados.

Caso1

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Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)

26,1 0,31 2,575

Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) ε (x10^-6)

1 0,1 89

2 0,2 181

3 0,3 271

4 0,4 362

5 0,5 453

6 0,6 542

7 0,7 634

Ensayos N°Módulo de elasticidad

Resultados (Kgf/cm2) (Mpa)

1 711052 69730

2 699266 68575

3 700556 68701

4 699266 68575

5 698494 68499

6 700556 68701

7 698715 68521

Módulo de Elasticidad promedio

68757 Mpa

Caso2

Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)

26 0,635 2,54

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Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) εL (x10^-6) εt (x10^-6)1 0,5 109 342 1 216 683 1,5 325 1014 2 429 134

5 2,5 538 168

Ensayo N°Módulo de Elasticidad Coef de

PoissonResultados (Kgf/cm2) (Mpa)1 698694 68518 0,3119

2 705163 69153 0,3148

3 702994 68940 0,31084 710094 69636 0,3124

5 707785 69410 0,3123

Coeficiente de Poisson Promedio

0,3124 Mpa

Módulo de Elasticidad promedio

69132 Mpa

Tabla de valor referencial de Aluminio 7075.

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d) Bibliografía empleada y temario del experimento.

- Apuntes catedra Resistencia de materiales I, año 2009.

- Guía de laboratorio experiencia C970 “Verificación de la ecuación de Navier

en Vigas Isostáticas”.

- http://www.delmetal.com.ar/productos/aluminio/7075.pdf

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