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S E P T I M O S REVISTA INFORMATIVA DE MATEMÁTICAS Y CIENCIA OTOÑO - INVIERNO 2005 23 EL FUTURO YA ESTÁ AQUÍ VEINTIDOS
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S E P T I M O S
REVISTAINFORMATIVA
DEMATEMÁTICAS
Y CIENCIA
O T O Ñ O - I N V I E R N O 2 0 0 523
EL FUTURO YA ESTÁ AQUÍ
V E I N T I D O S
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3
SUMARIO
XXII OLIMPÍADA
MATEMÁTICA THALES 2006
GEOMETRÍA
ANALÍTICA CON LA
CLASSPAD 300
(PARTE I:
GEOMETRÍA AFÍN)
12
LA CLASSPAD 300 PARA
EL ESTUDIO DE LA
EVOLUCIÓN DE
POBLACIONES
4
ENTREVISTA CON MARTA
BERINI
6
SBM - XEIX CUMPLE
UN AÑO
16
INTRODUCCIÓN DEL CON-
CEPTO DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN
2619
ALGUNAS IDEAS PARA
TRABAJAR CON LA
CALCULADORA GRÁFICA
22
SERVICIO
TÉCNICO
27
SISTEMAS DE ECUACIONES
MATEMÁTICAS
Y CALCULADORAS
36
DIRECTOR:
Jordi Baldrich A.
SECRETARIA
DE REDACCIÓN:
Mª Dolors Sala Olaria
DISEÑO, MAQUETACIÓN Y
PRODUCCIÓN:
Finder Marketing Services, S.L.
DEPÓSITO LEGAL:
B-26115/94
EDITA:
Flamagás, S.A. - División Didáctica CASIO
C/. Sales y Ferrer, 7
08041 Barcelona
www.flamagas.com
OFERTAS
18
COMITÉ DE REDACCIÓN
4
ENTREVISTA CONMARTA BERINI
Marta Berini es una activa, entu-
siasta y emprendedora profesora,
que ha dedicado toda su vida a
comunicar el gusto por la ciencia
y por las matemáticas en concreto,
a alumnos y a colegas...su dina-
mismo la ha llevado a participar
en diversos movimientos de didác-
tica de las matemáticas y a ser
fundadora y presidenta de la
ABEAM. Ponente en innumerables
seminarios y congresos,Marta Be-
rini deja la impronta de su buen
hacer en todas las actividades en
las que participa. 22/7 ha querido
consultar con ella diferentes cues-
tiones actuales sobre la enseñanza
de las Matemáticas.
Después de las reformas im-
pulsadas por la Logse y sus
modificaciones, ¿cómo ves el
panorama de la enseñanza
de las matemáticas en Cata-
lunya y en España?
A mí particularmente no me parece
que el problema de la enseñanza
de las matemáticas se pueda re-
solver únicamente con nuevas leyes
de educación. Creo que la en-
señanza de las matemáticas nece-
sita profesores y profesoras que
entiendan que las matemáticas en
la educación primaria y secundaria
obligatoria han de verse por parte
del alumnado como instrumentos
para resolver problemas ligados
a la vida real en los que los alum-
nos y las alumnas puedan ver
reflejadas situaciones que les son
cercanas. De esta manera se les
puede dirigir a que puedan ver-
balizar sus razonamientos y a
comentarlos con el resto de la clase
lo que permite que sus capacida-
des de razonamiento y deducción
vayan ampliándose. Sería nece-
sario también reflexionar sobre lo
que la sociedad actual le muestra
a la juventud actual: sin esfuerzo
se puede conseguir casi todo; lo
importante no es la cultura ni el
estudio sino el pasárselo bien; no
ha de haber normas para los
jóvenes: ellos pueden hacerlo casi
todo. De esta maÆnera es difícil
intentar confeccionar un contrato
didáctico en el que se acepte un
esfuerzo, un trabajo diario, una
reflexión de lo realizado en cla-
se,…por parte de todos y no sólo
por parte del profesorado.
Uno de los tópicos que se ha
ido instalando en la sociedad,
es el de la “bajada” de niveles
en la enseñanza de las Mate-
máticas. ¿Esto es verdad?
Sí que es cierto que no se imparten
los mismos contenidos que antes.
Lo que habría que pensar es si
aquellos eran los contenidos ade-
cuados para tratar con alumnos/as
de enseñanzas obligatorias. Yo en
particular estoy de acuerdo con el
primer nivel de concreción del
diseño curricular y los objetivos
generales de las matemáticas den-
tro de las etapas de enseñanza
obligatoria. El problema es que
muchos libros de texto no han
hecho caso de las recomendacio-
nes del diseño curricular y siguen
mostrando unas matemáticas abs-
tractas, deductivas, con poca rela-
ción con la realidad.
El hecho estadístico de que los
padres de familia de alumnos
de secundaria españoles ten-
gan un nivel educativo más
bajo que el de la media de los
países de la OCDE, ¿podría ser
una de las causas de un nivel
M A R TA B E R I N I - P R O F E S O R A D E M A T E M Á T I C A S D E L I E S J O A N O T M A R T O R E L L D E E S P L U G U E S
5
educativo relativamente bajo
en el alumnado?
Pienso que sí. Creo que hay fami-
lias que piensan que como no
han podido disfrutar en su infancia
de tantas cosas, ahora lo impor-
tante es que a sus hijos e hijas no
les falte de nada, que lo consigan
todo sin esfuerzo; este hecho jun-
tamente con un descontrol de lo
que hacen durante muchas horas
del día no es realmente una buena
manera de velar por la adquisición
de buenas actitudes, valores y
normas por parte del alumnado.
Se oyen muchos comentarios
sobre los contenidos de la en-
señanza matemática, en el sen-
tido que tendrían que volver a
incidir en temas “de los de
antes”. ¿Crees que esta es una
buena solución?
Yo no lo creo así, pues los alumnos
y las alumnas han de ver claramente
que las matemáticas sirven para
resolver problemas ligados a la
realidad y “las matemáticas de
antes” lo que hacían era resolver
ejercicios que en la mayoría de los
casos no se sabía para qué servían,
y estaban enseñadas además,
mediante metodología deductiva,
explicadas lógicamente, enuncian-
do unos principios y deduciendo
las consecuencias cosa que la
mayoría del alumnado no compren-
día. Si se actúa de esta manera se
ignora el poder que tiene la intuición
en la actividad matemática. Pienso
que las matemáticas se han de
aprender con una metodología
constructiva, es decir, cada persona
ha de pasar aproximadamente y
de forma más breve por las expe-
riencias por las que pasaron sus
antepasados si quieren llegar a
adquirir el nivel de conocimiento
al que se ha llegado después de
muchas generaciones. Ha de pasar
poco a poco de ideas más sencillas
a las más elevadas y finalmente
(en el caso de bachillerato) a ideas
más abstractas.
¿Piensas que la tecnología es
en general una buena ayuda
para la educación matemática?
Sí lo creo; las nuevas tecnologías
son una fantástica ayuda para el
aprendizaje matemático: se les
ha de mostrar a los alumnos y
alumnas las capacidades que
tienen: de cálculo, de representa-
ción de funciones, de resolución
de problemas. El alumnado ha
de saber resolver los ejercicios en
sus opciones más sencillas y las
nuevas tecnologías le han de per-
mitir realizar las tareas más difíciles
con una gran rapidez, compleji-
dad y claridad representativa.
¿Cómo se podría mejorar la cul-
tura matemática y científica de
la sociedad española? ¿Es plau-
sible que el desconocimiento de
una buena novela sea un sinó-
nimo de incultura y en cambio
la ignorancia sobre la teoría
cuántica o aspectos matemáti-
cos cruciales, a veces, incluso
sea motivo de orgullo socarrón?
La frase “uf, esto es matemáticas,
y yo nunca las he entendido”
muestra una manera de ver la
ciencia muy difícil de erradicar
de nuestra sociedad. Pero quizás
los matemáticos y/o científicos
hemos sido en parte los causan-
tes de que se haya llegado a
esta situación, ya que en general
hemos explicado unos conteni-
dos matemáticos y físicos difíciles
de entender para la gran ma-
yoría de la población; para
erradicar esta “pose” sería ne-
cesaria una intensa política gu-
bernamental educativa y cultural
dirigida a toda la población
que, por una parte valorara el
conocimiento de estas disciplinas
y por otra mostrara que hay
aspectos matemáticos que todo
el mundo entiende ya que los
utiliza diariamente para desen-
volverse en la vida cotidiana,
aunque les parezca que no son
matemáticas.
6
JOSE ANTONIO MORA SÁNCHEZ. - Catedrá t ico de Secundar ia de l IES San t B la i de A l ican te
sta es la pirámide de la po-
blación española realizada
por el Instituto Nacional de Estadística.
Contiene los datos de 1990 y las proyec-
ciones para 2000 y 2010.
Podemos encontrar prospecciones de la
pirámide de población española y una
presentación dinámica diseñada en power-
point que muestra la evolución de la pobla-
ción española desde 1990 hasta 2005
en: http://www.eumed.net/cursecon/2/
piramides de población.htmm
El problema que nos planteamos es cómo
se hacen esas estimaciones. Realizaremos
una aproximación al problema mediante
el estudio de una situación parecida, pero
más sencilla, en la que limitaremos los
grupos de edad y fijaremos el porcentaje
de individuos que pasa de cada estadio
al siguiente, según el modelo que propuso
el zoólogo inglés P.H.Leslie en 1945 para
estudiar la dinámica de poblaciones.
La utilización de este modelo lleva apare-
jada la manipulación de gran cantidad
de datos y operaciones por lo que hasta
hace unos años quedaba restringido
únicamente a investigadores. Con la posi-
bilidad de utilizar ordenadores y
calculadoras podemos automatizar este
tipo de procesos. Veremos que, con la
utilización de una calculadora como la
Classpad 300, se convierte en una situación
asequible para un curso de bachillerato.
“Nos planteamos unproblema importanteen las cienciassociales como es el dehacer prospeccionesdel futuro de unapoblación mediantelas matrices de Leslie.”
Demografía
LA CLASSPAD 300PARA EL ESTUDIO DE LAEVOLUCIÓN DE POBLACIONES
E
7
LA POBLACIÓN DE GRILLOS
El modelo de Leslie exige que seamos
muy estrictos en las condiciones del
problema, ya que la evolución de la
poblacion dependerá únicamente de
la situación de partida y de la propor-
ción de individuos que pasan de cada
estado al siguiente. Veamos un ejemplo:
En una población de grillos, se sabe que
de los que nacen, sobreviven los 3/4 al
primer mes. De los que quedan, 1/2
sobrevive al segundo mes. Ninguno com-
pleta el tercer mes, pero los que han
llegado dejan una descendencia media
de 5 crias por adulto. Un grafo de la
situación sería el siguiente:
Comenzamos con una población ini-
cial de 100 crias, 80 individuos jóve-
nes y 60 adultos. Para calcular la
cantidad de grillos al cabo de un
mes habrá que realizar los siguientes
cálculos:
Jóvenes: 100 x (3/4) = 75
Adultos: 80 x (1/2) = 40
Crías: 60 x 5 = 300
Si seguimos los cálculos de esta ma-
nera, no es difícil construir una tabla
que refleje los primeros estadios de
la evolución:
El problema vendrá cuando queramos
hacer predicciones a largo plazo, en
ese caso necesitaremos automatizar
las operaciones y para eso se utilizan
las matrices. Llamamos A a la matriz
de transformación y B al vector que
representa la población inicial. El
producto A*B representa la población
al cabo de un mes.
Para no arrastrar números innecesaria-
mente largos, es conveniente fijar en 2 el
número de cifras decimales con la opción
Preferencias / Configuración / Formato
básico / Visualización / Fijo 2
C
X 5
AJ
X 3/4 X 1/2
0 1 2 3
100
80
60
300
75
40
200
225
37
C
J
A
A =00.750
000,5
500
C J A
CJA
B =1008060
A*B =3007540
8
Para introducir los datos en
A utilizamos el teclado 2D
donde creamos una matriz
3x3 y colocamos en sus cel-
das los números, hacemos
después lo mismo con B
Nos interesa retener la infor-
mación de estas matrices co-
lumna para después construir
la gráfica de la evolución de
la población.
Cambiaremos la multiplica-
ción repetida por una poten-
cia, para ello necesitamos
realizar algunos “trucos”: en
primer lugar almacenaremos
B en otra nueva matriz C que
nos servirá en los pasos si-
guientes para recopilar los
resultados de la población
en los meses sucesivos.
Calculamos ahora el produc-
to de la matriz A por la matriz
columna B, con ello tendre-
mos la población de cada
grupo de edad (crías, jóvenes
y adultos) al cabo de un mes.
Si, además de realizar la
operación, almacenamos el
resultado en B, al pulsar re-
petidamente la tecla = obte-
nemos una nueva matriz co-
lumna que cont iene la
población en el siguiente
mes. No tenemos más que
seguir pulsando = para obte-
ner la población en los meses
siguientes.
9
Ultilizaremos la función aug-
ment(Matriz C, Matriz D): si
C y D tienen el mismo número
de filas, hace que las columnas
de D se coloquen detrás de
las de C formando una nueva
matriz. La operación a realizar
será augment (C,AnxB)=>C
Repetimos el proceso las ve-
ces que necesitemos. En nues-
tro caso creamos una matriz
C (3x12) con la población
de cada grupo a lo largo de
los próximos 12 meses.
Para manejar mejor los datosobtenidos necesitamos convertirlas filas de datos en columnas.Calculamos la matriz traspuestatrn(C) y la almacenamos en unanueva matriz D (12x3) con
trn(C)=>D . El paso siguiente esconvertir cada una de las trescolumnas de D en una lista conMatToList(D,n)=>list n+1.
Con Menú / Estadísticas accede-mos a la sección donde se encuen-tran las colecciones de númerosque hemos generado con MatTo-List. Entramos ahora en la Confi-guración de gráficos estadísticospara señalar los tres gráficos quequeremos representar, todos tienenlist1 (los meses) en el eje de abs-cisas y cada una de las otras tres
listas en el de ordenadas.
10
Por las condiciones del proble-
ma, los cambios en la población
de grillos son mucho más bruscos
que en las humanas en las que
el paso de cada grupo de edad
al siguiente se produce cada
cinco años, no cada mes.
Aunque el ejemplo estudiado
era muy simplificado, no dis-
ta mucho de lo que se hace
en las proyecciones de po-
blación humana con las pirá-
mides de edad de la
geografía humana.
Aquí tenemos un gráfico obte-
nido de las páginas de Internet
del Instituto Nacional de Esta-
dística en el que podemos ver
la pirámide de la población
española del año 2000 y la
previsión para el 2060.
Volvamos ahora al problema
de las pirámides de pobla-
ción con nuestra colonia de
grillos. La solución nos la
muestra José Luis Corcobado
en su página de Internet Ma-
trices de Leslie.Con los datos
que hemos obtenido, la evo-
lución sería algo parecido a:
La representación gráfica se
hace con ZOOM, 9:ZoomStat
para que la calculadora se-
leccione los extremos de la
ventana.
Para representar la zona que
más nos interese, también la
podemos definir con un rectán-
gulo.
60
80
100
40
75
300
37
225
200
113
150
188
Pobl.inicial 1 mes
2 meses 3 meses
11Los datos provienen de con-
siderar un problema algo
más complejo que el de los
grillos, los estados no son
Crías, Jóvenes y Adultos,
sino grupos de edad de 5 en
5 años. Cada uno de estos
sectores de la población tiene
una probabilidad de supervi-
vencia y otra de dejar des-
cendencia. Su grafo sería
algo parecido a éste:
Se han tenido en cuenta las
tasas de paso de cada grupo
de edad al siguiente y las de-
funciones. A esto habrá que
añadir las tasas de emigración
e inmigracion, ya que también
contribuyen a que cada grupo
de edad aumente o disminuya.
PROBLEMA PRESUPUESTO:
Los movimientos migratorios
entre ciudades
Los movimientos migratorios
entre tres ciudades X, Y y Z
vienen dados por el siguiente
diagrama.
Cada flecha indica la población
que emigra de una ciudad a
otra al cabo de un determinado
período de tiempo: 10 años.
Por ejemplo, la Y se incremen-
tará en un 2% en diez años y
además recibirá el 12% de la
población de X, mientras el 5%
se marchará hacia Z.
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 45-50 50-55
X
YZ
0,2
0,02
0,050,95 1,02
0,12
0,9
12
GEOMETRÍAANALÍTICACON LA CLASSPAD 300
(PARTE 1: GEOMETRÍA AFÍN)
MAURICIO CONTRERAS DEL RINCÓN - Pro fesor de Matemát icas de l IES Ben ica lap de Va lenc ia
La ClassPad 300 es
una herramienta
tecnológica de CASIO que
constituye una auténtica fuente
de sorpresas. Además de lo
mucho que ya se ha escrito
en estas páginas sobre álge-
bra, análisis, estadística, pro-
b a b i l i d a d , p r o c e s o s
recurrentes y geometría ele-
mental, la ClassPad 300 se
nos presenta como un instru-
mento maravilloso para hacer
geometría analítica, gracias
a las posibilidades que ofrece
la función de arrastre del lápiz
táctil. El hecho de que poda-
mos arrastrar una figura
geométrica por la pantalla
hasta la ventana principal y
obtener así su ecuación es un
hecho revolucionario que pue-
de producir grandes cambios
en la enseñanza de la geome-
tría. Veamos algunos ejemplos
centrados en la geometría
afín.
GEOMETRÍA AFÍN
Dados los puntos A(1, 1), B(4,
2) y C(2, 3):
a)Da las coordenadas del
punto D de forma que ABCD
sea un paralelogramo.
b)¿Hay algún otro paralelo-
gramo de vértices A, B y C?
c) ¿En qué punto M se cortan
las diagonales del paralelo-
gramo ABCD?
d)Halla la ecuación de la rec-
ta r que pasa por los puntos
A y B.
e)Halla la ecuación de la
recta s, paralela a r, que
pase por el punto medio en-
tre A y C.
f) Halla el punto de intersec-
ción entre la recta s y la dia-
gonal AC.
A) Visualizamos la ventana
de geometría con la rejilla
entera y los ejes de coorde-
nadas. Dibujamos los segmen-
t o s AB y BC con l a
herramienta Segmento. Para
obtener el punto D, trazamos
por A la recta paralela al
lado BC (usando la herra-
mienta rectas paralelas de la
ClassPad); trazamos por C la
recta paralela al segmento
AB. Señalamos el punto de
corte. Para averiguar sus co-
ordenadas, seleccionamos las
dos rectas y arrastramos la
selección a la ventana Princi-
pal; en ella, resolvemos el
sistema formado por las ecua-
ciones de las dos rectas. Ob-
ser vamos que e l pun to
buscado es D(1,2).
L
13
B) También podría ser solu-
ción el punto E(5, 4) en el
paralelógramo ACBE, tal co-
mo se muestra en las siguien-
tes figuras:
C) Continuando con la solu-
ción obtenida en el apartado
(a), una vez dibujado el para-
lelogramo ABCD con A(1, 1),
B(4, 2), C(2, 3) y D(1, 2),
dibujamos las dos diagonales
AC y BD. Para hallar el punto
de corte, seleccionamos dichas
diagonales y las arrastramos
a la ventana principal. En di-
cha ventana, resolvemos el
sistema formado por las ecua-
ciones de las dos rectas, obte-
niendo como punto de corte
M(3/2, 2)
14
D) Una vez construido el pa-
ralelogramo ABCD, dibujamos
la recta AB usando la herra-
mienta “recta que pasa por
dos puntos” de la ClassPad.
La seleccionamos y arrastra-
mos hasta la ventana princi-
pal, en donde aparece su
ecuación: y = 1/3x + 2/3
E) En primer lugar hallamos
el punto medio del segmento
AC. Para ello, seleccionamos
los puntos A y C y tocamos el
botón “punto medio”, obte-
niendo el punto E. A continua-
ción, dibujamos la recta que
pasa por E y es paralela a
AB. Por último, seleccionamos
la recta obtenida y la arrastra-
mos a la ventana Principal,
en la que aparece su ecua-
ción: y = 1/3x + 3/2
F) Con la herramienta “recta
que pasa por dos puntos”, di-
bujamos la diagonal AC. Se-
leccionamos la recta s y la
diagonal AC y arrastramos la
selección hasta la ventana Prin-
cipal, en la que aparece el
sistema formado por las ecua-
ciones de dichas rectas. Resol-
viendo el sistema, obtenemos
el punto de intersección (1’5,
2), es decir, (3/2, 2). Se ob-
serva, por tanto, que las rectas
dadas se cortan en el punto
medio de las diagonales.
15Halla la ecuación de la rec-
ta que pasa por el punto
P(3, 2) y es paralela a la
recta 3xy=5.
Visualizamos la ventana de
Geometría con la rejilla en-
tera y los ejes de coordena-
das. Para dibujar la recta
3xy=5, seleccionamos el co-
mando Draw/Function y, en
el cuadro de diálogo Func-
tion, introducimos la expre-
sión de y como función de x
(en nuestro caso, 3x5) y ha-
cemos clic en OK. A conti-
nuación, dibujamos de nuevo
dicha recta con la herramien-
ta “recta que pasa por dos
puntos”, haciendo clic en dos
cualesquiera de sus puntos
(la ClassPad diferencia entre
construcciones geométricas
y dibujos) y borrando el di-
bujo de la función. Dibuja-
mos el punto P(3, 2) y la
recta paralela a la dada que
pasa por P. Seleccionamos
esta última recta y arrastra-
mos la selección hasta la ven-
tana Principal, en la cual
aparecerá la ecuación de
dicha recta: y=3x7.
Halla las ecuaciones conti-
nua y explícita de la recta
que pasa por el punto P(4,
1) y tiene por vector direc-
tor u=(2, 3).
En la ventana de Geometría
con rejilla entera y ejes co-
ordenados, dibujamos el pun-
to A(4, 1) y el vector r=(2,
3). A continuación, seleccio-
namos el punto y el vector y
hacemos clic en la herramien-
ta “recta paralela” para di-
bujar la recta que pasa por
P y tiene la dirección del
vector r. Finalmente, seleccio-
namos dicha recta y la arras-
t ramos hasta la ventana
principal, en donde apare-
cerá su ecuación explícita:
y = (3/2)x -5. La ecuación
continua de la recta es: (x -
4)/2 = (y - 1)/3.
16
UNA NUEVA SOCIEDADDE PROFESORESDE MATEMÁTICAS¡SBM - XEIX CUMPLE UN AÑO!
ace ahora un año, el
miércoles 24 de mayo
de 2005, se constituyó la Societat
Balear de Matemàtiques Xeix. Y
en estos momentos rondamos ya
los 120 socios y socias.
Los primeros esfuerzos de Xeix
se dedicaron a redactar los esta-
tutos, registrar la sociedad, cons-
tituirla legalmente,...
Y se definieron los objetivos
básicos...
Después vinieron las inscripcio-
nes de socios y socias. En estos
momentos rondamos ya los 120,
con representación de todas las
islas baleares.
La primera actividad oficial que
se organizó fue la Jornada inau-
gural, que tuvo lugar el 29 de
octubre de 2005, y a la que se
invitó de forma muy especial al
Sr. Jordi Baldrich, en reconoci-
miento a su labor como director
de la División Didáctica de Ca-
sio, y como muestra de agrade-
cimiento a la empresa Casio al
apoyo que desde hace ya mu-
chos años está dando a un gran
número de iniciativas en el mun-
do de la innovación tecnológica
y didáctica de las matemáticas.
La primera asamblea general de
la sociedad se celebró el 3 de
febrero de 2006, y en ella se
pusieron las bases de las activi-
dades que se priorizarían a lo
largo del primer año. Se puso
H
ALBERT V IOL ANT I HOLZ - PRES IDENTE DE SBM-XE IX
Jornada inaugural de sbm-xeix (29 de octubre de 2006)
17en marcha el portal web de la sociedad
www.xeix.org, se abrieron canales de
comunicación con los socios y socias (co-
rreos informativos periódicos, sección de
mirada matemática...), y se inauguraron
los fórums de internet de Alejandría y de
Atenas, a los que desde estas líneas invi-
tamos a participar a todos los lectores y
lectoras de 22/7.
Xeix ha participado también en la V Fira de
la Ciència de Balears que tuvo lugar entre
los días 27-29 de abril en Mallorca, y entre
los días 11 y 13 de mayo en Ibiza. Las
actividades matemáticas que se organizaron
para esta ocasión giraron en torno a la
novela "El código da Vinci", y estuvieron
presentes en todo momento la Monalisa, las
proporciones áureas, los números de Fibo-
nacci y las estrellas de cinco puntas, como
caminos de un itinerario para descubrir el
nombre de una sociedad secreta que dedica
sus esfuerzos al impulso de las matemáticas.
Y también entre el 11 y el 13 de mayo se
celebró el día escolar de las matemáticas
colaborando en la organización de un
taller-exposición sobre Arte y Matemáticas.
En el marco institucional sbm-xeix ya es
miembro de pleno derecho de la Fespm
(Federación Española de Sociedades de
Profesores de Matemáticas). Y ya se han
iniciado las gestiones para establecer en
un futuro cercano acuerdos de colabora-
ción con la UIB (Universitat de les Illes
Balears), la SCM (Societat Catalana de
Matemàtiques), o la Feemcat (Federació
d'Entitats per a l'Ensenyament de les Ma-
temàtiques a Catalunya).
Para conmemorar la Jornada inaugural se construyó una mesa con forma de estrella pentagonal regular y en cada una de las puntasse colocaron uno de los cinco sólidos platónicos.
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19
ALGUNAS IDEASPARA TRABAJARCON LA CALCULADORA GRÁFICA
A G U S T Í N C A R R I L L O D E A L B O R N O Z T O R R E S - I E S J Á N D U L A D E A N D Ú J A R
in entrar en polé-
micas o discusiones
sobre la conveniencia o no
de la utilización de las calcu-
ladoras como recursos para
la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas ofrecemos
algunas ideas para favorecer
su incorporación al aula.
Es evidente que al referirnos
a una calculadora gráfica
siempre pensaremos en su
utilidad para el estudio y re-
presentación de funciones o
para cualquier cálculo o re-
presentación de datos esta-
dísticos, como dos de los
aspectos en los que más po-
drá ayudar al alumnado en
la resolución de este tipo de
actividades.
La incorporación de cualquier
recurso al aula supone un
cambio importante en el
método de trabajo, implica
orientar la enseñanza para
facilitar que nuestros alumnos
y alumnas sean capaces de
sacar el máximo rendimiento.
Con la calculadora gráfica
también es necesario cambiar
la metodología de trabajo;
pensemos que para estudiar
una función con los métodos
tradicionales primero calcu-
lamos todos sus elementos y
después la representamos,
mientras que la calculadora
invierte el proceso, basta in-
troducir la expresión de la
función para conocer su gráfi-
ca y por tanto deducir los
elementos que debemos ob-
tener.
Este cambio significa que es
necesario modificar los hábi-
tos de trabajo en el alumna-
do, sobre todo para que sepa
interpretar las imágenes que
la calculadora les ofrece.
Por ejemplo, si planteamos
como actividad el estudio de
la continuidad y derivabilidad
de la función Y = x - 1 ,
bastará con introducir la ex-
presión anterior para obtener
la gráfica, como aparece en
las imágenes siguientes:
Por tanto, es necesario que el
alumno sepa relacionar los
conceptos de continuidad y de
derivabilidad con sus corres-
pondientes representaciones
gráficas para que sea capaz
de interpretar la imagen ante-
rior y deducir que la función
es continua y no derivable en
x=-1 y x=1.
Como ya he indicado anterior-
mente, consideramos la calcu-
ladora gráfica de gran utilidad
para la representación y estu-
dio de funciones y por tanto,
nuestros alumnos en ocasiones
sólo la utilizan para este tipo
de actividad, pero qué ocurre
si le planteamos por ejemplo
resolver una inecuación o cal-
cular un límite y disponen de
una calculadora que no tiene
cálculo simbólico, como ocurre
en las siguientes actividades.
S
2
20
RESOLUCIÓN DE
INECUACIONES
Resuelve: 2- x/3+ 2x 1 + x
Quizás nuestros alumnos re-
lacionen las inecuaciones de
dos variables con la repre-
sentación gráfica pero para
una inecuación de este tipo
lo habitual es aplicar los
métodos para su resolución
de manera análoga a como
lo hacen para ecuaciones
de primer grado.
Con la calculadora podemos
plantear la representación
de las funciones
y= 2- x/3+ 2x e y = 1+x ,
para estudiar su posición
relativa.
A continuación, con ayuda
de las opciones disponibles
de la calculadora determina-
mos el punto de corte y a
partir de él determinamos
qué función está por encima
y por tanto es mayor.
Con este planteamiento la
actividad no se queda sólo
en el planteamiento y resolu-
ción, se completa con el pro-
ceso de interpretación.
Indiquemos que para esta
actividad y para las siguien-
tes emplearemos una calcula-
dora gráfica CASIO FX-
9860G SD que no dispone
de cálculo simbólico. Si en
su lugar hubiéramos emplea-
do la calculadora CLASSPAD
300 de CASIO los resultados
en cada una de las activida-
des se obtendrían de manera
directa.
CÁLCULO DE LÍMITES
Calcula lim
Cuando se dispone de una
calculadora gráfica, todos
los esfuerzos se deben orien-
tar a que el alumnado apro-
veche sus posibilidades y por
tanto, relacione los conceptos
matemáticos con su interpre-
tación gráfica.
En este caso, aunque no hay
que olvidar los distintos pro-
cedimientos que el alumnado
debe conocer para el cálculo
de límites, será de gran ayu-
da representar la función,
utilizar las opciones para re-
correrla y aproximarse al va-
lor del límite.
Al representar la función, ob-
tendremos la siguiente imagen:
Observamos que en x = 2
aparece un hueco y al aproxi-
marnos a dicho punto se ob-
t iene como resultado el
mensaje ERROR
x - x - 22x - 3x - 2
2
2x 2
21
¿Cuál es el significado de
este error? Esto es lo que el
alumno debe conocer y so-
bre todo debe intentar aproxi-
mar el resultado que le dará
el valor del límite.
FACTORIZACIÓN DE UN
POLINOMIO
Algo similar ocurre con este
tipo de actividades; los alum-
nos conocen los métodos pa-
ra descomponer en factores
un polinomio y en ocasiones,
los realizan de manera casi
mecánica.
Aplican el método de Ruffini
sin pensar lo que están ha-
ciendo, incluso sin pensar la
relación existente entre factor
y raíz.
Utilizando la calculadora el
proceso se transforma en una
representación gráfica del
polinomio que se desea des-
componer, aprovechando la
facilidad y rapidez de la má-
quina y sólo nos queda recor-
dar el significado de factor
y su relación con la raíz de
un polinomio que se obtendrá
utilizando las opciones dispo-
nibles en la calculadora.
El proceso aparece represen-
tado en las imágenes siguien-
tes en las que introducimos la
expresión del polinomio que
posteriormente representamos
y calculamos sus raíces.
De manera análoga, se ob-
tendrán el resto de raíces sin
más que pulsar una tecla, en
este caso, la tecla de despla-
zamiento a la derecha.
CONCLUSIÓN
Con estos sencillos y quizás
evidentes ejemplos, la única
pretensión es ofrecer algunas
propuestas que favorezcan
el uso de la calculadora co-
mo recurso en Matemáticas,
de manera que puedan ayu-
dar al profesorado para mo-
dificar su dinámica en el
aula promoviendo, con ayu-
da de la calculadora, un
cambio en los métodos de
trabajo para aprovechar las
posibilidades gráficas mos-
trando al alumnado lo impor-
tante que puede llegar a ser
las tareas de interpretación
como paso previo a los méto-
dos de resolución.
22
l límite de una fun-
ción en un punto o
en el infinito, nos informa
sobre el comportamiento de
dicha función en un entorno
del punto o en el infinito. En
este sentido, el límite de una
función está estrechamente
relacionado con el estudio
de gráficas de funciones y
su interpretación.
Tanto la elaboración de ta-
blas de valores como la re-
presentación gráfica de
funciones a lápiz y papel,
suponen un gran obstáculo
para la introducción de una
manera intuitiva de los con-
ceptos de límite y continuidad
de una función.
La calculadora gráfica permi-
te introducir intuitivamente el
concepto de límite sin la ne-
cesidad de la repetición de
cálculos sistemáticos, con la
ventaja de introducir tantas
funciones como se desee con
relativa sencillez. Así mismo,
la calculadora gráfica permi-
te al alumno su propio au-
toaprendizaje, de manera
que sea capaz de experimen-
tar por sí mismo, de efectuar
las variaciones y comproba-
ciones que crea necesarias.
Si bien cualquier calculadora
gráfica Casio es útil para
este estudio, las operaciones
han sido realizadas con la
calculadora fx-9860G SD de
Casio, esta calculadora per-
mite desarrollar el tema me-
diante e-activities, como
podremos comprobar en un
número posterior de esta re-
vista.
Veamos algunos ejemplos de
cómo introducir este concepto
en el aula con la ayuda de
la calculadora gráfica:
1.LÍMITE FINITO DE UNA
FUNCIÓN EN UN PUNTO:
Consideramos la función
y el punto de abscisa x=3
Tabla de valores en un en-
torno de 3
Escogemos la opción TABLE
del MENU principal de la
calculadora e introducimos
la función:
INTRODUCCIÓN DELCONCEPTO DE LÍMITEDE UNA FUNCIÓNCON LA CALCULADORA GRÁFICA
DANIEL V IL A - PROFESOR DE MATEMÁT IC AS DEL I ES PARETS , DE PARETS DE L VAL LÉS (BARCELONA)
E
Valores más pqueños pero
cada vez más cercanos
23Podemos concluir que existe
el límite de la función cuando
x tiende a 3 y que toma el
valor 4.
En este punto (x=3) el valor
del límite coincide con el va-
lor de la función en dicho
punto:
f(3) = 4Desde la opción GRAPH del
MENU principal de la calcu-
ladora dibujamos la función
y hallamos el valor de f(3)
Tabla de valores en un en-
torno de 1
Podemos concluir que existe
el límite de la función cuando
x tiende a 1 y toma el valor
–2.
En este punto (x=1) el valor
del límite no coincide con el
valor de la función, ya que
no está definida: af(1)
Se puede comprobar con la
calculadora dibujando la
gráfica de la función:
Si deseamos calcular el valor
de f(1) gráficamente: G-Solv
(lF5l) Y-CAL (lF6 F1l)
A)
Valores más pequeños pero
cada vez más cercanos
Valores más pequeños pero
cada vez más cercanos a 1
Valores más grandes pero ca-
da vez más cercanos a 1
24
2. FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS(LÍMITES LATERALES):
Consideramos la función:
y el punto de abscisa x = 2
Para hallar los límites latera-
les de f(x) es necesario de-
finir las dos funciones y
realizar la tabla de valores
correspondiente por la dere-
cha y por la izquierda:
Tabla de valores en un en-
torno de 2
Los límites laterales no son igua-
les, no existe el límite de la
función cuando x tiende a 2.
Hagamos la representación
gráfica de la función:
Es necesario recordar, que la
calculadora gráfica, al definir el
dominio de la función, no diferen-
cia entre intervalos abiertos y
cerrados, ni entiende el concepto
de infinito.
3. LÍMITE INFINITO DE UNA
FUNCIÓN EN UN PUNTO.
ASÍNTOTA VERTICAL:
Sea la función:
Calculemos los siguientes lí-
mites por medio de las técni-
cas de cálculo sistemático:
Tabla de valores en un en-
torno de -1
25
Tabla de valores en un en-
torno de 2
Representamos gráficamente
la función, así como las rec-
tas x = -1 y x = 2
(asíntotas verticales)
4.LÍMITE FINITO DE UNA
FUNCIÓN EN EL INFINITO.
ASÍNTOTA HORIZONTAL:
Sea la función:
Representemos gráficamente
la función y la asíntota hori-
zontal y = -1/2.
Valores de x cada vez más
pequeños
Valores de x cada vez más
grandes
26
XXII OLIMPÍADA MATEMÁTICATHALES 2006:LA AVENTURA PIRATA
R A Ú L M A N U E L F A L C Ó N - C O O R D I N A D O R R E G I O N A L D E L A O L I M P Í A D A M A T E M Á T I C A T H A L E S
caba de finalizar la
vigésimo-segunda
fase regional de la Olimpíada
Matemática que la Sociedad
Andaluza de Educación Mate-
mática “THALES” organiza
anualmente para el alumnado
de 2º de ESO, celebrada en
Sevilla durante los días 17 al
21 de mayo. Hay que destacar
el alto grado de integración y
compañerismo de los 42 parti-
cipantes, los cuales han sido
seleccionados entre los más de
tres mil andaluces de más de
trescientos centros de enseñanza
que participaron el pasado sába-
do 25 de marzo en la corres-
pondiente fase provincial.
Montar el cubo de Hans o los
cubos de Oskar, medir el área
de la Glorieta de Cervantes o
resolver el Sudoku Samurai que
sería la llave para encontrar el
tesoro oculto en Isla Mágica son
algunas de las divertidas prue-
bas matemáticas que han tenido
que resolver nuestros participan-
tes. Estas pruebas se han com-
plementado con preguntas
relativas a materias tales como
literatura, botánica o historia.
Todos recordarán así el acróstico
que los llevó a la primera pista
del tesoro o la diversidad de
árboles en el Parque de María
Luisa.
Como actividad novedosa pue-
de indicarse la prueba por pa-
rejas con ordenadores, donde
haciendo uso de las calculado-
ras que CASIO les regaló el
primer día, los chicos y chicas
participantes tuvieron que ir trans-
cribiendo al sistema de nume-
ración actual, algunos ejemplos
concretos de los sistemas de
numeración más antiguos, como
son el sumerio, el asirio, el chino
o el griego.
Pero si hay un aspecto a desta-
car en esta fase regional ha sido
la gran inventiva matemática de
la que nuestros participantes han
hecho gala en todo momento.
Esta olimpíada se recordará por
resultados enunciados y descu-
biertos por nuestros propios par-
ticipantes, tales como el
“Teorema del 0’7” que simplifica
el uso del conocido Teorema de
Pitágoras.
Y aunque son seis los participan-
tes que finalmente nos represen-
tan en la XVII Olimpíada
Matemática Nacional, que se
celebra en Villafranca de los
Barros (Badajoz), la totalidad
de los 42 participantes estás
presente en dicha fase, pues,
tal y como ellos mismos comen-
taron en el discurso de la cere-
monia de clausura: “la amistad
lograda gracias a la Olimpíada
Matemática Thales ha sido tal
que durará para siempre”. Des-
de aquí dar las gracias a todos
ellos por los momentos inolvida-
bles que nos han hecho pasar
a los coordinadores y coordina-
doras de esta edición.
A
27
SISTEMAS DE ECUACIONES,MATEMÁTICAS YCALCULADORAS
M A R T A M A R T Í N S I E R R A - F A C U L T A D D E M A T E M Á T I C A S . U N I V E R S I D A D D E O V I E D O
A B E L M A R T Í N - D P T O . M A T E M Á T I C A S I E S P É R E Z D E A Y A L A D E O V I E D O
lo largo del artículo
comentaremos una
propuesta didáctica de cómo
se puede desarrollar este tema
utilizando una metodología
más innovadora, abordando
los diversos y "clásicos" obje-
tivos incluidos en nuestras pro-
gramaciones.
OBJETIVO 1:
"SABER RESOLVER SISTE-
MAS DE ECUACIONES".
Con la enseñanza de diferentes
métodos algebraicos, nos aden-
tramos en la práctica que nos
lleve a la resolución de sistemas
con dos, tres o más incógnitas.
Se trata de buscar la soltura en
el manejo de las ecuaciones y
muchas veces la dificultad radica
en no olvidarnos de multiplicar
un signo o escoger el método
adecuado. No dejan de ser unas
técnicas repetitivas, llenas de
sumas, restas, multiplicaciones...
Aunque hay que conocer estos
métodos, no debemos de privar
al alumno del dominio de otros
más sencillos, con la ayuda de
máquinas, pues los objetivos del
momento cambian y pueden ser
otros, como veremos a continua-
ción, o simplemente para darle
al alumno la autonomía suficiente
que le permita comprobar si ha
resuelto bien el ejercicio.
OBJETIVO 2:
"INTERPRETAR GEOMÉTRI-
CAMENTE UN SISTEMA DE
ECUACIONES"
La resolución de sistemas debe
ir acompañada siempre, desde
la más temprana edad, del es-
quema mental del binomio "sis-
tema de ecuaciones - significado
geométrico", y entender el porqué
de aquellas que tienen solución,
las que no tienen solución o las
que tienen infinitas soluciones:
Por ejemplo:
"DOS INCÓGNITAS - RECTAS"
Una solución
Sin solución
Infinitas soluciones
Para el Bachillerato dejamos
la interpretación con sistemas
de 3 incógnitas. Aquí la calcu-
ladora gráfica puede resultar
una herramienta visual, intuitiva
e impactante del significado
geométrico.
Comenzamos planteando la
solución a una ecuación, por
ejemplo:
x + y + z = 5
A
{�x �y = �1�2x�5 = �y
{3x�4y� �9�6x�8y��18
{2x�2y�510x�10y�25
28
ABEL MARTÍN -IES PÉREZ DE AYALA (OVIEDO) • MARTA MARTÍN SIERRA - FACULTAD DE MATEMÁTICAS.UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Con ClassPad 300 es muy sencillo
observar cómo se trata de un
PLANO. Utilizamos la aplicación
de "rotar" en todas sus posibilida-
des, por ejemplo, de "izquierda
a derecha". En este momento el
alumno interioriza la idea de ecua-
ción de 3 incógnitas y, con la
opción "trazo" incluso se pueden
comprobar las infinitas ternas de
valores que verifican la ecuación.
OBJETIVO 3:
"ESTIMULAR LA CAPACIDAD
DE INVESTIGACIÓN".
RESUELVE EL SIGUIENTE
SISTEMA DE ECUACIONES
Este es un ejercicio muy intere-
sante para plantear en clase
una vez que manejan con sol-
tura la máquina y los algoritmos
con lápiz y papel. Tanto es así
que se resuelve de nuevo de
forma irreflexiva.
Se produce un descuido en los
conceptos debido al exceso de
confianza:
{x�y� �1x�2y� 46x�y� 0
29
• Unos lo intentan resolver con
la calculadora, directamente,
pero al indicarle "2 incógnitas",
aparecen sólo 2 ecuaciones y
ya no saben qué hacer pues
en el enunciado aparecen tres.
• En este momento es cuando
hay que comenzar a pensar, fa-
voreciendo la capacidad de in-
vestigación. Los alumnos más
"cuadriculados" lo resuelven con
LÁPIZ y PAPEL, por el método de
Gauss, y suelen tener éxito.
• Otros piensan realmente lo
que se está pidiendo y acuden
al concepto de sistema de ecua-
ciones. Resuelven los diferentes
sistemas que se pueden obtener
tomando las ecuaciones de 2
en 2, por cualesquiera de los
métodos ya estudiados: reduc-
ción, igualación, sustitución,
Gauss, con calculadora, etc.
Luego comprueban si en los
distintos sistemas se obtienen
los mismos resultados.
• Alguno, excepcionalmente,
solventa el sistema formado por
las 2 primeras ecuaciones y lo
sustituye en la tercera para ver si
se verifican los valores obtenidos.
• Prácticamente nadie lo resuel-
ve gráficamente, con la calcu-
ladora gráfica, que es un
método adecuado para percibir
e interpretar correctamente los
resultados.
SOLUCIÓN: No hay ningún va-
lor de "x", "y" que verifique si-
multáneamente las 3 ecuaciones.
SISTEMA INCOMPATIBLE
Geométricamente se trata de
3 RECTAS que no tienen ningún
punto en común
OBJETIVO 4:
"ESTUDIAR LA COMPATIBILI-
DAD Y DISCUTIR SISTEMAS
CON PARÁMETROS".
Discute y resuelve, usando el
método de Gauss, con LÁPIZ y
PAPEL, el siguiente sistema que
depende del parámetro "a".
RESOLUCIÓN con lápiz y papel
Fijamos la 1ª y 2ª filas y modi-
ficamos la 3ª con las operacio-
nes indicadas a la izquierda.
Analizamos la 3ª fila:
z = a - 2
Analizamos la 2ª fila:
y + z = 2 y = 2 - z
y = 2 - ( a - 2 ) y = 2 - a + 2
y = 4 - a
{y�z� 2y�2z� a
x�y�z� 0
(1 1 1 0((-1) 0 1 1 2(1) 0 1 2 a
(1 1 1 0( 0 1 1 20 0 1 a-2
30
ABEL MARTÍN -IES PÉREZ DE AYALA (OVIEDO) • MARTA MARTÍN SIERRA - FACULTAD DE MATEMÁTICAS.UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Analizamos la 1ª fila:
x + y + z = 0 x = - y - z
x = - (4 - a ) - ( a - 2 )
x = - 4 + a - a + 2
x = - 2
SOLUCIÓN GENERALIZADA:
(- 2 , 4 - a , a - 2 )
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
Algunas soluciones podrían ser:
• Para a = 0
(- 2 , 4 - a , a - 2 ) ( - 2, 4, - 2)
• Para a = 1
(- 2 , 4 - a , a - 2 ) ( - 2, 3, - 1)
• Para a = 2
(- 2 , 4 - a , a - 2 ) ( - 2, 2, 0)
RATIFICACIÓN de resultados
con la CALCULADORA GRÁFICA
Vamos a comprobar con una
calculadora gráfica, por ejem-
plo los de la gama CFX 9850G
o científica FX 570 MS de CA-
SIO, sustituyendo "a" por di-
chos valores en el sistema del
enunciado, si las respuestas
obtenidas son las esperadas:
a = 0 (- 2, 4 - a, a - 2 )
(- 2, 4, - 2)
a = 1 (- 2, 4 - a, a - 2 )
(- 2, 3, - 1)
a = 2 (- 2, 4 - a, a - 2 )
(- 2, 2, 0)
Como se puede observar, se con-
firman nuestros resultados obteni-
dos con LÁPIZ Y PAPEL. También
se puede utilizar Classpad, en
cuyo caso se obtienen directamen-
te los resultados y hace de maestro
corrector de nuestros cálculos.
La calculadora es una herramienta
que permite profundizar en la
interpretación y el conocimiento
de lo que realmente se está ha-
ciendo cuando resolvemos este
tipo de ejercicios. Para la compro-
bación de resultados hay que
reflexionar y entender muy bien
los conceptos implicados.
OBJETIVO 5:
"TRANSCRIBIR CORRECTAMEN-
TE UN PROBLEMA EXPRESADO
EN LENGUAJE USUAL AL LEN-
GUAJE ALGEBRAICO".
Para el desarrollo del artículo
vamos a basarnos en un ejerci-
F1SOL
F1SOL
F1SOL
31
cio cualquiera, por ejemplo el
siguiente, propuesto en las prue-
bas de SELECTIVIDAD de Ma-
drid, en junio de 1991.
Se juntan 30 personas entre
hombres, mujeres y niños. Se
sabe que entre los hombres y
las mujeres duplican al número
de niños. También se sabe que
entre los hombres y el triple de
las mujeres exceden en 20 al
doble de niños. Plantear un
sistema de ecuaciones que per-
mita averiguar el número de
hombres, mujeres y niños. Re-
solver el sistema de ecuaciones
planteado.
Aquí ya se ratifica claramente
que la calculadora no lo hace
todo. Es el alumno el que tiene
que empezar a realizar la tra-
ducción.
Existe la costumbre de pasar a
plantear directamente el proble-
ma mediante ecuaciones. Me-
todológicamente sugerimos
que, cuando se inicien estas
actividades, salgan del aula 4
alumnos, mientras que la clase
comienza el ejercicio.
Entre todos rápidamente forma-
lizamos el siguiente PLANTEA-
MIENTO:
x + y + z = 30
x + y = 2z
x + 3y - 20 = 2z
Al mandar pasar a 2 alumnos
y decirles que nos lean e
insinúen un posible enuncia-
do, es decir, el proceso
inverso a lo acostumbrado,
no suelen saber qué contes-
tar; algunos, con mucha ima-
ginación, balbucean ciertas
cosas, normalmente incohe-
rentes y se acaban rindiendo
ante el estupor del resto de
la clase; ¡claro!, ¿qué es la
x? ¿qué es la y?... Es el mo-
mento en el que el profesor
les apunta y hace ver la ne-
cesidad de comenzar comen-
tando el significado de las
incógnitas, así que añadimos
e n e l e n c e r a d o l a
D E T E R M I N A C I Ó N D E
INCÓGNITAS
x = "Número de hombres".
y = "Número de mujeres".
z = "Número de niños".
Cuando entran los dos alumnos
restantes, el posible enunciado
toma forma rápidamente, es
mucho más fluido. Dependien-
do de la dificultad, les puede
resultar incluso sencillo. El
convencimiento de la impor-
tancia de iniciar un problema
determinando las incógnitas
es general y total, aunque
siempre nos encontraremos
con el inmovilista, cegado por
el aprendizaje tradicional que
le han transmitido.
A continuación es cuando ini-
ciamos la resolución del sistema
y tomamos la decisión de ha-
cerlo con "lápiz y papel" (si es
el "OBJETIVO 1" el que esta-
mos trabajando) o con la ayuda
de la calculadora (si son el
resto de objetivos los que esta-
mos consolidando). Al final,
hagamos como lo hagamos,
siempre obtendremos la
SOLUCIÓN:
x = 10
y = 10
z = 10
32
ABEL MARTÍN -IES PÉREZ DE AYALA (OVIEDO) • MARTA MARTÍN SIERRA - FACULTAD DE MATEMÁTICAS.UNIVERSIDAD DE OVIEDO
OBJETIVO 6:
"INTERPRETAR Y ANALIZAR
CRÍTICAMENTE LOS RESULTA-
DOS OBTENIDOS EN LA
RESOLUCIÓN DE UN SISTE-
MA DE ECUACIONES, EXPRE-
SANDO CORRECTAMENTE LA
SOLUCIÓN".
La actividad anterior está espe-
cialmente propuesta para tra-
bajar el "OBJETIVO 5", pues
la solución es sumamente sen-
cilla; es inmediato y superfluo
interpretar o analizar los resul-
tados: "Habrá 10 hombres, 10
mujeres y 10 niños".
Los alumnos no ven la necesi-
dad de ocuparse en el nuevo
objetivo. Para ello presentamos
ejercicios especialmente prepa-
rados para trabajarlo. Veamos
algunos de ellos.
Una tienda posee 3 tipos de
conservas, A, B y C. El precio
medio de las 3 conservas es de
0.90 €. Un cliente compra 30
unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 50.49 €.
Otro compra 20 unidades de A
y 25 de C y abona 41.47 €¤.
Calcula el precio de una unidad
A, otra de B y otra de C.
D E T E R M I N A C I Ó N D E
INCÓGNITAS
x = Precio en € de la conserva A
y = Precio en € de la conserva B
z = Precio en € de la conserva C
PLANTEAMIENTO:
x + y + z = 0.90
3
30x+20y+10z = 50.49
20x+25z = 41.47
x + y + z = 2.7
30x+20y+10z = 50.49
20x+25z = 41.47
RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PA-
PEL O CON CALCULADORA
GRÁFICA
SOLUCIÓN:
x = 0.7265
y = 0.8958
z = 1.0775
Curiosamente ésta es la solu-
ción que se aporta. Es muy raro
el caso en el que alguien vaya
más allá y lo habitual es que
cuando se obtienen los anterio-
res valores se da por acabado
el problema.
Una vez resuelto es muy impor-
tante resaltar que éste aún no
ha finalizado, ni muchísimo
menos. El alumno está conven-
cido de que una vez calculados
los valores de "x", "y", "z" su
tarea ya ha terminado, sin sa-
ber que llega la parte más "re-
f lex iva", innovadora y
dinámica, que nos permite en-
tablar un debate y un intercam-
bio de opiniones en la clase:
el comentario y análisis crítico
de los resultados obtenidos.
Para ello hay actividades a las
que no se les puede sacar
ningún partido y no cubren
nuestras expectativas ni nuestros
objetivos pero hay otras que sí
dan mucho "juego".
Mi propuesta es ir alternando
tareas propensas a la discusión
con otras en las que simplemen-
te el resultado es "el resultado",
sin ningún tipo de cavilación.
Este podría ser un buen ejerci-
33
cio inicial para trabajar este
"OBJETIVO 6". Es curioso
que si se deja al alumno fina-
lizarlo es muy posible que ni
uno solo llegue a la conclu-
sión de que esa caja registra-
dora que estamos viendo
redondea con dos decimales
y por lo tanto hay que tomar
decisiones, reflexionar o ana-
lizar el resultado final:
"Los precios de cada uni-
dad A, B y C son, respecti-
vamente, 0.73 €, 0.90 €y
1.08 €".
Si nos fijamos, la práctica
totalidad de las programacio-
nes didácticas de los Depar-
tamentos hablan de que debe
tenerse en cuenta que la re-
solución de forma mecánica
de ejercicios de aplicación
inmediata no responde al sen-
tido de los criterios de eva-
luación marcados para esta
unidad didáctica.
Así que vamos a proponer
algunos ejercicios que permi-
tan potenciar este último ob-
jet ivo con el uso de la
calculadora; obviaremos el
planteamiento y la resolución,
para detenernos en la solu-
ción y el análisis crítico de
los resultados.
Un estado compra 758 000 ba-
rriles de petróleo a tres suminis-
tradores diferentes que lo venden
a 30, 28 y 25 $ el barril, respec-
tivamente. La factura total ascien-
de a 17 millones de $. Si del
primer suministrador recibe el
24% del total del petróleo com-
prado, plantea un sistema de
ecuaciones que te permita deter-
minar cuál es la cantidad com-
prada a cada suministrador y
resuelve el problema.
D E T E R M I N A C I Ó N D E
INCÓGNITAS
SOLUCIÓN:
x = "Número de barriles com-
prados al suministrador A"
y = "Número de barriles com-
prados al suministrador B"
z = "Número de barriles com-
prados suministrador C"
x = 181 920
y = - 953 200
z = 1 529 280
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RE-
SULTADOS
En el contexto del problema,
jamás se podrían dar SIMUL-
TÁNEAMENTE los datos del
enunciado pues no podemos
obtener número de barriles
negativos. Tras un debate de-
jamos una puerta abierta al
hecho de que sólo se podría
dar una solución si considerá-
semos que el suministrador B
devuelve el dinero correspon-
diente a 953 200 barriles.
Una empresa cinematográfi-
ca dispone de tres salas A,
B y C. Los precios de entrada
a cada una de estas salas
son 0.6, 1.2 y 1.8 €, respec-
tivamente. Un día la recauda-
ción conjunta de las tres salas
fue de 255.43 € y el número
total de espectadores que
acudieron fue de 200.
Si los espectadores de la sala
A hubiesen asistido a la sala
B y los de la sala B a la sala
A, se obtendrá una recauda-
ción de 240.4 €.
Calcúlese el número de espec-
tadores que acudió a cada
sala.
34
ABEL MARTÍN -IES PÉREZ DE AYALA (OVIEDO) • MARTA MARTÍN SIERRA - FACULTAD DE MATEMÁTICAS.UNIVERSIDAD DE OVIEDO
D E T E R M I N A C I Ó N D E
INCÓGNITAS
SOLUCIÓN:
x = "Número de espectadores
que fueron a la sala A"
y = "Número de espectadores
que fueron a la sala B"
z = "Número de espectadores
que fueron a la sala C"
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS
RESULTADOS
A la vista de los resultados, no
se podrían dar simultáneamente
las circunstancias del enunciado
ya que obtenemos números
NO enteros y se supone que
el número de espectadores
asistentes en cada sala es un
número entero y positivo.
En resumen, y como hemos
visto a lo largo del artículo,
en este tema la calculadora
NO LO HACE TODO. Puede
eliminar la parte tediosa de
los cálculos numéricos y per-
mitir más tiempo para hacer
matemáticas, para pensar...
En la matemática, si bien siem-
pre se reconoció como una
CIENCIA EXACTA, ha de que-
dar clara la idea de que ha
de permitir fomentar la discu-
sión, el contraste de opinio-
nes, la reflexión, el análisis,
los diferentes puntos de vista,
así llegar al enriquecimiento
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