VECTORES c SOLVER EDK

Se pide demostrar que si el mdulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.

Piden:Si |A-B|=|A+B|- A y B son perpendiculares.

Sea A=(Ax,AyA )B= (Bx,By,Bz)

| (Ax-Bx, Ay-By, a z-Bz ) |=| (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) |

j(A x-Bx)2+(Ay-By)2+(Az-Bz)2= J(Ax+Bx)2+(Ay+By)2+(Az+B;,)2

Ax+BX-2AX Bx+Ay+ By-2Ay By+A2+B-2AZ Bz=Ax+Bx+2AX Bx

+ Ay + By + 2Ay By-f Az + B2 + 2 Az Bz

4AxBx+4AyBy+4AzBz=0

Ax Bx+Ay By+Az Bz=0

AB=0

Si A.B=0>A y B son perpendiculares

Demostrar que:

(PxQ) (RxS)+(QxR). (RxP)+(QxS)=0

Usar la relacin: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)

La demostracin es inmediata usando la relacin brindada. La idea es formar a partir de la relacin los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se

www.eduKperu.com I B lUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

encontrar con ciertos valores negativos que podr sumar igualando a cero la expresin.Dado los vectores P=(2,-l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a)

Cunto debe valer a para que los vectores sean coplanares.jC T lrfg filM

P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0

i j k

____________ l O K ) .................................................................................................... '________ ACTORES

Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)- 1 2 2 1 -2 a

P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0

=(2(2a+4)-(a+2)+0)=0

a=-2

Simplificax(Ax)+jx(Ax])+o

Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP

Hallamos PxQ, Sabemos por (1)

Que Q=-P- R

=*PxQ=Px-1 (P+R)=-PxP-PxR

=-PxR=RxP

Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP

=-QxP=PxQ

PxQ=RxP=QxR

|j||| Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)

VECTORES

Simplificando utilizando la propiedad

AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA)

A.nB=nA.B, A.B=B.A

=>(PxQ. [ (QxK) x(RxP)]

=>(PxQ). R(QxR) .P-P(QxR) . R]

=> (PxQ). [R P(QxR)-P R(QxR)]

R (QxR)=0 ya que R IQ xR

=>=(PxQ)[R P(QxR)]

=[P.(QxR)][R.(PxQ)]

=[P. (QxR)] [P. (QxR)]

=[P.(QxR)]2

f | Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(Q xR)

( ~ SOLVER EDK

www. ecluKper u. corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK VECTORES

Queremos probar que:

(PxQ). (RxS)=(PxR) (QxS)-(PxS) (QxR)

Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)

=> (PxQ). (RxS)=R. (SxPxQ)

=r. [p (s .q )-q (s .p )]= (r .p ) (s .q )-(r .q ) (s .p )

Ordenando(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)

Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP)

P.P=0 y PxQ=-QxP(PxQ). (RxS)=S[PxQxR]... .(1)

(Q.R).(PxQ)=P[QxQxR] .. ..(2)

(R.P).(Q.S)=S[RxPxQ].... (3)

De (1)

De (3)

De (2)

S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) (S.R) (P.Q )... (a)

S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)

P[QxQxR]=0

Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos.

(PxQ)- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((Q xS)=0

Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser loslados de un tringulo. Hallar las longitudes de las medidas tringulo.

HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II vvww.edukperu.com

VECTORES SOLVER EDK

Para que los vectores puedan ser lados de un tringulo tienen que cumplir:

RP+PQ=RQ

RP=(2,2#4) PQ= (-4, -5, 8)

RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ Por tanto estos vectores si son lados de un tringulo.Tenemos el siguiente tringulo:

P

Hallamos las longitudes de las medianas:

RO-RQ--PQ

wvw edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK J VECTORES

PN=^RQ-RP

Los componentes de las medianas son:

PN=(-3,~,2)

RO=(0,-i,8)

QM=(3,4, -10)Entonces las longitudes sern:

L,=|PN |=5,02

l2=r o |=8,oi

L3=|QM|=11,18

Q

agm urgtar

Teniendo en cuenta los tringulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros

respectivamente.

Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QRY PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. eci ukperu - com

VECTORES SOLVER EDK

Por lo tanto ON=^Q....(l) y MO=^SM....(2) probado en el problema 42

de los problemas resueltos.

Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3)

De (1), (2), y (3) obtenemos que:

m n = q =sm

Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD

Pero sabemos que: BA+AD=BD

=>MP=^BD

De esto tenemos queMPIIBD

Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO

O=^BC+^CD

Pero BC+CD=BD Tenemos que

O=^BD

De esto obtenemos que NBIIBD

Como BHBD y MPIIBD

Entonces NBIIMP y NB=MP

w w w - eduKper u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

>> SOLVER EDK 3 VECTORES

Lo mismo procedemos con los otros vectores:Por lo tanto:

MNHPO y.MN=OP

BIIMP yB-MP

f t Demostrar que las bisectrices de los ngulos de un tringulo se cortan en unpunto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al

tringulo.

Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C)

AM.OM=M.(M-B)

=AM. AM-AM. AO... (a)

La Proyeccin de AO sobre AB es

AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa

=>AO.p-AM

En (a):

Luego:MlOM

De igual forma se puede demostrar que:

BN.ON=0 y AP.OP^O En el tringulo AMO y APO usamos la Ley de Senos

HSOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

VECTORES SOLVER EDK

i - - MI -|OM|=|AB|senasen 90 sen a |O| |P| -|OP|=|AO|senasen 90 sen a

Luego |OP|=|OM|=R

De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R

y VIH Mi

Del tringulo formado por los vectores

P,Q,RPor ley de senos tenemos

_ P ___Q Rsena sen0 ~ senoc(180-Q)

QP=-- - , oc=Q-0sen0Q=$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0)sen0

=>P=Qsen0-Qcos0

vw. ^ cofn.' SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

l

Dado los vectores P Y Q , que forman ngulo 0, demostrar:QsenG

tan0= -- -P+Qcos0donde 0es el ngulo entre la resultante y el vector P .

SOLVER EDK VECTORES

=tan0=Qsen0

P+Q cos0

Dado los vectores P yQ;R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q = 5 y R =10. Hallar la relacin: m/n.

Tenemos los mdulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5

Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:

(nQMmP)

Q|_m

T"m 5 n 3

Se dan los vectores P yQ forman un ngulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el mdulo de

P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el mdulo de Q

JEffllKTOTgW

m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II www. ecj uk per, con

VECTORESr ~ -SOLVER EDK

Segn el dato Pl(P-Q)=> =90 de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:P O

sen (90-0) sen90 P

=>0=sen53 =20

Las caras de un tetraedro regular son tringulos equilteros de lado a. (a) Hallar el ngulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vrtice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores.

www. e

SOLVER EDK VECTORES

a=|B|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD|

El rea de la figura sombreada ser:

, ,. senO A=|BD|.|DM| -

MA+AD=MD

^MA+AD=MD

Si O es baricentro:

|MD|=Jr3|AC|

2 > OD=~MD

El

COSO|o d | _ | | m d | 2/ ^ | a c |

: |B D f | C r 3 V2 |AC|

V3Cos 0=-

0=54,73

Y la altura ser: h=a sen(54,73)

h=0,81 a

Sea PQRSTM los vrtices de un hexgono regular. Hallar la resultante

representados por los vectores. PQ , PR, PS , PT, y PM .

I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

de las fuerzas

vvww. ed ukperu. co m

v e c to re s C SOLVER EDK

Q

Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a.Tenemos:

PQ=acos60+a senOj

PR=a senOj+a senOj

PS=2acos60+2a senOj

MS=(a+a cos60)+a senOj

PM=aiSumando en X y Y tenemos

PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senO]

6a cos60i+a sen60j= 3PS

www.ediiKperu.cofn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK 3. VECTORES

% Demostrar que el polgono que resulta de unir los medios de los lados de un cuadriltero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular

aA= (l,l,l) y B=(2f3,-1).

Sea el vector P tal que |P|=1

P lB P IA

Si PB y 1PA>P.B=0P,A=0

P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l)

P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1)Resolviendo:

Hallando K:

_ 4 KP1=--KP2=KP3=3

|P|=1=JP?+P + Pl

9 8 V26

P=4=H-3,1)V26Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular a A=(l, l,l)y B=(2,3,-l)

l

14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY IIwww. ed i* per. con

VECTORES C SOLVER EDK

||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vrtice del paralelogramo formado por los otros tres vrtices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) tambin hallar el rea del tringulo ABC.

m m m m m

Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+DEn el paralelogramo se cumple A+C = B+DTenemos:(2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2)

P1=-2 ,P 2=2,P3=0 P=(-2, 2, 0)

Lo mismo se aplica para hallar los dems vrtices, por tanto tenemos que:

AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0)

CB=(-3, 2, -1)

Sabemos que

www. edukp'er u corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

>> SOLVER EDK ) VECTORES

a a=q IACxABI

=ACxAB= j k1 -1 1

-2 1 01i r r a/6

=*AA=-'Jb=

Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) estn aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la direccin de la bisectriz del ngulo

formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .

Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por grfico

Ahora hallamos K tal que

RxQIIPxR

RxQ=K PxR.... (a)

RxQ|=|K PxR|

| R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0

De (a) tenemos que

-2b-2c= (^-3c-6b)

2a - c = 3/7 (-2c+6a) 2a + b = 3/7(2b+3a)

3- K=7

Resolviendo

a = -K

b= 5K c=4K

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvwvv.edukperu

VECTORESf~ _________________SOLVER EDK

Su mdulo del vector

Es

R=(-K, 5K, 4K)

3V2

=>K2+2SR2+16K2=9V42

K=3

*.RC-3,15,12)

3 Si P+Q+R = . Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .

Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que

PxQ=RxP=QxR

^PxQ+QxR+RxP^PxQ

Hallar el rea del tringulo c u y o vrtices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC

= (4,2,-1)

CA=(-2, -4,4)

CB=(-3, -4,1)

Aa=1|CAx CB|

Aa= ^1(20, -14, -4)|

AA=Vl53

vAWv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II IBM

SOLVER EDK D VECTORESHallar el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)

y R=(2,1,-3)

V=|P.(Q x R)|

Q x R=i j k3 4 62 1 -3

(-6, -3, -5)

Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores sona|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ngulo entre ellos es 6 y se obtienes de la

expresin cos0=atbi+a2b2+a3b3

Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios

de ellos-,

V=^=-=(cosa, cosp, cos0)

W= 7^ T=COOC', cosp', COS0' lwjEntonces tenemos los valores:V=(a1,a2, a3)

ggfgj SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y II vvww. edukperu. oo!Ti

E

VECTORES SOLVER EDK

W=(b,,b2,b3)Haciendo el producto escalar obtenemos el ngulo que forman:

V.W=(|V||\V|cosO

=cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)

Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m.

iii]HW3

Podemos dar la forma de:

B=A+A

Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene:

AxB=CxA+AA

A.B=y||A2||A.B

o it =y

B=CxA+ ip^r .AIKII

Dos vectores y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Estn orientados

como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes

de R. (b) el mdulo de R. (C) El ngulo que forma R con el eje de los +x.

Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.

|p Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los

valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.

Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)

' .-d jwu cosn SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1 Y II

SOLVER EDK VECTORES

Por condicin del problema:

mA-nB-rC=(l, -5,1)Obtenemos las siguientes expresiones:

-m-n+5=l

m-3n+r=-5

2m-4n-r=lEn este problema utilizaremos cramer:

|Am| m= JA I

An " |A|

|Ar| r |A|

Siendo A matrices Entonces

1 -1 1-5 -3 11 -4 -1-1 -1 i1 -3 12 -4 -1

-17m=TLo mismo procede para n y r

-5

M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com

VECTORES c SOLVER EDK /2T

Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4)

=>P,=-2KP2=+KP3-4K

|P|=KV2T=^^K=74 4SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

SOLVER EDK VECTORES

..P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)=(0,5; 0,25; 1)

p Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A=

(A i, A. J, A. k)

- /

Mostramos los vectores en el siguiente grfico:

Tenemos los siguientes componentes de A:

A=(|A|j|cos8;|A||j|cosa ;A|kcosy )

El producto escalar se define:

A.B=|A||B|cos0

=>A=(A. ,A.J,A.k)

Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :

Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, 3 y y son los ngulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z.

m m m m

Cules son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son perpendiculares y A = 3.

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www.'o kpfy ,co

VECTORES

A lB A . B=0

(m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0

Sabemos quemn=l

A=3=V m2+4n2+l

9=m2+4n2+l , n=l/m

8m2=m4+4

m4-8m2+4=0

Resolviendo tenemos que:

m=j42V3

n=- 1

Dado los vectores A y B dla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.

De la figuraLos vectores estn en el plano XY entonces tenemos

SOLVER EDK

www.ectykperuxom SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y

23

SOLVER EDK D VECTORESA(V3 cos30, 6V3 sen30; 0)

Si el mdulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los mdulos de A5 de y B =10 Hallar el mdulo dla diferencia dlos vectores.

|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10

Piden

I A-B=?

|A+B|=J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8

25 + 100 + 100 cosO = 64r> 61eos 0 = -

100

|a -b |= J|a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100 V 1 0 0 /

|A-B|=Vl80

Si el mdulo de la suma de dos vectores es V0 A=y V3 , B = 3. Hallar el

producto escalar A.B

|a +b |=VTo, a |=V3,|b |=3

Piden hallar A . B

|a +b |=VTo=^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO

12+6V3 cos0=10 -1

=cos0=3V3 '

Sabemos que:SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v-zww. d ukperu. corn

VECTORES I SOLVER EDK

A.B=|A||B|cosO

V3V3' .A.B=-1

Si el mdulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el ngulo que forman dichos vectores es 120. Hallar el mdulo de la suma de los vectores.

Piden hallar

|a |=2 |b |=2 |a |=4

|a +b |=?

Si

|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO

0=120

V4-16-16cosO=2V3

|A+B|=2V3

Dado dos vectores de un tringulo A= (1,1, 1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar

el ngulo que hacen los vectores AB yAC.

wvvw. cd u Kper u, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 25

SOLVER EOK VECTORES

X

A

C

> y

Piden el ngulo =? t

AC=(-3, 0, -2)

B=(0, -2,0)

AC.AB= |AC||B|cos0

0=Vl3.2 cos0 cos0=O

.-.0=90

Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condicin PxQ=RxS y Px R- Qx S .

Demostrar que el vector P- R .

Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O

Demostraremos esto:(P-S)x (Q-R)

(P-S)x Q-(P-S) x R

PxQ-SxQ-P-R+S-R

Por condicin:

PxQ=RxS

y PxR=QxS

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. ed ykperu co m

VECTORES c SOLVER EDK

y sabiendo queAxB=-BxA

; tenemos

PxQ+QxS-RxS=0

.-.(P-S)ll(Q-R)

^ Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el

volumen definido por los tres vectores de igual a 7.

^ UH IHLUTenemos los vectores

A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)

C=(a, -1, -a)V=7

=>BxC=i j k1 -a aa 1 -a

=(a2-a, a2-a, a2-l)

A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7

Resolviendo tenemos que

3a2-2a-l=7

3a2-2a-8=0

-4a = 2 -

wvwv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK

j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyeccin escalar y

vectorial de B sobre A.

Siendo los vectores

A=(l, -2, 2)

B=(-2, 2,4)Piden hallar

Proy escalar =? y Proy vectorial =?

B

Proy escalar =

Proy. Vectorial

B^A

B._2 W 3

(B.) (2,-4, 4)|A|2 = ^

Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| .

j B f

Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10

Piden |PxQ|

P.Q= |P| jQ| cosO>cosO= \

>0=48, 20

VECTORES

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II I m e d ukperu. cqm'

VECTORES SOLVER EDK

Piden |PxQ|=|P||Q|senO

=80 sen (48, 20)

|PxQ|=10V5

Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C

(PxB).

Tenemos queBlICy B.(AxC)=0

Piden demostrar queC.(xB)=0

B||C si 3 KeR tal que B=KC

=>C.(AxB)=, (BxC)=A.(KCxC)

=,K(CxC)=KA(CxC)=0

=>C.(xB)=0

C(AxB)

Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A

WTOCTTenemos los siguientes vectores en el plano:Los componentes en la recta del vector unitario es

|X||p|cosO=A.p

y la otra ser|A||p|senO=Axp|

A=(.p , |Axp )

es perpendicular a

= (A.p, |Ax p|).

eclKm u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK D

f t Demostrar usando componentes: Px(QxR) = Q(P.R)-R (P Q

Primero calculamos

Ahora

QxR

QxR=i j k

di q2 i3u r2 r3

=(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ )

Px(QxR)=

Px(QxR)

i j kp, P2 P3

q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2

=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)

- ( p1(q1r3-rlq3)+( P3(q 2r3-r2q3)

-(P ^ q ^ - r^ H p2(q2r3r2Q3))

=( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3

- p, q i r2+p ir t q2+ p3q2'r3-p3i'2q3)

p1q,r3+ pr,q3- p2q2r3* p2r2q3)

Si le sumamos y restamos el siguiente vector

SSsOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

VECTORES

www. edKpgnrccrn

u=(q, r, p,,q2 r2p2,q3 r3p3)

=( P2q,r2- P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+qlriql-q1riql ,

- p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2,

- P lq,r3+ P,r,q3- P2q2r3- p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)

=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,

p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+

(- P2r,q2- P3riq3- q,r,p,,- p,q,r2- p3r2q3- q2r2p2,

-p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3)

=(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1 ,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3)Sabemos que

P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)

P .^ p ^ ^ p ^ + p ^ g )

P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a

(1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.

VECTORES ( __________________ SOLVER EDK

w w w eduR peru, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

I SOLVER EDK D VECTORES

Jg iW IH liM r

P=(a, b, 2)

P l ( , -2, 1) y (-1 , 1 , -2)

=>P.(l,-2,l)=0

P.(-l,l,-2)=0

a-2b-2=0

-a+b-4=0Resolviendo que

a=-6b=-2

P=(-6, -2,2)

Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ>P=1 sabiendo QHallar

Q.(PxR)

Piden hallarQ.(PxR)

Por condiciones del problema:

R||QxP=>el ngulo que forma o es 0o o 180

Pi'oyQ_ p= 757=1QP

|P|

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II

2, P=6 PY R =8.

www. ed ukperu, com

Q.P=|P|

De lo anterior hallamos que ngulo forman los vectores

Q y B

Q.P=|Q||P| cosa=|P|

|P| 1cosa= ._T-r = -

|Q||P| 2

=oc=60

Por propiedadQ. (PxR) =-R. (QxP)

VECTORES____ _________SOLVER EDK

-R.(QxP)=-|r| |QxP| cos(180)

|r | |Qx p |

Tenemos que

Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena

= 8.2.6 sen60

.-.Q.(PxR)-48V3

^ Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)

AB.BC (b) C x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ngulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con

www.aduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 33

SOLVER EDK D VECTORESel vector D=(0,1,1). 48. Si es un vector constante y r es el vector que va del origen

al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuacin de un plano.

Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)

a) Piden B.BC=(l, -2, l ) (-3, +2, -3)

. AB.BC=-3-4-3=-l 0

Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)

ACx(AB-BC)=i j k

-2 0 -24 4 4

N=

=(-8, 0, -8)

=(4, 0,4)i j k

-2 0 -21 -2 1

El vector unitario de N es

N 1 P=T=77 = 7 = 0 / +1)N V2

D-P= cos0

COS0=D.p

|D|IPI

De esto hallaremos 0:

9=cos- , J 4 _ )V|d ||p |/

1 / +1/V2\ 0 = C O S ' '= (---- -=r

v i.V 2 y0=60

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukpe u .com

VECTORES SOLVER EDK

Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z);

xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0

Tenemos que como es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=CSe tiene xr!+yr2+ zr3=CQue es la ecuacin cartesiana del plano.

1^3 Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que

(r-A).r=0;es la ecuacin de la esfera.

Del anterior problema obtenemos:

ri+r2+r3 xn+yr2+ zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadrticas tenemos que

demuestre que (-A).A=0 es la ecuacin de un plano.

M m m m

Sea r=(rl;r2,r3) yA=(x,y,z)

Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3)

Y siendox

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SOLVER EDK 3 VECTORESr3-r z

y C constante Se tiene

xf+y2+zf=C

Que es la ecuacin de una esfera

3 Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ngulo que forman AY B.

Por ley de cosenos tenemos queA+B=-C

rr/~E\ IT 2I| A+ B|= C

Reemplazando:

=>C==WA2+B2+2AB c o s O

49-34=30 cosO

cosO= - =>0=60

Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:

|(A-B).(C-B)x (D-B)[|(C-B>(D-B)|

JgtlTOrtilMT

Cosenos B, C y D definen un plano se tiene

BSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. edukperu. com

VECTORESSOLVER EDK

La distancia de A al plano ser

d(X plano)=ProyRBA

|(A-B).N|

Del grfico

d

d(A, Plano)=|1N,

N=(C-B)x(D-B)

|(A-B).(C-B)x(D-B)l A, Plano) j(C-B)x(D-B)|

j^ l Demostrar la mnima distancia de un puntoP i(X i,y1;Zi)

al plano cuya ecuacin cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0

a m a w m

P.CXpYpZ,)r -k N

Tenemos que la cartesiana es:Ax+By+Cz+D=0

De la cartesiana obtenemos N, siendoww w e d u Kd e r u. c o r n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

N=A,B,C

SOLVER EDK_____________ ............................................................... VECTORES

La mnima distancia se halla:

m^in

d(P|, Plano)=ProyRPP,

|(PrP).N|a (p,, Plano) j- j

|(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|

dmin

Va 2+b2+c2

A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)J a2+b2+c2

Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.

JRTiW'WIil

Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB |A-B|2=A2+B2-2AB De la galxica

|D|MA|2y|B|M C|2

=>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2

Si los nmeros a, b, c y d son diferentes de cero yaOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en

un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)

Jc lIT iM W

38 SOLUCIONARIO FISICA L E IV A IY II www. eciukperu .ccm

VECTORES SOLVER EDK

Demostraremos que A, B, C y D estn en un mismo plano: Entonces; por condicin

aA+ bB+cOC+dOD=0...(l)Si tenemos a

BA= OA-BEn (1) reemplazamos:

aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=()

aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C)Pero

a+b=-(c+d)

aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0

aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0

aBA+ c(BC)+d(BO)=0

Si los vectores

B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano.

Demostrar que la distancia mnima del puntoP (X i^ )

a la recta Ax + BY+D = 0 en el plano XY es:lAX^BYt+Dl

d=--- 7= VaW

wvvw. edukpenj.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

SOLVER EDK VECTORES

Ojo la demostracin viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mnima es cuando la proyeccin sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operacin.

La distancia a la recta sera, IAXt+BYt+DI

d=--- =====V a^ b 5

Si A B C D es un cuadriltero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)

(B) +AD+CB+CD=4 PQ

(b)0A+0B+0C+0D=40M

,donde O es un punto arbitrario.

i U M

PQ=AQ-^AC

PQ=AD-^BD-^AC

40 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eukperu com

VECTORES SOIVER EDK

Pero:

Entonces:

AB CB CD CB PQ=AD- + +

. -. AB . CD PQ=AD- +CB-

CD=AD- ^ AB+ i CB

AB=BC+^AD-^CD

, . CB AD CD .AD 1 CB PQ=AD- + +CB -T- + +AB- 2 4 4 2 4 4

AD CB CD AB PQ- ~T~ + ~T~ + ~~7~ + ~7~4 4 4 4

4 PQ=AD+CB+CD+AB

Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:

OM=AM+OA....aPero

M=^C+^PQ2 2Hallando PQ por el resultado en a:

o

PQ AD+CB+CD+AB ~2~ 8

Pero

Vwww.eduK.peru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

SOLVER EDK 3VECTORES

AD=OD-OA ,CB=OB-OC

CD=CD-OC ,AB=OB-OA

PQ OD OA OB OC >~2~=~4 4 + 4 4

AC OC OA ~2~ = ~2~~ 2

Reemplazando en (oc)

___, OC OA OD OA OB OC *om=_2 2~ + _4 4~ + _4 4~

___, OA OC OD OBOM= + + +

.-.40M=0A+0C+0D+0B

Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de untringulo son colineales. (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).

i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV IIwww.edukpertu

VECTORES SOLVER EDK

Sean los tringulos AOG y GOM.

Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que

AO=2CMPor semejanza de tringulos tenemos que

OG=2GCPor definicin un vector es paralelo a otro si

v=kw

OG es paralelo con GC y coolineales a la vez.Dado el paraleleppedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a

lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).

Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son

A=+J+K,B=2+3j;C=3+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD

Tenemos los vectores

www. ecJ KDr u, cor n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

SOLVER EDK 1 VECTORES

A=(l, 1,1)

B=(2, 3, 0)

C=(3, 5, -2)

D=(0, -1,1)

AB || CD

ABIICD

AB = KTD

B=(1,2, -1)

CD=(-3, -6, 3)Por lo tanto K=-3 Entonces

3 KeR / *AB=:-3CD

3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.

jcrmnrrgmTWSea

A y B

Piden demostrar

Entonces si

si 3 K6R tal que

De aqu tenemos que

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VECTORES c SOLVER EDK

vectores en tres dimensiones, piden demostrar

(AxB)x A. A=0

Por propiedad

AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

YA.B=B.A

=. (AxB)xA=A[B(A.A)-A(A.B)]

=( .b ) (a . a )-( a ) (a .b )=o

Dado un vector B=( 1,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y demdulo 9.

AIIB si 3 KeR/A=K B

^=(K, -2K, 2K)Y su mdulo

|A=9

=>V91?=9 =>K=3 .-.=(3, -6, 6)

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