1

VECTORES

Índice

1. Vectores ................................................................................................................... 1

2. Operacións con vectores en forma gráfica ................................................................ 2

3. Combinacións lineais de vectores ............................................................................. 3

3.1. Bases e coordenadas dun vector ....................................................................... 4

3.2. Operacións con vectores expresados polas súas coordenadas ......................... 5

4. Produto escalar de dous vectores ............................................................................. 7

4.1. Outra formulación do produto escalar ................................................................ 8

4.2. Aplicacións do produto escalar ........................................................................... 8

5. Produto vectorial ..................................................................................................... 10

6. Produto mixto de tres vectores................................................................................ 13

1. Vectores

Chámase vector a un segmento orientado de extremos A e B. Cando se considera a orientación de A a B, é dicir, A é a orixe e B o extremo, simbolízase o segmento por

AB . Cando, pola contra, se toma B como orixe e A como extremo, o segmento

simbolízase porBA .

As características dun vector son tres:

Módulo de AB : é a distancia entre A e B. O módulo do vector AB simbolízase por

AB .

Dirección de AB : é a recta que contén os puntos A e B ou calquera recta paralela a ela.

Sentido: en todo segmento de extremos A e B caben dous sentidos, o que vai de A a B e o que vai de B a A.

Como se definiu a dirección dun vector como a recta que contén ao vector ou calquera outra recta

paralela a ela, pódense atopar dous vectores, AB e

BA , que teñen o mesmo módulo, dirección e sentido, tal como se ve na imaxe.

Nesta situación dise que AB = BA . Hai moitos

vectores que son iguais a AB . Se todos son iguais, non ten moita importancia cal é a orixe dun vector,

senón o seu módulo, dirección e sentido; por esta razón a todos os vectores que teñen

o mesmo módulo, dirección e sentido que AB adóitanse simbolizar por unha letra

minúscula cunha frecha enriba, por exemplo v

. Que son AB e BA de v

? Pódese

dicir que son localizacións do vector v

, unha con orixe en A e outra en A'. En calquera

2

punto do espazo pódese situar unha localización de v

sempre que teña o mesmo módulo, dirección e sentido.

A partir de agora, falarase indistintamente de vectores simbolizados por unha letra u

,

v

como das súas localizacións nun punto do espazo determinado AB , CD .

2. Operacións con vectores en forma gráfica

Multiplicación dun vector por un número

Se dado un vector v

se multiplica por 2 obtense o

vector 2 v

que graficamente terá dobre lonxitude de

v

. Se se multiplica por –1 obtense – v

que ten

sentido oposto a v

. Se se multiplica por 2

1 obtense

2

1v

, cuxo módulo será a metade. Na imaxe

debuxáronse tamén –2 v

e 4 v

.

Resumindo, se se multiplica un número m polo vector

v

obtense un novo vector m v

coas seguintes características:

O módulo de m v

é igual ao valor absoluto de m polo módulo de v

: vm

= m v

.

A dirección de m v

é a mesma que a de v

.

O sentido de m v

é o mesmo que o de v

se m > 0; cando m < 0, o sentido de m v

é

oposto a v

.

Ao multiplicar 0 por v

obtense o vector cero, 0

, é dicir, 0 v

= 0

. O vector 0

é aquel

no que coinciden orixe e extremo. As súas localizacións son do tipo AA = BB = CC ,

por suposto non ten dirección, e o módulo é cero. Suma de vectores

A suma dos vectores v

e w

é outro, que se simboliza por v

+ w

, e obtense de dúas formas.

Unha forma, construíndo o

paralelogramo de lados v

e w

, entón a diagonal do paralelogramo será o

vector v

+ w

, como se ve na imaxe da esquerda.

Outro modo de sumar vectores

consiste en trazar w

con orixe no

extremo de v

e seguidamente unir a orixe de v

co extremo de w

. O resultado tamén

é v

+ w

. Na imaxe da dereita vese como se fai esta suma.

Os dous modos de sumar vectores indican que a suma de vectores é unha operación conmutativa.

3

Resta de vectores

A diferenza dos vectores v

e w

, v

– w

, é un vector que sumado con w

dá v

. É

dicir, w

+ ( v

– w

) = v

. Na imaxe debuxouse o único vector que cumpre esta

condición: v

– w

.

Propiedades das operacións con vectores

As operacións con vectores verifican as seguintes propiedades:

Asociativa: (u

+ w

) + v

= u

+ ( w

+ v

). É dicir, pódense sumar máis de dous

vectores.

Conmutativa: u

+ v

= v

+ u

.

Existencia de elemento neutro: Existe un vector, o vector cero, 0

, tal que,

0

+ u

= u

+ 0

= u

, para calquera vector u

.

Existencia de elemento oposto: Dado un vector calquera u

, existe outro (–u

),

chamado vector oposto, co mesmo módulo e dirección, pero distinto sentido que o

primeiro, tal que, u

+ (–u

) = 0

. É dicir, ao sumarlle a un vector u

o seu oposto –u

obtense o vector 0

.

Asociativa para a multiplicación por números reais: m·(nu

) = (m·n)u

, para m e n

números reais.

Distributivas: (m + n)u

= m·u

+ n·u

e m·(u

+ v

) = m·u

+ n· v

, distributiva respecto

á suma de números e distributiva respecto á suma de vectores.

Multiplicación pola unidade: 1·u

= u

.

3. Combinacións lineais de vectores

Unha combinación lineal dos vectores 1u

, 2u

, 3u

, ..., nu

é unha expresión do tipo

k1 1u

+ k2 2u

+ k3 3u

+ ... + kn nu

, onde k1, k2, ..., kn son números reais chamados

coeficientes da combinación lineal.

Por exemplo, dados os vectores u

, v

e w

, a expresión 2u

– 3 v

+ 4 w

é unha

combinación lineal.

Un conxunto de vectores { 1u

, 2u

, 3u

, ..., nu

} é linealmente dependente se entre

eles hai algún que é combinación lineal dos demais. Pola contra, un conxunto de vectores é linealmente independente se ningún deles pódese expresar como combinación lineal dos demais.

Hai un criterio para determinar se un conxunto de vectores 1w

, 2w

, ..., nw

é

linealmente dependente ou non. Se existe unha combinación lineal, cos coeficientes

non todos nulos, que conduce ao vector 0

, entón os vectores son linealmente

dependentes. Pola contra, se a única combinación lineal que conduce ao vector 0

é a

que ten todos os coeficientes nulos, entón son linealmente independentes.

4

Exemplos:

Dous vectores da mesma dirección son linealmente dependentes.

Se u

e v

teñen a mesma dirección, entón u

= k v

, sendo k un número distinto de

cero. A expresión u

– k v

= 0

é unha combinación lineal de coeficientes non nulos

que dá o vector 0

.

Dous vectores do espazo, u

e v

, de distinta dirección son linealmente

independientes.

Ao ter distinta dirección non hai ningún número que

cumpra a igualdade u

= k v

. Logo a única posibilidade

de que k1u

+ k2 v

= 0

, é que k1 = k2 = 0. Os vectores

son linealmente independentes.

Tres vectores coplanarios (no mesmo plano) u

, v

e

w

son linealmente dependentes.

Trazados coa mesma orixe, como se ve na imaxe,

sempre se pode poñer un deles, neste caso v

, como suma de múltiplos de u

e w

.

É dicir, v

= k1u

+ k2 w

⟹ k1u

+ k2 w

– v

= 0

.

Tres vectores do espazo, 1u

, 2u

e 3u

, non coplanarios son

linealmente independentes.

Ao non estar ningún deles no plano dos outros dous, non hai posibilidade de expresar calquera deles como combinación lineal dos outros dous.

Dados tres vectores do espazo, 1u

, 2u

e 3u

, non coplanarios,

calquera outro vector do espazo pódese expresar como combinación lineal deles.

Se se debuxan todos coa mesma orixe, podería darse unha situación como a da imaxe. Obsérvase que o vector pódese

escribir como suma do vector 2 2u

+ 2 3u

co vector 3 1u

. É

dicir, w

= 3 1u

+ 2 2u

+ 2 3u

.

3.1. Bases e coordenadas dun vector

Un conxunto de tres vectores, 1u

, 2u

e 3u

, como o dos dous últimos exemplos

anteriores, cumpre dúas condicións: son linealmente independentes e calquera outro vector pódese escribir como combinacións lineais deles.

Un conxunto que cumpra estas condicións chámase unha base dos vectores do

espazo. Tres vectores 1u

, 2u

e 3u

non nulos e non coplanarios forman unha base dos

vectores do espazo.

Dada unha base B = { 1u

, 2u

, 3u

} calquera vector v

pódese poñer de forma única

como combinación lineal da base.

v

= k1 1u

+ k2 2u

+ k3 3u

Aos números k1, k2, k3 denomínaselles coordenadas de v

respecto á base ou compoñentes do vector respecto á base e como son únicas, unha vez fixada a base,

o vector v

exprésase así: v

= (k1, k2, k3).

5

Se v

= 2 1u

+ 3 2u

– 4 3u

, entón pódese expresar así: v

= (2, 3, –4). Aos números

(2, 3, –4) chámaselles coordenadas ou compoñentes do vector v

respecto á base

{ 1u

, 2u

, 3u

}. Os vectores do espazo poden ter moitas bases, pero todas teñen o

mesmo número de vectores.

Hai unha base dos vectores do espazo especialmente utilizada. Simbolizarase por

{ i

, j

, k

} e son vectores perpendiculares entre si, e todos teñen o mesmo módulo;

módulo que se toma como unidade de lonxitude. A esta base chámaselle base ortonormal. A partir de agora supoñerase que os vectores do espazo están referidos

á base { i

, j

, k

}.

Exemplo:

Dada a base B = { i

, j

, k

}, achar as coordenadas de i

, j

e k

con respecto á base

B.

Expresaranse i

, j

e k

como combinación lineal dos vectores da base:

i

= 1 i

+ 0 j

+ 0k

, logo i

= (1, 0, 0)

j

= 0 i

+ 1 j

+ 0k

, logo j

= (0, 1, 0)

k

= 0 i

+ 0 j

+ 1k

, logo k

= (0, 0, 1)

3.2. Operacións con vectores expresados polas súas coordenadas

Todas as operacións que se fixeron con vectores dunha forma gráfica poden facerse numericamente coas súas coordenadas.

Se u

= (x1, y1, z1) e v

= (x2, y2, z2), entón a suma expresarase así:

u

+ v

= (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

O produto por un número m exprésase por: mu

= m(x1, y1, z1) = (mx1, my1, mz1)

Unha combinación lineal de u

e v

con coeficientes m e p, indícase como:

mu

+ p v

= m(x1, y1, z1) + p(x2, y2, z2) = (mx1 + px2, my1 + py2, mz1 + mz2)

De agora en diante toda relación gráfica entre vectores expresarase nunha relación alxébrica entre as súas coordenadas. Exemplos:

Se u

= (3, 0, –3) e v

= (–1, 4, 1), determinar as coordenadas de:

a) 3u

, b) – v

, c) u

+ 4 v

, d) v

– u

, e) u

– v

, f) 2u

– 3 v

a) 3u

= 3(3, 0, –3) = (9, 0, –9)

b) – v

= (1, –4, –1)

c) u

+ 4 v

= (3, 0, –3) + 4(–1, 4, 1) = (–1, 16, 1)

d) v

– u

= (–1, 4, 1) – (3, 0, –3) = (–4, 4, 4)

e) u

– v

= (3, 0, –3) – (–1, 4, 1) = (4, –4, –4)

f) 2u

– 3 v

= 2(3, 0, –3) – 3(–1, 4, 1) = (9, –12, –9)

Dados os vectores u

= (1, 3, 1), v

= (3, 1, –3), w

= (0, 1, 2), e t

= (–4, 0, 0),

expresar t

como combinación lineal de u

, v

e w

.

Téñense que achar tres números a, b e c tales que t

= au

+ b v

+ c w

.

6

Pasando a coordenadas esta igualdade vectorial obtense: (–4, 0, 0) = a(1, 3, 1) + b(3, 1, –3) + c(0, 1, 2)

Igualdade que conduce ao sistema:

0c2b3a

0cba3

4b3a

.

Cuxas solucións son: a = 2, b = –2 e c = –4. Ao expresar os vectores polas súas coordenadas, resulta moi fácil estudar a dependencia e independencia lineal dun conxunto de vectores.

Dado un conxunto de vectores v1, v2, ..., vr para pescudar se son linealmente dependentes, ou non, pódese formar unha matriz coas súas coordenadas, tomándoas como filas. O rango desa matriz indicará se son linealmente dependentes ou non o son. Cando o rango é igual ao número de filas, os vectores son linealmente independentes; cando o rango é menor que o número de filas, serán linealmente dependentes.

En resumo, dados os vectores u

= (u1, u2, u3), v

= (v1, v2, v3) e w

= (w1, w2, w3):

u

e v

linealmente dependentes ⟺ u

e v

teñen a mesma dirección ou

rango

321

321

vvv

uuu = 1

u

e v

linealmente independentes ⟺ u

e v

teñen distinta dirección ou

rango

321

321

vvv

uuu = 2

u

, v

e w

linealmente dependentes ⟺ u

, v

e w

teñen a mesma dirección ou

rango

321

321

321

www

vvv

uuu

= 1

u

, v

e w

linealmente dependentes ⟺ u

, v

e w

coplanarios ou

rango

321

321

321

www

vvv

uuu

< 3

u

, v

e w

linealmente independentes ⟺ u

, v

e w

non coplanarios ou

rango

321

321

321

www

vvv

uuu

= 3

Catro vectores no espazo sempre son linealmente dependentes porque a matriz que se forme coas súas coordenadas non pode ter máis de tres columnas e o rango desa matriz non pode ser, porque o número de filas e columnas linealmente independentes coinciden, maior que tres.

7

Exemplo:

Determinar se os vectores u

= (1, 2, 3), v

= (4, 5, 6) e w

= (7, 8, 9) son linealmente

dependentes e, se o son, achar unha combinación lineal de eles que dea o vector 0

.

Un modo de facelo podería ser calcular o rango de

987

654

321

, e se é menor que 3,

resolver o sistema: a(1, 2, 3) + b(4, 5, 6) + c(7, 8, 9) = (0, 0, 0).

Graduando a matriz

987

654

321

, ao mesmo tempo que se calcula o rango,

determínase, se é o caso, unha combinación lineal das filas que dea (0, 0, 0). Procederase así:

987

654

321

w

v

u

⟹

1260

630

321

u7w

u4v

u

⟹

000

630

321

u8v2u7w

u4v

u

⟹

⟹

000

630

321

wv2u

u4v

u

Obsérvase que o rango da matriz é 2, número de filas non nulas que ten a matriz graduada correspondente; son polo tanto linealmente dependentes. Ademais unha

combinación lineal que nos dea o vector cero será: u

– 2 v

+ w

= 0

.

4. Produto escalar de dous vectores

Chámase produto escalar dos vectores v

= (v1, v2, v3) e w

= (w1, w2, w3) respecto á

base B = { i

, j

, k

}, e simbolízase por v

• w

, ao número real:

v

• w

= v1·w1 + v2·w2 + v3·w3

Da definición dedúcense con facilidade as seguintes propiedades:

Conmutativa: v

• w

= w

• v

.

É evidente que v

• w

= v1·w1 + v2·w2 + v3·w3 = w1·v1 + w2·v2 + w3·v3 = w

• v

Distributiva: v

• ( w

+ t

) = v

• w

+ v

• t

.

Se se expresan os vectores polas súas coordenadas, resulta: (v1, v2, v3) • (w1 + t1, w2 + t2, w3 + t3) = v1 • (w1 + t1) + v2 • (w2 + t2) + v3 • (w3 + t3) = = v1·w1 + v1·t1 + v2·w2 + v2·t2 + v3·w3 + v3·t3 =

= (v1·w1 + v2·w2 + v3·w3) + (v1·t1 + v2·t2 + v3·t3) = v

• w

+ v

• t

k( v

• w

) = (k v

) • w

= v

• (k w

), sendo k un número distinto de cero.

Non se cumpre a propiedade asociativa para tres vectores.

É fácil ver que v

• ( w

• t

) ≠ ( v

• w

) • t

; no primeiro caso resulta un vector

paralelo a v

e no segundo, paralelo a t

.

Multiplicación polo vector 0

= (0, 0, 0): v

• 0

= 0.

8

Para todo vector v

≠ 0, v

• v

> 0. É evidente que calquera que sexan as

compoñentes de v

, positivas ou negativas, v

• v

será sempre un número positivo,

xa que v

• v

= 21v + 2

2v + 23v .

Esta consideración terá importancia para calcular o módulo dun vector.

4.1. Outra formulación do produto escalar

Hai outra forma de calcular o produto escalar de dous vectores e é equivalente á que se viu. Con ela resulta máis fácil estudar a perpendicularidade de dous vectores, o ángulo que forman e como determinar a proxección dun vector sobre a dirección doutro.

Sexan v

e w

dous vectores. Na imaxe, e con orixe nun punto M, debúxase v

, w

e

v

– w

. No triángulo de vértices MNP cúmprese o teorema do coseno: un lado ao cadrado é igual á suma dos cadrados dos outros dous lados menos o dobre produto dos outros dous lados polo coseno do ángulo que forman. É dicir, tense que:

wv

2 = v 2 + w

2 – 2 v

w

cos

Como v 2 = v

• v

, w

2 = w

• w

e wv

2 = ( v

– w

) • ( v

– w

), entón

( v

– w

) • ( v

– w

) = v

• v

+ w

• w

– 2 v

w

cos

E operando resulta:

v

• v

– v

• w

– w

• v

+ w

• w

= v

• v

+ w

• w

– 2 v

w

cos

Anulando termos opostos, queda:

– v

• w

– w

• v

= –2 v

w

cos ⟹ v

• w

+ w

• v

= 2 v

w

cos ⟹

⟹ 2( v

• w

) = 2 v

w

cos ⟹ v

• w

= v

w

cos

O produto escalar de dous vectores é, tamén, o produto dos módulos polo coseno do ángulo que forman. Esta nova definición de produto escalar permite resolver algúns problemas xeométricos con sinxeleza.

4.2. Aplicacións do produto escalar

Módulo dun vector

O módulo dun vector v

= (v1, v2, v3) é a lonxitude entre a orixe e o extremo, de

calquera das súas localizacións, e vén dado por v

= vv .

É evidente que v

• v

= v

v

cos 0º = v 2; en consecuencia, se v

2 = v

• v

≥ 0,

v

= vv = 2

322

21 vvv

Vector unitario

Chámase vector unitario ao de módulo 1.

9

Por exemplo, o vector t

=

5

4,0,

5

3 é unitario posto que t

=

2

2

2

5

40

5

3

=

= 25

160

25

9 =

25

25 = 1.

Coñécese que os vectores da base { i

, j

, k

} son unitarios, pero ademais verase que

dado un vector t

= (t1, t2, t3) pódese atopar outro de módulo 1 paralelo a el. Se se

multiplica t

por t

1 resulta o vector

t

t

=

t

t,

t

t,

t

t 321 .

Este vector ten módulo 1 xa que:

t

t

= 2

23

2

22

2

21

t

t

t

t

t

t =

2

23

22

21

t

ttt

=

2

2

t

t

= 1 = 1

Por exemplo, o vector s

= (3, 0, –4) ten módulo s

= 222 403 = 5, e o vector

s

s

=

5

4,0,

5

3 = t

, que como antes se viu é unitario.

Proxección dun vector sobre a dirección doutro

Na imaxe debuxáronse dous vectores v

e w

e a

proxección de v

sobre w

.

Como no triángulo rectángulo que forma v

coa súa

proxección sobre w

cúmprese que:

cos = v

wsobrevdeproxección

Na fórmula v

• w

= v

w

cos o factor v

cos é a

proxección de v

sobre w

, entón:

v

• w

= w

·proxección de v

sobre w

ou proxección de v

sobre w

= w

wv

Polo que se pode afirmar que o produto escalar de dous vectores é igual ao produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulo que forman dous vectores

Aínda que na epígrafe anterior debuxáronse dous vectores coa mesma orixe e calculouse a proxección dun sobre o outro, aínda non se falou do ángulo que forman dous vectores.

O ángulo que forman dous vectores v

e w

é o menor dos dous ángulos que determina unha localización destes vectores coa mesma orixe. Na imaxe obsérvase que ao debuxar os vectores coa mesma orixe fórmanse dous ángulos. Un maior ou igual que 180º e outro menor ou igual. Os vectores forman un ángulo de 0º cando teñen a mesma dirección e sentido, mentres que cando teñen a mesma dirección e sentidos opostos, o ángulo que forman é 180º.

10

Da fórmula v

• w

= v

w

cos , despexando o cos , obtense:

cos = wv

wv

Exemplo:

Achar o ángulo que forman os vectores v

= (1, –1, 3) e w

= (0, 4, 2).

cos = wv

wv

=

222222 240311

234101

=

2011

2

=

55

1 =

55

55 = 0'134839

de onde se pode deducir que = 85º15'2''28.

Determinación da perpendicularidade de dous vectores

Se os dous vectores v

= (v1, v2, v3) e w

= (w1, w2, w3), forman un ángulo de 90º, é dicir, son perpendiculares ou ortogonais, como cos 90º = 0, cumprirase que:

v

• w

= v

w

cos 90º = v1·w1 + v2·w2 + v3·w3 = 0

Polo tanto, v

⊥ w

⟺ v

• w

= 0 ⟺ v1·w1 + v2·w2 + v3·w3 = 0. Exemplo:

Achar un vector perpendicular a v

= (–2, 5, –7).

O modo máis sinxelo de achar un vector perpendicular a outro é levar a 1ª compoñente ao lugar da 2ª, e a 2ª ao lugar da 1ª, co signo cambiado, e a 3ª convertela en 0; así:

(–2, 5, –7)

(–5, –2, 0)

Tamén se pode cambiar a 2ª e a 3ª ou a 1ª e a 3ª e a que falta igualala a 0.

5. Produto vectorial

Sexan v

= (v1, v2, v3) e w

= (w1, w2, w3) dous vectores referidos á base B = { i

, j

, k

}.

Chámase produto vectorial de v

e w

, e simbolízase por v

x w

, ao vector:

v

x w

= 32

32

ww

vvi

– 31

31

ww

vvj

+ 21

21

ww

vvk

=

21

21

31

31

32

32

ww

vv,

ww

vv,

ww

vv

Como regra nemotécnica pódese poñer que v

x w

=

321

321

www

vvv

kji

e desenvolvendo

polos elementos da primeira fila obtense a definición de produto vectorial. Isto é unha regra nemotécnica, non é un determinante porque os seus elementos son heteroxéneos: uns son números e outros, vectores; en calquera caso, este falso determinante resulta útil ata para facer demostracións.

11

Exemplo:

Dados v

= (3, –1, 2) e w

= (0, 1, –5), achar o vector v

x w

.

v

x w

=

510

213

kji

= 51

21

i

– 50

23

j

+ 10

13 k

= 3 i

– (–15) j

+ 3k

=

= (3, 15, 3) Propiedades do produto vectorial

v

x w

= – w

x v

v

x w

=

321

321

www

vvv

kji

, w

x v

=

321

321

vvv

www

kji

; como un determinante cambia de

signo ao intercambiar a orde de dúas liñas, é evidente que o desenvolvemento dos dous determinantes anteriores dará dous resultados opostos; logo

v

x w

= – w

x v

.

v

x v

= 0

. É obvio, porque v

x v

=

321

321

vvv

vvv

kji

e un determinante con dúas filas

iguais é cero.

v

x ( w

+ t

) = v

x w

+ v

x t

. Das propiedades dos determinantes,

v

x ( w

+ t

) =

332211

321

twtwtw

vvv

kji

=

321

321

www

vvv

kji

+

321

321

ttt

vvv

kji

=

= v

x w

+ v

x t

.

m v

x w

= v

x (m w

). Tamén das propiedades dos determinantes,

m v

x w

=

321

321

www

mvmvmv

kji

= m

321

321

www

vvv

kji

=

321

321

mwmwmw

vvv

kji

= v

x (m w

).

v

x w

é perpendicular a v

e perpendicular a w

. É evidente, tamén, que

( v

x w

) • v

=

21

21

31

31

32

32

ww

vv,

ww

vv,

ww

vv·(v1, v2, v3) =

321

321

321

www

vvv

vvv

= 0; e

ademais, ( v

x w

) • w

=

21

21

31

31

32

32

ww

vv,

ww

vv,

ww

vv·(w1, w2, w3) =

=

321

321

321

www

vvv

www

= 0.

Esta última propiedade, v

x w

é perpendicular a v

e perpendicular a w

, xunto á

primeira, v

x w

= – w

x v

, suxire a seguinte imaxe.

12

Queda unicamente un pequeno problema, cal é o sentido de v

x w

? O que aparece

na imaxe ou o seu oposto? Sábese que v

x w

e w

x v

teñen sentidos opostos, pero para situar estes vectores a un lado ou outro

do plano que contén a v

e a w

recórrese á

regra do sacarrollas. O vector v

x w

ten o

sentido do avance dun sacarrollas cando v

xira cara w

polo camiño máis corto. Polo

tanto, o vector v

x w

tería o sentido que aparece nas imaxes segundo a súa situación. Aplicacións do produto vectorial

Antes de estudar as aplicacións do produto vectorial vaise deducir unha expresión

para o módulo de v

x w

. Sábese que o módulo ao cadrado dun vector é igual á suma dos cadrados das súas coordenadas, é dicir:

wv

2 =

2

32

32

ww

vv

+

2

31

31

ww

vv

+

2

21

21

ww

vv

Desenvolvendo e sumando 21

21wv + 2

222wv + 2

323wv – ( 2

121wv + 2

222wv + 2

323wv ), e logo

sacando factor común a 21v + 2

2v + 23v , e despois a 2

1w + 22w + 2

3w , resulta:

wv

2 = ( 21v + 2

2v + 23v )( 2

1w + 22w + 2

3w ) – (v1w1 + v2w2 + v3w3)2 = v

2 w 2 – ( v

• w

)2

Como v

• w

= v

w

cos , onde = ángulo( v

, w

), entón obtense:

wv

2 = v 2 w

2 – v 2 w

2cos2 = v 2 w

2(1 – cos2 ) = v 2 w

2sen2

En consecuencia, wv

= v

w

sen .

Como se ve na imaxe, a área do paralelogramo, cuxos lados son os vectores v

e w

,

é o módulo do produto vectorial v

x w

.

Área = base · altura = v

h = v

w

sen = wv

Como todo paralelogramo convértese en dous triángulos iguais ao trazar unha diagonal, pódese empregar a fórmula anterior para calcular áreas de triángulos cando se coñecen os vectores que constitúen os lados.

13

Área triángulo = 2

1Área paralelogramo de lados v

e w

=

2

1wv

Exemplo:

Achar a área do paralelogramo de lados v

= (1, 3, 0) e w

= (2, 1, 1).

Área paralelogramo = wv

=

12

31,

12

01,

11

03 = 5,1,3 =

= 222 513 = 35 unidades cadradas.

6. Produto mixto de tres vectores

Sexan v

, w

e t

tres vectores do espazo onde v

= (v1, v2, v3), w

= (w1, w2, w3) e

t

= (t1, t2, t3). Defínese como produto mixto de v

, w

e t

e represéntase por

[ v

, w

, t

] ao número real v

• ( w

x t

).

Segundo a definición:

v

• ( w

x t

) = (v1, v2, v3)·

21

21

31

31

32

32

tt

ww,

tt

ww,

tt

ww =

= v1

32

32

tt

ww – v2

31

31

tt

ww + v3

21

21

tt

ww =

321

321

321

ttt

www

vvv

= det( v

, w

, t

)

Logo: v

• ( w

x t

) = det( v

, w

, t

) = [ v

, w

, t

] =

321

321

321

ttt

www

vvv

.

Ao ser o produto mixto de tres vectores igual a un determinante de orde tres, cuxas filas están constituídas polas coordenadas dos vectores, pódense trasladar as propiedades dos determinantes ao produto mixto:

1ª. Se se permuta a posición de dous vectores no produto mixto, este cambia de signo se non se permuta circularmente:

[ v

, w

, t

] = –[ w

, v

, t

] pero [ v

, w

, t

] = [ t

, v

, w

]

2ª. Se se multiplica un vector por un número, o produto mixto queda multiplicado por ese número:

[k v

, w

, t

] = k[ v

, w

, t

]

3ª. Se se expresa un vector como suma doutros dous, o produto mixto é igual á suma de dous produtos mixtos:

14

[u

+ v

, w

, t

] = [u

, w

, t

] + [ v

, w

, t

]

Exemplo:

Calcular o produto mixto de v

= (–2, 1, –1), w

= (1, 3, 0) e t

= (2, 1, 1).

v

• ( w

x t

) = det( v

, w

, t

) = [ v

, w

, t

] =

112

031

112

= –2

Interpretación xeométrica do produto mixto

Se sobre un punto P se levan os vectores v

, w

, t

, debuxouse na imaxe adxunta,

resulta un paralelepípedo cuxas arestas son os tres vectores.

De v

• ( w

x t

) = v

tw

cosβ , sendo

β = ángulo de v

e w

x t

, e v

cosβ a altura, h, do

paralelepípedo xa que v

cosβ é a proxección do

vector v

sobre o vector w

x t

entón tense:

v

• ( w

x t

) = v

tw

cosβ = h tw

=

= altura do paralelepípedo · área do paralelogramo da base = = volume do paralelepípedo.

Como v

• ( w

x t

) pode ser negativo e non ten sentido un volume negativo, pódese

afirmar que o valor absoluto do produto mixto dos vectores v

, w

, t

é igual ao volume

do paralelepípedo de arestas v

, w

, t

.

Exemplo:

Calcular o volume do paralelepípedo de arestas de v

= (–2, 1, –1), w

= (1, 3, 0) e

t

= (2, 1, 1).

No exemplo anterior, calculouse:

v

• ( w

x t

) = det( v

, w

, t

) = [ v

, w

, t

] =

112

031

112

= –2

Volume do paralelepípedo = t,w,vdet

= 2 = 2 unidades cúbicas.

Da interpretación xeométrica do produto mixto pódese deducir unha aplicación interesante.

Para que tres vectores constitúan as arestas dun paralelepípedo é indispensable que sexan linealmente independentes e isto equivale a que non sexan coplanarios, xa que cando son coplanarios o volume do paralelepípedo é cero.

Logo se [ v

, w

, t

] = v

• ( w

x t

) = det( v

, w

, t

) = 0, os vectores v

, w

, t

son

coplanarios. É outra forma de dicir que o determinante dunha matriz de orde tres é cero se as filas ou as columnas son linealmente dependentes.