Vas Derivadas. Aplic
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MATEMÁTICA I. DERIVADAS.
Lista de Exercícios – Derivadas
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) R:
b) R:
c) R:
d) R :
e) R :
f) R:
g) R:
h) R:
i) R:
j) R:
k) R:
l) R:
m) R:
n) R:
o) R:
2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.
a) f(r) = r²
b) f(x) = 14 – ½ x –3
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4)
d) f(x) = 7(ax² + bx + c)
MATEMÁTICA I. DERIVADAS.
e) f(t) =
f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s)
g) f(t) =
h)
3) Calcular a derivada.
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10
b) f(x) =
c) f(x) =
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7
e) f(x) =
f) f(s) = (a + bs)In(a + bs)
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x)
h) f(t) =
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx
j) f(x) = sen² x + cos² x
k) f(x) = e2x cos 3x
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x)
n) f(t) = e2 cos 2t
4) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) y = 3x4 – 2x; n = 5
b) y = 1/ex; n = 4
5) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
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6) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0.
7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f(1)).
8) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja paralela reta y = 8x + 3.
9) Encontre a reta tangente à curva no ponto
10) Encontre a reta tangente à curva no ponto
11) Obter a derivada da função em um ponto genérico.
12) Obter a derivada da função no ponto
13) Obter a derivada da função em um ponto genérico.
14) Obter a derivada da função no ponto
15) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:
a) . Determine a velocidade no instante t = 3 s.
b) . Determine a velocidade no instante t = 2 s.
c) . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.
16) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária:
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s = f(t) = t2 + 2t - 3
sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no instante t0 = 2 s.
17) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.
18) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s)
19) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a expressão v(t) = (t em segundos e v em metros/segundo).
20) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?
Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.
21) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por . Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
22) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível.
Regras de Derivação
1) y = k à y’ = 02) y = ax à y’ = a3) y = ax + b à y’ = a4) y = un à y = n.u n-1. u’ y = xn à y’ = n.x n-1
5) y = k.u à y’ = k.u’6) y = u + v à y’ = u’ + v’7) y = u.v à y’ = u.v’ + u’. v
y = à y’ =
8) y = a u à y = au.lna.u’
y = à y’ =
9) y = à y’ =
y = ln u à y’ =
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y = à y’ =
10) y = cos u à y’ = -sen u . u’11) y = sen u à y’ = cos u . u’12) y = tg u à y’ = sec2 u . u’13) y = cotg u à y’= sec u . tg u . u’14) y = sec u à y’ = sec u . tg u . u’15) y = cosec u à y’ = - cosc u . cotg u . u’
16) y = arc sen u à y’ =
17) y = arc cos u à y’ =
18) y = arc tg u à y’ =
19) y = arc cotgu à y’ =
20) y = arc cosu à y’ =
21) y = arc cosu à y’ =
22) y = uv à y’ = v . uv-1 . u’ + uv . lnu . v