Variación Temporal Lenta - GR · • Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente ......

Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011

Tema 6a: Variación Temporal Lenta

Introducción – Faraday - Kirchoff Eym 6a-1

J.L. Fernández Jambrina

Variación Temporal Lenta

• Definición

• El campo magnético en variación temporal lenta

• El campo eléctrico en variación temporal lenta

• Expresión Integral de la Ley de Faraday

• T. Circuitos versus T. Electromagnética

– Primer Lema de Kirchoff

– Segundo Lema de Kirchoff.

• Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente

– Fuerza de Lorentz

– Desplazamientos virtuales.

» Sin generadores

» Con generadores

– Fuerzas en campos casi constantes

EyM 6a-1


Definición.

• La variación temporal lenta se caracteriza porque en las ecuaciones de Maxwell se desprecia el término:

– Las condiciones concretas que diferencian la variación lenta de la variación arbitraria son difíciles de definir cuando sólo se conoce la variación lenta: Se pospone su explicación hasta que se aborde la variación arbitraria.

• Con la simplificación de la variación lenta las ecuaciones de Maxwell quedan de la siguiente forma:

( )t

trD

∂∂ ,

rr

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

,,

,,,,

0,,,

,,,

,,

=+⋅∇

==

=⋅∇=⋅∇

+=×∇

−=×∇

t

trtrJ

trHtrBtrEtrD

trBtrtrD

t

trDtrJtrH

t

trBtrE

∂∂ρ

µερ

∂∂∂

∂

rrr

rrrrrrrr

rrrrr

rrrrrr

rrrr

( )0

,=

t

trD

∂∂

rr ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,

,,,,

0,,,

,,

,,

=⋅∇

==

=⋅∇=⋅∇

=×∇

−=×∇

trJ

trHtrBtrEtrD

trBtrtrD

trJtrH

t

trBtrE

rr

rrrrrrrr

rrrrr

rrrr

rrrr

µερ

∂∂

EyM 6a-2





• El campo magnético queda definido como función únicamente de las corrientes, se especifican su divergencia y su rotacional:

– Son las mismas ecuaciones que las del campo magnético estacionario:Se pueden aplicar las mismas técnicas para resolverlas.

– La diferencia es que las corrientes y los campos son función del tiempo.

– Simplificando, donde antes se ponía , ahora se pone:

• Como ejemplo la expresión del campo en función de la corriente para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido, queda de la siguiente forma:

• Equivale a asumir que el efecto de un cambio en las fuentes se transmite de forma instantánea a todo el espacio.

El campo magnético.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )trHtrBtrBtrJtrH ,,;0,;,,rrrrrrrrrr

µ==⋅∇=×∇

( )rr t,( )rr

( ) ( ) ( )∫∫∫

′

′′−

′−×′=

V

Vdrr

rrtrJtrB

3

,

4, rr

rrrrrr

πµ( ) ( ) ( )

∫∫∫′

′′−

′−×′=

V

Vdrr

rrrJrB

34

rr

rrrrrr

πµ

Situación estacionaria Variación lenta

EyM 6a-3


El campo eléctrico.

• El campo eléctrico queda como función de las cargas y del campo magnético:

– Ahora el rotacional del campo eléctrico no es nulo.

– Recordando la definición del potencial vector:

– El paso (1) se puede hace siempre que se trate de puntos ordinarios.

– Reordenando la última expresión:

– Con lo que resulta posible definir un potencial escalar de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trEtrDtrtrDt

trBtrE ,,;,,;

,,

rrrrrrrrr

rrερ

∂∂

==⋅∇−=×∇

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

t

trAtrA

ttrE

trAtrB

t

trBtrE

∂∂

∂∂

∂∂

,,,

,,

,, )1(

rrrrrr

rrrr

rrrr

×∇−=×∇−=×∇⇒

×∇=

−=×∇

( ) ( )0

,, =

+×∇

t

trAtrE

∂∂

rrrr

( ) ( ) ( )trt

trAtrE ,

,,

rrr

rrΦ−∇=+

∂∂

EyM 6a-4





El campo eléctrico (2)

– Este potencial escalar sigue recibiendo el nombre de potencial eléctrico.

» Aunque ahora el campo eléctrico es también función del potencial vector magnético:

– La ecuación que liga el potencial vector con las cargas es:

» El paso (1) requiere que el medio sea homogéneo.

» El paso (2) requiere que se trate de puntos ordinarios.

( ) ( ) ( )t

trAtrtrE

∂∂ ,

,,

rrrrr

−Φ−∇=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅∇−∆Φ−=

=⋅∇−∆Φ−=

=

+Φ∇⋅∇−=

=⋅∇=⋅∇=

⇒

=⋅∇

=

−Φ−∇=

t

trAtr

t

trAtr

t

trAtr

trEtrEtr

trtrD

trEtrD

t

trAtrtrE

∂∂

εε

∂∂

εε

∂∂

ε

εερ

ρ

ε∂

∂

,,

,,

,,

,,,

,,

,,

,,,

)2(

)2(

)1(

rrr

rrr

rrr

rrrrr

rrr

rrrr

rrrrr

EyM 6a-5


El campo eléctrico (3)

– Recordando que la divergencia del potencial vector se escogió como nula:

– A pesar de esta similitud, existe una diferencia substancial:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

ερ

∂∂

εερ trtr

trA

t

trAtrtr ,

,

0,

,,,

rr

rr

rrrr

−=∆Φ⇒

=⋅∇

⋅∇−∆Φ−=

( ) ( ) ( )t

trAtrtrE

∂∂ ,

,,

rrrrr

−Φ−∇=

¡¡¡ La ecuación de Poisson !!!

EyM 6a-6





Circulación del campo eléctrico en variación temporal lenta.

• La circulación del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado no es nula:

• Y recordando la definición del potencial vector:

– Expresión que se parece mucho a la ley de Faraday:

– Para transformarla en la ley de Faraday hay que invertir el orden de la derivada y de la integral, cosa que sólo se puede hacer en el caso de que el contorno permaneciera fijo en el espacio.

» En negativo: que ni se desplace ni se deforme.

( )∫∫∫∫∫∫∫ ⋅×∇−=⋅×∇−=⋅−=⋅

+Φ∇−=⋅

SSCCC

SdAt

Sdt

Ald

t

Ald

t

AldE

rrrr

rr

rr

rr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ABrr

×∇=

∫∫∫ ⋅−=⋅SC

Sdt

BldE

rr

rr

∂∂

∫∫∫ ⋅−=⋅SC

SdBdt

dldE

rrrr

EyM 6a-7


Revisión del concepto Fuerza electromotriz.

• Considerando sólo fuerzas de origen electromagnético:

• Al admitir variación temporal, los dos términos de la f.e.m.i. pueden ser no nulos:

– Si varía el campo magnético:

– Si varía el contorno (se mueve o cambia de forma):

» la velocidad transversal de las cargas respecto del contorno no es nula.

– El primer término refleja exclusivamente el efecto de la variación temporal del campo.

– El segundo término refleja exclusivamente el efecto del movimiento.

( )∫∫ ⋅×+⋅=CC

ldBvldEimefrrrrr

....

∫∫∫ ⋅∂∂

−=⋅S

C

Sdt

BldE

rr

rr

( ) ( )∫∫ ⋅×=⋅×⇒+=C

tC

tl ldBvldBvvlvvrrrrrrrr ˆ

( )∫∫∫ ⋅×+⋅=⋅=⇒×+=CCC

ldBvldEldq

FimefBvE

q

F rrrrrrr

rrrr

....

EyM 6a-8





Ley de Faraday

• Propuesta:

– ya que:

– sería interesante comprobar si:

– ya que entonces:

– Expresión conocida como ley de Faraday:

00 ==

Φ−=⋅

∂∂

−=⋅∂∂

−=⋅ ∫∫∫∫∫v

B

vSS

Cdt

dSdB

tSd

t

BldE

rr

rrrr

rr

( )0=∂∂

Φ−=⋅×∫

tB

B

C dt

dldBv

r

rrr

( )dt

d

dt

d

dt

dldBvldEimef B

tB

B

v

B

CC

Φ−=

Φ−

Φ−=⋅×+⋅=

=∂∂=∫∫

00

....rr

rrrrr

dt

dimef BΦ

−=....

EyM 6a-9


Ley de Faraday (2)

• Demostración:

– Partiendo de la posición de un contorno variable (móvil) en los instantes t y t+∆∆∆∆t, y considerando el campo magnético independiente del tiempo, se va evaluar:

– La superficie generada por los puntos del contorno al moverse y las dos superficies utilizadas para calcular y definen una superficie cerrada, S

0:

» donde el cambio de signo procede de la relación entre la normal saliente a la superficie cerrada y los definidos en la figura para cada superficie por separado.

– Por tanto:

∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅−⋅=⋅=+ LStSdttSS

SdBSdBSdBSdBrrrrrrrr

)()(0

0

( ) ( )t

tttlim

dt

d BB

tB

ttB

B

∆Φ−∆+Φ

=Φ

=∂∂→∆

=∂∂0

00 r

r

( )tBΦ ( )ttB ∆+Φ

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅−=⋅−⋅=Φ−∆+Φ+ LStSdttS

BB SdBSdBSdBtttrrrrrr

)()(

)( ttC ∆+

)(tC

dlr

dlr

∫∆+ tt

t

dtvr

$n

$n

S t( ))( ttS ∆+

$n

lS

EyM 6a-10





Ley de Faraday (3)

– Observando la figura, el diferencial de superficiede la superficie lateral puede definirse como:

– Con ello:

– por tanto:

– Agrupando resultados:

dtvldSdrrr

×=

( ) ( )∫ ∫∫ ∫

∫∫∆+∆+

⋅×−=

×⋅−=

=⋅−=∆Φ

tt

t C

tt

t C

S

B

dtldBvdtvldB

SdB

L

rrrrrr

rr

( )0=

Φ−=⋅×∫

dt

Bd

B

Cdt

dldBv r

rrr

tdt

d

vtimef B

dt

Bd

BB

∂∂

∂∂ Φ

−=Φ

−=

Φ−=

=00.... rr

)( ttC ∆+

)(tC

dlr

dlr

∫∆+ tt

t

dtvr

$n

$n

S t( ))( ttS ∆+

$n

lS

( ) ( ) ∫∫ ⋅−=Φ−∆+ΦLS

BB SdBtttrr

EyM 6a-11


Ley de Faraday: (4)

• Expresiones:

– Los sentidos de la circulación y del flujo se relacionan de la forma habitual: La regla del tornillo.

• Interpretación:

– Si se produce una variación del flujo del campo magnético a través de un contorno, aparece una una f.e.m. sobre el mismo.

» A esta f.e.m. se la denomina f.e.m. inducida, f.e.m.i.

– El signo menos implica que, si dicho contorno permite la circulación de una corriente, el sentido de la corriente inducida será el que se oponga a la variación del flujo.

» La propia corriente inducida dará lugar a una nueva f.e.m.i.

» Si el contorno es un conductor perfecto, no pueden existir fuerzas sobre sus cargas, so pena de corriente infinita, luego la corriente que circulará por el mismo deberá ser tal que la f.e.m.i. sea nula y por tanto no se produzca variación de flujo.

( )∫∫∫∫∫∫ ⋅×+⋅∂∂

−=⋅−=⋅−=Φ

−=CSCS

B ldBvSdt

BldA

dt

dSdB

dt

d

dt

dimef

rrrrr

rrrr....

rB ↑

$n

C+

Iind 0>

Φt

B

∂∂

EyM 6a-12





T. Circuitos versus T. Electromagnética

• Las relaciones de circuitos fueron postuladas y verificadas antes que las relaciones de campo.

• Sin embargo, son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell.

• Son mucho más eficientes que las ecuaciones de Maxwell para estudiar los circuitos, pero conviene conocer sus limitaciones.

• En las próximas transparencias se van a justificar los lemas de Kirchoff a la luz de las ecuaciones de Maxwell particularizadas para variación lenta.

Los Lemas de Kirchoff son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell para variación temporal lenta.

EyM 6a-13


Primer Lema de Kirchoff

• En una unión de varios conductores, nudo, no debe producirse acumulación de cargas.

– En general, si se rodea el nudo por una superficie cerrada S y aplicando la forma integral de la ecuación de continuidad:

– El primer lema de Kirchoff es una particularización de la ecuación de continuidad válida cuando las corrientes de desplazamiento son pequeñas frente a las de conducción.

– Ello depende de .

» En los casos habituales de la teoría de circuitos, es muy pequeño por la proximidad de los conductores.

» Si la variación es muy rápida o se aplica lejos del nudo puede dejar de cumplirse el lema.

01

=∑=

n

i

iI

I1

In

I2

Ii

S

tD ∂∂r

D

i

iS

SSS

IISdt

DJ

SdDdt

dSdJ

dt

dqSdJ

+=⋅

+=

=⋅+⋅=+⋅=

∑∫∫

∫∫∫∫∫∫r

rr

rrrrrr

∂∂

0

Dr

EyM 6a-14





• A lo largo de una malla cerrada, la f.e.m. del generador es igual a la suma de las caídas de tensióna lo largo de la ramas.

– Suponiendo que los elementos del circuito son puros:

» El generador únicamente aporta energía:

» La inducción únicamente almacena energía en forma de campo magnético:

» El condensador únicamente almacena energía en forma de campo eléctrico:

» La resistencia únicamente convierte energía electromagnética en otro tipo:

» Las conexiones se realizan con hilo conductor perfecto.

– Suponiendo que el circuito no se desplaza:

Segundo Lema de Kirchoff

EEETrrr

+′=⇒∞=σ

0=Er

0=Br

EJrr

σ=

f.e.m.

L

′′′′rE

+

R C

I

1 2 3 4

( ) ( )∫∫

∫∫∫∫∫∫⋅′+⋅=

=⋅′++⋅+⋅+⋅=⋅′+=⋅

CC

CCT

ldEldE

ldEEldEldEldEldEEldE

rrrr

rrrrrrrrrrrrrr 1

4

4

3

3

2

2

1

EyM 6a-15


Segundo Lema de Kirchoff (2)

– Los valores de los diferentes términos son:

– Sustituyendo y ordenando:

• Los elementos reales no son perfectos:

– puede que haya que utilizar circuitos equivalentes de los mismos.

– Esta necesidad se agudiza a medida que se sube en frecuencia y la aproximación de variación lenta deja de ser válida.

dt

dIL

dt

dldE B

C

−=Φ

−=⋅∫rr

.... gmefldEC

=⋅′∫rr

( ) 01

0

1

40

4

3

3

2

2

1

=⋅′+⇒∞===⋅

=⋅=⋅⇒∞=

∫∫∫

∫∫+

ldEEdtICC

QldE

RIldEldE

t rrrrr

rrrr

σ

σ

dt

dILdtI

CRIgmef

t

+++= ∫0

1....

L

′′′′rE

+

R C

I

1 2 3 4

( )∫∫∫∫∫∫ ⋅′++⋅+⋅+⋅=⋅′+⋅1

4

4

3

3

2

2

1ldEEldEldEldEldEldE

CC

rrrrrrrrrrrrr

EyM 6a-16

Variación Temporal Lenta - GR · • Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente ......

Documents

Transcript of Variación Temporal Lenta - GR · • Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente ......