Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Culhuacán

Ingeniería en Computación

Fundamentos del Algebra

Grupo: 2CM1

Profe.: Juan Ángel Rodríguez Gómez

“Valores y Vectores Propios”

Alumnos:

Pineda Sánchez Cristian Alejandro

Vázquez Ortiz Jonatan

VALORES Y VECTORES PROPIOSSea A una matriz de n x n con elementos reales. El número λ (real o complejo) recibe el nombre

de valor característico o valor propio de A si existe algún vector diferente de cero v en C tal que:

Av=λv

Se dice que el vector v ≠ 0 es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ. A los valores y vectores propis se les conoce como eigenvalores y eigenvectores respectivamente. Éste se debe a que la palabra alemana “eigen” significa propio.

EJEMPLO 1

Suponga que A= (10 −186 −11) , entonces A(21) = (10 −18

6 −11)(21) = (21). Por tanto, λ1 = 1 es un valor

propio de A al que le corresponde a el vector propio v1 = (21) .Sea A una matriz n x n. Entonces λ es un valor propio de A si y solo si

p(λ) = det ( A – λI ) = 0

ECUACION Y POLINOMIO CARACTERISTICOS

La ecuación p(λ) = det ( A – λI ) = 0 recibe el nombre de ecuación característica de A; además, a p(λ) se le llama polinomio característico de A.

Toda matriz de n x n, tiene exactamente valores característicos incluyendo las multiplicidades.

Sea λ un valor característico de la matriz A de n x n y sea Eλ = [ v : Av = λv ]. Entonces Eλ es un subespacio de Cn.

ESPACIO CARACTERISTICO

Sea λ un valor característico de A. El subespacio Eλ recibe el nombre de espacio característico de A correspondiente al valor característico λ.

MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA

Los números r1,r2,……,rn se llaman multiplicidades algebraicas de los valores característicos de λ1, λ2,……, λn respectivamente.

Para calcular los valores y espacios característicos correspondientes, lo haremos mediante tres pasos:

Procedimiento para calcular valores y vectores característicos

1. Hállese p(λ) = det ( A – λI).2. Calcúlense las raíces λ1, λ2,……, λn de p(λ) = 03. Resuélvase el sistema homogéneo ( A – λi I )v que corresponde a cada valor

característico λi.

MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA

Supóngase que λ es un valor característico de la matriz A. Entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio característico que le corresponde (el cual es la nulidad de la matriz A – λ I ). Es decir,

Multiplicidad geométrica de λ = dim Eλ = v( A – λI )

La multiplicidad geométrica de un valor característico nunca es igual a 0. Esto sigue la definición 1, según la cual si λ es un valor característico, entonces existe un vector característico no cero corresponde a λ.

Teorema Creciente

Sea una matriz de n x n. Entonces los 11 enunciados que a continuación menciono son equivalentes; es decir. Cada uno de ellos implica los otros 10 ( de tal manera que si uno de ellos es verdadero, todos son verdaderos).

1. A es invertible2. La única solución del sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0).3. El sistema Ax = b tiene una solución que es única para cada n-vector b.4. A es equivalente por renglones a la matriz identidad In de n x n.5. A se puede escribir como el producto de matrices elementales.6. Los renglones (y las columnas) de A son linealmente independientes.7. det A ≠ 08. v(A) = 09. p(A) = n10. La transformación lineal T de Rn a Rn definida por Tx = Ax es un isomorfismo11. El 0 no es un valor característico de A.

MATRICES SIMILARES Y DIAGONALIZACION

Matrices Similares

Se dice que las matrices A y B de n x n son similares si existe una matriz invertible C de n x n tal que

B = C-1 AC

La función definida por la ecuación anterior, que transforma la matriz A en la matriz B, se llama transformación de similaridad. Esta transformación lineal se puede escribir en la forma

T(A) = C-1 AC

Si A y B son matrices similares de n x n, entonces A y B tienen la misma ecuación característica, y por tanto tienen los mismos valores característicos.

Diagonalización

Una matriz de A de n x n puede ser diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A sea similar a D.

Si la matriz A de n x n tiene n valores característicos distintos, entonces A es diagonalizable. Si es así, la matriz diagonal D que es similar a A, está dada por

A=λ1 0 00 ⋱ 00 0 λn

Donde λ1, λ2,……, λn son los valores característicos de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores característicos de A linealmente independientes, entonces

D = C-1 AC

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONALSea A una matriz simétrica real n x n. Entonces los vectores característicos de A son reales.

Si A es una matriz simétrica real de n x n. Si λ1 y λ2 son valores característicos distintos, a los que corresponden los sectores característicos reales v1 y v2, entonces v1 y v2 son ortogonales.

Matriz Diagonalizable Ortogonalmente

Se dice que una matriz A de n x n es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que

Q1AQ = D

Donde D = diag (λ1, λ2,……, λn) y λ1, λ2,……, λn son los valores característicos de A.

Una matriz puede ser diagonalizable ortogonalmente si y solo si A es simétrica.

Transpuesta Conjugada, Matriz Hermitiana y Matriz Unitaria

Si A es una matriz compleja, entonces la transpuesta conjugada de A se denota como A*, y se define como el elemento ij-esimo de A*. A la matriz A también se le llama Hermitiana si A* = A. Si se define una matriz unitaria como la matriz compleja U tal que U* = U-1 entonces, podemos demostrar que una matriz Hermitiana es diagonalizable unitariamente.

FORMAS CUADRÁTICAS Y SECCIONES CÓNICAS

Ecuación Cuadrática y Forma Cuadrática

1. Una ecuación cuadrática con dos variables sin términos lineales es una ecuación de la forma ax2 + bxy + cy2 = d donde |a| + |b| + |c| ≠ 0. Es decir, por los menos uno de los números a,b o c es diferente de cero.

2. Una forma cuadrática con dos variables de la forma F(x,y) = ax2 + bxy + cy2 donde |a| + |b| + |c| ≠ 0.

Teorema de los Ejes Principales en R2

Sea ax2 + bxy + cy2 = d una ecuación cuadrática en las variables X y Y. entonces existe un solo número Ø en [0, 2π ) tal que la ecuación se puede escribir en la forma ax2 + cy2 = d donde X y Y son los ejes que se obtienen al rotar los ejes en un ángulo Ø en sentido antihorario, mientras que a y c son los valores característicos de la matriz A. Los ejes X y Y reciben el nombre de ejes principales de la gráfica de la ecuación cuadrática.

Si la ecuación cuadrática ax2 + bxy + cy2 = d con d≠0 es la ecuación de:

1. Una hipérbola si el det A<0.2. Una elipse, circunferencia o sección cónica degenerada si det A>0.3. Un par de líneas rectas o una sección cónica degenerada si det A=0.4. Si d=0, entonces la ecuación es la de dos líneas rectas si det A≠0, y es la ecuación de una

sola recta si det A=0.

Forma cuadrática

Sean v=(X1X2⋮Xn

) A una matriz simétrica de n x n. Entonces una forma cuadrática en x1,x2,…,xn es una

expresión de la forma F(x1,x2,…,xn) = Av ∙v

Forma Canónica de Jordan

Sea una matriz A de n x n. Entonces existe una matiz invertible C de n x n tal que

C-1 AC = J

Donde J es una matiz de Jordan cuyos elementos diagonales son los valores característicos de A. Además, J es única, excepto por el orden en el que aparezcan los bloques de Jordan.