EJERCICIOS PROPUESTOS VALORES Y VECTORES PROPIOSII Semestre 2013

VBV

1. Dada la matriz A =

1 a aa 1 aa a 1

donde a es una constante real. Determine:

a) El polinomio caracteristico de A.

b) Los valores y vectores propios de A y sus subespacios propios asociados.

c) ¿Para que valores de a, la matriz A es diagonalizable?

d) Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza a A.

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2. Muestre que la matriz A =

(1 −1−1 1

)es diagonalizable y determine una matriz X tal

que X5 = A

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3. Sea A =

1 0 a3 3 −31 0 2

a) Para a = 2, es diagonalizable la matriz A?

En caso afirmativo, calcula la matriz diagonal D semejante a A.

Al reemplazar a = 2 en la matriz A, se obtiene el polinomio:

p(λ) =

∣∣∣∣∣∣1− λ 0 23 3− λ −31 0 2− λ

∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)(3− λ)(2− λ)− 2(3− λ)

= (3− λ)[(1− λ)(2− λ)− 2] = λ(3− λ)(λ− 3)

La matriz A tiene 2 valores propios: λ = 0 y λ = 3Para el caso de λ = 0 la multiplicidad geometrica coincide con lamultiplicidad algebraica, no es necesario probarlo!Para λ = 3, se tiene que el espacio propio es:

W3 =< (1, 0, 1), (0, 1, 0) >

Probar esto!!!Por tanto, dim(W3) = 3, ası multiplicidad geometrica coincidecon la multiplicidad algebraica para λ = 3.Por tanto A es diagonalizable.

b) Existe algun valor de a para que 4 sea un valor propio de la matriz A?

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Si λ = 4 es un valor propio de la matriz A, entonces es una raızdel polinomio caracteristico:

|A− 4I| =

∣∣∣∣∣∣1− 4 0 a3 3− 4 −31 0 2− 4

∣∣∣∣∣∣ = −6 + a

Luego, λ = 4 es un valor propio de la matriz A, si a = 6.

4. Sea A =

1 0 33 −2 a3 0 1

donde a ∈ R

a) Encuentra los valores de a para los cuales -2 es un valor propio deA y hallar su espaciopropio asociado.

b) Calcula los valores de a para los cuales (1, 5,−1) es un vector propio del valor propio4.

c) Para a = 3, es A diagonalizable?

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