VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS INVESTIGACION FINAL.pdf

UNIVERSIDAD DE

CUENCA

LGEBRA LINEAL

VALORES Y VECTORES PROPIOS

TRABAJO REALIZADO POR:

JUAN CARLOS CORTZ AUCAPIA

PROFESOR:

ING. HERNN PESNTEZ REGALADO

FECHA DE ENTREGA:

LUNES, 08 DE JULIO DE 2013

SEMESTRE:

MARZO-JULIO/2013

2 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

OBJETIVOS GENERALES:

Adquirir conocimientos acerca de valores y vectores propios.

Conocer su historia y avances a lo largo del tiempo, y quienes fueron los

principales personajes que utilizaron esta teora.

Conocer aplicaciones tiles del algebra lineal y relacionar sus utilidades con

otras reas de la matemtica.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

Dominar los conceptos de valores y vectores propios.

Calcular los valores propios de matrices generales y adems de matrices que no

son simtricas o hermticas

Conocer el proceso para la obtencin de valores y vectores propios.

Ser capaces de decir una matriz es o no diagonalizable

Obtener adecuadamente y segn sea el caso a la matriz P, y su correspondiente

matriz D que diagonalice a una matriz A cualquiera.

Aplicar correctamente los conceptos adquiridos para la correcta resolucin de

problemas.

Usar al algebra lineal como herramienta, as como darme cuenta cuanto puede

simplificar los clculos.

Usar los conocimientos adquiridos para realizar problemas geomtricos que

implican el uso de diagonalizacin


INTRODUCCION

En la presenta investigacin se abordaran temas relaciones a los eigenvalores o valores propios

y a los eigenvectores o vectores propios y su utilidad aplicaciones en diagonalizacin de

matrices, potenciacin de matrices, ecuaciones en diferencia, crecimiento poblaciones y en

formas cuadrticas.

El adjetivo alemn eigen significa propio o caracterstico de. Eigenvalores y eigenvectores son caractersticas de una matriz en el sentido de que contienen informacin importante acerca de la naturaleza de la matriz. La letra l (lambda), la equivalente griega de la letra L, se usa para eigenvalores porque en una poca tambin se conocan como valores latentes.

HISTORIA DE VECTORES Y VALORES PROPIOS

Los valores y vectores propios son temas de mayor utilidad del lgebra lineal. Se usan en varias

reas de las matemticas, fsica, mecnica, ingeniera elctrica, etc. Los valores propios de las

matrices aparecieron publicados antes que las matrices.

Los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadrticas y en la mecnica

celeste (el movimiento de los planetas), conocindose como races caractersticas de la

ecuacin escalar. Desde 1740, Euler usaba de manera implcita los valores propios para

describir geomtricamente las formas cuadrticas en tres variables.

Fue hacia la segunda mitad del Siglo XVIII, que tanto LaGrange como Laplace se vieron

obligados a profundizar en el estudio matemtico de los valores propios.

As en la dcada de 1760, LaGrange estudi un sistema de seis ecuaciones diferenciales del

movimiento de los planetas (slo se conocan seis planetas) y de ah dedujo una ecuacin

polinomial de sexto grado, cuyas races eran los valores propios de una matriz 6x6.

En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los

ejes principales de una forma cuadrtica con n variables. Tambin aplic sus

descubrimientos a la teora del movimiento planetario. Fue l quien, en 1840, us por primera

vez los trminos valores caractersticos y ecuacin caracterstica para indicar los valores

propios y la ecuacin polinomial bsica.


BIOGRAFAS:

Joseph Louis LaGrange (25/01/1736 - 10/04/1813)

Matemtico francs de origen italiano. A los 19 aos obtuvo fama resolviendo el

llamado problema isoperimtrico, que haba desconcertado al mundo matemtico durante

medio siglo. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el clculo de

variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la teora de

nmeros En el lgebra Sus aporto en discusin de la solucin enteras de las formas

cuadrticas en 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas en1770. . Entre sus

investigaciones en astronoma destacan los clculos de la libracin de la Luna y

los movimientos de los planetas. Su obra ms destacada es Mecnica analtica.

Augustin-Louis Cauchy (Pars, 1789-Sceaux, Francia, 1857)

Matemtico francs. Con veintisiete aos ya era uno de los matemticos de mayor prestigio y

empez a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 pginas de esa

investigacin once aos despus. En esta poca public sus trabajos sobre lmites, continuidad

y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exili en Turn, donde trabaj como

profesor de fsica matemtica hasta que regres a Pars (1838). Public un total de 789

trabajos, entre los que se encuentran el concepto de lmite, los criterios de convergencia las

frmulas y los teoremas de integracin y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann.


Leonhard Euler (Basilea, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, 18 de septiembre de 1783)

Matemtico suizo. Leonhard Euler fue uno de los matemticos ms prolficos de la historia y

cubri casi todas las reas de las matemticas: geometra, clculo, trigonometra, lgebra.

Euler fue el encargado de introducir el concepto de funcin matemtica, una notacin que

ofreca mayor comodidad frente a los mtodos del clculo infinitesimal. Tambin introdujo

tambin la notacin moderna de las funciones trigonomtricas, el nmero e, la letra griega

que representa el smbolo para los sumatorios, la letra i para los nmeros imaginarios y la letra

pi para representar el cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su

dimetro.

Fue adems un apasionado de la teora de nmeros, llegando a unir la naturaleza de la

distribucin de los nmeros primos con sus ideas del anlisis matemtico. Leonhard Euler

consigui demostrar la divergencia de la suma de los inversos de los nmeros primos, y con

ella, descubri la conexin entre la funcin zeta de Riemann y los nmeros primos.

Algunos de los mayores xitos de Leonhard Euler vinieron en las matemticas aplicadas,

consigui hacer grandes avances en la mejora de las aproximaciones numricas para resolver

integrales, hasta el punto de conocerse hoy en da como aproximaciones de Euler.

FUENTES DE CONSULTA:

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cauchy.htm

http://www.elcivico.com/notas/2013/4/15/breve-biografia-leonhard-euler-genio-matematico-

padre-numero-e-102994.asp

http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/teoria

/documentos-pdf/diagonalizacion.pdf

http://www.miscelaneamatematica.org/Misc43/CarMtnez_a.pdf


VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS

DEFINICIN

Sea A y un vector diferente del vector cero de , y un escalar cualquiera RvC.

Adems es un valor propio real o complejo de A si existe una solucin no trivial de v, y v es

un vector propio real o complejo de A asociado a , Tal que A = .

A = , donde A y RvC, ^

Inexistencia del vector cero como vector propio

A y R se cumple A =

Por esta razn el vector nulo no se considera vector propio.

Sea A una matriz de nxn y sea un eigenvalor de A, el conjunto de todos los eigenvectores correspondientes a , junto con el vector cero, se llama eigenespacio de y se denota por .

EJEMPLO 1.- Sea A=(

) , =(

) , = (

). Son vectores y propios de A?

A = (

)*(

)= (

) = -3

Entonces es un vector propio correspondiente a un valor propio de (-3)

A = (

)*(

)= (

) (

)

Entonces no es un vector propio de A porque Av no es mltiplo de

EJEMPLO 2.- Vea 5i es un valor propio de la matriz A=(

) , despus encuentre

los vectores propios correspondientes.

Det(

)= 0

Det(

)= 0

( ) ( )-(4)(0.5) =0

2-2=0

0=0

Entonces 5 si es un valor propio de la matriz A.

Para encontrar los vectores propios de A resolvemos la ecuacin homognea:

(A

(A = (

) (

) (

)

UsuarioNota adhesivadebe ser 5

UsuarioResaltado


(

)*(

)

(

) ( )

Al resolver se obtiene

+

, t

Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones con la forma:

(

)

Interpretaciones geomtricas de vectores propios en R2 y R3

Los valores y vectores propios tienen una interpretacin geomtrica til en los espacios

vectoriales R2 y R3, ya que s es un vector propio de un operador lineal T sobre R2 o R3,

asociado a un valor propio , entonces T dilata a , contrae a , invierte el sentido de segn

el valor de .

Entonces:

Si Dilatacin

Si Contraccin

Si Invierte en sentido

Si T (u)=0

EJEMPLO 3.- Calcule los valores propios de la transformacin lineal T: R2 R2, dada por

T((x,y))=(2x, x+3y)

Debemos buscar un vector =(x, y) diferente de cero que satisfaga

2x=

X+3y=


Despejando de 2x= obtenemos:

Adems

y= -x

Entonces:

= [ (x, y)= (x, -x) / x R; x ]

Obtenemos de esta expresin los vectores propios

Por ejemplo cuando x=3

(2(x), x+3(-x) ) = (2x,-2x) = 2(x,-x)

Ahora si tenemos x=0, entonces

= [(x`, y`)= (0, 3y) / y R; y ]

T( )=(0, 3y ) = 3(0,y)

De esto concluimos que por cada vector propio de T, podemos obtener una infinidad de

vectores propios, sin contar con su respectivo vector cero.

CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS

Para el clculo de lo eigenvectores o vectores propios de A se realizan las siguientes

operaciones:

A (Multiplico por I (Matriz Identidad) a los dos miembros de la igualdad)

A


A

A

CLCULO DE LOS VALORES PROPIOS

Para el clculo de lo eigenvalores o vectores propios de se tiene:

| |

(

)

Donde es el valor propio de A

EJEMPLO 4.- Demuestre que para cualquier valor de de la siguiente matriz A sus

vectores propios son ( ) (

)

(

)

Calculamos los valores propios de A

(

) = (

)

(A = (

) (

) (

)

|

|

,

Utilizamos (A

Con


(

) (

)

(

) ( )

t Con obtenemos

( )

Con

(

) (

)

(

) (

)

t Con obtenemos

(

)

Entonces los vectores propios de la matriz A son

( ) (

)

EJEMPLO 5.- Calcular los valores y vectores propios para la matriz A=(

)

Procedemos a calcular los valores propios

(

) = (

)

(A = (

) (

) (

)

Det (A =|

|= (5- )(3- )-(4)(12) =

Det (A =0, entonces


,

Utilizamos (A

(

)*(

)

(

) ( )

(t/2), t

Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones con la forma:

( )

(

)*(

)

(

) ( )

(3t/2), t

Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones de la forma:

( )

POLINOMIO CARACTERISTICO

Para cada matriz A de orden nxn se tiene que Det (A es un polinomio de grado n que se

llama polinomio caracterstico de A y se denota por PA( )


Consideramos la matriz

Luego:

(A =

Entonces el determinante de (A nos dar un polinomio caracterstico.

ECUACION CARATERISTICA

La ecuacin caracterstica es llamamos a:

Det (A =0

Como ya sabemos la ecuacin caracterstica de A, nos da los eigenvalores o valores propios de

la matriz A.

EJEMPLO 6.- Calcule el polinomio y la ecuacin caracterstica de la siguiente matriz.

A3x3 = (

)

El polinomio caracterstico se calcula Det (A

Entonces:

(A = (

) ((

)) = (

)

(

)

= (

Det (A =

Ecuacin Caracterstica: Det (A =0

Det (A =


Concluimos que el algoritmo a seguir para calcular valores y vectores propios es:

1. Determinamos el polinomio caracterstico PA( )= Det (A

2. Resolvemos la ecuacin caracterstica PA( )= Det (A =0 (Donde las soluciones

reales e imaginarias de sta ecuacin son los valores propios de A)

3. Para cada valor propio de la matriz A, se resuelve el sistema de ecuaciones

(A = .

MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA

La multiplicidad algebraica de se define como la multiplicidad de la raz del polinomio

caracterstico PA( )

Max [k (1,2,., n) / (x- k ]

Donde k es el grado de multiplicidad.

Es decir se llama multiplicidad algebraica de un valor propio al nmero de veces que aparece

(x) como factor en el polinomio caracterstico de A

MULTIPLICIDAD GEOMETRICA

Se llama multiplicidad geomtrica de un valor propio a la dimensin del subespacio propio V

(0).

Dim ( ) = Nmero de vectores propios de

Relacin entre multiplicidad algebraica y geomtrica

La Multiplicidad Geomtrica es menor o igual a la multiplicidad algebraica

EJEMPLO 7.- Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas y geomtricas de

la matriz:

A= (

)

Resolvemos Det (A =0

(A = (

) ((

)) (

)

Det(

) =


=

=

Entonces los valores propios de A son

Cuya multiplicidad algebraica es uno.

Cuya multiplicidad algebraica es dos.

La multiplicidad geomtrica de los valores propios es 2.

TEOREMAS:

Los eigenvalores de una matriz triangular son las entradas en su diagonal principal.

Una matriz cuadrada A es invertible si y slo si 0 no es un eigenvalor de A.

Sea A una matriz de nxn y sean distintos eigenvalores de A con sus correspondientes eigenvectores . Entonces son linealmente independientes.

FUENTES DE CONSULTA

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning

(pagina 421-435)

David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage

Learning, 2011 (pgina 303-312)

Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002. (Pgina

276-282)

David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007. . (Pagina

302-319)

http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf

http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-71.pdf


2. DIAGONALIZACIN DE MATRICES

Antes de empezar con las diagonalizacin de matrices es necesario conocer antes algunos

conceptos.

Semejanza de matrices

Definicin.- Sean 2 matrices A, B decimos que A y B son similares si existe una matriz

invertible C tal que A = PBP-1. La semejanza entre A y B, se lo denota por A B.

TEOREMA: Si las matrices A y B son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio

caracterstico y, por consiguiente los mismos valores propios con las mismas multiplicidades.

Concepto de diagonalizacin

Una matriz A es diagonalizable si, y solo s, A tiene n vectores propios linealmente

independientes. De hecho A = PDP-1 con D como una matriz diagonal, si y solo s las columnas

de P son n vectores propios linealmente independientes. Entonces las entradas diagonales de

D son valores propios de A que corresponden, respectivamente a los vectores propios de P.

Para encontrar D se debe resolver:

La matriz est formada en su diagonal por los valores propios

TEOREMA:

Si A es una matriz de nxn con n eigenvalores distintos, entonces A es diagonalizable.

EJEMPLO 1.- Estudiar para que valores del parmetro es diagonalizable la matriz

(

)

Primero determinamos la ecuacin caracterstica, Det (A =0

(

)(

) (

)

|

|

1


Conclusin 1: La matriz A seria en teora diagonalizable siempre que , ya que con

aparecen autovalores triples entonces ser necesario calcular las dimensiones de los

subespacios propios y ver si son iguales o no a las multiplicidades de los respectivos

autovalores. Sin embargo debemos hallar sus vectores propios puesto que tenemos

autovalores dobles, as que debemos calcular La dimensin formada por el subespacio de

dichos autovalores.

Entonces calculamos los respectivos vectores propios

Con calculamos (A

(

)(

)=( )

(

) ( )

( )

Con calculamos (A

(

)(

) ( )

(

) (

)

(

)


Conclusin 2.- La matriz A dada no es posible diagonalizarla ya que solo se consigui tener 2

vectores propios, en lugar de 3. Debemos tambin saber que c debe ser diferente de 0.

Conclusin General: Sin importar el valor de la matriz no puede ser diagonalizable.

EJEMPLO 2.- Halle una matriz que P que diagonalice A y determine P-1

AP

(

)

Determino los valores propios de A

(A = (

) ((

))

(

)

Con

(A

(

)*(

)=( )

(

)=( )

( )

Con


(A

(

)*(

)=( )

(

) ( )

(

) ( )

Obtenemos P con todos los vectores propios

(

)

(

)

Ahora: P-1

AP

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)

EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz:

A=(

)

Procedemos a encontrar los valores propios de A.


(

) ((

))

|

|

= =0

Encontramos tres vectores propios de A linealmente independientes

(A

(

)*(

)=( )

(

)=( )

Resuelvo el sistema

(

)

Ahora hacemos el mismo proceso pero con

(A

(

)*(

)=( )

(

)=(

)


Resuelvo el sistema

(

) , ( )

Base={ (

) (

) ( ) }

Estructuramos P

(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)

D= (

)

Ahora verificamos que AP=PD, ya que es la equivalencia de A=PDP-1, tenemos adems que

verificar que P sea invertible.

AP=(

)(

)=(

)

PD=(

)(

) (

)


Tambin veremos que se cumple A=PDP-1

P-1

=(

)

A=PDP-1

(

) (

)(

)(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

La matriz si es posible diagonalizarla.

EJEMPLO 4.- De ser posible diagonalice la siguiente matriz

(

)

((

) ((

)))

|

|

,

Resuelvo

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


Se resuelve el sistema:

Resolviendo el sistema se obtiene:

(

)

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )

Se resuelve el sistema:


(

)

Entonces la matriz

(

)

(

)

Ahora:

(

) (

) (

)

(

) (

)


(

)

EJEMPLO 5.- Vea si la matriz siguiente matriz es diagonalizable.

A= (

)

Hallamos Det (A =0

|

|

, ,

Resuelvo:

1. (A

(

)*(

)=( )

(

)*(

) = ( )

( )

2. (A

(

)*(

)=( )

(

)*(

) = ( )


( )

3. (A

(

)*(

)=( )

(

)*(

) = ( )

(

)

Entonces se obtiene la matriz P

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)


FUENTES DE CONSULTA

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning, pag

(435-446)


Learning, 2011, pag (312-322)

David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007. pag

(319-327)

http://www4.ujaen.es/~magarcia/algebra2est_archivos/Practicas/PRACTICA08.pdf


5.3 MATRICES SIMETRICAS Y DIAGONALIZACIN ORTOGONAL

Matriz Simtrica

Una matriz A de nxn es simtrica si es igual a su transpuesta.

Si A es una matriz simtrica de orden n, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. A es diagonalizable

2. Todos los valores propios son reales

3. Si es un valor propio de A con multiplicidad , entonces tiene vectores propios

linealmente independientes. Entonces el espacio propio de es de dimensin

Adems a valores propios de una matriz simtrica le corresponden vectores propios

ortogonales, y A tienen un conjunto de vectores propios que son una base ortonormal de .

Matrices Ortogonales

Una matriz cuadrada P se denomina ortogonal si:

1. Se puede encontrar

2.

3.

TEOREMA: Una matriz P de orden nxn es ortogonal si y solo s sus vectores columna forman un

conjunto base ortonormal para .

EJEMPLO 1.- Vea si la siguiente matriz es ortogonal.

(

)

Nos basta con determinar para luego comprobar si

(

)


(

)

(

)

(

)

Conclusin: La matriz A dada si es ortogonal, Adems sabemos que cada columna es un vector

propio de y que adems son bases ortonormales ya que su norma es 1.

Proceso de Gram-Schmidt

Sea V un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio W con base tiene al menos

una base ortogonal y una base ortonormal. Si B = { } es una cualquier base de

V, entonces { } es una base ortonormal donde:

{ } { }

{

}

Diagonalizacin Ortogonal

Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que

, siendo D una matriz diagonal.

TEOREMA: Sea A una matriz de orden nxn. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente y

tiene valores reales propios si y solo si A es simtrica.


Proceso para Diagonalizar Ortogonalmente

1. Verificar que la matriz A sea simtrica

2. Determinar los vectores propios de cada uno de los espacios caractersticos

3. Usar Gram-Schmidt (si es el caso) para ortonormalizar los vectores propios de A

4. Construir la matriz P formado en cada una de sus columnas por los n vectores propios

ortonormales encontrados.

Nota: No es necesario usar Gram-Schmidt cuando se tienen n valores propios diferentes, ya

que basta con dividir cada vector propio para su norma. Pero si existe algn repetido (de

multiplicad geomtrica de 2 en adelante), entonces se deber usar Gram-Schmidt para

obtener los correspondientes vectores ortonormalizados.

EJEMPLO 2.- Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz simtrica

(

)

((

) (

))

|

|

1

Determino los vectores propios (A

Con

(

)(

) ( )


(

) ( )


( )

Con

(

)(

) ( )

(

) ( )


(

) (

)

Ortonormalizo los vectores propios

( )

( )

(

)


(

)

(

)

(

)

Aplico el proceso de Gram Schmidt con (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados

(

)

(

)

Entonces


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 3.- Halle una matriz P que diagonalice ortogonalmente A y determine .

(

)

Encuentro los valores propios de A

((

) (

))

|

|

Determino los vectores propios

Con

(A


((

))(

) = ( )

(

) ( )

( )

Con

(A

((

))(

) = ( )

(

) ( )

(

) (

)

Ahora con ( )

( )

( )

(

)

Ahora con (

)


(

)

(

)

(

)

Aplico el proceso de Gram Schmidt con (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

Entonces


(

(

)

)

((

))

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 4.- Diagonalice ortogonalmente la matriz simtrica A.

(

)

Determino los valores y los vectores propios de A

((

) (

))

|

|

Determino los vectores propios

Con


(

)(

) = ( )

(

) ( )

Resuelvo el sistema:

Al resolver obtengo:

(

)

Con

(

)(

) = ( )

(

) ( )



(

)

Con

(A


(

)(

) ( )

(

) ( )



( )

Ahora, ortonormalizo a los vectores propios

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

Entonces obtenemos

(

)


(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 5.- Encuentre una matriz ortogonal P, tal que diagonalice A.

(

)

Determino los valores y los vectores propios de A

((

) (

))

|

|


Con

(A

(

)(

) ( )

(

) ( )

Al resolver el sistema se obtiene

(

)

Con

(A

(

)(

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(A


(

)(

) ( )

(

) ( )


(

)

Ahora ortonormalizo cada vector propio

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)


Ahora determino

(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

BIOGRAFIA

Schmidt (13 de enero 1876- 16 de diciembre 1959)

El principal inters de Schmidt fue en ecuaciones integrales y el espacio de Hilbert . Tom varias ideas de Hilbert sobre ecuaciones integrales y combina stas en el concepto de un espacio de Hilbert hacia 1905. Hilbert haba estudiado ecuaciones integrales con ncleo simtrico en 1904. Se demostr que en este caso la ecuacin integral tena valores propios reales, las soluciones correspondientes a estos valores propios las llamo funciones propias. Tambin ampli las funciones relacionadas con la integral de la funcin del ncleo como una serie infinita en un conjunto de funciones propias ortonormales.

Schmidt public un artculo de dos partes sobre ecuaciones integrales en 1907 en la que castig a los resultados de Hilbert de una manera ms simple, y tambin con menos restricciones. En este trabajo se ha dado a lo que ahora se llama el proceso de


ortonormalizacin de Gram -Schmidt para la construccin de un conjunto ortonormal de funciones a partir de un conjunto linealmente independiente. A continuacin, pas a considerar el caso en el que el ncleo no es simtrico y demostr que en ese caso las funciones propias asociadas a un determinado valor propio se produjeron en parejas adjuntos.

En 1908 Schmidt public un importante artculo sobre un nmero infinito de ecuaciones con

infinitas incgnitas, introduciendo diversas notaciones y trminos geomtricos que todava

estn en uso para describir los espacios de funciones y tambin en espacios interiores de

productos. Las ideas de Schmidt fueron para dirigir a la geometra de los espacios de Hilbert y

sin duda debe ser considerado como uno de los fundadores del moderno abstracto el anlisis

funcional .

Jorgen Pedersen Gram (1850-1916)

Matemtico dans al que se le recuerda sobre todo por este proceso de ortogonalizacion que

construye un conjunto ortogonal de vectores a partir de un conjunto independiente. Sin

embargo, l no fue el primero en usar este mtodo. Parece ser que fue descubierto por

Laplace y fue usado esencialmente por Cauchy en 1836.

FUENTES DE CONSULTA

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning,

pagina (446-458)

Howard Anton. Introduccin al Algebra Lineal. 3ra Edicin. Editorial Limusa, 1994, pgina

(318-328)

Jos Alfredo Jimnez Moscoso, Notas de clase. lgebra Lineal II (con aplicaciones en

estadstica) (libro online)


http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0

http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas


5.4 POTENCIAS DE MATRICES. ECUACIONES EN DIFERENCIAS

POTENCIAS DE MATRICES

La matriz donde m es un valor entero no negativo, tiene los valores propios y

los vectores propios de A asociados con Entonces para elevar una matriz cuadrada a

la ensima potencia es necesario que sea diagonalizable, entonces se cumplir el siguiente

procedimiento.

Se tiene que (donde se multiplican n veces A)

Se sabe adems que

Sustituimos en

Recordando que

Se obtiene que

EJEMPLO 1. Determine y usando el proceso aprendido.

(

)

Hallamos los valores propios de A

((

) (

))

|

|

Determinamos los vectores propios

Con


(

)(

) ( )

(

) ( )

(

)

Con

((

))((

)) ( )

(

) ( )

( ) , (

)

Formamos la matriz P

(

)

Hallamos

(

)


Ahora resolvemos

(

)

(

)(

)

D

(

)

(

)

(

)

Para encontrar en valor de

(

)

(

)(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

Finalmente hallamos

(

)

(

)

EJEMPLO 2.- Determine y usando el proceso aprendido.

(

)

Determino los vectores propios de A

((

) (

))

|

|


Ahora determinamos

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )

(

)

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )

(

)

Ahora sabemos que P ser

(

)


Entonces

(

)

Entonces

(

) (

) (

)

(

)(

)

(

)


(

)

(

) (

)(

)

(

)(

)

((

) (

)

(

) (

)

)

Finalmente hallamos

(

(

) (

)

(

) (

) )

(

)


EJEMPLO 3.- Dada la matriz A calcule y despus

(

)

Hallamos los valores propios de A

((

) (

))

|

|

Ahora determinamos

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )

( )

Con


(

) (

) ( )

(

) ( )

( ) (

)

Entonces:

(

)

Hallamos

(

)

Ahora

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)


(

)


(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 4.- Calcule si es posible utilizando la diagonalizacin de matrices.

(

)

((

) (

))

|

|

Hallo sus vectores propios

Con

(

) (

) ( )

(

) (

)


Al resolver el sistema se obtiene:

(

)

(

)

Con

(

) (

) ( )

(

) (

)


(

)

(

)

Entonces obtenemos

(

)

(

)

Ahora

(

) (

) (

)


(

) (

)

(

)


(

)

(

) (

)(

)

( (

) (

)

)(

)

( (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

)

Finalmente calculamos

( (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

)

(

)

EJEMPLO 5.- Diagonalice ortogonalmente la matriz A. Luego Calcule .

(

)

(

(

) (

)

)


|

|

(

) (

) (

) (

)

(

)


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Con Hallo su vector propio

(

) (

) ( )

(

) ( )



(

)

Ahora convierto cada vector en ortogonal

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Entonces

(

)

(

)

Ahora

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Finalmente calculamos

(

)

(

)

ECUACIONES EN DIFERENCIA

Las ecuaciones en diferencias no es lo mismo que las ecuaciones diferenciales ya que las

ecuaciones en diferencias evolucionan en un nmero nito de pasos nitos, mientras que una

ecuacin diferencial da un nmero innito de pasos innitesimales.

Hay cierto tipo de problemas cuya resolucin depende de la potencia de una matriz. Es el caso

de las ecuaciones en diferencias en las que a partir de una matriz cuadrada A y vectores de


se cumple para cada ndice natural k que

Entonces la solucin viene dada por la expresin:

EJEMPLO 6.- En una poblacin de 10000 individuos se observa que, de modo aproximado, el

80% de los que eran donantes de sangre un ao siguen sindolo al siguiente y que el 70% de

los que no eran donantes de sangre permanecen de nuevo sin donar a otro ao. Suponiendo

que inicialmente hay 2000 donantes hallar cuntos habr despus de 10 aos.

Solucin

Nmero de donantes despus de k aos

Nmero de no donantes despus de k aos

Planteamiento de las ecuaciones en diferencia:

Formamos la matriz

(

)

Y

(

)

Ponemos en la forma matricial:

(

) (

)

Al aplicar k veces se obtiene

Donde

(

) (

)

Hallamos

Determino los valores propios y sus correspondientes vectores propios


((

) (

))

|

|


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )



(

)

Formo la matriz P y determino su inversa:

(

)

(

)

Ahora

(

)(

) (

)

(

) (

)

(

)


(

)

(

) (

)(

)

(

)(

)


(

)

Ahora basta reemplazar en

(

)

(

) (

)

Entonces el nmero de donantes despus de pasar k aos es

Calculamos el nmero de donantes para K=10 aos

donates

EJEMPLO 7.-

Un territorio est dividido en tres zonas Z1, Z2 y Z3 entre las que habita una poblacin de aves.

Cada ao y debido a diversas razones se producen los siguientes ujos migratorios entre las

distintas zonas:

En Z1: un 60 % permanece en Z1, un 10 % emigra a Z2 y un 30 % emigra a Z3.

En Z2: un 10 % emigra a Z1, un 80 % permanece en Z2 y un 10 % emigra a Z3.

En Z3: un 10 % emigra a Z1, un 20 % emigra a Z2 y un 70 % permanece en Z3

De la poblacin total de aves un 30 % viven en Z1, un 20 % viven en Z2 y un 50 % viven en Z3.

Cul ser la distribucin de la poblacin de aves a los 2 aos? Y a los n aos?

Armamos la matriz A con el flujo migratorio de Aves

(

)

El vector que describe la situacin inicia es

(

)


Determino

((

) (

))

|

|


Con

(

)(

) ( )

(

)

( )



( )

Con

(

)(

) ( )

(

)

( )


(

)

Con

(

)(

) ( )

(

)

( )



(

)

Formo la matriz P y determino su inversa

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

D

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

Ahora basta reemplazar en

(

)

(

)

Entonces a los 2 aos el flujo de aves ser:

(

)

(

)

(

)

FUENTES DE CONSULTA

Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002,(pag 305-

308)

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning.

Elena Alemany Martnez, ngel Balaguer Beser, Josefa Marn Molina, Prcticas de lgebra con Mathematica (libro online)

http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/ejercic

ios/ejercicios-resueltos/potencias-de-matrices-cuadradas.pdf

http://www2.uah.es/rviana/Tema8-Aplicaciones.pdf


5.5 MATRICES UNITARIAS, MATRICES NORMALES Y MATRICES HERMITIANAS

Matriz Unitaria

Una matriz A cuadrada de orden n, con elementos reales o complejos, se llama unitaria si

. Una matriz ortogonal es una matriz unitaria real tal que

Teoremas:

Los valores propios de una matriz unitaria tienen valor absoluto igual a 1.

Los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales.

EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz unitaria

(

)

Determino los valores propios de U

((

) ((

)))

|(

)|


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


(

)

Ortonormalizo cada vector propio

( )

( ) (

)

(

)

(

) (

)

Formamos la matriz P y su

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz, y diga si es unitaria.

(

)

Si es unitaria puesto que si determinante es igual a 1.

Procedemos a hallar los valores y vectores propios correspondientes.

((

) ((

)))

|(

)|


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


(

)

Con


(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Formamos la matriz P

(

)

(

(

)

)

Entonces

(

(

)

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

Matriz Normal

Una matriz A de orden nxn recibe el nombre de matriz normal si es conmutativa con su

conjugada hermitiana . Las matrices unitarias y antihermitianas son casos

particulares de las matrices normales.

TEOREMAS:

La matriz es normal si y solo si tiene un conjunto de n vectores propios autonormales.

La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal. (Los

elementos de la diagonal principal son los valores propios de A)


La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal con

elementos que tienen valor absoluto igual a 1 en la diagonal principal.

Las matrices simtricas, antisimtricas u ortogonales son necesariamente normales.

EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz

(

)

((

) ((

)))

|

|


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(

) (

) ( )


(

) ( )


(

)

Ortonormalizo a los vectores propios obtenidos

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Formamos la matriz P y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

) (

)

(

) (

)

)

(

)


(

)

Matriz Hermitianas

La matriz en Hermitiana si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal

con elementos reales.

Los valores propios de las matrices Hermitianas cumplen las siguientes propiedades:

1. Los valores propios de una matriz hermitiana son reales.

2. Los valores propios de una matriz antihermitiana son imaginarios puros.

Para obtener la norma de una matriz hermitiana debemos multiplicar cada componente

vectorial por su conjugada en lugar de elevarlo al cuadrado, salvo las que son reales puros que

procedemos normalmente.

EJEMPLO 4.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana

(

) (

)

((

) (

) (

))

||

||

(

) (

) (

) (

)


Con


(

)

(

) ( )

(

(

)

(

) (

)

)

( )

(

)

(

) (

)


(

)

Con

(

)

(

) ( )

(

(

) (

)

(

) (

)

)

( )

(

) (

)

(

) (

)


(

)

Ortonormalizo los vectores propios


(

)

( )( ) ( )(( )

)

(

( )

)

(

)

( )( ) ( ) (

) (

(( ) )

)

Ahora formaremos la matriz P

(

(

) (( ) )

)

(

)

Ahora

(

)

(

)

(

(

) (( ) )

)

(

)

(

(

) (( ) )

)

(

)

EJEMPLO 5.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana

(

)

Calculamos valores y vectores propios de la matriz A


((

) (

))

|

|

Con

(

)(

) ( )

(

) ( )


( )

Con

( )

(

)(

) ( )


(

( )

( )

( )

) ( )

( )

( )

( )


( )

(

( )

)

Con

( )

(

)(

) ( )

(

) ( )


(

)

Ahora ortonormalizo cada vector

( )

( )

(

)


(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

(

)

(

)

(

)

Ahora formamos la matriz P y determinamos su inversa:

(

)

(

)

Ahora

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

FUENTES DE CONSULTA

Gilbert Strang, lgebra lineal y sus aplicaciones, pag 286

Erich Steine, Matemticas para las ciencias aplicadas, pag 497

http://www.licimep.org/Preprope/2008/Algebra%20lineal/Ejercicios/Diagonalizacion%20de%2

0matrices%203x3%20hermitiana%20Ej%201.pdf


5.6 APLICACIONES: CRECIMIENTO DE UNA POBLACIN

Los modelos de crecimiento poblacional es un modelo basado en matrices, presentado por

primera vez por P.H. Leslie en 1945. El modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte

femenina de una poblacin, que se supone tiene una vida mxima. Las hembras se dividen en

clases por edad, todas las cuales abarcan un nmero igual de aos. Si se emplean datos acerca

de las tasas de nacimiento promedio y probabilidades de supervivencia de cada clase, el

modelo es capaz de determinar el crecimiento de la poblacin en el transcurso del tiempo.

Matriz Leslie: En general si tenemos una poblacin con n clases de edades de igual duracin .

La matriz L ser una matriz con la estructura siguiente:

(

)

Dnde:

son los parmetros de nacimiento. ( = numero promedio de hembras

producidas por cada hembra en la clase .

son las probabilidades de supervivencia probabilidad de que una

hembra en la clase sobreviva en la clase .

Comportamiento a Largo plazo

La proporcin de hembras en cada uno de los grupos de edad se mantiene constante para

valores grandes de n. Es decir tiende a estabilizarse a largo plazo. Los valores a los que tienden

dichas proporciones se denominan distribucin de edades estable

TEOREMA: Toda matriz de Leslie tiene un eigenvalor positivo nico y un eigenvector correspondiente con componentes positivos.

EJEMPLO 1.- Un grupo de conejos criados en un laboratorio tienen las siguientes

caractersticas:

A) La mitad de conejos sobrevive el primer ao. De stos, la mitad sobrevive el segundo ao.

La duracin mxima de vida es 3 aos

B) Durante el primer ao los conejos no producen descendencia. El nmero medio de

descendencia es 6 durante el segundo ao y 8 durante el tercer ao.

Actualmente, la poblacin de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad,

24 en la segunda edad, y 20 en la tercera. Cuntos habr en cada clase de edad en un ao?

Adems determine una distribucin estable de las edades.


La distribucin actual de edades est dada por la matriz

(

)

Y la matriz de transicin de edades es

(

)

Entonces, despus de un ao el vector de distribucin de edades ser

(

)(

) (

)

Si el patrn de crecimiento contina durante otro ao entonces la poblacin de conejos sera

(

)(

) (

)

Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio

|(

) ((

))|

|(

)|

Se toma el valor y determinamos el vector propio

(

)(

) ( )

(

)

( )



(

)

SI entonces:

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

Entonces se observa que se tiene la misma proporcin, por lo tanto el porcentaje de cada clase

de la poblacin permanece igual.

EJEMPLO 2. Una poblacin presenta las siguientes caractersticas.

A) Un total de 60% de la poblacin sobrevive el primer ao. De este 60%, el 50% sobrevive el

segundo ao. La duracin mxima de la vida es tres aos.

B) El nmero promedio de descendencia de cada miembro de la poblacin es 2 el primer ao,

5 el segundo y 2 el tercero.

Actualmente, la poblacin consta de 100 elementos de cada una de las tres clases de edad.

Cuntos habr de cada clase en un ao? Y en dos aos?


(

)


(

)



(

)(

) (

)

Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 900 habitantes que estn

entre 0 y un ao, 60 que estn entre 1 ao y dos, y 50 que estn entre dos hasta tres aos.


(

)(

) (

)

Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 2200 habitantes que

estn entre 0 y un ao, 540 que estn entre 1 ao y dos, y 30 que estn entre dos hasta tres

aos.

EJEMPLO 3.- Una poblacin presenta las siguientes caractersticas.

A) Un total de 75% de la poblacin sobrevive el primer ao. De este 75%, el 25% sobrevive el

segundo ao. La duracin mxima de la vida es tres aos.

B) El nmero promedio de descendencia de cada miembro de la poblacin es 2 el primer ao,

4 el segundo y 2 el tercero.

Actualmente, la poblacin consta de 120 elementos de cada una de las tres clases de edad.

Cuntos habr de cada clase en un ao? Y en dos aos?


(

)


(

)


(

)(

) (

)

Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 960 habitantes que estn

entre 0 y un ao, 90 que estn entre 1 ao y dos, y 30 que estn entre dos hasta tres aos.



(

)(

) (

)

Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 2340 habitantes que

estn entre 0 y un ao, 720 que estn entre 1 ao y dos, y 22 que estn entre dos hasta tres

aos.

EJEMPLO 4.- Encuentre un vector de distribucin de edades estable para la matriz de

transicin:

(

)

Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio

|(

) ((

))|

|

|

Se toma el valor y determinamos el vector propio

(

)(

) ( )

(

) ( )



( )

SI entonces:

(

) (

) (

)

(

)(

) (

)

Entonces se observa que se tiene la misma proporcin, por lo tanto el porcentaje de cada clase

de la poblacin permanece igual.

EJEMPLO 5.- Considere un organismo que puede vivir hasta una edad mxima de dos aos, y

cuya matriz Leslie es:

(

)

Determine una distribucin estable de edades, y estudie el comportamiento de la poblacin

para los 3 siguientes aos.

Primero: determinamos los valores propios de la matriz L

|(

) ((

))|

|

|

Escogemos la nica raz real

Determinamos el vector propio correspondiente al valor propio

(

)(

) ( )


(

)


( )

Entonces la distribucin estable de edades estar dada por la forma del vector

( )

Comprobamos para t=2 en dos aos.

(

)

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

La poblacin mantendr su poblacin, es decir siempre tendr el mismo nmero de

habitantes, ya que as lo demuestra lo estudiado del comportamiento de la poblacin en tres

aos.


BIOGRAFIA

Patrick H. Leslie (25 septiembre 1815 a 12 agosto 1881)

Su aporte:

En las matemticas aplicadas , la matriz de Leslie es un discreto , con estructura de

edades modelo de crecimiento de la poblacin que es muy popular en la ecologa de la

poblacin .

FUENTES DE CONSULTA

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning (pag

458)


Learning, 2011 Pag 245, 341

Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. Pag 546-555


5.7 APLICACIONES: FORMAS CUADRTICA

Definicin de Formas cuadrticas

Es una funcin denida por un polinomio real de varias variables en el que todos los

sumandos no nulos son de segundo grado.

La expresin general para una forma cuadrtica real en dos variables es

O en forma matricial seria

( )((

))(( ))

Donde a, b, c son nmeros reales, y adems la matriz A es simtrica lo que implica que es de

orden nxn.

Generalizando para obtenemos:

+

En forma matricial:

Dnde:

(

)

(

)

Donde a, b, c son nmeros reales, y adems la matriz A es simtrica lo que implica que es de

orden nxn.

Forma Cannica

Sabemos que la matriz A al ser simtrica se la puede diagonalizar ortogonalmente. Adems

tenemos que . Recordamos que Q (o P segn sea la nomenclatura) es la matriz que

diagonaliza a A y est formada por los vectores propios ortonormalizados.


Partimos de

Donde como ya sabemos

Es la matriz Diagonal de los valores propios de A, y donde

Es el vector obtenido a partir de x con la transformacin ortogonal

Observacin:

El determnate de la matriz P debe ser igual a 1. Por lo que si el resultado es -1 basta con

cambiar de orden las columnas.

Teorema: ejes principales

Toda forma cuadrtica puede diagonalizarse. Especficamente, si A es la matriz simtrica de orden n, asociada con la forma cuadrtica y si P es una matriz ortogonal tal que es una matriz diagonal, entonces el cambio de variable transforma la forma cuadrtica en la forma cuadrtica , que no tiene trminos en . Si los eigenvalores de A son y

entonces

Teorema:

Sea A una matriz simtrica de orden nxn La forma cuadrtica es:

a. positiva definida si y slo si todos los eigenvalores de A son positivos.

b. semidefinida positiva si y slo si todos los eigenvalores de A son no negativos.

c. definida negativa si y slo si todos los eigenvalores de A son negativos.

d. semidefinida negativa si y slo si todos los eigenvalores de A son no positivos.


e. indefinida si y slo si A tiene eigenvalores tanto positivos como negativos.

Para ejercicios con cnicas se debe recordar:

{

EJEMPLO 1.- Analice la siguiente ecuacin y dibuje su grfica

Escribimos la forma matricial de

( )((

))(( ))

Encontramos los valores propios de la matriz y sus correspondientes vectores propios de

(

)

((

) (

))

|

|

Con

(

) (

) ( )


(

) ( )


( )

( )

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


(

)

(

)

Normalizamos los vectores propios

( )

(

)

(

)

(

)

Obtenemos la siguiente matriz ortogonal:


(

)

(

)

(

)

La ecuacin puede transformarse a la forma

(

) (

)

Esta ecuacin corresponde a una elipse en el sistema de coordenadas . La longitud del

semieje mayor es 2, y la longitud del semieje menor es . En el sistema de coordenadas

la grfica sera

La rotacin de las coordenadas est definida por la matriz C. Por lo que


(

)

(

)

Entonces

En sistema de coordenadas la grfica sera

EJEMPLO 2.- Encuentre un cambio de variable que transforme la forma cuadrtica siguiente

en una sin trminos .

La matriz correspondiente es

(

)

Entonces determino sus valores propios y sus correspondientes vectores propios

((

) ((

)))

|

|



Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


(

)

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Ortonormalizo los vectores:


(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

Armamos la matriz P (tambin se la nombra como Q) y su transpuesta

(

)

(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)

(

)


(

) (

)

EJEMPLO 3.- Identifique y grafique la cnica cuya ecuacin es:

Formamos la ecuacin matricial

(

) (

)


Diagonalizo ortogonalmente a la matriz

(

)

((

) ((

)))

|

|


Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(

) (

) ( )


(

) ( )


(

)


( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)


(

)


(

) (

)

(

)

Entonces es una elipse y su grafico es:

EJEMPLO 4.- Identifique y grafique la cnica cuya ecuacin es:


(

) ( )

Diagonalizo ortogonalmente a la matriz

(

)

((

) ((

)))


|

|


Con

((

)) (

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(

) (

) ( )

(

) ( )


(

)



( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)

(

)


(

) (

)

Entonces es una hiprbola y su grafico es:


EJEMPLO 5.- Identifique la superficie cudrica cuya ecuacin es


(

)( )

Encontramos sus valores y sus correspondientes vectores propios ortogonales

(

)

((

) (

))

|

|

Al ser una expresin no facturable utilice la calculadora de Microsoft para resolverla y obtuve:


(

)

(

)

Entonces los valores propios son

Con

(A

(

)(

) ( )

(

) ( )


( )

Con

(A

(

)(

) ( )

(

) ( )



(

)

Con

(A

(

)(

) ( )

(

) ( )


(

)

Ahora ortonormalizo cada vector propio

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

(

)


(

)

Ahora determino

(

)

Entonces

(

)

(

)

(

)

((

))

(

(

)

)

(

)

Aplicamos el cambio de variable y se obtiene:

(

)(

)


(

) Divido para 36 a ambos lados de la ecuacin y se obtiene:

Entonces esta ecuacin se reconoce como la de un hiperboloide de una hoja. Los ejes

estn en las direcciones de los eigenvectores obtenidos, Su grfica es:

FUENTES DE CONSULTA


Learning, 2011

Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2006

Erich Steine, Matemticas para las ciencias aplicadas, pag 495

Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. pag 575-585

http://neblan.files.wordpress.com/2012/10/tema-7.pdf


CONCLUSIONES:

Al realizar la investigacin he aprendido y me he dado cuenta del poder del algebra lineal, y su

uso, el cual facilita el clculo en muchas aplicaciones.

Los valores propios siendo un concepto muy fcil de aprenderlo al igual que vectores propios

tiene un gran campo de accin es decir es utilizado en muchos casos tales como para

determinar la potencia ensima de una matriz cuadrada, tan solo con la condijo de que esta

sea diagonalizable, ya que el proceso realizando ajuste polinomial resultaba muy largo y

tedioso, adems de que la potencia ensima tiene aplicaciones en ecuaciones en diferencias

como lo vimos.

La diagonalizacin est presente en matrices reales como imaginarias, y adems para matrices

nrmales (aqu estn incluidas matrices simtricas, hermticas, unitarias, antihermitianas) las

cuales se las diagonaliza ortogonalmente.

Otra aplicacin de los conceptos adquiridos est en el crecimiento poblacional, ya que usando

el concepto de diagonalizacin podemos determinar un vector propio el cual determine un

crecimiento estable para un conjunto de habitantes.

Tambin, hemos visto su uso en la geometra permitiendo rotar i transformar a los ejes y de

esta manera facilitar su interpretacin, as como determinar la ecuacin de la cnica o figura

correspondiente en sus nuevas coordenadas.

Para concluir al desarrollar la investigacin not como el lgebra lineal es una herramienta

muy importante para otras ciencias, y que tiene innumerables aplicaciones, muchas ms que

las que esta investigacin exige tales como en las series de Fibonacci, Fsica, etc. Se puede

concluir que el lgebra lineal a travs del tiempo ha servido para el crecimiento de otras

ciencias y teoras, es por eso que matemticos muy importantes han realizados investigaciones

y han hecho aportes importantes a esta gran rama, conocida como LGEBRA LINEAL.

RECOMENDACIONES

Tener a mano la mayor cantidad de fuentes de consulta, es decir libros los cuales tengan un

amplio contenido, ya que segn el autor en unos libros la explicacin es muy clara.

Adems dar el tiempo adecuado y necesario para realizar el trabajo que permita primero tener

una idea clara del tema antes de realizar la investigacin como tal.


BIBLIOGRAFA GENERAL

Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning


Learning, 2011

Howard Anton. Introduccin al Algebra Lineal. 3ra Edicin. Editorial Limusa, 1994

Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002.

David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007.

Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2006

Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008.

Seymour Lipschutz (Schaum). Algebra Lineal. 2da Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 1993

BIBLIOGRAFA VIRTUAL

http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf

http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf

http://www.univalle.edu.co/~mimarmol/topicosenalgebralineal.pdf


http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0

http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas

LIBROS ON-LINE UTILIZADOS

http://books.google.com.ec/books?id=Ezc-

PDWsUvoC&pg=PA111&dq=matrices+simetricas+y+diagonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&e

i=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CFAQ6AEwBw#v=onepage&q=matrices%20simetricas%2

0y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false

http://books.google.com.ec/books?id=eI34KBt0tTwC&pg=PA95&dq=matrices+simetricas+y+di

agonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&ei=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CDYQ6AEwAg#v

=onepage&q=matrices%20simetricas%20y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false

http://books.google.com.ec/books?id=L7O5T19IRG0C&pg=PA153&dq=ejercicios+de+potencia

+de+matrices&hl=es&sa=X&ei=y9vJUcjKNOaL0QHtzIGwBw&ved=0CD8Q6AEwAw#v=onepage

&q=ejercicios%20de%20potencia%20de%20matrices&f=false


http://books.google.com.ec/books?id=bVsMgqWWfuoC&pg=PA286&lpg=PA286&dq=matriz+u

nitaria+compleja+ejemplos&source=bl&ots=PDpu1Tb9OC&sig=N-

_21SNPXZS58Pca9tlnIs4QQkk&hl=es&sa=X&ei=z6XZUYeGL6St0AGetIGoBw&ved=0CFkQ6AEwC

Q#v=onepage&q=matriz%20unitaria%20compleja%20ejemplos&f=false

http://books.google.com.ec/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA497&dq=matrices+complejas&hl

=es&sa=X&ei=-

ZfXUdagKK684AOUyoHYAQ&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q=matrices%20complejas&f=fa

lse

FIN

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