Valores monótonos para juegos con cooperación imperfecta

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS

TESIS DOCTORAL

Valores monótonos para juegos con cooperación imperfecta

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR

Daniel Martín García

Director

Conrado Miguel Manuel García

Madrid

© Daniel Martín García, 2021

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Facultad de Estudios Estadísticos

Departamento Estadística y Ciencia de los Datos

VALORES MONÓTONOS PARA JUEGOS CONCOOPERACIÓN IMPERFECTA

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR


Bajo la dirección del doctor

Conrado Miguel Manuel García

12 de Mayo de 2021

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Facultad de Estudios Estadísticos

Departamento Estadística y Ciencia de los Datos

VALORES MONÓTONOS PARA JUEGOS CONCOOPERACIÓN IMPERFECTA


Memoria para optar al grado de Doctor en Ciencia de los Datos, realizada bajo

la dirección del Dr. D. Conrado M. Manuel García

Madrid, 2021

Agradecimientos

No hay grandeza donde faltan la sencillez, la

bondad y la verdad.

Leon Tolstoi

El origen inmediato de esta memoria se puede situar hace cuatro años, cuandodecidí comenzar mi camino como investigador. Fue entonces, el momento en el queme inscribí en el programa de Doctorado de la Facultad de Estudios Estadísticos, a laque más adelante dedicaré unas palabras de agradecimiento. No obstante, fue muchoantes cuando mi vida empezó a encarrilarse hacia la investigación. No puedo �jaruna fecha exacta de cuando empecé a sentir entusiasmo por el desafío de enfrentarmea un reto mental. Pero sin dudar, puedo identi�car quien fue mi principal ejemplode tal entusiasmo, pues recuerdo con gran nitidez cómo mi madre podía (y puede)estar horas (y días) buscando la solución a cualquier rompecabezas que se encontrase.También recuerdo con gran claridad cómo siendo yo un niño muy pequeño mi madreme ayudaba con los deberes escolares de matemáticas (entre otros), contagiándomedesde que tengo memoria su gusto por esta ciencia exacta. Es por ello, que desdeque supe que podía dedicar mi vida a 'resolver rompecabezas' decidí que quería serinvestigador.

Dicho esto, es para mi muy importante agradecer, como adelantaba antes, habercaído en la Facultad de Estudios Estadísticos ya que, fue aquí donde me he sentidomás valorado como estudiante.

Me gustaría resaltar que este trabajo no hubiera sido posible sin el incansable apoyode mi tutor Conrado Miguel Manuel García, quien ha sabido guiar diligentemente misprimeros pasos en este camino investigador, por lo que le agradezco su in�nita entregay paciencia en la dirección de esta memoria. Y, también le agradezco que me mostraseel tipo de profesor que quiero llegar a ser.

Quiero agradecer también a Javier Castro y Rosa Espinola la ayuda e interés quellevan años ofreciéndome. También me gustaría expresar mi sincera gratitud a miscompañeros: Guillermo Villarino, por ser mi referente más cercano desde mi llegada ala Universidad y a Inma, por estar ahí.

CAPÍTULO 0. AGRADECIMIENTOS v

Pero por encima de cualquier persona, se lo quiero agradecer a mis padres, cuyadedicación a sus hijos siempre ha sido plena. En especial a mi madre, a quien dedicoesta memoria que simboliza el �nal de mi formación académica, por - como ya mencionéantes - contagiarme desde que tengo uso de razón, su amor por las matemáticas.

Resumen

Valores monótonos para juegos con cooperación imperfecta

La Teoría de Juegos adquiere cada vez mayor relevancia en el mundo actual. Eléxito durante las últimas décadas y el interés que despierta esta disciplina es algo quevisto con perspectiva parece deberse a su utilidad y versatilidad en el análisis de latoma de decisiones estratégicas. Crece constantemente la variedad de escenarios enlos que el ser humano ha empezado a darse cuenta de que tenía que pensar formaly sistemáticamente sobre las interacciones estratégicas. En los últimos tiempos, estaárea de las matemáticas y de la economía ha recibido un gran respaldo por parte delmundo académico, al recibir el Premio Nobel de Economía numerosos investigadoresen Teoría de Juegos.

Existen dos categorías claramente diferenciadas en la Teoría de Juegos que nacende la naturaleza del juego que se estudie. Se encuentra por un lado la de los juegos nocooperativos, y por otro, la de los cooperativos, siendo estos últimos el marco de lapresente memoria. Dicha diferenciación se lleva a cabo, en función de sí es permitida, ono, la cooperación entre los agentes del juego. Los resultados que obtendremos en estetrabajo tienden un puente entre ambos tipos de juegos.

En esta memoria tratamos en primer lugar con juegos cooperativos en los cuales,posiblemente los jugadores tengan diferentes niveles de cooperación o diferentedisponibilidad para la cooperación o diferente habilidad de regateo o que pueden haceresfuerzos diferentes en cooperar. Es decir, para nosotros, en los juegos cooperativoslos jugadores no tendrán necesariamente voluntad total de cooperación sino que suinterés en ella esta matizado a través de un valor en el intervalo [0, 1]. El valor 1 estaráasociado a un jugador con interés total en la cooperación (un jugador tipo en los juegoscooperativos clásicos) y, en el otro lado del espectro, el valor 0 representará una capa-cidad nula de cooperación. Valores intermedios modulan el interés en la cooperación.Entonces, proponemos modi�car el juego cooperativo original para tener en cuenta lashabilidades cooperativas de los jugadores. Supondremos que, como consecuencia de losdiferentes niveles de cooperación, cada coalición con dos o más jugadores retiene solouna proporción de su dividendo. Nuestra propuesta, convenientemente motivada, es queesta proporción es el mínimo de las habilidades de cooperación de sus miembros. Porsupuesto, para coaliciones individuales el dividendo no debe verse alterado puesto que

cada jugador siempre estará de acuerdo consigo mismo. Entonces, proponemos comosolución puntual para estas situaciones el valor de Shapley del juego modi�cado. Estaregla de reparto, -un nuevo tipo de valor de Shapley ponderado- es ine�ciente, lo que sejusti�ca por la cooperación imperfecta. La regla de asignación de�nida satisface algunaspropiedades interesantes. En particular, para juegos superaditivos, incrementando elpeso de un jugador, no decrece su valor. Además, se obtienen diferentes caracterizacio-nes para esta regla, paralelas a las más prominentes en la literatura del valor de Shapley.

Otro de los objetivos de esta memoria es extender el valor de Myerson a situacionesen las cuales los jugadores tienen sus posibilidades de cooperación restringidas porun grafo y, además, diferentes habilidades de regateo, diferente poder de negociación,diferentes niveles de cooperación o desean llevar a cabo diferentes esfuerzos en lacooperación. La solución propuesta extenderá el valor de Myerson y, por tanto, elvalor de Shapley. Como en el caso de los juegos cooperativos sin restricciones en lacomunicación modelamos la habilidad de regateo o el nivel de cooperación de cadajugador a través de un peso en el intervalo [0, 1]. Siguiendo los pasos de Myerson,modi�camos el juego cooperativo original a un nuevo juego el cual es, a su vez, unamodi�cación del juego restringido al grafo de Myerson. Asumiremos que la eventualimperfección de la cooperación de los jugadores implica que estos no pueden obtenertodo su dividendo en el juego de Myerson. Entonces proponemos descontar losdividendos de las coaliciones no unitarias multiplicándolos por un factor que dependede los pesos de los jugadores en la coalición, de hecho, el mínimo de tales pesos.Naturalmente, los dividendos de las coaliciones unitarias no se ven afectados dado quecada jugador esta dispuesto a cooperar consigo mismo. Entonces, el grafo estableceposibles canales de comunicación, y los pesos modulan el deseo de los jugadores enutilizar los canales abiertos. Proponemos como solución para estas situaciones el valorde Shapley del juego modi�cado, lo que supone una generalización del valor de Myerson.

El valor obtenido satisface algunas de las propiedades clásicas del valor de Myerson(equidad y contribuciones equilibradas) así como monotonía en las habilidades denegociación y también contribuciones equilibradas en las capacidades de regateo(el daño causado por un jugador a otro, al anular éste su poder de negociación, essimétrico). Sin embargo, una consecuencia natural de descontar el dividendo es lapérdida de e�ciencia, que es consistente con la cooperación imperfecta de los jugadores.Entonces, el valor de�nido no satisface la clásica e�ciencia en componentes conexasde Myerson, sino que debe ser reformulada como e�ciencia en componentes conexasde negociación. Finalmente, caracterizamos el valor de�nido de manera paralela alvalor de Myerson: usando e�ciencia en componentes conexas de negociación y equidad,propiedad que puede ser remplazada por contribuciones equilibradas o contribucio-nes equilibradas en habilidades de negociación para obtener diferentes caracterizaciones.

Abstract

Monotonous values for games with imperfect cooperation

In last decades, game theory has become increasingly popular. Its usefulness inthe analysis of strategic decision making have provided it a great success, so manyresearchers have focused their attention on this versatile tool. In the �eld of analysis ofstrategic decision making, the variety of scenarios constantly grows. Hence, scientistshave realized the need for a formal and systematic modeling of strategic interactions. Inlast times, this area of mathematics and economics has received a great deal of supportfrom the academic world. For example, many game theory experts have received theNobel Price.

In the �eld of game theory, two categories can be clearly di�erentiated. Bothdepend on the nature of the problem addressed. One of these categories is about non-cooperative games. On the other hand, we contemplate the case of cooperative games,which is the framework of this report. This classi�cation is carried out depending onwhether cooperation between the agents of the game is allowed or not.

The �rst approach of this report is about TU games. In this type of problems, wewill assume that players may have several levels of cooperation or di�erent availabilityfor cooperation. Then, we work under the assumption that, in the �eld of TU games,players do not have to have a total willingness to cooperate. Indeed, their interestcooperation is measured or quanti�ed by means of a value in the range [0, 1]. Thehighest value, 1, is associated with a player who is absolutely interested in cooperation(a typical player in classic TU games). On the contrary, the 0 value represents anull capacity for cooperation. Any intermediate value modulates the interest incooperation. Then, we propose a modi�cation of the original TU game, in order totake into account the cooperative skills of each player. We assume that, as a resultof di�erent levels of cooperation, each coalition with two or more players retains onlya proportion of their dividend. In our proposal, this proportion is suggested to bethe minimum of the cooperation skills of its members. Needless to say, the dividendshould not be altered for individual coalitions, since each player always agrees withhimself. So, we propose as a point-solution for these situations the Shapley value ofthe modi�ed game. This distribution rule -a new type of weighted Shapley value- isine�cient. It is justi�ed by imperfect cooperation. The de�ned assignment rule satis�es

some interesting properties. Particularly, for superaditive games, increasing the weightof a player his value is not reduced. Furthermore, we introduce several characteri-zations of this rule, that are parallel to the most prominent in Shapley's value literature.

Another important objective of this report is to extend the Myerson value tosituations in which players have their cooperation possibilities restricted by a graph,apart from di�erent bargaining skills, di�erent bargaining power, di�erent levels ofcooperation or maybe they want to make di�erent e�orts in cooperation. The proposedsolution will extend the value of Myerson and the value of Shapley. As in the case ofTU-games without restrictions on communication, we model the bargaining abilityor the level of cooperation of each player by means of a value in the interval [0, 1].According to the process proposed by Myerson, we modify the original TU game. Thisnew game is a modi�cation of the graph-restricted game of Myerson. We assume thatthe eventual imperfections of the players' cooperation imply that they cannot obtaintheir full dividend in the Myerson game. Then, we propose to obtain the dividendsfrom non-unit coalitions, by multiplying them by a factor that depends on the weightsof the players in the coalition. Particularly, we propose the use of the minimum of suchweights. Naturally, each singleton coalition dividend is not a�ected, since each player iswilling to cooperate with himself. Then, the graph establishes possible communicationchannels, and the weights modulate the desire of the players to use the open channels.We propose as a solution for these situations the Shapley value of the modi�ed game.

The value obtained satis�es some of the classic properties of the Myerson value(fairness and balanced contributions), as well as monotony in the negotiation skillsand also balanced contributions in the bargaining abilities (the damage caused byone player to another, when he annuls his bargaining power, is symmetric). However,as a natural consequence of discounting the dividend, there is a loss of e�ciency,which is consistent with the imperfect cooperation of the players. Thus, the de�nedvalue does not satisfy the classic e�ciency in connected components of the Myersonvalue. Then, it has to be reformulated as e�ciency in bargaining connected components.

Finally, we characterize this value as it was done with Myerson value. We use thee�ciency in related negotiation components and equity. This property can be replacedby balanced contributions or balanced contributions in negotiation abilities to obtaindi�erent characterizations.

Índice

Agradecimientos iv

Resumen vi

Abstract viii

1. Introducción 1

2. Preliminares 112.1. Juegos cooperativos n-personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Clases de Juegos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Conceptos de solución para juegos cooperativos . . . . . . . . . . . . . 162.4. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Situaciones de comunicación y reglas de reparto . . . . . . . . . . . . . 272.6. Juegos cooperativos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7. Extensiones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8. Juegos y estructuras de comunicación con coaliciones difusas . . . . . . 32

3. Un valor σ para juegos cooperativos con jugadores que tienen di-ferentes habilidades cooperativas (o habilidades de negociación) 343.1. Juegos cooperativos con jugadores que tienen diferentes habilidades

cooperativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. El juego modi�cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Un valor σ para juegos cooperativos con jugadores que tienen diferentes

habilidades cooperativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Monotonía de σ en las habilidades de cooperación 414.1. Descomposición lineal de juegos cooperativos con jugadores que tienen

diferentes habilidades cooperativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Propiedades heredadas por el juego modi�cado . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Monotonía en las habilidades de cooperación . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Caracterizaciones del valor σ 515.1. Propiedades del valor de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ÍNDICE xi

6. Extensión multilineal para juegos cooperativos con jugadores quetienen diferentes habilidades de negociación 626.1. De�nición de la extensión multilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2. Propiedades de la extensión multilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7. Situaciones de comunicación con jugadores que tienen diferenteshabilidades de negociación 677.1. El juego restringido al grafo con jugadores que tienen diferentes habili-

dades de negociación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2. Propiedades del juego restringido al grafo con jugadores que tienen dife-

rentes habilidades de negociación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8. Un valor µ para situaciones de comunicación con jugadores quetienen diferentes habilidades de negociación 768.1. De�nición del valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2. Descomposición lineal del valor de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9. Caracterizaciones del valor µ 809.1. Algunas propiedades para reglas de asignación en situaciones de comu-

nicación con jugadores que tienen diferentes habilidades cooperativas . 809.2. Propiedades del valor de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.3. Caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.Conclusiones y futuras líneas de investigación 9210.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.2. Futuras lineas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

ÍNDICE

Capítulo 1

Introducción

En algún lugar, alguna cosa increíble aguarda

a ser descubierta.

Carl Sagan

Etimológicamente la palabra juego procede del latín 'iocus', cuyo signi�cado esbroma, chanza, gracia o chiste. En su origen esta palabra hacía referencia a una acti-vidad inherente al ser humano y podemos encontrar términos con similar signi�cadoen cualquiera de los idiomas y culturas de la humanidad. La de�nición académica(RAE) a�rma que un juego es una "actividad recreativa física o mental en la quecompiten dos o más personas sometiéndose a unas reglas". Por tanto hace referenciaa un divertimento pero, por otro lado, también a aquellas actividades en las que losparticipantes están sometidos a reglas que se deben cumplir. En los juegos cada jugadorintenta conseguir el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), pero asumiendoque el resultado del juego depende no sólo de sus acciones, sino también de cómo actúeel resto de los jugadores.

La Teoría de Juegos es una disciplina de las matemáticas aplicadas y de la economíaque se ocupa del análisis riguroso y sistemático de los juegos, entendiendo por juego,como se ha descrito anteriormente, toda situación en la que los participantes debentomar decisiones que optimicen sus ganancias, respetando las reglas establecidas, y asu-miendo que el resto de los jugadores también condiciona el resultado con sus decisiones.Así pues, la Teoría de Juegos bien podría llamarse la teoría de las decisiones interac-tivas. Múltiples situaciones de interés para la economía y para otras ciencias (comosociología o ciencia política) comparten este esquema de toma de decisiones interactivas.

El campo de estudio de la Teoría de Juegos es muy general, no es preciso que hayaentretenimiento, pero sí interacción. Las aplicaciones mejor estudiadas de la Teoría deJuegos suponen que los jugadores son agentes (personas, empresas, gobiernos, etc.)racionales, es decir, tienen capacidad de razonamiento y de cálculo para identi�car lasacciones y estrategias que les conduzcan a los resultados más deseables, y actuarán

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

siempre tratando de maximizar su utilidad.

Esta rama de las matemáticas nació a mediados del siglo pasado cuando VonNeumann y Morgenstern publicaron su célebre Game Theory and Economic Behaviouren 1944, aunque hay trabajos anteriores como los de los matemáticos Zermelo (1913),Borel (1921) y el de Von Neumann (1928), en los que se anticipa parte de la basede la Teoría de Juegos. Von Neumann y Morgenstern desarrollaron los pilares de loque actualmente se conoce como Teoría de Juegos clásica, ofreciendo una solucióna los juegos bipersonales de suma cero. En ellos los participantes o jugadores seencuentran en una situación de con�icto absoluto, dado que la ganancia o pérdidade un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias del restode jugadores. También establecieron la base para el análisis de juegos con más dedos jugadores. Posteriormente, llegada la década de los años 50, el matemático Nashde�nió el equilibrio que lleva su nombre y su famoso esquema de regateo. TambiénShapley (1953) introdujo su célebre valor. Además, estos conceptos sirven para unabanico más amplio de juegos, no solo para aquellos que son modelizados como uncon�icto puro. Ya en los años 70 investigadores como Harsanyi (en los juegos coninformación incompleta), Selten (en los juegos dinámicos) o Myerson (en los juegoscon restricciones en la comunicación) introdujeron conceptos de suma importancia quefructi�caron en el análisis de la economía u otras disciplinas.

En los últimos tiempos, esta área de las matemáticas y de la economía ha recibido ungran respaldo por parte del mundo académico, al recibir el Premio Nobel de Economíanumerosos investigadores en Teoría de Juegos. En 1994 la Real Academia Sueca de lasCiencias otorgó el premio Nobel de Economía a John Nash, John Harsanyi y ReinhardSelten por su papel pionero en el análisis de los equilibrios en el marco la Teoría deJuegos. Hubo que esperar una década para que se volviese a otorgar el Premio Nobelde Economía a dos investigadores en esta disciplina: Robert J. Aumann y ThomasC. Schelling. El comunicado o�cial establece como méritos para el galardón �haberaumentado nuestra comprensión del con�icto y la cooperación a través del análisis de laTeoría de Juegos�. Más concretamente, dichos autores aplicaron la Teoría de Juegos alanálisis de estrategias en situaciones de con�icto y las ventajas de la cooperación frentea la confrontación en relaciones a largo plazo. La Teoría de Juegos se ha convertido enmateria tan imprescindible en el análisis económico que no se considera ya como algoseparado de otras forma de estudio, sino que es una herramienta de uso cotidiano paramuchos economistas. Existen otras aportaciones galardonadas con el Premio Nobel deEconomía apoyadas fuertemente en la Teoría de Juegos. En el periodo de 1994 a 2005diferentes investigadores recibieron el premio Nobel por contribuciones vinculadas conel enfoque de la Teoría de Juegos. Este es el caso de William Vickrey, a quien se leconcedió, junto con James Mirrlees, el Premio en 1996 por sus trabajos sobre la teoríaeconómica de los incentivos bajo información asimétrica. Lo mismo puede decirse deJoseph Stiglitz, George Akerlof y Michael Spence, que fueron galardonados en 2001por sus análisis de los mercados con información asimétrica. Roger Myerson trabajóre�nando la teoría del diseño de los mecanismos que desempeña un papel clave en


las relaciones políticas y económicas y que había sido formulada a partir de 1960 porLeonid Hurwicz. Junto a éste y Eric Maskin, obtuvo el galardón en 2007. Por último,mencionamos al principal referente de la presente memoria (junto con Myerson), LloydShapley, quien ha sido considerado por muchos expertos como la personi�cación mismade la Teoría de Juegos. Junto a Alvin E. Roth, fue laureado con el Premio del Bancode Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel en 2012.

El éxito durante los últimos 70 años y el interés que despierta la Teoría de Juegoses algo que, visto con perspectiva, parece deberse a su versatilidad y utilidad en elanálisis de la toma de decisiones estratégicas. Como explica Rakesh Vohra, profesor deEconomía en la Universidad de Pensilvania y alto miembro de la Sociedad de la teoríade los juegos: "La principal razón de su éxito fue la variedad de escenarios en los quela gente empezó a darse cuenta de que tenía que pensar formal y sistemáticamentesobre las interacciones estratégicas".

Existen dos categorías claramente diferenciadas en la Teoría de Juegos que nacende la naturaleza del juego que se estudie. Se encuentra, por un lado, la de los juegosno cooperativos, que son aquellos en los que hay una descripción exhaustiva delentorno estratégico (conjunto de acciones, orden y consecuencias de las mismas) yen los que no se permite ni comunicación, ni negociación ni acuerdos vinculantesentre los agentes. Por otro lado se encuentran los juegos cooperativos (el trabajo ydesarrollo llevado a cabo en esta memoria se centra en el estudio de este segundo tipode juegos), en los que se reduce notablemente la información estratégica de los dife-rentes jugadores, centrándonos únicamente en los pagos (representados por un númeroreal) que cada coalición puede asegurarse si los miembros de la misma aceptan cooperar.

Un juego cooperativo de utilidad transferible describe una situación en la cual losactores o jugadores pueden obtener cierto pago o bene�cio transferible por mediode la cooperación. Matemáticamente un juego cooperativo consiste en un conjuntode jugadores y una función característica que asigna a cada subconjunto de ellos(coalición) un número real que representa la ganancia o valor alcanzable por ellos sideciden cooperar.

El desarrollo de la teoría de los juegos cooperativos, desde su introducción por VonNeumann y Morgenstern (1944), ha sido profundo, estando con frecuencia centradoen analizar conceptos de solución, es decir, formas de repartir las ganancias en eljuego entre los diferentes actores. Sin entrar a exponer la gran cantidad de resultadosobtenidos en esta linea, sí vamos a citar el que posiblemente es el concepto de soluciónmás prominente, el valor de Shapley, por su importancia, como se ha dicho, y porqueestá relacionado estrechamente con esta memoria. Shapley introdujo en 1953 unaregla de asignación para los jugadores en un juego cooperativo que está ampliamenteaceptada. Bajo este reparto cada jugador recibe una combinación lineal convexa desus contribuciones marginales, es decir, del superávit que genera en las diferentescoaliciones cuando se incorpora a ellas. Shapley (1953) además caracterizó su reparto


mediante axiomas atractivos que Shubik (1962) popularizó como linealidad, simetría,jugador nulo y e�ciencia. Desde este punto de partida, la importancia y aplicabilidaddel valor siempre ha aumentado, en parte debido a múltiples enfoques, desde diferentesángulos, para obtener caracterizaciones que nos permiten comprender el valor en mayorprofundidad. Varias de estas caracterizaciones axiomáticas (en el conjunto de todos losjuegos cooperativos) aparecen, por ejemplo, en Shubik (1962), Myerson (1980), Young(1985; 1994), Hart y Mas-Colell (1989), Chun (1989), Feltkamp (1995), Hamiache(2001), van den Brink (2001), Kongo, Funaki y Tijs (2007) o Manuel, González-Arangüena y van den Brink (2013). Dubey (1975) lo caracterizó en la importante clasede los juegos simples, Neyman (1989) en la clase generada por un solo juego; Algaba,Bilbao, van den Brink y Jiménez-Losada (2003) sobre la clase de juegos cooperativosde�nidos en antimatroides, Grabish y Lange (2007) sobre juegos de multi-elección yKhmelnitskaya y Yanovskaya (2007) en juegos con estructura de coalición. Albizuri(2010) adapta la caracterización axiomática del valor de Myerson para de�nir unaextensión del valor de Shapley a juegos cooperativos con externalidades. Winter (2002)proporciona un estudió notable sobre el valor de Shapley, que se centra en aspectostécnicos, como la axiomatización. Moretti y Patrone (2008) presentan una excelentecolección de aplicaciones. Una colección de recientes resultados tanto teóricos comoaplicados están recogidos en el Handbook of the Shapley Value publicado por Algaba,Fragnelli y Sánchez-Soriano (2019). Owen (1972) introdujo las extensiones multilinealesde los juegos cooperativos para simpli�car el cálculo del valor de Shapley. Con estemismo propósito Castro, Gómez y Tejada (2009) desarrollaron un método polinómicopara estimar el valor de Shapley basado en muestreo estadístico.

Las aplicaciones del valor de Shapley, como se mencionaba anteriormente, no hanparado de crecer desde su origen. Y, el abanico temático que engloban es muy extensoy variado. Algunas de las más actuales en el marco de las matemáticas aplicadasy la economía se pueden encontrar en, por ejemplo, Hajibagheri, Alvari, Hamzeh yHashemi (2012), Muros, Maestre, Algaba, Alamo y Camacho (2014), Gallardo, Jiménezy Jiménez-Losada (2016), Song, Seol y Park (2016), Ordoñez y Jiménez-Losada (2017)o Bilbao, Jiménez-Losada y Ordoñez (2019). Las aplicaciones de la Teoría de Juegosy, más especí�camente, del valor de Shapley, atañen a un amplio espectro temático yno solo, al marco matemático-económico propio de la investigación operativa. Algunasde estas otras aplicaciones se pueden encontrar en temas como la epidemiología, enestudios como los de Cox (1985), Land y Gefeller (1997; 2000), Gefeller, Land y Eide(1998) y Kargin (2005). Otros temas en los que se pueden encontrar aplicaciones delvalor de Shapley son entre otros, la biología molecular, la genética y la biodiversidad.Algunos de los trabajos que conciernen a estos temas son, por ejemplo, los de Weitzman(1998), Keinan, Sandbank, Hilgetag, Meilijson y Ruppin (2004), Kaufman, Kupiec yRuppin (2004), Kaufman, Keiman, Meilijson, Kupiec y Ruppin (2004), Hartmann ySteel (2006), Moretti, Patrone y Bonassi (2007) y Haake, Kashiwada y Su (2008). Lasaplicaciones del valor de Shapley, como se mencionaba anteriormente, no ha parado decrecer, surgiendo constantemente nuevos temas en los que ser utilizado. Uno de estostemas más recientes es, por ejemplo, los juegos de atribución en el entorno de páginas


web, abordado en trabajos más recientes como los de Zhao, Mahboobi y Bagheri(2018), Singal, Besbes, Desir, Goyal y Iyengar (2019), Du, Zhong, Nair, Cui y Shou(2019) y Molina, Tejada y Weiss (2020), entre otros.

En sus inicios la Teoría de Juegos cooperativos asumió la ausencia de diferenciaciónen los jugadores. Todos los jugadores eran tratados como idénticos salvo por la infor-mación que aporta la función característica de un juego cooperativo acerca de lo quecada coalición de jugadores puede ganar o debe pagar (según sea un juego de bene�cioso costes, respectivamente). Sin embargo, en muchas aplicaciones la suposición de que,con excepción de los parámetros del juego, los jugadores son completamente simétricos,parece poco realista. Así, el uso de generalizaciones no simétricas del valor de Shapleyfue propuesto para tales casos.

El primer autor que trata de analizar este nuevo enfoque en el que los jugadorespueden presentar diferencias entre ellos por su naturaleza como individuos o porsu participación en el juego fue Shapley, quien ya en su tesis doctoral estudió laregla que hoy conocemos como el valor de Shapley ponderado (1953a). Asumió quecada jugador en un juego cooperativo tiene un peso dado por un número real querepresenta su habilidad de regateo o negociación en el juego. Propuso repartir losdividendos de las coaliciones (Harsanyi, 1959) de manera proporcional a los pesos,a las habilidades de negociación. Owen (1968) hizo ver que la interpretación de lospesos como habilidades de regateo era incompatible con el hecho de que el valorponderado de un jugador en un juego cooperativo superaditivo (juego que incentiva lacooperación) pudiera reducirse al aumentar su habilidad de cooperación. Owen (1968)sugirió una interpretación alternativa para los pesos de Shapley, a�rmando que debíanser considerados más bien como una medida de la parsimonia en la toma de decisiones 1.

Posteriormente otros autores llevaron a cabo axiomatizaciones de los valores no simé-tricos, destacando las realizadas por Kalai y Samet (1987) que extendieron el modelode Shapley de�niendo un sistema de pesos sobre los jugadores. También caracterizaronaxiomaticamente dos familias de soluciones relacionadas, una de ellas adecuada paraproblemas de reparto de ingresos simétricos, y la otra para problemas de asignaciónde costes. Con cada sistema de pesos, estos autores asociaron una distribución deprobabilidad que les permite caracterizar estas dos familias de soluciones mediante unenfoque probabilístico del tiempo de llegada a la coalición.

Haeringer (2006) introdujo un nuevo sistema de pesos para el valor de Shapley, enel cual, los pesos pueden ser interpretados como una medida de poder de negociación.Como en Shapley (1953a) la solución propuesta se obtiene extendiendo por lineali-dad la correspondiente a los juegos de unanimidad (familia de juegos cuya funcióncaracterística atribuye una unidad de bene�cio si existe consenso en una determinada

1"It is the purpose of this note to suggest that these weights can better be thought of as coe�cientsof slowness to reach a decision." Owen (1968), pág. 1.


coalición). Sin embargo, en la propuesta de Haeringer, estos bene�cios dependen delsigno de los dividendos de las coaliciones. Haeringer (2006) también caracterizó suconcepto de solución.

En todas estas caracterizaciones mencionadas el axioma de simetría (jugadores coniguales contribuciones marginales a todas las coaliciones que no los contienen debenrecibir lo mismo) es debilitado consistentemente con este marco en el que los jugadorespueden presentar diferencias entre ellos. Sin embargo, el axioma de e�ciencia siemprees respetado.

En esta memoria tratamos de tender un puente entre los juegos cooperativos y losno cooperativos. De manera similar a Shapley (1953) vamos a asignar un peso a cadajugador que interpretamos como su deseo, habilidad o interés en la cooperación enel juego. Esta idea también aparece en los juegos difusos de Aubin (1981) y para losjuegos cero-normalizados con estructuras de comunicación difusas con todos los arcos,Jiménez-Losada, Fernández, Ordóñez y Grabisch (2010) y Jiménez-Losada, Fernándezy Ordóñez (2013). Es decir, para nosotros, en los juegos cooperativos los jugadores notendrán necesariamente voluntad total de cooperación sino que su interés en ella estamatizado a través de un valor en el intervalo [0, 1]. El valor 1 estará asociado a unjugador con interés total en la cooperación (un jugador tipo en los juegos cooperativosclásicos) y en el otro lado del espectro, el valor 0 representará una capacidad nulade cooperación. Valores intermedios modulan el interés en la cooperación. Entoncesproponemos modi�car el juego cooperativo original para tener en cuenta las habilidadescooperativas de los jugadores. Supondremos que, como consecuencia de los diferentesniveles de cooperación, cada coalición con dos o más jugadores retiene solo unaproporción de su dividendo. Nuestra propuesta es que esta proporción es el mínimode las habilidades de cooperación de sus miembros. Por supuesto, para coalicionesindividuales el dividendo no debe verse alterado puesto que cada jugador siempreestará de acuerdo consigo mismo.

Para justi�car nuestra elección del factor de descuento, consideremos, por ejemplo,una situación en la que los dos jugadores envueltos pueden generar un bene�ciounitario a través de la cooperación. Si la habilidad de regateo (o el esfuerzo en lacooperación) de uno de ellos es menor que la del otro parece natural considerar elmínimo esfuerzo como el resultante y asumir que éste es el bene�cio conjunto. Sedice que dos no riñen si uno no quiere y no es menos cierto que dos no cooperansi uno no quiere. De esta manera, si alguno de los jugadores de una coalición tie-ne habilidad de regateo diferente de 1, parte del dividendo de dicha coalición se perderá.

Si dos personas que han heredado un bien no se ponen de acuerdo verosímilmenteperderán ingresos, por ejemplo, pagando abogados, y no parece que se pueda alcanzarmayor nivel de cooperación que el correspondiente al menos comprometido. Si unapareja desea establecer una relación, el máximo nivel de intimidad que pueden obtenerserá el correspondiente al que menos invierta en la relación. Como consecuencia, si


todos los jugadores cooperan completamente el juego modi�cado coincide con el juegooriginal. En el otro extremo, si la habilidad cooperativa de todos los jugadores es nula,el juego original se transformará en un juego inesencial. En éste sentido se ha dichoque tratamos de tender un puente entre los juegos cooperativos y los no cooperativos.

La modi�cación del juego original para tener en cuenta información adicional tienelarga tradición en la teoría de los juegos cooperativos. Puede ser encontrada en Borm,Owen y Tijs (1992), Gilles, Owen y van den Brink (1992), Bilbao y Edelman (2000),Bergantiños y Sánchez (2001), Jackson (2005), Jiménez-Losada et al. (2010), delPozo, Manuel, González-Arangüena y Owen (2011), Jiménez-Losada et al. (2013),van den Brink, González-Arangüena, Manuel y del Pozo (2014), Khmelnitskaya,Selçuk y Talman (2016), Zou, Zhang, Borkotokey y Yu (2017) y Gallardo, Jiménez yJiménez-Losada (2018), por citar solo a unos pocos. En muchas de estas publicacioneslas reglas de asignación de�nidas coinciden con el valor de Shapley del juego modi�cado.

Nosotros también proponemos como regla de reparto para juegos cooperativoscon jugadores que tienen diferentes habilidades cooperativas el valor de Shapley deljuego modi�cado. El valor obtenido satisface monotonía en los pesos para juegossuperaditivos y admite varias caracterizaciones paralelas a las más prominentes en laliteratura de la Teoría de Juegos para el valor de Shapley: Shapley (1953b), Myerson(1980), Young (1985) y Hart y Mas-Colell (1989). También se pueden adaptar aeste marco las extensiones multilineales de Owen (1972). Además, para un juegocero-normalizado con jugadores con diferentes habilidades de cooperación, el valorobtenido coincide con el valor Choquet-Shapley de la extensión de Choquet del juego,introducida por Tsurumi, Tanino y Inuiguchi (2001). También (en el mismo caso)coincide con el valor de Myerson cg-difuso para una estructura de comunicación difusacon todos los arcos Jiménez-Losada et al. (2013).

Además, desde esta perspectiva, abordaremos lo que para nosotros es una con-secuencia de la cooperación imperfecta: la ine�ciencia. Si, como se ha dicho, entodos los modelos existentes con pesos para los jugadores los repartos procuranmantener la e�ciencia, en nuestra propuesta asumiremos que la imperfección en lacooperación conlleva, en general, la pérdida de una parte del valor de la coalición global.

Los juegos cooperativos, como ya se ha mencionado, y como su propio nombreindica, surgieron para modelar aquellas situaciones en la que la cooperación conjuntade los jugadores es posible. En un primer lugar esta categoría de la Teoría de Juegospermitía la cooperación de cualquier conjunto de jugadores, lo cual, no siempre seajusta a la realidad, dado que la coalición entre dos o más jugadores en un juego puedeno ser factible por motivos de a�nidad, simpatía, cercanía o cualquier otra razón queimposibilite la cooperación entre miembros de un juego. La introducción de pesos enlos jugadores puede verse como un limitante en sus posibilidades de cooperación deestos pero, en la teoría, se han desarrollado otras formas de introducir restricciones enla cooperación de los jugadores.


El trabajo pionero que afrontó la modelización de situaciones con restricciones en lacooperación fue el de Aumann y Dreze (1974) que analizaron los juegos cooperativoscon estructura de coaliciones. En este modelo no se permite la cooperación libre entrecualquier subgrupo de jugadores, sino que existe una partición o estructura, dada apriori, que restringe las posibles coaliciones dentro del universo de los jugadores.

Myerson (1977; 1980) propuso un nuevo modelo, el de los juegos con cooperaciónrestringida por un grafo. Al juego coalicional se le añade, entonces, un grafo decomunicaciones factibles en el que los jugadores se identi�can con los nodos del grafoy las aristas con las diferentes posibilidades de comunicación directa y simétrica entreaquellos jugadores en los que inciden. Este nuevo modelo solo permite coaliciones dejugadores que sean conexas en el grafo.

El modelo creado por Myerson ha despertado mucha atención, siendo objeto demúltiples análisis y generalizaciones. Winter (1992) señaló que el valor de Myersonadmite una función potencial, siguiendo el enfoque sugerido por Hart y Mas-Colell(1989) para el valor de Shapley, Van den Nouweland, Borm, y Tijs (1992) extendieronel valor de Myerson a los casos en los que las posibilidades de comunicación de losjugadores están modeladas por un hipergrafo. Jackson y Wolinsky (1996) introdujeronla regla de poder de negociación igualitaria, una extensión del valor de Myerson paralos juegos en una red. Algaba, Bilbao, Borm y López (2001) caracterizaron el valorde Myerson para uniones estables. Calvo, Lasaga y van den Nouweland (1999) loextienden al caso de los juegos con grafos probabilísticos, en los que cada par de nodostiene una probabilidad dada de comunicación directa, siendo estas probabilidadesindependientes. Gómez, González-Arangüena, Manuel y Owen (2008) consideran unentorno más general, en el que se proporciona una distribución de probabilidad sobreel conjunto de todos los grafos posibles. Casajus (2009) introdujo el valor χ del grafo,una extensión sensible a las opciones externas del valor de Myerson. Béal, Remilá ySolal (2010) estudian juegos cooperativos con un árbol en el conjunto de jugadores querepresenta las posibles limitaciones en la cooperación e introducen extensiones de lasolución promedio de árbol-enraizado (average rooted-tree), desarrollada por primeravez en Herings, van der Laan y Talman (2008). González-Arangüena, Manuel y delPozo (2015) obtienen otra extensión del valor de Myerson para el caso de los juegosrestringidos a grafos con arcos ponderados. Gómez, González-Arangüena, Manuel,Owen, del Pozo y Tejada (2003) propusieron utilizar el valor de Myerson como medidade centralidad para los actores en una red social. Jiménez-Losada et al. (2013) utilizanel valor de Myerson como medida de solución para las situaciones de comunicación conestructuras difusas. Los estudios y las aplicaciones del valor de Myerson no paran decrecer. Algunos de los trabajos más recientes son, por ejemplo, Manuel, Ortega y delPozo (2020) donde se estudia el marginalismo del valor de Myerson, Li y Shan (2020)que desarrollan un valor de Myerson para juegos restringidos a grafos dirigidos.

Otro de los objetivos de esta memoria es extender el valor de Myerson a situaciones


en las cuales los jugadores tienen sus posibilidades de cooperación restringidas porun grafo y además, diferentes habilidades de regateo, diferente poder de negociación,diferentes niveles de cooperación o desean llevar a cabo diferentes esfuerzos en lacooperación. La solución propuesta extenderá el valor de Myerson y el valor de Sha-pley. Como en el caso de los juegos cooperativos sin restricciones en la comunicaciónmodelamos la habilidad de regateo o el nivel de cooperación de cada jugador a travésde un peso en el intervalo [0, 1]. Siguiendo los pasos de Myerson, modi�camos eljuego cooperativo original a un nuevo juego el cual es, a su vez, una modi�cación deljuego restringido al grafo de Myerson. Asumiremos que la eventual imperfección de lacooperación de los jugadores implica que estos no pueden obtener todo su dividendo enel juego de Myerson. Entonces proponemos descontar los dividendos de las coalicionesno unitarias multiplicándolos por un factor que depende de los pesos de los jugadoresen la coalición, de hecho, el mínimo de tales pesos. Naturalmente, los dividendos delas coaliciones unitarias no se ven afectados dado que cada jugador está dispuesto acooperar consigo mismo. De esta manera, si alguno de los jugadores de una coalicióntiene habilidad de regateo diferente de 1, parte del dividendo de dicha coalición (en eljuego restringido al grafo) se perderá. Resumiendo, los dividendos de las coalicionesno conectadas son nulos (como consecuencia de la de�nición de Myerson del juegorestringido al grafo) pero, además, para las coaliciones conexas el dividendo sufre undescuento como consecuencia de las habilidades de negociación. Si al menos uno deellos tiene peso nulo, el dividendo también desaparece. Entonces, el grafo estableceposibles canales de comunicación, y los pesos modulan el deseo de los jugadores enutilizar los canales abiertos.

Como se ha dicho, la modi�cación del juego original para incluir informaciónadicional y el uso del valor de Shapley para el juego modi�cado es una forma estándarde trabajo en los juegos cooperativos con algún tipo de restricción. Consecuentemente,nuestra propuesta como regla de reparto para juegos cooperativos con restriccionesen la comunicación dadas por un grafo y con jugadores con diferentes habilidades decooperación será el valor de Shapley del juego modi�cado. El valor obtenido satisfacealgunas de las propiedades clásicas del valor de Myerson (equidad y contribucionesequilibradas) así como monotonía en las habilidades de negociación y tambiéncontribuciones equilibradas en las capacidades de regateo (el daño causado por unjugador a otro, al anular éste su poder de negociación, es simétrico). Sin embargo,una consecuencia natural de descontar el dividendo es la pérdida de e�ciencia, que esconsistente con la cooperación imperfecta de los jugadores. Entonces, el valor de�nidono satisface la clásica e�ciencia en componentes conexas de Myerson, sino que éstadebe ser sustituida por e�ciencia en componentes conexas de negociación.

Finalmente, caracterizamos el valor de�nido de manera paralela al valor de Myerson:usando e�ciencia en componentes conexas de negociación y equidad, propiedad quepuede ser remplazada por contribuciones equilibradas o contribuciones equilibradas enhabilidades de negociación, obteniendo así diferentes caracterizaciones.


Los resultados incluidos en esta memoria relativos a los juegos y situaciones de co-municación con jugadores que tienen diferentes habilidades de cooperación, así como lapropuesta de solución puntual en ambos casos, han dado lugar a las publicaciones:

Manuel, C. and Martín, D. (2020). A Monotonic Weighted Shapley Value. GroupDecision and Negotiation, 29, 627�654.

Manuel, C. and Martín, D. (2021a). A Value for Communication Situations withPlayers Having Di�erent Bargaining Abilities. Annals of Operations Research,301, 161-182.

La organización de la presente memoria es la siguiente: después de este apartadointroductorio y motivacional, aparece un capítulo de preliminares donde se de�nenformalmente los prerrequisitos necesarios para la introducción de los resultadosposteriores. A continuación, en el capítulo 3, se de�nen los nuevos juegos donde losjugadores pueden tener diferentes habilidades de negociación, así como una soluciónpuntual para estos nuevos juegos. Posteriormente, en el capítulo 4, se analiza condetenimiento la propiedad de monotonía que subyace en la motivación del desarrollode la presente memoria. En los capítulos 5 y 6 se obtienen respectivamente, diversascaracterizaciones y una generalización de las extensiones multilineales de Owen (1972)para el valor de�nido en el capítulo 3. En el capitulo 7 se introducen las situacionesde comunicación con jugadores que tienen diferentes habilidades cooperativas para,en el capítulo 8, introducir una generalización del valor de Myerson para este tipode situaciones que caracterizamos en el capítulo 9. Por último, esta memoria cuentacon un capítulo donde se plantean futuras líneas de investigación que pueden serdesarrolladas a partir de los resultados aquí obtenidos.

Capítulo 2

Preliminares

Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo.

Arquímedes de Siracusa

En este capítulo se exponen aquellos conceptos, ideas y resultados que constituyen loscimientos a partir de los cuales se construye el presente trabajo: los juegos n-personalescooperativos en forma de función característica, los grafos y las situaciones de comu-nicación (juegos cooperativos con comunicación restringida por un grafo o red social).También se incluyen las reglas de reparto para juegos cooperativos -el valor de Shapley-y para situaciones de comunicación -el valor de Myerson- que se utilizarán en esta me-moria. Finalmente se presentan los juegos cooperativos ponderados y su relación conlos juegos difusos.

2.1. Juegos cooperativos n-personales

A continuación se de�ne formalmente un juego cooperativo n-personal en forma defunción característica.

De�nición 2.1.1 Un juego cooperativo n-personal con utilidad transferible es un par(N, v). N = {1, . . . , n} es el conjunto de jugadores y v, la función característica, es unaaplicación real de�nida sobre 2N que satisface v(∅) = 0.

Cada subconjunto S ⊆ N representa una posible coalición y v(S) es el valor queS puede asegurar si todos sus miembros cooperan. Por simplicidad, en ocasiones,identi�caremos el juego (N, v) con su función característica v, cuando no existaambigüedad sobre N .

Para aligerar la notación, notaremos con s el cardinal |S| de la coalición S ⊆ N ycon GN al conjunto de todos los juegos cooperativos de utilidad transferible en los queel conjunto de jugadores es N = {1, 2, ..., n}.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 12

Ejemplo 2.1.1 En un partido político cuyas bases están formadas por un total de150 individuos con derecho a voto, las decisiones se aprueban por mayoría absolutade sus miembros. En esta situación, el juego viene dado por el conjunto de jugadoresN = {1, 2, ..., 150}, y la función característica, que es una función indicador v : 2N → Rpor:

v(S) =

{1, si s ≥ 760, en otro caso.

Los valores 1 y 0 indican, en este caso, el que una coalición de jugadores sea ganadorao perdedora, respectivamente.

GN tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, condimension 2n − 1. Dados (N, v), (N,w) ∈ GN y λ ∈ R, la suma interna (N, v + w)y el producto externo por un escalar (N, λ · v) son los juegos con funciones carac-terísticas respectivas (v+w)(S) = v(S)+w(S) y (λ ·v)(S) = λ ·v(S), para todo S ⊆ N .

Además, se puede de�nir un producto interno en GN tal que para (N, v),(N,w) ∈ GN , (N, v · w) tiene función característica (v · w)(S) = v(S) · w(S) para todoS ⊆ N .

Una base muy útil de GN es la llamada base de unanimidad formada por los juegoscon funciones características {uS}∅6=S⊆N.

De�nición 2.1.2 Para cada coalición S ⊆ N , S 6= ∅ el juego de unanimidad (N, uS)tiene función característica

uS(T ) =

{1, si S ⊆ T0, en otro caso.

Los coe�cientes (coordenadas) de una función característica, v, en la base de unani-midad, son conocidos como los dividendos de Harsanyi (Harsanyi, 1959). Estos coe�-cientes {∆v(S)}∅6=S⊆N se obtienen en términos de los valores de las coaliciones mediantela siguiente expresión:

∆v(S) =∑T⊆S

(−1)s−tv(T ), para cada ∅ 6= S ⊆ N.

Dado (N, v) ∈ GN y S ⊆ N , el valor que pueden alcanzar conjuntamente los miembrosde la coalición S puede calcularse a partir de los dividendos de Harsanyi mediante lasiguiente expresión:

v(S) =∑∅6=T⊆S

∆v(T ), para cada ∅ 6= S ⊆ N.

Ejemplo 2.1.2 Consideremos (N, v) ∈ GN con N = {1, 2, 3} y

v(S) =

{s− 1, si s ≥ 2

0, otro caso.

2.1. JUEGOS COOPERATIVOS N -PERSONALES


En términos de la base de unanimidad, v puede ser escrito como:

v = u{1,2} + u{1,3} + u{2,3} − u{1,2,3}.

Como se ha dicho, podemos calcular el valor de cualquier coalición a partir de la funcióncaracterística o de los dividendos de sus subcoaliciones. Por ejemplo para

S = {1, 2, 3}, v(S) = 3− 1 = 2 ó

v(S) = ∆v({1})+∆v({2})+∆v({3})+∆v({1, 2})+∆v({1, 3})+∆v({2, 3})+∆v({1, 2, 3})

= 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1− 1 = 2

La restricción de un juego a una coalición se de�ne de la siguiente manera.

De�nición 2.1.3 Dado (N, v) ∈ GN y S ⊆ N , se de�ne el juego restringido a lacoalición S, (N, v|S) como aquel juego n-personal con función característica:

v|S(T ) =

{v(T ∩ S), si T ⊆ N

0, otro caso.

Así mismo, notaremos (S, v|S) ∈ GS al juego con función característica:

v|S(T ) = v(T ).

De�nición 2.1.4 Dado (N, v) ∈ GN y una coalición T ⊆ N , se dice que T es unsoporte del juego (N, v) si se cumple que para cualquier coalición S ⊆ N :

v(S) = v(S ∩ T ).

De�nición 2.1.5 Dado (N, v) ∈ GN , i ∈ N y S ⊆ N \ {i} llamamos contribuciónmarginal del jugador i a la coalición S en el juego v, a la diferencia:

v(S ∪ {i})− v(S).

A partir de la de�nición anterior, dado un juego (N, v) ∈ GN y dos jugadores i, j ∈ Nse pueden de�nir diferentes clases o tipos de jugadores.

De�nición 2.1.6 Diremos que i ∈ N es un jugador nulo en (N, v), si

v(S ∪ {i})− v(S) = 0 para todo S ⊆ N \ {i},

es decir, si la contribución marginal de i a cualquier coalición S a la que se una es cero.

De�nición 2.1.7 Diremos que i ∈ N es un jugador pasivo o títere en el juego (N, v),si

v(S ∪ {i})− v(S) = v({i}) para todo S ⊆ N \ {i},

2.1. JUEGOS COOPERATIVOS N -PERSONALES


es decir, si contribuye marginalmente a cada coalición con la cantidad que puede con-seguir por sí mismo.

De�nición 2.1.8 Diremos que i ∈ N es un jugador necesario (van den Brink andGilles, 1996) en el juego (N, v), si para S ⊆ N ,

v(S) = 0 si i /∈ S.

Es decir, un jugador es necesario si cualquier coalición en la que no esté él, tiene pagonulo.

De�nición 2.1.9 Diremos que i y j ∈ N son jugadores simétricos en el juego (N, v),si

v(S ∪ {i}) = v(S ∪ {j}) para todo S ⊆ N \ {i, j},

es decir, si la contribución marginal a toda coalición a la que no pertenezcan ambos esla misma. Esto establece que dos jugadores simétricos son intercambiables en el juego,al menos, a efectos prácticos.

2.2. Clases de Juegos.

A partir de las diferentes propiedades de la función característica de un juego podemosde�nir diversas clases de juegos cooperativos que serán relevantes en el resto de lapresente memoria.

De�nición 2.2.1 Un juego (N, v) ∈ GN es monótono si para todo S, T ⊆ N conS ⊆ T , se tiene que:

v(S) ≤ v(T ),

es decir, si al añadirse jugadores a una coalición, el valor de ésta no disminuye.En términos de las contribuciones marginales un juego es monótono, si y solo si, ladiferencia v(S ∪ {i})− v(S) es no negativa para todo S ⊆ N \ {i}.

De�nición 2.2.2 Un juego (N, v) ∈ GN es superaditivo si para todo S, T ⊆ N conS ∩ T = ∅, se tiene que:

v(S ∪ T ) ≥ v(S) + v(T ).

Un juego superaditivo es un juego donde se preserva la idea de que la unión hace lafuerza, es decir, la unión de coaliciones disjuntas no puede empeorar la suma de losbene�cios de ellas. Si la desigualdad de la de�nición anterior se da en sentido opuestose dice que el juego es subaditivo.

De�nición 2.2.3 Un juego (N, v) ∈ GN es convexo si para todo S, T ⊆ N , se veri�caque:

v(S ∪ T ) + v(S ∩ T ) ≥ v(S) + v(T ).

2.2. CLASES DE JUEGOS.


Los juegos convexos son aquellos en los que si dos coaliciones (no necesariamente dis-juntas) se unen, entonces la suma de las ganancias de la unión e intersección es al menosigual a la suma de los bene�cios de las coaliciones que se unen. Trivialmente todo juegoconvexo es superaditivo. Si la desigualdad de la de�nición anterior se da en sentidoopuesto se dice que el juego es cóncavo.

De�nición 2.2.4 Un juego (N, v) ∈ GN es casi-positivo (almost-positive, Vasil'ev,1975) si se veri�ca que:

∆v(S) ≥ 0 para todo ∅ 6= S ⊆ N.

Todo juego casi-positivo es convexo y, por tanto, superaditivo. El recíproco (en ge-neral) no es cierto.

De�nición 2.2.5 Un juego (N, v) ∈ GN es cero-normalizado si se veri�ca que:

v({i}) = 0, para todo i ∈ N.

Todo juego (N, v) admite una versión cero-normalizada, (N, v0), con

v0(S) = v(S)−∑i∈S

v({i}) para todo S ⊆ N.

En esta memoria utilizaremos la notación GN0 para hacer referencia al subespacio de

GN formado por los juegos cero-normalizados con conjunto de jugadores N .

La cero-normalización de un juego es un caso particular de la equivalencia estratégica,que se de�ne a continuación.

De�nición 2.2.6 Dados (N, v) y (N,w) ∈ GN , diremos que son estratégicamenteequivalentes si existen constantes reales λ, α1, α2, ... , αn tales que para todo S ⊆ N ,S 6= ∅,

v(S) = λw(S) +∑i∈S

αi.

Ejemplo 2.2.1 Se considera el siguiente juego (N, v) ∈ GN con conjunto de jugadoresN = {1, 2, 3} y función característica:

v(S) =

2, si S = {1, 2}1, si S = {1, 3}3, si S = {1, 2, 3}0, otro caso.

En términos de la base de unanimidad, v puede escribirse como:

v = 2u{1,2} + u{1,3}.

Puede observarse que este juego es monótono, superaditivo, convexo, cero-normalizado y casi-positivo.

2.2. CLASES DE JUEGOS.


De�nición 2.2.7 Un juego (N, v) ∈ GN es (0,1)-normalizado si se veri�ca que:

v({i}) = 0, para todo i ∈ N y v(N) = 1.

El juego del Ejemplo 2.1.1 también cumple la de�nición de juego (0,1)-normalizado.

De�nición 2.2.8 Un juego (N, v) ∈ GN es simple si para todo S ⊆ N , se veri�caque:

v(S) = 0 ó v(S) = 1.

En un juego simple diremos que una coalición S ⊆ N es ganadora si v(S) = 1. Encaso contrario, diremos que es perdedora. Un juego simple queda completamentedeterminado por su conjunto de coaliciones ganadoras.

Los juegos de votación como el del Ejemplo 2.1.1 son los más habituales dentro deesta clase de juegos. Llamaremos juego de votación a un juego simple, no trivial ymonótono. Es decir, un juego con v(N) = 1 y en el que, dadas dos coaliciones S,T ⊆ Ncon S ⊆ T , si S es ganadora, entonces T también ha de serlo.

De�nición 2.2.9 Un juego (N, v) ∈ GN es inesencial o aditivo si para todo S, T ⊆ Ncon S ∩ T = ∅, se veri�ca que:

v(S ∪ T ) = v(S) + v(T ).

Para estos juegos el incentivo a la cooperación desaparece, lo cual ocasiona que losbene�cios o ganancias de los jugadores se vean inalterados por las coaliciones que selleguen a formar, dado que estos juegos satisfacen trivialmente que:

v(S) =∑i∈S

v({i}), para todo ∅ 6= S ⊆ N.

De�nición 2.2.10 Un juego (N, v) ∈ GN es simétrico si existe una funciónf : N ∪ {0} → R tal que, para todo S ⊆ N , v(S) = f(s).

En un juego simétrico, dos jugadores cualesquiera son simétricos, es decir, el valor deuna coalición depende solo del número de jugadores que la integren, y no de la identidadde los mismos. El juego del Ejemplo 2.1.2 es simétrico.

2.3. Conceptos de solución para juegos cooperativos

Sea (N, v) ∈ GN . Si los jugadores deciden cooperar, el problema que se presenta esel de repartir el valor v(N) entre todos.

2.3. CONCEPTOS DE SOLUCIÓN PARA JUEGOS COOPERATIVOS


Sea x = (x1, x2, ..., xn) ∈ R un vector de distribución de pagos, en el que para cadai = 1, 2, ..., n, xi representa el pago que recibe el jugador i. Para cualquier coaliciónS ⊆ N , consideramos:

x(S) =∑i∈S

xi, si S 6= ∅,

yx(∅) = 0.

De�nición 2.3.1 El conjunto de preimputaciones de un juego (N, v) es el conjuntode vectores de distribución e�cientes, es decir,

PI(N, v) = {x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn | x(N) = v(N)}.

Es razonable pensar que ningún jugador aceptará un pago inferior al que obtendríaindividualmente, sin unirse a ninguna coalición (racionalidad individual).

De�nición 2.3.2 El conjunto de imputaciones de un juego (N, v) es el subconjuntode PI formado por los vectores de distribución que cumplen el principio de racionalidadindividual,

I(N, v) = {x = (x1, x2, ..., xn) ∈ PI(N, v) y xi ≥ v({i}), para todo i= 1, 2, ...,n}.

Ejemplo 2.3.1 (Pérez, Jimeno y Cerdá; 2003) Se considera el siguiente juego conN = {1, 2, 3} y

v(∅) = v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0,

v({1, 2}) = 2, v({1, 3}) = 3, v({2, 3}) = 2, v({1, 2, 3}) = 5.

Se tiene que,PI(N, v) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 5}.

El conjunto de preimputaciones del juego de�nido es cualquier punto del plano quecorta a los ejes en los puntos (5, 0, 0), (0, 5, 0) y (0, 0, 5).



x3

x2

x1

(0,5,0)

(0,0,5)

x1 = 0

(5,0,0)x3 = 0

x2 = 0

Figura 2.3.1. Representación grá�ca de las Preimputaciones.

Si aplicamos el principio de racionalidad individual, para calcular el conjunto deimputaciones del juego tenemos

I(N, v) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0}.

El conjunto de Imputaciones de este juego es cualquier punto del triángulo con vértices(5, 0, 0), (0, 5, 0) y (0, 0, 5) en el espacio de tres dimensiones.

(0, 0, 5)

(5, 0, 0) (0, 5, 0)

x1 = 0x2 = 0

x3 = 0

Figura 2.3.2. Representación grá�ca de las Imputaciones.

Si extendemos el principio de racionalidad individual a todas las posibles coaliciones,denominándolo principio de racionalidad coalicional, llegamos entonces al concepto deCore de un juego cooperativo.

De�nición 2.3.3 Dado (N, v) ∈ GN , se llama Core de (N, v), notado C(N, v), a

C(N, v) = {x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn | x(N) = v(N), x(S) ≥ v(S), para todo S ⊆ N}



El core contiene las asignaciones de pagos estables, en el sentido de que ningunacoalición podría, por sí misma, conseguir más de lo que cualquiera de estas asignacionesles permitiría.

Esta noción de Core como concepto de solución general de un juego cooperativofue desarrollada por Shapley (1952) y Gillies (1953, 1959). Pese a ser un concepto desolución muy intuitivo, presenta propiedades que no en todos los casos se considerarándeseables. Entre ellas, el hecho de que no proporciona, en general, un único vector depagos para cada juego (lo que, por otra parte, puede resultar enriquecedor en ocasiones)o, lo que es peor, que puede ser vacío.

Ejemplo 2.3.2 (Pérez J. et. al. 2003) Una �nca rústica está valorada por su actualpropietario (jugador 1) en 350 mil unidades monetarias. Una empresario (jugador 2)le ofrece acondicionarla para su utilización como polígono industrial, con lo que suvalor de mercado alcanzaría las 700 mil u.m. Una empresa constructora (jugador 3) leofrece urbanizar la �nca para su posible subdivisión en parcelas destinadas a viviendasunifamiliares. Con esta urbanización la �nca alcanzaría un valor de 775 mil u.m.

El juego en forma coalicional viene dado por (N, v) con N = {1, 2, 3} y

v(∅) = v({2}) = v({3}) = 0, v({1}) = 350

v({1, 2}) = 700, v({1, 3}) = 775, v({2, 3}) = 0, v({1, 2, 3}) = 775.

Se observa que el jugador 1 es un jugador necesario en el juego, dado que cualquiercoalición en la que no esté presente dicho jugador, es una coalición que no puedealcanzar ningún bene�cio. Pasamos ahora al cálculo del Core.

Pertenecen al Core los puntos (x1, x2, x3) que satisfacen las siguientes restricciones:

x1 + x2 + x3 = 775 (Principio de e�ciencia),

x1 ≥ 350, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 (Principio de racionalidad individual),

x1 + x2 ≥ 700, x1 + x3 ≥ 775, x2 + x3 ≥ 0 (Principio de racionalidad coalicional).

Teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el principio de e�ciencia y elprincipio de racionalidad coalicional se tiene que:

x2 + x3 ≥ 0 ó equivalentemente x1 ≤ 775,

x1 + x3 ≥ 775 ó equivalentemente x2 ≤ 0,

x1 + x2 ≥ 700 ó equivalentemente x3 ≤ 75.

Y por último, si añadimos las restricciones impuestas por el principio de racionalidadindividual a las restricciones anteriores podemos calcular el Core:

C(N, v) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 +x2 +x3 = 775, 350 ≤ x1 ≤ 775, x2 = 0, 0 ≤ x3 ≤ 75}



= {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 350 ≤ 775− x3 ≤ 775, x2 = 0, 0 ≤ x3 ≤ 75}

= {(775− x3, 0, x3) | 0 ≤ x3 ≤ 75}.

Como se puede apreciar, en los repartos del Core �gura el hecho de que el segundojugador solo sirve para elevar el precio de la parcela hasta 700 mil unidades monetarias(pero no recibe nada a cambio) mientras el tercero recibirá una parte de las 75 milunidades monetarias que se pueden conseguir por encima de las 700 mil urbanizando laparcela.

Una regla de asignación, reparto o solución unipuntual para juegos cooperativosn-personales con conjunto de jugadores N es una aplicación ψ : GN → Rn, en la queψi(N, v) representa el bene�cio del jugador i en el juego (N, v).

Shapley (1953) introdujo una solución para juegos cooperativos que, hoy por hoy, esconsiderada como la más relevante. Esta regla de reparto, conocida como el valor deShapley, asigna a cada jugador una combinación lineal convexa de sus contribucionesmarginales a las diferentes coaliciones.

De�nición 2.3.4 El valor de Shapley, Sh, es la regla de asignación de�nida en GN

y dada por:

Shi(N, v) =∑

S⊆N\{i}

(n− s− 1)!s!

n!

[v(S ∪ {i})− v(S)

], i ∈ N.

Alternativamente, el valor de Shapley se puede expresar en términos de los dividendoscomo sigue:

Shi(N, v) =∑

S⊆N :i∈S

∆v(S)

s, i ∈ N.

Shapley (1953) caracterizó su valor de una manera elegante utilizando los siguientesaxiomas:

i) Soporte. Una solución ψ : GN → Rn satisface la propiedad del soporte si para todojuego (N, v) ∈ GN y para todo soporte T de (N, v), se tiene que:∑

i∈T

ψi(N, v) = v(T ).

ii) Simetría. Una solución ψ : GN → Rn es simétrica si para todo juego (N, v) ∈ GN

y para toda permutación π de N , se veri�ca que:

ψπ(i)(N, v) = ψi(N, πv) para todo i ∈ N,

donde el juego πv se de�ne como:

πv(S) = v(π(S)).



iii) Aditividad. Una solución ψ : GN → Rn es aditiva si para todo par de juegos(N, v1), (N, v2) ∈ GN se tiene que:

ψ(N, v1 + v2) = ψ(N, v1) + ψ(N, v2).

Dada la preeminencia de este valor, otros autores han obtenido caracterizacionesalternativas.

Shubik (1962) caracterizó el valor de Shapley sustituyendo el axioma del soporte porel de e�ciencia y el de jugador nulo:

E�ciencia. Una solución ψ : GN → Rn es e�ciente si para todo juego (N, v) ∈ GN

se veri�ca que:n∑i=1

ψi(N, v) = v(N).

Jugador nulo. Una solución ψ : GN → Rn satisface la propiedad del jugador nulosi para todo juego (N, v) ∈ GN y para todo jugador i nulo en (N, v), se veri�caque:

ψi(N, v) = 0.

Myerson (1980) caracterizó el valor de Shapley utilizando los axiomas de e�cienciay contribuciones equilibradas:

Contribuciones equilibradas. Una solución ψ : GN → Rn satisface la propiedad decontribuciones equilibradas si para todo juego (N, v) ∈ GN y para cada i, j ∈ N ,

ψi(N, v)− ψi(N, v|N\{j}) = ψj(N, v)− ψj(N, v|N\{i}).

Young (1985) obtiene una caracterización en términos de e�ciencia, simetría y mo-notonía fuerte (marginalismo) 2 , 3:

Monotonía fuerte. Una solución ψ : GN → Rn satisface la propiedad de monotoníafuerte si para todo par de juegos (N, v), (N,w) ∈ GN y para todo i ∈ N tal que

v(S ∪ {i})− v(S) ≥ w(S ∪ {i})− w(S), si S ⊆ N \ {i},

se tiene queψi(N, v) ≥ ψi(N,w).

2Young (1985) de�nió la propiedad de monotonía fuerte, pero en la demostración de su caracteri-zación usó una versión más débil de esta propiedad 'a type of independece' (ambas desigualdades sonremplazadas por igualdades). Este axioma más débil es conocido como marginalismo después de Chun(1989).

3El término en inglés es marginality y su traducción al castellano compleja. La Real AcademiaEspañola admite marginalidad pero con un signi�cado que no se adapta a este escenario. Por otro ladoes habitual hablar de marginalismo económico, pero el término no es aceptado por la RAE. Frente aesta dicotomía hemos optado por respetar el signi�cado económico, asumiendo el coste de utilizar untérmino no aceptado por la Academia.



Ejemplo 2.3.3 Consideramos (N, v) ∈ GN con N = {1, 2, 3, 4} y

v(S) =

1, si S ∈ {{4}, {3, 4}}2, si S ∈ {{1}, {2}, {1, 3}, {2, 3}}3, si S ∈ {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}}4, si S ∈ {{1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}

0, en otro caso.


v = 2u{1} + 2u{2} + u{4} − u{1,2}.

Dado este juego podemos observar que:

i) Los jugadores 1 y 2 son simétricos ya que sus contribuciones marginales son siem-pre iguales, es decir, para todo S ⊆ N ,

v(S ∪ {1})− v(S) = v(S ∪ {2})− v(S).

ii) El jugador 3 es un jugador nulo ya que sus contribuciones marginales son siemprenulas, es decir, para todo S ⊆ N ,

v(S ∪ {3})− v(S) = 0.

iii) El jugador 4 es un jugador títere ya que sus contribuciones marginales son siempreiguales, es decir, para todo S ⊆ N ,

v(S ∪ {4})− v(S) = 1 = v({4}).

iv) No hay jugadores necesarios en (N, v).

v) El soporte de (N, v) es T = {1, 2, 4}. El soporte de un juego está formado por elconjunto de jugadores no nulos.

El valor de Shapley para el juego (N, v) es Sh(N, v) = (2− 12, 2− 1

2, 0, 1) = (3

2, 3

2, 0, 1)

y por tanto Sh(N, v) satisface:

i) La propiedad del soporte dado que∑i∈T

Shi(N, v) =3

2+

3

2+ 1 = v(T ) = 4.

ii) La propiedad de e�ciencia dado que∑i∈N

Shi(N, v) =3

2+

3

2+ 0 + 1 = v(N) = 4.



iii) La propiedad de simetría dado que

Sh1(N, v) =3

2= Sh2(N, v).

iv) La propiedad de jugador nulo dado que

Sh3(N, v) = 0.

Para mostrar en este ejemplo que el valor de Shapley satisface la propiedad de aditi-vidad de�nimos el juego w = u{1,2,3,4}, entonces,

(v + w)(S) =

{v(S), si S ⊂ N

5, si S = N.

En términos de la base de unanimidad, (v + w) puede ser escrito como:

(v + w) = 2u{1} + 2u{2} + u{4} − u{1,2} + u{1,2,3,4}.

Entonces, el valor de Shapley satisface aditividad dado que

Sh(N, v + w) = (7

4,7

4,1

4,5

4) = (

3

2,3

2, 0, 1) + (

1

4,1

4,1

4,1

4) = Sh(N, v) + Sh(N,w).

También se puede observar que los valores de Shapley obtenidos satisfacen la pro-piedad de monotonía fuerte, dado que para todo i ∈ N y para todo S ⊆ N \ {i},v(S ∪ {i})− v(S) ≥ w(S ∪ {i})−w(S) y, también Shi(N, v) ≥ Shi(N,w). En particu-lar, para el jugador 1 tenemos que las contribuciones marginales en el juego v y w sonrespectivamente,

v(S ∪ {1})− v(S) =

{1, si S ∈ {{2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 3, 4}}2, si S ∈ {{∅}, {3}, {4}, {3, 4}}.

y,

w(S ∪ {1})− w(S) =

{1, si S = {2, 3, 4}0, en otro caso.

Se observa que v(S ∪ {1})− v(S) ≥ w(S ∪ {1})−w(S) para todo S ⊆ N \ {1} y, porotro lado, Sh1(N, v) = 3

2≥ 1

4= Sh1(N,w), y así, queda ejempli�cada la propiedad de

monotonía fuerte para el jugador 1.

Por último, vamos a ilustrar la propiedad de contribuciones equilibradas del valor deShapley en el presente ejemplo. Para ello vamos a analizar en qué medida los jugadores1 y 2 se ven afectados cuando el otro abandona el juego.

Se tiene que v|N\{1} = 2u{2} + u{4}. Entonces, Sh(N, v|N\{1}) = (0, 2, 0, 1) y similar-mente Sh(N, v|N\{2}) = (2, 0, 0, 1) y, por tanto,

Sh1(N, v)− Sh1(N, v|N\{2}) =3

2− 2 = −1

2= Sh2(N, v)− Sh2(N, v|N\{1}).



Para las parejas {3, i} con i 6= 3 y {4, i} con i 6= 4 la propiedad se satisface trivialmen-te por la naturaleza de 3 y 4 (jugador nulo y títere, respectivamente) sus asignacionespor el valor de Shapley son siempre constantes, es decir,

Sh3(N, v) = Sh3(N, v|N\{i}) = 0, para todo i 6= 3

ySh4(N, v) = Sh4(N, v|N\{i}) = v({4}) = 1, para todo i 6= 4.

Tratando también de vincular el marginalismo económico con la solución de Shapley,

Hart y Mas-Colell (1989) consideraron funciones reales P sobre G =∞⋃n=0

GN . Para cada

P y cada juego (N, v) ∈ GN de�nieron el vector de las contribuciones marginales de losdiferentes jugadores, (

P (N, v)− P (N \ {i}, v|N\{i}))i∈N .

Una función P : G→ R con P (∅, v) = 0 es llamada potencial si satisface la condiciónde e�ciencia: ∑

i∈N

[P (N, v)− P (N \ {i}, v|N\{i})

]= v(N).

Hart y Mas-Colell probaron que existe una única función potencial P . Además el vectorde las contribuciones marginales resultante

(P (N, v)− P (N \ {i}, v|N\{i})

)i∈N coincide

con el valor de Shapley.En el siguiente ejemplo se ilustra el cálculo de la función potencial y su relación con

el valor de Shapley.

Ejemplo 2.3.4 Consideramos (N, v) ∈ GN con N = {1, 2, 3} y

v(S) =

30, si S = {1}50, si S ∈ {{3}, {1, 2}}80, si S ∈ {{1, 3}, {2, 3}}100, si S = {1, 2, 3}0, en otro caso.


v = 30u{1} + 50u{3} + 20u{1,2} + 30u{2,3} − 30u{1,2,3},

y, por tanto, Sh(N, v) = (30 + 10− 10, 10 + 15− 10, 50 + 15− 10) = (30, 15, 55).

Dado que la función potencial satisface la condición de e�ciencia, es decir,∑i∈N

[P (N, v)− P (N \ {i}, v|N\{i})

]= v(N),



se puede calcular su valor en el conjunto de todos los jugadores i ∈ N despejandoP (N, v) de la ecuación anterior:

P (N, v) =1

n

[v(N) +

∑i∈N

P (N \ {i}, v|N\{i})]

y recursivamente,

P (N \ {i}, v|N\{i}) =1

n− 1

[v(N \ {i}) +

∑j∈N,j 6=i

P (N \ {i, j}, v|N\{i,j})].

Entonces,

P (N, v) =1

n

[v(N) +

∑i∈N

1

n− 1

(v(N \ {i}) +

∑j∈N,j 6=i

P (N \ {i, j}, v|N\{i,j}))].

Para el ejemplo se tiene que,

P (N, v) =1

3

[100 +

1

2(80 + 50) +

1

2(80 + 50 + 30) +

1

2(50 + 30)

]= 95,

siendo:

P (N \ {1}, vN\{1}) =1

n− 1

[v(N \ {1}) +

∑j∈N,j 6=1

P (N \ {1, j}, v|N\{1,j})]

=1

2(80 + 50) = 65.

P (N \ {2}, vN\{2}) =1

n− 1

[v(N \ {2}) +

∑j∈N,j 6=2

P (N \ {2, j}, v|N\{2,j})]

=1

2(80 + 50 + 30) = 80.

P (N \ {3}, vN\{3}) =1

n− 1

[v(N \ {3}) +

∑j∈N,j 6=3

P (N \ {3, j}, v|N\{3,j})]

=1

2(50 + 30) = 40.

Comprobamos por último que el vector de contribuciones marginales resultante(P (N, v)− P (N \ {i}, v|N\{i})

)i∈N coincide con el valor de Shapley:

Para i = 1, P (N, v)− P (N \ {1}, v|N\{1}) = 95− 65 = 30 = Sh1(N, v).





2.4. Grafos

A continuación se exponen los conceptos relacionados con la teoría de grafos queserán utilizados en la presente memoria.

De�nición 2.4.1 Un grafo o una red social es un par (N, γ) en el cual N ={1, 2, . . . , n} es el conjunto de nodos y γ es un subconjunto de γN (grafo completo)siendo γN = {{i, j}, i, j ∈ N, i 6= j}. Si no existe ambigüedad con respecto a N , identi-�caremos el grafo con γ. Cada arista {i, j} ∈ γ representa una relación directa o canalde comunicación entre i y j. ΓN denota la familia de todos los grafos con conjunto denodos N .

Diremos que dos nodos i y j están directamente conectados en (N, γ) si {i, j} ∈ γ.Y diremos que están conectados en γ si existe una sucesión de nodos i1, i2, . . . ik coni1 = i y ik = j tal que {il, il+1} ∈ γ, para l = 1, . . . , k − 1.

Para (N, γ) ∈ ΓN y ∅ 6= S ⊆ N , la restricción del grafo γ al conjunto S es el grafo(S, γ|S). Un conjunto S ⊆ N es conexo en γ si cada par de nodos en S están conectadosen (S, γ|S). Asumimos que sis = 1, S es conexo.

De�nición 2.4.2 Una componente conexa, C, en el grafo (N, γ) es un subconjuntoconexo maximal, es decir, C es conexo en el grafo y, para todo C ′ ⊆ N , si C ( C ′

entonces, C ′ no es conexo. Notaremos N/γ a la partición de N en componentes conexasinducida por (N, γ).

Denotaremos S/γ al conjunto de las componentes conexas de S en (S, γ|S). Unsubgrafo de (N, γ) es (N, γ′) con γ′ ⊆ γ. Dado (N, γ) ∈ ΓN y una arista l ∈ γ,(N, γ \ {l}) es el subgrafo obtenido cuando la relación l se rompe. Para i ∈ N, (N, γi)con γi = {l ∈ γ | i ∈ l} es el subgrafo de las aristas que inciden en i, y (N, γ−i) conγ−i = γ \γi es el subgrafo en el cual i está aislado después de eliminar todos sus aristas.

De�nición 2.4.3 Un conjunto conexo en (N, γ), S∗ ⊆ N , es un conjunto minimal deconexión de S ⊆ S∗ si no hay ningún S ′ ( S∗ con S ⊆ S ′ y S ′ conexo. MCS(S,N, γ)denotará la familia (ocasionalmente vacía) de todos los conjuntos minimales deconexión de S en (N, γ).

El siguiente ejemplo pretende aclarar algunos de los conceptos anteriormente de�ni-dos.

Ejemplo 2.4.1 Sea el grafo γ = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1}}. Una repre-sentación aparece en la Figura 2.4.1. Consideremos los conjuntos S = {1, 2, 3} yT = {1, 3}.

2.4. GRAFOS


1

2

3

5 4

Figura 2.4.1

Se tiene que,

i) El grafo γ es conexo dado que todos los nodos están conectados, es decir, se puedeir de un nodo i a otro j utilizando una sucesión de aristas de γ.

ii) El conjunto T no es conexo dado que el grafo (T, γ|T ) no es un grafo conexo.

iii) El conjunto S es conexo dado que el grafo (S, γ|S) es un grafo conexo.

iv) La familia de los conjuntos minimales de conexión de T en (N, γ) esMCS(T,N, γ) =

{{1, 2, 3}, {1, 3, 4, 5}

}.

2.5. Situaciones de comunicación y reglas de reparto

Una situación de comunicación es un modelo para juegos cooperativos en los cualeslos jugadores tienen restricciones en la comunicación dadas por un grafo o red social.

De�nición 2.5.1 Una situación de comunicación es una terna (N, v, γ), donde(N, v) es un juego cooperativo y (N, γ) un grafo (red). Los nodos en el grafo son losjugadores en el juego. CSN denotará al conjunto de toda las situaciones de comunica-ción con conjunto de jugadores-nodos N .

Para situaciones de comunicación (N, v, γ), Myerson (1977) de�nió el juego restrin-gido al grafo (N, vγ), en el cual la función característica viene dada por:

vγ(S) =∑C∈S/γ

v(C), para todo S ⊆ N.

Representa el bene�cio de cada coalición bajo las restricciones en la comunicaciónimpuestas por el grafo. Actualmente es frecuente hacer referencia a (N, vγ) como eljuego de Myerson.

2.5. SITUACIONES DE COMUNICACIÓN Y REGLAS DE REPARTO


Dado una red (N, γ) y ∅ 6= S ⊆ N , siMCS(S,N, γ) no es vacío yMCS(S,N, γ) ={S1, S2, ..., Sr}, entonces, Gómez et al. (2003) probaron que

(uS)γ = 1−r∏i=1

(1− usi),

donde 1 es el juego de�nido por 1(S) = 1, para todo S 6= ∅, es decir, el elementounidad del producto interno en GN . Si,MCS(S,N, γ) = ∅, entonces (uS)γ = 0.

De�nición 2.5.2 Una regla de asignación ψ en CSN es una aplicaciónψ : CSN → Rn, donde ψi(N, v, γ) representa el pago o bene�cio del jugador ien la situación de comunicación (N, v, γ).

Dada la preeminencia del valor de Shapley como solución puntual para juegos coope-rativos, Myerson propuso como regla de reparto para situaciones de comunicación elvalor de Shapley del juego restringido al grafo. Ahora esta regla, µ, es conocida comoel valor de Myerson. Entonces µ(N, v, γ) = Sh(N, vγ). El valor de Myerson del i-ésimojugador en la situación de comunicación (N, v, γ) viene dado por:

µi(N, v, γ) = Shi(N, vγ) =

∑S⊆N :i∈S

∆vγ (S)

s, i ∈ N.

Myerson obtuvo dos caracterizaciones para su regla. La primera (Myerson, 1977) entérminos de e�ciencia en componentes y equidad (fairness):

E�ciencia en componentes. Una regla de asignación ψ sobre CSN satisface e�-ciencia en componentes si, para todo (N, v, γ) ∈ CSN y todo C ∈ N/γ,∑

i∈C

ψi(N, v, γ) = v(C).

Equidad. Una regla de asignación ψ sobre CSN satisface equidad si, para todo(N, v, γ) ∈ CSN y cada l = {i, j} ∈ γ,

ψi(N, v, γ)− ψi(N, v, γ \ {l}) = ψj(N, v, γ)− ψj(N, v, γ \ {l}).

La segunda (Myerson, 1980), a partir de e�ciencia en componentes y contribucionesequilibradas.

Contribuciones equilibradas. 4 Una regla de asignación ψ sobre CSN satisfacecontribuciones equilibradas si, para todo (N, v, γ) ∈ CSN y todo i, j ∈ N,

ψi(N, v, γ)− ψi(N, v, γ−j) = ψj(N, v, γ)− ψj(N, v, γ−i).4Nótese que esta propiedad de contribuciones equilibradas adaptada al contexto de los juegos coope-

rativos fue introducida en la Sección 2.3, dado que el hecho de que un jugador rompa sus relaciones enel grafo γ y, por tanto, se aísle, puede entenderse como un abandono del juego.

2.5. SITUACIONES DE COMUNICACIÓN Y REGLAS DE REPARTO


En el siguiente ejemplo se muestra el cálculo del valor de Myerson en una situaciónconcreta.

Ejemplo 2.5.1 Consideramos el grafo del Ejemplo 2.4.1. Dado el juego (N, v) conN = {1, 2, 3, 4, 5} y v = u{1,3}, se tiene queMCS({1, 3}, N, γ) =

{{1, 2, 3}, {1, 3, 4, 5}

}y entonces,

vγ = uγ{1,3} = 1− (1− u{1,2,3})(1− u{1,3,4,5}) = u{1,2,3} + u{1,3,4,5}−

u{1,2,3} · u{1,3,4,5} = u{1,2,3} + u{1,3,4,5} − u{1,2,3,4,5}.

De donde,

µ(N, v, γ) =(1

3+

1

4− 1

5,1

3− 1

5,1

3+

1

4− 1

5,1

4− 1

5,1

4− 1

5

)=

(23

60,

2

15,23

60,

1

20,

1

20

).

2.6. Juegos cooperativos ponderados

Uno de los axiomas que caracteriza el valor de Shapley es el axioma de simetría. Sinembargo, en muchas aplicaciones, la suposición de que, a excepción de los parámetrosdel juego, los jugadores son completamente simétricos, parece poco realista. Por lo tan-to, en tales casos se propuso el uso de generalizaciones no simétricas del valor de Shapley.

Los valores de Shapley ponderados fueron introducidos por Shapley en su tesisdoctoral (Shapley, 1953a). Owen (1968, 1972) estudió los valores de Shapley ponderadosa través de enfoques probabilísticos. Las axiomatizaciones de valores no simétricosfueron realizadas (entre otros autores) por Shapley (1981), Kalai y Samet (1987) yHart y Mas-Colell (1987).

Considérese, por ejemplo, una situación que involucra a dos jugadores. Si los dosjugadores cooperan en un proyecto conjunto, pueden generar un bene�cio unitario,mientras que por sí solos no pueden generar ganancias. El valor de Shapley consideraque esta situación es simétrica y reparte el bene�cio de la cooperación por igualentre los dos jugadores. Sin embargo, en algunas aplicaciones puede haber falta desimetría. Puede ser, por ejemplo, que para que el proyecto tenga éxito, se necesiteun mayor esfuerzo por parte del jugador 1 que por parte del jugador 2. Otro ejemplosurge en situaciones en las que el jugador 1 representa una gran electorado, mien-tras que el jugador 2 representa un electorado más pequeño. Además, la falta desimetría puede surgir cuando los jugadores tienen diferentes habilidades de negociación.

Para calcular el valor de Shapley ponderado, Shw, se asocia un peso real positivo λia cada jugador i ∈ N en un juego cooperativo, (N, v).

2.6. JUEGOS COOPERATIVOS PONDERADOS


Shapley propuso dividir la unidad que los jugadores pueden obtener en un juego deunanimidad proporcionalmente a los pesos de los jugadores del soporte, es decir, parai ∈ N ,

Shwi (N, uS, {λi}i∈N) =

λi∑

j∈S

λj, si i ∈ S

0, en otro caso.

Y, luego extender el valor por linealidad a cualquier juego.

Este marco generaliza al de los juegos cooperativos clásicos en los que, si ignoramosel valor de las coaliciones, los jugadores son completamente simétricos. También elvalor de Shapley ponderado generaliza el valor de Shapley (Shapley, 1953b), que es elcaso particular obtenido si todos los pesos coinciden.

Shapley (1953a) sugirió la habilidad de negociación de cada jugador como una posi-ble interpretación de sus pesos. Sin embargo, esta interpretación presenta un compor-tamiento anti-intuitivo. Para mostrar dicho comportamiento vamos a utilizar el mismoejemplo que Owen (1968).

Ejemplo 2.6.1 Consideramos el juego de mayoría simple (N, v) ∈ GN conN = {1, 2, 3} y

v(S) =

{1, si s ≥ 20, otro caso.


v = u{1,2} + u{1,3} + u{2,3} − 2u{1,2,3}.

Supongamos que el vector de ponderaciones es λ = (3, 1, 1). Entonces,Shw(N, v) = ( 6

20, 7

20, 7

20). Owen (1968) observó que no parece razonable interpre-

tar en este ejemplo los pesos de cada jugador como su capacidad de cooperación dadoque el valor de Shapley ponderado asigna un menor bene�cio (o indice de poder en estecaso) al jugador con mayor habilidad de negociación.

Por otro lado, si aumentamos la habilidad de regateo del jugador 1 de 3 a 4 unidades,manteniendo el resto de pesos sin variar, el valor de Shapley ponderado para esta nuevasituación es el vector Shw(N, v) = ( 8

30, 11

30, 11

30). Se observa que el poder del jugador 1

se ha visto reducido al incrementarse su peso, lo que resulta anti-intuitivo si se deseainterpretar los pesos de los jugadores como capacidades de negociación.

Como se ha dicho, Owen (1968) proporcionó otra interpretación para dichos pesos.Sugirió que podían ser vistos como coe�cientes de lentitud o parsimonia para llegar auna decisión por parte de los miembros de una coalición (véase nota 1, pag. 5).

2.6. JUEGOS COOPERATIVOS PONDERADOS


2.7. Extensiones multilineales

Owen (1972, 1982) justi�ca de la siguiente manera la introducción de las extensionesmultilineales de un juego: "Una de las principales di�cultades con el valor de Shapley esque su cálculo generalmente requiere la suma de una gran cantidad de términos. Por lotanto, incluso cuando la función característica sea fácil de de�nir, la evaluación puederequerir una gran cantidad de trabajo. Una posible opción es recurrir a la extensiónmultilineal del juego".

Owen (1972) introdujo la extensión multilineal para un juego cooperativo (N, v) ∈GN como una función de�nida en [0, 1]n y dada por

f(x1, ..., xn) =∑∅6=S⊆N

[∏i∈S

xi∏i 6∈S

(1− xi)]v(S),

para 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, ..., n. Si representamos con αS los puntos extremos del cubo(vértices),

αSi =

{1, si i ∈ S0, si i /∈ S,

es fácil ver que f(αS) = v(S), ya que

f(αS) =∑∅6=T⊆N

[∏i∈T

αSi∏i 6∈S

(1− αSi )]v(T ),

y, es evidente que∏i∈T

αSi∏i 6∈S

(1 − αSi ) = 0, excepto para T = S, que será igual a la

unidad. Así f es de hecho una extensión de v. Además es multilineal (i.e., lineal encada variable) y es la única función multilineal que coincide con v en los vértices αS.

La extensión multilineal puede ser interpretada como el valor esperado si se seleccio-na aleatoriamente una coalición asumiendo que cada jugador i ∈ N tiene probabilidadxi de unirse a la coalición.

En Owen (1972) se prueba que f admite la siguiente expresión alternativa:

f(x1, ..., xn) =∑∅6=S⊆N

[∑T⊆S

(−1)s−tv(T )]∏j∈S

xj,

que puede ser escrito, usando los dividendos de Harsanyi como:

f(x1, ..., xn) =∑∅6=S⊆N

∆v(S)∏j∈S

xj.

Owen (1972) probó que el valor de Shapley para un juego (N, v) y un jugador i ∈ Npuede calcularse a partir de la siguiente expresión:

Shi(N, v) =

∫ 1

0

(δ

δxif)(t, ..., t)dt.

2.7. EXTENSIONES MULTILINEALES


Ejemplo 2.7.1 Sea v el juego tripersonal de mayoría en la normalización (0,1). Suextensión multilineal es

f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 − 2x1x2x3

y las derivadas parciales son:

∂

∂x1

f(x1, x2, x3) = x2 + x3 − 2x2x3

∂

∂x2

f(x1, x2, x3) = x1 + x3 − 2x1x3

∂

∂x3

f(x1, x2, x3) = x1 + x3 − 2x1x2

y∂

∂x1

f(t, t, t) = 2t− 2t2.

El valor de Shapley para el jugador 1 es

Sh1(N, v) =

∫ 1

0

(∂

∂x1

f(t, t, t))dt =

∫ 1

0

(2t− 2t2)dt =[t2 − 2

3t3]1

0=

1

3,

y similarmente Sh2(N, v) = Sh3(N, v) = 13.

2.8. Juegos y estructuras de comunicación con coaliciones

difusas

A continuación, se introducen de�niciones básicas de los juegos y estructuras decomunicación con coaliciones difusas.

Sea K un conjunto �nito. Un conjunto difuso en K, (Zadeh, 1965), es una funciónτ : K → [0, 1]. La familia de conjuntos difusos en K se denota como [0, 1]K . Cadasubconjunto Q ⊆ K está asociado al conjunto difuso eQ ∈ [0, 1]K con

eQ(i) =

{1, si i ∈ Q0, otro caso.

En particular, denotaremos e∅ = 0. Si τ ∈ [0, 1]K , el soporte de τ se de�ne comosop(τ) = {i ∈ K | τ(i) 6= 0}.

Aubin (1981) de�nió una coalición difusa como un conjunto difuso τ ∈ [0, 1]N dejugadores donde cada coordenada τ(i) es interpretada como el grado de membresía deljugador i ∈ N a la coalición y el sop(τ) es el conjunto de jugadores activos. Consi-deramos un juego nítido v (juego cooperativo clásico). Aubin propuso una forma de

2.8. JUEGOS Y ESTRUCTURAS DE COMUNICACIÓN CON COALICIONES DIFUSAS


valorar una coalición difusa por medio de v usando la siguiente a�rmación: Los juga-dores organizan coaliciones nítidas donde todos los jugadores trabajan al mismo nivel.Entonces, para cada coalición difusa, introdujo la idea de una familia equilibrada queentendemos como una división por niveles. Si τ ∈ [0, 1]N entonces una partición porniveles de τ es un conjunto �nito de coaliciones nítidas y niveles (Sk, sk)

k=mk=1 tal que

sk ∈ [0, 1] y τ =m∑k=1

skeSk . Podemos ver que una partición habitual de una coalición

nítida S es una partición por niveles de una coalición difusa eS. Sea f una particiónpor niveles f(τ) = (Sk, sk)

k=mk=1 para cada τ ∈ [0, 1]N y satisfaciendo f(eS) = (S, 1) para

todo S ⊆ N . La extensión de v por f es una nueva función característica f(v) sobre lascoaliciones difusas de�nida como

f(v)(τ) =m∑k=1

skv(Sk).

Un caso particular de la extensión de un juego nítido es la extensión de Cho-quet de�nida por Tsurumi et al. (2001). Sea τ ∈ [0, 1]N una coalición difusa.Para los diferentes niveles (no nulos) en τ , h1 < ... < hm, tomamos los conjuntosS[k] = {i ∈ N | τ(i) = hk} y Sk = {i ∈ N | τ(i) ≥ hk} para todo k = 1, ...,m.

Tsurumi et al. (2001) consideraron la partición por niveles Ch(τ) = (Sk, hk−hk−1)k=mk=1

con h0 = 0 y entonces la extensión de Choquet de v está de�nida por

Ch(v)(τ) =m∑k=1

[hk − hk−1]v(Sk).

Tsurumi et al. (2001) también introdujeron una extensión del valor de Shapley, elvalor Choquet-Shapley de un juego v para la coalición τ ∈ [0, 1]N es

Shch(v)(τ) =m∑k=1

[hk − hk−1]Sh(vSk).

Sea γ el conjunto de comunicaciones bilaterales entre los jugadores en N . Jiménezet al., de�nieron una estructura de comunicación difusa para el juego v en un grafo nodirigido difuso sobre N , como una dupla (τ, ρ) con τ ∈ [0, 1]N el conjunto difuso devértices y ρ ∈ [0, 1]γ el conjunto de aristas que satisface ρ(i, j) ≤ mın{τ(i), τ(j)} paratodo {i, j} ∈ γ. Notaron FCSN al conjunto de estructuras de comunicación difusas conconjunto de jugadores N . Sea (τ, ρ) ∈ FCSN una estructura de comunicación difusa.El número τ(i) es interpretado como el nivel real de membresía de i ∈ N en el juego v.El número ρ(i, j) representa el nivel máximo con el que la arista {i, j} puede ser usado.

2.8. JUEGOS Y ESTRUCTURAS DE COMUNICACIÓN CON COALICIONES DIFUSAS

Capítulo 3

Un valor σ para juegos cooperativoscon jugadores que tienen diferenteshabilidades cooperativas (ohabilidades de negociación)

Lo que sabemos es una gota de agua; Lo que

ignoramos es el océano.

Isaac Newton

En este capítulo se desarrollan las dos primeras aportaciones que se han llevado acabo en la presente memoria. En primer lugar, de�nimos de manera formal los juegosde cooperación imperfecta. Y, en segundo lugar, de�nimos el valor propuesto para darsolución a dichos juegos.

3.1. Juegos cooperativos con jugadores que tienen diferen-

tes habilidades cooperativas

En esta sección extendemos la clásica de�nición de juego cooperativo para admitirla posibilidad de que los jugadores puedan tener diferentes habilidades de negociacióno diferentes niveles de cooperación como en Shapley (1953a). Estas habilidadesde negociación se introducen por medio de un vector λ = (λ1, ..., λn) ∈ [0, 1]n. λirepresenta la capacidad de negociación 5 del jugador i ∈ N . Cuanto mayor es λi,mayor es el nivel de cooperación del jugador i. El caso λi = 1 corresponde a la plenacooperación (jugador típico en un juego cooperativo clásico) mientras que λi = 0 indicaun comportamiento absolutamente no cooperativo. Cada vector de habilidades decooperación λ ∈ [0, 1]n también puede ser visto como una coalición difusa (Aubin, 1981).

5Shapley (1953a) supuso que las habilidades de negociación son valores en R+.

CAPÍTULO 3. UN VALOR σ PARA JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUE TIENENDIFERENTES HABILIDADES COOPERATIVAS (O HABILIDADES DE NEGOCIACIÓN) 35

Como consecuencia, asumiremos que en estas situaciones, el valor de las diferentescoaliciones se modi�ca debido a la cooperación imperfecta. Nuestra propuesta es queel juego inicial se trasforma en un nuevo juego cooperativo en el que los dividendosiniciales son modi�cados a través de un factor de descuento que mide la proporcióndel dividendo que los jugadores en la coalición pueden retener como consecuenciade la falta de habilidad en la cooperación o de su falta de interés en ella. Así,proponemos que el factor de descuento se corresponda con la mínima habilidadde negociación de los jugadores involucrados en cada dividendo (bajo el supuestode que no se puede tener un mayor nivel de cooperación que el correspondienteal jugador con el menor deseo de cooperar). Los dividendos de las coaliciones indi-viduales no se descontarán ya que cada jugador siempre está de acuerdo consigo mismo.

Para un juego en el que los jugadores tienen diferentes habilidades cooperativasnuestra propuesta de solución puntual es el valor de Shapley del juego modi�cado. Debedestacarse que (en el espíritu de los valores ponderados de Shapley) se puede obtenerla misma solución sin modi�car el juego original, pero distribuyendo equitativamenteentre los jugadores no nulos del juego de unanimidad (N, uS), ∅ 6= S ⊆ N, s ≥ 2 elmínimo (1, si S es una coalición individual) de sus habilidades de negociación y 0 paralos jugadores nulos, extendiendo después por linealidad. Antes de formalizar estasideas y para tratar de aclararlas, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.1.1 En un parlamento la distribución de los escaños es 16 % para el par-tido anti-austeridad, 35 % para el partido de izquierdas, 9 % para el partido de centro y40 % para el partido de la derecha. Se requiere más del 50 % de los votos a favor paraformar gobierno. Como consecuencia, se necesita el acuerdo de al menos dos partidospara obtener la mayoría. Esta situación se puede modelar mediante el juego de mayoríasimple, (N, v), con N = {1, 2, 3, 4}, y

v(S) =

{1, si S={1,2}, S={1,4}, S={2,4} o s ≥ 30, en otro caso.

Supongamos que los deseos de cooperación de los diferentes partidos vienen dados porλ = (0.2, 1, 0.8, 0.1) 6. Esto puede ocurrir si, por ejemplo, el partido de anti-austeridadpre�ere nuevas elecciones (estima un mayor número de escaños en ellas) y tambiénsi el partido de la derecha no quiere participar en un gobierno de coalición. Comoejemplo, en España, después de las elecciones del 20 de diciembre de 2015, la faltade capacidad de cooperación de los partidos involucrados (entre otras causas) motivónuevas elecciones el 26 de Junio de 2016. Esta falta de capacidad de negociacióncontinuó y, después de las elecciones del 28 de abril de 2019, la falta de acuerdos paraformar una mayoría llevó a una nueva convocatoria de elecciones el 10 de noviembre

6Admitimos como una debilidad de nuestra propuesta la di�cultad inherente para medir y veri�carlas habilidades de los jugadores. Esta crítica, por supuesto, puede extenderse a modelos relacionadosen la literatura.

3.1. JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTES HABILIDADESCOOPERATIVAS


de 2019.

En este caso, en términos de la base de unanimidad, v puede ser escrito como:

v = u{1,2} + u{1,4} + u{2,4} − 2u{1,2,4}

y el juego modi�cado es

vλ = mın{λ1, λ2}u{1,2}+ mın{λ1, λ4}u{1,4}+ mın{λ2, λ4}u{2,4}−2 mın{λ1, λ2, λ4}u{1,2,4}

= mın{0.2, 1}u{1,2} + mın{0.2, 0.1}u{1,4} + mın{1, 0.1}u{2,4} − 2 mın{0.2, 1, 0.1}u{1,2,4}= 0.2u{1,2} + 0.1u{1,4} + 0.1u{2,4} − 0.2u{1,2,4}.

La solución propuesta es el valor Shapley de este último juego y, entonces,

Sh(N, vλ) = (0.2

2+

0.1

2− 0.2

3,0.2

2+

0.1

2− 0.2

3, 0,

0.1

2+

0.1

2− 0.2

3)

= (0.0833, 0.0833, 0, 0.0333).

El valor de Shapley del juego original v (en el que las habilidades de negociación sonignoradas o equivalentemente todas ellas valen 1) es

(0.3333, 0.3333, 0, 0.3333)

y el valor de Shapley ponderado (Shapley, 1953a) para los pesos dados por λ es

(0.5256, 0.2040, 0, 0.2704).

El valor propuesto es claramente ine�ciente (uno de nuestros supuestos es que lacooperación imperfecta conduce a la ine�ciencia). Pero podemos comparar el poder re-lativo de los partidos. El partido de centro siempre es un jugador nulo. El valor deShapley es igual para los otros tres partidos. Según nuestra propuesta, con las habilida-des consideradas, los partidos 1 y 2 tienen el mismo poder, que es 2.5 veces el poderdel cuarto partido. Bajo el valor de Shapley ponderado, el primero es el más poderoso,seguido del cuarto y éste, a su vez, del segundo.

De�nición 3.1.1 Un juego cooperativo con jugadores que tienen diferentes habilida-des de negociación (o de cooperación) es una terna (N, v,λ) en la cual (N, v) es unjuego cooperativo y λ = (λi)i∈N es un vector, con λi ∈ [0, 1], para todo i ∈ N . λi re-presenta la habilidad de negociación del jugador i. GN

Λ denota al conjunto de todos losjuegos cooperativos, con conjunto de jugadores N = {1, 2, ..., n} y que tienen diferenteshabilidades de cooperación.

Observación 3.1.1 Identi�caremos GN con el subconjunto de los (N, v,λ) ∈ GNΛ en

los que λ = 1, siendo 1 el vector con todas sus componentes iguales 1.

Observación 3.1.2 (N, v,λ) ∈ GNΛ con (N, v) un juego cero-normalizado puede ser

descrito como una estructura de comunicación difusa (Jiménez-Losada et al. 2010,2013) con todas las aristas.

3.1. JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTES HABILIDADESCOOPERATIVAS


3.2. El juego modi�cado

En la siguiente de�nición modi�camos la función característica de un juego coope-rativo para tener en cuenta que los jugadores pueden tener diferentes habilidades deregateo. Nuestra propuesta asume que los jugadores en un juego de unanimidad (de unacoalición no individual) solo pueden retener una fracción de su dividendo que coincidecon el mínimo de sus habilidades. Como se mencionó, es razonable suponer que cadajugador es totalmente cooperativo consigo mismo y, por lo tanto, en la siguiente de�ni-ción, los dividendos de las coaliciones individuales no se descuentan. Se dice que dos noriñen si uno no quiere y, de manera similar, asumiremos que dos (o más) no cooperansi uno (o algunos) no quieren. Esta es la idea que subyace en nuestra suposición.

De�nición 3.2.1 A cada (N, v,λ) ∈ GNΛ le asociamos un nuevo juego cooperativo,

(N, vλ) ∈ GN , con función característica dada por:

vλ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆v(T ) mıni∈T{λi}+

∑i∈S

∆v({i}), para todo S ⊆ N,S 6= ∅,

y vλ(∅) = 0.

Observación 3.2.1 En la de�nición anterior es fácil ver que vλ ≡ v siempre queλ = 1. Por otro lado, si λ = 0 (el vector nulo), entonces,

vλ(S) =∑i∈S

∆v({i}) =∑i∈S

v({i}) =∑i∈S

vλ({i}),

para todo ∅ 6= S ⊆ N , y por tanto, vλ es un juego inesencial, lo que es consistente conla absoluta falta de interés en la cooperación de todos los jugadores pertenecientes a N .Ademas si λi = λ ∈ [0, 1] para todo i ∈ N , se tiene que para S ⊆ N , S 6= ∅,

vλ(S) = λ∑

T⊆S,t≥2

∆v(T ) + λ∑i∈S

∆v({i}) + (1− λ)∑i∈S

∆v({i})

= λv(S) + (1− λ)∑i∈S

v({i}),

y por tanto vλ es estratégicamente equivalente a v.

Observación 3.2.2 Cabe señalar que la de�nición anterior no garantiza que para(N, v,λ) ∈ GN

Λ , vλ(S) coincida con

vλ∗ (S) =

mıni∈S{λi}v(S), si s ≥ 2

v(S), si s = 10, en otro caso.

Esta hubiera sido una posible de�nición alternativa (también coherente con la idea demínima capacidad cooperativa). Sin embargo, esta de�nición tiene serias desventajas.

3.2. EL JUEGO MODIFICADO


Superadititividad, convexidad y casi-positividad del juego (N, v) no son heredadas porel juego (N, vλ∗ ). Como ejemplo, consideremos N = {1, 2, 3},

v(S) =

{1, si s ≥ 20, en otro caso,

(convexo y superaditvo) y λ = (0.1, 0.2, 0.3). Entonces,

vλ∗ (S) =

{mıni∈S{λi}, si s ≥ 2

0, en otro caso.

Por lo tantovλ∗ (N) = 0.1 ≤ vλ∗ ({2, 3}) + vλ∗ ({1}) = 0.2,

es decir, (N, vλ∗ ) no es convexo ni superaditivo. Similarmente para N = {1, 2, 3},

v(S) =

{ (s2

), si s ≥ 2

0, en otro caso,

(juego casi-positivo), y λ = (0.1, 0.2, 0.3), vλ∗ no es casi-positivo, ya que

vλ∗ = 0.1u{1,2} + 0.1u{1,3} + 0.2u{2,3} − 0.1u{1,2,3}.

Observación 3.2.3 Para (N, v,λ) ∈ GNΛ con (N, v) un juego cero-normalizado,

(N, vλ) ∈ GN coincide con el juego de�nido en (6) de Jiménez-Losada et al. (2013)cuando la medida del bene�cio es la de Choquet en grafos. Si el juego no es cero-normalizado, las coaliciones individuales reciben un tratamiento diferente a nuestro en-foque. La idea de mantener los dividendos de las coaliciones individuales puede encon-trarse también en Fernández, Gallego, Jiménez-Losada y Ordóñez (2018) (en particularen la de�nición del cg-position value, De�nición 6, en dicho artículo).

3.3. Un valor σ para juegos cooperativos con jugadores

que tienen diferentes habilidades cooperativas

A continuación se de�ne una solución puntual para los juegos con jugadores quetienen diferentes habilidades de negociación.

De�nición 3.3.1 Una regla de reparto (o asignación) ψ en GNΛ es una función ψ :

GNΛ → Rn que satisface ψ(N, v,0) =

[v({1}), ..., v({n})

]. Para cada i ∈ N , ψi(N, v,λ)

representa el pago para el jugador i en (N, v,λ).

En la de�nición anterior se exige que la solución para los juegos donde todos losjugadores tienen capacidad nula de negociación, coincida con el bene�cio que cada unopuede obtener por sí mismo sin participar en ninguna coalición, es decir, sin cooperar.

3.3. UN VALOR σ PARA JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTESHABILIDADES COOPERATIVAS


De�nición 3.3.2 La regla de reparto σ en GNΛ se de�ne como

σ(N, v,λ) = Sh(N, vλ),

para todo (N, v,λ) ∈ GNΛ .

Observación 3.3.1 La restricción de σ a la familia {(N, v,1)}(N,v)∈GN ⊂ GNΛ coin-

cide con el valor de Shapley en GN . Además, para todo (N, v,λ) con λi = λ para todoi ∈ N ,

σi(N, v,λ) = λShi(N, v) + (1− λ)v({i}),para todo i ∈ N . En particular, si (N, v) es un juego cero-normalizado y λ = λ.1,σ(N, v,λ) = λ.Sh(N, v).

Entonces, en juegos donde todos los jugadores tienen capacidad máxima de negocia-ción la regla σ reparte igual que el valor de Shapley del juego clásico. Por otro lado,cuando todos los jugadores tengan la misma capacidad constante de negociación y eljuego sea cero-normalizado, el pago propuesto por σ es proporcional al valor de Shapley.Ello es consistente con el hecho de que en tal situación el juego modi�cado y el originalson proporcionales.

Observación 3.3.2 El valor de Shapley de (N, vλ∗ ) (véase Observación 3.2.2) tieneun comportamiento anti-intuitivo. Consideramos el juego (N, v) con N = {1, 2} y para∅ 6= S ⊆ N ,

v(S) =

{1, si s = 13, si s = 2.

Entones, cada jugador puede obtener 1 unidad por sí mismo, y juntos pueden obtener3 unidades. Supongamos que la disposición a cooperar de uno de ellos (o de ambos) esnula. En tal caso,

vλ∗ (S) =

{1, si s = 10, en otro caso,

y por tanto, Sh1(N, vλ∗ ) = Sh2(N, vλ∗ ) = 0. No parece muy intuitivo que cada jugadorpierda lo que puede obtener de manera unilateral, precisamente cuando no quierecooperar.

Sin embargo, es fácil ver que el valor Shapley de (N, vλ∗ ) es también monótono en lospesos.

Observación 3.3.3 Los lectores críticos con la de�nición anterior de σ (quizá con eluso del juego modi�cado para calcular la solución, en vez de utilizar el juego original)pueden adoptar otro punto de vista, paralelo al considerado en (Shapley, 1953a) paralos valores de Shapley ponderados, de�niendo σ para los juegos de unanimidad (conjugadores que pueden tener diferentes habilidades de negociación) como:

σi(N, uT ,λ) =

mınj∈T {λj}

t, si i ∈ T, t ≥ 2

1, si T = {i}0, en otro caso,



para i = 1, 2, ..., n, y extendiendo por linealidad a GNΛ

7.

Observación 3.3.4 Para (N, v,λ) ∈ GNΛ con (N, v) un juego cero-normalizado, σ

coincide con el valor cg-Myerson para (N, v) y una estructura de comunicación difusacompletada en aristas. En el Teorema 8 de Jiménez-Losada et al. (2010) y en el Teorema7 de Jiménez-Losada et al. (2013) se demuestra que dicho valor coincide con el valorChoquet-Shapley de la extensión de (N, v) introducida por Tsurumi et al. (2001).

7Para (N, v,λ) ∈ GNΛ e i = 1, 2, ..., n,

σi(N, v,λ) = Shi(N, vλ) = Shi[N, (

∑∅6=T⊆N

∆v(T )uT )λ]

= Shi[N,∑

T⊆N,t≥2

∆v(T ) mınj∈T{λj}uT +

∑j∈N

∆v({j})u{j}]

=∑

T⊆N,i∈T,t≥2

∆v(T )

mınj∈T{λj}

t+ ∆v({i}) =

∑∅6=T⊆N

∆v(T )σi(N, uT ,λ).


Capítulo 4

Monotonía de σ en las habilidades decooperación

Equipado con sus cinco sentidos, el hombre

explora el universo que lo rodea y a sus

aventuras las llama Ciencia.

Edwin Powel Hubble

En esta sección, abordaremos el problema de determinar en qué medida la reglade asignación de�nida, σ, satisface monotonía en los pesos, en el sentido de que si eljuego subyacente es superaditivo, entonces, si se incrementa el nivel de cooperación deljugador i, manteniéndose �jo todo lo demás, el pago de tal jugador no debe disminuir.

El análisis de hasta qué punto se veri�ca esta propiedad es una de las principalesmotivaciones para el desarrollo de la presente memoria, dado que es el incumplimientode ella por parte de los valores de Shapley ponderados (Shapley, 1953a) lo que nos hainducido al estudio de estos juegos desde un punto de vista diferente al que Shapleydesarrollo en su trabajo original.

4.1. Descomposición lineal de juegos cooperativos con ju-

gadores que tienen diferentes habilidades cooperati-

vas

A continuación probamos que el juego modi�cado puede ser escrito como unacombinación lineal positiva de juegos en GN . En particular, el siguiente lema muestraque para (N, v,λ) ∈ GN

Λ con (N, v) un juego cero-normalizado, la función característicavλ es la extensión de Choquet de v (Choquet, 1953; Sugeno y Murofushi, 1987;Grabisch, Murofushi y Sugeno 1992; Tsurumi et al. 2001).

CAPÍTULO 4. MONOTONÍA DE σ EN LAS HABILIDADES DE COOPERACIÓN 42

Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ asociaremos al juego modi�cado (N, vλ) un conjunto de números

reales yh, h = 0, 1, ..., r, donde r ≤ n es el número de diferentes valores entre lospesos de los jugadores en (N, v,λ). Entonces, de�nimos y0 = 0, y para h = 1, 2, ..., r,yh = mın

i∈N{λi | λi > yh−1}.

Lema 4.1.1 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ , siendo (N, v) un juego cero-normalizado, se tiene

que

vλ =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1

con Nh+1 = {i ∈ N | λi ≥ yh+1}, para h = 0, ..., r − 1.

Demostración: Consideremos S ⊆ N . Entonces,

vλ(S) =∑T⊆S

∆v(T ) mıni∈T{λi}.

Supongamos T ⊆ N tal que T ⊆ S. Para determinar el coe�ciente que multiplica aldividendo ∆v(T ) en

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S) =

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v(S ∩Nh+1),

de�nimos k = maxh

{h | T ⊆ Nh+1

}.

Como ∆v(T ) es uno de los sumandos en

v(S ∩Nh+1) =∑

∅6=R⊆S∩Nh+1

∆v(R)

solo si T ⊆ S ∩ Nh+1, se tiene que el factor que multiplica ∆v(T ) es nulo para h > k.Entonces,

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S) = ∆v(T )

k∑h=0

(yh+1 − yh) +k∑

h=0

(yh+1 − yh)[v|Nh+1

(S)−∆v(T )]

+r−1∑

h=k+1

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S).

∆v(T ) no aparece ni en la segunda ni en la tercera suma, y por lo tanto el coe�ciente

resultante es igual ak∑

h=0

(yh+1 − yh) = yk+1. En consecuencia, solo se necesita probar

que mıni∈T{λi} = yk+1.

4.1. DESCOMPOSICIÓN LINEAL DE JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUE TIENENDIFERENTES HABILIDADES COOPERATIVAS


Dado que para todo i ∈ T , λi ≥ yk+1, se tiene que mıni∈T{λi} ≥ yk+1. Por reducción al

absurdo, supongamos que yk+1 < mıni∈T{λi}. Entonces, para todo i ∈ T , λi > yk+1, lo

cual implica que para i ∈ T, λi ≥ yk+2. Ello contradice la de�nición de k, quedandoentonces el resultado probado. �

Como consecuencia directa del lema anterior, se obtienen los siguientes resultados.

Corolario 4.1.1 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ , supongamos que (N, vo) es la cero-

normalización de (N, v). Entonces

vλ =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)vo|Nh+1+∑i∈N

v|{i} ,


Demostración: Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ , la función característica v puede ser escrita

como v = vo +∑i∈N

v|{i} , siendo vo la cero-normalización de v. Entonces,

vλ = vλo +∑i∈N

vλ|{i} = vλo +∑i∈N

v|{i} ,

y por tanto, utilizando el lema previo, el resultado queda probado. �

Corolario 4.1.2 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ , se tiene que

vλ =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1+∑i∈N

(1− λi)v|{i} ,


Demostración: Es claro que, dado λ = {λi}i∈N , la transformación que asignaa cada (N, v) ∈ GN , (N, vλ) ∈ GN es lineal en λ, es decir, para λ = λ′ + λ′′, con

λ,λ′,λ′′ ∈ [0, 1]n, vλ = vλ′+ vλ

′′. Dado (N, v,λ) ∈ GN

Λ , v = vo +n∑i=1

v|{i} con (N, vo),

la cero-normalización de (N, v). Y, por tanto, usando la linealidad,

vλ = vλo +n∑i=1

(v|{i})λ =

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)vo|Nh+1+

n∑i=1

v|{i} ,

donde la última igualdad se obtiene a partir el lema anterior y como consecuencia deque (v|{i})

λ = v|{i} para todo λ.



Entonces, tenemos que

vλ =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)vo|Nh+1+

n∑i=1

v|{i} =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)[v|Nh+1

−∑

i∈Nh+1

v|{i}]+

+n∑i=1

v|{i} =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1−

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)∑

i∈Nh+1

v|{i} +∑i∈N

v|{i} , donde la

segunda igualdad se obtiene porque, para (N, v) y su cero-normalización (N, vo),tenemos que v = vo +

∑i∈N v|{i} .

Para io ∈ N , sea t ∈ {1, ..., r} tal que λio = yt (naturalmente, t depende de io). Ento-

nes, io ∈⋂th=1Nh. Como consecuencia, en la expresión

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)∑

i∈Nh+1

v|{i} , v|{i0}

está multiplicado por

yt − yt−1 + yt−1 − yt−2 + ...+ y1 − yo = yt = λio

lo que completa la demostración. �

Proposición 4.1.1 Dado (N, v, λ) ∈ GNΛ , si (N, v) es un juego superaditivo, enton-

ces, vλ(N) ≤ v(N).

Demostración: Vamos a suponer primero que (N, v) es un juego cero-normalizado.Como se sabe, si un juego cooperativo es cero-normalizado y superaditivo, también esmonótono. Entonces, usando la expresión de Choquet

vλ(N) =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1=

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v(N ∩Nh+1).

Como por la monotonía, v(N ∩Nh+1) ≤ v(N), para todo h = 0, ..., r − 1

vλ(N) ≤ v(N)r−1∑h=0

(yh+1 − yh) = v(N) · yr ≤ v(N).

Si (N, v) no es cero-normalizado, entonces

v = v0 +n∑i=1

v|{i}

Y por tanto,

vλ = vλ0 +n∑i=1

vλ|{i}.



Entonces

vλ(N) = vλ0 (N) +n∑i=1

vλ|{i}(N) = vλ0 (N) +∑i∈N

v({i}).

Como (N, v) es superaditivo, se tiene que (N, v0) también lo es, y haciendo uso de quevλ0 (N) ≤ v0(N) tenemos,

vλ(N) = vλ0 (N) +∑i∈N

v({i}) ≤ v0(N) +∑i∈N

v({i}) = v(N),


A continuación, se particularizan los resultados anteriores en un ejemplo concreto. Semuestra que dada una coalición S cualquiera podemos calcular el valor de esta coaliciónen el juego vλ(S) mediante la de�nición de vλ en términos de los dividendos o mediantela descomposición en suma de juegos cooperativos clásicos.

Ejemplo 4.1.1 Sea (N, v,λ) ∈ GNΛ con N = {1, 2, 3, 4}, λ = (0.2, 0.5, 0.5, 0.7) y

v(S) =

{s− 1, si s ≥ 2

0, en otro caso.

En términos de la base de la unanimidad, v puede ser escrito como:

v = u{1,2} + u{1,3} + u{1,4} + u{2,3} + u{2,4} + u{3,4} − u{1,2,3} − u{1,2,4}

−u{1,3,4} − u{2,3,4} + u{1,2,3,4},

y así, por de�nición,

vλ = 0.2u{1,2} + 0.2u{1,3} + 0.2u{1,4} + 0.5u{2,3} + 0.5u{2,4} + 0.5u{3,4}

−0.2u{1,2,3} − 0.2u{1,2,4} − 0.2u{1,3,4} − 0.5u{2,3,4} + 0.2u{1,2,3,4},

de donde,

vλ(S) =

0.2, si S={1,2} o S={1,3} o S={1,4}0.5, si S={2,3} o S={2,4} o S={3,4}0.7, si S={1,2,3} o S={1,2,4} o S={1,3,4}1, si S={2,3,4}

1.2, si S=N0, en otro caso.

Utilizando la notación del Lema 4.1.1 tenemos que r = 3, y0 = 0, y1 = 0.2, y2 =0.5 e y3 = 0.7. Entonces, (N, vλ) admite la siguiente descomposición:

vλ = 0.2v + (0.5− 0.2)v|{2,3,4} + (0.7− 0.5)v|{4} ,



o alternativamente,

vλ(S) = 0.2v(S) + 0.3v(S ∩ {2, 3, 4}) + 0.2v(S ∩ {4}), para todo S ⊆ N.

Consideremos, por ejemplo, la coalición S = {1, 3, 4}, entonces

vλ({1, 3, 4}) = 0.2v({1, 3, 4}) + 0.3v({1, 3, 4} ∩ {2, 3, 4}) + 0.2v({1, 3, 4} ∩ {4})

= 0.2v({1, 3, 4}) + 0.3v({3, 4}) + 0.2v({4}) = 0.7.

4.2. Propiedades heredadas por el juego modi�cado

En el juego del ejemplo anterior (N, v) y (N, vλ) son superaditivos y convexos. (N, v)es simétrico, pero (N, vλ), obviamente no lo es. En la siguiente proposición, que seapoya en el lema que la precede, probaremos que la superaditividad, convexidad ycasi-positividad de (N, v) son heredadas por (N, vλ), para todo λ.

Lema 4.2.1 Dado (N, v) ∈ GN y R ⊆ N , si (N, v) es convexo (superaditivo) entonces(N, v|R) es también convexo (superaditivo).

Demostración: Para probar que las restricciones conservan la convexidad, consi-deremos (N, v) convexo y S, T ⊆ N . Entonces,

v|R(S ∪ T ) + v|R(S ∩ T ) = v[R ∩ (S ∪ T )] + v(R ∩ S ∩ T ) = v[(R ∩ S) ∪ (R ∩ T )]

+v[(R ∩ S) ∩ (R ∩ T )] ≥ v(R ∩ S) + v(R ∩ T ) = v|R(S) + v|R(T ),

donde la desigualdad se tiene porque (N, v) es convexo.

Por otro lado, para probar la superaditividad de v|R dada la de v, consideramosS, T ⊆ N con S ∩ T = ∅. Entonces,

v|R(S ∪ T ) = v[R ∩ (S ∪ T )] = v[(R ∩ S) ∪ (R ∩ T )] ≥ v(R ∩ S) + v(R ∩ T )

= v|R(S) + v|R(T ),

donde la desigualdad se tiene por la superaditividad de (N, v). �

Proposición 4.2.1 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ ,

i) Si (N, v) es convexo, entonces (N, vλ) también lo es.

ii) Si (N, v) es superaditivo, entonces (N, vλ) también lo es.

iii) Si (N, v) es casi-positivo, entonces (N, vλ) también lo es.

4.2. PROPIEDADES HEREDADAS POR EL JUEGO MODIFICADO


Demostración:i) Sea (N, v,λ) ∈ GN

Λ , con (N, v) un juego convexo. Entonces para todo S, T ⊆ N ,como una consecuencia del Corolario 4.1.2,

vλ(S ∪ T ) + vλ(S ∩ T ) =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S ∪ T ) +

n∑i=1

(1− λi)v|{i}(S ∪ T )

+r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S ∩ T ) +

n∑i=1

(1− λi)v|{i}(S ∩ T ).

Utilizando la convexidad de (N, v) y por lo tanto (Lema 4.2.1) la convexidad de(N, v|Nh+1

), para h = 0, ..., r − 1, y la de (N, v|{i}) para i = 1, .., n,

vλ(S ∪ T ) + vλ(S ∩ T ) ≥r−1∑h=0

(yh+1 − yh)[v|Nh+1

(S) + v|Nh+1(T )]

+n∑i=1

(1− λi)[v|{i}(S) + v|{i}(T )

]=

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S) +

n∑1=1

(1− λi)v|{i}(S)

+r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(T ) +

n∑1=1

(1− λi)v|{i}(T ) = vλ(S) + vλ(T ),

y, por tanto, vλ hereda la convexidad de v.

ii) Sea (N, v,λ) ∈ GNΛ , con (N, v) un juego superaditivo. Entonces, para todo

S, T ⊆ N , con S ∩ T = ∅, como consecuencia del Corolario 4.1.2,

vλ(S ∪ T ) =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S ∪ T ) +

n∑i=1

(1− λi)v|{i}(S ∪ T ).

Utilizando la suparaditividad de (N, v) y por lo tanto (Lema 4.2.1) la superaditividadde (N, v|Nh+1

), para h = 0, ..., r − 1, y la de (N, v|{i}) para i = 1, .., n,

vλ(S ∪ T ) ≥r−1∑h=0

(yh+1 − yh)[v|Nh+1

(S) + v|Nh+1(T )]

+n∑i=1

(1− λi)[v|{i}(S) + v|{i}(T )

]=

r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(S) +

n∑1=1

(1− λi)v|{i}(S)

+r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|Nh+1(T ) +

n∑1=1

(1− λi)v|{i}(T ) = vλ(S) + vλ(T ),

y entonces vλ hereda la superaditividad de v.

iii) Como ∆vλ(S) = ∆v(S) mıni∈S{λi} para s ≥ 2 and ∆vλ(S) = ∆v(S) para s = 1, si

∆v(S) ≥ 0 para todo S ⊆ N , también ∆vλ(S) ≥ 0. �

4.2. PROPIEDADES HEREDADAS POR EL JUEGO MODIFICADO


4.3. Monotonía en las habilidades de cooperación

En la siguiente proposición probamos que el valor de�nido, σ, satisface monotonía enlas habilidades de cooperación. Esta propiedad establece que, para un juego superadi-tivo, si el peso de un jugador aumenta, manteniéndose igual todo lo demás, entonces elpago a ese jugador no puede disminuir.

Proposición 4.3.1 Dado (N, v,λ), (N, v,λ′) ∈ GNΛ , con (N, v) un juego superaditivo

y tal que existe k ∈ N con λ′k > λk y λ′j = λj para todo j 6= k, j ∈ N , se tiene que

σk(N, v,λ′) ≥ σk(N, v,λ).

Demostración: Si λk se transforma en λ′k > λk algunos de los pares (yh+1, v|Nh+1),

para h = 0, 1, ..., r− 1, son modi�cados. Supongamos que λk = yt con t < r (el caso enel que el máximo peso, yr, se incrementa, es trivial) y consideremos seis posibilidadesdiferentes:

i) Algunos jugadores tienen peso igual a λk pero λ′k < yt+1. Entonces, si (N, vo) es lacero-normalización de (N, v), haciendo uso del Corolario 4.1.1,

σk(N, v,λ′)− σk(N, v,λ) =

= (λ′k − yt)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k}) ≥ 0,

donde la desigualdad se tiene porque λ′k−yt ≥ 0, y el valor de Shapley de un jugadoren un juego superaditivo y cero-normalizado8 es no negativo9.

ii) Algunos jugadores tienen peso igual a λk, pero λ′k = yt+1. Entonces,


= (yt+1 − yt)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k}) ≥ 0.

iii) Algunos jugadores tienen peso igual a λk, pero yt+1 < λ′k < yt+2. En consecuencia,


8Como se ha probado, la restricción de un juego superaditivo a cualquier subconjunto de jugadoreses también superaditivo. Es sencillo probar que la cero-normalización de un juego superaditivo estambién superaditiva.

9Vamos a probar que el valor de Shapley para un juego superaditivo y cero-normalizado es nonegativo. Para ello consideremos (N, v) ∈ GN con v un juego superadtivo y cero-normalizado. Comosabemos, el valor de Shapley para un jugador i ∈ N se calcula como una media ponderada de sus

contribuciones marginales, mediante la expresión Shi(N, v) =∑

S⊆N\{i}

(n− s− 1)!s!

n!

[v(S∪{i})−v(S)

].

Por otro lado, dado que v es un juego superaditivo, tenemos que v(S∪{i}) ≥ v(S)+v({i}), si y solo si,v(S∪{i})−v(S) ≥ v({i}) y, dado que v es un juego cero-normalizado, tenemos que v(S∪{i})−v(S) ≥ 0.Entonces, bajo superaditividad y cero normalización el valor de Shapley es una media ponderada decontribuciones marginales, todas ellas no negativas, y será no negativo

4.3. MONOTONÍA EN LAS HABILIDADES DE COOPERACIÓN


= (yt+1 − yt)Shk(N, vo|{j | λ′j≥yt}

) + (λ′k − yt+1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k}) ≥ 0.

iv) Solo un jugador tiene peso igual a λk, pero λ′k < yt+1. Entonces,


= (λ′k − yt−1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k})− (λk − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) =

= (λ′k − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk})− (λk − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk})

= (λ′k − λk)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) ≥ 0.

v) Solo un jugador tiene peso igual a λk, pero λ′k = yt+1. En consecuencia,


= (yt+1 − yt−1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k})− (yt − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) =

= (yt+1 − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk})− (yt − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk})

= (yt+1 − yt)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) ≥ 0.

vi) Solo un jugador tiene peso igual a λk, pero λ′k > yt+1. Entonces,


(yt+1 − yt−1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λk}

) + (λ′k − yt+1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k})−

−(λk − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) =

= (yt+1 − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) + (λ′k − yt+1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k})−

−(λk − yt−1)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) =

= (yt+1 − λk)Shk(N, vo|{j | λj≥λk}) + (λ′k − yt+1)Shk(N, vo|{j | λ′j≥λ′

k}) ≥ 0,

quedando así probado el resultado . �

A continuación retomamos el Ejemplo 2.6.1 para mostrar que nuestro valor de�nidoσ no presenta los comportamientos anti-intuitivos que observó Owen (1968) para elvalor de Shapley ponderado.

Ejemplo 4.3.1 Consideramos el juego de mayoría simple (N, v) ∈ GN conN = {1, 2, 3} y

v(S) =

{1, si s ≥ 20, otro caso.


v = u{1,2} + u{1,3} + u{2,3} − 2u{1,2,3}.



Si el vector de ponderaciones es λ = (0.3, 0.1, 0.1)10, entonces,

vλ = 0.1u{1,2} + 0.1u{1,3} + 0.1u{2,3} − 0.2u{1,2,3}.

Y por tanto,

σ(N, v,λ) = (0.1

2+

0.1

2− 0.2

3,0.1

2+

0.1

2− 0.2

3,0.1

2+

0.1

2− 0.2

3

= (1

30,

1

30,

1

30).

Observamos que la distribución del poder es igualitaria para los tres jugadores, lo quees razonable, ya que aunque el jugador 1 tiene mayor capacidad de cooperación, nopuede pertenecer a una coalición ganadora sin negociar o asociarse con alguno de losdemás jugadores.

Por otro lado, si aumentamos la capacidad de cooperación del jugador 1 de 0.3 a0.4 unidades, manteniendo el resto de pesos sin variar, el valor σ para esta nuevasituación es el vector σ(N, v,λ) = ( 1

30, 1

30, 1

30). Se observa que el poder del jugador 1 no

se ha visto reducido al ampliar su peso, lo que es completamente razonable y contrarioa lo que pasaba con el valor de Shapley ponderado.

Si se aumentamos la capacidad de cooperación del jugador 2 de 0.1 a 0.2, manteniendoel resto de pesos sin variar, su valor aumenta de 1

30a 5

60.

10Los pesos no son los utilizados por Owen (1968), ya que consideró 3, 1, 1, que no pertenecen alintervalo [0.1] como se precisa en nuestra propuesta para las habilidades de cooperación. Por ello sehan adaptado utilizando una décima parte de cada uno.


Capítulo 5

Caracterizaciones del valor σ

Si los hechos no encajan con la teoría, cambie

los hechos.

Albert Einstein

En esta sección introducimos cuatro caracterizaciones del valor de�nido, σ. Estáninspiradas en las de Shapley (1953b)11, Myerson (1980), Young (1985) y Hart y Mas-Colell (1989) para el valor de Shapley.

5.1. Propiedades del valor de�nido

En primer lugar, se de�nen las propiedades que posteriormente serán utilizadas enlas diferentes caracterizaciones.

De�nición 5.1.1 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ satisface λ-e�ciencia,

si para todo (N, v,λ) ∈ GNΛ , ∑

i∈N

ψi(N, v,λ) = vλ(N).

La λ-e�ciencia, que será crucial en las diferentes caracterizaciones, no es, obviamente,la e�ciencia en la que se reparte el valor de la coalición global v(N) entre los jugadores.Como se ha reiterado la cooperación imperfecta de los juegos cooperativos con jugadorescon diferentes habilidades cooperativas conlleva ine�ciencia.

De�nición 5.1.2 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ satisface la propiedad

del jugador nulo si, dado (N, v,λ) ∈ GNΛ e i ∈ N , tal que para todo S ⊆ N \ {i},

v(S ∪ {i})− v(S) = 0,

11Siendo rigurosos, la primera caracterización llevada a cabo para el valor de�nido va en paralelo a lacaracterización de Shubik (1962) que, como se mencionó en los preliminares, modi�có la caracterizaciónde Shapley sustituyendo el axioma del soporte por el de e�ciencia y jugador nulo. La literatura existentemezcla con frecuencia la caracterización de Shapley con la de Shubik

CAPÍTULO 5. CARACTERIZACIONES DEL VALOR σ 52

entoncesψi(N, v,λ) = 0.

De�nición 5.1.3 Dado (N, v,λ) y (N,w,λ) ∈ GNΛ , de�nimos

(N, v,λ) + (N,w,λ) = (N, v + w,λ).

De�nición 5.1.4 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ es aditiva (en el juego)

si, dados (N, v,λ), (N,w,λ) ∈ GNΛ ,

ψ[(N, v,λ) + (N,w,λ)] = ψ(N, v,λ) + ψ(N,w,λ).

De�nición 5.1.5 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ satisface la propiedad de

igual trato para jugadores necesarios si, para (N, v,λ) ∈ GNΛ e i,j jugadores necesarios

en (N, v), se tiene queψi(N, v,λ) = ψj(N, v,λ).

Bajo esta propiedad si dos jugadores son necesarios en el juego (el valor de las coali-ciones que no los contienen es nulo), ambos deberán recibir el mismo pago.

De�nición 5.1.6 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ satisface la propiedad de

las contribuciones equilibradas en habilidades de negociación si, para todo (N, v,λ) ∈GN

Λ y todo i, j ∈ N ,

ψi(N, v,λ)− ψi(N, v,λ−j) = ψj(N, v,λ)− ψj(N, v,λ−i),

siendo λ−k el vector {λ−kl }l∈N ∈ [0, 1]n con

λ−kl =

{λl, si l 6= k0, si l = k.

Esta propiedad a�rma que cuando un jugador i ∈ N se queda sin capacidad denegociación, otro jugador j se ve afectado de la misma manera que i se vería afectadosi es j el que no quiere negociar.

De�nición 5.1.7 Una regla de asignación ψ de�nida en GNΛ satisface la propiedad

de monotonía fuerte si, dados (N, v,λ), (N,w,λ) ∈ GNΛ e i ∈ N tal que

v(S ∪ {i})− v(S) ≥ w(S ∪ {i})− w(S)

para todo S ⊆ N \ {i}, entonces,

ψi(N, v,λ) ≥ ψi(N,w,λ).

Monotonía fuerte implica marginalismo, propiedad obtenida cuando en la de�niciónanterior ambas desigualdades se reemplazan por igualdades.

5.1. PROPIEDADES DEL VALOR DEFINIDO


La propiedad anterior establece que si las contribuciones marginales de un jugadorcualquiera i en un juego v son siempre mayores o iguales que sus contribucionesmarginales en otro juego w, entonces el pago que recibirá este jugador i en el juegow nunca será mayor que el pago que recibirá en v, independientemente de su capa-cidad de negociación (a condición de que ésta se mantenga invariante en ambos juegos).

A continuación se prueba que la regla de reparto de�nida, σ, satisface las propiedadesenunciadas anteriormene.

Proposición 5.1.1 La regla de asignación σ : GNΛ → Rn satisface las propiedades de

λ-e�ciencia, aditividad, jugador nulo, jugadores necesarios, contribuciones equilibradasen habilidades de negociación, monotonía fuerte y marginalismo.

Demostración: i) σ satisface λ-e�ciencia dado que para todo (N, v,λ) ∈ GNΛ ,∑

i∈N

σi(N, v,λ) =∑i∈N

Shi(N, vλ) = vλ(N),

donde la última igualdad se tiene por la e�ciencia del valor de Shapley.

ii) Dado (N, v,λ), (N,w,λ) ∈ GNΛ ,

σ[(N, v,λ) + (N,w,λ)] = σ(N, v + w,λ) = Sh(N, (v + w)λ)

= Sh(N, vλ + wλ) = Sh(N, vλ) + Sh(N,wλ) = σ(N, v,λ) + σ(N,w,λ).

La primera igualdad se tiene por la de�nición de aditividad en GNΛ ; la segunda,

a partir de la de�nición de σ; la tercera, debido a la de�nición del juego modi�ca-do y la última por la aditividad del valor de Shapley. Por lo tanto, σ satisface aditividad.

iii) Si i ∈ N es un jugador nulo en (N, v), entonces para todo λ = {λi}i∈N , i es unjugador nulo en (N, vλ) y por lo tanto,

σi(N, v,λ) = Shi(N, vλ) = 0,

dado que el valor de Shapley satisface la propiedad de jugador nulo. Entonces, σtambién satisface dicha propiedad.

iv) Si i ∈ N es un jugador necesario en (N, v) e i 6∈ S ⊆ N entonces,

∆v(S) =∑T⊆S

(−1)s−tv(T ) = 0.

Como consecuencia, si i, j ∈ N son jugadores necesarios en (N, v), entonces, i, j ∈ Spara todo S tal que ∆v(S) 6= 0 y así, para todo λ ∈ [0, 1]n,

σi(N, v,λ) = Shi(N, vλ) = Shj(N, v

λ) = σj(N, v,λ).



La segunda igualdad se debe a que, como sabemos, el valor de Shapley reparteequitativamente el dividendo de cada coalición entre sus miembros. Entonces, σsatisface la propiedad de igual trato de los jugadores necesarios.

v) Para probar que σ satisface contribuciones equilibradas en habilidades de nego-ciación 12, sea (N, v,λ) ∈ GN

Λ e i, j ∈ N . Entonces,

σi(N, v,λ)− σi(N, v,λ−j) = Shi(N, vλ)− Shi(N, vλ

−j) = Shi(N, v

λ − vλ−j)

= Shi[N,∑

T⊆N,t≥2,i/∈T,j /∈T

∆v(T ) mınl∈T{λl}+

∑T⊆N,t≥2,i∈T,j /∈T

∆v(T ) mınl∈T{λl}

+∑

T⊆N,t≥2,i/∈T,j∈T


∑T⊆N,t≥2,i,j∈T


∑k∈N

∆v({k})]

−Shi[N,∑

T⊆N,t≥2,i/∈T,j /∈T

∆v(T ) mınl∈T{λ−jl }+

∑T⊆N,t≥2,i∈T,j /∈T

∆v(T ) mınl∈T{λ−jl }

+∑

T⊆N,t≥2,i/∈T,j∈T


∑T⊆N,t≥2,i,j∈T


∑k∈N

∆v({k})]

=∑

S⊆N\{i,j}

∆v(S ∪ {i, j})mın

k∈S∪{i,j}{λk}

s+ 2,

expresión que es simétrica en i y j. Por tanto,

σi(N, v,λ)− σi(N, v,λ−j) = σj(N, v,λ)− σj(N, v,λ−i).

vi) Para probar que σ satisface monotonía fuerte, supongamos que(N, v,λ), (N,w,λ) ∈ GN

Λ , i ∈ N , y que para todo S ⊆ N \ {i},

v(S ∪ {i})− v(S) ≥ w(S ∪ {i})− w(S).

Entonces,

vλ(S ∪ {i})− vλ(S) =r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|{Nh+1}(S ∪ {i})

12Cabe observar que σ satisface una versión generalizada de la propiedad de contribuciones equili-bradas en habilidades de negociación: dado (N, v,λ) ∈ GN

Λ , e i, j ∈ N

σi(N, v,λ)− σi(N, v,λ−j,c) = σj(N, v,λ)− σj(N, v,λ−i,c),

con λ−k,c = {λ−k,cl }l∈N =

{λl, si l 6= k

c < λk, si l = kk = i, j.

Entonces, σi(N, v,λ)−σi(N, v,λ−j,c) =∑

S⊆N\{i,j}

∆v(S ∪ {i, j})s+ 2

[mın

k∈S∪{i,j}{λk}−mın{mın

k∈S{λk}, c}

],

expresión que es simétrica en i, y j.



+n∑j=1

(1− λj)v|{j}v(S ∪ {i})−[ r−1∑h=0

(yh+1 − yh)v|{Nh+1}(S)

+n∑j=1

(1− λj)v|{j}v(S)]

=r−1∑h=0

(yh+1 − yh)[v|{Nh+1}

(S ∪ {i})

−v|{Nh+1}(S)]

+ (1− λi)v|{i} ,

y similarmente para wλ(S ∪ {i})− wλ(S).

Además

v|Nh+1(S ∪ {i})− v|Nh+1

(S) = v[(S ∪ {i}) ∩Nh+1

]− v(S ∩Nh+1) =

=

{v[(S ∩Nh+1) ∪ {i}]− v(S ∩Nh+1), si i ∈ Nh+1

0, otro caso,

y análogamente para w|Nh+1(S ∪ {i})− w|Nh+1

(S).

Si, por hipótesis, para todo S ⊆ N \ {i},

v(S ∪ {i})− v(S) ≥ w(S ∪ {i})− w(S),

tenemosvλ(S ∪ {i})− vλ(S) ≥ wλ(S ∪ {i})− wλ(S).

Dado que el valor de Shapley satisface monotonía fuerte, se obtiene queShi(N, v

λ) ≥ Shi(N,wλ), y por tanto, σi(N, v,λ) ≥ σi(N,w,λ). En consecuen-

cia, como la regla satisface monotonía fuerte también satisface marginalismo, dado queésta es una propiedad más débil. �

5.2. Caracterizaciones

Una vez demostrado que la regla de reparto σ de�nida satisface las propiedadesanteriores, vamos a analizar en qué medida dichas propiedades (o algún subconjuntode ellas) permiten caracterizar σ.

Proposición 5.2.1 σ es la única regla de asignación en GNΛ que satisface las propie-

dades de λ-e�ciencia, aditividad, jugador nulo y jugadores necesarios.

Demostración:Se ha probado anteriormente que σ satisface las propiedades de λ-e�ciencia, aditivi-

dad, jugador nulo y jugadores necesarios. Recíprocamente, supongamos que ψ es unaregla de asignación en GN

Λ que satisface estos cuatro axiomas. Entonces, por aditividad,

5.2. CARACTERIZACIONES


es su�ciente con probar que ψ = σ para todo (N, auS,λ) ∈ GNΛ con S ⊆ N,S 6= ∅ y

a ∈ R. Si i 6∈ S, i es un jugador nulo en (N, auS) y así

ψi(N, auS,λ) = 0 = σi(N, auS,λ).

Para todo i ∈ S, i es un jugador necesario en (N, auS) y por lo tanto

ψi(N, auS,λ) = c.

Entonces, como consecuencia de la λ-e�ciencia,∑i∈N

ψi(N, auS,λ) =∑i∈S

ψi(N, auS,λ) = cs = (auS)λ(N),

y por lo tanto c = (auS)λ(N)s

. El mismo argumento prueba que también σi(N, auS,λ) =(auS)λ(N)

spara todo i ∈ S, quedando entonces el resultado probado. �


dades de λ-e�ciencia y contribuciones equilibradas en habilidades de negociación.

Demostración: Se ha probado anteriormente que σ satisface las propiedades de λ-e�ciencia y contribuciones equilibradas en habilidades de negociación. Recíprocamente,supongamos que ψ es una regla de asignación en GN

Λ que satisface estas propiedades.Debemos probar entonces que ψ(N, v,λ) = σ(N, v,λ) para todo (N, v,λ) ∈ GN

Λ . Sehará por inducción sobre δ(λ), el cardinal de d(λ) = {λi, i ∈ N | λi > 0}.

Si δ(λ) = 0, entonces λ = 0, y por de�nición de regla de asignaciónψi(N, v,0) = v({i}) = σi(N, v,0) para todo i ∈ N .

Si δ(λ) = 1, supongamos que i ∈ N es tal que λi > 0. Entonces, como ψ satisfacecontribuciones equilibradas en habilidades de negociación, para cada j 6= i, j ∈ N ,

ψi(N, v,λ)− ψi(N, v,λ−j) = ψj(N, v,λ)− ψj(N, v,λ−i).

Dado que λ−j = λ,ψi(N, v,λ)− ψi(N, v,λ−j) = 0,

entonces,ψj(N, v,λ) = ψj(N, v,λ

−i) = ψj(N, v,0) = v({j}).

Utilizando la λ-e�ciencia,∑k∈N

ψk(N, v,λ) =∑k 6=i

v({k}) + ψi(N, v,λ) = vλ(N) =∑k∈N

v({k}),

y por lo tanto ψi(N, v,λ) = v({i}).



Teniendo en cuenta que σ también satisface la propiedad de λ-e�ciencia y con-tribuciones equilibradas en habilidades de negociación, se obtiene similarmente queσi(N, v,λ) = v({i}) para todo i ∈ N y, por tanto, ambas reglas de asignación coinciden.

Supongamos ahora por la hipótesis de inducción que ψ(N, v,λ) = σ(N, v,λ) paratodo (N, v) ∈ GN y todo λ tal que δ(λ) ≤ r−1, y consideremos (N, v,λ) con δ(λ) = r.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que λ1 > 0, λ2 > 0, ..., λr > 0, yλr+1 = λr+2 = λn = 0. Por tanto, como ψ satisface contribuciones equilibradas enhabilidades de negociación, para i ∈ {1, ..., r} y j = {r+ 1, ..., n}, y de forma similar alcaso en el que δ(λ) = 1,

0 = ψi(N, v,λ)− ψi(N, v,λ−j) = ψj(N, v,λ)− ψj(N, v,λ−i),

lo cual implica que ψj(N, v,λ) = ψj(N, v,λ−i) = σj(N, v,λ

−i), donde la última igual-dad se obtiene utilizando la hipótesis de inducción. Como σ también satisface contri-buciones equilibradas en habilidades de negociación,

0 = σi(N, v,λ)− σi(N, v,λ−j) = σj(N, v,λ)− σj(N, v,λ−i),

y �nalmente ψj(N, v,λ) = σj(N, v,λ) para todo j = {r + 1, ...., n}.

Por otro lado si i, j ∈ {1, ..., r}, por la propiedad de contribuciones equilibradas enhabilidades de negociación,

ψi(N, v,λ)− ψi(N, v,λ−j) = ψj(N, v,λ)− ψj(N, v,λ−i),

lo cual implica queψi(N, v,λ)− ψj(N, v,λ) =

ψi(N, v,λ−j)− ψj(N, v,λ−i) = σi(N, v,λ

−j)− σj(N, v,λ−i) =

σi(N, v,λ)− σj(N, v,λ),

donde la segunda igualdad se obtiene, otra vez, por la hipótesis de inducción y la última,dado que σ también satisface la propiedad de contribuciones equilibradas en habilidadesde negociación. Entonces,

ψi(N, v,λ)− σi(N, v,λ) = ψj(N, v,λ)− σj(N, v,λ),

para todo i, j ∈ {1, ..., r}. Por lo tanto

ψi(N, v,λ)− σi(N, v,λ) = c,

para todo i ∈ {1, ..., r}. Usando la λ-e�ciencia de ambas reglas de asignación,

rc =r∑i=1

[ψi(N, v,λ)− σi(N, v,λ)] =r∑i=1

ψi(N, v,λ)−r∑i=1

σi(N, v,λ) =



= vλ(N)−n∑

i=r+1

ψi(N, v,λ)− [vλ(N)−n∑

i=r+1

σi(N, v,λ)] = 0,

y por tanto c = 0, lo cual completa la demostración. �


dades de λ-e�ciencia, jugadores necesarios y marginalismo 13.

Demostración:Se ha probado anteriormente que σ satisface las propiedades de λ-e�ciencia,

jugadores necesarios y marginalismo. Recíprocamente, supongamos que ψ es una reglade asignación sobre GN

Λ que satisface estos tres axiomas. Probaremos que ψ = σpor inducción sobre δ(N, v) el cardinal de d(N, v) = {S ⊆ N | ∆v(S) 6= 0}. Siδ(N, v) = 0, entonces todo jugador en (N, v) es un jugador necesario y, por lo tanto,ψi(N, v,λ) = c para todo λ. Por la λ-e�ciencia,

∑i∈N

ψi(N, v,λ) = nc = 0, y entonces

c = 0. Similarmente σi(N, v,λ) = 0 para todo i ∈ N .

Supongamos, entonces, por hipótesis de inducción, que el resultado es cierto paratodo (N, v,λ) con δ(N, v) ≤ k− 1 y consideremos (N, v,λ) con δ(N, v) = k. Entonces,

v =k∑r=1

∆v(Sr)uSr . Si i ∈ N es tal que i 6∈k⋂r=1

Sr, entonces, considerando el juego (N, vi)

con vi =∑

Sr:i∈Sr

∆v(Sr)uSr , tenemos, para todo S ⊆ N \ {i},

vi(S ∪ {i})− vi(S) = vi(S ∪ {i}) = v(S ∪ {i})− v(S),

y, por lo tanto, ψ(N, vi,λ) = ψ(N, v,λ) ya que ψ satisface marginalismo.

Por la hipótesis de inducción ψ(N, vi,λ) = σ(N, vi,λ) ya que δ(N, vi) ≤ k − 1.Además

σi(N, v,λ) = Shi(N, vλ) = Shi(N, v

λi ) = σi(N, vi,λ),

y, por lo tanto,

ψi(N, v,λ) = ψi(N, vi,λ) = σi(N, vi,λ) = σi(N, v,λ).

Si, por otro lado, i ∈k⋂r=1

Sr entonces i es un jugador necesario en (N, v). Todos

los jugadores necesarios tienen la misma recompensa y, por lo tanto, utilizando laλ-e�ciencia, la recompensa de todos ellos está determinada de manera única. �

13Dado que la propiedad de marginalismo es una propiedad más débil que la de monotonía fuerte, ydado que σ satisface monotonía fuerte, el resultado podría enunciarse remplazando marginalismo pormonotonía fuerte.



Para caracterizar el valor de�nido en términos de funciones potenciales, introducimosprimero la de�nición de éstas para juegos cooperativos en los que los jugadores tienendiferentes habilidades cooperativas.

De�nición 5.2.1 Sea GΛ =∞⋃n=0

GNΛ . Una función

P : GΛ → R,

que satisfaceP (∅, v,λ) = 0,

y, ∑i∈N

[P (N, v,λ)− P (N \ {i}, v,λ)] = vλ(N) para todo (N, v,λ) ∈ GΛ

es llamada función potencial.

Teorema 5.2.1 Existe una única función potencial, P , en GΛ. Viene dada por 14

P (N, v,λ) =1

n[vλ(N) +

∑i∈N

P (N \ {i}, v|N\{i},λ)] (5.1)

yP (∅, v,λ) = 0. (5.2)

Además para todo (N, v,λ) ∈ GΛ y todo i ∈ N ,

σi(N, v,λ) = P (N, v,λ)− P (N \ {i}, v|N\{i},λ).

Demostración: La expresión (5.1) y la condición (5.2) determinan P (N, v,λ) paratodo (N, v,λ) ∈ GΛ. Entonces P existe y es única.Además

Q(N, v,λ) =

∑

S⊆N,s≥2

∆v(S)

smıni∈S{λi}+

n∑i=1

∆v({i}), para N 6= ∅

0, para N = ∅,

satisface Q(∅, v,λ) = 0, por de�nición, y∑i∈N

[Q(N, v,λ)−Q(N \ {i}, v|N\{i},λ)] =∑i∈N

[ ∑S⊆N,s≥2,i∈S

∆v(S)

smınj∈S{λj}+ ∆v({i})

]=

=∑i∈N

σi(N, v,λ) = vλ(N)

14En puridad para juegos (N \{i}, v|N\{i}), i ∈ N , el vector de habilidades debería ser escrito λ|N\{i}y no solo λ. Nos hemos permitido el abuso para no recargar demasiado la notación.



y, por tanto, Q = P .

Finalmente para todo i ∈ N ,

P (N, v,λ)− P (N \ {i}, v|N\{i},λ) = Q(N, v,λ)−Q(N \ {i}, v|N\{i},λ)

=∑

S⊆N,s≥2,i∈S

∆v(S)

smınj∈S{λj}+ ∆v({i}) = σi(N, v,λ).

�

Ejemplo 5.2.1 Retomamos el Ejemplo 2.3.4 donde considerábamos (N, v) ∈ GN conN = {1, 2, 3} y

v(S) =

30, si S = {1}50, si S ∈ {{3}, {1, 2}}80, si S ∈ {{1, 3}, {2, 3}}100, si S = {1, 2, 3}0, en otro caso.


v = 30u{1} + 50u{3} + 20u{1,2} + 30u{2,3} − 30u{1,2,3}.

Consideremos también que la capacidad de cooperación de los jugadores viene dadapor el vector λ = (0.3, 0.5, 0.7). Entonces, por de�nición

vλ = 30u{1} + 50u{3} + 20 mın{λ1, λ2}u{1,2} + 30 mın{λ2, λ3}u{2,3}−

30 mın{λ1, λ2, λ3}u{1,2,3} = 30u{1} + 50u{3} + 6u{1,2} + 15u{2,3} − 9u{1,2,3}.

y, por tanto,

σ(N, v,λ) = (30 + 3− 3, 3 +15

2− 3, 50 +

15

2− 3) = (30,

15

2,109

2).

Expresando vλ en su forma coalicional,

vλ(S) =

30, si S = {1}50, si S = {3}36, si S = {1, 2}80, si S = {1, 3}65, si S = {2, 3}92, si S = {1, 2, 3}0, en otro caso

Dado que la función potencial satisface la condición de λ−e�ciencia, es decir,∑i∈N

[P (N, v,λ)− P (N \ {i}, v|N\{i} ,λ)

]= vλ(N),



se puede calcular la función potencial del conjunto de todos los jugadores N despejandoP (N, v,λ) de la ecuación anterior:

P (N, v,λ) =1

n

[vλ(N) +

∑i∈N

P (N \ {i}, v|N\{i},λ)]

y de manera recursiva

P (N \ {i}, v|N\{i},λ) =1

n− 1

[vλ(N \ {i}) +

∑j∈N,j 6=i

P (N \ {i, j}, v|N\{i,j},λ)].

Entonces,

P (N, v,λ) =1

n

[vλ(N) +

∑i∈N

1

n− 1

(vλ(N \ {i}) +

∑j∈N,j 6=i

P (N \ {i, j}, v|N\{i,j},λ))].

Para el ejemplo se tiene que,

P (N, v,λ) =1

3

[92 +

1

2(65 + 50) +

1

2(80 + 50 + 30) +

1

2(36 + 30)

]=

175

2,

siendo:

P (N \ {1}, vN\{1},λ) =1

n− 1

[vλ(N \ {1}) +

∑j∈N,j 6=1

P (N \ {1, j}, v|N\{1,j},λ)]

=1

2(65 + 50) =

115

2,

P (N \ {2}, vN\{2},λ) =1

n− 1

[vλ(N \ {2}) +

∑j∈N,j 6=2

P (N \ {2, j}, v|N\{2,j},λ)]

=1

2(80 + 50 + 30) = 80,

P (N \ {3}, vN\{3},λ) =1

n− 1

[vλ(N \ {3}) +

∑j∈N,j 6=3

P (N \ {3, j}, v|N\{3,j},λ)]

=1

2(36 + 30) = 33.

Comprobamos por último que el vector de contribuciones marginales de la funciónpotencial resultante

(P (N, v,λ)− P (N \ {i}, v|N\{i},λ)

)i∈N coincide con el valor σ.

Para i = 1, P (N, v,λ)− P (N \ {1}, v|N\{1} ,λ) = 1752− 115

2= 30 = σ1(N, v,λ)

Para i = 2, P (N, v,λ)− P (N \ {2}, v|N\{2} ,λ) = 1752− 80 = 15

2= σ2(N, v,λ)

Para i = 3, P (N, v,λ)− P (N \ {3}, v|N\{3} ,λ) = 1752− 33 = 109

2= σ3(N, v,λ)


Capítulo 6

Extensión multilineal para juegoscooperativos con jugadores que tienendiferentes habilidades de negociación

A fuerza de construir bien, se llega a buen

arquitecto.

Aristóteles

En este apartado se estudian las extensiones multilineales para juegos con jugadoresque tienen diferentes habilidades de cooperación. Como ya se mencionó en el apartadode los Preliminares la extensión multilineal de un juego cooperativo fue introducida porOwen (1972), ofreciendo una alternativa (con menor coste de cómputo) para el cálculodel valor de Shapley, dado que frecuentemente dicho cómputo precisa una cantidadingente de trabajo.

6.1. De�nición de la extensión multilineal

La extensión multilineal para un juego (N, v) ∈ GN es una función de�nida en [0, 1]n

y dada porf(x1, ..., xn) =

∑∅6=S⊆N

{∏i∈S

xi∏i 6∈S

(1− xi)}v(S).

En Owen (1972) se prueba que f admite la siguiente expresión alternativa:

f(x1, ..., xn) =∑∅6=S⊆N

∆v(S)∏j∈S

xj.

Esta última expresión nos sugiere la generalización de la extension multilineal parajuegos en GN

Λ .

CAPÍTULO 6. EXTENSIÓN MULTILINEAL PARA JUEGOS COOPERATIVOS CON JUGADORES QUETIENEN DIFERENTES HABILIDADES DE NEGOCIACIÓN 63

De�nición 6.1.1 La extensión multilineal de (N, v,λ) ∈ GNΛ es una función

fλ : [0, 1]n → R

dada por

fλ(x1, ..., xn) =∑

∅6=S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

i∈S{λi}

∏i∈S

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi. (6.1)

Una expresión alternativa para fλ se obtiene en la siguiente proposición.

Proposición 6.1.1 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ , fλ(x1, ..., xn), de�nida en (6.1) puede, al-

ternativamente, expresarse de la siguiente manera:

fλ(x1, ..., xn) =∑∅6=S⊆N

{∏i∈S

xi[∑S⊆T

(−1)t−s mıni∈T{λi}

∏i∈T\S

xi]v(S)

}+

n∑i=1

(1−λi)v({i})xi.

Demostración: Tenemos, para (N, v,λ) ∈ GNΛ ,

fλ(x1, ..., xn) =∑

T⊆N,t≥2

[∆v(T ) mın

i∈T{λi}

∏i∈T

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi

=∑

T⊆N,t≥2

{∏i∈T

xi[∑S⊆T

(−1)t−sv(S)]

mıni∈T{λi}

}+

n∑i=1

v({i})xi

=∑∅6=S⊆N

{∏i∈S

xi[ ∑S⊆T,t≥2


∏i∈T\S

xi]v(S)

}+

n∑i=1

v({i})xi

=∑∅6=S⊆N

{∏i∈S

xi[∑S⊆T


∏i∈T\S

xi]v(S)

}−

n∑i=1

xiλiv({i}) +n∑i=1

v({i})xi

=∑∅6=S⊆N

{∏i∈S

xi[∑S⊆T


∏i∈T\S

xi]v(S)

}+

n∑i=1

(1− λi)v({i})xi,

donde la primera igualdad se obtiene escribiendo cada dividendo en términos del valorde las subcualiciones, la segunda permutando el orden de los sumandos y la tercera,sumando y restando el valor de las coaliciones de tamaño uno. �

6.2. Propiedades de la extensión multilineal

La siguiente proposición resume varias propiedades de fλ.

6.2. PROPIEDADES DE LA EXTENSIÓN MULTILINEAL


Proposición 6.2.1 Dado (N, v,λ) ∈ GNΛ y fλ su extensión multilineal, se tiene que:

i) fλ es la única función multilineal que coincide con vλ cuando se restringe a lospuntos extremos (esquinas) de [0, 1]n.

ii) f1(x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn) para todo (N, v,1) ∈ GNΛ y, por tanto, la extensión

multilineal de�nida coincide la de Owen (1972) para juegos en los cuales los jugadoresson completamente cooperativos.

iii) f0(x1, ..., xn) =n∑i=1

v({i})xi, que es la extensión multilineal de Owen para juegos

inesenciales.

iv) σi(N, v,λ) =∫ 1

0( ∂∂xifλ)(t, ..., t)dt.

Demostración: i) Sea fλ de la forma

fλ(x1, ..., xn) =∑T⊆N

CT∏i∈T

xi.

Entonces, para cada ∅ 6= S ⊆ N ,

fλ(αS) =∑T⊆S

CT .

Así, la condición fλ(αS) = vλ(S) se reduce a∑T⊆S

CT = vλ(S) para todo S ⊆ N. (6.2)

Tenemos que demostrar que el sistema (6.2) tiene una única solución para loscoe�cientes CT , T ⊆ N . Es fácil ver que el sistema de ecuaciones anterior es un sistemacompatible determinado, dado que es un sistema con 2n incógnitas y el mismo númerode ecuaciones en el que la matriz de los coe�cientes es triangular y con los elementosde la diagonal principal distintos de cero (iguales a 1, de hecho) y por tanto, de rangocompleto.

ii) Si λ = 1, para todo S ⊆ N , ∅ 6= S,F

f1(x1, ..., xn) =∑

S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

i∈S{λi}

∏i∈S

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi

=∑

S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

i∈S{1, ..., 1}

∏i∈S

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi =∑

S⊆N,s≥2

[∆v(S)

∏i∈S

xi]



+n∑i=1

∆v({i})xi =∑S⊆N

∆v(S)∏i∈S

xi = f(x1, ..., xn).

iii) Si λ = 0, para todo S ⊆ N , ∅ 6= S,

f0(x1, ..., xn) =∑

S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

i∈S{λi}

∏i∈S

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi

=∑

S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

i∈S{0, ..., 0}

∏i∈S

xi]

+n∑i=1

∆v({i})xi =n∑i=1

∆v({i})xi =n∑i=1

v({i})xi.

iv) Tenemos que para i ∈ N , y (N, v,λ) ∈ GNΛ ,

∂

∂xifλ(x1, ..., xn) =

∂

∂xi

[ ∑S⊆N,s≥2

∆v(S) mınj∈S{λj}

∏j∈S

xj +n∑i=1

∆v({i})xi]

=∑

i∈S⊆N,s≥2

[∆v(S) mın

j∈S{λj}

∏j∈S,j 6=i

xj]

+ ∆v({i}).

Entonces,

(∂

∂xifλ)(t, ..., t) =

∑i∈S⊆N,s≥2

∆v(S)[

mınj∈S{λj}ts−1

]+ ∆v({i}),

y, por tanto

∫ 1

0

(∂

∂xifλ)(t, ..., t)dt =

∑i∈S⊆N,s≥2

∆v(S)[mınj∈S{λj}

s

]+ ∆v({i}) = σi(N, v,λ).

�

Ejemplo 6.2.1 Sea v el juego tripersonal de mayoría en la normalización (0,1) y seaλ = (0.8, 0.5, 0.3). Su extensión multilineal es

fλ(x1, x2, x3) = 0.5x1x2 + 0.3x1x3 + 0.3x2x3 − 0.6x1x2x3

y las derivadas parciales son:

∂

∂x1

fλ(x1, x2, x3) = 0.5x2 + 0.3x3 − 0.6x2x3

∂

∂x2

fλ(x1, x2, x3) = 0.5x1 + 0.3x3 − 0.6x1x3



∂

∂x3

fλ(x1, x2, x3) = 0.3x1 + 0.3x3 − 0.6x1x2.

Entonces∂

∂x1

fλ(t, t, t) = 0.8t− 0.6t2

El valor de σ para el jugador 1 es

σ1(N, v,λ) =

∫ 1

0

(∂

∂x1

fλ(t, t, t))dt =

∫ 1

0

(0.8t− 0.6t2)dt = 0.4t2 − 0.2t3]1

0=

1

5,

de manera similar σ2(N, v,λ) = σ1(N, v,λ) = 15, y por último, el valor σ para el jugador

3 es

σ3(N, v,λ) =

∫ 1

0

(∂

∂x3

fλ(t, t, t))dt =

∫ 1

0

(0.6t− 0.6t2)dt = 0.3t2 − 0.2t3]1

0=

1

10.

La λ-e�ciencia en este caso es igual a 0.5.


Capítulo 7

Situaciones de comunicación conjugadores que tienen diferenteshabilidades de negociación

Valor es lo que se necesita para levantarse y

hablar; pero también es lo que se requiere para

sentarse y escuchar.

Winston Churchill

En este capítulo extendemos el concepto de situación de comunicación para incluir laposibilidad de que los jugadores tengan diferentes habilidades de cooperativas, diferentepoder de negociación o estén dispuestos a hacer un esfuerzo diferente para cooperar.

7.1. El juego restringido al grafo con jugadores que tienen

diferentes habilidades de negociación

A continuación se de�ne de manera formal las situaciones de comunicación propues-tas.

De�nición 7.1.1 Una situación de comunicación con jugadores que tienen diferentecapacidad de negociación es una cuaterna (N, v,λ, γ) en la cual (N, v) es un juegocooperativo, λ = (λi)i∈N es un vector de pesos, con λi ∈ [0, 1] para todo i ∈ N , y (N, γ)es un grafo. Para i ∈ N , λi representa la capacidad de negociación del jugador i-ésimo.

En la de�nición anterior, cuanto mayor sea λi, mayor es el nivel de cooperacióndel jugador i ∈ N . El caso λi = 1 se corresponde con una cooperación completa omáxima mientras que λi = 0 indica un comportamiento totalmente no cooperativo.CSNΛ denotará al conjunto de todas las situaciones de comunicación con N jugadoresque tienen diferente capacidad o habilidad de negociación.

CAPÍTULO 7. SITUACIONES DE COMUNICACIÓN CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTESHABILIDADES DE NEGOCIACIÓN 68

Observación 7.1.1 CSN , el conjunto de todas las situaciones de comunicación, pue-de ser identi�cado con el subconjunto de todas las (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ con λ = 1 =(1, 1, ..., 1) ∈ [0, 1]n. Por otro lado GN

Λ , el conjunto de todos los juegos cooperativos conjugadores que tienen diferentes capacidades de negociación puede ser identi�cado conel subconjunto de todos los (N, v,λ, γN) ∈ CSNΛ , y GN , con el subconjunto de todos los(N, v,1, γN) ∈ CSNΛ .

Observación 7.1.2 Una situación de comunicación con jugadores que tienen dife-rentes habilidades de negociación puede verse como un juego con estructura de comu-nicación difusa, de�nido en Jiménez-Losada et al. (2010; 2013). En una estructura decomunicación difusa cada jugador tiene un nivel de participación en el juego y un nivelmáximo en el que una arista puede ser usado 15.

En la siguiente de�nición, para cada situación de comunicación con jugadores quetienen diferentes habilidades de negociación, introducimos un nuevo juego cooperativo,realmente una modi�cación del juego (clásico) restringido al grafo (o juego de Myerson),para tener en cuenta el nivel de cooperación de los jugadores.

En esta de�nición se asume que los jugadores en una coalición (conexa) no indivi-dual descuentan su dividendo por un factor que es el mínimo de sus habilidades denegociación. Este mínimo establece las posibilidades auténticas de cooperación entrelos jugadores de la coalición. Por otro lado, en el caso de coaliciones individuales, esnatural suponer que cada jugador coopera completamente consigo mismo y, por tanto,no se descuenta el pago.

De�nición 7.1.2 A cada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ le asociamos un nuevo juego cooperativo(N, (vγ)λ) ∈ GN con función característica dada por

(vγ)λ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) mıni∈T{λi}+

∑i∈S

v({i}), para todo S ⊆ N,S 6= ∅,

y (vγ)λ(∅) = 0.

Llamaremos a (N, (vγ)λ) juego restringido al grafo con jugadores que tienen diferenteshabilidades o capacidades de negociación.

Para aclarar la de�nición anterior consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.1.1 En cierto parlamento la distribución de los escaños es del 25 % para elpartido de la anti-austeridad (jugador 1), 30 % para el partido de izquierda (jugador 2),5 % para el partido de centro (jugador 3) y 40 % para el partido de derecha (jugador 4).Para que se apruebe un proyecto de ley se requiere más del 50 % de los votos a favor.Como consecuencia, se necesita el acuerdo de al menos dos partidos para obtener la

15En la de�nición de estructuras de comunicación difusa en Jiménez-Losada et. al. (2010) los grafosestaban restringidos a no poseer ciclos.

7.1. EL JUEGO RESTRINGIDO AL GRAFO CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTES HABILIDADESDE NEGOCIACIÓN


mayoría. Esta situación se puede modelar mediante el juego de mayoría simple, (N, v)con N = {1, 2, 3, 4}, y

v(S) =

{1, si S={1,2}, S={1,4}, S={2,4} o s ≥ 30, en otro caso.

Los partidos tienen �lias y fobias que pueden modelarse mediante el grá�co (N, γ) (verFigura 7.1.1) que representa las coaliciones factibles. Supondremos que los dividendosde estas coaliciones también se ven afectados por las habilidades de negociación delos actores. En otras palabras, es impensable una coalición entre partidos 1 y 3 y así∆vγ (1, 3) = 0 (esto viene dado por el grá�co) pero en nuestra propuesta el dividendode la coalición (factible y conectada) {1, 2, 3} se ve afectado por las habilidades denegociación de todos sus miembros.

1 2 3 4

Figura 7.1.1

En este casov = u{1,2} + u{1,4} + u{2,4} − 2u{1,2,4},

yvγ = u{1,2} + u{2,3,4} − u{1,2,3,4}.

Entonces, para (N, v,λ, γ),

(vγ)λ = mın{λ1, λ2}u{1,2} + mın{λ2, λ3, λ4}u{2,3,4} −mın{λ1, λ2, λ3, λ4}u{1,2,3,4}.

7.2. Propiedades del juego restringido al grafo con jugado-

res que tienen diferentes habilidades de negociación

En la siguiente proposición se detallan algunas propiedades interesantes del juegode�nido en el apartado anterior.

Proposición 7.2.1 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , tenemos,

i) Si λ = 1, entonces (vγ)1 ≡ vγ. Si todos los jugadores tienen capacidad total decooperación, entonces el juego de�nido coincide con el juego clásico restringido al grafoo juego de Myerson.

ii) Si λ = 0, entonces (N, (vγ)0) es un juego inesencial; es decir, cuando la capacidadde negociación de cada jugador desaparece, el juego restringido se convierte en un juego(esencialmente) no cooperativo.

7.2. PROPIEDADES DEL JUEGO RESTRINGIDO AL GRAFO CON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTESHABILIDADES DE NEGOCIACIÓN


iii) Si γ = γNentonces (vγN )λ = vλ, con

vλ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆v(T ) mıni∈T{λi}+

∑i∈S

v({i}),

es decir, si el grafo es completo (todo par {i, j} de nodos está directamente conectado)el juego restringido al grafo con jugadores que tienen diferentes capacidades denegociación coincide con el juego cooperativo donde los jugadores tienen diferenteshabilidades de negociación.

iv) Si γ = γNy λ = 1 entonces,

(vγ)λ = v.

Cooperación completa y ausencia de restricciones en la comunicación, no modi�ca eljuego original.

v) Si λ = λ.1 = λ(1, ..., 1) y (N, v) es un juego cero-normalizado entonces,

(vγ)λ = λ.vγ.

vi) Si γ = ∅ entonces, (N, (v∅)λ) es un juego inesencial que coincide con (vγ)0 paratodo (N, γ). La falta de comunicación o la falta de capacidad de negociación conducenal mismo juego inesencial.

vii) Dado i ∈ N , si γi = ∅ entonces,

(vγ)λ = (vγ)λ−i,

donde λ−i ∈ [0, 1]n viene dado por λ−ii = 0 y λ−ij = λj para todo j 6= i.

Para un jugador aislado en el grafo, su capacidad de cooperación es irrelevante, y enparticular, da igual que sea nula.

viii) Dado i ∈ N y λ−i de�nido como en vii), entonces

(vγ)λ−i

= (vγ−i)λ = (vγ−i)λ−i,

siendo γ−i el grafo en el cual el jugador i ha roto todas sus comunicaciones, es decir:γ−i = γ \ γi. Consecuentemente, para un jugador, es equivalente aislarse a reducir sushabilidades de negociación a cero.

Demostración:

i) Si λ = 1, para todo S ⊆ N , S 6= ∅,

(vγ)1(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) +∑i∈S

∆v({i}) =∑∅6=T⊆S

∆vγ (T ) = vγ(S).



ii) Si λ = 0, tenemos que para todo S ⊆ N , S 6= ∅,

(vγ)0(S) =∑i∈S

∆v({i}) =∑i∈S

v({i}) =∑i∈S

(vγ)0({i}),

y así (vγ)0 es inesencial.

iii) Si γ = γN, entonces vγ ≡ v, y por tanto (vγ)λ, puede verse como el juego

cooperativo (N, v) con jugadores que tienen diferentes habilidades de negociacióndadas por λ.

iv) Trivial a partir de i) y iii).

v) Si (N, v) es cero-normalizado, para todo ∅ 6= S ⊆ N ,

(vγ)λ(S) =∑∅6=T⊆S

∆vγ (T )λ = λvγ(S).

vi) Dado S ⊆ N , ∆v∅(T ) = 0 para todo ∅ 6= T ⊆ S tal que t ≥ 2, y así

(v∅)λ(S) =∑i∈S

∆v({i}) =∑i∈S

v({i}) =∑i∈S

v∅({i}) = (vγ)0(S),

para todo (N, γ) ∈ ΓN . La última igualdad se tiene por ii).

vii) Para todo S ⊆ N , si γi = ∅,

(vγ)λ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) mınj∈T{λj}+

∑j∈S

∆v({j})

=∑

T⊆S\{i},t≥2


∑j∈S

∆v({j}),

dado que para i ∈ T , ∆vγ (T ) = 0 (en este caso T es necesariamente no conexo dadoque i esta aislado en γ). Por otro lado,

(vγ)λ−i

(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) mınj∈T{λ−ij }+

∑j∈S

∆v({j})

=∑

T⊆S\{i},t≥2


∑T⊆S,i∈T,t≥2

∆vγ (T )0 +∑j∈S

∆v({j}) = (vγ)λ(S),

y así (vγ)λ = (vγ)λ−i

cuando γi = ∅.

viii) Para todo ∅ 6= S ⊆ N ,

(vγ)λ−i

(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) mınj∈T{λ−ij }+

∑j∈S

∆v({j})



=∑

T⊆S\{i},t≥2


∑j∈S

∆v({j}),

ya que para T ⊆ S con i ∈ T , mınj∈T{λ−ij } = 0.

Por otro lado,

(vγ−i)λ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ−i (T ) mınj∈T{λj}+

∑j∈S

∆v({j})

=∑

T⊆S\{i},t≥2

∆vγ−i (T ) mınj∈T{λj}+

∑j∈S

∆v({j}),

pues ∆vγ−i (T ) = 0 si i ∈ T . Además, para T ⊆ S \ {i}, usando la de�nición de losdividendos de Harsanyi y del juego restringido a grafo, tenemos,

∆vγ (T ) =∑R⊆T

(−1)t−rvγ(R) =∑R⊆T

(−1)t−r[∑C∈R/γ

v(C)]

=∑R⊆T

(−1)t−r[∑

C∈R/γ−i

v(C)],

donde la última igualdad se obtiene porque i /∈ T . Pero,∑R⊆T

(−1)t−r[∑

C∈(T\R)/γ−i

v(C)] = ∆vγ−i (T ),

y así (vγ)λ−i

(S) = (vγ−i)λ(S) para todo S ⊆ N .

Finalmente γ−i es un grafo tal que (γ−i)i = ∅ y así, por vii), (vγ−i)λ = (vγ−i)λ−i, lo

que completa la demostración. �

En la siguiente proposición y sus corolarios probamos que, para (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ ,el correspondiente juego restringido al grafo con jugadores que tienen diferenteshabilidades de negociación puede ser escrito como combinación lineal positiva de juegosde Myerson. La expresión obtenida en la siguiente proposición es la forma integral deChoquet de (vγ)λ (para v un juego cero-normalizado), como se de�nió en Tsurumi etal. (2001) 16.

A cada vector de pesos λ = (λi)i∈N ∈ [0, 1]n le asociaremos un conjunto de númerosreales λ(h), h = 0, 1, ..., r, donde r ≤ n es el número de diferentes valores entre los pesosen λ. Entonces, de�nimos λ(0) = 0, y para h = 1, 2, ..., r, λ(h) = mın

i∈N{λi | λi > λ(h−1)}.

16Detalles sobre la integral de Choquet para medidas difusas puede encontrarse en Choquet (1953),Sugeno y Murofushi (1987), y Grabisch et al. (1992).



Proposición 7.2.2 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , con (N, v) un juego cero-normalizado,tenemos que:

(vγ)λ =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh

con Nh = {i ∈ N | λi ≥ λ(h+1)}, para h = 0, ..., r − 1.

Demostración:Para S = ∅ el resultado es trivial. Consideremos ∅ 6= S ⊆ N . Entonces, por de�nición,

(vγ)λ(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆vγ (T ) mıni∈T{λi} (7.1)

Para probar que

(vγ)λ(S) =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh (S) =

r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))∑

T⊆S,t≥2

∆vγ|Nh (T ) (7.2)

es su�ciente ver que para cada T ⊆ S, t ≥ 2, el coe�ciente de ∆vγ (T ) es el mismoen el lado izquierdo y derecho de (7.2) y, por lo tanto, es igual a mın

i∈T{λi} ya que éste

es el coe�ciente en el lado izquierdo de (7.2), como consecuencia de la expresión (7.1).Recordemos que para h = 0, ..., r − 1 y T ⊆ N , t ≥ 2,

∆vγ|Nh (T ) =

{∆vγ (T ), si T ⊆ Nh

0, en otro caso,

ya que restringiendo el juego a Nh, los dividendos de las coaliciones contenidas en Nh seconservan y aquellos correspondientes a las coaliciones no contenidas enNh desaparecen.

Para cada T ⊆ S, t ≥ 2, de�nimos

r∗T = maxh{h = 0, 1, ..., r − 1 | ∆v

γ|Nh (T ) = ∆vγ(T )}.

Entonces en el lado derecho de (7.2) el coe�ciente de ∆vγ (T ) es

r∗T∑h=0

(λ(h+1) − λ(h)) = λ(r∗T+1) − λ(0) = λ(r∗T+1) = mıni∈T{λi > λ(r∗T )}.

En consecuencia, solo necesitamos probar que λ(r∗T+1) = mıni∈T{λi}. Como T es conexo

en γ|Nr∗T

todos los nodos de T están en Nr∗T= {i ∈ N | λi ≥ λ(r∗T+1)}, y entonces,

mıni∈T{λi} ≥ λ(r∗T+1).

Pero, si mıni∈T{λi} > λ(r∗T+1), se tiene que, para todo i ∈ T , i ∈ Nr∗T+1. Como T es

conexo en γ|N0, γ|N1

, ... , γ|Nr∗T

y los nodos de T están en Nr∗T+1, T es conexo en γ|Nr∗T+1.

Esta contradicción con la de�nición de r∗T prueba el resultado. �



Corolario 7.2.1 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , suponemos que (N, vo) es la cero-normalización de (N, v), entonces,

(vγ)λ =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh0 +

∑i∈N

v|{i},


Para aclarar el signi�cado y los cálculos relacionados con la proposición anterior (ysu corolario) consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.2.1 Sea (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ con N = {1, 2, 3, 4, 5}, λ =(0.6, 0.3, 0.5, 0.1, 0.4), v = u{1,3} y γ = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1}}. Una re-presentación de (N, γ) con los pesos de los jugadores está dada en la Figura 7.2.1.

λ1 = 0.6

λ2 = 0.3

λ3 = 0.5

λ5 = 0.4 λ4 = 0.1

Figura 7.2.1

En este caso tenemos r = 5, λ(0) = 0, λ(1) = 0.1, λ(2) = 0.3, λ(3) = 0.4, λ(4) = 0.5,λ(5) = 0.6. Además, N0 = N , N1 = {1, 2, 3, 5}, N2 = {1, 3, 5}, N3 = {1, 3}, N4 = {1}.Entonces,

r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh +

∑i∈N

v|{i} = 0.1vγ|N + (0.3− 0.1)vγ|N1 + (0.4− 0.3)v

γ|N2

+(0.5− 0.4)vγ|N3 + (0.6− 0.5)v

γ|N4 +∑i∈N

v|{i}

= 0.1vγ + 0.2vγ|N1 = 0.1(u{1,2,3} + u{1,3,4,5} − uN) + 0.2u{1,2,3}

= 0.3u{1,2,3} + 0.1u{1,3,4,5} − 0.1uN ,

que coincide con (vγ)λ obtenido a partir de la De�nición 7.1.2.

De forma similar, para λ′ = (0.6, 0.6, 0.5, 0.1, 0.1), r = 3, λ′(0) = 0, λ′(1) = 0.1,

λ′(2) = 0.5, λ′(3) = 0.6. Además, N0 = N , N1 = {1, 2, 3}, N2 = {1, 2}, y así, para

(N, v,λ′, γ),

r−1∑h=0

(λ′(h+1) − λ′(h))vγ|Nh +

∑i∈N

v|{i} = 0.1vγ|N + (0.5− 0.1)vγ|N1 + (0.6− 0.5)v

γ|N2



= 0.1vγ + 0.4vγ|N1 = 0.1(u{1,2,3} + u{1,3,4,5} − uN) + 0.4u{1,2,3}

= 0.5u{1,2,3} + 0.1u{1,3,4,5} − 0.1uN ,

que coincide con (vγ)λ′, obtenido a partir de su de�nición.

Observación 7.2.1 Supongamos que en el ejemplo anterior la arista {1, 3} es añadi-do y γ′ = γ ∪ {{1, 3}}. Se puede comprobar que (vγ

′)λ = 0.5u{1,3}, lo que es consistente

con el hecho de que los jugadores 1 y 3, teniendo una relación directa, no pagaránintermediarios para conectarse.

En la proposición siguiente se demuestra que la superaditividad del juego original esheredada por el juego restringido al grafo con jugadores que tienen diferentes habilidadesde negociación.

Proposición 7.2.3 Dado (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , si (N, v) es un juego superaditivo en-tonces (N, (vγ)λ) es también superaditivo.

Demostración:Usando el Corolario 7.2.1, tenemos

(vγ)λ =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh0 +

∑i∈N

v|{i},

con Nh = {i ∈ N | λi ≥ λ(h+1)}, para h = 0, ..., r − 1, y v0 la cero-normalización de v.Y así, para todo S, T ⊆ N , con S ∩ T = ∅,

(vγ)λ(S ∪ T ) =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh0 (S ∪ T ) +

∑i∈S∪T

v({i})

≥r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh0 (S) +

∑i∈S

v({i}) +r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh0 (T ) +

∑i∈T

v({i})

= (vγ)λ(S) + (vγ)λ(T ).

La desigualdad se tiene porque, para todo h = 0, 1, ..., r−1, λ(h+1) ≥ λ(h) y (N, vγ|Nh0 )

es superaditivo. Recordemos que (N, v) superaditivo implica (N, v0) superaditivo y,consecuentemente, (N, v

γ|Nh0 ) superaditivo (Owen, 1986). �


Capítulo 8

Un valor µ para situaciones decomunicación con jugadores que tienendiferentes habilidades de negociación

No hay rama de la matemática, por abstracta

que sea, que no pueda aplicarse algún día a los

fenómenos del mundo real.

Lobachevski

En este capítulo, primero se propone una regla de asignación para las situaciones decomunicación introducidas en la sección anterior. Además, se introduce una descompo-sición del valor de�nido, la cual es de gran utilidad para su cálculo, así como para lademostración de varias de sus propiedades.

8.1. De�nición del valor

A continuación se de�ne una solución puntual para las nuevas situaciones de comu-nicación donde los jugadores pueden tener diferentes habilidades de negociación.

De�nición 8.1.1 Una regla de asignación ψ sobre CSNΛ es una aplicación ψ : CSNΛ →Rn. ψi(N, v,λ, γ) representa el pago para el jugador i en (N, v,λ, γ).

De�nición 8.1.2 La regla de asignación µ sobre CSNΛ se de�ne como µ(N, v,λ, γ) =Sh(N, (vγ)λ), para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ .

Nótese que Sh(N, (vγ)λ) coincide con σ(N, vγ,λ), siendo σ el valor de�nido ante-riormente para juegos cooperativos con jugadores que tienen diferentes habilidadescooperativas.

CAPÍTULO 8. UN VALOR µ PARA SITUACIONES DE COMUNICACIÓN CON JUGADORES QUE TIENENDIFERENTES HABILIDADES DE NEGOCIACIÓN 77

La restricción de µ a la familia de los (N, v,1, γ) ∈ CSNΛ (familia que identi�camoscon CSN) coincide con el valor de Myerson, µ, en CSN . Además, para todo (N, v,λ, γ)con λi = λ, i = 1, ..., n,

µi(N, v,λ, γ) = λµi(N, v, γ) + (1− λ)v({i}),

i ∈ N . En particular, si (N, v) es un juego cero-normalizado, y λ = λ.1,

µ(N, v,λ, γ) = λµ(N, v, γ).

Finalmente, para (N, v,1, γN) ∈ CSNΛ ,

µ(N, v,1, γN) = Sh(N, v).

Para ilustrar los efectos en µ de las habilidades de negociación de los jugadores, �jadoel juego y el grafo, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.1.1 Retomando el ejemplo del parlamento (Ejemplo 7.1.1), en el que N ={1, 2, 3}, γ = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}} y

v = u{1,2} + u{1,4} + u{2,4} − 2u{1,2,4}

se tiene quevγ = u{1,2} + u{2,3,4} − u{1,2,3,4}.

Y, para (N, v,λ, γ),

(vγ)λ = mın{λ1, λ2}u{1,2} + mın{λ2, λ3, λ4}u{2,3,4} −mın{λ1, λ2, λ3, λ4}u{1,2,3,4}.

Es fácil ver que el partido 2 es el que tiene mayor poder independientemente de lashabilidades de negociación.

Sin embargo, la distribución del poder entre los partidos puede verse seriamenteafectada por sus habilidades de negociación.

Consideremos tres marcos diferentes:

i) Supongamos λ = (0.2, 0.8, 1, 0.2). En este caso

(vγ)λ = 0.2u{1,2} + 0.2u{2,3,4} − 0.2u{1,2,3,4}.

Y así

µ(N, v,λ, γ) =

(3

60,

7

60,

1

60,

1

60

).

µ es proporcional al valor de Myerson. La distribución del poder es ( 312, 7

12, 1

12, 1

12) o

(25 %, 58, 33 %, 8, 33 %, 8, 33 %).

8.1. DEFINICIÓN DEL VALOR


La λ-e�ciencia en (N, vγ,λ) es muy baja, 15. En esta situación, los partidos con

más ganas de cooperar no tienen mayoría. Como consecuencia puede ocurrir que no sellegue a un acuerdo para formar gobierno y se deban convocar nuevas elecciones.

En España, después de las elecciones celebradas el 20 de diciembre de 2015, la faltade capacidad de negociación (entre otras causas) hizo necesarias nuevas elecciones el26 de junio de 2016. Como se ha dicho, esta falta de capacidad continuó y, después delas elecciones del 28 de Abril de 2019, la no existencia de acuerdos para formar unamayoría llevó a una nueva convocatoria de elecciones el 10 de Noviembre de 2019.

ii) Supongamos ahora que λ = (0.2, 0.8, 1, 0.8)

En este caso(vγ)λ = 0.2u{1,2} + 0.8u{2,3,4} − 0.2u{1,2,3,4},

µ(N, v,λ, γ) =

(3

60,15

60,

9

60,

9

60

),

y la distribución del poder es (8, 33 %, 41, 66 %, 25 %, 25 %).

iii) Supongamos �nalmente que λ = (1, 0.8, 0.2, 0.2). Entonces

(vγ)λ = 0.8u{1,2} + 0.2u{2,3,4} − 0.2u{1,2,3,4},

µ(N, v,λ, γ) =

(21

60,25

60,

1

60,

1

60

),

y la distribución del poder es (43.75 %, 52.08 %, 2.08 %, 2.08 %).

Estos ejemplos nos muestran que incluir las habilidades de negociación como un ele-mento adicional en las situaciones de comunicación, puede ayudarnos a matizar el valorde Myerson.

8.2. Descomposición lineal del valor de�nido

Para situaciones de comunicación con jugadores que tienen diferentes habilidades denegociación y en las que el juego es cero-normalizado, el valor de�nido se puede calcularcomo una combinación lineal de valores de Myerson de situaciones de comunicaciónclásicas.

Dado (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ asociaremos al juego modi�cado (N, (vγ)λ) un conjuntode números reales λ(h), h = 0, 1, ..., r, donde r ≤ n es el número de diferentes valoresentre los pesos de los jugadores en (N, (vγ)λ). Entonces, de�nimos λ(0) = 0, y parah = 1, 2, ..., r, λ(h) = mın

i∈N{λi | λi > λ(h−1)}.

8.2. DESCOMPOSICIÓN LINEAL DEL VALOR DEFINIDO


Proposición 8.2.1 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , con v un juego cero-normalizado, setiene que:

µ(N, v,λ, γ) =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))µ(N, v, γ|Nh),


Demostración: Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , siendo (N, v) cero-normalizado, e i ∈ N,por la Proposición 7.2.2,

µi(N, v,λ, γ) = Shi(N, (vγ)λ

)= Shi

(N,

r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))vγ|Nh)

=

=r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))Shi(N, vγ|Nh ) =

r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))µi(N, v, γ|Nh).

�

Corolario 8.2.1 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , e i ∈ N ,

µi(N, v,λ, γ) =r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))µi(N, v0, γ|Nh) + v({i}),

siendo (N, v0) la cero-normalización de (N, v), y Nh = {i ∈ N | λi ≥ λ(h+1)}, parah = 0, ..., r − 1.

Ejemplo 8.2.1 Consideremos, nuevamente, la situación (N, v,λ, γ) introducida enel Ejemplo 7.2.1. Entonces

(vγ)λ = 0.3u{1,2,3} + 0.1u{1,3,4,5} − 0.1uN .

Y así, podemos calcular µ desde la de�nición, es decir,

µ(N, v,λ, γ) = Sh(N, 0.3u{1,2,3} + 0.1u{1,3,4,5} − 0.1uN

)=

(21

200,

2

25,

21

200,

1

200,

1

200

),

o desde la Proposición 8.2.1,

µ(N, v,λ, γ) = 0.1µ(N, v, γ|N ) + (0.3− 0.1)µ(N, v, γ|N1) + (0.4− 0.3)µ(N, v, γ|N2

)

+(0.5− 0.4)µ(N, v, γ|N3) + (0.6− 0.5)µ(N, v, γ|N4

)

= 0.1

(23

60,

2

15,23

60,

1

20,

1

20

)+ 0.2

(1

3,1

3,1

3, 0, 0

)=

(21

200,

2

25,

21

200,

1

200,

1

200

).

8.2. DESCOMPOSICIÓN LINEAL DEL VALOR DEFINIDO

Capítulo 9

Caracterizaciones del valor µ

De�ende tu derecho a pensar, incluso pensar

de manera errónea es mejor que no pensar.

Hipatia de Alejandría

En este capítulo se incluyen diferentes propiedades de las reglas de asignación parasituaciones de comunicación con jugadores que tienen diferentes habilidades de nego-ciación y se analiza, primero, hasta qué punto son satisfechas por la regla µ y, segundo,que conjunto (o conjuntos) de ellas sirven para caracterizar dicha regla.

9.1. Algunas propiedades para reglas de asignación en si-

tuaciones de comunicación con jugadores que tienen

diferentes habilidades cooperativas

En este apartado se de�nen de manera formal y se ejempli�can algunas propiedades,cuyo estudio hemos considerado importante, ya sea por su cumplimiento, o no.

De�nición 9.1.1 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface e�cienciaen componentes conexas si, para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , y para todo C ∈ N/γ,∑

i∈C

ψi(N, v,λ, γ) = v(C).

De�nición 9.1.2 Dada (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ diremos que dos jugadores i, j ∈ N estánconectados en la negociación si existe i1 = i, i2, ..., ir = j con λik > 0, para k = 1, ..., ry de tal forma que {ik, ik+1} ∈ γ para k = 1, ...r − 1. Además, asumiremos que cadajugador está conectado en la negociación consigo mismo.

Esta de�nición introduce una relación binaria (de equivalencia) en N . Denotemoscon N/(λ, γ) la partición que induce en N . A cada elemento de N/(λ, γ) lo llamaremoscomponente conexa de negociación.

CAPÍTULO 9. CARACTERIZACIONES DEL VALOR µ 81

Ejemplo 9.1.1 Consideramos (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ con N = {1, 2, 3, 4, 5}, λ =(0.6, 0, 0.3, 0.4, 0.1) y γ = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1}}. Una representación de(N, γ) con los pesos de los jugadores está dada en la Figura 9.1.1.

λ1 = 0.6

λ2 = 0

λ3 = 0.3

λ5 = 0.1 λ4 = 0.4

Figura 9.1.1

En la situación de comunicación clásica (N, v, γ), la relación de equivalencia dadapor la conexión de nodos induce en N la partición N/γ = {N}, formada en este casopor una única componente conexa. Por otro lado, si tenemos en cuenta el vector λ de lasdiferentes capacidades de negociación de los jugadores, nos encontramos en un marcodistinto, en el que se observa que el jugador 2 tiene capacidad nula de negociación,lo que provoca que la partición N/(λ, γ) que acabamos de introducir sea N/(λ, γ) ={{1, 3, 4, 5}, {2}}.

De�nición 9.1.3 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface e�cienciaen componentes conexas de negociación si, para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , y para todoC ∈ N/(λ, γ), ∑

i∈C

ψi(N, v,λ, γ) = (vγ)λ(C).

Observación 9.1.1 Como se aprecia en el ejemplo anterior, la e�ciencia en compo-nentes conexas de negociación di�ere de la clásica e�ciencia en componentes.

Observación 9.1.2 En las situaciones de comunicación clásicas, la cooperación (engeneral) incompleta dada por el grafo, motiva ine�ciencia pues vγ(N) es, con frecuencia,menor que v(N). Al añadir imperfecciones en la cooperación como consecuencias de lashabilidades de negociación de los jugadores, la e�ciencia sufre otro revés y, si C ∈N/(λ, γ), C será un subconjunto de alguna componente C∗ ∈ N/γ, teniéndose, engeneral, que para los juegos superaditivos, (vγ)λ(C) < vγ(C∗). Así mismo, se tendrá,en general, que (vγ)λ(N) < vγ(N).

Ejemplo 9.1.2 Retomamos el Ejemplo 9.1.1 en el que (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ con N ={1, 2, 3, 4, 5}, λ = (0.6, 0, 0.3, 0.4, 0.1) y γ = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1}}. Unarepresentación de (N, γ) con los pesos de los jugadores está dada en la Figura 9.1.1, ysea v = u{1,3}. Entonces por de�nición

vγ = u{1,2,3} + u{1,3,4,5} − u{1,2,3,4,5},

9.1. ALGUNAS PROPIEDADES PARA REGLAS DE ASIGNACIÓN EN SITUACIONES DE COMUNICACIÓNCON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTES HABILIDADES COOPERATIVAS


y(vγ)λ = 0.1u{1,3,4,5}.

Entonces,vγ(N) = 1 + 1− 1 = 1,

y(vγ)λ(N) = 0.1.

Se observa, como se anticipaba en la observación anterior que, si a las restricciones en lacomunicación se añade la imperfección en la cooperación, la e�ciencia se ve deteriorada.

De�nición 9.1.4 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface la propiedadde contribuciones equilibradas si, para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ y todo i, j ∈ N ,

ψi(N, v,λ, γ)− ψi(N, v,λ, γ−j) = ψj(N, v,λ, γ)− ψj(N, v,λ, γ−i).

De�nición 9.1.5 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface la propiedadde equidad (fairness) si, para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ y todo l = {i, j} ∈ γ,

ψi(N, v,λ, γ)− ψi(N, v,λ, γ \ {l}) = ψj(N, v,λ, γ)− ψj(N, v,λ, γ \ {l}).

De�nición 9.1.6 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface monoto-nía en las aristas o estabilidad si, para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , con (N, v) un juegosuperaditivo, y todo l = {i, j} ∈ γ,

ψk(N, v,λ, γ) ≥ ψk(N, v,λ, γ \ {l}) para k = i, j.

De�nición 9.1.7 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface monotoníaes las habilidades de negociación, si dado (N, v,λ, γ), (N, v,λ′, γ) ∈ CSNΛ , con (N, v)un juego superaditivo, y para algún i ∈ N , λ′i ≥ λi, y λ

′j = λj, para j 6= i, se veri�ca

queψi(N, v,λ, γ) ≤ ψi(N, v,λ

′, γ).

De�nición 9.1.8 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface la propiedadde contribuciones equilibradas en habilidades de negociación si, para todo (N, v,λ, γ) ∈CSNΛ y todo i, j ∈ N ,

ψi(N, v,λ, γ)− ψi(N, v,λ−j, γ) = ψj(N, v,λ, γ)− ψj(N, v,λ−i, γ),

donde para k ∈ N , λ−k es el vector en [0, 1]n con λ−kl =

{λl, si l 6= k0, si l = k.

De�nición 9.1.9 Una regla de asignación ψ de�nida sobre CSNΛ satisface equidad enhabilidades de negociación si, para (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ e i, j ∈ N ,

ψi(N, v,λ, γ)− ψi(N, v,λ′, γ) = ψj(N, v,λ, γ)− ψj(N, v,λ′, γ),

con λ′k = λk para todo k 6= i, j y λ′i 6= λi, λ′j 6= λj.

9.1. ALGUNAS PROPIEDADES PARA REGLAS DE ASIGNACIÓN EN SITUACIONES DE COMUNICACIÓNCON JUGADORES QUE TIENEN DIFERENTES HABILIDADES COOPERATIVAS


9.2. Propiedades del valor de�nido

En esta sección estudiaremos el cumplimiento, o no, de las propiedades anteriormentede�nidas.

Proposición 9.2.1 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface e�ciencia encomponentes conexas de negociación.

Demostración: Sea (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , y C ∈ N/(λ, γ). Tenemos:∑i∈C

µi(N, v,λ, γ) =∑i∈C

Shi(N, (vγ)λ)

=∑i∈C

Shi(C, [(vγ)λ]|C) = [(vγ)λ]|C(C) = (vγ)λ(C),

la primera igualdad se tiene por la de�nición de µ; la segunda, dado que el va-lor de Shapley del jugador i en (vγ)λ solo depende de los miembros que están en sucomponente conexa de negociación y la tercera, ya que el valor de Shapley es e�ciente. �

La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn no satisface e�ciencia en componentes conexas.

Contraejemplo 9.2.1 Retomamos el Ejemplo 9.1.2 donde

(vγ)λ = 0.1u{1,3,4,5},

entonces µ1(N, v,λ, γ) = µ3(N, v,λ, γ) = µ4(N, v,λ, γ) = µ5(N, v,λ, γ) = 0.14

yµ2(N, v,λ, γ) = 0. Y así∑

i∈N

µi(N, v,λ, γ) =0.1

4+ 0 +

0.1

4+

0.1

4+

0.1

4= 0.1 < 1 = v(N),

y, por tanto µ no es e�ciente en componentes conexas.

Proposición 9.2.2 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface contribucionesequilibradas en habilidades de negociación.17

17De hecho, µ satisface la siguiente versión generalizada de la propiedad de contribuciones equilibra-das en habilidades de negociación: dado (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , e i, j ∈ N

µi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ−j,c, γ) = µi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ

−i,c, γ),

para k = i, j, λ−k,c =(λ−k,cl

)l∈N

=

{λl, si l 6= k

c < λk, si l = k.La demostración de este es similar a la llevada a cabo en la Proposición 9.2.2



Demostración: Como es obvio por su de�nición, µ es lineal en el juego. Entonceses su�ciente con probar que µ satisface contribuciones equilibradas en habilidades denegociación para elementos en CSNΛ de la forma (N, uT ,λ, γ), con ∅ 6= T ⊆ N . Vamosa considerar en primer lugar el caso en el que T = {i} para i ∈ N . Entonces uγ{i} = u{i}y por tanto µi(N, u{i},λ, γ) = 1 y µj(N, u{i},λ, γ) = 0 para j 6= i, lo que no dependede los elementos de λ. Entonces, si j reduce su habilidad de negociación a cero,

µi(N, u{i},λ, γ)− µi(N, u{i},λ−j, γ) = 1− 1 = 0,

y similarmente

µj(N, u{i},λ, γ)− µj(N, u{i},λ−i, γ) = 0− 0 = 0.

Entonces, para juegos de unanimidad de coaliciones individuales el resultado quedaprobado. Supongamos ahora que ∅ 6= T ⊆ N , t ≥ 2.

Si MCS(T,N, γ) = {T1, ..., Tm}, (el caso MCS(T,N, γ) = ∅ es trivial) entonces lafunción característica (uγT )λ está dada por:

(uγT )λ =m∑r=1

(mınk∈Tr{λk})uTr −

m−1∑r=1

m∑l=r+1

( mınk∈Tr∪Tl

{λk})uTr∪Tl

+...+ (−1)m−1( mınk∈∪mr=1Tr

{λk})u∪mr=1Tr

y así,

µ(N, uT ,λ, γ) = Sh[N,

m∑r=1

(mınk∈Tr{λk})uTr −

m−1∑r=1

m∑l=r+1

( mınk∈Tr∪Tl

{λk})uTr∪Tl

+...+ (−1)m−1( mınk∈∪mr=1Tr

{λk})u∪mr=1Tr

].

Supongamos ahora que el jugador j ∈ N reduce su habilidad de negociación a cero, yel resto de habilidades se mantiene invariante. Entonces,

µ(N, uT ,λ−j, γ) = Sh

[N,

h∑r=1

( mınk∈Tjr{λk})uTjr −

h−1∑r=1

h∑l=r+1

( mınk∈Tjr∪Tjl

{λk})uTjr∪Tjl

+...+ (−1)h−1 mınk∈∪hr=1Tjr

{λk}u∪hr=1Tjr

]con {Tj1 , ..., Tjh} el subconjunto de los elementos de MCS(T,N, γ) para los cualesj /∈ Tjr para todo r = 1, ..., h. Como consecuencia, para i ∈ N , i 6= j, la diferenciaµi(N, v,λ, γ) − µi(N, v,λ

−j, γ) es una combinación lineal del valor de Shapley (de i)en juegos de la forma uR con i, j ∈ R. Si ese jugador i ∈ N reduce su capacidad denegociación a cero, entonces la diferencia, µj(N, v,λ, γ) − µj(N, v,λ−i, γ) es la misma



combinación lineal del valor de Shapley (de j) en los mismos juegos uR con i, j ∈ R.Por la simetría del valor de Shapley, ambas diferencias

µi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ−j, γ),

yµj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ−i, γ),

coinciden. Y así queda probado que µ satisface contribuciones equilibradas en habilida-des de negociación. �

Proposición 9.2.3 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface contribucionesequilibradas.

Demostración: Consideramos (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ e i, j ∈ N . Entonces,

µi(N, v,λ, γ−j) = Shi(N, (vγ−j)λ) = Shi(N, (v

γ)λ−j

) = µi(N, v,λ−j, γ)

donde la segunda igualdad se tiene por viii) de la Proposición 7.2.1. Y así, para todoi, j ∈ N,

µi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ, γ−j) = µi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ−j, γ) =

= µj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ−i, γ),

siendo la última igualdad valida dado que µ satisface contribuciones equilibradas enhabilidades de negociación. Finalmente, usando de nuevo viii) de la Proposición 7.2.1,

µj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ−i, γ) = µj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ−i)

y así µ satisface contribuciones equilibradas. �

Observación 9.2.1 Una consecuencia directa de la demostración anterior es que lapropiedad de contribuciones equilibradas equivale a la de contribuciones equilibradas enhabilidades de negociación.

Proposición 9.2.4 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface equidad.

Demostración: Para probar que µ satisface equidad, es su�ciente mostrar que lapropiedad se veri�ca para (N, uT ,λ, γ) con T ⊆ N , dado que µ es lineal en el juego.Supongamos l = {i, j} ∈ γ. Entonces, µ(N, uT ,λ, γ)− µ(N, uT ,λ, γ\{l}) es una combi-nación lineal de valores de Shapley de juegos uR con i, j ∈ R. Esto ocurre dado que todolos elementos que están en MCS(T,N, γ) y no están en MCS(T,N, γ\{l}) contienena {i, j}. Usando la simetría del valor de Shapley,

µi(N, uT ,λ, γ)− µi(N, uT ,λ, γ\{l}) = µj(N, uT ,λ, γ)− µj(N, uT ,λ, γ\{l})




Proposición 9.2.5 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface monotonía en lashabilidades de negociación.

Demostración: Consideremos (N, v,λ, γ) y (N, v,λ′, γ) ∈ CSNΛ con (N, v) unjuego superaditivo. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que (N, v) es tambiéncero-normalizado. Usaremos en la prueba la descomposición obtenida en la Proposi-ción 8.2.1 (en el caso de un juego no cero-normalizado, la prueba es análoga usandoel Corolario 8.2.1). Supongamos para un valor �jo k ∈ N , λ′k > λk y λj = λ′j para j 6= k.

Al cambiar λk por λ′k > λk alguno de los pares (λ(h+1), vγ|Nh ) para h = 0, 1, ..., r − 1

son modi�cados. Suponemos que λk = λ(t) con t < r (el caso en el que el máximo peso,λ(r), es incrementado es trivial) y consideremos las seis posibilidades siguientes (queson exhaustivas):

i) Algunos jugadores tienen peso igual a λk pero λ′k < λ(t+1). Entonces, usando laProposición 8.2.1,

µk(N, v,λ′, γ)− µk(N, v,λ, γ) = (λ′k − λ(t))µk(N, v, γ|N ′k) ≥ 0,

con N ′k = {i ∈ N | λ′i ≥ λ′(k+1)}.

La desigualdad se obtiene dado que λ′k > λ(t) y que el valor de Myerson para unasituación de comunicación con un juego superaditivo y cero-normalizado es no negativo(ya que es el valor Shapley de un juego superaditivo y cero-normalizado).

ii) Algunos jugadores tienen peso igual a λk pero λ′k = λ(t+1). Entonces,

µk(N, v,λ′, γ)− µk(N, v,λ, γ) = (λ(t+1) − λ(t))µk(N, v, γ|N ′k) ≥ 0.

iii) Algunos jugadores tienen peso igual a λk pero λ(t+1) < λ′k < λ(t+2). Entonces,

µk(N, v,λ′, γ)− µk(N, v,λ, γ)

= (λ(t+1) − λ(t))µk(N, v, γ|Nk) + (λ′k − λ(t+1))µk(N, v, γ|N ′k) ≥ 0.

iv) Solamente un jugador tiene peso igual a λk pero λ′k < λ(t+1). Entonces,


= (λ′k − λ(t−1))µk(N, v, γ|N ′k)− (λk − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)

= (λ′k − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)− (λk − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)

= (λ′k − λk)µk(N, v, γ|Nk) ≥ 0.

v) Solamente un jugador tiene peso igual a λk pero λ′k = λ(t+1). Entonces,




= (λ(t+1) − λ(t−1))µk(N, v, γ|N ′k)− (λ(t) − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)

= (λ(t+1) − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)− (λ(t) − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)

= (λ(t+1) − λ(t))µk(N, v, γ|Nk) ≥ 0.

vi) Solamente un jugador tiene peso igual a λk pero λ′k > λ(t+1). Entonces,


= (λ(t+1) − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk) + (λ′k − λ(t+1))µk(N, v, γ|N ′k)

−(λk − λ(t−1))µk(N, v, γ|Nk)

= (λ(t+1) − λk)µk(N, v, γ|Nk) + (λ′k − λ(t+1))µk(N, v, γ|N ′k) ≥ 0.

y así el resultado queda probado. �

Proposición 9.2.6 La regla de asignación µ : CSNΛ → Rn satisface estabilidad.

Demostración: Consideremos (N, v,λ, γ) y (N, v,λ, γ \ {l}) ∈ CSNΛ con l = {i, j}, vun juego superaditivo y v0 su cero-normalización. Para k = i, j, por la Proposición 8.1,

µk(N, v,λ, γ)− µk(N, v,λ, γ\{l})

=r−1∑h=0

(λ(h+1) − λ(h))[µk(N, v0, γ|Nh)− µk(N, v0, (γ \ {l})|Nh)]


Como λ(h+1) ≥ λ(h) para h = 0, ..., r − 1, y el valor de Myeron satisface estabilidad(v superaditivo implica v0 superaditivo), el resultado queda probado. �

Sin embargo, el valor propuesto µ no satisface equidad en habilidades de negociación,como se puede observar en el siguiente contraejemplo.

Contraejemplo 9.2.2 Consideramos de nuevo el Ejemplo 7.2.1 conN = {1, 2, 3, 4, 5}, λ = (0.6, 0.3, 0.5, 0.1, 0.4), v = u{1,3} y γ ={{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1}}. Una representación de (N, γ) con los pesosde los jugadores está dada en la Figura 9.3.1.

λ1 = 0.6

λ2 = 0.3

λ3 = 0.5

λ5 = 0.4 λ4 = 0.1

Figura 9.3.1



Entonces,

µ(N, v,λ, γ) =

(21

200,

2

25,

21

200,

1

200,

1

200

).

Sea λ′ = (0.6, 0, 0.5, 0.1, 0), es decir: la capacidad de negociación de los jugadores 2y 5 se anula. Tenemos µ(N, v,λ′, γ) = (0, 0, 0, 0, 0), y así

µ2(N, v,λ, γ)− µ2(N, v,λ′, γ) = 2256= 1

200= µ5(N, v,λ, γ)− µ5(N, v,λ′, γ).

Supongamos ahora λ′′ = (0.6, 0.2, 0.5, 0.1, 0.3), es decir, ambos jugadores (2 y 5)reducen su capacidad de negociación en la misma cantidad. Tenemos

µ(N, v,λ′′, γ) = (43

600,

7

150,

43

600,

1

200,

1

200),

y así

µ2(N, v,λ, γ)− µ2(N, v,λ′′, γ) =1

306= 0 = µ5(N, v,λ, γ)− µ5(N, v,λ′′, γ).

Entonces, la propiedad de equidad en habilidades de negociación no se satisface nicuando dos jugadores modi�can su capacidad de negociación hasta igualarla ni cuandola reducen en la misma cantidad.

9.3. Caracterizaciones

En esta sección introducimos dos caracterizaciones del valor de�nido, µ. Están inspi-radas en las de Myerson (1977, 1980).

Proposición 9.3.1 µ es la única regla de asignación sobre CSNΛ que satisface e�cien-cia en componentes conexas de negociación y contribuciones equilibradas en habilidadesde negociación.

Demostración: Ya se ha probado que µ satisface e�ciencia en componentesconexas de negociación y contribuciones equilibradas en habilidades de negociación.Recíprocamente, supongamos que ψ es una regla de asignación sobre CSNΛ que satisfaceestas dos propiedades. Vamos a probar que ψ(N, v,λ, γ) = µ(N, v,λ, γ) para todo(N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ , por inducción sobre d(λ), el cardinal de δ(λ) = {λi, i ∈ N | λi > 0}.

Si d(λ) = 0, entonces λ = 0, y cada componente conexa de negociación es un jugadorindividual. Como ψ y µ satisfacen e�ciencia en componentes conexas de negociación,

ψi(N, v,0, γ) = (vγ)λ({i}) = v({i}) = µi(N, v,0, γ),

para todo i ∈ N .



Supongamos ahora que ψ(N, v,λ, γ) = µ(N, v,λ, γ) para toda situación de comu-nicación con jugadores que tienen diferentes capacidades de negociación en CSNΛ cond(λ) ≤ k, k ≥ 0, y consideremos (N, v,λ, γ) ∈ CSγΛ con d(λ) = k + 1. Sea i ∈ N yCN,γi la componente conexa de negociación a la cual i pertenece.

Si CN,γi = {i}, entonces, de nuevo, como ψ y µ satisfacen e�ciencia en componentes

conexas de negociación,

ψi(N, v,λ, γ) = (vγ)λ({i}) = v({i}) = µi(N, v,λ, γ),

y así ambas reglas coinciden en este caso.

Alternativamente, supongamos que |CN,γi | > 1, y sea j ∈ CN,γ

i , j 6= i. Por de�-nición de las componentes conexas de negociación, existe un conjunto de jugadoresi = i1, i2, i3, ..., ir = j con il ∈ CN,γ

i para l = 1, 2, ..., r y tal que {il, il+1} ∈ γ, paracada l = 1, 2, ..., r − 1, y λil > 0 para l = 1, 2, .., r. Como ψ satisface contribucionesequilibradas en habilidades de negociación,

ψi1(N, v,λ, γ)− ψi1(N, v,λ−i2 , γ) = ψi2(N, v,λ, γ)− ψi2(N, v,λ−i1 , γ).

Se tiene que d(λ−i1) ≤ k y d(λ−i2) ≤ k, y entonces usando la hipótesis de inducción,

ψi1(N, v,λ−i2 , γ) = µi1(N, v,λ

−i2 , γ)

yψi2(N, v,λ

−i1 , γ) = µi2(N, v,λ−i1 , γ).

Además:

ψi1(N, v,λ, γ)− ψi2(N, v,λ, γ) = ψi1(N, v,λ−i2 , γ)− ψi2(N, v,λ−i1 , γ)

= µi1(N, v,λ−i2 , γ)− µi2(N, v,λ−i1 , γ) = µi1(N, v,λ, γ)− µi2(N, v,λ, γ),

donde la última igualdad se tiene dado que µ satisface la propiedad de contribucionesequilibradas en habilidades de negociación. Como consecuencia

ψi1(N, v,λ, γ)− µi1(N, v,λ, γ) = ψi2(N, v,λ, γ)− µi2(N, v,λ, γ).

Usando el razonamiento anterior de manera iterativa,

ψi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ, γ) = ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ),

para cada j ∈ CN,γi y así, existe hCN,γi

∈ R tal que

ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ) = hCN,γi,

para todo j ∈ CN,γi . Entonces

|CN,γi |hCN,γi

=∑

j∈CN,γi

[ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ)]



=∑

j∈CN,γi

ψj(N, v,λ, γ)−∑

j∈CN,γi

µj(N, v,λ, γ).

Por la e�ciencia en componentes conexas de negociación de ambas reglas ψ y µ, estaúltima expresión es igual a cero y así, hCN,γi

= 0 = ψj(N, v,λ, γ) − µj(N, v,λ, γ) para

todo j ∈ CN,γi y, en particular, para i, lo cual completa la demostración. �

Proposición 9.3.2 µ es la única regla de asignación sobre CSNΛ que satisface e�-ciencia en componentes conexas de negociación y equidad.

Demostración: Ya se ha probado que µ satisface e�ciencia en componentesconexas de negociación y equidad. Recíprocamente, supongamos ψ is una regla deasignación sobre CSNΛ que satisface estas dos propiedades. Vamos a probar queψ(N, v,λ, γ) = µ(N, v,λ, γ) para todo (N, v,λ, γ) ∈ CSNΛ por inducción sobre |γ|.

Si |γ| = 0, entonces, cada componente conexa de negociación es un jugador individual.Como ψ y µ satisfacen e�ciencia en componentes conexas de negociación,

ψi(N, v,λ, ∅) = (vγ)λ({i}) = v({i}) = µi(N, v,λ, ∅),

para todo i ∈ N .

Supongamos ahora que ψ(N, v,λ, γ) = µ(N, v,λ, γ) para toda situación de comu-nicación con jugadores que tienen diferentes habilidades de negociación en CSNΛ con|γ| ≤ k, k ≥ 0, y consideremos (N, v,λ, γ) ∈ CSγΛ con |γ| = k + 1. Sea i ∈ N ysupongamos que CN,γ

i es la componente conexa de negociación de (N, v,λ, γ) a la quei pertenece.

Si CN,γi = {i}, entonces, de nuevo, como ψ y µ satisfacen e�ciencia en componentes

conexas de negociación, ψi(N, v,λ, γ) = (vγ)λ({i}) = v({i}) = µi(N, v,λ, γ) y asíambas reglas coinciden.

Alternativamente, supongamos que |CN,γi | > 1, y sea j ∈ CN,γ

i , j 6= i. Por lade�nición de componente conexa de negociación, existe un conjunto de jugadoresi = i1, i2, i3, ..., ir = j con il ∈ CN,γ

i para l = 1, 2, ..., r y tal que {il, il+1} ∈ γ, pa-ra cada l = 1, 2, ..., r − 1, y además λil > 0 para l = 1, 2, ..., r. Como ψ satisfaceequidad,

ψi1(N, v,λ, γ)− ψi1(N, v,λ, γ \ {i1, i2}) = ψi2(N, v,λ, γ)− ψi2(N, v,λ, γ \ {i1, i2}).

Por ser |γ \ {ii, i2}| ≤ k, utilizando la hipótesis de inducción,

ψi1(N, v,λ, γ \ {i1, i2}) = µi1(N, v,λ, γ \ {i1, i2})

yψi2(N, v,λ, γ \ {i1, i2}) = µi2(N, v,λ, γ \ {i1, i2}).



Entonces,

ψi1(N, v,λ, γ)− ψi2(N, v,λ, γ) = ψi1(N, v,λ, γ \ {i1, i2})− ψi2(N, v,λ, γ \ {i1, i2}) =

µi1(N, v,λ, γ \ {i1, i2})− µi2(N, v,λ, γ \ {i1, i2}) = µi1(N, v,λ, γ)− µi2(N, v,λ, γ),

donde la última igualdad se obtiene porque µ satisface la propiedad de equidad. Comoconsecuencia,

ψi1(N, v,λ, γ)− µi1(N, v,λ, γ) = ψi2(N, v,λ, γ)− µi2(N, v,λ, γ).

Usando el razonamiento anterior de forma iterativa,

ψi(N, v,λ, γ)− µi(N, v,λ, γ) = ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ),

para todo j ∈ CN,γi , y así, existe hCN,γi

∈ R tal que

ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ) = hCN,γi,

para todo j ∈ CN,γi . Entonces,

|CN,γi |hCN,γi

=∑

j∈CN,γi

[ψj(N, v,λ, γ)− µj(N, v,λ, γ)]

=∑

j∈CN,γi

ψj(N, v,λ, γ)−∑

j∈CN,γi

µj(N, v,λ, γ).

Por la e�ciencia en componentes conexas de negociación de ambas reglas ψ y µ, estaúltima expresión es igual a cero y así, hCN,γi

= 0 = ψj(N, v,λ, γ) − µj(N, v,λ, γ) para

todo j ∈ CN,γi y, en particular para i, lo cual completa la demostración. �

Proposición 9.3.3 µ es la única regla de asignación sobre CSNΛ que satisface e�-ciencia en componentes conexas de negociación y contribuciones equilibradas.

Demostración: Es una consecuencia directa de la Proposición 9.3.1 y la Observa-ción 9.2.1 �


Capítulo 10

Conclusiones y futuras líneas deinvestigación

Podemos ver poco sobre el futuro, pero lo

su�ciente para darnos cuenta de que hay

mucho por hacer.

Alan Turing

En este apartado se expone, en primer lugar, un resumen de todas las ideas que lapresente tesis ofrece como novedades o aportaciones a la Teoría de Juegos. En segundo,y último lugar, se describen algunas metas, objetivos o curiosidades que nos han surgidoen los últimos años y, a los que previsiblemente dedicaremos nuestros esfuerzos en lospróximos.

10.1. Conclusiones

En esta memoria se ha construido un puente entre los juegos cooperativos y losno cooperativos. Para nosotros, en los juegos cooperativos los jugadores no tienennecesariamente voluntad total de cooperación sino que su interés en ella está matizado através de un valor en el intervalo [0, 1]. Hemos propuesto modi�car el juego cooperativooriginal para tener en cuenta las habilidades cooperativas de los jugadores. Suponemosque, como consecuencia de los diferentes niveles de cooperación, cada coalición con doso más jugadores retiene solo una proporción de su dividendo. Nuestra propuesta es queesta proporción es el mínimo de las habilidades de cooperación de sus miembros. Porsupuesto, para coaliciones individuales el dividendo no debe verse alterado puesto quecada jugador siempre estará de acuerdo consigo mismo.

Nosotros también hemos propuesto como regla de reparto para juegos cooperativoscon jugadores que tienen diferentes habilidades cooperativas el valor de Shapley deljuego modi�cado. El valor obtenido satisface monotonía en los pesos para juegossuperaditivos y admite varias caracterizaciones paralelas a las más prominentes en la

CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 93

literatura de la Teoría de Juegos para el valor de Shapley.

Hemos abordado lo que para nosotros es una consecuencia de la cooperaciónimperfecta: la ine�ciencia. Si, como se ha dicho, en todos los modelos existentes conpesos para los jugadores los repartos procuran mantener la e�ciencia, en nuestrapropuesta asumiremos que la imperfección en la cooperación conlleva, en general, laperdida de una parte del valor de la coalición global.

Otro de los objetivos de esta memoria ha sido extender el valor de Myerson asituaciones en las cuales los jugadores tienen sus posibilidades de cooperación restrin-gidas por un grafo y además, diferentes habilidades de regateo. La solución propuestageneraliza el valor de Myerson y el valor de Shapley.

10.2. Futuras lineas de investigación

Los resultados introducidos en la presente memoria pueden ser generalizados siguien-do diferentes caminos. Por ejemplo, se puede suponer que las habilidades de negociaciónde cada jugador dependen de las del resto de jugadores. Entonces, dado (N, v) ∈ GN

podemos asociar a cada jugador i ∈ N un vector λi = (λij)j=1,...,n con λij ∈ [0, 1] yλii = 1. λij representa la habilidad de negociación del jugador i con respecto al jugadorj. Por supuesto λii = 1, asumiendo que el nivel de cooperación de i consigo mismo estotal. También λij puede ser diferente de λji dado que las habilidades de cooperaciónno necesitan ser simétricas. Entonces,

GNΛn = {(N, v,λ1, ..., λn) | (N, v) ∈ GN , λi ∈ [0, 1]n con λii = 1 para todo i ∈ N}

es el conjunto de todos los juegos cooperativos, en los cuales, el conjunto de jugadoresN puede tener diferentes habilidades de negociación que dependen de las del resto dejugadores.

Cada (N, v,λ) ∈ GNΛ puede ser identi�cado con el elemento (N, v,λ1, ..., λn) ∈ GN

Λn

en los que, para todo i ∈ N λij = λi, si j 6= i, y λii = 1. Y por tanto, GNΛ es isomorfo a

un subconjunto (GNΛ )∗ de GN

Λn .

En este nuevo escenario, el juego generalizado (N, vλ1,...,λn) ∈ GN tiene funcióncaracterística dada por

vλ1,...,λn(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆v(T ) mıni,j∈T{λij}+

∑i∈N

∆v({i}).

(N, vλ1,...,λn) coincide con (N, vλ), siendo λ = (λ1, ..., λn) si para cada i ∈ N ,λij = λi, j 6= i y λii = 1.

10.2. FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACIÓN


Una regla de reparto en GNΛn es una función ψ : GN

Λn → Rn que satisface

ψ(N, vλ1,...,λn) = [v(1), ..., v(n)]

siempre que λij = 0 para todo i 6= j y λii = 1 para todo i = 1, ..., n.

La regla de reparto σ∗ : GNΛn → RN dada por σ∗(N, v,λ1, ..., λn) = Sh(N, vλ1,...,λn)

coincide con σ cuando se restringe a (GNΛ )∗. Las caracterizaciones obtenida en la

presente memoria para σ pueden ser adaptada para caracterizar σ∗.

Otra generalización puede ser obtenida asumiendo que las habilidades de cooperaciónde cada jugador dependen de las coaliciones en la que participa. Entonces, asociaríamosa cada jugador i ∈ N en un juego cooperativo (N, v) un vector λi = (λi,S)S∈N,i∈S conλi,S ∈ [0, 1] para todo i ∈ S, S ⊆ N y λi,{i} = 1. El juego modi�cado (N, vλ1,...,λn) ∈ GN

está dado por

vλ1,...,λn(S) =∑

T⊆S,t≥2

∆v(T ) mıni∈T{λi,T}) +

∑i∈N

∆v({i}), para S ⊆ N , S 6= ∅,

y vλ1,...,λn(∅) = 0. La regla de reparto natural en este marco sería σ∗(N, v,λ1, ..., λn) =Sh(N, vλ1,...,λn).

Este escenario generaliza ambas consideraciones anteriores. En particular, el casoen que las habilidades de negociación del jugador i ∈ N dependen de las del resto dejugadores, es decir, estas habilidades están dadas por λi = (λij)j=1,...,n con λii = 1, esun caso especial de éste, en el cual λi,S = mın

j∈S{λij}, si S ⊆ N , i ∈ S.

Además σ∗ generaliza las reglas de asignación, ψ, sobre GN que satisfacen las pro-piedades de linealidad, simetría, ψi(N, u{i}) = 1, para i ∈ N , y jugador nulo. Es fácilver que σ∗(N, v,λ1, ..., λn) = ψ(N, v) si para T ⊆ N y i ∈ T , λi,T = tψi(N, uT ). Paraprobar esto, se tiene en cuenta que la simetría de ψ implica que ψk(N, uT ) = ψk′(N, uT )para todo k, k′ ∈ T , y así para i = 1, 2, ..., n,

σ∗i(N, v,λ1, ..., λn) = Shi(N, vλ1,...,λn) =

= Shi(N,∑

T⊆N,t≥2

∆v(T ) mınj∈T{λj,T})uT +

∑j∈N

∆v({j})u{j}) =

=∑

T⊆N,t≥2

∆v(T ) mınj∈T{λj,T})Shi(N, uT ) +

∑j∈N

∆v({j})Shi(N, u{j}) =

=∑

T⊆N,i∈T,t≥2

∆v(T )tψi(N, uT )(1/t) + ∆v({i}) =

= ψi(N,∑

T⊆N,t≥2

∆v(T )uT +∑j∈N

∆v({j})u{j}) = ψi(N, v).



En particular el valor de Shapley es obtenido para λi,S = sShi(N, uS) = 1 parai ∈ S, S ⊆ N ; el valor de Banzhaf-Coleman18, B (Banzhaf, 1964, 1968; Coleman,1971), si λi,S = sBi(N, uS) = s

2s−1 , i ∈ S, S ⊆ N .

Estas ideas también pueden utilizarse para generalizar las situaciones de comuni-cación. Asumiendo que los jugadores pueden tener habilidades de cooperación quedependen de los otros jugadores o de las coaliciones a las que se incorporan

En muchas ocasiones, la propiedad de e�ciencia parece natural, por ejemplo cuandola �nalidad del juego es distribuir costes o repartir bene�cios. En otras ocasiones, porejemplo en el contexto de situaciones de votación modelizadas como juegos cooperativos,no existe un bene�cio a repartir, por lo que podría argumentarse que no tiene sentido lapropiedad de e�ciencia, ya que la �nalidad del juego es medir el poder, no distribuirlo.En esta linea se desarrolló el anteriormente citado valor de Banzhaf, el cual, se puedecaracterizar paralelamente al valor de Shapley sustituyendo el axioma de e�ciencia poruna propiedad que cuanti�ca el poder total19 que subyace en el juego. El estudio delcomportamiento de este valor para los juegos considerados en la presente memoriaes una linea de investigación que queda abierta, y en la que ya estamos trabajandoactualmente. Ha dado lugar a la aportación:

Manuel, C. and Martín, D. (2021). A Monotonic Weighted Banzhaf Value forVoting Games. Mathematics, 9(12), 1343.

Desde el trabajo pionero de Shapley (1953), el valor ha sido estudiado ampliamentedesde un punto de vista teórico. Muchos estudios también se han focalizado en lasaplicaciones potenciales del valor de Shapley para juegos especí�cos. Sin embargo, desdeel punto de vista de computación el valor de Shapley es un problema NP-completo.El problema de su cálculo debe abordarse antes de que pueda emplearse como unaherramienta útil en situaciones reales.

La estimación del valor de Shapley basado en muestreo surge para dar salida aestas situaciones en las que calcular el valor exacto no es posible dados los recursosde computación en la actualidad. La literatura sobre las técnicas de muestreo es muy

18Dado un juego (N, v) ∈ GN , esta solución asigna a cada jugador i ∈ N el número real:

Bi(N, v) =∑

S⊆N\{i}

1

2n−1

[v(S ∪ {i})− v(S)

].

19Una solución ψ : GN → Rn satisface la propiedad de poder total si para todo juego (N, v) ∈ GN ,se tiene que

n∑i=1

ψi(N, v) =

n∑i=1

1

2n−1

∑S⊆N\{i}

[v(S ∪ {i})− v(S)

].



extensa y ampliamente desarrollada. No obstante, la investigación de estas técnicaspara la estimación de valores propios de la Teoría de Juegos, como el valor de Shapley,es relativamente moderna, siendo Castro et al. (2009) el trabajo pionero en este marco.

El valor de Shapley para un jugador cualquiera es una media ponderada de lascontribuciones marginales de dicho jugador. La estimación del valor de Shapleymediante las técnicas de muestro consiste en inferir el valor real a través de unamuestra de las contribuciones marginales de cada jugador. De esta manera es posibleinferir cualquier valor de Shapley con independencia del tamaño del juego.

En Castro, Gómez, Molina y Tejada (2017) se desarrolla un método inferencial parael cálculo del valor de Shapley a través de un muestreo estrati�cado con a�jaciónóptima. La a�jación óptima consiste en determinar las unidades que se extraen decada estrato para la muestra de forma que, para un coste �jo C, la varianza de losestimadores sea mínima.

En la actualidad, el autor de la presente memoria, junto con el director de la mismay el Dr. Javier Castro, estamos trabajando en el desarrollo de un método inferencialpara la estimación de los valores introducidos en esta tesis doctoral20.

Y así, del mucho leer y del poco dormir, se le

secó el celebro de manera que vino a perder el

juicio.

Miguel de Cervantes Saavedra

20Para ser más exactos, la investigación que se está llevando a cabo no se limita a la inferencia delos valores de la presenta memoria, sino que se pretende crear un proceso de estimación para cualquierjuego que pueda expresarse en términos de sus dividendos.


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Valores monótonos para juegos con cooperación imperfecta

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