Geométria computacional: Polígonos y-monótonos

Geometría Computacional: Triangulación: Polígonos Y-Monótonos

Polígonos Y-Monótonos

Eje y

Cadena

izquierda

End Vertex

Start Vertex

Cualquier línea perpendicular a el eje Y intersecta al polígono solo dos veces.

Las cadenas nunca van hacia arriba cuando pasan por los vértices regulares empezando por el inicio y terminando en el fin.

En general un polígono monónoto se define con respecto a una línea.

Geometría Computacional

Cadena

derecha

Regular Vertex

Triangulanción de un Polígono Y-MonótonoGeometría Computacional

Usar la técnica de algoritmo Greddy (glotón) recorriendo los vértices en orden descendente por el eje Y.

Si desde el vértice actual no se puede trazar una diagonal, se adiciona a una pila S.

Para verificar si se puede trazar una diagonal se chequea con los dos vértices en el tope de la pila S.

Cuando se pueda trazar una diagonal se trazan todas aquellas que sean posibles sacando vértices de la pila S.

En la pila S siempre deben quedar al menos dos vértices para chequear con el próximo vértice.


Próximo en la cadena contraria

t

s

r

q

uj

q

r

s

t

uj-1

S

uj-1



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

r

s

t

uj-1

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

r

s

t

S

t



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

r

s

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

r

s

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

r

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

q

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

S

Push



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

Push

uj-1

S



t

s

r

q

uj

uj-1

Pop

Push

uj-1

S

uj


Cambio de giro en la misma cadena

uj-1

t

s

r

q

uj

q

r

s

t

uj-1

S



uj-1

t

s

r

q

uj

q

r

s

t

uj-1

S

Pop



uj-1

t

s

r

q

uj

q

r

s

t

S

Pop



uj-1

t

s

r

q

uj

q

r

s

S

Pop



uj-1

t

s

r

q

uj

q

r

S

Pop



uj-1

t

s

r

q

uj

q

S

Pop



uj-1

t

s

r

q

uj

q

S

Pop

Push



uj-1

t

s

r

q

uj

q

S

Pop

Push

r



uj-1

t

s

r

q

uj

q

S

Pop

Push

r

uj

TriangulateMonotonePolygon(P)

Input: A y-monotone polygon P sotored in a DCEL D.

Output: A triangulation of P stored in D.

1. Merge all vertices of P into one sequence sorted on decreasing

y coordinate.

2. Initialize an empty stack S and push u1 and u2 onto it.

3. for j ← 3 to n – 1

4. if uj and Top(S) are on different chains

5. then v = Pop(S)

6. while !IsEmpty(S)

7. insert into D a diagonal from uj to v

8. v = Pop(S)

9. Push(S, uj-1)

10. else v = Pop(S)

11. while !IsEmpty(S) and Top(S) is visible from uj12. v = Pop(S)

13. insert into D a diagonal from uj to v

14. Push(S, v)

15. Push(S, uj)

16. Add diagonals from un to all stack vertices except the first

and the last one.




u1

u2

u2

u3

u3

u4

u3

u5u6

u7

u8

u9

u5

u10

u11

u7

u11

u12

S



u1

u2

S



u1

u2

S

u3



u1

S

u3



S

u3 u2

Push



S

u3

u2

Push



u4

S

u3

u2



u4

S

u2



u4

S



u4

S

u3

Push



u4

S

u3u5



S

u3u5



S

u5



S

u5 u3

Push



S

u5

u3

Push



S

u5

u3u6



S

u3u6



S

u6



S

u5

Push

u6



S

u5

u6

u7



S

u5

u6

u7

Push



S

u5

u6

u7

u8



S

u5

u6

u7

u8

Push



S

u5

u6

u7

u8

u9



S

u5

u6

u7

u8

u9

Push



S

u5

u6

u7

u8

u9

u10



S

u5

u6

u7

u8

u10



S

u5

u6

u7

u10



S

u5

u6

u10



S

u5

u6

u10

Push

u7



S

u5

u6

u10

u7

u11



S

u5

u6

u10

u7

u11

Push



S

u5

u6

u10

u7

u11

u12



S

u5

u6

u10

u7

u12



S

u5

u6

u7

u12



S

u5

u6

u12



S

u5u12



S

u12



S

u12

S

u11

Push

Triangulación de un Polígono Y-Monótono

Como se parte del polígono representado en una DCEL, mezclar los vértices de forma ordenada toma un tiempo O(n).

Realizando un análisis amortizado de las operaciones se obtiene que el tiempo total del algoritmo es O(n).


Geométria computacional: Polígonos y-monótonos

Education

Transcript of Geométria computacional: Polígonos y-monótonos