Uso de la tecnología en la enseñanza de funciones, a nivel ...
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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS SINALOA
USO DE LA TECNOLOGÍA EN LA ENSEÑANZA DE FUNCIONES, A NIVEL MEDIO SUPERIOR
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAESTRO EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
por
Autora: ADRIANA GAXIOLA GONZALEZ
Asesor: Ph. D. J. BENIGNO VALDÉZ TORRES
Mayo de 1998
© Todos los derechos reservados a lng. Adriana Gaxiola González
¡¡
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS SINALOA
CONSTANCIA DE EXAMEN Y AUTORIZACION DE LA EXPEDICION
DE GRADO ACADEMICO
028
Los suscritos, miembros del jurado calificador del examen de grado sustentado hoy
por ADRIANA GAXIOLA GONZALEZ
en opción al grado académico de
MAESTRA EN EDUCACION, ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS
hacemos constar que el sustentante resultó APR.o8ADfJ POR. lJIJAN1rn1Dl:,D
/ I
MTRO. ARMANDO LOZANO RODRIGUEZ DR. ED~TE MARQUEZ
Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos contenidos en su
expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el
Reglamento Académico de los programas ci.e graduados de la zona.
Expídase el grado académico mencionado, con fecha 2 7 DE MAYO DE 1998.
Rector de la Zona
LI ING. RICARDO PUENTES ALVAREZ Director General del Campus
Culia.cá.n, Sinaloa, a 11 DE MAYO DE 1998.
DEDICATORIA
La presente tesis está dedicada a:
A mi esposo, lng. Jesús Ruvalcaba Álvarez por su amor, comprensión y apoyo
demostrado en la realización de mi tesis.
A mis padres Benjamín Gaxiola Cota y Lucero González Mendiente por sus
constantes ánimos para llegar a feliz término en mi maestría.
A mis dos hijas Mónica y Adriana Ruvalcaba Gaxiola que aún sin saberlo han
sido motivo de estímulo para esta tesis.
A mis asesores Dr. Benigno Valdéz Torres y Dr. Eduardo Zárate Márquez por
su tiempo, apoyo y aliento para dar buen término a mi proyecto de tesis.
iv
RESUMEN
USO DE LA TECNOLOGÍA EN LA ENSEÑANZA DE FUNCIONES
MAYO DE 1988
ADRIANA GAXIOLA GONZÁLEZ
INGENIERA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIO SUPERIORES DE MONTERREY
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
Dirigida por el Dr. Benigno Valdéz Torres
El trabajo de investigación es de tipo experimental, cuyo propósito fué evaluar
los efectos de la aplicación de la metodología de enseñanza-aprendizaje
desarrollada con apoyo en un paquete graficador(GC) para un curso de funciones,
en el aprovechamiento de los estudiantes del curso de matemáticas II de nivel
medio superior del ITESM Campus Sinaloa.
La metodología tuvo como objetivo el uso de software graficador como parte de la
estrategia de enseñanza-aprendizaje que se fundamenta en el marco del
constructivismo, aprendizaje significativo y la teoría sociocultural para el curso de
matemáticas 11 en bachillerato en el tema de funciones.
La población de interés fueron los alumnos que cursen matemáticas II de
bachilerato. La elección al azar del grupo experimental y el grupo de control se
hizo a partir de los grupo formados por el ITESM Campus Sinaloa.
Los test aplicados fueron diseñados por un equipo de maestros del
departamento de matemáticas del Campus Sinaloa.
V
Para hacer el análisis estadístico de los datos, se realizó un diseño
experimental de una variable para dos grupos: uno experimental que recibió la
metodología y uno de control que no recibió la metodología. La comparación entre
grupos se hizo mediante una prueba t-student además de una tabla de frecuencias
para cada una de las variables dependientes.
Se encontró que la metodología aplicada incrementa significativamente el
aprovechamiento académico de los estudiantes alcanzándose el aprendizaje
significativo de las funciones elementales.
Como recomendación se sugiere emplear la metodología en las clases
rediseñadas como parte de las estrategias de enseñanza-aprendizaje en el trabajo
con funciones.
vi
ÍNDICE DE CONTENIDO
Página
PRESENTACIÓN ................................................................................. i
DEDICATORIA .................................................................................... iv
RESUMEN ........................................................................................... v
ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................. ix
ÍNDICE DE FIGURAS .......................................................................... x
Capítulo
1. ANTECEDENTES ......................................................................... 1 1.1 Generalidades ........................................................................ 1
1.1.1 La tecnología y la educación ......................................... 1 1.1.2 La tecnología y la investigación educativa ................... .4 1.1.3 La tecnología y las matemáticas ................................... 6
1.2 Definición del problema ......................................................... 13 1.2.1 Situación observada .................................................... 13 1.2.2 Situación deseada ....................................................... 14
1.3 Enunciado del problema ........................................................ 15 1.3.1 Limitaciones ................................................................. 16
1.3.1.1 Límites teóricos ................................................. 16 1.3.1.2 Límites temporales ............................................ 16 1.3.1.3 Límites espaciales de la investigación .............. 17
1.4 Objetivos ................................................................................ 17 1.4.1 Objetivo general. .......................................................... 17 1.4.2 Objetivos específicos ................................................... 17
2. ASPECTOS TEÓRICOS Y CONCEPTUALES ............................ 19 2.2 Psicología educativa .............................................................. 19 2.3 El constructivismo .................................................................. 21
2.3.1 El metaconocimiento ..................................................... 22 2.3.2 La instrucción y el constructivismo ................................ 22
2.4 La matemática educativa ....................................................... 25 2.4.1 Matemática educativa y constructivismo ...................... 26
2.5 Tecnología educativa ............................................................. 31 2.6 Hipótesis ................................................................................ 35
2.6.1 Hipótesis general... ....................................................... 35 2.6.2 Hipótesis particulares ................................................... 36
3. METODOLOGÍA. ......................................................................... 37
vii
3.1 Población y muestra ............................................................... 37 3.2 Materiales ............................................................................... 38 3.3 Métodos .................................................................................. 39
3.3.1 Marco teórico ................................................................ 39 3.3.2 Diseño ........................................................................... 40
3.3.2.1 Objetivo 1 .......................................................... .42 3.3.2.2 Objetivo 2 .......................................................... .45 3.3.2.3 Objetivo 3 .......................................................... .47 3.3.2.4 Objetivo 4 .......................................................... .48 3.3.2.5 Objetivo 5 ........................................................... 50
3.4 Diseño experimental. .............................................................. 52
4. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESUL TADOS .............................. 53 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................... 68
5.1 Conclusiones .......................................................................... 68 5.2 Recomendaciones .................................................................. 69
ANEXOS ................................................................................................. 70
TEST DE IDENTIFICACIÓN ................................................................... 71
TEST DE ASOCIACIÓN ......................................................................... 75
TEST DE TRAZADO .............................................................................. 76
TEST DE ESCRITURA. ......................................................................... 77
TEST DE MODELADO .......................................................................... 79
BIBLIOGRAFÍA CONSUL TADA. ............................................................ 80
VITAE ..................................................................................................... 95
vii
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla Página
1. Variable: Identificación ......................................................... 54
2. Variable: Identificación ......................................................... 54
3. Variable: Asociación ............................................................ 57
4. Variable: Asociación ............................................................ 57
5. Variable: Trazado ................................................................ 60
6. Variable: Trazado ................................................................ 60
7. Variable: Escritura ............................................................... 63
8. Variable: Escritura ............................................................... 63
9. Variable: Modelado ............................................................. 66
1 O. Variable: Modelado ............................................................. 66
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figuras Página
1. Variable: ldentificación ............................................................ 55
2. Variable: Asociación ............................................................... 58
3. Variable: Trazado ................................................................... 61
4. Variable: Escritura .................................................................. 64
5. Variable: Modelado ................................................................ 67
ix
1.1 Generalidades
CAPITULO 1
ANTECEDENTES
Las sociedades de finales del siglo XX se caracterizan por una alta globalización,
complejidad y sofisticación en sus actividades e interrelaciones. Una de las
principales causas de esta situación mundial es el gran desarrollo alcanzado por
la ciencia y la tecnología en la última mitad de este siglo. La relación entre ciencia
y tecnología es muy estrecha y profunda, pues prácticamente todas las
actividades conocidas del hombre utilizan una forma u otra de proceso,
herramienta o máquina. Así por ejemplo, el aumento en la producción industrial,
los avances en las ciencias de la salud, el impresionante desarrollo de las
comunicaciones, etc., han sido posibles en buena medida gracias a la tecnología
operativizando los conocimientos científicos.
1.1.1 La tecnología y la educación
La educación, como muchas otras actividades del hombre, no ha permanecido
al margen de la influencia de la tecnología, por el contrario, ha mejorado
adaptando e incorporando avances tecnológicos en sus actividades y objetivos.,
En la educación se han utilizado, entre otras, tecnologías de medición,
audiovisuales, computacionales, de telecomunicación y multimedia. Entre
las herramientas de medición elementales nos encontramos con la regla, el
compás, el teodolito, el pálmer, etc. La regla y el compás datan de los antiguos
griegos, y se introdujeron a las escuelas para el estudio de la geometría. Otras
herramientas para mediciones topográficas y físicas, por ejemplo, el teodolito y el
pálmer fueron desarrollados para aplicaciones en ingeniería.
Entre las herramientas audiovisuales una de las primeras utilizadas para
apoyar la exposición verbal con imágenes fue la fotografía. El cine tuvo su
primera referencia en los cursos diseñados para especialistas militares durante la
Segunda Guerra Mundial. El retroproyector evitó el tiempo de trazado en el
pizarrón de imágenes o de datos utilizándolos en repetidas ocasiones.
Recientemente, con el uso de televisión y video, se logra transportar a los
alumnos a diferentes escenarios con la posibilidad de ser espectadores vívidos de
la actividad de un hormiguero, de la danza de una tribu africana, o de los efectos
nocivos de la contaminación, etc.
Las herramientas de telecomunicación como teléfono, satélite, fax, correo
electrónico, Internet, etc., favorecieron el desarrollo de la educación a distancia,
la cual se inició ofreciendo servicios de capacitación para amas de casa;
contribuyendo a la solución del problema de masificación en la educación y
ayudando a afrontar el problema de dispersión de la población. Algunas
instituciones educativas han utilizado las telecomunicaciones como área de
oportunidad para ofrecer capacitación y posgrado.
Una de las herramientas de mayor repercusión en la educación ha sido la
tecnología computacional. Entre ellas destacan el ábaco, las máquinas
analíticas y digitales, la regla de cálculo, las microcomputadoras y el software
computacional.
2
El ábaco surge desde tiempos remotos en la Mesopotamia antigüa para ayudar a
contar, sumar y restar. En la búsqueda de alguna herramienta que permitiera
realizar las operaciones aritméticas con mayor rapidez, encontramos la máquina
analítica diseñada por Pierre de Fermat en 1640, y la primera propuesta de
calculador digital entre 1642 y 1644 construida por Blaise Pascal.
La regla de cálculo, diseñada originalmente por William Ougtred para realizar
operaciones aritméticas, se sofisticó hasta convertirse en una herramienta capaz
de ayudar al cálculo de valores de funciones logarítmicas, trigonométricas,
exponenciales, de potencias, etc. La regla de cálculo permitió al ingeniero realizar
operaciones matemáticas de manera más ágil y con precisión aceptable.
La primera generación de computadores electrónicos digitales fueron máquinas
de gran volumen. En 1951 con la UNIVAC I se da el primer paso hacia las
computadoras diseñadas con propósito comercial. Desde esta primera generación
aparecen lenguajes computacionales como Fortran, Cobol, Pascal y otros que
permiten al estudiante, mediante la programación de rutinas de trabajo, resolver
problemas más complejos. Con la invención de los circuitos integrados en 1959 se
construye la calculadora electrónica, la cual desplaza a la regla de cálculo por su
rapidez, precisión, bajo costo y portabilidad.
La invención del microprocesador en 1971 da lugar al diseño y construcción de
las primeras microcomputadoras, las cuales permiten al usuario tener una
computadora en su oficina o en su casa. Las microcomputadoras, junto con la
mejora de los lenguajes de programación especializados, generan la industria del
software computacional; en la cual encontramos paquetes para la edición de
textos, el procesamiento de datos, imágenes geográficas, trabajo en ciencias, etc.
3
Un tipo reciente de tecnología que ha revolucionado la educación en todos sus
aspectos es multimedia presentación de combinaciones de texto sonido e imagen
basada en una computadora. Las formas más conocidas de multimedia son:
medios de almacenamiento (CD-ROM, Laser-Disk, etc.),software de
aplicación(Extreme-3D, Photo Shop, Carel, Adobe, etc.), medios de transmisión
en WEB (JAVA, HTML, VRML, etc.) y Hardware (procesadores MMX). Esta nueva
herramienta de la tecnología ha venido a redefinir los conceptos tradicionales de
libro, exposición de clases, papel del maestro y del alumno, etc. Su impacto en la
educación es todavía tema de estudio e investigación.
1.1.2 La tecnología y la investigación educativa
La investigación educativa ha venido incorporando la tecnología desde 1946
cuando aparece la tecnología educativa como materia en el currículum de los
programas de Educación Audiovisual de la Universidad de Indiana. Los trabajos
de esta época buscaban apoyar la exposición de clases con imágenes de
películas, fotos o retroproyecciones. Mientras no surgió la microcomputadora los
trabajos de investigación se dirigieron hacia el desarrollo y la evaluación de las
aplicaciones de la instrucción programada, esfuerzo que dio lugar a varios
proyectos de Educación Basada en Computación (EBC) a fines de la década de
los sesenta (Bork, 1978).
Uno de los primeros proyectos de EBC con accesibilidad a los salones de clase
fue el sistema PLATO (1978), el cual consistía de una computadora principal y
varias terminales. Este sistema fue operado por el laboratorio de investigación
4
sobre EBC de la Universidad de lllinios y la Control Data Corporation. En este
sistema los maestros grababan sus lecciones, las cuales podían ser accesadas
por los alumnos en una terminal de un sistema que se denomino aprendizaje
asistido por computadora (AAC) o Computer Asisted lnstruction (CAi).
En la aplicación de la tecnología para el apoyo a los procesos de enseñanza
aprendizaje, existen trabajos sobre el uso de multimedios, hipermedios, y el
correo electrónico. Las aportaciones de estos proyectos son una notable
disponibilidad de información que facilita la investigación y consulta, el
intercambio de información como apoyo al proceso de enseñan±a aprendizaje y la
disponibilidad de simuladores que permiten crear ambientes de prueba para el
futuro profesionista. (Profesores del Depto. de Arquitectura en ITESM Campus
Garza Sada, 1992); (Velasco, 1994); (Díaz, 1994); (Vera, et.al. 1994); (Pérez,
et.al1995); (Rodríguez et.al. 1995); (Cantú et.al. 1996); (Cervantes et.al. 1996);
etc.
Dentro del desarrollo de software con fines educativos encontramos proyectos
para redacción, inglés, ciencias e ingeniería. El objetivo de estos estudios fue el
diseño e implementación de un programa computacional que apoye la enseñanza
de ciertos tópicos, (Castro et.al. 1992) (Favela et.al. 1993) (Sánchez de Lorenzato
et.al. 1994). La mayoría de los resultados fueron muy alentadores, pues se
reporta buena disposición hacia el uso de estos paquetes. Sin embargo, estos
estudios se limitan sólo al diseño de software y no a la investigación de las
ventajas y desventajas de sus aplicaciones.
5
Otras áreas de interés, son la utilización de paquetes computacionales que
pueden ser simuladores de la realidad. Entre éstos Microworlds son partes
pequeñas pero completas de ambientes reales que invitan a descubrir por
exploración, de esta forma los estudiantes construyen su conocimiento mientras
exloran y experimentan (Papert, 1993). Simuladores de apoyo al cálculo y manejo
de datos. (Limón, 1993); (Espinosa, 1994); (Saldaña, et.al. 1994); (López, 1995);
los impactos de estos estudios son resultados estadísticos significativos en el
rendimiento de los alumnos en los tests de observación.
1.1.3 La tecnología y las matemáticas
La enseñanza de las matemáticas se ha beneficiado enormemente de la
tecnología. Una serie de herramientas tecnológicas se han introducido al aula en
un intento por solucionar problemas de la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. Algunas de las áreas donde se ha utilizado tecnología
computacional son:
A)Visualización
B) Geometría
C) Ecuaciones diferenciales
D) Matemática Computacional
E) Estadística
F) Psicología educativa
G) Educación
6
A) Tomando como objetivo el desarrollo de la visualización en los estudiantes,
se ha diseñado un software de apoyo a este proceso. El programa POLINOMIOS
busca que el alumno asocie la definición simbólica de cierta función polinomial con
su correspondiente representación gráfica. Este software desarrollado para las
máquinas COMMODORE 64 ofreció buena velocidad en la tabulación y
graficación de cualquier función polinomial. Sin embargo, no existe referencia
respecto a la ventaja de su uso con los estudiantes. (Calderón, 1988)
Para el trabajo en visualización de rectas que interceptan, rectas paralelas, y
perpendiculares (Valdez et.al.1991 ), diseñaron un software especial para observar
el desarrollo de la visualización en alumnos de secundaria y preparatoria. El
resultado de estas observaciones dio lugar a otras investigaciones para la
aplicación de la visualización en la enseñanza de las matemáticas.
Dando un giro hacia el uso de las calculadoras graficadoras para trabajar en
visualización, (Colunga, 1994) presentó un trabajo en el que se analiza el papel
de las calculadoras con capacidad gráfica en la enseñanza de cálculo para las
carreras de Administración e Ingeniería. Los grupos experimentales contra los de
control, mejoraron significativamente su promedio de desempeño en los tests
aplicados, con lo que esta investigación pone de manifiesto la ventaja de utilizar
una herramienta graficadora como apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje
del cálculo.
Dentro de esta misma orientación se buscó facilitar el aprendizaje del cálculo
mediante el apoyo de calculadoras graficadoras. En este estudio trabajaron con 4
grupos: 2 experimentales y 2 de control, el éxito alcanzado fue un aumento
significativo en el promedio de calificaciones de los grupos experimentales
7
(Sánchez et.al. 1996). Retomando la importancia de un enfoque visual en la
enseñanza de cálculo se diseñó 9 laboratorios que aludían tópicos del curso de
Cálculo Diferencial (Salinas, 1996). También se ha planteado lograr el equilibrio
entre lo visual y lo numérico para la enseñanza de las matemáticas. Dejando de
manifiesto una serie de ideas que no tienen referencia respecto a la ventaja de su
uso en el alumno, pero sí de orientaciones sobre cómo utilizarlas y bajo qué
actividades (Gómez-Mont et.al. 1996).
B) Otra área de investigación es la geometría en la educación básica, la cual
exige al alumno gran destreza para trazar. El proyecto Galileo fue un programa de
desarrollo de software educativo y materiales didácticos de apoyo al uso de
computadoras en la educación dirigido por la Fundación Arturo Rosenblueth. Éste
se inició alrededor de 1983 con un equipo de trabajo en el que se encontraban
maestros de diversas asignaturas, en las que se iba a desarrollar el software,
junto con el equipo de Galileo conformado por investigadores capacitados en
programación (Calderón , 1988). Dentro de este el generador geométrico trabajó
el área de construcciones geométricas dedicada a niños entre ocho y doce años.
Este software permite al usuario operar con puntos, segmentos de recta y arcos
para formar figuras planas, que pueden generar sólidos al rotarlas. Los resultados
del trabajo con este programa no se formalizaron, sólo se dice que los alumnos
tuvieron periodos de trabajo continuo y concentración hasta de tres horas, por lo
que se sugiere que la influencia del uso del mismo es positiva.
8
C) La enseñanza de las ecuaciones diferenciales siempre se ha caracterizado
por la dificultad que tienen los alumnos para comprender y asimilar los contextos
simbólico, numérico y geométrico de las mismas así como de su aplicación. Se
utilizó un paquete de Sistemas de Computación Algebraica (SCA) trabajando los
tres contextos de la matemática educativa: simbólico, numérico y gráfico de
manera que el estudiante tuvo entonces la facilidad de concentrarse en el análisis
y la interpretación de las soluciones de las ecuaciones y en aplicabilidad de las
ecuaciones para la solución de problemas(Núñez, 1993). También se reporta el
uso del software MATHEMATICA y la calculadora HP-48GX, para el trabajo con
diferenciales ordinarias y parciales, así el trabajo de los tres contextos fue ágil.
Las conclusiones obtenidas fueron sugerencias de actividades de clase y
extraclase con apoyo en dichos instrumentos y una notable disminución en el
tiempo de asimilación de los conceptos del curso (Núñez, 1994). Se reunió
material didáctico y software de apoyo para el trabajo sobre la aplicabilidad de las
ecuaciones diferenciales (Uresti et.al. 1995).
D) En el campo de la matemática computacional, se busca dar respuesta a la
necesidad de un paquete simulador acorde con las necesidades del curso de
métodos numéricos. El paquete diseñado permite al estudiante modelar un
fenomeno y observar los cambios que sufre de acuerdo con la variación que se
haga de las variables que lo describen. (Alcaraz et.al. 1994)
Tratando de incorporar la tecnología de la Universidad Virtual, se diseña una
propuesta para un salón de clases virtual para la enseñanza de métodos
9
numéricos con uso de hipermedios en Internet, Web de páginas interactivas, y
programas interactivos con laboratorios. (Ramírez, 1996)
E) En la Estadística se ha utilizado el MathCad 5.0 como apoyo al trabajo de
tareas y presentación en el aula para mejorar el aprendizaje de conceptos por la
vía de la construcción de significados y referentes. Dicha investigación reporta
resultados significativos en la identificación del estadístico a emplear. (Parra,
1996).
F) Psicología educativa. En una vertiente totalmente diferente del uso de las
computadoras en las matemáticas, utilizaron Instrucción Asistida por
Computadora (IAC) para integrar actividades que aumentaran la confianza de los
alumnos en sí mismos, mediante el incremento de sus habilidades para trabajar
con matemáticas. Sus conclusiones establecieron estadísticamente que el
estudiante incrementa su autoestima usando las computadoras en el aprendizaje
de las matemáticas. (Robertson et.al. 1987).
G) En la educación para el aprendizaje individual encontramos el proyecto de
TUtores /Nteligentes. Un TUtor INteligente es un programa de computadora que
utiliza técnicas de Inteligencia Artificial (IA) para ayudar a una persona a
aprender. Diseñar y desarrollar un tutor inteligente implica pisar los terrenos de la
Instrucción Asistida por Computadora , campo que intersecta ciencias
computacionales, psicología cognitiva e investigación educativa. El proyecto de
TUtor INteligente inició en 1990 con un grupo de maestros de la División de
Ingeniería y Ciencias. Este tuvo como fin ofrecer una alternativa a los métodos
10
tradicionales de enseñanza, que permitiera atender a un gran número de
estudiantes en tutoreo individual, trabajando cada uno a su propio ritmo y de
acuerdo con sus habilidades previas.
Se ha diseñado software dentro de TUtores INteligentes para resolver
ecuaciones diferenciales ordinarias desplegando los pasos que va siguiendo el
paquete en este proceso. Además Uresti (1990) diseñó un robot que ejecuta las
opciones que el alumno elige para solucionar ecuaciones planteadas, y desplegar
el resultado de la selección. SISTEMA de Tutor Inteligente para la enseñanza
efectiva de las Matemáticas a nivel Medio (STIMM), documentó la ventaja de
utilizar un TUtor INteligente como apoyo a los cursos de matemáticas en
bachillerato, observando un notable ascenso en el promedio de calificación de
aquellos alumnos que pudieron individualizar sus ritmos de aprendizaje con la
ayuda del paquete de STIMM. (STIMM,1994)
En el área de la enseñanza de las matemáticas, del Departamento de
Ciencias Matemáticas de la Universidad Estatal de Tennessee elaboraron un
proyecto para implementar la tecnología al servicio de la enseñanza de las
matemáticas. El proyecto está dividido en las siguientes partes:
i)Tecnología como apoyo al desarrollo de habilidades y conceptos
matemáticos,
ii) Tecnología como ayuda en la resolución de problemas,
iii) Tecnología como apoyo al razonamiento matemático,
iv)Tecnología como apoyo al desarrollo de la comunicación matemática,
Este proyecto planea capacitar a todos los maestros de preparatoria del área de
Tennessee para que introduzcan la tecnología a las escuelas logrando apoyar los
11
puntos arriba citados, buscando alcanzar el mayor potencial en el uso de la
tecnología. Cada uno de los propósitos señalados significan la utilización de
formas distintas de software y de tecnología disponible.
En la revisión de las investigaciones antes señaladas en el área de las
matemáticas notamos una constante referencia hacia los tres contextos que
señala la matemática educativa: el numérico, el gráfico y el analítico. Observamos
también un notable interés por utilizar la tecnología no como sustituto del maestro,
sino como herramienta de apoyo, y en ocasiones en papel de tutor posterior a la
definición de objetivos y del desarrollo de software útil para éstos.
En el campo de las funciones, los trabajos se centran hacia la enseñanza
aprendizaje de cursos que van desde el cálculo hasta las matemáticas del área
profesional. Una problemática que no ha recibido atención continua es la
enseñanza de funciones elementales en una variable para los primeros cursos de
matemáticas de preparatoria. En esta área se tienen sólo investigaciones que
dejan de lado los conceptos de la matemática educativa y orientan su esfuerzo en
acortar el tiempo de desequilibrio entre asimilación y acomodación de ciertos
tópicos, sin dar mucha importancia al aprendizaje significativo de las mismas.
Además pocas son las investigaciones que se han desarrollado para el objetivo
descrito bajo la perspectiva del constructivismo y el aprendizaje sociocultural
reportando resultados de un estudio experimental.
Es muy importante señalar que es durante estos primeros semestres de
formación profesional que el alumno adquiere sus herramientas de trabajo y las
matemáticas con sus modelos de representación abstracta, debieran de figurar
12
entre éstas. No se tiene documentada alguna investigación para el trabajo de
funciones en una variable, bajo un enfoque constructivista de la educación que
incorpore el proceso instruccional utilizando la computadora como una
herramienta de apoyo.
La presente investigación se dirige hacia este enfoque utilizando software
graficador como apoyo al trabajo de aprendizaje e internalización (concebida ésta
como la correcta asimilación de contenidos de forma tal que se utilicen de manera
cotidiana) de las propiedades analíticas y gráficas de las funciones lineales en
una variable tales como: función lineal, valor absoluto, cuadrática, cúbica, raíz
cuadrada, racional, logarítmica y exponencial.
El propósito del presente trabajo es mostrar que se incrementa el
aprovechamiento académico de los estudiantes del curso de Matemáticas 11 de
bachillerato del ITESM Campus Sinaloa, mediante el uso de herramientas de
software gráfico computacional que sirven para la internalización de las
propiedades analíticas y geométricas de las funciones lineales en una variable
arriba descritas.
1. 2. Definición del problema
1.2.1 Situación observada
Los alumnos, egresados del curso Matemáticas II de bachillerato del ITESM,
no demuestran haber internalizado las propiedades analíticas y geométricas de
las funciones de una variable estudiadas. Esto se aprecia cuando los alumnos en
cursos posteriores (como trigonometría, geometría analítica, y cálculo
infinitesimal) se enfrentan a problemas donde se requiere el conocimiento de los
parámetros de estas funciones, y de sus implicaciones geométricas. El alumno se
13
declara incapaz de plantearlos y resolverlos.
Por ejemplo, al derivar una función, el alumno debe saber si la función es o no
continua en el intervalo dado. Sin embargo, aún cuando el alumno demuestra no
tener problema con los procedimientos de diferenciación y deriva la función dada,
se confunde cuando el resultado es indeterminado. Su error es no reconocer que
una función discontinua no es diferenciable. Además, demuestra no tener
problema con los procedimientos de diferenciación. Su problema es reconocer
que la función no es diferenciable porque no es continua. El problema, entonces,
no corresponde al contexto del curso de cálculo, sino a la baja asimilación de
contenidos del curso de funciones.
Por su parte, los maestros del curso de Matemáticas II manifiestan haber
transmitido los conocimientos necesarios para afrontar la situación arriba descrita,
u otras que se pudieran presentar. Así mismo, los docentes comentan que la
asimilación de estos contenidos, debido a la actual forma de trabajo, no la
consideran óptima. Reconocen aplicar una metodología tradicional, en la que se
prioriza el objetivo de mostrar tanto las propiedades geométricas y analíticas de
las funciones de estudio, como de las interrelaciones de las mismas. De lo anterior
cabe preguntarnos ¿Entonces porqué no se aprenden los conceptos?. ¿Acaso el
método tradicional no ha sido suficiente?.
1.2.2 Situación deseada
La situación deseada es lograr que los alumnos incrementen su
aprovechamiento, alcanzando realmente una internalización de los conceptos
analíticos y geométricos que se abordan. Se busca un incremento en el
14
aprovechamiento de una manera ágil, utilizando la disposición actual de material
y equipos didácticos. Se aprovechará la herramienta de software gráfico como
apoyo al trabajo del alumno en actividades y tareas, de manera de alcanzar un
aprendizaje constructivo a su ritmo individual y de mayor calidad.
1.3 Enunciado del problema
El presente trabajo de investigación es un estudio experimental sobre la
aplicación de una metodología de trabajo desarrollada para el curso de
Matemáticas II de bachillerato del ITESM Campus Sinaloa, tomando a la
computadora como herramienta de apoyo para alcanzar el aprendizaje
significativo de las propiedades analíticas y geométricas de las funciones en una
variable. Dicho aprendizaje se evaluará através de las variables dependientes:
identificación de las formas geométricas y algebraicas de funciones,
asociación de formas analíticas y geométricas de funciones,
escritura de las formas algebraicas,
trazado de las formas geométricas,
modelado de situaciones problemas utilizando funciones.
Controlando las variables independientes:
- trabajo individual (con y sin apoyo computacional),
- asesorías (con y sin apoyo computacional},
- nivel de aprendizaje (reconocimiento, asociación, representación y
modelaje
y con las variables intervinientes:
- tiempo de aprendizaje,
15
- disposición para el trabajo en matemáticas.
1.3.1 Limitaciones
1.3.1.1 Límites teóricos
El marco de referencia de la metodología para la propuesta está dentro de la
teoría constructivista del aprendizaje significativo y del aprender a aprender
(Coll, 1988). El método que se propone busca que el alumno pueda trabajar a su
propio ritmo, enriqueciéndose de las opiniones de sus compañeros todo esto
dentro de un contexto propicio para el aprendizaje significativo. Se sugieren
actividades en la computadora que llevarán a los estudiantes a la construcción de
nuevos conocimientos utilizando sus estructuras previas de saber y fomentando la
metacognición (ver p. 22) dentro de los contenidos del curso de funciones. Esta
idea nace de reconocer que, llevar a los alumnos a analizar y sintetizar las
propiedades analíticas y geométricas de las funciones de una variable, es una
práctica educativa sana y positiva sobre todo si se piensa en el usuario de este
sistema educativo: el alumno. A este respecto se indica que: "en la conjunción
actividad exitosa-programa de cómputo puede verse mejorada tanto la técnica del
maestro como el resultado obtenido" (Zarzosa, 1994 ). Es decir, tomar lo positivo
de la práctica actual e internalizar en los alumnos las carácterísticas geométricas y
analíticas de cada una de las funciones de una variable de estudio, y de la
interrelación que existe en las mismas, así como de las propiedades asociadas.
1.3.1.2 Límites temporales.
Esta investigación se realiza en el lapso de un semestre, debido a que los
16
contenidos utilizados son relevantes sólo para un curso semestral en bachillerato
1.3.1.3 Límites espaciales de la investigación
El contexto de esta investigación es el ambiente de estudio y trabajo del
ITESM Campus Sinaloa en el nivel de bachillerato. Como ya se ha descrito
anteriormente el estudio se realizó con estudiantes de preparatoria del ITESM
Campus Sinaloa, del segundo semestre de matemáticas para bachillerato. La
muestra se conformó por alumnos de álgebra de funciones que cursaron durante
el periodo del proyecto dicho curso.
Se tomaron para la investigación dos grupos uno experimental, en el que se
aplicó el método propuesto y otro en donde aún cuando el objetivo es desarrollar
las mismas habilidades no se utilizó software graficador como herramienta.
Dentro de las limitaciones del estudio se reconoce que las variables
intervinientes representan un efecto en contra de los objetivos que se desean
alcanzar y que son variables que no se van a manipular ni controlar.
1 .4 Objetivos
1.4.1 Objetivo general
Evaluar los efectos de la aplicación de la metodología de enseñanza
aprendizaje desarrollada, en el aprovechamiento de los estudiantes del curso de
matemáticas 11 de nivel medio superior del ITESM Campus Sinaloa.
1.4.2 Objetivos específicos
1. Medir los efectos de la metodología sobre la identificación y la asociación de
17
representaciones algebraicas y geométricas de funciones elementales.
2 .. Medir los efectos de la metodología sobre la escritura de las formas
algebraidas y el trazado de las formas geométricas de funciones elementales
3. Medir los efectos de la metodología en la capacidad del estudiante para la
obtención de un modelo matemático (basado en funciones elementales) asociado
a un problema dado.
4. Contrastar los efectos del uso de la metodología sobre el aprendizaje en el
grupo experimental vs el de control.
18
CAPÍTULO 2
ASPECTOS TEÓRICOS Y CONCEPTUALES
El problema de interés en la presente investigación, se enmarca en la
intersección de investigaciones de psicología y tecnología educativa. Se considera
dentro de la psicología educativa porque es una problemática del proceso de
aprendizaje, la cual se abordará con una visión constructivista del aprendizaje, y
con un enfoque socio-cultural acerca del trabajo en el aula. Es también una
investigación de tecnología educativa porque se diseñarán actividades, dentro de
una metodología, que requieren software graficador como herramienta de apoyo al
proceso de enseñanza-aprendizaje.
2.2 Psicología educativa
La psicología educativa nace del interés de algunos investigadores del área de
psicología hacia problemas de la educación. Tiene como objetivo dar estructura
científica al estudio y revisión de los problemas de enseñanza-aprendizaje y
proporcionar soluciones a los mismos.
La psicología educativa tiene el propósito de alcanzar objetivos humanitarios
relacionados con los problemas de individualismo, realización académica y el
papel de la ciencia psicológica en la promoción del aprendizaje y el desarrollo
(Bergan y Dunn, 1980).
Entre los temas más importantes de la psicología educativa encontramos: el
aprendizaje y la motivación, el desarrollo humano, el diseño curricular, la medición
y evaluación, etc. Cada tema tiene subtemas particulares como: los procesos
básicos (atención, percepción, memoria, lenguaje y pensamiento}, y la
instrucción (procesos de planeación, diseño, desarrollo y evaluación de
componentes relacionados a ella). Dentro de la psicología educativa existen
19
modelos de pensamiento que sirven para la orientación teórica de la investigación
e intervención. Los modelos más importantes son los conductuales 1
cognoscitivos y psicosociales.
Los modelos conductuales tienen como objeto de estudio las conductas
observables. El aprendizaje según este modelo es un cambio en la conducta o
forma como actúa una persona ante una situación particular. En el modelo
conductista es importante estudiar las interrelaciones entre los estímulos, las
respuestas que dichos estímulos inducen en las personas y las consecuencias de
dichas respuestas. Algunos de los principales exponentes del conductismo son
Skinner, Popham y Thorndike.
Los modelos cognoscitivos ponen énfasis en el estudio de los procesos
intelectuales que son la base para que el comportamiento se produzca, para ellos
la mente humana es un sistema complejo que recibe, almacena, recupera,
transforma y transmite información para aprender a afrontar situaciones problema.
Para los cognoscitivistas el aprendizaje es un proceso interno que no puede
observarse directamente, pues según esta teoría el cambio ocurre en la capacidad
de una persona para responder a una situación particular. Los investigadores en
este modelo están centrados en factores no observables como el conocimiento,
significado, intención, sentimiento, creatividad, expectativas y los pensamientos.
Algunos de los principales cognoscitivistas son: Anderson, Ausubel, Gagné,
Piaget, Osgood, Vigotsky y Wittrock.
Los modelos psicosociales sostienen que no basta con estudiar las
conductas observables y los procesos que las regulan (cognición) sin considerar la
vida social del hombre que afecta su educación y su cultura. Entre los principales
exponentes de la teoría psicosocial son Erickson, Bandura, Good y Brophy.
20
2.3 El constructivismo
El constructivismo es una teoría sobre el aprendizaje que se alimenta de
aportaciones de diversas corrientes psicológicas asociadas genéricamente a la
psicología cognoscitiva: el enfoque psicogenético piagetiano, la teoría de los
esquemas cognoscitivos, la teoría ausubeliana de la asimilación y el aprendizaje
significativo, la psicología sociocultural vygostkiana, y algunas teorías
instruccionales; las cuales coinciden en reconocer la importancia de la actividad
constructiva del alumno en la realización de los aprendizajes escolares.
La visión constructivista de la cognición, aunque no es nueva, está recibiendo
mucha atención debido a la convergencia de disciplinas como: El acercamiento
coneccionista hacia la ciencia cognitiva (Rummelhart et.al. 1986), la semiótica
(Cunninghan, 1987), el experiencialismo (Lakoff, 1987), intertextualidad
(Morgan1985) y relativismo (Perry, 1970).
Bajo el constructivismo, el aprendizaje es un proceso en el cual el individuo
esta construyendo una representación interna del conocimiento, una interpretación
personal de la experiencia. Esta representación está siempre abierta al cambio, ya
sea de su estructura o de sus relaciones, esto es la base de la estructuración de
nuevos conocimientos. Bajo esta perspectiva el aprendizaje es un proceso activo
en donde los significados se desarrollan con base en la experiencia (Bednar et.al.
1987).
La teoría constructivista acepta que la realidad pone constantes limitaciones en
los conceptos que se pueden aprender sosteniendo que los conocimientos que se
tienen del mundo real son interpretaciones humanas de la experiencia con el
mundo.
000~91 21
2.3.1 El metaconocimiento
El metaconocimiento es la reflexión sobre el propio proceso de aprendizaje,
analizando y distinguiendo cómo se procesa la información bajo diversas
circunstancias y cuáles son sus efectos. El conocimiento metacognitivo se refiere
a conocer las operaciones como asociación, cifrado, repetición, que pueden ser
aplicadas a ciertos contenidos de manera de alcanzar un mayor aprendizaje.
(Flavell, 1976)
En recientes trabajos de investigación sobre la instrucción y el aprendizaje se
ha concluído que se debe de dotar al alumno no sólo de técnicas eficaces para el
estudio y aprendizaje, sino también de cierto conocimiento sobre sus procesos de
aprendizaje, lo cual le permitirá usar la técnica adecuada a sí mismo (Pozo, 1989).
2.3.2 La instrucción y el constructivismo
Para algunos autores la enseñanza es un aspecto de la instrucción, la cual
tiene 5 componentes; la dedicación, el patrón de liderazgo del maestro, la calidad
del grupo (configuración), actividad del alumno y secuencia de acción (Anderson y
Burns, 1989). Para el diseño de la instrucción tradicional se analizaban las
condiciones que estaban dentro del sistema instruccional como
contenido.estudiante y foro instruccional (o set instruccional), de manera de
prepararse para alcanzar las especificaciones fijadas para el estudiante que
egresa de este sistema. Así se intentaba simplificar, regularizar y sistematizar los
contenidos de manera de definir los componentes que deberían aprenderse y
traducirlos a procesos o métodos.
Bajo la visión constructivista, el diseño instruccional solo deberá especificar el
dominio del conocimiento central e invitar al estudiante a explorar nuevos dominios
22
de conocimiento que tengan interrelación con el central; es decir, no se pueden
preespecificar los contenidos sólo el centro de la discusión. Lo anterior debido a
que el enfoque constructivista resalta que no se pueden aislar unidades de
información o hacer suposiciones a priori sobre cómo se utilizará la información
que el alumno recibe y decodifica dentro de sus estructuras mentales.
La teoría constructivista, dentro de la teoría educativa, viene a redefinir el
papel del maestro expositor de conocimientos a modelador de procesos, donde el
estudiante alcanza a construir sus propios conocimientos. Se desea que el
maestro incite a los alumnos hacia un comportamiento serio para la resolución de
situaciones problema reales.
Según el constructivismo, el motivo por el cual un estudiante falla en resolver
situaciones reales es que los conocimientos que adquirió corresponden a un
contexto escolar, donde el maestro ha simplificado cuidadosamente la situación
problemática a plantear. La postura constructivista prefiere que se mantenga la
complejidad del medio ambiente y se ayude al estudiante a entender el concepto
inmerso en la múltiple complejidad de ambientes en el que se encuentra.
Sin embargo, se espera que esta complejidad de ambientes de aprendizaje
varíe de acuerdo a la habilidad del aprendiz(estudiante), por ejemplo, un niño no
será enfrentado a la complejidad del mundo adulto. Se enfatiza además, que el
pupilo debe de aprender a construír diferentes perspectivas sobre un mismo tema.
Intentando ver un mismo objeto bajo diferentes puntos de vista, siendo esencial
que el alumno haga el mejor uso posible de cada una de las ventajas de cada
perspectiva. Claro que los alumnos evaluarán esas perspectivas identificando sus
atajos, fortalezas y debilidades para poder adoptar una perspectiva significativa,
útil y relevante ante un contexto particular (Bandsford, 1990, Shoenfeld, 1985).
23
Una de las estrategias para observar diferentes perspectivas, es desarrollar
un ambiente de aprendizaje colaborativo (Coll, 1993) para desarrollar y
compartir puntos de vista alternativos ante un mismo objeto de estudio. No se trata
sólo de compartirlas, sino de evaluarlas y de analizar el origen de cada una de
estas perspectivas. Otra estrategia importante para alcanzar múltiples
perspectivas y enriquecer la comprensión es el uso de ejemplos. El objetivo de
ellos no será el de señalar situaciones a resolver donde sólo se tenga una
respuesta correcta y otras incorrectas. Por el contrario, se buscará mostrar
'rebanadas de vida' donde los alumnos puedan ver enfoques alternativos de
cómo un concepto es visto en la instrucción actual, en otras palabras, exponerlos
a perspectivas de expertos y novatos para permitir que los estudiantes
seleccionen instancias particulares que les den una perspectiva útil a sí mismos.
En resumen bajo la teoría constructivista la meta es mejorar la habilidad para
utilizar el dominio de los contenidos en tareas auténticas, y la instrucción es el acto
de proveer a los estudiantes con estas tareas. Además, darles las herramientas
necesarias para desarrollar las habilidades de construcción de una respuesta
informada y de evaluar respuestas alternativas. La evaluación en una perspectiva
constructivista, debe de examinar el proceso de pensamiento.
El quehacer educativo bajo la perspectiva constructivista, ha venido a modificar
viejos esquemas de trabajo en donde la atención se centraba en el diseño de los
contenidos y su forma. Tomando una posición constructivista, no totalmente
piagetiana, sino apoyada en la teoría que bosquejó Vygostki (Pozo, 1989) sobre la
psicología sociocultural, el aprendizaje escolar debe tener como finalidad
promover los procesos de crecimiento personal del alumno en el marco de la
cultura del grupo al que pertenece; esto a través de actividades planificadas con la
24
intención de sistematizarlos y de propiciar en el alumno una actividad mental
constructiva (Coll, 1993).
Dentro de esta idea sobre el aprendizaje y el trabajo de las escuelas se señala
que deben existir tres procesos clave que favorezcan el proceso instruccional, esto
es:
a) El logro del aprendizaje significativo,
b) La memorización comprensiva de los contenidos escolares,
c) La funcionalidad de lo aprendido.
Algunas de las investigaciones educativas bajo el enfoque constructivista han
tomado posturas similares a las que anteriormente se describen por ser una visión
acorde a lo que es el trabajo en los salones de clases. El constructivismo
piagetiano se restringía al estudio sobre la construcción del conocimiento, nunca
avanzó más allá del objetivo de conocer y estudiar cómo y cuándo se daba este.
Sin embargo al retomar la postura de la construcción del conocimiento dentro del
ambiente escolar debemos de complementarlo con las características del
acontecer cotidiano y de las interrelaciones entre alumnos, entre alumno y
maestro, entre éstos y los contenidos escolares dentro de un macrosistema
escolar.
2.4 La matemática educativa
La matemática educativa (ME) es el quehacer matemático del profesor y del
alumno dentro del aula. Tal quehacer matemático se reconoce desde tres
contextos: simbólico, numérico, y gráfico.
Dentro de la matemática educativa se abordan los problemas de enseñanza y
25
aprendizaje de las matemáticas como problemas de comunicación (lmaz, 1992),
entendiendo esta comunicación como la emisión y recepción de mensajes que
deben producir cambios conductuales observables en los receptores. A veces el
cambio no se da en la forma deseada, pero se reconoce que se produce un
cambio; entonces se incita a continuar el proceso hasta que se consiguen los
objetivos deseados originalmente u otros alternos.
Uno de los problemas más importantes dentro del sistema educativo que
impacta al área de las matemáticas, es el de la masificación de la educación lo
que ha repercutido en una mala selección de maestros para los primeros cursos
de los estudiantes (primaria). Esto nos lleva a observar que el emisor de este
proceso de comunicación en varias ocasiones no decodifica adecuadamente los
contenidos matemáticos, además se tiene la unilateralidad de los procesos
masivos de comunicación la cual deja al receptor en una especie de estado de
"indefensión" ante el torrente de información sin retroalimentación con lo cual, la
información se rezaga.
Otro problema fácilmente detectable en la matemática educativa radica en el
nulo reforzamiento de los mensajes. Por ejemplo podemos encontrar a un
estudiante universitario que ha aprendido mal el algoritmo de la división y que
simplemente utiliza la calculadora para ocultar su falla, en otras ocasiones el
problema estriba en la selección del algoritmo ¿multiplico o divido?.
2.4.1 Matemática educativa y constructivismo
Dentro de los investigadores de la matemática educativa se han visto
orientaciones teóricas diversas que corresponden a las corrientes psicológicas
predominantes. Así encontramos investigadores matemáticos con orientaciones
26
conductistas, cognitivas y psicosociales o con intersecciones de dos o más de
estas teorías como aquéllos que trabajan bajo el constructivismo y la matemática
educativa. (Barba y Confrey, 1993) (Stahl y Gerry, 1995) (Anthony, 1996)
El constructivismo ha venido a cambiar la enseñanza de las matemáticas,
promoviendo que los maestros y alumnos busquen desarrollar la metacognición
arriba definida; los primeros en un esfuerzo por comprender su propio mecanismo
de aprendizaje y así comprometerse con la enseñanza, los segundos como parte
de su proceso de aprendizaje.
Los constructivistas consideran que en una situación de aprendizaje, los
estudiantes tienen su propia manera de entender y construir los objetos
matemáticos de acuerdo a su experiencia individual y a su esquema de acciones.
En una comunicación interactiva entre maestro y alumnos, el maestro debe de
deducir cómo piensan y actúan sus pupilos para estimularlos en el desarrollo de
modelos matemáticos basados en sus propios esquemas de acción. Dentro del
enfoque constructivista se consideran dos aspectos importantes: las matemáticas
que se entregan a los estudiantes y las matemáticas de los estudiantes. Las
matemáticas entregadas a los estudiantes se definen como los conceptos,
habilidades y capacidades contenidos en la currícula de los programas escolares
que el maestro desea que los estudiantes desarrollen, mientras que las
matemáticas de los estudiantes son los esquemas de acción que ellos seguirán
cuando tengan que resolver problemas
(Cossa, 1997).
En el constructivismo puro se definen para el ambiente de los salones de clase
de matemáticas las siguientes características. (Cobb et.al. 1995)
El aprendizaje debe de ser una actividad interactiva y constructiva, por lo
27
que debe existir siempre la oportunidad para la discusión creativa y que
cada integrante del grupo tenga una voz genuina.
Se debe de incitar a la presentación y discusión de puntos de vista
conflictivos,
La reconstrucción y verbalización de las ideas y soluciones matemáticas,
debe ser una práctica común.
Estudiantes y maestros deben de aprender a distanciarse entre ellos al
realizar una misma actividad para entender las interpretaciones alternativas
o las soluciones.
Se reconoce la necesidad de trabajar hacia un consenso en donde varias
ideas matemáticas sean coordinadas.
Estas características se pueden incorporar bajo la visión psicosocial de un
ambiente colaborativo de aprendizaje .
Para ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas los maestros deben de
estar alertas a cómo los estudiantes han construído matemáticas desde sus
primeras experiencias a nivel básico tanto en la escuela como fuera de ella, y
aprender más sobre lo que significa para los alumnos construír conocimiento
matemático.
Algunos de los trabajos dentro de la teoría constructivista resultan ser sólo un
reporte de la situación actual y sugieren una nueva línea de investigación; la visión
constructivista ofrece esperanzas de que los procesos educacionales serán
descubiertos permitiendo a los estudiantes adquirir aprendizajes profundos en
lugar de habilidades superficiales
(Blais, 1988); algunos tratan sobre las referencias filosóficas del constructivismo
(Butts et.al. 1989); otros hacen comentarios acerca de posiciones tomadas dentro
28
del mismo constructivismo y del desarrollo instruccional, hablando del significado
de la negociación social y de la perspectiva múltiple en un continuo para la
reconceptualización del objetivismo y del constructivismo (Cole, 1992); diferentes
trabajos versan sobre los efectos del constructivismo en el quehacer educativo
(Steffe y Gale, 1992).
Muchas son las investigaciones dentro del área de matemáticas con enfoque
constructivista, sobre todo dirigidas hacia el área de secundaria por considerarse
la base de la formación del pensamiento matemático, además de ser la base para
analizar resultados posteriores. Entre otras las reunidas en una monografía
reunida después de 5 años colaborativos de discusiones sobre la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas que inició en 1985 y terminó en 1990 (Baroody y
Ginsburg, 1990), (Davs, et.al., 1990); los relacionados con las bases teóricas de la
enseñanza-aprendizaje y la taxonomía de Bloom enfatizando la importancia de
comprender el pensamiento en el contexto de las creencias de los estudiantes y
de las cogniciones auto-dirigidas (Tittle et.al. 1993) un estudio entre 166
estudiantes de séptimo grado de high school observando como la interacción del
alumno en grupos pequeños que recibieron explicaciones y en los que se llevaron
a cabo actividades constructivas resultaron ser predictores de logro (Webb et.al.
1995).
También hay investigaciones de distinto carácter dentro del constructivismo
como aquéllas que reportan la efectividad de utilizar una posición social del
constructivismo para alcanzar a ser maestro de ciencias multicultural (Watchel,
1995), otros estudiosos se refieren al uso del constructivismo en la preparación de
maestros para el programa de habilidades múltiples de la Universidad de Alabama
con lo que se logra integrar las múltiples fuentes del aprendizaje y activar la
29
creatividad de los estudiantes dentro del contexto de la integración de la
educación especial y general (lran-Nejad et.al. 1995), en otra perspectiva sobre
los efectos del aprendizaje activo tomando al constructivismo como estructura
(Reynolds, 1996).
Una de las orientaciones más interesantes dentro de la investigación educativa
en el marco del constructivismo son aquéllas que marcan más bien directrices
sobre el diseño instruccional (Kember y Murphy, 1990) (Lloyd, 1991 ), las
relacionadas con el diseño o desarrollo instruccional, como en la que relacionan la
posición constructivista con el nuevo Diseño lnstruccional (ID2). (Thomas et.al.
1992)
Entre los trabajos dirigidos hacia el área de matemáticas en High School con
enfoque constructivista encontramos un reporte sobre una propuesta para abordar
la enseñanza-aprendizaje bajo una perspectiva constructivista, lo cual ayuda a
dejar de lado las creencias de que algunas personas no pueden aprender
matemáticas, o de la veracidad de las proposiciones matemáticas son absolutas y
predeterminadas, describe el Programa Venture de trabajo con high school
urbanas en donde se trabaja con medios ambientes de aprendizaje
constructivistas lo cual demostró incrementar sus logros matemáticos y su entrada
a College (Lochhead , 1992); se ha hecho también un estudio de casos de la
integración de la instrucción por computadora para la representación múltiple para
bordar problemas de maneras distintas y utlizar diferentes representaciones dentro
del área de álgebra, y geometría analítica, el estudio describe a un estudiante de
16 años a medida que crea un modelo entre la variedad de representaciones y
transformaciones de funciones con el uso del software Function Probe. Esta
investigación invierte el orden del modelo tradicional de enseñanza iniciando con
30
la visualización de las gráficas, luego enfocándose en las relaciones entre las
gráficas y los valores tabulares y finalmente dirigiéndose a las relaciones entre las
gráficas y las representaciones algebráicas (Borva y Confrey, 1993), las dirigidas a
la importancia del género en el aprendizaje de matemáticas en donde los
resultados encontrados concluyen que los estudiantes construyen sus propios
conocimientos sobre la plataforma o estructura previa de nociones matemáticas
(Klingenstein, 1995); orientadas a la discusión de la distribución de las ideas del
currículum en el Internet, considerando la necesidad de software productivo para
el desarrollo del currículum describe un software de asistencia para el currículum
del maestro y propone un ambiente de resolución de problemas para high school
(Stahl et.al. 1995). Propone un ejemplo de estudio de casos sobre la educación
matemáticas en las escuelas de High School en donde se contrastan dos alumnos
uno de aprendizaje pasivo y otro con aprendizaje activo destacando la importancia
de la metacognición y de la calidad de las estrategias de aprendizaje (Anthony,
1996); dirigidas a identificar las causas de la falla que tienen los estudiantes para
adquirir estrategias de aprendizaje apropiadas para matemáticas. Las
conclusiones sugieren estrategias para el desarrollo cognitivo, la metacognición, la
afectividad y la administración de fuentes de aprendizaje(Anthony, 1996).
2.5 Tecnología educativa
La aplicación de la tecnología es otra de las áreas de investigación en la
educación a la cual se han dirigido ingenieros del área de sistemas
computacionales, maestros de diversas áreas educativas e investigadores de la
psicología educativa.
La tecnología educativa puede analizarse desde dos modalidades: la
31
tecnología propia que se refiere a todos los avances tecnológicos que nacen
dentro del contexto educativo y para fines del mismo (paquete Mathematica*™,
MadCad, minitab,etc.) y la tecnología apropiada que es aquélla que surge fuera
del contexto educativo pero que se adopta para resolver necesidades del mismo
(cine, video, televisión,etc).
La tecnología se puede utilizar adquiriendo cualesquiera de los tres papeles: de
aprendiz, tutor o herramienta
(Woolfolk, 1987). El papel de tutor lo adquiere cuando la computadora se utiliza
para ayudar a aprender a los estudiantes mostrando problemas y analizando las
respuestas dadas para asignar de acuerdo a los aciertos la siguiente rutina de
actividades; la computadora adquiere el papel de aprendiz cuando se le utiliza
para programar rutinas de trabajo en un lenguaje específico, y el papel de
herramienta cuando se usa para calcular valores, realizar algoritmos o mostrar
imágenes.
En la aplicación de la tecnología como herramienta de apoyo a los procesos
de enseñanza-aprendizaje encontramos investigaciones sobre la aplicación de la
computadora Next y de multimedios para ofrecer un nuevo medio de consulta de
las obras arquitectónicas facilitando la búsqueda de la información y motivando a
la investigación bibliográfica (Profesores del Depto de Arquitectura en ITESM
Campus Garza Sada, 1992); Algunos cuyo objetivo fue generar material
audiovisual y de multimedia computarizada para que los alumnos percibieran la
disposición tridimensional de músculos y huesos como preparación para realizar
cortes finales de canales de bovinos (Velasco, 1994); otros estudios exploratorios
para observar los efectos de los multimedios en el proceso de enseñanza
aprendizaje (Díaz, 1994); además se diseñó e implementó una herramienta de
32
apoyo educativo por computadora y documentaron su efecto en el aprendizaje. La
herramienta se utilizó como apoyo al modelo cognitivo de Gagné. La evidencia
estadística reporta que esta herramienta tiene un efecto positivo sobre los
estudiantes. (Vera et.al.1994).
También hay trabajos orientados a la definición de terminología de
hipermedios, hipertexto, multimedios y de los elementos de cada uno para la
utilidad en la práctica educativa, además se proporcionan resultados de una
experiencia con un curso (Pérez et.al.1995);dirigidas a observar los efectos a nivel
cognoscitivo del uso de un laboratorio asistido por computadora, obteniéndose
como conclusión que los integrantes del grupo de control crecieron de forma
significativa estadísticamente en los procesos de pensamiento abstracto (Saldaña
et.al. 1994 ); trabajos orientados hacia el área de campos electromagnéticos en
donde se propone una metodología que utiliza herramientas computacionales y de
multimedios para analizar problemas a partir de sus modelos matemáticos, el
resultado fué el diseño de archivos interactivos de Maple que apoyan los tópicos
del curso; (López, 1995).
Con la introducción de nuevas tecnologías al aula los estudios fueron dirigidos
al área de inglés utilizando el internet para mejorar la habilidad de lecto-escritura,
los logros fueron estadísticamente significativos. (Leventhal et.al. 1996); otros
trabajados como los dirigidos al uso del correo electrónico como apoyo al proceso
de enseñanza-aprendizaje; que entre los resultados más significativos está el el
uso del correo electrónico, y mejorar la participación activa de los alumnos
(Cervantes et.al 1996).
Dentro del área de matemáticas y utilizando la tecnología como herramienta
tenemos:
33
- Trabajos que analizan la ventaja de utilizar Sistemas de Computación
Algebraica (SCA) para estudiar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
utilizando sus tres contextos: simbólico, numérico y gráfico. Las conclusiones
alcanzadas reportan que la práctica de esta metodología es útil en la enseñanza
aprendizaje de las ecuaciones diferenciales.(Núñez, 1993) (Gómez-Mont
et.al.1996)
Investigaciones dirigidas a la utilización de las calculadoras graficadoras en
los cursos de matemáticas, alcanzando a obtener evidencia estadística
para profundizar aún más en las aplicaciones de esta herramienta
(Colunga, 1994).
Estudios sobre la aplicación el paquete Mathemática dentro del contexto de
las aulas con buenas observaciones respecto a la conveniencia de su uso
en ecuaciones diferenciales (Núñez, 1994 ), trabajos orientados hacia el
diseño de apoyos visuales para la enseñanza de las ecuaciones
diferenciales (Segura, 1995),
Dentro del área de cálculo se obtuvieron logros con significado estadístico
en el grupo de control en trabajos sobre uso de la computadora para
desarrollar la visualización y la correspondiente interpretación de conceptos
matemáticos (Sánchez et.al. 1996)
En el enfoque de la realidad virtual buscando el diseño de un salón virtual
para métodos numéricos utilizando la calculadora graficadora en el contexto
del cálculo y con el objetivo de un enfoque visual en la enseñanza de este
curso, se diseñaron 9 laboratorios con el ambiente requerido para
desarrollar las habilidades que plantea el currículo con un enfoque visual.
34
(Velarde, 1996) (Salinas, 1996)
En el área de estadística de desarrolló una investigación con el objetivo de
utilizar un paquete matemático como apoyo a la identificación de modelos
estadísticos y de su aplicación. Los resultados estadísticos sugieren que el
apoyo de la herramienta fue positivo. (Parra, 1996)
En el papel de aprendiz-tutor encontramos investigaciones para apoyar la
orientación de los estudiantes hacia la aplicación de las ecuaciones
diferenciales ordinarias que diseñaron software para modelar situaciones en
métodos numéricos y así mejorar el entendimiento que tienen los alumnos,
de los modelos del curso de métodos numéricos en ingeniería generando
un software orientado a las necesidades del curso (Uresti, 1990), (Alcaraz
et.al. 1994), para el diseño de tutores en multimedios con el objetivo de
desarrollar una cultura ecológica, reporte que deja lineamientos para el
diseño de tutores en multimedios (Rodríguez et.al. 1995).
2.6 Hipótesis
2.6.1 Hipótesis general
El software gráfico computacional es una herramienta de apoyo que
incrementa, significativamente, el aprendizaje de conceptos matemáticos tales
como: la representación algebráica y geométrica de funciones de una variable; así
como sus propiedades analíticas y geométricas.
35
2.6.2 Hipótesis particulares
1) La identificación de las representaciones simbólicas y geométricas de las
funciones de estudio es mejor en aquellos estudiantes que han trabajado
con la metodología y la computadora.
2) La asociación de las formas geométricas y algebráicas de todas las
funciones de estudio es significativamente mejor en aquellos alumnos que
han estudiado apoyándose en el paquete graficador GC.
3) El trazado de la representación geométrica de cierta función dada su
expresión algebráica es más precisa en aquellos alumnos que han
trabajado con apoyo en el paquete computacional GC.
4) La escritura de la representación simbólica de cierta función dada su
gráfica, es más precisa en aquellos alumnos que han trabajado con apoyo
en el paquete computacional GC.
5) Son mejores los modelos construidos por aquellos alumnos que han
trabajado con apoyo en la computadora.
36
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA
3.1 Población y muestra
La población de interés de este estudio está representada por los alumnos de
bachillerato del ITESM Campus Sinaloa que cursaron las Matemáticas II del
plan ·93 durante el período de enero a mayo de 1996. De ésta se eligieron dos
grupos que conformaron el grupo experimental y el grupo control de la
investigación.
La elección al azar del grupo experimental y el grupo de control se hizo a partir
de los grupos formados por el ITESM Campus Sinaloa. Sus características son:
i) 30 estudiantes por grupo
ii) Edades entre 15 y 17 años
iii) Porcentajes casi iguales de hombres y mujeres
iv) Alrededor del 70% de alumnos regulares
v) Recibían clases del mismo maestro
Así tanto el grupo experimental como el de control consistieron de 14 hombres
y 16 mujeres.
37
3.2 Materiales
Los materiales e instrumentos utilizados en la metodología fueron:
computadoras, software graficador y aulas activas. Las computadoras utilizadas
fueron las disponibles en el centro electrónico de cálculo del ITESM Campus
Sinaloa como IBM PC 300 con 2.5 Gbytes en disco, modelo Pentium 166 MHZ
MMX, multimedia, 16 MB en RAM con conexión a red e Internet; IBM PC 350 con
2.5 Gbytes en disco duro Pentium 200MHZ MMX, multimedia 32 MB en RAM con
conexión a red e Internet y IBM Value Point 486 de 25 MHZ con 4 MB en RAM con
conexión a red e Internet, todas tienen capacidad gráfica.
El software utilizado fue GC/GRÁFICOS/UN PLANTEMIENTO GRÁFICO
DEL CÁLCULO (GC) Copyright VU-Soft VU Amsterdan. Este paquete
proporciona facilidad para superponer varias imágenes de diferentes
representaciones algebraicas manejándolas de distinto color lo cual permite
observar el efecto que tiene la variación de parámetros sobre las características
gráficas. Una de las razones para haber utilizado este paquete fue la portabilidad.
Este paquete se graba fácilmente en discos de 3.5 inches de alta densidad y no
requiere mayores restricciones para su uso que grabar el Graphics versión
correspondiente a las máquinas que se utilizan, los alumnos cada uno con su
disquete pudieron trabajar en máquinas en su casa o en el centro de cálculo. GC
resultó de fácil uso en las aulas activas disponibles en el Campus.
Las aulas activas constan de computadoras IBM APTIVA modelo L43 de 1.2
GBytes en disco duro, Pentium 100 MHZ, con 16 MB en RAM con conexión a red
e Internet. El maestro tiene a su disposición una computadora IBM L43 1.6
38
GBytes, 40 MB de disco duro con una tarjeta ALL-IN-WONDER que permite la
sintonización inteligente de la TV, Aceleración para 20 Graphics, Alta calidad del
playback MPEG, video capture, Despliegue por TV, Aceleración para 30 Graphics,
multimedia y Software de juegos.
Esta computadora le permite al maestro proyectar la imagen de lo que se está
desplegando en la pantalla de esta computadora por TV o en una pantalla que se
despliega enfrente de un pintarrón.
En estas aulas se expusieron algunas clases para el grupo experimental, con la
ventaja de poder dar imagen a las ideas que se fueron exponiendo.
3.3 Métodos
Para definir la metodología a utilizar en el estudio se procedió a esclarecer
primero el marco teórico de la misma y después las fases formales del diseño.
3.3.1 Marco teórico
La metodología diseñada tiene estructurado el aprendizaje en los contextos
simbólico, numérico y geométrico acorde a los principios de la matemática
educativa (ME).
El contexto simbólico se refiere a la utilización de lenguaje algebráico para
describir ciertos objetos matemáticos; el numérico se relaciona a la obtención de
valores en el trabajo con ecuaciones, funciones o tablas; el geométrico se refiere
al manejo de imágenes bidimensionales o tridimensionales que los objetos
matemáticos pueden tener; comúnmente se habla de gráficas de funciones.
Aunado a estos principios se consideró un enfoque constructivista del
aprendizaje por lo que las estrategias sugeridas para abordar los objetivos en la
metodología se refieren a actividades que ayudan al estudiante a construir
39
esquemas o estructuras de conocimiento abiertas a la asimilación de nuevos
contenidos.
3.3.2 Diseño
El diseño de la metodología se inició con la revision del programa analítico del
curso de matemáticas 11 de bachillerato plan ·93 del cual se seleccionaron los
siguientes objetivos.
1. Identificar las representaciones simbólicas y geométricas de las funciones de
estudio.
2. Asociar las representaciones simbólicas y geométricas de cada una de las
funciones.
3. Trazar la gráfica de cada una de las funciones dada su expresión algebraica.
4. Escribir la expresión algebraica que describa a una función dada su gráfica.
5. Dada una situación descrita en palabras modelar usando la función que
describa mejor su comportamiento utilizando las representaciones simbólica y
geométrica.
Cada uno de los objetivos arriba citados se trabajaron para cada una de las
siguientes funciones de estudio.
a) La función lineal en una variable y= mx + b
b) La función cuadrática en una variable y= ax2 + bx + e
e) La función raíz cuadrada y = V ax + b + e
d) La función cúbica en una variable
e) La función valor absoluto
y = ax3 + b x2 + ex + d
y= 1 ax+ b 1 +e
40
f) La función racional del tipo
g) La función logaritmo natural
h) La función exponencial
y= ax+ b ex+ d
y = In ( x +a) +b
y= ex+a + b
Una vez seleccionados los objetivos a cubrir se procedió a diseñar la
instrucción de manera tal que incluyera: procesos de desarrollo, actividades de
enseñanza-aprendizaje e instrumentos de evaluación. A partir del enfoque
constructivista del aprendizaje se planeó la estrategia de enseñanza-aprendizaje a
desarrollar. Para abordar los objetivos se estableció como requisito que los
alumnos hayan definido lo que es una función y lo que puede representarse con
ellas. Una vez alcanzada esta estructura se prosigue a introducir las primeras
funciones en una variable que denominamos como funciones de estudio
anteriormente.
Para el grupo control se estableció claramente el objetivo a trabajar y el número
de sesiones en que se podía abordar. Así este grupoabordó en el mismo orden
que el grupo control cada uno de los contenidos referentes a cada objetivo.
De forma distinta al grupo experimental, el grupo control recibió estrategias de
enseñanza-aprendizaje tradicionales dentro del sistema. Práctica que consisteen
el siguiente método: primero se define el objetivo a estudiar durante la clase, luego
el maestro procede a exponer los conceptos teóricos que tienen referencia al
objetivo, enseguida el maestro junto con el grupo explica y va resolviendo entre 3
y 5 ejercicios prácticos para por último dentro de clase dar lugar a que los alumnos
trabajen individualmente resolviendo una lista de ejercicios que propone el
maestro. Durante el tiempo que los alumnos trabajan de forma individual dentro de
clase el profesor puede ir resolviendo posibles dudas o corrigiendo errores que va
observando en el desarrollo de la actividad. Las clases siempre concluyen con la
41
asignación de tarea a resolver la cual para motivos del presente estudo consistió
en las actividades que describo para el grupo experimental.
Las asesorías para el grupo control se proporcionaron sin utilizar la
computadora o software graficador, y las proporcionaron las mismas personas que
colaboraron con los estudiantes del grupo experimental y buscando suscitar el
aprendizaje. Es decir para el grupo control las asesorías consistieron de preguntas
referentes a los ejercicios que los alumnos planteaban y resolvían de tarea, a
olvidos de procedimientos algorítmicos o de trabajo de trazado.
Las asesorías para el grupo experimental se dieron dentro del centro de
cómputo del instituto con ayuda del software graficador GC y buscando que se
suscitara el aprendizaje colaborativo.
Es importante mencionar que no sólo las asesorías sino varias de las clases de
asociación, trazado y escritura se desarrollaron utilizando el software graficador
como apoyo a los bosquejos e ideas que se estaban trabajando en cada uno de
los puntos citados.
De manera detallada describo el método de enseñanza-aprendizaje que se
empleó para el grupo experimental.
3.3.2.1 Objetivo 1
a) Estrategia de enseñanza-aprendizaje
La estrategia para introducir cada una de las expresiones algebraicas y
gráficas de las funciones a la estructura de conocimientos de los estudiantes
fue la de reconocimiento de forma (Sánchez, 1989) que permite a los alumnos
definir por observación las características correspondientes a cada
representación simbólica y geométrica. Se definió para el maestro una postura
42
de moderador para orientar las participaciones hacia el logro del objetivo
central: identificar las formas geométricas y simbólicas que corresponden a
cada función.
b) Implementación
Al iniciar la presentación de la función a estudiar, el maestro procedió a
escribir una lista de expresiones algebraicas de las cuales señaló aquellas que
pudieron considerarse como la representación de la función de estudio.
Mediante observación los alumnos, de manera ordenada, fueron encontrando
y describiendo las características que tienen las funciones señaladas. El
maestro como moderador orientó la participación para ordenar las ideas y
definió directrices para identificar la función observada dada su representación
simbólica. Se asignó como tarea escribir expresiones que fueran ejemplos de
la función estudiada.
Enseguida el maestro orientó la atención a la representación gráfica de la
función a analizar, diferenciando aquellas que sólo son relaciones. De la
misma forma que con las expresiones algebraicas, el maestro mostró varias
imágenes de diferentes funciones y señaló las que sí eran representaciones
de la función a analizar, los alumnos tomaron la palabra para ir señalando
características que observaron tiene la representación geométrica de esa
función. En el grupo experimental la exposición de esta parte se realizó con
apoyo en la computadora e incitando a los alumnos a observar. Aquí el
maestro resaltó aquellos comentarios que describieron las principales
características de la función estudiada, como forma, dominio e imagen,
variaciones de inclinación y orientación y aquéllas que son formas de relación
43
dejando de ser funciones. La actividad sugerida para los alumnos fue trazar
ejemplos de la función observada los cuales se discutieron entre ellos mismos
contando con la moderación del maestro. De la misma manera se procedió
para cada una de las funciones de estudio.
Dentro de clase la exposición de ideas llevó al alumno a participar
activamente y a abordar nociones sobre el objetivo a cubrir, posteriormente la
tarea lo llevó a estructurar ciertos conocimientos sobre el objetivo y mediante
la revisión de la tarea se ratificó o rectificó la estructura según correspondió.
c) Evaluación
El primer test tuvo como objetivo definir si los alumnos identificaban o nó
las representaciones algebraicas y geométricas de las funciones de estudio.
En éste se escribió una lista de 20 expresiones algebraicas distintas que
corresponden a las funciones con el mismo nivel de dificultad cada una de
ellas, es decir se redactaron en su forma estándar y 20 gráficas, entre las
cuales estaban todas las representaciones geométricas de las funciones de
estudio. La escala de valoración quedó de O a 1 OO.
Este test se aplicó una vez que se cubrió el objetivo de identificar las
representaciones simbólicas y geométricas de todas y cada una de las
funciones de estudio. El tiempo que se dio para este test fue de 20 minutos en
ambos grupos experimental y control.
44
3.3.2.2 Objetivo 2
a) Estrategia de enseñanza-aprendizaje
Una vez que se cubrió la identificación de la forma geométrica y simbólica
de cierta función se dirigieron los esfuerzos a asociar ambas
representaciones. Nuevamente se abordó con varios ejemplos y
contraejemplos esperando que cada integrante del grupo pudiera señalar
vínculos entre la expresión algebráica y la gráfica que la representa. A este
nivel el maestro debe de permitir que los estudiantes orienten sus
observaciones a ciertas concordancias entre los componentes de la expresión
algebráica (coeficientes, número de términos, exponentes, signos, etc.)
correspondientes a ciertas expresiones de la representación geométrica
(desplazamientos, orientación, amplitud, puntos de intersección con los ejes,
etc.).
Las actividades a dejar se orientan a buscar que el alumno observe y
analice cada una de las características simbólicas y geométricas para luego
asociarlas, en una palabra experimentar e ir construyendo conclusiones que
se discutirán dentro del grupo y luego, entre el grupo y el maestro.
b) Implementación
En la aplicación de la estrategia para asociar las características gráficas y
simbólicas se trabajó mediante observación y análisis de diferentes ejemplos de la
función a estudiar con sus correspondientes expresiones algebráica y geométrica.
Nuevamente la actividad en el grupo experimental ocurrió con apoyo en la
computadora e incluso se invitó a que los alumnos teclearan diferentes
expresiones dada cierta representación geométrica de la función de estudio (la
45
cual a veces fue trazada por el maestro y otras por algún alumno). La tarea fue
elaborar ejemplos distintos de la función estudiada y describir cómo la variación de
parámetros característicos de la función como coeficientes de cada término,
constantes, etc. representan distintas orientaciones de la gráfica, puntos de cruce
con los ejes, etc.
Durante su estancia en el centro de cómputo los alumnos del grupo
experimental asesorados por un maestro, y con el apoyo del paquete GC para
la escritura y trazado realizaron las actividades citadas, siendo motivados para
analizar ejemplos representativos y a jugar con ideas propias. Así, observaron
las implicaciones respectivas a: Dominio e imagen, inclinación y orientación.
Por su parte, el grupo de control contando también con la asesoría de un
maestro, realizó su tarea trazando a mano.
c) Evaluación
El instrumento para observar si se asociaron las representaciones
algebraicas y geométricas de las diferentes funciones se valoró con un test en
el que se daba la instrucción de relacionar dos columnas. La primer columna
era de gráficas y la segunda de expresiones algebraicas. El número de
elementos de cada columna fue de 8 por lo que ninguna función se repitió.
Este test se aplicó ya que el maestro definió que los alumnos habían trabajado
sobre este objetivo y estaba completo para todas las funciones de estudio.
La valoración de este test quedó en una escala de O a 1 OO.
Este test se aplicó una vez que las tareas de los alumnos demostraba que
estaban asociando las representaciones simbólica y geométrica. El tiempo que
se dio para la resolución de este test fue de 20 minutos.
46
3.3.2.3 Objetivo 3
a) Estrategia de enseñanza
El trabajo del objetivo anterior viene a ser el cimiento para la estructuración
del conocimiento de las características gráficas y algebraicas que tienen cada
una de las funciones de tal manera de cubrir los objetivos de escritura y
trazado de cada una de ellas. Mediante prueba y error el alumno descubre
cuáles son las características gráficas relevantes a cada una de las funciones
objetivo, es decir se propone una expresión algebráica al grupo y se pide que
tracen bosquejos de lo que consideran es su expresión gráfica. Todos los
ejemplos generados se analizarán de forma colectiva y ordenada para ir
discerniendo qué puntos, ejes, curvas y orientaciones son descritas por cada
uno de los parámetros que tiene la representación simbólica.
Esta actividad debe de proseguirse con una actividad individual de tarea
en la que el alumno se enfrente a qué a aprendido realmente y distinga cuáles
son sus dudas. La retroalimentación al alumno es esencial en este punto para
lograr que éste ratifique sus aciertos y corrija posibles malentendidos.
b)lmplementación
Al momento en que las actividades dentro y fuera de clase se orientaron al
trazado de representaciones geométricas dadas una expresión algebráica se
observó que el grupo trabajó de forma colaborativa con el objetivo de trazar
una representación geométrica precisa de cierta expresión algebráica dada.
Conforme se fueron observando y analizando los distintos dibujos hechos en
el grupo se fueron esclareciendo cuáles eran los requisitos gráficos que no
47
estaban cumpliendo los trazos que se fueron eliminando, en ocasiones no se
tenía el trazo óptimo y nuevamente se procedió a pedir al grupo que trazaran
con mayor congruencia de ideas, la representación que se esperaba
alcanzando así a tener un dibujo preciso de la función dada.
Los trabajos dejados para casa para el grupo experimental contaron con el
apoyo del paquete graficador GC, mientras que el grupo de control lo hizo sin
ayuda de este paquete.
c) Evaluación
El trazado de representaciones geométricas correspondientes a
expresiones algebraicas dadas se valoró con un test en el que se daban 16
expresiones algebraicas a las cuales se pedía se trazara su gráfica. En el
mismo test se proporcionaron los ejes en papel milimétrico y se valoró la
precisión en el señalamiento de las principales características gráficas de cada
función en una escala de O a 1 OO.
Este instrumento se aplicó cuando se observó que los alumnos describían
gráficamente los parámetros de todas las funciones de estudio. El tiempo que
se dio para su resolución fue de 20 minutos.
3.3.2.4 Objetivo 4
a) Estrategia de enseñanza-aprendizaje
Con el fin de internalizar la escritura de la representación simbólica de
funciones dada su gráfica. Durante este proceso, en clase se muestra la misma
gráfica al grupo pidiendo que den la expresión algebráica correpondiente. Se
48
avanza de menor a mayor en el nivel de complejidad de las representaciones
geométricas que se utilicen para mostrar al frente del grupo lo cual permite a
cada uno de los alumnos ir reacomodando su estructura de conocimientos
previos. Cada uno de los ejemplos se discuten de forma colaborativa lo cual
permite desarrollar ideas firmes sobre los parámetros importantes a cada una
de las funciones de estudio.
b) Implementación
En la práctica la escritura de la representación simbólica de cierta función
dada su expresión algebráica requirió mayor esfuerzo para los alumnos que el
trazo de su gráfica. Se avanzó progresivamente con ejemplos de menor a
mayor grado de complejidad y primero de manera grupal. Posteriormente se
integró al grupo en 5 equipos de seis integrantes para alcanzar a revisar
varios ejemplos de una misma función dentro de clase.
Las conclusiones de cada equipo se pusieron luego a discusión del grupo y se
observó mayor confianza en las participaciones individuales de ideas y
justificaciones.
c) Evaluación
La escritura de expresiones algebraicas dada la representación gráfica de
cierta función se valoró con una lista de 16 gráficas con el mismo nivel de
dificultad en el que las gráficas dejaban de manifiesto sus valores de
intersección con los ejes y algunas otras características asociadas con los
parámetros como los valores de vértice, asíntotas, etc.
Nuevamente este test se valoró en una escala de O a 1 OO.
49
Se aplicó el test descrito cuando los alumnos en sus trabajos demostraron
saber convertir características gráficas en expresiones algebraicas. A ambos
grupos se les dio 20 minutos para resolverlo.
3.3.2.5 Objetivo 5
a) Estrategia de enseñanza-aprendizaje.
Se comienza a modelar una vez que se han cubierto cada uno de los
primeros cuatro objetivos para cada una de las funciones de estudio además
de valorarlos como cubiertos antes de comenzar a modelar situaciones
descritas con palabras. Para proceder a estructurar un modelo el alumno debe
ser capaz de seleccionar una función que pueda representar cierta situación
descrita.
b) Implementación
Con énfasis en la capacidad constructiva de los alumnos se inició pidiendo
ejemplos de situaciones reales sencillas que pudieran relacionarse con cierta
función, se formó una lista que se redactó dentro de clase para luego
discutirla. Mediante la participación de los integrantes del grupo y con la ayuda
del maestro se procedió a señalar las que si se apegaban a la función
indicada. En este objetivo fue muy importante señalar que las situaciones a
modelar serian muy sencillas debido al nivel en que se conocía todo el amplio
tema de las funciones. Las tareas dejadas pidieron a los alumnos que dieran
ejemplos de situaciones reales que pudieran representarse por una de las
funciones de estudio hasta abarcarlas todas.
50
Posterior a este proceso se describió una situación real y se pidió que se
representara en forma simbólica y geométrica. Este trabajo se desarrolló en
equipos de manera de tomar diferentes opiniones y generar modelos óptimos,
los modelos se pusieron al frente para discutirlos y analizar aciertos y posibles
fallas.
c) Evaluación
Para observar el planteamiento de situaciones descritas con palabras
escribiendo la expresión algebráica correspondiente y trazando su gráfica se
diseñaron 3 situaciones problema las cuales el alumno iba a traducir en una
función con su expresión algebráica y gráfica. La escala de valoración fue de O
a 100 considerando que la elección del modelo fuera adecuada se tenían
entonces 60 puntos los restantes 40 puntos se evaluaron en base a la
observación de la construcción del modelo y de sus observaciones respecto al
mismo.
Este instrumento tuvo una aplicación posterior al trabajo de modelado
independiente (por los alumnos) dándose 1 hora para su resolución.
Debido a la naturaleza de la investigación los tests de evaluación tuvieron que
ser diseñados. El diseño involucró la participación de maestros del área de
matemáticas, buscando su efectividad, cuidando la congruencia interna de los
mismos y la validez de contenido.
51
Para cada una de las primeras 5 habilidades se diseñaron tests de
observación que fueron administrados en el formato de exámenes rápidos dentro
de clase.
La administración de estos tests se inició durante el periodo entre el tercer
parcial y el examen final del curso, debido a que la distribución del programa que
se sigue logra cubrir los objetivos planteados hasta este punto. La secuencia de
las observaciones corresponde al orden en que se describen.
3.4 Diseño experimental
Para el análisis de datos se realizó un diseño experimental de un factor para los
dos grupos: el experimental y el de control. Tal diseño consistió de un análisis
descriptivo y uno inductivo. La comparación de medias entre los grupos se realizó
con una prueba t-student y se construyeron tablas de frecuencias.
52
CAPÍTULO 4
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESUL TACOS
Primeramente, para cada variable se realizó un análisis inductivo (inferencia
estadística) usando la prueba t para dos muestras, para establecer diferencias
significativas entre los grupos,. Así mismo, se clasificaron las calificaciones de
cada grupo en tablas con categorías que reflejan el aprovechamiento bajo cada
metodología. A cada tabla de clasificación se le realizó un análisis de frecuencias
con el fin de probar la homogeneidad de las distribuciones de calificaciones de los
grupos en las categorías de aprovechamiento previamente establecidas.
Por otro lado, para cada variable dependiente evaluada se realizó un análisis
estadístico descriptivo para el grupo control y el grupo experimental. En particular,
se calcularon estadísticos numéricos y se construyeron histogramas, ojivas y
diagramas de caja para cada grupo, con el fin de interpretar las formas y evaluar
las diferencias de las distribuciones de ambos grupos.
Los resultados, y su discusión correspondiente, se presentan a continuación:
1) Variable: Identificación
La comparación de medias entre los dos grupos se realizó aplicando la prueba
t-student para dos muestras independientes. Se encontró diferencia significativa
entre los dos grupos con p < 0.0029. Los valores estimados de la media y la
mediana para el grupo control fueron 49.6 y 54.0 y para el grupo experimental
fueron 70.23 y 78.0 respectivamente. El coeficiente de variabilidad del grupo
control fue 56.71 y del grupo experimental fue 31.53; indicando casi el doble de
dispersión en el grupo control con respecto al grupo experimental (Tabla 1 ).
El análisis de frecuencias para la tabla de contingencia (Tabla 2), se realizó
mediante la prueba ji-cuadrada, obteniendo x\a1 = 8.314 y p< 0.04; lo cual
53
permite concluir que las dos poblaciones tienen distribuciones no homogéneas. Lo
anterior también puede apreciarse en los histogramas, ojivas y diagramas de caja
construídos para cada grupo. En particular, el grupo experimental presenta una
distribución sesgada hacia la izquierda, indicando una alta frecuencia de
calificaciones altas mientras que el grupo control presenta una distribución
relativamente uniforme (Figura 1 ).
Grupo Experimental Grupo Control
Media 70.23 49.60
Mediana 78.00 54.00
Desviación 22.85 28.13 Estándar
Coeficiente de 32.53% 56.71% Variabilidad
Tabla 1. Variable: Identificación
Calificación
Grupo 0 ~X< 70 70~ X< 80 80~ X< 95 95~ X< 100
Experimental 12
Control 23
Total 35
5 10
2 4
7 14
Tabla 2. Variable: identificación 54
3
1
4
Total
30
30
60
15 15
12
(IJ 10 (IJ 10 ºiJ ºiJ e e (11 Q) 7 ::J ::J u u ~ Q) ....
LL 5 LL 5
~ o u ~ ~ m ffi ~ m
~Cabd
a). b).
3) 1ro
1 ca 9)
,:, 8) 78 ca e "5 -o
70 E 2D ·¡, ::, ca o o 8) <( I;: 54 ca i !:iJ ·¡, QI
e ::!;! 4) QJ 10 ::, 3) o ~ 2D
1
u. 10
o o o 17 34 51 1B EfS n! 119 Q¡_.x, Q¡_.x,
ldertilic:.'axJ 1 Ei(lmTeta 0:nrd
c). d).
Figura 1. Variable: Identificación
55
2) Variable: Asociación
La comparación de medias entre los dos grupos se realizó aplicando la prueba t
student para dos muestras independientes. Se encontró diferencia significativa
entre los dos grupos con p < 0.0044. Los valores estimados de la media y la
mediana para el grupo control fueron 60.07 y 63 y para el grupo experimental
fueron 77.53 y 75 respectivamente. El coeficiente de variabilidad del grupo control
fue 37.05 y del grupo experimental fue 30.13; indicando dispersiones similares en
ambos grupos (Tabla 3).
El análisis de frecuencias para la tabla de contingencia (Tabla 4), se realizó
mediante la prueba ji-cuadrada, encontrando evidencia significativa (x.,2 cal= 15.292
y p< 0.005) para concluir que las dos poblaciones tienen distribuciones no
homogéneas. Lo anterior también puede apreciarse en los histogramas, ojivas y
diagramas de caja construídos para cada grupo. En particular, el grupo
experimental presenta una distribución sesgada hacia la izquierda, indicando una
alta frecuencia de calificaciones altas (Figura 2, (b)).
56
Grupo Experimental Grupo Control
Media 77.53 60.07
Mediana 75 63
Desviación 23.36 22.26 Estándar
Coeficiente de 30.13% 37.05% Variabilidad
Tabla 3. Variable: Asociación
Calificación Grupo Total
Ü S X< 70 ?Os x < so 80s X< 95 95s X< 100
Experimental 7 11 1 11 30
Control 22 4 o 4 30
Total 29 15 1 15 60
Tabla 4. Variable: Asociación
57
<U 'ü ij
~
15
12
10
5
~ o v ~ ~ e ffi ~ m ~E><iaimrta
a).
-§ :!) / :!)
§ I I
:¡_ a, 1' -0::rtra
111 I ·¡; I ~ t) /
~ 7 4, .... lL .........
o o 17 ~ 51 EB a; 1CJ! 119
Pmla:iát
c).
15
<U ·o 10 e Q)
~ lL 5
11
~ o v ~ ~ e ffi ~ m Gi..JX)O:rtrd
b).
1(IJ
9J
!ll 75
70
ro 63 ~
1 <()
3l • al
10 • lf
01.lD 01.lD Eiq:eir&1al Clrtrd
d).
Figura 2. Variable: Asociación
58
3). Variable: Trazado
La prueba t-student para dos muestras independientes mostró diferencia
significativa entre las medias de los dos grupos con p < 0.000. Los valores
estimados de la media y la mediana para el grupo control fueron 52.43 y 50 y para
el grupo experimental fueron 83.50 y 80 respectivamente. El coeficiente de
variabilidad del grupo control fue 60.82 y del grupo experimental fue 21.50;
indicando casi el triple de dispersión en el grupo control con respecto al grupo
experimental (Tabla 5).
El análisis de frecuencias para la Tabla 6, se realizó mediante la prueba ji
cuadrada, obteniendo significancia para rechazar Ho con x2 cal= 28.684 y
p<0.000. Por lo tanto, las dos poblaciones tienen distribuciones no homogéneas.
Lo anterior también puede apreciarse en los histogramas, ojivas y diagramas de
caja construídos para cada grupo. En particular, el grupo experimental presenta
una distribución sesgada hacia la izquierda, indicando una alta frecuencia de
calificaciones altas (Figura 3, (a)).
59
Grupo Experimental Grupo Control
Media 83.50 52.43
Mediana 88 50
Desviación 17.96 31.89 Estándar
Coeficiente de 21.50% 60.82% Variabilidad
Tabla 5. Variable: Trazado
Calificación
Grupo 0::; X< 70 70:s; X< 80 80:s; X< 95 95:s; X< 100 Total
Experimental 4 5 16 5 30
Control 19 3 5 3 30
Total 23 8 21 8 60
Tabla 6. Variable: Trazado
60
20
ctl u e: Cl) ::, 10 u Cl) ....
LL
o
(U 30 "'O
.!!! ::,
E ::, u 20
<(
(U
u e: Cl) ::, 10 u GJ
LL
o
20
o
-17 O 17 34 51 68 85 102 119
Grupo Experimental
a).
30 30 /,
I
2-/ ..... -Control 1i .....
1.§.. ..... ..... - Experimen ,,,
1$,,,, /
/ ~I
o 17 34 51 68 85 102 119
Trazado
e).
20
m u e: Q) :::, 10 u Q) 8 .... u.
o -17 O 17 34 51 68 85 102 119
Grupo Control
b).
100 1 90
(U 80 88 u e: 70 Q)
::J 60 u 50 GJ 50 ..... • LL 40
30 • 20 10
o
~ Grupo ~rimrill Como!
d).
Figura 3. Variable: Trazado
61
4). Variable: Escritura
La prueba t-student para dos muestras independientes resultó significativa
con p < 0.003. Los valores estimados de la media y la mediana para el grupo
control fueron 46.73 y 46.50 y para el grupo experimental fueron 76.27 y 81
respectivamente. El coeficiente de variabilidad del grupo control fue 69.61 y del
grupo experimental fue 35.37; indicando casi el doble de dispersión en el grupo
control con respecto al grupo experimental (Tabla 7).
El análisis de frecuencias para la Tabla 8 se realizó mediante la prueba ji
cuadrada, obteniéndose x\a1 = 14.002 y p< 0.003. Por lo tanto, concluimos que
que las dos poblaciones tienen distribuciones no homogéneas. Lo anterior
también puede apreciarse en los histogramas, ojivas y diagramas de caja
construídos para cada grupo (Figura 4). En particular, el grupo experimental
presenta una distribución sesgada hacia la izquierda, indicando una alta
frecuencia de calificaciones altas.
62
Grupo Experimental Grupo Control
Media 76.27 46.73
Mediana 81.00 46.50
Desviación 26.98 32.53 Estándar
Coeficiente de 35.37% 69.61% Variabilidad
Tabla 7. Variable: Escritura
Calificación
Grupo Ü S X< 70 ?Os x < 80 80s X< 95 95s X< 100 Total
Experimental 7 3 12 8 30
Control 20 4 4 2 30
Total 27 7 16 10 60
Tabla 8. Variable: Escritura
63
15 14 15 -
-~ 10 .!'!! u u 10 -e e G> G> :::::, :, 7 7 7 u u
&A G> G> .... .... lL 5 u. 5 -
o ~ o -1 1 1 1 1 1 1 1 1
-17 o 17 34 51 68 85 102 119 -17 o 17 34 51 68 85 102 119
Grupo Experimental Grupo Control
a). b).
(U 30 100 "O 26...-
,, ..m 81 :::::, ,, E ,,
/ :::::, u 20 1S, -EJperime <( 16 ..,. .... (U 14 _ ... 50 46.5 u ... -e / G> / :::::, 10 7 ,, u G> '/ .... lL
* o o *
o 17 34 51 68 85 102 119 Grupo Grupo EJperimental Control
Escritura
e). d).
Figura 4. Variable: Escritura
64
5). Variable: Modelado
La comparación de medias entre los dos grupos, aplicando la prueba t
student para dos muestras, encontró diferencia significativa entre los dos grupos
con p < 0.000. Los valores estimados de la media y la mediana para el grupo
control fueron 44.77 y 33.00 y para el grupo experimental fueron 86.70 y 100
respectivamente. El coeficiente de variabilidad del grupo control fue 94.21 y del
grupo experimental fue 25.17; indicando que la dispersión en el grupo control es
más de tres veces de la dispersión en el grupo experimental (Tabla 9).
El análisis de frecuencias para la Tabla 1 O se realizó mediante la prueba ji
cuadrada, obteniendo x,2 cal= 13.029 y p< 0.005; lo cual permite concluir que las
dos poblaciones tienen distribuciones no homogéneas. Lo anterior también puede
apreciarse en los histogramas, ojivas y diagramas de caja construídos para cada
grupo. En particular, el grupo experimental presenta una distribución sesgada
hacia la izquierda, indicando una alta frecuencia de calificaciones altas; mientras
que el grupo control presenta una distribución bimodal, lo cual indica la existencia
de dos subgrupos, uno con calificaciones bajas y el otro con calificaciones altas.
65
Grupo Experimental Grupo Control
Media 86.70 44.77
Mediana 100.00 33.00
Desviación 21.83 42.18 Estándar
Coeficiente de 25.17% 94.21% Variabilidad
Tabla 9. Variable: modelado
Calificación
Grupo 0 ~X< 70 70~ X< 80 80~ X< 95 95~ X< 100 Total
Experimental 5 4 2 19 30
Control 18 3 2 7 30
Total 23 7 4 26 60
Tabla 10. Variable: modelado
66
20
., ·¡:¡ e ~ 10 u ~
IL
o
1t1 30 "U J!! ::::, E ::::,
:¡_ 20
ltl o e
~ 10 o CI) .... lL
o
-17 O 17 34 51 68 85 102 119
o 17 34
Grupo Experimental
a).
51 68
Modelaje
e).
85 102 119
20
100
50
o
11
-17 O 17 34 51 88 85 102 119
Grupo Control
b).
Q 1
*
*
Grupo Experimental
d).
33
Grupo Control
Figura 5. Variable: modelado
67
5.1 Conclusiones
CAPITULO 5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
La discusión y el análisis de resultados conducen a las siguientes conclusiones:
1. Por medio de la metodología propuesta el alumno es capaz de identificar
correctamente las representaciones geométricas y simbólicas de las funciones
elementales.
2. La aplicación de la metodología incrementa significativamente la habilidad del
estudiante para asociar formas algebráicas de funciones elementales con sus
correspondientes formas geométricas.
3. Utilizando la metodología el alumno es capaz de trazar correctamente las
representaciones geométricas de funciones elementales, dadas sus formas
algebráicas.
4. El uso de la metodología propuesta mejora significativamente la habilidad del
estudiante para escribir correctamente las formas algebráicas de funciones
elementales a partir de sus representaciones geométricas.
5. El alumno incrementa significativamente su capacidad para modelar
matemáticamente problemas aplicados mediante el uso de la metodología
planteada.
6. La metodología propuesta mejora significativamente el aprovechamiento
académico y el aprendizaje significativo de los alumnos.
68
5.2 Recomendaciones
1. El uso de esta metodología puede extenderse a otros cursos que incluyan
como objetivo el aprendizaje de representaciones simbólicas y geométricas
como: trigonometría y geometría analítica.
2. Actualmente la disponibilidad de paquetes dentro del Campus Sinaloa permite
que tanto estudiantes como maestros trabajen con paquetes de mayor
velocidad y así hacer más eficiente la metodología propuesta.
3. El trabajo de asesoría con apoyo en computadora se recomienda no solo para
éste curso y en esta Institución sino para otros cursos de ciencias en cualquier
Universidad, que requieran que el alumno visualice características gráficas
para interpretarlas.
4. En la implementación de la metodología es indispensable que el maestro esté
de acuerdo con las ideas de la misma.
5. Esta metodología se puede implementar como parte de las estrategias de
enseñanza-aprendizaje del rediseño que se está aplicando en el Sistema
ITESM, en las materias de ciencias que contengan la enseñanza de funciones
como parte de sus objetivos.
69
ANEXOS
70
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MATEMÁTICAS 11. EXAMEN RÁPIDO. IDENTIFICACIÓN
INSTRUCCIONES: Escribe a la derecha de cada una de las funciones el nombre
de la función que representa.
1. f(x) = ex
2. f(x) = ln(x + 2)
3. f(x) = x 2 + 2x - 32
4. f(x) = Sx - 2
5. f(x) = 2x3 + 5
6. f(x) = 4 + Sx + 6x2
7. f(x) = 1 Sx - 9 + 1 O
8. f(x) = ,,:sx - 8
9. f(x) = 5x - 3 3-x
10.f(x) = 3x 2 +2x 2 -Sx-10
11. f(x) = lrnx
12.f(x)=x 2
13. f(X) = 9 - X
14. f( X) = J 3 2 _- X + 11
15. f(X) = 56 - X
x-2
16. f(x) = e3x-2
71
17.f(x) = x-x2 +x 3
18. f(x) = 3x
x-2 19.f(x) = ~
x+3
20. f(x) = 10x 2
11. INSTRUCCIONES: Escribe debajo de cada una de las gráficas el nombre de la
función que representa.
a) .
c)
. 3.0
.-3.0
.-4.0
. y
. 3.0
· 2.0
, -2.0 -
·-3.0
4.0 5
b)
d) · 3.0
· 2.0
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-4.0 -3.0 -2.0 · 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 .. 1_0
· -2.0
· -3.0
72
e)
g)
i)
k)
. 3.0
. 2.0
. 1.0.
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
.-1.0
.-2.0
. -3.0
-4 O -J.O -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5
·-1.0
· -2.0
. -3.0
, 3.0
. 2.0
1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
.-1.0
.-2.0
. -3.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5
1.0 2.0 3.0 4.0
f)
h)
j)
1)
73
· 3.0
· 2.0
. 1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
·-1.0
·-2.0
· -3.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.
-1.0
.-2.0
. -3.0
. 3.0
. 2.0 .
. 1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
.-1.0
. -2.0
. -3.0
3.0
2.0
1.0
-4.0 -3.0 -2.0 - 1.0
.-1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 S
2.0 3.0 4.0 5
1.0 20 3.0 4.0 5
1.0 2.0 3.0 4.0 5
m)
o)
p)
s)
. 3.0
. 2.0
. 1.0
3.0
2.0
1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
. -3.0
3.0
2.0
1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
. -1.0
. -2.0
. -3.0
-4.0 -3.0 -2.0
1.0 20 J.0 4.0 S
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3.0 4.0 5
74
n)
p)
r)
t)
-4.0 -J.0 -2.0 -1.0 1.0 20 J.0 4.0 S
-4.0 -3.0 -2.0
-4.0 -3.0 -2.0
-4.0 -3.0 -2.0
.-1.0
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. -3.0
. -2.0
. -3.0
-1.0 .-1.0
. -2.0
. -3.0
3.0
2.0
1.0
-1.0
. -3.0
2.0 3.0 4.0
1.0 2.0 3.0 4.0
4.0 5
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MATEMÁTICAS 11. EXAMEN RÁPIDO ASOCIACIÓN
INSTRUCCIONES: Observa cuidadosamente las expresiones algebraicas para que las relaciones con la gráfica correspondiente, de manera que la gráfica represente la función escrita en lenguaje algebraico.
a) J(x) = 1
x 1 - 2
b)/(x)= )x-3
c) J(x) = x3 - 4x 2 + 4x
d) J(x) = 1- x 2
e)/(x)=2-3x
1 f) J(x) = -
x-1
g) J(x) = 1 + e-x (
h) J(x) = ln(x + 1)
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75
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MATEMÁTICAS 11 EXAMEN RÁPIDO TRAZADO INSTRUCCIONES: En las hojas cuadriculadas traza la gráfica de cada una de las funciones escritas en lenguaje algebraico.
1. f(x) = ln(x - 2)
2. f(x) = - x 3 + x
3. f(x) = - x 2 + 2x - 2
4. f(X) = 2 + ) X - 4
x+3 5. f(x) =
2-x
6. f(x) = 5 - 1 Ox
7. f(x) = ex + 2
8. f(x) = - ex-4
1 9. f(x) = ·
3x-6
1 O. f(x) = x 2 + 5x + 6
11. f(x) = ln(x )-1 O
12. f(x) = x 3 - 4x 2 + 4x
13. f(x) = :3xl
3 14. f(x) =
2
-
15. f(x) = \ 5x -1 O
16. f(x) =- x-1 Üi + 4
76
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MATEMÁTICAS 11 EXAMEN RÁPIDO. ESCRITURA
INSTRUCCIONES: Observa cuidadosamente las gráficas que aparecen a continuación y escribe debajo de cada una de ellas la expresión algebraica que la describe. 1) 2) 3)
4 1
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-4.0 -J.0 -2.0 - 1.0
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. -2.0
-5.0 -4.0 -3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4
78
1.0 2.0 3.0 4.0 5
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. 2.0
. 1.0
-2.0 -1.0
. -1.0
. -2.0
. -J.0
. -4.0
J.0 4.0 5.0 6.0
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MATEMÁTICAS II EXÁMEN RÁPIDO. MODELAJE
INSTRUCCIONES: Lee detenidamente el enunciado de cada inciso. Una vez leído construye la expresión algebraica de la función que se puede utilizar para representar dicha situación. Después de la expresión algebraica traza la gráfica de la función que describe al problema descrito con palaras.
1) El costo de producir "x" unidades de un producto es C y así el costo promedio por unidad es 0.8 por la unidad de producto agregando los costos fijos que son de $700,000 entre el número rotal de unidades de producto. Obtenga el modelo matemático y obtenga el costo promedio para 500 unidades de producto.
2) El señor Crisantes vive de sus rentas, el alquila un edificio con 40 apartamentos. Cuando el renta a $ 750 se el desocupa un departamento. Cada departamento requiere gastos de reparación y servicio por$ 30. Obtenga el modelo que representa el precio de renta y el de la utilidad. ( comente sus resultados).
3) Se sabe que el crecimiento de los estafilococos se incrementa de su número original en su promedio de crecimiento elevado al tiempo que transcurre. Si se conocen los siguientes valores.
Día
1
2
3
Número de estafilococos
5 000
10 000
20 000
79
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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VITAE
Adriana Gaxiola González, nació en Culiacán Sinaloa, el 8 de Octubre de 1968,
es hija del Lic. Jase Benjamín Gaxiola Cota y Maestra Luz María González
Mendieta. Se recibió de Preparatoria del ITESM Unidad Sinaloa, en la ciudad de
Culiacán el año de 1985, año que ingresó a sus estudios de Licenciado en
Ingeniería Industrial y de Sistemas, título que obtuvo en el año de 1989.
La lng. Gaxiola trabajó desde enero de 1990 a mayo de 1991 en Llantas royal
de Sinaloa S.A. de C.V., con el cargo de auxiliar administrativo. Posteriormente de
mayo de 1991 a diciembre de 1991 se desempeñó como agente de seguros en
SEGUMEX sucursal Sinaloa. En agosto de 1993 ingresó al ITESM como maestro
de cátedra en el departamento de matemáticas, cargo que dejó en enero de 1995.
En Agosto de 1995 se incorpora a la Escuela de Enseñanza Personalizada
"Yoliztli" como encargada del departamento de matemáticas de secundaria cargo
que dejó temporalmente para concluir su tesis.
La lng. Gaxiola inició sus estudios de maestría en educación con especialidad
en matemáticas en agosto de 1993.
La lng .Gaxiola es casada desde febrero de 1991.
Dirección permanente:
Río Mocorito #115 Pte.
Colonia Guadalupe
Culiacán Sinaloa, México.
Teléfono: (01-67) 12- 36 -83
E-MAi L: [email protected]. itesm. mx
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