USC · Índice general 1. Grupos de investigación 5 2. Proyectos de Investigación 7 3. Contratos...

Memoria de actividades

año 2010

Índice general

1. Grupos de investigación 5

2. Proyectos de Investigación 7

3. Contratos y convenios 11

4. Participación en Redes Temáticas 15

5. Visitantes 17

6. Actividades científicas 196.1. Congresos y Reuniones Científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2. Seminarios y conferencias del IMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. Organización de Cursos 217.1. Cursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8. Actividades de divulgación 238.1. Seminario de Iniciación á Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.2. Conferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9. Actividades de Apoyo a la Investigación 259.1. Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.2. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10.Publicaciones 2710.1.Artículos de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.2.Monografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.3.Capítulos de libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11. Información institucional 3511.1.Dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2.Composición del Consello de Goberno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.3.Composición del Consello Científico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.4.Miembros del Instituto de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Grupos de investigación

1. ÁlxebraCoordinador: José Luis Gómez PardoInvestigadores: Leovigildo Alonso Tarrío, Javier Barja Pérez, Rosa Fernández Rodríguez, Jo-sé Manuel Fernández Vilaboa, Leoncio Franco Fernández, Felipe Gago Couso, Antonio GarcíaRodicio, Ana Jeremías López, Manuel Ladra González, M. Purificación López López, Javier Ma-jadas Soto, Manuel Pedreira Pérez, Celso Rodríguez Fernández, Nieves Rodríguez González,María Jesús Vale Gonsalves, Emilio Villanueva Novoa,

2. Ecuaciones Diferenciales no LinealesCoordinador: Juan José Nieto RoigInvestigadores:Alberto Cabada Fernández, José Ángel Cid Araújo, Juan Bosco Ferreiro Darri-ba, Rubén Figueiroa Sestelo, Daniel Franco Leis, Eduardo Liz Marzán, Rodrigo López Pouso,M. Victoria Otero Espinar, Gerardo Rodríguez López, Rosana Rodríguez López.

3. Enxeñaría matemáticaCoordinador: Alfredo Bermúdez de Castro López-VarelaInvestigadores:José Luis Ferrín González, María Dolore Gómez Pedreira, Óscar López Pouso,María del Carmen Muñiz Castiñeira, Peregrina Quintela Estévez, Jerónimo Rodríguez García,María Luisa Seoane Martínez.

4. Estructuras geométricas diferenciales y aplicacionesCoordinador: Modesto R. Salgado SecoInvestigadores: José A. Oubiña Galiñanes, J. Francisco Torres Lopera.

5. Foliaciones y Sistemas DinámicosCoordinador: Xosé M. Masa VázquezInvestigadores: Fernando Alcalde Cuesta, Jesús A. Álvarez López, Antonio M. Gómez Tato,Enrique Macías Virgós.

6. Geometría RiemannianaCoordinador: Eduardo García RíoInvestigadores: Agustín Bonome Dopico, Regina Castro Bolaño, Luis A. Cordero Rego, J. Car-los Díaz Ramos, Luis M. Hervella Torrón, M. Elena Vázquez Abal.

7. Modelización en flujos hidrodinámicosCoordinadora: Carmen Rodríguez Iglesias.Investigadores: José Antonio Álvarez Dios, Rafael Muñoz Sola, Maria Elena Vázquez Cendón.

8. Modelización Estadística y AplicacionesCoordinador: Wenceslao González ManteigaInvestigadores: Carmen M. Cadarso Suárez, M. Carmen Carollo Limeres, M. Ángeles Casares

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6 CAPÍTULO 1. GRUPOS DE INVESTIGACIÓN

de Cal, Balbina V. Casas Méndez, Luis Coladas Uría, Rosa M. Crujeiras Casais, Pedro FaraldoRoca, Manuel Febrero Bande, M. Ángeles Fernández Fernández, M. Ángeles Fernández Sotelo,Julio González Díaz, José Manuel Prada Sánchez, Alberto Rodríguez Casal.

9. Modelos Matemáticos y Simulación Numérica en Mecánica de SólidosCoordinador: Juan M. Viaño ReyInvestigadores: Margarita Burguera Fernández, María del Pilar Mato Eiroa.

Capítulo 2

Proyectos de Investigación

Título del Proyecto: Cohomología de espacios singulares y categorías derivadasEntidad financiadora: Ministerio de Investigación, Ciencia e InnovaciónDuración: desde 2009 hasta 2011.Investigador responsable: Leovigildo Alonso Tarrío

Título del Proyecto: Teoría geométrica y analítica de foliaciones, MTM2008-02640.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e InnovaciónDuración: desde 01/01/2009 hasta 31/12/2011Investigador responsable: Jesús A. Álvarez López

Título del Proyecto: Análisis y simulación numérica de modelos matemáticos con aplicacionesindustriales.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e InnovaciónDuración: desde 01/01/2009 hasta 31/12/2013Investigador responsable: A. Bermúdez de Castro

Título del Proyecto: Simulación numérica de procesos termoeléctricos e magneto-mecánicostransitorios non lineares. Aplicacións industriais.Entidad financiadora: Xunta de GaliciaDuración: desde 02/12/2009 hasta 01/12/2012Investigador responsable: A. Bermúdez de Castro

Título del Proyecto: Realización de un código de software libre para la simulación numérica enacústica.Entidad financiadora:Duración: desde 01/01/2010 hasta 30/09/2011Investigador responsable: A. Bermúdez de Castro

Título del Proyecto: Realización de un código de software libre para la simulación numérica enelectromagnetismo (AMPLIACION).Entidad financiadora:Duración: desde 01/10/2010 hasta 30/09/2011Investigador responsable: A. Bermúdez de Castro

Título del Proyecto: Consolidación e estructuración de unidades de investigación competitivas(Grupos de Referencia Competitiva).Entidad financiadora: Xunta de GaliciaDuración: desde 01/01/2010 hasta 15/11/2012Investigador responsable: A. Bermúdez de Castro

Título del Proyecto: Ecuaciones Diferenciales Funcionales. Dinámica y aplicaciones.Entidad financiadora: Ministerio de Educación y Ciencia.

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8 CAPÍTULO 2. PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN

Duración: desde 01/10/2007 hasta 31/12/2010.Investigador responsable: Alberto Cabada Fernández.

Título del Proyecto: Modelos Aditivos Generalizados en estudios de asociación, predicción yclasificación. Aplicaciones en Medicina y Biología.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación.Duración: desde 01/01/2009 hasta 31/12/2011.Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título del Proyecto: Axuda para a Contratación de Persoal Técnico de Apoio/Modalidade Téc-nicos de proxectos de I+D.Entidad financiadora: DGI (PGC).Duración: desde 26/01/2007 hasta 25/01/2010.Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título del Proyecto: Correlatos psicofísicos y neurales de la toma de decisiones.Entidad financiadora: Consellería de Innovación e Industria. Xunta de Galicia.Duración: desde 31-10-2008 hasta 31-10-2011.Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título del Proyecto: Contribucións á Teoría de XogosEntidad financiadora: Dirección Xeral de Investigación, Desenvolvemento e Innovación.Duración: desde 02-12-2009 hasta 01-12-2012.Investigador responsable: Balbina Virginia Casas Méndez.

Título del Proyecto: Isometric actions.Entidad financiadora: European Commission.Duración: desde 01/03/2009 hasta 28/02/2012.Investigador responsable: J. Carlos Díaz Ramos.

Título del Proyecto: Curvatura y simetría en geometría semi-Riemanniana.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación.Duración: desde 01/01/2010 hasta 31/12/2012.Investigador responsable: Eduardo García Río.

Título del Proyecto: Curvatura y estructura de variedades de Lorentz.Entidad financiadora: Xunta de Galicia.Duración: desde 02/12/2009 hasta 01/12/2012.Investigador responsable: Eduardo García Río.

Título del Proyecto: Statistical Analysis os Association and Dependence in Complex Data. In-teruniversity Attraction Pole (IAP). Interuniversity Attraction Pole (IAP). Phase IV. Belgian Scien-ce Policy.Entidad financiadora:Duración: desde 01/01/2007 hasta 31/12/2011.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: Metodologías y aplicaciones en estadística semiparamétrica, funcional yespacio/temporal.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación.Duración: desde 01/01/2009 hasta 31/12/2013.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: Axuda do MEC para a contratación de persoal técnico de apoio/Modalidadede técnicos de proxectos de I+D.Entidad financiadora: DGI (PN).Duración: desde 26/01/2007 hasta 25/01/2010.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

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Título del Proyecto: Consolidación e estruturación de unidades de investigación (grupos com-petitivos).Entidad financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria.Duración: 2010 desde hasta 31-12-2012.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: Modelos de predición con datos funcionais. Aplicacións mediambientais efinanceiras.Entidad financiadora: Dirección Xeral de Investigación, Desenvolvemento e Innovación.Duración: desde 08-11-2007 hasta 31-12-2010.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: Consolidación e estruturación de unidades de investigación (redes deinvestigación).Entidad financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria.Duración: desde 01-01-2009 hasta 30-12-2010.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: MODELOS DE INFERENCIA NON PARAMÉTRICA PARA INDICADORESMEDIOAMBIENTAIS.Entidad financiadora: Xunta de Galicia.Duración: desde 07-07-2010 hasta 22-12-2010.Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Proyecto: Categorías derivadas y geometría algebraicaEntidad financiadora: Xunta de GaliciaDuración: desde 2010 hasta 2013.Investigador responsable: Ana Jeremías López.

Título del Proyecto: Métodos computacionales y homológicos en álgebras no asociativas ygrupos cuánticos.Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación.Duración: desde 02/12/2009 hasta 01/12/2012.Investigador responsable: Manuel Ladra González.

Título del Proyecto: Computación en álgebras no asociativas y álgebras de Hopf.Entidad financiadora: Xunta de Galicia.Duración: desde 02/12/2009 hasta 01/12/2012.Investigador responsable: Manuel Ladra González.

Título del Proyecto: Grupos de Lie y espacios homogéneos. MTM2008-05861.Entidad financiadora: Ministerio de Educación y CienciaDuración: desde 01/01/2009 hasta 31/12/2011Investigador responsable: Enrique Macías Virgós

Título del Proyecto: Análise matemática e resolución numérica de problemas de difusión. Apli-cacións ao modelado de colectores térmicos e compostos tensioactivos.Entidad financiadora: Xunta de Galicia.Duración: noviembre 2010 - noviembre 2013.Investigador responsable: M. Carmen Muñiz.

Título del Proyecto: Grupo Referencia CompetitivaEntidad financiadora: Xunta de Galicia.Duración: desde 01/01/2007 hasta 31/12/2010.Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

10 CAPÍTULO 2. PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN

Título del Proyecto: Ayuda para la contratación e incorporación de un gestor en valorizacióntecnológica en el proyecto i-MATH.Entidad financiadora: FECYT.Duración: desde 31/12/2009 hasta 30/12/2011.Investigador responsable: P. Quintela Estévez.

Título del Proyecto: Modelización, Análise Matemática e Simulación Numérica en Mecánicade Sólidos. Aplicacións na Enxeñería Civil..Entidad financiadora: Xunta de GaliciaDuración: desde 2/12/2009 hasta 2/12/2012.Investigador responsable: P. Quintela Estévez.

Título del Proyecto: Modelización, Análisis Matemático y Simulación Numérica en MecánicadeSólidos. Aplicaciones en Ingeniería Civil. (MTM2008-05682).Entidad financiadora: Ministerio de Ciencia e InnovaciónDuración: desde 01-01-2009 hasta 31-12-2011.Investigador responsable: P. Quintela Estévez.

Título del Proyecto: Análisis matemático y simulación numérica de modelos avanzados decomportamiento de materiales: aplicaciones en la industria, biomecánica y ortodonciaEntidad financiadora: Ministerio de Investigación, Ciencia e InnovaciónDuración: desde 01/12/2006 hasta 30-11-2009 (Prorrogado hasta 31/03/2011).Investigador responsable: Juan M. Viaño Rey

Capítulo 3

Contratos y convenios

Título del Contrato/Convenio: Consultoría científico-tecnolóxica referente ao desenvolvemen-to de novas técnicas de quecemento e de refrixeración para a conformación de plásticos me-diante a tecnoloxía de rotomoldeamento.Empresa/Institución: Tecnologías Avanzadas Inspiralia, S.A.Duración: desde 01/09/2010 hasta 31/08/2011.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Simulación numérica termoelectromagnética y fluidodinámicade procesos en la industria del silicio.Empresa/Institución: Ferroatlántica I+DDuración: desde 15/01/2010 hasta 31/12/2011.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Optimización del tamaño de unidades productivas para el dise-ño de plantas de acuicultura de gran tonelaje.Empresa/Institución: Impulso Industrial Alternativo, S.A.Duración: desde 01/01/2009 hasta 30/06/2010.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Tecnologías ecológicas para el transporte urbano.Empresa/Institución: Carrocera Castrosúa (Proyecto Cenit ECOTRANS)Duración: desde 26/02/2008 hasta 20/09/2011.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Modelización de la oxicombustión en lapas de carbón pulveri-zado (SIMULOX).Empresa/Institución: Fundación Ciudad de la EnergíaDuración: desde 01/09/2008 hasta 01/08/2011.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Investigación de tecnología para elevación “net zero"(NET0LIFT)(programa CENIT).Empresa/Institución: Orona S. CoopDuración: desde 14-04-2007 hasta 31-12-2010.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

Título del Contrato/Convenio: Desenvolvemento e implementación de sistemas NVH para laredución de ruidos y vibraciones en autobuses.Empresa/Institución: Carrocera CastrosúaDuración: desde 26/11/2007 hasta 30/09/2010.Responsable: A. Bermúdez de Castro.

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12 CAPÍTULO 3. CONTRATOS Y CONVENIOS

Título del Contrato/Convenio: Estudo da Inserción Laboral dos titulados no SUG 2007-2008.Empresa/Institución: Consorcio Axencia para a Calidade do Sistema Universitario de Galicia.Duración: desde 02/11/2010 hasta 30/06/2011.Responsable: Rosa M. Crujeiras Casais, Pedro Faraldo Roca.

Título del Contrato/Convenio: Análise estatística para a monitorización e control de procesosde produción de taboleiros.Empresa/Institución: Financiera Maderera, S.A. (FINSA).Duración: desde 01/02/2010 hasta 01/08/2010.Responsable: Manuel Febrero Bande.

Título del Contrato/Convenio: Diseño e implementación de técnicas de liderazgo, planifica-ción, seguimiento y control para la consecución de equipos eficaces.Empresa/Institución: NORTAGRO S.L..Duración: desde 05/03/2010 hasta 01/12/2010.Responsable: María Ángeles Fernández Fernández.

Título del Contrato/Convenio: Elaboración das guías e materiais didácticos para alumnado eprofesorado: montaxe e instalación solares fotovoltaicas.Empresa/Institución: FORGA.Duración: desde 29/01/2008 hasta 31/03/2010.Responsable: María Ángeles Fernández Fernández .

Título del Contrato/Convenio: División dos contidos asociados ás unidades formativas dosnovos certificados de profesionalidade.Empresa/Institución: FORGA.Duración: desde 29/01/2008 hasta 31/03/2010.Responsable: María Ángeles Fernández Fernández.

Título del Contrato/Convenio: Estudo e desenvolvemento de procedementos estatísticos paraaplicación do estándar Clear-to-Wear.Empresa/Institución: INDITEX.Duración: desde 01/06/2010 hasta 30/11/2010.Responsable: Antonio Gómez Tato.

Título del Contrato/Convenio: Desarrollo de modelos matemáticos para la identificación denodos de confianza relacionados con el proyecto de "Banks of Jamuna".Empresa/Institución: INDITEX.Duración: desde 01/06/2010 hasta 30/11/2010.Responsable: Antonio Gómez Tato.

Título del Contrato/Convenio: SIPEI 2010.Empresa/Institución: ENDESA Generación.Duración: desde 01/11/2009 hasta 31/10/2010.Responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Contrato/Convenio: SIPEI 2011.Empresa/Institución: ENDESA.Duración: desde 01/11/2010 hasta 31/10/2011.Responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título del Contrato/Convenio: Red Española de Topología. SAIRT-C6-0382.Empresa/Institución: i-math Ingenio Mathematica Consolider.Duración: desde 1/1/2011 hasta 01/10/2011.Responsable: Enrique Macías Virgós.

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Título del Contrato/Convenio: Deseño metodolóxico e análise de resultados de enquisas quepermitan cuantificar o volume do turismo e excursionismo en Galicia en 2009.Empresa/Institución: TurGalicia, S.A..Duración: desde 12/06/2009 hasta 30/04/2010.Responsable: José Manuel Prada Sánchez.

Título del Contrato/Convenio: Modificación de la fórmula de los criterios de valoración de lasofertas económicas presentadas a las licitaciones y, en general, a las ofertas con valores anor-males o desproporcionados.Empresa/Institución: Diputación Provincial de A Coruña.Duración: desde 17/12/2009 hasta: 30/10/2010.Responsable: Juan M. Viaño Rey.

Título del Contrato/Convenio: Estudo sectorial sobre división de contidos asociados ás unida-des formativas dos novos certificados profesionais.Empresa/Institución: FORGA.Duración: desde hasta 30/06/2011.Responsable: falta el responsable.

14 CAPÍTULO 3. CONTRATOS Y CONVENIOS

Capítulo 4

Participación en Redes Temáticas

Red de Álgebra no Cconmutativa (NcAlg)Web: http://www.ugr.es/ nc-alg/ncalg/precedentes.html

Red Española de Topología (RET)Web: http://www.redtop.es

Red Temática de Cálculo Simbólico, Álgebra Computacional y Aplicaciones (EACA)Web: http://www.unirioja.es/dptos/dmc/RedEACA/presentacionEACA.html

Red Temática de Geometría, Mecánica y Control (GMCn)Web: http://www.gmcnetwork.org

Red Temática Geometría y Física (RTGF)Web: http://www.mat.csic.es/webpages/rtgf/

Red Temática Relatividad y Gravitación (RTRG)Web: http://gesalerico.ft.uam.es/workshops/rtrg/

Rede Temática Galega de Álxebra, Computación e Aplicacións (REGACA)Web: http://www.usc.es/regaca/

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16 CAPÍTULO 4. PARTICIPACIÓN EN REDES TEMÁTICAS

Capítulo 5

Visitantes

David Pauksztello,Universidad de LeicesterDuración: desde 11/01/2010 hasta 17/01/2010.

Prof. Carlos Olmos,Universidad de Córdoba, ArgentinaDuración: desde 31/01/2010 hasta 07/02/2010.

Profa. Graciela Boente ,Universidad de Buenos Aires e CONICETDuración: desde 10/02/2010 hasta 18/02/2010.

Prof. Gudlaugur Thorbergsson,Universität Köln, AlemaniaDuración: desde 28/02/2010 hasta 06/03/2010.

Wafaa Batat,École Normale Supérieure d’Enseignement Technologique d’Oran, Département de Mathéma-tiques et Informatique, Oran, ArgeliaDuración: desde 13/2/2010 hasta 24/4/2010.

Prof. Utkir Rozikov,Institute of mathematics and information technologies, UzbekistánDuración: desde 21/02/2010 hasta 10/04/2010.

Prof. Bakhrom Omirov,Institute of mathematics and information technologies, UzbekistánDuración: desde 2/04/2010 hasta 13/04/2010.

Prof. Valentin Patilea,IRMAR-INSA, Instituto de Investigaciones Matemáticas and CREST-Ensai, Centre de Recher-che en Economie et Statistique de RennesDuración: desde hasta 08/04/2010.

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18 CAPÍTULO 5. VISITANTES

Narciso Roman-Roy,Departamento de Matemática Aplicada IV (UPC) BarcelonaDuración: desde 21/4/2010 hasta 23/4/2010.

Prof. Jesús R. Artalejo ,Universidad Cumplutense de MadridDuración: desde hasta 18-19/05/2010.

Prof. Qiwei Yao,Department of Statistics London School of EconomicsDuración: desde hasta 01/06/2010.

Prof. Pascal Sarda,Institut De Mathématiques De Toulouse, Equipe LSP, Université Paul Sabatier (Toulouse)Duración: desde hasta 01/06/2010.

Prof. Manuel Wiesenfarth,Georg-August-Universität GöttingenDuración: desde hasta 06/07/2010.

Prof. Tamar Datuashvili,A. Razmadze Mathematical Institute, GeorgiaDuración: desde 24/08/2010 hasta 23/10/2010.

Hiraku Nozawa,University of TokyoDuración: desde 01/09/2010 hasta 31/07/2011.

Prof. Patrick J. Ryan,McMaster University, CanadáDuración: desde 10/10/2010 hasta 23/10/2010.

Prof. Peter B. Gilkey,University of Oregon, EEUUDuración: desde 18/10/2010 hasta 20/12/2010.

Profra. Inmaculada Higueras,Universidad Pública de Navarra, España.Duración: desde 24/11/2010 hasta 26/11/2010.

Prof. Patrick Joly,Institut National de Recherche en Informatique et Automatique, Francia.Duración: desde 06/12/2010 hasta 10/12/2010.

Capítulo 6

Actividades científicas

6.1. Congresos y Reuniones Científicas

Research Program on FoliationsCRM, Bellaterra, Barcelona, abril-julio 2010http://www.crm.cat/

Incluye los siguientes:

• Workshop on Holomorphic FoliationsCRM, Bellaterra, Barcelona, 21-23 abril 2010http://www.crm.cat/

• Workshop on Geometry of FoliationsCRM, Bellaterra, Barcelona, 26-27 abril 2010http://www.crm.cat/

• Workshop on Dynamics of FoliationsCRM, Bellaterra, Barcelona, 28-30 abril 2010http://www.crm.cat/

• Advanced Course on Foliations: Dynamics-Geometry-TopologyCRM, Bellaterra, Barcelona, 3-7 mayo 2010http://www.crm.cat/

• Conference on Geometry and Topology of FoliationsCRM, Bellaterra, Barcelona, 12-16 julio 2010http://www.crm.cat/

Jornada temática interdisciplinar sobre Topología de datosSantiago de Compostela, 21-22 mayo 2010http://www.usc.es/congresos/datatop/

Workshop on Strategic Data AnalysisSantiago de Compostela, 29 junio, 2010.http://mathematica.nodo.cesga.es/content/view/171/38/

V International Workshop on Spatio-Temporal Modelling (METMAV)Santiago de Compostela, 30 junio - 2 julio, 2010.http://eio.usc.es/pub/metma/

4th Summer School on Geometry, Mechanics and ControlSantiago de Compostela, 5-9 de julio, 2010http://www.gmcnetwork.org/ssgmc10

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20 CAPÍTULO 6. ACTIVIDADES CIENTÍFICAS

XII Encuentro de Álgebra Computacional y Aplicaciones, EACA 2010Santiago de Compostela , July 19- 21, 2010.http://www.usc.es/regaca/eaca2010/

Conference in Geometry and Global Analysis, Celebrating P. Gilkey’s 65th BirthdaySantiago de Compostela, 13-17 diciembre, 2010.http://xtsunxet.usc.es/gilkey2010/

6.2. Seminarios y conferencias del IMAT

Prof. Stepan TersianTítulo: Homoclinic solutions for semilinear differential and difference equations with periodiccoefficients.Fecha: 05/03/2010

Prof. Stepan TersianTítulo: Decreasing and fast solutions of a second-order difference equation. A variational ap-proach and numerical experiments.Fecha: 09/07/2010

Prof. Christian PötzscheTítulo: Towards a nonautonomous bifurcation theory.Fecha: 5/07/2010

Prof. Ravi AgarwalTítulo: Singular Integral Equations with Real World Applications.Fecha: 22/07/2010

Prof. Erkinjon KarimovTítulo: Fundamental solutions for 3D singular elliptic equations.Fecha: 12/11/2010

Profa. Carmen Galé PolaTítulo: Programación binivel y multiobjetivo.Fecha:

Capítulo 7

Organización de Cursos

7.1. Cursos

Variedades de Banach Simétricas.Prof. José M. Isidro GómezFecha: del 14/01/2010 al 14/05/2010: hora y media semanales; total 2,5 creditos presenciales.

Profa. Carmen Cadarso SuárezTítulo: Curso avanzado en Regresión Spline Penalizada y Regresión Geoaditiva utilizando Ba-yesX.Fecha: desde 08/02/2010 hasta 12/02/2010

Curso de Física Teórica para Matemáticos

Eduardo Conde PenaTítulo: Mecánica Cuántica en poucas palabras. Formulación mediante integrais de camiñoFecha: 15/03/2010

José Manuel Fernández QueirugaTítulo: Mecánica Cuántica en el formalismo de las álgebras C∗

Fecha: 22/03/2010

Javier Tarrío BarreiroTítulo: Comentarios sobre teoría cuántica de camposFecha: 12/04/2010

Ricardo Couso SantamaríaTítulo: Introducción a una formulación matemática de las teorías gaugeFecha: 19/04/2010

Xián Otero CaamanhoTítulo: Gravitación e Teoría de Cordas, cara a gravidade cuánticaFecha: 26/04/2010

Bayesian Computing with INLA.Prof. Havard RueNorwegian Technical University, NoruegaFecha: del 10/10/2010 al 11/10/2010.

A short course in elliptic operator theory in global analysis.Prof. Peter B. GilkeyUniversity of Oregon, EEUUFecha: 09/11/2010, 23/11/2010, 30/11/2010, 02/12/2010, 09/12/2010.

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22 CAPÍTULO 7. ORGANIZACIÓN DE CURSOS

Capítulo 8

Actividades de divulgación

8.1. Seminario de Iniciación á Investigación

Wafaa BatatTítulo: Lorentzian geometry of Egorov spacesFecha: 21/04/2010

Miguel Domínguez VázquezTítulo: Hipersuperficies isoparamétricas nas esferasFecha: 28/04/2010

Ibán Constenla RozadosTítulo: Estudio do aproveitamento enerxético de biomasaFecha: 12/05/2010

María Pérez Fernández de CórdobaTítulo: Percolación relativaFecha: 26/05/2010

Miguel Vaquero VallinaTítulo: Reducción de Lie-Poisson y Euler-PoincaréFecha: 03/06/2010

Silvia Suárez CrespoTítulo: Unha perspectiva da inferencia estatística tipo núcleoFecha: 23/06/2010

María José Pereira SáezTítulo: Un punto de corte entre a Topoloxía Alxébrica e a Análise MatemáticaFecha: 03/11/2010

Eduardo Dorrego LópezTítulo: Variedades algebraicas con propiedades especialesFecha: 10/11/2010

Carlos Meniño CotónTítulo: Cohomoloxía e Categoría LS mediblesFecha: 24/11/2010

23

24 CAPÍTULO 8. ACTIVIDADES DE DIVULGACIÓN

8.2. Conferencias

Prof. José Angel Cid AraujoTítulo: Grao topolóxico e ecuacións diferenciais.Fecha: 18/02/2010

Prof. Xosé M. Masa VázquezTítulo: Teoría de foliacións.Fecha: 16/03/2010

Prof. Modesto R. Salgado SecoTítulo: Estruturas xeométricas en mecánica clásica e teoría de campos.Fecha: 23/03/2010

Prof. Eduardo García RíoTítulo: Xeometría de Riemann e semi-riemanniana.Fecha: 13/04/2010

Prof. Manuel Pedreira PérezTítulo: Variedades alxébricas definidas por ecuacións de Laplace: Teoremas de Teracini.Fecha: 20/04/2010

Prof. Manuel Pedreira PérezTítulo: Conxecturas de Hartshorne e variedades alxébricas con defecto secante.Fecha: 27/04/2010

Capítulo 9

Actividades de Apoyo a laInvestigación

9.1. Proyectos

Título del Proyecto: The European Digital Mathematics Library. EuDMLEntidad financiadora: Competitiveness and Innovation Framework Programme.European Commission CIP-ICT-PSP.2009.2.4.Duración: desde 01/02/2009 hasta 31/01/2013.Web: http://www.eudml.euInvestigador responsable: Enrique Macías Virgós.

9.2. Publicaciones

Autores: P. Faraldo Roca, R. Crujeiras, M. J. Lombardía, S. Naya Fernández, J. M. Matías, V.Carreira, B. M. Fernández de CastroTítulo: . Estudo da inserción laboral dos titulados no Sistema Universitario de Galicia 2006-2007.Referencia: Axencia para a Calidade do Sistema Universitario de Galicia (ACSUG), (2010)

Autores: E. Macías-Virgós, R. de la ViescaTítulo: Digitization Projects in Spain.Referencia: Mathematics in Computer Science, 3 3 (2010), 243-250.DOI: 10.1007/s11786-010-0030-9.

Autores: P. Quintela Estévez, W. González-Manteiga, M. T. Alonso Alonso, M. J. Ginzo, M.López-RatónTítulo: Mapa i-MATH de demanda empresarial de tecnología matemática.Referencia: (2010)

Autores: P. Quintela Estévez, W. González-Manteiga, M. T. Alonso Alonso, M. J. Ginzo, M.López-RatónTítulo: i-MATH Map of Company Demand for Mathematical Technology.Referencia: (2010)

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26 CAPÍTULO 9. ACTIVIDADES DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN

Capítulo 10

Publicaciones

10.1. Artículos de investigación

1. Autores: J. N. Alonso Álvarez, J. M. Fernández Vilaboa, R. González Rodríguez, A. B. Rodrí-guez Raposo.Título: Crossed products in weak contexts.Referencia: Applied Categorical Structures, 18 (2010), 231-258.

2. Autores: R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham, J. J. NietoTítulo: On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty.Referencia: Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 6, 2859 - 2862.

3. Autores: B. Ahmad, J. J. NietoTítulo: Solvability of nonlinear Langevin equation involving two fractional orders with Dirichletboundary conditions.Referencia: International Journal of Differ. Equations 2010, Art. ID 649486, 10 pp.

4. Autores: B. Ahmad, J. J. NietoTítulo: Existence of solutions for anti-periodic boundary value problems involving fractional dif-ferential equations via Leray-Schauder degree theory.Referencia: Topological Methods in Nonlinear Analysis 35 (2010), no. 2, 295 - 304.

5. Autores: B. Ahmad, J. J. NietoTítulo: Existence results for higher order fractional differential inclusions with nonlocal boundaryconditions.Referencia: Nonlinear Studies 17 (2010), no. 2, 131 - 138.

6. Autores: J. M. Alonso-Meijide, B. Casas-Méndez, M. G. Fiestras-Janeiro, M. J. HollerTítulo: Two variations of the Public Good Index for simple games with a priori unions.Referencia: Control and Cybernetics 39 (2010).

7. Autores: L. Alonso Tarrío, A. Jeremías López, M. SaorínTítulo: Classifying Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherianring.Referencia: Journal of Algebra 324 (2010), 313-346.

8. Autores: A. Alvarez , O. Cabeza , M.C. Muñiz , L.M. VarelaTítulo: Experimental and numerical investigation of a flat-plate solar collector.Referencia: Energy 35 (2010) 3707-3716.

9. Autores: J. A. Álvarez-López, A. CandelTítulo: Topological description of Riemannian foliations with dense leaves.

27

28 CAPÍTULO 10. PUBLICACIONES

Referencia: Pacific Journal of Mathematics, 248 (2010), 257-276.

10. Autores: A. Arara, M. Benchohra, N. Hamidi, J. J. NietoTítulo: Fractional order differential equations on an unbounded domain.Referencia: Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 2, 580 - 586.

11. Autores: M. Benchohra, N. Hamidi, J. J. NietoTítulo: Topological transversality method and fractional order differential equations.Referencia: Communications in Appl. Nonlinear Analysis 17 (2010), no. 2, 25 - 34.

12. Autores: M. Benchohra, S. Hamani, J. J. NietoTítulo: The method of upper and lower solutions for second order differential inclusions withintegral boundary conditions.Referencia: Rocky Mountain Journal of Mathematics 40 (2010), no. 1, 13 - 26.

13. Autores: M. Benchohra, S. Hamani, J. J. Nieto, B. A. SlimaniTítulo: Existence of solutions to differential inclusions with fractional order and impulses.Referencia: Electronic Journal of Differential Equations (2010), No. 80, 18 pp.

14. Autores: A. Bermúdez, P. Gamallo, L. Hervella-Nieto, A. Prieto.Título: Numerical simulation of active-passive cells with microperforated plates or porous veils.Referencia: Journal of Sound and Vibrations, 329 (2010), 3233-3246.

15. Autores:A. Bermúdez, A. Hervella-Nieto, A. Prieto, R. Rodríguez.Título: Perfectly Matched Layers for Time-Harmonic Second Order Elliptic Problems.Referencia: Archives of Computational Methods in Engineering, 17 (2010), 77-107.

16. Autores: A. Bermúdez, B. López-Rodríguez, R. Rodríguez, P. Salgado.Título: Equivalence between two finite element methods for the eddy current problem.Referencia: Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris. Série I, 34 (2010) 769-774.

17. Autores: A. Bermúdez, R. Muñoz-Sola y R. Vázquez.Título: Analysis of two stationary magnetohydrodynamics systems of equations including Jouleheating.Referencia: Journal of Mathematical Analysis and Applications, 368 (2010), 444-468.

18. Autores: A Bermúdez, C. Reales, R. Rodríguez, P. Salgado.Título: Numerical analysis of a finite-element method for the axisymmetric eddy current modelof an induction furnace.Referencia: IMA Journal of Numerical Analysis 30 (2010), no. 3, 654-76.

19. Autores: A. Cabada, J. Á. Cid, M. TvrdýTítulo: A generalized anti-maximum principle for the periodic one-dimensional p-Laplacian withsign-changing potential.Referencia: Nonlinear Analysis, 72 (2010),no. 7-8, 3436-3446.

20. Autores: A. Cabada, N. D. DimitrovTítulo: Multiplicity results for nonlinear periodic fourth order difference equations with parameterdependence and singularitiesReferencia: Journal of Mathematical Analysis and Applications, 371 (2010),no. 2, 518-533.

21. Autores: A. Cabada, G. UrazboevTítulo: Integration of the Toda lattice with an integral-type sourceReferencia: Inverse Problems, 26 (2010),no. 8.

10.1. ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN 29

22. Autores: C. M. Cadarso Suárez, E. Fernández Pulpeiro, V. Lustres-Pérez, M. X. Rodríguez-Álvarez, M. P. Pata.Título: Modelling spatial patterns of distribution and abundance of mussel seed using StructuredAdditive Regression modelsReferencia: SORT 34 (2010), 67-78.

23. Autores: G. Calvaruso, E. García-RíoTítulo: Algebraic properties of curvature operators in Lorentzian manifolds with large isometrygroupsReferencia: Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 6 (2010), 005,8pp.

24. Autores: E. Calviño-Louzao, E. García-Río, R. Vázquez-LorenzoTítulo: Riemann extensions of torsion-free connections with degenerate Ricci tensorReferencia: Canadian Journal of Mathematics 62 (2010), 1037–1057.

25. Autores: R. Cao, A. Antoniadis, M. García-Magariños, W. González-ManteigaTítulo: Lasso Logistic Regression, GSoft and the Cyclic Coordinate Descent Algorithm.Referencia: Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9 (2010), article 30.

26. Autores: L. Carpente, B. Casas-Méndez, C. Jácome, J. PuertoTítulo: A model and two heuristic approaches for a forage harvester planning problem: a casestudy.Referencia: TOP 18 (2010), 122-139.

27. Autores: L. Carpente, B. Casas-Méndez, I. García-Jurado, A. van den NouwelandTítulo: The truncated core for games with upper bounds.Referencia: International Journal of Game Theory 39 (2010), 645-656.

28. Autores: J. M. Casas, T. Datuashvili, M. Ladra.Título: Universal strict general actors and actors in categories of interest.Referencia: Applied Categorical Structures, 18 (2010), 85-114.

29. Autores: J. M. Casas, N. Inassaridze, M. Ladra.Título: Homological aspects of Lie algebra crossed modules.Referencia: Manuscripta Mathematica, 131 (2010), 385-401.

30. Autores: J. M. Casas, E. Khmaladze, M. Ladra.Título: Higher Hopf formula for homology of Leibniz nn-algebras.Referencia: Journal of Pure and Applied Algebra, 214 (2010), 797-808.

31. Autores: Y.-K. Chang, J. J. Nieto, Z.-H. ZhaoTítulo: Existence results for a nondensely-defined impulsive neutral differential equation withstate-dependent delay.Referencia: Nonlinear Analysis Hybrid Syst. 4 (2010), no. 3, 593 - 599.

32. Autores: Y.-K. Chang, Z.-H. Zhao, J. J. NietoTítulo: Global existence and controllability to a stochastic integro-differential equation.Referencia: Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. (2010), No. 47, 15 pp.

33. Autores: L. Coladas Uria, S.-Y. Wang, Y. X. ZhaoTítulo: Characterizations of r-Convex Functions.Referencia: Journal of Optimization Theory and Applications 145 (2010), 186-195.

34. Autores: R. CrujeirasTítulo: Comments on: A general science-based framework for nonlinear spatio-temporal dyna-mical models.Referencia: TEST 19 (2010), 456-458.


35. Autores: R. M. Crujeiras, R. Fernández-Casal, W. González-ManteigaTítulo: Goodness-of-fit tests for the spatial spectral density.Referencia: Stochastic Environmental Research and Risk Assesment 24 (2010), 67-79.

36. Autores: R. Crujeiras, R. Fernández-Casal, W. González-ManteigaTítulo: Nonparametric test for separability of spatio-temporal processes.Referencia: Environmetrics 21 (2010), 382-399.

37. Autores: R. M. Crujeiras, I. Van KeilegomTítulo: Least squares estimation of nonlinear spatial trends.Referencia: Computational Statistics and Data Analysis 54 (2010), 452-465.

38. Autores: M. de León, J. C. Marrero, D. Martín de Diego, N. Román-Roy, M. Salgado, S. VilariñoTítulo: Hamilton-Jacobi theory in k-symplectic Field TheoryReferencia: International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 7, No. 8 (2010)1491-1507.

39. Autores: J. de Uña Álvarez, A. Rodríguez-Casal, H.-Y. LiangTítulo: Nonlinear wavelet estimator of the regression function under left truncated dependentdata.Referencia: Journal of Nonparametric Statistics 22 (2010), 319-344

40. Autores: J. P. Doeraene, E. Macias-Virgós, D. TanrèTítulo: Ganea and Whitehead definitions for the tangential LS category of foliations.Referencia: Topology and its applications 157, No. 9 (2010), 1680–1689.

41. Autores: M. A. El-Gebeily, D. O’Regan, J. J. NietoTítulo: A monotone iterative technique for stationary and time dependent problems in Banachspaces.Referencia: Journal of Comput. Appl. Math. 233 (2010), no. 9, 2395 - 2404

42. Autores: M. El-Shahed, J. J. NietoTítulo: Nontrivial solutions for a nonlinear multi-point boundary value problem of fractional order.Referencia: Comput. Math. Appl. 59 (2010), no. 11, 3438 - 3443

43. Autores: M. Febrero-Bande, P. Galeano, W. González-ManteigaTítulo: Measures of influence for the functional linear model with scalar response.Referencia: Journal of Multivariate Analysis 101 (2010), 327-339.

44. Autores: J.R. Fernández, J.M. García-Aznar, R. Martínez, J.M. ViañoTítulo: Numerical analysis of a strain-adaptive bone remodelling problemReferencia: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 199 (2010), 1549-1557.

45. Autores: R. Fernández-Casal, R. M. CrujeirasTítulo: Spatial dependence estimation using FFT of biased covariances.Referencia: Journal of Statistical Planning and Inference 140 (2010), 2653-2668.

46. Autores: M. Fernández-López, E. García-RíoTítulo: Diameter bounds and Hitchin-Thorpe inequalities for compact Ricci solitonsReferencia: Quartely Journal of Mathematics 61 (2010), 319–327.

47. Autores: P. M. Gadea, J. A. OubiñaTítulo: Homogeneous Kähler and Sasakian structures related to complex hyperbolic spaces.Referencia: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (2) 53 (2010), no. 2, 393-413

48. Autores: E. García-Río, P. Gilkey, M. E. Vázquez-Abal, R. Vázquez-LorenzoTítulo: Four-dimensional Osserman metrics of neutral signatureReferencia: Pacific Journal of Mathematics 244 (2010), 21–36.

10.1. ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN 31

49. Autores: W. González-Manteiga, A. Martínez CalvoTítulo: Comments on : Dynamic relations for sparsely sampled Gaussian processes.Referencia: TEST 19 (2010) 43-45

50. Autores: W. González-Manteiga, C. Ordoñez, J. Taboada Castro, J. M. MatíasTítulo: Partially linear support vector machines applied to the prediction of mine slope move-ments.Referencia: Mathematical and Computer Modelling 51 (2010), 206-215.

51. Autores: P. Joly, J. Rodríguez.Título: Optimized higher order time discretization of second order hyperbolic problems: Cons-truction and numerical study.Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics, 234 (2010), 1953–1961.

52. Autores: A. Khastan, J. J. NietoTítulo: A boundary value problem for second order fuzzy differential equations.Referencia: Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 9 - 10, 3583 - 3593.

53. Autores: Óscar López-Pouso y Rafael Muñoz-Sola.Título: About the solution of the even parity formulation of the transient radiative heat transferequations.Referencia: RACSAM Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat., 104 (2010), 129-152.

54. Autores: S. Lorenzo-Freire, B. Casas-Méndez, R. HendrickxTítulo: The two-stage constrained equal awards and losses rules for multi-issue allocation si-tuations.Referencia: TOP 18 (2010), 465-480.

55. Autores: V. Lustres-Pérez, M. X. Rodríguez-Álvarez, Maria P. Pata, Fernández Pulpeiro E, Ca-darso Suárez, Carmen María.Título: The application of Receiver Operating Characteristic (ROC) methodology in biologicalstudies of marine resources: sex determination of Paracentrotus lividus (Lamarck, 1816)Referencia: SORT 34 (2010), 239-248.

56. Autores: E. Macías-Virgós, M. J. Pereira-SáezTítulo: Symplectic matrices with predetermined left eigenvalues.Referencia: Linear Algebra Applications 432, No. 1 (2010), 347-350.

57. Autores: X. Meng, Z. Li, J. J. NietoTítulo: Dynamic analysis of Michaelis-Menten chemostat-type competition models with timedelay and pulse in a polluted environment.Referencia: Journal of Mathematical Chemistry 47 (2010), no. 1, 123 - 144.

58. Autores: A. Millán, A. Gómez-Tato, C. Fernández, B. G. Pardo, J. A. Álvarez-Dios, M. Calaza,C. Bouza, M. Vázquez, S. Cabaleiro, P. MartínezTítulo: Design and performance of a turbot (Scophthalmus maximus) oligo-microarray based onESTs from immune tissues.Referencia: Marine Biotechnology, 12 (4) (2010), 452-465.

59. Autores: C. Moreira, R. M. Crujeiras, M. J. BentoTítulo: Mapping childhood cancer incidence at northern region of Portugal.Referencia: Advances and Applications in Statistical Sciences 3 (2010), 177-194.

60. Autores: J. I. Muñoz Barús, M. S. Rodríguez-Calvo, J. M. Suárez-Peñaranda, D. N. Vieira, C.M. Cadarso Suárez, M. Febrero-BandeTítulo: PMICALC: An R code-based software for estimating postmortem interval (PMI) compa-tible with Windows, Mac and Linux operating systems.Referencia: Forensic Science International 194, 1 (2010), 49-52.


61. Autores: M. C. Muñoz-Lecanda, M. Salgado, S. VilariñoTítulo: k-symplectic and k-cosymplectic Lagrangian field theories: some interesting examplesand applications.Referencia: International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 7, No. 4 (2010)669-692

62. Autores: J. J. NietoTítulo: Maximum principles for fractional differential equations derived from Mittag-Leffler fun-ctions.Referencia: Appl. Math. Lett. 23 (2010), no. 10, 1248 - 1251.

63. Autores: J. J. NietoTítulo: Variational formulation of a damped Dirichlet impulsive problem.Referencia: Applied Math. Lett. 23 (2010), no. 8, 940 - 942.

64. Autores: J. J. Nieto, B. AhmadTítulo: Approximation of solutions for an initial and terminal value problem for the forced Duffingequation with non-viscous damping.Referencia: Appl. Math. Comput. 216 (2010), no. 7, 2129 - 2136

65. Autores: J. J. Nieto, M. V. Otero-Espinar, R. Rodríguez-LópezTítulo: Dynamics of the fuzzy logistic family.Referencia: Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 14 (2010), no. 2, 699 - 717

66. Autores: J. J. Nieto, R. Rodríguez-LópezTítulo: Upper and lower solutions method for fuzzy differential equations.Referencia: Boletín de la Sociedad Española de Matemática Aplicada SeMA No. 51 (2010), 125- 132.

67. Autores: J. J. Nieto, Ch. C. TisdellTítulo: On exact controllability of first-order impulsive differential equations.Referencia: Advances in Difference Equations 2010, Art. ID 136504, 9 pp.

68. Autores: A. Nohn, M. J. Holler, M. G. Fiestras-Janeiro, B. Casas-Méndez, J. M. Alonso-MeijideTítulo: Axiomatizations of Public Good Indices with A Priori Unions.Referencia: Social Choice and Welfare 35 (2010), 517-533.

69. Autores: B. Pateiro-López, A. Rodríguez-CasalTítulo: Generalizing the Convex Hull of a Sample: The R Package alphahull.Referencia: Journal of Statistical Software 34 (5) (2010), 1-28.

70. Autores: C. Phillips, L. Fernandez-Formoso, M. Garcia-Magariños, L. Porras, T. Tvedebrink, J.Amigo, M. Fondevila, A. Gomez-Tato, J. Alvarez-Dios, A. Freire-Aradas, A. Gomez-Carballa, A.Mosquera-Miguel, A. Carracedo, M. V. LareuTítulo: Analysis of global variability in 15 established and 5 new European Standard Set (ESS)STRs using the CEPH human genome diversity panel.Referencia: Forensic Sci Int: Genetics 12 (4) (2010), 452-465.

71. Autores: J. C. Reboredo, W. González-Manteiga, G. Aneiros PérezTítulo: Semiparametric regression with a FARIMA-GARCH error process: Theory and applica-tion.Referencia: Advances and Applications in Statistical Sciences 3 (2010) 83-112.

72. Autores: J. C. Reboredo, W. González-Manteiga, M. Febrero-Bande, J. M. MatíasTítulo: Boosting GARCH and neural networks for the prediction of heteroskedastic time series.Referencia: Mathematical and Computer Modelling 51 (2010), 256-271.

10.2. MONOGRAFÍAS 33

73. Autores: B. J. Regueiro, E. Varela-Ledo, L. Martinez-Lamas, J. Rodriguez-Calviño, A. Aguilera,A. Santos, A. Gomez-Tato, J. Alvarez-EscuderoTítulo: Automated extraction improves multiplex molecular detection of infection in septic pa-tients.Referencia: PLoS ONE, 5 (10) (2010), e13387-e13387.

74. Autores: A. Rodríguez-Arós, J.M. ViañoTítulo: Mathematical justification of viscoelastic beam models by asymptotic methodsReferencia: Journal of Mathematical Analysis and Applications 370 (2010), 607-634.

75. Autores: A. Rodríguez-Casal, J. E. Chacón DuránTítulo: A note on the universal consitency of the kernel distribution function estimator.Referencia: Statistics and Probability Letters 80 (2010), 1414-1419.

76. Autores: R. Sakthivel, J. J. Nieto, N. I. MahmudovTítulo: Approximate controllability of nonlinear deterministic and stochastic systems with un-bounded delay.Referencia: Taiwanese Journal of Mathematics 14 (2010), no. 5, 1777 - 1797.

77. Autores: J. Sun, H. Chen, J. J. Nieto, M. Otero-NovoaTítulo: The multiplicity of solutions for perturbed second-order Hamiltonian systems with impul-sive effects.Referencia: Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 12, 4575 - 4586.

78. Autores: L. Wang, L. Chen, J. J. NietoTítulo: The dynamics of an epidemic model for pest control with impulsive effect.Referencia: Nonlinear Analysis, Real World Applications 11 (2010), no. 3, 1374 - 1386.

79. Autores: J. Xiao, J. J. Nieto, Z. LuoTítulo: Multiple positive solutions of the singular boundary value problem for second-order im-pulsive differential equations on the half-line.Referencia: Boundary Value Problems (2010), Art. ID 281908, 13 pp.

80. Autores: J. Xu, Z. Liao, J. J. NietoTítulo: A class of linear differential dynamical systems with fuzzy matrices.Referencia: Journal of Mathematical Analysis and Applications 368 (2010), no. 1, 54 - 68.

81. Autores: Z.-H. Zhao, Y.-K. Chang, J. J. NietoTítulo: Almost automorphic and pseudo-almost automorphic mild solutions to an abstract diffe-rential equation in Banach spaces.Referencia: Nonlinear Analysis 72 (2010), no. 3-4, 1886 - 1894.

10.2. Monografías

10.3. Capítulos de libros

Autores: González-Díaz, J., García-Jurado, I., Fiestras-Janeiro, M. G.Título: An introductory course on mathematical game theory.Referencia: Graduate Studies in Mathematics, 115 (2010). American Mathematical Society

Autores: González-Manteiga, W., Martínez Calvo, Adela.Título: Bootstrap Calibration in Functional Linear Regression Models with Applications.Referencia: Proceedings of COMPSTAT’2010, (2010), 199-207. Lechevallier, Yves; Saporta,Gilbert (Eds.). Springer Physica-Verlag Heidelberg


Autores: A. Gómez González, J. Rodríguez, X. Sagartzazu, A. Schuhmacher, I. Isasa.Título: Multiple coherence method in time domain for the analysis of the transmission paths ofnoise and vibrations with non stationary signals.Referencia: Proceedings of the International Conference on Modal Analysis Noise and VibrationEngineering (ISMA 2010), 3927–3941.

Autores: T. Abboud, P. Joly, J. Rodríguez, I. Terrasse.Título: Discontinuous Galerkin methods and retarded potentials for time dependent wave pro-pagation problems on unbounded domains.Referencia: Oberwolfach Workshop on Computational Electromagnetism and Acoustics, (2010)75–78.

Capítulo 11

Información institucional

11.1. Dirección

Director: Dr. Eduardo García Río

Secretaria: Dra. Rosa M. Crujeiras Casais

Administración: Manuel Porto Canosa

11.2. Composición del Consello de Goberno

Dr. Juan Casares Long, reitor da USC

Dra. M. Victoria Otero Espinar, decana da Facultade de Matemáticas da USC

Dr. Eduardo García Rio, director do IMAT

Dra. Rosa M. Crujeiras Casais, secretaria do IMAT

Dr. Luis A. Cordero Rego

Dr. José M. Isidro Gómez

Dr. Wenceslao González Manteiga

11.3. Composición del Consello Científico

Dr. Leovigildo Alonso Tarrio

Dr. Luís Angel Cordero Rego

Dra. Rosa M. Crujeiras Casais

Dr. Eduardo García Rio

Dr. Wenceslao González Manteiga

Dr. José M. Isidro Gómez

Dr. Manuel Ladra González

Dr. Enrique Macías Virgós

Dr. Juan José Nieto Roig

Dra. M. Victoria Otero Espinar

Dr. Juan Viaño Rey

35

36 CAPÍTULO 11. INFORMACIÓN INSTITUCIONAL

11.4. Miembros del Instituto de Matemáticas

Dr. Fernando Alcalde Cuesta, C/3.Dr. Leovigildo Alonso Tarrio, C/3.Dr. Jesús Antonio Alvarez López, C/3.Dr. José Antonio Alvarez Dios, C/3.Dr. Alfredo Bermúdez de Castro, C/3.Dr. Agustín Bonome Dopico, C/3.Dra. Margarita Burguera González, C/3.Dr. Alberto Cabada Fernández, C/3.Dra. Carmen M. Cadarso Suarez, C/3.Dr. Juan Manuel Cainzos Prieto, C/3.Dra. M. del Carmen Carollo Limeres, C/3.Dra. M. Angeles Casares de Cal, C/3.Dra. Balbina Virginia Casas Méndez, C/3.Dra. Regina Castro Bolaño, C/3.Dr. Luís Coladas Uría, C/3.Dr. Luís Angel Cordero Rego, C/2.Dr. Fernando Costal Pereira, C/3.Dr. José Benito Costal Pereira, C/3.Dra. Rosa M. Crujeiras Casais, C/3.Dr. José Carlos Díaz Ramos, C/3.Dr. Pedro Faraldo Roca, C/3.Dr. Manuel Febrero Bande, C/3.Dra. M. Angeles Fernández Fernández, C/3.Dr. Francisco Javier Fernández Pérez, C/3.Dra. Rosa M. Fernández Rodríguez, C/3.Dra. M. Angeles Fernández Sotelo, C/3.Dr. José Manuel Fernández Vilaboa, C/3.Dr. José Luís Ferrín González, C/3.Dr. Manuel Antonio Fugarolas VillaMarín, C/3.Dr. Felipe Gago Couso, C/3.Dr. Eduardo García Rio, C/3.Dr. Antonio García Rodicio, C/3.Dr. José Luís Gómez Pardo, C/3.Dra. Dolores Gómez Pedreira, C/3.Dr. Antonio Gómez Tato, C/3.Dr. Julio González Díaz, C/3.Dr. Wenceslao González Manteiga, C/3.

Dr. Luís M. Hervella Torrón, C/3.Dr. José M. Isidro Gómez, C/3.Dra. Ana M. Jeremías López, C/3.Dr. Manuel E. Ladra González, C/3.Dra. M. Purificación López López, C/3.Dr. Rodrigo López Pouso, C/3.Dr. Enrique Macías Virgós, C/3.Dr. Xosé M. Masa Vázquez, C/2.Dra. Pilar Mato Eiroa, C/3.Dra. M. del Carmen Muñiz Castiñeira, C/3.Dr. Rafael Muñoz Sola, C/3.Dr. Juan José Nieto Roig, C/3.Dra. M. Victoria Otero Espinar, C/3.Dra. M. del Carmen Otero Pérez, C/3.Dra. M. del Carmen Otero Pérez, C/3.Dr. José Antonio Oubiña Galiñanes, C/3.Dr. José M. Paredes Álvarez, C/3.Dr. José Manuel Prada Sánchez, C/3.Dra. Peregrina Quintela Estévez, C/3.Dr. Miguel Antonio del Río Vázquez, C/3.Dr. Alberto Rodríguez Casal, C/3.Dr. Celso Rodríguez Fernández, C/3.Dr. Jerónimo Rodríguez García, C/3.Dra. Nieves Rodríguez González, C/3.Dra. Carmen Rodríguez Iglesias, C/3.Dr. Gerardo Rodríguez López, C/3.Dr. Modesto Ramón Salgado Seco, C/3.Dra. M. Luisa Seoane Martínez, C/3.Dr. Juan Francisco Torres Lopera, C/5.Dra. Rosa M. Trinchet Soria, C/3.Dra. M. Jesús Vale Gonsalves, C/3.Dra. M. Elena Vázquez Abal, C/3.Dra. M. Elena Vázquez Cendón, C/3.Dr. Juan Viaño Rey, C/3.Dr. Emilio Villanueva Novoa, C/3.

C/n: Dedicación a tiempo completo, dedica al Instituto una enésima parte de su jornada investigadora.

2010Actas do Seminario de Iniciación á Investigación

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

As matemáticas do veciño

M. Domínguez VázquezA. Martínez CalvoJ. Seoane Bascoy

EDITORES

ACTAS DO SEMINARIO

DE

INICIACION A INVESTIGACION

ANO 2010

Editores:

Miguel Domınguez VazquezAdela Martınez CalvoJavier Seoane Bascoy

c© 2011 Seminario de Iniciacion a Investigacion.

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII)

[email protected]

Edita:

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria

Pavillon de Servizos, s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela

ISSN: 2171-6536

Deposito Legal: C 485-2011

Todo saber ten de ciencia o que ten de matematica.

Jules Henri Poincare

Non hai rama da matematica, por abstracta que sexa,que non poida aplicarse algun dıa aos fenomenos domundo real.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

iii

Prefacio

Un aspecto fundamental da investigacion e a transmision dos novos avances noconecemento cientıfico, tanto en ambitos especializados como noutros mais xerais.A miudo estamos afeitos a presentar as nosas contribucions cientıficas en forma detraballos escritos ou conferencias dirixidos a outros investigadores especializados nonoso campo de traballo. Sen embargo, a comunicacion en ambitos non especializadosou a sociedade xeral presentan unha grande dificultade engadida da que, na maiorıados casos, non conseguimos saır con exito. O Seminario de Iniciacion a Investigacionpretende ser, dende a sua posta en marcha no ano 2005, unha ferramenta de axudaen ambalas duas cuestions anteriores para os nosos estudantes de posgrao.

Cando os primeiros organizadores do Seminario de Iniciacion a Investigacion mepresentaron a idea de levar a cabo un seminario entre estudantes de doutorado cofin de dar a conecer os distintos problemas nos que estaban a traballar, pareceumeuna iniciativa de grande interese. O feito de nos atopar ante as actas correspon-dentes ao sexto ano de dito seminario e a demostracion clara de que tal iniciativasorteou con exito todolos atrancos que, sen dubida, se foron atopando. Dende o seuinicio fun consciente das dificultades e satisfaccions derivadas da organizacion doSeminario de Iniciacion a Investigacion, quizais pola cercanıa cos seus impulsores eos continuadores do mesmo.

Como docente considero que o SII e unha das actividades mais salientables nasque participan os nosos estudantes de posgrao: non so polo esforzo de presentar o seutraballo ante os seus companeiros (o que supon un foro de investigadores cun altoespırito crıtico e unha grande diversidade de intereses cientıficos), senon tamen poloque supon a organizacion e edicion das actas do mesmo. Non podo deixar de felicitaraos organizadores desta sexta Edicion do SII e facela extensiva aos participantes nomesmo. Non e doado valorar o traballo realizado sen unha ollada as actas dos anosanteriores, tanto no referente a sua elaboracion como aos contidos dos distintosseminarios. Estas actas son a demostracion clara e contundente de como en moitasocasions as capacidades dos alumnos superan as dos seus profesores.

O futuro e voso.

Santiago de Compostela, 9 de febreiro de 2011.

Eduardo Garcıa Rıo

v

Indice xeral

Introducion 1

Eduardo Conde Pena

“Mecanica Cuantica en poucas palabras. Formulacion mediante integrais decamino” 3

Jose Manuel Fernandez Queiruga

“Mecanica Cuantica en el formalismo de las algebras C∗” 17

Javier Tarrıo Barreiro

“Comentarios sobre teorıa cuantica de campos” 27

Ricardo Couso Santamarıa

“Introduccion a una formulacion matematica de las teorıas gauge” 37

Xian Otero Camanho

“Gravitacion e Teorıa de Cordas, cara a gravidade cuantica” 47

Wafaa Batat

“On the geometry of Egorov spaces” 59

Miguel Domınguez Vazquez

“Hipersuperficies isoparametricas nas esferas” 63

Iban Constenla Rozados

“Estudio do aproveitamento enerxetico de biomasa” 67

Marıa Perez Fernandez de Cordoba

“Percolacion relativa” 71

Miguel Vaquero Vallina

“Geometrıa de Poisson, reduccion de Lie-Poisson y Euler-Poincare” 75

Silvia Suarez Crespo

“Unha perspectiva da inferencia estatıstica tipo nucleo” 79

vii

Marıa Jose Pereira Saez

“Un punto de corte entre la Topologıa Algebraica y el Analisis Matematico” 83

Eduardo Dorrego Lopez

“Variedades algebraicas con propiedades especiales” 87

Carlos Menino Coton

“Cohomoloxıa medible” 91

viii

Introducion

O presente volume conten os resumos das charlas que se impartiron o longo doano 2010 no Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII). Tal seminario, organizadopor alumnos de doutoramento, ten lugar na Facultade de Matematicas da Univer-sidade de Santiago de Compostela e encadrase dentro das actividades do Institutode Matematicas.

O SII ten a sua orixe a comezos do ano 2005, como unha iniciativa dos alumnosde Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta as necesidades de crear un seminarioque cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

1. Fomentar o intercambio de conecemento.

2. Proporcionar un lugar onde dar a conecer os campos nos que cada un centraas suas investigacions.

3. Facilitar a practica de falar en publico, mais en concreto dar charlas e afacersea escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

4. Proporcionar un marco onde se poidan levar a cabo as actividades necesariaspara que cada quen saiba explicar as ideas fundamentais dos seus traballosincluso a persoas non especialistas no seu campo.

Por sexto ano consecutivo o SII acadou estes obxectivos basicos e ademais pro-porcionou un marco de intercambio de conecemento entre alumnos dos distintos de-partamentos da Facultade. As charlas desenvolveronse, salvo algunhas excepcions,de forma semanal o longo de dous perıodos: un primeiro desde marzo ata xuno, eun segundo en novembro.

Este ano o SII colaborou na organizacion do Curso de Fısica Teorica para Ma-tematicos, encadrado tamen como actividade do Instituto de Matematicas, e que foiimpartido por cinco alumnos de doutoramento da Facultade de Fısica desta mesmauniversidade, en cinco sesions de duas horas cada unha. O enfoque deste curso foimais ben introdutorio, e os seus contidos centraronse en temas de grande relevanciana Fısica Teorica moderna: desde a Mecanica Cuantica ata a Teorıa de Cordas,pasando pola Teorıa Cuantica de Campos e as Teorıas Gauge. Dada a elevada asis-tencia que tivo este minicurso por parte de alumnos e de profesores da Facultade,e co obxectivo de servir de referencia introdutoria nos temas anteriores, decidiuseincorporar nestas actas os resumos das cinco charlas deste curso.

1

No referente a organizacion do SII, en 2010 continuou o comite organizador doano anterior, formado por tres estudantes de doutoramento, que se encargaron tantoda coordinacion do evento en si: calendario de charlas, anuncio das mesmas, reservade aula, proporcionar o material necesario ao ponente, etc.; como da publicaciondeste anuario, onde se recolle un resumo de cada unha das charlas impartidas. Estemesmo comite organizador encargouse da confeccion deste volume e figura nel comocomite editorial. Ademais e importante salientar que cada un dos resumos aquırecollidos pasou un proceso de revision por parte dun alumno de Terceiro Ciclo,polo xeral dun departamento distinto o do autor, co obxectivo de que ası os resumossexan comprensibles por aqueles que non son expertos no campo correspondente.

Agradecementos

Quixeramos mencionar neste apartado que a organizacion do seminario terıasido, sen dubida, moito mais difıcil de non contarmos coa colaboracion desinteresadade moita xente.

Por este motivo, desexamos dar as grazas a todos os que participaron no SIIcomo oıntes, e moi especialmente os ponentes e os companeiros que participaron noproceso de arbitraxe: Wafaa Batat, Iban Constenla Rozados, Marıa Perez Fernandezde Cordoba, Miguel Vaquero Vallina, Silvia Suarez Crespo, Marıa Jose Pereira Saez,Eduardo Dorrego Lopez, Carlos Menino Coton, Eduardo Conde Pena, Jose ManuelFernandez Queiruga, Javier Tarrıo Barreiro, Ricardo Couso Santamarıa, Xian OteroCamanho, Esteban Calvino Louzao e Ruben Figueroa Sestelo.

Agradecemoslle de xeito moi especial a Eduardo Garcıa Rıo, director do Insti-tuto de Matematicas, a sua desinteresada colaboracion na elaboracion destas actasmediante a redaccion do prefacio.

Finalmente, queremos comentar que o comite organizador do SII vai ser renovadopara este ano 2011. Estamos convencidos de que a xente nova que asume a organi-zacion vai darlle ao SII o pulo que precisa para seguir sendo un marco formidableonde por en comun os nosos conecementos e compartir a beleza das Matematicas.Gustarıanos aproveitar a ocasion, polo tanto, para desexarlle ao novo comite moitasorte na sua tarefa de seguir levando adiante este Seminario.

Santiago de Compostela, febreiro de 2011.

O Comite Editorial.

2

Seminario de Iniciacion a InvestigacionInstituto de Matematicas

Mecanica Cuantica en poucas palabras. Formulacionmediante integrais de camino

Eduardo Conde PenaDepartamento de Fısica de Partıculas

15 de marzo de 2010

Introducion

Esta charla e a primeira da serie“Minicurso de Fısica Teorica”. Nela presentamosa unha audiencia matematica a Mecanica Cuantica a la Feynman, isto e, medianteo uso da chamada integral de camino; dende o punto de vista dun fısico teorico.Non faremos intento algun de incorporar rigor, sendo o obxectivo principal a intro-ducion de conceptos que os fısicos usamos a diario (tales como partıcula, funcion deonda, proceso de cuantizacion, etc...) do xeito mais intuitivo posıbel. A formulacionmediante integrais de camino e especialmente adaptada a este fin, dado que permitevisualizar un proceso cuantico a partir de procesos clasicos. A outra formulacionda Mecanica Cuantica conecida a dıa de hoxe, a formulacion de operadores, maisescura conceptualmente aında que mais potente para calculos mais practicos, seraabordada na segunda charla da serie.

Motivacion. Por que Mecanica Cuantica?

O obxectivo de todos os membros da comunidade fısica e explicar por que ascousas se moven como se moven. Esta meta e demasiado grandiosa, polo que haique proceder por pasinos. O primeiro paso serıa describir os sistemas mais simples,que son aqueles formados polas partıculas mais simples (fundamentais) do universo.Este e o campo de estudo da Fısica de Partıculas, que se ocupa enton de describiras distintas interaccions existentes entre as partıculas fundamentais1.

A dıa de hoxe, conecemos catro interaccions fundamentais. Aparecen listadas nafigura 1 nunha escala que da idea do rango de distancias nas que estas interaccionsson as mais relevantes. Polo 1900 xa eran conecidas a interaccion gravitatoria, des-crita pola teorıa de Newton, e o electromagnetismo (EM), descrito pola teorıa deMaxwell. A forza feble (responsabel das desintegracions radioactivas, por exemplo)e a forza nuclear (responsabel entre outras cousas da formacion dos nucleos ato-micos) descubrıronse mais adiante (1920-1930-1940) dado que son interaccions de

Palabras Clave: Fısica Teorica, Mecanica Cuantica, integrais de camino.1As partıculas fundamentais son aquelas que non estan formadas de partıculas mais pequenas,

e que saibamos (non hai feitos experimentais que demostren o contrario) tenen todas tamano nulo,i.e: son puntuais.

3

4 SII Mecanica Cuantica en poucas palabras

curto alcance. EM e gravitacion eran relativamente ben descritas por teorıas clasicasata o 1900. Mais se un comeza a explorar distancias moi pequenas (∼ 10−10 m) oucampos gravitatorios moi intensos, as teorıas clasicas fallan e e preciso incorporar ocomportamento cuantico e relativista respectivamente.

rango típico de interación

forza gravitatoria

106m10

−2m

10−15

m

10−18

m

electricidade, magnetismo

teoría que a describía en Física Clásica

Teoría da gravitación de Newton

EM

forza nuclear

radioactividade

??

Figura 1: Fısica Teorica a principios do seculo XX.

Cando se realizan estas incorporacions, a figura 1 vese actualizada a figura 2,onde as interaccions seguen a ser as mesmas, pero as teorıas que as describen sonas chamadas teorıas cuanticas de campos (teorıas gauge sendo mais concretos) nocaso da interaccion feble, forte e electromagnetica, e a teorıa da Relatividade Xeral(GR) de Einstein no caso da gravidade. Todas estas teorıas son relativistas (e dicir,son compatıbeis coa teorıa da Relatividade), e so GR non e cuantica2 (isto e, none compatıbel coa Mecanica Cuantica). O grande obxectivo da Fısica Teorica hoxeen dıa e unificar as catro interaccions fundamentais (i.e: describilas como distintasmanifestacions dunha mesma interaccion). Queda fora de toda dubida en calqueracaso a crucial importancia do papel que xoga a Mecanica Cuantica na descriciondas forzas da Natureza.

rango típico de interacción

interacción gravitatoria

106m10

−2m

10−15

m

10−18

m

interacción electromagnética

teoría que a describe a día de hoxe

GR:GeneralRelativity

QED:Quantum

Electrodynamics

interacción forte

interacción feble

QCD:Quantum

Chromodynamics

V-A

EW: ElectroWeak Theory

Figura 2: Fısica Teorica hoxe en dıa.

2A teorıa de cordas e unha teorıa cuantica da gravidade, aında que non esta claro que describao mundo no que vivimos.

Eduardo Conde Pena SII 5

Moi breve resumo de Mecanica Clasica

Antes de nada, compre aclarar que e o que entendemos por Mecanica Clasica.Remontemonos a fısica que aprendiamos na escola. Basicamente todo se reducıa asegunda lei de Newton:

~F = m~a .

O membro esquerdo desta ecuacion proporcionanos a informacion relativa as in-teraccions, o porque se moven as cousas. E o que poderiamos chamar dinamica. Omembro dereito, pola contra, danos a cinematica, i.e: dinos como se moven as cousasunha vez conecemos as forzas que actuan no problema. E o que se chama mecanica.Enton, a Fısica Clasica e a suma da Mecanica Clasica, que nos da cinematica, e ateorıa clasica de campos, que se encarga de darnos as interaccions. Cando miramoso mundo microscopico, a Mecanica Clasica debe ser substituıda por unha nova me-canica, a cuantica; mentres que a teorıa clasica de campos convırtese nunha teorıacuantica de campos3. Esta situacion representase esquematicamente na figura 3.

Mecánica Clásica

DINÁMICACINEMÁTICA

Teoría Clásica de Campos

Mecánica Cuántica

Mecánica Relativista

Mecánica Cuántica Relativista

Teoría Cuántica de Campos

distancias cativas velocidades grandes

Figura 3: Evolucion do marco conceptual da Fısica Teorica. Marcado en azul estao tema do que nos ocupamos nesta charla.

Como funcionaba a Mecanica Clasica enton? Pois dada unha partıcula moven-dose ao influxo de certas interaccions, o movemento desta queda completamentecaracterizado a traves da accion S. Esta accion4 e un “funcional”, que ven sendo

3Cando miramos o mundo de velocidades proximas a da luz, a Mecanica Clasica debe ser tamensubstituıda por outra Mecanica, a Mecanica Relativista. Este lımite tratarase na quinta charla daserie. Ambos lımites poden ser combinados na chamada Mecanica Cuantica Relativista, aında queso falaremos aquı da non-relativista. A teorıa cuantica de campos e relativista de por si.

4Esta accion non ten nada que ver coa accion dun grupo.


unha aplicacion que asigna a cada posıbel traxectoria un numero real. Esta asigna-cion conten a informacion da Fısica que goberna o movemento desta partıcula.

x

t

(x0, 0)

(x1, 1)

Figura 4: Proceso clasi-co.

S : traxectorias −→ R

η = (q, q) : [0, 1] → TX 7→ S [η] =∫ 10 dtL (q, q)

A accion e a integral do Lagranxiano L, que non e maisca unha funcion escalar definida sobre o fibrado tanxentea variedade onde se move a partıcula. (q, q) son as coorde-nadas deste fibrado tanxente, informandonos da posicionda partıcula e da sua velocidade. O Lagranxiano propor-ciona o contido fısico.

A traxectoria que describe a partıcula e aquela que extremiza a accion. Se tra-ballamos localmente na variedade TX con coordenadas

(qi, qi

), e doado obter as

ecuacions de movemento, que non son mais cas ecuacions de Euler-Lagrange:

d

dt

(∂L∂qi

)=∂L∂qi

.

As ecuacions de movemento son toda a informacion que precisamos para describiro movemento da nosa partıcula. As ecuacions resultantes poden ser mais faciles oumais difıciles de resolver, pero o movemento da partıcula esta completamente deter-minado por elas. En certo modo, podemos dicir que a Mecanica Clasica “acabouseaquı”.

Nocions basicas de Mecanica Cuantica. Formalismo de

integrais de camino

Aında que a teorıa final non e nada intuitiva, a idea de por que un precisa aMecanica Cuantica e moi loxica. A medida que baixamos na escala de distanciasque queremos explorar, chega un momento no que o feito de medir afecta ao procesofısico que queremos caracterizar. Por exemplo, se queremos medir a posicion dunelectron temos que usar luz dunha lonxitude de onda moi curta (tan curta como aprecision que desexemos), e canto mais curta e esta lonxitude, mais enerxıa tenenos fotons que componen a luz, o que fara que alteremos en gran medida o momento(pensemos no momento como o produto da masa pola velocidade) do noso electron.Deste xeito, canto mais precisemos a posicion do electron, mais aleatorio sera omomento deste. A formulacion cuantitativa deste feito e o chamado principio deincerteza de Heisenberg:

∆x∆p ≥ ~

2=

h

4π,

onde ∆x (∆p) representa a incerteza coa que medimos a posicion (momento) dunha

partıcula, e h e a constante de Planck: h ∼ 10−34 kg·m2

s . Cando se pode considerar


a) b)

k∑ei(k·x−ω·t) →

∫∞

−∞

dk ei(k·x−ω·t) ∝ δ(x)e−iω·tei(k·x−ω·t)

Figura 5: A onda da figura a) e un obxecto cun momento perfectamente definido(deixandoa vibrar no tempo semellara algo que se move cunha velocidade propor-cional a k), pero completamente deslocalizado. A onda da figura b) e un obxectoben localizado no espazo, pero que se obtivo sumando ondas de todos os momentos,de xeito que non ten un momento ben definido. Esta e precisamente a imaxe departıcula que debuxou Heisenberg.

que h = 0 e cando estamos no rexime clasico5.

A vista deste principio de incerteza, esta claro que o modelo de partıculas pun-tuais e un tanto enganoso, posto que da a idea dunha partıcula que segue unhatraxectoria concreta cunha velocidade determinada. Un xeito de modelar o novocomportamento son as ondas, como se amosa na figura 5.

Enton, o que facemos e promocionar as partıculas a ondas. Poren, esta non e afin da historia, porque as ondas son obxectos deslocalizados no espazo-tempo, maiscando medimos cousas no laboratorio, como por exemplo a carga dun electron, o quevemos e algo localizado. Poderiamos dicir enton que cuanticamente as partıculas secomportan do seguinte xeito:

Cando non a miras (non mides) → e unha ondaCando a miras (mides) → e unha partıcula

O xeito de implementar esta observacion experimental na teorıa e a chamada in-tegral de camino de Feynman. Imaxinemos que medimos unha partıcula nun punto(x1, t1) e posteriormente noutro punto (x2, t2). Este ultimo punto pode ser calque-

5Por exemplo se queremos medir a posicion e o momento dunha pelota de 200 gramos movendosea unha velocidade de 50 km/h, e digamos que fosemos quen de caracterizar a posicion e a suavelocidade con precisions irrealistas (imposıbeis de acadar na practica) como 10−6 m e 10−10

km/h respectivamente; o producto destas imprecisions serıa aında moitısimo mais grande co lımite

imposto polo principio de incerteza: ∆x∆p ∼ 3·10−17 kg·m2

s≫ h

4π. Neste caso h poderıa considerarse

nulo a efectos practicos.


ra e xa non ten sentido preguntarse por onde circula a partıcula, senon so polaprobabilidade de que chegue a un punto ou a outro.

O que Feynman pensou e que dado que so sabemos onde esta a partıcula nospuntos (x1, t1) e (x2, t2), polo medio percorre todos os caminos (traxectorias) posı-beis, e todas estas posibilidades interfiren entre si, dando lugar ao comportamentode onda. Deste xeito e posıbel construır unha onda a partir de procesos clasicos,respectando as propiedades de partıcula nos puntos onde realizamos medidas.

x

t

(x1, t1)

(x2, t2)

Figura 6: Proceso cuantico pen-sado a la Feynman.

A (x1, t1;x2, t2) =

∫Dη e i

~S[η]

O que calculamos agora en Mecanica cuantica e aamplitude de probabilidade A dun proceso. Cal-quera proceso e posıbel, so que alguns son maisprobabeis ca outros. Esta amplitude de probabi-lidade e un numero complexo (isto permite quehaxa interferencia entre distintos procesos). O seumodulo ao cadrado esta asociado a unha probabi-lidade.

A accion S e o mesmo funcional do que se falou na seccion anterior, e Dη e unhamedida no espazo de traxectorias. Definir esta medida de xeito rigoroso e algo quenon se sabe facer para Lagranxianos xenericos (si para alguns casos particulares).Ademais, en xeral a natureza oscilatoria do integrando fai que as propiedades deconverxencia da integral non sexan boas; o que adoitamos facer en Fısica para salvareste escollo e unha rotacion de Wick6.

Con este formalismo e posıbel obter todos os conceptos tradicionais da MecanicaCuantica (que historicamente non se comezou pensando ası), como a reducion aMecanica Clasica cando7 h → 0, ou a ecuacion de ondas de Schrodinger. Vexamoscomo se poderıa obter esta ultima:

Imaxinemos que por algun casual conecemos a un tempo dado t0 a amplitude deprobabilidade de que a partıcula estea en calquera punto do espazo. Chamemosllea esta amplitude ψ(x, t0), cuxo modulo ao cadrado representa a funcion densidadeda distribucion de probabilidade de atopar a partıcula nun punto dado. A evoluciontemporal desta amplitude e claramente:

ψ(x, t) =

∫dx0A(x0, t0;x, t)ψ(x0, t0) ,

6Na rotacion de Wick o xogo e calcular a integral de camino para tempos complexos, onde aspropiedades de converxencia son mellores, e logo estender analiticamente o resultado para voltar atempos reais.

7Neste lımite todos os caminos infinitamente proximos interfiren destrutivamente pois o inte-

grando ei

~S da integral de camino e moi oscilatorio, agas aqueles que extremizan a accion, para os

que caminos proximos dan a mesma contribucion e non interfiren e por tanto son os unicos quesobreviven; estes son precisamente as traxectorias escollidas pola Mecanica Clasica.


onde A(x0, t0;x, t) calculase mediante a integral de camino escrita mais arriba.ψ(x, t) e a chamada funcion de ondas da partıcula. Comparando ψ(x, t + dt) eψ(x, t) e usando a ecuacion de arriba, un pode chegar a que a evolucion tempo-ral desta funcion de ondas, para un Lagranxiano (nunha soa dimension espacial)

L = m2

2 (x)2 − V (x), ven dada pola seguinte EDP:

i~∂ψ

∂t(x, t) = − ~

2

2m

∂2ψ

∂x2(x, t) + V (x)ψ(x, t) ,

que na literatura conecemos como ecuacion de ondas de Schrodinger. O significadofısico da funcion de ondas deducese da construcion anterior: o seu modulo ao ca-drado proporciona a funcion densidade da distribucion de probabilidade de atopara partıcula nun punto do espazo-tempo.

Como moralexa final podemonos quedar coa seguinte idea de cuantizacion. Unsistema fısico, a nivel clasico, esta caracterizado por unha accion, que predı unhaevolucion completamente determinista, aquela que extremiza a accion. Cando“cuan-tizamos” este sistema, i.e: cando o consideramos a nivel cuantico, a accion segue acaracterizalo, pero xa non de xeito determinista. Agora todas as evolucions sonposıbeis, e so podemos falar de probabilidades de facer certas medicions finais, sen-do esa toda a informacion que podemos extraer do sistema. Estas probabilidadescalculanse mediante a integral de camino.

Cando cuantizamos unha partıcula, o obxecto resultante pode interpretarseen certo modo como unha onda ou campo (un obxecto deslocalizado). Destexeito, cada partıcula leva asociado un campo.

Se cuantizaramos un campo, o obxecto que resultarıa serıa un ente que creae destrue partıculas. Destoutra perspectiva, voltamos a vision de partıculas; ecada campo crea e destrue un tipo de partıculas concretas. Ası por exemplo, ocampo electromagnetico crea e destrue fotons, o campo de Higgs crea e destruebosons de Higgs, etc.

Enton, cuantizando a partıcula obtemos o campo, e cuantizando o campo obtemosa partıcula. Logo non ten sentido facer distincion entre ambas visions. A teorıa queas combina e a chamada Teorıa Cuantica de Campos, que abordaremos na terceiracharla da serie.

Un par de exemplos

Amosamos nesta seccion un par de exemplos de uso da integral de camino enMecanica Cuantica. O primeiro ilustra de xeito cualitativo como a integral de cami-no e o marco axeitado para interpretar fenomenos cuanticos que desafıan a loxicaclasica. O segundo exemplo e mais cuantitativo, e ilustra un posıbel xeito de calcu-lar explicitamente unha integral de camino no caso mais sinxelo posıbel, aquel dapartıcula libre.


O experimento da dobre fenda

O experimento da dobre fenda e un dos mais famosos experimentos ilustrando aestrana loxica cuantica. A sua confirmacion experimental continua a fascinar hoxe endıa a milleiros de estudantes que se atopan por primeira vez coa Mecanica Cuantica.

Figura 7: O experimento da dobre fenda.

A configuracion experimental e a que se amosa na figura 7 a). Disponemos unhafonte que emite electrons que se dirixen contra unha dobre fenda, que so permite opaso dos electrons a traves de duas pequenas aberturas8. Detras desta dobre fenda,colocamos unha pantalla sensıbel aos impactos dos electrons e na que ao final doexperimento podemos observar o perfil da cantidade de impactos.

O que un esperarıa atopar na pantalla, a priori, serıa unha distribucion como ada figura 7 b). E dicir, que a maiorıa dos electrons impactasen detras das fendas.Agardariamos que aqueles electrons que foron desviados rebotando nas fendas sexana minorıa. Non obstante, a situacion coa que nos atopamos e coa da figura 7 a), naque observamos un claro patron de difraccion. Se en vez de electrons a nosa fonteemitise luz, non nos levariamos unha sorpresa ao ver este patron, xa que sabemosque a luz pasarıa polas duas fendas, onde se difractarıa, e logo interferirıa dandolugar ao clasico patron de franxas.

Un poderıa dar un pequeno salto e pensar que ao disparar todos eses electrons,temos unha nube de partıculas que impacta na dobre fenda, e que logo uns electronschocaran cos outros dando lugar a que a nube tena un comportamento de onda. Mais

8O tamano das aberturas ha de ser dun tamano comparabel a lonxitude de onda de De Brogliedos electrons para que observemos os efectos cuanticos. Asemade, a distancia entre dobre fenda epantalla ha de ser moito mais grande ca esta lonxitude de onda, para que recuperemos os resultadosclasicos no experimento 7 b).


e aquı que chega a nosa primeira gran sorpresa: se disparamos os electrons un a un,sen posibilidade de que interfiran un co outro, veremos que cada un impacta nunlugar arbitrario da pantalla. E se logo de disparar uns cantos facemos o computototal, observamos que o patron volta a ser o mesmo que cando disparabamos a nubede electrons. Isto quere dicir que non e que o conxunto de electrons se comportecomo unha onda, senon que cada electron por separado o fai!

Aında que isto xa desafıa totalmente a nosa loxica, se estamos dispostos a crerque o electron realmente e unha onda, seriamos quen de comprender o resultado.Mais o experimento aında pode sorprendernos mais. Unha onda non se pode dicirque pase por ningunha das duas fendas. Que ocorre se colocamos un detector deelectrons na dobre fenda como na figura 7 b)? Pois o que vemos e que cada electronpasa por unha e so por unha das fendas, como esperariamos dunha partıcula e nondunha onda. Pero o curioso e que o feito de observar o electron neste punto interme-dio ten o efecto de destruır completamente o patron de difraccion. Ası recuperaseo patron que esperariamos atopar clasicamente. Este e un claro exemplo de como ofeito de observar (medir) afecta ao fenomeno fısico que estamos medindo.

A nosa intuicion estea probabelmente navegando sen rumbo neste punto, sensaber como casar estes resultados e interpretar o experimento. A integral de cami-no permıtenos entender que e o que esta a pasar. A figura 8 amosa un esquemailustrativo.

Figura 8: Un xeito de definir a integral de camino.

No caso a), a integral de camino dinos que o electron percorre todas as traxecto-rias posıbeis ata impactar nun punto da pantalla: as que pasan por unha das fendas,as que pasan pola outra, as que dan marcha atras... e finalmente a probabilidadede que o electron impacte no punto no que nos estamos fixando e a interferenciaentre todas estas posibilidades. Ası se o punto esta xusto detras do medio das duas


fendas os caminos que van por arriba e por abaixo son simetricos e tenen unhainterferencia construtiva. Habera tamen outros puntos nos que a interferencia sexaconstrutiva, e ao final obteremos o patron de franxas da figura 7 a) que se observaexperimentalmente.

No caso b), a historia cambia un pouco, dado que puxemos un detector na dobrefenda. Isto significa que aı medimos e sabemos que esta partıcula, e polo tanto aintegral de camino habera que propagala dende ese punto ata a pantalla, e non dendea fonte de electrons inicial. Medindo na dobre fenda separamos o proceso cuanticoda propagacion do electron dende a fonte ata a pantalla en dous procesos cuanticosindependentes. O patron que observaremos na pantalla logo e aquel que se obtencalculando a integral de camino dende a dobre fenda ata a pantalla. Como estadistancia e macroscopica, a integral de camino reproducira os resultados clasicos, edaranos o patron clasico que observabamos na figura 7 b).

Pequenas sutilezas como a anchura das distribucions en 7 b) poderıan ser enten-didas mediante a integral de camino e o principio de incerteza, pero conformamonosaquı con entender o resultado mais importante do experimento.

A partıcula libre

Unha partıcula libre e aquela que se move libremente, sen a influencia de forzaalgunha. En Mecanica Clasica estas partıculas describen movementos rectilıneos euniformes9 (a velocidade constante). Evidentemente a cousa cambia en MecanicaCuantica. Este exemplo e suficientemente simple como para que a integral de caminosexa calculabel exactamente e constitue un exemplo ben representativo de como aFısica cambia ao dar o salto cuantico.

O Lagranxiano da partıcula libre non-relativista e:

L =1

2mx2 .

O calculo da integral de camino para este Lagranxiano pode facerse imitando unpouco a integral de Riemann. A idea serıa dividir o camino que ten que percorrera partıcula en caminos cada vez mais pequenos, percorridos en tempos infinitesi-mais. Calquera camino pode ser tan ben aproximado como se queira por un caminopoligonal regular a trozos. Deste xeito, variando os puntos intermedios polos quevai pasando a partıcula varreriamos todos os caminos posıbeis. E ası serıa posıbeldefinir a integral de camino. Esta idea presentase esquematicamente na figura 9.

En cada tramo rectilıneo do camino poligonal, e doado calcular∫dxj e

i~S[ηj ],

e enton podese completar o calculo da integral de camino enteira. Os detalles docalculo e a discusion deste exemplo poden atoparse na seccion 3-1 do libro orixinalde Feynman [1], onde explica a sua concepcion da Mecanica Cuantica medianteintegrais de camino (aında que o libro esta escrito para unha audiencia fısica, o

9Nunha variedade curva, as partıculas libres viaxan ao longo de xeodesicas, mais para que unhavariedade se curve precisamos gravidade e aquı estamos asumindo ausencia de forzas de calqueratipo.


estilo de Feynman prestase a unha audiencia mais ampla, e constitue sempre unhalectura interesante dada a sua orixinalidade).

Figura 9: Un xeito de definir a integral de camino.

O resultado final e:

A(x1, t1;x2, t2) =

√m

2πi~(t2 − t1)eim(x2−x1)

2

2~(t2−t1) .

E interesante amosar este resultado final porque vemos como a natureza oscilato-ria na propagacion da partıcula xurdiu a partir de conceptos clasicos a traves daintegral de camino. A onda asociada a partıcula libre pode lerse deste resultado.Marabillosamente, cando un analiza esta onda para intervalos temporais e caminos“longos” (onde ~ fixa a escala coa que debemos comparar), vese que se reduce aunha onda plana con lonxitude de onda λ e frecuencia ω caracterizadas por:

λ =h

m(x2−x1)t2−t1

=h

p, ω =

m

2~

(x2 − x1t2 − t1

)2

=E

~,

onde p e E representan o momento e a enerxıa da partıcula respectivamente. Estasnon son mais cas misteriosas relacions de De Broglie, que xorden de xeito naturalneste marco da integral de camino.

Un metodo mais xeral para calcular integrais de camino

O obxectivo desta seccion final e debuxar moi brevemente duas pinceladas sobrecomo se poderıa abordar o calculo de integrais de camino nun exemplo concreto daMecanica Cuantica, que ilustra tecnicas xeneralizabeis a teorıa cuantica de campos, eadivinar ası como xorden os conceptos de propagador, funcion de Green..., vocabulos


habituais na xerga da comunidade de fısica teorica. A presentacion desta seccionsera moi relaxada, obviando moitos detalles intermedios, sendo a idea principalprogramar a ponte que conecta coa charla de Teorıa Cuantica de Campos.

Centremonos no exemplo por excelencia da Mecanica Cuantica, que non e ou-tro co oscilador harmonico (nunha dimension). Podemos chamar a unha partıculaoscilador harmonico cando o seu Lagranxiano e:

L =1

2x2 − 1

2ω2x2 .

Queremos calcular a integral de camino para este sistema:

A (x1, t1;x2, t2) =

∫Dη e i

~S[η] .

Unha idea de como facelo e a seguinte (tomamos x1 = 0, x2 = 0 por simplicidade.A esencia do metodo e capturada por este exemplo):

Integrando por partes con respecto ao tempo no Lagranxiano do oscilador har-monico, e desprezando a derivada total, obtemos un Lagranxiano equivalente10:

L = −1

2xx− 1

2ω2x2 ⇒ S[η] =

∫ t2

t1

dt x

(−1

2

d2

dt2− 1

2ω2

)x .

Chamemos A =(−1

2d2

dt2− 1

2ω2)ao operador actuando na accion. A teorıa de Sturm-

Liouville danos unha serie de autofuncions xn, solucions do problema Axn = λnxncoas condicions de contorno xn(t1) = 0, xn(t2) = 0, que son base do espazo defuncions x(t), t1 ≤ t ≤ t2 tales que verifican as condicions de contorno previas.As funcions deste espazo son precisamente todas as traxectorias que intervenen nocalculo da integral de camino de mais arriba. Isto significa que unha traxectoriaarbitraria poderıa escribirse como x =

∑∞n=0 anxn, e ası temos un candidato obvio

para a medida no espazo de traxectorias:

Dη =1

N

∞∏

n=0

dan ,

onde N e unha constante de normalizacion que haberıa que fixar mediante criteriosfısicos. Unha vez identificada a medida, podese abordar o calculo da integral decamino, que neste caso podese levar a cabo explicitamente. Para o calculo da mesma,e conveniente facer unha rotacion de Wick como paso intermedio. Basta definir aversion Euclidiana do operador A, con autovalores positivos, que fara que a accionsexa definida positiva:

AEucl =

(−1

2

d2

dt2+

1

2ω2

), SEucl[x] =

∞∑

n=0

λEucln (an)2 .

10Dous Lagranxianos son equivalentes cando dan lugar as mesmas ecuacions de movemento. Nocaso en que difiren nunha derivada (con respecto ao tempo) total, para unhas condicions de contornodadas, isto significa que as accions correspondentes diferiran nunha constante, e polo tanto buscaros extremos dunha e o mesmo que buscar os da outra.


A integral de camino Euclidiana calculase como segue:

∫Dη e− 1

~SEucl[η] =

∫1

N

∞∏

n=0

dan e− 1

~λEucln (an)2 =

1

N

∞∏

n=0

(~

λEucln

)12 ∼ det(GEucl)

12 ,

onde estamos denotando porGEucl ao inverso do operador AEucl: AEuclGEucl(t−t′) =δ(t− t′), sendo δ(t− t′) a funcion delta de Dirac. Na sua version non Euclidiana, quese define de maneira obvia, este operador inverso G e o que se denomina funcion deGreen. No caso do oscilador harmonico, a funcion de Green podese calcular facil-mente (facendo unha transformada de Fourier), ao igual que a integral de camino,dado que os autovalores do problema de Sturm-Liouville son conecidos. Desfacendoa rotacion de Wick11, o produto a avaliar para obter a integral de camino do nosoproblema serıa:

1

N

∞∏

n=0

(~

λn

) 12

=ω

N

∞∏

n=1

√2~

t2 − t1πn

∞∏

n=1

(1− ω2 (t2 − t1)

2

2π2n2

)− 12

.

Isto e basicamente a expansion de Weierstrass de sen((t1−t2)ω

2

), se escollemos N

tal que cancele ao primeiro produto infinito: N =∏∞n=1

πn√2~(t2−t1)

. Fixemonos que

este N e infinito. A aparicion de infinitos e habitual nos calculos en Teorıa Cuanticade Campos, ası como o truco de absorbelos nas constantes de integracion. A dıa dehoxe non se conece unha formulacion desta teorıa que os elimine rigorosamente.

Tanto en Mecanica Cuantica como en Teorıa Cuantica de Campos, o tipo deobxectos que estamos interesados en calcular son amplitudes de probablidade decertos sucesos. Agora ben, como na segunda teorıa o concepto de partıcula e untanto distinto ao que temos na primeira (xa mencionamos que en Teorıa Cuanticade Campos as partıculas son excitacions de certos campos), o xeito de calcularamplitudes de probabilidade e un pouco distinto tamen. E ası que no que estamosinteresados son nuns obxectos chamados funcions de correlacion de campos. Nocaso do oscilador harmonico, o que nos interesarıa calcular serıan as funcions decorrelacion do campo posicion X:

〈x1, t1 | X(t)X(t′) | x2, t2〉 =∫

Dη X(t)X(t′)ei~S[η] ,

onde t1 < t < t′ < t2. En Mecanica Cuantica este obxecto darıa unha especie depromedio do produto das posicions da partıcula a tempo t e a tempo t′ cando sepropaga dende x1 a tempo t1 ata x2 a tempo t2. En Teorıa Cuantica de Campos,pola contra, tomando un certo lımite e normalizando convenientemente, este obxectoproporcionanos a amplitude de probabilidade de que o campo X cree unha partıculaa tempo t, e que esta se propague ata un tempo t′, onde se destrue. E ası que este

11que neste caso e simplemente substituır λEucln polos orixinais λn.


obxecto chamase propagador, e o seu calculo e de importancia capital na TeorıaCuantica de Campos.

Para rematar, argumentamos fugazmente como pode calcularse o propagadorcoas tecnicas anunciadas mais arriba, baseadas no computo de determinantes decertos operadores. O que se adoita facer e definir unha funcion xeratriz, e tomarderivadas nesta. Para o caso concreto do anterior propagador no oscilador harmo-nico, engadiriamos unha fonte J ao Lagranxiano, segundo L → LJ = L + ~Jx, eteriamos:

W [J ] =

∫Dη e i

~SJ [η] ; 〈x1, t1 | X(t)X(t′) | x2, t2〉 =

1

i2δ2

δJ(t) δJ(t′)W [J ] .

Para o calculo da funcion xeratriz usarıanse as tecnicas anteriores e finalmente,logo de tomar as derivadas, atoparıase unha estreita relacion entre o propagadore a funcion de Green. Este calculo tende a ponte operativa que leva da MecanicaCuantica a Teorıa Cuantica de Campos, e poden atoparse os detalles do mesmo encalquera libro de introducion a ultima, como por exemplo [2].

Bibliografıa

[1] R. P. Feynman, A. R. Hibbs; Quantum mechanics and path integrals, McGraw-Hill, 1965.

[2] S. Pokorski; Gauge field theories, Cambridge University Press, 1987.


Mecanica Cuantica en el formalismo de las algebras C∗

Jose Manuel Fernandez QueirugaDepartamento de Fısica de Partıculas

22 de marzo de 2010

En este trabajo se pretende hacer una somera presentacion de la Mecanica Cuan-tica (MC) en el formalismo de las algebras C∗, de tal forma que la estructura mate-matica de la MC (espacios de Hilbert, operadores autoadjuntos como observables,vectores como estados fısicos...) surjan de forma mas o menos natural. Ademas pro-porciona un esquema sencillo para establecer el paso de la Mecanica Clasica a laMC pasando de algebras C∗ abelianas en el caso de la Mecanica Clasica a algebrasC∗ no abelianas en el caso de la MC, justificando las relaciones de incertidumbre deHeisenberg que constituyen uno de los portulados de la teorıa.

Mecanica Clasica

Introduccion

En esta seccion haremos un pequeno repaso a nociones basicas de la mecanicaclasica, empezando por la descripcion de un sistema fısico:

q, p : variables canonicas

q = (q1, q2, ..., qn) , p = (p1, p2, ..., pn)

Entonces q, p ∈ Γ, donde Γ es la variedad de espacio de fases. Los observables sonfunciones f ∈ CC(Γ):

f : Γ −→ C

(q, p) 7−→ f(q, p)

La dinamica de un sistema esta dada por las ecuaciones de Hamilton

q 7−→ qt(t, q, p) p 7−→ pt(t, q, p) ft(q, p) ≡ f(qt, pt)

dq

dt=∂H

∂p

dp

dt= −∂H

∂q

Palabras Clave: Mecanica Cuantica, algebras C∗, operadores acotados, espacios de Hilbert

17

18 SII Mecanica Cuantica en el formalismo de las algebras C∗

Propiedades algebraicas de los observables clasicos. C∗–algebras.

Los observables asociados a un sistema clasico generan un algebra abeliana ∆de funciones complejas continuas en el espacio de fases. Esta algebra tiene elementoidentidad dado por la funcion f = 1, y una involucion natural ∗ definida por laconjugacion ordinaria, f∗(x) = f(x), tal que ∆ es una ∗–algebra con identidad. Acada elemento f ∈ ∆ se le puede asignar una norma ‖f‖, dada por

‖f‖ = supx∈Γ|f(x)|y se tendra que ∆ es un espacio de Banach respecto a esta norma. El producto escontinuo respecto a la topologıa dada por la norma, esto es,

‖fg‖ ≤ ‖f‖‖g‖y entonces ∆ es una ∗–algebra de Banach. Finalmente, tenemos la condicion C∗

‖f∗f‖ = ‖f‖2.Al algebra presentada antes se le denomina algebra C∗. En esta seccion descri-

biremos propiedades basicas sobre esta estructura.

Definicion 1. Un conjunto no vacıo ∆ se dice que tiene estructura de C∗–algebrasi satisface las siguientes propiedades:

i) Tiene estructura de algebra lineal asociativa sobre el cuerpo C de los complejos.

ii) Es un espacio normado, esto es, existe una aplicacion ‖·‖ : ∆ −→ R quesatisface

‖A‖ ≥ 0 para todo A ∈ ∆, y ‖A‖ = 0 ⇔ A = 0,

‖λA‖ = |λ|‖A‖, para todo A ∈ ∆ y λ ∈ C,

‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖, para todo A,B ∈ ∆,

con respecto a la cual el producto es continuo:

‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖y ∆ es un espacio completo con respecto a la topologıa definida por la norma(luego ∆ es un algebra de Banach).

iii) Existe una involucion ∗ : ∆ −→ ∆ tal que

(A+B)∗ = A∗ +B∗, (λA)∗ = λA∗, (AB)∗ = B∗A∗, (A∗)∗ = A

para todo A,B ∈ ∆ y λ ∈ C. Esta involucion ademas satisface la propiedad(C∗-condicion)

‖A∗A‖ = ‖A‖2, para todo A ∈ ∆.

Esta condicion implica que ‖A∗‖ = ‖A‖ para todo A ∈ ∆.

Definicion 2. Un funcional lineal multiplicativo m en un algebra conmutativa ∆con identidad es un homomorfismo m : ∆ → C, es decir, satisface que m(AB) =m(A)m(B), m(A+B) = m(A) +m(B) para todo A,B ∈ ∆, y m(1) = 1 si m 6= 0.

Jose Manuel Fernandez Queiruga SII 19

Estados como funcionales lineales

Sabemos que no son posibles medidas con precision infinita debido a la impreci-sion intrınseca de los dispositivos fısicos. El metodo experimental usual de asociarun valor de un observable f a un estado ω es realizar medidas repetidas de f ,

m(ω)1 ,m

(ω)2 , ...,m

(ω)n , sobre el sistema en el estado ω o, mas generalmente, replicas

de el, para computar el valor medio

< f >≡ 1

nm(ω)

1 (f) +m(ω)2 + ...+m(ω)

n .

Entonces el valor esperado de f en el estado ω sera ω(f) ≡ lımn→∞ < f >(ω)n y la

anchura de la medida de f esta dada por

(∆ωf) ≡ ω((f − ω(f))2).

Ya que ω(f) tiene una interpretacion de promedio de los resultados de las me-didas de f en un estado dado ω, se sigue que:

ω(λf1 + µf2) = λω(f1) + µω(f2), para todo f1, f2 ∈ ∆, µ, λ ∈ C,

y la condicion de positividad

ω(f∗f) ≥ 0, para todo f ∈ ∆.

La condicion de positividad implica la validez de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|ω(A∗B)| ≤ ω(A∗A)1/2ω(B∗B)1/2.

Entonces ω(1) > 0 (excepto para el estado trivial). Por lo cual, sin perdida degeneralidad, dado un estado (no trivial) ω siempre puede ser normalizado: ω −→ωnorm = ω(1)−1ω, y entonces ωnorm(1) = 1.

En conclusion, un sistema clasico esta definido por una C∗–algebra ∆ de susobservables y un estado es un funcional lineal normalizado ω en ∆. Un estado ω enuna C∗–algebra de funciones continuas C(Γ) en un espacio compacto Hausdorff Γ,es automaticamente continuo, y por el teorema de representacion de Riesz–Markovdefine una unica medida (Borel regular) µω en Γ tal que

ω(f) =

∫

Γfdµω, µω(Γ) = ω(1) = 1,

ası que los valores esperados tienen interpretacion probabilıstica.

Mecanica cuantica

Relaciones de incertidumbre de Heisenberg

En la descripcion anterior de los sistemas clasicos, los estados libres de dispersionen la medida son considerados una idealizacion. Sin embargo, podemos admitir en


base a la experiencia que en los sistemas clasicos macroscopicos podremos reducir es-ta dispersion en la medida tanto como queramos, para cualquier par de observables,simplemente repitiendo mediciones. En contraposicion, como Heisenberg mostro enun contexto cuantico, esto es imposible, y se ha de verificar:

(∆ωqj)(∆ωpj) ≥~

2

Podemos investigar las implicaciones de las relaciones de incertidumbre de Heisen-berg en el contexto de las C∗–algebras . Dado un estado ω y un par de observablesA = A∗, B = B∗, que por simplicidad seran tomados de media cero, tendremos:

∆ω (A)∆ω(B) = ω(A2)1/2(B2)1/2,

(A− iλB)(A+ iλB) ≥ 0 para todo λ ∈ R,

ω(A2) + |λ|2ω(B2) + iλω([A,B]) ≥ 0,

donde [A,B] = AB−BA. El hecho de que la forma cuadratica sea definida positivarequiere que 4ω(A2)ω(B2) ≥ |ω([A,B])|2, i.e.

∆ω(A)∆ω(B) ≥ 1

2|ω([A,B])|.

Entonces las relaciones de incertidumbre de Heisenberg entre dos observables estandadas por la relacion de conmutacion entre ellos:

[qj , pk] = qjpk − pkqj = i~δjk1.

En conclusion, en Mecanica Cuantica necesitamos un algebra de observables noabeliana.

Construccion de Gelfand–Naimark–Segal

Definicion 3. Un ∗–homomorfismo entre dos ∗–algebras ∆ y Λ es una aplicacionπ : ∆ → Λ que preserva todas las relaciones algebraicas, incluyendo la involucion ∗.

Definicion 4. Una representacion π de una C∗–algebra ∆ en un espacio de HilbertH, es un ∗–homomorfismo de ∆ en la C∗–algebra B(H) de operadores linealesacotados en H. Una representacion se dice irreducible si 0 y H son los unicossubespacios cerrados invariantes bajo π.

Teorema 5. Si π es un ∗–homomorfismo entre ∆ y Λ, entonces se tiene que paratodo A ∈ ∆

‖π(A)‖Γ ≤ ‖A‖∆.

Teorema 6. Dada una C∗–algebra ∆ y un estado ω, existen un espacio de HilbertHω y una representacion πω : ∆ → B(Hω) tales que

i) Hω contiene un vector cıclico Ψω (i.e. π(∆)Ψ es denso en Hω),


ii) ω(A) = (Ψω, πωΨω),

iii) cualquier otra representacion π en un espacio de Hilbert Hπ con un vectorcıclico Ψ tal que

ω(A) = (Ψ, π(A)Ψ)

es unitariamente equivalente a πω, i.e. existe una isometrıa U : Hπ → Hω talque

Uπ(A)U−1 = πω(A) y UΨ = Ψω.

La simetrıa U esta definida por

U−1πω(A)Ψω = π(A)Ψ.

El teorema anterior constituye la construccion GNS. La construccion GNS esimportante por su implicacion en la descripcion de los sistemas fısicos, dado queexplica el conjunto de valores esperados en terminos de:

i) una representacion de observables como operadores en un espacio de Hilbert,

ii) la descripcion de un estado en terminos de elementos de matriz de un vectoren un espacio de Hilbert.

Por lo tanto, se puede concluir que la estructura matematica de la MecanicaCuantica no necesita ser postulada (como la axiomatizacion de Dirac–von Neu-mann).

El siguiente teorema nos sera util mas adelante:

Teorema 7. (Gelfand–Naimark) Toda C∗–algebra es isomorfa a un algebra de ope-radores acotados en un espacio de Hilbert.

Consideremos dos operadores (denominados operadores de Weyl) definidos dela siguiente manera:

U(α) = eiαq, V (β) = eiβp, α, β ∈ Rs.

En terminos de estos operadores, las relaciones de Heisenberg adquieren la formaU(α)V (β) = V (β)U(α)eiαβ , U(α)U(β) = U(α+ β), V (α)V (β) = V (α+ β).

Ademas, estos operadores tienen las siguientes propiedades:

U(α)∗ = U(−α), V (β)∗ = V (−β), U(α)∗U(α) = U(α)U(α)∗ = 1,

y U , V y UV tienen la misma norma, igual a 1.Una estructura con las propiedades descritas arriba se denomina C∗ -algebra de

Weyl.El teorema de von Neumann sera fundamental en lo que sigue:

Teorema 8. (von Neumann) Todas las representaciones regulares irreducibles deuna C∗–algebra de Weyl son unitariamente equivalentes.


Por el teorema de von Neumann todas las representaciones regulares irreduciblesde una C∗–algebra de Weyl son unitariamente equivalentes, luego basta encontraruna. Ahora mostraremos la representacion de Schrodinger πS . El espacio de Hilbertes

H = L2(Rs, dsx)

Para todo ψ ∈ H se tiene que:

(U(α)ψ)(x) = eiαx, (V (β)ψ)(x) = ψ(x+ β) = ψβ(x),

donde U(α) y V (β) son operadores unitarios en H y definen una representacion delC∗–algebra de Weyl

(U(α)V (β)ψ)(x) = (U(α)ψβ)(x) = eiαxψ(x+ β),

(V (β)U(α)ψ)(x) = eiα(x+β)ψ(x+ η),

U(α)U(β)ψ = U(α+ β)ψ , V (α)V (β)ψ = V (α+ β)ψ.

(Quedarıa probar que la representacion de Schrodinger es irreducible).Como consecuencia fısica se tiene que los estados de una partıcula cuantica estan

representados por vectores en L2(Rs) , i.e. por elementos de L2. Podemos ver que:

(qψ)(x) = xψ(x), ψǫDq = ψǫL2, xψǫL2,

(pψ)(x) = −i(d

dxψ(x)

), ψǫDp = ψǫL2,

dψ

dxǫL2.

Un observable se representa por un operador acotado autoadjunto A en H y paracada ψ ∈ H los valores medios ωψ(A) estan dados por

ωψ(A) =

∫dxψ(Aψ)(x).

Ecuacion de Schrodinger

Un fenomeno tıpico de la descripcion de la Mecanica Cuantica es que dados dosestados representados por ψ1, ψ2 ∈ L2, se tiene que

ψ(x) = ψ1(x) + ψ2(x)

tambien es un estado, que es denominado la superposicion de los estados ψ1 y ψ2.Por ejemplo, la distribucion de probabilidad asociada a un observable F (q) definidopor ψ(x), no es la suma de las distribuciones de probabilidad |ψ1(x)|2 y |ψ2(x)|2,sino que contiene un termino de interferencias ψ1(x)ψ2(x) + ψ2(x)ψ1(x).

Nuestro objetivo es encontrar una ecuacion de evolucion en la Mecanica Cuan-tica. Para ello hagamos las siguientes suposiciones:

El algebra ∆ de observables es la misma en cualquier instante de tiempo, yla traslacion temporal de cada operador A → At ≡ αt(A) preserva todas las pro-piedades algebraicas. Por lo tanto, es claro que αt1(αt2(A)) = αt1+t2(A). En una


representacion irreducible π supondremos que αt esta implementado por un opera-dor unitario U(t):

π(αt(A)) = U(t)−1π(A)U(t), para todo A ∈ ∆,

y por el teorema de Stone, podemos escribir para un operador autoadjunto H lasiguiente expresion:

U(t) = exp(−itH), para todo t ∈ R,

y entonces

lımt→0

it−1(U(t)− 1)Ψ = HΨ.

U(t) puede ser expresado por su serie de potencias

U(t)Ψ =∞∑

n=0

(it)n

n!HnΨ,

y poniendo Ψ(t) ≡ U(t)Ψ, tenemos

id

dtΨ(t) = HΨ(t).

Esta es la ecuacion de evolucion temporal de Schrodinger, y H es denominadoHamiltoniano cuantico.

Para acabar esta seccion, resumiremos todo lo encontrado hasta ahora en ladenominada estructura axiomatica de la Mecanica Cuantica de Dirac-von Neumann:

i) Los estados de un sistema fısico estan descritos por rayos en un espacio deHilbert separable H.

ii) Los observables de un sistema fısico estan descritos por el conjunto de losoperadores acotados autoadjuntos en H.

iii) Si un estado ω esta descrito por un vector Ψω ∈ H, para cada observable A, elvalor esperado ω(A) esta dado por el elemento de matriz ω(A) = (Ψω, AΨω).

iv) Las variables canonicas satisfacen las siguientes relaciones de conmutacion:

[qi, qj ] = 0 = [pi, pj ], [qi, pj ] = i~δij , i, j = 1, ..., s.

v) Las anteriores relaciones de conmutacion estan representadas por operadoresen H = L2(Rs, dsx):

qiψ(x) = xiψ(x), pjψ(x) = −i~ ∂ψ∂xj

(x).


Algunos calculos sencillos: el oscilador armonico cuantico.

En esta ultima seccion resolveremos, como ejemplo de calculo en Mecanica Cuan-tica, la ecuacion de Schrodinger para el oscilador armonico.

La ecuacion de Schrodinger adopta la forma:

i~d

dtψ(x, t) = − ~

2

2m

d2ψ(x, t)

dx2+

1

2kx2ψ(x, t) = 0.

Con el ansatz ψ(x, t) = χ(t)Φ(t) la ecuacion factoriza como

i~χ′(t)χ(t)

= E, − ~2

2m

d2Φ(x)

dx2+

1

2kx2Φ(x) = EΦ(x).

La ecuacion temporal es trivial y la segunda ecuacion es la ecuacion de autovaloresdel operador Hamiltoniano

H = − ~2

2m

d2

dx2+

1

2kx2,

que tiene como autofunciones:

Φn(x) =

(α

n!2n(π)1/2

)1/2

Hn(αx)e−α2 x2

2 ,

con α =(mω~

)1/2y ω =

(km

)1/2, y como autovalores

En =

(n+

1

2

)~ω,

teniendo estos autovalores interpretacion fısica de energıas (observese que el espectrodel oscilador armonico cuantico no es continuo). Ademas, se cumple que En+1−En =~ω, i.e. la energıa esta cuantizada!

A continuacion resolveremos el mismo problema de forma algo mas elegante,introduciendo el formalismo de los operadores de creacion–destruccion que sera fun-damental en la construccion de la teorıa cuantica de campos.

Sean

X =(mω

~

)1/2x y P = (

1

m~ω)1/2

d

dx.

Definimos los operadores de destruccion y creacion como:

a =1

2(X + iP ), a† =

1

2(X − iP ).

Podemos derivar algunas propiedades sencillas basadas en estos operadores:

aa† =1

2(X2 + P 2 − 1),

H = aa† − 1

2,

H = N − 1

2, donde N ≡ a†a,

[N, a] = −a.


Sea |n〉 un autovector de N , esto es, N |n〉 = n|n〉. Entonces

Na|n〉 = (n− 1)a|n〉, Na†|n〉 = (n+ 1)a†|n〉.

Esta expresion nos conduce a

a|n〉 =√n|n− 1〉, si n 6= 0,

a†|n〉 =√n+ 1|n〉

y en consecuencia:

H|n〉 =(n+

1

2

)~ω|n〉,

(a†)n

|0〉 =√n!|n〉.

Ahora podemos calcular el estado 0 y construir los siguientes estados actuandocon

(a†)n. Dado que a|0〉 = 0, se tiene

1√2

(αx− d

d(αx)

)Φ0(x) = 0, de donde Φ0(x) =

(α√π

)e−α

2 x2

2 .

Finalmente, actuando con(a†)n

se obtiene que

Φn(x) =1√n!

(a†)n

Φ0(x),

que coincide con la expresion encontrada antes tras actuar con a†.

Bibliografıa

[1] F. Strocchi; An introduction to the mathematical structure of Quantum Mecha-nics, World Scientific, 2005.

[2] J. von Neumann; Mathematical Foundations of Quantum Mehanics, PrincetonUniversity Press, 1996.

[3] C. C. Tannoudji, B. Diu, F. Laloe.; Quantum Mechanics, vol. I y II, Wiley,1977.


Comentarios sobre teorıa cuantica de campos

Javier Tarrıo BarreiroDepartamento de Fısica de Partıculas

12 de abril de 2010

Seguindo o minicurso de fısica teorica, introducimos nesta charla a teorıa cuan-tica de campos. Primeiro comentamos sobre a estrutura basica, afondando na suanecesidade para describir o mundo que nos rodea. Posteriormente centraremonosnunha teorıa en concreto e empregaremola para introducir alguns dos temas maisimporantes de TCC. Finalmente danse algunhas referencias para que o lector poidacomezar un estudio mais formal da teorıa, xa que o obxectivo desta resena e o dedar unha introducion totalmente cualitativa.

De que falamos cando falamos de TCC?

Introducion

Na nosa experiencia diaria estamos afeitos a tratar con obxectos que se movenseguindo unhas traxectorias claramente determinadas. Para describir estes move-mentos, a mecanica clasica introduce o concepto de partıculas puntuais, as queasocia unhas caracterısticas intrınsecas (que chamamos masa, carga...) e describe ainteraccion destas co medio a traves das forzas. Matematicamente desenvolveronsevarias descricions equivalentes. A primeira foi a das leis de Newton, e a que maisnos interesa a nos e a formulacion lagranxiana.

A formulacion lagranxiana define unha funcion escalar (que chamamos lagran-xiano e representamos por L) definida sobre o fibrado tanxente a variedade ondese move a partıcula. O lagranxiano depende parametricamente do tempo, e se in-tegramos entre dous tempos temos un numero real, chamado accion e representadopor S. En mecanica clasica determinamos cal e a traxectoria fısica dun conxunto departıculas extremando a accion. Deste xeito podemos atopar a posicion e velocidadeexactas de cada partıcula no noso sistema so sabendo os valores destas magnitudesa un tempo fixo.

Non obstante, xa sabemos que esta non e toda a historia. A analise dos experi-mentos levou a conclusion de que un novo paradigma era necesario, onde a nocionde traxectoria carece de significado. Este novo paradigma e a mecanica cuantica,que ten como un dos postulados a imposibilidade de determinar con total precisiona posicion e velocidade dunha partıcula. Pero se non podemos asociar partıculascon traxectorias, como as entendemos?

Palabras Clave: Teorıa cuantica de campos, Yang-Mills, simetrıa gauge, renormalizacion

27

28 SII Comentarios sobre TCC

O paradigma cuantico obrıganos a abandonar o concepto de partıcula puntual,introducindo no seu lugar a funcion de onda ψ(x, t) que evoluciona dacordo a ecua-cion de Schrodinger

i~∂ψ

∂t(x, t) = − ~

2

2m

∂2ψ

∂x2(x, t) + V (x)ψ(x, t) . (1)

Como xa se viu no capıtulo anterior desta serie, as funcions de onda podense entendercomo elementos dun espazo de Hilbert complexo, e a ecuacion de Schrodinger escritacomo un operador actuando sobre ela. Da interpretacion da funcion de onda xa sefalou no primeiro capıtulo da serie.

A pesar dos exitos do novo paradigma, inda deixa importantes preguntas senresposta. Unha delas e a creacion e destrucion de partıculas. En mecanica cuanticacada partıcula esta asociada a unha funcion de ondas, pero non se poden crear novasfuncions de ondas de ningun xeito. Non obstante, nos experimentos observase queuns tipos de partıculas desaparecen para formar outros distintas, como na radiacionbeta, na que un neutron se converte nun proton, emitindo un electron e un neutri-no12. Para ter isto en conta teremos que considerar un obxecto vivindo nun espazode Fock

F (H) =∞⊕

n=0

H⊗in = C⊕H ⊕H⊗2 ⊕ ··· , (2)

onde H e un espazo de Hilbert. Un elemento deste espazo podese escribir como

φ = (φ0, φ1, φ2, ··· ) = (φ, φa1 , φa1a2 , ··· ) , (3)

onde φn ∈ H⊗n, e requirimos que sexan elementos de norma finita.

Outro dos problemas presentes na mecanica cuantica, que de feito esta rela-cionado co anterior, e a incompatibilidade coa relatividade especial, que e o outrogrande paradigma da fısica moderna. A ecuacion de Schrodinger podese escribir coformalismo de operadores como

i~∂tψ = Hψ =

(p2

2m+ V (x)

)ψ =

(−~

2∇2x

2m+ V (x)

)ψ , (4)

en completa analoxıa coa expresion clasica para a enerxıa dunha partıcula (queno formalismo operacional dicta a evolucion da partıcula, xa que corresponde cooperador i~∂t)

E =p2

2m+ V (x) . (5)

Unha xeneralizacion obvia e considerar a expresion relativista E2 = c2p2 + m2c4,resultando nunha ecuacion (a partir de agora consideramos ~ = c = 1)

(−m2

)ψ =

(∂2t −∇2

x −m2)ψ = 0 . (6)

12Hoxe en dıa sabemos que a transmutacion ocorre a nivel dos quarks que forman o neutron.

Javier Tarrıo Barreiro SII 29

Esta e a ecuacion de Klein-Gordon, que derivara Schrodinger antes que a ecuacionque leva o seu nome, pero que descartou porque a solucion non e axeitada paraunha interpretacion probabilıstica da mecanica cuantica. Isto podese ver porquea solucion se pode separar en duas partes ψ = ψ+ + ψ− de xeito que a norma||ψ||2 = ||ψ+||2 − ||ψ−||2 pode ser negativa. Dirac derivou a ecuacion que leva oseu nome intentando atopar unha ecuacion relativista linealizada, de xeito que sepuidese escribir a enerxıa sen usar unha raız cadrada. El propuxo unha ecuacion daforma

Hψ =

(βm+

3∑

k=1

αkpk

)ψ ,

onde β e αk son matrices. En notacion moderna (e escribindo a forma dos operado-res) esta ecuacion escrıbese

−iγµ∂µψ +mψ = 0 , (7)

onde o ındice µ = (0, 1, 2, 3), con 0 correspondendo a coordenada temporal, e segui-mos a convencion de que os ındices repetidos van sumados. As matrices γµ, que sechaman matrices gamma, satisfan a alxebra de Clifford13, e describen unha partıculaψ de masa m que transforman de xeito espinorial baixo transformacions de Lorentz.Solucions a ecuacion de Dirac son tamen solucions a ecuacion de Klein-Gordon, xaque

− (−iγµ∂µ +m) (−iγν∂ν −m) = −m2 . (8)

O terceiro problema, e o que lle da o nome a teorıa, e que a mecanica cuantica none quen de describir campos, co cal non se pode estudar o campo electromagnetico,e como consecuencia a luz, dunha forma cuantica axeitada, mentres que de novo osexperimentos amosan que e necesario para describir os fenomenos observados.

Prescricion

Definamos operadores-campo14 escalares nun espazo de Fock (con H o espazode Hilbert L2

µ)

Φ(φ+, φ−) =∫dµ

∞∑

i=0

(φ+i (x)ai + φ−i (x)a

†i

), (9)

onde x representa tanto a espazo como tempo e µ e unha medida no espazotempo.O ındice i marca os elementos dunha base no espazo H, e nalguns casos representaun ındice continuo, co que a suma se debe entender como unha integral15. Estes

13γµ, γν = 2gµν .14De agora en diante non marcaremos os operadores cun apostrofo.15Debido a falla de espazo non podemos ser mais rigurosos, para unha discusion mais axeitada

recomendo ler [5].


operadores-campo satisfan a version distribucional da ecuacion de Klein-Gordon,de xeito que φ+ e φ− satisfan

(−m2

)φ± = 0 (10)

Os operadores ai e a†i son operadores de creacion e destrucion con propiedades

similares as descritas no segundo capıtulo desta serie. Estes operadores actuan sobreelementos de H coa multiplicacion por un elemento ξ ∈ H. Operando con eles sobreun elemento do espazo de Fock temos

aiφ =(ξi,aφ

a,√2ξi,aφ

aa1 ,√3ξi,aφ

aa1a2 , ···), (11)

a†iφ =(0, φξi,a1 ,

√2ξi,a1φa2 ,

√3ξi,a1φa2a3 , ···

), (12)

e se as normas son finitas a† e o adxunto de a.A relacion de commutacion canonica (marcando os elementos asociados aos ope-

radores como ξ e η)

[ai(ξ), a†j(η)] = ξi,aη

aj δij1 , (13)

xunto coa ecuacion do movemento distribucional e maila representacion no espazode Fock determinan o operador-campo de xeito unıvoco.

Hai un estado do espazo de Fock especial, ao que chamamos baleiro e denotamospor |0〉. Este estado e o de mınima enerxıa e xeralmente asociase a un estado conningunha partıcula (e de aı o 0 na etiqueta do estado e o nome baleiro). En realidadeesta concepcion e erronea, e o baleiro pode ser un estado realmente complexo no quepartıculas e antipartıculas son creadas e destruıdas continuamente. A interpretacionda teorıa cuantica de campos en termos de partıculas individuais localizadas e untema complexo. De feito, e equivocado tomar este punto de vista en serio, xa queos campos son obxectos non locais por definicion. Non obstante, dentro da teorıade perturbacions da que mais adiante falaremos, esta interpretacion resultara extre-madamente util, e de agora en diante empregaremos unha linguaxe de partıculas,abusando da linguaxe.

Definimos o baleiro como

|0〉 = (1, 0, 0, ··· ) ∈ F (H) , (14)

e obviamente temos que o operador a actuando sobre el da a|0〉 = 0, onde o 0na dereita desta expresion correspondese co elemento neutro. O operador a†, nonobstante, permıtenos xerar outros elementos do espazo de Fock a partir do baleiro

|1〉 = a†(ξ)|0〉 = (0, ξa1 , 0, ··· ) , (15)

|2〉 = a†(ξ1)a†(ξ2)|0〉 = (0, 0,

√2ξa1ξa2 , 0, ··· ) (16)

...

Ası, vemos que φ± no operador-campo dannos o xeito do operador de crear e destruırpartıculas.


Espın e estatıstica

Outra razon para termos escollido un espazo de Fock para modelar o que ob-servamos nos experimentos e que inclue dun xeito natural a indistinguibilidade daspartıculas. Isto quere dicir que non somos capaces de distinguir entre os distintosfotons (por exemplo) presentes nun gas de fotons.

O espazo de Fock admite, non obstante, a operacion de simetrizar e antisime-trizar, de xeito que podemos considerar un espazo de Fock simetrico, Fs(H), conelementos

φ =(φ, φa1 , φ(a1a2), φ(a1a2a3), ···

), (17)

onde as parenteses denotan a operacion de simetrizacion do espazo. Analogamente,podemos considerar un espazo de Fock antisimetrico, Fa(H), con elementos

φ =(φ, φa1 , φ[a1a2], φ[a1a2a3], ···

), (18)

onde os corchetes denotan a antisimetrizacion (hai que notar que os dous primeirostermos non se ven afectados por estas operacions).

Esta puntualizacion e importante xa que dependendo de se o espazo consideradoe simetrico ou antisimetrico estaremos a describir partıculas que obedecen un tipode estatıstica ou outro. Ası, un espazo de Fock simetrico e axeitado para describirpartıculas que obedezan a estatıstica de Bose-Einstein, que son as partıculas conespın enteiro (coma calquera partıcula que serva como mediadora da interaccion,por exemplo fotons no caso da interaccion electromagnetica ou gravitons no caso dagravidade). Os espazos de Fock antisimetricos son axeitados para as partıculas de es-pın semienteiro, que obedecen a estatıstica de Fermi, e que incluen aos constituıntesda materia observable no universo (electrons, quarks...).

Para describir a dinamica destes tipos de partıculas (que chamamos bosons efermions) a ecuacion do movemento axeitada e a ecuacion de Klein-Gordon no casodos bosons e a ecuacion de Dirac para os fermions.

Un exemplo e teorıa perturbativa

Agora imos dar un importante salto e considerar unha teorıa fısica concreta, enon a mais doada de todas, se non unha que realmente describa parte da fenome-noloxıa a que estamos afeitos, refırome a electrodinamica cuantica para un electronsen masa. Este electron interactuara con outras partıculas cargadas mediante ointercambio de fotons, que van vir representados por un campo vectorial. O lagran-xiano a considerar nesta teorıa e16 LQED = −iψγµ (∂µ + ieAµ)ψ − 1

4FµνFµν , onde

ψ = γ0ψ†, ψ e un campo espinorial, Aµ e un campo vectorial e Fµν = ∂µAν −∂νAµ.Cada un dos tres termos que aparecen no lagranxiano ten un significado concreto.

16Na seguinte parte deste mini-curso de fısica teorica introducirase o tratamento de camposgauge, como o campo do foton, dun xeito mais formal.


O primeiro deles, iψγµ∂µψ, e o termo cinetico do electron (representado porψ), que nos di que o estado deste electron evoluciona co tempo. A ecuacion domovemento asociada a esta parte do lagranxiano e a ecuacion de Dirac con me = 0,se quixesemos ter en conta a masa do electron deberiamos engadir unha peza daforma meψψ ao lagranxiano. Tomar esta masa como nula e unha aproximacion,co que os resultados obtidos son so validos cando as enerxıas dos procesos fısicosinvolucrados sexan moito maiores que o producto da masa do electon pola velocidadeda luz o cadrado.

O ultimo termo −14FµνF

µν e o termo cinetico do foton (Aµ) e as ecuacions domovemento correspondentes son as ecuacions de Maxwell. Se quixesemos engadirunha masa ao foton deberiamos engadir un termo da forma m2

γAµAµ, pero na

seguinte seccion veremos por que non o facemos.

Polo dito anteriormente, chamamos termos cineticos aos termos con duas po-tencias dun campo e derivadas actuando neles, e chamamos termos de masa aostermos con duas potencias dun campo e ningunha derivada. Vemos que o termo domedio no lagranxiano de QED non e de ningun destes dous tipos, xa que involucraduas potencias de ψ e unha de Aµ. E o que chamamos un termo de interaccion, aconexion entre o electron e o foton. Na seguinte seccion veremos que a sua formaesta totalmente determinada. Este termo de interaccion ven pesado pola presenzade e, a carga do electron, que no sistema de unidades empregado (~ = c = 1) ten

un valor numerico pequeno, que expresamos co factor adimensional α ≡ e2

~c ≈ 1137 .

Isto da a teorıa un parametro de expansion natural a hora de resolvela (xaque non sabemos como facelo de xeito exacto). Para iso podemos velo seguindo oformalismo da integral de camino introducido no primeiro capıtulo da serie, obtendo(esquematicamente)

∫D[ψ]D[Aµ] exp

[∫(Lcin + Lint) d4x

](19)

=

∫D[ψ]D[Aµ] exp

[∫(Lcin) d4x

](1 +

∫Lintd4x+

1

2

∫∫L2intd

4xd4x′ + ···),

onde cada un dos termos na serie da unha potencia do parametro α, e a expansion,correctamente tratada, deu lugar a incribles predicions constatadas experimental-mente. Isto e ası a pesar de que algunhas expresions intermedias dan lugar a infini-tos, que se cancelan exactamente a hora de obter o resultado final dunha cantidadeobservable. Sobre estes infinitos comentaremos algo mais adiante.

Outro problema con esta expansion e que esta demostrado que e unha serieasintotica, co cal chegara un punto no que o engadir un termo mais na serie estacomece a diverxer.

Por outra banda, as veces a teorıa non ten un parametro de expansion, benporque non hai un parametro ou porque este resulta ser maior ca 1. Neste caso haique recorrer a calculos computacionais moi costosos se queremos extraer informacionda teorıa, no que se conece como Lattice Theory.


Regras de Feynman

Os calculos precisos para obter predicions partindo do lagranxiano de QED nonson nada doados. Afortunadamente, Feynman desenvolveu unha tecnica que permitecalculalos simplemente debuxando diagramas e aplicando unhas regras que se podenobter directamente do lagranxiano.

Ası, do termo cinetico para o electron no lagranxiano derivamos unha “peza delego” para os diagramas, que e o electron propagandose, isto quere dicir que estaregra non vale para os electrons que estean nos extremos do diagrama, so para osque se propagan no interior. Este electron leva asociada unha peza dunha ecuacionconsigo17, que ven dada pola solucion da ecuacion de Dirac para o seu campo, queen espazo de momentos e

iγµpµ +m

p2 −m2 + iε, (20)

onde ε e un pequeno parametro que aparece so en calculos intermedios debido arazons tecnicas e p e m son o momento e masa do electron, respectivamente.

Do termo cinetico para o foton obtemos outra peza, cun propagador asociado

−i gµνk2 + iε

, (21)

con k o momento do electron e gµν a metrica da variedade que esteamos a considerar,que xeralmente e o espazo de Minkowski.

O termo de interaccion, finalmente, danos a forma de enganchar as duas pezasanteriores, e a sua contribucion a amplitude e

−ieγµ . (22)

Estas pezas complementanse con algunha regra mais, como esixir que o momentose conserve nos vertices dos diagramas e que os momentos engadidos ao considerarpartıculas virtuais (coma o foton con etiqueta q da seguinte figura) sexan integradosa-la-Riemann. De feito, esta integracion pode levar asociada resultados diverxentes,dos que comentaremos algo cara o final do artigo.

17Esta ecuacion esta relacionada coa probabilidade de que un determinado suceso ocorra; deagora en diante referiremonos a el como amplitude.


Interpretacion en termos de partıculas

A expansion anterior ten unha interpretacion natural en termos de partıculas. Oscalculos tenen en conta os distintos modos en que un campo vai dun estado a outro,sendo as unicas alternativas que o campo non se excite, o que corresponde a unhalina nas regras de Feynman e que se interpreta como unha partıcula indo dunhaposicion a outra, ou que o campo se excite unha, duas, tres ou as veces que sexa.Cada unha destas excitacions corresponderıa coa partıcula creando e destruındoduas partıculas doutra clase18.

Por exemplo, na figura seguinte temos dous diagramas de Feynman. O da es-querda representa dous electrons que evolucionan no tempo (representado pola coor-denada horizontal) sen interactuar entre eles. No diagrama da dereita consideramosunha das posibilidades de dous electrons que interactuan mediante o intercambiodun foton (representado pola lina ondulada). Como este diagrama ten dous verticesde interaccion, ven pesado por un factor α ≈ 1/137, co cal a sua contribucion a horade calcular amplitudes e menor ca do diagrama da esquerda. E dicir, cantos maisfotons se intercambien, menos contribue o diagrama o calculo. Esta e a expansionperturbativa que tantos exitos deu neste campo.

Seguindo as regras de Feynman descritas anteriormente, poderiamos intentarescribir cal e a ecuacion correspondente o diagrama da dereita. Os catro electronspresentes estan no extremo do diagrama e polo tanto non hai que introducir os seuspropagadores. Temos dous vertices, que nos daran dous factores de −ieγµ (hai queter en conta que µ e un ındice Lorentziano e polo tanto os dous factores tenen queter un nome distinto para el). Finalmente, o foton, que esta no interior do diagrama,introduce o seu propagador, que ten un factor gµν , que xunto coas matrices gammaintroducidas polo vertice nos permite obter unha expresion escalar Lorentz; en totalobtemos un resultado da forma

A ∝ −e2γµγνgµνq2 + iε

. (23)

O cadrado desta expresion, multiplicada por factores que dan conta do momento eespın dos electrons externos, dos que non se falou neste resumo, danos basicamentea amplitude de probabilidade de que dous electrons choquen entre eles e, comoresultado desa interaccion, obtenamos dous electrons outra vez.

18Existe a posibilidade de engadir autointeraccions, termos con tres ou mais potencias do mesmocampo no lagranxiano. As teorıas nas que isto ocorre son aında mais difıciles de tratar, e incluen acromodinamica cuantica ou unha teorıa de campos da gravidade.


Outros temas importantes

Liberdade gauge

A electrodinamica cuantica e un exemplo dunha importante clase de teorıas: asteorıas gauge19 (que admiten simetrıas cun parametro local). Na electrodinamicacuantica unha traslacion do campo Aµ por un gradente Aµ → Aµ − ∂µΛ(x) tenque ser unha simetrıa se queremos atopar as ecuacions de Maxwell que rexen oelectromagnetismo. Isto impide que o foton tena masa, xa que un termo da formaAµA

µ non respectarıa esta invarianza.Do mesmo xeito, un cambio local da fase do campo ψ → ψeieΛ(x) ten que deixar

a teorıa invariante. O termo cinetico do campo ψ non ten esta invarianza, poloque precisamos corrixilo engadindo un factor de Aµ que o contrarreste. Este termoe o termo de interaccion escrito no lagranxiano, que como vemos esta totalmentedeterminado polo requirimento de invarianza baixo transformacions gauge, que e onome das transformacions que acabamos de describir. O feito de que a teorıa describaexitosamente o observado nos experimentos corrobora que esta e unha simetrıa quedebemos considerar.

Isto tamen nos permite definir as teorıas de Yang-Mills, onde o grupo U(1)presente na simetrıa gauge da electrodinamica cuantica xeneralızase a un grupocompacto G, sendo o estudo de SU(N) o mais interesante dende un punto de vistafısico. Neste caso podese ver que o termo F aµνF

a,µν non so e un termo cinetico, tamenpresenta autointeraccions do campo Aaµ. O ındice a vai de 1 a N2 − 1. Isto vese dadefinicion

F aµν = ∂µAaν − ∂νA

aµ + gfabcAbµA

cν , (24)

con fabc as constantes de estrutura do grupo.Estas teorıas son esenciais na fısica moderna xa que o modelo estandar da fısica

de partıculas esta baseado no grupo SU(3)× SU(2)× U(1).

Renormalizacion

Como xa se dixo anteriormente, xeralmente na avaliacion dos diagramas de Feyn-man aparecen integrais que diverxen debido a integracions a momentos arbitraria-mente altos. Xeralmente o que se fai e engadir un cutoff, de xeito que integramosata un momento alto pero fixo, e non ata infinito. Conseguir que este cutoff nonestea presente no resultado final e una tarefa ardua que non se pode describir nesteespazo, non obstante si que podemos dar unha explicacion do seu significado. Estecutoff modela a nosa ignorancia sobre a teorıa que describe o mundo a moi altasenerxıas (comparadas cos procesos que esteamos a considerar).

E de agardar que as nosas teorıas non tenan un rango de validez que cubratodalas enerxıas posibles, de xeito que debemos tomar un promedio dos efectosexistentes a estas enerxıas, modelando os detalles da teorıa a altas enerxıas (que edesconecida!) mediante interaccions locais.

19As teorıas gauge trataranse no seguinte capıtulo desta serie de introducion a fısica teorica.


O estudo de como modificar as nosas teorıas acorde con esta filosofıa conecesecomo a teorıa efectiva de campos, e ten aplicacions mais ala de TCC, como porexemplo ao estudo de sistemas de materia condensada, que van intimamente ligadosa tecnoloxıa electronica actual.

Mais informacion

Os alumnos de fısica adoitan a se introducir no mundo da teorıa cuantica decampos seguindo o texto [1], especialmente a parte 1, que chega ata a exposicion daelectrodinamica cuantica. As partes 2 e 3 xa tratan temas mais especializados, peroimprescindibles para entender o modelo estandar da fısica de partıculas.

Outro libro de texto apto para o estudo, pero cun tratamento mais formal, sonos dous primeiros tomos de [2]. O terceiro esta enfocado a fısica alen do modeloestandar. Unha vez familiarizados co tema, un bo e recente libro de referencia e o[3].

Existen unha serie de libros que tratan de dar un enfoque mais formal e ma-tematico o campo, entre os que destacan os textos [4] e [5]. Cabe mencionar quehoubo varias linas de investigacion tratando de ofrecer un desenvolvemento axioma-tico da TCC, non obstante ningunha delas conseguiu ir mais ala dun campo libre,resultando pouco axeitadas para a descricion do mundo observable.

Por ultimo quero destacar a primeira parte do libro [6], no que o autor da unhaintroduccion moi boa a TCC, centrandose mais nas ideas que nos calculos, que soesboza, co cal e preciso un conecemento previo do campo.

Un bo traballo sobre as teorıas efectivas e a renormalizacion, que require cone-cementos de TCC, e o artigo [7].

Bibliografıa

[1] M. Peskin, E. Schroeder; An Introduction to Quantum Field Theory, WestviewPress, 1995.

[2] S. Weinberg; The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press,1996.

[3] M. Srednicki; Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 2007.

[4] N. Birrel, P. Davies; Quantum Fields in Curved Space, Cambridge UniversityPress, 1984.

[5] R. Wald; Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Ther-modynamics, University of Chicago Press, 1994.

[6] A. Zee; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, 2003.

[7] C. P. Burgess, Introduction to effective field theory, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.57, 329 (2007) [arXiv:hep-th/0701053].


Introduccion a una formulacion matematica de lasteorıas gauge

Ricardo Couso SantamarıaDepartamento de Fısica de Partıculas

19 de Abril de 2010

Las teorıas gauge describen, una vez cuantizadas apropiadamente, tres de lascuatro fuerzas fundamentales que se conocen hasta el momento: la fuerza electro-magnetica, debil y fuerte, y estan intimamente relacionadas con la gravitacion. Eltexto que sigue pretende ofrecer una introduccion escueta al formalismo matema-tico que subyace a las teorıas fısicas, destacando la importancia geometrica de ladescripcion. El enfoque sera mayor en la formulacion clasica que en la cuantica20. El trabajo finaliza con una introduccion al tratamiento de materia (fermiones)acoplada a los campos de guage (bosones).

Introduccion

Teorıas gauge en el modelo estandar y en Gravitacion

Dentro del modelo estandar, que describe las interacciones entre las paratıculaselementales conocidas, tenemos dos tipos de campos, o partıculas, los campos demateria (fermiones: electrones, neutrinos y quarks) y los campos mediadores de lasinteracciones (bosones: foton,W+,W−, Z0, gluones). Estos ultimos vienen descritosmediante conexiones sobre un fibrado principal, que describiremos mas adelante,con grupo de gauge U(1) (electromagnetismo: fotones), SU(2) (fuerza debil: W+,W−, Z0) y SU(3) (fuerza fuerte: gluones). Los campos de materia se acoplan aestos campos y adquieren su carga asociada (electrica, debil o de color). Si el grupode gauge no es abeliano, los bosones de gauge mediadores interaccionan consigomismos, y adquieren carga. El foton tiene asociado el grupo abeliano U(1) de talmanera que no tiene carga electrica porque no interacciona consigo mismo. Veremosesto mas adelante.

La cuantizacion de estas teorıas y su renormalizacion (procedimiento que modifi-ca el valor infinito de los observables fısicos) producen efectos como el confinamiento

Palabras Clave: gauge, conexion, curvatura, fibrado principal, Yang-Mills, electromagnetis-mo, estructura de spin, Dirac

20El enfoque presentado, basado fuertemente en [1], se apoya en la idea de un espaciotiempofijo, formalizado por una variedad diferenciable, sobre el que viven el resto de campos (bosones yfermiones). Este enfoque newtoniano debe ser revisado cuando se incorpora la Gravitacion.

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38 SII Teorıas gauge

de los quarks en los hadrones, y su realizacion es necesaria para la correcta descrip-cion de las interacciones.

La gravedad tambien puede ser considerada como una teorıa gauge, donde elgrupo de gauge esta directamente relacionado con el espacio tiempo, al contrarioque las interacciones del modelo estandar. Este hecho hace que ambas teorıas difierande manera importante y que la gravedad no sea renormalizable.

Aspectos geometricos

La geometrıa que describe las teorıas gauge es la geometrıa de los fibrados prin-cipales, de las conexiones que uno puede definir sobre ellos y de la accion de ciertogrupo de simetrıas de los fibrados sobre el espacio de conexiones. En terminos fısicosestos elementos tienen un significado y papel claros que describiremos mas adelanteen esta seccion. Debemos entretenernos primero con las definiciones pertinentes.

Definiciones

Definicion 1. Un fibrado principal P (M,G) con grupo G sobre M , ambas va-riedades diferenciables, es un fibrado P

π−→M con fibra tıpica G, y una accion libreρ : P ×G→ P por la derecha, tal que:

1. orbita(p ∈ P ) = p′ ∈ P |p′ = ρ(p, g), g ∈ G ∼= G, ∀p ∈ P , es decir,π : P →M ∼ πP/G : P → P/G

2. ∀ψ : U ×G→ π−1(U) trivializacion local de P sobre U ⊂M ,ψ−1x (ρ(px, g)) = ψ−1

x (px)g

Definicion 2. Sea P (M,G) un fibrado principal, V un espacio vectorial y r unarepresentacion de G en V . El fibrado vectorial P ×r V , asociado a P (M,G) estadado por (P × V )/R, donde R es la accion libre

R : (P × V )×G −→ P × V

((p, v), g) 7−→ (ρ(p, g), r(g−1)(v))

Un ejemplo importante es P ×Ad g, donde Ad : g × G → g esta dada porAd(g)(A) := (I(g))∗|e(A), siendo I(g)(h) := g h g−1, y utilizando TeG ∼= g.Para grupos matriciales Ad(g)(A) = g A g−1.

Existen al menos tres maneras equivalentes de definir una conexion sobre unfibrado principal. Utilizaremos las dos menos elegantes pero que se acercan mas alconcepto de conexion que se introduce en Fısica.

Definicion 3. Una conexion sobre P (M,G) es una familia (Ui, ψi, ωi)i∈I , donde(Ui, ψi)i∈I es una representacion local de P y ωi ∈ Λ1(Ui, g)i∈I es una familiade 1-formas con valores en el algebra de Lie g de G que satisfacen

ωj(x) = Ad(ψ−1ij (x))(ωi(x)) + ψ−1

ij dψij(x),

donde ψij(x) = ψ−1i,x ψj,x.

Ricardo Couso Santamarıa SII 39

Definicion 4. Una conexion sobre P (M,G) es una 1-forma ω ∈ Λ1(P, g) sobre Pcon valores en g, tal que

ω(X) = iso(v(X)), y (ρg)∗|pω = Ad(g−1)(ω(p)),

donde iso : Ker(π∗) ∼= P × g.El subespacio horizontal se define como HP = Y ∈ TP |ω(Y ) = 0.

Definicion 5. La derivada exterior covariante dω : Λk(P, g) → Λk+1(P, g) estadada por

(dωα)(X0, ... , Xk) := dPα(h(X0), ... , h(Xk))

donde α ∈ Λk(P, g), Xi ∈ V ect(P ), h : TP → HP (la proyeccion horizontal decampos).

Definicion 6. La curvatura de la conexion ω en P (M,G) esta dada por

Ω := dωω ∈ Λ2(P, g).

La derivada covariante permite comparar n-formas en puntos distintos de unavariedad de manera compatible con la estructura de fibrado principal existente.En terminos fısicos esto induce una interaccion entre la materia (fermiones) y losbosones portadores de la fuerza (electromagnetica, debil o fuerte).

Terminologıa

La siguiente lista da una relacion de los terminos fısicos que se utlizan para losobjetos geometricos vistos hasta ahora:

Grupo de Lie G: grupo de gauge.

Variedad diferencial base M : espaciotiempo.

Conexion sobre P (M,G): conexion gauge.

ω ∈ Λ1(P, g): 1-forma de conexion gauge.

s ∈ Γ(M,P ): gauge global.

As := s∗(ω) ∈ Λ1(M, g): potencial gauge global.

t ∈ Γ(U ⊂M,P ): gauge local.

At := t∗(ω) ∈ Λ1(M, g): potencial gauge local en el gauge t.

Ω = dωω ∈ Λ2(P, g): 2-forma de curvatura.

Fω ∈ Λ2(M,ad(P )): field strength en M .


En el lenguaje de la teorıa electromagnetica las componentes, en una carta co-ordenada, de At se denominan potencial escalar y potencial vector, y Fω recibeel nombre de tensor de Maxwell, siendo sus componentes los campos electrico ymagnetico.

La dinamica de estos campos viene dada por las ecuaciones del movimiento,que deben ser postuladas independientemente de los ingredientes matematicos de lateorıa, aunque estos puedan ofrecer una guıa 21.

Grupo de transformaciones gauge

Hay varios grupos en este marco geometrico que se pueden usar como grupos desimetrıa de la teorıa fısica que queremos definir.

Diff(P ) := grupo de difeomorfismos de P como variedad diferenciable.→ No respeta la estructura de fibras del fibrado principal.

DiffM (P ) := f ∈ Diff(P )| π f = fM π.→ Respeta el fibrado pero no tiene en cuenta la accion de G.

Aut(P ) := f ∈ DiffM (P )| f(ρ(p, g)) = ρ(f(p), g) ∀p ∈ P, g ∈ G.→ Si f ∈ Aut(P ) se dice que f es G-equivariante.→ Aut(P ) se denomina grupo de transformaciones gauge generalizadas.

G(P ) := f ∈ Aut(P )|fM = IdM.→ G(P ) se denomina grupo de transformaciones gauge.

G(P ) es el subrupo de Aut(P ) que se centra solo en la parte gauge de la geometrıa,sin tocar para nada el espaciotiempo.

Definicion 7. El espacio de conexiones gauge en el fibrado principal P (M,G)es

A(P ) = ω ∈ Λ1(P, g)| ω es una conexion en P (M,G).El grupo de transformaciones gauge G(P ) actua de formal natural en A(P )

mediante pullback

· : G(P )×A(P ) −→ A(P )

(f, ω) 7−→ f · ω := (f−1)∗(ω)

Es habitual en Fısica trabajar al nivel de la variedad base M con Λk(U ⊂M,Ad(P )), localmente. Si t1 y t2 son secciones de P existe una funcion f ∈ G(P ) talque f t2 = t1. De la misma manera existe una funcion de transicion ψ1,2 : U1∩U2 →G que tiene la misma informacion que f y que cumple t1(x) = ρ(t2(x), ψ1,2(x)). Sidefinimos Ai := t∗i (ω) i = 1, 2, obtenemos la regla de transformacion

A2(x) = Ad(ψ−11,2(x))(A1(x)) + ψ−1

1,2(x)dMψ1,2(x).

21En este punto serıa interesante introducir el concepto de covariancia general en las teorıasfısicas y su significado, pero el tema es demasiado extenso como para incluirlo aquı. De todosmodos animamos encarecidamente al lector a investigar sobre ello, pues resulta ser una de lasgrandes lecciones de la Fısica del siglo XX. Una referencia util es [3], capıtulo 2.


Esta ecuacion es la misma que define una conexion en terminos de una familia deformas sobre M . Denotando g = ψ1,2, A = A1 y Ag = A2, y asumiendo que G esun grupo matricial, obtenemos la relacion estandar de transformacion gauge,

Ag = g−1 A g + g−1 dg.

f ∈ G(P ) se puede pensar como un cambio local de gauge sobre M . Si el fibrado Pes trivial entonces U se puede extender a todoM y en este caso una transformacionde gauge se puede identificar con una aplicacion de M en G.La transformacion de gauge para el field strength es

F gω = g−1 Fω g

Acciones con simetrıa gauge

Una accion en Fısica es una aplicacion que lleva una seccion de un fibradoa un numero real. Suele escribirse como una forma diferencial integrada sobre lavariedad base, que en la mayor parte de los casos es el espaciotiempo. Esta formadiferencial recibe el nombre de lagrangiano y suele venir provista de una serie desimetrıas que tienen una interpretacion fısica clara y deseada. Una de estas simetrıases la simetrıa gauge, que establece que la accion es G-equivariante. En la penultimaseccion ampliaremos la discusion sobre el concepto de simetrıa de una accion en uncontexto mas general.

Consideremos el caso en el que G es semisimple. Entonces existe un productointerior en g que es invariante bajo la accion adjunta, y que viene dada por unmultiplo de la forma de Killing K(T, T ′) = tr(ad(T ) ad(T ′)) donde ad(T )(T ′′) :=[T, T ′′], ∀ T, T ′, T ′′ ∈ g.Como vimos anteriormente en general, una conexion ω ∈ A(P ) define una derivadacovariante en el fibrado vectorial asociado Ad(P )

∇ω : Λ0(M,ad(P )) −→ Λ1(M,Ad(P ))

compatible con el producto interior en g

〈∇ωXα, β〉g + 〈α,∇ω

Xβ〉g = X(〈α, β〉g), ∀X ∈ V ect(M), α, β ∈ Λ0(M,ad(P )).

〈 , 〉g se puede extender a formas de mayor grado si M es (pseudo-)Riemanniano detal manera que la metrica se encargue de contraer las formas sobre M para dar unafuncion del punto en x ∈M

〈αa(x)⊗T a(x), βb(x)⊗T b(x)〉 = g(αa, βb)(x)〈T a, T b〉g(x), ∀α, β ∈ Λk(M,Ad(P ))

Lo importante ahora es notar que Fω cambia bajo una transformacion de gaugecomo F gω = ad(g−1)(Fω) de modo que

|F gω |2 := 〈F gω , F gω〉 = 〈Ad(g−1)(Fω), Ad(g−1)(Fω)〉 = 〈Fω, Fω〉 = |Fω|2,


luego el modulo cuadrado del field strength de la conexion es invariante bajo unatransformacion gauge. Decimos entonces que Fω es invariante gauge, y podemosusarlo como ingrediente de la accion fısica.

At no es invariante gauge, de modo que no puede utilizarse facilmente paraformar una accion fısica22. El problema de fondo es que ω ∈ Λ1(P, g) es una 1-formapseudotensiorial de tipo (Ad, g) pero no es tensorial, y Ω sı que lo es (ver [1]).

Ejemplo: electromagnetismo

Consideremos el fibrado principal P (M3,1, U(1)), dondeM3,1 es el espaciotiempode Minkowski (R4 con metrica η = diag(−1,+1,+1,+1)).π1(M

3,1) = e, luego P es siempre trivial, es decir, P ∼=M3,1 × U(1).Una conexion en P se puede escribir como iω, donde ω ∈ Λ1(P ), siendo i =

√−1 una

base para u(1) ∼= iR. De la misma manera, y ya que U(1) es abeliano, la curvaturase puede escribir como iΩ, con Ω = dωω = dω + [ω, ω]∧ = dω ∈ Λ2(P ).23

En funcion de M3,1 y ad(P ) = P ×a du(1) ∼=M3,1 × u(1),

A = s∗(ω) ∈ Λ1(M3,1) : potencial electromagnetico,

F = dA ∈ Λ2(M1,3) : campo electromagnetico.

En coordenadas cartesianas, A = Aµdxµ, y F = 1

2Fµνdxµ ∧ dxν , con

(Fµν) =

0 Ex Ey Ez−Ex 0 −Bz By−Ey Bz 0 −Bx−Ez −By Bx 0

.

La identidad de Bianchi reproduce la mitad de las ecuaciones de Maxwell,

dF = 0 ⇔

~∇ · ~B = 0~∇× ~E + ∂ ~B

∂t = 0

Un cambio de gauge viene implementado por ψ1,2 : M3,1 → U(1), x 7→ ψ1,2(x) =eiϕ(x) ≡ g(x), de tal manera que, como U(1) es abeliano, Ad(g−1)(A) = A, y obte-nemos la transformacion Ag = A+ dϕ.Una accion fısica que implementa la simetrıa de gauge y que da lugar a las dosrestantes ecuaciones de maxwell (en el vacıo) es

SM (ω) =1

8π2

∫

M3,1

|Fω|2 dV ol

22Un ejemplo son las teorıas de Chern-Simons.23En general [αp, βq]∧ = [αa

p ⊗ T a, βbq ⊗ T b] = αa

p ∧ βbq ⊗ [T a, T b], para p-formas g-valuadas αp y

q-formas βq, y donde T adim(g)a=1 es una base de g.


donde dV ol es la forma de volumen asociada a la metrica de Minkowski. Las ecua-ciones del movimiento que extremizan la accion son

δFω = ⋆d ⋆ Fω = 0 ⇔

~∇ · ~E = 0~∇× ~B − ∂ ~E

∂t = 0

donde ⋆ representa el operador de Hodge asociado a la metrica de Minkowski.

Ejemplo: Yang-Mills

En el caso en el que G no es abeliano (por ejemplo, SU(2), SU(3), etc) Fω noes una 2-forma exacta sino que

Fω = dAt +1

2[At, At]∧.

Sobre una carta U ⊂M ,

At = Aaµdxµ T a, Fω =

1

2F aµνdx

µ ∧ dxν T a

⇒ F aµν = ∂µAaν − ∂νA

aµ + fabcA

bµA

cν

con [T b, T c] = fabcT a.La accion y las ecuaciones del movimiento son formalmente identicas cuando seescriben en lenguaje de formas diferenciales con valores en g pero son no linealesdebido a la no abelianidad del grupo de gauge G. En terminos fısicos, esto significaque los portadores de la fuerza (bosones gauge) interaccionan entre ellos. Este noes el caso de la luz (el ejemplo anterior) donde el grupo de gauge es abeliano.

Cuantizacion

Sea A(P ) el espacio de conexiones gauge sobre P (M,G) y G(P ) el grupo detransformaciones gauge que actua sobre A(P ). Sabemos que la accion de Yang-Mills es G-equivariante.

La cuantizacion de la teorıa de Yang-Mills clasica se puede considerar como unaasignacion

〈Φ〉 =∫ADA Φ(ω) e−SY M [ω]

∫ADA e−SY M [ω]

a cada funcion invariante gauge Φ : A → R. DA es una medida adecuada en A(P ).Esta asignacion da como valor infinito debido al contaje redundante de contri-

buciones iguales por parte de conexiones relacionadas por una transformacion degauge. Una solucion a este problema consiste en, ya que 〈Φ〉 es invariante gauge ySYM tambien lo es, descender la integracion a orbitas en O = A/G e integrar sobreeste espacio de clases de equivalencia de conexiones. El problema de esta soluciones que la estructura matematica de O es desconocida en general.


En Fısica se soluciona este problema escogiendo una seccion s : O → A (que fijaun gauge para cada conexion), integrando sobre s(O), e incluyendo el determinantede Faddeev-Popov que se puede ver como el jacobiano del cambio de variables efec-tuado por proj : s(O) → O. Este procedimiento para fijar el gauge no funciona engeneral debido al fenomeno conocido como ambiguedad de Gribov: el hecho de queexista tales secciones s no es trivial.

Spinores

Descendemos ahora a la variedad base, el espaciotiempo, para estudiar queestructuras vienen asociadas a ella por el hecho de tener una metrica pseudo-Riemanniana incorporada.

Fribrado spin

Sea M una variedad pseudo-Riemanniana, orientable. Con el conjunto de basesdel espacio tangente a M se forma el fibrado principal llamado fibrado de las refe-rencias, con baseM y grupo de Lie G = GL(m), que actua transformando una baseen otra. La compatibilidad de este fibrado con la metrica y la orientabilidad de Mpermiten reducir G a SO(m− 1, 1).Los fibrados vectoriales asociados a SO(m − 1, 1) llevan una etiqueta de spin queclasifica la representacion y a las secciones (partıculas). Esta etiqueta es un numeroentero y solo puede describir bosones. Para describir fermiones tambien se necesitatrabajar con el recubrimiento universal de SO(m− 1, 1).SO(m − 1, 1) no es simplemente conexo, por lo que desearıamos usar Spin(m-1,1)como grupo de gauge. ¿Es posible hacer esto siempre? La respuesta es no, puesexiste una obstruccion topologica dada por la clase de Stiefel-Whitney. En general,la ampliacion del grupo de gauge G es posible si y solo si

w2(P ) ∈ H2(M,π1(G)) = 0.

Para G = SO(m− 1, 1) se tiene que π1(G) = Z2.

Definicion 8. Sea M una variedad pseudo-Riemanniana, orientable. Se dice queM admite una estructura de spin si el fibrado de las referencias SO(m− 1, 1) sepuede extender al fibrado Spin(m− 1, 1).

Fibrados asociados

Los fibrados vectoriales asociados a Spin(M) traen consigo un numero de spin,dado por la representacion de Spin(m−1, 1), y las secciones de estos fibrados tienenel spin de la representacion. Denotamos S(M) := Spin(M) ×r V . Como ejemplospodemos mencionar que el caso en el que V = R y r es la representacion trivialnos da un campo escalar de spin 0, o cuando V = C

2 y r es la representacionfundamental se describe un spinor de spin 1/2.


En general, puede demostrarse que S(M) tiene una estructura de Clifford asociadaen forma de producto,

Γ(TM)× Γ(S(M)) ∋ (X,σ) 7−→ e · σ =

m−1∑

µ=0

Xµeµ

·

dim(V )∑

a=1

σaϕa

= Xµσaeµ · ϕa = Xµγ bµ aσ

aϕb ∈ Γ(S(M)),

donde las matrices γµm−1µ=0 satisfacen el algebra de Clifford γµ, γν = γµγν +

γνγµ = 2gµνId×d.Este producto permite definir el operador de Dirac, que constituye el operador

covariante natural para actuar sobre partıculas de spin semientero.

Operador de Dirac

Definicion 9. Sea M una variedad pseudo-Riemanniana que admite una estructurade spin, y sea ∇ : Γ(S(M)) → Γ(Λ1(M)⊗ S(M)) la conexion heredada de M sobreS(M). El operador de Dirac respecto a ∇ viene definido por

D : Γ(S(M)) ∋ σ 7−→ Dσ :=m−1∑

µ=0

eµ · ∇eµσ ∈ Γ(S(M))

donde eµ(x)m−1µ=0 es una base ortonormal de TxM, ∀x ∈M .

Ejemplo: Minkowski

Sea M =M3,1. Debido a que el espacio de Minkowski es plano podemos escogerla base ortonormal de TM y la del espacio vectorial de S(M) de tal manera que∇eµϕ

a = 0. Tomando coordenadas cartesianas, para las cuales esto es cierto, obte-

nemos D =∑3

µ=0 γµ∂∂xµ , que es la representacion habitual del operador de Dirac en

Teorıa Cuantica de Campos.

Propiedades

En general, si M no es plano no sera posible poner el termino ∇eϕ igual a cero,de tal manera que el operador de Dirac tendra un termino extra, analogo a unsımbolo de Christoffel, y que recibe el nombre de spin connection.En general, y como se puede comprobar para el ejemplo anterior, el cuadrado deloperador de Dirac es el Laplaciano asociado a la metrica del espaciotiempo, resultadoque se obtiene gracias al algebra de Clifford que satisfacen las matrices γ.El operador de Dirac es un operador elıptico de tal manera que se puede aplicar elteorema del ındice de Atiyah-Singer. Este hecho permite calcular de manera eficienteefectos cuanticos como las anomalıas, que aparecen cuando una simetrıa de la teorıaclasica no tiene un analogo en la teorıa cuantica.


Campos generales y propiedades de la accion

Hemos visto hasta ahora que ademas de las conexiones sobre fibrados principa-les, podemos definir secciones de fibrados vectoriales asociados a estos y accionespara estas secciones. Lo hemos visto explıcitamente para el fibrado spin donde cadarepresentacion proporciona el spin de las partıculas con las que estamos trabajando.Hemos trabajado en las secciones anteriores con dos tipos de fibrados principales:

P (M,G): donde M es el espaciotiempo y G es un grupo de gauge internoindependiente de la estructura de M .→ Usado en el Modelo Estandar con G = U(1)× SU(2)× SU(3).→ Los campos asociados a P (M,G) vienen etiquetados por numeros cuanticosque etiquetan la representacion utilizada (carga electrica, numero leptonico,carga de color).

Spin(M): donde M es el espaciotiempo y Spin(m− 1, 1) es el recubrimientouniversal del grupo de Lorentz.→ Usado en Gravitacion.→ Los campos asociados a Spin(M) vienen etiquetados por un numero despin semientero.

En general, los campos (las “partıculas”) seran campos asociados a una combi-nacion de ambos fibrados principales, de tal manera que una partıcula tendra tantonumero de spin como numeros cuanticos. En el fibrado vectorial asociado dondevivan las partıculas la derivada covariante tendra una componente asociada a la si-metrıa de gauge interna (G) y la otra asociada al espaciotiempo (spin connection).

La accion que define la dinamica de estas estructuras geometricas debe incorpo-rar un par de requerimientos fısicos, ampliamente aceptados:

Naturalidad respecto a Aut(P ), es decir, respeto a las estructuras presentes(covariancia).

Regularidad local, es decir, que en cada carta local la accion se escriba comoun polinomio en los campos y sus derivadas (que son tıpicamente de orden 2como maximo).

Bibliografıa

[1] K. B. Marathe, G. Martucci, The Mathematical Foundations of Gauge Theories,North-Holland, 1992.

[2] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing,2003.

[3] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press, 2004.


Gravitacion e Teorıa de Cordas, cara a gravidadecuantica

Xian Otero CamanhoDepartamento de Fısica de Partıculas

26 de abril de 2010

Esta charla cerra o ciclo “Minicurso de Fısica Teorica”. Ao longo desta serietentamos dar unha vision global do que e e como se construıu a Fısica en xeral, ea Fısica Teorica en particular, ao longo do seculo XX. As charlas previas tocaronxa numerosos temas, dende a sorprendente aparicion da Mecanica Cuantica ate aTeorıa Cuantica de Campos. Nesta pequena disertacion final tentaremos completareste repaso presentando o outro eixo fundamental da fısica contemporanea, a Teorıada Relatividade Xeral. Despois de introducir brevemente a Relatividade Especial,describiremos, de xeito sinxelo e facendo especial enfase no contido conceptual, aloxica que levou a formulacion da Relatividade Xeral e os problemas que plantexana direccion de obter unha imaxe completa e coherente do mundo. E aı onde aformulacion dunha teorıa cuantica da gravidade, que resolva as aparentes contradi-cions, se demostra necesaria, e onde a Teorıa de Cordas, sen ser a unica, aparececomo unha alternativa plausıbel.

Introducion

A finais do seculo XIX a Fısica crıase unha obra rematada. Para os academicosda epoca a Mecanica Newtoniana por unha banda e a Teorıa Electromagneticade Maxwell por outra describirıan a perfeccion calquera proceso fısico. Nada maislonxe da realidade. Ao longo dos ultimos anos do seculo e as primeiras decadas doseguinte certas observacions experimentais fixeron necesaria unha revision completa.Esta foi a orixe da Relatividade Especial de Einstein por un lado e da MecanicaCuantica por outro. Ası mesmo, da necesidade de facer compatıbeis estas duas novasincorporacions a familia da Fısica, naceu a Teorıa Cuantica de Campos, da quetamen se falou nestas charlas. Por outro lado, a Gravitacion de Newton tampoucoera compatıbel coa nova Teorıa da Relatividade e a resolucion desta incongruencialevou a Einstein a formular a Teorıa Xeral da Relatividade. Nas charlas previaspercorremos o camino que levou da Mecanica Newtoniana ou Clasica a Cuantica eposteriormente a formulacion da Teorıa Cuantica de Campos. Esta charla tentaradescribir o outro piar fundamental da fısica teorica contemporanea e da nosa visiondo Universo, a Teorıa Xeral da Relatividade.

Palabras Clave: Gravitacion, Teorıa de Cordas, Gravidade Cuantica

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48 SII Gravitacion e Teorıa de Cordas

Electromagnetismo Mecanica Clasica

↓ ւց ↓Relatividade Especial Mecanica Cuantica

↓ ց ↓Relatividade Xeral T. Cuantica Campos

ց ւ

Gravidade Cuantica ???

Este e o panorama da Fısica do seculo XX, unha disciplina cientıfica asentadaen dous piares ben diferentes, a Mecanica Cuantica, ou a sua version relativista aTeorıa Cuantica de Campos, dunha banda e a Teorıa da Relatividade Xeral da outra.Ambas as duas teorıas foron grandes exitos sendo verificadas experimentalmentecon grande precision, isto e, ambas describen con grande precision a Fısica nosseus respectivos reximes de aplicabilidade, unha no mundo do moi pequeno, a outrano mundo do moi pesado. Poren ambas teorıas son contraditorias, o que apunta anecesidade de desenvolver unha nova teorıa, denominada da Gravidade Cuantica,que sexa aproximada polas teorıas precedentes nos respectivos reximes de validez eque ao mesmo tempo resolva as incompatibilidades entre ambas teorıas. Este e undos problemas abertos mais importantes da Fısica dos nosos dıas.

De onde venen pois as inconsistencias? En primeiro lugar, dende o punto devista da Mecanica Cuantica ou da Teorıa Cuantica de Campos, o espazo-tempo eun fondo ou background fixo onde os procesos cuanticos (ou clasicos) tenen lugar.Dende a perspectiva da Relatividade Xeral o espazo-tempo e un campo dinamicomais, e ao ser dinamico ademais, este campo debe estar cuantizado. Poderiamospensar que dada a diferente natureza deste campo poderıa non estalo, poren nasecuacions que describen como evolue o espazo-tempo, este aparece ao mesmo nivelque os campos cuanticos. Estas ecuacions son,

Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν (1)

onde Rµν e o tensor de Ricci, R a curvatura escalar, gµν a metrica do espazo-tempo,G a constante de Newton, c a velocidade da luz e Tµν o tensor de enerxıa impulso.Mentres o lado esquerdo da ecuacion e clasico, o dereito e cuantico xa que o tensorenerxıa impulso recibe contribucion de todas e cada unha das formas de enerxıaposıbeis, da materia que esta gobernada no seu comportamento por leis de tipocuantico.

A consistencia teorica unha vez mais levanos a concluır, coma no caso da Rela-tividade Especial ou Xeral ou da Teorıa Cuantica de Campos, a necesidade dunhanova teorıa, a denominada Gravidade Cuantica. Podemos poren verificar esta teorıa

Xian Otero Camanho SII 49

experimentalmente? Cal e a relevancia dos efectos derivados desta hipotetica teorıa?Os efectos son a priori so relevantes a escalas menores que a escala de Planck

√G~

c3∼ 10−33cm ∼ 10−20rp (2)

onde rp e o radio do proton e ~ a constante reducida de Planck; escalas pois moitı-simo mais pequenas que as que podemos explorar co mais potente dos aceleradoresde partıculas actuais. Para poder observar ao mesmo tempo efectos cuanticos e daRelatividade Xeral precisamos buscar un obxecto o suficientemente pequeno e den-so. As posibilidades son pois escasas. Por un lado poderiamos pensar no Big Bang,onde toda a enerxıa do Universo estaba comprimida nun pequenısimo volume, co-mo un lugar adecuado onde procurar estes efectos. O inconveniente e que so temosinformacion indirecta sobre esta tempera idade do Universo. Todo o que sabemosobtivemolo a traves de extrapolacions de modelos cosmoloxicos exitosos, baseadosademais na Relatividade Xeral. O outro posıbel campo de probas para unha teorıada gravidade cuantica serıan os buracos negros, onde a materia acada densidadessuficientemente grandes como para que os efectos da gravidade cuantica fosen apre-ciabeis. Poren, a conxectura do censor cosmico propon que calquera singularidadedebe estar cuberta por un horizonte que nos impide observala, e iso verifıcase en to-dos os casos conecidos. En ambos casos a singularidade, xustamente onde se darıanos efectos procurados, esta fora do noso alcance observacional.

As unicas guıas cara a esta nova teorıa son pois a consistencia teorica, comoxa adiantabamos antes, e a explicacion de certos fenomenos que, aında que nonprobados empiricamente, estan baseados na Teorıa Cuantica de Campos en espazoscurvos e son aceptados pola comunidade cientıfica. Por citar un exemplo, a radia-cion de Hawking implica que o horizonte que arrodea un buraco negro ten unhadeterminada temperatura e que, polo tanto, o buraco negro non so absorbe senonque tamen emite radiacion termica. Ademais as leis da termodinamica de buracosnegros dinnos que estes obxectos posuen entropıa, a que usualmente e interpretadacomo unha medida da cantidade de estados microscopicos que dan lugar ao mesmoestado macroscopico, isto e, ao buraco negro. A Relatividade Xeral da unicamenteunha descricion do estado macroscopico deixando para a teorıa da gravidade cuan-tica a tarefa de dilucidar a que corresponden os estados microscopicos subxacentes.Esta e unha pregunta que calquera teorıa da gravidade cuantica que pretenda serdigna dese nome debe respostar.

A Relatividade Xeral de Einstein anuncia pois a sua propia inconsistencia aopredicir a existencia de singularidades sen explicar que e o que pasa neses puntosditos patoloxicos (Big Bang, buracos negros...). A teorıa da gravidade cuantica debe‘resolver’ estas singularidades. Ao longo da presente charla iremos achegandonos aestes e outros problemas asociados coa formulacion cuantica da gravidade, peroantes vexamos cal foi o camino que levou a tan exitosa Relatividade Xeral.


Breve resumo da Relatividade Especial

Como xa adiantamos na introducion a Relatividade Especial nace da necesidadede resolver a contradicion entre a Teorıa Electromagnetica de Maxwell e a MecanicaClasica, ou mais ben coa relatividade galileana que se deduce dela. As leis de Newtonson invariantes baixo cambios do tipo x → x′ ≡ x + vt, ou o que e o mesmo, avelocidade so e relativa e todos os sistemas de referencia inerciais son equivalentes.Este e un principio basico da Fısica sen o cal non poderiamos facer ningun tipode predicion. O problema aparece cando introducimos as ecuacions de Maxwellneste cadro. Estas ecuacions verificadas experimentalmente con grandısima precisionnon son invariantes de Galileo. De feito, non e posıbel atopar solucions estaticas einhomoxeneas espacialmente, isto e, non podemos situarnos no sistema de referenciadunha onda electromagnetica e iso entra en contradicion coa invariancia galileana,onde en principio serıa suficiente con acadar a velocidade de propagacion desa onda.

Temos pois dous principios basicos da Fısica en contradicion. Por un lado aasuncion fundamental de que a Fısica e a mesma con independencia do sistema dereferencia considerado, o que nos permite facer predicions. Por outro, as ecuacionsde Maxwell que describen con rotundo exito e precision un grande abano de proce-sos fısicos e que de feito non foi posıbel refutar. Un dos dous ten que ser erroneoaında que ambos parecen demasiado valiosos para ser desbotados sen mais. Existeoutra posibilidade, que haxa algunha outra hipotese implıcita no problema, algo defeito tan natural do que incluso sexa difıcil ser consciente. Este e de feito o caso, ahipotese oculta sendo a de que o tempo e unha magnitude absoluta. Se prescindi-mos desta asuncion a contradicion resolvese. O tempo adquire un novo significadosituandose ao mesmo nivel que o resto de coordenadas espaciais, dando lugar ao quese denomina espazo-tempo ou espazo de Minkowski. Este non e mais que R

1,d−1 ouRd con signatura Lorentziana ηµν ≡ diag(−1, 1, ... , 1), e onde d e a dimension do

espazo-tempo (4 para aquel no que nos vivimos). Un novo principio de invariancia,neste caso invariancia de Lorentz, pode ser desenvolvido e, a partires del, toda unhanova mecanica. Unha observacion importante e que esta mecanica se reduce a me-canica clasica no rexime apropiado, neste caso o de velocidades baixas comparadascoa da luz.

A simetrıa das ecuacions de Maxwell pode describirse como un grupo de LieSO(1, d − 1). Ademais de rotacions e traslacions que estaban tamen incluıdas nogrupo de isometrıas das leis de Newton, este grupo conten boosts, que describencambios na velocidade do sistema de referencia. A transformacion de coordenadassimplificada24 para un troco na velocidade na direccion x serıa,

(tx

)→(t′

x′

)≡(

γ γβγβ γ

)(tx

)(3)

sendo β ≡ v/c a velocidade adimensional e γ ≡ 1/√1− β2 > 1 o factor de contrac-

cion relativista. E chamado ası xa que e o factor polo que os intervalos se contraen

24As coordenadas transversas a direccion do movemento non transforman.


ou expanden cando son medidos por observadores en movemento con respecto deles.Para eventos que ocorren ao mesmo tempo neste sistema de referencia (∆t′ = 0) adistancia entre os dous eventos vese contraıda por este factor,

∆x′ =∆x

γ(4)

E exactamente o contrario sucede para eventos estaticos con respecto ao sistema dereferencia (∆x′ = 0),

∆t′ = γ∆t (5)

E o que se conece como dilatacion temporal.

Cara a Teorıa da Relatividade Xeral

O desenvolvemento da Relatividade Xeral respondeu no seu momento a nece-sidade de resolver outro problema conceptual da fısica da epoca. A RelatividadeEspecial establecıa a velocidade da luz, c, coma a velocidade maxima que pode seracadada. Isto entraba en directa contradicion co principio de accion a distancia dasforzas. No caso do campo electromagnetico este mesmo problema fora xa resoltopor Maxwell alguns anos antes. Algo similar debıa facerse ao respecto do campogravitatorio para substituır a vella teorıa de Newton. A outra necesidade era a dedescribir que ocorre en sistemas de referencia acelerados e explicar o Principio deEquivalencia do que falaremos a seguir.

A primeira pista de cal e o camino a seguir podemola tirar xa da RelatividadeEspecial. Proponemosvos un pequeno experimento imaxinario. Consideremos un arodun material incompresıbel calquera e de radio r. Un observador estatico situadono seu centro medira pois unha lonxitude de circunferencia de L = 2πr. Se conside-ramos o mesmo aro xirando a unha velocidade constante ω o observador vera comoseccions infinitesimais do aro (paralelas a direccion do movemento) se contraen co-mo foi explicado na seccion anterior, e polo tanto a lonxitude total da circunferenciavese reducida. Poren, o radio da circunferencia non se contrae xa que e transversoa direccion do movemento. A relacion entre radio e lonxitude da circunferencia vesepolo tanto alterada. Temos neste segundo caso

L =L

γ< 2πr (6)

Isto e unha primeira mostra de porque e necesario introducir a xeometrıa non plana,xa que na xeometrıa euclidiana sempre se verifica a igualdade. A relacion anteriorpodese dar por exemplo sobre a superficie dunha esfera. Un movemento acelerado,como o considerado, implica pois a introducion de curvatura na descricion do espazo-tempo.

Se isto o combinamos co Principio de Equivalencia e a accion para a partıculalibre temos xa unha das principais leccions da Relatividade Xeral. O Principio de


Equivalencia asegura que non e posıbel distinguir localmente un experimento reali-zado en presenza de gravidade dun realizado nun laboratorio acelerado a un valorigual ao da gravidade. Isto e ası pola equivalencia entre masa inercial, a que expresaa resistencia dun obxecto a cambiar o seu estado de movemento, e a masa gravita-toria, que expresa a forza do acoplamento entre o obxecto e o campo gravitatorio.Estas duas magnitudes corresponden a conceptos moi diferentes pero resultan tervalores identicos. E o que se conece como Principio de Equivalencia Feble. Pode-mos merce a este principio apantallar localmente a accion da gravidade. Para queo apantallamento fose global e non local precisarıamos de aplicar unha aceleraciondiferente a cada punto do laboratorio xa que a intensidade do campo gravitatoriotamen sera en xeral diferente en cada punto.

Como vemos, a accion da gravidade equivale localmente a un sistema de referen-cia acelerado e, como xa vimos, estes sistemas requiren da introducion da xeometrıanon plana para a sua descricion. Se consideramos o espazo-tempo coma unha va-riedade 4 dimensional, a curvatura pode ser descrita a traves dunha metrica gµνpseudo-riemanniana. Sobre un espazo-tempo plano a accion dunha partıcula libre e

Ip = −m∫ds

√−ηµν

dxµ

ds

dxν

ds(7)

onde m e a masa da partıcula e xµ(s) as coordenadas da sua traxectoria (s e unparametro arbitrario ao longo da traxectoria). Esta accion e igual a lonxitude totalda traxectoria percorrida pola partıcula e e polo tanto independente da escolla doparametro s. Desta accion deducese facilmente que as partıculas libres seguen tra-xectorias rectilıneas. A xeneralizacion obvia desta accion en presencia de gravidadee pois

Ip = −m∫ds

√−gµν

dxµ

ds

dxν

ds(8)

onde simplemente trocamos a metrica da xeometrıa plana, ηµν , por unha metricaarbitraria, gµν , que inclua a accion da gravidade. Deste xeito as novas partıculas li-bres seguen xeodesicas na nova xeometrıa. Esta e a xeneralizacion natural da recta,a xeodesica e unha recta expresada en coordenadas planas en torno a cada punto.Isto da unha sinxela e elegante explicacion ao Principio de Equivalencia. A accionda gravidade e independente do corpo sobre o que se aplica e todos eles seguen amesma traxectoria porque a accion da gravidade non se efectua directamente so-bre eses corpos senon que e unha modificacion do espazo-tempo no que estes semoven. A ecuacion (7) e invariante de Lorentz mentres que 8 e invariante baixotransformacions mais xerais, non muda ante calquera cambio de coordenadas. Estastraxectorias de partıculas libres constituen os sistemas de coordenadas con respectoaos cales as leis da Fısica adoptan a familiar forma da Relatividade Especial, ou oque e o mesmo, a forma en ausencia de gravidade. Na vella controversia entre o mo-vemento absoluto ou relativo, por fin foi identificado o punto de referencia absoluto:o propio campo gravitatorio constitue o terreo onde todo proceso fısico ten lugar.O campo gravitatorio pode ser visto como o campo que determina, en cada punto


do espazo-tempo, os sistemas de referencia con respecto dos cales o movemento einercial. As leis da Fısica da Relatividade Especial son invariantes de Lorentz peropoden ser facilmente xeneralizadas de xeito que a invariancia baixo cambios xeraisde coordenadas se faga manifesta. Isto e o que se conece como invariancia xeral.Esta invariancia expresa o feito de que as coordenadas escollidas para describir oespazo-tempo non son fısicas, isto e, a Fısica e independente desta escolla.

Temos pois identificado o campo gravitatorio como descrito por unha metricapseudo-riemanniana gµν , sabemos como as partıculas se moven nel e como as leisda Fısica se xeneralizan para incluır o efecto da gravidade. O unico ingrediente quefalta e a dinamica propia do campo gravitatorio. Precisamos pois unha accion quedescriba como evolue o campo gravitatorio e cales son as suas fontes. Comecemospola segunda parte. Unha das mais importantes leccions da Relatividade Especialfoi igualar o status da masa e a enerxıa a traves da celebre E = mc2. Logo, xa quea gravidade estaba orixinada clasicamente pola masa, a conclusion loxica e que afonte do campo gravitatorio e a enerxıa, calquera tipo de enerxıa. O obxecto quenaturalmente xoga este rol e o tensor enerxıa impulso que ven dado por

Tµν ≡ 1√− det g

δImatδgµν

(9)

onde Imat e a accion da materia e as deltas representan unha derivada funcional.Isto e, o tensor enerxıa impulso ven dado por contribucions de todas as formas demateria presentes. O tensor enerxıa impulso ten moitas propiedades e iso constrinxemoito a forma que pode ter a accion do campo gravitatorio. Esta ten que ser daforma

IEH ≡∫d4x√− det g(R− 2Λ) , (10)

a accion total e I = IEH + Imat e as ecuacions de movemento

Rµν +1

2gµνR =

8πG

c4Tµν + Λgµν . (11)

A constante cosmoloxica Λ foi introducida por Einstein para conseguir que estaaccion admitise solucions describindo un Universo estatico. Mais tarde demostrouseque este esta en expansion e Einstein calificou a constante cosmoloxica como omaior erro da sua vida. Mais tarde a cosmoloxıa demostrou que, se ben pequena, aconstante cosmoloxica existe. O significado desta constante cosmoloxica e o porquedo seu pequeno valor constituen un dos problemas abertos mais importantes daFısica dos nosos dıas, poren isto darıa para outra charla completa e non vamoscomentar nada mais aquı.

Este resumo e curto de mais para facer unha descricion detallada de todas asferramentas necesarias para facer uso da Relatividade Xeral e diriximos aos lectoresas moitas e moi boas referencias na materia para mais detalle.


Problemas e solucions: a Teorıa de Cordas

Este foi o camino que levou a Relatividade Xeral. Foi desenvolvida como unhateorıa clasica e tivo moito exito. Unha das mais sorprendentes predicions desta teorıae a curvatura dos raios de luz polo efecto do campo gravitatorio, algo que foi pron-tamente verificado experimentalmente. O outro grande exito desta teorıa foi a expli-cacion da precesion do perihelio de Mercurio, algo que tamen foi cuantitativamentecomprobado con grande precision. Outras predicions, coma a existencia de radiaciongravitatoria, seguen sen poder ser verificadas dada a dificultade experimental paradetectalas. A teorıa foi extensivamente posta a proba experimentalmente dentro efora do sistema solar sempre con exito.

Os problemas aparecen a medida que a teorıa cuantica de campos se desenvolvee queda patente a natureza cuantica da realidade a pequena escala. Todas as teorıasde campos describindo os diferentes campos de materia conecidos (e os seus respec-tivos cuantos ou partıculas) foron consecutivamente cuantizadas. A unica teorıa sencuantizar e pois a da gravidade. O problema e que, como moi pronto se demostrou,a accion de Einstein-Hilbert (10) e non-renormalizabel. De feito podese demostrarque en catro dimensions o maximo spin que unha partıcula descrita por unha teo-rıa renormalizabel pode ter e un, un campo vectorial como o electromagnetico. Ograviton, hipotetica partıcula portadora da interaccion gravitatoria, ten spin dous(esta descrita por un campo tensorial con dous ındices) e polo tanto non pode serrenormalizado.

Un xeito facil de ver isto e considerando un proceso de intercambio dunha partı-cula de spin J entre duas partıculas escalares. Unha partıcula de spin J esta descritapor un campo tensorial con J ındices, σµ1µ2...µJ . Polo tanto calquera acoplamentocos escalares ten que incorporar J derivadas, esquematicamente,

φ⋆∂µ1∂µ2 ... ∂µJφσµ1µ2...µJ (12)

Como cada derivada implica un factor do momento no propagador as amplitudesasociadas con este proceso seran esquematicamente

AJ(s, t) ∼ −g2 (−s)Jt−M2

J

(13)

onde s e t son variabeis de Mandelstam, que estan relacionadas cos momentos daspartıculas implicadas, p, esquematicamente, s, t ∼ p2. Vemos deste modo que aamplitude do proceso diverxe con s. Para J = 1 ao diverxer s, t diverxe do mesmoxeito dando un resultado finito. Un poderıa pensar logo que so podemos ter teorıasrenormalizabeis de partıculas de spin un ou menor. Poren hai un xeito de evitareste argumento. Consideremos pois un numero arbitrario de partıculas de diferentesspins que poden ser intercambiadas no proceso considerado. Deste xeito,

A =∞∑

J=0

g2J(−s)Jt−M2

J

(14)


e a suma infinita pode comportarse mellor que calquera suma finita, exactamenteque coma no caso da expansion en serie de potencias da exponencial

e−x ≈ 1− x+x2

2− x3

6+O(x4) (15)

Calquera dos termos da expansion e diverxente en x pero a suma completa non o e.En 1968 Veneziano descubriu unha expresion para a amplitude que compartıa estamesma propiedade. El andaba na procura dun modelo das interaccions fortes e estaamplitude non se correspondıa ben coas propiedades observadas destas interaccions.Poren pronto quedou claro que o que describıa aquela amplitude era o modelo dunhacorda relativista. Era o nacemento da Teorıa de Cordas ou (super)String Theory.

Esta corda relativista esta descrita na sua dinamica pola accion de Nambu-Goto,

ING =

∫d2σ LNG = −T

∫d2σ√− det γ (16)

onde γαβ = ∂Xµ

∂σα∂Xν

∂σβ ηµν e o pull-back da metrica (plana neste caso) do espazo-tempo no que se move a corda, na superficie espazo-temporal varrida por esta.Esta superficie, chamada worldsheet, esta parametrizada por dous parametros, untemporal e outro espacial, respectivamente, τ ≡ σ0 e σ ≡ σ1. T e a tension dacorda, enerxıa por unidade de lonxitude. O valor da accion avaliada nunha solucioncalquera e igual a superficie varrida pola corda na sua propagacion polo espazo-tempo, do mesmo xeito que a accion da partıcula libre e igual a lonxitude da suatraxectoria. Outra accion equivalente e a de Polyakov, mais conveniente de cara acuantizacion

Is =∫d2σ Ls = −T

∫d2σ√

− det g gαβ∂Xµ

∂σα∂Xν

∂σβηµν (17)

Ademais da invariancia Lorentz da accion de Nambu-Goto, esta accion ten unha si-metrıa adicional. E invariante baixo transformacions de Weyl, isto e, baixo cambiosda metrica gαβ(σ) → Ω2(σ) gαβ(σ). E esta simetrıa a que nos permite eliminar ocampo auxiliar extra gαβ da accion e fai que ambas expresions sexan equivalentes.Ademais esta simetrıa extra e necesaria para poder cuantizar a corda. Cando pasa-mos de invariancia Lorentz a invariancia xeral trocando ηµν por Gµν , o respecto dainvariancia de Weyl implica Rµν = 0, o que non e mais que a ecuacion do campogravitatorio Gµν no baleiro. Obtemos as ecuacions do campo como unha condicionde consistencia da teorıa. Esta estrana mestura de conceptos clasicos e cuanticos eunha caracterıstica definitoria da Teorıa de Cordas.

Esta accion pode considerarse dende dous puntos de vista equivalentes. Un e o deconsiderar que describe unha corda propagandose nun espazo-tempo de coordenadasXµ, µ = 0, 1, 2, ... D, sendo σα = (τ, σ) as coordenadas da superficie varrida polacorda. O outro punto de vista serıa considerar (17) como unha teorıa cuantica decampos en duas dimensions, σα. As doutro xeito coordenadas son agora simplementeD campos escalares identicos cunha etiqueta µ que os numera.


Se consideramos a cuantizacion da corda no formalismo de operadores, o quetemos que facer e imponer as usuais relacions de conmutacion (a tempos iguais)

[Xµ(σ, τ),Πν(σ

′, τ)]

= i δ(σ − σ′) δµν (18)[Xµ(σ, τ), Xν(σ′, τ)

]=

[Πµ(σ, τ),Πν(σ

′, τ)]= 0 (19)

A partires de aquı podemos por exemplo calcular o espectro da corda que o quenos da e basicamente os diferentes tipos de partıculas presentes na teorıa. Cadaestado de vibracion da corda correspondese cunha partıcula diferente da que se po-de calcular a masa e o spin entre outras moitas propiedades. Entre elas destaca aaparicion dunha partıcula de spin dous e masa nula, o graviton. Podese demostrarque calquera partıcula de spin dous e masa nula debe estar descrita na sua dina-mica por unha accion invariante baixo cambios xerais de coordenadas. De feito, asuperposicion coherente destes gravitons e o que da lugar ao campo Gµν , a metricado espazo-tempo que como xa vimos anteriormente ten que verificar a ecuacion demovemento Rµν = 0. Isto e, temos unha teorıa cuantica dunha partıcula de spindous e masa nula que se reduce a Relatividade Xeral a baixas enerxıas25, isto e,temos unha teorıa cuantica da gravidade.

Outra caracterıstica salientabel da Teorıa de Cordas e que ela mesma determinao numero de dimensions do espazo-tempo no que vive. Para respectar a invarianciaLorentz a nivel cuantico (esta simetrıa esta na accion a nivel clasico) o numero dedimensions (coordenadas ou campos escalares Xµ) ten de ser un numero determi-nado. Para a corda bosonica, aberta ou pechada, este numero e 26, aında que se veenormemente reducido no caso de introducir supersimetrıa26. Neste caso o numerode dimensions serıa o ben conecido 10.

Ao final deste longo camino chegamos a unha teorıa cuantica da gravidade. Esteera o noso principal obxectivo, mais temos un problema, e unha teorıa da gravidadeen 10 dimensions. A solucion a este problema estaba dada poren incluso antes daaparicion da Teorıa de Cordas. E o que se denomina compactificacion ou reduciondimensional. Isto consiste en considerar que algunhas das dimensions Xµ, todas ex-cepto as catro do universo no que vivimos, en lugar de ser non-compactas formanun espazo interno compacto, por exemplo, T 6, un toro de seis dimensions. O pro-blema desta estratexia e que a teorıa resultante conten moitas mais partıculas quea orixinal. Isto pode parecer unha vantaxe que permite postular a Teorıa de Cor-das como teorıa de unificacion de todas as interaccions fundamentais: hai sitio paratodas as partıculas conecidas e mais. O problema e que as compactificacions posı-beis son demasiado numerosas, alguns estiman que da orde de 10500, e non existencriterios claros para escoller unha concreta. Outro dos inconvenientes desta historiadas compactificacions e que destrue unha das mais cacareadas virtudes da Teorıa de

25Dicimos a baixas enerxıas porque este e o unico estado de masa nula da corda bosonica pechadaque e a que estamos a describir ate o de agora.

26A supersimetrıa correspondese coa introducion de coordenadas fermionicas ademais das boso-nicas na accion, o que resolve ademais outros problemas como a existencia dun taquion na cordabosonica.


Cordas, a sua unicidade. A pesares de que en principio foron descubertas diferentestipos de teorıas de cordas (tipo I, IIA, IIB, etc.), pronto se demostrou que todaselas estaban relacionadas de diferentes maneiras (ver esquema) e se relacionabancunha misteriosa teorıa once dimensional da que non falaremos e que se denominouM theory.

11d MSy ւCց

10d IIB IIA E8 × E8 SO(32)S↔ I

C ↓ C ↓ C ↓ C ↓9d IIB

T↔ IIA E8 × E8T↔ SO(32)

As diferentes frechas indican, compactificacion, C, e dualidades S e T . Segundoas compactificacions reducen mais e mais as dimensions non compactas, as relacionsentre diferentes teorıas fanse mais ricas e complexas. Isto ademais do inconvenien-te de destruır a fermosa unicidade da Teorıa de Cordas, ofrece en contrapartidaunha grande oportunidade para buscar relacions entre teorıas aparentemente moidiferentes. Esta e a razon de que a rica historia de intercambios entre a fısica eas matematicas dese alguns moi fermosos resultados nos ultimos anos. O mellorexemplo desta frutıfera colaboracion e o descubrimento da mirror symmetry querelaciona propiedades de certas variedades Calabi-Yau e foi en principio observadana Teorıa de Cordas.

Outra dualidade de diferente natureza, aında que relacionada coas anteriores, e adenominada conxectura AdS/CFT, que como o nome indica non esta rigorosamentedemostrada se ben innumerabeis verificacions se tenen levado a cabo con exito. Estadualidade relaciona dous tipos moi diferentes de teorıas. Por un lado temos unhateorıa de gauge (normalmente de tipo conforme por iso o de CFT27) mentres que ooutro lado da dualidade esta descrito por unha Teorıa de Cordas nun backgroundparticular. E unha dualidade holografica (de feito unha familia de dualidades) nosentido de que se a teorıa gauge vive en d dimensions, a Teorıa de Cordas (ou a teorıagravitatoria que describe a sua dinamica a baixas enerxıas) vive nun espazo que e unproduto de Anti-de Sitter (AdS) en d+1 dimensions e un espazo compacto. Ademaisa conxectura relaciona as teorıas en reximes moi diferentes de xeito que calculosque se poden facer de xeito moi doado nun lado da dualidade son moi difıciles derealizar no outro. Esta caracterıstica da dualidade e o que a fai tan util e ao mesmotempo tan difıcil de probar. En particular as tecnicas holograficas tenen fornecidomoi variada e importante informacion sobre teorıas gauge fortemente acopladas,moi dificilmente tratabeis de outro xeito. Este ten sido un dos campos mais activosdentro da fısica teorica nos ultimos anos e recentemente a sua aplicabilidade tentaser ampliada a outros campos da fısica tan alonxados da fısica de partıculas comaa materia condensada.

27Conformal Field Theory


A Teorıa de Cordas e, como vemos, un mundo mais do que unha simple teorıafısica, con moitas caras e facetas moi diferentes. Por un lado e unha teorıa da gravi-dade cuantica e incluso unha posıbel teorıa de unificacion de todas as interaccionsfundamentais. Ten sido ademais unha fonte de inspiracion para outros campos dafısica, principalmente da fısica de partıculas, onde solucions a conecidos problemasse tenen proposto facendo uso de nocions herdadas da Teorıa de Cordas como as di-mensions extra ou a supersimetrıa. A Teorıa de Cordas poderıa demostrarse inclusoser a teorıa da gravidade cuantica, a que describa como se comporta a gravidade nonoso universo, aında que a verificacion deste feito sexa aında lonxana e difıcil, se nonimposıbel nun espazo de tempo razoabel. O que ninguen pode negar e que a Teorıade Cordas ten sido e segue sendo para a fısica teorica, e tamen as matematicas,unha fonte inesgotabel de fermosos resultados e novas ferramentas, permitindo enconcreto novas perspectivas sobre as teorıas gauge.

Bibliografıa

[1] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge Monographs on Mathematical Phy-sics, Cambridge University Press, 2004.

[2] M. B. Green, J. H. Schwartz, E. Witten, Superstring theory: volume I, Introduc-tion, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge UniversityPress, 1990.

[3] D. Tong, David Tong: Lectures on String Theory,http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html.


On the geometry of Egorov spaces

Wafaa BatatEcole Normale Superieure d’Enseignement Technologique d’Oran.

Departement de Mathematiques et Informatique

April 21, 2010

Introduction

Riemannian manifolds admitting a group of isometries of dimension at least12n (n− 1)+1 are either of constant curvature or products of an (n− 1)-dimensionalspace of constant curvature with a line or circle. Lorentzian metrics allow othersolutions which are related to the existence of null submanifolds onM which are leftinvariant by Lie group actions [2]. If the group of isometries has dimension at least12n (n− 1)+2, then the sectional curvature is constant [4]. However, if the group ofisometries has dimension 1

2n (n− 1)+ 1, the non-homogeneous examples exist. Thecomplete classification of Lorentzian manifolds with an isometry group of this largewas given for any dimension n > 4, n 6= 7, by Patrangenaru [4]. Besides the spacesof constant curvature Mn

1 (c) and manifolds reducible as products Nn−1(c)×R, theremainig examples are:

Egorov spaces: Lorentzian manifolds (Rn, gf ), where f is a positive functionof a real variable and

gf = f(xn)n−2∑

i=1

(dxi)2 + 2dxn−1dxn. (1)

ε-spaces: Lorentzian manifolds (Rn, gε), where

gε =n−2∑

i=1

(dxi)2 − dxn−1dxn + ε

n−2∑

i=1

(xi)2(dxn−1)

2,

This work is structured as follows. In Section 1, the Levi Civita connection,the curvature tensor and the Ricci tensor of (Rn, gf ) will be described in terms ofcomponents with respect to coordinate vector fields ∂i = ∂

∂xi. In Section 2, we

investigate and characterize locally symmetric, Einstein, conformally flat examples.In Section 3, homogeneity of (Rn, gf ) will be discussed, via the existence of a Lo-rentzian homogeneous structure, showing that homogeneity is very rare for Egorovspaces (Rn, gf ).

Palabras Clave: Egorov spaces, homogeneous spaces, symmetric spaces, curvature

59

60 SII On the geometry of Egorov spaces

Curvature of Egorov spaces

Let (Rn, gf ), n > 1 denote an Egorov space. As proved in [1], with respect tothe basis of coordinate vector fields ∂i = ∂

∂xi, with i = 1, .., n, for which gf adopts

expression (1), the non-vanishing covariant derivatives of coordinate vector fieldsare given by

∇∂i∂i = −f′

2∂n−1, ∇∂i∂n =

f ′

2f∂i, i = 1, ... , n− 2. (2)

By an explicit calculation on the geodesic equations, it has been shown in [1] thatEgorov spaces are geodesically complete. The curvature tensor R, which is given byR(X,Y ) = ∇[X,Y ] − [∇X ,∇Y ], is determined by

Rn−1ini =

1

4f

[(f ′)2 − 2ff ′′

], Riinn = − 1

4f2[(f ′)2 − 2ff ′′

], i = 1, ... , n− 2. (3)

Consequently, the components of the covariant derivative ∇R with respect to ∂i,are given by

(∇∂nR)(∂i, ∂n, ∂n) =1

2f3

[(f ′)3 + f2f ′′′ − 2ff ′f ′′

]∂i, i = 1, ... , n− 2,

(∇∂nR)(∂i, ∂n, ∂i) = − 12f2

[(f ′)3 + f2f ′′′ − 2ff ′f ′′

]∂n−1, i = 1, ... , n− 2,

(∇∂iR)(∂j , ∂k, ∂h) = 0 otherwise.

(4)Next, the Ricci tensor (X,Y ) = trace Z → R(X,Z)Y satisfies

nn =n− 2

4f2[(f ′)2 − 2ff ′′], (5)

being zero otherwise. This shows that the scalar curvature of (Rn, gf ) vanishes.On the other hand, (2) and (5) easily give the components of the covariant

derivative of :

∇nnn = −n− 2

2f3[(f ′)3 + f2f ′′′ − 2ff ′f ′′], ∇ijk = 0 otherwise. (6)

The geometry of Egorov spaces (Rn, gf)

In the previous Section, we completely described the Levi Civita connection,the curvature tensor and the Ricci tensor of the Lorentzian manifold (Rn, gf ). Thisprovides all needed information in order to investigate the geometry of (Rn, gf ).

Formulas (1), (3) and (5) imply at once that if an Egorov space (Rn, gf ) isEinstein, then

(f ′)2 − 2ff ′′ = 0 (7)

and so, the manifold is flat. Note also that since the scalar curvature vanishes,(Rn, gf ) is Einstein if and only if it is Ricci-flat. By solving differential equation (7)explicitly, we obtain the following

Wafaa Batat SII 61

Theorem 1. [1] Let (Rn, gf ) be an Egorov space. Then, the following conditionsare equivalent:

(i) (Rn, gf ) is Einstein,

(ii) (Rn, gf ) is Ricci-flat,

(iii) (Rn, gf ) is flat,

(iv) either the function f > 0 is a constant, or f(xn) = a(xn + b)2, for two realconstants a > 0 and b.

Next, recall that a pseudo-Riemannian manifold (Mn, g), of dimension n ≥ 4, isconformally flat if and only if its Weyl curvature tensor vanishes, that is,

R(X,Y, Z,W ) =1

n− 2(g(X,Z)(Y,W ) + g(Y,W )(X,Z) (8)

− g(X,W )(Y, Z)− g(Y, Z)(X,W ))

− τ

(n− 1)(n− 2)(g(X,Z)g(Y,W )− g(Y, Z)g(X,W )),

for all vector fields X,Y, Z,W tangent to M , where τ denotes the scalar curvature.By (8), the curvature of a conformally flat manifold is determined by its Ricci tensor.

In the case of an Egorov space (Rn, gf ), we have τ = 0 and by (3) and (5) iteasily follows that (8) holds for all coordinate vector fields. Therefore, the Weyltensor of (Rn, gf ) vanishes, that is, we proved the following

Theorem 2. [1] All Egorov spaces (Rn, gf ), n ≥ 3, are conformally flat.

On the other hand, the well known characterization of locally symmetric spacesstates that this is equivalent to requiring that ∇R = 0. Since each Egorov space isconformally flat, ∇R = 0 is equivalent to ∇ = 0. So, we obtained the following

Theorem 3. [1] Let (Rn, gf ) be an Egorov space. Then, the following conditionsare equivalent:

(Rn, gf ) is locally symmetric,

(Rn, gf ) is Ricci-parallel,

the function f is a solution of

(f ′)2 − 2ff ′′ = kf2 with k ∈ R. (9)

Homogeneity of Egorov spaces

A pseudo-Riemannian manifold (M, g), admitting a large group of isometries,should have a good chance to be homogeneous. In this context, Egorov spaces al-ready proved to be an exception, since Theorem 3 shows that they are symmetriconly under a very restrictive condition for the defining function f . It is then naturalto ask the following

QUESTION: are Egorov spaces (Rn, gf ) homogeneous?

62 SII On the geometry of Egorov spaces

As we shall see, the answer is negative for almost any defining function f . To provethis fact, we shall make use of the notion of homogeneous structure.

Homogeneous pseudo-Riemannian structures were introduced by Gadea and Ou-bina in [3], in order to obtain a characterization of reductive homogeneous pseudo-Riemannian manifolds.

Definition 4. [3] A homogeneous pseudo-Riemannian structure on a pseudo-Riem-annian manifold (M, g) is a tensor field T of type (1, 2) on M , such that the con-nection ∇ = ∇− T satisfies ∇g = 0, ∇R = 0 and ∇T = 0.

The geometric meaning of the existence of a homogeneous pseudo-Riemannianstructure is explained by the following

Theorem 5. [3] A connected, simply connected and complete pseudo-Riemannianmanifold (M, g) admits a pseudo-Riemannian structure if and only if it is a reductivehomogeneous pseudo-Riemannian manifold.

We have the following result:

Theorem 6. [1] Necessary condition for an Egorov space (Rn, gf ) to be locallyisometric to a reductive homogeneous space, is that its defining function satisfiesone of the following conditions:

either f is a solution of (9) (symmetric case), or

f is a solution of

(f ′)2 − 2ff ′′ =cn

(xn + d)2f2, (10)

for some real constants cn 6= 0 and d.

We obtained the following complete characterization:

Theorem 7. [1] An Egorov space (Rn, gf ) is locally isometric to a reductive ho-mogeneous space if and only if the defining function f is a solution of either (9)(locally symmetric case), or (10) (non locally symmetric case).

Bibliography

[1] W. Batat, G. Calvaruso, B. De Leo, Curvature properties of Lorentzian mani-folds with large isometry group, Math. Phys. Anal. Geom. 12 (2009), 201–217.

[2] M. Brozos-Vazquez, G. Calvaruso, E. Garcıa-Rıo, S. Gavino-Fernandez, Three-dimensional Lorentzian homogeneous Ricci solitons, Israel J. Math., to appear.

[3] P.M. Gadea, J.A. Oubina,Homogeneous pseudo-Riemannian structrues and ho-mogeneous almost para-Hermitian structures, Houston J. Math. (3) 18 (1992),449–465.

[4] V. Patrangenaru, Lorentz manifolds with the three largest degrees of symmetry,Geom. Dedicata 102 (2003), 25–33.


Hipersuperficies isoparametricas nas esferas

Miguel Domınguez VazquezDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

28 de abril de 2010

Presentamos aquı unha breve introducion a unha area da Xeometrıa Diferencialna que traballaron matematicos ilustres como Tullio Levi-Civita, Beniamino Segree Elie Cartan e que, hoxe en dıa, segue presentando problemas abertos de grandeinterese polas suas multiples conexions con outras ramas da Matematica, como aXeometrıa e a Topoloxıa Alxebraicas e as EDPs. Falaremos das chamadas hipersu-perficies isoparametricas, en especial no espazo euclideano e nas esferas, expondo aslinas fundamentais da evolucion historica deste problema e explicando alguns con-ceptos e resultados relacionados importantes. Para unha introducion mais completaa este tema e as suas xeneralizacions, podese consultar [5], onde tamen se podeencontrar unha extensa bibliografıa relacionada.

Un problema de Optica

Consideremos unha onda φ(x, y, z, t) en R3. Verifıcase enton a ecuacion de on-

das ∆φ = ∂2φ∂t2

, onde ∆ denota o Laplaciano respecto das coordenadas espaciaisx, y, z. Para cada instante t0 fixo podemos considerar o conxunto de puntos de R

3

que tenen, nese momento, unha mesma fase c = c(t0) (i.e., o mesmo estado devibracion). A cada conxunto destes chamaselle fronte de ondas. Pensemos, pois,no conxunto (x, y, z) ∈ R

3 : φ(x, y, z, t0) = c(t0). Para estes puntos, supondoque a distribucion en frontes de onda e independente do tempo, podemos escri-

bir ∆φ(x, y, z, t0) = ∂2φ∂t2

(x, y, z, t0) = c′′(t0), co cal a funcion ∆f = ∆φ(·, ·, ·, t0),definida en R

3, e constante nos conxuntos de nivel de f = φ(·, ·, ·, t0).Por outra parte, unha lei clasica en Optica e o principio de Huygens, que di

que cada punto dunha fronte de ondas convertese en foco emisor dunha nova onda,e a suma de todas esas novas ondas da lugar a outra fronte de ondas. Como, enR3, se un punto e foco emisor dunha onda, as frontes de onda xeradas son esferas

centradas nese punto, o principio de Huygens traducese en que as frontes de ondason superficies equidistantes entre si. Dado que o gradiente dunha funcion real indicaa direccion na que crece mais tal funcion e o seu modulo indica con que magnitudese da ese crecemento, a condicion de que os conxuntos de nivel de f = φ(·, ·, ·, t0)sexan equidistantes traducese en que |∇f | e constante nos conxuntos de nivel de f .

Palabras Clave: Subvariedades, hipersuperficies isoparametricas, curvaturas principais

63

64 SII Hipersuperficies isoparametricas nas esferas

Ası pois, para cada instante fixado, as frontes de onda que estamos consideran-do venen dadas por conxuntos de nivel dunha funcion f tal que ∆f e |∇f | sonconstantes neses conxuntos de nivel.

Hipersuperficies isoparametricas

En xeral, nunha variedade de Riemann arbitraria M (podemos, para fixar ideas,pensar nun R

n ou nunha esfera Sn), unha funcion f : M → R tal que ∆f e |∇f |son constantes nos conxuntos de nivel de f chamase funcion isoparametrica. Osconxuntos de nivel dunha funcion isoparametrica que tenan codimension 1 (i.e. quesexan hipersuperficies) denomınanse hipersuperficies isoparametricas.

Aında que o estudo e motivacion destes conceptos probablemente se remonteincluso a datas anteriores, os primeiros documentos que tratan este tema situanseentre os anos 1918 e 1924. Nun deles, Somigliana deducıa que unha superficie isopa-rametrica en R

3 ou e un plano, ou unha esfera ou un cilindro. Anos mais tarde, entre1937 e 1940, este tema retomano, por unha parte, Levi-Civita, quen volve a probaro resultado de Somigliana, e B. Segre, quen o xeneraliza a R

n, e, por outra parte,E. Cartan quen, como veremos, lle da un impulso moi importante a esta teorıa.

Para comprender os resultados de Cartan conven explicar primeiro uns cantosconceptos, que son xeneralizacion dos definidos na teorıa de superficies en R

3. Pa-ra recordar a teorıa de superficies en R

3 podese consultar [3], mentres que paraprofundizar nas suas xeneralizacions podese ver [1].

SexaM unha hipersuperficie en Rn, p un punto deM e v un vector tanxente aM

en p. Pomos enton v ∈ TpM . Denotemos por ξ = (ξ1, ... , ξn) o campo unitario normala M (e unico salvo orientacion). Por Dvξ denotaremos o vector (Dvξ1, ... , Dvξn) ∈Rn, onde Dvξi denota a derivada direccional da funcion (coordenada) ξi na direccion

de v. Como ξ e unitario comprobase facilmente que 〈Dvξ, ξ〉 = 0 (onde 〈·, ·〉 denotao produto escalar usual de R

n). E dicir, Dvξ e un vector tanxente a M (en p).Podemos enton definir o chamado operador de configuracion (tamen operador deforma ou de Weingarten), que e o seguinte endomorfismo do espazo vectorial TpM :

Sp : v ∈ TpM −→ Spv = −Dvξ ∈ TpM

Escollendo unha base de TpM , podemos identificar Sp cunha matriz. Podese probarque esta matriz e sempre simetrica, polo cal e diagonalizable nunha base ortonormalde TpM . Os autovalores de Sp chamaselles curvaturas principais (da hipersuperficie

M no punto p). A media das curvaturas principais chamaselle curvatura media.Pois ben, un dos primeiros resultados de Cartan sobre o tema que nos ocupa di

que, en calquera variedade de Riemann, unha hipersuperficieM e isoparametrica se,e so se, ela e as suas hipersuperficies equidistantes tenen curvatura media constante(e dicir, independente do punto p ∈M). No caso dos espazos de curvatura constante(os espazos euclideanos Rn, as esferas Sn e os espazos hiperbolicos RHn) tense unhacaracterizacion a maiores: M e isoparametrica se, e so se, ten curvaturas principaisconstantes (e dicir, independentes do punto p ∈ M). Para estes espazos, Cartan

Miguel Domınguez Vazquez SII 65

probou unha formula que resulta util para deducir informacion sobre as curvaturasprincipais constantes dunha hipersuperficie isoparametrica M de R

n, Sn ou RHn.Se as curvaturas principais constantes deM son λ1, ... , λn−1 e a curvatura do espazoambiente e c (recordemos, c < 0 para RHn, c = 0 para R

n e c > 0 para Sn) entonverifıcase a formula fundamental de Cartan:

n−1∑

i=1, λi 6=λ

c+ λλiλ− λi

= 0

para calquera curvatura principal λ ∈ λ1, ... , λn−1. Para c ≤ 0 e doado deducirdesta formula (razoando con desigualdades) que g ≤ 2, onde g e o numero decurvaturas principais distintas. Por exemplo, para o caso de R

n, se hai unha soacurvatura principal λ, a hipersuperficie e unha esfera de raio 1/λ, se λ 6= 0, ouun hiperplano, se λ = 0; se g = 2, da formula fundamental seguese que unha dascurvaturas e cero e, enton, neste caso a hipersuperficie e un cilindro Sk×R

n−k−1. Poroutra parte, grazas a formula anterior, Cartan puido clasificar as hipersuperficiesisoparametricas no espazo hiperbolico.

O problema nas esferas

Para o caso das esferas, a formula fundamental non aporta toda a informacionque a un lle gustarıa. De feito, Cartan deuse conta de que o problema nas esferas eramais complicado e rico que en R

n ou en RHn. Primeiro clasificou as hipersuperficiesisoparametricas nas esferas Sn con unha ou duas curvaturas principais: no primeirocaso obtenense as interseccions de hiperplanos de R

n+1 con Sn, e no segundo casoobtenense as hipersuperficies do tipo Sn−k−1(r)×Sk(s), sendo r2+ s2 o cadrado doraio de Sn. Despois abordou o problema das 3 curvaturas principais, demostrandoque as hipersuperficies nas esferas con 3 curvaturas principais constantes son tubosen torno a certos mergullos de planos proxectivos sobre as alxebras normadas R,C,H(os cuaternios) e O (os octonios). Un tubo en torno a unha subvariedade non emais que o lugar xeometrico dos puntos do espazo ambiente que equidistan desasubvariedade.

Cartan atacou tamen a cuestion das 4 curvaturas principais, atopando dousexemplos, pero non foi capaz de lograr unha clasificacion neste caso. O seu estudodas hipersuperficies isoparametricas nas esferas conclue coas tres preguntas seguintes

1. Existen hipersuperficies isoparametricas para calquera numero g de curvaturasprincipais?

2. Existen hipersuperficies isoparametricas con g ≥ 4 e distintas multiplicidadesdas curvaturas principais?

3. Son todas as hipersuperficies isoparametricas homoxeneas?

Dise que unha subvariedade de Sn e homoxenea se e a orbita dun grupo de isometrıasde Sn (recordese que, enton, este grupo e subgrupo de SO(n + 1)). Hai que notarque toda hipersuperficie homoxenea ten curvaturas principais constantes, pois os

66 SII Hipersuperficies isoparametricas nas esferas

operadores de configuracion dos distintos puntos son conxugados entre si, logo tenenos mesmos autovalores (curvaturas principais).

Durante varias decadas, a cuestion das hipersuperficies isoparametricas perma-neceu abandonada. Nos anos setenta, a raız dun artıculo de Hsiang e Lawson, Takagie Takahashi clasificaron as hipersuperficies homoxeneas nas esferas, probaron quetenen 1, 2, 3, 4 ou 6 curvaturas principais e contestaron afirmativamente a segun-da pregunta aberta de Cartan. Nos anos seguintes, Munzner retomou o problemadas hipersuperficies isoparametricas, avanzando considerablemente no seu estudo.Entre outras cousas, demostrou, usando metodos de cohomoloxıa, que o numero decurvaturas principais g dunha hipersuperficie isoparametrica nunha esfera so podeser 1, 2, 3, 4 ou 6, e que as suas multiplicidades verifican mi ≡ mi+2 (i mod g).Probou tamen que a clasificacion das hipersuperficies con g curvaturas principaisreducese a atopar polinomios f en R

n+1 homoxeneos e de grao g tales que:

|∇f(x)|2 = g2 |x|2g−2 , ∆f(x) =m2 −m1

2g2 |x|g−2

As imaxes recıprocas destes polinomios, intersecadas con Sn, dannos todas as posi-bles hipersuperficies isoparametricas en Sn. Por tanto, o problema reducese a unhacuestion puramente alxebraica, aında que, en principio, moi complicada. Noteseque, considerando os coeficientes de f como incognitas, a primeira ecuacion danosun conxunto de hipercuadricas e, a segunda, un conxunto de hiperplanos; tratarıa-se, pois, de atopar a subvariedade interseccion. Anos mais tarde, Ferus, Karcher eMunzner atoparon unha familia de hipersuperficies isoparametricas non homoxeneasnas esferas, respondendo negativamente a terceira pregunta de Cartan.

Xa nos ultimos anos, Cecil, Chi e Jensen [2] e, independentemente, Immervoll [4],clasificaron, salvo para unhas cantas excepcions, as hipersuperficies isoparametricasnas esferas con g = 4, probando que caen dentro dos exemplos homoxeneos e nonhomoxeneos conecidos. Polo tanto, o caso g = 4, o igual que o caso g = 6, segueaında aberto hoxe en dıa.

Bibliografıa

[1] J. Berndt, S. Console, C. Olmos, Submanifolds and holonomy, Chapman &Hall/CRC, 2003.

[2] T. Cecil, Q.-S. Chi, G. Jensen, Isoparametric hypersurfaces with four principalcurvatures, Ann. of Math. (2) 166 (2007), 1–76.

[3] M. P. do Carmo; Geometrıa Diferencial de curvas y superficies, Alianza D. L.,1995.

[4] S. Immervoll, On the classification of isoparametric hypersurfaces with fourprincipal curvatures in spheres, Ann. of Math. (2) 168 (2008), 1011–1024.

[5] G. Thorbergsson, A survey on isoparametric hypersurfaces and their generali-zations, Handbook of Differential Geometry, Vol. I (2000), 963–995.


Estudio do aproveitamento enerxetico de biomasa

Iban Constenla RozadosDepartamento de Matematica Aplicada

12 de maio de 2010

Na presentacion falase das distintas fontes de enerxıa primaria que existen enGalicia, centrandose na biomasa dunha maneira mais particular. Entre as distintasformas de aproveitamento enerxetico existentes desta fonte enerxetica, descrıbensea gasificacion e a co-combustion con carbon.

A gasificacion e un proceso termoquımico no que un sustrato carbonoso e trans-formado nun gas combustıbel a traves dunha serie de reaccions que transcorren aunha determinada temperatura (800-1000 oC) e na presenza dun axente gasificante(aire, osıxeno, etc.).

Neste tipo de procesos termoquımicos, falase de relacion equivalente (RE), untermo que relaciona o osıxeno empregado co teoricamente necesario para obter achamada combustion completa do sustrato. Dacordo con este criterio, a clasificaciondos procesos vai dende a pirolisis (RE < 0.1) ata a combustion en exceso (RE > 1),pasando pola gasificacion (0.2 < RE < 0.4).

O esquema xeral de deseno comeza coa eleccion do tipo de gasificador e dos equi-pos auxiliares. Nesta etapa tenen moita influencia tanto as caracterısticas da propiabiomasa como as do axente gasificante, ası como o uso que se lle vaia a dar o gasproducto. Na etapa do deseno de equipos, o fundamental son os datos disponibles,que van determinar a eleccion dun modelo cinetico ou termodinamico. Finalmente,a construccion do gasificador a escala piloto mais a realizacion de tests e experimen-tos, permitiran obter os modelos de simulacion que xunto coa optimizacion permitena construccion do gasificador industrial a gran escala.

O modelo termodinamico serve para resolver os balances de materia e enerxıana unidade de gasificacion. As condicions de operacion exollidas (900 oC e 1 atmde presion) permiten suponer que as reaccions principais do modelo alcanzan oequilibrio. Nesta situacion, podese afirmar que a enerxıa libre de Gibbs e mınima.

Considerando un sistema pechado que conten un numero arbitrario de especiese inclue un numero arbitrario de fases onde son uniformes a temperatura e a pre-sion (aında que non necesariamente constantes), tal sistema atopase en principionun estado de non equilibrio con respecto a transferencia de masa entre as fases ea reaccion quımica. Os cambios suscitados no sistema son necesariamente irrever-sibles, polo que este irase achegando a un estado moi proximo o equilibrio segunvaian ocorrendo ditos cambios. Suponse que o sistema situase nos arredores de tal

Palabras Clave: Biomasa, carbon, gasificador, renovabel, multiplicadores de Lagrange

67

68 SII Aproveitamento de biomasa

xeito que ambos atopanse sempre en equilibrio termico e mecanico (isto conseguese,por exemplo, co isolamento da unidade). Por conseguinte, o intercambio de calor ede traballo de expansion realızase de xeito reversıbel. Ante tales circunstancias, ocambio de entropıa dos arredores obtense pola expresion (1).

dSarredores =dQarredoresTarredores

=−dQT

(1)

Tendo en conta que a transferencia de calor dQ ten signo oposto o de dQarredorese a temperatura do sistema T substitue a Tarredores (porque un e outro deben terigual valor pra transferencia de calor reversıbel), a 2a lei da termodinamica requireque:

dSt + dSarredores ≥ 0

onde St e a entropıa total do sistema. Ao combinar estas expresions, reordeando eaplicando a 1a lei da termodinamica, obtense a expresion (2).

dQ ≤ TdSt

dU t = dQ+ dW = dQ− PdV t ⇒ dQ = dU t + PdV t

dU t + PdV t ≤ TdSt

dU t + PdV t− TdSt ≤ 0 (2)

Posto que a expresion (2) implica soamente propiedades, debese satisfacer pracalquer sistema pechado de temperatura e presion uniformes. Como un sistemaisolado esta necesariamente restrinxido a enerxıa interna e volumen constantes, econsecuencia directa da 2a ley da termodinamica que:

(dSt)U t,V t ≥ 0

dU tT,P + d(PV t

)T,P

− d(TSt

)T,P

≤ 0

d(U t + PV t − TSt

)T,P

≤ 0

E aplicando a definicion de enerxıa libre de Gibbs, obtense a expresion (3), quee a que indica que todolos procesos irreversıbeles que ocorren a T e P constantesavanzan en tal direccion coa fin de causar a merma da enerxıa de Gibbs do sistema.

Gt = Ht − TSt = U t + PV t − TSt

(dGt

)T,P

≤ 0 (3)

Ası pois, defınese o estado de equilibrio dun sistema pechado como aquel procal a enerxıa total de Gibbs e mınima con respecto a todolos posıbeles cambiosas temperaturas e presions asignadas. Este criterio de equilibrio proporciona unmetodo xeral pra determinacion de estados de equilibrio, o conecido como metododos multiplicadores indeterminados de Lagrange, o cal consta de catro etapas:

Iban Constenla Rozados SII 69

1. A primeira etapa consiste en formular as ecuacions restrictivas dos balancesde materia. Aında que as especies moleculares non se conservan nun sistemapechado, o numero total de atomos de cada elemento mantense constante. Sexao subındice k o indicador dun atomo en particular, de tal xeito que Ak e onumero de masas atomicas do k -esimo elemento do sistema, o cal determınasepola sua constitucion inicial. Ademais, aik e o numero de atomos do k -esimoelemento presente en cada molecula da especie quımica i. Nesta situacion, obalance de materia de cada elemento k podese escribir como:

∑

k

niaik = Ak (k = 1, 2, ..., w) (4)

onde w e o numero total de elementos do sistema

2. Agora incluımos os multiplicadores de Lagrange, λk, un por cadanseu ele-mento, multiplicando cada balance do elemento polo seu λk. Ditas ecuacionssumanse sobor k, obtendose:

∑

k

λk

(∑

i

niaik −Ak

)= 0

3. Definimos a funcion F como o resultado de sumares a expresion anterior a Gt

(dado que o termino a engadir e nulo). Nembargantes, as derivadas parciaisde ambas con respecto a ni son diferentes, xa que a funcion F incorpora asrestriccions dos balances de materia

F = Gt +∑

k

λk

(∑

i

niaik −Ak

)

4. O valor mınimo de F (e Gt) obtense cando todalas derivadas parciais sonnulas. Polo tanto:

( ∂F∂ni

)T,P,nj

=(∂Gt∂ni

)T,P,nj

+∑

k

λkaik = 0

Posto que o primeiro termo da dereita e a definicion do potencial quımico (tenpor expresion µi = Goi + RT ln(fi/P

o)), e facendo certas suposicions (comoque os gases tenen comportamento ideal ou que a presion de operacion e aatmosferica), obtense:

∆Gofi +RT ln(yiφiP/P

o)+∑

k

λkaik = 0 (i = 1, 2, ..., N) (5)

onde houbo que aplicares o concepto de fugacidade, f , a cal ten por expresionfi = yiφiP .

70 SII Aproveitamento de biomasa

A expresion (5) representa N ecuacions de equilibrio, unha para cada especiequımica, namentres que a expresion (4) representa w ecuacions de balance de mate-ria, un por cada elemento (en total N+w ecuacions). As incognitas destas ecuacionsson os ni (yi = ni/

∑i ni), dos cales hai N , e os λk, dos cales hai w (un total de

N +w incognitas). Deste modo, o numero de ecuacions e suficiente para determinartodalas incognitas.

Este procedemento de calculo non precisa conecer a priori as reaccions quımicasque transcorren dentro do reactor para determinar a composicion do gas producto.De todolos xeitos, si require facer unha suposicion sobor das especies presentes nasaıda, o cal xa determina as reaccions que ocorren dun modo indirecto. A compo-sicion da biomasa empregada na experimentacion levada a cabo caracterizouse porunha formula xeral (CH1,4O0,6) e as especies presentes no gas producto foron CH4,H2O, CO, CO2 e H2.

Por ultimo, falase da co-combustion de biomasa con carbon, o unico xeito viabelhoxe en dıa para xerar, empregando biomasa, cantidades de enerxıa competitivasfronte a combustion de carbon. A discusion centrase no principal problema paracaracterizar estos procesos: as distintas caracterısticas de ambolos dous combustiblesno que a propiedades fısico-quımicas se refire. Este feito ten unha influencia decisivaa hora de estudiar, desenar e resolver os modelos matematicos, fısicos e quımicoscos que se procede a simular os procesos de co-combustion.

Bibliografıa

[1] J.M. Smith, H.C. van Ness, M.M. Abbott, Introduccion a la Termodinamica enIngenierıa Quımica, McGraw-Hill, 2007.

[2] INEGA, Instituto Enerxetico de Galicia, Balance enerxetico de Galicia, Xuntade Galicia, 2008.


Percolacion relativa

Marıa Perez Fernandez de CordobaDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

26 de Mayo de 2010

La palabra percolacion se refiere a la filtracion de fluidos en terrenos porosos. Lateorıa de la percolacion surge con el objeto de modelar este y muchos otros procesosfısicos aleatorios como la propagacion de una enfermedad, la conectividad de unared informatica o la expansion de un incendio.

Para modelar estos procesos consideramos un grafo infinito G y dado un parame-tro p ∈ [0, 1], borramos cada vertice con probabilidad 1−p de manera independienteunos de otros. Este proceso se llama percolacion de Bernoulli de parametro p ([1]).Llamamos cluster a cada componente conexa del grafo aleatorio formado por todoslos vertices que han permanecido tras la percolacion. El objetivo principal de lateorıa de la percolacion es el estudio del numero de clusteres infinitos.

p=0 p=1/4 p=1/2

p=3/4 p=1

Percolacion de Bernoulli sobre Z2 con distintos parametros.

A continuacion recordaremos la definicion de grafo de Cayley de un grupo yalgunos resultados clasicos de la percolacion de Bernoulli en este contexto. Final-mente, definiremos un nuevo tipo de percolacion, llamada percolacion relativa, queaplicaremos a acciones de grupos y trataremos de obtener resultados analogos a losobtenidos para grupos.

Palabras Clave: Percolacion, grafos de Cayley, acciones de grupos

71

72 SII Percolacion relativa

1. Grafos de Cayley. Sea G un grupo finitamente generado y S = a1, ..., an =S−1 un sistema finito de generadores de G. Se define el grafo de Cayley, G(G,S),de G como el grafo cuyos vertices son los elementos del grupo G y cuyas aristas sonlos pares (g, aig) | g ∈ G, ai ∈ S.Ejemplo 1. Grafo de Cayley de G = Z con S = 〈a〉 = 〈±1〉.

a

-a

Ejemplo 2.Grafo de Cayley deG = Z2 con S = 〈a, b | ab = ba〉 = 〈(±1, 0), (0,±1)〉.

ab

-b-a

Ejemplo 3. Grafo de Cayley de G = F2 = Z ∗ Z con S = 〈a, b〉.

ab

-a-b

2. Percolacion de Bernoulli en Grafos de Cayley. Dado un grafo de Cayleyinfinito G, se define el espacio de coloreados Ω = ω : V → 0, 1 donde V es elconjunto de vertices de G. Cada coloreado ω ∈ Ω asigna a cada vertice el color 0 o 1.Luego podemos identificar ω con el subgrafo de G que resulta de borrar los verticescoloreados de 0 y mantener los que tienen color 1. Llamaremos clusteres de ω a lascomponentes conexas formadas por los vertices coloreados por 1.

Dado p ∈ [0, 1], se define el p-proceso de percolacion de Bernoulli sobre G como elespacio de probabilidad Ω dotado de la medida de probabilidad Pp que asigna a cadavertice la probabilidad p de permanecer o la probabilidad 1−p de desaparecer ([1]).El objetivo principal es estudiar la probabilidad de que exista un cluster infinito.

Marıa Perez Fernandez de Cordoba SII 73

Gracias a la homogeneidad de los grafos de Cayley se obtienen los siguientesresultados ([1, 2]):

Teorema 1. Dado p ∈ [0, 1], el numero de clusteres infinitos Np(ω) es constantepara Pp-casi todo ω ∈ Ω. Ademas Np(ω) ∈ 0, 1,∞.

Es decir, dada la probabilidad de permanencia p, todos los coloreados (exceptoun conjunto de medida nula) tienen el mismo numero de clusteres infinitos (0, 1 o unacantidad no numerable). Como es natural, a medida que aumenta la probabilidadp de permanencia, aumentara la probabilidad de que exista un cluster infinito. Dehecho se tiene:

Teorema 2. Existen dos valores crıticos pc(G), pu(G) ∈ [0, 1] tales que

0 1

p

pc

pu

(G)(G)

Np= 0 Np 1 Np= 1=

Nos interesa conocer la influencia del espacio de finales del grafo G sobre elnumero de clusteres infinitos. Presentamos a continuacion resultados clasicos de lateorıa de la percolacion en grafos de Cayley relacionados con el numero de finales:

• Si G es un arbol (no tiene ciclos) entonces pu(G) = 1, es decir, para cualquierp ∈ [0, 1) o bien los clusteres son finitos o bien existe una cantidad no numerable declusteres infinitos.

• Si G tiene 2 finales entonces pc(G) = pu(G) = 1, es decir, para cualquier p ∈ [0, 1)todos los clusteres son finitos.

• Si G tiene infinitos finales entonces pu(G) = 1, es decir, para cualquier p ∈ [0, 1) obien los clusteres son finitos o bien existe una cantidad no numerable de clusteresinfinitos.

3. Percolacion relativa en acciones de grupos. Consideramos la accion de ungrupo finitamente generado (G,S) sobre un espacio de probabilidad (X,P ). Paracada x ∈ X, definimos su orbita G.x = gx | g ∈ G. Podemos definir sobre laorbita de x una estructura de grafo G.x cuyos vertices son los puntos de la orbitay cuyas aristas son los pares (g.x, ag.x) | g ∈ G, a ∈ S. Cuando la accion es libre(excepto en un conjunto de medida nula) los grafos sobre las orbitas G.x coincidencon el grafo de Cayley del grupo (G,S).

Ejemplo 4. Accion de Z sobre S1 por rotaciones. Si la rotacion es de angulo irra-

cional, las orbitas son isomorfas al grafo de Cayley de Z visto en el ejemplo 1.

Ejemplo 5. Accion natural de Z2 sobre R

2. Cada orbita es isomorfa al grafo deCayley de Z

2 visto en el ejemplo 2.

Ejemplo 6. Accion de un grupo G = 〈θ1, θ2〉 ⊂ PSL(2,R) sobre la esfera S2. Si

θ1, θ2 son independientes entonces casi toda orbita es isomorfa al grafo de Cayleyde F

2 = Z ∗ Z visto en el ejemplo 3.

74 SII Percolacion relativa

Vamos a definir un nuevo tipo de percolacion sobre acciones de grupos. Sea(G,S) un grupo de tipo finito que actua sobre un espacio de probabilidad (X,P ) demanera esencialmente libre. Luego P -casi toda orbita es isomorfa al grafo de CayleyG(G,S). Consideramos un conjunto medible A ⊂ X de medida P (A) = p.

La percolacion relativa a A sobre la accion consiste en colorear con 1 los elemen-tos de A y con 0 los que no pertenecen a A, esto es, eliminamos todos los puntos deX −A y nos quedamos con el grafo G.x∩A. Nuestro objetivo es estudiar el numerode clusteres infinitos que hay en cada orbita.

Cuando el boreliano es de medida nula (P (A) = 0) todos los clusteres de P -casitoda orbita son finitos pues la interseccion de A con casi toda orbita es vacıa. Siel boreliano es de medida total (P (A) = 1), existe un unico cluster infinito en casitoda orbita que coincide con la misma. Pero veamos que sucede cuando la medidaP (A) es positiva menor que 1:

Teorema 3. Dado un boreliano A ⊂ X tal que 0 < P (A) = p < 1, el numero declusteres infinitos Np(x) es constante en P -casi toda orbita G.x con x ∈ X.

Luego casi todas las orbitas tienen el mismo numero de clusteres infinitos. Bus-cando la analogıa total con la percolacion clasica sobre grupos, nos preguntamossi Np ∈ 0, 1,∞. Hasta el momento es una conjetura, no obstante, presentamosa continuacion algunos resultados relacionados con los espacios de finales de lasorbitas que muestran cierta analogıa con los enunciados para grafos de Cayley:

Teorema 4. Si P -casi toda orbita es un arbol, entonces Np ∈ 0, 1,∞, ademas:

• si casi toda orbita tiene 1 o 2 finales, los clusteres son finitos en casi toda orbita,es decir, Np = 0.

• si casi toda orbita tiene infinitos finales entonces o bien los clusteres son todosfinitos o bien hay una cantidad no numerable de clusteres infinitos en casi todaorbita, es decir, Np ∈ 0,∞.

Teorema 5. Si P -casi toda orbita tiene 2 finales entonces existe una constantek > 0 tal que si P (A) = p < k entonces los clusteres son todos finitos en casi todaorbita, es decir, Np = 0.

Teorema 6. Si P -casi toda orbita tiene infinitos finales entonces existe una cons-tante k > 0 tal que si P (A) = p < k entonces los clusteres son o bien todos finitoso bien hay una cantidad no numerable de clusteres infinitos en casi toda orbita, esdecir, Np ∈ 0,∞.

Bibliografıa

[1] G. Grimmet; Percolation, Springer, 1989.

[2] R. Lyons y Y. Peres; Probability on trees and networks. En preparacion.


Geometrıa de Poisson, reduccion de Lie-Poisson yEuler-Poincare

Miguel Vaquero VallinaDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

3 de Junio de 2010

Introduccion

La Geometrıa Diferencial se ha mostrado en estrecha relacion con la MecanicaClasica. Muchas de las estructuras subyacentes en la Mecanica Clasica son conocidashoy por cualquier geometra; quiza el caso mas conocido sea el de la Geometrıa Sim-plectica. Dicha estructura aparece de modo natural en el espacio de fases de muchossistemas fısicos. Las generalizaciones naturales de la Geometrıa Simplectica son laGeometrıa Pre-Simplectica y la Geometrıa de Poisson. Ambas anaden degeneraciona la anterior estructura y juegan entre ellas un papel dual.

Aquı se propone una introduccion breve de la Geometrıa de Poisson y se ilustrala reduccion de Lie-Poisson y de Euler-Poincare. La Teorıa de Reduccion pretendeaprovechar las simetrıas conocidas para simplificar el problema de la dinamica quese explicara a continuacion.

Geometrıa de Poisson

Definicion 1. Sea P una variedad diferenciable y denotemos por F(P ) el conjuntode funciones reales definidas sobre la variedad P .

Un corchete de Poisson en P es una aplicacion bilineal y antisimetrica

·, · : F(P )×F(P ) −→ F(P )(f, g) 7−→ f, g

satisfaciendo la identidad de Jacobi, es decir

f, g , h+ h, f , g+ g, h , f = 0,

y cumpliendo la identidad de Leibniz en cada factor:

fk, h = f, hk + k, hf, h, fk = h, fk + h, kf

para todo f, g, h ∈ F(P ).

Palabras Clave: Geometrıa de Poisson, reduccion, Lie-Poisson, Euler-Poincare

75

76 SII Reduccion de Lie-Poisson y Euler-Poincare

Los ejemplos mas importantes de variedades de Poisson son las variedades sim-plecticas y el espacio dual de un algebra de Lie.

El hecho de que el corchete de Poisson de una variedad de Poisson P verifiquela regla de Leibniz en cada una de las variables, hace que para todo H ∈ F(P ),H, · y ·, H sean derivaciones, y por lo tanto definen el campo de vectores XH

en P mediante la relacion XH(F ) = F,H, para todo F ∈ F(P ).

Definicion 2. Al campo de vectores XH se le llama campo de vectores hamiltonianoasociado a la funcion H.

El problema dinamico enunciado en la introduccion consiste en la integraciondel campo XH , dada una funcion H sobre la variedad. Esta funcion H recibe elnombre de hamiltoniano.

Los morfismos en la categorıa de las variedades de Poisson vienen dadas por lasllamadas aplicaciones de Poisson.

Teorema 3. Sean (P1, ·, ·1) y (P2, ·, ·2) dos variedades de Poisson y f : P1 → P2

una aplicacion diferenciable. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f∗φ1, f∗φ21 = φ1 f, φ2 f1 = φ1, φ22, para todo φ1, φ2 ∈ F(P2)

2. df(p)(XHf (p)) = XH(f(p)), para toda funcion H ∈ F(P2).

Definicion 4. Diremos que una aplicacion en las condiciones del teorema anteriores una aplicacion de Poisson si verfica cualquiera de las propiedades anteriores.

Reduccion de Lie-Poisson

En un grupo de Lie G tenemos la accion natural por la izquierda:

ΦL : G×G −→ G(g, h) 7−→ ΦL(g, h) = gh

que levanta a una accion por la izquierda en el fibrado cotangente T ∗G de la siguienteforma:

ΦT∗

L : G× T ∗G −→ T ∗G(g, αh) 7−→ Φ(g, αh) = αh dLg−1(gh),

donde Lg es la multiplicacion por la izquierda por g en el grupo de Lie.Consideremos la aplicacion.

JR : T ∗G −→ g∗

αg 7−→ JR(αg) : g −→ R

ξ −→ JR(αg)(ξ) = αg(ξL(q))

donde ξL es el unico campo de vectores en G invariante a la izquierda que en elneutro vale ξ. Esta funcion es lo que se llama una aplicacion momento; para masinfomacion ver la bibliografıa.

Uno de los teoremas fundamentales es el siguiente.

Miguel Vaquero Vallina SII 77

Teorema 5 (Teorema de reduccion de Lie-Poisson). Si consideramos el corchete dePoisson ·, · en T ∗G dado por su estructura simplectica canonica, entonces existeun unico corchete ·, ·

g∗en g

∗ que verifica

f, gg∗

JR = f JR, g JR , para todo f, g ∈ F(g∗).

Dicho corchete coincide con el corchete de Lie-Poisson ·, ·− definido por

f, hg∗(µ) = f, h− (µ) = −µ

([δf

δµ,δh

δµ

]), para todo f, h ∈ F(g∗), µ ∈ g

∗.

Aclaremos la expresionδf

δµ. Dada f : g

∗ → R, haciendo las identificaciones

oportunas podemos pensar la diferencial de f como sigue

df(µ) : Tµg∗ ≡ g

∗ → Tf(µ)R ≡ R ⇒ df(µ) ∈ g∗∗,

por lo tanto, por dualidad existeδf

δµ∈ g tal que df(µ)(α) = α

(δf

δµ

), para todo

α ∈ g∗.

El interes de este teorema es el siguiente, dada H : T ∗G→ R, funcion invariantepor la izquierda, esta aplicacion induce una funcion Hg∗ : g∗ → R. Por el teoremaanterior tenemos una estructura de Poisson en T ∗G y otra en g

∗. Estas estructurasinduciran los campos de vectores asociados a H y Hg∗ , denotados por XH y XHg∗

.El hecho de que JR sea de Poisson, se traduce en que los anteriores campos estanJR-relacionados. Con ello, curvas integrales de XH proyectan en curvas integralesde XHg∗

. Lo interesante es el proceso contrario: a partir de curvas integrales delcampo reducido XHg∗

encontrar curvas integrales de XH . La relacion viene dadapor el teorema de reconstruccion.

Teorema 6 (Reconstruccion de la dinamica). Sea H : T ∗G → R un hamiltonianoinvariante por la izquierda. Entonces

1. Si α(t) es solucion de las ecuaciones de Hamilton para el hamiltoniano H o, loque es lo mismo, una curva integral del campo XH , entonces µ(t) = JR(α(t))es solucion de las ecuaciones de Lie-Poisson en g

∗:

dµ

dt(t) = XH|g∗ (µ(t))

o dicho de otra manera, es solucion del campo XH|g∗ .

2. Recıprocamente, si µ(t) es una curva del campo XH|g∗ y g(t) una curva en Gque es solucion de la siguiente ecuacion

dg

dt(t) = dLg(t)(e)

(δ(H|g∗)δµ(t)

)

entonces la curva α(t) definida por α(t) = ΦT∗

L (g(t), µ(t)) es curva integral delcampo XH o, lo que es lo mismo, es solucion de las ecuaciones de Hamilton.

78 SII Reduccion de Lie-Poisson y Euler-Poincare

Estos teoremas establecen relaciones entre curvas integrales deXH yXH|g∗ , en elcaso de que H sea invariante, es decir, que el grupo G sea un grupo de simetrıas. Elcampo XH|g∗ en un espacio reducido se supone mas facil de integrar y ello evidenciala utilidad de esta teorıa.

Comentar por ultimo que este enfoque corresponde a la version Hamiltoniana,dual de la Lagrangiana y que para esta ultima existe una teorıa de reduccion analogabasada en el calculo de variaciones. Dicha teorıa recibe el nombre de Reduccion deEuler-Poincare y una descripcion detallada se puede encontrar en la bibliografıa. Elteorema fundamental de esta ultima teorıa es el siguiente.

Consideremos la accion

ΦTL : G× TG −→ TG(g, vh) 7−→ ΦTL(g, vh) = dLg(h)(vh) .

Teorema 7 (Reduccion de Euler-Poincare). Sea G un grupo de Lie, y L : TG→ R

un lagrangiano invariante por la izquierda. Dada una curva g : [a, b] → G, conside-remos

ξ(t) := ΦTL

(g−1(t),

dg(t)

dt

)

que sera una curva contenida en g. Entonces son equivalentes

1. La curva g(t) verifica las ecuaciones de Euler-Lagrange.

2. La curva ξ(t) verifica las llamadas ecuaciones de Euler-Poincare:

d

dtdL|g(ξ(t)) = ad∗ξ(dL|g(ξ(t))) = dL|g(ξ(t)) [ξ(t), ·] .

Un ejemplo detallado de estos metodos se puede encontrar en [2], donde estemetodo se utiliza para integrar el solido rıgido libre, es decir, describir el movimientode giro de un cuerpo sobre el que no actuan fuerzas, sabiendo la inercia que lleva.

Bibliografıa

[1] R. Abraham, J. E. Marsden; Foundations of Mechanics, AMS Chelsea Publis-hing, 2008.

[2] J. E. Marsden, T. Ratiu; Introduction to Mechanics and Symmetry, Texts inApplied Mathematics, 1999.


Unha perspectiva da inferencia estatıstica tipo nucleo

Silvia Suarez CrespoDepartamento de Estatıstica e Investigacion Operativa

23 de xuno de 2010

Introducion

Un dos problemas clasicos no ambito da Estatıstica e a estimacion de curvas.Abordaremos esta problematica dende a perspectiva da estatıstica nonparametricautilizando os metodos de suavizacion nucleo. Ası, neste traballo realizarase o estudode ditas tecnicas para a estimacion da curva da densidade e da regresion, finalizandoo mesmo cunha extension do anterior ao caso dos procesos espaciais. En cada undos casos procederase a ilustracion das tecnicas utilizando un conxunto de datosreais do eido da ecoloxıa.

Conxunto de datos reais

Disponse de datos sobre a concentracion de Cadmio (Cd) e Cobalto (Co) enmusgo, medidas en partes por billon (ppb). O musgo ten sido utilizado nestes ulti-mos anos como ferramenta para o control bioloxico da calidade do ar, pois e capazde reter nos seus tecidos calquera elemento que este conten. Os datos foron obti-dos por mostraxe regular nunha grella de tamano 15× 15 kilometros, abarcando acomunidade de Galicia e zonas limıtrofes. Disponemos de duas recollidas, unha enmarzo e outra en setembro, do ano 2006.

Ao aplicarlles aos datos o contraste de Shapiro-Wilks, nos dous casos rexeitouse ahipotese nula de normalidade. Posto que na ultima parte traballaremos con procesosespaciais gaussianos, foi preciso aplicarlles unha transformacion de Box-Cox co finde obter normalidade.

Estimacion nucleo da funcion de densidade

O problema presentase da seguinte forma: Dada unha variable aleatoria (v.a.)X cunha funcion de densidade f(·) e unha m.a.s. X1, ... , Xn de X, obter unhaestimacion da funcion de densidade f(·) utilizando a mostra da que se dispon.

Dende o punto de vista da estatıstica nonparametrica, a mostra e a que deter-mina a estimacion da densidade subxacente sen necesidade de imponer condicions

Palabras Clave: estatıstica nonparametrica, suavizacion nucleo

79

80 SII Unha perspectiva da inferencia estatıstica tipo nucleo

iniciais sobre a mostra (estimacion parametrica). Dentro deste contexto centraremosa nosa atencion no metodo de suavizacion nucleo (kernel smoothing en ingles).

Definicion 1. O estimador nucleo fh(·) da funcion de densidade f(·) nun punto xven dado pola formula:

fh(x) =1

nh

n∑

i=1

K

(x−Xi

h

), (1)

onde K(·) e unha funcion de densidade unimodal e simetrica chamada nucleo eh > 0 e a denominada fiestra de suavizado. Definindo o nucleo rescalado Kh(u) =h−1K(u/h), unha formulacion equivalente a (1) e a seguinte:

fh(x) =1

n

n∑

i=1

Kh (x−Xi) . (2)

Como observamos, o estimador depende das cantidades K(·) e h. Pode verseque a eleccion do nucleo non e determinante na estimacion (nos utilizaremos un nu-cleo gaussiano). Outro tratamento merece nembargantes a fiestra de suavizado, poiseste parametro si e de crucial importancia na estimacion da densidade. Tomandoos datos da concentracion de Co no mes de marzo, representanse na Figura 1 tresposibles estimacions obtidas a partir de tres fiestras distintas. Na figura da esquerdaobservamos unha estimacion moi irregular que non amosa a forma xeral da funcionde densidade senon que atende ao conxunto de datos particular (estimacion infra-suavizada). Pola contra, a figura da dereita mostra unha curva moi sinxela que sequeda a medio camino no seu intento de estimar a moda (estimacion sobresuaviza-da). Finalmente, a figura do centro correspondese coa estimacion obtida utilizandoun dos metodos de seleccion que posteriormente veremos, e que proporciona unhaestimacion cando menos fiable neste caso.

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 1: Estimacions nucleo da densidade para as concentracions de Co en marzo,con ancho de fiestra 0.05, 0.19 e 1, respectivamente.

Dende o punto de vista teorico parece razoable a idea de obter a fiestra optimaminimizando algun criterio de erro. O criterio mais utilizado e

MISE(fh) = E(ISE(fh)) = E

∫(fh(x)− f(x))2 dx,

Silvia Suarez Crespo SII 81

aında que xeralmente se utiliza a expresion asintotica (mais sinxela). Tratando deminimizar esta expresion obtense unha fiestra optima non aplicable na practica, poisdepende da propia funcion f(·) a estimar. Sera preciso acudir a fiestras aproximadas,como a de validacion cruzada, que se obten minimizando a expresion

LSCV (h) =

∫f2h(x) dx− 2

n

n∑

i=1

fh,−i(Xi),

onde

fh,−i(x) =1

n− 1

∑

j 6=iKh(x−Xj),

e que foi a que se utilizou na estimacion central da Figura 1.

Estimacion nucleo da funcion de regresion

O problema da estimacion da funcion de regresion unidimensional e o seguinte:Dada unha mostra (X1, Y1), ... , (Xn, Yn) dunha v.a. bidimensional (X,Y ), se a va-riable Y depende da variable X tense que:

Y = m(X),

onde a funcion de regresion m(·) adoita formalizarse como:

m(x) = E(Y | X = x), para calquera valor x de X.

Ası, a variable resposta pode descomponerse en:

Y = m(x) + ε,

onde ε e o erro e E(ε | X = xi) = 0, i = 1, ... , n. O obxectivo e enton estimar m(·).O desenvolvemento realizado para o caso da densidade debe trasladarse agora

ao caso da estimacion desta nova curva, sendo a base dos razoamentos a mesmaque a dos realizados anteriormente. De igual forma, todo o que se trate para o casounivariante pode esterderse ao caso multivariante.

Regresion con datos dependentes

Os datos dos que disponemos estan medidos en localizacions espaciais (latitudee lonxitude), polo que as concentracions deber ser tratadas como procesos espaciais.Ası, dados D ⊂ R

2 e s = (sx, sy), consideranse os procesos espaciais

Z(s) = m(s) + ε(s),

onde m(·) denota a tendencia espacial e ε(·) e o proceso de erro (gaussiano) sobreo que se establecen certas condicions de regularidade. Nos datos pode existir unha

82 SII Unha perspectiva da inferencia estatıstica tipo nucleo

estrutura de dependencia que se debera ter en conta (e dicir, non toda a informa-cion do proceso ven determinada pola tendencia espacial). Ası, o procedemento seraobter as superficies de tendencia utilizando as tecnicas de regresion nonparametricadescritas e posteriormente analizar a independencia dos residuos do modelo. Se estesnon son independentes deberase incorporar a estrutura de dependencia na estima-cion da tendencia. Finalmente, unha vez obtidos residuos independentes, poderancompararse as superficies de tendencia obtidas para as duas mostras.

Obtiveronse ası as superficies de tendencia do Cd e Co para marzo e setembro.Realizando os contrastes de independencia sobre os residuos aceptouse a mesmapara o Co para as duas mostras, ao contrario que o acontecido para o Cd. NaFigura 2 observanse as superficies de tendencia obtidas para o Co. Ası, procedeusea continuacion a comparacion das superficies de tendencia para o Co (igualdade eparalelismo), rexeitandose a relacion entre elas e podendo concluır ası a necesidadede recoller duas mostras anuais para este metal (obtenense resultados distintos).

4.0

4.5

5.0

5.5

500000 550000 600000 650000 700000

4600000

4650000

4700000

4750000

4800000

4850000

500000 550000 600000 650000 700000

4600000

4650000

4700000

4750000

4800000

4850000

Tendencia Co.M

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

500000 550000 600000 650000 700000

4600000

4650000

4700000

4750000

4800000

4850000

500000 550000 600000 650000 700000

4600000

4650000

4700000

4750000

4800000

4850000

Tendencia Co.S

Figura 2: Regresion bidimensional do Co sobre a latitude e a lonxitude en marzo esetembro, respectivamente, con fiestra de validacion cruzada.

Bibliografıa

[1] M. T. Boquete, J. A. Fernandez, J. R. Aboal, C. Real, A. Carballeira, Spatialstructure of trace elements in extensive biomonitoring surveys with terrestrialmosses. Science of the Total Environment, 408 (2009), 153–162.

[2] A. W. Bowman, A. Azzalini; Applied Smoothing Techniques for Data Analysis:The Kernel Approach with S-Plus Illustrations. Oxford Science Publications,18, New York, 1997.

[3] R Development Core Team; R: A Language and Environment for StatisticalComputing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2009.URL http://www.R-project.org.

[4] S. Suarez-Crespo; Unha perspectiva da inferencia estatıstica tipo nucleo con R.Tesina de licenciatura, Universidade de Santiago de Compostela, 2010.


Un punto de corte entre la Topologıa Algebraica y elAnalisis Matematico

Marıa Jose Pereira SaezDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

3 de noviembre de 2010

Un poco de historia

La contribucion mas famosa de Harold Calvin Marston Morse (EEUU, 1892-1977) a las matematicas es su elaboracion de la teorıa de puntos crıticos, hoy en dıaconocida, debido a su fuerza y alcance, como teorıa de Morse.

Marston Morse se licencio en Harvard (1915) y allı defendio tambien su tesisdoctoral (1917), Certain Types of Geodesic Motion of a Surface of Negative Curva-ture, realizada bajo la direccion de G. D. Birkhoff. Cuatro anos mas tarde la publicay es en esta epoca en la que desarrolla el germen de toda su teorıa. En 1933 la AMSle concede el Bocher Memorial Prize por sus trabajos en Analisis Matematico. En1933-34 es nombrado vicepresidente de la AMS y presidente en 1941-42. Desde 1935pasa a formar parte del Institute for Advanced Study de Princeton (en 1933 habıaningresado J. W. Alexander, A. Einstein, J. von Neumann y H. Weyl).

Breve resumen de la teorıa de Morse

El paradigma de todas las relaciones entre la estructura homotopica de unavariedad y las propiedades de las funciones diferenciables en esa variedad nos lo da lateorıa de Morse. Esta nos permite encontrar su estructura celular de CW−complejoy nos da bastante informacion sobre su cohomologıa.

Definicion 1. Sea M una variedad diferenciable. Dada una funcion con valoresreales, f :M 7→ R diferenciable, se dice que un punto p ∈M es un punto crıtico def si su diferencial f∗ : TpM 7→ Tf(p)R se anula. Las imagenes por f de los puntoscrıticos se denominan valores crıticos. Si p no es un punto crıtico de f , p es regulary f(p) es un valor regular.

Dado un punto crıtico de f el Hessiano de f en p, Hpf , es una forma bilinealsimetrica en el tangente. El ındice de H en un espacio vectorial V esta definidocomo la mayor dimension de un subespacio de V en el cual H es definida negativa.Para referirnos al ındice de Hpf en el TpM hablaremos del ındice de f en p.

Palabras Clave: funcion de Morse, categorıa LS

83

84 SII Sobre funciones de Morse

El ındice de un punto crıtico no degenerado, p, es el numero de autovaloresnegativos de la matriz Hessiana en p. Intuitivamente, la informacion que nos da esel numero de direcciones independientes en un entorno de p en las que f decrece.Por ejemplo, en una 2−variedad un mınimo tendrıa ındice 0, un punto de silla ındice1 y un maximo ındice 2.

Definicion 2. Un punto crıtico p es no degenerado si Hpf es no singular.

Conviene senalar que los conceptos de punto crıtico, ındice y ser no degeneradoson independientes de la eleccion de las coordenadas locales que tomemos. Estasnociones nos permiten recordar un concepto basico en teorıa de Morse:

Definicion 3. Una funcion f :M 7→ R es una funcion de Morse si todos sus puntoscrıticos son no degenerados (y por tanto, todos sus valores crıticos son distintos).

Un ejemplo tıpico de estas funciones es la funcion altura en el toro que tienecuatro puntos crıticos con ındices 0, 1, 1 y 2 (vease, por ejemplo, [1]).

Lema 4. Si p ∈M es un punto crıtico no degenerado de una funcion diferenciablef , existen coordenadas locales (x1, ... , xn) centradas en p de manera que

f(x1, ... , xn) = f(p)− x21 − ...− x2r + x2r+1 + ...+ x2n,

donde r es el ındice de f en p.

Corolario 5. Los puntos crıticos de una funcion de Morse son aislados.

Funciones de Morse en subvariedades de espacios eucli-

dianos

Cualquier variedad diferenciable n-dimensional puede ser embebida diferencia-blemente en un espacio euclidiano de dimension menor que 2n + 1. Es enton-ces suficiente considerar subvariedades en un espacio euclidiano. Nos restringimosası al espacio de las matrices E = Mn×n(K) y como subvariedad G tomamoslos grupos ortogonal, unitario y simplectico. El producto escalar que tenemos es〈u, v〉 = ReTr(u∗v).

Para estas variedades es sencillo calcular los espacios tangente y ortogonal en elneutro mediante la exponencial. Para hallar los TXG basta con hacer la traslacionpor X.

Lema 6. Para X ∈ G,(i) El espacio tangente a la variedad en X esta formado por:

TXG = U ∈ Mn×n(K) : X∗U = −U∗X.

(ii) En consecuencia, el espacio normal es:

γXG = U ∈ Mn×n(K) : X∗U = U∗X.

Marıa Jose Pereira Saez SII 85

Para cada punto A ∈ E consideramos una funcion distancia en la variedad,fA(X) = ‖X − A‖2. Nos interesa identificar el conjunto de puntos crıticos de estafuncion y buscar que condiciones tiene que cumplir A para que fA sea una funcionde Morse en la variedad G. Denotamos por ΣA al conjunto de puntos crıticos de fA.

Lema 7. Sea fA : G −→ R una funcion distancia, entonces:(i) ΣA = X ∈ G : A−X ∈ γX.(ii) Para casi todo A ∈ E, fA es una funcion de Morse.

Es decir, los puntos crıticos de fA son aquellos puntos de G tales que el vectorque une A y X, X −A, es perpendicular a la variedad G en X.

En el caso particular de una matriz diagonal del tipo B = diag(λ1, ... , λn) con0 < λ1 < ... < λn, con la metrica que acabamos de ver, obtenemos que

fB(X) = ‖X −B‖2 =(n+

n∑

i=1

λ2i

)− 2ReTr(BX).

Puede verse que fB es una funcion de Morse. Hallamos sus puntos crıticos ycalculamos el ındice.

Proposicion 8. El conjunto de puntos crıticos de fB viene dado por:

ΣB = I ∪ σJ : J ⊆ 1, ... , n,

donde denotamos por σJ a la matriz diagonal con −1 en los puestos senalados porel conjunto J y 1 en el resto, para cada subsucesion J = i1, ... , ir ⊆ 1, ... , n.

Lema 9. Dado un punto crıtico X ∈ G el operador Hessiano para fB en X esHX(fB)(U) = (1/2)X(BU − U∗B).

Teorema 10. fB : G −→ R es una funcion de Morse en G.

Proposicion 11. El ındice de fB en cada punto crıtico viene dado por Indσi1,...,ir fB =dimRK · (i1 + ···+ ir)− r.

Relacion con la categorıa LS

Al considerar funciones de Morse en variedades diferenciables nos damos cuentade que es interesante estudiar los siguientes “conjuntos de nivel”:

Ma := x ∈M : f(x) ≤ a.

Para estos subconjuntos tenemos el siguiente lema:

Lema 12. Dados a, b ∈ R con a < b, si el subconjunto de la variedad formado porx ∈M : a ≤ f(x) ≤ b no contiene ningun punto crıtico de f en M , entonces Ma

es un retracto por deformacion de M b.

86 SII Sobre funciones de Morse

Es decir, podemos pasar de un conjunto a otro mediante una aplicacion ho-motopa a la identidad. De este lema se deduce de manera inmediata un criteriode existencia: Si dos “conjuntos de nivel” Ma y M b no son homotopos, entoncespodemos asegurar que entre a y b hay un valor crıtico de f .

Teorema 13. Si f : M 7→ R es una funcion de Morse y cada Ma es compac-to, entonces M tiene el tipo de homotopıa de un CW-complejo con una celda dedimension m por cada punto crıtico de ındice m.

Esto nos permite relacionar las funciones de Morse con un importante invariantetopologico, la categorıa de Lusternik y Schnirelmann.

Definicion 14. La categorıa LS de un espacio topologico X se define como elmenor entero n tal que existe un recubrimiento de X por n + 1 abiertos U0, ... , Uncontractiles en X. La denotaremos por cat(X).

Ası, si encontramos una funcion de Morse con N puntos crıticos en una variedad:

cat(M) ≤ N − 1 o cat(M) + 1 ≤ β

con β el menor numero de puntos crıticos de cualquier funcion de Morse en lavariedad.

En principio, la teorıa de Morse afina mas que la de Lusternik y Schnirelmannpero exige que los puntos crıticos sean no degenerados. Esto no siempre nos da losresultados mas precisos debido al siguiente teorema (ver [2]).

Teorema 15 (Lusternik y Schnirelmann, 1934). Sea M una variedad compactay f : M → R una funcion diferenciable sobre M. Entonces, el numero de puntoscrıticos de f es mayor o igual que cat(M) + 1. Es decir:

cat(M) + 1 ≤ #Σf .

La idea basica del estudio de Lusternik y Schnirelmann sobre la teorıa de puntoscrıticos es que los puntos crıticos son obstrucciones que no nos permiten colapsaruna variedad a un punto vıa el flujo del gradiente (cambiado de signo). Ası, los pun-tos crıticos son los lugares de la variedad en los que surge la complejidad topologicay esta complejidad puede medirse bien con la categorıa. Este resultado es muy inte-resante puesto que, por ejemplo, en el toro T 2 toda funcion de Morse tiene al menoscuatro puntos crıticos y sin embargo puede encontrarse una funcion diferenciablecon tres puntos crıticos. Como sabemos que la longitud del cup producto de T 2 es2, obtenemos que cat(T 2) = 2.

Bibliografıa

[1] J. W. Milnor, Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells,Annals of Mathematics Studies, No.51, Princeton University Press VI, 1963.

[2] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea y D. Tanre, Lusternik-Schnirelmann category,Mathematical Surveys and Monographs, 103, AMS XVII, 2003.


Variedades algebraicas con propiedades especiales

Eduardo Dorrego LopezDepartamento de Algebra

10 de Noviembre de 2010

Introduccion

El estudio de variedades algebraicas con propiedades especiales ha sido objeto delos clasicos italianos de finales del siglo XIX y principios del siglo XX. De entre todasellas, las superficies con exceso de rectas trisecantes han sido las menos estudiadasen la literatura. El primer ejemplo de tal superficie fue obtenida por Corrado Segreen el ultimo trabajo de su carrera cientıfica, y posteriormente, Ugo Ferrara, usandolos mismos metodos que Segre, obtuvo otra superficie con exceso trisecante, quea diferencia de la primera, es lisa. Dicha superficie es la unica que se conoce contales caracterısticas. En este resumen, se pretende dar una idea de lo que son lassuperficies de White y en particular de las superficies poligonales, para conectarfinalmente con el ejemplo de Segre.

Exceso trisecante

Vamos a considerar el caso particular de una superficie algebraica S ⊂ Pn

(durante toda esta exposicion, se toma como cuerpo base, el cuerpo de los numeroscomplejos). Diremos que una recta es trisecante a la superficie S, si corta a estaen al menos tres puntos contados con multiplicidad. Podemos pensar entonces, poruna parte, en la familia parametrizando las rectas trisecantes, que denotaremos por3 − Σ1(S), y por otra en el lugar geometrico de dichas rectas, que denotamos por3− Sec1(S). Si consideramos la variedad de incidencia

σ3(S) \∆ ⊃ 3− IS := (P1, P2, P3, Q) : dim〈P1, P2, P3〉 = 1, Q ∈ 〈P1, P2, P3〉

y las proyecciones naturales

π1 : 3− IS → σ3(S) y π2 : 3− IS → Pn,

lo que tenemos es que 3−Σ1(S) = Im(π1) y 3−Sec1(S) = Im(π2). Analicemoslas dimensiones de ambas variedades:

Palabras Clave: Exceso trisecante, superficies de White, superficies poligonales.

87

88 SII Variedades algebraicas con propiedades especiales

Que los puntos P1 = [V1], P2 = [V2], P3 = [V3] sean colineales, se traduce en que

rango

V1,0 V1,1 V2,2 ... V1,nV2,0 V2,1 V2,2 ... V2,nV3,0 V3,1 V3,2 ... V3,n

= 1,

es decir, todos los menores de orden 2 deben tener determinante nulo y por lo tanto

dim(3− Σ1(S)) ≥ N(dim(S), n, 3) := 3 dim(S)− (n− 1)(3− 2).

Al numero N(dim(S), n, 3) se le llama dimension esperada y es la dimension quetendrıa 3 − Σ1(S) de ser todas las ecuaciones que la definen independientes. Sila desigualdad anterior es estricta, se dice que la superficie tiene exceso de rectastrisecantes.

Podemos estudiar ahora lo que ocurre con 3−Sec1(S). Aplicando el teorema dela dimension de las fibras a las proyecciones naturales anteriormente citadas, lo quese obtiene es que dim(m− Sec1(X)) ≤ dim(m− Σ1(X)) + 1.

Recopilando la informacion anterior, diremos que una superficie S ⊂ Pn tieneexceso de rectas trisecantes si:

1. dim(3− Σ1(S)) > N(dim(S), n, 3)

2. dim(3− Sec1(S)) = dim(3− Σ1(S)) + 1

Nota. En el caso de que n = 5, es decir, S ⊂ P5, que es el caso de la superficiepoligonal de Segre, la superficie tendra exceso de rectas trisecantes si:

1. dim(3− Σ1(S)) > N(dim(S), 5, 3) = 2 (3 en nuestro caso)

2. dim(3− Sec1(S)) = dim(3− Σ1(S)) + 1 (4 en nuestro caso)

Superficies de White

Sea P2 el plano proyectivo complejo y consideremos en el las curvas de grado n.Lo que se pretende es obtener una superficie en un espacio proyectivo PN de unadeterminada dimension, en la que sus secciones hiperplanas se correspondan condichas curvas en P2. Veamos como se define dicho morfismo:

Si llamamos S2,n a dicha superficie, (yij) a sus coordenadas y H ≃ Pn−1 ⊂ Pn a

un hiperplano, teniendo en cuenta que C[x0, x1, x2]2 = 〈xn0 , x0xn−11 , ... , xi0x

j1xk2, ... , x

n2 〉

con i+ j + k = n, la condicion que estamos imponiendo es que:

S2,n ∩H =∑

i+j+k=n

aijkxi0xj1xk2,

es decir, los puntos de S2,n deben ser de la forma (xn0 , xn0x

n−11 , ... , xi0x

j1xk2, ... x

n2 ) con

i+ j + k = n y por lo tanto el morfismo (isomorfismo en su imagen de hecho) es:

ν2,n : P2 −→ PN = P((C[x0, x1, x2]2)∗)

(x0 : x1 : x2) (xn0 : xn−10 x1 : ... : x

i0xj1xk2 : ... : xn2 )

Eduardo Dorrego Lopez SII 89

donde N =

(n+ 12

). Este es el morfismo de Veronese y la superficie S2,n, que

es la realizacion proyectiva de las curvas de grado n en P2, se llama superficie deVeronese.

En este caso hemos considerado todas las curvas de grado n, pero podemosrestringirnos un poco mas, y pensar en la realizacion proyectiva de las curvas degrado n en P2 pasando por un cierto numero finito de puntos. Para obtener estasuperficie, razonemos para el caso particular de un unico punto P ∈ P2.

Si P ∈ C ⊂ P2 con deg(C) = n, entonces ν2,n(P ) ∈ ν2,n(C) ⊂ Sn siendo ν2,n(C)una seccion hiperplana de S2,n. Ahora basta observar que los hiperplanos pasandopor ν2,n(P ), se corresponden biunıvocamente, vıa la proyeccion

πν2,n(P ) : S2,n → PN−1

con los hiperplanos de Pn−1.Generalizando esto a un conjunto finito de puntos P0, P1, ... , Pn, la superficie

que estamos buscando no es mas que la composicion del morfismo de Veronesse conla proyeccion πν2,n(P0),ν2,n(P1),...,ν2,n(Pn).

¿Como esta definido este morfismo? Si cogemos s =

(n+ 12

)puntos suficiente-

mente generales, en el sentido de que no hay (n−1)–formas anulandose en ellos, en-tonces el sistema lineal de curvas de grado n pasando por ellos, es P(〈f0, f1, ... , fn〉),que tiene dimension n− 1, y entonces el morfismo viene dado como sigue:

φn : P2 −→ Pn = P(〈f0, f1, ... , fn〉∗)P (f0(P ) : f1(P ) : ... : fn(P ))

El caso es que este morfismo deja de ser regular en los s puntos base. Explotandoen dichos puntos, obtenemos un morfismo que ya es racional (birracional de hecho)y que factoriza a φn de la siguiente manera:

P(Zs)φn

""EE

E

E

E

E

E

E

σs

P2 φn

// Pn

Un resultado interesante de este tipo de superficies, que entre otras cosas analizasus singularidades, es el siguiente:

Proposicion 1. Sea Sn la superficie de White definida anteriormente.

φn : P(Zs) → Sn ⊂ Pn.

Se verifica:

1. Mediante φn, una recta l ⊂ P2 conteniendo n de los puntos base de δn se

contrae en un punto (n−1)–singular de Sn y son estas todas las singularidadesque posee. Cualesquiera dos de tales rectas deben cortarse en un punto base deδn.

90 SII Variedades algebraicas con propiedades especiales

2. Proyectando Sn desde una de las singularidades obtenidas en 1 se consigue lasuperficie de White Sn−1.

Superficies poligonales: la superficie poligonal de Segre

Las superficies poligonales son un caso particular de superficies de White, dondelos s puntos que se toman son la interseccion de n+1 rectas l0, l1, ... , ln. En el casode que esas n + 1 rectas sean tangentes a una conica no degenerada Q ⊂ P2, lassuperficies que se obtienen son las superficies de Segre. Si nos fijamos, cualquierade esas rectas contiene n puntos base, que son los puntos de interseccion con lasrestantes n rectas, por lo tanto aplicando el ultimo resultado, Sn contiene n + 1singularidades y no mas.

Un resultado importante acerca de las superficies poligonales de Segre es elsiguiente:

Teorema 2. Sea φn : P(Zs(n)) → Pn y S = Im(φn) la superficie poligonal de

Segre construida a partir de l0, l1, ... , ln rectas tangentes a una conica no degeneradaQ1 ⊂ P

2. Se verifica

1. La superficie S tiene una familia 3-dimensional de rectas trisecantes.

2. S contiene una familia 1-dimensional de curvas racionales de grado n.

3. El lugar geometrico de las rectas trisecantes de S es de dimension 4.

4. La union de las rectas trisecantes pasando por un punto generico p ∈ S, Cp, esun cono sobre una curva racional normal de grado n−1. Ademas, Cp∩S es launion de dos curvas racionales normales, R1 y R2, de grado n. La interseccionR1 ∩R2 consiste en el punto p y las n+ 1 singularidades de S.

En el caso particular de 6 rectas l0, l1, ... , l5, la superficie resultante es la queobtuvo Segre por primera vez, S5. Como consecuencia del resultado anterior y recor-dando que la dimension esperada para la familia de rectas trisecantes a una superficiede P5 es N(2, 5, 3) = 2, dicha superficie efectivamente tiene exceso trisecante.

Bibliografıa

[1] M. Pedreira, E. Dorrego Lopez; Algebraic surfaces with a lot of trisecant lines,Lecture Notes, a aparecer.


Cohomoloxıa medible

Carlos Menino CotonDepartamento de Xeometrıa e Topoloxıa

24 de Novembro de 2010

As laminacions medibles xurden como xeneralizacions das foliacions e das lami-nacions topoloxicas, son o resultado de esquecer a estructura topoloxica transversamantendo soamente a estructura medible. Esta estrucutra mais feble permite queas adaptacions naturais de invariantes de foliacions tenan un marco mais sinxelo dedesenrolo; en particular motias conxeturas e problemas de foliacions poden probar-se ou refutarse na categorıa de laminacions medibles sendo o marco idoneo para otesteo das mesmas.

O obxectivo que nos ocupa versa sobre a adaptacion da cohomoloxıa singularusual a laminacions medibles. A adaptacion das cohomoloxıas diferenciable, simpli-cial, celular ou de Cech poden atoparse na tese de M.Bermudez [1]. Sen embargonon se define unha nocion de cohomoloxıa singular e polo tanto non se pode deducir,en xeral, a invarianza por homotopıa dos grupos de cohomoloxıa medible, resultadomoi apetecible se queremos desenrolar unha teorıa de cohomoloxıa xeral.

Definicion 1. Un espacio de Borel estandar e un espacio medible que e mediblemen-te isomorfo a σ-alxebra de Borel dun espacio completamente metrizable e separable.

Os modelos de espacios estandar, salvo isomorfismo medible, son os conxuntosfinitos, N ou o intervalo pechado [0, 1]. Polo tanto caracterızanse polo seu cardinal[4].

Definicion 2. Un MT-espacio (medible e topoloxico) e un espacio dotado dunhaσ-alxebra e dunha topoloxıa. Notese que non e necesario que a σ-alxebra coincidacoa σ-alxebra de Borel asociada a sua topoloxıa. Unha aplicacion entre MT-espacioschamase MT se e medible e continua.

Os MT-espacios e as MT-aplicacions forman unha categorıa. Recordemos queunha foliacion e unha variedade dotada dunha particion en subvariedades imersas (asfollas da foliacion) todas elas da mesma dimension e que, localmente, presentanse deforma paralela. Para precisar esta idea no caso das laminacions medibles definimoso modelo local Rm×S onde S e un espacio de Borel estandar, a estructura mediblee a usual como producto das duas estructuras, a topoloxıa ven dada pola suma dastopoloxıas das fibras Rm × s, s ∈ S.

Palabras Clave: Cohomoloxıa, foliacion, triangulacion, complexo

91

92 SII Cohomoloxıa medible

Definicion 3. Unha laminacion medible e un MT-espacio dotado dun recubrimentonumerable Unn∈N por conxuntos abertos e medibles que son MT-isomorfos o mo-delo local Rm × S.

Unha laminacion medible admite polo tanto unha particion por variedades em-bebidas (as follas da laminacion), a suma das topoloxıas destas variedades danosa topoloxıa como MT-espacio. Existe un functor de esquecemento que leva as fo-liacions usuais e as aplicacions foliadas (que conservan as follas) en laminacionsmedibles e MT-aplicacions.

Definicion 4. Un sımplice singular nun espacio topoloxico X e unha aplicacioncontinua σ : → X, onde e un sımplice usual de dimension finita (os poliedrosdelimitados polos puntos (1, 0, ..,0), ..., (0, ..., 0, 1, 0), (0, ..., 0, 1) en R

n+1). Un prismasingular medible nun MT-espacio X e unha MT-aplicacion σ : × S → X onde Se un espacio de Borel estandar e o prisma × S ten unha estructura MT analogao modelo local. Denotamos os sımplices singulares de dimension n por Cn(X).

Unha cocadea singular de grado n dun espacio topoloxico con coeficientes nunanel R e unha aplicacion ω : Cn(X) → R onde Cn(X) e o conxunto de sımplicessingulares de dimension fixa n, considerase sempre que ω respecta a orientacion:ω(−σ) = −ω(σ) onde −σ representa a composicion de σ cun isomorfismo lineal dosımplice obtido a partir dunha permutacion impar dos seus vertices. O R-modulode cocadeas de grado n denotase por Cn(X,R). Temos unha aplicacion de cobordeδn : Cn(X,R) → Cn+1(X,R) definida por δ(ω)(σ) =

∑/∈ sign(/)ω(σ|/) onde a

notacion / ∈ simboliza as caras do sımplice de dimension n+1 (que son sımplicesde dimension n) e sign(/) e a orientacion inducida (1 ou −1). De forma abstractadefınese δ0 como a diferenza dos valores dunha 0-cocadea nos valores extremos dunsegmento singular seguindo a orientacion do segmento. Facilmente comprobase queδn+1 δn = 0 e polo tanto poden definirse os grupos de cohomoloxıa singular comoHn(X,R) = Ker(δn)/Im(δn−1) (coa convencion C−1(X,R) = 0).

Unha cocadea singular medible e unha cocadea singular que cumpre que ω(σ) :S → R, s 7→ ω(σ|×s) e medible para todo prisma singular medible σ. O R-modulodas cocadeas medibles que toman valores en sımplices de dimension fixa n notase porCnMT (X,R). Observese que CnMT (X) esta definido para MT-espacios en xeral. Unhasinxela comprobacion mostra que as aplicacions δn conservan as cocadeas mediblesdeste modo podemos definir a cohomoloxıa das cocadeas medibles que chamaremoscohomoloxıa singular medible H∗

MT (X,R).

Proposicion 5. Se f, g : X → Y son MT-aplicacions MT-homotopas enton f∗, g∗ :H∗MT (Y,R) → H∗

MT (X,R) inducen a mesma aplicacion en cohomoloxıa. Recorda-mos que f∗(ω)(σ) = ω(f σ).Demostracion. E unha adaptacion da proba clasica de cohomoloxıa singular (vexase[3]). Na proba clasica construese unha homotopıa de cocadeas entre f∗ e g∗, naversion medible comprobase que esta homotopıa de cocadeas conserva as cocadeasmedibles e polo tanto seguese o resultado buscado. Polo tanto a cohomoloxıa mediblee invariante por MT-homotopıa (homotopıas medibles e continuas).

Carlos Menino Coton SII 93

Definicion 6. Unha triangulacion medible T dunha laminacion medible X e unhacoleccion de embebementos medibles σi : i × Bi → X, 0 ≤ i ≤ m, onde m ea dimension da laminacion, i e un sımplice de dimension i e Bi son espaciosestandar tales que as coleccions σi|σ−1

i (L)∩(i×b), 0 ≤ i ≤ m, b ∈ ⊔Bi forman

triangulacions usuais de cada folla L de X.

Definicion 7. As cocadeas simpliciais medibles de grado n con coeficientes en R(CnMT,(X,R)) defınense como aplicacions medibles ω : Bn → R que preservan aorientacion dos prismas simpliciais no senso antes indicado. Identificamos os pun-tos de Bi coa sua respectiva fibra simplicial, de forma que a aplicacion coborde δpode ser definida e conserva cocadeas medibles. Obtemos ası un complexo de coca-deas, os grupos de cohomoloxıa asociados (Hn

MT,(X,R)) denomınanse grupos decohomoloxıa simplicial medible de X.

Proposicion 8. Sexa X unha laminacion medible que admite unha triangulacionmedible. Enton as cohomoloxıas simplicial e singular medibles coinciden. En conse-cuencia, a cohomoloxıa simplicial medible non depende da triangulacion escollida.

Non ofrecemos a proba por falta de espacio. A idea pasa por usar a version medi-ble da cohomoloxıa de Cech e demostrar que equivale as outras duas cohomoloxıasen cuestion. O argumento e unha adaptacion da demostracion do caso clasico [2].

Exemplo 9. Finalmente presentamos un exemplo de calculo, veremos que calquerafluxo minimal de kronecker no 2-toro ten o primeiro grupo de cohomoloxıa mediblenon nulo. Observese que as follas son contractiles, de modo que o primeiro grupode cohomoloxıa usual e nulo.

Esta foliacion podemola presentar como unha suspension dunha rotacion de an-gulo irracional (respecto de 2π) na circunferencia S1. Denotaremos Rα : S1 → S1

dita rotacion, onde α e o angulo. A suspension obtense facendo o cociente de (R)×S1

pola relacion (x + n,Rnα(z)) ∼ (x, z). A variedade cociente e un 2-toro e as follasda foliacion Fα obtenense mediante a proxeccion das fibras R × z. Cada unhadas follas desta foliacion son densas por ser α irracional, por iso chamase fluxominimal.

Claramente [0, 1]× S1 e unha rexion fundamental para a proxeccion no cocien-te, onde (0, 1) × S1 proxectase homeomorficamente e tamen cada fibra 0 × S1 e1×S1 que se proxectan nun mesmo meridiano do cociente transverso a foliacion.Isto induce unha triangulacion medible no 2-toro para o fluxo minimal, onde o 0-esqueleto e a proxeccion de 0 × S1 e o 1-esqueleto e a proxeccion de [0, 1] × S1

(recordemos que dende un punto de vista medible a fibra transversa S1 perde todaestructura topoloxica).

Polo tanto, atendendo as nosas definicions, C0MT,(Fα, R) e C1

MT,(Fα, R) co-rrespondense coas funcions medibles f : S1 → R. Para simplificar os calculos esco-lleremos R = Z2. Probaremos que a 1-cocadea ω : S1 → Z2, ω(z) = 1, ∀z ∈ S1 none trivial en cohomoloxıa medible.

Suponamos que existe f tal que δ(f) = ω enton ω = f Rα − f e tamen ω =ωRα = f R2α−f Rα. Se sumamos estas duas expresions obtemos 0 = f R2α−f

94 SII Cohomoloxıa medible

(en Z2 temos que ω+ω = 0). Polo tanto f e unha funcion medible e 2α-invariante.Podemos pensar f como unha funcion con valores en R pero que so toma os valores0 e 1, isto non afecta a medibilidade de f .

Por outro lado, un resultado de ergodicidade dinos que para calquera anguloirracional β tense que unha funcion medible e β-invariante f : S1 → R e constanteen case todo punto. O angulo 2α esta nestas hipoteses e polo tanto f toma os valores0 ou 1 en case todo punto, e tamen ocorre o mesmo con f Rα polo tanto, sendo oanel de coeficientes Z2 tense necesariamente que f Rα− f = 0 en case todo puntoe polo tanto non pode ser igual a nosa 1-cocadea medible ω.

Bibliografıa

[1] M. Bermudez, Laminations Boreliennes, Tesis, Universite Claude Bernard-Lyon 1, 2004.

[2] C. H. Dowker, Cech cohomology theory and axioms, Annals of Math. 51-2

(1950), 278–292.

[3] A. Hatcher, Algebraic Topology, Canbridge University Press, 2002.

[4] A. S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Graduate Texts in Mathema-tics, Springer-Verlag, New York, 1994.

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