UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad stica ...

UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1

Probabilitat i Estadıstica, Groups 1 a 4

Examen Final

Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees

Nom i Cognom ................................................., Grup .....

NIA .............................

Nom i Cognoms ............................... 1 Test C

Llegiu aquestes instruccions:

1. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI.

2. Poseu les vostres dades (nom, cognom, etc. en aquest full i tambe el vostre primer cognom i signatura al peu depagina de cada un dels fulls adjunts.

3. Temps maxim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts.

4. Sota cap concepte, NO des-grapeu el quadarnet.

5. Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta multiple. Cada pregunta te tres respostespossibles, solament una es correcta. Marqueu amb una X la casella de la resposta que cregueu que es la correcta.Si voleu rectificar, marqueu amb NO la casella que havıeu assenyalat, i poseu una X a la nova casella que assenyaleucom a correcta. Tota pregunta amb mes d’una casella assenyalada sera considerada no contestada. A l’hora dedecidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuacio del’examen s’efectuara de la forma seguent:

Resposta correcta: +1.0

Resposta incorrecta: −0.5

Pregunta no contestada: 0.0.

6. Full de Lectura Optica que s’acompanya. Poseu les vostres dades personals i del tipus de test La respostavalida es la que passeu al Full de Lectura Optica.


1. Suposeu una variable aleatoria X amb E(X) = 0; aleshores, necessesariament

© Var(X) = (E(X))2

© Var(X) = 0

© Var(X) = E(X2)

2. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal bivariant. La correlacio entre les variablesX i Y es 0, els valors esperats de X i Y son 0 i les variancies de X i de Y son 1. El valor esperat de Y quanX = 1 sera:

© 1

© 0

© 0.5

3. Si X ∼ N (1, 2) (2 es la variancia) i Y = 3(X +X), aleshores la distribucio de Y es

© N(3, 18)

© N(6, 72)

© N(6, 36)

4. En la tirada de 6 monedes (no trucades), el nombre de cares segueix una distribucio

© de Poisson

© de Bernoulli

© simetrica

5. Si la distribucio de massa de probabilitat conjunta de X i Y es

YpX,Y 1 -1

X 1 3/12 3/12-1 3/12 3/12

Aleshores, X i Y son variables

© incorrelacionades pero no independents

© incorrelacionades i independents

© independents pero correlacionades

6. Suposeu X1, X2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa variancia, σ2. Aleshores, Cov(X1, 2X1 −X2) es

© −σ2

© 0

© 2σ2

7. Suposeu dues distribucions binomials X ∼ B(n1, p) i Y ∼ B(n2, p), amb 0 < p < 1. Suposeu que n1 < n2.Aleshores,

© La variancia de Y es mes gran que la de X

© La variancia de X es mes gran que la de Y

© Les dues variancies son iguals

8. De dues variables aleatories X i Y ens diuen que E(XY ) = E(X)E(Y ); aleshores, necessariament,

© aquesta afirmacio no pot ser certa

© les variables X i Y estan incorrelacionades

© les variables X i Y son independents


9. Suposem que X es una variable aleatoria contınua amb funcio de densitat de probabilitat f(x) i E(X) = 0.Aleshores

© f ′(x) = F (x), on F (x) es la funcio acumulada de distribucio

© f(x) pot pendre valors mes gran que 1

©∫ +∞−∞ fX(x)dx = 0

10. Si X es binomial amb parametres n = 3 i p = 0.5, aleshores la probabilitat que X sigui different de 1 es:

© 0.375

© 0.625

© 0.5

11. Marca la correcta:

© ρXY = ρ(2X + 3, Y + 1)

© σXY = cov (2X + 3, Y + 1)

© ρXY = ρ(2X + 3,−Y + 1)

12. Si X i Y son variables aleatories amb correlacio negativa, aleshores

© V ar(X − Y ) = V ar(X)− V ar(Y )

© V ar(X − Y ) > V ar(X) + V ar(Y )

© V ar(X − Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

13. Suposeu una variable aleatoria X amb funcio de massa de probabilitat.

X -1 -2 1 2 apX 1/10 2/10 1/10 2/10 4/10

Si E(X) = 40, aleshores el valor de a es

© 100

© 20

© 200

14. Suposeu un telefon on el temps d’espera X en minuts per una trucada segeuix distribucio exponencial ambparametre λ = 4; es a dir, f(x) = 4e−4x, x > 0. Aleshores, el nombre esperat de trucades en un minut es:

© 0.25

© 0.5

© 4

15. En sintaxis de R, definim un dau de deu cares: dau = 1:10. Despres simulem tirades independents del dau:monte = sample(dau, 1000 , replace = "T"). Finalment, calculem el promitg de les 1000 tirades del dau:m = mean(monte) . En aquest cas, m segueix distribucio:

© uniforme de 1 a 1000

© normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25/1000

© normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25

16. Sigui A i B una particio de l’espai mostral Ω amb P (A) = 0.8. Sigui C un esdeveniment tal que P (C | A) = 0.1i P (C | B) = 0.9. Aleshores P (A | C) es igual a

© no es pot calcular amb aquestes dades

© 0.3076923

© 0.969697


17. Si X es una variable aleatoria, i V (.) denota variancia, aleshores una d’aquestes igualtats sempre es certa

© V (3X − 6) = 3V (X − 6)

© V (3X − 6) = 9V (X − 10)

© V (3X − 6) = 9V (X)− 6

18. Dema es 22 de desembre i, com cada any, se celebra a Espana el sorteig de “La Grossa”. Des del 2011 hi haen el bombo 100.000 numeros, del 00000 al 99999. En Josep va comprar un decim del numero 11111 a unaadministracio de Loterias y Apuestas del Estado del seu barri. La Josefina, molt mes curosa, va anar a Madridi a la famosa administracio de Loterias y Apuestas del Estado de Dona Manolita (veure foto adjunta de la cua,d’hores, que va haver de fer) va comprar un decim de cada un dels numeros seguents: 45077 i 12514. En Josep ila Josefina no tenen altres numeros que els esmentats. En aquest escenari

© Aquest any la probabilitat que el “El Gordo” sigui el numero 11111 es mes petita que la del 12514

© La probabilitat que a la Josefina li toqui “El Gordo” es exactament el doble que la probabilitat que “El Gordo”toqui a en Josep

© cap de les anteriors

19. Un casino estableix el joc seguent: tirada repetida d’una moneda (no trucada) fins que surt cara i pagar al jugadoramb euros dues vegades el numero de tirades necessaries per aconseguir la cara. Per exemple, si la cara apareix ala primera tirada, el jugador cobra 2(= 2× 1) euros. Si el preu d’entrada a una jugada es de 4 euros, aleshores:

© el casino te quany esperat de dos euros per jugada

© el casino te perdua esperada d’un euro per jugada

© aquest es el joc de la Paradoxa de Sant Petersburg, en el que no podem calcular guany esperat

20. Si A ∩B = ∅, P (A) > 0, i P (B) > 0; aleshores,

© A ⊂ B© A i B son complementaris

© A i B no son independents

21. Reordenem a l’atzar els numeros 1,2,3,4,5,6. La probabilitat que el numero de 6 xifres acabi amb 12 es

© 0.3333


© factorial(4)/factorial(6) = 0.03333

© 2*factorial(4)/factorial(6) = 0.06666

22. Sigui A i B i C una particio de l’espai mostral Ω. Aleshores el complementari de A ∪B es

© C

© Ac ∪Bc (aquı ()c denota complementari)

© A ∩B

23. Si A,B,C son tres esdeveniments d’un experiment aleatori i A ⊂ B, aleshores A ∩ (B ∪ C) es

© A ∩ C© B

© A

24. Si A,B son esdeveniments d’un experiment aleatori i P (A) = P (B) = 0.6, aleshores, necessariament

© A i B son independents

© A ∩B 6= ∅© A = B


UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad stica ...

Documents

Transcript of UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad stica ...