Captulo 1

Ecuaciones del movimiento

Introduccin

Uno de los objetivos principales de la fsica, y especialmente de la cinemtica, es describir y/o predecir la posicin de un cuerpo en cada momento. Para hacerlo, primero es necesario definir un sistema de coordenadas espacial, que define puntos en , ; as como in sistema de coordenadas temporal que define el tiempo t. Hecho esto, dar la posicin de un cuerpo en funcin del tiempo, es especificar la funcin:

Tal que a cada t le asigna un punto . Dar esta funcin es dar la ecuacin del movimiento. Usando las relaciones cinemticas:

podemos obtener tambin la velocidad y la aceleracin en cada instante de tiempo

Consideremos el ejemplo ms sencillo, el de un cuerpo que sigue un movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Examinemos la ecuacin del movimiento:

Donde , , son vectores constantes. No hay que confundir las constantes , , con las funciones . Veremos ahora la gran cantidad de informacin que contiene la ecuacin del movimiento. Primero, su nos preguntasen donde se encuentra el cuerpo en t=0, slo necesitamos sustituir t por 0 en la ecuacin:

O sea, en t=0 el cuerpo se encuentra en el punto , justificando que llamemos posicin inicial al . Si queremos conocer la velocidad en todo momento, aplicamos:

En particular, nos pueden preguntar cunto vale la velocidad en t=0. Sencillamente, de la ecuacin anterior:

O sea, en t=0 el cuerpo tiene velocidad , justificando que denominemos velocidad inicial a . Si queremos conocer la aceleracin en todo momento, aplicamos:

Fijmonos en que la banda derecha de esta ecuacin es independiente del tiempo (no aparece t). Esto quiere decir que la aceleracin no depende del tiempo; de hecho, vale en todo momento:

Esto justifica que el movimiento se denomine uniformemente acelerado o de aceleracin constante.

Un ejemplo ms complicado, pero tan sencillo como el anterior de operar es el dado por la siguiente ecuacin del movimiento:

Donde , , son constantes. Ntese que ahora escribimos en lugar de . Esto quiere decir que quien ha escrito esta ecuacin del movimiento, solo tiene inters por el movimiento del cuerpo a lo largo del eje x, y no le importa lo que pasa a lo largo de los ejes y, z. En la mayora de los casos, la razn es que el cuerpo se mueve a lo largo del eje x, manteniendo y=0, z=0. Pero podra ser que, sencillamente, solo fuese de inters observar la proyeccin de su movimiento a lo largo de solo uno de los ejes. Bien, nos repetimos las preguntas del ejemplo anterior: qu valen la velocidad y la aceleracin en todo momento? Solo hay que derivar:

Notad que ahora si depende del tiempo y, por tanto, seguro que el movimiento no es uniformemente acelerado. Podramos preguntarnos: en t=0, Dnde se encuentra el cuerpo? Qu velocidad tiene? Y aceleracin? Solo necesitamos sustituir t por 0 en las ecuaciones del movimiento:

Fijmonos en que la primera de las ecuaciones nos permite interpretar la constante como la posicin inicial; incluso podra valer la pena rebautizarla:

En cambio el significado de y no es tan directo como para permitir su interpretacin ni como velocidad ni como aceleraciones iniciales.

Este problema es til para recalcar una vez ms la diferencia entre las constantes , , y las funciones , ya que en este caso ni siquiera aparecen y .

La fsica determina las ecuaciones del movimiento

La pregunta de qu ecuacin del movimiento sigue un cuerpo en unas circunstancias dadas queda totalmente resuelta, segn la mecnica clsica, por la segunda ley de Newton:

Donde es la suma de todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo, m es su masa y es la funcin aceleracin. Como veremos, totalmente resuelta salvo dos constantes arbitrarias.

Vemos ahora como la ley de Newton determina la ecuacin del movimiento, o sea, la funcin . Solo necesitamos usar dos veces el hecho de que integrar es la operacin inversa a derivar. Comenzamos reescribiendo:

Por tanto, la segunda ley de Newton nos permite conocer el valor, no de la velocidad sino de la derivada temporal, para conocer la velocidad, solo hay que integrar:

Donde es una constante arbitraria que no se puede determinar usando solo la ley de Newron. Para ver que no se puede determinar, fijaos que lo que queramos obtener al integrar es una funcin tal que al derivarla nos de ; como la derivada de una constante es cero, siempre se puede aadir sin afectar a la derivada.

Bien, ya tenemos como obtener Finalmente, para obtener , solo nos falta volver a integrar:

Por tanto, como ya sabemos , ya podemos obtener . Nuevamente, hay una constante arbitraria que no puede fijarse solo con la ley de Newton.

Por qu hay dos constantes arbitrarias? Fsicamente, cmo se entiende que la segunda ley de Newton no fije absolutamente el movimiento? La respuesta es intuitiva. La segunda ley de Newton solo fija la fuerza, pro se puede aplicar la misma fuerza a un cuerpo que se encuentra en Espaa o en China (por tanto, no fija la posicin inicial); y tambin se puede aplicar la misma fuerza a un cuerpo inicialmente quieto o a un cuerpo inicialmente a 300 Km/h (por tanto, tampoco fija la velocidad inicial).

Cmo se determinan las dos constantes arbitrarias? Bien, para determinar dos incgnitas siempre suelen necesitarse dos condiciones, as que es necesario dar dos datos extra. Por ejemplo, se puede especificar la pareja posicin y velocidad iniciales, o sea, decir el valor de y de . Alternativamente, podramos escoger de entre una infinidad de posibles combinaciones de parejas de condiciones y fijar:

, y ,

Como ejercicio para asimilar estos conceptos, retomamos los dos ejemplos de la seccin anterior e intentamos hacerlos en el sentido inverso. Es decir, imaginaremos que solo nos dan la aceleracin en funcin del tiempo y que se pide deducir la ecuacin del movimiento .

Movimiento uniformemente acelerado. En este caso la aceleracin es constante, por tanto:

Con constante. Para encontrar la velocidad, integramos

Para encontrar la posicin, volvemos a integrar:

Ya solo falta determinar las constantes . Para hacerlo imponemos las dos condiciones ms tpicas, es decir, que en t=0 el valor de y de son conocidos e iguales a :

Ya esta, ya hemos deducido que la ecuacin del movimiento es:

Vamos ahora al segundo ejemplo. Nos dicen que en un movimiento, la aceleracin en cada momento vale:

Es cuestin de integrar dos veces demostrar que:

Que coincide con lo que ya sabamos, excepto por las constantes arbitrarias. Para fijarlas, necesitaramos conocer ms datos.

Recordatorio de las leyes bsicas de la mecnica

Tres leyes de Newton

La dinmica es la parte de la fsica que estudia las fuerzas en relacin con los movimientos que producen en los sistemas. sta, se basa en tres principios bsicos formulados por Newton, que son:

Principio de la inercia

Principio de accin de fuerzas

Principio de accin y reaccin

Principio de la inercia

Todo cuerpo contina en su estado de reposo o movimiento rectilneo uniforme a menos que acte sobre l una fuerza neta (resultante de todas las fuerzas que actan sobre l)

As, es la fuerza la nica causa capaz de producir una aceleracin en un cuerpo. Esta ley es muy semejante a los postulados de Galileo, pero introduce el hecho de que deja de tener sentido la distincin entre objetos en reposo y objetos que se desplazan a velocidad constante. Todo esto desemboca en el estudio de diferentes sistemas de referencia:

A partir de aqu introducimos el concepto de sistema inercial: sistema de referencia que se desplaza a velocidad constante.

Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a otro sistema inercial, es tambin un sistema inercial.

La tierra se puede considerar un sistema inercial, si se desprecia la pequea aceleracin centrpeta caudada por su translacin alrededor del sol y la aceleracin de la superficie respecto al centro, causada por la rotacin sobre s misma.

Por otro lado, el concepto de fuerza neta aporta la idea de que las fuerzas se combinan (suman) como si fuesen vectores. Lo importante no es tratar cada una de las fuerzas, sino trabajar con la resultante.

Principio de accin de fuerzas

La aceleracin de un objeto es inversamente proporcional a su masa y proporcional a la fuerza neta externa que acta sobre l

Matemticamente, se escribe (a pesar de que la primera frmula es la ms usada, la segunda es ms intuitiva ya que presenta la aceleracin como consecuencia de la fuerza):

Esta definicin nos indica que la masa de un cuerpo es una propiedad intrnseca del cuerpo y que no depende de su localizacin. En cambio, el peso de un objeto es la fuerza resultante de su atraccin con la Tierra, y por tanto, depende de su localizacin.

Principio de accin y reaccin

Las fuerzas actan por parejas: si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, este ejerce sobre A una fuerza igual pero de sentido contrario

Esta ley es muy fcil de malinterpretar: las fuerzas de accin y reaccin no se equilibran y se anulan, ya que se aplican sobre cuerpos diferentes.

Finalmente, estas tres leyes de Newton solo no dicen como los cuerpos se atraen entre ellos, no por qu lo hacen.

Trabajo y energa

Algunos tipos de movimientos son difciles de describir directamente mediante las leyes de Newton. Necesitamos analizar el movimiento mediante dos conceptos cientficos fundamentales: energa y trabajo. Ambas son magnitudes fsicas escalares asociadas a las partculas y los sistemas de partculas.

El trabajo es una magnitud fsica escalar, que puede ser positiva, negativa o cero. El trabajo realizado por el cuerpo A sobre el B es positivo si la energa se transfiere de A a B y negativo cuando la energa se transfiere de B a A. Si no se transfiere energa el trabajo es cero.

Normalmente se dice que el trabajo es fuera por desplazamiento. Desafortunadamente, la afirmacin es demasiado simple y engaosa. Se realiza trabajo sobre un cuerpo cuando el punto de aplicacin de la fuerza se mueve a lo largo de un desplazamiento.

El trabajo se basa en la componente de la fuerza que va en la direccin del desplazamiento del cuerpo. Para un movimiento rectilneo, es fcil calcular la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento. Sin embargo, cuando la trayectoria es curvilnea, la fuerza y el desplazamiento pueden tener cualquier direccin. En este caso, podemos utilizar el producto escalar, que nos proporcionar la componente de una fuerza dada en la direccin del desplazamiento.

El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.

Integral de camino: para resolverla es necesario establecer el camino de integracin

En general hablamos del movimiento de un cuerpo bajo una fuerza.

Qu pasa cuando acta ms de una fuerza en cada punto? Cmo se define el trabajo en este caso? Cuando hay varias fuerzas que realizan trabajo sobre un sistema, el trabajo total se calcula sumando el trabajo realizado por cada una de las fuerzas:

Concepto de energa

Cualquier fenmeno fsico implica una alteracin del sistema

Energa y trabajo

Energa y cambio de ej. posicin, movimiento, constitucin

La energa se manifiesta por el trabajo que el sistema puede originar o por el trabajo que se ha de hacer para llevar al sistema al estado en el que se encuentra.

Diversas manifestaciones de la energa: ej. energa cintica, potencial

En todos los procesos fsicos est presente la energa. La energa de un sistema mide su capacidad de hacer un trabajo.

La energa cintica est asociada al movimiento y la energa potencial es la energa asociada a la configuracin del sistema.

Cuando las fuerzas que actan sobre una partcula realizan trabajo, el resultado es el cambio asociado al movimiento de la partcula la energa cintica. Para obtener la relacin entre energa cintica y trabajo, veamos qu sucede si una fuerza constante neta acta sobre una partcula que se mueve a lo largo del eje x. Aplicando la segunda ley de Newton:

La magnitud recibe el nombre de energa cintica K de la partcula:

Obsrvese que la energa cintica depende solo del modulo de la velocidad de la partcula y de su masa, pero no de la direccin de movimiento. Adems, la energa cintica no puede ser nunca negativa y solo es cero cuando la partcula est en reposo. As, la ecuacin

Da la relacin entre el trabajo total realizado sobre una partcula y el cambio de energa cintica de dicha partcula.

Este resultado se conoce como teorema de la energa cintica o teorema de las fuerzas vasa. Este teorema nos dice que cuando el trabajo total es positivo, la energa cintica aumenta, lo que significa que la partcula se mueve ms rpido. Cuando el trabajo total es negativo, la energa cintica disminuye. Cuando el trabajo total es cero, la energa no cambia.

El teorema de las fuerzas vivas a lo largo de una curva arbitraria puede establecerse de la siguiente forma

Fuerzas conservativas: Cuando el trabajo asociado a una fuerza solo depende de las posiciones inicial y final (no del camino seguido) la fuerza se denomina conservativa.

Campos de fuerza

En una regin del espacio existe un campo de fuerza si al situar en esta regin un cuerpo este experimenta instantneamente el efecto de una fuerza.

Campo vectorial (en cada punto del espacio toma un valor)

A Magnitud activa

Intensidad del campo

Un cuerpo colocado en un campo, tiene capacidad para hacer trabajo

Campos de fuerza conservativos

El trabajo realizado por las fuerzas del campo conservativo en el desplazamiento de un cuerpo de un punto a otro solo depende de las posiciones inicial y final del cuerpo

Ejemplos de campos conservativos:

Campos centrales

Campos conservativos: dependencia analtica solo funcin de r a un centro de fuerza

Energa potencial

Trabajo realizado por las fuerzas conservativas del campo sobre un cuerpo en moverlo de una posicin inicial A a una posicin final B

Captulo 2

Oscilaciones

Introduccin

Muchos son los sistemas fsicos que oscilan. De hecho, cualquier perturbacin en un sistema que est en una posicin de equilibrio estable, da lugar a un movimiento oscilatorio. Qu caracteriza estos movimientos? La principal caracterstica de estos movimientos es que son peridicos, es decir: se repiten. El ejemplo ms paradigmtico de movimiento oscilatorio es el movimiento de un pndulo.

En general, los sistemas que oscilan peridicamente son tiles desde el punto de vista de la fsica. Es por eso que, ya desde los tiempos de Galileo, se usa el pndulo simple para medir intervalos de tiempo. La importancia del pndulo simple radica en que el periodo de oscilacin no depende de la amplitud de la oscilacin.

Movimiento armnico simple

El tipo ms importante y comn de movimiento oscilatorio es el movimiento armnico simple y es el movimiento caracterstico del oscilador armnico. El estudio del oscilador armnico es muy importante ya que, a pesar de que el montaje mecnico es muy simple, es la basa para el estudio de fenmenos tales como el movimiento de un pndulo simple, vibraciones de cuerdas, vibraciones en tubos, corrientes elctricas, etc.

Suponemos que hacemos el siguiente montaje:

En el estudio que sigue menospreciaremos el rozamiento, es decir, la friccin de la masa respecto al suelo, as como la friccin con el aire. Supondremos tambin que el muelle no tiene prdidas. Bajo estas condiciones, podemos excitar la masa de dos formas diferentes:

Con un desplazamiento inicial: cogemos la masa de su posicin inicial a x=0, la desplazamos hasta x=L y la dejamos suelta

Con una velocidad inicial: mientras la masa est en su posicin de reposo x=0, le damos una vez y, en consecuencia, se desplaza hasta la posicin x=L.

Sea cual sea la excitacin, las caractersticas del movimiento siempre sern:

El movimiento siempre ser peridico: en intervalos de tiempos iguales, la masa adquiere la misma posicin y las mismas caractersticas del movimiento.

El movimiento es oscilante alrededor de la posicin de reposo que designaremos por x=0

La separacin mxima del cuerpo respecto a su posicin de equilibrio (x=L y x= - L) es siempre la misma.

Cuando la masa es desplazada de su posicin de equilibrio, el muelle hace una fuerza (fuerza elstica) kx dada por la Ley de Hooke:

Donde k es la rigidez del muelle (propiedad intrnseca) y la x es el desplazamiento de la masa. El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento. En la figura esto significa que cuando el muelle est comprimido hace fuerza en sentido positivo del eje x y viceversa.

Ecuacin del movimiento

El movimiento de un cuerpo queda totalmente determinado (exceptuando dos constantes arbitrarias) una vez decimos cual es la fuerza que acta sobre l. En el caso del oscilador simple, la ecuacin central es la ley de Hooke.

Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos:

La aceleracin es proporcional al desplazamiento y tiene sentido opuesto al de este. Esta es una caracterstica general del movimiento armnico simple. De hecho, siempre que la aceleracin de un objeto es proporcional y opuesta a su desplazamiento, el objeto se mueve con movimiento armnico simple. A partir de la ecuacin de arriba y teniendo en cuenta que la aceleracin es la segunda derivada de la posicin respecto al tiempo obtenemos la ecuacin diferencial que define el movimiento del oscilador armnico simple:

Que es lo mismo que:

La tiene unidades radianes/segundos y es la frecuencia propia del sistema. Ntese que no depende de las condiciones iniciales, sino de las caractersticas internas del oscilador: su masa y de la constante del muelle.

La ecuacin anterior es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden. Para encontrar la ecuacin del movimiento x(t) es necesario determinar una funcin del tiempo tal que, al derivarla dos veces, nos de la misma funcin que de la que partamos, sin tener en cuenta la constante multiplicativa. Funciones con esta propiedad son el seno y el coseno. Se puede demostrar que la solucin ms general de la ecuacin es:

Como habamos dicho, todo queda determinado salvo por dos constantes arbitrarias, B y C.

De hecho, mucha gente prefiere usar trigonometra y reescribir la ecuacin del movimiento de estas dos maneras alternativas:

Ntese que en las dos ecuaciones tambin tenemos dos constantes arbitrarias que son A y . A recibe el nombre de amplitud mxima y es la constante de fase. Estos dos parmetros dependen de las condiciones iniciales del problema, es decir, que las podemos modificar externamente. Denominaremos fase a toda la expresin que hay en el interior del seno o coseno, es decir, a . Las caractersticas del movimiento son:

El cuerpo siempre se encuentra entre A y A- Efectivamente, dado que los valores mximos y mnimos de la funcin seno son +1 y 1, el movimiento resultante queda confinado en la regin comprendida entre +A y A.

El movimiento es peridico. La funcin sin(x) es peridica con periodo 2, por tanto, el movimiento se repetir cuando el argumento de la funcin seno, es decir, la fase, se incremente 2. Esta observacin nos permite calcular el periodo, que denominamos T. Slo debemos de imponer que en dos instantes de tiempo separados por T, digamos t0 y t0+T, la posicin sea idntica:

Es decir, cada vez que pasa un tiempo , el movimiento se encuentra en el mismo punto y con la misma velocidad. Resumiendo, tenemos las siguientes magnitudes relacionadas con la periodicidad:

Periodo, que expresa el tiempo que tarda el movimiento en recuperar la misma posicin y la misma velocidad.

Frecuencia, que expresa cuantas veces por unidad de tiempo se alcanza la misma posicin con la misma velocidad.

Frecuencia angular, no es ms que un mltiplo de la frecuencia f, y que sirve a menudo porque es la combinacin que aparece en la fase de la ecuacin del movimiento.

A partir de ahora, por conveniencia, utilizaremos la forma de la ecuacin del movimiento con el seno, teniendo en cuenta que es solo una eleccin. Por tanto, es arbitraria y podramos haber escogido igualmente el coseno variando de forma apropiada la constante de fase.

Velocidad y aceleracin

Hemos visto que la posicin de la masa en movimiento viene descrita por la ecuacin:

Si hacemos la derivada respecto del tiempo, obtendremos la expresin de la velocidad en funcin del tiempo:

Si volvemos a derivar respecto del tiempo, obtendremos la aceleracin:

Que podemos observar concuerda con la segunda ley de Newton:

Las caractersticas de la velocidad, considerando el sistema de coordenadas de la figura son:

La velocidad es mxima cuando la masa pasa por el punto x=0 en sentido positivo del eje x y mnima cuando pasa por el punto x=0 en sentido negativo del eje x. El mdulo de esta velocidad mxima viene dado por:

La velocidad es nula en las posiciones de x= A y x= - A.

Las caractersticas de la aceleracin, tambin considerando el sistema de coordenadas escogido en la figura son:

La aceleracin es mxima cuando la masa est en el punto x = - A y mnima cuando la masa est en la posicin x = A. El mdulo de esta aceleracin mxima viene dado por:

La aceleracin es nula cuando la masa pasa por el punto x=0

Sobre la fase

La constante de fase depende de que instante de tiempo escojamos como t=0. Si por ejemplo, escogemos t=0 cuando la masa pasa por la posicin de equilibrio x=0 con la velocidad positiva (parte superior de la figura), la constante de fase ser cero y la ecuacin del movimiento ser simplemente donde ahora L es la amplitud del movimiento (A=L). si escogemos t=0 cuando x=L obtendremos que la constante de fase ha de ser

Energa del MHS

Hemos visto que en el movimiento oscilatorio del sistema mas-muelle la posicin, la velocidad y la aceleracin varan con el tiempo. Esto implica que tanto la energa potencial como la cintica varan con el tiempo. Aun as, la energa total se mantiene constante (en el supuesto de que no haya friccin). La energa potencial de un muelle de constante k al ser estirada una distancia x de su posicin de equilibrio viene dada por:

Por otro lado, la energa cintica de un objeto de masa m que se mueve con velocidad v es:

La energa total ser entonces:

Fijmonos que cuando el desplazamiento es mximo, x=A la velocidad es nula. La energa total ser entonces:

Concluimos entonces que la energa total del movimiento armnico simple es proporcional al cuadrado de su amplitud.

Esta ecuacin tambin se puede obtener sumando directamente la energa potencial y la cintica empleando las ecuaciones de la posicin y la velocidad en funcin del tiempo.

El pndulo simple

El ejemplo ms familiar de movimiento oscilatorio es el movimiento del pndulo. El movimiento de un pndulo es armnico simple tan solo si la amplitud del movimiento es pequea.

Consideramos la figura en la que tenemos una bola de masa m colgada del techo con una cuerda de longitud L. Las fuerzas que actan sobre la bola son su peso mg y la tensin T de la cuerda. Cuando la cuerda hace un ngulo respecto a la vertical, el peso se puede descomponer en dos componentes: una componente en la direccin de la cuerda (mg cos ) y una componente en la direccin perpendicular a la cuerda (mg sin ). Sea s la longitud del arco medida a partir de la parte ms baja del crculo. Recordamos la relacin entre el ngulo y el arco s: s = L.

La componente tangencial de la aceleracin de la bola es . Aplicando la ley de Newton a la componente tangencial:

Que es equivalente a:

En la ltima igualdad hemos supuesto que el ngulo es suficientemente pequeo como para aproximar sin a . Observamos que la ecuacin nos dice que la aceleracin es proporcional al desplazamiento. As, el movimiento del pndulo para pequeos desplazamientos es armnico simple. Ntese que la ecuacin se puede reescribir como sigue:

La solucin a esta ecuacin es simplemente , donde es el mximo desplazamiento del arco. El periodo del movimiento es:

Ntense dos caractersticas del movimiento del pndulo simple:

El periodo no depende de la masa de la bola

El periodo y la frecuencia no dependen de la amplitud de oscilacin. Esta es una caracterstica tpica del movimiento armnico simple.

La ltima caracterstica ha sido esencial en la historia de la humanidad, pues ha permitido fabricar que un pndulo para medir el paso del tiempo sea realmente sencillo. El hecho es que para que un pndulo tenga un periodo de, digamos, 1 segundo, no hace falta dejarlo caer desde una posicin perfectamente precisa; es suficiente con dejarlo caer desde una posicin cercana al equilibrio. Mientras se haga de esta forma, el periodo ser el mismo.

Relacin entre el MHS y el MCU

El hecho de trabajar con una frecuencia angular nos permite relacionar el MHS con un movimiento circular uniforme (MCU) de velocidad angular . Consideramos una partcula que se mueve con una velocidad angular constante sobre una circunferencia. El desplazamiento angular de la partcula respecto al eje de las x viene dado por:

Donde es el desplazamiento angular en el instante t=0. En la figura podemos deducir la interpretacin del MHS como la proyeccin sobre el eje X del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, y que gira con una velocidad angular (igual que la frecuencia del MHS) en el sentido contrario de las agujas del reloj.

Oscilador armnico amortiguado

En las situaciones reales, los movimientos armnicos disminuyen su amplitud a lo largo del tiempo, hasta que el sistema se para. Esto es debido a las fuerzas de friccin entre la masa y la superficie en la que se encuentra, entre la masa y el aire, etc. En muchos casos, este rozamiento se puede considerar proporcional a la velocidad, y con signo opuesto ya que las fuerzas de friccin siempre se oponen al movimiento. As, nos queda:

Donde b es la constante de proporcionalidad o coeficiente de friccin. Ahora la ecuacin diferencial a resolver ser:

Que se puede escribir como:

Donde es la frecuencia natural de oscilacin (a la que oscilara el sistema en ausencia de rozamiento) y es la constante de amortiguacin.

Como siempre, habra que resolver la ecuacin diferencial. Antes es necesario decir que la solucin explcita depende del valor relativo entre las constantes y . Distinguiremos tres tipos de rgimen:

( < ) Subamortiguado: la amplitud de oscilacin decae lentamente.

( = ) Amortiguado crticamente: la frecuencia de oscilacin es cero, y el sistema se aproxima gradualmente hasta la posicin de equilibrio. Este tipo de amortiguacin se usa ciando se pretende una eliminacin rpida de las oscilaciones, como por ejemplo en los sistemas de medida, amortiguadores de vehculos, etc.

( > ) Sobreamortiguado: el sistema no oscila, sino que se mueve lentamente hasta su punto de equilibrio.

Nos centraremos solo en el primero de estos casos.

Movimiento armnico subamortiguado

Si la solucin del movimiento simple (sin friccin) era del estilo:

Ahora la solucin pasa a ser:

Notad que hay solo dos cambios:

Introduccin de una exponencial decreciente en el tiempo , que hace que la amplitud de las oscilaciones vaya menguando.

Modificacin de la frecuencia angular, de a . La ltima se define como:

Y, por tanto, es ligeramente inferior a la frecuencia . Como lo que importa para el movimiento es la frecuencia que aparece en la ecuacin del movimiento denominaremos a frecuencia angular real del movimiento, y recordaremos siempre que resulta inferior a , la que tendra el movimiento si no hubiese friccin.

Habitualmente es conveniente reescribir la ecuacin del movimiento. Podemos probar que se puede reescribir de dos maneras:

El movimiento resultante se aprecia en la figura.

Recordad que la energa mecnica del oscilador, es igual a la suma de la energa potencial asociada al muelle y la energa cintica asociada a la partcula. La expresin que resulta cuando el amortiguado es pequeo () es:

Esta ecuacin muestra como la energa decrece exponencialmente con el tiempo con una pequea modulacin causada por el segundo trmino.

Casos sobreamortiguado y amortiguado crtico

La solucin anterior es vlida solo en casos de subamortiguado ( < ). Si vamos incrementando el amortiguado, llegaremos a un valor crtico en el que la constante de amortiguacin es igual a la frecuencia natural de oscilacin ( = ). Siempre que el sistema no oscila sino que vuelve a la posicin de equilibrio lentamente. De hecho, en el caso del amortiguado crtico, el sistema vuelve al equilibrio ms rpidamente que en el caso del sobreamortiguado. Cuanto ms grande es la constante de amortiguacin, ms tarda el sistema en volver a la posicin de equilibrio.

Oscilaciones forzadas

Hasta ahora, hemos visto las oscilaciones naturales de un cuerpo, producidas cuando lo apartamos de su posicin de equilibrio y lo dejamos ir. Las oscilaciones forzadas se producen cuando se aplica una fuerza externa y peridica sobre un sistema. El estudio de estos fenmenos es extremadamente importante en la mecnica, acstica, electrnica, etc.

Ecuacin del movimiento

Consideraremos el caso en el que la fuerza externa es peridica del tipo:

Donde es la amplitud mxima de la fuerza externa y es la frecuencia de esta fuerza externa. Con esto, la ecuacin del movimiento nos quedar:

Que es lo mismo que:

La solucin estacionaria de esta ecuacin diferencial se puede escribir como:

Donde las variables A y vienen dadas por:

Rgimen transitorio y rgimen estacionario

Realmente, el movimiento del sistema est dividido en dos partes:

Rgimen transitorio: durante los primeros instantes del movimiento del sistema, el efecto de la amortiguacin es apreciable, pero decae rpidamente hasta extinguirse.

Rgimen estacionario: cuando el rgimen transitorio ha desaparecido, nos queda el rgimen estacionario donde el sistema vibrar a la frecuencia impuesta por la fuerza externa. En el apartado anterior se indica la solucin correspondiente a este rgimen.

Fijaos en que en el rgimen estacionario tenemos una oscilacin harmnica simple en la que la frecuencia de oscilacin del sistema coincide con la de la fuerza exterior aplicada, de aqu resulta el nombre de oscilacin forzada. Hay que darse cuenta de que la fase del oscilador forzado est retrasada respecto a la fase de la fuerza externa.

Resonancia

Hemos visto como la amplitud del movimiento depende de la frecuencia angular de la fuerza externa que aplicamos . Esto quiere decir, que si vamos probando por todas las diferentes frecuencias, la amplitud del movimiento ir cambiando. Cuando la amplitud del sistema sea mxima, diremos que el sistema ha entrado en resonancia:

Un sistema entra en resonancia cuando para un determinado valor de la frecuencia externa, la amplitud de oscilacin forzada es mxima.

El valor de la frecuencia de resonancia del sistema amortiguado con excitacin forzada se puede conseguir minimizando el denominador de la ecuacin:

Ya que as haremos la amplitud mxima. Esta situacin recibe el nombre de resonancia en amplitud:

Es decir, que la frecuencia de resonancia del sistema forzado se acerca a la frecuencia propia del sistema en rgimen libre (frecuencia natural del sistema) a medida que disminuye el rozamiento. En la figura tenemos la representacin de la amplitud segn la frecuencia de la fuerza externa, para diferentes valores de amortiguacin.

Desde un punto de vista energtico, hay que tener en cuenta que para mantener en el rgimen estacionario un sistema con oscilaciones armnicas es necesario aportar energa al sistema. Esto es una consecuencia necesaria del hecho de que el sistema est oscilando en un medio viscoso y, por tanto, experimenta prdidas. Claramente quien suministra esta energa ha de ser la fuerza externa. El sistema absorbe la mxima energa cuando esta es suministrada con la frecuencia natural del oscilador. Esta situacin recibe el nombre de resonancia en potencia o energa y se produce cuando . En la mayor parte de los casos que resultan de inters, la frecuencia de resonancia en amplitud y en potencia son muy semejantes.

En los sistemas mecnicos se busca minimizar la resonancia, ya que esto podra provocar la destruccin del sistema. Hay otros casos, en los que la resonancia es buscada, como en instrumentos musicales o sintonizadores de radio.

Captulo 3

Dinmica de los sistemas de partculas y del slido rgido

Centro de masas y movimiento del centro de masas

8.1. Centro de masas

Si lanzamos una pelota al aire, seguir un movimiento parablico. Pero si lanzamos un bastn al aire, el movimiento es ms complicado. Cada extremo del bastn se mueve de manera distinta y ambos extremos lo hacen de forma distinta a como se mueve el punto medio. Sin embargo, si nos fijamos bien veremos que hay un punto del bastn que se mueve siguiendo una curva parablica aunque el resto de puntos no lo haga. Este punto, llamado centro de masas, se mueve como si toda la masa del bastn estuviera concentrada en este punto y todas las fuerzas externas estuvieran aplicadas sobre l. Para determinar el centro de masas de un cuerpo, es til visualizar el cuerpo como un sistema de partculas.

El movimiento de un objeto o de un sistema de partculas se puede describir en funcin del movimiento del centro de masas (que puede considerarse como el movimiento global del sistema) ms el movimiento de las partculas individuales en el sistema relativo al centro de masas. Consideremos en primer lugar un sistema simple formado por dos partculas en una dimensin. Sean x1 y x2 las coordenadas de las partculas puntuales de masas m1 y m2 respecto a un origen elegido arbitrariamente. La coordenada xcm del centro de masas viene definida por

Donde es la masa total del sistema. Si se elige el origen y la direccin del eje x de tal forma que la posicin de es el origen y est en la direccin positiva del eje x, entonces y , donde d es la distancia entre las partculas y el centro de masas viene dado por

En el caso de solo dos partculas, el centro de masas cae en un punto de la lnea que une las dos partculas; si las partculas tienen la misma masa, entonces el centro de masas se halla justo en el punto medio entre ellas. Si las dos partculas tienen masas distintas, el centro de masas estar ms cerca de la partcula con mayor masa.

Podemos generalizar de dos partculas en una dimensin a un sistema de muchas partculas en tres dimensiones. Para N partculas

Utilizando una notacin ms concisa

Donde es la masa total del sistema. Igualmente,

El vector posicin de la partcula i es . El vector de posicin del centro de masas, , viene definido por

Donde .

Consideremos cuerpos extendidos como pelotas, bates de beisbol incluso coches. Estos cuerpos contienen un gran nmero de partculas con una distribucin continua de masa. Para cuerpos con simetra elevada, el centro de masas coincide con el centro de simetra. Por ejemplo, el centro de masas de una esfera uniforme o de un cilindro uniforme est localizado en su centro geomtrico. Para un objeto que tenga una lnea o plano de simetra, el centro de masas est localizado en alguno de los puntos de esa lnea o plano. Para determinar el centro de masas de un objeto continuo, basta reemplazar el sumatorio de la ecuacin anterior por una integral:

Donde dm es un elemento de masa localizado en la posicin , como se muestra en la imagen.

Energa potencial gravitatoria de un sistema

La energa potencial gravitatoria de un sistema de partculas en un campo gravitatorio uniforme es la misma que tendra si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masas. Sea hi la altura de la partcula i en un sistema que se encuentra por encima de un nivel determinado de referencia. La energa potencial gravitatoria del sistema es

Por otra parte, teniendo en cuenta la definicin de centro de masas, la altura de ste viene dada por la expresin

Es decir,

Este resultado puede utilizarse para localizar experimentalmente el centro de masas de un objeto. Por ejemplo, dos objetos conectados por una barra ligera estarn en equilibrio sobre un pivote situado en el centro de masas. Si pivotamos el sistema en cualquier otro punto, el sistema girar hasta que la energa potencial pase por un mnimo, lo cual tiene lugar cuando el centro de masas se encuentra en el punto ms bajo posible directamente debajo del pivote.

Si suspendemos cualquier cuerpo irregular de un pivote, este cuerpo colgar de modo que su centro de masas se encuentre en un punto de la lnea vertical que pasa por el pivote y debajo de este si ahora suspendemos el cuerpo de otro punto y trazamos la lnea vertical que pasa a travs del mismo, el centro de masas se encuentra en la interseccin de las dos lneas.

8.2. Determinacin del centro de masas por integracin

En esta seccin se determina el centro de masas por integracin

Para ilustrar la tcnica de cmo establecer la integracin, trataremos el problema simple de determinar el centro de masas de una barra uniforme y delgada.

Barra uniforme. Primero, elegimos el sistema de coordenadas. Una buena eleccin es un sistema de coordenadas con el eje x a lo largo de la barra, con el origen en un extremo. En la figura se muestra un elemento de masa dm de longitud dx situado a una distancia x del origen. La ecuacin anterior nos lleva entonces a

La masa est distribuida a lo largo del eje x dentro del intervalo . El barrido de dm a lo largo de toda la barra (y en la direccin positiva del eje x) se determina mediante los lmites de la integral 0 y L. El cociente dm/dx es la masa por unidad de longitud ; por tanto, dm=dx:

Donde

Si la barra es uniforme, es constante y puede sacarse como factor en cada una de las integrales, obtenindose

Y

Despejando , de esta ltima ecuacin, se obtiene . Entonces, para una barra uniforme la masa por unidad de longitud es igual a la masa total dividida por la longitud total. Sustituyendo en lugar de M en la ecuacin, completamos el clculo y llegamos al resultado esperado

Aro semicircular. El clculo para determinar el centro de masas de un aro semicircular de radio R es ms fcil si elegimos el origen sobre la lnea de simetra del alambre (eje y) en el centro de curvatura como indica la imagen. Para determinar el centro de masas usamos la ecuacin , donde . La distribucin de masa semicircular sugiere la conveniencia de usar coordenadas polares, para las cuales x=rcos y y=rsin. Con estas sustituciones tenemos

Ahora expresamos dm en funcin de d. Primero, el elemento de masa dm tiene longitud ds=Rcos, por lo tanto,

Donde =dm/ds es la masa por unidad de longitud. De esta forma tenemos

La evaluacin de esta integral supone que dm recorra la distribucin de masa semicircular. Esto significa que los lmites de son . Se integra en la direccin de creciente, por lo que los lmites van de 0 a . Se obtiene entonces

El aro es uniforme y sabemos que =M/R, donde R es la longitud de la semicircunferencia. Sustituyendo y reordenando trminos

El centro de masas est en el eje y a una distancia de 2R/ del origen. Curiosamente, est fuera del objeto.

8.3. Movimiento del centro de masas

El movimiento de un objeto o de un sistema de partculas se puede describir en funcin del movimiento del centro de masas, que puede considerarse como el movimiento global del sistema ms el movimiento de las partculas individuales en el sistema relativo al centro de masas. La figura es una fotografa obtenida con destellos mltiples de un bastn lanzado al aire. Mientras el bastn est en el aire, el centro de masas sigue una trayectoria parablica, la misma que seguira una partcula puntual. Las otras partes del bastn rotan en torno a este punto cuando el bastn se mantiene en el aire.

El movimiento del centro de masas para un sistema de partculas est relacionado con la fuerza neta que acta sobre el sistema como un todo. Podemos demostrar esto examinando el movimiento de un sistema de n partculas de masa M. para determinar la aceleracin del centro de masas, calcularemos primero su velocidad, derivando la ecuacin respecto al tiempo:

La derivada temporal de la posicin es la velocidad y se obtiene

Una nueva diferenciacin nos da las aceleraciones:

Donde es la aceleracin de la partcula i-sima y es la aceleracin del centro de masas. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la suma de las fuerzas que actan sobre la partcula i, por lo que

Donde el trmino de la derecha es la suma de todas las fuerzas que actan en cada partcula del sistema. Algunas de estas fuerzas son fuerzas internas (ejercidas sobre una partcula del sistema por otra partcula del sistema) y otras son fuerzas externas (ejercidas sobre una partcula del sistema por una partcula que no est en el sistema). As,

De acuerdo con la tercera ley de Newton, las fuerzas se presentan emparejadas accin-reaccin. As, para cada fuerza interna que acta sobre una partcula existe una fuerza igual pero opuesta que acta sobre otra partcula. Cuando se suman todas las fuerzas internas, cada pareja accin-reaccion suma cero, de forma que . La ecuacin se convierte en

Esta ecuacin nos dice que la masa total M multiplicada por la aceleracin del centro de masas es igual a la fuerza externa resultante que acta sobre el sistema. As, tenemos:

El centro de masas de un sistema se mueve como una partcula de masa sometida a la influencia de la fuerza externa resultante que acta sobre el sistema.

Este teorema es importante porque nos muestra cmo describir el movimiento del centro de masas de cualquier sistema de partculas. El centro de masas se comporta exactamente igual que una sola partcula puntual sometida nicamente a las fuerzas externas. Los movimientos individuales de los elementos del sistema generalmente son mucho ms complejos y no vienen descritos por la ecuacin anterior.

Un caso especial del movimiento del centro de masas es aquel en el que sobre el sistema no acta ninguna fuerza externa neta. Por tanto, y el centro de masas est en reposo o se mueve con velocidad constante. Las fuerzas internas y el movimiento pueden ser complejos, pero el comportamiento del centro de masas es simple. Adems, si la fuerza externa neta no es cero, pero una componente de ella permanece en una direccin dada, por ejemplo, la direccin x, es cero, entonces y permanece constante.

Momento lineal, energa cintica de un sistema de partculas y conservacin del momento lineal

8.4. Conservacin del momento lineal

Cuando Newton concibi su segunda ley consider el producto de la masa y la velocidad como una medida de la cantidad de movimiento de un cuerpo. Hoy en da, llamamos momento lineal o cantidad de movimiento al producto de la velocidad de una partcula por su masa:

La cantidad se designa como momento lineal de una partcula para distinguirlo del momento angular.

El momento lineal es una magnitud vectorial. Es el producto entre un vector (la velocidad) y un escalar (la masa). Su mdulo es mv y tiene la misma direccin que . Las unidades del momento son unidades de masa por velocidad; as, en el SI las unidades del momento son kgm/s2.

El momento puede considerarse como una medida de la dificultad de llevar la partcula hasta el reposo. Por ejemplo, un camin pesado tiene mayor momento lineal que un automvil ligero que se mueve con igual velocidad. Es necesaria una fuerza mayor para detener el camin en un tiempo determinado que para detener el automvil en el mismo tiempo.

La segunda ley de Newton puede escribirse en funcin del momento de una partcula. Diferenciando la ecuacin anterior se obtiene

Sustituyendo por la fuerza , resulta:

Por lo tanto, la fuerza neta que acta sobre una partcula es igual a la derivada respecto al tiempo del momento de la partcula. En realidad, el enunciado original de la segunda ley de Newton tena esta forma.

El momento total de un sistema de muchas partculas es la suma de los momentos de las partculas individuales:

De acuerdo con la ecuacin del centro de masas, es igual a la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masas:

Derivando eta ecuacin respecto al tiempo

Pero de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la fuerza externa neta que acta sobre el sistema. Por lo tanto,

Cuando la fuerza externa resultante que acta sobre un sistema de partculas es cero, la derivada del momento lineal total es tambin cero, y el momento lineal total del sistema permanece constante:

Si , entonces

Este resultado se conoce con el nombre de ley de conservacin del momento:

Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es cero, el momento lineal total del sistema permanece constante.

Esta es una de las leyes ms importantes de la fsica. Es aplicable en un mayor nmero de casos que la ley de conservacin de la energa mecnica debido a que las fuerzas internas ejercidas por una partcula del sistema sobre otra son frecuentemente no conservativas. As pues, estas fuerzas internas pueden hacer variar la energa mecnica total del sistema, pero no pueden modificar la cantidad de movimiento total del sistema. Si el momento lineal total de un sistema es constante, la velocidad vectorial del centro de masas del sistema tambin es constante. La ley de conservacin del momento es una relacin vectorial, por lo que es vlida componente a componente. Por ejemplo, si la suma de las componentes x de las fuerzas externas que actan sobre el sistema es cero, la componente x del momento total del sistema permanece constante. Es decir,

Si , entonces

8.5. Energa cintica de un sistema

Aunque el momento lineal total de un sistema de partculas debe ser constante si la fuerza externa resultante sobre el sistema es cero, la energa mecnica total del sistema puede variar. Como vimos en la seccin anterior, las fuerzas internas, que no pueden alterar el momento lineal total, pueden ser fuerzas no conservativas y, por lo tanto, modificar la energa mecnica total del sistema. Existe un importante teorema que se refiere a la energa cintica de una sistema de partculas que nos permite tratar ms fcilmente la energa de sistemas complejos, as como los cambios energticos dentro de un sistema:

La energa cintica de un sistema de partculas puede escribirse como la suma de dos trminos: 1. La energa cintica asociada con el movimiento del centro de masas, , donde M es la masa total del sistema; y 2. La energa cintica asociada con el movimiento de las partculas del sistema respecto al centro de masas, , siendo la velocidad de la partcula i relativa al centro de masas.

As,

Donde M es la masa total y es la energa cintica de las partculas relativa al centro de masas.

Para demostrar este teorema, recordemos que la energa cintica de un sistema de partculas es la suma de las energas cinticas de las partculas individuales:

Donde hemos utilizado que . La velocidad de la partcula i puede escribirse como la suma de la velocidad del centro de masas y la velocidad de la partcula relativa al centro de masas :

La energa cintica del sistema es, por lo tanto,

Que puede escribirse como suma de tres trminos:

Donde en el sumando de la derecha hemos sacado factor comn , ya que es el mismo para todas las partculas, es decir, se refiere al sistema y no a una partcula especfica. La magnitud es el momento lineal del sistema referido al centro de masas. Esta magnitud, que es igual a , es necesariamente cero. Por lo tanto,

Que completa la demostracin. Cuando no hay fuerzas externas, es constante y la energa cintica asociada con el movimiento global no vara. Slo la energa cintica relativa puede cambiar en un sistema aislado.

8.6. Colisiones

Un coche colisiona frontalmente con otro. Un bate golpea una pelota de bisbol. Cada uno de ellos son ejemplos de colisiones en los cuales dos cuerpos se acercan e interaccionan fuertemente durante un breve periodo de tiempo.

Durante el breve periodo de colisin, cualquier fuerza externa es mucho menor que las fuerzas de interaccin entre los objetos. Entonces, los objetos que colisionan pueden ser tratados como sistemas aislados durante la colisin. Por ello, las nicas fuerzas importantes que actan sobre el sistema formado por dos objetos son las fuerzas de interaccin, que son iguales y opuestas, de modo que el momento lineal total del sistema permanece invariable. Es decir, el momento total del sistema en el instante anterior a la colisin es igual al momento en el instante posterior a la colisin. El tiempo de colisin es, normalmente, tan pequeo que el desplazamiento de los objetos durante el choque puede despreciarse.

Cuando la energa cintica total de los dos objetos es la misma antes y despus del choque se trata de un choque elstico. Si la energa cintica total no es la misma despus del choque, se dice que es un choque inelstico. Un caso extremo es el choque perfectamente inelstico, en el cual toda la energa cintica relativa al centro de masas se convierte en calor o energa interna del sistema y los dos objetos comparten la misma velocidad, pues quedan unidos despus de la colisin.

Colisiones en una dimensin

Las colisiones en las que los cuerpos que colisionan se mueven en lnea recta antes, durante y despus de la colisin, se denominan colisiones unidimensionales.

Consideremos un cuerpo de masa m1 que se mueve con velocidad inicial v1i hacia un segundo cuerpo de masa m2 que se mueve con una velocidad v2i. si v2i < v1i los cuerpos chocarn. Sean v1f y v2f las velocidades finales de los cuerpos despus del choque. Los dos cuerpos formarn un sistema aislado. El principio de conservacin de la cantidad de movimiento nos da una relacin entre las dos velocidades desconocidas, v1f y v2f:

Para calcular v1f y v2f es necesaria una segunda ecuacin. Esta segunda ecuacin, que ahora desarrollaremos, depende del tipo de colisin.

Colisin perfectamente inelstica en una dimensin. En las colisiones perfectamente inelsticas, las partculas tienen la misma velocidad despus de la colisin, pues quedan unidas tras el impacto. En una colisin perfectamente inelstica, las velocidades finales son iguales entre s e iguales a la velocidad del centro de masas:

Combinando este resultado con la ecuacin anterior nos da

Con frecuencia es til expresar la energa cintica K de una partcula en funcin de su momento lineal p. Para una masa m que se mueve con velocidad v tenemos que la energa cintica inicial es

Despus del choque, los objetos se mueven unidos como una sola masa con velocidad . El momento lineal se conserva, de modo que el momento lineal final es igual a Psist. La energa cintica final es, por lo tanto,

Colisiones elsticas. En las colisiones elsticas, la energa cintica del sistema es la misma antes y despus de la colisin. En el mundo macroscpico, las colisiones elsticas son un ideal al cual la realidad puede aproximarse, pero nunca pueden llegar a darse.

En la imagen se muestran dos objetos antes y despus de que tengan una colisin frontal unidimensional. Dado que el momento se conserva durante la colisin, entonces

La colisin es elstica y, por lo tanto, la energa cintica es la misma, antes y despus de la colisin. Entonces,

Estas dos ecuaciones son suficientes para determinar las velocidades finales de los dos objetos. Sin embargo, la naturaleza cuadrtica de la ecuacin complica frecuentemente la solucin. Tales problemas pueden tratarse ms fcilmente si expresamos la velocidad relativa de las dos partculas despus del choque en funcin de la velocidad relativa antes del choque. Reagrupando la ecuacin para la conservacin del momento, se obtiene

De modo que

En las colisiones elsticas, el modulo de la velocidad de retroceso es igual a la velocidad de aproximacin.

La velocidad final de la partcula incidente y la de la partcula estacionaria estn relacionadas con la velocidad inicial de la partcula incidente por:

Y

Coeficiente de restitucin. En general, un choque es una situacin intermedia entre los casos extremos de choque elstico, en el que las velocidades relativas se invierten, y choque perfectamente inelstico, en el que no existe velocidad relativa despus del choque. El coeficiente de restitucin e, que es la medida de la elasticidad de una colisin, se define como el cociente entre la velocidad relativa de retroceso y la velocidad relativa de aproximacin:

En una colisin elstica, e=1; en una colisin perfectamente inelstica, e=0.

Colisiones en dos y tres dimensiones

En colisiones unidimensionales, las direcciones de los vectores velocidad inicial y final se especifican simplemente mediante un + o un -. Este no es el caso de las colisiones bi y tridimensionales. En este tipo de colisiones, el momento se conserva en cada una de las direcciones x, y, z.

Colisiones inelsticas. En las colisiones de dos o tres dimensiones, el momento total se obtiene sumando los vectores momento inicial de cada objeto implicado en la colisin. Como tras la colisin perfectamente inelstica los objetos tienen la misma velocidad final y el momento se conserva, tenemos

Por esta relacin sabemos que los tres vectores velocidad, y la colisin, estn en el mismo plano. Tambin, a partir de la definicin de centro de masas sabemos que .

Colisiones elsticas. Los choques elsticos en dos y tres dimensiones son ms complejos que los estudiados previamente. La figura muestra una colisin frontal entre un objeto que se mueve paralelamente al eje x hacia otro objeto que se encuentra inicialmente en reposo en el origen. Este tipo de colisiones se denominan colisiones no frontales (en contraposicin a las colisiones frontales). La distancia b se denomina parmetro de impacto. Las velocidades finales dependen del parmetro de impacto y del tipo de fuerza que ejerce un objeto sobre el otro.

La conservacin del momento lineal nos da

En esta ecuacin vemos que el vector debe encontrarse en el plano formado por y , que a partir de ahora denominamos plano xy. Suponiendo conocida la velocidad inicial, aun quedan cuatro incgnitas: las componentes x e y de cada velocidad final; o alternativamente, los mdulos de las dos velocidades finales y los dos ngulos de desviacin. Podemos aplicar la ley de conservacin del momento en forma de componentes para obtener dos de las ecuaciones que necesitamos:

Como la colisin es elstica, podemos usar la conservacin de la energa cintica para encontrar la tercera ecuacin:

Para obtener el valor de las cuatro incgnitas, es necesaria una cuarta relacin. sta, depende del parmetro de impacto b y del tipo de fuerza de interaccin ejercida por los dos cuerpos entre s. En la prctica, la cuarta relacin se obtiene normalmente midiendo el ngulo de desviacin o el ngulo de retroceso.

Considrese el caso especial e interesante de un choque elstico no frontal entre dos objetos de igual masa cuando uno de ellos se encuentra inicialmente en reposo. Si y son las velocidades inicial y final del objeto 1, respectivamente, y es la velocidad final del objeto 2, la conservacin de la cantidad de movimiento nos dice

Los vectores velocidad final se suman formando el tringulo que se indica en la figura. La conservacin de la energa correspondiente a este choque es

Esta ltima ecuacin es el teorema de Pitgoras para un tringulo rectngulo.

8.7. Colisiones en el sistema de referencia del centro de masas

Como hemos visto, la velocidad del centro de masas permanece invariable cuando la fuerza resultante externa que acta sobre el sistema es nula, en cualquier sistema de referencia inercial. A veces es conveniente hacer los clculos en un sistema de referencia alternativo que se mueve con el centro de masas. Entonces, con respecto al sistema de coordenadas original, llamado sistema de referencia de laboratorio, este sistema de coordenadas se mueve con una velocidad constante relativa al sistema de referencia de laboratorio. Un sistema de referencia que se mueve a la misma velocidad que el centro de masas recibe el nombre de sistema de referencia del centro de masas. Si una partcula tiene la velocidad en el sistema de referencia original, su velocidad relativa al centro de masas es . Como el momento total del sistema es igual a la masa total por la velocidad del centro de masas, el momento total tambin es cero en el sistema de referencia del centro de masas, el momento tambin es cero en el sistema de referencia del centro de masas. Por ello, se llama tambin sistema del momento lineal cero.

El anlisis matemtico de las colisiones se simplifica enormemente cuando se consideran en el sistema de referencia del centro de masas. Las velocidades de las partculas en el sistema de referencia del centro de masas son y . Los momentos lineales de los dos objetos incidentes son iguales y opuestos

Despus de una colisin perfectamente inelstica, los objetos permanecen en reposo. Toda la energa original se pierde en forma de energa trmica. Una colisin perfectamente elstica en una dimensin invierte la velocidad de cada objeto, pero no cambia su mdulo.

Consideremos, por ejemplo, un sistema simple de dos partculas en un sistema de referencia, en el cual una partcula de masa se mueve con una velocidad y una segunda partcula de masa se mueve con velocidad . En este sistema, la velocidad del centro de masas es

Para transformar las velocidades de las dos partculas a sus velocidades en el sistema de referencia del centro de masas, basta restar .

8.8. Sistemas de masa variable: la propulsin de los cohetes

En esta seccin, exploramos situaciones en que el sistema que consideramos cambia su masa continuamente. En este caso se elige el sistema formado por el cohete ms el combustible que an est por usar. Cuando el combustible se utiliza, la masa del sistema disminuye.

La propulsin de un cohete es un ejemplo interesante de la conservacin de la cantidad de movimiento. Ahora vamos a deducir la ecuacin del cohete. La masa del cohete cambia continuamente a medida que el motor quema combustible y expele los gases resultantes. Consideremos un cohete que se mueve en lnea recta con una velocidad relativa a la tierra. Suponiendo que el combustible se quema a ritmo constante, en el tiempo t la masa del cohete es:

Donde es la masa inicial del cohete. Los gases se separan del cohete a una velocidad relativa al cohete, y el rito con el cohete consume combustible coincide con la velocidad con la que disminuye su masa M. Elegimos como sistema el cohete y el combustible no utilizado. Despreciando la resistencia del aire, la nica fuerza externa que acta sobre el sistema es la fuerza de la gravedad. La ecuacin del cohete es:

La magnitud es la fuerza ejercida sobre el cohete por el gas que escapa y se denomina empuje (o fuerza de impulsin) :

El cohete se mueve hacia arriba, por lo que se elige esta direccin como la positiva del eje y, con lo cual expresamos

Para un cohete que inicia su movimiento del reposo en el tiempo t=0, resulta:

Donde . Reagrupando y sustituyendo t por y por b, da

Captulo 4

Dinmica de rotacin

Introduccin

Si la posicin relativa entre las partculas no vara, estamos ante un slido rgido.

Podemos definir dos tipos de movimiento:

Traslacin: todos los puntos se mantienen a la misma distancia.

Rotacin: cada punto del slido rgido describir un movimiento circular referente al eje.

9.1. Cinemtica de la rotacin: velocidad angular y aceleracin angular

Cada punto de un cuerpo que gira respecto a un eje fio se mueve en un crculo cuyo centro est en el eje de rotacin y cuyo radio es la distancia de este punto al eje de rotacin. Imaginemos un disco que gira alrededor de un eje fijo perpendicular a su superficie y que pasa por su centro. Sea ri la distancia desde el centro del disco a la partcula i, y sea i el ngulo medido en el sentido contrario al de la rotacin de las agujas del reloj entre la lnea radial que une la partcula con el eje de rotacin y una lnea de referencia fija en el espacio. Cuando el disco gira un ngulo d , la partcula se mueve un arco circular de longitud dsi de tal manera que se cumple

Donde d se mide en radianes. Si el sentido positivo se define como el sentido opuesto al avance de las agujas de un reloj, entonces d, i y dsi, mostrados en la figura son todos positivos. El ngulo i, la longitud dsi y la distancia ri varan de una partcula a otra pero el desplazamiento angular d, es el mismo para todas las partculas del disco.

La variacin del ngulo respecto al tiempo es la misma para todas las partculas del disco y se denomina velocidad angular del disco. La velocidad angular instantnea es un desplazamiento angular de corta duracin dividido por el tiempo. Es decir,

De forma que es positivo o negativo en funcin de que sea positivo o negativo, respectivamente.

La aceleracin angular es el ritmo de cambio de la velocidad angular. Si el ritmo de rotacin de un cuerpo crece, la velocidad angular crece. La variacin instantnea de la velocidad angular respecto al tiempo se denomina aceleracin angular

La aceleracin angular es positiva si la velocidad angular crece y negativa si decrece.

Las tres magnitudes angulares desplazamiento angular, velocidad angular y aceleracin angular son anlogas a las magnitudes lineales:

La velocidad tangencial de la partcula est relacionada con la velocidad angular del disco por:

De modo que

De igual modo, la aceleracin tangencial de una partcula sobre el disco es

Es decir

9.2. Energa cintica de rotacin

La energa cintica de un objeto rgido que gira respecto a un eje fijo es la suma de la energa cintica de las partculas individuales que colectivamente constituyen el objeto. As, la energa cintica de la partcula i, de masa mi, es

Sumando la energa cintica de todas las partculas se obtiene

La suma del trmino de la derecha es el momento de inercia I de objeto respecto al eje de rotacin

Por lo tanto, la energa cintica del sistema resulta ser

Donde la c significa que depende del eje a travs del cual estamos rotando.

9.3. Clculo del momento de inercia

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambio en su movimiento de rotacin respecto a un eje. Cuanto ms lejos est la masa del eje, mayor es el momento de inercia. As, el momento de inercia es una propiedad que depende de la localizacin de su eje de rotacin as como de la distribucin de la masa del objeto.

El momento de inercia depende del tipo de objeto y del eje sobre el cual lo hagamos girar.

Disco:

Esfera slida respecto al dimetro

Barra respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro

Teorema de Steiner Teorema de los ejes paralelos

El teorema relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masas de un objeto, con el momento de inercia respecto a otro eje paralelo al primero.

Donde Mh2 hace referencia al desplazamiento del propio centro de masas.

Teorema de los ejes perpendiculares

*Flywheel