UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PLANES DE 1994 y … · Multiplicando, a la izquierda, los dos miem-...

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PLANES DE 1994 y

DE 2002 MATEMÁTICAS APLI-CADAS A LAS CIEN-CIAS SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A (Junio 2.005) EJERCICIO 1

Sean las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

101112

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

120211

B .

a) (1 punto) Calcule la matriz C = B·A – At · Bt.

b) (2 puntos) Halle la matriz X que verifique A·B·X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

.

EJERCICIO 2

Sea la función ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<= 1 si2

1 si2)( x

x

xxf

x

a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f. b) (0.5 puntos) Calcule sus asíntotas. c) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. EJERCICIO 3 Parte I En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 5. b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 55. c) (0.5 puntos) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcule la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5. Parte II En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2. a) (1 punto) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la población. b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?


PLANES DE 1994 y




OPCIÓN B (Junio 2.005) EJERCICIO 1 Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 2x – 3y ≤ 6; x ≥ 2y – 4; x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0. a) (2 puntos) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices. b) (1 punto) Halle los puntos de esa región en los que la función F(x, y) = 2x + 3y al-canza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores. EJERCICIO 2 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = –t2 +12t –31, 4 ≤ t ≤ 7. a) (1.5 puntos) Represente la gráfica de la función f. b) (1.5 puntos) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste? EJERCICIO 3 Parte I Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras. a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca? c) (0.5 puntos) Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja? Parte II Sea la población de elementos {22, 24, 26}. a) (0.5 puntos) Escriba todas las muestras posibles de tamaño 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. b) (0.75 puntos) Calcule la varianza de la población. c) (0. 75 puntos) Calcule la varianza de las medias muestrales.

Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 2005. Soluciones Página 1

Soluciones OPCIÓN A (Junio 2.005) EJERCICIO 1


⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

101112

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

120211

B .

a) (1 punto) Calcule la matriz C = B·A – At · Bt. Como B es 3x2 y A, 2x3, es posible calcular B·A, y el resultado será 3x3:

B·A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

120211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−101112

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+−−−+−−++−−+−−+−+−−−+−

1·11·20·1)1(2)1(1)2(21·01·20·0)1(2)1(0)2(21)1(1·10)1()1(1)1)(1()2(1

=

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

123224011

Como ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

110112

tA y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

101221tB , es decir, son 3x2 y 2x3, entonces, At · Bt

será 3x3:

At · Bt =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−

110112

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−101221

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+−++−−+−−+−−+−−−+−−−+−

1·1)2(10·12·1)1(11·11·0)2(10·02·1)1(01·1

1)·1()2(20)·1(2·2)1)(1(1·2=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

120221341

Por tanto, C = B·A – At · Bt = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

123224011

–⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

120221341

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−−−+−+−−+−+−

112203222214304111

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

003003330

b) (2 puntos) Halle la matriz X que verifique A·B·X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

.

Llamamos D = A·B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−101112

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

120211

=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−−++−+−−−−+−−

1·10·0)1(1)2(12·01·11·10·1)1(2)2(12·11·2

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

2336

Entonces, |D| = 2336

−−

= –12–(–9) = –12+9 = –3 y Dt = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−2336

por lo que:


Adj(Dt) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

6332

. Entonces:

D–1 = )(1 tDAdjD

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

− 6332

31 = ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

21

132

Pues bien: A·B·X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

⇒ D·X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

Multiplicando, a la izquierda, los dos miem-

bros de esta ecuación por D–1:

D–1·D·X = C–1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

⇒ I2·X = D–1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

, donde I2 es la matriz identidad 2x2 ⇒

X = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

21

132

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

2·24·1

2·1432

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

0

238

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

036

38

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

032

EJERCICIO 2

Sea la función ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<= 1 si2

1 si2)( x

x

xxf

x

a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f. Continuidad • Intervalo (–∞, 1): f coincide con y=2x, que es continua en todos los puntos de R, por

ser exponencial. En particular, en los de este intervalo. Luego f es continua en todo el intervalo.

• Intervalo (1, +∞): f coincide con 2yx

= , que es continua en R–{0}, porque 0 anula

el denominador. Como 0∉(1, +∞), f es continua en todos los puntos del intervalo.

• x = 1: En primer lugar, ∃f(1) = 21

= 2. Además:

1lim ( )x

f x−→

= 1

lim 2x

x −→= 2;

1lim ( )x

f x+→

=1

2limx x+→

= 2 ⇒ 1

lim ( )x

f x→

= 2 = f(1)

Luego es continua en todo R. Derivabilidad Usando las reglas de derivación en intervalos abiertos:

2

2 2 si 1'( ) 2 si 1

x L xf x

xx

⎧ <⎪= ⎨− >⎪⎩

de donde f ’(1–) = 21L2 = 2 L2; f ’(1+) = –2. Como no coinci-

den, f no es derivable en x = 1. b) (0.5 puntos) Calcule sus asíntotas. Asíntotas verticales. Sólo puede tenerlas en los puntos de discontinuidad. Como vimos antes que es continua en todo R, no puede tener asíntotas verticales. Asíntotas horizontales. La función tiene diferente definición en –∞ que en +∞. Distin-guimos, entonces, a la hora de calcular el límite:


lim ( )x

f x→−∞

= lim 2x

x→−∞ = ( )2−∞ = 1

2+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1⎛ ⎞⎜ ⎟+∞⎝ ⎠

= 0 ⇒ y = 0 es asíntota hori-

zontal por el lado de –∞

lim ( )x

f x→+∞

= 2limx x→+∞

= 2⎛ ⎞⎜ ⎟+∞⎝ ⎠

= 0 ⇒ y = 0 es asíntota horizontal, también, por el

lado de +∞ Asíntotas oblicuas. Al tener asíntota horizontal tanto al acercarnos a –∞ como a +∞, no tiene asíntotas oblicuas (al calcularlas, se obtendría, de nuevo, la asíntota horizontal). c) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. De los dos intervalos donde nos definen f de forma distinta, x = 2 pertenece a [1, +∞),

donde f(x) = 2x

. Nos limitamos a esta fórmula de f, pues.

Cuando x = 2 ⇒ f(2) = 22

= 1 ⇒ El punto de tangencia es (2, 1).

La pendiente de la recta tangente será f ’(2), según la interpretación geométrica de la

derivada. Como f ’(x) = 2

2x

− ⇒ f ’(2) = 24

− = 12

− .

Luego la recta tangente será, usando la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

y–1 = 12

− (x–2) ⇒ y = 12

− x +1 +1 ⇒ y = 12

− x +2

EJERCICIO 3 Parte I En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 5. Hay 1.000 papeletas en el sorteo. Estos son los casos posibles. Los favorables son el número de papeletas que terminan en 5. Éstas tienen la estructura: Donde cada una de las dos primeras posiciones pueden ocuparse por 10 elementos dis-tintos (las cifras del 0 al 9), que pueden repetirse (la misma cifra en las dos posiciones). Por tanto, son: VR10,2 = 102 = 100 (sin combinatoria, serían 10 posibilidades para la primera posición y, para cada una de ellas, 10 para la segunda; o sea, 10·10 = 100) Luego:

P(nº premiado termina en 5) = 1001000

= 0,1

b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 55. Análogamente al anterior, hay 1.000 casos posibles y los favorables son las papeletas de la forma: o sea, 10 papeletas (las 10 posibilidades de completar la primera posición). Luego:

5

5 5


P(nº premiado termina en 55) = 101000

= 0,01

c) (0.5 puntos) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcule la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5. Las extracciones son independientes; no hay ninguna influencia entre ellas. Por tanto, si: A = Terminar hoy en 5 B = Terminar ayer en 5 se tiene que: P(A/B) = P(A) = 0,1 EJERCICIO 3 Parte II En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2. a) (1 punto) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la población. El intervalo de confianza para la media poblacional μ es:

2 2x z x zn nα ασ σμ− ≤ ≤ +

Sabemos que σ = 2, n = 400, x = 50. Nos piden que:

2 2P x z x zn nα ασ σμ⎛ ⎞− ≤ ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= 0,97

Es decir, 1–α = 0,97 ⇒ α = 1–0,97 = 0,03 ⇒ 2α = 0,015 ⇒ 1–

2α = 0,985 ⇒

zα/2=2,17 (buscando en las tablas de la Normal). Luego el intervalo de confianza pedido es, sustituyendo:

50–2,17 2400

≤ μ ≤ 50+2,17 2400

⇔ 50–2,17 220

≤ μ ≤ 50+2,17 220

⇔ 50–0,217 ≤ μ ≤ 50+0,217 ⇔ 49,783 ≤ μ ≤ 50,217 b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

2 250 2,17 50 2,17n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≤ 1 ⇔ 2 250 2,17 50 2,17n n

+ − + ≤ 1 ⇔

22·2,17n≤ 1 ⇔ 8,68

n≤1 ⇔ Como la raíz es positiva, se puede pasar multiplican-

do al otro miembro sin que cambie el sentido de la desigualdad: 8,68 ≤ n ⇒ Ele-vando al cuadrado: 75,3424 ≤ n Es decir, n≥76 (no es posible que n valga 75,3424, pues es el tamaño de la muestra, que es un número natural, sin decimales).


OPCIÓN B (Junio 2.005) EJERCICIO 1 Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 2x – 3y ≤ 6; x ≥ 2y – 4; x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0. a) (2 puntos) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.

2x – 3y ≤ 6 ⇔ 2x – 6 ≤ 3y ⇔ 2 63

xy −≥

Es decir, se trata del área que queda sobre la recta (si y fuera igual, en lugar de mayor o igual, serían los puntos de la recta; los puntos cuyos valores de y son mayores o iguales están por arriba de los puntos de la recta), y que está marcada en la figura adjunta.

x ≥ 2y–4 ⇔ x+4 ≥ 2y ⇔ 42

xy +≤

Luego se trata del área que queda bajo la recta. La dibu-jamos en el mismo gráfico, con lo que el área actual es la de la figura adjunta. x+y ≤ 8 ⇔ y ≤ –x+8 Por tanto, es el área que queda bajo la recta y que refle-jamos en la figura adjunta, combinándola con el área que teníamos hasta ahora. Los puntos que verifican x ≥ 0 son todos los que quedan a la derecha del eje OY. A su vez, los que verifican y ≥ 0 son los que están por encima del eje OX. En definitiva, el área solicitada es:

Los vértices de la región son los puntos A, B, C, D y E de intersección de las distintas rectas. Hallemos sus distintas coordenadas. A es la intersección de x = 2y–4 con x+y = 8. La primera de estas ecuaciones es equiva-lente a x–2y = –4. Multiplicando la segunda ecuación por 2:

2 48

x yx y− = −⎧

⎨ + =⎩ ⇒

2 42 2 16x yx y− = −⎧

⎨ + =⎩

Sumando: 3x = 12 ⇒ x = 4 Sustituyendo en la segunda ecuación original: 4+y = 8 ⇒ y = 8–4 = 4. Es decir, A(4, 4). B es la intersección de 2x – 3y = 6 con x+y = 8. Multiplicando la segunda ecuación por 3:

2 3 68

x yx y− =⎧

⎨ + =⎩ ⇒

2 3 63 3 24

x yx y− =⎧

⎨ + =⎩


Sumando: 5x = 30 ⇒ x = 6 Sustituyendo en la segunda ecuación original: 6+y = 8 ⇒ y = 8–6 = 2 Luego B(6, 2) C es la intersección de 2x – 3y = 6 con el eje OX, es decir, con y = 0. Sustituyendo y = 0 en 2x – 3y = 6, queda: 2x–0 = 6 ⇒ x = 3. Luego C(3, 0) D es el origen de coordenadas: D(0, 0) E es la intersección de x = 2y–4 con el eje OY. Sustituyendo x = 0 en x = 2y–4, queda: 0 = 2y–4 ⇒ 4 = 2y ⇒ y = 2. Luego D(0, 2) b) (1 punto) Halle los puntos de esa región en los que la función F(x, y) = 2x + 3y al-canza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores. El máximo y el mínimo de una región acotada se alcanzan en uno de los vértices o en todo el segmento que une dos de ellos. Podemos optar por calcular el valor de F en cada vértice o bien por dibujar la recta 2x +3y = 0 y elegir la paralela a la misma más alta (para el máximo) y más baja (para el mínimo), puesto que el máximo estará en la recta 2x+3y=c más elevada (porque tendrá la c mayor posible) y el mínimo, en la menos ele-vada. Hay que tener en cuenta que si el coeficiente de y en la función objetivo es negati-vo, es al revés; es decir, el máximo se obtiene para la recta más baja y el mínimo, para la que esté más elevada, tocando puntos del área factible. Todas esas rectas son paralelas a 2x + 3y = 0, que está dibujada en el siguiente gráfico adjunto.

A la vista del mismo, el máximo se alcanzará en A (aun-que podrían existir dudas con B, según la precisión con que hayamos hecho el dibujo), y el mínimo en D. Con todo, calculamos el valor de la función objetivo en cada vértice: Vértice A: F(4, 4) = 2·4+3·4 = 8+12 = 20 Vértice B: F(6, 2) = 2·6+3·2 = 12+6 = 18 Vértice C: F(3, 0) = 2·3+3·0 = 6 Vértice D : F(0, 0) = 0 Vértice E: F(0, 2) = 2·0+3·2 = 0+6 = 6 Luego el máximo se obtiene en A(4, 4) y vale 20. El mínimo, en D(0, 0) y vale 0. Según el razonamiento seguido al dibujar la recta 2x+3y=0, no precisaríamos haber calculado F(C) ni F(E), puesto que estábamos seguros que en ninguno de ellos estaba ni el máxi-mo ni el mínimo. EJERCICIO 2 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = –t2 +12t –31, 4 ≤ t ≤ 7. a) (1.5 puntos) Represente la gráfica de la función f. Se trata de una parábola. Por tanto, emplearemos la técnica habitual para dibujar la grá-fica de una parábola: • Se abre hacia abajo, con un máximo relativo, puesto que el coeficiente del término

de mayor grado es negativo (–1). • Intersección con OY: t=0 ⇒ y = 0+12·0–31 ⇒ (0, –31)


• Intersecciones con OT (la variable independiente no es x, sino t): –t2+12t–31 = 0 ⇒ Multiplicando por –1 los dos miembros de la ecuación: t2–12t+31 = 0 ⇒

212 12 4·312

t ± −= = 12 144 124

2± − = 12 20

2± = 12 4·5

2± = 12 4 5

2± =

12 2 52± = 12 2 5

2± = 2(6 5)

2± = 6 5±

Luego las dos intersecciones son (6– 5 , 0) y (6+ 5 , 0), que son, aproximadamente (3’76, 0) y (8’24, 0)

• El eje es 2

bta−

= ⇒ 122

t −=

− ⇒ t = 6

• El vértice es t = 6 ⇒ f(6) = –36+12·6–31 = –67+72 = 5 ⇒ (6, 5)

La gráfica de y=–t2+12t–31 es la dibujada a la dere-cha de estas líneas.

Pero la gráfica de f hay que limitarla entre t=4 y t=7. Como: f(4) = –16+12·4–31 = –47+48 = 1 f(7) = –49+12·7–31 = –80+84 = 4 la gráfica final es la adjunta.

b) (1.5 puntos) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste? Aunque la gráfica anterior nos lo dice, lo haremos por el método general. • Extremos del intervalo de definición: 4 y 7:

f(4)=1 f(7)=4 (se calcularon antes)

• Discontinuidades de f: No tiene (es polinómica) • Discontinuidades de f ’: Como f ’(t) = –2t+12, también es polinómica; tampoco tiene

discontinuidades. • f '(t)=0 ⇒ –2t+12 = 0 ⇒ 12 = 2t ⇒ t = 6. Este valor era de esperar. Al igualar

la primera derivada a 0, nos salen posibles máximos o mínimos relativos, o bien, puntos de inflexión (si también igualan la segunda derivada a cero). El único máxi-mo relativo, mínimo relativo de una parábola es el vértice (y no tiene puntos de in-flexión). f(6) = 5

La máxima imagen de los puntos así obtenidos es 5, y se obtiene para t=6. Éste es el máximo absoluto. La mínima imagen es 1, para t=4. Éste es el mínimo absoluto. Observar que los resultados obtenidos están de acuerdo con lo que se obtiene observan-do la gráfica.


EJERCICIO 3 Parte I Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras. a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? Este problema puede enfocarse por probabilidades de sucesos condicionados, puesto que tenemos dos experiencias aleatorias sucesivas. Realizar un diagrama en árbol es un procedimiento estándar de resolución de este tipo de problemas. La primera de las experiencias aleatorias es la extracción de una de las tres cartas. Los sucesos serían, entonces, que salga la primera, segunda o tercera carta (a las que repre-sentaremos por RR, la que tiene las dos caras rojas, BR y NB, las otras dos). Las proba-bilidades de extraer cada una de ellas son 1/3, puesto que se consideran equiprobables. A continuación, que la cara mostrada sea roja, blanca o negra (que designaremos por R, B y N respectivamente). Las probabilidades a considerar aquí son las condicionadas. Es decir, consideramos la probabilidad del suceso enseñar cara roja (R), condicionado a que la carta extraída es la RR, etc. Según la carta extraída, cada color tiene diferente probabilidad de ocurrencia. El árbol de posibilidades con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

R: P(RR∩R) = P(RR)·P(R/RR) = (1/3)·1 = 1/3

B: P(RR∩B) = P(RR)·P(B/RR) = (1/3)·0 = 0

N: P(RR∩N) = P(RR)·P(N/RR) = (1/3)·0 = 0

1

0

0

R: P(BR∩R) = P(BR)·P(R/BR) = (1/3)·(1/2) = 1/6

B: P(BR∩B) = P(BR)·P(B/BR) = (1/3)·(1/2) = 1/6

N: P(BR∩N) = P(BR)·P(N/BR) = (1/3)·0 = 0

1/2

1/2

0

R: P(NB∩R) = P(NB)·P(R/NB) = (1/3)·0 = 0

B: P(NB∩B) = P(NB)·P(B/NB) = (1/3)·(1/2) = 1/6

N: P(NB∩N) = P(NB)·P(N/NB) = (1/3)·(1/2) = 1/6

0

1/2

1/2

RR

BR

NB

1/3

1/3

1/3


Según el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la cara mostrada sea roja es la suma de las probabilidades de los finales de las ramas correspondientes, es decir:

P(R) = P(R/RR)·P(RR) + P(R/BR)·P(BR) + P(R/NB)·P(NB) =

= 31 +

61 +0 =

612 + =

63 =

21

lo que responde a la pregunta. Otra forma de resolver este ejercicio es suponiendo el espacio muestral asociado al ex-perimento consistente en extraer una carta y considerar la cara mostrada y la cara no mostrada. Si R, B y N son los colores de las caras, y la primera letra corresponde a la cara mostrada, y la segunda, a la no mostrada, el espacio muestral es: RR RR RB BR NB BN

Entonces: P(cara mostrada R) = 36

= 12

puesto que hay tres casos favorables (los tres primeros) entre 6 posibles. b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca? Según el teorema de la probabilidad total, aplicado al árbol:

P(B) = 0+61 +

61 = 2

6 = 1

3

Usando la segunda forma, es decir, el espacio muestral anterior:

P(cara mostrada B) = 26

= 13

porque los casos favorables son el cuarto y el sexto. c) (0.5 puntos) Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja? Éste es un problema típico de probabilidad a posteriori, es decir, de aplicación de la Fórmula de Bayes. Lo que nos preguntan es la probabilidad de que la carta sea la que tiene una cara blanca y otra roja, es decir, lo que antes llamamos BR, condicionado a que la cara mostrada es la blanca, o sea, lo que hemos denominado B:

P(BR/B) = )B(

B)BR(P

P ∩ =

31

61

=63 =

21

Por el segundo planteamiento, tenemos que:

P(cara no mostrada R / cara mostrada B) = 12

porque si la cara mostrada es B, los resultados han sido sólo el cuarto (BR) o el sexto (BN). Por tanto, tenemos dos resultados posibles y, de entre ellos, sólo el primero (BR) es favorable al suceso pedido. EJERCICIO 3 Parte II Sea la población de elementos {22, 24, 26}. a) (0.5 puntos) Escriba todas las muestras posibles de tamaño 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.


Según las directrices de la Coordinación, el muestreo se supone que siempre es con re-emplazamiento. Por tanto, el espacio muestral asociado a dos extracciones consecutivas con reemplazamiento es: 22, 22 22, 24 22, 26 24, 22 24, 24 24, 26 26, 22 26, 24 26, 26 b) (0.75 puntos) Calcule la varianza de la población. La población es {22, 24, 26}

La media muestral es x = 22 24 263

+ + = 723

= 24

La varianza será: s2 =

32

21 3

ii

xx= −

∑ =

2 2 2222 24 26 24

3+ +

− = 2,667

c) (0. 75 puntos) Calcule la varianza de las medias muestrales. Las medias muestrales son, para cada una de las 9 muestras posibles: 22 23 24 23 24 25 24 25 26 que se obtienen sumando los dos resultados y dividiendo entre 2. A partir de ahora, con-sideramos que ésta es la muestra con la que trabajamos, porque nos piden la varianza de este conjunto de datos. El proceso es el mismo que antes:

La media muestral es x = 22 23 24 23 24 25 24 25 269

+ + + + + + + + = 2169

= 24

La varianza será: s2 =

32

21 3

ii

xx= −

∑ =

= 2 2 2 2 2 2 2 2 2

222 23 24 23 24 25 24 25 26 249

+ + + + + + + +− = 1,333


PLANES DE 1994 y




OPCIÓN A (Septiembre 2.005) EJERCICIO 1


⎞⎜⎜⎝

⎛=

1031

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xB

012

.

a) (1.5 puntos) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad A · B = B · A.

b) (1.5 puntos) Obtenga la matriz C tal que At · C = I2.

EJERCICIO 2 El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por al función f(t) = –4t2 + 60t –15, 1 ≤ t ≤ 8. a) (1 punto) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2? ¿Y para t = 4? b) (1 punto) ¿Cuál será el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcan-za? c) (1 punto) ¿En qué instante del valor de las existencias es de 185 miles de euros? EJERCICIO 3 Parte I Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A / B) = 0.35. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? Parte II La longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal con des-viación típica 0.1 cm. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media poblacional, cuya amplitud es 0.0784 cm. a) (1 punto) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada? b) (1 punto) Determine el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido una longitud media de 1.75 cm.


PLANES DE 1994 y




OPCIÓN B (Septiembre 2.005) EJERCICIO 1 Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 600, x ≤ 500, y ≤ 3x, x ≥ 0, y ≥ 0. a) (2 puntos) Represente gráficamente el conjunto de soluciones del sistema y calcule sus vértices. b) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el que la función F(x, y) = 38x + 27y alcanza su valor máximo.

EJERCICIO 2

Sea la función

2

2 si 4( ) 22 8 si x 4

xx xf xx

⎧− ≤⎪= ⎨

⎪ − >⎩

.

a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función. b) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monoto-nía y sus extremos. EJERCICIO 3 Parte I En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45% aprue-ban Matemáticas. Se sabe además que al probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.75. a) (1 punto) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas. b) (1 punto) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Matemáticas? Parte II El número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión se distri-buye según una ley Normal de media 9 horas y desviación típica 4. Para muestras de 64 adolescentes: a) (0.5 puntos) Indique cuál es la distribución de las medias muestrales. b) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la media de una de las muestras esté comprendida entre 7.8 y 9.5 horas.

Prof. R.Mohigefer – Selectividad Sept 2005. Soluciones Página 1

Soluciones OPCIÓN A (Septiembre 2.005) EJERCICIO 1


⎞⎜⎜⎝

⎛=

1031

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xB

012

.

a) (1.5 puntos) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad A · B = B · A.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1031

·BA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −x012

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−+

xx·1)1(00·12·0

3)1(10·32·1 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−x

x0

312

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xAB

012

· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1031

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−

1·3·00·1.01·13·20·11·2

xx = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x052

Coincidirán cuando ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−x

x0

312 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x052

, lo que sucederá cuando –1+3x = 5 ⇔

3x = 6 ⇔ x = 2 b) (1.5 puntos) Obtenga la matriz C tal que

At · C = I2.

Llamemos B = At = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1301

. Entonces la igualdad del enunciado es B·C = I2. Multipli-

cando por la inversa de B a la izquierda: B–1·B·C = B–1·I2 ⇒ I2·C = B–1 ⇒ C = B–1. Calculémosla. Bt = (At)t = A.

Adj(Bt) = Adj(A) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 13

01

|B| = 1301

= 1·1 – 0·3 = 1

B–1 = )(1 tBAdjB

= 1· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 13

01 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 13

01

EJERCICIO 2 El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por al función f(t) = –4t2 + 60t –15, 1 ≤ t ≤ 8. a) (1 punto) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2? ¿Y para t = 4? f(2) = –4·22+60·2–15 = –16+120–15 = 120–31 = 89 miles de € f(4) = –4·42+60·4–15 = –64+240–15 = 240–79 = 161 b) (1 punto) ¿Cuál será el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcan-za? Para no tener que dibujar la gráfica, usamos el método general. • Extremos del intervalo de definición: t=1 y t=8.

f(1) = –4·12+60·1–15 = –4+60–15 = 60–19 = 41 f(8) = –4·82+60·8–15 = –256+480–15 = 480–271 = 209

• Discontinuidades de f: No tiene, porque es polinómica. • Discontinuidades de f ’: Tampoco, por la misma razón, puesto que f ’(t) = –8t+60 • f ’(t) = 0 ⇒ –8t+60 = 0 ⇒ 60 = 8t ⇒ t = 7,5

f(7,5) = –4·7,52+60·7,5–15 = 210


Por tanto, el máximo absoluto vale 210 y se alcanza para t=7,5. O sea, que el valor máximo de las existencias es 210 miles de euros y se alcanza en el instante t=7,5 años. c) (1 punto) ¿En qué instante del valor de las existencias es de 185 miles de euros? Buscamos t tal que f(t) = 185 ⇔ –4t2+60t–15 =185 ⇔ 0 = 4t2–60t+200 ⇔ Divi-diendo entre 4 los dos miembros de la ecuación: 0 = t2–15t+50:

t = 215 15 4·50

2± − = 15 225 200

2± − = 15 5

2± =

20 10210 52

= =

= =

Como el dominio es t∈[1, 8], la única solución válida es la segunda: t = 5 años. EJERCICIO 3 Parte I Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A / B) = 0.35. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? Este ejercicio tiene una trampa seria, de modo que si no nos damos cuenta no es posible resolverlo. Se trata de que los dos sucesos son independientes, de manera que P(A/B) = P(A) = 0,35, por tanto. Sucede al menos uno de los dos sucesos si sucede A, ó B, ó ambos a la vez. Es decir, si sucede A∪B. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,35 + 0,05 – 0,05·0,35 = 0,3825 Otra forma de enfocar este ejercicio sería por el suceso contrario de “al menos uno” que es “ninguno de ellos”, es decir, AC∩BC. b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? Si no sucede B, lo que se verifica es el contrario de B: BC. Sucede éste y A cuando se verifica A∩BC. Luego nos piden la probabilidad de ocurrencia de este suceso. Por otro lado, si A y B son independientes, la ocurrencia de B no tiene influencia en la de A. Por tanto, la no ocurrencia de B tampoco puede tenerla. Es decir, que A y BC tam-bién son independientes. Por todo lo anterior: P(A∩BC) = P(A)P(BC) = P(A) [1–P(B)] = 0,35·(1–0,05) = 035 · 0,95 = 0,3325 EJERCICIO 3 Parte II La longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal con des-viación típica 0.1 cm. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media poblacional, cuya amplitud es 0.0784 cm. a) (1 punto) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada? El intervalo de confianza para la media poblacional es:


donde 1–α = 0,95 (nivel de confianza) y σ = 0,1.


Si 1–α = 0,95 ⇒ 1–0,95 = α ⇒ α = 0,05 (nivel de significación). Por tanto, α/2 = 0,025. Luego zα/2 deja a su izquierda una probabilidad de 1–α/2 = 0,975. Buscando este valor en las tablas de la N(0,1), se obtiene que zα/2 = 1,96. Como la amplitud del intervalo de confianza es de 0,0784, se tiene:

2 2x z x zn nα ασ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 2x z x z

n nα ασ σ

+ − + = 22znασ = 0,0784

De donde: 0,12·1,96n

= 0,0784 ⇒ 2·1,96·0,10,0784

n= ⇒ 5 = n ⇒ n = 25

b) (1 punto) Determine el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido una longitud media de 1.75 cm. Tenemos las mismas condiciones, es decir, 1–α = 0,95, por lo que zα/2 = 1,96, σ = 0,1, n = 25 y x =1,75. Sustituyendo en la fórmula del intervalo de confianza:


queda:

0,1 0,11,75 1,96 1,75 1,9625 25

μ− ≤ ≤ + ⇔ 1,7108 ≤ μ ≤ 1,7892

que es el intervalo de confianza pedido. También podía haberse hecho más rápidamente teniendo en cuenta que el centro del intervalo de confianza será 1,75 (la media muestral) y la amplitud es la misma que an-tes: 0,0784. Luego el límite superior del intervalo será 1,75+0,0784/2 = 1,7892 y el lí-mite inferior, 1,75–0,0784/2 = 1,7108


OPCIÓN B (Septiembre 2.005) EJERCICIO 1 Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 600, x ≤ 500, y ≤ 3x, x ≥ 0, y ≥ 0. a) (2 puntos) Represente gráficamente el conjunto de soluciones del sistema y calcule sus vértices. x+y ≤ 600 ⇒ y ≤ –x+600 Es decir, es el área que que-da bajo la recta y = –x+600 (los que verifican la igualdad están sobre la recta; los que tienen valores de y mayores o iguales están por encima de la recta). Está en la figura adjunta. x ≤ 500 son los puntos que están a la izquierda de la recta vertical x = 500. Combinando con el área anterior, resulta la figura adjunta. y ≤ 3x son los puntos que están bajo la recta y = 3x x ≥ 0 son los puntos que quedan a la derecha del eje OY (la recta x = 0) y ≥ 0 son los puntos que quedan por encima del eje OX (la recta y = 0) El área definitiva es, entonces:

Hallemos las coordenadas de los vértices de la región, que no son más que las intersec-ciones de las rectas intervinientes. A es la intersección de y = 3x y de y = –x+600. Pasando las incógnitas a un miembro y el término independiente al otro:

⎩⎨⎧

=+=−600

03yx

yx ⇒ Sumándolas: 4x = 600 ⇒ x = 150 ⇒

⇒ Sustituyendo en la primera ecuación: 3·150–y= 0 ⇒ y = 450 ⇒ A(150, 450)


B es la intersección de y = –x+600 y de x = 500. Sustituyendo este valor de x en la pri-mera ecuación: y = –500+600 = 100 ⇒ B(500, 600) C es la intersección de x = 500 con el eje OX: C(500, 0) D es el origen de coordenadas: D(0, 0) b) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el que la función F(x, y) = 38x + 27y alcanza su valor máximo. Para A: F(150, 450) = 38·450+27·600 = 33.300 Para B: F(500, 600) = 38·500+27·600 = 35.200 Para C: F(500, 0) = 38·500+27·0 = 19.000 Para D: F(0, 0) = 38·0+27·0 = 0 Entonces, el máximo valor lo alcanza en B(500, 600), y vale 35.200 EJERCICIO 2

Sea la función

2

2 si 4( ) 22 8 si x 4

xx xf xx

⎧− ≤⎪= ⎨

⎪ − >⎩

.

a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.

• Intervalo (–∞, 4): f coincide con una función polinómica: xxy 221 2 +−= . Por tan-

to, no tiene ninguna discontinuidad. Es continua en todo el intervalo. • Intervalo (4, +∞): Por idéntica razón, es continua en todo el intervalo. • x = 4: f(4) = 2·4–8 = 0. Además:

)(4

xflímx −→

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−→ 22

2

4

xxlímx

= 0; )(4

xflímx +→

= )82(4

−+→

xlímx

= 0;

Por tanto, es continua en x = 0, ya que: f(0) = )(4

xflímx→

= 0

Luego f es continua en todo R. Derivamos directamente en intervalos abiertos:

⎩⎨⎧

><−

=4242

)('xxx

xf La derivada en x=4 podría existir, porque f es continua.

Pero como f ’(4-) = 2–4 = –2; f ’(4+) = 2, no existe la derivada en x=4. Luego la derivada, completa, es la anterior.

b) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monoto-nía y sus extremos. Las dos definiciones de f son una parábola y una recta. Por tanto, usamos los conoci-mientos que tenemos sobre ellas para dibujarlas. Luego las restringiremos a las zonas en las que está definida cada una de ellas.

xxy 221 2 +−=

• Se abre hacia abajo, con un máximo relativo, puesto que el coeficiente del término de mayor grado es negativo (–1/2).

• Intersección con OY: x=0 ⇒ y = 0+2·0 ⇒ (0, 0)


• Intersecciones con OX: xx 2210 2 +−= ⇒ Multiplicando por –2 los dos miembros

de la ecuación: 0 = x2–4x ⇒ x(x–4) = 0 ⇒ Un producto da 0 si, y sólo si alguno

de los factores vale 0: ⎩⎨⎧

=−=

040

xx

⇒ x=0 ó x=4. Luego las intersecciones son

(0, 0) y (4, 0)

• El eje es abx

2−

= ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

212

2x ⇒

12

=x ⇒ x = 2

• El vértice es x = 2 ⇒ f(2) = –2+4 = 2 ⇒ (2, 2)

y = 2x–8 es una recta. Bastan dos puntos bien ele-gidos para dibujarla: La parábola coincide con f para valores de x≤4, mientras que la recta es para x>4. Por tanto, la gráfica de f es:

Monotonía: A la vista de la gráfica es creciente en (–∞, 2)∪(4, +∞) y decreciente en (2, 4) Extremos relativos: Tiene un mínimo relativo en (4, 0), también a la vista de la gráfica. Es éste un punto “picudo”, donde la pendiente de la tangente por la izquierda no coinci-dirá en la que tiene por la derecha, por lo que, en él, la función no será derivable. Nótese que en los puntos donde una función definida a trozos cambia de definición puede haber un extremo relativo, como en este caso (en general, puede haber extremo relativo en los puntos donde la función no es derivable).


EJERCICIO 3 Parte I En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45% aprue-ban Matemáticas. Se sabe además que al probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.75. a) (1 punto) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas. Sean los sucesos E=Aprobar Economía, M=Aprobar Matemáticas. Entonces, según el enunciado: P(E) = 0,6 P(M) = 0,45 P(E/M) = 0,75 El suceso de aprobar las dos asignaturas es E∩M. Por la fórmula de la probabilidad co-ndicionada:

P(E/M) = ( )( )

P E MP M∩ ⇒ P(E∩M) = P(E/M)P(M) = 0,75·0,45 = 0,3375

La probabilidad siempre se mide en tantos por uno. Multiplicando por cien tendremos el porcentaje pedido: 33,75% b) (1 punto) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Matemáticas? Es muy parecido al anterior. Usando la fórmula de la probabilidad condicionada y el resultado anterior:

P(M/E) = ( )( )

P M EP E

∩ = 0,33750,6

= 0,5625

Por lo que, en tantos por ciento, representa el 56,25% EJERCICIO 3 Parte II El número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión se distri-buye según una ley Normal de media 9 horas y desviación típica 4. Para muestras de 64 adolescentes: a) (0.5 puntos) Indique cuál es la distribución de las medias muestrales. Si X es la variable aleatoria en estudio, según el enunciado, X∈N(9, 4). La distribución de medias muestrales de una variable N(μ, σ) sigue una ley N(μ, σ/ n ). Como n = 64, se tiene: x∈N(9, 4/ 64 ) = N(9, 4/8) = N(9, ½) b) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la media de una de las muestras esté comprendida entre 7.8 y 9.5 horas. Según el apartado anterior, x∈ N(9, ½). Nos piden P(7,8≤ x ≤9,5). Para ello, usaremos las tablas de la ley Normal. Ello requiere tipificar la variable aleatoria, lo que se hace restando la media poblacional (9) y dividiendo por la desviación típica poblacional (½). Pues bien, si llamamos Z a la variable aleatoria normalizada:

P(7,8≤ x ≤9,5) = P(7,8–9 ≤ x –9 ≤ 9,5–9) = 7,8 9 9 9,5 91 2 1 2 1 2

xP⎛ ⎞− − −

≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

=


= P(–2,4 ≤ Z ≤ 1) =

= P(Z ≤1) – P(Z ≤–2,4) =

= P(Z ≤1) – P(Z ≥2,4) =

= P(Z ≤1) – [1 – P(Z ≤2,4)] =

= P(Z ≤1) + P(Z ≤2,4) –1 = = 0,8413 + 0,9918 –1 = = 0,8331

P(–2,4 ≤ Z ≤ 1)

P(Z ≤ 1) P(Z ≤-2,4)

P(Z ≥ 2,4)

P(Z≤2,4)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0;1)

k 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99897 0.99900 3.1 0.99903 0.99906 0.99909 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99959 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0;1), esté por debajo del valor k.

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PLANES DE 1994 y … · Multiplicando, a la izquierda, los dos miem-...

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