UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA CENTROAMERICANA UNITEC

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FACULTAD DE INGENIERIAS

CIENCIA DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO I INTEGRAL (MAT 201)

TEMA: Proyecto sobre Aplicaciones del Cálculo Integral en la Ingeniería Civil.

SECCIÓN: 675

PARCIAL: Segundo

CATEDRÁTICO: Julio César López Zerón

INTEGRANTES: Jerson Orlando Castillo Berrios……………...11411205

Jennifer Dayán Martínez Bustillo....……..…..11411081

Obdulio José Ortega Juárez…..………………11341090

TRIMESTRE: 3

SEMESTRE: 2

FECHA: 12/09/15

LUGAR: Campus Tegucigalpa

Cálculo I Integral (MAT201) Sección 675

Contenido Introducción ..................................................................................................................................... 2

Resumen Ejecutivo .......................................................................................................................... 2

Objetivo General.............................................................................................................................. 3

Historia de La Integral ..................................................................................................................... 3

Métodos Energéticos para el Cálculo de Deflexiones ..................................................................... 4

Deflexión ................................................................................................................................. 4

Deflexión por los Métodos de Trabajo y Energía.................................................................... 4

El Método Energético .................................................................................................................. 5

El Trabajo Virtual ........................................................................................................................ 5

Trabajo ..................................................................................................................................... 6

Trabajo Virtual en Vigas ................................................................................................................. 6

Conclusiones .................................................................................................................................. 12

Recomendación ............................................................................................................................. 12

Bibliografía .................................................................................................................................... 13

Página 1-13 Jerson, Jennifer, Obdulio


Introducción

En este proyecto se presenta la importancia que tiene el uso de las integrales para

determinar el comportamiento de una viga al sobrecargar la misma sobrepasando su resistencia

original o al ocurrir un sismo en un determinado momento.

Resumen Ejecutivo

El origen del Cálculo Integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.),

mientras que la Derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en

principio no tenían nada en común con el Cálculo Integral.

Cabe mencionar que cuando una estructura se carga sus elementos se deforman bajo los

esfuerzos y que al ocurrir estas deformaciones, la estructura cambia su forma y sus puntos se

desplazan. En una estructura bien diseñada estos desplazamientos son pequeños. Es importante

mencionar, que el Trabajo Virtual es uno de los métodos más útiles y versátiles, utilizado en

muchos tipos de miembros estructurales, desde vigas simples, armaduras, placas y cascarones

complejos. Se aplica a estructuras que se comportan elástica o inelásticamente; su ventaja es que

en el cálculo de la deflexión le permite incluir la influencia de los asentamientos en los apoyos,

los cambios de temperatura, la viscosidad y los errores de fabricación.

Por otra parte, si se quiere determinar el equilibrio o posición de cuerpos rígidos

conectados, se utiliza el Método del Trabajo Virtual en Vigas, aplicando el cálculo de las

integrales definidas, que se usa en las ecuaciones de equilibrio, con lo que se establecerá la

ecuación de la energía potencial y así obtener la relación de fuerzas.



Objetivo General

Utilizar la integral definida para calcular la deflexión en una viga, haciendo uso de unos

de los métodos más recomendados como ser el Trabajo Virtual.

Historia de La Integral

El origen del Cálculo Integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.),

matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área

encerrada por un segmento parabólico. La Derivada apareció veinte siglos después para resolver

otros problemas que en principio no tenían nada en común con el Cálculo Integral.

El descubrimiento más importante del Cálculo Infinitesimal (creado por Barrow, Newton

y Leibniz) es la íntima relación entre la Derivada y la Integral Definida, a pesar de haber seguido

caminos diferentes durante veinte siglos.

Una vez conocida la conexión entre Derivada e Integral (Teorema de Barrow), el cálculo

de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Cálculo y sus

ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis

matemático, creando ramas como el Cálculo Diferencial, Integral y de variaciones.

El Cálculo Diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y

Newton, entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias

finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas

restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas.

El aparato fundamental del Cálculo Diferencial era el desarrollo de funciones en series de

potencias, especialmente a partir del Teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones

conocidas por los matemáticos de la época. (Historia)



Métodos Energéticos para el Cálculo de Deflexiones

Cuando una estructura se carga sus elementos se deforman bajo los esfuerzos. Al ocurrir

estas deformaciones, la estructura cambia su forma y sus puntos se desplazan; sin embargo, en

una estructura bien diseñada estos desplazamientos son muy pequeños. Los métodos energéticos,

los de trabajo y energía son el fundamento de varios procedimientos utilizados en el cálculo de

desplazamientos.

Deflexión

Deflexión por los Métodos de Trabajo y Energía

Estos se utilizan para establecer una ecuación para su cálculo; W = U

Donde “W” es el trabajo hecho por la fuerza externa y “U” la energía deformadora

contenida en la estructura. Dicho de otra forma, todo trabajo hecho por una fuerza se convertirá

en energía.



El Método Energético

Facilita el cálculo de las deflexiones, ya que los desplazamientos desconocidos se

incorporan directamente a la expresión del trabajo, es decir; el producto de una fuerza por un

desplazamiento.

El Trabajo Virtual

Es uno de los métodos más útiles y versátiles, el cual se aplica a muchos tipos de

miembros estructurales, desde vigas simples, armaduras, placas y cascarones complejos. Se

utiliza también, en estructuras que se comportan elástica o inelásticamente. Su ventaja es que en

el cálculo de la deflexión le permite incluir la influencia de los asentamientos en los apoyos, los

cambios de temperatura, la viscosidad y los errores de fabricación.

Elasticidad; propiedad mecánica de ciertos materiales que sufren deformaciones reversibles

cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si

estas fuerzas exteriores se eliminan.

Inelasticidad; es aquella propiedad donde un material no regresa a su estado original luego de

sufrir alguna deformación por fuerzas exteriores.

Viscosidad; se habla de viscosidad para hacer referencia a la fuerza contraria que un fluido ejerce

ante una deformación de característica tangencial. Se trata de una propiedad caracterizada por la

resistencia a fluir que se genera a partir del rozamiento entre las moléculas.

Temperatura en materiales; los materiales se dilatan al elevarse su temperatura y se contraen

cuando ésta se reduce. La magnitud de las deformaciones es proporcional a la variación de

temperatura y el factor de proporcionalidad se denomina coeficiente de dilatación térmica.

∝= ∆ε∆T

(Meli, Diseño Estructural, 2008)


http://definicion.de/molecula/


Coeficientes de dilatación por temperatura de algunos materiales de construcción

*Varían entre 8 y 14 dependiendo del tipo y la cantidad de agregado grueso en la mezcla

(Meli, Diseño Estructural, 2008)

Trabajo

Se define como el resultado de una fuerza desplazándose en dirección de sí misma, para

calcular deflexiones, nos interesa el trabajo realizado por fuerzas y momentos, si una fuerza “F”

permanece constante al moverse del punto “A” al “B”, el trabajo se expresa como “W”; W = Fd.

Donde “d” es el componente desplazado hacia la fuerza. (Leet, 2002)

Trabajo Virtual en Vigas

Se utiliza para determinar el equilibrio o posición de cuerpos rígidos conectados,

aplicando el cálculo que se usa en las ecuaciones de equilibrio, se establecerá la ecuación de la

energía potencial y así obtener la relación de fuerzas. (R.C.Hibbeler, 1989)

MATERIAL ∝,𝟏𝟏℃

× 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔

ACERO 12

CONCRETO 10*

ALUMINIO 24

MAMPOSTERÍA DE

6

MAMPOSTERÍA DE

8

MADERA 4 a 5

COBRE 17

PLÁSTICOS 70



El procedimiento para calcular la componente de una deflexión en una viga es por el

método del Trabajo Virtual, así:

• Se aplica una carga virtual “P” en el punto donde se quiere calcular la deflexión.

La carga virtual puede tener cualquier valor, normalmente se utiliza una carga

unitaria de 1Klb o 1KN para calcular un desplazamiento lineal y un momento

unitario de 1Klb*pie. O 1KN*m. para calcular un desplazamiento rotacional.

• La carga virtual genera un momento interno “Mq” en un elemento infinitesimal de

viga de longitud “dx”.

• Los momentos flexionantes “Mp” producidos por el sistema “P” deforma la viga

hasta su posición de equilibrio.

• Al incrementarse las fuerzas del sistema “P” los lados del elemento votan un

ángulo “dp”



• Por efecto de los momentos “Mp”. Ignorando las deformaciones de cortante, se

supone que las secciones planas antes de la flexión siguen siendo planas, después

de esta; las deformaciones longitudinales del elemento varían linealmente desde el

eje recto de la sección transversal dp, se expresa; dp = Mp𝑑𝑑𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸

• Al flexionarse la viga, la carga virtual “P” (y sus reacciones si los apoyos se

desplazan en la dirección de las reacciones mismas) realiza un trabajo virtual

extremo “Wq” al moverse una distancia igual al desplazamiento real “Sp” en la

dirección de la carga virtual; Wq = ∑Qdp

• En cada elemento infinitesimal se almacena energía virtual de deformación “dvq”,

al moverse el momento “Mq” a través del ángulo “dp” producido por el sistema

“P”; dUq = Mqdp

• Para obtener la magnitud de la energía virtual de deformación total “Vq”

almacenada en la viga, se debe sumar generalmente por integración la energía

contenida en todos los elementos infinitesimales de la viga; Uq = ∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ⱷ𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0

• Como principio de conservación de energía obliga a que el trabajo virtual externo

“Wq” sea igual a la energía virtual de deformación “Uq”, es posible igualar “Wq”

con “Uq”. La ecuación básica del trabajo virtual para vigas;

∑Qdp = ∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ⱷ𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0

• Para expresar “dp” en función del momento “Mp” y las propiedades de la función

transversal, se tiene; ∑Qdp = ∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸



Donde Q = carga virtual y sus reacciones.

Dp = componentes en la dirección de la carga virtual de desplazamiento

real producido por las cargas reales (el sistema P).

Mq = momento producido por la carga virtual.

Mp = momento producido por las cargas reales.

E = modelo de elasticidad.

I = momento de inercia de la sección transversal de la viga.

Si se utiliza el momento unitario Qm = 1Klb*pie como carga virtual para obtener el

cambio en la pendiente “ⱷp” de un punto del eje de la viga, generado por las cargas reales, el

trabajo virtual externo “Wq” es igual a “Qmⱷp”; ∑Qmⱷp = ∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸

A fin de resolver la ecuación ∑Qdp = ∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐸𝐸𝐸𝐸 para la deflexión ∑Qmⱷp =

∫ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑=𝐿𝐿𝑑𝑑=0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐸𝐸𝐸𝐸 para el cambio en la pendiente “ⱷp”, los momentos Mq y Mp deben expresarse en

función de “x”, es decir la distancia a lo largo del eje de la viga, de manera que se pueda integrar

el lado derecho de la ecuación del trabajo virtual. Si la sección transversal de la viga es constante

a lo largo de su longitud y si la viga se fabrica de un único material de propiedades uniformes,

“EI” es constante. (Leet, 2002)



Ejercicio:

No es posible escribir una única expresión para “Mq” y “Mp” que sea válida en toda la

longitud de la viga. Por tanto, para la viga se deben utilizar tres integrales para calcular la energía

virtual de deformación total. Para mayor claridad, se denota la región en donde un cuerpo libre

especifico es válido añadiendo un subíndice a la variable”X” el cual representa la posición de la

sección donde se calcula el momento. Las expresiones para “Mq” y “Mp” en cada sección son las

siguientes:



Desarrollo:



Conclusiones

1. Cuando esta estructura o una viga se sobrecarga, al límite de sobrepasar su

resistencia original o al ocurrir un sismo, la misma se deforma y sus puntos se

desplazan.

2. El Método del Trabajo Virtual solo es aplicable a vigas y armaduras, pues el

mismo exige que los cambios en geometría sean pequeños; el mismo no podrá

aplicarse a un cable que experimenta un gran cambio debido a una carga

concentrada.

3. El uso La integral definida ayuda a encontrar la deflexión en las vigas entre un

punto “a” y un punto “b” en los cuales se aplica una carga, con lo que puede evitar

defectos en las construcciones.

Recomendación

1. Continuar utilizando el Método del Trabajo Virtual, para calcular la deflexión de

las vigas, a través de la integral definida.



Bibliografía El origen de la integral. (s.f.). doi:s.d.

Leet, K. M. (2002). Fundamentos de Análisis Estructurales (segunda ed.). (P. Roig, Ed.) D.F.,

México: McGraw-Hill. doi:ISBN 970-10-5627-2

Meli, R. (2008). Diseño Estructural (Segunda Edición ed.). (G. N. Editores, Ed.) D.F., México:

Limusa. doi:ISBN 978-968-18-5391-4

Meli, R. (2008). Diseño Estructural (Segunda Edición ed.). México: Lisuma.

R.C.Hibbeler. (1989). Mécanica para Ingenieros. (segunda ed.). D.F., México: Continental.

doi:ISBN 968-26-0780-9


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