UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL · c. Graficar conjuntamente la función y los cuatro puntos. d....

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

NACIONAL

FACULTAD REGIONAL PARANÁ

CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO DE ELECTRÓNICA 2012 TURNO TARDE

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR № I

Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti (AM I) Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga (AyGA)

Prof. Asociado Ing. María Itatí Gandulfo (AM I) Prof. Asociado Ing. Mercedes Gaitán (AyGA) Prof. Adjunto Ing. Magalí Soldini (AM I) J.T.P. Ing. Gabriela Martinez (AM I) J.T.P. Ing. Magalí Soldini (AM I) Aux. de 1° Ing. Maricel De Zan (AyGA) Aux. de 1° Ing. Milton Martín (AyGA)

Alumnos: …………………………………..

…………………………………. Grupo Nº: …… AÑO 2012

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná

Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº1 – Año 2012

ELECTRÓNICA TARDE PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ESTUDIOS DE FUNCIONES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

Ing. Celestino Benito Brutti – Ing. Felicia Dora Zuriaga

Ejercicio 1 Dados los cuatro puntos:

a. Graficar los puntos. b. Determinar la ecuación de la parábola cúbica cuya gráfica pasa por los cuatro

puntos. c. Graficar conjuntamente la función y los cuatro puntos. d. Determinar los ceros de la función racional entera. e. Aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo [a;b] tal que f(a) = f(b) = 0 (siendo

x=a y x=b los ceros de mayor valor) y determinar el valor de x = c que verifica el teorema.

f. Determinar la ecuación de la recta tangente en Q(a; 0) y en Q2[c; f(c)] g. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes.

Nº P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) 1 ( -9 , -7 ) ( -5 , 4 ) ( -2 , -4 ) ( 2 , 2 ) 2 ( -9 , 5 ) ( -5 , -3 ) ( -2 , 2 ) ( 1 , -6 ) 3 ( -9 , 6 ) ( -5 , -4 ) ( -2 , 3 ) ( 1 , -7 ) 4 ( -9 , 7 ) ( -5 , -4 ) ( -2 , 4 ) ( 2 , -2 ) 5 ( -9 , 9 ) ( -5 , -4 ) ( -2 , 6 ) ( 2 , -2 ) 6 ( -11 , 9 ) ( -7 , -8 ) ( -2 , 1 ) ( 1 , -4 ) 7 ( -9 , 7 ) ( -6 , -4 ) ( 0 , 1 ) ( 3 , -5 ) 8 ( -10 , 10 ) ( -7 , -4 ) ( -1 , 3 ) ( 2 , -5 ) 9 ( -10 , 11 ) ( -7 , -5 ) ( -1 , 3 ) ( 2 , -6 ) 10 ( -11 , 12 ) ( -8 , -6 ) ( -2 , 3 ) ( 1 , -8 ) 11 ( -11 , 11 ) ( -6 , -7 ) ( 0 , 4 ) ( 3 , -9 ) 12 ( -3 , 8 ) ( -1 , 0 ) ( 2 , 4 ) ( 4 , -8 )




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 3 Dado la función racional entera y = f3(x)

a. Graficar. b. Calcular los ceros de y = f3(x) c. Aplicar el teorema de Rolle y calcular el valor x = c que lo verifica en el

intervalo definido por el cero de multiplicidad dos de y = f3(x) y el cero de signo contrario más próximo a él.

d. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f3(x) en P1[c, f3(c)] e. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f3(x) en el cero simple seleccionado

en el punto b. f. Graficar conjuntamente y = f3(x) y ambas rectas tangentes.

1. y=-27-36x-6x2+4x3+x4

2. y=54+99x+57x2+13x3+x4

3.y=18+15x-7x2-3x3+x4

4. y=45+24x-22x2+x4

5. y=36+21x-17x2-1x3+x4

6. y=7+18x-12x2-2x3+x4

7. y=54+27x-27x2+x3+x4

8. y=8+4x-6x2-x3+x4

9. y=16+36x+28x2+9x3+x4

10.y=20+44x+33x2+10x3+x4

11. y=12+28x+23x2+8x3+x4

12. y=24+4x-18x2+3x3+x4




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 6 Dados los cinco puntos:

a. Graficar los puntos. b. Determinar la ecuación de la función racional entera

y = P6(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 que pasa por los cinco puntos. c. Determinar los ceros de la función racional entera. d. Graficar la función racional entera y los puntos. e. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (T. de Lagrange) en

el intervalo [a;b] tal que a = x1 y b = x3 y determinar el valor de x = c que verifica el teorema.

f. Determinar la ecuación de la recta tangente a y = P6(x) en el punto Q[c; P6(c)] g. Determinar la ecuación de la recta secante a y = P6(x) que pasa por los puntos P1

y P3 h. Graficar conjuntamente y = P6(x) y las rectas tangente y secante.

Nº P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) P5(x5,y5) 1 ( -5 , -8 ) ( -1 , 3 ) ( 4 , -4 ) ( 7 , 10 ) ( 10 , -5 ) 2 ( -4 , 11 ) ( 2 , -7 ) ( 4 , 6 ) ( 8 , -11 ) ( 11 , 5 ) 3 ( -3 , 13 ) ( 3 , -8 ) ( 5 , 7 ) ( 9 , -12 ) ( 12 , 7 ) 4 ( -5 , 13 ) ( 2 , -11 ) ( 4 , 9 ) ( 9 , 14 ) ( 12 , -9 ) 5 ( -4 , 16 ) ( 3 , -11 ) ( 5 , 13 ) ( 11 , 19 ) ( 11 , -7 ) 6 ( 0 , -5 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , -6 ) ( 7 , 6 ) ( 10 , -6 ) 7 ( -1 , -7 ) ( 2 , 4 ) ( 4 , -6 ) ( 6 , 8 ) ( 9 , -6 ) 8 ( -9 , -7 ) ( -5 , 4 ) ( -2 , -6 ) ( 2 , 2 ) ( 6 , -5 ) 9 ( -9 , -8 ) ( -6 , 9 ) ( -1 , 0 ) ( 2 , 5 ) ( 6 , -6 ) 10 ( -11 , -7 ) ( -8 , 4 ) ( -2 , -1 ) ( 1 , 5 ) ( 5 , -8 ) 11 ( -1 , 8 ) ( 2 , -1 ) ( 4 , 7 ) ( 6 , -3 ) ( 9 , 7 ) 12 ( -11 , -12 ) ( -8 , 4 ) ( 0 , -4 ) ( 1 , 5 ) ( 5 , -12 )




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 9 Dada la función y = f(x)

a. Calcular las derivadas. b. Determinar la expresión de la derivada enésima. c. Calcular las derivadas en x = a d. Desarrollar y = f(x) en polinomio de Taylor o Mc Laurin en x = a. e. Escribir la expresión del resto Rn(x) que corresponde al desarrollo de la función

y = f(x) f. Graficar conjuntamente y = f(x) y el polinomio de Taylor o Mc Laurin

considerando solo los cuatro primeros términos del mismo, en el intervalo [a-2; a+2]

1. ( )

1212

2 −=−= x

x en y

2. ( )

1211

2 −=+= x

x en y

3.( )

1321

2 −=+= x

x en y

4. ( )

2221

2 −=+= x

x en y

5. ( )

1231

2 =−= x

x en y

6. ( )

3623

2 −=+= x

x en y

7. ( )

3623

2 −=+= x

x en y

8. 2596

−=+

= xx

en y

9. ( )

0121

2 =−= x

x en y

10. ( )

1234

2 −=+= x

x en y




ECUACIONES LINEALES


11. ( )

1322

2 −=+= x

x en y

12. ( )

1213

3 −=+= x

x en y

13. 024

1=

−= xx

en y




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 10 Realizar el estudio completo de la función. Para realizar el estudio completo se deben realizar los siguientes pasos:

a. Intersección con los ejes coordenados. b. Determinar todos los valores de la variable para los cuales la función es

discontinua, si hay saltos calcularlos y clasificar las discontinuidades. c. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Determinar los máximos y mínimos relativos. e. Determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado que

contenga como mínimo a los valores de x donde se dan los máximos y mínimos relativos.

f. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. g. Determinar los puntos de inflexión y hallar la ecuación de la recta tangente a la

curva en ellos. h. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Realizar la representación gráfica. j. Determinar dominio y rango.

1. xxey 5.01.02

2−−=

81434 234 −+−−= xxxxy

2. 11272

+

+−=

xxxy

( ) xexxy 43 −=

3. 4232

+

+−=

xxxy

)2(2+

+=

xLnxy

4. ( )

293

2

2

+

−=xxy

( ) xexxy 23 −=

5. 2652

−

++=

xxxy

( ) xexxy 8.03 9−=




ECUACIONES LINEALES


6.( )

512 2

+

−=

xxy

( ) xexxy 23 3−=

7.186

2

2

+

+−=

xxxy

xexxy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=2

23

8.23.02 xey −=

( ) 323 5.1 xexxy −=

9.5652

+

+−=

xxxy

xexy 3=

10.225.03 xey −=

184537110 234 +−+−= xxxxy

11.( )

442

2

2

+

−=xxy

( ) 23 4 xexxy −=

12. 21.01 xey −=

15383210 234 +−+−= xxxxy




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 12 Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hospital. El límite debe verificarse por izquierda y derecha. Realizar el ejercicio paso a paso. Solo verificar con el software

1. xxx exsen440 6)2(4lim

−→ −

)cosh()32(lim

xxLn

x

+∞→

)2(2

34lim

3 −−

−+→ xLnxx

( ) ))((lim 230

xsenLnxx +→

)(1

0)3(lim xarctgx

x

−

→ )(sec

221lim

xh

x x⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∞→

)2(cot

0)8cosh(lim xg

xx

+→

2. 3

3

0

)(limxxsen

x→

4

3

)(3lim

xLnx

x ∞→

20

2)(coslimx

xecx

−+→

( ) )2(cos1lim 40

xece xx

−+→

)(2

0)1(lim xtghx

xe −

→

)(

0)2(cotlim xarcsenh

xxg

+→ )3(cot

0))(4(lim xgx

xxtg+

+→

3.330 33lim

−

−→ x

xx

3

2 4))((limx

xxLnx

+∞→

xxsenx2

)3(1lim

0−

+→




ECUACIONES LINEALES


)2(lim 232

0xxLnx

x+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+→

( )xx

xxπcos2

2)44(lim +−

→

212 )2(lim xx

xxLn +∞→

)sec(

2)(lim x

xxsen

−→π

4.21 )1()2(lim

+

+−→ x

xLnx

)4()(lim 2 xxLnxsenh

x +∞→

)2(12lim 20 xsenxx

−+→

( ) )3(3lim 23

−−+→

xLnxx

)(

0))1(cosh(lim xsenh

xx −

→

)(

0)3(coslim xarcsen

xxec

+→

)3(cot3

0)1(lim xgx

xe+

+→

5.)/1()/1(lim 22

xsenxarctg

x ∞→

2)cosh(3lim 34 ++∞→ xxx

x

xxx1

)1cos(6lim

0−

−+→

( ) )3(273lim3

−−+→

xLnxx

( )2cos)(limx

xx−

→π

π

xx

xLn12 )2(lim +

∞→ 21

0 4)4(lim

x

x xxsen⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+→




ECUACIONES LINEALES


6. xxx

x25

4lim2

0 −→

)2()(lim

2

+

+∞→ xsenh

xxLnx

)1(3

32lim

0 xLnxx +−

+→

( ) ( )32)(lim 30 xLnxsenhxx −+→ 12

0))((lim −

→

x

xarcsenx

)(1

2 )4(lim xLnx

x −∞→

)(3 )1(lim xsenhx

xe−

+∞→+

7.30

)2(limxxsen

x→

3))((3lim

xLnxx

x +∞→

4343lim 22 +−−++∞→

xxxxx

( ) )3(cot)(cos1lim 20

xgxx

−→

( )x

xxLn πcos

21

)2(lim→

xx

xxg +

+→

2

)4(cotlim0

)3(cot

0 3)3(lim

xg

x xxtg⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

8.)(

lim0 xsen

ee xx

x

−

→

−

)()1(lim

2

xsenhxLn

x

+∞→

30

1)2(5

2limxxtgx

−+→

( ) )2()3(coslim0

xsenhxecx +→

)(

0))12(lim xsenx

x−

→




ECUACIONES LINEALES


)(

0)(cotlim xarctgh

xxgh

+→

)3(

0)61(lim xLn

xx −

+→+

9.)3(13lim

0 xtg

x

x

−→

)cosh(lim

32

xee xx

x

+∞→

20

1)1cosh(

1limxxx

−−→

( ) )3(cot96lim 23

−+−+→

xgxxx

)(

0))13(cosh(lim xarcsen

xx −

→

)2(

30 34lim

xsen

x x⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+→

( )84

)5(limxtg

xx

π−

→

10.x

e x

x 31lim

/2 −∞→

12)(lim 4

2

++∞→ xxxsenhx

x

20

6)(

2limxxtgx

−+→

( )( )xxxe xx

4lim 2330

+++→

)(3

0)1(lim xtgx

xe−

→

33)2(lim x

xxsenh

+∞→ 31

0))(1(lim x

xxsen+

+→

11.3)4(lim

3 +

+−→ x

xLnx

( )2)(lim

2 ππ −→ xxtg

x

)3(1

)(32lim

0 xsenxsenhx−

+→




ECUACIONES LINEALES


( ) xx

exxx 2230

2lim +++→

)2(

0)2(lim xarctg

xxsen

→ )(

0)2(cotlim xarctg

xxgh

+→

)cosh(4 )1(lim xxx

e−+∞→

+

12.xxsen

x 2)3(lim

0→

2

2))((8limxxLn

x ∞→

)(cot21lim 20 xgxx−

+→

( )2)2(cotlim0 xarcsenxgx +→ )(2

0)1(lim xarcsenx

xe −

→

21)cosh(lim xx

x∞→

)5(cot2

0)51(lim xg

xx+

+→

Ejercicio 13 Electrónica Resolver los siguientes problemas

E1. El costo total de producir x radios por día es $(6.22x2 + 34x + 26) y el precio por unidad para la venta es $(52-0.48x). ¿Cuál debería ser la producción diaria con el fin de obtener una utilidad total máxima? Mostrar que el costo de producir un radio es un mínimo relativo de dicha producción.

E2. Un fabricante puede vender x unidades por semana a un precio P = 209 - 0,012x pesos y el costo de las x unidades es y = 47x + 21000 pesos. ¿Qué número de unidades produce mayor utilidad?

E3. El trabajo realizado por una célula voltaica de fuerza electromotriz constante E y resistencia interna constante r al pasar una corriente estacionaria por una resistencia extema R, es proporcional a E2R(r+R)2. Demostrar que el trabajo realizado es máximo cuando R = r.




ECUACIONES LINEALES


E4. Una corriente eléctrica, cuando fluye en un conductor circular de radio r, ejerce una

fuerza ( )2

522 rx

kxf+

= en imán pequeño ubicado a una distancia x sobre el centro

del conductor. Demostrar que F es una máxima cuando rx21

=

E5. Un rectángulo de dimensiones x cm por y cm gira alrededor de uno de sus lados de longitud y engendrando el cilindro. ¿Qué valores de x e y darán ahora el cilindro de volumen máximo?¿Cuál es ese volumen?

E6. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 1500cm cúbicos. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

E7. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1.2 metros de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

E8. Cortando en dos un alambre de longitud 2m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

E9. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 190m de ancho. El punto P3 está a 540m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de teléfono debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 46% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

E10. Un cartel debe incluir un grabado de 4 m2 con márgenes de 25cm, en la parte superior e inferior, y 18cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

E11. A un fabricante le cuesta c dólares manufacturar y distribuir cierta unidad. Si se vende a x dólares la unidad, el número de unidades vendidas está dado por n = a/(x-c) + b(100-x), donde a y b son ciertas constantes positivas. ¿Qué precio de venta proporcionará la máxima utilidad?

E12. Un rectángulo de dimensiones b cm por h cm gira alrededor de uno de sus lados de longitud y engendrando el cilindro. ¿Qué valores de b y h darán ahora el cilindro de volumen máximo?¿Cuál es ese volumen?

E13. Dos pasillos de 3.2m y 4.3m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.




ECUACIONES LINEALES


E14. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 6000cm cúbicos de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

E15. Determínese la constante a de manera que la función f(x) = x2 + (a/x) tenga a) un máximo relativo en x = 2, b) un mínimo relativo en x = -3, c) un punto de inflexión en x = 1, d) Muéstrese que la función no puede tener máximo relativo para cualquier valor de a.

E16. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular de 3850cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.

E17. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 75cm de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

E18. La altura de un objeto que se mueve verticalmente está dada por e = -10.3t2+38t+114 con e en metros y t en segundos. Hállense: a) su velocidad cuando t = 0; b) su altura máxima, y c) su velocidad cuando e = 0.

E19. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 16m3¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?

E20. Una compañía ofrece el siguiente plan de cargos: $32 por mil pedidos de 40,000 o menos, con un descuento de 35% por cada mil que esté por encima de los 40,000. Hallar el tamaño del pedido que consiga que los recibos de la compañía sean un máximo.

E21. En la ribera de un río de 1 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a x km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 20 dólares por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 29 dólares por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo,




ECUACIONES LINEALES


¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si x fuera muy grande?, ¿si x fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para x=1/2, x=3/4, x=1 y x=2.

E22. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 5m3. El material de la base y de la tapa cuesta el 60% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

E23. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 1850cm cúbicos. El material de las caras laterales cuesta el doble que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.

E24. Entre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de 10000cm cúbicos de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

E25. Una mujer camina 3 millas por hora en el césped y a 5 millas por hora sobre la acera. Ella quiere andar desde el punto A hasta el punto B, como se muestra en la figura, en el menor tiempo posible. ¿Qué ruta debería seguir si s (a)l/2?, (b) 3/4?, (c) 1?

E26. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 40cm se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.

E27. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 20cm arriba y abajo y 30cm a la izquierda y derecha.




ECUACIONES LINEALES


El área impresa debe ser de 3 metros cuadrados. El fabricante cobra por metro cuadrado de área total (axh). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo sea mínimo?

E28. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 3.5m de ancho en el lado sur y norte y de 4.2m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 130ha.

E29. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $120 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $75 el metro cuadrado. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $25000.

E30. Sean AC y BD dos postes de 20m y 10m de altura respectivamente distanciados entre sí 35m (AB = 35m). Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 16$/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 22$/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.

E31. Una empresa de transportes lleva bultos de Paraná a BsAs y viceversa. Sólo admite

bultos con forma de paralelepípedo rectangular cuyo ancho y alto sea igual y la suma del ancho, alto y largo no superen los 2.5m. Determinar las dimensiones del bulto de volumen máximo que se pueden transportar.

E32. En una fábrica hay 36 empleados que producen cada uno 600 piezas. Por cada empleado que se agrega a la plantilla de personal la producción de cada empleado disminuye en 6 piezas. ¿Cuál es el número de empleados que permiten obtener una producción máxima?

E33. Dos caminos se cortan en ángulo recto, por cada uno avanzan en forma simultánea dos vehículos a velocidad de 90km/h y 130km/h y se dirigen al punto de cruce. El primero partió de una distancia de 180km y el segundo de una distancia de 370km del cruce. Determinar en que tiempo la distancia entre los vehículos es mínima.




ECUACIONES LINEALES


E34. Un cartel de chapa tiene un área de 10m2. El cartel tiene borde superior e inferior de 20cm y laterales de 30cm sin leyenda. ¿Cuáles son las dimensiones del cartel para que el área impresa sea máxima?

E35. La producción de stevia en invernaderos depende de la temperatura t en grados centígrado según la expresión p = (t + 1)2 (32-t). ¿Cuál es la temperatura óptima que se debe mantener en el invernadero para obtener mayor producción?

E36. Un productor frutihortícola tiene 30 árboles frutales que producen 500 frutos cada uno. Se estima que por cada árbol adicional que agrega en este lote, la producción de cada árbol disminuye en 12 frutos. ¿Cuál debe ser el número de árboles frutales que debe tener el productor para que su producción sea máxima?

E37. Un ingeniero debe instalar 15 alarmas. Sólo se instalaran alarmas modelos A1 y A2. El índice de seguridad está dado por una quinta parte del producto entre las alarmas tipo A1 y el cuadrado de las tipo A2. ¿Cuántas alarmas A1 y A2 debe instalar para que el índice de seguridad sea el mayor posible?

E38. En una orilla de un río de 30m de ancho hay una central en C con un grupo electrógeno. Hay que llevar un cable subterráneo hasta el punto A para alimentar equipos.

El costo de instalar el cable en el río es de $100/m, en cambio para instalarlo por tierra es de $80/m ¿Cuál es el recorrido más económico?




ECUACIONES LINEALES


Geometría G1. Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo V que puede

inscribirse en una esfera de radio R.

G2. Hállese el volumen del mayor cono circular recto inscribible en una esfera de radio r.

G3. Hallar las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo V que puede circunscribirse en una esfera cuyo radio es 8 pulgadas.

G4. Halle las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferencia de radio a.

G5. Un rectángulo está inscripto en la elipse 1225400

22

=+yx con sus lados paralelos a los

ejes de la elipse. Hallar las dimensiones del rectángulo de (a) área máxima y (b) perímetro máximo que pueda inscribirse de esta manera.

G6. Entre todos los rectángulos de perímetro fijo, compruebe que el cuadrado tiene el área máxima. Sugerencia: Llame p al perímetro fijo y tenga en cuenta que es constante.

G7. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de máxima área de superficie lateral que puede inscribirse en una esfera de radio 8.

G8. Hállese el área del mayor rectángulo con menor base en el eje x y vértices superiores en la curva y = 12 - x2.

G9. Hallar el radio R del cono circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio r.

G10. Halle las dimensiones del rectángulo de mayor perímetro que se puede inscribir en una circunferencia de radio a.

G11. Pruébese que el rectángulo de área máxima para un perímetro dado es el cuadrado.

G12. Un cilindro circular recto está inscripto en un cono circular recto de radio r. Hallar el radio R del cilindro si: (a) su volumen es un máximo; (b) su área lateral es un máximo.

G13. Hállense las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en un semicírculo de radio r.

G14. Hállese el mayor valor posible de 2x + y si x e y son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene 5 unidades de longitud.

G15. Si la suma de las áreas superficiales de un cubo y una esfera es constante. ¿Cuál es la razón entre un lado del cubo y el diámetro de la esfera en los casos en que la suma de sus volúmenes es a) mínima, y b) máxima?




ECUACIONES LINEALES


G16. Pruébese que el volumen del mayor cilindro circular recto inscribible en un cono circular recto es 4/9 del volumen del cono.

G17. La longitud de dos lados de un triángulo ha de ser a cm y b cm. ¿Qué área máxima puede tener el triángulo?

G18. Hállese el volumen del mayor cilindro circular recto inscribible en una esfera de radio r.

G19. Un triángulo rectángulo de hipotenusa dada gira alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto. Hállese el cono del mayor volumen.

G20. Entre todos los rectángulos de área dada, compruebe que el cuadrado tiene el perímetro mínimo. Sugerencia: Llame A al área fija y tenga en cuenta que es constante.

G21. Un cable de 90m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un círculo. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

G22. Dado un rectángulo de área 10.000cm cuadrados. Determinar las dimensiones del que tiene la diagonal más corta.

G23. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio a?

G24. Se dispone de un alambre derecho de 140m de longitud y se desea dividirla en dos partes para armar con cada una de ellas un triángulo equilátero. Hallar la dimensión de cada parte para que el área encerrada por ambos triángulos sea mínima.

G25. Se desea dividir un segmento de 2m de longitud en dos partes, de tal modo que las áreas de los dos triángulos equiláteros construidos sobre cada una de las partes sea mínima.

G26. Determinar el área del mayor rectángulo que tenga dos vértices en el eje x y los otros dos arriba de ellos y que se encuentren sobre la parábola y = 9 – x2; -3≤x≤3




ECUACIONES LINEALES


G27. ¿Cuál de los cilindros circulares rectos de volumen V tiene la menor área total?. Demostrarlo.

G28. ¿Cuál punto de la recta x + y = 10, se encuentra más cerca del origen de coordenadas?. Demostrarlo,

G29. Dados todos los rectángulos de área A ¿Cuál de ellos tiene la diagonal más corta?. Demostrarlo.

G30. Determinar la medida de los lados de un rectángulo, cuyo perímetro es de 500m para que el área del mismo sea máxima.

G31. Dado un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales y una recta en el plano que corta al eje x en el punto P1(x0; 0) y al eje y en el punto P2(0; y0). Si la recta pasa por el punto P0(3; 6) determinar los valores de x0 > 0 e y0 > 0 para que el área del triángulo formados por los ejes coordenados y la recta sea máximo.

G32. Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de radio R siendo el plano que el plano de la base de la semiesfera coincida con la base del cono.

G33. Determinar los lados del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en una circunferencia cuyo perímetro es de 1570m

G34. De todos los triángulos isósceles de 100m de perímetro, determinar la medida de los lados del que tenga mayor área.

G35. Considerando todos los triángulos isósceles cuyo perímetro sea 30m, calcular las dimensiones del que tiene área máxima.

G36. Considerando todos los rectángulos de perímetro 100m, determinar el que tenga área máxima.

G37. Dado un triángulo rectángulo de perímetro 24m, determinar la medida de sus lados para que el área sea máxima.




ECUACIONES LINEALES


G38. Dado un triángulo isósceles cuya base mide 50m y cuya altura mide 70m, determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el triángulo.

G39. Dados todos los triángulos rectángulos de hipotenusa de longitud 30cm, determinar el que tenga área máxima.

G40. Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de mayor área que puede inscribirse en una circunferencia de radio 5m

G41. Dada una esfera de radio 10cm. Si inscribimos en ella un cilindro circular recto sin tapa ¿Qué dimensiones tiene el que tiene mayor superficie?

G42. Dada una esfera de radio 10cm. Si inscribimos en ella un cilindro circular recto con tapa ¿Qué dimensiones tiene el que tiene mayor superficie?

G43. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio 10m. dos vértices del rectángulo deben estar sobre el diámetro.

G44. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un triángulo equilátero de lado 10m. Dos vértices del rectángulo deben estar sobre uno de los lados.

G45. Un campo rectangular tiene un perímetro de 4000m. ¿Qué lados tiene el rectángulo para que el área sea máxima?

G46. De todos los rectángulos de área 1000cm2 encontrar las medidas de la base y la altura del que tiene mayor área.

G47. De todos los rectángulos de área 400cm2 determinar el que tiene la diagonal más corta.

G48. Dado un cilindro circular recto de volumen 10000cm3 determinar el radio de la base y la altura para que el área lateral sea la menor posible.

G49. Calcular las medidas de los lados de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de base 180m y 270m de altura.




ECUACIONES LINEALES


G50. Los dos lados iguales de un triángulo isósceles tienen una longitud de 30m cada uno. Hallar la longitud del otro lado de tal manera que el área del triángulo sea máxima.

G51. Determinar los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 200m para que el área de ese triángulo sea máxima.

G52. Dados los triángulos isósceles donde la suma de su altura y base es de 130cm, ¿Cuál de ellos tiene área máxima?

G53. Dados los triángulos isósceles de perímetro 123m, determinar la medida de los lados del que tiene mayor área.

G54. Dada una circunferencia de radio 80cm. Determinar la medida de los lados del triángulo isósceles de mayor área que se puede inscribir en la circunferencia.

G55. Un sector circular tiene un perímetro de 50m. Calcular el radio R y el ángulo α del sector de mayor área.

G56. Un triángulo isósceles de perímetro 1m gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué dimensión debe tener la base b para que el cono tenga un volumen máximo?




ECUACIONES LINEALES


Grupo Ejercicio 1 E9 E35 G26 2 E25 G5 G33 3 E8 G12 G39 4 E2 E30 G27 5 E12 G6 G34 6 E24 G13 G40 7 E15 G21 G42 8 E4 E31 G31 9 E13 G7 G41 10 E23 G14 G38 11 E19 G8 G25 12 E6 E32 G32

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL · c. Graficar conjuntamente la función y los cuatro puntos. d....

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