UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

CURSO: FISICA I

TEMA: FUERZAS - ESTATICAProfesor: Mag. Optaciano Vásquez García

HUARAZ -PERÚ

2010

I. FUERZA• En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la

cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro.

• Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación.

ELEMENTOS DE LA FUERZA

I. FUERZA_1La fuerza produce dos efectos:

A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F = 500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y sobre el perno.

B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno del material

I. FUERZA_2Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir, goza del principio de transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo

II. CLASES DE FUERZAS1. FUERZAS DE CONTACTO.

Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos

2. FUERZAS MASICAS

se crean por acción a distancia. Ejm. la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética.

II. CLASES DE FUERZAS_21. FUERZAS CONCENTRADAS .

Aquellas que se consideran aplicada en un punto

2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

Aquellas que se consideran aplicadas en una línea, un área o un volumen

III. UNIDADES DE FUERZA• Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas

conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por deformación calibrada de un resorte.

• La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N)

IV. FUERZA RESULTANTE• Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como

se ve en la figura .

• Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son

2 2 2 21 2 1 2

1 2

2 cos

( )

R

R

F F F F F

F F F

sen sen sen

EJEMPLO

La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

V. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

2 21 2

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ ˆ ˆ(cos )

R x y

R x y

R

R

R

y

x

F F F

F F i F j

F F i Fsen j

F F i sen j

i sen j

F F F

Ftg

F

EjemploCalcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura

VI. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO

R A A B BF F F

Ejemplo

Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra componente pasa por C

Ejemplo

Calcule las componentes de la fuerza de 100 N representada en la figura , una de ellas actúa en la dirección de AB y la otra paralela a BC.

EJEMPLO O2

La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C, determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 N

Ejemplo• Una barra y una riostra

resisten una fuerza de 100 kN en la forma que se indica en la figura. Determine la componente de la fuerza según el eje AB de la barra y la componente de la fuerza según el eje AC de la riostra.

EJEMPLO O2

Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

EJEMPLO

Expresar la fuerza P, de módulo 10 N, en función de los vectores i y j : Halle las componentes escalares Pt y Pn respectivamente paralela y normal a la recta OA.

EJEMPLO

La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y’.

EJEMPLO

Determine: (a) el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. (b) La correspondiente magnitud de la resultante

EJEMPLO

Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el punto B de la estructura fija, para obtener una única fuerza R.

EJEMPLO

En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

VII. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

2 2 2

ˆˆ ˆ( )

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆˆ ˆ ˆ(cos cos cos )

R H z

R x y z

R

R

R x y z

F F F

F F i F j F k

F F i F j F k

F F i j k

i j k

Modulo

F F F F

VII. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO

cos xF

F cos yF

F

cos zF

F

VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN

En algunos casos la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción. En este caso

VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN

2 1 2 1 2 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2

ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z

x y z

MNF F F

MN

x x i y y j z z kF F

x x y y z z

d i d j d k d i d j d kF F F

dd d d

��������������

��������������

EJEMPLO

Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x

EJEMPLO

Sabiendo que la tensión en el cable AB es 1425 N, determine las componentes de la fuerza sobre la placa ejercida en B

EJEMPLO

Encontrar la magnitud y la dirección de las dos fuerzas mostradas en la figura, sabiendo que P = 400 N y Q = 300 N

EJEMPLO

Expresar la fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA.

EJEMPLO

Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 510 lb y en el cable AC es de 425 lb. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas en el punto A ejercida por lo dos cables

EJEMPLO

Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

IX. MOMENTO DE UNA FUERZA• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una

fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

IX. MOMENTO DE UNA FUERZA_2 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un

punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F; esto es

El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.

La magnitud del momento esta dado por

El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.

Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON…. El momento de una fuerza con respecto a un punto o a un eje

nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que el cuerpo rote con respecto a in punto o eje

IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON….

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

9.2. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO

• El momento de la fuerza respecto a O

es

9.3. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO

CUALQUIERA

9.4. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO

Ejemplo• Determine el momento de la fuerza de 100 N

con respecto al punto A

Ejemplo• Una fuerza P de 13,2 N se aplica a la palanca

que controla la barrena de un soplador de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30 °.

Ejemplo• Determine el momento de las tres fuerzas

respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga

Ejemplo• Encuentre el momento de la fuerza F con

respecto al punto O

Ejemplo

• Una tabla de madera AB, que se utiliza como un apoyo temporal para apoyar a un pequeño tejado, ejerce en el punto A del techo una fuerza de 228 N dirigida a lo largo de BA. Determinar el momento con respecto a C de esa fuerza.

Ejemplo• Una manga del soporte puede proporcionar un

momento de máxima resistencia de 125 N· m sobre el eje "x". ¿Cómo determinar la magnitud máxima de F antes de que ocurra el giro alrededor del eje x?

Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine:

(a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O,

(b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,

(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O,

(d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 240 lb para que produzca el mismo momento respecto a O

Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es

La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha

in. 12lb 100

in. 1260cosin.24

O

O

M

d

FdM

in lb 1200 OM

•SOLUCIÓN

Parte (b) La fuerza que aplicada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente

•SOLUCIÓN

in. 8.20

in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

F

F

FdM

d

O

lb 7.57F

Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces

•SOLUCIÓN

in. 42

in. lb 1200

in. 42in. lb 1200

F

F

FdMO

lb 50F

Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo

•SOLUCIÓN

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200

lb 240in. lb 1200

OB

d

d

FdMO

in. 10OB

Ejemplo

• Una fuerza de 450 N se aplica en A. Determine: (a) el momento dela fuerza de 450N con respecto al punto D, (b) la fuerza más pequeña que aplicada en B, crea el mismo

Ejemplo• Determine el momento resultante de las cuatro

fuerzas con respecto al punto O

Ejemplo• Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Determine

el momento de Q: (a) con respecto al origen de coordenadas del sistema y (b) con respecto al punto D

Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y

por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C

• El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial

• SOLUCIÓN

SOLUCIÓNFrM ACA

jirrr ACAC

m 08.0m 3.0

kji

kji

r

rFF

DC

DC

N 128N 69N 120

m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

12896120

08.003.0

kji

M A

EjemploLa tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.

Ejemplo

9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR

EL ORIGEN

• Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.

9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL

ORIGEN• El momento de la fuerza F con

respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.

• El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL

0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F

12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO

CUALQUIERA

• El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es

• El resultado es independiente del punto B

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B

A B A B

M M r F

r r r

Ejemplo • Sobre un cubo de arista a

actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:

(a) con respecto a A,

(b) con respecto a la arista AB.

(c) Con respecto a la diagonal AG

•SOLUCIÓN• Moment of P

about A, jiPjiaM

jiPjiPP

jiajaiar

PrM

A

AF

AFA

2

222

kjiaPM A

2

• Moment of P about AB, kjiaPi

MiM AAB

2

2aPM AB

• La magnitud del momento respecto a AB es

•SOLUCIÓN

• (c) La magnitud del momento respecto a AG es

1116

23

12

3

1

3

aP

kjiaP

kjiM

kjiaP

M

kjia

kajaia

r

r

MM

AG

A

GA

GA

AAG

6

aPM AG

Ejemplo• Se aplica una tensión T de

intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

Ejemplo• La fuerza F tiene una

intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza

Ejemplo• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento

alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

Ejemplo• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el

punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.

Ejemplo• La cadena CB mantiene a

la puerta abierta a 30°. Si la tensión en la cadena es FC = 250 N. Determine: (a) La expresión vectorial de la fuerza , (b) el momento de fa fuerza con respecto a la bisagra en A, (c) el momento de la fuerza con respecto al eje a-a que pasa por las bisagras de la puerta.

Ejemplo• Una fuerza es aplicada al extremo de una llave

para abrir una válvula de gas. Determine la magnitud del omento de dicha fuerza con respecto al eje z

Ejemplo• Determine el momento producido por la la fuerza F

el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje AB

9.7. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon

Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS• La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos

fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas separadas por una distancia perpendicular pero de sentidos opuestos.

9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS

• El momento de la cupla es,

• El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas

9.8. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR

• La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS• Dos cuplas tendrán igual momento si:

a)

b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos

c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección

Ejemplo de cupla• Determine el momento de la cupla mostrada en la

figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

Ejemplo de cuplaDos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

Ejemplo de cuplaEn la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas

Ejemplo de cuplaEn la figura se muestra una cupla o par de fuerzas actuando sobre un sistema de tuberías. Si la magnitud de las fuerzas es de 35 N. Determine el momento del par de fuerzas actuando sobre la tubería en coordenadas cartesianas

Ejemplo de cuplaDetermine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. El segmento AB está dirigido 30° hacia abajo del plano xy.

Ejemplo de cuplaDetermine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N

Ejemplo de cuplaEn la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas actuando sobre una viga. Si el momento resultante es nulo. Determine las magnitudes de las fuerzas P y F así como la distancia d

Ejemplo de cuplaEn la figura se muestra un par de fuerzas de 15 N de magnitud actuando sobre un sistema de tuberías. Determine el momento de la cupla

X. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARESDos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:

a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante;

b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y

c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula

d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas

e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

XI. SISTEMAS FUERZA- PAR

Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B

• No hay cambio en el efecto externo

• Cupl

a

XI. SISTEMAS FUERZA- PAR

EjemploRemplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

solución• Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es

• El momento C será

EjemploRemplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B

Ejemplo• Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un

miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D

Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a)

XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES

Consideremos un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo como se muestra en la figura.

Para encontrar la resultante de las fuerzas se descompone cada una de ellas en componentes i, j, k. es decir

1 1 1 1 2 2 2 2

2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ; ;........

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ;.........; ;

x y z x y z

i ix iy iz nx ny nz

F F i F j F k F F i F j F k

F F i F j F k F F i F j F k

XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES

La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1

1

.... ....

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ........

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ......... ( ).

ˆ( ... ... ) ( ... ... )

( ... ...

i n

x y z x y z

ix iy iz nx ny nz

x ix nx y iy ny

z iz n

R F F F F

R F i F j F k F i F j F k

F i F j F k F i F j F k

R F F F i F F F j

F F F

1 1 1

ˆ)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

z

n n n

ix iy izi i i

x y z

k

R F i F j F k

R R i R j R k

XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES

La magnitud y dirección de la resultante son

2 2 2

cos ;cos ;cos

x y z

yx z

R R R R

RR R

R R R

Ejemplo• A un punto de u cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma

que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2.

Ejemplo Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante R del sistema de fuerza concurrentes mostrado en la figura

COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO

Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actúan en un cuerpo rígido, es necesario distinguir dos efectos:

(a) Traslación: la misma que se encuentra definida por la suma vectorial de la fuerzas (la resultante R).

(b) Rotación: El cual queda determinado por la suma vectorial de los momentos.

1 2 .... ....i n iR F F F F F

1 ... ....i n iM M M M M

XIII. COMPOICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO

Parece lógico suponer que el punto de aplicación de la resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a R sea igual a M.

Esta situación se cumple para fuerzas concurrentes.

En estas condiciones la resultante sustituye en todos su efectos al sistema.

Sin embargo, esto no es posible, ya que el torque de R es un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se cumple.

Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas

XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES

Consideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado

Debido a que las fuerzas están en el plano, la resultante también lo estará.

Si los momentos se evalúan respecto a cualquier punto del plano, los vectores de posición de los puntos de aplicación de las fuerzas también lo estarán en el plano

XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES

Esto nos indica que los momentos de cada una de las fuerzas así como el de la resultante son perpendiculares al plano. Es decir son vectores paralelos.

Esta es la condición necesaria para que los vectores sean iguales . Es decir

1

( )

R i

n

R i ii

M M

r xR r xF

XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES

Debido a que los vectores fuerza, el vector fuerza resultante; los vectores de posición de cada fuerza y el de la resultante están en el plano por ejemplo el plano xy, entonces el momento o torque tendrá una sola componente entonces, tenemos

Conociendo las fuerzas y sus puntos d aplicación , se puede determinar las componentes de la resultante y por tanto su punto de aplicación

1

ˆ ˆ( ) ( )n

y x i yi i xii

xR yR k x F y F k

Ax By C

EjemploLas fuerzas representadas en la figura tienen las magnitudes siguientes: F1 = 130 kN, F2 = 200 kN y F3 = 100 kN. Calcule y localice la fuerza resultante del sistema de fuerzas considerado

Ejemplo Hallar la fuerza resultante R de las tres fuerzas y los dos pares representados. Determine la abscisa en el origen x de la recta soporte de R.

 

Ejemplo La fuerza de 200 kN representada en la figura es la resultante del par de 300 kN-m y tres fuerzas, dos de las cuales están definidas en el diagrama. Determine la otra fuerza y localícela con respecto al punto A.

 

Ejemplo Encuentre: (a) La fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en A. (b) La localización de una sola fuerza equivalente actuando con respecto a A

 

Ejemplo• Remplace las tres fuerzas que actúan sobre el

tubo por una sola fuerza equivalente R. Especifique la distancia x desde el punto O por donde pasa la línea de acción de R.

Ejemplo• Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg

se le somete a la acción de las fuerzas representadas . Si P = 18 lb. (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b) Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la resultante corta al canto de la maleta.

Ejemplo• Para el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre la

viga. Determine La fuerza resultante equivalente y el par actuando en A

Ejemplo Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla

que actúan sobre la placa

XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en la figura

e

XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS

Cada una de las fuerzas puede expresarse

donde Fi puede ser positivo o negativo y es un vector unitario paralelo a las fuerzas..

La resultante del sistema será

La magnitud de la resultante es

e

ˆi iF Fe

e

1 2 ˆ.... ....i n i iR F F F F F F e

iR F

XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS

Aplicando el teorema de omentos tenemos

De donde se tiene

1

1

1

( )

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ( )

R i

n

R i ii

n

R i i ii

n

R i i ii

M M

r xR r xF

r x Fe r xFe

r F xe rF xe

1 1 1 2 2

1 2

( )... ..

... ..

n

i ii i i n n

Ri i n

rFr F r F rF r F

rF F F F F

EjemploDetermine y localice la resultante R de las dos fuerzas y la cupla que actúan sobre la viga mostrada

Ejemplo• La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de

un par y cuatro fuerzas , tres de las cuales están definidas en dicho gráfico. Determine la cuarta fuerza y localícelo con respecto al punto A.

Ejemplo

La viga mostrada en la figura se encuentra sometida a las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas dado a: (a) un sistema fuerza–par en A , (b) a un sistema fuerza-par en B, (c) una sola fuerza o resultante

EjemploSi la lámina mostrada en la figura es sometida a las tres fuerzas que se muestran. Determine: (a) La fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O y (b) La localización (x,y) de una sola fuerza resultante equivalente.

Ejemplo• Determinar la resultante de sistema de fuerzas

mostrado en la figura si F1 = 75 kN y F2 =125 kN. Localícela con respecto al punto al origen de coordenadas.

EjemploLa placa de concreto puede soportar las cargas mostradas en la figura. Determine la magnitud, dirección, y el punto de aplicación de una sola fuerza que podría ser equivalente al sistema de fuerzas dado.

EjemploHalle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que actúan sobre la placa

• SOLUCIÓN

XVI.SISTEMAS FUERZA GENERAL

• Paso 1 • Paso 2 • Paso 3• Seleccionar un

punto para encontrar el

momento

• Remplazar las fuerzas por una

fuerza y un par en el punto O

• Sumar las fuerza y cuplas

vectorialmente para encontrar la

resultarte y el momento resultante

EjemploReducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A

EjemploLas fuerza F1 y F2 mostradas actúan sobre el sistema de tuberías. Determine la fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O

EjemploSe desea establecer el efecto combinado de las tres fuerzas sobre la base O, haciendo que por ese punto pase la resultante R. Determine esta resultante y el momento M del par correspondiente.

EjemploTres cables están sujetos a un soporte como se indica . Reduzca el sistema de fuerzas dado a un sistema fuerza par en A.

Solución

Solución- Conti….

XVII.CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG): Objetivos

1. Entender los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroides.

2. Ser capaces de determinar la localización de estos puntos para un cuerpo

17.1 CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG): Aplicaciones

Para diseñar estructuras para soportar tanques de agua, es necesario conocer los pesos del tanque y el agua así como la ubicación de la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas . Para diseñar vehículos

17.1 CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG):aplicaciones

En el diseño de la estructura en forma de poste para hacer deporte es muy importante determinar el peso total de la estructura y la ubicación de su centro de gravedad

17.2.CONECPTO DE CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad (CG) es el punto donde se encuentra localizado el peso resultante de un sistema de partículas o de un cuerpo.

De la definición de fuerza resultante, la suma de los momentos debido a los peso individuales de cada partícula respecto a un punto es igual al momento de la resultante respecto al mismo punto.

Similarmente, el centro de masa (CM) es el punto en el cual se localiza la masa resultante de un sistema de partículas o cuerpo. En general es el mismo que el CG.

17.3.Centro de gravedad para un sistema de partículas

• Considere el sistema mostrado en la figura . El peso resultante es

• Los momentos alrededor de los ejes x, y son.

17.3 Centro de gravedad de un sistema de partículas

• La componente z se determina rotando los ejes

Ejemplo 01

Localice el centro de gravedad de cuatro cuerpos pequeños (considerados partículas) que están dispuestos tal como se muestra en la figura

17.4. Centro de masa de un sistema de partículas

El centro de masa es necesario cuando se estudia el movimiento de un sistema de partículas. Es decir el movimiento de la materia bajo la acción de una fuerza.

La segunda ley de Newton establece que si la masa es constante, el peso es W = mg.

Al sustituir esta ecuación en las ecuaciones del CG se obtiene

El CM y el CG coinciden. Además el centro de masa es independiente de la gravedad

xx

i

i

m

m

yy

i

i

m

m

zz

i

i

m

m

Ejemplo 02• Localice el centro de masa de los cinco puntos materiales

mostrados en la figura si mA = 2 kg, mB = 3 kg; mC = 4 kg mD = 3 kg y mE = 2 kg

17.5 CG y CM de un cuerpo

• Consideremos un cuerpo de cualquier tamaño y forma, cuya masa es m.

• Si se suspende el cuerpo como se muestra en la figura de cualquier punto tal como A, B o C, el cuerpo se encontrara en equilibrio bajo la tensión en el cable y el peso resultante.

• En cada uno de las posiciones marcamos la línea de acción de la resultante.

• En todos los casos prácticos estas líneas son concurrentes en G (centro de gravedad del cuerpo)

17.5 CG y CM de un cuerpo• Para determinar el CG del cuerpo

se aplica el principio de momentos al sistema de fuerzas gravitacionales paralelas.

• El momento del peso resultante W con respecto a cualquier eje es igual a la suma de momentos de cada una de los pesos dW de las partículas

• La resultante de las fuerzas gravitacionales actuando sobre toso los elementos es el peso del cuerpo y esta dado por

17.5 Centro de gravedad de un cuerpo• El centro de gravedad será entonces

17.6 Centro de masa de un cuerpo• El centro de masa se obtiene remplazando W= mg y dW =

gdm

17.6 Centro de masa de un cuerpo• Utilizando la definición de densidad

• Las coordenadas del centro de masa se escriben.

• Estas ecuaciones son independientes del efecto gravitacional

• Como el campo gravitacional es considerado uniforme, el centro de gravedad es igual al centre de masa

17.7 CENTROIDE• El centroide C es un punto el cual

define el centro geométrico de un objeto

• El centroide coincide con el centro de masa o el centro de gravedad solamente si el material es homogéneo.

• Si el objeto tiene un eje de simetría, entonces el centroide se encuentra fijo en dicho eje.

• En algunos casos el centroide no se encuentra ubicado sobre el objeto.

17.7 Coordenadas del centroide• Sabemos que las coordenadas del centro de masa están

dadas por las ecuaciones.

• Cuando el cuerpo es homogéneo, la densidad permanece constante. Entonces la densidad se puede cancelar en el numerador y en el denominador, obteniendo

17.7.1Centroide de un alambre• Consideremos un alambre de longitud L, sección

transversal uniforme A y densidad ρ.

• Para determinar el centroide se divide al alambre en elementos de masa dm = ρdV = ρAdV y se aplica el principio de momentos esto es

17.7.2Centroide de un Área• Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y

densidad ρ como se muestra en la figura

• Para determinar el centroide del área se divide al área en elementos de masa dm = ρdV = ρtdA y se aplica el principio de momentos esto es

17.7.3 Centroide de un Volumen• Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y

densidad ρ como se muestra en la figura

• Para determinar el centroide del área se divide al área en elementos de masa dm = ρdV y se aplica el principio de momentos esto es

Calculo de centroides por integración• En las figuras se muestra las diferentes formas de cálculo

de centroides

ydxy

dAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

2

dxxay

dAyAy

dxxaxa

dAxAx

el

el

2

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

2

1sin

3

2

2

1cos

3

2

Centroides por integración

Centroides de regiones conocidas

Centroides de alambres conocidos

Ejemplo 04• En la figura se ha representado un alambre homogéneo

delgado cuya forma es un arco de circunferencia. (a) Localice las coordenadas x, y de su centro de masa, (b) Utilice el resultado anterior para determinar las coordenadas de centro de masa en el caso de sea un semicírculo.

Ejemplo 04Localice el centroide de la varilla curvada delgada mostrada en la figura

Ejemplo

• Un alambre delgado y homogéneo de acero se conforma como se representa en la figura. Localice las coordenadas del centro de gravedad del alambre compuesto

Solución

Solución

Ejemplo 04Localice el centroide de la región mostrada en la figura

solución

Ejemplo 05Localice el centroide del hemisferio mostrado en la figura

solución

Ejemplo localice el centroide de la región sombreada

17.8. Centroide de placas y alambres compuestos

Cuando una placa tiene una geometría más compleja se divide e rectángulos, triángulos o alguna de las formas conocidas.

Las coordenadas centroidales se determina aplicando el teorema de momentos

17.8 Centroide de placas y alambres compuestos O abreviadamente

Estas ecuaciones facilitan las coordenadas x, y de la placa

Esto es

17.8 Centroide de placas y alambres compuestos

Los momentos de primer orden de las superficies al igual que los momentos de las fuerzas pueden ser positivos o negativos.

Por ejemplo una superficie cuyo centroide se encuentra a la izquierda del eje y tendrá un momento de primer orden negativo respecto a ese eje .

Además a la superficie a la superficie de un orificio debe asignarse un signo negativo

Ejemplo

Localice el centroide del trapezoide mostrado en la figura

EjemploCalcular la coordenada y del centroide de la región mostrada en la figura

EjemploCalcular las coordenadas del centroidales de la región mostrada en la figura

EjemploCalcular las coordenadas del centroidales de la región mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm

EjemploLocalice el centro de masa de la combinación soporte arbol. La cara vertical es de plancha metálica, cuya masa es de 25 kg/m2. El material de la base horizontal tiene una masa de 40 kg/m2 y el árbol de acero tiene una densidad de 7,83 Mg/m3.

Solución

EjemploHalle las coordenadas del centro de masa del soporte construido de chapa metálica de espesor uniforme

Ejemplo

Para la superficie plana mostrada en al figura. Determine: (a) el momento de primer orden con respecto a los ejes x e y; (b) la ubicación del centroide

SOLUCIÓN

Divida a la región en un triángulo, un rectangulo y un semicírculo y extraiga el círculo.

Determine los momentos de primer orden con respecto a cada eje.

Encuentre el área total considerando negativa el área del círculo extraído

Solución……cont

• Los momentos de primer orden serán

•

Solución……cont• Parte (b). Las coordenadas dl

centroide están dadas por

23

33

mm1013.828

mm107.757

A

AxX

mm 8.54X

23

33

mm1013.828

mm102.506

A

AyY

mm 6.36Y