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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA

INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN

ELBORACIÓN DEL TEXTO: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE

AUTOR: Lic. FERNANDO HIPOLITO LAYZA BERMÚDEZ

(PERIODO DE EJECUCIÓN: Del 01 de junio de 2010 al 31 de mayo del 2012

Resolución No. 704-2010-R)

MAYO DEL 2012

CALLAO – PERÚ

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INDICE

1.-RESUMEN................................................................................................................................1

2.-INTRODUCCION ....................................................................................................................2

2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACIÓN................................................2

2.1.1.-OBJETIVO GENERAL ..............................................................................................2

2.1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS......................................................................................3

2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................3

2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA .............................................................................3

3.-MARCO TEÓRICO..................................................................................................................4

4.-MATERIALES Y MÉTODOS .................................................................................................5

4.1-UNIVERSO.........................................................................................................................5

4.2.-MATERIALES ..................................................................................................................6

4.3.-MÉTODO...........................................................................................................................6

5.-RESULTADOS.........................................................................................................................6

6.-DISCUCIONES ........................................................................................................................7

7.-CONCLUSIONES ....................................................................................................................7

8.-REFERENCIALES ...................................................................................................................7

9.-APÉNDICE ...............................................................................................................................9

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1.-RESUMEN

La presente investigación tuvo como propósito la elaboración del texto:

ALGEBRA LINEAL CON MAPLE El texto (El cual Adjunto) se ha desarrollado de

acuerdo a los capítulos siguientes:

Capítulo I: Descripción del Software Maple que es un Software matemático muy importantes

que nos ayuda a resolver problemas complejos de Matemática, Ingeniería etc.

Capítulo II: Espacios Vectoriales se estudia los comandos de Maple para analizar si un

conjunto de vectores es linealmente Independiente y a la vez generadores de un espacio

Vectorial. Por tanto así obtenemos una base de un Espacio Vectorial.

Capítulo III: Transformaciones Lineales son aplicaciones de un Espacio Vectorial sobre otro

Espacio Vectorial. Son importantes en el estudio de los espacios vectoriales ya que preservan

las operaciones de adición y multiplicación por un escalar.

Capítulo IV: Matrices y Determinantes. Se define de una matriz vía Maple y éstas son

importantes en la resolución sistemas de ecuaciones lineales.

Capítulo V: Producto y Ortogonalidad Con el comando orthog verificamos si la matriz A es

ortogonal o no

Capítulo VI: Valores y vectores propios que son importantes en el estudio de las matrices

diagonalizables y semejantes

Capítulo VI: Aplicación del Álgebra Lineal con Maples, se describe algunas aplicaciones

como: El Cálculo Diferencial Vectorial, Programación Lineal etc.

Por tanto, con el desarrollo de los capítulos mencionados y el estudio del Software Maple se dio como

resultado la elaboración del texto Algebra Lineal con Maple que servirá de apoyo a los estudiantes

universitarios en la formación de su carrera profesional y a mis colegas profesores como texto de

consulta.

2

2.-INTRODUCCION

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el plano cartesiano. Un

vector, aquí, es un segmento de línea orientado, caracterizado por ambas longitudes y

magnitudes, así como dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar

ciertas magnitudes físicas como fuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas

como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de ESPACIO

VECTORIAL

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como es el cuerpo de los números reales o

en el campo de los números complejos. Los operadores lineales tienen efecto en el espacio

lineal de otro (o en sí mismo), en una manera que es compatible con la suma o adición y la

multiplicación escalar en uno o más espacios vectoriales. Si la base de un espacio vectorial

está definida, cada transformación está definida, y cada transformación lineal puede ser

representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las

propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y auto-

vectores, se consideran parte del Álgebra Lineal.

Del otro lado, el Software Maple y sus componentes se uso en la aplicación de los ejemplos

de cada tema de éste texto Así mismo, estos componentes de Maple nos ayudo a realizar

cálculos y trabajos en menor tiempo del que nos tomaría hacerlo de forma manual.

2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACIÓN

2.1.1.-OBJETIVO GENERAL

Elaborar un texto que permita el uso del Software Maple en la solución de problemas de

Algebra Lineal.

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2.1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desarrollar los conceptos básicos de Espacios Vectoriales, Matrices y

transformaciones Lineales.

Utilizar el Software Maple para realizar operaciones con matrices, calcular la inversa

de una matriz y obtener su determinante.

Resolver, mediante el uso de un Software Maple, problemas de aplicación de sistemas

de ecuaciones lineales.

Utilizar el Software Maple para encontrar la matriz de transformación y representar

un vector de una base a otra y realizar el proceso de Ortonormalización de Gran-

Schmidt.

Desarrollar los conceptos de matrices semejantes y ortogonales.

Utilizar el Software Maple para solucionar problemas de Programación Lineal.

2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN

Esta investigación tiene un carácter puramente practico, que nos permite apreciar la

importancia del Software Maple en la solución de problemas de del Álgebra Lineal. Así

mismo, con el desarrollo de éste texto podrán ser beneficiados docentes, alumnos en el

proceso de enseñanza y aprendizaje, capacitándonos y por ende preparándonos para

enfrentar los avances de nuevas tecnologías.

2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA

¿Cómo elaborar un texto que aplicando Software Maple oriente a estudiantes y profesores e

investigadores a resolver problemas del Algebra Lineal?

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2.4.-IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

El avance de la ciencia y la tecnología hacen indispensable el uso de los programas

informáticos en la enseñanza-aprendizaje y el uso de los medios virtuales. El presente trabajo

de investigación titulado elaboración del texto: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE pretende

dar paquetes básicos del Software Maple con la finalidad de resolver problemas del Álgebra

Lineal tales como: Resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la inversa de una

Transformación Lineal, generar un cambio de base a partir de vectores linealmente

independientes, diagonalizar una matriz, calcular los auto-valores y los auto-vectores, etc.

Se justifica por ser investigación básica con valor teórico- práctico

3.-MARCO TEÓRICO

El SOFTWARE MAPLE es un sistema computacional probado que se ha creado

específicamente para el uso educativo y profesional. Los varios programas matemáticos

permiten aplicar las técnicas del análisis numéricos y simbólicos que son muy rápidos y

eficaces para la solución de problema de gran complejidad.

Con los avances de la tecnología, los cursos de matemáticas en nuestras universidades

necesitan el apoyo computacional para la realización de cálculos en diferentes

procedimientos, de tal forma que los docentes pueden profundizar más en los conceptos,

dejando al software matemático los cálculos manuales largos y tediosos.

El SOFTWARE MAPLE es un Software Matemático, tiene configurado paquetes de

aplicación a la Matemática, a la Estadística, a la Física, etc. En desarrollo de este texto se ha

usado los paquetes impotantes: El paquete linalg , el paquete LinearAlgebra .y el paquete

VectorCalculus

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PAQUETE LINALG

Este paquete está formado por un conjunto de procedimientos, entre los cuales se incluyen

alrededor de cien comandos que permiten realizar una gran diversidad de operaciones de

Álgebra Lineal. Las características de este paquete son las siguientes:

Los arreglos son la estructura de datos básica. Álgebra de matrices. Álgebra Lineal abstracta.

Manejo limitado de matrices grandes con elementos numéricos.

PAQUETE LINEAR ALGEBRA

Este paquete contiene un conjunto de funciones de Álgebra Lineal, las cuales proporcionan

las mismas funcionalidades del paquete linalg (y aún más). Entre sus características más

notables se encuentran: Estructuras de datos básicas; Comandos para tipos especiales de

matrices y vectores; Álgebra de matrices mejorada. y Soporte más eficiente de matrices

numéricas grandes.

PAQUETE VECTORCALCULUS

Igual que los paquetes anteriores este paquete de maple contiene un conjunto de Operadores

del Cálculo Vectorial como son: Producto cruz, producto escalar, Diferenciabilidad,

Integridad, Vector tangente, Vector Normal Principal Los vectores TNB,Matriz Jacobiana,

Vector gradiente Campo vectorial, etc

4.-MATERIALES Y MÉTODOS

4.1-UNIVERSO

Este texto se ha elaborado especialmente para los estudiantes de las diferentes universidades

y para aquellos investigadores que desean tomar éste texto como consulta de la especialidad

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4.2.-MATERIALES

Para la edición de este texto de usaron los siguientes materiales:

Material de oficina: Papel Bond A-4 , Lapiceros, Liquid-paper

Material bibliográfico: Libros de la especialidad en Análisis Vectorial y Álgebra Lineal.

Material hemerográfico: Revistas y guías científicas.

Material de Cómputo: Google y el SOFTWARE MAPLE

4.3.-MÉTODO

La elaboración del texto, propósito de la investigación, le mando al suscrito ordenar

información compilada durante su vida profesional.

Para la elaboración del se tuvo mucho cuidado en la construcción de los contenidos, se tuvo

que ordenar los capítulos de una manera lógica secuencial que facilite al estudiante asimilar

la parte teórica y práctica.

En cada capítulo, del desarrollo de texto, se ha resuelto un conjuntos de ejercicios y

problemas con la finalidad que el estudiante observe que tan importante es el SOFTWARE

MAPLE que permite solucionar con rapidez diversos problemas del algebra Lineal y sus

aplicaciones.

El método desarrollado en este texto es el método puramente práctico por lo que se usaron

comandos SOFTWARE MAPLE para solucionar problemas del Álgebra Lineal.

5.-RESULTADOS

El resultado de éste texto ha sido preparado para apoyar a los alumnos universitarios en la

formación de su carrera profesional o profesionales que deseen ampliar sus conocimientos

en el algebra lineal y sus aplicaciones

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Con la experiencia en la docencia universitaria se ha logrado desarrollar un texto base, que

beneficiará a todos los alumnos que inician por vez primera el curso de: Álgebra Lineal y

Análisis Vectorial, cuya modalidad es netamente práctico; y además servirá como guía de

consulta a mis colegas de la especialidad.

6.-DISCUCIONES

La teoría desarrollada en éste texto, responde a los conceptos básicos que debería tomar

conciencia en el estudiante universitario de la importancia y de la aplicación del Software

Maple en la Matemática particularmente del Álgebra Lineal. Además, permite en el alumno,

desarrollar la capacidad imaginativa, creativa, y del análisis en la aplicación de problemas de

la vida cotidiana.

En cada capítulo del texto se hace mención a la teoría y luego se plantean ejemplos para usar

los comandos de maples y dar solución rápida e eficaz al problema planteado ya sea en forma

analítico y/o gráfico.

7.-CONCLUSIONES

Se concluyo con la elaboración del texto Titulado Algebra Lineal con Maple (el cual adjunto)

y servirá a los alumnos en la formación de su carrera Profesional y a mis colegas que desean

usar como un texto de consulta.

8.-REFERENCIALES

1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.

Edición. México-1992

2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.

Edición. México-1992

8

3.-Colman, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones, México: Prentice Hall. Sexta Edición

1999.

4.-Pérez López César: Métodos Matemáticos y Programación con Maple V. Editorial

RAMA. Madrid-1998.

5.-Poole.David “Algebra Lineal, una introducción moderna”. Editorial Cengage. 2da.

Edición. México – 2006

6.-Bru. Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001

7.- Jerrold E, Marsden. “Cálculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edición.

España-1991.

8.-Larges Lima Elon.” Geometría Analítica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de

Janeiro-2004.

9.-HASSER LA SALLE. Análisis Matemático II , Editorial Trillas, México,1974

10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO

MAPLE INC..CANADA 1988.

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9.-APÉNDICESILABO

INFORMACION GENERAL

1.1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA : ALGBRA LINEAL CON MAPLE

1.2 PRE-REQUISITO : NINGUNO

1.3 SEMESTRE ACADEMICO : 2010-A

1.4 CICLO ACADEMICO : V

1.5 CRÉDITOS : 04

HORAS TEORÍA : 03

HORAS PRÁCTICAS : 03

1.6 DURACIÒN : 17 SEMANAS

1.7 PROFESOR : Lic. LAYZA BERMUDEZ, Fernando

- SUMILLA

En el curso, se tratarán los siguientes temas: Matrices. Espacios Vectoriales. Calculo

vectorial, Curvas en el espacio. Cálculo Diferencial Vectorial Programación Lineal: método

simplex

OBJETIVOS

A.-GENERALES.

Al concluir la asignatura, el alumno estará en condiciones de:

Aplicar los comandos de maple en el algebra lineal .

B.-ESPECIFICOS.

1.-Definir y graficar una matriz.

2.-Calcular una base para un espacio vectorial.

3.-Calcular el conjunto solución de un sistema de ecuaciones.

4.-Definir y graficar una función vectorial,

5.-Definir y la triada móvil.

6.-Definir campos vectoriales.

CRITERIOS DE EVALUACION

La evaluación del rendimiento de los alumnos es objetiva, en base a : cuatro prácticas

calificadas, un examen parcial, un examen final e intervenciones orales.

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Si la nota final fuese desaprobatoria, rendirá un examen sustitutorio, el que será único y

abarcará todo el curso y cuya nota reemplaza a la nota más baja de los exámenes.

El sistema de evaluación se realizará de la siguiente forma:

Examen Parcial : A (Peso 1)

Examen Final B (Peso 1)

Promedio de Calificadas Prácticas C (Peso 1)

3CBA

CursodelFinalPromedio

NOTA:

El examen sustitutorio de teoría comprende todo el curso y reemplaza la nota más baja de uno

de los exámenes parciales.

La nota Mínima Aprobatoria: es 10.5 que es equivalente a 11(once).

METODOLOGÍA

El desarrollo de la asignatura se efectuará sobre la base de los siguientes lineamientos

metodológicos.

Las clases serán teórico prácticas, desarrollándose los temas de acuerdo al programa analítico

diseñado. El profesor, propiciará y estimulará la participación de los alumnos en clase.

El alumno deberá asistir a la clase obligatoriamente, estudiando los temas tratados y

repasando el tema que el profesor desarrollará. Esto permitirá una mejor participación del

alumno en clase.

Los profesores de la signatura, brindarán horas de asesoría en horarios predeterminados con

el fin de atender en forma personalizada, cualquier dificultad que el alumno pudiese

encontrar en el estudio de los distintos temas.

El profesor pondrá a disposición de los Estudiantes: Separatas y Guías de Prácticas; que

deberán ser resueltas con la finalidad de afianzar los conocimientos adquiridos.

CONTENIDO ANALITICO Y CALENDARIZADO

SEMANA N° 1

Vector . Definición Matriz. Definición. Matrices Inversas . Cálculos de la Matriz Inversa.

SEMANA N° 2

Autovalores y auto vectores, Definición. Cálculo

SEMANA N° 3

Matrices semejantes . Matrices Diagonales . Matrices especiales.

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PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

SEMANA N° 4

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Independencia Lineal. Bases y Cambio de bases

SEMANA N° 5

Aplicaciones lineales .Formas cuadráticas. Sistema de Ecuaciones Algebraicas Lineales.

Definición. Resolución.

SEMANA N° 6

Calculo vectorial. Funciones Vectoriales de variable real. Definición. Operaciones Límites,

derivadas

SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA

SEMANA N° 7

Integral de una función vectorial. Primer y el segundo Teorema Fundamental del Cálculo

SEMANA N° 8

Curvas en el espacio. Definición. Curva regular. Parametrización de una curva regular.

Longitud de arco

PRIMER EXAMEN PARCIAL

SEMANA N° 9

Vectores unitarios. Vector Tangente. Vector Normal principal. Vector Binormal. La triada

móvil-

SEMANA N° 10

Planos Plano Osculador. Plano Normal y Plano Rectificante.

SEMANA N° 11

Cálculo diferencial vectorial. Teoremas en varias variables. Calculo diferencial vectorial

TERCERA PRACTICA CALIFICADA

SEMANA N° 12

Regla de la cadena. Teorema de la función implícita. Teorema de la función Inversa

SEMANA N° 13

Teorema de Cambio de Variable. Campos vectoriales. Rotacional Divergencia

SEMANA N° 14

Gráficos en 3D.de curvas de R3. Gráficos de campos vectoriales.

CUARTA PRACTICA CALIFICADA

SEMANA N° 15

12

Programación Lineal. Definición. Elementos. Optimización de funciones

SEMANA N° 16

Método del Simplex. Definición ejemplos

EXAMEN FINAL

SEMANA N° 17

EXAMEN SUSTITUTORIO

BIBLIOGRAFIA

1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.

Edición. México-1992

2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.

Edición. México-1992

3.-Colman, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones, México: Prentice Hall. Sexta Edición

1999.

4.-Lopez Pérez César. “Métodos Matemáticos y Programación con Maple V. Editorial

RAMA. Madrid-1998.

5.-Poole David. “Algebra Lineal, una introducción moderna”. Editorial Cengage. 2da.

Edición. México – 2006

6.-Bru.Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001

7.-Jerrold E, Marsden. “Cálculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edición.

España-1991.

8.-Elon Larges Lima.” Geometría Analítica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de

Janeiro-2004.

9.-HASSER LA SALLE. Análisis Matemático II , Editorial Trillas, México,1974

10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO

MAPLE INC..CANADA 1988.

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LISTADO DE FÓRMULASSea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función vectorial

))(),(()( tytxt

Curva en elPlano

))(),(),(()( tztytxt

Curva en elEspacio

Vector velocidad,rapidez yvector aceleración

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DERIVADAS DE FUNCIONES

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PAQUETES DE MAPLE

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