lgebra Lineal - 7ma Edicin - Stanley l. Grossman.docx

Contenido III LGEBRA LINEALSptima edicinStanley I. Grossman S. University of Montana University College LondonMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTOJos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Ciudad de MxicoRevisin tcnica:Elsa Fabiola Vzquez Valencia Universidad Iberoamericana Ciudad de MxicoCarmen Judith Vanegas Universidad Simn Bolvar Caracas, VenezuelaEleazar Luna Barraza Universidad Autnoma de Sinaloa, MxicoM. Rosalba Espinoza Snchez Universidad de Guadalajara MxicoMara del Pilar Goi Vlez Universidad Autnoma de Nuevo Len, MxicoAdrin Infante Universidad Simn Bolvar Caracas, Venezuela

Director general Mxico: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martnez Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaLGEBRA LINEAL Sptima edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2012, respecto a la sptima edicin por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN: 978-607-15-0760-0 ISBN (edicin anterior): 978-970-10-6517-4Copyright 2012, Stanley I. Grossman y Jos Job Flores Godoy. All rights reserved1234567890 1345678902Impreso en Mxico Printed in Mexico

ContenidoPrefacio ................................................................................................... XI Agradecimientos ........................................................................................ XVIII Examen diagnstico ................................................................................. XXICaptulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales ..................... 11.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas .............................................. 2 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordany gaussiana .............................................................................................. 8 1.3 Introduccin a MATLAB ........................................................................ 30 1.4 Sistemas homogneos de ecuaciones ........................................................ 38Captulo 2 Vectores y matrices .......................................... 452.1 Definiciones generales .............................................................................. 46 2.2 Productos vectorial y matricial ................................................................ 62 2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ............................................... 94 2.4 Inversa de una matriz cuadrada ............................................................... 102 2.5 Transpuesta de una matriz ....................................................................... 127 2.6 Matrices elementales y matrices inversas .................................................. 134 2.7 Factorizaciones LU de una matriz ........................................................... 146 2.8 Teora de grficas: una aplicacin de matrices ......................................... 164Captulo 3 Determinantes ................................................. 1753.1 Definiciones ............................................................................................. 176 3.2 Propiedades de los determinantes ............................................................ 192 3.3 Determinantes e inversas ......................................................................... 209 3.4 Regla de Cramer ...................................................................................... 219 3.5 Demostracin de tres teoremas importantes y algo de historia ................ 224Captulo 4 Vectores en R2 y R3 .......................................... 2314.1 Vectores en el plano ................................................................................. 232 4.2 El producto escalar y las proyecciones en R2 ............................................ 247 4.3 Vectores en el espacio............................................................................... 258 4.4 El producto cruz de dos vectores ............................................................. 269 4.5 Rectas y planos en el espacio ................................................................... 279

VIII ContenidoCaptulo 5 Espacios vectoriales ......................................... 2955.1 Definicin y propiedades bsicas ............................................................. 296 5.2 Subespacios vectoriales ............................................................................ 308 5.3 Combinacin lineal y espacio generado ................................................... 315 5.4 Independencia lineal ................................................................................ 331 5.5 Bases y dimensin .................................................................................... 349 5.6 Cambio de bases ...................................................................................... 362 5.7 Rango, nulidad, espacio rengln y espacio columna ................................ 384 5.8 Fundamentos de la teora de espacios vectoriales:existencia de una base (opcional) ............................................................. 409Captulo 6 Espacios vectoriales con producto interno .... 4176.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn ................................................ 418 6.2 Aproximaciones por mnimos cuadrados ................................................. 443 6.3 Espacios con producto interno y proyecciones ......................................... 464Captulo 7 Transformaciones lineales ............................... 4797.1 Definicin y ejemplos............................................................................... 480 7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y ncleo ................ 493 7.3 Representacin matricial de una transformacin lineal ............................ 501 7.4 Isomorfismos ........................................................................................... 526 7.5 Isometras ................................................................................................ 534Captulo 8 Valores caractersticos, vectorescaractersticos y formas cannicas ................ 5458.1 Valores caractersticos y vectores caractersticos ...................................... 546 8.2 Un modelo de crecimiento de poblacin (opcional) ................................. 569 8.3 Matrices semejantes y diagonalizacin..................................................... 578 8.4 Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal ..................................... 591 8.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas ................................................... 600 8.6 Forma cannica de Jordan ....................................................................... 612 8.7 Una aplicacin importante: forma matricialde ecuaciones diferenciales ....................................................................... 622 8.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamiltony Gershgorin ............................................................................................ 635Apndice A Induccin matemtica ................................................................. 647 Apndice B Nmeros complejos ..................................................................... 655 Apndice C El error numrico en los clculos y la complejidadcomputacional ............................................................................. 665 Apndice D Eliminacin gaussiana con pivoteo .............................................. 675 Apndice E Uso de MATLAB ........................................................................ 683

Contenido IXRespuestas a los problemas impares ................................ 685Captulo 1 ........................................................................................................ 685 Captulo 2 ........................................................................................................ 687 Captulo 3 ........................................................................................................ 698 Ejercicios de repaso captulo 3 .......................................................................... 700 Captulo 4 ........................................................................................................ 701 Ejercicios de repaso captulo 4 .......................................................................... 706 Captulo 5 ........................................................................................................ 707 Captulo 6 ........................................................................................................ 714 Ejercicios de repaso captulo 6 .......................................................................... 717 Captulo 7 ........................................................................................................ 717 Captulo 8 ........................................................................................................ 722 Ejercicios de repaso captulo 8 .......................................................................... 731 Apndices ........................................................................................................ 731ndice onomstico ............................................................... 737ndice analtico .................................................................... 738

PrefacioAnteriormente el estudio del lgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos de matemticas y fsica, principalmente, y tambin recurran a ella aquellos que necesitaban conocimientos de la teora de matrices para trabajar en reas tcnicas como la estadstica mul- tivariable. Hoy en da, el lgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemticas en reas que, por tradicin, no son tcnicas.PrerrequisitosAl escribir este libro tuve en mente dos metas. Intent volver accesibles un gran nmero de temas de lgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan nicamente cono- cimientos firmes del lgebra correspondientes a la enseanza media superior. Como muchos estudiantes habrn llevado un curso de clculo de al menos un ao, inclu tambin varios ejem- plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. stos se indican con el smboloClculo. La seccin 8.7 es opcional y s requiere el uso de herramientas de clculo, pero salvo este caso, el clculo no es un prerrequisito para este texto.AplicacionesMi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del lgebra lineal en sus campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multipli- cacin de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (pgina 67). Otros son un poco ms grandes; entre stos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (pginas 18 a 19 y 111 a 113), la teora de grficas (seccin 2.8), la aproximacin por mnimos cuadrados (seccin 6.2) y un modelo de crecimiento poblacional (seccin 8.2).Adems, se puede encontrar un nmero significativo de aplicaciones sugestivas en las sec- ciones de MATLAB.TeoraPara muchos estudiantes el curso de lgebra lineal constituye el primer curso real de matemticas. Aqu se solicita a los estudiantes no slo que lleven a cabo clculos matemticos sino tambin que desarrollen demostraciones. Intent, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la tcnica y la teora. Todas las tcnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilizacin. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando los resultados dados aqu. Las demostraciones ms difciles se dan al final de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que propor-

XII Prefaciocionar a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver los problemas que surjan en sus reas de estudio como una mayor apreciacin de la belleza de las matemticas.CaractersticasLa sptima edicin ofrece nuevas caractersticas y conserva la estructura ya probada y clsica que tena la edicin anterior. Las nuevas caractersticas se enumeran en la pgina XIV.Examen diagnsticoEl examen diagnstico, nuevo en esta edicin, busca identificar si el alumno posee las nociones mnimas necesarias para un curso exitoso de lgebra lineal. Este examen se compone de 36 reactivos divididos en 7 problemas, cada uno de los cuales evala alguna habilidad matemtica especifca. En la pregunta 1 se evala la habilidad de manipular operaciones aritmticas sim- ples. En la pregunta 2 se estima el concepto de conjuntos, que son los elementos que tienen una o varias propiedades en comn. En la pregunta 3 se aprecia la manipulacin de conjuntos con sus operaciones de unin, interseccin y complemento. En el problema 4 se revisan las habili- dades bsicas de lgebra. En el problema 5 se evala la habilidad de factorizar expresiones al- gebraicas simples. En la pregunta 6 se calcula la habilidad para resolver ecuaciones lineales sim- ples. Finalmente, en la pregunta 7 se estima la habilidad para encontrar races de polinomios.EjemplosLos estudiantes aprenden matemticas mediante ejemplos completos y claros. La sptima edi- cin contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos necesarios para completar la solucin. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda didctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorg un nombre a los ejemplos con el objeto de que resulte ms sencillo entender el concepto esencial que ilustra cada uno.EjerciciosEl texto contiene cerca de 2 750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemticas, stos constituyen la herramienta ms importante del aprendizaje. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la tcnica y las de- mostraciones. Los problemas ms complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalmente difciles con dos (**). stos se complementan con ejercicios de problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios, alrededor de 300 son nuevos. Muchos son aportaciones de profesores destacados en la materia. Tambin hay varios problemas en las secciones Manejo de calculadora y MATLAB.Teorema de resumenUna caracterstica importante es la aparicin frecuente del teorema de resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada en comn dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales. En la seccin 1.1 (pgina 5) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones 2.4 (p. 114), 2.6 (p. 138), 3.3 (p. 215), 5.4 (p. 337), 5.7 (p. 395), 7.4 (p. 529) y 8.1 (p. 557) se en- cuentran versiones cada vez ms completas de dicho teorema.

Prefacio XIIIAutoevaluacinLos problemas de autoevaluacin estn diseados para valorar si el estudiante comprende las ideas bsicas de la seccin, y es conveniente que los resuelva antes de que intente solucionar los problemas ms generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opcin mltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningn clculo.Manejo de calculadoraEn la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles, con las que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edicin anterior, el texto incluye secciones de manejo de calculadora que tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edicin se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de vanguardia.Se presentan secciones donde se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP 50g para la resolucin de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es utilizar la calculadora para encontrar las soluciones.Sin embargo, debe hacerse hincapi en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una caracterstica opcional que debe usarse a discrecin del profesor.Resmenes de seccionesAl final de cada seccin aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en sta. Incluye referencias a las pginas de la seccin en las que se encuentra la informacin completa.GeometraAlgunas ideas importantes en lgebra lineal se entienden mejor observando su interpretacin geomtrica. Por esa razn se han resaltado las interpretaciones geomtricas de conceptos im- portantes en varios lugares de esta edicin. stas incluyen: La geometra de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (p. 20) La interpretacin geomtrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 183, 272) La interpretacin geomtrica del triple producto escalar (p. 273) Cmo dibujar un plano (p. 282) La interpretacin geomtrica de la dependencia lineal en R3 (p. 334) La geometra de una transformacin lineal de R2 en R2 (pp. 510-517) Las isometras de R2 (p. 536)Semblanzas histricasLas matemticas son ms interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histrico del tema. Para estimular este inters se incluyen varias notas histricas breves, dispersas en el libro. Ade- ms, hay siete semblanzas no tan breves y con ms detalles, entre las que se cuentan las de: Carl Friedrich Gauss (p. 21) Sir William Rowan Hamilton (p. 54)