Algebra de Grossman 6ta Edicion

orto- Capítulo

ESPACIOS VECTORIALES

•INTRODUCCiÓN

Como se observó en el capítulo anterior, los conjuntos (¿2 (vectores en el plano) y (¿3 (vectoresen el espacio) cuentan con diversas propiedades peculiares. Se puede sumar dos vectores en (¿2

y obtener otro vector en (¿2. En la suma, los vectores en (¿2 obedecen las leyes conmutativa yasociativa. Si x E (¿2, entonces x + O = x y x + (-x) = O. Se puede multiplicar vectores en l?2

por escalares y obtener las leyes distributivas. En [!3se cumplen las mismas propiedades.Los conjuntos (¿2 y (¿3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por

un escalar se denominan espacios vectoriales. Se puede decir, de forma intuitiva, que un espaciovectorial es un conjunto de objetos con dos operaciones que obedecen las reglas que acabande escribirse.

En el presente capítulo habrá un cambio, en apariencia grande, del mundo concreto de lasolución de ecuaciones y del manejo sencillo de los vectores que se visualizan, al mundo abs-tracto de los espacios vectoriales arbitrarios. Existe una ventaja en este cambio. Una vez que,en términos generales, se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales se pueden aplicar

. estos hechos a todos los espacios de esta naturaleza. De otro modo, tendría que probarse cadahecho una y otra vez para cada nuevo espacio vectorial que nos encontráramos (y existe un sinfin de ellos). Pero como se verá más adelante, muchos de los teoremas abstractos que se demos-trarán, en términos reales no son más difíciles que los que ya se han estudiado.

~

DEFINICiÓN y PROPIEDADES BÁSICAS

FINIClóN a Espaciovectorial real

Un espacio vectorial real Ves un conjunto de objetos, denominados vectores, junto condos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacenlos diez axiomas enumerados a continuación.

282 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales

Notación. Si x y y están en Vy si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + yy el producto escalar de a y x como ox.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espaciovectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puedeser útil pensar en (22 o IP al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espaciovectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). Ensegunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra"real" significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo de-finir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libroestá dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otrosconjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Axiomas de un espacio vectorial

i. Si x E Vy y E V, entonces x + y E V (cerradura bajo la suma).

Ü. Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z)(ley asociativa de la suma de vectores).

iii. Existe un vector O E Vtal que para todo x E V, X + O = 0+ x = x(el O se llama vector cero o idéntico aditivo).

iv. Si x E V, existe un vector -x en E V tal que x + (-x) = O(-x se llama inverso aditivo de x).

v. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x(ley conmutativa de la suma de vectores).

vi. Si x E Vy a es un escalar, entonces ox E V(cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

vii. Si x y y están en V ya es un escalar, entonces a(x + y) = ox + ay(primera ley distributiva).

viii. Si x E Vya y {3son escalares, entonces (a + (3) x = ax + {3x(segunda ley distributiva).

ix. Si x E Vya y (3 son escalares, entonces a({3x) = (a{3)x(ley asociativa de la multiplicación por escalares).

x. Para cada vector x E V, lx = x

Nota. En los problemas 23 y 24 se estudian la propiedad de unicidad sobre el elemento neutroaditivo y el elemento inverso aditivo en un espacio vectoriaI.

EJEMPLO 1 El espacio (2n

Cada vector en 12" es una matriz de n X I. Según la definición de suma de matrices dada en la

página 48, X .+ y e, una matriz de n X 1 si x y y son matrices de n X 1. Haciendo O ~ [!1y

-'--

4.2 Definición y propiedades básicas _ 283

-x ~ [~f:l, se observa que los axiomas u) a x) se obtienen de la definición de suma de vecto-

res (matrices) y el teorema l.5.l en lapágina 50.

Nota. Los vectores en P' se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectorescolumna.

EJEMPLO 2 Espacio vectorial trivial

Sea V = {O}. Es decir, V consiste sólo en el número o. Como O + O = 1 . O = O + (O + O) =

(O + O) + O = O,.se ve que Ves un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre deespacio vectorial trivial.

EJEMPLO 3 Conjunto que no es un espacio vectorial

Sea V = {I}. Es decir, V consiste únicamente del número l. Éste no es un espacio vectorial yaque viola el axioma i) -el axioma de cerradura-o Para verlo con más claridad, basta con ob-servar que 1 + 1 = 2 rt. V. También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrarque viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. (

Nota. Verificar los diez axiomas puede ser laborioso. En adelante se verificarán únicamenteaquellos axiomas que no son obvios.

EJEMPLO 4 El conjunto de puntos en [22 que se encuentran en una recta

que pasa por el origen constituye un espacio vectorial

Sea V = {(x, y): y = mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}.

Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origeny tiene pendiente m. Para demostrar que Ves un espacio vectorial, se puede verificar quecumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en [22 se han escrito como ren=en lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo.

i. Suponga que x = (x., Yl) y Y = (x2' Y2) están en V. Entonces Yl = mx

x + y = (x., Yl ) + (x2' y 2) = (Xl' mxl) + (X2' mx2) = ( y

= (Xl + X2' m( Xl + Y ,

Por lo tanto se cumple el axioma i).

ii, Suponga que (x, y) E V. Entonces-que -(X, y) tambiénpertenece a

Todo vector en Ves un vector en [22, y ~Lj:omo (O, O) = O está en V (explique\ejemplo 1. Entonces Ves un espacio vect¿

EJEMPLO 5 El conjunto de puntos en [22 que se encu

que no pasa por el origen constituye un e ~

Sea V = {(x, y): y = 2x + 1, X E l?}. Es decir,la recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectori

Sea V = {l}. Es decir, V consiste únicamente del número 1. Éste no es un espacio vectorial yaque viola el axioma i) -el axioma de cerradura-o Para verlo con más claridad, basta con ob-servar que 1 + 1 = 2 ft V. También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrarque viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial.

(

4.2 Definicióny propiedadesbásicas 283

- x ~ [_ ~ l, se observa que los aúorna~ü) a x) se obtienen de la definición de suma de vecto-

res (matrices) y el teorema 1.5.1 en la página 50.

No/a. Los vectores en 1)' se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectorescolumna.

EJEMPLO 2 Espacio vectorial trivial

Sea V = {O}. Es decir, V consiste sólo en el número O. Como O + O = 1 . O = O + (O + O) =(O + O) + O = O, se ve que Ves un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre deespacio vectorial trivial.

EJEMPLO 3 Conjunto que no es un espacio vectorial

Nota. Verificar los diez axiomas puede ser laborioso. En adelante se verificarán únicamenteaquellos axiomas que no son obvios.

EJEMPLO 4 El conjunto de puntos en [22 que se encuentran en una recta

que pasa P9r el origen constituye un espacio vectorial

Sea V = {(x, y): y = mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}.

Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origeny tiene pendiente m. Para demostrar que Ves un espacio vectorial, se puede verificar que secumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en [22 se han escrito como renglonese~lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo.

i. Suponga que x = (xl' YI) y Y = (x2' Y2) están en V. Entonces YI = mxI' Y2 = mx2, y

x + y = (x., YI) + (x,, Y2) = (xl' m.xl) + (x,, m.x2) = (XI + x2' m.xl+ m.x2)

= (XI + x2' m(xI + X2)) E V

Por lo tanto se cumple el axioma i).

ü. Suponga que (X, y) E V. Entonces y = mx y -(x, y) = -(x, mx) = (-x, m(-x)), de maneraque -(x, y) también pertenece a Vy (x, mx) + (-x, m(- x)) = (x - x, m(x - x)) = (O, O).

Todo vector en Ves un vector en V, y·Ves un espacio vectorial, como se muestra en el ejemploéComo (O, O) = O está en V (explique por qué) todas las demás propiedades se deducen delejemplo 1. Entonces Ves un espacio vectorial.

EJEMPLO 5 El conjunto de puntos en [22 que se encuentran sobre una recta

que no pasa por el origen constituye un espacio vectorial

Sea V = {(x, y): y = 2x + 1, x E l2}. Es decir, Ves el conjunto de puntos que están sobrela recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la


suma, como sucede en el ejemplo 3. Para ver esto, suponga que (x., YI) y (x2' Y2) están en V.Entonces,

e-.

Si el vector del lado derecho estuviera en V, se tendría

YI + Y2 = 2(xI + x) + 1 = 2xI + 2x2 + 1

Pero YI = 2xI + 1 YY2 = 2x2 + 1 de manera que

YI + Y2 = (2xI + 1) + (2x; + 1) = 2xI + 2x2 + 2

Por lo tanto, se concluye que

(XI + x2' YI + Y2) ~ V si (XI' YI) E V y (X2' yJ E V

Por ejemplo, (0,1) y (3,7) están en V, pero (0,1) + (3,7) = (3,8) no está en Vporque 8 #- 2·3+ 1. Una forma más sencilla de comprobar que V no es un espacio vectorial es observar queO= (O,O)no se encuentra en V porque 0#-2 . ° + 1. No es difícil demostrar que el conjuntode puntos en [!2 que está sobre cualquier recta que no pasa por (O,O)no constituye un espaciovectorial.

EJEMPLO 6 El conjunto de puntos en (?3 que se encuentran en un plano

que pasa por el origen constituye un espacio vectorial

Sea V = {(x, y, z): ax + by + cz = O}.Esto es, Ves el conjunto de puntos en ()3 que está enel plano con vector normal (a, b, e) y que pasa por el origen. Al igual que en el ejemplo 4, losvectores se escriben como renglones en lugar de columnas.

Suponga que (xI' YI, ZI) Y(x2' Y2' Z2) están en V. Entonces (xI' YI' z.) + (x2' Y2' Z2) = (XI + .x2' YI + Y2' ZI +z) E V porque

EJEMPLO 7

Por lo tanto, el axioma i) se cumple. Los otros axiomas se verifican fácilmente. De este modo,el conjunto de puntos que se encuentra en un plano en ()3 que pasa por el origen, constituye unespacio vectorial.

El espacio vectorial~

Sea V = P", el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n.' Sip E P

II, entonces

donde cada a¡ es real. La suma de p(x) + q(x) está definida de lamanera usual: si q(x) = b,?c" +b X,,-I + ... + b x + b entonces

11~1 I o'

\Es obvio que la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de gradomenor o igual a n, por lo que se cumple el axioma i). Las propiedades ü) y v) a x) son claras. Sise define el polinomio 0= Ox" + Oxl/-I + ... + Ox + 0, entonces ° E Pn y el axioma üi) se cumple.Por último, sea -p(x) = -al/x" - a,,_lxn-1 - ... - alx - a¡y se ve que el axioma iv) se cumple, conlo que P" es un espacio vectorial real.

.1---t Se dice que las funciones constantes (incluyendo la función f(x) = O) son polinomios de grado cero.

4.2 Definición y propiedades básicas 285

_l...._L_o_s_e_s_p_a_c_io_s_v_e_c_to_r_ia_l_e_s _C_[O_,_1_l_y_C_[a_,_b_l_

tlÚLCULO I Sea V = C[O, 1] = el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo[0,.1]. Se define

(f + g)x = f(x) + g(x) y (af)(x) = a[f(x)]

Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple y los otros axiomasse verifican fácilmente con O= la función cero y (-f)(x) = -f(x).Del mismo modo, C[a, b],el conjunto de funciones de valores reales definidas y continuas en [a, b], constituye un espaciovectorial.

EJEMPLO 9 Elespacio vectorial Mnm

Si V = Mllln

denota el conjunto de matrices de In X 11con componentes reales, entonces conla suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales, se puede verificar que M,III' es unespacio vectorial cuyo neutro aditivo es la matriz de ceros de dimensiones In X 11.

EJEMPLO 10 Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial

Sea S3 el conjunto de matrices invertibles de 3 X 3. Se define la "suma" A EB B por A EB B = AB. t

Si A YB son invertibles, entonces AB es invertible (por el teorema 1.8.3, página 96) de maneraque el axioma i) se cumple. El axioma ü) es sencillamente la ley asociativa para la multiplica-ción de matrices (teorema 1.6.2, página 63); los axiomas iii) y iv) se satisfacen con O= I3 Y- A= A-l. Sin embargo, AB* BA en general (vea la página 61), entonces el axioma v)no se cumpley por lo tanto S3 no es un espacio vectorial.

EJEMPLO 11 Un conjunto de puntos en un semi plano puede no formar un espacio vectorial

Sea V = {(x, y): y 2T O}. V consiste en los puntos en V en el semiplano superior (los primerosdos cuadrantes). Si YI 2 ° YY2 2 0, entonces YI + Y2 2 O;así, si (XI' YI) E Vy (x2' Y2) E V, en-tonces (XI + x2' YI + y) E V. Sin embargo, Vno es un espacio vectorial ya que el vector (1,1),por ejemplo, no tiene un inverso en V porque (-1, -1) rt V. Más aún, el axioma vi) falla, yaque si (x, y) a V, entonces a (x, y) a V si el'< O.

EJEMPLO 12 Elespacio en

Sea V = en = {( el' e2, •.. , e): e¡ es un número complejo para i = 1,2, ... , 11}Yel conjuntode escalafes es el conjunto de números complejos. No es difícil verificar que Ü', también es unespacio vectorial.

Como lo sugieren estos ejemplos, existen diferentes tipos de espacios vectoriales y muchasclases de conjuntos que 110 son espacios vectoriales. Antes de terminar esta sección, se demos-trarán algunos resultados sobre los espacios vectoriales .

•t '"""[C""-AL-CU-LO""'¡ Este símbolo se usa en todo el libro para indicar que el problema o ejemplo utiliza conceptos de cálculo.• Se usa un signo más en circulado para evitar confusión con el signo más normal que denota la suma de matrices.


TEOREMA a Sea V un espacio vectorial. Entonces

i. 0'0 = Opara todo escalar 0'.

íí. O' x = O para todo x E V.

iü. Si ox = O, entonces o' = Oo x = O (o ambos).

iv. (-l)x = -x para todo x E V.

ID DEMOSTRACIÓN i. Por el axioma iiiy; O + O = O;Ydel axioma vii),

. 0'0 = 0'(0 + O) = 0'0 + 0'0 (1)

Sumando -0'0 en los dos lados de (1) y usando la ley asociativa (axioma ii), seobtiene

0:0 + (-0:0) = [0:0 + 0:0] + (-0:0)

O = 0:0 + [0:0 + (-0:0)]

0= 0:0 + O

0=0:0

ii. Se usa, esencialmente, la misma prueba que en la parte i). Se comienza con O + O =

OYse usa el axioma vii) para ver que Ox = (O + O)x = Ox + Ox o Ox + (-Ox) = Ox+ [Ox + (-Ox)] o O = Ox + O = OX.

ííí. Sea ox = O. Si a;f. O,se multiplican ambos lados de la ecuación por lJa para obtener(I/a)(ax)= (l/«) O = O[por la parte i)].Pero (lJa)(ax) = lx = x (por el axioma ix), demanera que x = O.

iv. Primero se usa el hecho de que 1 + (-1) = O. Después, usando la parte ii), se ob-tiene

0= Ox = [1 + (-l)]x = l x + (-l)x = x + (-l)x (2)

Se suma -x en ambos lados de (2) para obtener

. -x = O+ (-x) = x + (-l)x + (-X{= x + (-x) + (-l)x

= O+ (-l)x = (-l)x

De este modo, -x = (-l)x. observe que el orden de la suma en la ecuación anteriorse pudo invertir utilizando la ley conmutativa (axioma v).

Observación. La parte iii) del teorema 1 no es tan obvia como parece. Existen situaciones cono-cidas en las que xy = °no implica que x o y sean cero. Como ejemplo, se tiene la multiplicación

(O 1) (0'-2) .de matrices de 2 x 2. Si A = O ° Y B = O O' en donde ni A III B son cero y, como se

puede verificar, AB = 0, el resultado del producto de estas matrices es la matriz cero. '/ .

problemas 4,2

AUTOEVALUACIÓN

De las siguientes afirmaciones, indique si son falsas o verdaderas:

1. El conjunto de vectores (; ) en [!2c~n y = - 3x es un espacio vectorial real.

1.

2.

3.

4.

5.6.

CIB·ESPOL 7.8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

4.2 Definición y propiedades básicas 287

11. El conjunto de vectores (; ) en [!2 con y = - 3x + 1 es ún espacio vectorial real.

11I.El conjunto de matrices i!:vertibles de 5 x 5 forma un espacio vectorial (con "+"definido como en la suma matrices ordinaria).

IV. El conjunto de múltiplos constantes de la matriz idéntica de 2 x 2 es un espaciovectorial (con "+" definido como en III).

V. El conjunto de matrices idénticas de n x n para n = 2,3,4, ... es un espacio vecto-rial (con "+" definido como en III).

VI. El conjunto de vectores ( :J en 123 con 2x - y - 12z = O es un espacio vectorialreal. lz

VII. El conjunto de vectores [;J en 123 con 2x - y - 12z = 1 es un espacio v~ctorialreal. z .

VIII. El conjunto de polinomios de grado 3 es un espacio vectorial real (con "+" definidocomo la suma de polinomios ordinaria). i.

De los problemas 1 al 22 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. De no ser asíproporcione una lista de los axiomas que no se cumplen.

El conjunto de matrices diagonales de n X n bajo la suma de matrices y niultiplicación porun escalar usuales.

El conjunto de matrices diagonales de n x n bajo la multiplicación (es decir, A EB B = AB).

{(x, y): y:S O;x, y reales} con la suma de vectores y multiplicación por un escalar usuales.

Los vectores en el plano que es/n el primer cuadrante.

El conjunto de vectores en 123 de la forma (x, x, x).

El conjunto de polinomios de grado 4 bajo las operaciones del ejemplo 7.

Elconjunto de polinomios de grado 5 bajo las operaciones del ejemplo 7.

El conjunto de matrices simétricas de n X n (vea la sección 1.9) bajo la suma y multiplica-ción por un escalar usuales.

El conjunto de matrices de 2 x 2 que tienen la forma ( ~ ~) bajo la suma y multiplicaciónpor un escalar usuales.

El conjunto de matrices de la forma (1 a) con las operaciones de matrices de suma ymultiplicación por un escalar. f3 1, r

El conjunto que consiste en un solo vector (O, O) bajo las operaciones usuales en símbolo122.

El conjunto de polinomios de grado :S n con término constante cero.

El conjunto de polinomios de grado :S n con término constante ao positivo.

El conjunto de polinomios de grad,o :S n con término constante a·o negativo.


t I CÁLCULO I

15. El conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en [O,1] conJ(O) = ° y J(1)= ° bajo las operaciones del ejemplo 8.

16. El conjunto de puntos en [?3que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen.

17. El conjunto de puntos en [:>3 que se encuentran sobre la recta x = t + 1, Y = 2t, z = t - 1.

18. [:>2 con la suma definida por (x., y¡) + (x2, Y2) = (x. + x2 + 1, Y¡ + Y2 + 1) Yla multiplicaciónpor un escalar ordinaria.

19. El conjunto del problema 18 con la multiplicación por un escalar definida por o(x, y) =

(O' -f o'X - 1, O' + ay - 1).

,..

20. El conjunto que consiste en un objeto con la suma definida por objeto + objeto = objeto yla multiplicación por un escalar definida por o' (objeto) = objeto.

El conjunto de funciones diferenciables definidas en [O, 1] con las operaciones del ejemplo 8.

El conjunto de números reales de la forma a + bJ2, donde a y b son números racionales,bajo la suma de números reales usual y la multiplicación por un escalar definida sólo paraescalares racionales.

t21.

*22.

t I CÁLcuLO I

23. Demuestre que en un espacio vectorial el elemento idéntico aditivo es único.

24. Demuestre que en un espacio vectorial todo vector tiene un inverso aditivo único.

25. Si x y y son vectores en un espacio vectorial V, demuestre que existe un vector único Z E Vtal que x + z = y.

26. Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo lasoperaciones x + y = xy y o'X = .x".

27. Considere la ecuación diferencial homogénea de segundo orden

y"(x) + a(x)y'(x) + b(x)y(x) = °donde a(x) y b(x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de laecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de funciones y multi-plicación por un escalar.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN

1. V 11. F 111. {; IV. V V. F VI. V VII. F VIII. F

•MATLAB 4.2

~ 1. El archivo vctrsp.m es una demostración sobre la geometría de algunas propiedades de losespacios vectoriales de vectores en [?2.

A continuación se presenta el código de la función vctrsp. m

function% VCTRSP

vctrsp(x,y,z,a)funcion que ilustrade conmutatividad yvectores.Tambien la propiedadmultiplicacionpor un escalar de la

-las propiedades geometricasasociatividad de la suma de%

% de distributiva de la

suma de vectores.¡---t ijCALCULO IEste símbolo se usa para indicar que el problema o ejemplo usa conceptos de cálculo.

I

: )

DI SUBESPACIOS

DEFINICiÓN a

4.3 Subespacios

b) x = [-5;5], Y = [0;-4], z == [4;4]. Use a = 2, a = 1/3 Y a = -3/2.

e) Su propia elección de x, y, z X/o a.

2. a) Elija algunos valores para n y m y genere tres matrices aleatorias de n X m, llamadas X,y Y Z. Genere dos escalares aleatorios a y b (por ejemplo, a = 2*rand(l)-1). Verifiquetodas las propiedades del espacio vectorial para estas matrices y escalares. Para demos-trar A = B, demuestre que A - B = O; para la propiedad iii) decida cómo generar elidéntico aditivo para matrices de n X m. Repita para otros tres juegos de X, Y, Z, a y b(para las mismas n y m).

b) (Lápiz y papel) Pruebe las propiedades del espacio vectorial para M,1I11' las matrices den Xm.

e) (Lápiz y papel) ¿Cuál es la diferencia entre los incisos a) y b)?

Del ejemplo 4.2.1 de la página 282, se sabe que [?l = {(x, y): x E l2 YY E 12} es un espaciovectorial. En el ejemplo 4.2.4 de la página 283, se vio que V = {(x, y): y = mx} también es unespacio vectorial. Adicionalmente, es evidente que Ve [?l. Estó es, [?l tiene un subconjuntoque también es un espacio vectorial. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subcon-juntos que también son espacios vectoriales. En esta sección se examinarán estos importantessubconjuntos.

Subespacio

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí unespacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidasen V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial "padre" V.Existen múltiples ejemplos de subespacios en este capítulo; sin embargo, en primer lugar,

se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de Ves en realidad un subespacio de V

293·

TEOREMA a

I!! DEMOSTRACIÓN

Subespacio

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial Ves un subespacio de V si se cum-plen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es.un subespacio

i. Si x E H YY E H, entonces x + y E H.

ii. Si x E H, entonces ax E H para todo escalar a.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura debencumplirse. De lo contrario, para demostrar que H es un espacio vectorial, debe de-mostrarse que los axiomas i) a x) en la página 282 se cumplen bajo las operaciones de

í

1:!!!,


suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V.Las dos operaciones decerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis. Corno los vectores en H son tam-bién vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa[axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen. Sea x E H. Entonces Ox E H por hipótesisii). Pero por el teorema 4.2.1 de la página 286, (parte ii), Ox = O.De este modo, O E HYse cumple el axioma iii). Por último, por la parte ii), (-l)x E H para todo x E H. Porel teorema 4.2.1 (parte iv), -x =( -l)x E H de manera que se cumple el axioma iv) y laprueba queda completa.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficienteverificar que .

x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.

La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece ser mencionado deforma explícita:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al O. (1)

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

lBSUBESPAClOS

PROPIOS

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

Este hecho con frecuencia facilitará la averiguación de si un subconjunto de Ven particularno es un subespacio de V Es decir, si un subconjunto no contiene al O,entonces no es un subespa-cio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V

A continuación se mostrarán algunos ejemplos de subespacios.

El subespacio trivial

Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {O}que consiste enel vector cero es única-mente un subespacio ya que O+ O= OYaO = Opara todo número real a [parte i) del teorema4.2.1]. Esto se denomina el subespacio trivial.

Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo

Para cada espacio vectorial V, Ves un subespacio de sí mismo.Los primeros dos ejemplos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespa-

'.cios, {O}y V (que coinciden si V = {O}).Es más interesante encontrar otros subespacios. Lossubespacios distintos a {O}y V se denominan subespacios propios.

Un subespacio propio de [;J2

Sea H = {(x, y): y = mx} (vea el ejemplo 4.2.4 de la página 283). Entonces, como ya se dijo, Hes un subespacio de 1:J2. En la sección 4.6 (problema 15, página 339) se verá que si H es cual-quier subespacio propio de [P, entonces H consiste en el conjunto de puntos que se encuentransobre una recta que pasa por el origen; es decir, un conjunto de puntos que se encuentra sobreuna recta que pasa por el origen es el único tipo de subespacio propio de 1:J2.

Un subespacio propio de [23

Sea H = {(x, y, z): x = al, y = bt y z = et; a, b, e, t reales}. Entonces H consiste en los vectoresen [23 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Para ver que H es un subespa-cio de [23, sea x = (ai, bt., etl) E Hy Y= (at2, bt2, et2) E H. Entonces

4.3 Subespacios 295

y

Así, H es un subespacio de 1:?3.

EJEMPLO 5 Otro subespacio propio de 1:?3

Sea T( = {(x, y, z): ax + by + cz = O;a, b, e reales}. Entonces, como se vio en el ejemplo 4.2.6de la página 284, T( es un espacio vectorial; así, T( es un subespacio de 1:?3.

En la sección 4.6 se demostrará que los conjuntos de vectores que se encuentran sobre rectas yplanos que pasan por el origen son los únicos subespacios propios de 1:?3.

Antes de analizar más ejemplos, es importante observar que no todo espacio vectorial tienesubespacios propios.

___ I:?_n_o_t_ie_n_e_s_u_b_e_sp_a_c_i_o_s_p_r_o_p_iO_S__

Sea Hun subespacio de I:?t Si H -:t- {O}, entonces H contiene un número real a diferente de cero.Por el axioma vi), 1= (11 a) a E H Y f31 = f3 E H para todo número real f3. Así, si H no es elsubespacio trivial, entonces H = I:? Es decir, I:? no tiene subespacios propios.

1ImIIIII,-__A_19_u_n_o_s_s_u_b_e_s_p_ac_i_o_s_p_r_o_p_iO_s_d_e_P_n__

Si Pn denota el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n (ejemplo 4.2.7,página 284), y si ° :::;m < n, entonces Pm es un subespacio propio de Pn como se verifica fácil-mente.

_,--_u_n_su_b_e_s p_a_ci_o_p_ro_p_I_"o_d_e_M,--mc.;.n__

Sea Mmn (ejemplo 4.2.10, página 285) el espacio vectorial de matrices de m X n con componen-tes reales y sea H = {A E Mm,,: all = O}. Por la definición de suma de matrices y multiplicaciónpor un escalar, es obvio que los dos axiomas de cerradura se cumplen de manera que H es unsubespacio.

EJEMPLO 9 Un subconjunto que no esun subespacio propio de Mmn

Sea V = M,m (las matrices de n X n) y sea H = {A E M",,: A es invertible}. Entonces H no es unsubespacio ya que la matriz cero de n X n no está en H.

1IIIIIIIII__u_n_s_u_b_e_s_pa_c_i_o_p_r_o_p_io_d_e_C_l_o_,_1_]

PJO, 1] te C[O, 1] (vea el ejemplo 4.2.8 de la página 285) porque todo polinomio es continuoy P" es un espacio vectorial para todo entero n de manera q~ada PJO, 1] es un subespaciode C[O, 1].

•t Observe que Ves un espacio vectorial real; es decir, Ves un espacio vectorial en donde los escalares se toman como

los números reales. Éste es el ejemplo 4.2.1, página 282, con n = 1. .• P)O, 1] denota el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, definidos en el intervalo [0, 1].


1IIIIIIDII __C_'_[O_,_1_l_e_s_u_n_su_b_e_s_p_a_cl_'o_p_r_o_p_io_d_e_C_[_O_,_1l__

Sea C'[O, 1] el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas en [O, 1].Como toda función diferenciable es continua, se tiene CI[O, 1]e C[O, 1]. Puesto que la suma dedos funciones diferenciables es diferenciable y un múltiplo constante de una función diferen-ciable es diferenciable, se ve que C'[O, 1] es un subespacio de C[O, 1]. Se trata de un subespaciopropio porque no toda función continua es diferenciable.

1EIIrIIIIL....__o_tr_o_su_b_e_s_p_a_c_io_p_ro_p_i_o_d_e_C_[O_,_1_l__

TEOREMA mIl DEMOSTRACiÓN

EJEMPLO 13

Si f E C[O, 1], entonces f~f(x) dx existe. Sea H = {f E C[O, 1]: f~f(x) dx = O}. Si f E H Y g E H,

entonces f~[f(x) + g(x)] == f: f(x) dx + f~g(x) dx = O+ O = °y f~af(x) dx = a f~f(x) dx = O.Asíf + g y afestán en H para todo número real a. Esto muestra que H es un sub espacio propiode C[O, 1].

Como lo ilustran los últimos tres ejemplos, un espacio vectorial puede tener un númerogrande y variado de subespacios propios. Antes de terminar esta sección, se demostrará unhecho interesante sobre subespacios.

Sea H, YH2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H, (\ H2 es un subes-pacio de V.

Observe que H, (\ H2 es no vacío porque contiene al O. Sea x, H, (\ H2 Yx2 E H, (\ H2•

Entonces como H, y H2 son subespacios, x, + x2 E H" Y x, + x2 E H2. Esto significaque x, + x2 E H, (\ H2• De manera similar ax, E H, (\ H2. Por lo tanto, se cumplen losdos axiomas de cerradura y H, (\ H2 es un subespacio.

la intersección de dos subespacios de (¿3 es un subespacio

En ~3 sea H, = {(x, y, z): 2x - y -z = O} YH2 = {(x, y, z): x + 2y + 3z = O}. Entonces H, yH2 consisten en vectores que se encuentran sobre planos que pasan por el origen y son, según elejemplo 5, subespacios de ~3. H, (\ H2 es la intersección de los dos planos que se calculan comoen el ejemplo 9 de la sección 3.5:

x + 2y + 3z = O2x-y-z=O

reduciendo renglones, se tiene

[~ 2 3 ~J . [; 2 3 ~J ~-1 -1 -5 -7

. [: 2 3 I :] . [: O1

:J-5

7 I 7-5 -

5

De este modo, todas las soluciones al sistema homogén~ es~n dadas por (- ~ z, - ~ z, z )-

Haciendo z = t, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta L en ~3: x = - .!. t, Y = - 7.. t,5 5

z = t. Como se observó en el ejemplo 4, el conjunto de vectores sobre L constituye un subes-pacio de ~3.

J

4.3 Subespacios 297

Observación. No es necesariamente cierto que si H¡ y H2 son subespacios de V, H¡ uH2 es unsubespacio de V (puede o no serlo). Por ejemplo, H¡ = {(x, y): y = 2x} y {(x, y): y = 3x} sonsubespacios de [?2, pero H¡ u H2 no es un subespacio. Para ver esto, observe que (l, 2) E

O

H¡y (1,3) E H2 de manera que tanto Q, 2) como (1, 3,)están en H¡ u H20 Pero (1, 2) + (1,3) =(2, 5) f/'. H¡ U H2 porque (2, 5) f/'. H¡ Y (2, 5) E H20 Así, H¡ uH2 no es cerrado bajo la suma ypor lo tanto no es un subespacio.

problemas 4.3

AUTO EVALUACiÓN

De las siguientes aseveraciones, evalúe si son falsas o verdaderas. .

l. Conjunto de vectores de la rorma l;J es un subespacio de 1:>'.

11. El conjunto de vectores dela ro rma [~Jes uo su bespaci ° de V'.

11I. El conjunto de matrices diagonales de 3 X 3 es un subespacio de M330

IV. El conjunto de matrices triangulares superiores de 3 x 3 es un sub espacio de M330

V. El conjunto de matrices triangulares de 3 X 3 es un subespacio de M330

VI. Sea H un sub espacio de M220 Entonces (~ ~) debe estar en tt.

VII. S~ H =n2X + 3Y-FO} Y K=1[;)X-2Y+ sz=+oton=llUKes un subespacio de [?3o

VIII. Si H YK son los subconjuntos del problema VII, entonces H n K es un subespaciode [?3o

IX. El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P30

De los problemas 1 al 26 determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial Ves unsubespacio de V

1.3.5.7.8.9.

10.

11.

V = [?2; H = {(x, y); y 2: O}

V = [?2; H = {(x, y); y = 2y}

V = [?2; H = {(x, y); x2 + y2 ~ l}

2. V=[?2;H= {(x,y);x=y}

4. V = [?3; H = el plano xy

6. V = l?2; H = {(x, y): x2 + y3 < l}

V = Mllln; H = {D E Mili"; D es diagonal}

V = ~lIn; H = {T E Mllln; T es triangular superior}

V = M ; H = {T: T es triangular inferior}mn ,

V = Mili"; H = {S E Mllln: S es simétrica}

V = M o H = {A E M : a..= O}nm' nm lj

12. V= M22;H={AEM22:A=C: ~)}

'\

298 . CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales

13. V = M22; H = {A E M22: A = ( ~ 1~ a) }

14. V= M22;H={AEM22:A=(~ a~l)}

15. V= M22;H={AEM22:~=(~ ~)}

16. V = P4; H = {p E P4: grado p = 4}

17. V =r: H = {p E p,,: p(O) = O Y p'CO) = O}

18. V= P4; H= {P E P4:p(0) = O}

19. V = P,,; H = {P E P,,:p(O) = O}20. V = P,,; H = {p E Pn: p(O) = 1}

21. V = C[O, 1]; H = {f E C[O, l]:f(O) = f(l) = O}22. V = C[O, 1]; H = {f E C[O, l]:f(O) = 2}

23. V = CI[O, 1]; H = {f E CI[O, l]:f'(O) = O}

24. V = C[a, b]; donde a y b son números reales y a < b; H = {f E C[a, b]: f: f(x) dx = O}

25. V = C[a, b]; H = {f E C[a, b]: s: f(x) dx = 1}

26. V = C[a, b]; H = {f E C[a, b]:s: f2(X)dX}

27. Sea V= M22; sean HI = {A E M22: all = O} Y H2 = {A EM22: A = (-: ;)}.a) Demuestre que HI y H2 son subespacios.

h) Describa el subconjunto de H = HI n H2 y muestre que es un subespacio.

28. Si V = C[O, 1], sea HI el subespacio del ejemplo 10 YH2 el subespacio del ejemplo 11. Des-criba el conjunto HI n H2 y demuestre que es un subespacio.

29. Sea A una matriz de n X m ysea H = {x E Ir': Ax = O}. Demuestre que H es un subespaciode Ir'. H se llama espacio nulo de la matriz A.

30. En el problema 29 sea H = {x E Ir': AX::l=O}. Demuestre que H no es un subespacio de Ir'.

31. Sea H = {(x, y, z, w): ax + by + cz + dw = O}, donde a, b, e y d son números reales, notodos cero. Demuestre que H es un subespacio propio de 1J4. H se llama un hiperplano enlJ4 que pasa por el origen.

32. Sea H = {(XI' x2' .•. ,xJ alxl + a2x2 + ... + a"x" = O}, donde al' a2, .•• ,a" son númerosreales no todos cero. Demuestre que H es un subespacio propio de Ir. Al igual que en elproblema 31, H se llama un hiperplano en Ir.

33. Sean HI y H2 subespacios de un espacio vectorial V. Sea HI + H2 = {v: v = VI + v2 con VI EHI Yv2 E H2}' Demuestre que HI y H2 es un subespacio de V.

34 -. Sean VI y v2 dos vectores en [22. Demuestre que H = {v: v = aVI + bv2; a, b reales} es unsubespacio de [22.

*35. En el problema 34 demuestre que si VI y v2 son no colineales, entonces H = [22.

*36. Sean vI' v2' , v" vectores arbitrarios en un espacio vectorial V. Sea H = {v E V: v = al VI+ a2 v2 + + an vn' donde al' a2, ••• ,a" son escalares}. Demuestre que H es un subespaciode V. H se llama el subespacio generado por los vectores vI' v2' ... , v"' \

4.4 Combinación lineal y espacio generado 299

RESPUESTAS A LA AUTO EVALUACiÓN

1. F

VII. F

11. V

VIII. V

111.V

IX. F

IV. V V. F VI. V

• MAllAB 4.31. a) Genere una matriz aleatoria A de 4 X 4 Ysea S = triu(A) + triu(A)'. Verifique que S es

simétrica.

b) Usando el inciso a), genere dos matrices aleatorias de 4 X 4 reales simétricas, S y T, Yun escalar aleatorio, a. Verifique que aS y S + T también son simétricas. Repita paraotros cuatro juegos de S, T Ya.

e) ¿Por qué se puede decir que se ha reunido evidencia de que el subconjunto de matricessimétricas de 4 X 4 es un sub espacio de M44?

d) (Lápiz y papel) Pruebe que el subconjunto de matrices simétricas de n X n es un sub-espacio de M,1Il.

DI COMBINACiÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO

Se ha visto que todo vector v = (a, b, e) en V se puede escribir en la forma

v = ai + bj + ck

En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j Yk. De manera másgeneral, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN a Combinación lineal

Sean vI' v2' ... , v". vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de laforma

(1)

donde, al' a2, .•• , a" son escalares se denomina una combinación lineal de VI' v2' ... , v".

EJEMPLO 1 Una combinación lineal en [!3

En V (-~ J es una combinación lineal de (-!J y ( -;J ya quc (-~J= 2 (-~ J- (-;J.

-----

300 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales_L.__u_n_a_c_o_m_b_i_n_a_c_io_' n_l_in_e_a_l_e_n_M....;2::3_

1

3

-2) . ( 3lo que muestra que --6 -1

-2).-6

2

9En M

23, (-3 2 8) = 3(-1

-1 9 3 1

es una combinación lineal de ( - ~

13

EmIIIL.__c_o_m_b_in_a_c_i_o_n_e_s_l_in_e_a_l_e_s_e_n_p.:.;.n __

En PIl

todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de los "monomios" 1, x,x2, •• ~ ,x".

DEFINICiÓN E3 Conjunto generador

Se dice que los vectores vI' v2' ... , vn

de un espacio vectorial V generan a V si todo vectoren V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todov E V, existen escalares al' a2, ..• , an tales que

v=av +av +'''+av1 1 2 2 n n(2)

EJEMPLO 4 Conjunto de vectores que generan 122 y 123

:;....•En la sección 3.1 se vio que los vectores i= ( 1) Y j = ( O) generan [?2. En la sección 3.3 se

VioqUoi~lHj~mYk~m generan D' O 1

. :(, ~.~.-..:®.....'" ~. ~

. .i<..,.~~_L.__n_+_1_v_e_c_to_re_s_q_u_e_g_e_n_e_ra_n_a_p....;n-,--_

Ahora se verá brevemente la generación de algunos otros espacios vectoriales .

Del ejemplo 3 se deduce que los monomios 1, x, x2, ... ,xn generan a Pn'

~. Cuatro vectores que generan a M22

Como (: ~) = a (~ c~)+ b (~ ~) + e (~ ~) + d (~ ~). vemos que ( ~ ~). ( ~ ~).

( ~ ~) y ( ~ n generan a M22·

EJEMPLO 7 Ningún conjunto finito de polinomios generan a P

Sea P el espacio vectorial de polinomios. Entonces ningún conjunto finito 'de polinomios generaa P Para ver esto, suponga que PI' P2' •.• .F; son polinomios. Sea Pk el polinomio de mayor

4.4 Combinación lineal y espacio generado 301

grado en este conjunto y sea N = grado(pJ. Entonces el polinomio p(x) = XN+I no se puedeescribir como una combinación lineal de p l' Pz' ... ,Pm• Por ejemplo si N = 3, entonces Xl "/= ea+ elx + ezxz + e3x3 para cualesquiera escalares eO' el' ez y e3•

Ahora se analizará otra forma de encontrar subespacios de un espacio vectorial V

DEFINICiÓN E3I Espacio generado por un conjunto de vectores

Sea VI' vz' ... , vk' k vectores de un espacio vectorial V. El espacio generado por {VI' vz'... , vJ es el conjunto de combinaciones lineales vI' vz' ... , vk. Es decir

(3)

donde al' az' ... , ak son escalares arbitrarios.

TEOREMA a Si vI' vz' ... , vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen {vI' v2' ... , vk} esun sub espacio de V.

La prueba es sencilla y se deja como ejercicio (vea el problema 16).DEMOSTRACIÓNI! \

EJEMPLO 8 El espacio generado por dos vectores en [23

Sea VI = (2, -1,4) Yv2 = (4, 1,6). Entonces H = genív., vz} = {v: V = ap, -1,4) + a/4, 1, 6)}.¿Cuál es la apariencia de m Si V = (x, y, z) E H, entonces se tiene x = 2al + 4az'y = -al

+ az y Z = 4al + 6az. Si se piensa que (x, y, z) está fijo, entonces estas ecuaciones se puedenver como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas al' a2• Este sistema sé resuelve en laforma usual:

U :] [~ -1 -y] R,~R,-2R, [1 -1 -y]4 R, --> -R, 4 R3 --> R3 - 4R, O 6 x+2y~ x ~

6 6 z O 10 z+4y

[1 -1 I -y] R,~R, + R, [1 O I x/6 - 2Y/3]Rl -->iR,

~ O 1 I (x + 2y)/ 6 R, --> R, - 10~ . O 1 I x/6 + y/3

O 10 I z+4y O O I -5x/3 + 2y/3 + z

Desde el capítulo 1 se observa que el sistema tiene una solución únicamente si -5x/3 + 2y/3 +z = O; o multiplicando por - 3, si

5x - 2y - 3z = O (4)

La ecuación (4) es la ecuación de un plano en [23 que pasa por el origen.

Este último ejemplo se puede generalizar para probar el siguiente hecho interesante:

El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en [23 que no son paralelos es unplano que pasa por el origen.

En los problemas 22 y 23 se encuentra la sugerencia de una demostración.

302 CAPÍTULO 4 Espacios vect6r~les

Figura 4.1u + v se obtiene de laregla del paralelogramo.

a) b) e)

Se puede dar una interpretación geométrica de este resultado. Vea los vectores de la figura4.1. Se conoce (de la sección 3.1) la interpretación geométrica de los vectores 2u, -u y u + v,por ejemplo. Haciendo uso de éstos, se observa que cualquier otro vector en el plano de u y v sepuede obtener como una combinación lineal de u y v. La figura 4.2 muestra cuatro situacionesdiferentes en las que un tercer vector w en el plano de u y v se puede escribir como ceu + f3v paravalores adecuados de a y f3.

(a < O)

u

Observación. En las definiciones 2 y 3 se uilizaron dos términos diferentes: "genera" y "espaciogenerado". Se hace hincapié en que un conjunto de vectores vI' v2' ... , VII genera a V si todovector en V se puede escribir como una combinación lineal de v., v2' •.. , VII; pero

El espacio generado por los n vectores VI' v2' ... , vk es el conjunto de combinaciones lineales deestos vectores.

Estos dos conceptos son diferentes -aun cuando los términos se parezcan-o

Se cierra esta sección con la mención de un resultado útil. Su demostración no es difícil y sedeja como ejercicio (vea el problema 24).

vu

au

v

Figura 4.2En cada caso w = ou +f3v para valores adecuadosde a y f3.

a)

f3v0<f3<1 O<a<1

O

b)

vau

a>1\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

u

\

•...----~~w,,,,,,,,,

e) d)

4.4 Combinación lineal y espacio generado

TEOREMA E3 Sean VI' Vz' ... , Vn' Vn+l' n + ) vectores que están en un espacio vectorial V. Si VI

vz' ... , Vil genera a V, entonces vI' vz' ... , VII' vn+1 también genera a V.Es decir, si se agr -gan uno o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.,.AUTOEVALUACIÓN

problemas 4,4

1. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores no pueden generar a [¿2?

11. ¿Cuáles de lós siguientes conjuntos de polinomios generan a Pz?

a) 1, x2 b) 3, 2x, - x2 e) 1+ x, 2 + 2x, x2 d) 1,1 + x, 1+ x2

Indique si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos

V. {1 2 3 IOOOO} P. , x, x ,x , ... , x genera a .

11I. G) está en el espacio generado por {e), (!)}.

IV'l~ }'h elespaciogenerado pO'1l~)n)t

VI. {( ~ ~), ( ~ ~), ( ~ : ), ( ~ ~)} genera a M22•

VII.gen l[-il·[;]{-~lles un subespacio deV.

VIII.gen j[ -!Wlnll es un subespacio dc~

IX. Si {CJGJJ genera a IY, entonces {GJ (:J (~:)}también genera V.

De los problemas 1 al16 determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorialdado.

1. En V: e). (:) 2. EnV: C)'(~)'G)

,..CAPÍTULO 4304 Espacios vectoriales

3. En~: (~}( :}( =~) 4. En~: C}G}(~)5. En~mfnm 6. En~mHJHJ7. En~[:Jnm 8. En~[~WHJm9. En V3: (1, -1,2), (1, 1,2), (O, 0, 1)

11. En P2: 1 - x, 3 - x2

13. En p'X2 +l'x2 -1'x+62' , ,

-14. En M22:(~ ~}(~~}(~-1) (0 0)° ' 3 1

15. En M22:(~ :}(~~}(:-1) (-2 5)° ' 6 °

10. EnV3: (1, -1,2), (-1,1,2), (O, 0,1)

17. Demuestre que dos polinomios de grado menor o igual a dos, no pueden generar P2.

"'18. Sip¡,p2"" -P; genera Pm, demuestre que m 2: n + L

19. Demuestre que si u y v están en gen {VI' v2' ... , vk}, entonces u + v y ceu están en gen{v., v2' ... , vk}, [Sugerencia: Utilizando la definición de espacio generado escriba u + v y

exu como combinaciones lineales de vI' v2' ... , vk.]

20. Demuestre que el conjunto infinito {l, x, x2, x3, •.. } genera P, el espacio vectorial de poli-nomios.

21. Sea Hun subespacio de V que contiene a vI' v2' ... , VII' Demuestre que gen {v., v2' ... , v,)<;;; H Es decir, gen {v., v2' ... , v,) es el subespacio más pequeño de V que contiene a VI'

22. Sean v¡ = (x., YI' z.) y v2 = (x2, Y2, z) en V3, Demuestre que si v2 = cvI' entonces gen {v., v2}

es una recta que pasa por el origen.

**23. En el problema 22suponga que v¡ y v2 no son paralelos. Demuestre que H = gen '{VI' v2} eun plano que pasa por el origen. ¿Cuál es la ecuación del plano? [Sugerencia: Si (x, y, z) E

H, escriba v = a¡v¡ + a2v2 y encuentre una condición respecto a x, y y Z tal que el sistemade 3 X 2 resultante tenga una solución.]

24. Pruebe el teorema 2. [Sugerencia: Si v E V, escriba v como una combinación lineal de VI'

v2' .•. , VII' vll+¡ con el coeficiente de v

ll+¡ igual a cero.]

25. Demuestre que M22 se puede generar con matrices invertibles.

26. Sean {u., u2' ••.. , u} y {v., V2' •.. , v,) dos n-vectores en un espacio vectorial V Supongaque

314 CAPÍTULO 4 Espaciosvectoriales

\11-G~'(n~;lB INDEPENDENCIA LINEAL

d) ¿Genera el siguiente conjunto de matrices todo M23? ¿Por qué?

En el estudio del álgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencialineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se mues-tra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

¿Existe una relación especial entre los vectores VI = ( ~) y V 2 = (!}Por supuesto, se

puede apreciar que v2 = 2vl; o si se escribe esta ecuación de otra manera,

(1)

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de VI y v2

(es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de

especial los vectores v, = lH v, =( ;) y v; = ( ~: )?la respuesta a esta pregunta e

más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3 = 3vI + 2v2; rescribiendoesto se obtiene

(2)

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de vI' v2 y v3• Parece que los dos vec-tores en la ecuación (1) y los tres vectores en la ecuación (2) tienen una relación más cercanaque un par arbitrario de 2-vectores o una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se diceque los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importantedefinición que a continuación se presenta.

DEFINICiÓN a Dependencia e independencia lineal

Sean VI' v2' ..• , VII' n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectoresson linealmen~edependientes si existen n escalares cl' c2' .•• , cll no todos cero tales que

(3)

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente indepen-dientes.

Para decirlo de otra forma, VI' v2' ... , VII son linealmente independientes si la ecuación clv.+ C2V2 + ... + CIlVIl = Ose cumple únicamente para cI = c2 = ... = cll = O.Son linealmentedependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de vI' v2' ••

. , VII con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores VI' v2' .•. , VII son lin~almente independientes (o dependientes), oque el conjunto de vectores {vI' v2' ..• , VII} es linealmerrle independiente (o dependiente). Estoes, se usan las dos frases indistintamente.

· oo

TEOREMA aDEMOSTRACiÓN

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

•• Solución

4.5 Independencia lineal 315

¿Cómo se determina si un conjunto de vectores es linealme te dependiente o independiente? Elcaso de 2-vectores es sencillo ..

Dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno deellos es un múltiplo escalar del otro.

Primero suponga que v2 = cV¡para algún escalar c;{oO. Entonces cv¡ - v2 = O:)' v¡ y v2 son!inealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v¡ y v2 son !inealmente depen-dientes. Entonces existen constantes c¡ y c2al menos uno distinto de cero, tales que c¡v¡+ C2V2 = O. Si c¡ ;{oO, entonces dividiendo entre c¡ se obtiene v¡ + (c/c)v2 = O, o sea,

v =(-~)v¡ C 2¡

Es decir, v¡ es un múltiplo escalar de v2• Si c¡ = 0, entonces c2;{o ° y, por lo tanto, v2 = O= OV¡.

Dos vectores linealmente dependientes en ~4

Los vectores v, "[ - f1y v, {~lson linealmen te dependientes ya quev, " - 3v,

Dos vectores linealmente dependientes en ~3

Los vectores [~) y [ ~) son linealmente independientes; si no lo fueran, se tendría [ ~) =

[

1) [ c) 4 -3 -3C ~ = ~: . Entonces 2 = c, 5 = 2c y - 3 = 4c, lo cual es evidentemente imposible para cual-

quier número c.

Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en ~3

Determine si los vectores [ -H[-~)y [!) son Iinealmente dependientes o independientes.

Suponga que e, [- ~) + e, [- ~) + e, [ ~) " O" [ ~). Entonces multiplicando y sumando se ob-

[

c¡ + 2c2) [0)

tiene -2c¡ - 2c2 + c3 = O . Esto lleva al sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres

3c¡ + 7c3 O

incógnitas c¡, c2y c3:


e) + 2e2 = O

- 2e) + 2e2 + e3 = O

3e) + 7e3 = O

(4)

,De este modo, los vectores serán linealmente dependientes si y sólo si el sistema (4) tiene solu-ciones no triviales. Se escribe el sistema (4) usando una matriz aumentada y después se rdlucepor renglones. La forma escalonada reducida por renglones de

[

1 2

-2 -23 O

O

O

1

O O

1

O7

Este último sistema de ecuaciones se lee e) = O, e2 = O, e3 = O.Por lo tanto, (4) no tiene solucio-nes no triviales y los vectores dados son linealmente independientes.

EJEMPLO 4 Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en (23

Determine si los vectores [ -iJ [~J y [~~ J son linealmente dependientes o independientes

•• Solución La ecuación e, [ - ~J + e, [~J + e, [ ~~H~J conduce al sistema homogéneo

e) + 3e2 + 11e3 = O

-3e) - 6e3 = O

4e2 + 12e3 = O

(5)

Escribiendo el sistema (5) en la forma de matriz aumentada y reduciendo por renglones, seobtiene

[-~3 11

~1 [:3 11

~1O -6 • 9 27 •4 12 4 12

.[: 311 I 01 (:

O 2I 0J3~ I O • 3 I O

4 12 I O O O I O

Nos podemos detener aquí ya que la teoría de la sección lA muestra que el sistema (5) tiene unnúmero infinito de soluciones. Por ejemplo, la última matriz aumentada se lee

e) + 2e3 = Oe2 + 3e3 = O

Si se hace e3 = 1, se tiene e2 = -3 Y e) = -2, de manera que, como puede verificarse,

-2 [ - ~J - 3 [ ~J + [ ~~J = [ ~J y los vectores son lineal mente dependientes

, 4.5 Independencialineal 317

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DEPENDENCIA LINEAL EN [¿3

En el ejemplo 3 se encontraron tres vectores en 1:13que eran linealmente independientes, Enel ejemplo 4 se encontraron tres vectores que eran linealmente dependientes. ¿Qué significadogeométrico tiene esto? f ~

Suponga que u, v y w son tres vectores linealmente dependientes en 1:13.S ueden tratarlos vectores como si tuvieran un punto terminal en el origen. Entonces ex) en constantes cl' c2y c3' no todas cero, tales que (

(6)

Suponga que c3"* O(un resultado similar se cumple si cI "* Oo c2"* O).Entonces se pueden dividirambos lados de (6) entre c3 y reacomodar los términos para obtener

donde A = =», y B = = c.f c; Ahora se demostrará que u, v y w son coplanares. Se calcula

w . (u X v) = (Au X Bv) = . (u X v) = A[u· (u X v)] + B[v' (u X v)]=A·O+B·O=O

porque u y v son ambos ortogonales a u X v (vea la página 255). Sea n = u X v. Si n = 0, en-tonces por el teorema 3.4.2 parte vii) u y v son paralelos (y colineales). Así u, v y w están encualquier plano que contiene tanto a u como a v y por consiguiente son coplanares. Si n "* 0,entonces u y v están en el plano que consiste en aquellos vectores que pasan por el origen queson ortogonales a n. Pero w está en el mismo plano porque w . n = w . (u X v) = O.Esto muestraque u, v y w son coplanares.

En el problema 66 se pide al lector que demuestre que si u, v Yw son coplanares, son lineal-mente dependientes. Se concluye que

Tres vectores en 1:13son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.

La figura 4.3 ilustra este hecho utilizando los vectores en los ejemplos 3 y 4.

z z

(O, 1,7)(11, -6, 12)

Figura 4.3Dos conjuntos de tresvectores, -»::----+-y

(2, -2, O)

x x

a)Estos tres vectoresson independientesy no coplanares

b)Estos tres vectoresson iridependientesy coplanares

318 Espacios vectorialesCAPÍTULO 4

TEOREMA E3

La teoría de sistemas homogéneos nos habla acerca de la dependencia o independencia linealde los vectores.

Un conjunto de n vectores en V"'" siempr linealmente dependiente si n > m. (,

Sean VI' v2' ... , VII'n vectores en Il" e intentemos encontrar constantes CI' c2' ... \ CIInotodos cero tales que

cv +Cv+···+CV =0I 1 2 2 n n (7)

[

a

ll

] [aI2] [alll]

Sea v. = :~' ,v, = :~' , ... , -. = :'" . Eotonces la ecuación (7) se convierte en

mi m2 mil

allcl + al2c2 + + alllclI = O

a21cI+ a22c2 + + a2ncII = O

a c+a c+"'+a c=Omi I m2 2 nlll n

Pero el sistema (8) es el sistema (1.4.1) de la página 38 y, según el teorema 1.4.1, tiene unnúmero infinito de soluciones si n > m. De esta forma, existen escalares cl' c2' ••• , CIInotodos cero, que satisfacen (8) y, por lo tanto, los vectores vI' v2' ... , VIIson lineal mentedependientes.

EJEMPLO 5 Cuatro vectores en [;)3 que son lineal mente dependientes

Los vectores [ -n [jl [-::J y HJ son linealmente dependientes ya que constituyen un

conjunto de cuatro vectores de 3 elementos.

Existe un corolario importante (y obvio) del teorema 2.

COROLARIO Un conjunto de vectores linealmente independientes en [;)11 contiene a lo más n vectores.

Nota. El corolario se puede expresar de otra forma. Si se tienen n vectores de dimensión n li-nealmente independientes, no se pueden incluir más vectores sin convertir el conjunto en unolinealmente dependiente.

Del sistema (8) se puede hacer otra observación importante cuya prueba se deja comoejercicio (refiérase al problema 32 de la presente sección).

TEOREMA a[

all

Sea A = ::-mi

a

ln

]«.... a

mnam2


Entonces las columnas de A consideradas como vectores, son linealmente dependientessi y sólo si el sistema (8), que se puede escribir como Ac = O, tiene soluciones no triviales.

AqUic{J

EJEMPLO 6 Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones

lineales de vectores solución linealmente independientes

Considere el sistema homogéneo

XI + 2x2 - x3 + 2x4 = O3xI + 7x2 + x3 + 4x4 = O

(9)

•• Solución Haciendo una reducción de renglones:

[1 2 -1 2 ~l [:2 -1 ·2 ~l•

3 7 4 1 4 -2

.[: O -9 6 ~l1 4 -2

El último sistema es

XI - 9x3 + 6x4 = O

x2 + 4x3 - 2x4 = O

Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones, que se escriben como una combi-nación lineal de los vectores columna:

(10)

Observe que [- ~J y. [ - ~J son soluciones linealmente independientes paca (9) porque ningu-

no de los dos es múltiplo del otro (el lector debe verificar que sean soluciones). Como x3 y x4

son números reales arbitrarios, se ve de (10) que el conjunto de soluciones al sistema (9) es unsubespacio de [?4 generado por estos dos vectores solución linealmente independientes.

Los siguientes dos teoremas se deducen directamente del teorema 3.

320 CAPÍTULO 4

TEOREMA aI! DEMOSTRACiÓN

TEOREMA aI! DEMOSTRACIÓN

TEOREMA m

I! DEMOSTRACiÓN


Espacios vectoriales

Sean VI'v2' ••• , vl/'n vectores en l!' y sea A una matriz de n X n cuyas columnas son vI'v2' ••• , vl/'Entonces, vI' v2' ••• , vI/son linealmente independientes si y sólo si la únicasolución al sistema homogéneo Ax = Oes la solución trivial x = O..Éste es el teorema 3 para el caso m = n.

mente independientes.

Del teorema 4 y del teorema de resumen (página 208), las columnas de A son linealmen-te independientes <=> O es la única solución a Ax = O<=> det A "* O. Aquí, <=> significa "siy sólo si".

El teorema 5 nos lleva a extender nuestro teorema de resumen.

Teorema de resumen (punto de vista 5)

Sea A una matriz de n X n. Entonces las ocho afirmaciones siguientes son equivalentes;es decir, cada una implica a las otras siete (de manera que si una es cierta, todas sonciertas).

i. A es invertible.ü. La única solución al sistema homogéneo Ax = O es la solución trivial (x = O).

üi. El sistema Ax = b.tiene una solución única para cada n-vector b.

iv, A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n X n, 11/'v. A es el producto de matrices elementales.

vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.vii. det A "* O.viü. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.

La única parte que no se ha demostrado hasta el momento es que los renglones de Ason linealmente independientes <=> det A "* O. Las columnas son independientes <=> detA "* O <=> det A' = det A "* O (vea el teorema 2.2.4 de la página 185) <=> las columnas deA' son linealmente independientes. Pero las columnas de A' son los renglones de A. Estocompleta la prueba.

El siguiente teorema combina las ideas de independencia lineal y conjuntos generadores en I~I/.

Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente en P' genera a l!'.

[

all

] [aI2] [all/]sean[:II]~ ::: ,v, ~ :~ , ... , -. ~ :: ,vecto,,'¡;nealmente independientes y sea

v ~ ~' ,un vector en l!'. ])eb~O' demostrar que existen escala", '" '" ... , < tales que

xI/ v - elvl + e2v2 + ... + el/vII

4.5 Independencialineal 321

Es decir

(11)

En (11) se multiplican componentes, se igualan y se suman para obtener u ( sistema den ecuaciones con n incógnitas el' e2, ... , en:

a¡¡c¡ + a¡2e¡2 + + a¡nc" = x¡

a2¡c¡ + a22c2 + + a2"cn = x2 (12)

Se puede escribir (12) como Ac = v, donde

Pero det A ::j:. O ya que las columnas de A son linealmente independientes. De maneraque el sistema (12) tiene una solución única e por el teorema 6 y el teorema queda de-mostrado.

Observación. Esta demostración 110 sólo muestra que v se puede escribir como una combina-ción lineal de los vectores independientes vI' v2, ... , v"' sino también que esto se puede lograrde una sola manera (ya que el vector solución e es único).

EJEMPLO 7 Tres vectores en 1;>3 generan V3 si su determinante es diferente de cero

Los vectores (2, -1,4), (1, O, 2) Y(3, -1,5) generan (23 porquetanto, son independientes.

= -1 ::j:. Oy, por lo213

-1 O -1

425

Todos los ejemplos que se han dado hasta ahora han sido en el espacio PI. Esto no repre-senta una restricción tan grande como parece. En la sección 5.4 (teorema 6) se demostrará quediferentes espacios vectoriales de apariencia muy distinta tienen, en esencia, las mismas propie-dades. Por ejemplo, se verá que el espacio P" es fundamentalmente el mismo que l?"+¡. Se diráque dos espacios vectoriales con esta forma son isomórficos.

Este importante resultado tendrá que esperar hasta el capítulo 5. Mientras tanto, se daránalgunos ejemplos en espacios diferentes al?".

EJEMPLO 8 Tres matrices lineal mente independientes en M23

(1 O 2) (.,.-1 1 4) (-1En M23, sean ~ = , Az =. y ~ =3 1 -1 2 3 O 1

son linealmente dependientes o independientes.

O 1) ..2 1 . Determine SI A¡, A2 Y A3

322 CAPÍTULO 4

••• Solución

EJEMPLO 9

. • • Solución

EJEMPLO 10

Ir • Solución

Espaciosvectoriales

Esto nos proporciona un sistema homogéneo de seis ecuaciones con tres incógnitas, el' e2 y e3':~el cual reulta bastante sencillo verificar que la única solución es el = e2 = e3 = O.De este modo.las tres matrices son linealmente independientes.

Cuatro polinomios linealmente independientes en P3

En P3 determine si los polinomios 1, x, x2 y x3 son linealmente dependientes o independientes .

Suponga que el + e2x + e3x2 + e4x

3 = O.Esto debe cumplirse para todo número real x. En par-ticular, si x = O,se obtiene el = O.Entonces, haciendo x = 1, -1,2 se obtiene, sucesivamente.

C2 + c3 + c4 = O

=. + c3 - c4 = O

2c2 + 4c3 + 8c4 = O

El determinante de este sistema homogéneo es

1 1 1

-1 1 -1 =12*0

2 4 8

De manera que el sistema tiene una solución única el = c2 = c3 = c4 = OYlos cuatro polinomiosson linealmente independientes. Esto se puede ver de otra forma. Se sabe que cualquier polino-mio de grado 3 tiene a lo más tres raíces reales. Pero si cI + c2x + e3x

2 + C4X3 = Opara algunasconstantes diferentes de cero Cl' C2' C3, y C4 y para todo número real x, entonces se ha construidoun polinomio cúbico para el que todo número real es una raíz, lo cual es imposible.

Tres polinomios linealmente independientes en P2

En P2, determine si los polinomios x - 2x2, x2 -4x y -7x + 8x2 son linealmente dependienteso independientes.

Sea eJx - 2X2) + c/x2 -4x) + c3(-7x + 8X2) = O.Reacomodando los términos se obtiene

(e, - 4c2 -7c3)x = O

(-2cI + c2 + 8c3)X2 = O

Estas ecuaciones se cumplen para todo x si y sólo si

y-2cI + c2 + 8c3 = O

Pero para el teorema 1.4.1 de la página 38, este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitastiene un número infinito de soluciones. Lo que muestra que los polinomios son linealmentedependientes.


Si se resuelve este sistema homogéneo, se obtiene, .sucesivamente

[-~-4 -7 ~l .[~-4 -7 ~l1 8 -7 -6

.(: -4 -7 :] . (1 Ü

25

:]--7

6 6- O 17 -7

I<:

Así, se puede dar un valor arbitrario a e3, el = 25 e3 y e2 = - i e3• Si, por ejemplo, e3 = 7, en-tonces c

I= 25, c

2= -6y se tiene 7 7 .

25(x - 2X2) - 6(X2 - 4x) + 7( =Tx + 8X2) = O

problemas 4.5

b) G}G)e) (-:}(~)

AUTOEVALUACIÓN

1.¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes?

a) C}C~)d) C~~}(~n

c) C~}(~)

b) (~}(~)

e) (-:}(~)

11. ¿Cuál de los siguientes pares de vectores es un conjunto generador de f.22?

a) C}(-~)d) (-~n,(~~)

c) C~}(~)

111. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores debe ser linealmente dependiente?

b) (;}(;}(;)CIB-ESPOL

Aquí a, b, e, d, e,f, g, h, i.j, k, Y1son números reales.

Indique si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas

IV. Si vI' v2' ... , VIIson linealmente independientes, entonces vI' v2' ... , VII' vlI+I tambiénson linealmente independientes.

V. Si vI' v2' ... , vn son linealmente dependientes, entonces VI' v2' ... , VII' vII+I tambiénson linealmente dependientes.

VI. Si A es una matriz de 3 X 3 Ydet A = O,entonces los renglones de A son vectoreslinealmente dependientes en [¿3.

._----------- -------

I

,I


VII. Los polinomios 3, 2x, - x3 y 3x4 son lineaImente independientes en P4

VIII. Las matrices (1 O), (O 1), (O 1) Y (2 3) son linealmente in ependientesen M

22• O O O O 1 O -5~ O

De los problemas 1 al 27 determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependienteo independiente.

1. C}(=~)

3. (-~}( ~~)

5. (-~}(~)

7. (-~);(1~);(-;)

9. [nmm11. mr:H-:]13. [-mJ]H]U]15. [-i];[~];[-:];[r]

2. HlH]4. [-!]H]6·lHr:Js·mmu

10. [-H[-nm12. [-m-n m

[ 1] [ 3] [ O] [ 5]14 -2. O. 4. O

. ~'-~' -~ , -~

16. nHnUH~~]18. En P2: -x, x2 - 2x, 3x + 5x2

20. En P2: x, x2 - X, x3 - x

21. En ~: x -1, (x - l)(x - 2), (x - l)(x - 2)(x - 3), x4

17. EnP?: 1 - X,x

19. En P2: 1 - x, 1 + x, x2

22. En P3: 2x, x3 - 3, 1 + x - 4x3, x3 + 18x - 9

(2 -1) (O -3) (4 1)23. En M22: , ,4 O 1 5 7-5


(1 -1) (-1 O) ( 124. Sea M22: , ,O 6 3 1 -1

(-1 O) (2 3) (825. Sea M22: 1 2 ' 7 -4 ' 7

~}(~~)-S) (4 -1) (2 3)

6 ' 2 3 ~ -1 4

*26. En C[O, 1]: sen x, cos x

*27. En C[O, 1]: x, ¡;,r;28. Determine una condición sobre los números a, b, e y d tal que los vectores (: ) y (~) sean

linealmente dependientes.

[all

] [al'2] [aI3

]*29. Encu~ntre una condicjó~ sobre los números aij tal que los vectores a2J ' a22 y a23sean linealrnente dependientes. a31 a32 a33

30. ¿Paca qué valor/es) de o serán linealmente dependien tes los vectores [~H-!H:}31. ¿Para qué valor(es) de a.serán [inealmente dependientes I~s vectores [-~1·,[-:1,[71?

[Sugerencia: observe con atención.] .. 1 -2 2

32. Pruebe el teorema 3. [Sugerencia: observe con atención el sistema (8).]

33. Demuestre que si los vectores VI' v2' ... , v" son lineal mente dependientes en 1)11, con In <n, y si V"+I es cualquier otro vector en 1)", entonces el conjunto VI' v2' ••• , v"' V"+I es lineal-mente dependiente.

34. Demuestre que si VI' v2' ••• , v" (n ::::::2) son lineal mente independientes, entonces tambiénlo son VI' v2' ..• , vk' donde k < n.

35. Demuestre que si los vectores VI y v2 diferentes de cero en 1)' son ortogoriales (vea la página80), entonces el conjunto {VI' v2} es linealmente independiente.

*36. Suponga que VI es ortogonal a v2 y v3 y que v2 es ortogonal a v3. Si vI' v2 y v3 son diferentesde cero, demuestre que el conjunto {VI' v2' v3} es linealmente independiente.

37. Sea A una matriz cuadrada (de n X n) cuyas columnas son los vectores, vI' v2' ... , v"' De-muestre que vI' v2' ... , v" son linealmente independientes si y sólo si la forma escalonadapor renglones de A no contiene un renglón de ceros.

De los problemas 38 al 44 escriba las soluciones a los sistemas homogéneos dados en términosde uno o más vectores lineal mente independientes.

38. XI + x2 + x3 = O

39. Xl - x2 + 7x3 - x4 = O2xI + 3x2 - 8x3 + x4 = O

40. XI + x2 + x3 = OXl - x2 - x3 = O

41. XI + 2x2 - x3 = O2xI + SX2 + 4x3 = O


Nota. Este problema fue inspirado por una conferencia dada por Gilbert Strang en la U/versity of New Hampshire, en junio de 1991.

ID BASES y DIMENSiÓN

Se ha visto que en ~ conveniene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores

i=(~) y j =[ ~lEn 1)' se escribieron los vectores eo términos de [~J,[~Jy [~J.Ahora

se generalizará esta idea.

DEFINICiÓN a Base

Un conjunto finito de vectores {VI' v2' ... , v,J es una base para un espacio vectorial Vsi

i. {v!, v2' ••• , v,J es linealmente independiente.

íi. {v., V2' ... , V,) genera a V.

Ya se han analizado algunos ejemplos de bases. En el teorema 4.5.7, por ejemplo, se vio quecualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en 12"genera a 12".De esta for~a,

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en 12"es una base en 12".

En 12"se define

1 O O O

O 1> O Oe = ° ,e2 = O ,e3 = 1 , ... , en = °I

O O O

Puesto que los vectores e¡ son las columnas de una matriz identidad (que tiente determinante 1),{el' e2, ... e} es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una baseen 12".Esta base especial se denomina base canónica en 12".Ahora se encontrarán bases paraalgunos otros espacios.

le BASE CANÓNICA

EJEMPLO 1 Base canónica para Pn

Por el ejemplo 4.5.9 de la página 322, los polinomios 1, X, x2 Y x3 son linealmente independien-tes en P3' para el ejemplo 4.4.3 de la página 300, estos polinomios generan P3. Así, {l, X, x2, x'}es una base para P3• En general, los monomios {L.x, x2, x3, ••• ,x"} constituyen una base paraP . Ésta se denomina la base canónica para P . .

11 n

EJEMPLO 2 Base canónica para M22

~), ( ~ :) y (: ~) generan a

~) = ( : : ), entonces es eviden-

Se vio en el ejemplo 4.4.6 de la página 300, que (~ :), (:

. (el e2) (1 0) (0 1) (O 0) (0M22· S1 = el + e2 + e3 + e4e3 e4 ° ° O O 1 O O

4.6 Bases y dimensión 333

te que el = e2 = e3 = e4 = O.Así, estas cuatro matrices son lineal mente independientes y forman/una base para M22, lo que se denomina base canónica para M22• /

_,- __ u_n_a_b_a_s_e_p_a_r_a_u_n_s_u_b_e_s_p_a_c_io_d_e_[?_3 __

Encuentre una base para el conjunto de vectores que se encuentra en el plano

• Solución En el ejemplo 4.2.6 se observó que rr es un espacio vectorial. Para encontrar una base, 'Primero

se observa que si x y z se escogen arbitrariamente y si (:J E rr, entonces y = 2x + 3z. AS~:losvectores en rt tienen la forma z

Lo cual muestra que [~Jy (~Jgeneran a rt. Como es evidente que estos dos veetores son

linealmente independientes (porque uno no es múltiplo del otro), forman una base para rt.

Si VI' v2' .•. , VIIes una base para V, entonces cualquier otro vector V E V se puede escribir comoV = elvl + e2v2 + ... + ellvll. ¿Puede escribirse de otra manera como una combinación lineal delos vectores v? La respuesta es no (vea la observación que sigue a la demostración del teorema4.5.7 de la página 326, para el caso V = [?Il).

TEOREMA El Si {v., v2' .•. , v,J es una base para Vy si V E V, entonces existe un conjunto únieo deescalares el' e2, ... , ell tales que V = elvl + e2v2 + ... + ellvll.

lB DEMOSTRACIÓN Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque {VI' v2' ... , v.J genera a V.Suponga entonces que V se puede escribir de dos maneras como una combinación linealde los vectores de la base.

Es decir, suponga que

Entonces, restando se obtiene la ecuación

(el - d)v¡ + (e2 - d)v2 + ... + (en - d,,)vll = O

Pero como los Vi son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y sólosi el - di = e2 - d2 = ... = ell - dn = O. Así, el = d., e2 = d2, ... , ell = dll Yel teoremaqueda demostrado.

Se ha visto que un espacio vectorial tiene múltiples bases. Una pregunta surge de maneranatural: ¿contienen todas las bases el mismo número de vectores? En [?31a respuesta es: por su-puesto, sí. Para ver esto, se observa que cualesquiera tres vectores linealmente independientes


en [!3 forman una base. Pero menos vectores no pueden formar una base ya que, como se vio ~sección 4.4, el espacio generado por dos vectores !inealmente independientes en [!3 es un plano -yun plano no es todo [!3_. De manera similar, un conjunto de cuatro vectores o más en l!3 no pue-de ser !inealmente independiente, pues si los tres primeros vectores en el conjunto son !inealmenteindependientes, entonces forman una base; por lo tanto, todos los demás vectores en el conjunto sepueden expresar como una combinación lineal de los primeros tres. Entonces, todas las bases en l!3-

contienen tres vectores. El siguiente teorema nos indica que la respuesta a la pregunta anterior es sípara todos los espacios vectoriales.

TEOREMA E3I Si {u., 0z' ... ,01lJ Y {v., Vz' ... , vJ son bases en un espacio vectorial V, entonces m = n;es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número devectores.

I! DEMOSTRAClóNt Sea SI = {u., 0z' ... , um} y S2 = {VI' v2' ... , v,,}dos bases para V. Debe demostrarse quem = n. Esto se prueba mostrando que si m > n, entonces SI es un conjunto linealmenteindependiente, lo que contradice la hipótesis de que SI es una base. Esto demostrará quem :::;n. La misma prueba demostrará que n :::;m y esto prueba el teorema. ASÍ, bastademostrar que si m> n, entonces SI es dependiente. Como S; constituye una base, todo0i se puede expresar como una combinación lineal de las vj" Se tiene

UI =allv¡ +a¡ZvZ + +a¡nv"

Uz =aZ¡v¡ +azzvz + +aZnv"(1)

Para demostrar que SI es dependiente, deben encontrarse escalares cl' cz' ... , cm' notodos cero, tales que

(2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene

c¡(allvl + a¡2v2 + ... + a¡lIv) + cZ(a2Iv¡ + a22v2 + + a2"v)

+ ... + cm(all/¡v¡ + all/2v2 + + alllllv) = O (3)

La ecuación (3) se puede reescribir como

Ca¡¡c¡ + a2¡c2 + ... + all/¡cm)vI +(a¡2c¡ + a22cZ + ... + «s.».+ ... + (a¡" cI + a2nc2 + ... + «».». = O (4)

Pero como v!' vz' ... , v" son linealmente independientes, se debe tener

a¡¡c¡ + a2¡cZ + + am¡cm = O

a¡Zc¡ + aZZc2 + + amZcm = O (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas c¡, c2' ... ,cm y como m > n, el teorema 1.4.1 de la página 38, dice que el sistema tiene un número

•t Esta prueba se da para espacios vectoriales con bases que contienen un número finito de vectores. También se manejan

105 escalares como si fueran números reales; pero la prueba funciona también en el caso complejo.

4.6 Basesy dimensión 33

infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares el' e2, ••• , em, no todos cero, talesque (2) se satisface y, por lo tanto, SI es un conjunto linealmente dependiente. Esta con-tradicción prueba que m :5 n si se cambian los papeles de SI y S2' se demuestra que n :5 my la prueba queda completa.

Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el álgebra lineal.

DEFINICiÓN m Dimensión

Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces ladimensión de Ves el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vec-torial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensióninfinita. Si V = {O}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dim V.

Observación. No se ha demostrado que todo espacio vectorial tiene una base. Esta difícil prue-ba aparece en la sección 4.12. Pero no se requiere para que la definición 2 tenga sentido, ya quesi V tiene una base finita, entonces Ves de dimensión finita. De otra manera, V tiene dimensióninfinita. Por lo tanto, con el fin de demostrar que V tiene dimensión infinita, sólo es necesariodemostrar que V no tiene una base finita lo que se puede hacer probando que V contiene unnúmero infinito de vectores linealmente independientes (vea el ejemplo 7).

EJEMPLO 4 La dimensión de [¿n

Como n vectores linealmente independientes en Il' constituyen una base, se observa que

dimll' = n

EJEMPLO 5 La dimensión de Pn

Para el ejemplo 1 y el problema 4.5.47, página 326, los polinomios {l, x, x2, ••. ,x"} constituyenuna base en P . Entonces dim P = n + l.n 11

EJEMPLO 6 La dimensión de Mmn

En M sea A ..la matriz de m X n con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillomn 1)

demostrar que las matrices Aij para i = 1,2, ... , m y j = 1,2, ... , n forman una base para MI1III.

Así, dim M"", = mn.

EJEMPLO:7 P tiene dimensión infinita

En el ejemplo 4.4.7 de la página 300, se observó que ningún conjunto finito de polinomios gene-ra a P. Entonces P no tiene una base finita y, por lo tanto, es un espacio vectorial de dimensióninfinita.

Existe un gran número de teoremas sobre la dimensión de un espacio vectorial.

336 CAPÍTULO 4

TEOREMA E:Ila DEMOSTRACIÓN

TEOREMA a

C! DEMOSTRACiÓN


Suponga que dim V = n. Si uI' u2' ... , um es un conjunto de m vectores linealmenteindependientes en V, entonces m ::s:n.

Sea vI' v2' •.• , VII una base para V. Si m > n, entonces, igual que en la prueba del teorema2, se pueden encontrar constantes el' e2, .•• , e

mno todas cero, tales que la ecuación (2)

se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores ur ASÍ, m ::s:n.

Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces H tienedimensión finita y

dimH::s:dim V (6)

Sea dim V = n. Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H estambién !inealmente independiente en V. Por el teorema 3, cualquier conjunto lineal-mente independiente en H puede contener a lo más n vectores. Si H = {O},entoncesdim H = O.Si dim H of. {O},sea VI of. Oun vector en Hy HI = gen {VI}. Si HI = H, dimH = 1Yla prueba queda completa. De lo contrario, elija a V2 E H tal que V2 rt HI YseaH2 = gen {vI' V2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores lineal-mente independientes vI' v2, ... , vk tales que H = gen {v., v2' ... , vk}. El proceso tieneque terminar porque se pueden encontrar a lo más n vectores linealmente independien-tes en H. Entonces H = k::s: n.

El teorema 4 tiene algunas consecuencias interesantes. Presentaremos dos de ellas.

_,-_C_[O_,_1_l _y_C_1_[O_,_1_l_ti_e_n_e_n_d_i_m_e_n_s_ió_n_in_f_in_it_a__

I CÁLCULO '1

EJEMPLO 9

Sea prO, 1]el conjunto de polinomios definido en el intervalo [O,1]. Entonces prO, 1]e qo, 1].Si la dimensión de C[O, 1]fuera finita, entonces prO, 1]también tendría dimensión finita. Perosegún el ejemplo 7, no es así. Por lo tanto C[O, 1] tiene dimensión infinita. De manera similar,como prO, 1]e 0[0,1] (ya que todo polinomio es diferenciable), también se tiene que la dimen-sión de CI[O,1]es infinita.

En términos generales

Cualquier espacio vectorial que contiene un subespacio de dimensión infinita es dedimensión infinita.

Los subespacios de [)3

Se puede usar el teorema 4 para encontrar todos los subespacios de [?3. Sea H un subespacio de[)3. Existen cuatro posibilidades; H = {O},dim H = 1, dim H = 2 y dim H = 3. Si dim H = 3,entonces H contiene una base de tres vectores linealmente independientes vI' v2' v3 en [P. Peroentonces VI' v2' v3 también forman una base para [?3, y así, H = gen {VI' v2' v3} = [)3. Por lotanto, la única manera de obtener un subespacio propio de [)3 es teniendo dim H = 1 o dimH = 2. Si dim H = 1, entonces H tiene una base que consiste en un vector V = (a, b, e). Sea xen H. Entonces x = tea, b, e) para algún número real t [puesto que (a, b, e) genera a H]. Si x =

x = sal + =.y = sb, + tb;

Z = sCI + tC2

(7)

4.6 Bases y dimensión ~

(x, y, z), esto significa que x = at, y = bt, z = ct. Pero ésta es la ecuación de una recta en I:P qU~pasa por el origen con la dirección del vector (a, b, c).

Ahora, suponga que dim H = 2 Ysea v, = (a" b, c.) y v2 = (a2, b2, c2) una base para H. Six = (x, y, z) E H, entonces existen números reales s y t tales que x = sv, + tV2 o (x, y, z) = s(a"b, c.) + t(a2, b2, c2). Entonces

Sea v3 = (a, f3, y) = VI X v2• Entonces del teorema 3.4.2 de la página 255, parte iv), se tiene v3•

v, = O Y v3 • v2 = O. Ahora calculamos

ax + f3y + yz = a(sa, + ta2) + f3(sb, + tb2) + y(sc, + tc2)

= (aal + f3b, + ycl)s + (aa2 + f3b2 + yc2)t

= (v 3 . vl)s + (v 3 . V2)t = O

Así, si (x, y, z) E H, entonces ax + f3y + yz = O, lo que muestra que H es un plano que pasapor el origen con vector normal v3 = v, X v2• Por lo tanto se ha demostrado que

Los únicos subespacios propios de [;>3 son los conjuntos de vectores que se encuentranen una recta o un plano que pasa por el origen.

1ImIIIII'-__E_s_p_a_c_i_o_s_d_e_s_o_IU_c_iÓ_n_y_e_s_p_a_c_.i_o_n_u_lo__

Sea A una matriz de m X n y sea S = {x E l!': Ax = O}.Sean x, E S Yx2 E S; entonces A(x, + x.)= Ax, + AX2 = O + O = O YA(ax,) = a(Ax,) = aO = O, de manera que S es un sub espacio del?" y dim S ::::;n. S se denomina espacio de solución del sistema homogéneo Ax = O. También sedenomina espacio nulo de la matriz A.

EJEMPLO 11 Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo

•• Solución

Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogéneo

x + 2y - z = O2x - y + 3z = O

(1 2 -1) .Aquí A = . Como A es una matriz de 2 X 3, S es.un subespacio de [?3. Reduciendo. 2 -1 3

por renglones, se encuentra, sucesivamente,

"

_~ __ •• (1 2 -1O 1 -1

¡ ~]--- .... (~ -~ -;

00] __ • (1 ° 1

O 1 -1I O]I O

Entonces y ~ z y x ~ ~z de manera que todas las soluciones son de la forma ( -JAs;, ( -: ]

es una base para S y dim S = 1. Observe que S es el conjunto de vectores que se encuentran enla recta x = - t, Y = t, Z = t.


EJEMPLO 12 Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo

Encuentre una base para el espacio de solución S del sistema

2x - y + 3z = O4x - 2y + 6z = O

-6x + 3y - 9z = O

•• Solución Reduciendo renglones se obtiene

Lo que da una sola ecuación: 2x - y + 3z = O.S es un plano y, por el ejemplo 3, una base está

dada po< m y m ydimS ~ 2

Antes de dar por terminada esta sección, demostraremos un resultado útil para encontraruna base para un espacio vectorial arbitrario. Se ha visto que n vectores linealmente indepen-dientes en P' constituyen una base para P'. Este hecho se cumple para todo espacio vectorialde dimensión finita.

TEOREMA m Cualquier conjunto de n vectores !inealmente independientes en un espacio vectorial Vde dimensión n constituyen una base para V.

DEMOSTRACIÓNIe'---- Sean VI' V2' ... , V

l1' n vectores.Si generan el espacio V, entonces constituyen una base.

De lo contrario, existe un vector u E Vtal que u rt gen {VI' v2' ... , vl1

}. Esto significaque los n + 1 vectores VI' v2' ••• , v

l1' u son !inealmente independientes. Para ver esto,

observe que si

(8)

Entonces cn+1 = O,porque de lo contrario podríamos escribir u como una combinaciónlineal de VI' v2' ••. , v

l1dividiendo la ecuación (8) entre cn+1 y poniendo todos los térmi-

nos, excepto u, en el lado derecho. Pero si cn+1 = O,entonces (8) es

CV+CV+"'+CV=O1 I 2 2 1/ n

Lo que significa que CI = C2 = = Cn = O ya que los Vi son !inealmente independientes.Ahora sea W = gen {VI' v2' , v

l1' u}: Como todos los vectores entre las llaves están

en V, Wes un subespacio de V. Como VI' v2' ... , vl1

' u son linealmente independientes,forman una base para W, y dim W = n + 1. Pero por el teorema 4, dim W:5 n. Estacontradicción muestra que no existe el vector u E Vtal que u rt gen {VI' v2, ... , V). Así,vI' v2' ... , v

l1genera a Vy, por lo tanto, constituye una base para V.

4.6 Basesy dimensión 339

problemas 4,6

AUTOEVALUACIÓN

Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos

l. Cualesquiera tres vectores en [)~forman una base para [)3.

11. Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en V3 forman una base para V3.

111. Una base en un espacio vectorial es única.

IV. Sea H un subespacio propio de [¿'l. Es posible encontrar cuatro vectores linealmenteindependientes en H.

VI. Sea {VI' V2' ... , v,J una base para el espacio vectorial V. Entonces no es posibleencontrar un vector V E V tal que u tf- gen {VI' vz, ... , vJ.

VII. {(2 O), (O 3), ( O O), (O O)} es una base para M'2'O O O O -7 O O 12 -

De los problemas 1 al 13 determine si el conjunto dado es una base para elespacio vectorial aque se refiere.1. En P2: 1 - X2, X

3. EnP2: -2x,x + 3X2,X + 25. En P3: 1, 1 + x, 1 + X2, 1 + x3

7. En P3: 3, x3 - 4x + 6, x2

8. En M22: (~ ~}(~2) (-5 ~}(:-~)O' O

2. EnP2: -3x, 1 + X2,X2 - 5

4. En P2: x2 -: 1, x2 - 2, x2 - 3

6. En P3: 1 + x, 2 + X2, 3 + x3, 1

•.9. En M22: (~ ~ J, (~ ~ J, (~ ~ J. (~ ~ J. donde abcd * O

10. En M22:( -~ ~}(~ ~}( -~ ~}C-~}(~~)11. H = {(x, y) E V2: x - y = O}; (1, 1), (4, 4)

12. H= {(x, y) E V2: x + y = O};(1, -1)

13. H= {(x, y) E [)2:x+y=0};(1,-1),(-3,3)

14. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en el plano 2x - y - z = O.

15. Encuentre una base en V3 para el conjunto de vectores en el plano 3x - 2y + z = O.

16. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en la recta x/2 = y/3 - z/4 = O.

, 17. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en la recta x = 3t, Y = -2t, z = 4t.

18. Demuestre que los únicos subespacios propios en V2 son rectas que pasan por el origen.


QN

~ ~ 19. En fll sea H = {(x, y, z, w): ax + by + cz + dw = O}, donde a,b,c,d *- O.

~a) Demuestre que H es un sub espacio de fll.

~) Encuentre una base para H.

~) ¿Cuánto vale dim H!

20. En 12"un hiperplano que contiene a Oes un subespacio de dimensión n-l. Si H es un hi-perplano en I:?"que contiene a O, demuestre que

H = {(xl' x2' .•• xJ alx¡ + a2x2 + ... + anx" = O}

donde al' a2, •.. , a" son números reales fijos, no todos cero.

21. En [?5 encuentre una base para el hiperplano

H = {(xI' x2' x3' x4' xs): 2x¡ - 3x2 + x3 + 4x4 - Xs = O}

De los problemas 22 al 28 encuentre una base para el espacio de solución del sistema homogé-neo dado.

22. x - y = O-2x + 2y = O

25. x - y - z = O2x-y+z=0

23. x - 2y = O3x + y = O

26. x - 3y + z = O-2x + 2y - 3z = O

4x - 8y + 5z = O

28. 2x - 6y + 4z = O- x + 3y - 2z = O-3x + 9y - 6z = O

24. 2x + y = Ox - 3y = O

27. 2x + 3y - 4z = Ox- y+ z=O

2x + 8y - lOz = O

29. Encuentre una base para D3' el espacio vectorial de matrices diagonales de 3 X 3. ¿Cuál esla dimensión de D3?

30. ¿Cuál es la dimensión D", el espacio de matrices diagonales de n X n?

31. Sea SIIIIel espacio vectorial de matrices simétricas de n X n. Demuestre que S"nes un subes-pacio de Mn" y que dim S"" = [n(n -+ 1)]/2.

32. Suponga que vI' v2' ... , v", son vectores linealmente independientes en un espacio vectorialV de dimensión n/y m < n. Demuestre que {vI' v2' ••• , v,J se puede aumentar a una basepara V. Esto es, existen vectores v

lII+1' V"'+2' ... , v" tales que {VI' v2' ••• , v,,} es una base

[sugerencia: vea la demostración del teorema 5].

33. Sea {v., v2' ..• , v,,} una base en V. Sean ul = VI' u2 = VI + v2' u3 = VI + v2 + v3'· .. , u" = VI +v2 + ... + v,,, Demuestre que {u., u2' .•• , u} es también una base en V.

34. Demuestre que si {VI' V2' ... , v,,} genera a V, entonces dim V:5 n. [Sugerencia: utilice elresultado del problema 4.5.56.]

35. Sean H y K dos subespacios de V tales que H ~ K y dim H = dim K < oo. Demuestre queH=K.

36. Sean H y K dos subespacios de V. Defina H + K = {h + k: h E H y k E K}.

a) Demuestre que H + K es un subesapcio de V.

b) Si H nK = {O}, demuestre que dim (H + K) = dim H + dim K.

*37. Si H es un subespacio vectorial de dimensión finita V, demuestre que existe un subespacioúnico K de Vtal que a) H nK = {O} y b) H + K = V.

38. Demuestre que dos vectores VI y v2en 1:)2 con puntos terminales en el origen son colinealesi y sólo si dim gen {vI' v2} = 1.

e) Repita b) para

1 O O O O

O 1 O O O

Av, = O AV2 = O Av3= 1 AV4 = O Avs= O

O O O 1 O

O O O O 1

4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz 343

ID RANGO, NULIDAD, ESPACIO DE LOS RENGLONES Y ESPACIODE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ

En la sección 4.5 se introdujo la noción de independencia lineal. Se demostró que si A es una ma-triz invertible de n X n, entonces las columnas y los renglones de A forman conjuntos de vectoreslinealmente independientes. Sin embargo, si A no es invertible (de manera que det A = O), o si Ano es una matriz cuadrada, entonces estos resultados no dicen nada sobre el número de ren-glones o columnas linealmente independientes de A. Eso es lo que se estudiará en esta sección.También se mostrará la forma en la cual se puede obtener una base para el espacio generado deun conjunto de vectores mediante la reducción por renglones.

Sea A una matriz de m X n y sea

El espacio nulo de una matrizNA = {x E 1/': Ax = O}

(1)

Entonces, como se vio en el ejemplo 4.6.10 de la página 337, NA es un subespacio de 1/'.

DEFINICIÓN a Espacio nulo y nulidad de una matriz

NA se denomina el espacio nulo de A y veA) = dim NA se denomina nulidad de A. Si NA

contiene sólo al vector cero, entonces veA) = O.

Nota. El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel.

____ Es_p_a_c_io_n_U_I_O_y_n_u_li_d_a_d_d_e_u_n_a_m_a_t_ri_z_d_e_2_x_3__

( 1 2 -1)Sea A = . Entonces, como se vio en el ejemplo 4.6.11 de la página 337, NA está2 -1 3

generado por [ -;} y v(Al ~ 1.

EJEMPLO 2 Espacio nulo y nulidad dé una matriz de 3 x 3

Sea A ~ U =~-H E~ton~, por el ejemplo 4612 de la página 338, 1(nrm e' una

base para NA, y veA) = 2.

344 CAPÍTULO 4


DEFINICiÓN m

TEOREMA mE DEMOSTRACiÓN

DEFINICiÓN a

DEFINICiÓN 1::1


Sea A una matriz de n X n. Entonces A es inver1jble si y sólo si veA) = O.

De acuerdo al teorema de resumen [teorema 4.5.6, página 320, partes i) y ii)], A es in-vertible si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax = O es la solución trivialx = O. Pero según la ecuación (1), esto significa que A es invertible si y sólo si NA = {O}.Así, A es invertible si y sólo si veA) = dim NA = O.

Imagen de una matriz

Sea A una matriz de m X n. Entonces la imagen de A, denotada por Im(A), está dadapor

Im(A) = {y E I)'n: Ax = y para alguna x E I)'n} (2)

Sea A una matriz de m X n. Entonces la imagen de A Im(A) es un subespacio de 1/".

Suponga que y¡ y Y2' están en Im(A). Entonces existen vectores x¡ y x2 en [¿n tales quey¡ = Ax¡ y Y2 = Ax2· Por lo tanto

A(ax¡) = aAx¡ = ay¡ y A(x¡ + x) = Ax¡ + AX2 = y¡ + Y2

Por lo que ay¡ y y¡ + Y2 están en Im(A). Así, del teorema 4.3.1, Im(A) es un sub espaciode e-.

Rango de una matriz

Sea A una matriz de m X n. Entonces el rango de A, denotado por peA), está dado por

peA) = dim Im(A)

Se darán dos definiciones y un teorema que facilitarán en cierta medida el cálculo del rango.

Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

Si A es una matriz de m X n, sean {r., r2' ... ,r,) los renglones de A y {c., c2, ... ,cJ lascolumnas de A: Entonces se define

RA = espacio de los renglones de A = gen {r., r2' ... ,r",} (3)

y

CA = espacio de las columnas de A = gen {c., c2, ... , c} (4)

Nota. RA es un subespacio de 1/' y CA es un subespacio de 1/".

TEOREMA E3II! DEMOSTRACIÓN

EJEMPLO 3

TEOREMA aDI DEMOSTRACiÓN


Se ha introducido una gran cantidad de notación en tan sólo tres páginas.Antes de dar un ejemplo, se demostrará que dos de estos cuatro espacios son los mismos.

Para cualquier matriz A, CA = Im(A). Es decir, la imagen de una matriz es igual al espa-cio de sus columnas.

Para demostrar que CA = Im(A), se demuestra que Im(A) <;; CA e Im(A) <;; CA'

l. Se quiere probar que Im(A) <;; CA' Suponga que y E Im(A). Entonces existe unvector x tal que y = Ax. Pero como se observó en la sección 1.6 de la página 58,Ax se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A. Por lotanto, y E CA' de manera que Im(A) <;; CA'

ii. Se quiere probar que Im(A) <;; CA' Suponga que y E CA' Entonces y se puede expre-sar como una combinación lineal de las columnas de A como en la ecuación (1.6.9)de la página 64. Sea x el vector columna de los coeficientes de esta combinaciónlineal. Entonces, igual que en la ecuación (1.6.9), y = Ax. Así, y E Im(A), lo queprueba que Im(A) <;; CA'

Cálculo de NA, veA), imagen A, peA), RA Y eA para una matriz de 2 x 3

Sea A=( ~ 2 -1). A es una matriz de 2 x 3.-1 3

i, El espacio nulo de A = NA = {x E [¿3: Ax = O}.Como se vio en el ejemplo 1,

N,~gcnr)jii. La nulidad de A = veA) = dim NA = 1.

iii. Se sabe que Im(A) = CA' Las primeras dos columnas de A son vectores linealmente inde-pendientes en f22 y, por lo tanto, forman una base para f22. La Im(A) = CA = f22.

iv. peA) = dim Im(A) = dim f22 = 2.

v. El espacio de los renglones de A = R A = gen {(1, 2, -1), (2, -1, 3)}. Como estos dos vecto-res son linealmente independientes, se ve que RA es un subespacio de dimensión dos de [¿3.Del ejemplo 4.6.9 de la página 336, se observa que RA es un plano que pasa por el origen.

En el ejemplo 3 iv) se observa que peA) = dim RA = 2, lo que no es una coincidencia.

Si A es una matriz de m X n, entonces

dim RA = dim CA = dim Im(A) = peA)

Como es usual, se denota por aij la componente ij de A. Debemos demostrar que dim RA

= dim CA' Los renglones de A se denotan por TI' T2' ... , Tm' y sea k = dim RA. Sea S ={SI' S2' ... , Sk} una base para RA• Entonces cada renglón de A se puede expresar comouna combinación lineal de los vectores en S, y se tiene, para algunas constantes aii'


T¡ = a¡¡s¡ + a¡2s2 + + a¡ksk

T2 = a2¡s¡ + a22s2 + + a2ksk (5)

Ahora la componente} de fi es av Entonces si se igualan las componentes} de amboslados de (5) y se hace Si = (Sil' Si2' ... Sil,)' se obtiene

ay = a,¡s¡j + a¡2s2j + + a¡kslfj

a2j = a2¡s¡j + a22s2j + + a2kskj

es decir,

(6)

Sea ex: el vectorI

. Entonces como el lado izquierdo de (6) es la columna} de A, se

a.nll

observa que cada columna de A se puede escribir como una combinación lineal de a: '-7 -71 . ifi 1 ->-7 -7 Ca2, .•• ,ak, o que sign ea que os vectores al' a2, .•• , ak, generan a A y

(7)Pero la ecuación (7) se cumple para cualquier matriz A. En particular, se cumple paraAl. Pero CAl = RA YRAI = CA. Como de (7) dim CAl ::5 dim RAI, se tiene

dim RA ::5 dim CA

Combinando (7) y (8) la prueba queda completa.

(8)

____ c_a_'l_cu_l_o_d_e_l_m_<_A_>_y_p_<_A_>_p_a_ra_u_n_a_m_at_r_iz_d_e_3_x_3 __

Encuentre una base para Im(A) y determine el rango de A = ( !, -6 =~ ~1·3 -98.. Solución Como TI = 2f¡ Y f3 = -3fl' se ve que peA) = dim RA = 1. Así, toda columna en CA es una base

paca e, ~ Im(A). Po; ejemplo, (JJ es uoa base para Im(A).

El siguiente teorema simplificará los cálculos de la imagen, el rango y la nulidad.


TEOREMA m Si A es equivalente por renglones a B, entonces RA = RB' peA) = p(B) YveA) = v(B).

I! DEMOSTRACiÓN Recuerde que según la definición 1.8.3 de la página 104, A es equivalente por renglonesa B si A se puede "reducir" a B mediante operaciones elementales con renglones. Su-ponga que C es la matriz obtenida al realizar operaciones elementales en A. Primero semuestra que RA = Re Como B se obtiene realizando varias operaciones elementales conlos renglones de A, el primer resultado, aplicado varias veces, implicará que RA = RB.

Caso 1: Intercambio de dos renglones de A. Entonces R A = Re porque los renglones deA y C son los mismos (escritos en diferente orden).

Caso 2: Multiplicación del renglón i de A por e =f. O. Si los renglones de A son {r., r2' ... ,r¡, ... , r}, entonces los renglones de C son {r., r2' ... , cr., ... , r}. Es obvio que cr¡ =c(r) y r¡=(1/c)(cr). De esta forma, cada renglón de C es un múltiplo de un renglón de Ay viceversa, lo que significa que cada renglón de C está en el espacio generado por losrenglones de A y viceversa, Se tiene

RA <:;; Re y Re <:;; RA' por 10 tanto Re = RA

Caso 3: Multiplicación del renglón i de A por e =f. OYsuma del mismo al renglónj. Ahoralos renglones de C son {r., r2' ... , r¡, ... , rj + cr¡, ... , r}. En este caso

rj=~-:rrenglónj de e renglón i de e

De manera que todos los renglones de A se pueden expresar como una combinaciónlineal de los renglones de C y viceversa. Entonces, como antes,

RA <:;; Re y Re <:;; RA' por lo tanto Re = RA

Se ha demostrado que RA = RE' Por lo tanto p(RJ = p(RB). Por último, el conjuntode soluciones de Ax = O no cambia bajo las operaciones elementales. ASÍ, NA = NE, Yentonces veA) = v(B).

El teorema 5 es de suma importancia. Indica, por ejemplo, que el rango y el espacio de losrenglones de una matriz son lo mismo que el rango y el espacio de los renglones de la formaescalonada de dicha matriz. No es difícil probar el siguiente teorema (vea el problema 50).

TEOREMA m El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por ren-glones.

lIIIiIIIZIIIII Cálculo de p(A) y RA para una matriz de 3 x 3

Determine el rango y el espacio de los renglones de A ~ [ ~ - ~ !).La forma escalonada por

renglones de A es [~ - ~ -~] = B. Como B tiene Pivot:~ P(~ =1dim RA = 2. Una base paraO O O

R A consiste en los primeros dos renglones de B:

RA

= gen {(l, -1,3), (0,1, -1)}


El teorema 5 es útil cuando se quiere encontrar una base para el espacio generado porconjunto de vectores.

EJEMPLO 6 Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en J:?3

Encuentre una base para el espacio generado por

•• Solución Se expresan los vectores como renglones de una matriz A y después se reduce la matriz a la for-ma escalonada por renglones. La matriz que se obtiene tendrá el mismo espacio de renglon -

o o o

2 -3

[ 1

2 -!] 1-2 O O --

2que A. La forma escalonada por renglones de O es , que tiene4 -2

O O O-2 -4 6

dos pivotes.

. Por ejemplo,Entonces una base pa ra gen {v., ',> '" '.l es [-H O

11

2

O

1

2

Existe un camino relativamente sencillo para encontrar el espacio nulo de una matriz.

1IIIIIIII C_á_Ic_U_lo_d_e_l_e_s_p_a_ci_o_n_u_lo_d_e_u_n_a_m_a_t_r_iz_d_e_4_x_4 __

[

1 2

2 5Encuentre el espacio nulo de A = O -1

3 6

-4

6-14-12

&1. Solución La forma escalonada por renglones reducidos de A es


Siguiendo el mismo razonamiento que en la prueba del teorema 5, las soluciones a Ax = Oson

las mismas que las soluciones a Ux ~ O. Si x ~ [~;], entonces Ux ~ Oda como resultado

x¡ -32x3 + 31x4 =0x2 + 14x3 -14x4 =0

o

XI = 32x3 - 3lx4

x2 = -14x3 + 14x4

De manera que si x E NA, entonces

X ~[~12:;i~~;']~x, [-:f]+ x, [-:~]

'----v---'base para NA

&to es, N, ~ gen I[_:fJ[ -:~])El procedimiento usado en el ejemplo 7 siempre se puede utilizar para encontrar el espacio nulode una matriz.

Se hace aquí una observación geométrica interesante:

Todo vector en el espacio de los renglones de una matriz real es ortogonal a todo vec-tor en su espacio nulo.

En notación abreviada esto se describe como RA 1. NA. Para ver por qué, considere la ecua-ción Ax = o. Si A es una matriz de m X n, entonces se tiene

... a ][X] [OJ1n I

... a X °a~ ;: ~ ~

Si ri denota el i-ésimo renglón de A, se ve de la ecuación anterior que ri . x = ° para i = 1,2,... ,m. Así, si x E NA, entonces r

i1. x para i = 1,2, ... ,m. Pero si y E RA' entonces y = c,r,

+ ... + Cnl"" para algunas constantes C" C2' ..• , cm· Entonces y . x = (c.r, + Cl2 + ... + c",r,,,)

. x = c¡r¡ . x + c2r2 • x + ... + <r: . x = 0, lo que prueba la afirmación. I[ 32] [-31])En el ejemplo 7, R, ~ gen {el, O, - 32,31), (O, 1, 14, - l4)} YN, ~ gen -l~, l~ .

El lector debe verificar que los vectores de la base para RA' en efecto, son ortogonales a losvectores de la base para NA•

•


El siguiente teorema da la relación entre el rango y la nulidad.

TEOREMA a Sea A una matriz de m X n. Entonces

peA) + veA) = n

Es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.

mi. DEMOSTRACIÓN Se supone que k = peA) Y que las primeras k columnas de A son linealmente inde~n-dientes. Sea c¡ (i > k) cualquier otra columna de A. Como cl' c2' ... , ck forman una basepara eA' se tiene, para algunos escalares al' a2, ... , ak,

C¡= alcl + a2c2 + ... + akck

ASÍ, sumando -alcl' -a2c2, ••• , =». sucesivamente a la i-ésima columna de A, se \obtiene una nueva matriz B de m X n con p(B) = peA) Yv(B) = veA) con la columna ide B igual a o.r Esto se hace a todas las demás columnas de A (excepto las primeras k)para obtener la matriz

[-. al2 alk O O

r 1a21 a22 a2k O O

D=

a~"1 am2 «: O O

Donde p(D) = peA) YveD) = veA). Mediante un posible reacomodo de los renglones deD, se puede suponer que los primeros k renglones son independientes. Después se hacelo mismo con los renglones de (esto es, sumar múltiplos de los primeros k renglones alos últimos m - k) para obtener una nueva matriz:

all al2 alk O Oa21 a22 a2k O O

F= akl ak2 akk O OO O O O O

O O O O O

donde p(F) = peA) Yv(F) = veA). Ahora es obvio que si i > k, entonces Fe¡ = o,t de ma-nera que Ek = {ek+l' ek+2, ... , e) es un conjunto linealmente independiente de n-k vec-tores de NF Ahora se demostrará que Ek genera NF Sea x E NF un vector de la forma

XI

x2

x=xk

X n

•t Esto se deduce considerando A' (las columnas de A son los renglones de A')., Recuerde que e, es el vectar con un uno en la posición i y cero en las otras posiciones.

4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

Entonces

a¡,x, + a'2x2 + + a'kxk

a2,x¡ + a22x2 + + a2kxk

{]0= Fx = ak,x, + ak2x2 + ... + akkxk

O

O

El determinante de la matriz del sistema homogéneo de k X k dado es diferente de cero,ya que los renglones de esta matriz son linealmente independientes. De esta forma, laúnica solución al sistema es X1= x2 = ... = x~ = O. Entonces x tiene la forma

Esto significa que Ek genera N F de manera que v(F) = n-k = n - p(F) lo que completala prueba.

Nota. Se sabe que peA) es igual al número de pivotes n la forma escalonada por renglones deA y es igual al número de columnas de la forma escalonada por renglones de A que contienenpivotes. Entonces, del teorema 7, veA) = número de columnas de la forma escalonada por ren-glones de A que no contienen pivotes.

_1....._1_lu_s_tr_a_c_ió_n_d_e_q_u_e_p<_A_>_+_V_<A_>_=_n__

(1 2 -1)Para A = se calculó (en los ejemplos 1 y 3) que peA) = 2 YveA) = 1; esto ilustra2 -1 3

que peA) + veA) = n(=3).

_,-_I_lu_s_t_ra_c_io_' n_d_e_q_u_e_p_<_A_>_+_v<_A_>_=_n __

[ 1 -1 3JPara A = 2 O 4 calcule veA).

-1 -3 1

••• Solución En el ejemplo 5 se encontró que peA) = 2. Así, veA) = 3 - 2 = l. El lector puede demostrar esto

directamente resolviendo el sistema Ax ~ Opara encontrar que N, ~ gen {[ -: J1

TEOREMA mI! DEMOSTRACiÓN

Sea A una matriz de n X n. Entonces A es invertible si y sólo si peA) = ri ,

Por el teorema 1, A es invertible si y sólo si veA) = O.Pero por el teorema 7, peA) = n -veA). Así, A es invertible si y sólo si peA) = n -O = n.

351

352 CAPÍTULO 4

'TEOREMA mI!. DEMOSTRACIÓN

EJEMPLO 10

•• Solución

EJEMPLO 11


Ahora se demostrará la aplicación del concepto de rango, para determinar si un sistemaecuaciones lineales tiene soluciones o si es inconsistente. De nuevo, se considera el sistema ~m ecuaciones en n incógnitas:

a¡¡x¡ + a¡2x2 + + a¡nx/I = b,

a2¡x¡ + a22x2 + + a2/1xn = b;(9)

a x +a x +···+a x =bmi I 1112 2 11111 11 111

lo que se escribe como Ax = b. Se utiliza el símbolo (A, b) para denotar la matriz aumentade m X (n + 1) obtenida (como en la sección 1.3) agregando el vector b a A.

El sistema Ax = b tiene cuando menos una solución si y sólo si b E eA' Esto ocurrirá siy sólo si A y la matriz aumentada (A, b) tienen el mismo rango.

Si cl' c2,., .. , c/I son las columnas de A, entonces podemos escribir el sistema (9) com,?

xC+XC+"'+xc=b1 I 2 2 11 11(lO)

El sistema (lO) tendrá solución si y sólo si b se puede escribir como una combinaciónlineal de las columnas de A. Es decir, para tener una solución debemos tener b E eA' Sib E eA' entonces (A, b) tiene el mismo número de columnas lineal mente independientesde A así que A y (A, b) tienen el mismo rango. Si b r:J. eA' entonces peA, b) = peA) + 1 Yel sistema no tiene soluciones. Esto completa la prueba.

Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones

Determine si el sistema2x¡ + 4x2 + 6x3 = 18

4x¡ + 5x2 + 6x3 = 24

2x¡ + 7x2 + 12x3 = 40

tiene soluciones.

Sea A = í! ; :J. La forma escalonada por renglones de A es í~~203JY peA) = 2.12l2 7 12 lo O

forma escalonada por renglones de la matriz aumentada (A, b) ~ [~ : : I ~: J es

[~ 2 ~ i :J,que tiene tres pivotes, por lo que peA, b) = 3 Yel sis~ema7no ~~ne ISOI~~iÓD_

O O O I 1

Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones

Determine si el sistema

x¡ - x2 + 2x3 = 4

2x¡ + x2 - 3x3 = - 2

4 x¡ - x2 + x3 = 6tiene soluciones.

4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz . 353

[1 -1 2J

Sea A = 2 1 -3 . Entonces det A = Ode manera que peA) < 3. Como la primera columna4 -1 1 .

no es un múltiplo de la segunda, es evidente que las primeras dos columnas son linealmenteindependientes; así peA) = 2. Para calcular peA, b) se reduce por renglones:

-1 2

-3 -:6J -~ [~ -~ -~ I -1~JO 3 -7 I -10-1

Se ve que peA, b) = 2 Yexiste un número infinito de soluciones para el sistema (si hubiera unasolución única se tendría det A 7= O).

Los resultados de esta sección permiten mejorar el teorema de resumen, visto por últimavez en la sección 4.5 de la página 314.

TEOREMA m Teorema de resumen (punto de vista 6)

Sea A una matriz de n X n. Entonces las siguientes diez afirmaciones son equivalentes;es decir, cada una implica a las otras nueve (si una se cumple, todas se cumplen).

i. A es invertible.

ii. La única solución al sistema homogéneo Ax = Oes la solución trivial (x = O).

iii. El sistema Ax = b tiene una solución única para cada n-vector b.

iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In' de n X n.

v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales.

vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.

vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.

viii. det A 7= O.

ix. veA) = O.x. peA) = n.

Más aún, si una de ellas no se cumple, entonces para cada vector b E lr, el sistema Ax= b no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Tiene un número infinitode soluciones si y sólo si peA) = peA, b).

problemas 4.7

AUTOEVALUACIÓN

Elija la opción que complete correctamente los siguientes enunciados.

l. El rango de la matriz U ~ -~ nes ---

a) 1 e) 3 d)4b) 2

354 CAPÍTULO 4 Espaciosvectoriales

11. La nulidad de la matriz en el problema 1 es _

a) 1 b) 2 e) 3 d)4

111. Si una matriz de 5 x 7 tiene nulidad 2, entonces su rango es _

a) 5 b) 3 e) 2 d)7

e) No se puede determinar sin más información,

IV. El cango de la matriz [+ ~J '" ---a) 1 b) 2 e) 3

V. La nulidad de la matriz en el problema IV es _

a)O b) 1 e) 2 d) 3

VI. Si A es una matriz de 4 X 4 Ydet A = O, entonces el valor máximo posible para peA)es _

a) 1 b) 2 e) 3 d)4

VII. En el problema IV dim eA = _

a) 1 b) 2 e) 3

VIII. En el problema I dim RA

= _

a) 1 b) 2 e) 3 d)4

Falso-verdadero

IX. En cualquier matriz de m X n, eA = RA'

X. En cualquier matriz de m X n, eA = Im(A).

RESPUESTAS A LA AUTO EVALUACiÓN

1. e) 11. a) 111. a) IV. a) V. b) VI. e)

VII. a) VIII. e) IX. F X. V

De los problemas 1 al 20 encuentre el rango y la nulidad de la matriz dada.

G ~} ( ~-1 ~) G

-2 ~J1. 2. 3.1 -1

U -1

:l [:-2 ~](-1 3 2)4. 5. 1 6. 4

2 -6 -4O 6

[~-1

:l [~I2 -~l 9. U -1 2

~l7. 1 8. -4 1 4-1 -3 6 O 6


U-1 2 :] lO 4

2

~J H !]10. 1 4 11. O O 1 12.

O 6 1 O -1

[i

-1 2

;J n 1 O

fl[ 1

-1 2

)J1 O -1 O -1 O 1

13. 14. 15. ~O 1 O -2 -2 5O O O 1 -1 1

h-1 2

-fJ [-~-1 O

JJ

2 -4 O 2 [~O ~]16. 17. 18. O-2 4 O -2

-3 6 OO

-1

l~O

~J [~2 :]19. O 20. O

2 O

De los problemas 21 al 27 encuentre una base para la imagen y el espacio nulo de la matrizdada.

21. La matriz del problema 2







De los problemas 28 al 32 encuentre una base para el espacio generado por los conjuntos devectores dados.

29. (1, -2,3), (2, -1,4), (3, -3,3), (2,1, O)

30. (1, -2, 1),(-1, -1,4),(3, -3,3),(0, 1,0)

31. (1, -1, 1, -1), (2, O, 0,1), (4, -2,2,1), (7, -3,3, -1)

De los problemas 33 al 37 utilice el teorema 9 para determinar si el sistema dado tiene algunasolución.

33. x¡ + x2 - x3 = 7

4x¡ - x2 + 5x3 = 4

6x¡ + x2 + 3x3 = 20

34. x¡ + x2 - x3 = 7

4x¡ - x2 + 5x3 = 4

6x¡ + x2 + 3x3 = 18

35. x¡ + x3 = O

x2 + x3 = 2

2x¡ - 3x2 = 3

356 CAPÍTULO 4

.ff'

-,


36. x¡ - 2x2 + x3 + x4 = 2

3x¡ + 2x3 - 2x 4 = - 8

4x2 - x3 - x4 = 1

5x¡ + 3x3 - x4 = - 3

37. x¡ - 2x2 + x3 + x4 = 2

3x¡ + 2x3 - 2x 4 = - 8

4x2

- x3

- x4

=

5x¡ + 3x3 - x4 = O

38. Demuestre que el rango de una matriz diagonal es igual al número de componentes dife-rentes de cero en la diagonal.

39. Sea A una matriz triangular inferior de n X n con ceros en la diagonal. Demuestre quepeA) < n.

40. Demuestre que para cualquier matriz A, peA) = p(AI).

41. Demuestre que si A es una matriz de m X n y m < n, entonces a) peA) :S m y b) veA) 2':

n-m:

42. Sea A una matriz de m X n y sean B y C matrices invertibles de m X m y n X n, respecti-vamente. Pruebe que peA) = p(BA) = p(AC). Es decir, si se multiplica una matriz por unamatriz invertible, el rango no cambia.

43. Sean A y B matrices de m X n y n X p, respectivamente. Demuestre que p(AB):S mín (p(A).

p(B)).

44. Sea A una matriz de 5 X 7 con rango 5. Demuestre que el sistema lineal Ax = b tiene cuan-do menos una solución para cada 5-vector b.

*45. Sean A y B matrices de m X n. Demuestre que si peA) = p(B), entonces existen matricesinvertibles C y D tales que B = CAD.

46. Si B = CAD, donde C y D son invertibles, demuestre que peA) = p(B).

47. Suponga que cualesquiera k renglones de A son linealmente independientes mientras quecualesquiera k + 1 renglones de A son linealmente dependientes. Demuestre que peA) = k.

48. Si A es una matriz de n X n, demuestre que peA) < n si y sólo si existe un vector x E 1)" talque x ;te OYAx = O.

49. Sea A una matriz de m X n. Suponga que para todo y E pn existe una x E 1)" al que Ax = y.Demuestre que peA) = m.

50. Pruebe que el rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonadapor renglones [sugerencia: Demuestre que si la forma escalonada por renglones tiene kpivote s, entonces dicha forma tiene exactamente k renglones linealmente independientes].

J

MANEJO DE LA CALCULADORA

Existe una forma sencilla para determinar el rango, la imagen y el espacio de los ren-glones de una matriz en la HP 50g, que consiste en encontrar la forma escalonada porrenglones (REF) o la forma escalonada por renglones reducidos (RREF) de la matriz.Por ejemplo, suponga que se introduce la matriz

[

1 3

A= 5 91 -1

Algebra de Grossman 6ta Edicion

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