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  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Estimacin por intervalos

    Estadstica II

    Universidad de Salamanca

    Curso 2011/2012

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Outline1 Introduccin2 Estimacin por intervalos3 Mtodo de construccin de intervalos de confianza4 Intervalos de confianza para una poblacin normal

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales eindependientes

    Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionalesIntervalos de confianza para el cociente de varianzas

    6 Intervalos de confianza para proporcionesPara una muestra con n > 20Para dos muestras: p1 p2

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Introduccin

    En el tema anterior hemos visto mtodos de estimacin queasignan al valor desconocido del parmetro un valor concreto

    En este tema, nuestro objetivo es obtener un intervalo en elque se encuentren los valores que podrn ser consideradosrazonables para ese parmetro. Lo que denominamosintervalos de confianza

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Estimacin por intervalos

    DefinicinSea X una v. a. cuya funcin de densidad es fX (x , ), quedepende de una parmetro (desconocido)

    Los estadsticos TI = TI(X1, . . . ,Xn) y TS = TS(X1, . . . ,Xn) (nodependen de ) forman un intervalo de confianza para anivel de confianza 1

    P[TI TS] = 1

    NotaPara (x1, . . . , xn) una muestra concreta, TI y TS son valoresconcretos

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Estimacin por intervalos

    Propiedades

    TI y TS son estimadores por defecto y por exceso de

    El nivel de confianza, la fiabilidad de la estimacin, 1 se da en %

    Longitud del intervalo L = TS TI

    Precisin L2 . A mayor L menor precisin. Para hayar el I.C.fijado el nivel de confianza, busco el intervalo de longitudmnima

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Mtodo de construccin de intervalos de confianza:Mtodo del pivote

    El mtodo del pivote

    Sea X fX (x , ) una v. a. y una m.a.s de tamao n.Un pivote es un estadstico T = T (X1, . . . ,Xn, ) que verifica:

    Depende de la muestra y del parmetroSu distribucin no depende de y es conocidaPara una muestra concreta, T es estrictamente montonoen La solucin de en la ecuacin T (x1, . . . , xn, ) = t esnica

    P[a Pivote b] = 1

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Outline1 Introduccin2 Estimacin por intervalos3 Mtodo de construccin de intervalos de confianza4 Intervalos de confianza para una poblacin normal

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales eindependientes

    Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionalesIntervalos de confianza para el cociente de varianzas

    6 Intervalos de confianza para proporcionesPara una muestra con n > 20Para dos muestras: p1 p2

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la media poblacional , con conocida

    Pivote

    X n N(0,1)

    El intervalo de mnima longitud para una N(0,1) es simtricorespecto a 0 dejando colas de 2 cada una

    P

    [z

    2 X

    n z

    2

    ]= 1

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la media poblacional , con conocida

    Intervalo de confianza[X z

    2

    X n,X + z

    2

    X n

    ]

    Clculo de z2

    P[Z z

    2

    ]= 1

    2Buscamos en las tablas de la N(0,1)

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la media poblacional , con desconocida

    Pivote

    X Sc

    n

    tn1

    El intervalo de mnima longitud para una t es simtricorespecto a 0 dejando colas de 2 cada una

    P

    [t

    2 X Sc

    n

    t2

    ]= 1

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la media poblacional , con desconocida

    Intervalo de confianza[X t

    2

    Scn,X + t

    2

    Scn

    ]

    Clculo de t2

    P[tn1 t2

    ]= 1

    2Buscamos en las tablas de la t de Student

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la media poblacional , con desconocida

    NotaSabemos que:

    n.S2X = (n 1)S2c SXn 1

    =Sc

    n

    Entonces, podemos considerar como Pivote

    X SXn1

    tn1

    Estimacin por intervalos

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    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Outline1 Introduccin2 Estimacin por intervalos3 Mtodo de construccin de intervalos de confianza4 Intervalos de confianza para una poblacin normal

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales eindependientes

    Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionalesIntervalos de confianza para el cociente de varianzas

    6 Intervalos de confianza para proporcionesPara una muestra con n > 20Para dos muestras: p1 p2

    Estimacin por intervalos

  • IntroduccinEstimacin por intervalos

    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la varianza poblacional con desconocido

    Pivote

    n.S2X2 2n1

    El intervalo de mnima longitud para una 2 es el que dejacolas de 2 cada una

    P

    [n.S2X

    b 2

    n.S2Xa

    ]= 1

    Estimacin por intervalos

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    Mtodo de construccin de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una poblacin normal

    Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

    Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

    Para la varianza poblacional con desconocido

    Intervalo de confianza

    [n.S2X

    b,n.S2X

    a

    ]donde:

    a = 2n1(

    2

    )b = 2n1

    (1

    2

    )

    Estimacin por intervalos

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    Intervalos de