Universidad de Murcia · Papiro de Rhind (anticuario escoc´es que lo compro en 1858) o de Ahmes...
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Aritm´ etica y ´ Algebra. Breve historia ´ Angel del R´ ıo Mateos Universidad de Murcia
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Aritmetica y Algebra. Breve historia
Angel del Rıo Mateos
Universidad de Murcia
Aritmetica y algebra en elantiguo Egipto
Fuentes: Escritura jeroglıfica y papiros
Descifrado de los jeroglıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en1799. Trilingue (Griego, Demotico y Jeroglıfico).
Papiro de Rhind (anticuario escoces que lo compro en 1858) ode Ahmes (escriba).85 problemas con solucion.Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.)(arquitecto y medico del faraon Zoser).
Papiro de Moscu.25 problemas con solucion.
Datados hacia 1770 a.c.
Fuentes: Escritura jeroglıfica y papiros
Descifrado de los jeroglıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en1799. Trilingue (Griego, Demotico y Jeroglıfico).
Papiro de Rhind (anticuario escoces que lo compro en 1858) ode Ahmes (escriba).85 problemas con solucion.Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.)(arquitecto y medico del faraon Zoser).
Papiro de Moscu.25 problemas con solucion.
Datados hacia 1770 a.c.
Fuentes: Escritura jeroglıfica y papiros
Descifrado de los jeroglıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en1799. Trilingue (Griego, Demotico y Jeroglıfico).
Papiro de Rhind (anticuario escoces que lo compro en 1858) ode Ahmes (escriba).85 problemas con solucion.Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.)(arquitecto y medico del faraon Zoser).
Papiro de Moscu.25 problemas con solucion.
Datados hacia 1770 a.c.
Fuentes: Escritura jeroglıfica y papiros
Descifrado de los jeroglıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en1799. Trilingue (Griego, Demotico y Jeroglıfico).
Papiro de Rhind (anticuario escoces que lo compro en 1858) ode Ahmes (escriba).85 problemas con solucion.Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.)(arquitecto y medico del faraon Zoser).
Papiro de Moscu.25 problemas con solucion.
Datados hacia 1770 a.c.
Sistema de numeracion
No posicional. Base 10.
Escritura jeroglıfica. Sımbolos para las potencias de 10.
Escritura hieratica. Sımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro deAhmes).
No hay negativos ni cero.
Sistema de numeracion
No posicional. Base 10.
Escritura jeroglıfica. Sımbolos para las potencias de 10.
Escritura hieratica. Sımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro deAhmes).
No hay negativos ni cero.
Sistema de numeracion
No posicional. Base 10.
Escritura jeroglıfica. Sımbolos para las potencias de 10.
Escritura hieratica. Sımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro deAhmes).
No hay negativos ni cero.
Sistema de numeracion
No posicional. Base 10.
Escritura jeroglıfica. Sımbolos para las potencias de 10.
Escritura hieratica. Sımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro deAhmes).
No hay negativos ni cero.
Fracciones
Representan fracciones unitarias 1n colocando un ovalo sobre
la representacion de n.
1
3=
◦|||, 1
3=
◦∩∩
En escritura hieratica sustituyen el ovalo por un punto.
1
3=
·|||, 1
3=
·∩∩
Tienen un sımbolo para 23 .
Fracciones
Representan fracciones unitarias 1n colocando un ovalo sobre
la representacion de n.
1
3=
◦|||, 1
3=
◦∩∩
En escritura hieratica sustituyen el ovalo por un punto.
1
3=
·|||, 1
3=
·∩∩
Tienen un sımbolo para 23 .
Fracciones
Representan fracciones unitarias 1n colocando un ovalo sobre
la representacion de n.
1
3=
◦|||, 1
3=
◦∩∩
En escritura hieratica sustituyen el ovalo por un punto.
1
3=
·|||, 1
3=
·∩∩
Tienen un sımbolo para 23 .
Fracciones
Representan fracciones unitarias 1n colocando un ovalo sobre
la representacion de n.
1
3=
◦|||, 1
3=
◦∩∩
En escritura hieratica sustituyen el ovalo por un punto.
1
3=
·|||, 1
3=
·∩∩
Tienen un sımbolo para 23 .
Fracciones
Otras fracciones se representan como sumas de fraccionesunitarias.
3
5=
1
3+
1
5+
1
15
El Papiro Rhind comienza con una tabla de descomposicionesde fracciones del tipo 2
n :
25
13 + 1
15
211
16 + 1
66
215
110 + 1
30
213
18 + 1
52 + 1104
Continua con otra tabla mas corta para fracciones del tipo 110 .
Fracciones
Otras fracciones se representan como sumas de fraccionesunitarias.
3
5=
1
3+
1
5+
1
15
El Papiro Rhind comienza con una tabla de descomposicionesde fracciones del tipo 2
n :
25
13 + 1
15
211
16 + 1
66
215
110 + 1
30
213
18 + 1
52 + 1104
Continua con otra tabla mas corta para fracciones del tipo 110 .
Fracciones
Otras fracciones se representan como sumas de fraccionesunitarias.
3
5=
1
3+
1
5+
1
15
El Papiro Rhind comienza con una tabla de descomposicionesde fracciones del tipo 2
n :
25
13 + 1
15
211
16 + 1
66
215
110 + 1
30
213
18 + 1
52 + 1104
Continua con otra tabla mas corta para fracciones del tipo 110 .
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?
Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica
Aditiva.
¿Como calcular 12 · 12?Duplicando1 122 244 488 96
12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.
Lo mismo que nosotros hacemos en base 10:
12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.
Para dividir utilizan un proceso inverso de division por dos.
Aritmetica: Primer problema del Papiro de Ahmes
Explicacion de porque es correcto dividir una hogaza de panentre diez personas dando un decimo a cada uno.
Si un hombre recibe 110 , dos hombres recibiran 2
10 , es decir 15 ,
cuatro hombres recibiran 25 , o sea 1
3 + 115 . Por tanto ocho hombres
recibiran 23 + 2
15 , es decir 23 + 1
10 + 130 . Finalmente, ocho hombres
mas dos hombres, es decir los diez iniciales, recibiran entre todos
2
3+
1
10+
1
30+
1
5= 1.
El proceso de multiplicar 10 · 110 se ha hecho con el metodo de la
duplicacion.
Aritmetica: Primer problema del Papiro de Ahmes
Explicacion de porque es correcto dividir una hogaza de panentre diez personas dando un decimo a cada uno.
Si un hombre recibe 110 , dos hombres recibiran 2
10 , es decir 15 ,
cuatro hombres recibiran 25 , o sea 1
3 + 115 . Por tanto ocho hombres
recibiran 23 + 2
15 , es decir 23 + 1
10 + 130 . Finalmente, ocho hombres
mas dos hombres, es decir los diez iniciales, recibiran entre todos
2
3+
1
10+
1
30+
1
5= 1.
El proceso de multiplicar 10 · 110 se ha hecho con el metodo de la
duplicacion.
Aritmetica: Primer problema del Papiro de Ahmes
Explicacion de porque es correcto dividir una hogaza de panentre diez personas dando un decimo a cada uno.
Si un hombre recibe 110 , dos hombres recibiran 2
10 , es decir 15 ,
cuatro hombres recibiran 25 , o sea 1
3 + 115 . Por tanto ocho hombres
recibiran 23 + 2
15 , es decir 23 + 1
10 + 130 . Finalmente, ocho hombres
mas dos hombres, es decir los diez iniciales, recibiran entre todos
2
3+
1
10+
1
30+
1
5= 1.
El proceso de multiplicar 10 · 110 se ha hecho con el metodo de la
duplicacion.
Aritmetica: Problema 70 del Papiro de Ahmes
Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 1
4 + 18 .
Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 1
4 + 18 se obtiene:
d 7 + 12 + 1
4 + 18
2d 15 + 12 + 1
44d 31 + 1
28d 63
Del valor de 2d se deduce que 23d = 5 + 1
4 .Por tanto(
8 + 4 +2
3
)d = 63 + 31 +
1
2+ 5 +
1
4= 99 +
1
2+
1
4.
De 8d = 63 se deduce 263d = 1
4 (que es lo que falta) y utilizando263 = 1
42 + 1126 se obtiene el resultado buscado es
8 +2
3+
2
63= 8 +
2
3+
1
42+
1
126.
Aritmetica: Problema 70 del Papiro de Ahmes
Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 1
4 + 18 .
Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 1
4 + 18 se obtiene:
d 7 + 12 + 1
4 + 18
2d 15 + 12 + 1
44d 31 + 1
28d 63
Del valor de 2d se deduce que 23d = 5 + 1
4 .Por tanto(
8 + 4 +2
3
)d = 63 + 31 +
1
2+ 5 +
1
4= 99 +
1
2+
1
4.
De 8d = 63 se deduce 263d = 1
4 (que es lo que falta) y utilizando263 = 1
42 + 1126 se obtiene el resultado buscado es
8 +2
3+
2
63= 8 +
2
3+
1
42+
1
126.
Aritmetica: Problema 70 del Papiro de Ahmes
Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 1
4 + 18 .
Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 1
4 + 18 se obtiene:
d 7 + 12 + 1
4 + 18
2d 15 + 12 + 1
44d 31 + 1
28d 63
Del valor de 2d se deduce que 23d = 5 + 1
4 .
Por tanto(8 + 4 +
2
3
)d = 63 + 31 +
1
2+ 5 +
1
4= 99 +
1
2+
1
4.
De 8d = 63 se deduce 263d = 1
4 (que es lo que falta) y utilizando263 = 1
42 + 1126 se obtiene el resultado buscado es
8 +2
3+
2
63= 8 +
2
3+
1
42+
1
126.
Aritmetica: Problema 70 del Papiro de Ahmes
Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 1
4 + 18 .
Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 1
4 + 18 se obtiene:
d 7 + 12 + 1
4 + 18
2d 15 + 12 + 1
44d 31 + 1
28d 63
Del valor de 2d se deduce que 23d = 5 + 1
4 .Por tanto(
8 + 4 +2
3
)d = 63 + 31 +
1
2+ 5 +
1
4= 99 +
1
2+
1
4.
De 8d = 63 se deduce 263d = 1
4 (que es lo que falta) y utilizando263 = 1
42 + 1126 se obtiene el resultado buscado es
8 +2
3+
2
63= 8 +
2
3+
1
42+
1
126.
Aritmetica: Problema 70 del Papiro de Ahmes
Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 1
4 + 18 .
Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 1
4 + 18 se obtiene:
d 7 + 12 + 1
4 + 18
2d 15 + 12 + 1
44d 31 + 1
28d 63
Del valor de 2d se deduce que 23d = 5 + 1
4 .Por tanto(
8 + 4 +2
3
)d = 63 + 31 +
1
2+ 5 +
1
4= 99 +
1
2+
1
4.
De 8d = 63 se deduce 263d = 1
4 (que es lo que falta) y utilizando263 = 1
42 + 1126 se obtiene el resultado buscado es
8 +2
3+
2
63= 8 +
2
3+
1
42+
1
126.
Algebra
Los problemas se reducen a ecuaciones lineales.
Unica excepcion: ax2 = b.
Utilizan la palabra “aha” (monton) para referirse a laincognita.
Metodo de Falsa Posicion o “Regula Falsi”.Se comienza con una solucion incorrecta, se realizanoperaciones como si fuera la solucion correcta, se comparacon lo que deberıa salir y mediante proporciones se encuentrael valor correcto.
Algebra
Los problemas se reducen a ecuaciones lineales.
Unica excepcion: ax2 = b.
Utilizan la palabra “aha” (monton) para referirse a laincognita.
Metodo de Falsa Posicion o “Regula Falsi”.Se comienza con una solucion incorrecta, se realizanoperaciones como si fuera la solucion correcta, se comparacon lo que deberıa salir y mediante proporciones se encuentrael valor correcto.
Algebra
Los problemas se reducen a ecuaciones lineales.
Unica excepcion: ax2 = b.
Utilizan la palabra “aha” (monton) para referirse a laincognita.
Metodo de Falsa Posicion o “Regula Falsi”.Se comienza con una solucion incorrecta, se realizanoperaciones como si fuera la solucion correcta, se comparacon lo que deberıa salir y mediante proporciones se encuentrael valor correcto.
Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes
Calcular el valor del monton si el monton y un septimo delmonton es igual a 19.
x +1
7x = 19
Se comienza con la solucion incorrecta x = 7 que proporciona:
7 +1
77 = 8
La proporcion entre lo que sale 8 y lo que deberıa salir 19 seobtiene mediante el proceso de duplicacion:
8
(2 +
1
4+
1
8
)= 19
Se utiliza esta proporcion para corregir la solucion incorrecta yobtener la solucion correcta:
7
(2 +
1
4+
1
8
)= 16 +
1
2+
1
8
Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes
Calcular el valor del monton si el monton y un septimo delmonton es igual a 19.
x +1
7x = 19
Se comienza con la solucion incorrecta x = 7 que proporciona:
7 +1
77 = 8
La proporcion entre lo que sale 8 y lo que deberıa salir 19 seobtiene mediante el proceso de duplicacion:
8
(2 +
1
4+
1
8
)= 19
Se utiliza esta proporcion para corregir la solucion incorrecta yobtener la solucion correcta:
7
(2 +
1
4+
1
8
)= 16 +
1
2+
1
8
Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes
Calcular el valor del monton si el monton y un septimo delmonton es igual a 19.
x +1
7x = 19
Se comienza con la solucion incorrecta x = 7 que proporciona:
7 +1
77 = 8
La proporcion entre lo que sale 8 y lo que deberıa salir 19 seobtiene mediante el proceso de duplicacion:
8
(2 +
1
4+
1
8
)= 19
Se utiliza esta proporcion para corregir la solucion incorrecta yobtener la solucion correcta:
7
(2 +
1
4+
1
8
)= 16 +
1
2+
1
8
Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes
Calcular el valor del monton si el monton y un septimo delmonton es igual a 19.
x +1
7x = 19
Se comienza con la solucion incorrecta x = 7 que proporciona:
7 +1
77 = 8
La proporcion entre lo que sale 8 y lo que deberıa salir 19 seobtiene mediante el proceso de duplicacion:
8
(2 +
1
4+
1
8
)= 19
Se utiliza esta proporcion para corregir la solucion incorrecta yobtener la solucion correcta:
7
(2 +
1
4+
1
8
)= 16 +
1
2+
1
8
Aritmetica y algebra enMesopotamia
Fuentes: Tablillas de arcilla
Escribıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma deseccion triangular.
Escritura Cuneiforme. Sımbolos con forma de cuna. Cuneus =cuna.
Idioma Acadio.
Datadas alrededor del 2000 a.c.
Fuentes: Tablillas de arcilla
Escribıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma deseccion triangular.
Escritura Cuneiforme. Sımbolos con forma de cuna. Cuneus =cuna.
Idioma Acadio.
Datadas alrededor del 2000 a.c.
Fuentes: Tablillas de arcilla
Escribıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma deseccion triangular.
Escritura Cuneiforme. Sımbolos con forma de cuna. Cuneus =cuna.
Idioma Acadio.
Datadas alrededor del 2000 a.c.
Sistema de numeracion
Sistema de numeracion
Sistema posicional.
Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5.
Algunas palabras especiales para potencias de 10:
100 = me.1000 = limu.
3 me 2,8 = 3 · 100 + 2 · 60 + 8 = 428.
No hay numeros negativos ni irracionales.
Sistema de numeracion
Sistema posicional.
Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5.
Algunas palabras especiales para potencias de 10:
100 = me.1000 = limu.
3 me 2,8 = 3 · 100 + 2 · 60 + 8 = 428.
No hay numeros negativos ni irracionales.
Sistema de numeracion
Sistema posicional.
Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5.
Algunas palabras especiales para potencias de 10:
100 = me.1000 = limu.
3 me 2,8 = 3 · 100 + 2 · 60 + 8 = 428.
No hay numeros negativos ni irracionales.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.igi 2 galbi 30: 1
2 = 3060 igi 3 galbi 20: 1
3 = 2060
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.igi 2 galbi 30: 1
2 = 3060 igi 3 galbi 20: 1
3 = 2060
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.igi 2 galbi 30: 1
2 = 3060 igi 3 galbi 20: 1
3 = 2060
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.
igi 2 galbi 30: 12 = 30
60 igi 3 galbi 20: 13 = 20
60
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.igi 2 galbi 30: 1
2 = 3060 igi 3 galbi 20: 1
3 = 2060
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Aritmetica
Suma: Acumulacion. Tardıamente se usa “tab”.
Resta y producto: Sımbolos especiales.
Fracciones en base 60.
Tablas de conversion de inversos de 2α3β5γ a basesexagesimal.igi 2 galbi 30: 1
2 = 3060 igi 3 galbi 20: 1
3 = 2060
igi 4 galbi 15: 14 = 15
60 igi 6 galbi 10: 16 = 10
60
igi 8 galbi 7,30: 18 = 7
60 + 30602 igi 9 galbi 6,40: 1
9 = 660 + 40
602
Tablas de raıces cuadradas y cubicas.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2
→(
b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1
→
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problema: Calcular un numero que sumado con su inverso da unnumero dado.
X + X−1 = b ⇔ X 2 − bX + 1 = 0
b → b
2→
(b
2
)2
→(
b
2
)2
− 1 →
√(b
2
)2
− 1
b
2+
√(b
2
)2
− 1b
2−
√(b
2
)2
− 1
Conclusion: Sabıan resolver ecuaciones de segundo grado pero nohay un metodo general.
Problemas algebraicos y geometricos
Problemas planteados con numeros concretos.
Se explican las etapas para resolverlos.
No hay sımbolos especiales.
Antiguas palabras sumerias = efecto de sımbolo.
us = longitud.sag = anchura.asa = area.
Problemas algebraicos y geometricos
Problemas planteados con numeros concretos.
Se explican las etapas para resolverlos.
No hay sımbolos especiales.
Antiguas palabras sumerias = efecto de sımbolo.
us = longitud.sag = anchura.asa = area.
Problemas algebraicos y geometricos
Problemas planteados con numeros concretos.
Se explican las etapas para resolverlos.
No hay sımbolos especiales.
Antiguas palabras sumerias = efecto de sımbolo.
us = longitud.sag = anchura.asa = area.
Problemas algebraicos y geometricos
Problemas planteados con numeros concretos.
Se explican las etapas para resolverlos.
No hay sımbolos especiales.
Antiguas palabras sumerias = efecto de sımbolo.
us = longitud.sag = anchura.asa = area.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el asa(area) es 10.
He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un asa.
El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismoy el resultado por 9.
Este asa es el asa obtenida multiplicando la us por si misma.
¿Cuales son la us y la sag?
xy = 109(x − y)2 = x2
Ecuacion bicuadratica.
Grecia clasica. Periodo clasico
Escuelas en la Grecia Clasica. Entorno a un maestro
1 Jonica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro yAnaxımedes.
2 Pitagoricos. Pitagoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona(Italia), despues en Sybaris.
3 Eleatica. Jenofanes de Colofon (siglo VI a.c). Parmenides yZenon. Primero en Sicilia, despues en Elea.
4 Sofistas. Atenas.
Platon (Academia).Aristoteles (Liceo). Escuela peripatetica.
Escuelas en la Grecia Clasica. Entorno a un maestro
1 Jonica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro yAnaxımedes.
2 Pitagoricos. Pitagoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona(Italia), despues en Sybaris.
3 Eleatica. Jenofanes de Colofon (siglo VI a.c). Parmenides yZenon. Primero en Sicilia, despues en Elea.
4 Sofistas. Atenas.
Platon (Academia).Aristoteles (Liceo). Escuela peripatetica.
Escuelas en la Grecia Clasica. Entorno a un maestro
1 Jonica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro yAnaxımedes.
2 Pitagoricos. Pitagoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona(Italia), despues en Sybaris.
3 Eleatica. Jenofanes de Colofon (siglo VI a.c). Parmenides yZenon. Primero en Sicilia, despues en Elea.
4 Sofistas. Atenas.
Platon (Academia).Aristoteles (Liceo). Escuela peripatetica.
Escuelas en la Grecia Clasica. Entorno a un maestro
1 Jonica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro yAnaxımedes.
2 Pitagoricos. Pitagoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona(Italia), despues en Sybaris.
3 Eleatica. Jenofanes de Colofon (siglo VI a.c). Parmenides yZenon. Primero en Sicilia, despues en Elea.
4 Sofistas. Atenas.
Platon (Academia).Aristoteles (Liceo). Escuela peripatetica.
Sistema de numeracion
Atico Jonico
1 I5 Π o Γ pente10 ∆ deka50 Γ∆100 H hekaton500 ΓH1.000 X jilioi10.000 M myrioi
Pitagoricos
Supuestamente Pitagoras habıa viajado por Mesopotamia antes deestablecerse su escuela en Crotona (sur de Italia).
Pitagoricos
Representan los numeros mediante puntos que marcaban en laarena o con piedrecillas en formas geometricas.
Numeros triangulares:
1, 3, 6, 10, . . . ,n(n + 1)
2, . . .
r rr r rr rr r r rr rr r rr r r r
Numeros cuadrados, pentagonales, etc.
Pitagoricos
Representan los numeros mediante puntos que marcaban en laarena o con piedrecillas en formas geometricas.
Numeros triangulares:
1, 3, 6, 10, . . . ,n(n + 1)
2, . . .
r rr r rr rr r r rr rr r rr r r r
Numeros cuadrados, pentagonales, etc.
Pitagoricos
Representan los numeros mediante puntos que marcaban en laarena o con piedrecillas en formas geometricas.
Numeros triangulares:
1, 3, 6, 10, . . . ,n(n + 1)
2, . . .
r rr r rr rr r r rr rr r rr r r r
Numeros cuadrados, pentagonales, etc.
Pitagoricos
Representan los numeros mediante puntos que marcaban en laarena o con piedrecillas en formas geometricas.
Numeros triangulares:
1, 3, 6, 10, . . . ,n(n + 1)
2, . . .
r rr r rr rr r r rr rr r rr r r r
Numeros cuadrados, pentagonales, etc.
Pitagoricos
Aprovechan estas disposiciones para obtener propiedades de losnumeros.
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
��
��
��
�
n(n + 1)
2+
(n + 1)(n + 2)
2= n2
Pitagoricos
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1
Pitagoricos
“Todo es numero” (entero).
Numero perfecto = Suma de sus divisores propios:1, 6, 28, 496.Numero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24.Numero defectivo <Suma de sus divisores propios.2, 3, 4, 5, 7, 8
Razon = “Proporcion entre magnitudes” (numerosracionales).
El descubrimiento de la existencia de irracionales supone unchock.
Una revuelta los expulsa de Crotona y se dispersan.(Pitagoras ¿asesinado en Metoponto?).
Pitagoricos
“Todo es numero” (entero).
Numero perfecto = Suma de sus divisores propios:1, 6, 28, 496.Numero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24.Numero defectivo <Suma de sus divisores propios.2, 3, 4, 5, 7, 8
Razon = “Proporcion entre magnitudes” (numerosracionales).
El descubrimiento de la existencia de irracionales supone unchock.
Una revuelta los expulsa de Crotona y se dispersan.(Pitagoras ¿asesinado en Metoponto?).
Pitagoricos
“Todo es numero” (entero).
Numero perfecto = Suma de sus divisores propios:1, 6, 28, 496.Numero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24.Numero defectivo <Suma de sus divisores propios.2, 3, 4, 5, 7, 8
Razon = “Proporcion entre magnitudes” (numerosracionales).
El descubrimiento de la existencia de irracionales supone unchock.
Una revuelta los expulsa de Crotona y se dispersan.(Pitagoras ¿asesinado en Metoponto?).
Pitagoricos
“Todo es numero” (entero).
Numero perfecto = Suma de sus divisores propios:1, 6, 28, 496.Numero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24.Numero defectivo <Suma de sus divisores propios.2, 3, 4, 5, 7, 8
Razon = “Proporcion entre magnitudes” (numerosracionales).
El descubrimiento de la existencia de irracionales supone unchock.
Una revuelta los expulsa de Crotona y se dispersan.(Pitagoras ¿asesinado en Metoponto?).
Pitagoricos
“Todo es numero” (entero).
Numero perfecto = Suma de sus divisores propios:1, 6, 28, 496.Numero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24.Numero defectivo <Suma de sus divisores propios.2, 3, 4, 5, 7, 8
Razon = “Proporcion entre magnitudes” (numerosracionales).
El descubrimiento de la existencia de irracionales supone unchock.
Una revuelta los expulsa de Crotona y se dispersan.(Pitagoras ¿asesinado en Metoponto?).
Escuela Eleatica
Descubrimiento irracionales (pitagoricos) →Discreto contra continuo.
Paradojas de Zenon. Una longitud finita tiene infinitasdivisiones.
Dicotomıa.Aquiles y la tortuga.La flecha.Estadio o filas en movimiento.
Necesidad de fundamentos. Supremacıa de la geometrıa.
Escuela Eleatica
Descubrimiento irracionales (pitagoricos) →Discreto contra continuo.
Paradojas de Zenon. Una longitud finita tiene infinitasdivisiones.
Dicotomıa.Aquiles y la tortuga.La flecha.Estadio o filas en movimiento.
Necesidad de fundamentos. Supremacıa de la geometrıa.
Escuela Eleatica
Descubrimiento irracionales (pitagoricos) →Discreto contra continuo.
Paradojas de Zenon. Una longitud finita tiene infinitasdivisiones.
Dicotomıa.Aquiles y la tortuga.La flecha.Estadio o filas en movimiento.
Necesidad de fundamentos. Supremacıa de la geometrıa.
Escuela Eleatica
Descubrimiento irracionales (pitagoricos) →Discreto contra continuo.
Paradojas de Zenon. Una longitud finita tiene infinitasdivisiones.
Dicotomıa.Aquiles y la tortuga.La flecha.Estadio o filas en movimiento.
Necesidad de fundamentos. Supremacıa de la geometrıa.
Sofistas. Atenas
Riqueza de Atenas atrae intelectuales (jonicos, pitagoricos,etc).
Platon: Mundo de las ideas.
Construcciones con regla y compas.
Duplicacion del cubo (Problema Delico).Cuadratura del cırculo.Triseccion del angulo.Construccion de polıgonos regulares.
Sofistas. Atenas
Riqueza de Atenas atrae intelectuales (jonicos, pitagoricos,etc).
Platon: Mundo de las ideas.
Construcciones con regla y compas.
Duplicacion del cubo (Problema Delico).Cuadratura del cırculo.Triseccion del angulo.Construccion de polıgonos regulares.
Sofistas. Atenas
Riqueza de Atenas atrae intelectuales (jonicos, pitagoricos,etc).
Platon: Mundo de las ideas.
Construcciones con regla y compas.
Duplicacion del cubo (Problema Delico).Cuadratura del cırculo.Triseccion del angulo.Construccion de polıgonos regulares.
Trisectriz o cuadratriz
ΘΘ�3
Universo platonico de las ideas.Regla y compasTrisectriz.
Metodo Deductivo
¿Tales? Siglo VI a.c.
¿Pitagoras? ¿Pitagoricos? Siglos V y IV a.c. Liberalizacion delas Matematicas.
¿Escuela Eleatica? ¿Paradojas de Zenon? Siglo V a.c.
Sofistas: Plenamente implantado.
Metodo Deductivo
¿Tales? Siglo VI a.c.
¿Pitagoras? ¿Pitagoricos? Siglos V y IV a.c. Liberalizacion delas Matematicas.
¿Escuela Eleatica? ¿Paradojas de Zenon? Siglo V a.c.
Sofistas: Plenamente implantado.
Grecia clasica. Periodohelenıstico o alejandrino
Los Elementos de Euclides
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
Compila los descubrimientos matematicos de la Grecia Clasica.
Reemplaza otros textos anteriores.
Originales perdidos.
Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
Compila los descubrimientos matematicos de la Grecia Clasica.
Reemplaza otros textos anteriores.
Originales perdidos.
Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
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Originales perdidos.
Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
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Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
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Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
Compila los descubrimientos matematicos de la Grecia Clasica.
Reemplaza otros textos anteriores.
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Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
Compila los descubrimientos matematicos de la Grecia Clasica.
Reemplaza otros textos anteriores.
Originales perdidos.
Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Los Elementos de Euclides
Quintaesencia del sistema axiomatico y el rigor.
Euclides: (¿300 a.c. ?) ¿Educado en la Escuela de Platon?¿Establecido en Alejandrıa?
Compila los descubrimientos matematicos de la Grecia Clasica.
Reemplaza otros textos anteriores.
Originales perdidos.
Traducciones arabes.
Mas conocida: Geometrıa.
Aritmetica: Libros VII, VIII y IX.
Libro VII
Definicion 3 (Divisor)
Un numero es parte de otro mayor cuando lo mide.
Definicion 5 (Multiplo)
Un numero es multiplo de otro menor cuando es medido por este.
Definicion 11 (Primo)
Un numero es primo cuando solamente lo mide la unidad.
Definicion 16
Cuando se multiplican dos numeros, el numero ası obtenido sellama plano y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17
Cuando se multiplican tres numeros, el numero ası obtenido sellama solido y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Libro VII
Definicion 3 (Divisor)
Un numero es parte de otro mayor cuando lo mide.
Definicion 5 (Multiplo)
Un numero es multiplo de otro menor cuando es medido por este.
Definicion 11 (Primo)
Un numero es primo cuando solamente lo mide la unidad.
Definicion 16
Cuando se multiplican dos numeros, el numero ası obtenido sellama plano y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17
Cuando se multiplican tres numeros, el numero ası obtenido sellama solido y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Libro VII
Definicion 3 (Divisor)
Un numero es parte de otro mayor cuando lo mide.
Definicion 5 (Multiplo)
Un numero es multiplo de otro menor cuando es medido por este.
Definicion 11 (Primo)
Un numero es primo cuando solamente lo mide la unidad.
Definicion 16
Cuando se multiplican dos numeros, el numero ası obtenido sellama plano y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17
Cuando se multiplican tres numeros, el numero ası obtenido sellama solido y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Libro VII
Definicion 3 (Divisor)
Un numero es parte de otro mayor cuando lo mide.
Definicion 5 (Multiplo)
Un numero es multiplo de otro menor cuando es medido por este.
Definicion 11 (Primo)
Un numero es primo cuando solamente lo mide la unidad.
Definicion 16
Cuando se multiplican dos numeros, el numero ası obtenido sellama plano y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17
Cuando se multiplican tres numeros, el numero ası obtenido sellama solido y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Libro VII
Definicion 3 (Divisor)
Un numero es parte de otro mayor cuando lo mide.
Definicion 5 (Multiplo)
Un numero es multiplo de otro menor cuando es medido por este.
Definicion 11 (Primo)
Un numero es primo cuando solamente lo mide la unidad.
Definicion 16
Cuando se multiplican dos numeros, el numero ası obtenido sellama plano y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17
Cuando se multiplican tres numeros, el numero ası obtenido sellama solido y sus lados son los numeros que se han multiplicado.
Libro VII
Proposicion 30
Si un numero primo mide al producto de dos numeros, debe mediral menos uno de ellos.
Proposicion 31
Todo numero compuesto (no primo) es medido por algun numeroprimo.
Libro VII
Proposicion 30
Si un numero primo mide al producto de dos numeros, debe mediral menos uno de ellos.
Proposicion 31
Todo numero compuesto (no primo) es medido por algun numeroprimo.
Libro VIII
Progresiones geometricas.
Libro IX
Proposicion 14 (Teorema Fundamental de la Aritmetica)
Si un numero es el menor medido por varios numeros primos, nopuede ser medido por otros numeros primos.
Proposicion 20 (Infinitud de los primos)
Hay mas numeros primos que cualquier magnitud dada de numerosprimos.
Proposicion 36
Si 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 es primo, entonces(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n)2n = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto.
De hecho todos los numeros perfectos pares son de esta forma ytodavıa no se conoce ningun numero perfecto impar.
6 = (1 + 2)2,28 = (1 + 2 + 22)22
496 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24)24
Libro IX
Proposicion 14 (Teorema Fundamental de la Aritmetica)
Si un numero es el menor medido por varios numeros primos, nopuede ser medido por otros numeros primos.
Proposicion 20 (Infinitud de los primos)
Hay mas numeros primos que cualquier magnitud dada de numerosprimos.
Proposicion 36
Si 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 es primo, entonces(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n)2n = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto.
De hecho todos los numeros perfectos pares son de esta forma ytodavıa no se conoce ningun numero perfecto impar.
6 = (1 + 2)2,28 = (1 + 2 + 22)22
496 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24)24
Libro IX
Proposicion 14 (Teorema Fundamental de la Aritmetica)
Si un numero es el menor medido por varios numeros primos, nopuede ser medido por otros numeros primos.
Proposicion 20 (Infinitud de los primos)
Hay mas numeros primos que cualquier magnitud dada de numerosprimos.
Proposicion 36
Si 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 es primo, entonces(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n)2n = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto.
De hecho todos los numeros perfectos pares son de esta forma ytodavıa no se conoce ningun numero perfecto impar.
6 = (1 + 2)2,28 = (1 + 2 + 22)22
496 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24)24
Libro IX
Proposicion 14 (Teorema Fundamental de la Aritmetica)
Si un numero es el menor medido por varios numeros primos, nopuede ser medido por otros numeros primos.
Proposicion 20 (Infinitud de los primos)
Hay mas numeros primos que cualquier magnitud dada de numerosprimos.
Proposicion 36
Si 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 es primo, entonces(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n)2n = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto.
De hecho todos los numeros perfectos pares son de esta forma ytodavıa no se conoce ningun numero perfecto impar.
6 = (1 + 2)2,28 = (1 + 2 + 22)22
496 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24)24
Libro IX
Proposicion 14 (Teorema Fundamental de la Aritmetica)
Si un numero es el menor medido por varios numeros primos, nopuede ser medido por otros numeros primos.
Proposicion 20 (Infinitud de los primos)
Hay mas numeros primos que cualquier magnitud dada de numerosprimos.
Proposicion 36
Si 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 es primo, entonces(1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n)2n = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto.
De hecho todos los numeros perfectos pares son de esta forma ytodavıa no se conoce ningun numero perfecto impar.
6 = (1 + 2)2,28 = (1 + 2 + 22)22
496 = (1 + 2 + 22 + 23 + 24)24
Algebra Geometrica
Las propiedades algebraicas tienen un sentido geometrico.
Definicion 16 del libro VII: Cuando se multiplican dosnumeros, el numero ası obtenido se llama plano y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17 del libro VII: Cuando se multiplican tresnumeros, el numero ası obtenido se llama solido y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Las cantidades no tienen una existencia independiente de susignificado geometrica.
x
x
y
y x y
x yx
y
2
2
x
x
y
Hx-yL Hx+yL x-y
x+y
y2
Algebra Geometrica
Las propiedades algebraicas tienen un sentido geometrico.
Definicion 16 del libro VII: Cuando se multiplican dosnumeros, el numero ası obtenido se llama plano y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17 del libro VII: Cuando se multiplican tresnumeros, el numero ası obtenido se llama solido y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Las cantidades no tienen una existencia independiente de susignificado geometrica.
x
x
y
y x y
x yx
y
2
2
x
x
y
Hx-yL Hx+yL x-y
x+y
y2
Algebra Geometrica
Las propiedades algebraicas tienen un sentido geometrico.
Definicion 16 del libro VII: Cuando se multiplican dosnumeros, el numero ası obtenido se llama plano y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Definicion 17 del libro VII: Cuando se multiplican tresnumeros, el numero ası obtenido se llama solido y sus ladosson los numeros que se han multiplicado.
Las cantidades no tienen una existencia independiente de susignificado geometrica.
x
x
y
y x y
x yx
y
2
2
x
x
y
Hx-yL Hx+yL x-y
x+y
y2
Emancipacion de la aritmeticay el algebra
Heron de Alejandrıa.
Nicomaco (±100).
Diofanto (±250).
Heron de Alejandrıa
Sumar areas con circunferencias y diametros.
Multiplicar dos cuadrados.
A pesar de la terminologıa geometrica las cantidades tienenuna naturaleza numerica.
¿Declive de la matematica griega o influencia babilonica yegipcia?
Heron de Alejandrıa
Sumar areas con circunferencias y diametros.
Multiplicar dos cuadrados.
A pesar de la terminologıa geometrica las cantidades tienenuna naturaleza numerica.
¿Declive de la matematica griega o influencia babilonica yegipcia?
Heron de Alejandrıa
Sumar areas con circunferencias y diametros.
Multiplicar dos cuadrados.
A pesar de la terminologıa geometrica las cantidades tienenuna naturaleza numerica.
¿Declive de la matematica griega o influencia babilonica yegipcia?
Heron de Alejandrıa
Sumar areas con circunferencias y diametros.
Multiplicar dos cuadrados.
A pesar de la terminologıa geometrica las cantidades tienenuna naturaleza numerica.
¿Declive de la matematica griega o influencia babilonica yegipcia?
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),
manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) e
introduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco
Probablemente arabe de Gerara en Judea.
Introductio Arithmetica.
Los numeros representan cantidades. El significadogeometrico no es necesario.
La aritmetica adquiere una posicion relevante en Alejandrıa.
Recupera la esencia de los pitagoricos (numeros triangulares,cuadrados),manteniendo los conceptos de los elementos (numeros primosy compuestos, teorema sobre los numeros perfectos) eintroduce numeros pares e impares y tablas de multiplicar(¿influencia babilonica?).
¿Declive? Disminucion del rigor, perdida de la utilizacion deletras para para representar objetos geometricos (Euclides).
Nicomaco como Pitagorico tardıo
“No solamente porque decimos que existıa (la aritmetica) antesque las demas (ciencias) en la mente de Dios creador como algunplan universal y ejemplar, confiando en ella como un diseno yarquetipo, el creador del universo puso en orden sus creacionesmateriales y las hizo de acuerdo con sus propios fines, sino tambienporque es por su naturaleza anterior en su nacimiento.”“Si las demas ciencias fueran abolidas, la aritmetica seguirıanexistiendo.”
Diofanto de Alejandrıa
Posiblemente griego.
Escribio varios libros que se han perdido.
Se conoce parte de Sobre los numeros poligonales: Variosteoremas de los libros VII, VIII y IX de los Elementos.
Obra principal: Arithmetica.
Diofanto de Alejandrıa
Posiblemente griego.
Escribio varios libros que se han perdido.
Se conoce parte de Sobre los numeros poligonales: Variosteoremas de los libros VII, VIII y IX de los Elementos.
Obra principal: Arithmetica.
Diofanto de Alejandrıa
Posiblemente griego.
Escribio varios libros que se han perdido.
Se conoce parte de Sobre los numeros poligonales: Variosteoremas de los libros VII, VIII y IX de los Elementos.
Obra principal: Arithmetica.
Diofanto de Alejandrıa
Posiblemente griego.
Escribio varios libros que se han perdido.
Se conoce parte de Sobre los numeros poligonales: Variosteoremas de los libros VII, VIII y IX de los Elementos.
Obra principal: Arithmetica.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.Se ofrece la solucion despues del enunciado.No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.Se ofrece la solucion despues del enunciado.No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.
Se ofrece la solucion despues del enunciado.No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.Se ofrece la solucion despues del enunciado.
No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.Se ofrece la solucion despues del enunciado.No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Aritmetica de Diofanto
13 libros de los que conocemos 6 provenientes de unmanuscrito del siglo XII que es una copia griega de otroanterior.
Recuperacion del estilo babilonico...
Coleccion de 189 problemas independientes con datosnumericos concretos.Se ofrece la solucion despues del enunciado.No hay teoremas ni explicacion de metodos generales ¿declive?
... aunque no se puede asegurar que haya contacto con lamatematica babilonia.
Novedades de la Aritmetica de Diofanto
Una gran cantidad de metodos aritmeticos y algebraicosdiferentes (mas de 50 en 189 problemas).
Los problemas planteados conducen a ecuaciones, primero deprimer grado y luego de grados superiores.
Primeras ecuaciones indeterminadas (cantidad infinita desoluciones).Ejemplo: Ecuacion pitagorica: x2 + y2 = z2.
Las soluciones ofrecidas son siempre numeros enteros oracionales. Ecuaciones diofanticas.
No hay soluciones generales de las ecuaciones indeterminadas,sino soluciones concretas ¿declive?
Novedades de la Aritmetica de Diofanto
Una gran cantidad de metodos aritmeticos y algebraicosdiferentes (mas de 50 en 189 problemas).
Los problemas planteados conducen a ecuaciones, primero deprimer grado y luego de grados superiores.
Primeras ecuaciones indeterminadas (cantidad infinita desoluciones).Ejemplo: Ecuacion pitagorica: x2 + y2 = z2.
Las soluciones ofrecidas son siempre numeros enteros oracionales. Ecuaciones diofanticas.
No hay soluciones generales de las ecuaciones indeterminadas,sino soluciones concretas ¿declive?
Novedades de la Aritmetica de Diofanto
Una gran cantidad de metodos aritmeticos y algebraicosdiferentes (mas de 50 en 189 problemas).
Los problemas planteados conducen a ecuaciones, primero deprimer grado y luego de grados superiores.
Primeras ecuaciones indeterminadas (cantidad infinita desoluciones).Ejemplo: Ecuacion pitagorica: x2 + y2 = z2.
Las soluciones ofrecidas son siempre numeros enteros oracionales. Ecuaciones diofanticas.
No hay soluciones generales de las ecuaciones indeterminadas,sino soluciones concretas ¿declive?
Novedades de la Aritmetica de Diofanto
Una gran cantidad de metodos aritmeticos y algebraicosdiferentes (mas de 50 en 189 problemas).
Los problemas planteados conducen a ecuaciones, primero deprimer grado y luego de grados superiores.
Primeras ecuaciones indeterminadas (cantidad infinita desoluciones).Ejemplo: Ecuacion pitagorica: x2 + y2 = z2.
Las soluciones ofrecidas son siempre numeros enteros oracionales. Ecuaciones diofanticas.
No hay soluciones generales de las ecuaciones indeterminadas,sino soluciones concretas ¿declive?
Novedades de la Aritmetica de Diofanto
Una gran cantidad de metodos aritmeticos y algebraicosdiferentes (mas de 50 en 189 problemas).
Los problemas planteados conducen a ecuaciones, primero deprimer grado y luego de grados superiores.
Primeras ecuaciones indeterminadas (cantidad infinita desoluciones).Ejemplo: Ecuacion pitagorica: x2 + y2 = z2.
Las soluciones ofrecidas son siempre numeros enteros oracionales. Ecuaciones diofanticas.
No hay soluciones generales de las ecuaciones indeterminadas,sino soluciones concretas ¿declive?
Notacion retorica y sincopada
Geometrıa semisincopada: Letras = Objetos geometricos(puntos, longitudes, areas). (Euclides).
Mas notacion sincopada: Letras = Tiempo o Distanciasimaginarias (Aristoteles).
Algebra retorica: Sin sımbolos (Heron, Nicomaco).
Algebra sincopada: Con sımbolos (Diofanto).
x ς αριτµoς = aritmos = numero
x2 ∆Y ∆ιναµις = dynamis = potencia
x3 KY Kνβoς = cubos
x4 ∆Y ∆ Dynamis Dynamis
x5 ∆KY Dynamis Cubos
x6 KKY Cubos Cubos
Notacion retorica y sincopada
Geometrıa semisincopada: Letras = Objetos geometricos(puntos, longitudes, areas). (Euclides).
Mas notacion sincopada: Letras = Tiempo o Distanciasimaginarias (Aristoteles).
Algebra retorica: Sin sımbolos (Heron, Nicomaco).
Algebra sincopada: Con sımbolos (Diofanto).
x ς αριτµoς = aritmos = numero
x2 ∆Y ∆ιναµις = dynamis = potencia
x3 KY Kνβoς = cubos
x4 ∆Y ∆ Dynamis Dynamis
x5 ∆KY Dynamis Cubos
x6 KKY Cubos Cubos
Notacion retorica y sincopada
Geometrıa semisincopada: Letras = Objetos geometricos(puntos, longitudes, areas). (Euclides).
Mas notacion sincopada: Letras = Tiempo o Distanciasimaginarias (Aristoteles).
Algebra retorica: Sin sımbolos (Heron, Nicomaco).
Algebra sincopada: Con sımbolos (Diofanto).
x ς αριτµoς = aritmos = numero
x2 ∆Y ∆ιναµις = dynamis = potencia
x3 KY Kνβoς = cubos
x4 ∆Y ∆ Dynamis Dynamis
x5 ∆KY Dynamis Cubos
x6 KKY Cubos Cubos
Notacion retorica y sincopada
Geometrıa semisincopada: Letras = Objetos geometricos(puntos, longitudes, areas). (Euclides).
Mas notacion sincopada: Letras = Tiempo o Distanciasimaginarias (Aristoteles).
Algebra retorica: Sin sımbolos (Heron, Nicomaco).
Algebra sincopada: Con sımbolos (Diofanto).
x ς αριτµoς = aritmos = numero
x2 ∆Y ∆ιναµις = dynamis = potencia
x3 KY Kνβoς = cubos
x4 ∆Y ∆ Dynamis Dynamis
x5 ∆KY Dynamis Cubos
x6 KKY Cubos Cubos
Notacion retorica y sincopada
Geometrıa semisincopada: Letras = Objetos geometricos(puntos, longitudes, areas). (Euclides).
Mas notacion sincopada: Letras = Tiempo o Distanciasimaginarias (Aristoteles).
Algebra retorica: Sin sımbolos (Heron, Nicomaco).
Algebra sincopada: Con sımbolos (Diofanto).
x ς αριτµoς = aritmos = numero
x2 ∆Y ∆ιναµις = dynamis = potencia
x3 KY Kνβoς = cubos
x4 ∆Y ∆ Dynamis Dynamis
x5 ∆KY Dynamis Cubos
x6 KKY Cubos Cubos
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧
Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Algebra sincopada de Diofanto
X 6 − X 45 + X2 + 2 = KY Kα ∧∆Y ∆εςγMβ
Suma acumulacion
Resta ∧Coeficientes a la derecha
1, 2, 3, 4, 5, . . . αβγδε . . .
M Unidad (termino independiente)
Redaccion retorica.
Notacion sincopada para incognitas y numeros.
Utilizacion implıcita de igualdades no enunciadas:(p + q
2
)2
−(
p − q
2
)2
= pq
en la que p y q pueden ser sustituidos por otras expresionesp = x + 1, q = x − 3.
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Problemas de la Aritmetica
Libro I. Problema 8
Dividir un numero cuadrado en dos cuadrados.
x2 + y2 = z2
Toma z2 = 16, como el cuadrado dado y encuentra la solucionx2 = 256
25 e y2 = 14425 .
Libro I. Problema 8
Dividir un numero que es la suma de dos cuadrados distintos en lasuma de dos cuadrados distintos de los anteriores.
Toma 13 = 4 + 9 y ofrece la solucion 32425 + 1
25 .
Libro IV. Problema 29
Expresar un numero como suma de cuatro cuadrados.
12 =121
100+
49
100+
361
100+
169
100
Matematica hindu
Orıgenes
Periodo Sulvasutra (800-200 a.c.).
Sulvasutra = Regla de la cuerda = Escritos religiosos coninstrucciones para construir altares.
Teorema de Pitagoras: “La diagonal del cuadrilongo producepor si mismo las dos areas a que dan lugar por separado cadauno de los lados del cuadrilongo.
A partir del ano 200 la cultura de Alejandrıa influye en lacultura hindu.“Los griegos, pese a ser impuros deben ser honrados puestoque fueron adiestrados en las ciencias y allı sobresalieron porencima de los demas. ¿Que se puede decir de un brahman si elune a su pureza la altura de la ciencia”. Varahamihira (500).
Orıgenes
Periodo Sulvasutra (800-200 a.c.).
Sulvasutra = Regla de la cuerda = Escritos religiosos coninstrucciones para construir altares.
Teorema de Pitagoras: “La diagonal del cuadrilongo producepor si mismo las dos areas a que dan lugar por separado cadauno de los lados del cuadrilongo.
A partir del ano 200 la cultura de Alejandrıa influye en lacultura hindu.“Los griegos, pese a ser impuros deben ser honrados puestoque fueron adiestrados en las ciencias y allı sobresalieron porencima de los demas. ¿Que se puede decir de un brahman si elune a su pureza la altura de la ciencia”. Varahamihira (500).
Orıgenes
Periodo Sulvasutra (800-200 a.c.).
Sulvasutra = Regla de la cuerda = Escritos religiosos coninstrucciones para construir altares.
Teorema de Pitagoras: “La diagonal del cuadrilongo producepor si mismo las dos areas a que dan lugar por separado cadauno de los lados del cuadrilongo.
A partir del ano 200 la cultura de Alejandrıa influye en lacultura hindu.
“Los griegos, pese a ser impuros deben ser honrados puestoque fueron adiestrados en las ciencias y allı sobresalieron porencima de los demas. ¿Que se puede decir de un brahman si elune a su pureza la altura de la ciencia”. Varahamihira (500).
Orıgenes
Periodo Sulvasutra (800-200 a.c.).
Sulvasutra = Regla de la cuerda = Escritos religiosos coninstrucciones para construir altares.
Teorema de Pitagoras: “La diagonal del cuadrilongo producepor si mismo las dos areas a que dan lugar por separado cadauno de los lados del cuadrilongo.
A partir del ano 200 la cultura de Alejandrıa influye en lacultura hindu.“Los griegos, pese a ser impuros deben ser honrados puestoque fueron adiestrados en las ciencias y allı sobresalieron porencima de los demas. ¿Que se puede decir de un brahman si elune a su pureza la altura de la ciencia”. Varahamihira (500).
Sistema de numeracion
Siglo III. Aparecen sımbolos para los numeros.
A partir del Siglo VII se convierte en habitual la notacionposicional y el uso del cero. (Brahmagupta).
Numeros negativos (dudas) positivos (activos).
Bhaskara: La raız cuadrada de un numero tiene dos valores,uno positivo y otro negativo.
Fracciones:23
.
Sistema de numeracion
Siglo III. Aparecen sımbolos para los numeros.
A partir del Siglo VII se convierte en habitual la notacionposicional y el uso del cero. (Brahmagupta).
Numeros negativos (dudas) positivos (activos).
Bhaskara: La raız cuadrada de un numero tiene dos valores,uno positivo y otro negativo.
Fracciones:23
.
Sistema de numeracion
Siglo III. Aparecen sımbolos para los numeros.
A partir del Siglo VII se convierte en habitual la notacionposicional y el uso del cero. (Brahmagupta).
Numeros negativos (dudas) positivos (activos).
Bhaskara: La raız cuadrada de un numero tiene dos valores,uno positivo y otro negativo.
Fracciones:23
.
Sistema de numeracion
Siglo III. Aparecen sımbolos para los numeros.
A partir del Siglo VII se convierte en habitual la notacionposicional y el uso del cero. (Brahmagupta).
Numeros negativos (dudas) positivos (activos).
Bhaskara: La raız cuadrada de un numero tiene dos valores,uno positivo y otro negativo.
Fracciones:23
.
Sistema de numeracion
Siglo III. Aparecen sımbolos para los numeros.
A partir del Siglo VII se convierte en habitual la notacionposicional y el uso del cero. (Brahmagupta).
Numeros negativos (dudas) positivos (activos).
Bhaskara: La raız cuadrada de un numero tiene dos valores,uno positivo y otro negativo.
Fracciones:23
.
Evolucion desde los numeros hindues hasta el Siglo XVI
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).
Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.
Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.
Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
Sin definiciones, axiomas, ni teoremas.
Calculos con irracionales:“Llamamos la suma de dos irracionales al mayor irracional, ydos veces su producto al menor de ellos. La suma y elproducto se efectua como si fueran numeros enteros.”Bhaskara.
√3 +
√12 =
√(3 + 12) + 2
√3 · 12 =
√27.
Suma: Acumulacion (como en Diofanto).Resta: ’.Primera incognita = Incognita.Siguientes: Negro, azul, amarillo (en este orden).
El uso de los numeros negativos permite unificar lasecuaciones de segundo grado que una unica. Diofantoconsideraba tres con coeficientes positivos: ax2 + bx = c ,ax2 = bx + c , ax2 + c = bx .
Consideran ecuaciones indeterminadas: ax + by = c ,y2 = ax2 + 1.
El apogeo arabe
Expansion arabe: 600-750.
Capital Oriental: Bagdad.
Capital Occidental: Cordoba.
Expansion arabe: 600-750.
Capital Oriental: Bagdad.
Capital Occidental: Cordoba.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Contribuidores a la ciencia arabe
Cientıficos indios invitados a Bagdad donde se establece unaacademia, una biblioteca y un observatorio astronomico.
Miembros de la Academia de Platon que huyeron a Persia apartir de 529 (Justiniano clausura la Academia).
Manuscritos comprados por los califas a los bizantinos.
La cultura alejandrina, a partir de la conquista de Egipto.
Escuelas sirias de Antioquıa, Emesa y Damasco.
Escuelas cristianas de los cristianos nestorianos de Edesa quecontenıan numerosos manuscritos griegos provenientes de ladestruccion de Alejandrıa en 640.
Manuscritos de otros monasterios cristianos proximos aOriente.
Muchos de los cientıficos arabes eran griegos, persas y judıos.
Libros traducidos al arabe
Elementos de Euclides.
Sintaxis matematica de Ptolomeo. (Almagesto = Librogrande).
Tetrabiblos de Ptolomeo.
Obras de Aristoteles, Apolonio, Arquimedes, Heron yDiofanto.
Obras indias.
Muchas obras clasicas han llegado a nosotros gracias a estastraducciones.
Libros traducidos al arabe
Elementos de Euclides.
Sintaxis matematica de Ptolomeo. (Almagesto = Librogrande).
Tetrabiblos de Ptolomeo.
Obras de Aristoteles, Apolonio, Arquimedes, Heron yDiofanto.
Obras indias.
Muchas obras clasicas han llegado a nosotros gracias a estastraducciones.
Toman de los indios el sistema de numeracion decimalposicional y lo mejoran y sistematizan.
Pero rechazan los negativos que habıan introducido loshindues.
En astronomıa mantienen el sistema sexagesimal provenientede los babilonios.
Utilizan libremente de los irracionales (rompiendo con latradicion griega).“Toda razon de magnitudes, conmensurables oinconmensurables, puede ser considerada un numero.” OmarKhayyam.
Desarrollan el algebra. Transformaciones como√
a2b = a√
bo√
ab =√
a√
b se convierten en habituales.
Toman de los indios el sistema de numeracion decimalposicional y lo mejoran y sistematizan.
Pero rechazan los negativos que habıan introducido loshindues.
En astronomıa mantienen el sistema sexagesimal provenientede los babilonios.
Utilizan libremente de los irracionales (rompiendo con latradicion griega).“Toda razon de magnitudes, conmensurables oinconmensurables, puede ser considerada un numero.” OmarKhayyam.
Desarrollan el algebra. Transformaciones como√
a2b = a√
bo√
ab =√
a√
b se convierten en habituales.
Toman de los indios el sistema de numeracion decimalposicional y lo mejoran y sistematizan.
Pero rechazan los negativos que habıan introducido loshindues.
En astronomıa mantienen el sistema sexagesimal provenientede los babilonios.
Utilizan libremente de los irracionales (rompiendo con latradicion griega).“Toda razon de magnitudes, conmensurables oinconmensurables, puede ser considerada un numero.” OmarKhayyam.
Desarrollan el algebra. Transformaciones como√
a2b = a√
bo√
ab =√
a√
b se convierten en habituales.
Toman de los indios el sistema de numeracion decimalposicional y lo mejoran y sistematizan.
Pero rechazan los negativos que habıan introducido loshindues.
En astronomıa mantienen el sistema sexagesimal provenientede los babilonios.
Utilizan libremente de los irracionales (rompiendo con latradicion griega).“Toda razon de magnitudes, conmensurables oinconmensurables, puede ser considerada un numero.” OmarKhayyam.
Desarrollan el algebra. Transformaciones como√
a2b = a√
bo√
ab =√
a√
b se convierten en habituales.
Toman de los indios el sistema de numeracion decimalposicional y lo mejoran y sistematizan.
Pero rechazan los negativos que habıan introducido loshindues.
En astronomıa mantienen el sistema sexagesimal provenientede los babilonios.
Utilizan libremente de los irracionales (rompiendo con latradicion griega).“Toda razon de magnitudes, conmensurables oinconmensurables, puede ser considerada un numero.” OmarKhayyam.
Desarrollan el algebra. Transformaciones como√
a2b = a√
bo√
ab =√
a√
b se convierten en habituales.
Al-jabr w’al muqabala. 830
Mohammed ibn Musa al Khowarizmı
Al-jabr w’al muqabala. 830
Al-jabr = Restauracion.
3x3−5 = 2Eliminacion→ 3x2 = 2
Restauracion→ 3x3 = 2+5.
Al-muqabala = Simplificacion.
3x + 4xSimplificacion→ 7x
Tıtulo en latın: Ludus algebrae et almucgrabalaeque
Al-jabr w’al muqabala. 830
Al-jabr = Restauracion.
3x3−5 = 2Eliminacion→ 3x2 = 2
Restauracion→ 3x3 = 2+5.
Al-muqabala = Simplificacion.
3x + 4xSimplificacion→ 7x
Tıtulo en latın: Ludus algebrae et almucgrabalaeque
Al-jabr w’al muqabala. 830
Al-jabr = Restauracion.
3x3−5 = 2Eliminacion→ 3x2 = 2
Restauracion→ 3x3 = 2+5.
Al-muqabala = Simplificacion.
3x + 4xSimplificacion→ 7x
Tıtulo en latın: Ludus algebrae et almucgrabalaeque
Al-jabr w’al muqabala. 830
Al-jabr = Restauracion.
3x3−5 = 2Eliminacion→ 3x2 = 2
Restauracion→ 3x3 = 2+5.
Al-muqabala = Simplificacion.
3x + 4xSimplificacion→ 7x
Tıtulo en latın: Ludus algebrae et almucgrabalaeque
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala. 830
Basado en el trabajo de Brahmagupta, con influencias griegasy babilonias.
Notacion y metodos de Diofanto. Plantea ecuaciones en lasque va despejando las incognitas con manipulacionesalgebraicas.
Si hay mas de una incognita despeja una en una ecuacion ysustituye en otra.
Retroceso respecto de Diofanto: Algebra retorica (sinsımbolos).
La incognita se llama “cosa” or “raız”.
Al no admitir numeros negativos las ecuaciones de segundogrado vuelven a tener tres formas que se tratanindependientemente.
Una solucion de segundo grado puede tener dos soluciones,pero solo admite las positivas reales, que pueden serirracionales (esto ultimo no admitido por Diofanto).
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Al-jabr w’al muqabala
Problema
Un cuadrado y diez de sus raıces son iguales a treinta y nueveunidades, es decir, si sumamos diez raıces a un cuadrado la sumaes igual a 39.
Solucion: Tomemos la mitad del numero de raıces, esto es, eneste caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por si misma y elresultado es venticinco. Anadamosle a treinta y nueve, lo que dasesenta y cuatro; tomemos su raız cuadrada, u ocho, y restemoslela mitad del numero raız.
x2 + 10x = 39: a = 1, b = 10, c = −39.
Numero de raıces = b = 10. Su mitad = b2 = 5.
Cuadrado de la mitad de las raıces =(
b2
)2= 25.
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 (completando cuadrados).
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 = 64, x + 5 = 8.
x = 8− 5 = 3.
Vuelta al algebra geometrica
No se fıan demasiado de las manipulaciones algebraicas.
El rigor exigıa apoyarse en la intuicion geometrica (el rigor deEuclıdes).
Vuelta al algebra geometrica
No se fıan demasiado de las manipulaciones algebraicas.
El rigor exigıa apoyarse en la intuicion geometrica (el rigor deEuclıdes).
Justificacion de las solucion del problema anterior
5x
5x
x2
5
525
x
x
x2 + 5x = 39
El cuadrado grande esta formado por dos cuadrados de areasx2 y 25 y dos rectangulos de area 5x .
Por tanto el area del cuadrado grande esx2 + 2 · 5x + 25 = 39 + 25 = 64, con lo que su lado debe valer8.
Ası pues x = 8− 5 = 3.
Justificacion de las solucion del problema anterior
5x
5x
x2
5
525
x
x
x2 + 5x = 39
El cuadrado grande esta formado por dos cuadrados de areasx2 y 25 y dos rectangulos de area 5x .
Por tanto el area del cuadrado grande esx2 + 2 · 5x + 25 = 39 + 25 = 64, con lo que su lado debe valer8.
Ası pues x = 8− 5 = 3.
Justificacion de las solucion del problema anterior
5x
5x
x2
5
525
x
x
x2 + 5x = 39
El cuadrado grande esta formado por dos cuadrados de areasx2 y 25 y dos rectangulos de area 5x .
Por tanto el area del cuadrado grande esx2 + 2 · 5x + 25 = 39 + 25 = 64, con lo que su lado debe valer8.
Ası pues x = 8− 5 = 3.
Justificacion de las solucion del problema anterior
5x
5x
x2
5
525
x
x
x2 + 5x = 39
El cuadrado grande esta formado por dos cuadrados de areasx2 y 25 y dos rectangulos de area 5x .
Por tanto el area del cuadrado grande esx2 + 2 · 5x + 25 = 39 + 25 = 64, con lo que su lado debe valer8.
Ası pues x = 8− 5 = 3.
Ecuacion cubica. Omar Khayyam
y=bx2
Hx-cL + y = c2 2 2
x3 + b2x = b2c
Ecuacion cubica. Omar Khayyam
y=bx2
Hx-cL + y = c2 2 2
x3 + b2x = b2c
Demostracion sintetica a partir de la propiedad geometrica dela parabola dada por Apolonio.
Hiperbola y una parabola para resolver x3 + ax2 = c3.
Elipse y parabola para resolver x3 ± ax2 + b2x = b2c .
Algunos autores arabes estudian ecuaciones indeterminadas yobservan que no se conoce ninguna solucion de x3 + y3 = z3.
Ecuacion cubica. Omar Khayyam
y=bx2
Hx-cL + y = c2 2 2
x3 + b2x = b2c
Demostracion sintetica a partir de la propiedad geometrica dela parabola dada por Apolonio.
Hiperbola y una parabola para resolver x3 + ax2 = c3.
Elipse y parabola para resolver x3 ± ax2 + b2x = b2c .
Algunos autores arabes estudian ecuaciones indeterminadas yobservan que no se conoce ninguna solucion de x3 + y3 = z3.
Ecuacion cubica. Omar Khayyam
y=bx2
Hx-cL + y = c2 2 2
x3 + b2x = b2c
Demostracion sintetica a partir de la propiedad geometrica dela parabola dada por Apolonio.
Hiperbola y una parabola para resolver x3 + ax2 = c3.
Elipse y parabola para resolver x3 ± ax2 + b2x = b2c .
Algunos autores arabes estudian ecuaciones indeterminadas yobservan que no se conoce ninguna solucion de x3 + y3 = z3.
Ecuacion cubica. Omar Khayyam
y=bx2
Hx-cL + y = c2 2 2
x3 + b2x = b2c
Demostracion sintetica a partir de la propiedad geometrica dela parabola dada por Apolonio.
Hiperbola y una parabola para resolver x3 + ax2 = c3.
Elipse y parabola para resolver x3 ± ax2 + b2x = b2c .
Algunos autores arabes estudian ecuaciones indeterminadas yobservan que no se conoce ninguna solucion de x3 + y3 = z3.
Contraste entre geometrıa y aritmetica y algebra
Los griegos habıan fundamentado axiomaticamente lageometrıa.
Los hindues y arabes habıan desarrollado la aritmetica y lageometrıa, pero la fundamentacion era precaria.
Soporte del punto de vista griego: Belleza y rigor.
Soporte del punto de vista indo-arabe: Necesidades practicas(contabilidad, comercio, astronomıa, etc).
Complejo de inferioridad de la aritmetica y el algebra quellevaba a justificaciones geometricas.
Contraste entre geometrıa y aritmetica y algebra
Los griegos habıan fundamentado axiomaticamente lageometrıa.
Los hindues y arabes habıan desarrollado la aritmetica y lageometrıa, pero la fundamentacion era precaria.
Soporte del punto de vista griego: Belleza y rigor.
Soporte del punto de vista indo-arabe: Necesidades practicas(contabilidad, comercio, astronomıa, etc).
Complejo de inferioridad de la aritmetica y el algebra quellevaba a justificaciones geometricas.
Contraste entre geometrıa y aritmetica y algebra
Los griegos habıan fundamentado axiomaticamente lageometrıa.
Los hindues y arabes habıan desarrollado la aritmetica y lageometrıa, pero la fundamentacion era precaria.
Soporte del punto de vista griego: Belleza y rigor.
Soporte del punto de vista indo-arabe: Necesidades practicas(contabilidad, comercio, astronomıa, etc).
Complejo de inferioridad de la aritmetica y el algebra quellevaba a justificaciones geometricas.
Contraste entre geometrıa y aritmetica y algebra
Los griegos habıan fundamentado axiomaticamente lageometrıa.
Los hindues y arabes habıan desarrollado la aritmetica y lageometrıa, pero la fundamentacion era precaria.
Soporte del punto de vista griego: Belleza y rigor.
Soporte del punto de vista indo-arabe: Necesidades practicas(contabilidad, comercio, astronomıa, etc).
Complejo de inferioridad de la aritmetica y el algebra quellevaba a justificaciones geometricas.
Contraste entre geometrıa y aritmetica y algebra
Los griegos habıan fundamentado axiomaticamente lageometrıa.
Los hindues y arabes habıan desarrollado la aritmetica y lageometrıa, pero la fundamentacion era precaria.
Soporte del punto de vista griego: Belleza y rigor.
Soporte del punto de vista indo-arabe: Necesidades practicas(contabilidad, comercio, astronomıa, etc).
Complejo de inferioridad de la aritmetica y el algebra quellevaba a justificaciones geometricas.
Edad Media y Pre-Renacimiento europeo
Edad Media yPre-Renacimiento europeo
Edad Media europea
Nulo legado matematico del Imperio Romano.
Estancamiento provocado por el sistema feudal y elcristianismo.
Supremacıa de los valores espirituales sobre la ciencia.
Signos de cambio a partir de 1100
Incipiente industria, agricultura y ganaderıa a gran escala,comercio mas fluido: Mejora economica.
Nueva clase social libre e independiente que cultiva el arte, laartesanıa y el comercio.
Algunos dignatarios de la Iglesia y aristocratas comienzan afinanciar la ensenanza y las artes.
El comercio con Oriente y los viajes de algunos aventureros(incluidos los cruzados) trae a Europa parte del conocimientoarabe y griego.
Signos de cambio a partir de 1100
Incipiente industria, agricultura y ganaderıa a gran escala,comercio mas fluido: Mejora economica.
Nueva clase social libre e independiente que cultiva el arte, laartesanıa y el comercio.
Algunos dignatarios de la Iglesia y aristocratas comienzan afinanciar la ensenanza y las artes.
El comercio con Oriente y los viajes de algunos aventureros(incluidos los cruzados) trae a Europa parte del conocimientoarabe y griego.
Signos de cambio a partir de 1100
Incipiente industria, agricultura y ganaderıa a gran escala,comercio mas fluido: Mejora economica.
Nueva clase social libre e independiente que cultiva el arte, laartesanıa y el comercio.
Algunos dignatarios de la Iglesia y aristocratas comienzan afinanciar la ensenanza y las artes.
El comercio con Oriente y los viajes de algunos aventureros(incluidos los cruzados) trae a Europa parte del conocimientoarabe y griego.
Signos de cambio a partir de 1100
Incipiente industria, agricultura y ganaderıa a gran escala,comercio mas fluido: Mejora economica.
Nueva clase social libre e independiente que cultiva el arte, laartesanıa y el comercio.
Algunos dignatarios de la Iglesia y aristocratas comienzan afinanciar la ensenanza y las artes.
El comercio con Oriente y los viajes de algunos aventureros(incluidos los cruzados) trae a Europa parte del conocimientoarabe y griego.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Signos de cambio a partir de 1100
1085. Conquista de Toledo. Centro de estudio de los trabajosarabes.
1091. Conquista de Sicilia. Multitud de escritos del imperiobizantino pasan a manos europeas.
Alejandro de Bath (1090-1150) viaja a Siria y Cordobadisfrazado de estudiante mahometano.
Las republicas italianas y el Papado enviaron comisiones yembajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia.
Aparecen en Roma manuscritos griegos provenientes de laepoca del Imperio.
Algunos eruditos comienzan a estudiar los libros de Euclides,Arquımedes, Aritoteles, Heron, Al-Khowarizmi, etc.
Las obras de Apolonio y Diofanto tardaron mas en llegar amanos europeas.
Aristoteles contra el progreso
1100-1450. Los escolasticos dominan las doctrinasintelectuales.
Modelos cientıficos: Padres cristianos y Aristoteles. Exceso deespeculacion.
Disidente racionalistas: Roger Bacon (1214-1294).“Si tuviera poder sobre los trabajos de Aristoteles los hubieraquemado todos; porque es solo una perdida de tiempoestudiarlos y una causa de error, y una multiplicacion de laignorancia mas alla de toda expresion.”
Aristoteles contra el progreso
1100-1450. Los escolasticos dominan las doctrinasintelectuales.
Modelos cientıficos: Padres cristianos y Aristoteles. Exceso deespeculacion.
Disidente racionalistas: Roger Bacon (1214-1294).“Si tuviera poder sobre los trabajos de Aristoteles los hubieraquemado todos; porque es solo una perdida de tiempoestudiarlos y una causa de error, y una multiplicacion de laignorancia mas alla de toda expresion.”
Aristoteles contra el progreso
1100-1450. Los escolasticos dominan las doctrinasintelectuales.
Modelos cientıficos: Padres cristianos y Aristoteles. Exceso deespeculacion.
Disidente racionalistas: Roger Bacon (1214-1294).“Si tuviera poder sobre los trabajos de Aristoteles los hubieraquemado todos; porque es solo una perdida de tiempoestudiarlos y una causa de error, y una multiplicacion de laignorancia mas alla de toda expresion.”
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)
Aprendio matematicas en el norte de Africa.
Liber abaci (1202). Traduccion libre al latın de los textosarabes y griegos.Notacion arabe de los numeros, las fracciones, las raıcescuadradas y cubicas y los metodos de calculo de los hindues.
Liber Quadratorum (1225)
Materias principales: Algebra y aritmetica.
Conserva el algebra retorica y geometrica de los arabes.
Demuestra que las soluciones de x3 + 2x2 + 10x = 20 no sonconstructibles con regla y compas. Primer resultado negativosobre constructibilidad con regla y compas.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
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Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
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Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.
Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.
Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).
Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.
Igualdad: aequalis, æ.
Alternativa a los Escolasticos (1200-1500)
Los escolasticos dominaban las universidades.
Corriente alternativa de intelectuales.
Primeros balbuceos del metodo cientıfico.
Leonardo da Vinci, Francis Bacon, Galileo, etc.
La aritmetica y algebra arabes se va extendiendo poco a pococon obras recopilatorias.
Lentamente el algebra retorica va volviendose sincopada:
Incognita: cosa.Cuadrado de la incognita: census, a veces abreviado como ce oz.Cubo de la incognita: cubo, (cu o c).Suma: plus, p.Igualdad: aequalis, æ.
La aceptacion de los conjuntosde numeros
Irracionales
“Dado que al analizar figuras geometricas, cuando nos fallan losnumeros racionales toman su lugar los irracionales y pruebanexactamente las cosas que los numeros racionales no pudieronprobar... nos vemos movidos y obligados a afirmar que sonverdaderamente numeros; obligados, esto es, por los resultados quese siguen de su uso, resultados que percibimos como reales, ciertosy constantes. Por otra parte, otras consideraciones nos obligan anegar que los numeros irracionales sean numeros en absoluto. Estoes, cuando tratamos de someterlos a numeracion ... hallamos quese escapan continuamente, de forma que ninguno de ellos puedeser aprehendido precisamente en si mismo... Y nada de talnaturaleza carente de precision puede llamarse numero... Porconsiguiente, de la misma forma que un numero infinito no es unnumero, un numero irracional no es un numero verdadero, sino queyace oculto en una especie de nube de infinitud”.
Stiffel, Arithmetica Integra. 1544.
Negativos
Absurdos. Chuquet (1445-1500) y Stiffel (1553).
Ficticios. Cardano 1545.
Falsos. “pues pretenden representar magnitudes menores quela nada”. Descartes. (1519-16??). Aunque admitıa suutilidad.
Pascal consideraba absurdo substraer 4 de 0.
Complejos
Cardano se plantea el problema de dividir 10 en dos partes cuyoproducto sea 40:
x(10− x) = 40,
obtiene las soluciones: 5 +√−15 y 5−
√−15 y escribe en su Ars
Magna (1545):
“Dejando a un lado las torturas mentales que ello implica,multipliquemos
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
Ası progresa la sutileza aritmetica, cuyo fin es, como se ha dicho,tan refinado como inutil”.
Complejos
Cardano se plantea el problema de dividir 10 en dos partes cuyoproducto sea 40:
x(10− x) = 40,
obtiene las soluciones: 5 +√−15 y 5−
√−15 y escribe en su Ars
Magna (1545):
“Dejando a un lado las torturas mentales que ello implica,multipliquemos
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
Ası progresa la sutileza aritmetica, cuyo fin es, como se ha dicho,tan refinado como inutil”.
Complejos
“Ni las raıces verdaderas ni las falsas son siempre reales, a vecesson imaginarias”
Descartes.
“Es de razon que las raıces de las ecuaciones sean imposibles(complejas), no vaya a ser que presenten casos de problemas queson imposibles como si fueran posibles”.
Newton 1728.
Complejos
“Ni las raıces verdaderas ni las falsas son siempre reales, a vecesson imaginarias”
Descartes.
“Es de razon que las raıces de las ecuaciones sean imposibles(complejas), no vaya a ser que presenten casos de problemas queson imposibles como si fueran posibles”.
Newton 1728.
Los irracionales son numeros
A favor: Cardano (1550), Stevin (1600) y John Wallis (1685).
En contra: Pascal, Barrow y Newton.
Aceptacion de los negativos
Bombelli (siglo XVI) da definiciones claras de los numerosnegativos.
Girard y Wallis colocan a los negativos en paridad con lospositivos.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Notacion algebraica
El proceso de sincopacion de la notacion fue largo.
Convivieron notaciones muy diferentes.
Cardano:
R, Raız cuadrada.p, mas.m, menos.
(5 +√−15)(5−
√−15) = 25− (−15) = 40.
5p:Rm:155m:Rm:1515m:m:15 qd.est 40
Finales del siglo XVII. Imposicion sistematica de la notacionsincopada.
Franscois Viete. 1540-1603
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.
a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Recupera la idea de Diofanto de representar las incognitas conletras.
Primeras letras del abecedario para constantes y ultimas paraincognitas lo que permite reconocer clases de ecuaciones y elcalculo simbolico.
ax2 + bx + c = 0
Marca la diferencia entre algebra y aritmetica.Algebra (logistica speciosa): Metodo de operar con especies oformas de cosas.Aritmetica (logistica numerosa): Trata de numeros.
Establece identidades generales ocultas en la obras griegasaunque presentes en forma de ejemplos en la obra de Diofanto.a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cuboaequalia a+b cubo.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Franscois Viete. 1540-1603
Las letras solo representan numeros positivos.
Saca un gran partido al uso del simbolismo y la algebraizacionde problemas.
Muestra como el uso de la regla y el compas sirve paracalcular raıces cuadradas.
Muestra como convertir el problema de la triseccion deangulos o el de construir un heptagono en un problemaalgebraico.
Crece la confianza en la potencia del algebra para resolverproblemas.
“Non Nullum problema solvere”(Ningun problema sin resolver).
Franscois Viete. 1540-1603
Las letras solo representan numeros positivos.
Saca un gran partido al uso del simbolismo y la algebraizacionde problemas.
Muestra como el uso de la regla y el compas sirve paracalcular raıces cuadradas.
Muestra como convertir el problema de la triseccion deangulos o el de construir un heptagono en un problemaalgebraico.
Crece la confianza en la potencia del algebra para resolverproblemas.
“Non Nullum problema solvere”(Ningun problema sin resolver).
Franscois Viete. 1540-1603
Las letras solo representan numeros positivos.
Saca un gran partido al uso del simbolismo y la algebraizacionde problemas.
Muestra como el uso de la regla y el compas sirve paracalcular raıces cuadradas.
Muestra como convertir el problema de la triseccion deangulos o el de construir un heptagono en un problemaalgebraico.
Crece la confianza en la potencia del algebra para resolverproblemas.
“Non Nullum problema solvere”(Ningun problema sin resolver).
Franscois Viete. 1540-1603
Las letras solo representan numeros positivos.
Saca un gran partido al uso del simbolismo y la algebraizacionde problemas.
Muestra como el uso de la regla y el compas sirve paracalcular raıces cuadradas.
Muestra como convertir el problema de la triseccion deangulos o el de construir un heptagono en un problemaalgebraico.
Crece la confianza en la potencia del algebra para resolverproblemas.
“Non Nullum problema solvere”(Ningun problema sin resolver).
Franscois Viete. 1540-1603
Las letras solo representan numeros positivos.
Saca un gran partido al uso del simbolismo y la algebraizacionde problemas.
Muestra como el uso de la regla y el compas sirve paracalcular raıces cuadradas.
Muestra como convertir el problema de la triseccion deangulos o el de construir un heptagono en un problemaalgebraico.
Crece la confianza en la potencia del algebra para resolverproblemas.
“Non Nullum problema solvere”(Ningun problema sin resolver).
Pierre de Fermat
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
1601-1665.
Magistrado de la Corte Suprema de Toulouse.
Hombre culto. Conoce latın, griego italiano y espanol.
Humanista. Lee obras clasicas. Restauracion de Plane Loci deApolonio.
Aficionado a las matematicas.
Conoce la Opera Mathematica de Viete antes de que fuerapublicada en 1646.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.
“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.
1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Aportaciones de Fermat
Geometrıa analıtica, junto con Descartes.“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas enuna ecuacion final, tenemos un “locus”, los extremos de unade estas (cantidades) describe una lınea, recta o curva”
Ad locus planos. Fermat. 1636.1637. Publicacion de la Geometrıa de Descartes.
Precursor del Calculo infinitesimal.
Teorıa de Probabilidades, junto con Pascal.
Teorıa de Numeros.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
Calculo maximos y mınimos de Fermat
Planteaba la ecuacion f (x) = f (x + ε).
Simplificaba y dividıa por ε.
Ponıa ε = 0.
La solucion x de lo obtenido es un punto maximo o mınimo.
Extremos de f (x) = x3 − 3x + 5
Planteamiento: (x + ε)3 − 3(x + ε) + 5 = x3 − 3x + 5.
Simplificacion: 3x2ε + 3xε2 + ε3 − 3ε = 0.
Division por ε: 3x2 + 3xε + ε2 − 3 = 0.
Sustitucion de ε por 0: 3x2 − 3.
Solucion: x = ±1.
f (x+ε)ε = f (x)
ε , ε = 0}
limε→0
f (x + ε)− f (x)
ε= 0.
El cırculo de Mersenne
Academias. Cırculos de hombres cultos.
Marın Mersenne. Distribuidor de informacion.
El cırculo de Mersenne
Academias. Cırculos de hombres cultos.
Marın Mersenne. Distribuidor de informacion.
Miembros destacados
Descartes Pascal Huygens
Hobbes, Roberval, etc.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.
Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
El descenso infinito
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.
Suponemos
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) 6= n2.
n 6= 1, pues 1 = 12.Restando 2n − 1 tenemos
1+3+5+7+. . .+(2(n−1)−1)+(2n−1)−(2n−1) 6= n2−2n+1 = (n−1)2,
Deducimos que existe una sucesion decreciente infinita de numerosnaturales, lo que es imposible.
