Universidad de Oriente

Núcleo de Bolívar

Unidad de Estudios Básicos

Área de Matemáticas

Asignatura: Matemáticas IV

Deflexión DE vigas

Profesor: Realizado por:

Cristian Castillo Barrios, Yasnahir

Campos, Joseyvis

Gruber, Luindy

Sección 01

Marzo, 2010

Deflexión de vigas

Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, siendo ésta barras prismáticas y

largas que están diseñadas para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de ellas.

No obstante, debido a la distribución de las cargas o fuerzas a las que se encuentran sometidas y la

manera en que están apoyadas, las vigas se pueden desviar o distorsionar por acción de su propio

peso, la influencia de cargas externas o una combinación de ambas. Esta desviación se

conoce como deflexión y se puede determinar por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden,

relativamente sencilla.

Construcción de la Ecuación Diferencial de la Deflexión de una Viga

Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene una sección

transversal uniforme en toda su longitud como se muestra en la Figura 1.1 (a). Cuando no recibe

carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de las secciones

transversales es una recta que se llama eje de simetría. Si a la viga se le aplica una carga

perpendicular al eje de simetría, debido a su elasticidad, puede distorsionarse como se observa en la

Figura 1.1 (b), y el eje de simetría distorsionado resultante se llama curva de desviación, curva

elástica o simplemente elástica , que es lo que se conoce como la deflexión de la viga.

(a) Eje de simetría

(b) Curva elástica

Figura 1.1

Supongamos que el eje coincide con el eje de simetría, tomado como positivo a la derecha y con

origen en 0; y que la desviación representada por el desplazamiento de la curva elástica, es

positiva si es hacia abajo. Sea el momento flexionante en un punto a lo largo de la viga,

por la teoría de la elasticidad se demuestra que se relaciona con la carga por unidad de

longitud mediante la ecuación

(1)

Como y son dos funciones con la misma variable independiente pero distintas

variables dependientes, para que ambas queden expresadas en términos de sabemos que el

momento flexionante es proporcional a la curvatura de la elástica:

(2)

Donde e son constantes, es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e es

el momento de inercia de la sección transversal de ésta; y el producto de se denomina rigidez a

la flexión.

Ahora, según el cálculo diferencial, también sabemos que . Cuando la desviación

es pequeña, la pendiente de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es

despreciable comparado con 1, de modo que , por lo tanto como la

ecuación se transforma en , obteniendo así que la segunda derivada de sea

(3)

la cual al ser sustituida en la ecuación (1), vemos que la desviación satisface la ecuación

diferencial de cuarto orden

(4)

que al ser una ecuación diferencial no homogénea de orden superior se puede resolver de la

forma acostumbrada: se determina teniendo en cuenta que es una raíz de multiplicidad

cuatro de la ecuación auxiliar , para después hallar una solución particular por el método

de coeficientes indeterminados; o simplemente integramos la ecuación cuatro veces sucesivas.

Si es una viga en voladizo, empotrada en un extremo y libre en el otro, la desviación debe

satisfacer las dos condiciones siguientes:

Para el extremo empotrado en :

porque no hay desviación en ese lugar y

porque la curva de desviación es tangente al eje x (en otras palabras, la

pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto).

Para el extremo libre en :

porque el momento flexionante es cero

porque la fuerza cortante es cero

Si es una viga simplemente apoyada, con apoyos en ambos extremos, se debe cumplir que

y en éstos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1. Viga empotrada

Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si

sostiene una carga constante, , uniformemente distribuida en su longitud; esto es, ,

.

SOLUCIÓN

Según lo que acabamos de plantear, la desviación satisface a

Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo y en su extremo derecho

, no hay desviación vertical y la curva elástica es horizontal en esos puntos. Así, las

condiciones en la frontera son

, , ,

Como resolveremos integrando cuatro veces sucesivas, podemos expresar como una

ecuación diferencial de variables separables, de modo que

→ 1º Integración

→ 2º Integración

→ 3º Integración

→ 4º Integración

Solución General

Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales derivamos la solución general de la ecuación y se

obtiene que

Sustituyendo las condiciones y tenemos

mientras que las condiciones restantes, y , originan las siguientes ecuaciones

(1)

(2)

Como y , el sistema se reduce a

(1)

(2)

Al resolver este sistema mediante eliminación, multiplicando la ecuación (2) por se tiene

(1)

(2)

(3)

despejando de la ecuación (3) nos queda que

y sustituyendo en la ecuación (1)

(4)

finalmente despejamos de la ecuación (4)

Por lo tanto, la desviación es

Para conocer el valor de la máxima desviación producida en la viga, sabemos que ésta ocurre en el

punto en que , de modo que la ecuación que me dará la máxima desviación es

la cual se puede expresar como

es decir,

y se despeja el valor de , utilizando la ecuación de segundo grado donde

Menor valor

como el menor valor de es , la máxima deflexión ocurre en este punto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2. Viga en voladizo

Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si

sostiene una carga constante, , uniformemente distribuida en su longitud; esto es, ,

.

SOLUCIÓN

Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo no hay desviación vertical y la

curva elástica es horizontal en ese punto, mientras que en su extremo derecho como esta

libre, la desviación tiende a producirse allí, de modo que la fuerza cortante y el momento flexionante

son iguales a cero. Así, las condiciones en la frontera son

, , ,

Igualmente, resolvemos integrando cuatro veces sucesivas, de modo que la solución general de la

ecuación es

Solución General

Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales es necesario derivar tres veces la solución general de la ecuación y se obtiene que

Sustituyendo las condiciones y tenemos

mientras que las condiciones restantes, y , originan las siguientes

ecuaciones

(1)

(2)

despejando de la ecuación (2) nos queda

y sustituyendo en la ecuación (1)

(3)

finalmente despejamos

Por lo tanto, la desviación es

Y la ecuación que expresa el valor de la máxima desviación producida es

la cual se puede expresar como

es decir,

y se despeja el valor de , utilizando la ecuación de segundo grado donde

Como el valor de la raíz es negativo el resultado de serán números imaginarios, lo que significa que no hay extremos relativos (máximos y mínimos) en la pendiente de la curva. Por lo tanto, evaluamos los extremos de la viga para verificar que ocurre en ellos y se obtiene que

cuando no hay desviación, pero cuando la desviación máxima ocurre en ese extremo.