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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Teoría de juegos: Juegos repetidos Rafael Salas mayo de 2006
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Teoría de juegos: Juegos repetidos Rafael Salas mayo de 2006. Juegos repetidos. Son juegos estáticos que se juegan un número repetido de veces: A. Juegos infinitos B. Juegos finitos - PowerPoint PPT Presentation
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Teoría de juegos:Juegos repetidos
Rafael Salas mayo de 2006
Juegos repetidos
Son juegos estáticos que se juegan un número repetido de veces:
A. Juegos infinitosB. Juegos finitos
Es previsible que ello altere el comportamiento: al aumentar la probabilidad de que los agentes puedan coordinarse y evitar situaciones como el dilema de los presos
De hecho, con los juegos repetidos se pueden justificar comportamientos colusivos en juegos estrictamente no-cooperativos. En otras palabras, podemos concluir en comportamientos eficientes en juegos como el dilema de los presos.
Juegos repetidos
No obstante va a existir una diferencia cualitativa importante entre ambos tipos de juegos:
A. Juegos infinitosB. Juegos finitos
La coordinación en soluciones colusivas (o cooperativas) va a ser posible en los juegos infinitos. Por otra parte, va a ser imposible en algunos juegos finitos.
Esta paradoja la veremos más en detalle...
Juegos repetidos: conceptos previos
Un juego repetido G(T) consiste en un juego de etapa G:
G={N,S,U}
que se repite un número T de veces. Si T es finito, se trata de un juego finito y T es infinito, se trata de un juego repetido infinitas veces.
El juego de etapa es normalmente un juego simultáneo, como el dilema de los presos...
Ejemplo: dilema de los presos
Juego de etapa G en forma estratégica:
.
Jug 2
Jug 13
N C
N
C
3 6
0
6
0
1
1
La tasa de descuento intertemporal
En valor presente VPi=t=1T t-1 Ui (t)
donde es la tasa de descuento intertemporal
=0 sólo se valora el presente. Máxima impaciencia=1 se valora a todos los periodos por igual
Es como la “tasa de paciencia”
Es igual a 1/(1+r), lo que hace que tenga una relación inversa con r,la tasa de descuento de la economía
G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos
1
N C
2
N C
2
N C
N C
2
N C
2
N C
N C
2
N C
2
N C
N C
(6, 6) (4, 4)
2
N C
2
N C
(3, 9) (9, 3)
N C
2
N C
2
N C
En forma extensiva =1:
1 1 11(3, 3) (0, 6) (6, 0) (1, 1)
(3, 9) (1, 7)(0, 12) (6, 6) (9, 3) (7, 1)(6, 6) (12, 0) (4, 4) (2, 2)(1, 7) (7, 1)
En valor presente VPi= t-1 Ui (t)
G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos
En forma estratégica =1:
.
Jug 2
Jug 1
NN NC
NN 6
6 9
3
9
3
4
4
CN CC
3
9 12
0
6
6
1
7
9
3 6
6
12
0
7
1
NC
CN4
4 7
1
7
1
2
2CC
Valor presente medio VPM
Normalizamos el valor presente VPi= t=1T t-1 Ui (t) por t=1
T t-1
VPMi= VPi/ t=1T t-1
Si =1: t=1T t-1 = T para juegos finitos
: t=1T t-1 =1/1- para juegos infinitos
Nótese que VPM es una transformación monótona positiva de VP, que no alterael orden de preferencias
G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos
En forma estratégica =1 y en valores medios:
.
Jug 2
Jug 1
NN NC
NN 2
2 4,5
1,5
4,5
1,5
2
2
CN CC
1,5
4,5 6
0
3
3
0,5
3,5
4,5
1,5 3
3
6
0
3,5
0,5
NC
CN2
2 3,5
0,5
3,5
0,5
1
1CC
Juegos repetidos: ENPS
Primer resultado:
Todo EN en el juego de etapa G constituye un ENPS del juego repetido G(T) un númeto T de veces (finita o infinita). Selten (1963)
Con ello, queda garantizada la existencia.
La demostración se basa en que si Uit(st*) Ui(si
t, s-it*), t
T iI entonces: t-1 Ui (s*) t-1 Ui (si, s-i*)
Nótese que en este caso una estrategia pura es si=(si
1,..., sit,..., si
T) una secuencia de acciones en el tiempo
Práctica
¿Cuál sería el EN por inducción hacia atrás (ENPS) del juego repetido planteado anteriormente si T=2?
.
Solución en VPM:
En forma estratégica =1 y en valores medios:
.
Jug 2
Jug 1
NN NC
NN 3
3 4,5
1,5
4,5
1,5
2
2
CN CC
1,5
4,5 6
0
3
3
0,5
3,5
4,5
1,5 3
3
6
0
3,5
0,5
NC
CN2
2 3,5
0,5
3,5
0,5
1
1CC
Solución equivalente en VP:
En forma estratégica =1:
.
Jug 2
Jug 1
NN NC
NN 6
6 9
3
9
3
4
4
CN CC
3
9 12
0
6
6
1
7
9
3 6
6
12
0
7
1
NC
CN4
4 7
1
7
1
2
2CC
Solución por inducción hacia atrás:
1
N C
2
N C
2
N C
N C
2
N C
2
N C
N C
2
N C
2
N C
N C
(6, 6) (4, 4)
2
N C
2
N C
(3, 9) (9, 3)
N C
2
N C
2
N C
En forma extensiva =1:
1 1 11(4, 4) (1, 7) (7, 1) (2, 2)
(3, 9) (1, 7)(0, 12) (6, 6) (9, 3) (7, 1)(6, 6) (12, 0) (4, 4) (2, 2)(1, 7) (7, 1)
En valor presente
Juegos repetidos:
Si sólo existe un EN en el juego de etapa G, éste es el único ENPS del juego repetido G(T) un númeto T finito.
¿Existe alguna otra estrategia (diferente del EN) que sea también ENPS? Nos interesan especialmente aquellas que supongan soluciones cooperativas, que sean más eficientes.
La solución va a depender de varias cuestiones: juegos infinitos y finitos.
Juegos infinitos:
Teorema Folk: Friedman 1971
Si el juego de etapa G tiene un EN ineficiente, por ejemplo s*. Siempre existe un suficientemente alto para el que otro vector x factible y más eficiente, esto es que Ui (x) Ui (s*), iI, es un ENPS del juego repetido infinitamente G(,).
Va a ser posible bajo un sistema de estrategias condicionadas apropiadas. Por ejemplo la estartegia “gatillo”: se trata de jugar x si el otro jugador no se desvía y, si se desvía, pasar a jugar indefinidamente s* a partir de entonces.
Estrategia “gatillo”:
Ocasiona un cambio permanente, si el otro se desvía, que llevaría a la imposibilidad de obtener un resultado más eficiente.
(1) Sin embrago se puede demostrar, que bajo esa “amenaza”, nadie se desvía para un alto. En otras palabras, siempre existe un suficientemente alto, para el que nadie se desvía y se alcanza una solución más eficiente x. La amenaza nunca se realiza, pero sirve para alcanzar el resultado eficiente.
(2) No obstante hay que demostrar que es una amenaza creíble: si uno se desvía, el otro aplica la amenaza.
Estrategia “gatillo”:
(2) Esto es así porque jugar el EN del juego de etapa (la solución ineficiente) es perfectamente creíble por ser la mejor respuesta (es EN de hecho)
(1) Siempre existe un suficientemente alto, para el que nadie se desvía y se alcanza una solución más eficiente x. Hay que ver que esto es verdad y que es creible.
Volvamos al dilema de los presos jugado un número infinito de veces..
Estrategia “gatillo”: (caso =1)
Dilema de los presos jugado un número infinito de veces: si cooperan y se callan obtinen):
VPi(CCC…;CCC...)=3+3+3+...
VPMi(CCC…,CCC...)= VPi / T= 3
Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtienen:
VP2(CNN…,NNN...)=6+1+1+...
VPM2(CNN..,NNN...)=(6+T-1)/T converge a 1 si T
VP1(CNN..,NNN...)=0+1+1+...
VPM1(CNN..,NNM...)= (0+T-1)/T converge a 1 si T
Preferiría cooperar a partir de la tercera etapa ganan los dos
Estrategia “gatillo”: (caso =0)
Dilema de los presos jugado un número infinito de veces: si cooperan y se callan obtinen):
VPi(CCC…,CCC...)=3
VPMi(CCC…,CCC...)= 3
Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtienen:
VP2(CNN…,NNN...)=6
VP1(CNN…,NNN...)=1
Sentiría deseos de desviarse si sólo valora el presente
Estrategia “gatillo”:
Si para =1 los dos prefieren cooperar y para =0 prefienen no cooperar. Dada la continuidad de los pagos con , siempre existe un suficientemente alto, para el decidan cooperar:
VPi(CCC…,CCC...)=3+3+32+...=3/(1-)VPMi(CCC…,CCC...)= 3
Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtiene:
VP2(CNN…,NNN...)=6++2+...=6+/(1-)
En este caso preferiría cooperar a partir de >3/5
VPM2
Gráficamente...
La amenaza gatillo se puede generalizar a todo x más eficiente que (1,1). El requerido será menos exigente a medida que xse acerca al EN del juego (1,1)
(3, 3)
(0, 6)
(6, 0)
(1, 1)
VPM1
x
Juegos finitos:
Existen dos posibles soluciones:
(1) Que existan más de un EN en el juego de etapa
(2) Que exista una probabilidad de que el juego acabe en el periodo t
Juegos finitos (1):
Proposición:
Si el juego de etapa G tiene varios EN ineficientes, por ejemplo s*y s**
, tales que uno sea más eficiente que el otro Ui
(s*) Ui (s**), iI . Existe otro vector x factible y más eficiente, esto es que Ui (x) Ui (s*), iI, que es un ENPS del juego repetido finitamente G(T,), al menos en las primeras etapas del juego t<T.
Va a ser posible bajo el sistema de estrategias condicionadas apropiadas siguiente: se trata de jugar cooperativamente x en t<T y s* en T y si amenazar con jugar s** a partir de que el otro jugador se desvíe. EL ENPS es x en t<T y s* en T (no se desviarán)
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Teoría de juegos:Juegos repetidos
Rafael Salas mayo 2006
