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Guía de Álgebra

Curso Propedéutico 2018

Facultad de Química Academia de Química

Universidad Autónoma de Querétaro

Guía de Álgebra Curso Propedéutico 2018 Facultad de Química

CONTENIDO

Calendario de actividades 3

Parte I – Introducción al Algebra 4

Parte II – Operaciones fundamentales con polinomios 9

A) Reglas de los exponentes y radicales 9

B) Operaciones fundamentales con polinomios 12

Parte III – Productos notables 13

Parte IV – Factorización 15

Parte V – Ecuaciones de primer grado 17

Parte VI – Sistemas de ecuaciones lineales 20

A) Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 21

B) Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 24

Parte VII – Ecuaciones de segundo grado 27

Parte VIII - Logaritmos 30

Respuestas a ejercicios de la guía 33

Bibliografía 36


3

CALENDARIO DE ACTIVIDADES

SESIONES FECHA

NÚMERO NOMBRE

I Introducción al Álgebra 03 de febrero

II Operaciones fundamentales con polinomios 10 de febrero

III Productos notables 17 de febrero

IV Factorización 03 de marzo

V Ecuaciones de primer grado 10 de marzo

VI Sistemas de ecuaciones lineales 17 de marzo

VII Ecuaciones de segundo grado 24 de marzo

VIII Logaritmos 14 de abril

IX Repaso 21 de abril

X Examen 28 de abril


4

Sesión I. Introducción al álgebra

>> Lenguaje Algebraico

Operación Matemática

Palabras relacionadas

Suma Adición, ganar, aumentar, más, crecer, más que, añadir, sumar, exceder, agregar, dentro de x tiempo, etc.

Resta Sustracción, diferencia, menos, disminuir, sustraer, quitar, reducir, bajar, perder, decrecer, hace x tiempo, etc.

Multiplicación Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar. Dos veces, tres veces, etc. Duplo, triple, cuádruplo, etc.

División Dividido por, cociente, razón, mitad, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto, entre, etc.

Igualdad Es, da como resultado, equivalente, significa que, igual a, etc.

Otros términos

Mayor que (>), menor que (<). semi (mitad de algo), Al cuadrado o el cuadrado de (elevado a la 2), al cubo o el cubo (elevado a la 3), consecutivos o sucesor (siguiente), antecesor (antes de), simétrico (inverso aditivo), recíproco (inverso multiplicativo)

Ejercicio 1. Traduce de lenguaje común a lenguaje algebraico.

1.1 El cociente de la suma de dos números sobre tres. _____________

1.2 El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.

_____________

1.3 La diferencia de dos números es mayor que su cociente. _____________

1.4 El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio. _____________

1.5 La suma del doble de un número con otro número. _____________

1.6 La mitad de la raíz de un número. _____________

1.7 La diferencia de dos números multiplicada por otro. _____________

1.8 El cuadrado del triple de un número. _____________

1.9 La mitad de la diferencia de 2 números. _____________

1.10 El cociente del doble del cubo de la diferencia de dos números sobre el triple de su producto.

_____________

1.11 El cociente de la suma de dos números, sobre su diferencia. _____________


5

1.12 El cubo de la semidiferencia de dos números. _____________

1.13 El cubo de la raíz cuadrada de la suma de 2 números. _____________

1.14 El cuadrado del doble de un número. _____________

1.15 El producto de la suma de dos números por su diferencia. _____________

1.16 El triple producto del cuadrado de un número por otro. _____________

1.17 Número de días de x semana. _____________

1.18 Páginas que me faltan para leer de un libro si ya he leído 25. _____________

1.19 El cuadrado de un número menos su mitad. _____________

1.20 Un número sumado a 8 es igual a 15. _____________

1.21 La cuarta parte de un número más 12 es igual a otro número. _____________

1.22 El cubo de un número menos su cuadrado es 100. _____________

Ejercicio 2. Selecciona la respuesta correcta.

2.1 ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de tres números enteros consecutivos”?

a) x2, (x2 + 1), (x2 + 2) b) x2, (x2 + 12), (x2 + 22) c) x2, (1 + x)2, (2 + x)2

d) x, (2x)2, (3x)2 e) x2, 2x2, 3x2

2.2 Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será:

a) (x + 2) b) (x + 3) c) (x + 4) d) (x + 5) e) (x + 6)

2.3 El Club Barcelona mete m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles?

a) 2m + 5 b) 2m – 5 c) m + 15 d) m + 5 e) m - 5

2.4 En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son

a) 𝑝

2 b)

𝑝

4 c)

𝑝

3 d)

𝑝

6 e) 0

2.5 Un alumno debe resolver 3m – 2n ejercicios de álgebra. De estos resultan n – m

correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo? a) 4m – 3n b) 2m – n c) 3m – 2n d) n – 2m e) 3n – 4m

2.6 El “triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico:

a) [3(a – b)]2 b) 3a2 – 4b2 c) 3(a2 – 4b2) d) 3(a – 4b)2 e) 3(a – b4)2


6

2.7 Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

2.8 La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por:

a) 𝑧

2+ 18𝑤 b)

𝑧 ∙ 18 ∙ 𝑤

2 c)

𝑧

2−

18𝑤

2 d)

𝑧 + 18𝑤

2 e)

1

2+ 𝑧 + 18𝑤

2.9 Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior? a) x kg b) 50 kg c) (x – 50)kg d) (x + 50)kg e) (50 – x)kg

2.10 Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenía 10 años?

a) x años b) 10 años c) (x + 20) años d) (20 – x) años e) (x - 20) años

2.11 Si las dimensiones de un rectángulo son (a + x) y (a – x) entonces su área quedará expresada por:

a) (a + x)2 b) (a – x)2 c) 2(a + x) d) a2 – x2 e) a2 + x2

Ejercicio 3. Transforma en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

3.1 𝑎 + 𝑏

2

_______________________________________________________

3.2 𝑎 − 𝑏

2

_______________________________________________________

3.3 𝑎𝑏

2

_______________________________________________________

3.4 𝑎

𝑏; 𝑏 ≠ 0

_______________________________________________________

3.5 2𝑎

7=

2

7

_______________________________________________________

3.6 2n + 1 _______________________________________________________

3.7 (n + 5)(n – 5) _______________________________________________________

3.8 (n + 10)2 _______________________________________________________

3.9 (n – 1)3 _______________________________________________________

3.10 4(n + 8) _______________________________________________________

3.11 5n2 + n + 6 _______________________________________________________


7

Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas

4.1 El precio de 1 kg de naranjas es x pesos. Expresa en lenguaje algebraico:

a) Lo que cuestan 5 kg de naranjas. b) Lo que cuesta ½ kg de naranjas.

c) El dinero que devolverán si se paga con 50 pesos y se compran 3 kg de naranjas

4.2 Si un bolígrafo cuesta p pesos y un lapicero, q pesos, expresa en función de p y q:

a) El precio de 4 lapiceros b) El precio de 5 bolígrafos c) El precio de 3 bolígrafos y 2 lapiceros d) El precio de 10 bolígrafos y 1 lapicero

4.3 Determina la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes

de sus lados son 3 números consecutivos.

4.4 Determina la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la

medida de la base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el

perímetro?

4.5 Determina la expresión algebraica del área de un rectángulo en función de la altura,

sabiendo que sus dimensiones suman 8 cm.

4.6 Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es 2/3 de la altura.

Hallar el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm.

4.7 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de dimensiones a y b.

¿Cuál es el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm?

4.8 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados

iguales son 2/3 del lado desigual.


8

Ejercicio 5. Reduce las siguientes cifras empleando notación científica.

5.1 54 000 000 =

5.2 1 900 000 000 =

5.3 0.00024 =

5.4 Masa en g de una amiba, 0.05 =

5.5 Longitud de onda de un rayo X en cm, 0.000 000 09 =

5.6 Masa de un protón, 0.000 000 000 000 000 000 000 167 248 =

5.7 Velocidad de la luz en el vacío, 30 000 000 000 cm/s =

5.8 Distancia entre Sol y Tierra, 149 700 000 000m =

5.9 mm que equivalen a un angstrom, 0.000 000 1 =

5.10 fm que equivalen un metro, 0.000 000 000 000 001 =

Ejercicio 6. Convierte cada número a la notación normal.

6.1 1.53x102 =

6.2 6.85x109 =

6.3 3.31 x104 =

6.4 7.96 x105 =

6.5 3.7 x10-4 =

6.6 4.12 x10-5 =

6.7 1.0 x100 =

6.8 5.345 x10-9 =

6.9 75.6 x10-4 =


9

Sesión II. Operaciones fundamentales con polinomios

A) REGLAS DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

Producto Cociente Potencias de potencias

𝒂𝒙 ∙ 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦 (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥∙𝑦

Exponente negativo Exponente cero Exponente

fraccionario Potencia de fracción

𝒂−𝒙 =𝟏

𝒂𝒙 𝑎0 = 1 𝑎

𝑥

𝑦 = √𝑎𝑥𝑦 (

𝑎

𝑏)

𝑥

=𝑎𝑥

𝑏𝑥

Ejercicio 1. Empleando las reglas de los exponentes, simplifica las siguientes expresiones.

1.1 m5 ∙ 2m 1.15 (w2x-1)2

1.2 n-6 ∙ 2n-3 1.16 (2a4)-1

1.3 4p-3 ∙ 2p2 1.17 (-2q4r-3)-2

1.4 4q2 ∙ 5p-5 1.18 (3t3)4(4s2)-3

1.5 3r5 ∙ 8r

1.19 (1

3𝑥4𝑦−3)

−2

1.6 (1

2𝑥4) (16𝑥5)

1.20

𝑔−1

4𝑔4

1.7 (1

6𝑎5) (16𝑥5)

1.21

𝑘4

2𝑘4

1.8 (3x7y3)(4x4y-5)

1.22 2𝑎3𝑏−3𝑐4

3𝑏𝑐

1.9 (8g4z-3) (1

2𝑔−5𝑧4)

1.23

2𝑑4𝑔−4ℎ−3

3𝑑2𝑔−3ℎ4

1.10 (5m2n-3)(4m-5n4)

1.24 2𝑑4𝑔−4ℎ−3

3𝑑2𝑔−3ℎ4

1.11 𝑦2

2𝑦3 1.25

4𝑎0𝑏−2𝑐3

3𝑎

1.12 (x2)0 1.26 3𝑥3𝑦−1𝑧−1

𝑥−4𝑦0𝑧0

1.13 (2x2)-4 1.27 (2𝑠3)(3𝑠2)

(𝑠2)3

1.14 (4h0)4


10

Ejercicio 2. Simplifica las siguientes expresiones y expresa el resultado empleando únicamente exponentes positivos.

2.1 (𝑎−2𝑏−3)4

2.12

2.2 (𝑐−3)−3 ∙ 2𝑑−1

2.13

2.3 (𝑔3)3 ∙ 2ℎ−1

2.14

2.4

2.15

2.5

2.16

2.6

2.17

2.7

2.18

2.8

2.19

2.9

2.20

2.10

2.21

2.11

2.22

Ejercicio 3. Expresa las siguientes expresiones algebraicas en su forma exponencial.

3.1 √72 3.5 √2

3+

1

4

3.2 √163

3.6 √𝑑34

3.3 √𝑎35 3.7 √(𝑔 + ℎ)33

3.4 √𝑏4𝑐63 3.8 √𝑘2 + 𝑚25


11

Propiedades de los radicales

Suma 𝒙 ∙ √𝒂𝒏

+ 𝒚 ∙ √𝒂𝒏

= (𝒙 + 𝒚) √𝒂𝒏

Resta 𝑥 ∙ √𝑎𝑛

− 𝑦 ∙ √𝑎𝑛

= (𝑥 − 𝑦) √𝑎𝑛

Producto √𝑥𝑦𝑛 = √𝑥𝑛

∙ √𝑦𝑛

Cociente √ 𝑥

𝑦

𝑛

=√𝑥𝑛

√𝑦𝑛

Ejercicio 4. Cambia a la notación con radical las siguientes expresiones.

4.1

4.4

4.2

4.5

4.3

4.6

Ejercicio 5. Cambia a la notación con radical y simplifica de ser posible las siguientes

expresiones.

5.1

5.6

5.2

5.7

5.3

5.8

5.4

5.9

5.5

5.10

Ejercicio 6. Simplifica las expresiones siguientes.

6.1

6.6

6.2

6.7

6.3

6.8

6.4

6.9

6.5

6.10


12

Ejercicio 7. Simplifica la expresión.

7.1 (3𝑎2𝑏)2(2𝑎𝑏3) 7.4

7.2

7.5

7.3

B) OPERACIONES FUNDAMENTALES CON POLINOMIOS

Ejercicio 8. Simplifica.


13

Sesión III. Productos notables

(a + b)(a2 – ab + b2)

a3 + b3

Suma de cubos

Ejemplo:

(q + 2)(q2 – 2q + 4)

q3 + 8

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 –

ab2 + b3

= a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2)

a3 – b3

Diferencia de cubos

Ejemplo:

(3m – n)(9m2 + 3mn + n2)

27m3 – n3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 –

ab2 – b3

= a3 – b3

(a + b + c)2

Trinomio al cuadrado

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo:

(m + n + 5)2

m2 + n2 + 25 + 2mn + 10m+ 10n

(a + b + c)2 = (a + b + c) (a + b + c)

= a2 + ab + ac + ba + b2 + bc

+ ca + cb + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bc


14

Ejercicio 1. Desarrolla los siguientes productos notables.

1.1 (𝑎 + 5)2 1.14 (y𝑎+1 + z𝑏-2)2

1.2 (15𝑏 + 10𝑐)(15𝑏 − 10𝑐) 1.15 (15𝑎

7+ 4𝑏) (

15𝑎

7− 4𝑏)

1.3 (𝑑 + 5)(𝑑 + 3) 1.16 (3c + 9)(3c – 6)

1.4 (2 + 𝑔)(4 − 2𝑔 + 𝑔2) 1.17 (2 + 𝑑𝑔)(4 – 2𝑑𝑔 + 𝑑2𝑔2)

1.5 (7ℎ − 𝑗)2 1.18 (5𝑗

6+ 5𝑘) (

5𝑗

6− 5𝑘)

1.6 (𝑣 − 12)(𝑣 − 7) 1.19 (4𝑙3 + 15) (4𝑙3 + 5)

1.7 (15 + 2𝑘)(15 − 2𝑘) 1.20 (2 – 𝑚2)(4 + 2𝑚2 + 𝑚4)

1.8 (𝑙 + 9)(𝑙 − 6) 1.21 (3𝑛

5−

5𝑝

3)

2

1.9 (2 − 𝑚)(4 + 2𝑚 + 𝑚2) 1.22 (5q + 10r)(5q – 10r)

1.10 (𝑎𝑛𝑝2 + 6𝑞𝑟3)2 1.23 (5st + 10u)(6st – 9u)

1.11 (9𝑠𝑡 + 8𝑢)(9𝑠𝑡 − 8𝑢) 1.24 (3 + v)(9 – 3v + v2)

1.12 (4𝑤 + 𝑥)(16𝑤2 − 4𝑤𝑥 + 𝑥2) 1.25 (𝑥𝑦4

5−

6𝑧

3)

2

1.13 (8 – h)2 1.26 (7a2 – 12b3)(7a2 + 12b3)

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12 2.13 2.14 2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20


15

Sesión IV. Factorización

Ejercicio 1. Factoriza.

1.1 𝑎2 + 𝑎𝑏 1.17 3𝑢2 – 7𝑣2 𝑤 + 3𝑢𝑤 – 7𝑢𝑣2

1.2 𝑐 + 𝑐2 1.18 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4

1.3 𝑑3 + 𝑑2 + 𝑑 1.19 4𝑎4 + 12𝑎2𝑏2 + 9𝑏4

1.4 𝑔(ℎ + 1) + 𝑗(ℎ + 1) 1.20 4𝑐8 − 28𝑐4𝑑4 + 49𝑑8

1.5 (𝑘 + 3)(𝑘 + 1) − 4(𝑘 + 1) 1.21 1 + 𝑔3

1.6 3𝑙(𝑙 − 2) − 2𝑚(𝑙 − 2) 1.22 1 − ℎ3

1.7 𝑛(𝑝 + 2) + 𝑝 + 2 1.23 𝑘3 + 𝑚3

1.8 𝑟2 + 𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 1.24 𝑛3 − 𝑝3

1.9 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑤2 + 2𝑢𝑣 1.25 27𝑞3 − 𝑟3

1.10 2𝑥2 + 10𝑥 − 𝑥𝑦 − 5𝑦 1.26 𝑠3 – 1

1.11 4𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑑 − 𝑑2 1.27 64 + 𝑡6

1.12 𝑔 − 𝑔2 + 𝑔3 − 𝑔4 1.28 𝑢3 − 125

1.13 ℎ4 + ℎ2 + 1 1.29 1 − 216𝑣3

1.14 3𝑘3 − 9𝑗𝑘2 − 𝑘 + 3𝑗 1.30 𝑤8 + 4𝑤4 + 4

1.15 𝑚2𝑛 − 5𝑝2𝑞2 − 𝑚2𝑞2 + 5𝑝2𝑛 1.31 16𝑥4 − 24𝑥2𝑦2 + 9𝑦4

1.16 4𝑟𝑠3 − 12𝑟𝑠𝑡 − 𝑠2 + 3𝑡

Ejercicio 2. Factoriza los binomios siguientes.

2.1 𝑎2 − 1 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) 2.10 (𝑣 + 𝑤)2 − 𝑥4

2.2 𝑏2 − 9 2.11 𝑦4 − 81𝑧12

2.3 9𝑐2 − 64 2.12 225𝑎4 − 16𝑏8𝑐4

2.4 16𝑑4 − 81𝑔2 2.13 100𝑑2𝑔4ℎ6 − 169𝑗10

2.5 144ℎ2 − 𝑗4 2.14 𝑘10 − 𝑚10

2.6 4𝑘2 – 9𝑙 2.15 36𝑛8𝑝6 − 49𝑞4

2.7 64𝑚6 − 121𝑛2 2.16 81 − 196𝑟6

2.8 (𝑝 − 𝑞)2 − 𝑟2 2.17 𝑠4 − 16

2.9 256𝑠4𝑡4 − 𝑢8


16

Ejercicio 3. Factoriza los trinomios siguientes

3.1 𝑎2 + 7𝑎 + 10 3.9 −300 − 20𝑚 + 𝑚2

3.2 𝑏2 – 5𝑏 + 6 3.10 −2𝑛 − 168 + 𝑛2

3.3 𝑐2 − 3𝑐 + 2 3.11 𝑝2 + 24𝑝 + 135

3.4 𝑑2 + 5𝑑 − 24 3.12 𝑞2 + 12𝑞 − 364

3.5 𝑔2 + 7𝑔 + 6 3.13 𝑟2 + 50𝑟 + 336

3.6 ℎ2 − 13ℎ − 14 3.14 𝑠2 + 43𝑠 + 432

3.7 𝑗2 + 15𝑗 + 54 3.15 𝑡2 − 8𝑡 − 1008

3.8 7𝑘 + 𝑘2 − 60

Ejercicio 4. Factoriza los trinomios siguientes.

4.1 2𝑎2 + 3𝑎 − 2 4.9 𝑚 − 6 + 15𝑚2

4.2 3𝑏2 − 5𝑏 − 2 4.10 15𝑛2 + 2 − 13𝑛

4.3 6𝑐2 + 7𝑐 + 2 4.11 18𝑝2 − 3𝑝 − 10

4.4 5𝑑2 + 13𝑑 − 6 4.12 6𝑞2 + 17𝑞 + 12

4.5 20𝑔2 + 𝑔 − 1 4.13 6𝑟2𝑠2 − 17𝑟𝑠𝑡 + 12𝑡2

4.6 8ℎ2 − 14ℎ − 15 4.14 9𝑢2 + 3𝑢 − 2

4.7 16𝑗 + 15𝑗2 − 15 4.15 21𝑣4 − 10𝑣3 − 16𝑣2

4.8 2𝑘2 + 5𝑘 + 2


17

Sesión V. Ecuaciones de primer grado

Ejercicio 1. Encuentra la solución a las siguientes ecuaciones lineales.

1.1 5 + 6x = 2 1.14 5n – 2n + 12 = 35 – 4n – 9

1.2 4b + 1 = –18 1.15 3k – 15 + 2k – 14 = k – 11

1.3 5 – 2d = 9 1.16 2(b + 2) – 5(2b – 3) = 3

1.4 –3a + 1 = 4 1.17 5s + (4 – s) = 9 – (s – 6)

1.5 3t + 6 = 8t – (3 – 2t) 1.18 3z – 1 = 2(z – 1)

1.6 18c – 3 = 0 1.19 48p – 13 + 12p = 72p – 3 – 24p

1.7 13 – h = 13 1.20 (8v – 5) + (6 – 7v) – 1 = 7 – (v – 1) + (4v + 4)

1.8 –2 – 5g = 0 1.21 (3w – 8) – (4 – 9w) + 3 = 7w – 2 – (5w + 9 - 3)

1.9 12y = 3(3y – 5) 1.22 -(4x – 6 + 5x) + (9 – 5x + 3 – 2x) = 7x – (1 – 6x)

1.10 5j – 9 = 3j + 5 1.23 -2(d+7) – (3d + 5) = 2d + (4d – 9 + 3d) – (d – 3)

1.11 –4x = 7 – 6x 1.24 21 – [5g – (3g – 1)] – g = 5g – 12

1.12 5m – 3.2 = 2m + 2.8 1.25 2[7p – 2(p – 1)] + 3(4p + 7) = 5 – (p – 1)

1.13 2k + 7 = 12 – 3k

Ejercicio 2. Obtén la solución de cada uno de los siguientes ejercicios.

2.1 3[2 – (3j – 6)] + 4[6j – (1 – 2j)] = 4 -5j

2.2 3[2x – (5x + 2)] + 1 = 3x – 9(x – 3)

2.3 34 – 52(12n – 34) + 235 = 32 + 101(35n – 1)

2.4 2 – {2m + [2m – (2 – 2m)]} = 2

2.5 8(6f – 14) – 7(12 – 5f) + (23f + 2) – (2f + 65) = 0

2.6 8{2 – [q + 2(q – 3)] + 1} = 3 – (8 – 3q)

2.7 (2v – 4)2 + 6v – 3 = 4v2 – (3v – 1)

2.8 (3x – 3)2 – (2x – 7) = (3x – 5)(3x + 5)

2.9 2𝑐

7=

3

4

2.10 2 – {k – [6k – (1 – 2k)]} = 100

2.11 240h – [24 – (6h + 8) – (5 – 2h)] = 3 – (8h – 12)

2.12 (t – 3)2 – (t – 2)2 = 5

2.13 (w + 3)2 + 4 = (w – 2)2 + 5w – 2

2.14 𝑏

5=

1

2


18

Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas. 4.1 ¿Cuál es el número multiplicado por 5 que sumado con el mismo número multiplicado por 6

da 55? 4.2 ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? 4.3 El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el

número? 4.4 Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? 4.5 El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de este último es

147. Hallar el número. 4.6 Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m. Calcular el

largo y el ancho. 4.7 Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide

el lado?

4.8 Hernán tiene el doble de dinero que Gladys y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14.00 a Gladys y $ 35.00 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

4.9 El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le

suma 3, la fracción queda equivalente a 4⁄3. Hallar la fracción.

4.10 Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

3.6

3.7

3.8

k

3.2


19

4.11 La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4,600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

4.12 La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el

cociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.

4.13 Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por

27, la suma de los cocientes sea 12.

4.14 Un trozo de alambre de 28 cm de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina

la distancia entre sus extremos, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.

4.15 Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La

mitad de mis alumnos estudia matemáticas, la cuarta parte estudia física, la séptima parte aprende filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

4.16 Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de papas, una dueña de casa pagó $ 119.00. ¿Cuánto vale

el kg de tomates, sabiendo que es $ 14.00 más caro que el kg de papas?

4.17 La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60.00 adulto y $ 25.00 niños. La

recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14,000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

4.18 En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en

1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer, 7, sumando en total 144 monedas. Se pregunta ¿cuántos hombres y cuántas mujeres son?”

4.19 Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5,050.00. Calcula los precios respectivos,

si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

4.20 Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su

consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más?, si con esto el canasto se vació, ¿puedes calcularlo tú?


20

Sesión VI. Sistemas de ecuaciones lineales

Es posible obtener el valor de incógnitas si se tiene un sistema igual de ecuaciones al número de las incógnitas. Dentro de los métodos más utilizados son:

a) Suma / Resta

b) Sustitución

c) Igualación

d) Gráfico

e) Determinantes

Independientemente del método elegido, el valor de las incógnitas es el mismo, por lo que podrá seleccionar cualquiera de ellos.

> Determinantes (Matrices) El determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue

introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado

como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. La

aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar.

Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi

simultáneamente.

Para el caso de la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 = 𝐶1

𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 = 𝐶2

Primero hacer el valor del determinante (D)

Entonces:

𝐷 = (𝐴1)(𝐵2) − (𝐴2)(𝐵1)

Para encontrar el valor de (x)

𝐷𝑋 = |𝐶𝐶12 𝐵𝐵12|

Entonces:

𝐷𝑋 = (𝐶1)(𝐵2) − (𝐶2)(𝐵1)


21

Para encontrar el valor de (y)

Entonces:

A) SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por

cualquiera de los métodos anteriormente mencionados.

1.1 𝑦 = 𝑥 1.8

𝑥 + 𝑦 = 4

1.2 𝑦 = 𝑥 + 2 1.9

𝑥 + 2𝑦 = 16

1.3 𝑥 − 𝑦 = 2 1.10

2𝑥 + 𝑦 = 13

1.4 𝑥 − 𝑦 = −4 1.11

3𝑥 − 2𝑦 = −5

1.5 2𝑥 + 3𝑦 = 8 1.12

3𝑥 − 2𝑦 = −1

1.6 8𝑥 − 4𝑦 = 16 1.13

2𝑥 − 4 = 𝑦

1.7 2𝑦 − 3𝑥 = −13 1.14

3𝑥 − 17 = 4𝑦

Ejercicio 2. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas.

2.1 Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos compartimientos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un compartimiento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento?


22

2.2 Una parte de $ 80,000.00 se invirtió a una tasa de interés del 10, y el resto al 12%. Si los ingresos anuales por esas inversiones fueron $ 9000.00 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

2.3 Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La

velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil.

2.4 Un automóvil y un camión salen de Querétaro al mismo tiempo, en direcciones opuestas.

Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más que el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil?

2.5 Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos

unitarios de fabricación que aparecen a continuación:

Modelo Costo de materiales Costo de mano de obra

Carreras $ 255.00 $ 260.00

Montaña $ 270.00 $ 290.00

La empresa ha considerado un presupuesto de $ 153,500.00 para gastos de mano de obra y $ 145,500.00 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?

2.6 Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe recibir 15.0 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea dos mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla:

Mezcla Proteínas Carbohidratos A 12 % 9 %

B 15 % 5 %

¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas de nutriente a cada animal?

2.7 Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $ 600.00 de costo de mantenimiento y $ 4.00 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento de $ 1,000.00 y costo por placa de $ 2.00. Calcula el punto de equilibrio.

2.8 Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $ 2,100.00, y se puede imprimir determinado libro en $ 59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos de arreglo de $ 3510.00, y puede imprimir el mismo libro en $ 59.50. Determina el punto de equilibrio.

2.9 Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario: i. Una comisión directa del 7.00 % ii. $ 1,500.0 Mensuales más una comisión del 2.00 %.


23

a) ¿Cuánto debe vender para obtener la misma retribución en cualquier plan? b) Si vende menos ¿Qué plan le conviene? ¿Y si vende más?

2.10 Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos complementarios mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo.

2.11 La fórmula es para convertir grados Fahrenheit (°F) en grados Celsius (°C). ¿Cuándo será la temperatura en °C la misma que en grados °F?

2.12 Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo Au de 975 milésimas y Au de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?

2.13 Un comerciante compró dos relojes distintos por 18.00 € y los vendió por 19.35 €. ¿Cuánto pesos pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%? (Considere que 1.00 € equivale a $ 19.50 pesos).

2.14 Se tienen dos soluciones de la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 15. La primera 𝑥 = 2 e 𝑦 = −1 y la segunda solución 𝑥 = −2 e 𝑦 = −29. Calcula a y b.

2.15 Dos líquidos de densidades 0.7 kg/L y 1.3 kg/L se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0.9 kg/L. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 litros.

2.16 Un vinatero poseía 760 litros de vino de $ 82.50 por litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $ 72.00 por litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $ 75.00 el litro?

2.17 Se ha comprado alcohol de quemar a $ 25.00 el litro y se ha mezclado con otro de $ 27.00 el litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100.00 litros de mezcla de $ 25.50 por litro.

2.18 Dos grifos han llenado un depósito de 31.0 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro, 3 horas. ¿Cuántos litros vierten por hora cada grifo?

2.19 Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

2.20 En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4.0 ml a la cantidad utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250.0 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada producto?

a) 47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B b) 774.0 / 5 ml de A y 238.0 /5 ml de B c) No está la respuesta


24

2.21 Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque?

a) No está la respuesta b) 270 doradas y el resto truchas c) 248 doradas y 180 truchas

2.22 Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro

depósito B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al 30% en volumen.

2.23 Un depósito A contiene 40 litros de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg. Otro depósito B contiene 120 litros de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 litros de solución cuya concentración sea de 1.5 kg/litro.

2.24 Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos de zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una tercera aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre.

2.25 Una aleación cuya masa es de 600.0 kg está compuesta por 100.0 kg de cobre y 50.0 kg de estaño. Otra aleación de 1000.0 kg está compuesta por 300.0 kg de cobre y 150.0 kg de estaño. Hallar las masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos aleaciones dadas para obtener una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de estaño. Los tantos por ciento son en masa.

2.26 Se tiene una solución de ácido clorhídrico con una concentración al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada una se debe mezclar para obtener 100.00 ml de una solución al 68%? (Los tantos por ciento son en volumen).

B) SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS

>> Resolución para un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas por determinantes

Si se tiene el siguiente sistema:

𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 + 𝐶1𝑍1 = 𝐸1

𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 + 𝐶2𝑍2 = 𝐸2

𝐴3𝑋3 + 𝐵3𝑌3 + 𝐶3𝑍3 = 𝐸3


25

Primero hallar el valor del determinante (D)

𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

𝐷 = 𝐴3 𝐵3 𝐶3

𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

Entonces: 𝐷 = [(𝐴1)(𝐵2)(𝐶3) + (𝐴2)(𝐵3)(𝐶1) + (𝐴3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(𝐴3) + (𝐶2)(𝐵3)(𝐴1) + (𝐶3)(𝐵1)(𝐴2)]

Para encontrar el valor de x:

𝐸1 𝐵1 𝐶1

𝐸2 𝐵2 𝐶2

𝐷𝑋 = 𝐸3 𝐵3 𝐶3

𝐸1 𝐵1 𝐶1

𝐸2 𝐵2 𝐶2

Entonces:

𝐷x = [(E1)( 𝐵2)(𝐶3) + (E2)(𝐵3)(𝐶1) + (E3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(E3) + (𝐶2)(𝐵3)(E1) + (𝐶3)(𝐵1)(E2)]

Para encontrar el valor de (y):

𝐴1 E1 𝐶1

𝐴2 E2 𝐶2

𝐷Y = 𝐴3 E3 𝐶3

𝐴1 E1 𝐶1

𝐴2 E2 𝐶2

Entonces:

𝐷Y = [(𝐴1)(E2)(𝐶3) + (𝐴2)(E3)(𝐶1) + (𝐴3)(E1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(E2)(𝐴3) + (𝐶2)(E3)(𝐴1) + (𝐶3)(E1)(𝐴2)]

Para encontrar el valor de z:

𝐴1 𝐵1 𝐸1

𝐴2 𝐵2 𝐸2

𝐷𝑍 = 𝐴3 𝐵3 𝐸3

𝐴1 𝐵1 𝐸1

𝐴2 𝐵2 𝐸2

Entonces:

𝐷z = [(𝐴1)(𝐵2)(E3) + (𝐴2)(𝐵3)(E1) + (𝐴3)(𝐵1)(E2)] − [(E1)(𝐵2)(𝐴3) + (E2)(𝐵3)(𝐴1) + (E3)(𝐵1)(𝐴2)]


26

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes problemas. 1.1 Un artista hace tres tipos de esculturas de cerámica, con un costo mensual de $ 650.00 por

180 piezas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $ 5.00, $ 4.00 y $ 3.00 respectivamente. Si vende sus esculturas a $ 20.00, $ 12.00 y $ 9.00 respectivamente, ¿cuántas piezas de cada tipo debe fabricar para obtener $ 2,100 de ingresos mensuales?

1.2 En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener exactamente 11 gramos de grasas, 10 gramos de carbohidratos y 6 gramos de proteínas?

Alimento Grasas Proteínas Carbohidratos

A 1 1 2

B 2 1 1

C 2 1 2

1.3 Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el

tiempo necesario para cortar, coser y empacar cada prenda. ¿Cuántas prendas de cada una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo?

Actividad Sacos Camisas Pantalones Tiempo disponible

Corte 20 min 15 min 10 min 115 horas

Costura 60 min 30 min 24 min 280 horas

Empaque 5 min 12 min 6 min 65 horas

1.4 Una fábrica produce tres tipos de balones de fútbol, con un costo mensual de $24,250.00 por

cada 1125 balones. Los costos de fabricación son $ 40.00, $ 30.00 y $ 20.00. Estos balones se venden en $ 160.00, $ 120.00 y $ 100.00, respectivamente. ¿Cuántos balones de cada tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $ 92,750.00?

1.5 Un tendero quiere mezclar cacahuates de $20.00 el kg, almendras de $ 35.00 kg y nueces de la India de $ 25.00 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $ 25.00 el kg. Usó 15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada producto debe utilizar?


27

Sesión VII. Ecuaciones de segundo grado

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras.

1.1 3𝑥2 = 48 1.5

1.2 5𝑥2 − 9 = 46 1.6

1.3 7𝑥2 + 14 = 0 1.7

1.4 9𝑥2 − 𝑎2 = 0 1.8

Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas.

2.1 𝑥2 = 5 2.5

2.2 4𝑥2 = −32𝑥 2.6

2.3 𝑥2 − 3𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 2.7

2.4 5𝑥2 + 4 = 2(𝑥 + 2) 2.8

Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas.

3.1 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 3.14 𝑥 (𝑥 + 3) = 5 𝑥 + 3

3.2 𝑥2 − 2𝑥 − 15 =0 3.15 3(3𝑥 – 2) = (𝑥 + 4)(4 – 𝑥)

3.3 𝑥2 = 19𝑥 − 88 3.16 9𝑥 + 1 = 3(𝑥2 −5) − (𝑥−3)(𝑥+2)

3.4 𝑥2 + 34𝑥 = 285 3.17 (2𝑥 – 3)2 – (𝑥 + 5)2 = −23

3.5 5(𝑥 − 1) − 2(2𝑥2 − 7𝑥) = −8 3.18 25(𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 7)2 − 81

3.6 𝑥2 − (7𝑥 + 6) = 𝑥 + 59 3.19 3(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3)

3.7 (𝑥–1)2 + 11𝑥 + 199 = 3𝑥2 –( 𝑥-2)2 3.20

3.8 (𝑥−2)(𝑥+2) – 7(𝑥−1) = 21 3.21

3.9 2𝑥2 – (𝑥 – 2)( 𝑥 + 5) = (𝑥 + 3) 3.22

3.10 (𝑥–1)(𝑥+2) – (2𝑥 – 3)(𝑥+4) – 𝑥 = –14 3.23

3.11 3.24

3.12

3.25

3.13

3.26


28

Ejercicio 4. Plantea y resuelve los siguientes problemas usando ecuaciones cuadráticas.

4.1 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.

4.2 El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

4.3 Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros.

4.4 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

4.5 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

4.6 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

4.7 Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 26⁄5.

4.8 Dos tuberías (A y B) llenan juntos una piscina en dos horas. Si A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada tubería separadamente?

4.9 Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

4.10 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

4.11 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

4.12 Un automovilista recorre 240 km a velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido de 5 km menos por hora, hubiera empleado 12 minutos más en su recorrido. ¿Cuál fue su velocidad?

4.13 Los integrantes de una agrupación juvenil compraron un tostador de pan por $240.00. El dinero que pagó cada integrante equivale al número de personas aumentado en 14. ¿Entre cuántos integrantes compraron el tostador?


29

4.14 Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 m, el área del rectángulo resultante supera en 32m2 al área del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado.

4.15 Pedro compró cierto número de relojes por $192.00. Si el precio de cada reloj es ¾ del

número de relojes, ¿cuántos relojes compró?

4.16 ¿Cuánto debe medir el diámetro de una pizza para que tenga la misma área que dos pizzas

de 12 cm de radio? ¿Se come más con una pizza de 18 cm de radio o con dos de 12 cm de radio?

4.17 De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen de

ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿Qué ancho debe tener ese margen?

4.18 Un conjunto de personas alquiló un autobús en $1200.00; como 3 personas no fueron, las

demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿Cuántas viajaban originalmente?

4.19 Un inversionista compra acciones por $18,750.00; se reserva 15 y vende el resto a

$17,400.00, ganando $40.00 por acción vendida sobre su precio de costo. ¿Cuántas acciones compró?

4.20 Un tren por una nevada debió marchar a 5 km/h más despacio que su velocidad habitual.

De esa manera tuvo un retraso de 1 hora en 280 km de recorrido. ¿Cuál es su velocidad habitual?

4.21 Halle dos fracciones inversas cuya suma es trece sextos.


30

Sesión VIII. Logaritmos

El logaritmo 𝐿 de un número -m de base x (donde x > 0, x ≠ 1) es el exponente que indica la potencia a la cual la base x debe elevarse a fin de producir m.

DEFINICIÓN SIMBÓLICA

𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒎 = 𝒏 𝒙𝒏 = 𝒎

La abreviación de la frase “logaritmo de base x de m” es logx m.

PROPIEDADES

Suma-Producto log𝑥 𝑚 + log𝑥 𝑛 = log𝑥 𝑚𝑛

Resta-Cociente log𝑥 𝑚 − log𝑥 𝑛 = log𝑥

𝑚

𝑛

Potencia log𝑥 𝑚𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑥 𝑚

Raíz log𝑥 √𝑚𝑛

=log𝑥 𝑚

𝑛

Exponente logarítmico 𝑥 log𝑥 𝑚 = 𝑚

𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟏 = 𝟎 log𝑥 𝑥 = 1 log𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛

Ejercicio 1. Usando la definición simbólica del logaritmo, encuentra el valor faltante.


31

Ejercicio 2. Usando las leyes de los logaritmos, simplifica las siguientes expresiones.

2.1 log3 𝑥 + log3 𝑥 2.9

2.2 log20 9 − log20 2𝑥 2.10

2.3 log8 𝑥2 + log8 𝑥 2.11

2.4 log𝑏 4𝑐 − log𝑏 4𝑐 2.12

2.5 log4(𝑥 − 3) + log

4(𝑥 + 3) 2.13

2.6 log7(4 − 𝑥) − log

7(1 − 𝑥) 2.14 3(log5 √𝑥

3) + 5(log5 √𝑥

5)

2.7 log√3

𝑥 + log√3

𝑥5 − log√3

𝑥2 2.15 log3

𝑥 + log3(𝑥 − 2) − log

7𝑥(𝑥 − 2)

2.8 log√5

(𝑥 − 1) + log√5

𝑥 − log√5

𝑦

Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones.

3.1 5x = 3 3.8 32x–1 = 2187

3.2 (1

2)

𝑥

= 4 3.9 112x = 915

3.3 0.2x = 0.0016 3.10 2x = 8

3.4 9x = 0.576 3.11 3x+1 = 81

3.5 3x+1 = 729 3.12 4x+1 = 8x

3.6 5x-2 = 625 3.13 7x–3 = 49

3.7 23x+1 = 128 3.14 4𝑥2+3𝑥 = 28

Ejercicio 4. Resuelva los siguientes problemas.

4.1 Calcule el pH de una disolución de ácido perclórico 0.03 M.

4.2 Calcule el pH de una disolución 0.05 M del hidróxido de sodio.

4.3 Para determinar la concentración de alcohol en la sangre de un automovilista, se utiliza la

siguiente ecuación: 𝑅 = 6𝑒𝑘𝑥, donde R indica el riesgo (dado como porcentaje), x es la

concentración de alcohol en la sangre y k una constante.

Si una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R=10) de sufrir

un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?


32

4.4 Utilizando el valor de k del ejercicio anterior, indique ¿cuál es el riesgo para diferentes

concentraciones de alcohol (0.17, 0.19. 0.25)?

4.5 Con el mismo valor de k del ejercicio 4.4, indique la concentración de alcohol

correspondiente a un riesgo del 100%.

4.6 Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente

no deben conducir vehículos, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un

conductor ser arrestado y multado?

4.7 Cierta colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido.

N(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑘𝑡

Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en

triplicar su número?

4.8 ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1 milímetros a una

distancia de 100km del epicentro? Utiliza la siguiente ecuación:

Donde M es la magnitud, x los milímetros que tiene una magnitud M(x) y 𝑥0 = 10−3 (lectura

de un terremoto de nivel cero a una distancia de 100km del epicentro).

4.9 El devastador terremoto de México en 1985 midió 8.1 en la escala de Richter. ¿Cómo se

compara este terremoto con el terremoto de Haití en 2010 que midió 7.3 en la escala de

Richter?


33

RESPUESTAS A EJERCICIOS

Página 12

7.1 18𝑎5𝑏5 7.2 𝑐𝑑3

9 7.3

−𝑔8

2ℎ 7.4

𝑗3𝑚

𝑘10 7.5 𝑝6

𝑛2

Página 14

2.3 4𝑔10

ℎ2 −4𝑔5𝑗10

ℎ𝑘+

𝑗20

𝑘2 2.6 8 +𝑛3

8 2.9 1728 + 𝑣3 2.17 27𝑝9 − 189𝑝6𝑞𝑟4 +

441𝑝3𝑞2𝑟8 − 343𝑞3𝑟12 2.20 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧

Página 15 1.5 (k + 1)(k - 1) 1.7 (n + 1)(p + 2) 1.9 [(u + v) – w] [(u + v) + w] 1.11 (2b + c – d)(2b – c + d) 1.15 (m2 + 5p2)(n – q2) 1.25 (3q – r)(9q2 + 3qr + r2) 1.27 (4 + t2)(16 – 4t2 + t4) 2.10[(v + w) + x2][(v + w) – x2] 2.13 (10dg2h3 + 13j5)(10dg2h3 – 13j5) 2.15 (6n4p3 + 7q2)(6n4p3 – 7q2) Página 16 3.8 (k – 5)(k + 12) 3.9 (m + 10)(m – 30) 3.13 (r + 8)(r + 42) 3.15 (t – 36)(t + 28) 4.1 (2a – 1)(a + 2) 4.3 (3c + 2)(2c + 1) 4.5 (5g – 1)(4g + 1) 4.7 (3j + 5)(5j – 3) 4.9 (3m + 2)(5m – 3) 4.11 (6p – 5)(3p + 2) 4.13 (3rs – 4t)(2rs – 3t) 4.15 (7v2 – 8v)(3v2 + 2v) Página 17

1.1 𝑥 = −1

2 1.3 d = – 2 1.5 𝑡 =

9

7 1.7 ℎ = 0 1.9 𝑦 = – 5 1.11 𝑥 =

7

2 1.13 𝑘 = 1

1.15 𝑘 = 9

2 1.17 𝑠 =

11

5 1.19 p =

5

6 1.21 w =

1

10 1.23 d = – 1 1.25 p = −

19

23

2.7 v =12

7 2.9 c =

21

8 2.11 h =

13

126 2.13 w = −

11

5

Página 18

3.2 b = −46

15 3.4 w = 2 3.6 h =

76

47 3.8 k =

7

68 3.10 q =

539

73

4.2 p – 3 4.4 25, 27, 29 4.6 largo = 26.25m, ancho = 43.75m 4.8 Hernán = $126, Gladys = $63, María = $42 4.10 656, 424 4.12 68, 30 4.14 20 cm 4.16 $25 4.18 16 mujeres, 4 hombres 4.20 30 ciruelas Página 21 1.1 x = 2 y = 2 1.3 x = 5 y = 3 1.5 x = 1 y =2 1.7 x = 3 y = –2 1.9 x = 3/4 y = 1/3 1.11 rectas paralelas 1.13 x = 4 y = 8 Página 22 2.1 400 y 550 libras 2.2 $50,000.00 al 12% y $30,000.00 al 10% 2.3 Velocidad avión = 198 mi/h, automóvil = 55 mi/h 2.4 210 millas 2.5 200 bicicletas de carreras y 350 de montaña 2.6 50 g mezcla A y 60 g mezcla B 2.7 200 placas Página 23 2.8 4700 libros 2.9 a) $30,000.00 b) Si vende más, plan i. Menos, plan ii 2.10 53o y 37o


34

2.11 - 40 2.12 250 g de 975 milésimas, 750g de 875 milésimas 2.13 9 Euros y 9 Euros 2.14 a = 7, b = –1 2.15 20 litros de 0.7 kg/L y 10 litros de 1.3 kg/L 2.16 1900 litros 2.17 75 litros de $25.00 y 25 litros de $27.00 2.18 3 y 5 litros Página 24 2.19 10/7 de hora 2.20 Inciso a 2.21 Inciso c 2.22 80/3 de litros de 25% en volumen y 40/3 litros de 40% 2.23 20 litros de solución de 80 kg de sal y 10 litros de solución de 60 kg de sal 2.24 15 kg de Zn y 10 kg de Cu 2.25 500 kg de Sn y 400 kg de Cu 2.26 40 ml de ácido al 50% y 60 ml del ácido al 80% Página 26 1.1 30, 50 y 100 piezas 1.2 1g de A, 2g de B y 3g de C 1.3 120 sacos, 200 camisas y 150 pantalones 1.4 50, 75 y 1000 balones 1.5 30 kg de cacahuates, 15kg de almendras y 5kg de nueces.

Página 27

1.3 x = ±√2𝑖 1.6 x = ±6 1.7 x = ±√29

3 1.8 x = ±√7

2.5 𝑥1 = 0 𝑥2 = −26

3 2.6 𝑥1 = 0 𝑥2 =

1

2 2.7 𝑥1 = 0 𝑥2 = −2 2.8 𝑥 =

1

2

3.3 𝑥1 = 11 𝑥2 = 8 3.7 𝑥1 = 17 𝑥2 = −12 3.11 x = ±√7 3.12 x = ±1

3.13 𝑥1 = 3 𝑥2 = 5

Página 28

3.24 x = ±6 3.25 x = ±13 3.26 𝑥1 = −6 𝑥2 = −9

4.2 8m y 5m 4.3 Área= 30m2, Perímetro= 30m 4.5 3m 4.6 60m, 45m 4.8 6 y 3 horas

Página 29

4.12 80 Km/h 4.14 8m 4.16 33.94 cm 4.18 15 personas 4.19 75 acciones

Página 30 1.1 x = 9 1.2 y = 2 1.3 x = 2 1.4 b = 4 1.5 y = 3 1.6 b = 2 1.7 x = 9

1.8 y = 3 1.9 𝑦 =4

3 1.10 b = 64 1.11 𝑥 =

1

2 1.12 y = - 4 1.13 𝑥 =

1

27 1.14 x = 25

1.15 b = √64

1.16 𝑦 = −1

2

Página 31

1.2 𝑦 =1

2 1.18 b = 4 1.19 b = 5 1.20 x = 1024

2.1 log3 𝑥2 2.2 log209

2𝑥 2.3 log8 𝑥3 2.4 log𝑏 1 2.5 log4(𝑥2 − 9) 2.6 log7

(4−𝑥)

(1−𝑥)


35

2.7 log√3 𝑥4 2.8 log√5𝑥(𝑥−1)

𝑦 2.9 log𝑏

1

4 2.10 log27 8𝑥𝑦 + log3 𝑥2(𝑥 − 1)

2.11 log27𝑥2

𝑦+ log3

𝑧3

𝑦4 2.12 log𝑏 𝑥2𝑦2 2.13 log 1

64

1 2.14 log5 𝑥2 2.15 log3 1

3.1 x = 0.6826… 3.2 x = -2 3.3 x = 4 3.4 x = - 0.2511 3.5 x = 5 3.6 x = 6

3.7 x = 2 3.8 x = 4 3.9 x = 1.4218… 3.10 x = 3 3.11 x = 3 3.12 x = 2 3.13 x = 5

3.14 𝑥1 = −4 𝑥2 = 1

4.1 pH = 1.52 4.2 pH = 12.7

Pg. 32, Ej. 4

4.3 k = 12.7706 4.4 R(0.17) = 52.6 %, R(0.199 = 67.91%, R(0.25) = 146.12 % 4.5 x = 0.22

4.6 x = 0.09 4.7 t = 4.75 h 4.8 M(0.1) = 2 4.9 El terremoto de México fue 6.3 veces más

intenso que el de Haití


36

BIBLIOGRAFÍA

1. Baldor A. Aritmética Teórico Práctica. 1983, México, D. F. Publicaciones Culturales.

2. Baldor A. Algebra. 1982, México, D. F. Publicaciones Culturales.

3. Rees P. K., Sparks F. W., Rees Sparks C., 1999. Álgebra Contemporánea, México, McGraw Hill.

4. Rodríguez J., Caraballo A., Cruz T., Hernández O. Razonamiento Matemático. 1997, México, D. F. International Thomson Editores, S.A. de C.V.

5. Sobel Max A., Lerner Norbert, Algebra. 1987, México, D. F. Prentice Hall.

6. Gobrán Alfonso, Algebra Elemental. 2001, México, D. F. Grupo Editorial Iberoamérica.

7. Osorio F., J. M., Méndez H., A. 2006. Matemáticas 1. México. Santillana.

8. www.hippocampus.org/

Contenidos muy extensos de álgebra, explicaciones didácticas que se escuchan

claramente en el idioma inglés.

9. www.purplemath.com/

Lecciones prácticas de álgebra con ejercicios resueltos interactivos.

10. www.Profes.net/

Comunidad de profesores en España con contenidos didácticos interactivos

explicaciones completas y entretenidas.

11. http://www.rena.edu.ve/

Página del ministerio de educación del gobierno de Venezuela, trata todos los temas

de álgebra con profundidad y claridad.

12. http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

Biblioteca de manipuladores virtuales de USA, en español contiene gran cantidad de

material complementario de Álgebra.

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