Propedeutico FISICA 2008

Carrera de Electricidad y Electrnica Industrial Curso propedutico de fsica

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Universidad Tecnolgica de Puebla

Propedutico de Fsica

Manual de asignatura

Carrera

Electricidad y Electrnica Industrial

Programa 2004


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Crditos

Elabor: Fis. Juan Ramn Flores V. Ing. David Aguilar Moctezuma Fs. Primo Pais Flores Colaboradores:

Revisin y correccin ortogrfica, de formato y estilo: Lic. Jos Luis Catzalco Len

Autoriz: Ing. Marcos Espinosa Martnez


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ndice Crditos...................................................................................................................................2 ndice .....................................................................................................................................3 CAPTULO 1 UNIDADES DE MEDIDA Y SUS CONVERSIONES .............................................................4 1.1. Qu estudia la Fsica? ................................................................................4 1.2. Medidas, unidades y transformacin de unidades ........................................5 CAPTULO 2 MECNICA (Cinemtica y Dinmica) .................................................................25 2.1. Cinemtica ..................................................................................................25 2.2. Movimiento Rectilneo Uniforme .................................................................28 2.3. Cambio de Velocidad: Aceleracin .............................................................32 2.4. Movimiento Rectilneo con Acelercin Constante .......................................34 2.5. Vectores ......................................................................................................40 2.6. Movimiento Circular Uniforme.....................................................................47 2.7. Segunda Ley de Newton.............................................................................55 CAPTULO 3 ESTTICA .............................................................................................................65 3.1. Equilibrio de Traslacin de un Cuerpo ........................................................65 CAPTULO 4 TRABAJO Y ENERGA .........................................................................................68 4.1. Trabajo y Energa Mecnica .......................................................................68 4.2. Potencia y Eficiencia ...................................................................................73 4.3. Energa Cintica..........................................................................................75 4.4. Energa Potencial Gravitacional y Potencial Elstica ..................................79 CAPTULO 5 ELECTROSTTICA Y MAGNETSMO .................................................................89 5.1. Electrosttica: Cargas, Campos Elctricos y Potenciales ...........................89 5.2. El Campo Elctrico......................................................................................94 5.3. Potencial Electrosttico...............................................................................97 5.4. Magnetsmo ..............................................................................................100 FORMULARIO.....................................................................................................108 BIBLIOGRAFA ...................................................................................................116


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Captulo 1

Unidades de medida y sus conversiones.

1.1. QU ESTUDIA LA FSICA?

La palabra fsica viene del vocablo griego "Physis que significa naturaleza, por ello se

puede decir que la Fsica es una ciencia cuya materia de estudio es la Naturaleza y lo que en

ella sucede. As tenemos que a travs de las leyes de la Fsica se han podido construir los

telfonos celulares, la humanidad ha lanzado satlites de telecomunicaciones espaciales, han

construido bombas atmicas que al liberar su enorme energa puede reducir a cenizas a toda

una ciudad en menos de de hora, podemos ver las imgenes de los partidos del mundial de

ftbol casi al instante en que sucede el juego, al llegar a nuestra casa con el accionar de un

botn ponemos a funcionar la TV, la video, el radio, la cafetera, etc. Al trasladarnos al trabajo

los semforos, los motores del camin, las llantas, engranes, frenos, sistemas de seguridad,

etc. y al llegar a nuestro trabajo muchos de los aparatos y mecanismos que ayudan en nuestra

labor son ejemplos de elementos donde la aplicacin de las leyes de la Fsica est presente.

En general, la Fsica es una ciencia que se interesa bsicamente en ciertos aspectos

de los problemas relacionados con las interacciones de la materia, energa y sus

transformaciones.

As para comprender y estudiar la materia, la naturaleza que le rodeaba, la humanidad

utiliz, bsicamente, sus sentidos del tacto, de la vista, etc., pero se di cuenta que stos o

bien estaban limitados (por ejemplo no perciban el mundo de lo pequeo) o sus sentidos

distorsionaban o deformaban la realidad de lo que perciban (los espejismos, la sensacin de

caliente y fro, etc.) as fue que necesit inventar aparatos de medicin, los cuales le ayudaron

a extender sus sentidos y percibir con mayor confiabilidad y claridad el mundo y naturaleza que

le rodeaba.

Con el pasar de los aos, la humanidad comprendi que para entender la naturaleza y

explicarla as como los fenmenos que en ella sucedan eran necesarias la observacin y la


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experimentacin. La observacin propici que la humanidad aprendiera a examinar

detalladamente, con mayor atencin a la naturaleza y sus fenmenos, por ejemplo la descarga

elctrica de un rayo durante una tormenta, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, la

cada de algunos cuerpos, etc. El paso de la observacin detallada a la repeticin controlada,

es decir, la experimentacin de los fenmenos fue casi natural. sta consiste en la

reproduccin o repeticin de los fenmenos naturales bajo condiciones controladas y en cierto

modo a voluntad del investigador. En resumen, el desarrollo de la experimentacin, el diseo

de mejores aparatos de observacin y medicin permitieron que la ciencia avanzara ms

rpidamente en los ltimos doscientos aos.

1.2. MEDIDAS, UNIDADES Y TRANSFORMACIN DE UNIDADES. QU ES MEDIR?

Al medir siempre intervienen dos partes:

el aparato o instrumento de medicin y lo que se va a medir (el sistema).

Las mediciones pueden realizarse directa o indirectamente. Cuando medimos la

longitud de un cuerpo, tomamos una regla o cinta graduada y uno de los extremos del cuerpo

lo hacemos coincidir con el origen de la escala de la regla, y despus observamos hasta donde

llega el otro extremo del cuerpo comparndolo con la escala de la regla. En este caso se dice

que hemos realizado una medicin directa. Pero cuando tenemos que conocer el rea del

terreno rectangular de la casa o departamento que habitamos lo hacemos utilizando una

frmula (lado por lado), no utilizamos un instrumento de medicin directamente que nos

proporcione el valor del rea. En este ejemplo hemos medido el rea indirectamente.

Tambin es importante considerar en las mediciones que stas no son exactas por ms

que nos empeemos en lograrlo; algunos factores que intervienen en ello son:

el instrumento de medicin y el objeto o sistema a medir.

Otro elemento que influye en los errores de las mediciones son los sentidos humanos,

sus limitaciones y engaos influyen en ello. Actualmente sabemos que al momento de medir

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma especie que se toma como unidad patrn.


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el objeto es alterado o deformado en sus dimensiones y tambin las dimensiones del

instrumento de medicin se ven modificadas. Seguramente alguna vez un vidrio de la casa

donde vivas se rompi. Tomaste las medidas para sustituirlo por uno nuevo y por ms exacta

que realizaras las medidas, al momento de colocar el nuevo, encontraste que, o quedaba

grande o le faltaba tamao al nuevo vidrio. Para disminuir estos errores inevitables en las

mediciones nos apoyamos en la matemtica estadstica y en la teora del error de las

mediciones.

1.2.1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

Medimos para conocer, para entender mejor nuestro mundo, para obtener leyes, para

conocer el tamao de las piezas que se van a sustituir; medimos para muchas cosas. Pero

qu es lo que medimos? Medimos el tiempo, la longitud, la masa, la temperatura, la altura, la

estatura, el peso, la energa, la velocidad, etc. Buscando simplificar y establecer las

mediciones, la humanidad organiz lo que mide en dos tipos de Magnitudes: las

fundamentales y las derivadas.

Las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen o expresan en base a

otras y para los temas que estudiaremos en nuestro curso slo trabajaremos con cuatro de las

siete que se han definido: longitud, masa, tiempo y corriente elctrica.

Las magnitudes derivadas son las que se expresan, u obtienen, en trminos de una o varias de las magnitudes fundamentales, ya sea mediante definiciones o frmulas. As, por

ejemplo, la velocidad es una magnitud derivada ya que para obtenerla o conocerla lo hacemos

mediante una frmula en la que el resultado de la divisin o cociente es:

[ ]tiempolongitudvelocidad =

Tambin el rea es una magnitud derivada ya que para obtenerla hacemos una

multiplicacin: [longitud X longitud]. En cambio para obtener la longitud o la masa de algn

cuerpo no necesitamos recurrir a otra magnitud, slo la obtenemos mediante la comparacin

directa entre la unidad patrn y el objeto a medir, esto es, por s sola.


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Magnitud Fundamental Unidad Patrn Smbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente elctrica Amperio A

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd Tabla 1: Magnitudes Fundamentales y Unidades Patrn del SI = Sistema Internacional.

Magnitud derivada Nombre especial Smbolo Equivalencia

ngulo plano Radin rad 1

Velocidad angular rad/s

Aceleracin angular rad/s2

Frecuencia Hertz Hz. s-1

Velocidad lineal v m / s

Aceleracin lineal a m / s2

Fuerza Newton N Kg m / s2

Presin Pascal Pa N / m2

Energa, trabajo, calor Julio J Kg. m2 / s2, N m

Potencia watio W Kg. m2 / s3 , J/s

Momento angular Kg m2/s, N m s Carga elctrica Coulomb C A s

Potencial elctrico, fem voltio V W / A, J / C

Resistencia ohm, ohmio V / A Conductancia siemens S A /V,

Fuerza de campo elctrico V / m, N /C

Temperatura Celsius grados Celsius C K

Flujo luminoso lumen Lm cd sr

Iluminacin lux Lx lm/m2

Radioactividad becquerel Bq s-1

Tabla 2. Ejemplos de Magnitudes Derivadas del SI


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1.2.2. UNIDADES PATRN DE LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.

Como medir es comparar contra una unidad patrn, las magnitudes fundamentales

longitud, masa, tiempo y carga elctrica, tienen establecida su unidad patrn respectiva. As,

la longitud tiene como unidad patrn el metro (m), la masa el kilogramo (Kg) y el tiempo el

segundo (s), en el sistema de mediciones que utilizamos mucho en nuestro pas.

Establecer que el metro es la unidad patrn de la longitud es producto de una larga

historia de la humanidad. Antiguamente la longitud de los cuerpos se meda comparndola con

las dimensiones de algunas partes del cuerpo humano. As tenemos el pie (Fig. 1-b), que

equivala a la longitud entre el taln y la punta del dedo gordo del pie descalzo. La pulgada

(Fig.1-c) era la longitud entre los extremos del dedo pulgar colocado en posicin horizontal.

Varias dimensiones del cuerpo humano servan como unidad patrn para medir la naturaleza

del entorno donde viva la humanidad (ver figura 1)

FIGURA 1-1. Las unidades antiguas anteriores al Sistema Mtrico Decimal, generalmente se originaban a partir del tamao de partes del cuerpo humano

Antes de que el Sistema Mtrico Decimal fuese establecido las unidades de medida se

definan muy arbitrariamente y variaban de un pas a otro, dificultando el intercambio comercial

y el desarrollo de las ciencias entre naciones. As las unidades de medicin de longitud se

obtenan de las dimensiones de ciertas partes del cuerpo del monarca que gobernaba la regin

de un pas (ver Fig.1). An en la actualidad, en los pases de habla inglesa se utilizan todava

unidades basadas en las dimensiones del cuerpo, la pulgada, la yarda, etc.

Estas inconveniencias mencionadas motivaron a cientficos y comerciantes de los

siglos XVII y XVIII a proponer unidades de medidas definidas o basadas en elementos:

universales, reproducibles, fcilmente manejables por todos los usuarios y entendibles. As el


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7 de abril de 1795 mediante un decreto se instaur el Sistema Mtrico Decimal, durante la

Revolucin Francesa.

La implantacin de este Sistema Mtrico, en Francia, tuvo grandes dificultades, la

poblacin rechaz el cambio de hbitos arraigados en sus actividades cotidianas. En virtud de

la reaccin popular, Napolen Bonaparte, entonces emperador de los franceses, emiti un

decreto permitiendo que se continuaran empleando las antiguas unidades, pero, al mismo

tiempo, volviendo obligatoria la enseanza del sistema mtrico en las escuelas primarias. En

1840, una nueva ley declar ilegal el uso de cualquier unidad que no perteneciera al sistema

mtrico, quedando as implantado definitivamente en Francia el nuevo sistema.

En 1875 se efectu en Pars la Convencin del Metro, en la que 18 de las naciones

ms importantes del mundo se comprometieron a adoptarlo. Inglaterra no asisti a dicha

reunin, negndose a emplear las unidades de este sistema.

Desde entonces, el uso del sistema mtrico fue extendindose por todo el mundo.

Principalmente en Inglaterra, sus colonias y en USA, por su herencia britnica, mantuvieron

como patrn de mediciones el que actualmente llamamos Sistema Ingls.

El sistema mtrico original se adopt internacionalmente en la Conferencia General de

Pesos y Medidas de 1889 y deriv en el Sistema Internacional de medidas.

En 1960, durante la 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, realizada en Pars,

se acord reestructurar el sistema mtrico decimal en uno ms preciso, con ello se elabor un

nuevo sistema al cual se le llam Sistema Internacional de Unidades (SI) En este sistema las

unidades estn definidas ms rigurosamente y actualizadas y es el que oficialmente se ensea

en las escuelas de Mxico. En la actualidad el Sistema Internacional de Unidades es

aceptado universalmente, incluso en los pases de habla inglesa (en los cuales utilizan an el

sistema basado en la yarda, pie, libra, etc.) sin embargo en sus trabajos cientficos la tendencia

es de adoptar el SI.

Actualmente, aproximadamente el 95% de la poblacin mundial vive en pases en que

se usa el sistema mtrico y sus derivados.

El sistema mtrico se diseo teniendo en cuenta varios objetivos:


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a) NEUTRAL Y UNIVERSAL Los diseadores del sistema mtrico queran que fuera lo ms neutral posible para

facilitar su ms amplia adopcin en la diversidad de pases.

Otras unidades de la poca se derivaban del largo del pie de algn gobernante y

frecuentemente cambiaban tras su sucesin. Las nuevas unidades no habran de depender de

tales circunstancias nacionales, locales o temporales.

b) CUALQUIER LABORATORIO DEBA PODER REPRODUCIRLAS La forma habitual de establecer una norma era hacer los patrones de medida

correspondientes y distribuir copias de ellos. Esto hara al nuevo estndar dependiente de los

patrones originales y entrara en conflicto con el objetivo previo pues todos los pases habran

de referir sus patrones al patrn del pas que tuviera los originales.

Los diseadores desarrollaron definiciones de las unidades bsicas de tal forma que

cualquier laboratorio equipado adecuadamente podra hacer sus modelos propios.

Originalmente las unidades base se haban derivado del largo de un segmento de meridiano

terrestre y el peso de cierta cantidad de agua. Por eso se descartaron, como base de la

medida de longitud, el largo de un pndulo de un cierto periodo, pues vara con la latitud y eso

habra obligado a definir una cierta latitud o el largo de un segmento del ecuador, en lugar de

un segmento de un meridiano cualquier, pues no todos los pases tienen acceso a cualquier

latitud.

c) MLTIPLOS DECIMALES Todos los mltiplos y submltiplos de las unidades base seran potencias decimales.

Ni las fracciones seran por mitades, como es el caso actualmente con las fracciones de

pulgada, ni los mltiplos tendran relaciones diferentes que potencias de diez, tal como es el

caso del pie que equivale a doce pulgadas.

d) PRCTICA Las nuevas unidades deberan ser cercanas a valores de uso corriente en aquel

entonces. Era de suponerse que el metro cercano a la vara o yarda, habra de ser ms

popular que la fallida hora decimal del calendario republicano francs.

El moderno sistema mtrico es conocido como el Sistema Internacional de Unidades,

con la abreviatura internacional SI. Est fundado en las siete unidades base, reflejadas en la

Tabla 1, que por convencin son contempladas como dimensionalmente independientes.

Todas las otras unidades son unidades derivadas, coherentemente formadas multiplicando y

dividiendo unidades pertenecientes al SI sin el uso de factores numricos. Algunas unidades

derivadas, incluidas las que tienen nombres especiales, estn listadas en la Tabla 2. Por


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ejemplo, la unidad de fuerza es el Newton, que es igual a un kilogramo metro por segundo al

cuadrado, y la unidad de energa es el Julio, igual a un Newton metro. La expresin de

mltiplos y submltiplos de las unidades SI se facilita con el uso de prefijos, listados en la Tabla

3. (Informacin adicional est disponible en las pginas web de la Oficina Internacional de

pesas y Medidas en http://www.bipm.fr y el Instituto Nacional de Patrones y Tecnologa en

http://physics.nist.gov/cuu ).

e) PATRONES MTRICOS Hay que diferenciar una unidad, que es una idealizacin abstracta, y un patrn o

modelo, que es la materializacin de la unidad. Desde el origen del sistema mtrico, los

patrones tuvieron varias revisiones para reflejar precisin creciente a medida que avanzaba la

ciencia de la metrologa.

El metro. El patrn prototipo internacional metro de 1889 era una barra de platino e

iridio con seccin cruzada en forma de X. El metro era definido por la distancia entre dos

lneas grabadas en la superficie superior del puente, en lugar de la distancia entre las dos

caras finales. El metro fue derivado del metro de los Archivos Franceses en su estado

existente y la referencia al meridiano terrestre fue abandonada.

La permanencia del prototipo internacional fue verificada por comparacin con dos

barras compaeras, llamadas "standars de prueba: check standards". Adicionalmente, haba

nueve medidas en trminos de la lnea roja del cadmio entre 1892 y 1942. La primera de

estas medidas se llev a cabo por A. A. Michelson usando el interfermetro que l mismo

invent. Por este trabajo, Michelson recibi el Premio Nbel de Fsica en 1907.

Mejoras en fuentes de luz monocromtica dieron como resultado un nuevo modelo

basado en una longitud de onda de la luz bien definida. Un simple istopo atmico con un

nmero atmico par y un nmero de masa par es un modelo espectral ideal porque elimina la

complejidad y la estructura hiperfina. Tambin la ampliacin Doppler se minimiza usando un

gas de tomos pesados en una lmpara operada a baja temperatura. Por ello fue escogida

una particular lnea de kriptn-86 roja-naranja, cuya longitud de onda fue obtenida por

comparacin directa con la longitud de onda del cadmio. En 1960, el 11 CGPM defini el

metro como la longitud igual a 1.650.763,73 longitudes de onda de esta lnea espectral.

Investigaciones sobre lasers en el laboratorio Boulder, Co. de la Oficina Nacional de

Standards contribuy a otra revisin del metro. Las longitudes de onda y frecuencia de un

rayo lser de helio-nen estabilizado fueron medidas de forma independiente para determinar


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la velocidad de la luz. La longitud de onda se obtuvo por comparacin con la longitud de onda

del Kriptn y la frecuencia fue determinada por una serie de medidas trazables con el modelo

atmico de cesio para el segundo. La principal fuente de error radic en el perfil de la lnea

espectral del kriptn representando el metro mismo. En consecuencia, en 1983 el 17 CGPM

adopt una nueva definicin del metro basada en esta medida como "la longitud del camino

atravesado por la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo de 1 / 299.792.458 de un

segundo". El efecto de esta definicin es fijar la velocidad de la luz en 299.792.458 m / s exactamente. Con ello mtodos experimentales previamente interpretados como medidas de

la velocidad de la luz c (o equivalentemente, la permitividad del espacio libre ) se han convertido en calibraciones de longitud.

El kilogramo. En 1889 se adopt el kilogramo prototipo internacional como el patrn

de masa. El kilogramo prototipo es un cilindro de platino-iridio con igual altura que dimetro

de 3,9 cm. y bordes ligeramente redondeados. Para la figura de un cilindro estas dimensiones

son las que presentan la ms pequea relacin de superficie por volumen para minimizar el

desgaste. El patrn se conserva cuidadosamente en una caja fuerte en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas y se usa slo en raras ocasiones. Contina siendo el

patrn actualmente. El kilogramo es la nica unidad todava definida en trminos de un

artefacto arbitrario en lugar de un fenmeno natural.

El segundo. Histricamente la unidad de tiempo, el segundo, fue definida con relacin

al periodo de rotacin de la tierra sobre su eje, como 1 / 86.400 de un da solar medio.

Significando "segundo minuto" fue primeramente aplicado a cronometraje en el siglo XVII

cuando fueron inventados relojes de pndulo que podan mantener el tiempo con esta

precisin.

En el Siglo XX, los astrnomos se han dado cuenta que la rotacin de la tierra no es

constante. Debido a fuerzas de marea gravitacionales producidas por la luna en los ocanos

poco profundos, la duracin del da se incrementa unos 1,4 milisegundos por siglo. El efecto

puede medirse comparando los caminos computados de antiguos eclipses solares asumiendo

rotacin uniforme con la situacin de la tierra memorizada donde actualmente se observan.

Consecuentemente, en 1956 el segundo se redefini en trminos del periodo de revolucin de

la tierra alrededor del sol, tal como se representan en las Tablas del Sol computadas al final

del siglo XIX por el astrnomo Simon Newcomb del Observatorio Naval de Estados Unidos en

Washington, DC. El segundo fue definido para ser 1 / 31.556.925,9747 del ao tropical 1900.

El significado operacional para esta definicin fue adoptar el coeficiente lineal en la frmula de


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Newcomb para la longitud (NT: aqu longitud no es sinnimo de distancia sino medida

complementaria a latitud) media del sol para determinar la unidad de tiempo.

El rpido desarrollo de relojes atmicos pronto permiti an otra definicin. En 1967, el

13 CGPM defini el segundo como "la duracin de 9.192.631.770 periodos de la radiacin

correspondiente a la transicin entre los dos estados fundamentales del tomo de cesio-133".

Esta definicin estaba basada en observaciones de la luna, cuya ephemeris est

indirectamente ligada al aparente movimiento del sol, y era equivalente a la definicin previa

dentro de los lmites de incertidumbre experimental.

1.2.3. UNIDADES MTRICAS EN LA INDUSTRIA. El Sistema Internacional de Unidades (SI) se ha convertido en una base fundamental

de las medidas cientficas en todo el mundo. Se usa tambin para el comercio diario en

virtualmente todos los pases del mundo excepto en los Estados Unidos.

Como comenzamos un nuevo milenio, debiera haber un renovado esfuerzo

internacional para promover el uso de unidades mtricas SI en la industria y ayudar al pblico

en general para que les sea familiar el Sistema y lo use regularmente. Las escuelas han

enseado el sistema mtrico en sus clases durante decenios. Es tiempo de dejar a un lado

las unidades convencionales de la revolucin industrial y adoptar las medidas que la ciencia

precisa en todos los aspectos del comercio y la moderna ingeniera, incluyendo el programa

espacial de los Estados Unidos y la industria satelital.

Adems de las unidades bsicas del SI (metro, kilogramo y segundo) tambin se

pueden utilizar otras unidades como kilmetro, milmetro, nanosegundo, etc., donde los prefijos

kilo, mili y nano denotan mltiplos o submltiplos de veces la unidad patrn en potencias de

diez. Esto es, cuando una cantidad numrica es muy grande o muy pequea, las unidades

que se utilizan para definir su tamao pueden modificarse por medio de prefijos. Algunos de

los prefijos utilizados con mayor frecuencia en las diversas potencias de 10 y sus abreviaturas

se enlistan en la tabla 3. As, 10-3 m equivale a un milmetro (mm), y 103 m es un kilmetro, o

4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newtons) = 4 MN (mega-newtons). De manera similar, un Kg es

103 gramos, y un megavolt (MV) es igual a 106 volts (V), o 0.005 m = 5 mm (milmetros). As

tenemos que los mltiplos y submltiplos de las unidades se expresan en el sistema

internacional como potencias de 10, de acuerdo con lo que sigue:


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FACTOR MLTIPLO

PREFIJO SMBOLO FACTOR SUBMLTIPLO

PREFIJO SMBOLO

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 milli, mili m

1015 peta P 10-6 micro 1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deka, deca d 10-24 yocto y

Tabla 3. Prefijos SI.

SISTEMA INGLS

En el sistema ingls de unidades (FSP) la unidad de longitud se mide en pies (ft), la

unidad de masa es llama el slug, se deriva de la expresin F = ma. De aqu que 1 slug sea igual a la cantidad de masa acelerada a 1 pie/s2 cuando sobre sta acta una fuerza de 1 libra

(slug = libra.s2/pies). El tiempo se mide en segundos (s) y la fuerza se mide en libras (lb).

CONVERSIN DE UNIDADES. En algunos casos puede ser necesario convertir de un sistema de unidades a otro. A

este respecto la siguiente tabla (Tabla 4) proporciona un conjunto de factores de conversin

directa entre el Sistema Ingls (FPS) y SI para las magnitudes bsicas. No perder de vista que

para el Sistema Ingls 1 pie = 12 pulgadas, 5 280 pies = 1 milla terrestre (mi), 1 000 libras = 1

kip (kilo-libras) y 2 000 libras = 1 tonelada (ton).


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Tabla 4 Factores de conversin del Sistema Ingls al SI

Otros factores de conversin de uso frecuente son:

LONGITUD:

1 pulgada = 2.54 cm = 25.4 mm

1 A0 (angstrom) = 10-8 cm = 10-4 m (micra) 1 mi (milla terrestre) = 5 280 pies = 1.609 km

MASA:

1 Kg = 1 000 g = 0.001 t (tonelada)

1 utm (unidad tcnica de masa, geokilogramo) = 9.806 Kg

1 uma (unidad de masa atmica) = 1.660 x 10-27 Kg

FUERZA: 1 N (newton) = 0.102 kgf = 0.2248 lb

1 kgf = 9.807 N = 2.205 lb

1 lb = 4.448 N = 0.453 kgf

TIEMPO:

1 min = 60 s

1 h = 60 s = 3 600 s

1 da = 24 h = 1 440 min = 86 400 s

VOLUMEN: 1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35.31 pie3 = 6 1023 plg3

1 pie3 = 1 728 plg3 = 28 316.85 cm3 = 28.32 lt

1 lt = 103 cm3 = 0.0353 pie3 = 61.02 plg3

1 gal (galn USA) = 231 plg3 = 3.785 lt

Magnitud Unidad de medida (Ingls) Equivale a Unidad de

medida en (SI) Longitud pie 0.304 8 m

Masa slug 14.593 8 Kg

Tiempo segundo

Fuerza libra 4.448 2 N


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EJEMPLOS Y EJERCICIOS 1. Convierta 2 km/h a m/s. A cuntos pies/seg equivalen?.

RESPUESTA: Partiendo de que 1 km = 1 000m y que 1 h = 3 600 s, aplicando esta informacin a la

expresin que se busca convertir, tenemos:

2 km/h = 2 1000 13 600

km m hh km s

= sm

sm 556.0

60030002 =

Utilizando los datos de la tabla 4, vemos que 1 pie = 0. 3048 m, entonces

=m

pies

ms

m8304.0

1556.0556.0

= spie82.1

2. Si un corredor olmpico corre 100 m en 10 segundos, su velocidad media es de 10 m/s. Cul es su velocidad media en millas/horas y en pies/s?

RESPUESTA: Considerando que 1 milla = 5 280 pies, que 1 pie = 0.3048 m, y que 3 600 s = 1 h,

aplicamos esta informacin para convertir:

=

hs

piemi

mpie

sm

sm

16003

52801

3048.011010

= hmi4.22

=

mpie

sm

sm

3048.011010 = s

pie80.32


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1.2.4. DENSIDAD O MASA ESPECFICA (TEMA OPCIONAL).

Consideremos un cuerpo de masa m y cuyo volumen es V. La densidad (tambin

llamada masa especfica) del cuerpo se representa por la letra griega (ro) y se define como:

Por ejemplo, un bloque de aluminio cuyo volumen es de V = 10 cm3, tiene una masa de

m = 27 g, tendr una densidad de:

31027

cmg

Vm ==

= 37.2 cmg

Este resultado significa que en cada cm3 de aluminio se tiene una masa de 2.7 gramos.

Esto es, la densidad de un cuerpo corresponde a la masa contenida en la unidad de volumen

del cuerpo, de ah su denominacin de masa especfica.

La densidad de las sustancias vara con la temperatura y con la presin, ya que con ello

varan las distancias intermoleculares. Esto es particularmente notable en el caso de los

gases.

EJEMPLOS 1. Un tanque de gasolina tiene en su base un rea A = 0.75 m2, y su altura es de h = 2.0 m.

h = 2.0 m

A = 0.75 m2 FIGURA 1-2 Para el ejemplo 1 a) Cunta masa contiene el tanque lleno?

b) Cul es el peso de esa masa de gasolina?

La densidad (o masa especfica) de un cuerpo es la relacin entre su masa y su volumen, y se calcula:

Vm=


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RESPUESTA: En la figura observamos que el tanque de gasolina tiene forma de un paraleleppedo y

por ello podemos conocer su volumen V.

Tambin sabemos que, como es gasolina la sustancia contenida en el tanque, su

densidad vale

370.0 cmgramos=

y como la densidad, la masa y el volumen se relacionan mediante la frmula

Vm= ,

entonces podemos calcular la masa utilizando esta frmula y despejando:

mV = donde V se calcula:

V = rea de la base X altura,

o sea:

V = (0.75 m2) (2 m) = (0.75 m2) (2 m) = 1.5 m3

entonces la masa vale:

m = )70.0( 3cmgramosV = (1.5 m3) =

= ( )33 33 5.1100000011000170.0 mm cmgkgcmg

m = 1 050 Kg.

b) Para calcular el peso de la gasolina contenida en el tanque, recordemos que el peso de

un cuerpo se calcula como:

Peso = (masa)(aceleracin de la gravedad terrestre) = m g

donde

g = 9.81 m/s2

entonces

P = (1 050 kg) (9.81 m/s2) = 10 300.5 kg m/s2 = 10 300.5 N

donde

N = 1 Newton, es la unidad de fuerza en el SI y equivale a: 1 N = 1 (Kg.) (m/s2)


- 19 -

2. Calcular la densidad del hidrgeno respecto al aire.

RESPUESTA:

Las densidades del aire y del hidrgeno las podemos hallar en las tablas de los libros

de Fsica o Qumica.

Consultndolos encontraremos que:

5 38.988 10Hgrx cm

= (densidad del Hidrgeno)

3310292.1 cm

grxA= (densidad del aire), entonces

la densidad del hidrgeno respecto al aire:

airedeldensidadhidrgenodeldensidad

= 5

3

33

8.988 100.0696

1.292 10

grx cmgrx cm

=

De este resultado podemos apreciar que el hidrgeno es menos denso que el aire. Por

ello se utiliza el hidrgeno para llenar los globos, que tanto disfrutan los nios, y dirigibles; pero

por ser el hidrgeno inflamable se prefiere el helio que tambin es menos denso que el aire y

no es combustible.

EJERCICIOS PARA CLASE Y PARA CASA 1. Suponga que su cabello crece a una proporcin de 1/32 pulgada por da.

Encuentre la proporcin a la cual crece en:

a) milmetros por segundo.

b) nanmetros por segundo.

c) kilmetros por hora.

2. Un terreno para construccin rectangular mide 100.0 pies por 150.0 pies.

Determine el rea de este terreno en m2.

3. Suponga que se llena un tanque de gasolina de 30.0 galones en 7.0 min.

a) Calcule la proporcin a la cual se llenar el tanque en galones por segundo.

b) Calcule la rapidez a la cual se llenar el tanque en litros (lt) por segundo.


- 20 -

4. a) Encuentre un factor de conversin para convertir hmi a h

km

b) Hasta hace poco, la ley Federal de Estados Unidos ordenaba que la rapidez promedio

en las autopistas era de 55 hmi . Con el factor de conversin del inciso a) encuentre esta

rapidez en hkm .

5. Suponga que un familiar de Ud. acaba de comprar un automvil Europeo y quiere saber si

puede usar su juego de llaves, cuya escala est en el Sistema Ingls para trabajar en l.

Usted tiene llaves con anchos w = pulg, pulg, pulg, y 1 pulg, y el auto tiene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm y 25 mm. Si definimos que una llave ajusta si w no es 2% mayor que n, cul de sus llaves puede usar?

w n

Fig. 1-3 Llave inglesa y tuerca milimtrica

6. El rea de la seccin transversal de una viga es igual a 480 pulg2. Cul es el rea de su

seccin transversal en m2?

7. Un camin puede cargar 15 yardas cbicas de grava (1 yarda = 3 pies). Cuntos metros

cbicos puede cargar?

8. El fmur de un humano tiene una masa de 1250 g y un volumen de 675 cm3. Determina su

densidad.

9. Un joven levanta 145 libras de peso en un gimnasio, tiene una estatura de 6.5 pies y corre

en la pista alrededor de 4200 s. Cul es la equivalencia de estos datos en Kg, m, y

minutos respectivamente?

10. Una bolsa de arena tiene una masa de 150 g y un volumen de 65 cm3. Calcula la densidad

de la arena en Kg/m3.

11. El mango de una llave inglesa mide 8 in. Cul es la longitud de dicho mango en

centmetros?

12. La densidad del bronce es de 8.89 g/cm3. Cul su densidad en kilogramos por metro

cbico?

13. En una carretera interestatal se ha impuesto un lmite de rapidez de 75 mi/h. a) A cunto

equivale esta rapidez en kilmetros por hora? b) Y en pies por segundo?


- 21 -

14. Un electricista tiene que instalar un cable subterrneo desde la carretera hasta una

vivienda que se localiza a una distancia de 1.2 mi en el bosque. Cuntos pies de cable va

a necesitar?

15. Una empresa produce mensualmente 45356 Kg de carbonato de sodio (Na2CO3). Cul

ser la produccin en libras?

16. Realiza las siguientes conversiones:

a) 5480 m a Km

b) 8.4 gal a L

c) 3000 cm2 a m2 17. Pasar al SI las siguientes unidades:

a) 1 yarda/s

b) 1 libra/h

c) 1 slug/pie3

19. Pasar al Sistema Ingls las siguientes unidades:

a) kg.m2

b) 1 hmkg 2.

c) 1 3cmkg

20. Un motor tiene 1600 cm3 de cilindrada (volumen) y un dimetro interior de 84 mm. Exprese

estas medidas en pulgadas y pulgadas cbicas.

21. Suponga que se llena un tanque de gasolina de 30.0 galones en 7.0 min.

a) Calcule la proporcin a la cual se llenar el tanque en galones por segundo.

b) Calcule la rapidez a la cual se llenar el tanque en litros (lt) por segundo.

EJERCICIOS SOBRE DENSIDAD

22. Un cubo de aluminio slido tiene 2.0 cm por lado. Si la densidad del aluminio (Al) es 2700

kg/m3. Determnese la masa del cubo.

23. La masa de un litro de leche es 1.032 kg. la grasa que contiene cuenta con una densidad

de 865 Kg 1m3 cuando esta pura y est contenida en un 4% del volumen de la leche. Si

se descrema cual ser su densidad?

24. Un amigo compr varias docenas de anillos de plata pura en un viaje reciente y ahora

sospecha que no son de material puro. Te los da para que lo compruebes. Pesas 10 de los

anillo y encuentras que tienen una masa combinada de 7.38 g; luego los colocas en una


- 22 -

probeta graduada de 2.5 cm de dimetro y observas que el nivel del agua se eleva 8.45

mm. Son de plata pura los anillos?


- 23 -

Captulo 2 MECNICA

(Cinemtica y Dinmica)

2.1. CINEMTICA

Vivimos en un mundo donde a simple vista observamos que todos los cuerpos estn en

movimiento: un hombre, un auto, un camin, las bandas de transporte en las industrias, un

pjaro volando, un motor que gira, un avin en vuelo, la Luna, el Sol, una nube, etc. El

movimiento es el fenmeno fundamental que encontraremos en el mundo que nos rodea.

Si por algn suceso el movimiento de los cuerpos dejara de existir en todo el universo,

tendramos un universo esttico, en reposo, en el que nada ocurrira. De tal manera que las

nociones de espacio y tiempo dejaran de tener sentido, no seran necesarias. Desde este

punto de vista comprendemos que los conceptos de espacio y tiempo existen porque existe el

movimiento.

As que como la naturaleza est en movimiento, para entenderla, estudiarla y

modificarla necesitamos entender y estudiar el movimiento. Para ello empecemos por

entender qu es movimiento y qu es reposo de un cuerpo?

El estudio del movimiento se simplifica separndolo en dos aspectos:

a) Sin considerar las causas que lo originan, solamente describindolo.

A ello se le llama Cinemtica.

b) Considerando las causas, las fuerzas que interviene en l y las propiedades

de los cuerpos (su masa), a este enfoque se le llama Dinmica.


- 24 -

2.1.1. CONCEPTO DE REPOSO Y MOVIMIENTO.

PREGUNTAS:

a) Seale cules de los siguientes cuerpos estn, desde su parecer, en reposo y cuales

estn en movimiento: un cuervo en vuelo; un martillo sobre la mesa; la Luna; el Sol; las

paredes de la habitacin donde se encuentra.

b) Cuando usted viaja en camin, considera que los asientos de ste estn en reposo o

en movimiento? Qu opinara un amigo de Ud. que est en la parada del camin y los

viera pasar?

Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento relativo respecto a otro cuando su

posicin cambia conforme transcurre el tiempo. Por el contrario, si dicha posicin no cambia

conforme transcurre el tiempo se dice que el cuerpo est en reposo relativo. Por ejemplo

desde nuestro asiento, a la Luna la observamos en movimiento. Sin embargo, un astronauta

situado en la Luna observara que est en reposo. Ambos observadores estn en lo correcto,

movimiento y reposo de un cuerpo depende del lugar de observacin. Este ejemplo nos

muestra que:

Fig. 2-1 Respecto a la casa:

a) se mueven el auto, el ave y la persona b) est en reposo el rbol

el movimiento de un cuerpo, visto por un observador, depende del punto de referencia en el cual se halle situado


- 25 -

As, cuando Nicols Coprnico (1473-1543) construy su modelo heliocntrico para

explicar el movimiento de los planetas, el sol y la tierra y seal que:

el Sol est en reposo y los planetas, incluyendo a la Tierra, girarn alrededor de ste.

Estaba colocando como punto de referencia al Sol y por lo tanto la Tierra y los planetas

giraban alrededor de l. Sin embargo si el observador se sita en la Tierra, el Sol es el que

gira alrededor de ella. Ambas afirmaciones son vlidas ya que dependen de dnde se situ el

observador.

Movimiento y reposo son relativos, dependen de donde se ubique el observador, para

dos observadores diferentes un mismo cuerpo puede estar en reposo y en movimiento a la

vez. Por lo tanto, al analizar el movimiento de un cuerpo es necesario indicar con relacin a

qu otros cuerpos se refiere el movimiento.

Casi siempre nuestros estudios del movimiento se hacen considerando a la Tierra como

punto de referencia (un observador inmvil en la superficie de la Tierra). Siempre que

utilicemos otro punto de referencia se indicar expresamente.

La trayectoria de un cuerpo es la lnea imaginaria que recorre el cuerpo durante su

movimiento. La trayectoria se determina siempre respecto al sistema de referencia.

Cuando la trayectoria es una lnea recta se dice que el movimiento es rectilneo; cuando

la trayectoria es un crculo decimos que el movimiento es circular. La trayectoria de un cuerpo

lanzado con un ngulo y desde una superficie horizontal es una parbola. La trayectoria de la

Tierra en su movimiento alrededor del Sol es una elipse.

2.1.2. VELOCIDAD Para describir cuantitativamente qu tan rpido se mueve un cuerpo se usa el concepto

de velocidad. Para fines prcticos de nuestro curso, la velocidad de un cuerpo la definiremos

como el cociente que se obtiene al dividir la distancia recorrida por el cuerpo por el tiempo

empleado en recorrerla; esto es:

= distancia recorridavelocidadtiempo empleado

(2-1)


- 26 -

Se puede sintetizar esta definicin en una ecuacin:

txv

= (2-2)

donde x representa la distancia recorrida y t el tiempo empleado en el recorrido.

As, la velocidad de un cuerpo es igual a la distancia recorrida en la unidad de tiempo.

En el sistema SI la velocidad se mide en metros/segundo (sm

). Tambin se

acostumbran otras combinaciones de unidades de distancia y tiempo, tales como kilmetros

por hora (h

km), metros por minuto (

minm

). En el Sistema Ingls se mide en (s

pie).

2.2. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME.

Cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria

rectilnea, decimos que su movimiento es rectilneo uniforme (la palabra uniforme indica que

el valor de la velocidad permanece constante en el tiempo).

Por ejemplo, si un automvil se desplaza por una carretera recta y plana, y su

velocmetro siempre indica un valor de 60 km/h. Esto nos lleva a que:

en 1.0 h el auto recorrer 60 km



en 4.0 h el auto recorrer 240 km, etc.

Conforme a los valores, a medida que el tiempo aumenta, la distancia cubierta tambin

aumenta. Si el tiempo aumenta al doble, la distancia aumenta al doble; si el tiempo aumenta

al triple, la distancia aumenta al triple. En este tipo de movimientos donde la distancia recorrida

es directamente proporcional al tiempo empleado, decimos que el movimiento es con velocidad

constante, y si la trayectoria es rectilnea entonces le denominamos movimiento rectilneo

uniforme.

La expresin matemtica que describe este movimiento es la (2-2) aunque es ms

frecuente encontrarla escrita como:

dvt

= (2-3)


- 27 -

donde:

empleadotiempotrecorridadistanciad

velocidadv

===

Cuando un auto se mueve con una velocidad constante de hkmv 120= significa

que recorre 120 kms en una hora o que por cada hora recorre 120 Km y de mantener esta

velocidad estamos seguros que a las 2h habr recorrido 240 Km, a las 3.5 h recorrer 420 Km.

De mantener este ritmo de velocidad podemos predecir que al cabo de 7.5 h habr recorrido

900 Km. o que cuando halla recorrido 300 Km habrn transcurrido 2.5 h.

En la industria automotriz, concretamente en la lnea de produccin, si la velocidad de

produccin resulta en 100 autos/min, esto lo interpretamos como que se fabrican 100 autos

cada minuto. O tambin, si un brazo de robot solda 1 350 puntos cada hora, su velocidad

sera hpuntosv 3501= que transformados a minutos resultara 22.5 minpuntosv = y

en segundos 0.375 puntosv s= .

EJEMPLOS: 1. En un horno se fabrican 8750 panqus en un tiempo de 5 horas, sin interrupciones

(velocidad constante) calcular la velocidad de fabricacin del horno en panqusmin

.

RESPUESTA:

Es recomendable leer bien los datos para determinar el tipo de movimiento. En este

caso tenemos un movimiento con velocidad constante, ya que la fabricacin se realiza sin

interrupciones (a un ritmo constante) entonces la expresin matemtica que usaremos ser la

del movimiento con velocidad constante. [Ecuacin (2-2) o (2-3)]

Despus veamos los datos o cantidades conocidas y a qu parte de la expresin

corresponden:

8 750 panques equivale a d o productos recorridos, fabricados


- 28 -

5 horas equivale a tiempo empleado t .

h

panquesv5

7508= = min16.297501 panqueshpanques = .

Como el resultado tiene una parte decimal, redondeamos y consideramos slo el

resultado entero, tenemos que la velocidad de fabricacin o el ritmo de fabricacin es de:

min0.29panquesv = .

2. Determinar el tiempo que necesitara un horno para fabricar 18 750 barras de pan, si

trabaja a un ritmo o velocidad constante de min23barras

RESPUESTA:

Leyendo detenidamente los datos los interpretamos como:

18 750 (distancia )

23 ( )min

=

=

barras de pan d o productos fabricados

barras v velocidad de fabricacin

Utilizamos la ecuacin (2-3) ya que su velocidad es constante, slo que por los datos

conocidos hay que realizar lo que en lgebra se llama despeje.

tdv = (2-3)

como conocemos v y d tenemos que despejar t (el tiempo a emplear)

Para despejar ecuaciones tenemos que usar las propiedades de la igualdad (hay que

recordarlas).

Despejada quedara como:

min23

75018barras

barrasvdt == = min21.815

Esto es, el tiempo para fabricar 18 750 barras a un ritmo de 23 barras/min, es de

815.21 minutos, o sea 13.5 horas, aproximadamente.


- 29 -

3. La velocidad de fabricacin de donas es de 87 paquetes por minuto, si cada paquete contiene 4 donas (15 g cada una), calcular cuntas donas se fabrican en 8.0 horas de trabajo

continuo.

RESPUESTA: El movimiento es del tipo de velocidad constante y vale

min

87 paquetesv =

as mismo, ht 0.8= , entonces la cantidad de producto fabricado se interpreta como d. despejando d, de la ecuacin (2-3)

tdv =

obtenemos:

dtv = y unificando unidades de tiempo

( )min600.8)min

87( xpaquetesd = = paquetes76041 Como cada paquete contiene 4 donas, entonces se fabrican:

donasd 040167= en 8.0 horas.

2.2.1. VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INTANTNEA

VELOCIDAD MEDIA. Imaginemos un autobs que se traslada de Puebla a la ciudad de Mxico. La distancia es de 140 Km y si el tiempo empleado es de 2.0 h, entonces la

velocidad que obtenemos mediante la ecuacin (2-2) o la (2-3) hkm

hkm

tdv 70

0.2140 ===

Es obvio que este valor de la velocidad no indica la velocidad real a la que el autobs

se movi durante todo el trayecto, este resultado nos indica la velocidad a la que en trmino

medio se movi el autobs para que en 2.0 horas recorriera 140 km. Cuando hemos viajado

en un camin sabemos que su velocidad cambia frecuentemente, a veces se mueve a mayor

velocidad de 70 km/h, a veces a mucho menos de 70 km/h , a veces se detiene, otras es de 70

km/h. Algo semejante pudo haber sido el movimiento del autobs y sin embargo recorrer en 2

h los 140 km. Como este valor de la velocidad no refleja el valor real del movimiento del

autobs, en su movimiento de velocidad cambiante, se le llama velocidad media.


- 30 -

La velocidad media es la que se obtiene mediante el cociente tdv = (2-3)

o mediante: txv

= (2-2)

y para movimientos con velocidad variable, es decir slo se considera el cociente de la

distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, sin tomar en cuenta si en el trayecto la

velocidad cambi en direccin o cambi en ritmo (magnitud). La ecuacin que ms se

acostumbra utilizar para calcular la velocidad media es la (1-2), ya que con ella se especifican

y calculan algunos valores que con la (1-3) pueden pasar desapercibidos.

A B C X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

Figura 2-2. Objeto en movimiento a lo largo de una trayectoria rectilnea

txv

= (2-2)

Supongamos que un objeto se mueve (como se observa en la figura 2-2) a lo largo de

un camino rectilneo. Tomando como referencia, o punto de origen, a X0. Si el objeto al pasar

por A y un reloj seala el instante t0, su distancia al origen est determinado por X2; cuando

pasa por B es el instante t su distancia, desde X0, es X6. El intervalo de tiempo transcurrido

desde t0 hasta t se calcula con t t0 y la distancia recorrida en ese intervalo ha sido AB = X6

X0, de modo que podemos expresar la velocidad (media) entre el intervalo A y B en la forma:

0

06

ttxx

empleadotiemporecorridaciandista

v == (2-4)

Se acostumbra emplear una notacin ms compacta, para ello se emplea la letra

(delta griega) que colocada delante de otro smbolo como x ( x), significa que x ha sufrido un cambio o una variacin.

Entonces, haciendo

x = recorridadistanciaxx = 0 t = tiempodeintervalott = 0


- 31 -

Podemos expresar la velocidad por la relacin xvt

= que tiene la ventaja de indicarnos la

direccin del movimiento y su magnitud. Ms adelante sealaremos otras ventajas. Por

ejemplo, si la partcula estando en C se desplaza a B, x = 96 xx , aqu x es negativo, ya que la posicin de la partcula est a la izquierda de su posicin inicial. De

manera semejante, si el desplazamiento se realiza de tal forma que la partcula termina a la

derecha de su posicin inicial, x ser positivo.

VELOCIDAD INSTANTNEA. En muchos de los movimientos es ms til calcular la velocidad que tiene un mvil en cada momento, lo que se llama velocidad instantnea.

Para obtener la velocidad instantnea en un cierto intervalo pequeo, por ejemplo en el

de X6 a X7, debemos medir la distancia (muy pequea) x correspondiente a un intervalo de tiempo t muy pequeo al pasar el cuerpo por el punto escogido y aplicamos la expresin (1-2), o sea

distancia "pequea" ( x)velocidad instantnea =intervalo "pequeo" de tiempo ( t)

(2-5)

Cuanto ms pequeo sea t, ms prximo es el resultado anterior al valor de la velocidad instantnea.

EJERCICIOS PARA CLASE Y DE TAREA.

1. Thomas Burke, el primer campen olmpico en la carrera de 100 m, realiz su recorrido

en 12 s, halla su velocidad en Km/hr.

2. Un lanzador de grandes ligas realiza lanzamientos a una velocidad de 90 mi/hr. Calcula

la velocidad de lanzamiento en Km/hr.

3. Imagina que un avin va llegando a la Cd. de Mxico. Antes de aterrizar el piloto se

asoma por la ventana y observa autos, camiones, microbuses y hasta el metro

moverse.

a) Cul sera su punto de referencia para saber que estos medios de transporte se

estn moviendo si l tambin lo hace junto con el avin?

b) Si las personas que van en el metro en movimiento voltean a ver el avin, quiz les

parezca que el avin no se mueve es esto posible? Explica


- 32 -

4. Un automvil recorre una distancia de 86 km a una rapidez promedio de 8 m/s.

Cuntas horas requiri para completar el viaje?

5. En una empresa refresquera, pasan por el inspector de botellas vacas 100 botellas en

un minuto, determina la velocidad con que esta trabajando el aparato.

6. Determina la distancia que recorre una lancha que se mueve con una rapidez de 90

km/h durante 20 minutos.

7. Un automvil avanza a una rapidez promedio de 60 mi/h durante 3 h y 20 min. Cul

fue la distancia recorrida?

8. Una persona, al observar el movimiento del auto de la figura inferior observa que,

despus de ste pasa por el punto A transcurridos 0.10 s la distancia recorrida fue de

0.5 m y que transcurridos 5.5 s la distancia recorrida fue de 60 m.

a) Calcule la velocidad para cada observacin.

b) La velocidad instantnea del auto en A

Debe aproximarse a 5 m/s o a 12 m/s?

Fig. 2-3 para el ejercicio 8

2.3 CAMBIO DE VELOCIDAD: ACELERACIN.

PREGUNTAS: 1. Qu le ocurre a la velocidad de un automvil:

a) al oprimir el acelerador;

b) al aplicar los frenos

2. Observe una esfera que desciende a lo largo de un plano inclinado partiendo del

reposo.

Se mueve la esfera siempre con la misma velocidad?

Qu ocurre a la velocidad de la esfera si la lanzamos de modo que suba?

Las respuestas a estas preguntas nos llevan a un nuevo concepto, al cambio de

velocidad conforme transcurre el tiempo el cual es llamado aceleracin.

tiempodeintervalovelocidaddecambionaceleraci = (2-6)


- 33 -

Por ejemplo, un automvil cuyo velocmetro seala, en cierto instante de tiempo,

velocidad de 50 km/h. Si 1 segundo despus, el velocmetro cambia a 55 km/h, podemos

decir que su velocidad vari 5 km/h en 1 s. Esto es, el automvil experiment una

aceleracin. El concepto de aceleracin se relaciona con el cambio en la velocidad.

Para definir la aceleracin matemticamente recurramos a una figura como la Fig.4.

Sea V0 el valor de la velocidad de un cuerpo en el instante t0. Si la velocidad del cuerpo

continua variando, en un instante posterior t1 ser de V1, diferente de V0. Nuevamente

despus en el instante t2 tendr una velocidad V2. Esto es, durante el intervalo de tiempo

10 ttt = , la velocidad ha variado 10 vvv = . El valor de la aceleracin est dado por: t0 t1 t2 V0 V1 V2 Figura 2-4. Cuando la velocidad de un cuerpo vara, decimos que tal cuerpo posee aceleracin.

01

01

ttvv

dotranscurritiempodeintervalovelocidadladevariacin

a == , es decir,

tv

a = (2-7)

De forma similar, si ahora consideramos la variacin de la velocidad entre los instantes

t1 y t2 la variacin de la velocidad es 12 vvv = y la aceleracin ser:

tv

ttvv

a =

=12

12 (2-8)

EJEMPLO 1. Supongamos que para el cuerpo de la Fig.4 en el instante t0 la velocidad vale

smv 120 = y 8 segundos despus )8( st = , la velocidad es smv 441 = , la aceleracin

del cuerpo ser:

ss

m

ss

ms

m

ttvv

a 48

1244

01

01 ===


- 34 -

Este resultado significa que la velocidad del cuerpo aument sm4 en cada 1 segundo. Se

acostumbra expresar las unidades de la siguiente manera:

2444 sm

ssm

ss

ma ===

El movimiento en el cual la velocidad aumenta con el tiempo se denomina movimiento

acelerado.

Si la velocidad disminuyera en el tiempo, decimos que el movimiento es desacelerado o

retardado. Por ejemplo, si smv 480 = y 6 segundos despus )6( st = , la velocidad es

smv 241 = , entonces la aceleracin del movimiento ser:

201

01 46

24

6

4824s

ms

sm

ss

ms

m

ttvv

a ==== , esto es

24 sma =

Esto significa que la velocidad disminuy sm4 en cada 1 segundo.

2.4 MOVIMIENTO RECTILNEO CON ACELERACIN CONSTANTE.

Supongamos que un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta y cada segundo se

registra que su velocidad aumenta (o disminuye) en 10 m/s de manera que al segundo 1 su

velocidad es de 10 m/s, al segundo 2 es de 20 m/s, al tercer es 30 m/s, al segundo 4 es 40 m/s

y por ltimo 5 s vale 50 m/s. Con estos valores advertimos que la velocidad est variando en

10 m/s cada 1 segundo.

Esto es que 2ma = 10 s

Un movimiento como ste en el cual la variacin de la velocidad es constante o

proporcional al tiempo transcurrido y su trayectoria rectilnea, recibe el nombre de movimiento

rectilneo uniformemente variado o acelerado uniformemente. Dicho de otra forma, en el

movimiento uniformemente rectilneo variado la velocidad experimenta aumentos o

disminuciones iguales en tiempos iguales.


- 35 -

Cuando un cuerpo se mueve en trayectoria rectilnea y con aceleracin uniforme se

demuestra que existen un conjunto de ecuaciones para describirlo y con las cuales se puede

calcular:

La distancia recorrida -------------- d El tiempo empleado -------------- t La velocidad al final -------------- 2v La aceleracin ------------- a

Estas ecuaciones son:

tvv

a 12= (2-9)

2

2

1ta

tvd += (2-10)

davv 22122 += (2-11)

EJEMPLOS:

La velocidad de despegue de un avin es de hkmv 300= . Si la longitud de la pista es de 1

500 m, qu aceleracin debe producir el motor para lograr el despegue? Cunto tiempo

tardar el avin en despegar?

RESPUESTA Es recomendable iniciar por caracterizar el tipo de movimiento del cuerpo que se est

estudiando, en este caso el avin. Por las condiciones del problema y sus datos, el movimiento

es del tipo rectilneo acelerado uniforme.

Despus de interpretar los datos y agruparlos, es necesario saber que ecuacin de las

tres sealadas para este tipo de movimiento se va a usar:

DATOS:

Longitud de la pista, se considera como la distancia recorrida md 5001=


- 36 -

Velocidad del despegue, se considera como velocidad al final del recorrido

hkmv 3002 =

Velocidad con la que inicia su movimiento de recorrido por la pista, se entiende como la velocidad inicial y aunque no la dan explcitamente, deducimos que vale h

kmv 01 = Conforme a los datos la ecuacin que se utilizar es la (2-11) y de la cual se

despejar a la aceleracin (a ).

davv 22122 +=

Para despejarla utilizaremos las propiedades de la igualdad (recordarlas). Lo cual

nos lleva a la nueva ecuacin: ad

vv =2

21

22 donde debemos transformar las

unidades al sistema SI, esto es: sm

hkm 3.83300 =

2

2

31.2)5001(2

0)3.83(s

mm

sm

= = a

Ahora calculemos el tiempo empleado en despegar.

Observemos que ahora tenemos ms datos que al iniciar la solucin ya que tenemos la

aceleracin.

Segn los datos, las ecuaciones a utilizar seran la (2-9) y (2-10). Por comodidad

utilizaremos la que mejor nos facilite el clculo. t

vva 12

= , la (2-9) DATOS

231.2 sma = smv 3.832 = 01 =v

Despejando el tiempo y sustituyendo valores

a

vvt 12

= ss

ms

mt 06.36

31.2

03.83

2

==

Esto es, tarda 36.06 segundos en recorrer 1 500m con una aceleracin de 2.31 m/s2 y

despega con una velocidad de 83.3 m/s.


- 37 -

2. Un automvil, al desplazarse en lnea recta, adquiere una velocidad que cambia en el tiempo, segn los datos de la tabla que se observa.

A B C D E F G H I

Tiempo T (s)

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

Velocidad v (m/s)

10 12 14 16 16 16 15 18 20

Tabla 5. Datos velocidad-tiempo de un automvil en movimiento rectilneo

a) En qu intervalo de tiempo el movimiento del auto muestra una aceleracin?

b) En qu intervalo es nula la aceleracin?

c) En qu intervalo es negativa su aceleracin?

d) En cul es uniformemente acelerado su movimiento?

RESPUESTA.

Para responder el ejercicio es necesario recordar, principalmente, los conceptos de

aceleracin y movimiento rectilneo acelerado uniforme.

variacin de la velocidadaceleracinintervalo de tiempo transcurrido

=

Cuando la velocidad a la que se mueve un cuerpo vara proporcionalmente al tiempo transcurrido y su trayectoria es rectilnea, el movimiento recibe el nombre

de movimiento rectilneo uniformemente variado o acelerado uniformemente. O

tambin, un cuerpo tiene un movimiento rectilneo uniformemente variado

cuando su velocidad experimenta aumentos o disminuciones iguales en tiempos

iguales.

Considerando estas definiciones y viendo los datos de la tabla del ejercicio.

a) Existe una aceleracin o cambio en la velocidad, conforme transcurre el tiempo, en los intervalos de A (0 s) a D (3.0 s); y de F (5.0 s) a I (8.0 s).

b) No hay aceleracin, esto es, la velocidad no cambia para el intervalo de D (3.0 s) a F (5.0 s).

c) La aceleracin es negativa cuando su velocidad cambia pero disminuyendo, as en el intervalo de G a H la velocidad pas de 16 m/s a 15 m/s, disminuy.


- 38 -

d) Su movimiento fue uniformemente acelerado para el intervalo de A a D, en el cual

su velocidad aument cada 1 segundo en smv 2= , esto es su aceleracin fue de

22 sma = . Y aunque de 6.0 s a 8.0 s su velocidad aument, conforme a los datos

de la tabla no podemos afirmar que vari uniformemente, los intervalos de tiempo

son insuficientes para concluirlo.

a) Qu velocidad tendr un cuerpo cuando han transcurrido 30 s si se mueve con

una aceleracin 2

360 minma = y su velocidad inicial es de hkmv 601 = , siendo

el movimiento rectilneo uniformemente acelerado?. As mismo, calcular la

distancia recorrida por el cuerpo durante los 30 s.

RESPUESTA. Por el enunciado y datos del problema el movimiento es rectilneo uniformemente

acelerado.

Agrupando los datos, las ecuaciones que se van a usar son (1-9), (1-10), slo que por

comodidad usaremos la (1-10) ya que la distancia se obtiene ms inmediatamente, ya est

despejada y slo se obtiene sustituyendo datos:

Tambin es necesario convertir las unidades al sistema SI, donde sea necesario:

DATOS:

tiempo transcurrido st 30= aceleracin 2

21.0360 s

mmin

ma ==

velocidad inicial smhkmv 67.16601 == la velocidad que el cuerpo tendr al cabo de 30 s la entendemos como la velocidad al

final del intervalo, o sea 2v .

La ecuacin que utilizaremos para calcular la velocidad final V2 ser

t

vva 12

= , despejando 2v la ecuacin queda: 12 vatv +=

Sustituyendo datos: sm

smss

mv 67.1967.16)30)(1.0( 22 =+=


- 39 -

Ahora la ecuacin para calcular la distancia 2

2

1attvd += que al sustituir sus datos

mss

mss

md 1.5452

)30)(1.0()30)(67.16(

22 =+=

d = 545.1 m

EJERCICIOS PARA CLASE Y DE TAREA.

1. Un aeroplano aterriza con una velocidad de 180 Km/hr. Cunto tiempo tarda en

detenerse si se aplica una desaceleracin de 8 m/s2?

2. Un mvil que parte del reposo acelera a razn de 5 m/s2 hasta alcanzar una velocidad

final de 30 m/s Qu distancia recorri?

3. El extremo de un brazo robtico se mueve hacia la derecha a 8 m/s. Cuatro segundos

despus, se mueve hacia la izquierda a 2 m/s. Cul es el cambio de velocidad y cul

es la aceleracin?

4. Un camin que viaja a 60 mi/h frena hasta detenerse por completo en un tramo de 180

pies. Cules fueron la aceleracin promedio y el tiempo de frenado?

5. Un cuerpo en movimiento rectilneo uniformemente acelerado desarrolla, en el instante

t = 0, una velocidad V0 = 5.0 m/s y su aceleracin es a = 1.5 m/s2?

a) Calcule el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0 a 8.0 s.

b) Halle la velocidad del cuerpo en el instante t = 8.0 s.

c) Trace el diagrama V t para el intervalo de tiempo considerado.

d) Qu representa la pendiente de la grfica?

6. Cuando un cuerpo desciende en cada libre:

a) Qu le sucede al valor de la velocidad en cada segundo?

b) Y si el cuerpo fuera lanzado verticalmente hacia arriba?

7. Un cuerpo se deja caer (o sea parte del reposo), desde lo alto de un edificio y tarda 3.0

s, en llegar al suelo. Considere despreciable la resistencia del aire y g = 10 m/s2. Cul

es la altura del edificio? Con qu velocidad llega el cuerpo al piso?


- 40 -

2.5 VECTORES

Cantidades Vectoriales y Escalares.-

Por lo general se esta acostumbrando a trabajar con diversas especies fsicas o

cantidades como, el volumen de un cuerpo, el rea de un terreno, la temperatura de un objeto

etc.

As pues decimos que el volumen de un tanque de agua de 1000 litros, que el rea del

terreno es de 300 metros cuadrados, que la temperatura de un cuerpo es de 38 C.

Observamos que en todos estos ejemplos como las cantidades citadas quedan plenamente

conocidas cuando especificamos su magnitud, es decir su valor numrico (o modulo) y la

unidad utilizada en la medicin.

Todas las cantidades como las que hemos mencionado y las cuales quedan

completamente definidas cuando se proporcionan su magnitud, reciben el nombre de

cantidades escalares, estas por ser nmeros se suman como cualquier numero.

El cambio de posicin de una partcula se llama su corrimiento o desplazamiento. Si

una partcula se mueve de la posicin A a la posicin B (Fig.1.a), podemos representar su

desplazamiento trazando una recta de A a B. la trayectoria de la partcula no tiene que ser

necesaria mente la lnea recta que une A con B; la recta representa solo el efecto neto del

movimiento no el movimiento mismo. Por ejemplo en la fig. 1b. Dibujamos la trayectoria

seguida de A a B y a C. La trayectoria de A a B no es la misma que el desplazamiento lo

mismo se aplica a la trayectoria de A a C o de B a C.

FIGURA 1.

Adems, un desplazamiento tal como AB (Fig.1.a) que es paralelo a AB igualmente

dirigido y de igual longitud que AB representar el mismo cambio de posicin que AB luego no

hacemos distincin entre esos dos desplazamientos.

Las cantidades que se comportan como el desplazamiento reciben el nombre de

cantidades vectoriales .por lo tanto una cantidad vectorial queda totalmente determinado solo

cuando se conoce su magnitud, su direccin y su sentido.

B B

A A

A

B

C

C

A

B

a) b) c)

B B

A A

A

B

C

C

A

B

a) b) c)


- 41 -

En el curso adems del desplazamiento, vamos a encontrar otras cantidades

vectoriales por ejemplo la velocidad, la aceleracin, la fuerza etc.

Como ya se vio el desplazamiento queda definido cuando se especifica su magnitud, su

direccin y su sentido estas tres caractersticas de la cantidad pueden proporcionarse al mismo

tiempo, si representamos el desplazamiento con la flecha AB que se muestra en la figura 2 su

longitud, a la escala apropiada representa la magnitud del desplazamiento su direccin

corresponde a la recta AB y su sentido esta indicado por la punta de la flecha. Se dice que en

estas representaciones las flechas corresponden a vectores.

FIGURA 2 .VECTOR

Dado un vector AB, podemos representar un desplazamiento subsiguiente de B a C de

una manera semejante (Figura 1C). el efecto neto de los dos desplazamientos ser el mismo

que un desplazamiento de A a C. llamaremos AC la suma resultante de los desplazamientos

de AB y BC. Ntese que esta suma no es una suma algebraica y que un nmero solo no

puede especificarla por completo.

2.5.1 MTODO GEOMETRICO DE LA SUMA DE VECTORES

Como ya dijimos para representar un vector en una figura dibujamos una flecha,

escogemos la longitud de la flecha proporcional a la magnitud del vector (esto es escogemos

una escala) y damos a la flecha la direccin y el sentido del vector.

Las reglas que se deben de seguir para efectuar la suma geomtricamente de dos

vectores A y B son las siguientes: en un diagrama dibujado a escala se traza el desplazamiento de A y dibuja una recta del origen de esta al extremo de B

Obtenindose a si el vector suma C. este es un desplazamiento equivalente en tamao, direccin y sentido, a los desplazamientos consecutivos de A y B. este procedimiento se puede generalizar para obtener la suma de cualquier nmero de desplazamientos

consecutivos.

A

B


- 42 -

La operacin de resta se puede incluir en nuestra lgebra vectorial estipulando que un

vector con signo negativo quiere decir un vector de igual magnitud y direccin pero de signo

contrario como se muestra en la figura 3

FIGURA 3

La diferencia de dos vectores a + (- b) = a - b

2.5.2 METODO ANALITICO DE SUMA DE VECTORES

A menudo no es conveniente sumar vectores mediante construcciones geomtricas, y

nunca es el procedimiento mas exacto. Sin embargo hay un sencillo proceso analtico por el

que se puede obtener la suma. Consiste en descomponer un vector en sus componentes

ortogonales (perpendiculares entre si).

Consideremos un vector A representado en la figura 4. Tracemos a partir del origen O los ejes perpendiculares OX y OY desde la extremidad del vector A

Se traza una normal a OX es decir se proyecta el vector sobre el eje OX y obtenemos

as el vector Ax se denomina componente del vector A en la direccin X (o del eje OX).

Figura 4. Componentes rectangulares del vector A

Por lo tanto decimos que la componente de un vector en una cierta direccin es la

proyeccin (ortogonal )del vector sobre la recta que define aquella direccin .

De la misma manera podemos obtener la componente del vector A segn el eje OY.

Observemos que el vector A es la resultante de Ax y Ay y por lo tanto el vector A se podr sustituir por la suma de sus componentes rectangulares o sea cuando determinamos

a

b -b

a -b

a - b

A

A

A


- 43 -

las componentes rectangulares de un vector A se obtienen dos vectores Ax y Ay cuya suma pueden sustituir al vector A .

Para evaluar matemticamente estas componentes, volvamos a la Fig.4, recordando

que para un triangulo rectngulo se tienen las siguientes relaciones:

.

cos

CO AxsenH A

CA AxH A

= =

= =

Despejando AX y AY se tiene:

cos

Ay AsenyAx A

= =

Estas relaciones permiten calcular los valores de las componentes Ax y Ay cuando

conocemos la magnitud del vector A y el ngulo que forma con el eje OX.

Por otra parte si se conocen los valores de las componentes Ax y Ay la magnitud del vector A se podr obtener por el teorema de Pitgoras

2 2 2x yA A A= +

La direccin del vector A la determina el ngulo que forma con el eje OX con se ve en la Fig.4.

x

y

ATanA

= o sea

1 y

x

ATan

A = .

La suma de dos vectores A y B con componentes AX , AY , Bx ,By se puede escribir como la suma de cuatro vectores componentes o sea:

A+ B = AX + AY + Bx + By =( AX + Bx) + (AY + By)=RX + Ry donde.

RX = AX + Bx y Ry = AY + By

Se puede generalizar este resultado para la suma de ms de dos vectores, teniendo

que:

La componente del vector resultante en la direccin OX de la suma de dos o ms vectores es

igual a la suma de las componentes de cada vector en la direccin OX , lo mismo para Ry .


- 44 -

La magnitud y direccin estn dados por:

2 2 2

1

x y

y

x

R R Ry

RTan

R

= +

= .EJEMPLOS.

1.- Una muchacha camina 300 m hacia el este, luego camina en otra direccin en lnea recta,

al final de su recorrido ella est exactamente a 200 m. al Noreste del punto de salida. Qu

tanto camin despus del cambio de direccin de la segunda parte del recorrido?.

SOLUCION.- La Fig.5 muestra dos vectores desplazamiento de este problema. El vector resultante R= 200m. a 450 al este del norte es el vector suma de los desplazamientos individuales A y B donde A = 300m hacia el este y B es el desplazamiento que no conocemos. Usando esta representacin Geomtrica, una regla y un transportador

encontramos que B = 210m. y 480 al Oeste- Norte.

Nosotros p0demos proceder de la forma siguiente, sabemos que: R = A + B entonces B = R A = R + (-A).

La construccin geomtrica que representa a la ecuacin vectorial anterior se muestra

en la Fig.5-b. El vector (- A) es por definicin `, un vector cuya longitud es igual a la de A y cuya direccin es opuesta a la de A, sumando R con A resulta el vector B que es idntico al de la Fig.5-a.

FIG:5 suma y resta de desplazamientos A y B.

2.- Repetir el problema anterior usando el mtodo de las componentes.

Solucin,- Usndole sistema de coordenadas tal que la direccin OX sea hacia el Este y la direccin OY hacia el norte. Entonces, el vector A tiene componentes:

R = 200

A = 300

B

B R =200 m

-A =300

a) b)


- 45 -

Ax = A cos 00 = 300 cos 00= 300m, Ay = A sen 00 = 0.

Y el vector R tiene las componentes

Rx = R cos450 = 200(.707) = 141.4

Ry = R sen450 = 200(.707) = 141.4

Ya que B = R A las componentes del vector B son:

Bx = Rx Ax = -158.6m.

By = Ry Ay = 141.4m.

Por lo tanto el vector B est en el segundo cuadrante y hace un ngulo con el eje de las x dado por:

= tan-1 6.1584.141

= 41.70

Esto corresponde a un ngulo de 48.30 con el eje y positivo. L magnitud de B viene dado por:

B = cosB

= 07.41cos6.158

= 212m..

3.- Encontrar la suma de A y B, donde A =8 y A =450 y B = 12 B = -600, los ngulos se miden con respecto a la direccin de las x positivas.

Solucin.- Calculando las componentes de A y B sobre los ejes x y y se tiene.

Ax = A cos A = 8 cos450 = 8(.707) = 5.66 Ay = a sen A = 8 sen450 = 8(.707) = 5.66 Bx = B cos B = 12 cos(-600) = 12(.5) = 6 By = B sen B = 12 sen (-600) = 12(-.866) = -10.4 La suma de las componentes d alas componentes de R.

Rx = Ax + Bx = 5.66 + 6 = 11.66

Ry = Ay + By = 5.66 + (-10.4) = -4.74

Por ltimo se tiene:

= tan-1 x

y

RR

= tan-1 66.1174.4

= -22.10 y :


- 46 -

R = cosxR =

)1.22cos(66.11

0 = 927.66.11

= 12.6.

PROBLEMAS.

1.- Encontrar grficamente las componentes horizontal y vertical de una fuerza de 40 Kg. cuya direccin forma un ngulo de 500 por encima de la horizontal hacia la derecha, hgase en el

dibujo 3mm. = 2kg; comprobar los resultados calculando las componentes.

2.-Una caja es empujada sobre el suelo como indica la fig 6, por una fuerza de 20kg, que forma un ngulo de 300 con la horizontal. Utilizando una escala de 5mm = 1 kg. Encontrar las

componentes horizontal y vertical de la fuerza por el mtodo grfico. Comprobar calculando

las componentes.

FIGURA 6

3.-Dos hombres y un muchacho desean empujar un paquete en la direccin marcada con x en la figura, ambos hombres empujan con las fuerzas F1 y F2 cuyos valores y sentidos estn indicados en la Fig. 7. Encontrar la magnitud y direccin de la fuerza mnima que debe ejercer

el muchacho.

FIGURA 7

4.-Haga un diagrama, mostrando la adicin vectorial

De dos fuerzas, 5N y 12N respectivamente, aplicadas en ngulo recto una con otra. Encuentre

la resultante por: a) dibujo a escala, y b) clculos.

F

60

30

F1=100 N

F2=80 N

F x


- 47 -

2.6 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

Cuando la trayectoria que describe un cuerpo es un crculo el movimiento se denomina

circular. Si adems el cuerpo recorre espacios iguales, o arcos de circunferencia iguales en

tiempos iguales cualesquiera, el movimiento se llama movimiento circular uniforme (MCU). En

el movimiento circular, podemos observar que el cuerpo gira alrededor de un punto fijo llamado

eje de rotacin. Por ejemplo la rueda de la fortuna, los engranes, poleas, las ruedas de un

auto, las hlices, etc. Este movimiento se realiza en un mismo plano y es el movimiento ms

simple en dos dimensiones.

En el MCU la magnitud de la velocidad (a cunto se mueve) no cambia (por ser

uniforme) pero la direccin de la velocidad vara continuamente (por ser curvilneo). La

velocidad a lo largo de la trayectoria curvilnea se denomina velocidad lineal y se le considera

tangente a la trayectoria y, por tanto, perpendicular al radio.

El tiempo que un cuerpo tarda en dar una vuelta completa se denomina perodo del

movimiento y se le representa por T. El espacio recorrido por el cuerpo durante el perodo

(una vuelta completa), es la longitud de la circunferencia (permetro) que, como sabemos, tiene

un valor de R2 (donde R es el radio de la trayectoria). Por lo tanto, cuando el movimiento circular es uniforme, el valor de la velocidad se calcula mediante

Perodo

Permetroempleadotiempo

nciacircunfereladelargoolarecorridadistanciav ==

esto es, T

R2v = ( 2-12 )

2.6.1 VELOCIDAD ANGULAR

Cuando un objeto se mueve en una circunferencia, llevar una velocidad, ya que

recorre un espacio, pero tambin recorre un ngulo (), por lo que podemos definir la velocidad

angular () de ese objeto como el cociente entre el ngulo recorrido y el tiempo que tarda en

recorrerlo.

t= (2-13 )


- 48 -

La velocidad angular se mide en radianes por segundo ( srad ) y se mide en radianes

por segundo (o simplemente s-1 porque los radianes son adimensionales).

Como en este movimiento utilizamos dos conceptos de velocidad, una referida a la

distancia recorrida en la unidad de tiempo y la otra referida al ngulo descrito en dicha unidad

de tiempo, a la primera la llamamos velocidad lineal y a la segunda velocidad angular.

La velocidad angular proporciona informacin acerca de la rapidez con la cual gira un

cuerpo. Esto es, cuanto mayor sea la velocidad angular de un cuerpo, tanto mayor ser el

ngulo que describe por unidad de tiempo, es decir estar girando con una mayor rapidez.

Como los ngulos se miden en grados y radianes es conveniente recordar su

equivalencia, esto lo podemos ver en la siguiente tabla:

Tabla: Equivalencia entre radianes y grados.

GRADOS RADIANES 3600 2 1800 900

2

600 3

450 4

300 6

1 rad

57.30

Si el mvil que recorre la trayectoria circular realiza una vuelta completa o revolucin, el

ngulo recorrido ser de 3600, que conforme a la anterior tabla equivale en radianes a

rad2= . Como el intervalo de tiempo para una vuelta completa lo habamos definido como perodo, o sea Tt= , entonces la velocidad angular tambin se expresa

T2= (2-14 )


- 49 -

Entre la velocidad lineal (v) y la angular ( ) existe una ecuacin que las relaciona, esto es

T

R2v = que reagrupndola se expresara como RT2v

=

y como T2

es la velocidad angular, combinando tenemos que

Rv = (2-15) Velocidad = radio X velocidad angular

Esta ecuacin simplifica el clculo de la velocidad lineal y cuando conocemos la

velocidad angular y el radio R, y viceversa. Esta ecuacin se puede utilizar si los ngulos se

estn midiendo en radianes.

2.6.2 ACELERACIN CENTRPETA

En el movimiento circular uniforme, la magnitud de la velocidad de la partcula

permanece constante y solamente est cambiando en direccin continuamente. A esta

variacin de la velocidad en su direccin se le llama aceleracin centrpeta y se representa por

ac.

Como la aceleracin debida al cambio en la direccin de la velocidad apunta hacia el

centro de la circunferencia se le denomina cen

Propedeutico FISICA 2008

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