Unitatearen aurkezpena€¦ · Unitatearen aurkezpena • Unitate honetan, aurreko...

66

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetan,aurrekounitateanproportzionaltasun-erlazioeibu-ruzikastenhasiginenedukiaksakondukoditugu.Ikasleenprestakun-tzaridagokionez,osogarrantzitsuadakontzeptuakondoeraikitzeaetakalkuluaktrebeegitenikastea;batetik,egunerokoerrealitateare-kinosoestulotutadaudenarloakdirelako,eta,bestetik,eskurajar-tzendizkigulakoerrealitateainterpretatuetaaztertzekotresnak.

•Hasteko,arrazoiaetaproportzioazerdirenazaltzenda.Horrela,kontzeptuhorienbidez,kontzeptuberriaklanduetaprozesuakerrazagodeskribatukoditugu.

•Proportzionaltasun-egoereidagokienez,besteurratsbatgehia-goemangodugu.Proportzionaltasunzuzenaetaalderantzizkoabereizikoditugu,proportzionaltasunhorienbarneerlazioaksa-kondukodituguetaproblemakebaztekoerabilikoditugu.

•Horieginostean,proportzionaltasunkonposatukoproblemaebatzienadibideakematendira,kasuistikaosoa.

•Zuzeneanetaalderantzizproportzionalakdirenbanaketenegoe-raklantzekoereproblemaebatziakerabilikoditugu.

•Unitatearenbigarrenzatiaportzentajeeiburuzkoada.Hasteko,kontzeptuahainbatikuspunturenaraberalandukodugu(propor-tzioa,zatikia,zenbakihamartarra).Ondoren,gaiezezagunaalda-tzenjoangodenhainbatproblemaebatzilandukodituguberriroere.Ehunekohandiagotzeaketatxikiagotzeakerelandukoditu-gu,eta,azkenik,banku-interesakikusikoditugu.

Gutxienekoezagutzak

•Bimagnituderenarteanproportzionaltasun-erlaziorikdagoenzehaztenjakitea.Proportzionaltasunazuzenaedoalderantzizkoadenbereiztea.

•Proportziobatekogaiezezagunakalkulatzea.

•Magnitudezuzeneanetaalderantzizproportzionaleidagozkienbalio-taulaerrazakburuzosatzea.

•Egunerokoegoeretanageridirenproportzionaltasunproblemaerrazakebaztea.Unitateralaburtzekometodoaetahirukoerre-gelaerabiltzea.

•Portzentajezuzenakkalkulatzea.

•Ehunekohandiagotzeedotxikiagotzeenegoerakebaztea(pro-blemazuzenak).

•Kapitalbatek,korritujakinbaterako,urtekopuruosobateanzerinteressortzendituenkalkulatzea.

Osagarrigarrantzitsuak

•Zuzeneanproportzionalakdirenbalioentaulabateanproportzio-naltasun-konstantealortzea.

•Proportzionaltasun-taulabatean(zuzenazeinalderantzizkoa),ba-lio-parebatedoproportzionaltasun-konstanteazeindirenjakin-da,besteedozeinbalio-parelortzea.

Unitatearen eskema

PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK

5 Proportzionaltasuna eta ehunekoak

66

EBAZPENA

•Unitateralaburtzea

•Hirukoerregela

BANAKETAZUZENETAALDERANTZIZ

PROPORTZIONALAK

•Ebazpen-metodoak

EBAZPENA

•Ehunekozuzenakkalkulatzea

•%kalkulatzea,osotasunaetazatiajakinda

•Osotasunakalkulatzea,%etazatiajakinda

•Ehunekoenhandiagotzeaketatxikiagotzeak

•Bankukointeresak

EHUNEKOAK

PROPORTZIONALTASUNERLAZIOAK

PROPORTZIONALTASUNZUZENA

ALDERANTZIZKOPROPORTZIONALTASUNA

TRESNAK

•Arrazoia

•Proportzioa

•Zatikiaketazenbakihamartarrak

67

•Proportzionaltasun-tauletakobalioak(zuzenakedoalderantziz-koak)hartuta,proportzioakeratzeaetazatikienartekobaliokide-tasunarekinerlazionatzea.

•Proportzionaltasunkonposatukoegoerakebaztea.

•Ehunekoeiburuzkoegoeretan,zatiaetaezarritakoehunekoazeindirenjakinda,osotasunakalkulatzea(alderantzizkoproblema).

•Ehunekoenhandiagotzeetatxikiagotzeetan,hasierakokantita-teaedoezarritakoehunekoakalkulatzea.

•Banaketaproportzionaleiburuzkoproblemakebaztea.

•Banku-intereseiburuzkoproblemakebaztea.

Lanakaurreratu

•Zatikiaklortzeaetabaliokideakosatzea.

•Zatikiamoduhamartarreraigarotzea.

•Proportzionaltasun-erlazioakbereizteaetaproportzionaltasune-koakezdirenbestebatzuekinkonparatzea.

•Proportzionaltasunzuzenekoetaalderantzizkoproportzio-naltasunekoegoerakburuzebaztea,norberaksortutakome-todoenbidez,etabatzuenetabesteenartekoaldeakkonpa-ratzea.

•Ehunekoerrazakburuzkalkulatzea.

•Gogoetaegiteadiruarenprezioarenesanahiariburuz,bankuenzereginariburuz,etab.

Curriculumaegokitu

«Fotokopiatzekobaliabideak»atalean,ikaslearenliburuko5.uni-tatehonencurriculumegokituaagerida.Horretarako,hemenproposatzendirengutxienekoezagutzakhartuditugukontuan.

Hasierakoirakurgaiak,batetik,ulertuzirakurtzekogaitasunain-dartzekobaliodu;eta,bestetik,matematikarenikasketajustifika-tzendutenbialderdiaklantzeko:praktikoaetaintelektuala.

Edukiakeskatubeharrekogutxienetaraegokitutabadaude,edoezdutealdaketarikizan,edoapurbatmoldatudiraikasleekdu-tenmailakontuanhartuz.Gauzaberaesandezakeguproposa-tzendirenariketapraktikoeiburuz.

Edukirenbateskatubeharrekogutxienetatikkanpobadago,edokendueginda,edoeskatzendenmailaraegokituda.

Azkenik,unitatearenamaieranageridirenariketaetaproblemeidagokienez,gutxiagojarridiraetamoldatuedoerraztuegindira,eskatubeharrekoraegokitzeko.Gauzaberaegindaautoebalua-zioarekin.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA

89.or.P.D.-niradokitakoariketa 93.or.11.(*)ariketa 90.or.1.(*)ariketa 88.or.P.D.-niradokitakoariketa(*)

91.or.«Pentsatuetaegin»(*)etaP.D.-niradokitakoariketa

96.or.Problemaebatzia,b)atala 102.or.Orrialdeosoa

101.or.P.D.-niradokitakoariketa 97.or.Problemaebatzia,b)atala 103.eta104.or.Problemaebatziak(*)

98.or.Ariketaebatzia(*) 105.or.3.(*)ariketa

100.or.«Ehunekoazenbakihamartarbatekinelkartzenda»(*)atala

107.or.3.(*),6.eta9.(*)ariketak

106.or.Problemaebatzia(*) 109.or.41.(*)ariketa

108.or.22.(*)ariketa 110.or.48.(*)eta58.ariketak

IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

88.or.P.D.-niradokitakoariketa 97.or.«Pentsatuetaegin»(*) I.L.-nproposatutakoproblemaguztiak.Hemenaipagarriakdirenbatzukadiera-zikoditugu.

110.or.48.ariketa 95.or.7.ariketa

111.or.65.(*)ariketa 101.or.5.,6.,7.,8.,9.,10.eta11.ariketak

112.or.«Pentsatu,saiatuetaerantzun»(*)ariketa

105.or.6.,7.,8.eta9.ariketak

111.or.«Ikasiproblemakebazten»(*)ariketa

112.or.«Proportzioakmosaikoan»ariketa

113.or.«Trebatuproblemakebatziz»(*)ariketa

Ondorengotaulahonetan,lankidetzanikastea,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenli-buruan(I.L.)proposatutadaude,eta,hemen,zerorrialdetandaudenetazerariketadirenadierazida.Bestebatzuk,argizehaztendenmoduan,ProposamenDidaktikoan(P.D.)iradokitadaude.

Iradokizunhauetakobatzukikurbatekinmarkatutadaudeikaslearenliburuan;hemen,(*)ikurraerabiliznabarmenduditugu.

68

5 Proportzionalta- suna eta ehunekoak

Proportzionaltasun praktikoaOndoren, eguneroko zereginetan ageri izaten diren egoerak aurkezten dira; egoera horiek unitatearen edukien nondik norakoak zehazteko balio izango dizute. Ebatzi egoera horiek, buruzko kalkuluaren bidez, eguneroko bizimoduan egiten dugun bezala.

1 Hiru pisu berdin daude eta baskulak 600 gramo markatzen du.a) Zenbat markatuko luke bi pisu bakarrik egonez gero?b) Baskulak kilo bat markatuz gero, zenbat pisu egongo lirateke?

2 Abiadura konstantean goaz autobidean zehar eta kilometroen poste batetik hurrengora 30 segundo pasatu direla zenbatu dut.a) Zer distantzia egingo dugu 10 minutuan?b) Zer abiadura daramagu?

3 Leihotik begira egon naiz eta kaletik pasatu diren azken 100 automobilen koloreak idatzi ditut; 20 grisak ziren. Osatu honako esaldi hau:… automobiletik bat grisa izan da.

Proportzionaltasuna eta teoriaOrain, aurreko orrialdean esaten denez, aztertu proportzionaltasun-erlazio bat, ikuspuntu teorikotik, egune-roko testuinguruaren laguntzarik gabe.

7 Pentsatu eta erantzun.a) Osatu taula.

i. magnitudea 1 2 4 5 8 … a c

ii. magnitudea 3 6 12 … b d

b) Eta, taulari erreparatuz, honako hau gertatuko da: a · d = b · …

Proportzionaltasuna eta ehunekoakEbatzi, buruz orain ere, ehunekoek parte hartzen duten egoera batzuk.

4 Zineman, 10 jarlekuko 20 lerro daude. Goiz samar iritsi naiz eta, filma hasi arte denbora emateko, 79 jarleku hartuta daudela zenbatu dut. Jarlekuen ehuneko zenbat daude hartuta, gutxi gorabehera?

5 % 20 merkeago dagoen 450 euroko berokia erosi dut.a) Zenbat merkatu dute berokia? b) Zenbat ordaindu behar dut?

6 Bankuak % 5ean eskaini dit mailegua. Zenbat itzuli beharko dut…a) … 3 000 euro urtebeterako eskatzen baldin badut?b) … 3 000 euro urtebete erdirako eskatzen baldin badut?

Proportzionaltasun-kontzeptua kultura guztien aztarnetan ageri da, egu-neroko problema eta egoera praktikoekin lotuta hasieran: uztarri batean, bi idi; hiru uztarritan, sei idi.

Gaur egun, proportzionaltasuna ezinbesteko bihurtu da edozein zientzia aplikatu garatzeko (fisika,

kimika, biologia, estatistika…).

Eta, ohartzen baldin bazara, buruzko kalkulurako ez ezik, eguneroko egoera askotan erabiltzen duzula konturatuko zara: erosteko, banatzeko, aurresateko, espekulatzeko, zenbaketak egiteko…

Antzinako Grezian, matematikariek alderdi teorikoei, legeei eta erlazioei buruzko gogoetak egin zituz-

ten, egoera konkretuetatik kanpo.

Hainbat denbora geroago, Errenazimentuan, merkata-ritza garatzeak beste bultzada bat eman zion propor-tzionaltasunari, merkataritza-matematikaren eremuan batez ere. Ehunekoak, deskontuak, zorrak, epeak…

— 100 dobloi hilabetean uzten baldin badizki-zut, 106 itzuliko dizkidazu.

— Urtebeterako 200 eskatuz gero, itzuli beharko dizkidazu…

450 €

Beherapena

% 20

Unitatearen hasiera• Hasierakoirakurgaiak,unitateanlandukodirenedukiakzeindirenagertzeaz

gain,motibazioarieraginnahidioetaikasleeninteresapiztunahidu,oina-rrizkobiideiarenbidez:

–Gizajarduerarenondorioz(merkataritza,erabilitakodenbora,ekoizpe-na...)sortzendirenkalkuluakproportzionaltasun-erlazioekinlotutaegondirabeti,antzinatiketakulturaguztietan.

–Unitatehonetanazaltzendirenedukiakzuzeneanezartzekomodu-koakdiraeta,gainera,ezinbestekoakerebadiraegunerokoedozeinjardueratanaritzeko.

• Bateratze-lanean,proportzionaltasunak,historianzehar,batezereerabilerapraktikoaizanduelaazpimarratukodugu,etahorizehatzikusdezakegulamerkataritzakomatematikan.Denadela,greziarrakdagoenekoarduratuzi-renesparruhorriereegiturateorikoaeraikitzen,etaarlohorretangizakiarenbesteezaugarribatazpimarratukodugu:jakinnahiaetalanintelektualaga-ratzekoetasakontzekoirrika.

• Eskuinekoorrialdean,irakurgaianageridirenideiakfinkatzekoadibidemoduanbaliokodigutenhiruariketa-multzoematendira.

• Ikasleekbakoitzakberebaliabideakerabilizlandukodituhasierakogal-derahauek,zerdakitenetazerikasikodutenkontuanhartuz.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• Zatikibaliokideakidentifikatzeaetasortzea.

• Zatikiakmoduhamartarreraigarotzea,etaalderantziz.

• Proportzionalakdirenetaezdirenmagnitude-bikoteakaurkitzea,etaerabatekoaketabestekoakzergatikdirenjustifikatzea.

• Proportzionaltasunzuzenekoetaalderantzizkoproportzionaltasunekoegoerakkonparatzea.

• Proportzionaltasunarekinlotutadaudenegoeraerrazakburuzebaztea.

Diziplinartekotasuna Taldeanhonakoariketahauegiteairadokitzenda:

Deskribatuproportzionaltasunazeregoeratanerabiltzendenekonomian,medikuntzan,hirigintzan,artean,ekologian,sukaldaritzan,etab.

IKTak Internetirakurgaiakematendueninformazioasakontzekoerabiltzea.

Lankidetzan ikasi Ariketaktaldetxikianebaztea,eta,gero,taldehandianeztabaidatzea.

Ariketen soluzioak

1 a)400gramomarkatukoluke. b)5pisuegongolirateke.

2 a)10minutuan20kilometroegingoditugu.

b)120km/h-koabiaduradaramagu.

3 Bostautomobiletikbatgrisaizanda.

4 Jarlekuen%40daudehartuta,gutxigorabehera.

5 a)450eurotik90euroramerkatudute.

b)Berokia360euroordaindubehardut.

6 a)3150euroitzulibeharkoditut.

b)3075euroitzulibeharkoditut.

7 a)i. magnitudea 1 2 4 5 8 … a c

ii. magnitudea 3 6 12 15 24 … b d

b)a · d =b · c

69

Iradokizunak• Unitateaabiatzeko,hurrengoataletanlandukoditugunkontzeptuen

adierazpenaetaarrazoitzeaerraztenlagundukodigutennomenklatura-koelementubatzukikusikoditugu.Elementuhoriekondoulertuetamenderatubadira,ikasleekgaiizanbeharduteelementuokizangodi-tuztenmezuaksortzekoerabiltzekoetaulertzeko.

• Arrazoiazerdenazaltzean,ikasleekezagundutenzatikiarekinlotukodu-gu.Gainera,nolaerabilibehardenlandubehardugu,honelakoenun-

tziatueizentzuaemateko:«4reneta8renarrazoia21 da»edo«Koldoeta

Aitorrenaltuerenartekoarrazoia5etik4koa».

• Proportziohitzazatikibaliokideenbikoteakontzeptuarekinlotukodugu.Ikasleekondojakinbeharduteahoznolaadieraztendenetagaienidaz-kerazeinden(erdikoaketamuturrekoak).

• Proportziobatekogaiezezagunalortzekoprozedurajustifikatzean,zatikibaliokideengaienarteandaudenerlazioakgogoratukoditugu.Prozesuaondoulertutadagoeneanhasikogaraautomatizatzen.Horretarako,pro-portzioagurutzebatekinparekatukodugu:gurutzearenhirumuturretankantitateezagunakegongodira,etalaugarrenean,letrabat(ezezaguna).Eskemahorrenirudiakerregelafinkatzenlagundukodieikasleei.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK2.koadernotik:

Indartzeko:8.orrialdeko1.ariketa.9.orrialdeko5.ariketa.

Sakontzeko:8.orrialdeko2.eta3.ariketak.9.orrialdeko4.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) 13 b)

32

2 Adibidez:4eta:4eta10,12eta30,18eta45.

3 a)x=15b)x=15c)x=15d)x=35e)x=22f)x=239

4 Aitaren pisua

Markoren pisua75 kilo=

Iradokizunak• Lehenengoadibidearenhelburuahauda:ikasleekzuzeneanproportziona-

lakdirenmagnitudeeiburuzkokontzeptuakeguneratuditzatela.Datuakerrazordenatzekoetaproportzioakzehaztekobitartekoegokienataulada.Ikasleeiirakatsibeharrekoideianagusiahauda:elkarridagozkionbibaliozenbakiberarekinbiderkatuedozatituzgero,elkarridagozkionbestebalio-parebatlortukodugu.Beraz,balio-parebatetikabiatuta,komenizaigunadinahandituahalizangodugutaula.

• Horilanduostean,proportzionaltasunekoproblemakebazteko,unitate-ralaburtzekometodoaproposatzenda.

• Alboanageridenadibideanageridenez,betiezdakomeniunitateralaburtzeaEgoerahorretan,kalkuluak10unitateralaburtutasinplifika-tzendira(10cl -ridagokionbalioakalkulatuz).


Indartzeko:3.orrialdeko1.ariketa.4.orrialdeko2.eta3.ariketak.5.orrialdeko4.ariketa.6.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:7.orrialdeko4.,5.,6.eta7.ariketak.

Lankidetzan ikasi Iradokizuna:irakasleakegokideritzonean,orrialdehonetakoariketakikas-leaktaldetxikietanbildutaebatzdaitezke,berdinenartekoikasketabultza-tuz.Hasieran, taldeeksoluzioakbilatukodituzte.Gero,bateratze-lanean,soluzioakkonparatu,justifikatu,eztabaidatuetaondoriobateratuetarairi-tsikodira.


1 a)5minutuan20lematenditu b)10kaxak500g-kopisuadute.

2 4,80€da.

3 5minutuan3kmegingoditu.

9190

Gogoratu orain hizkuntza matematikoaren eremukoak diren hitz batzuk; hitzok eguneroko hizkuntza aberasteko ere balioko dizute.

a eta b zenbakien arrazoia ba zatikia (edo horren laburtezina) da.

Adibidea

Markoren eta amaren adinen arrazoia hiruren bat da.

4214

31

AMAREN ADINAMARKOREN ADINA = =

Proportzioa bi arrazoiren berdintza da.

ba

dc= → Irakurri: a da b-rako c d-rako den moduan.

Adibidea

Proportzioa: 7714

112= → Markoren adina aitonaren adinerako da 2 11rako

den moduan.

Proportzioko gai ezezaguna kalkulatzea

Proportzioa bikote bat zatiki baliokidek osatzen dute:

ba

dc= → a · d = b · c 77

14112= → 14 · 11 = 77 · 2

154 154Horrek proportzio baten gai ezezaguna kalkulatzen uzten digu:

x6

2515= → 6 · 25 = x · 15 → 150 = x · 15 → x = 15

150 = 10

Proportzio baten gai ezezaguna zenbat den kalkulatzeko, zatiki baliokideen honako propietate hau aplikatzen da:a eta x muturren biderkadura b eta c erdikoen biderkaduraren berdina da.

ba

xc= → a · x = b · c → x = ·

ab c

1 Arrazoiak eta proportzioak

Kalkulua automatiko bihurtzeko

●●

= ●x

Ä8 x = ● · ●●

●●

= x●

Ä8 x = ● · ●●

●x

= ●●

Ä8 x = ● · ●●

x●

= ●●

Ä8 x = ● · ●●

1. Aukeratu erantzun zuzena kasu bakoitzean.

a) 5en eta 15en arrazoia , ,21

31

32 da.

b) 24ren eta 36ren arrazoia , ,32

43

52 da.

2. Idatzi koadernoan arrazoia 2/5 duten hiru zenbaki bikote.

3. Kalkulatu gai ezezaguna proportzio bakoitzean.

a) x31 5= b) x9

6 10= c) x3 7

35=

d) x615

14= e) x

143321= f ) x

4291

9=

4. Markoren eta aitaren pisuen arrazoia 3/5 da. Markok 45 kilo ditu. Zer pisu du aitak?

Pentsatu eta egin

2 Magnitude zuzenki proportzionalak

Magnitude zuzenki proportzionaletan, elkarri dagozkion bi balio zenbaki bera-rekin biderkatuz (zatituz) elkarri dagozkion beste balio-bikote bat lortzen da.

a magnitudea a 2 · a 3 · a … ka

B magnitudea b 2 · b 3 · b … kb

Adibidea

Lasterkaria 3 m/s-ko abiaduran doa. Egiten duen distantzia denboraren araberakoa da:

denBora (s) 1 2 3 … 6 … 24 …distantzia (m) 3 6 9 … 18 … 72 …

× 3 × 8× 2 : 4

× 2× 3 × 8

: 4

Problemak ebaztea: unitatera laburtzea

Aurreko propietatearen arabera, taulako edozein balio bikote osa daiteke bikote ezagun bat oinarri hartuta. Orain, hartu kontuan adibidean erabili den metodoa: unitatera laburtzea.

Adibidea

Korrikalari batek 18 metro egin ditu 6 segundoan. Abiadura konstantean ibiliz gero, zer distantzia egingo du 20 segundoan?

denbora (s) distantzia (m) 6 s ⎯→ 18 m 1 s ⎯→ 18 : 6 = 3 mdenBora (s) 1 6 20distantzia (m) ? 18 ?

× 20: 6

20 s ⎯→ 3 · 20 = 60 m

Soluzioa: 60 metro egingo ditu 20 segundoan.

Unitatera laburtzea

•Unitatera laburtzeko, lehenengo, elkarri dagozkion balioen taulan unitateari zer balio elkartzen zaion kalkulatzen da.

•Datua zein den jakinda, ez dago eragozpenik elkarri dagozkion beste balio bikote bat osatzeko.

1 a c? b ?

× c: a

77 urte

42 urte

14 urte

1. Ebatzi buruz.a) Iturriak 12 litro ematen ditu 3 minutuan. Zenbat

litro ematen ditu 5 minutuan?b) Hiru txintxeta-kaxaren pisua 150 gramo da. Zer

pisu dute 10 kaxak?

2. Kilo bat izokin keturen prezioa 16 € da. Zenbat da 300 gramoren prezioa?

3. Txirrindulari bat abiadura konstantean doa eta 200 metro 20 segundoan egin ditu. Zer distantzia egingo du 5 minutuan?

Pentsatu eta egin

Adibidea

Zenbat balio du litro bat xanpuk?

2,70 €

30 cl

1 litro = 100 clzentilitroak euroak 30 cl → 2,70 € 10 cl → 2,70 : 3 = 0,90 € 100 cl → 0,90 · 10 = 9 €Litro bat (100 cl ) xanpuren prezioa 9 € da.

Bi zenbakiren arrazoia.

Webgunean

Praktikatu proportzionaltasun-erlazioak identifikatuz.

Webgunean

Zuzenki proportzionalak diren balioen taulak arrazoituz eraikitzeko laguntza.

Webgunean

70

9392

Beste erlazio batzuk proportzionaltasun zuzeneko tauletan

Proportzionaltasun zuzeneko taulan, bi zatiki baliokide eraikitzen dira elkarri dagozkion bi balio bikoterekin; hau da, proportzioa eraikitzen da.

Adibidea

Mahasti jakin bateko mahatsondo bakoitzak, batez beste, 3,5 kilo mahats ema-ten du.

mahatsondo kop. 1 2 3 4 5 …mahats kiloak 3,5 7 10,5 14 17,5 …

Bi bikote aukeratuko ditugu:

mahat. kop. … 3 … 5mahats kiloak … 10,5 … 17,5

→ , ,10 53

17 55= → 3 · 17,5 = 10,5 · 5

52,5 52,5

Aurreko proportzioa honela ere idatz daiteke: ,,

53

17 510 5=

Egiaztatu gauza bera gertatzen dela taulako zutabe bikote bakoitzean.

Proportzionaltasun zuzeneko taulan, elkarri dagozkion bi balio bikotek proportzioa eratzen dute.

Problemak ebaztea: hiruko erregela

Aurrekoa oinarri hartuta eta proportzioko gai ezezagunaren kalkuluan, propor-tzionaltasunari dagozkion problemak ebazteko metodo erosoa lortzen dugu: hiruko erregela.

Adibidea

Mahats-biltzaile batek 14 kilo mahats batu ditu mahastiko lehenengo 4 mahatson-doetan. Zenbat kilo batuko ditu, gutxi gorabehera, hurrengo 10 mahatsondoetan?

mahatsondoak kiloak proportzioa4 ⎯→ 14

x144 10= → x = ·

414 10 = 35

10 ⎯→ x

Soluzioa: 10 mahatsondotan, 35 kilo batzea itxaron daiteke.

Hiruko erregela

•Datuak eta ezezaguna ordenan jartzen dira.

•Proportzioa eraikitzen da, gaiak ageri diren ordenan jarriz.

→ ca

db=

•Proportzioko gai ezezaguna zenbat den kalkulatzen da.

A magnitudea B magnitudea a ⎯⎯→ b c ⎯⎯→ d

Proportzionaltasun-konstantea

Aparkalekuko hainbat txartel hartu ditugula eta automobilak zenbat denbora egin duen eta zenbat ordaindu dugun idatzi dugula joko dugu:

denBora (h) 2 3 4 5 … 7 …kostua (€) 2,50 3,75 5 6,25 … 8,75 …

Orain, Zenbat da kostua orduko? galdetuz gero, erantzuna hainbat eratan lor dezakegu:

2,50 : 2 = 1,25 5 : 4 = 1,25 8,75 : 7 = 1,25

Elkarri dagozkion bi balio zatituz, emaitza bera lortzen da beti!

•Proportzionaltasun zuzeneko taulan, emaitza bera lortzen da beti elkarri dagozkion bi balioren arteko zatiduran.

•Zatidura horren balioari proportzionaltasun-konstante esaten zaio.

Problemak ebaztea proportzionaltasun-konstantearen bidez

Kontuan hartuz bikote bakoitzeko lehenengo balioa proportzionaltasun-kons-tantearekin biderkatuz gero bigarren balioa lortzen dela, beste bide bat aurkitzen dugu era horretako problemak ebazteko.

Adibidea

Automobila lau orduan aparkatzea 5 € da. Zenbat da zazpi orduan aparkatzea?

denBora (h) 4 7kostua (€) 5 x

proportzionaltasun- konstantea

→ 45 = 5 : 4 = 1,25

Soluzioa: x = 7 · 1,25 = 8,75 €

Hartu kontuan

Goiko balio bakoitza 1,25ekin biderkatuz gero, behean dagokion balioa lortzen da.

denBora (h) 2 3 …kostua (€) 2,50 3,75 …

2 · 1,25 = 2,503 · 1,25 = 3,75

4. Botilaratzeko makina batek ordu laurdenean betetzen ditu 750 botila. Zenbat denbora beharko du 1 000 botila betetzeko?

5. Joskintza-lantegian, zazpi metro eta erdi oihal behar izan dira 6 alkandora egiteko.

Zenbat metro beharko dira laurogei alkandora egite-ko?

6. Baserritar batek 260 € ordaindu ditu abereentzako 325 dosi txerto. Beste 180 dosi beharko ditu. Zenbat gehiago gastatu beharko du?

7. 480 ikasleko ikastetxean, hamar ikasletik hiruk gripea izan dute. Zenbat ikaslek izan dute gripea?

8. Mahastian, lehenengo 10 mahatsondoek 125 kilo mahats eman dute. Mahasti osoak 362 mahatsondo ditu, zer uzta kalkula daiteke, guztira?

9. Kiloak 13,50 euro balioz gero, zenbat balio du 465 gramoko gazta zatiak?

Biribildu emaitza zentimoetara.

10. Lortu proportzionaltasun-konstantea eta x eta y-ren balioak proportzionaltasun zuzeneko honako taula honetan:

3 4 5 61,2 1,6 x y

11. Egin berriz 5. eta 7. problemak, proportzio-naltasun-konstantea erabiliz.

Pentsatu eta egin

Praktikatu proportzionaltasun zuzenaren kontzeptua.

Praktikatu proportzionaltasun zuzenaren kontzeptua.

Webgunean

Ebatzi proportzionaltasun sinpleko problemak.Webgunean

Webgunean


Indartzeko:10.orrialdekoariketaguztiak.

Sakontzeko:11.orrialdekoariketaguztiak.


4 20minutubeharkoditu.

5 100metrooihalbeharkodira.

6 144€gastatubeharkodu.

7 144ikaslekizandutegripea.

8 4525kilokouztakalkuladaiteke.

9 6,28eurobaliodu.

10 Proportzionaltasun-konstantea= 52=0,4

3 4 5 6

1,2 4·0,4=1,6 5·0,4=2 6·0,4=2,4·0,4

11 5.problema:100moihal.

7.problema:144gaixo.

Iradokizunak• Proportzionaltasunzuzenekobalio-taulabatetikabiatuta,ikasleekelkarri

dagozkionbalio-pareekzatikibaliokideakeratzendituztelaikusikodute.Beraz,edozeinbibalio-parehartuzgero,proportziobateratzendelakonturatukodira.

• Horrezgain,proportzioakbierataneraikidaitezkeelaikusikodute:

mahatsondo kop. … 3 … 5

mahats kiloak … 10,5 … 17,5

–Bikotebakoitzekobielementuhartuta(3/10,5=5/17,5).

–Magnitudebakoitzekobielementuhartuta(3/5=10,5/17,5).

• Ikasleekesperientziarenbidezfinkatukodituzteideia,gertaeraetaerlaziohoriek,zuzeneanproportzionalakdirenhainbatbalio-taulaerabilita.

• Aurrekohorilortudenean,problemakebaztekohirukoerregelarenme-todoanolaerabiltzendenlantzekomoduanizangogara.Horretarako,ikasleekezagutzendituztenbigauzatanjarrikoduguarreta:

–Zuzeneanproportzionalakdirenbalioentaulabatean,elkarridagoz-kionbibalio-parekproportziobateratzendute(ikasiberridute).

–Proportziobatekogaiezezagunanolakalkulatzenden(aurrekoorrial-deetanikusidute).

• Azkenik,problemaerrazbatzuenadibideakematendiraetahoriekebaztekoaurrekopuntubiaknolaerabilibehardirenazaldukodugu.

• Ariketaebatziarenostean,hirukoerregelanolaplanteatuetaerabilibehardenazaltzendueneskemabatagerida,prozesuaordenatzekoetasistematizatzeko.

• Azkenik,beharbada intereshandienaerakustenduten ikasleentzat,ebazpenerakobestebidebatematenda:elkarridagozkionbalio-pareakosatzekoproportzionaltasun-konstanteaerabiltzea.

OHARRAK

71

9594

3 Magnitude alderantziz proportzionalak

Gogoan izan alderantziz proportzional diren magnitudeetan, horietako balioren bat bikoiztuz, hirukoiztuz… gero, bestearen dagokion balioa erdira, herenera… txikiagotzen dela.

Adibidea

Bi langilek sei orduan husten dute kamioia. Langileen kopurua aldatuz, deskar-garen denbora nola aldatzen den ikusiko dugu.

Guk biok 6 h behar dugu. Nik, bakarrik, 6 · 2 = 12 h. Hiruk, 12 : 3 = 4 h. 12k, ordu bat.

langile kop. 1 2 3 4 6 12deskarga denBora (h) 12 6 4 3 2 1

× 3 × 4: 2

: 3× 2

: 4

Alderantziz proportzional diren magnitudeetan, magnitudeetako baten balioetako bat zenbaki batekin biderkatuz (zatituz) gero, balio horri dagokion beste magnitudeko balioa zenbaki horrekin zati-tuta (biderkatuta) geratzen da.

a magnitudea a a · 3 a : 5B magnitudea b b : 3 b · 5

Problemak ebaztea: unitatera laburtzea

Ezagutzen dugun metodoa erabiliko dugu (unitateari elkartutako balioa bila-tzea), kontuan hartuz goian ikusi duguna.

Adibidea

Baserritar batek bere 3 behiei 10 egunean jaten emateko adina alpapa du. Zenbat iraungo lioke 5 behi izango baldin balitu?

behi kop. alpaparen iraupena 3 ⎯→ 10 egun 1 ⎯→ 10 · 3 = 30 egun

Behi kop. 1 3 5egunak ? 10 ?

× 5: 3

: 5× 3 5 ⎯→ 30 : 5 = 6 egun

Soluzioa: 5 behi izanez gero, 6 egun iraungo lioke.5 izanez gero, gutxiago iraungo luke:

30 : 5 = 6 egun

Niretzat bakarrik, halako hiru iraungo luke:

10 · 3 = 30 egun

10 egunerako alpapa dugu.

Proportzioak alderantzizko proportzionaltasuneko tauletan

Itzuli aurreko orrialdeko adibidera eta hartu kontuan elkarri dagozkion bi balio-ren biderkadura beti dela berdina:

1 2 3 4 …12 6 4 3 …

→ 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = …

Horren bidez, bi balio bikotetan oinarri hartuta, proportzioak eraiki ditzakegu, baina elementuak proportzionaltasun zuzenean ez bezala ordenatuz.

langileak 2 3orduak 6 4

→ 2 · 6 = 3 · 4 → 42

63= , edo 3

264=

Problemak ebaztea: hiruko alderantzizko erregela

Hiruko erregela erabiliko dugu baina, proportzioa eraikitzeko, balioen arrazoia alderantzikatu egingo dugu magnitudeetako batean.

Adibidea

Txirrindulari bat, 20 km/h-ko abiaduran, 30 minutuan doa herri batetik bestera.Zenbat denbora beharko du 50 km/h-abiaduran doan motordunak?

abiadura denbora (min) proportzioa20 ⎯→ 30 → x

5020

30= , edo x2050 30=

50 ⎯→ x

Soluzioa: x = ·50

20 30 = 12 minutu

Hartu kontuan

A magnitudea B magnitudea a ⎯→ b c ⎯→ x

ca

bx= edo

ac

xb=

Elementuen ordena alderantzikatu egiten da magnitudeetako batean.

1. Osatu koadernoan honako taula hauek:

a magnitudea 1 2 3 4 10B magnitudea 30 15 6 5

h magnitudea 1 2 3 4 6 8n magnitudea 16 12 4

2. Eraiki hiru proportzio desberdin alderantzizko pro-portzionaltasuneko honako taula honetako balioekin:

a magnitudea 1 2 4 5B magnitudea 40 20 10 8

3. Automobilak, 80 km/h-ko abiaduran, 2 h behar di-tu Bartzelonara iristeko. Zenbat denbora beharko du 40 km/h-ko abiaduran doan kamioiak? Eta 160 km/h -koan doan abiadura handiko trenak?

4. Hiru langilek 7 orduan garbitzen dute parkea. Zenbat denbora beharko dute 7 langilek lan bera egiteko?

5. Ur-hodi batek, 3 litro segundoko emaria izanik, 20 minutu behar ditu depositua betetzeko.a) Segundoko 2 litroko emaria izanez gero, zenbat

denbora beharko du?b) Eta segundoko 10 litrokoa izanez gero?

6. Traktoreak 15 orduan goldatzen du lursaila.a) Zenbat denbora beharko dute bi traktorek?b) Eta hiru traktorek?c) Eta lau traktorek?

7. Urtegi jakin batek 2 000 biztanleko herria 6 hilabe-tean hornitzeko ur-erreserbak ditu.a) 1 000 biztanle izanez gero, zenbat hilabetetarako

ura izango lukete?b) Eta 3 000 biztanle izanez gero?c) Eta 6 000 biztanle badira?

Pentsatu eta egin

Balio alderantziz proportzionalen taulak arrazoiz eraikitzeko laguntza.

Webgunean

Praktikatu alderantzizko proportzional-tasuna.

Webgunean

Praktikatu alderantzizko proportzionaltasuna. Webgunean


Indartzeko:12.orrialdeko1.ariketa.13.orrialdeko2.eta3.ariketak.14.orrialdekoariketaguztiak.15.orrialdekoariketaguztiak.16.orrialdeko1.ariketa.17.orrialdekoariketaguztiak.

Sakontzeko:18.eta19.orrialdeetakoariketaguztiak.


1 a magnitudea 1 2 3 4 5 6 10

b magnitudea 30 15 10 7,5 6 5 3

h magnitudea 1 2 3 4 6 8 12

n magnitudea 48 24 16 12 8 6 4

2 Adibidez: , ,402

201

54

108

420

210= = =

3 Kamioiak4ordubeharkoditu,etatrenak,1ordu.

4 3ordubeharkodute.

5 a)30minutu

b)6minutu

6 a)7h30min

b)5h

c)3h45min

7 a)12hilabeterakob)4hilabeterako

c)2hilabeterako

Iradokizunak• Lanbateanaridirenlangileenkopuruaetalanaamaitzekobeharduten

denboraerlazionatzendituenlehenengoadibidekoegoeraktestuingu-rumoduanbaliokodigualderantzizkoproportzionaltasunekoerlazioaaztertzeko.

• Taulaosolagungarriadadatuguztiakordenanetabegi-bistanedukitze-koetaondorioakerrazaztertuetaateratzeko:bikoitzarierdiadagokio;hirukoitzari,herena;etab.Ikasleekbestepropietatehauereerrazikus-teaesperodugu:elkarridagozkionbibaliorenartekobiderkaduraber-dinadabeti;kasuhonetan,12.

langileak … 2 … 3

orduak … 6 … 4

Etapropietatehorretatikabiatutaereproportzioakbierataneginahalizangoditugu:

–Parebakoitzekoelementuekin,bainabi izendatzaileak trukatuta:2/4=3/6.

–Magnitudebakoitzekoelementuekin,horietakobatenakalderantzika-tuz:2/3=4/6.

• Proposatutakoadibideetanargierakustendanolaebatzibehardirenproblemakunitateralaburtuzetahirukoerregelarenbidez.

• Komenidasoluzioarrazoituraeramangogaituztenurratsakahozazal-tzea.Adibidez:3behik10egunerakojanadute.Behibakarrakhirubi-deregungehiagorakojanaizangoluke;hauda,30egunerako.Jatekohorrekbehibakarrariirautendionarenbostenairaungolieke5behiri;hauda,6egun.Cockcrofttxosteneanadieraztendenmoduan,proble-makebaztekoprozesuakahaliketazehaztasunhandienarekinazaltzekoeskatubehardieguikasleei,baiahozetabaiidatziz.

• Bigarrenproblemahirukoerregelarenbidezebazteko,gogoanizanbehardugu,alderantzizkoproportzionaltasunadenez,proportzioaera-tzendutenarrazoietakobatalderantzikatueginbehardela.

72

9796

4 Proportzionaltasun konposatuko problemak

Proportzionaltasun-erlazioz elkartutako bi magnitudek baino gehiagok parte hartzen duten egoerak proportzionaltasun konposatukoak direla esaten da.

1. 60 mahaikideko eskola-jantokian, 36 kilo barazki kontsumitu dira hiru astean.

80 mahaikide izanez gero, zenbat kilo barazki kontsumituko dira lau astean?

a) Lehenengo, aztertu problema:

– Zer magnitudek hartzen dute parte?

– Ordenatu magnitudeak, datuak eta ezezaguna.

– Identifikatu zer motatako proportzionaltasunak (zuzena - alderantzizkoa) elkartzen duen magnitude bakoitza ezezagunak daramanarekin.

prop. zuzena

proportzionaltasun zuzena

mahaikideak asteak kiloak

60 ⎯⎯→ 3 ⎯⎯→ 36

80 ⎯⎯→ 4 ⎯⎯→ x

Ondoren datorren prozesua errazteko, ezezaguna daraman magnitudea azken tokian jartzea komeni da.

b) Ondoren, ebatzi:

mahaikideak asteak kiloak60 mahaikide → 3 astean → 36 kilo

60 mahaikide → aste bastean → 36 : 3 = 12 kilo

1 mahaikide → aste bastean → 12 : 60 = 0,2 kilo

80 mahaikide → aste bastean → 0,2 · 80 = 16 kilo

80 mahaikide → 4 astean → 16 · 4 = 64 kilo

c) Automatizatu prozesua:

prop. zuzena


mahaikideak asteak kiloak proportzioa

60 ⎯⎯→ 3 ⎯⎯→ 36

80 ⎯⎯→ 4 ⎯⎯→ x → · x80

6043 36=

x = ·

· ·60 3

80 4 36 = 64

Soluzioa: 80 mahaikide izanez gero, 64 kilo barazki jango dira 4 astean.

Problema ebatzia

2. Baserritar batek 400 kilo garagar behar ditu 15 zaldiri 8 egunean jaten emateko.500 kilo garagar izanez gero, zenbat astetarako izango luke 25 zaldiri jaten emateko?a) Hartu kontuan orain alderantzizko proportzionaltasuneko erlazioak har-

tzen duela parte.

alderantzizko prop.


garagar kiloak zaldi kop. egunak 400 ⎯⎯→ 15 ⎯⎯→ 8 500 ⎯⎯→ 25 ⎯⎯→ xb) Ondoren, ebatzi:

garagar kiloak zaldi kop. egunak400 kilorekin → 15 zaldik → 8 egunean400 kilorekin → zaldi batek → 8 · 15 = 120 egunean100 kilorekin → zaldi batek → 120 : 4 = 30 egunean500 kilorekin → zaldi batek → 30 · 5 = 150 egunean500 kilorekin → 25 zaldik → 150 : 25 = 6 egunean

c) Automatizatu prozesua:

alderantzizko prop.


garagar kiloak zaldi kop. egunak proportzioa 400 ⎯⎯→ 15 ⎯⎯→ 8 500 ⎯⎯→ 25 ⎯⎯→ x

→ 500400 ·

1525 = x

8

Hartu kontuan zaldi kopurua magnitudea egunak magnitudearen alde-rantziz proportzionala dela.

Horregatik, proportzioa eratzen denean, 2515 arrazoia hartu beharrean, ho-

rren alderantzizkoa hartzen da, 1525 .

500400 ·

1525 = x

8 → x = ·

· ·400 25

500 15 8 = 6

Soluzioa: 500 kilo garagarrekin, 25 zaldiri 6 egunean emango diegu jaten.

Problema ebatzia

1. Igeltsero talde batek, 10 orduko lanaldiak eginda, 600 m2-ko horma eraiki dute 18 egunean. Zenbat metro karratu eraikiko dituzte 15 egunean, 8 orduko lanaldiak eginez?

2. Baserritar batek 294 kg pentsu behar izan du 15 behiri 7 egunean jaten emateko. 10 behirentzako zenbat egunetarako jana izango luke 840 kilo pentsurekin?

3. Hondeamakinak, 10 orduko lanaldiak eginez ge-ro, 1000 metroko lur-erretena 8 egunean egiten du. 12 orduko lanaldiak eginez gero, zenbat denbora be-harko du 600 m-ko lur-erretena egiteko?

4. Bakoitzak segundoko 1,5 litroko emaria duen hiru ihinztagailu irekiz gero, depositua 8 orduan hustuko da. Zenbat denboran emango du zerbitzua deposi-tuak bakoitzak segundoko 0,9 litroko emaria duen lau ihinztagailu irekitzen baldin baditugu?

Pentsatu eta egin

Ebatzi proportzionaltasun konposatuko problemak.Webgunean


1 400m2eraikikodituzte.

2 30egunerakojana.

3 4egunbeharkoditu.

4 10ordutan.

Iradokizunak• Bimagnitudebainogehiagoagertzendirenproblemahaueknahikozai-

lakizatendirenez,behar-beharrezkoadaadibideetanproposatzendu-gunmoduko prozedura ordenatu eta sistematiko bati jarraitzea.Lehenengo,enuntziatuaarretazaztertukodugueta,gero,aurrezzehaz-turikoplanbatenaraberaebatzikodugu:

–Partehartzendutenmagnitudeakidentifikatuetaordenatukoditugu.

– Datuaketaezezagunaidentifikatukoditugu.

–Magnitudebakoitzakezezagunarekinzerproportzionaltasun-motaduenbereizikodugu.

– Unitateralaburtzenjoangogara,emandakourratsbakoitzaahozazal-duz.

–Unitatearekinlotutadaudenbalioetatikezezagunarekinlotutadaudenbalioetaradoanbideaberregingodugu.

• Problemaebatzietaulertudugunean,prozesuaeskemabatenbidezzehaztukodugu,automatizatuetahurrengobateanereantzekoegoere-tanerabiltzeko(hirukoerregelakonposatua).

• Bigarrenadibidean,alderantzizkoproportzionaltasunaagerida.Aurrekokasuanbezala,behinetaberrirounitateralaburtuzegindakometodoarrazoituaetaebazpenerakobideazkaretaautomatizatuakonparatukoditugu.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK2.koadernotik:

Indartzeko:20.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:1.orrialdeko4.,5.eta6.ariketak.

OHARRAK

73

9998

5 Banaketa proportzionalen problemak

Ondoren, banaketen bi problema aurkezten dira. Aztertu ebazteko prozedurak antzeko egoeretan aplikatzeko.

Banaketa zuzenki proportzionalak

Adibidea

Eskulanak egitea atsegin duten hiru adiskidek zulatzeko makina alokatu dute etxean konponketak egiteko. Lehenengoak bi egunean erabili du makina hori eta bigarre-nari pasatu dio; horrek bost egunean erabili du. Gero, hirugarrenak hartu du eta hiru egunean erabili eta dendara itzuli du. Zenbat diru jarri beharko du bakoitzak alogeraren 60 euroak ordaintzeko?

egunak 2 5 3 2 + 5 + 3 = 10

kostua (€) x y z 60 → proportzionaltasun

zuzena

x = ·10

2 60 = 12 € y = ·10

5 60 = 30 € z = ·10

3 60 = 18 €

Soluzioa: Lehenengoak 12 € jarri beharko ditu; bigarrenak, 30 € eta hirugarre-nak, 18 €.Aurrekoa honela laburbil daiteke:

Eguneko kostua → 60 : 10 = 6 € 888

€€€

2 6 125 6 303 6 18

Lehenengoak ordainduko duordainduko du

ordainduko du

···

BigarrenakHirugarrenak

===

Z

[

\

]]

]]

Hartu kontuan problemari aurre egiteko era horretan proportzionaltasun-kons-tantea erabili dela (eguneko kostua → 6 €).Egiaztatzea:

12 + 30 + 18 = 60 122

305

183= =

C kantitate bat m, n, k -ri zuzenki proportzional diren zatitan banatzeko:

– Banatu behar den C kantitatea S = m + n + k baturaren artean banatzen da.

Horrela, unitate bati dagokion zatia, p, zenbat den kalkulatzen da.

– Zenbaki bakoitza, m, n, k, lortu den p zatidurarekin biderkatzen da.

zenBakiak m n k m + n + k = Skantitatea x y z C

→ p = ···

SC

x p my p nz p k

===

Z

[

\

]]

]

Banaketa alderantziz proportzionalak

Adibidea

Hiru seme-alabek nota onak atera dituztela eta, amak 70 euroko saria banatuko du horien artean. Baina bakoitzak ohea egitea zenbat bider ahaztu duen horren alde-rantzizko proportzioan jasoko duela saria esan die:

Martin → 1 egun Laura → 2 egun Oskar → 4 egunZenbat diru hartuko du bakoitzak?70 euro 1, 2, eta 4ren alderantzizko proportzioko zatitan banatu behar dira.Zenbaki horien (1, 1/2 eta 1/4) alderantzizkoen zati zuzenki proportzionale-tan 70 banatuz ebatziko dugu problema. alderantzizko proportzionaltasun proportzionaltasuna zuzena

1 2 4

x y z ⎯⎯→ 1 1/2 1/4

x y z

Horrela, aurreko probleman bezala jokatuz: C = 70 S = 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4

p = C : S = 70 : 7/4 = 40 //

888

1 21 4

Mart n 40 ·1 40Laura 40 · 20

s ar 40 · 10

i

O k

===

Z

[

\

]]

]

Soluzioa: Martinek 40 euro hartuko ditu; Laurak, 20 eta Oskarrek, 10.Egiaztatzea:

40 + 20 + 10 = 70 1 · 40 = 2 · 20 = 4 · 10

C kantitate bat m, n, k-ren alderantzizko proportzioan dauden zatitan bana-

tzeko, , ,m n k1 1 1 alderantzizkoen zuzenki proportzionaletan banatzen da.

1. Banatu:

a) 180 kantitatea 2, 5 eta 8ren zati zuzenki propor-tzionaletan.

b) 130 kantitatea 1/2, 1/3 eta 1/4-en zati zuzenki proportzionaletan.

2. Hiru familiak apartamentua alokatu dute kostaldean 1 200 euroan 20 egunerako. Rodriguez familia lehe-nengo astean egongo da; Ibarrondo familia, hurrengo sei egunetan eta gainerako denboran, Otxoa familia. Zenbat ordaindu behar du familia bakoitzak?

3. Banatu:a) 620 kantitatea 2, 3 eta 5en zati alderantziz propor-

tzionaletan.b) 2 000 kantitatea 1/2, 1/3 eta 1/5-en zati alderan-

tziz proportzionaletan.

4. Telebistako lehiaketa jakin batean, 22 000 euroko sa-ria banatuko da lehenengo sailkatzen diren hiruren artean; bakoitzari dagokion kantitatea sailkatu den postuaren (lehenengo, bigarren, hirugarren) alderan-tzizko proportzioan egongo da. Zenbat diru jasoko du lehiakide bakoitzak?

Pentsatu eta egin

alderantzizko prop. ahazteak saria 1 → 40

2 → 20

4 → 10

× 2 : 2× 4 : 4

Ariketa ebatzia

450 banatzea 3, 5, eta 7ri proportzional zaizkien zatitan. C = 450 S = 3 + 5 + 7 = 15 p =

SC

15450= = 30

Zatiak hauek dira:30 · 3 = 90 30 · 5 = 150 30 · 7 = 210

Ebatzi banaketa proportzionaleko problemak.Webgunean


Indartzeko:22.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.23.orrialdeko4.,5.,6.,7.,8.eta9.orrialdeak.


1 a)Zatiak24,60eta96dira.

b)Zatiak60,40eta30dira.

2 Rodriguezfamiliak,420€;Ibarrondofamiliak,360€,etaOtxoafami-liak,420€.



4 a)Lehenengoak12000€jasokoditu;bigarrenak,6000€,etahiruga-rrenak,4000€.

Iradokizunak• Atalhonetan,osotasunbathartuetaemandakokantitatebatzuekikozu-

zeneanedoalderantzizproportzionalakdirenzatietanbanatubeharrekoproblemakaztertukoditugu.

• Lehenengoadibidea,errazena,proportzionaltasunzuzenekobanaketabatiburuzkoada.Orrialdeaaztertzenhasibainolehen,ikasleeieurenkon-turaedolaguntzaerabilizaztertzekoeskadiezaiekegu:»Zenbatbalioduzulatzekomakinaegunosorakoalokatzeak».Gero,soluziohoribegi-bis-tanedukita,testuanageridirenproportzionaltasun-erlazioakbetetzendi-relaikusikodute;etakostua/egunakalkuluaunitateralaburtzekometo-doarekinetaproportzionaltasun-konstantearekinidentifikatukodute.

• Horieginez,elementuakelkarrekinlotzendituztenerlazioaksakondukodituzteetaerrazagoulertukodutebigarrenadibideanjarraitubeharrekoprozesua;izanere,alderantzizkoproportzionaltasunekoaizanik,proble-mazailagoadakontzeptueidagokienean.

• Bigarrenadibidehorilantzenhasibainolehen,zenbakibatzenbatetahandiagoaizanhorrenaurkakoaorduanetatxikiagoaizangodelago-goanizatekoeskatukodieguikasleei.

• Ikaslegehienekonartukodutebanaketaaurkakozatiekikoalderantzizproportzionalakdirenzatietanegitendela.Behinsoluzioalortudute-nean,tartekianageridenegiaztapenaerabildezakegu:

1ahazte840€ 2ahazte820€ 4ahazte810€

1·40=2·20=4·108Alderantzizkoproportzionaltasuna

• Aurreratuendabiltzanikasleekprozedurarenjustifikazioasakondudeza-kete,taulakerlazionatuz:

Elkarridagozkionbalioenartekobiderkadurakberdinakdira.

1 2 4

x y z

alderantzizko propor-tzionaltasuna

2y = 4z

Biderkaduragurutzatuakberdinakdira.

1 1/2 1/4

x y z


8· ·z y z y21

41 4 2= =

OHARRAK

74

101100

6 Ehunekoak

Ehunekoa proportzio, zatiki edo zenbaki hamartar eran ikus daiteke.

Ehunekoak proportzioa adierazten du

Gazteen % 30 metro bat eta laurogeitik gorakoak dira esaldiaren bidez, 100 gazte-tik 30 1,80 m-tik gorakoak direla esaten ari gara.

guztira 100 200 300 50 250 …zatia (% 30) 30 60 90 15 ? …

Proportzionaltasun zuzeneko taula dela ikusten da; horren bidez, ehunekoei buruzko egoera proportzionaltasunari buruko egoeratzat har dezakegu.

guztira zatia (% 30)100 ⎯→ 30

x250100 30= → x = ·

100250 30 = 75

250 ⎯→ x

250en % 30 = ·100

250 30 = 75 → 250 gazteko taldean, 75 gazte 1,80 m-tik gorakoak dira.

Kantitate baten ehuneko jakin bat zenbat den kalku-latzeko, kantitatea ehuneko horrekin biderkatu eta 100ekin zatitzen da.

C -ren % a = ·C a100

Ehunekoa zatikia da

Kantitate baten % 30 hartzea kantitatea 100 zatitan banatzea eta 30 hartzea da;

hau da, 10030 zatikia hartzea.

250en % 30 = 250en 10030 = ·

100250 30 = 75

Ehunekoa kantitate baten zatikia balitz bezala kalkula daiteke.

C -ren % a = C -ren a100 = ·C a

100

Ehunekoa zenbaki hamartar batekin elkartzen da

Ehunekoa zatiki gisa eta, era berean, zatikia zenbaki hamartar eran adieraz daiteke; horrek ehunekoak kalkulatzeko bide azkarra ematen digu.

% 30 → 10030 → 30 : 100 → 0,30 250en % 30 = 250 · 0,30 = 75

Ehunekoen kalkulua egiteko, guztizkoa era hamartarrean adierazitako ehune-koarekin biderkatzen da.

Adibidea

% 12 → 10012 = 0,12

80ren % 12 = 80 · 0,12 = 9,6

Ehuneko batzuk azkar kalkulatzea

Ehuneko batzuk oso zatiki sinpleen baliokide dira eta horrek kalkulua errazten du. Hartu kontuan ondoren ikusiko ditugunak; buruzko kalkulurako, batez ere.

•% 50 erdia da.

% 50 → 810050

21 → % 50 zenbat den kalkulatzeko, 2rekin zatitzen da.

Adibidez: 47ren % 50 = 47ren 21 = 47 : 2 = 23,5

•% 25 laurdena da.

% 25 → 810025

41 → % 25 zenbat den kalkulatzeko, 4rekin zatitzen da.

Adibidez: 88ren % 25 = 88ren 41 = 88 : 4 = 22

•% 20 bostena da.

% 20 → 810020

51 → % 20 zenbat den kalkulatzeko, 5ekin zatitzen da.

Era berean joka dezakezu ohizko ehunekoak zenbat diren kalkulatzeko: % 10, % 5, % 75, eta abar.

1. Kalkulatu buruz zenbat den.

a) 200en % 20 b) 200en % 15 c) 200en % 10

d) 200en % 8 e) 50en % 60 f ) 50en % 30

g) 50en % 12 h) 50en % 8 i ) 50en % 2

2. Kalkulatu buruz zenbat den.

a) 46ren % 50 b) 120ren % 50 c) 40ren % 25

d) 40ren % 75 e) 24ren % 25 f ) 24ren % 75

g) 460ren % 10 h) 460ren % 5 i ) 70en % 10

3. Kalkulatu zenbat den.

a) 750en % 12 b) 240ren % 35 c) 360ren % 85

d) 650en % 14 e) 20ren % 2,5 f ) 20ren % 95

g) 40ren % 150 h) 200en % 115 i ) 10en % 200

4. Kopiatu eta osatu koadernoan, ehuneko bakoitza zenbaki hamartar batekin elkartuz:

ehunekoa % 35 % 24 % 8 % 95 % 120adierazpen

hamartarra0,35 0,52 0,03 1,50

5. Metalurgia-enpresa bateko zuzendaritzako kargu-dunen % 62 gizonezkoak dira. Ehuneko zenbat dira emakumezkoak?

6. Denda handi jakin batzuetan, % 15eko merkealdiak iragartzen dira. Merkatutako produktu bat erostean ehuneko zenbat ordaintzen da?

7. Liburutegi jakin batek 260 liburu agindu ditu eta horietatik % 25 eleberriak dira. Zenbat eleberri agindu dituzte?

8. 875 biztanleko herri jakin batean, % 12 gazteak dira. Zenbat gazte bizi dira herri horretan?

9. Gure ikasgelan, hogeita hamar gara eta % 90ek gain-ditu dugu Matematikako azterketa. Zenbatek gain-ditu dugu azterketa?

10. Hamabost milioi biztanle dituen herrialde batean, % 8 atzerriko etorkinak dira. Zenbat etorkin ditu herrialde horrek?

11. Hegazkinak 425 bidazti daramatza. % 52 europa-rrak dira; % 28, amerikarrak; % 12 afrikarrak eta gainerakoak, asiarrak. Zenbat da asiarren ehunekoa? Zenbat asiar doaz hegazkinean?

Pentsatu eta egin

Hartu kontuan

% 50 → 21 % 25 → 1

4

% 75 → 43 % 20 → 1

5

% 10 → 110

% 5 → 120

Praktikatu ehunekoen kalkuluak eginez.Webgunean

Ehunekoak kalkulatzea.Webgunean


Indartzeko:30.orrialdeko1.eta2.ariketak.31.orrialdeko3.ariketa.33.orrialdeko5.eta6.ariketak.

Sakontzeko:32.orrialdeko4.ariketa.

Lankidetzan ikasi Kalkulualantzekoariketaktaldeanegiteairadokitzenda,berdinenartekoikasketabultzatzeko.Ikasleekbakarkaebatzikodituzteariketak.Gero,solu-zioaktaldekaaztertuetaegondaitezkeenakatsakzuzendukodituzte.


1 a)40 b)30 c)20 d)16 e)30

f)15 g)6 h)4 i)1

2 a)23 b)60 c)10 d)30 e)6

f)18 g)46 h)23 i)7

3 a)90 b)84 c)306 d)91 e)0,5

f)19 g)60 h)230 i)20

4

5 Emakumezkoak%38dira.

6 %85ordaintzenda.

7 65eleberriagindudituzte.8 105gaztebizidira.9 27kgainditudugu.

10 1,2milioietorkinditu.

11 34asiardoaz.

Iradokizunak• Ehunekoakikustekoalderdiedomodudesberdinakosolagungarriak

izangoditugukontzeptuaulertzekoetaedukiakesanahizjantzitaeraiki-tzeko.

• Lehenengozatian,ehunekoaproportzionaltasunarenikuspuntutiklan-dukodugu:ehunekojakinbaterako,osotasunbakoitzadagokionzatia-rekikoproportzionalada.Prozesuhoriatalhonetanageridenmoduanplanteatudezakegu,edobestemoduhonetara:

x30100 250=

«100etik30hartzenbaditugu,250etikxhartukoditugu».Ikuspuntuhoriosolagungarriadaosotasunaedohorrenbestekoehune-koakalkulatzekoeskatzendigutenproblemetan.

• Bigarrenzatian,ehunekoazatikimoduanlandukodugu.Ehunekobatkal-kulatzeazenbakibatenzatikibatkalkulatzeadelaikusikodugu.Ikuspuntuhorrekehunekobatzuetarakoerabiltzendenkalkuluazkarrekozenbaitprozedurajustifikatzenditu,azkenekozatianageridenmoduan.

• Hirugarrenzatian,ehunekoenetazenbakihamartarrenartekoloturaiku-sikodugu:

%25810025 80,25

300en%25kalkulatzeko,hauegitendugu:0,25·300

Bidehonekehunekoakkalkulatzekometodoazkarbatematendigu.

Beraz,ezdaderrigorrezkoakkalkulagailuek%teklaizatea(etaedukitaere,komenidaikasleakehunekoakteklahorierabiligabekalkulatzenohitzea).

• Azkenekozatian,askoerabiltzendirenehunekobatzukebaztekokalkuluazkarrekoetaburuzkokalkulukozenbaitestrategiajustifikatzendira.

Ehunekoarekinlotutadagoenzatikiasinplifikatudaitekeenean,kalkulu-rakoformalaburtuakagertzendira.Ikasleekahozegingodituztehorre-lakoeiburuzkogogoetak:

%25810025 8

41

%25kalkulatzeko,nahikoadazati4egitea.

ehunekoa %35 %24 %52 %8 %3 %95 %120 %150

adierazpen hamartarra

0,35 0,24 0,52 0,08 0,03 0,95 1,20 1,50

75

103102

7 Ehunekoen problemak

Ehunekoei buruzko edozein egoeratan, hiru elementu erabiltzen dira funtsean: totala, ehuneko hainbeste eta totalaren zati bat. Adibide baten bidez ikusiko dugu:Garbiketa-enpresa batek 180 langile ditu; % 35ek gauez egiten dute lan. Zenbat langile ari dira gaueko txandan?

180ren % 35 = ·100

180 35 = 180 · 0,35 = 63 guztira .................... 180 langileehunekoa ................ % 35zatia ....................... 63 langile

Soluzioa: Gaueko txandan, 63 langile ari dira.Guztizkoa edo ehunekoa zenbat den kalkulatzea eskatzen duten beste problema batzuk ikusiko ditugu orain.

Guztizkoa kalkulatzea, jakinik ehunekoa eta zatia zenbat diren

Garbiketa-enpresa batek 63 langile ditu gaueko txandan; hau da, langile guztien % 35. Zenbat langile dira, guztira, enpresa horretan?

guztizkoa zatia100 ⎯→ 35

x100

6335= → x = ·

3563 100 = 180

x ⎯→ 63

Soluzioa: Enpresak 180 langile ditu guztira.

Kontuan hartuz % 35 elkartutako adierazpen hamartarra 10035 = 0,35 dela, pro-

blema honela ere ebatz genezake:63 da kantitate ezezagun baten, x, % 35. x zenbat den kalkulatuko dugu:

x-ren % 35 = 63 → 0,35 · x = 63 → x = 63 : 0,35 = 180

Ehunekoa zenbat den kalkulatzea, jakinik zenbat diren guztizkoa eta zatia

Garbiketa-enpresa bateko 180 langileetatik, 63 gaueko txandan ari dira. Ehuneko zenbat ari dira gauez?

guztizkoa zatia180 ⎯→ 63

x100180 63= → x = ·

180100 63 = 35

100 ⎯→ x

100 langileko, 35 gauez ari dira lanean; hau da, % 35.Soluzioa: Langileen % 35 gaueko txandan ari dira.

Hartu kontuan

C-ren % a = P⇓

guztira zatia 100 ⎯→ a C ⎯→ P

⇓

P = ·a C100

C = a

P 100·

a = ·C

P 100

Ehunekoen handiagotzeak

Merkataritza-guneko aparkalekuak 180 leku ditu eta berriztatu egingo dute, % 20 handiago bihurtuz. Zenbat leku izango ditu lanak amaitu ondoren?

•Lehenengo modua

180 180ren % 20azken lekuak = hasierako lekuak + handiagotzea

handiagotzea → 180ren % 20 = ·100

180 20 = 36 leku

azken lekuak → 180 + 36 = 216 leku

Soluzioa: Berriztatze-lanak amaituta, aparkalekuak 216 leku izango ditu.

•Bigarren modua

% 20 handiagotzeak esan nahi du 100 leku 120 bihurtzen direla.

hasierako leuak

plazas lekuak

100 ⎯→ 120x180

100 120= → x = ·100

180 120 = 216 leku180 ⎯→ x

•Modu azkarra

Hartu kontuan, egiatan, aurreko puntuan 180ren % 120 zenbat den kalkulatu dugula; beraz, problema honela ebatz genezakeen:

azken lekuak → 180ren % 120 = 180 · 1,20 = 216 leku

Kantitate bat % a handiago bihurtzea kantitate horren % (100 + a) zenbat den kalkulatzea da.

1. Mahastizain batek 216 t mahats batu du, iaz baino % 20 gehiago. Zenbat tona batu zituen iaz?

iazko uzta

aurtengo uzta

100 ⎯→ 120 ·8x x100216120

120100 216= = = 180

x ⎯→ 216

Soluzioa: Iaz, 180 tona mahats batu zuen.

2. Mahastizain batek 180 tona mahats batu zuen iaz eta aurten, 216 tona. Ehuneko zenbat gehiago batu du aurten?

iazko uzta

aurtengo uzta

180 ⎯→ 216 8 xx100 216

100180 216

180·= = = 120

100 ⎯→ x

Iazko 100 tona aurtengo 120 tona bihurtu dira.Soluzioa: Produkzioa % 20 handiago da.

Problema ebatziakHartu kontuan

x-ren % 120 = 216⇓

x · 1,20 = 216⇓

x = 216 : 1,20 = 180

Ebatzi ehunekoei buruzko problemak (zuzenak eta alderantzizkoak).

Webgunean

Iradokizunak• Ehunekohandiagotzeenproblemakebaztekozenbaitprozeduralandu-

koditugu.Adibidean,kantitatebat%20handitzeaproposatzendaetahirumodutanebaztenda:

–Lehenengoamodurikintuitiboenada,bainageldoenaetalanduenaerebada.Ehunekoakalkulatubehardaetahasierakokantitatearibatubeharzaio:

180+180ren%20=180+36=216

–Bigarrenean,kantitatebat%20handiagotzeakantitatehorren%120kalkulatzeadelahartzendaoinarritzat.Hauda:

180+180ren%20=180ren%120==216

–Hirugarrenaaurrekoarenaplikaziobatda:ehunekoarekinlotutada-goenzenbakihamartarraerabiltzea.Landuenaetaazkarrenada,bainakontzeptuakondomenderatutaizateaeskatzendu:

180+180ren%20=180·1,20=216

• Beherako,problemaebatzietan,egoeraberaagerida,bainaaurkakoikuspuntuenaraberaemanda:hasierakokantitateakalkulatzeaetaehune-kohandiagotzeakalkulatzea.Bikasuhoriekzailagoakdiraikasleentzat,etaaurrekoorrialdeanlandutakoprozeduraksakontzendituzte.



Indartzeko:35.orrialdeko7.ariketa.

Iradokizunak• Hasierakoadibidean,ehunekoenproblemazuzenbatenkasutipikoa

agerida.Osotasunaemanda,osotasunhorrenehunekojakinbateska-tzenda.Emaitzakantitatehorrenzatibatizangoda.

Ikasleekhonakohiruelementuhauekondobereiztendituztelaziurtatubehardugu:

Osotasuna8180

Ehunekohonenbeste8%35

Zatia863

Horrezgain,kantitatehoriekelkarrekinlotzendituztenproportzionalta-sun-erlazioakeregogoratukoditugu:

x35

100 180= x

100180

35=

• Behinhoriguztiaargidagoenean,egoeraberabainagalderadesberdi-nakdituztenbiproblemalandukoditugu.

–Lehenengoan,osotasunaematendaetaehunekoakalkulatzekoeska-tzenda:de180ren%x=63

–Bigarrenean,ehunekoaetazatiaemanetaosotasunaeskatzenda:x-ren % 35=63

• Ikasleekeskuarteantestuinguruezagunaerabilikodutenez,errazulertu-kodituzteproposatzendirenikuspegiberriaketa,horiekadibidemo-duanhartuta,antzekoproblemetanerabilikodituzte.



Indartzeko:34.orrialdeko1.,2.,3.,4.eta5.ariketak.

Sakontzeko:35.orrialdeko6.ariketa.37.orrialdeko13.ariketa.

OHARRAK

76

105104

Ehunekoen txikiagotzeak

Aurreko hiruhilekoan, 620 istripu egon ziren gure artean. Neurriak hartu eta gero, agintariek istripuak % 15 gutxiago izango direla uste dute. Horrela izanez gero, zenbat istripu izango dira, gehienez, oraingo hiruhilekoan?•Lehenengo modua

620 620ren % 15istripuen

aurreikuspena = aurreko hiruhileko istripuak – txikiagotzea

istripuen beheraldia → 620ren % 15 = ·100

620 15 = 93 istripu

hiruhileko honetarako aurreikuspena → 620 – 93 = 527 istripuSoluzioa: Oraingo hiruhilekorako aurreikusi den istripu kopurua 527koa izan-go litzateke.

•Bigarren moduaIstripuak % 15 gutxiago izateak 100 istripu 85ean geratzen direla esan nahi du.lehengo istripuak

oraingo aurreikuspena

100 ⎯→ 85 ·8x x620100 85

100620 85= = = 527 istripu

620 ⎯→ x

•Modu azkarraHartu kontuan, egiatan, aurreikusi den ezbeharren kopurua 620ren % 85 dela; beraz, problema honela ebatz dezakegu:

aurreikusitako istripuak → 620ren % 85 = 620 · 0,85 = 527 istripu

Kantitate bat % a jaistea kantitate horren % (100 – a) zenbat den kalkulatzea da.

1. % 15 merkeago egon den bizikleta 527 € ordaindu dugu. Zenbat balio zuen lehen bizikleta horrek?

hasierako prezioa

azken prezioa

100 ⎯→ 85 ·8x x10052785

85100 527= = = 620

x ⎯→ 527

Soluzioa: Bizikletak 620 € balio zuen.

2. 620 € balio zuen bizikleta 527 euroan saldu da merkealdian. Ehuneko zenbat merkatu dute?

hasierako prezioa

azken prezioa

620 ⎯→ 527 ·8 xx100620 527

620527 100= = = 85

100 ⎯→ x

Hasierako prezioaren 100 euroko 85 ordaindu ditugu; hau da, 15 euro mer-keago saldu digute.Soluzioa: % 15eko deskontua egin digute.

Problema ebatziak

Hartu kontuan

x-ren % 85 = 527⇓

x · 0,85 = 527⇓

x = 527 : 0,85 = 620

1. Kalkulatu zenbat den x, adibidean bezala.• x-ren % 12 = 42 → x · 0,12 = 42 →

→ x = 42 : 0,12 = 350

a) x-ren % 50 = 20 b) x-ren % 25 = 15c) x-ren % 12 = 27 d) x-ren % 30 = 255e) x-ren % 16 = 20 f ) x-ren % 84 = 504g) x-ren % 25 = 42,5 h) x-ren % 13 = 7,54

2. Kalkulatu buruz zenbat den x.a) x-ren % 50 = 80 b) x-ren % 25 = 6c) x-ren % 10 = 40 d) x-ren % 75 = 15e) x-ren % 5 = 2 f ) x-ren % 20 = 6g) 15en % x = 30 h) 40ren % x = 10i ) 8ren % x = 80 j ) 80ren % x = 20

problema bakoitza dagozkion alderantzizkoekin

3. Ebatzi atal bakoitza:a) 175 ardiko artaldean, % 8 beltzak dira. Zenbat ardi

beltz daude artaldean?b) Artaldean, 14 ardi beltz daude; hau da, guztien

% 8. Zenbat ardi dira, guztira, artaldean?c) 175 ardiko artaldean, 14 beltzak dira. Zenbat da

ardi beltzen ehunekoa?

4. Ebatzi.a) Albertok 148 € balio zuen berokia erosi du, baina

% 25eko deskontua egin diote. Zenbat ordaindu du berokia?

b) Albertok 111 € ordaindu du % 25eko deskontua izan duen berokia. Zenbat balio zuen berokiak merkatu aurretik?

c) Albertok 111 € ordaindu du 148 € balio zuen be-rokia. Ehuneko zer deskontu egin diote?

5. Ebatzi honako problema hauek:

a) Aurreko hilean, 2 500 pote freskagarri saldu dituz-te supermerkatuan. Zenbat pote saldu dituzte hil honetan, kontuan hartuz salmentak % 12 igo direla?

b) Hil honetan, 2 800 pote freskagarri saldu dituz-te supermerkatuan; hau da, aurreko hilean baino % 12 gehiago. Zenbat pote freskagarri saldu ziren aurreko hilean?

c) Hil honetan, 2 800 pote freskagarri saldu dituzte supermerkatuan, eta, aurreko hilean, 2 500 pote. Ehuneko zenbat igo dira salmentak?

hasierako kantitatea zenbat den kalkulatzeko problemak

6. Gaur, sei musikarik egin dute huts saioan; hau da, bandakoen % 20 falta dira. Zenbat musikarik osa-tzen dute banda hori?

7. Martari % 10 igo diote soldata eta orain 1 760 € ira-bazten ditu hilean. Zenbat irabazten zuen igo aurre-tik?

8. % 15 merkeago jarri den gona 36,55 € ordaindu dute. Zenbat balio zuen merkatu baino lehen?

36,55 €

9. Hiri jakin batean, Internet erabiltzen dutenen kopurua 21 000ra iritsi da; hau da, aurreko urtean baino % 20 gehiago dira. Zenbat pertsonak erabil-tzen zuten Internet iaz?

ehunekoa kalkulatzeko problemak

10. Adrianek 200 € zituen aurreztuta eta 50 € gasta-tu ditu MP3 aparatu batean. Aurrezkien ehuneko zenbat gastatu du?

11. Enpresa batek 24 lan-eskari hartu eta 21 onartu ditu. Ehuneko zenbat ez ditu onartu?

12. Duela hiru urte 280 000 euro balio zuen etxebizitza 350 000 euroan saldu dute. Ehuneko zenbat igo da aldi horretan?

Pentsatu eta egin

Ebatzi ehuneko handiagotzeei eta txikia-gotzeei buruzko problemak.

Webgunean

Ebatzi problemak ehunekoak erabiliz.Webgunean

5 a)2800potesaldudituztehilhonetan.

b)2500potesalduzirenaurrekohilean.

c)%12igodirasalmentak.

6 Banda30musikarikosatzendute.

7 1600€irabaztenzuen.

8 43€baliozuenmerkatuaurretik.

9 17500pertsonakerabiltzenzuteniaz.

10 Aurrezkien%25gastatudu.

11 Lan-eskarien%12,5ezdituonartu.

12 %25igoda.

Iradokizunak• Aurrekoatalekoprozeduraberberakageridira,bainakasuhonetanehu-

nekotxikiagotzeenkasuanerabilita.

• Ikasleekondoulertubehardutekantitatebat%15txikiagotzeakantitatehorren%85kalkulatzeadela;edobestelaesanda,kantitatehori0,85ekinbiderkatzea.

• Orrialdearenbukaerandaudenproblemaebatzietan,egoeraberarenaurkakoikuspuntuakazaltzendira.


Indartzeko:36.orrialdeko8.eta9.ariketak.37.orrialdeko11.ariketak.

Sakontzeko:36.orrialdeko10.ariketa.37.orrialdeko12.,14.eta15.ari-ketak.


1 a)40 b)60 c)225 d)850

e)125 f)600 g)170 h)58

2 a)x=160 b)x=24 c)x=400 d)x=20 e)x=40

f)x=30 g)x=200 h)x=25 i)x=1000 j)x=25

3 a)14ardibeltzdaude.

b)175ardidiraguztira.

c)Ardibeltzenmultzoa%8da.

4 a)111€ordaindudu.

b)148€baliozuen.

c)%25ekodeskontuaegindiote.

OHARRAK

77

107

Ariketak eta problemak

106

Arrazoiak eta proportzioak

1. Idatzi:a) 2/3-eko arrazoia duten hiru zenbaki bikote.b) Bostetik baterako erlazioan dauden hiru zenbaki

bikote.c) Hirutik laurako erlazioan dauden hiru zenbaki

bikote.

2. Kalkulatu zenbat den x honako proportzio hauetan:

a) x96 10= b) x

46

6= c) x

81512=

d) x21 28

4= e) x39 65

30= f ) x14

4249=

g) x2415 55= h) x

5442

63= i ) x

161632=

3. Egia ala gezurra?a) Bi zenbakiren arrazoia ezin daiteke zenbaki osoa

izan.b) a eta b-ren arrazoia unitatea izanez gero, orduan

a = b.c) a eta b-ren arrazoia berdin b eta a-ren arrazoia.d) Proportzioa bi zatiki baliokideren berdintza da.

e ) ba

dc= proportzioak eta

bd

ac= proportzioak

informazio bera ematen dute.

f ) ba

dc= proportzioan, a = d izanez gero, orduan b = c.

g) ba

dc= proportzioan, a = b izanez gero, orduan, c = d.

Proportzionaltasun-erlazioak

4. Osatu koadernoan proportzionaltasun zuzeneko honako taula hauek:a) b)

1 2 3 7

5 10 60

1 2 3 4

5 10 25

5. Osatu koadernoan alderantzizko proportzional-tasuneko honako taula hauek:a) b)

1 2 4 5

20 10 2

1 2 3 4

18 9 6

6. Honako magnitude bikote hauen artean, adie-razi zein diren proportzionaltasun zuzenekoak, zein alderantzizko proportzionaltasunekoak eta zein diren proportzionaltasun-erlaziorik ez dutenak.a) Saldu diren kiloen kopurua eta bildu den dirua.b) Lana egiten duten langileen kopurua eta lanean

eman duten denbora.c) Pertsonaren adina eta pertsona horren altuera.d) Ibilgailuaren abiadura eta ordu erdian egin duen

distantzia.e) Iturria irekita egon den denbora eta isuri den ura.f ) Iturriaren emaria eta depositua betetzeko behar

duen denbora.g) Liburuaren orri kopurua eta

liburuaren prezioa.

7. Idatzi hiru proportzio desberdin proportzionalta-sun zuzeneko honako taula honetako balioekin:


8. Alderantzizko proportzionaltasuneko honako taula honetako balioekin, idatzi hiru proportzio des-berdin:


Proportzionaltasun zuzeneko eta alderan-tzizko proportzionaltasuneko problemak

9. Kalkulatu buruz eta erantzun.a) Trenak 240 km egiten ditu 3 orduan. Zer distan-

tzia egiten du 2 orduan?b) Bi kilo sagarren kostua 1,80 € da. Zenbat da hiru

kiloren kostua?c) Lau langilek 3 orduan egiten dute lan bat. Zenbat

denbora beharko dute sei langilek?d) Kontzerturako bost sarrera 40 euro ordaindu

dugu. Zenbat balio dute lau sarrerak?e) Txirrindulariak, 20 km/h-ko abiaduran, 3 orduan

egiten du distantzia jakin bat. Zenbat denbora be-harko du 60 km/h-ko abiaduran doan motorrak?

8 Banku-interesa

Maileguz uzten den diruak ematen duen etekinari interes esaten zaio. Etekin hori mailegatzen den kantitatearen eta maileguak dirauen denboraren zuzenki proportzional da.Adibidez urteko % 4ko maileguak hau esan nahi du:mailegatutako kapitala denbora etekina

100 € → urte batean → ematen dute → 4 €500 € → urte batean → ematen dute → 4 · 5 = 20 €500 € → 3 urtean → ematen dute → 20 · 3 = 60 €

Ikus dezakezunez, proportzionaltasun konposatuko egoera da.

Banku batek % 4ko etekina eskaintzen du. Zer etekin lortuko genuke 750 € hiru urtean jarriko baldin bagenu?

kapitala denbora etekina = interesa100 € → urte batean → ematen dute → 4 €

1 € → urte batean → ematen du → 1004 €

750 € → urte batean → ematen dute → ·100

750 4 €

750 € → 3 urtean → ematen dute → · ·100

750 4 3 = 90 €

prop. zuzenaproportzionaltasun zuzena

Laburbilduz:kapitala denbora interesa

100 → 1 → 4 · I750100

31 4= → I = · ·

100750 4 3 = 90 €

750 → 3 → I

Soluzioa: 750 €-k, urteko % 4an jarrita, 3 urtean 90 euroko etekina ematen dute.

Problema ebatzia

C kapitalak, urteko % r-an t urtean jarrita, I etekina ematen du.

kapitala denbora interesa100 ⎯→ 1 ⎯→ r → ·

C t Ir100 1 = → I = · ·C r t

100C ⎯→ t ⎯→ I

p. zuzenap. zuzena

Hartu kontuan

Urteko ehuneko etekinari korritu (r) esaten zaio.

r = % 4↓

100 eurok, urte batean, 4 euroko etekina ematen dutela esan nahi du.

1. Bankuak % 5eko etekina eskaintzen du urtean.a) Zer etekin ematen dute 100 eurok 4 urtean?b) Zer etekin ematen dute 600 eurok urte batean?c) Zer etekin ematen dute 600 eurok 4 urtean?

2. Kalkulatu zer interes ematen duten 8 000 eurok 3 urtean % 5ean jarrita.

3. Zer interes ordaindu beharko dut % 8an eman didaten eta 2 urte barru itzuli behar dudan 3 000 €-ko maileguagatik?

Pentsatu eta egin

Ebatzi bankuko interesei buruzko pro-blemak

Webgunean

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)Adibidez:4eta6;10eta15;18eta27b)Adibidez:15eta3;20eta4;35eta7

c)Adibidez:15eta20;21eta28;33eta44

2 a)x=15 b)x=9 c)x=10 d)x=3 e)x=18

f)x=12 g)x=88 h)x=49 i)x=8

3 a)Gezurra b)Egia c)Gezurra d)Egia

e)Egia f)Gezurra g)Egia

4 a) 1 2 3 7 12

5 10 15 35 60

b) 1 2 3 4 10

2,5 5 7,5 10 25

5 a) 1 2 4 5 10

20 10 5 4 2

b) 1 2 3 4 6

36 18 12 9 6

6 a)Proportzionaltasunzuzena.b)Alderantzizkoproportzionaltasuna.

c)Proportzionaltasun-erlaziorikgabe.

d)Proportzionaltasunzuzena.

e)Proportzionaltasunzuzena.

f)Alderantzizkoproportzionaltasuna.

g)Proportzionaltasun-erlaziorikgabe.

7 Adibidez: ; ;210

315

35

1525

630

525= = =

8 Adibidez: ; ;33

26

24183

244

1218

46= = =

9 a)160kmegitenditu. b)2,70€dira. c)2ordubeharkodituzte.

d)32eurobaliodute. e)1ordubeharkodu.

Iradokizunak• Bankuko interesakehunekokasupartikularradirelaazaldukodugu.

Ikasleekaurrekoataleanlandudituztenproportzionaltasunkonposatukoproblemekinerlazioadutelaikusibehardute.

• Problemahauetanelkarrekinerlazionatzendirenmagnitudeakkapitala,denboraetainteresaedoirabaziadira.Komenidaikasleeksoluziorahel-tzekoerabilidituztenarrazoibideakahozetaidatzizadieraztea,ezdadinproportzioenerabileramekanikohutsabihurtu.

• Azkenean,urratsbatgehiagoemangoduguetalandutakokontzeptuakorokortzekoetaformuletarairistekoerabiltzendenohikonomenklaturaazaldukodugu.Erabilikodugunmetodologiahonetan,formulahelmu-gada.Ikasleekburuzikasdezaketeformulahori.Etaahaztenbaduteere,ezdioardura;izanere,egunerokobizimodutikateraditugunegoe-raetaproblemeiburuzkoprozesuhoriekarrazoituetaezarrita,berrirolortzekogauzaizangodira.



Indartzeko:38.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.30.orrialdeko4.ariketa.

Sakontzeko:39.orrialdeko5.,6.,7.eta8.ariketak.


1 a)20€

b)30€

c)120€

2 1200€-kointeresaematendu.

3 480€ordaindubeharkodut.

78

108 109

Ariketak eta problemak10. Bi kilo eta erdi patataren prezioa 1,75 € da.

Zer prezio dute hiru kilo eta erdik?

11. Lau langilek 10 orduan garbituko dute orubea. Zenbat denbora beharko lukete bost langilek?

12. 500 folioko paketeak 1,8 kg-ko pisua du. Zer pisu dute 850 foliok?

13. Igerilekuak hiru hustubide berdin ditu. Bi irekiz gero, 45 minutuan hustuko da. Zenbat denbora barru hustuko da hirurak zabaltzen baldin badira?

14. Botilaratzeko makinak 750 botila betetzen ditu ordu laurdenean. Zenbat botila beteko ditu ordubete eta erdian?

15. Traktoreak, 8 orduko lanaldiak eginez gero, 9 egunean goldatuko du lursail jakin bat. Zenbat orduko lanaldiak egin behar ditu lana 6 egunean egiteko?

16. Baserritar batek 65 behiri 32 egunean jaten ema-teko adina bazka du. Beste 15 behi erosiz gero, zenbat iraungo dio bazkak?

17. Bi kilo eta hirurehun gramoko legatza 28,75 € ordaindu da. Zenbat ordainduko dut kilo bat eta erdikoa?

18. Txirrindulariak 6,3 km 18 minutuan egin ditu. Adierazi batez besteko abiadura km/h-tan.

19. Merkantzia-trenak, 72 km/h-ko batez besteko abiaduran, A hiritik B hirirako bidea 7 orduan egi-ten du. Batez besteko zer abiadura izan beharko luke bide bera 6 orduan egiteko?

20. Mapan 5 cm-ko distantzian dauden bi herri 35 km-ko distantzian daude errealitatean. Beste bi herriren arteko mapako distantzia 13 cm-koa izanez gero, zenbat da horien arteko benetako distantzia?

21. Automobil batek 20 minutu behar ditu 90 km/h -ko abiaduran A hiritik B hirira joateko. Zenbat den-bora beharko luke 60 km/h-ko abiaduran doan ka-mioiak? Eta 80 km/h-koan doan furgonetak?

22. Ariketa ebatziaMotordun ponpa batek 1 250 metro kubiko ur isuri du patin batean 7 orduan. Zenbat denbo-ra beharko du betetzeko falta diren 1 000 metro kubiko ur emateko?m3 orduak

1 250 ⎯→ 7 → · x10001250 7 → x = 125

7001 000 ⎯→ x

7 0 0 h 1250 7 5 5 h 36 min× 6 0

4 5 0 0 min0 7 5 0

0 0 0

Soluzioa: 5 h eta 36 min beharko du.

23. Txirrindulariak 25 kilometro ordubete eta laur-denean egin ditu. Abiadura horretan joanda, zenbat denbora beharko du 64 kilometroko etapa egiteko?

24. Trenak, 90 km/h-ko abiaduran, 6 orduan egiten du ibilbide jakin bat. Zenbat denbora beharko du 100 km/h-koan ibiliz gero?

25. Iturburu batek 3,5 litro ur ematen du minutuko eta depositua ordubete eta erdian betetzen du. Zenbat den-bora beharko luke emaria minutuko 4,5 litrokoa izango baldin balitz?

Proportzionaltasun konposatuko problemak26. Berrogeita hamar txahalek 4 200 kilo alpapa jaten

dute astean.a) Zenbat alpapa jaten du txahal batek egunean?b) Zenbat kilo alpapa behar dira 20 txahali 15 egu-

nean jaten emateko?c) 600 kilo alpapa izanez gero, zenbat egunean eman-

go diegu jaten 10 txahali?

27. Joskintza-lantegian, 6 makina erabiliz, 600 jaka egin dira 10 egunean.a) Zenbat jaka egingo dira 15 egunean 5 makina era-

biliz?b) Zenbat makina jarri beharko dira lanean 750 jaka

15 egunean egiteko?c) 5 makina bakarrik erabiliz gero, zenbat egun be-

harko dira 750 jaka egiteko?

28. Bost inkestarik, 8 orduko lanaldiak eginez, merkatu-azterketa egin dute 27 egunean. Zenbat denbora beharko lukete lan bera egiteko 9 inkestarik 10 orduko lanaldiak eginez?

Banaketa proportzionalak29. Banatu 1 710 honako hauetan:

a) 3, 6 eta 10en zati proportzionaletan.b) 3, 6 eta 10en zati alderantziz proportzionaletan.

30. Ekintzaile batek paketeak banatzeko enpresa sortu du eta, lehenengo hiruhilekoan, 2 800 pakete banatu ditu. Lehenengo hilean, pakete gutxi batzuk bidali zituen; bigarrenean, paketeak hirukoiztu egin zituen eta hirugarrenean, laurekin biderkatu zuen aurreko hileko jarduera. Zenbat pakete bidali zituen hilabete horietako bakoitzean?

31. Nola banatuko dituzte hiru kideek negozioak sortu dituen 50 000 euroko etekinak, jakinik nego-zioa eratu zenean lehenengo kideak bigarrenak jarri zuen kapitala bi halako eta horrek hirugarrenak hiru halako jarri zuela?

32. Enpresa baten jabeak enpresako hiru langileen artean 1 300 euroko kantitate gehigarria banatzea era-baki du. Bakoitzak lanera huts egin dituen egunen alderantzizko proportzioko kantitatea hartuko du. Sal-tzaileak 4 egunean huts egin du; kontulariak, 3tan eta banatzaileak, 2tan. Zenbat diru jasoko du bakoitzak?

33. Telebistako lehiaketa batean, finalera heldu diren hiruren artean banatuko da saria, bakoitzak huts egin-dako galderen alderantzizko proportzioan banatuta. Hirugarrenak, 4 huts egin eta 3 000 € jaso ditu. Lehe-nengoak eta bigarrenak, huts bat eta hiru huts, hurrenez hurren, egin dituzte; zenbat diru hartu du bakoitzak?

Kalkuluak ehunekoekin34. Kalkulatu buruz.

a) 220ren % 50 b) 82ren % 50 c) 12ren % 50d) 800en % 25 e) 800en % 75 f ) 280ren % 25

35. Kalkulatu buruz zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean:a) x-ren % 50 = 150 b) x-ren % 50 = 7c) x-ren % 25 = 120 d) x-ren % 25 = 6e) x-ren % 75 = 150 f ) x-ren % 75 = 9

36. Kalkulatu buruz zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean:a) x-ren % 10 = 31 b) x-ren % 10 = 4c) x-ren % 20 = 18 d) x-ren % 20 = 86e) x-ren % 5 = 35 f ) x-ren % 5 = 2

37. Kalkulatu zenbat den.a) 160ren % 15 b) 700en % 13c) 3 625en % 12 d) 75en % 4e) 1 200en % 76 f ) 182ren % 5g) 350en % 2,4 h) 2 500en % 1,7

Ehuneko, zatiki eta hamartarren arteko erlazioak

38. Osatu koadernoan.

ehunekoa % 25 % 20 % 80 % 5 % 2zatikia 1/4

zenB. hamartarra 0,25 0,20

39. Kalkulatu adibidean bezala.• 280ren % 15 = 280 · 0,15 = 42

a) 1 350en % 18 b) 2 400en % 57c) 125en % 8 d) 40ren % 6

40. Kalkulatu x, adibidean bezala.• x-ren % 15 = 42 → x · 0,15 = 42 →

→ x = 42 : 0,15 = 280

a) x-ren % 20 = 27 b) x-ren % 17 = 595c) x-ren % 5 = 3,2 d) x-ren % 7 = 17,5

41. Grafikoak Espainiako hegoaldeko herri nekazari bateko bertako biztanleriaren eta etorkinen arteko erlazioa adierazten du.

Bertakoak

Etorkinak

a) Biztanleriaren zer zati dira etorkinak?b) 1 000 pertsonako zenbat dira etorkinak?c) 100 pertsonako zenbat dira etorkinak?d) Zenbat da etorkinen ehunekoa?


10 2,45€-koprezioadute.

11 8ordubeharkolukete.

12 3,06kg-kopisuadute.

13 30minutubarruhustukoda.

14 4500botilabetekoditu.

15 12ordukolanaldiakeginbeharditu.

16 26eguniraungodio.

17 18,75€ordaindukodut.

18 vbb=21km/h

19 84km/h-koabiaduraizanbeharluke.

20 Benetakodistantzia91km-koada.

21 Kamioiak30minutubeharkolituzke,etafurgonetak,22,5minutu.

22 Ariketahauikaslearenliburuanebatzitadago.

23 3ordueta12minutubeharkoditu.

24 5ordueta24minutubeharkoditu.

25 1ordueta10minutubeharkolituzke.

26 a)12kg b)3600kg c)5egunean

27 a)750jaka b)5makina c)15egun

28 12egunbeharkolituzkete.

29 a)Zatiak270,540eta900dira. b)Zatiak950,475eta285dira.

30 Lehenengohilean175bidalizituen;bigarrenean,525,etahirugarre-nean,2100.

31 Hirugarrenak5000€hartukoditu;bigarrenak,15000€,etalehenen-goak,30000€.

32 Saltzaileak300€jasokoditu;kontulariak,400€,etabanatzaileak,600€.

33 Lehenengoak12000€hartuditu,etabigarrenak,4000€.

34 a)110 b)41 c)6 d)200 e)600 f)70

35 a)x=300 b)x=14 c)x=480 d)x=24 e)x=200 f)x=12

36 a)x=310 b)x=40 c)x=90 d)x=430 e)x=700 f)x=40

37 a)24 b)91 c)435 d)3

e)912 f)9,1 g)8,4 h)42,5

38 ehunekoa %25 %20 %80 %5 %2

zatikia 1/4 1/5 4/5 1/20 1/50

zenb. hamartarra 0,25 0,20 0,80 0,05 0,02

39 a)243 b)1368 c)10 d)2,4

40 a)135 b)3500 c)64 d)250

41 a)81 b) x

81

1000= 8x=125

c)12,5 d)%12,5

OHARRAK

79

110 111

Ariketak eta problemak

Problemak ehunekoekin

42. Langile batek 1 700 euro irabazten ditu hilean eta % 40 bizitetxearen hipoteka ordaintzeko eralgi-tzen du. Zenbat geratzen zaio gainerako gastuei aurre egiteko?

43. 35 ikasleko ikasgelako 28k irtenaldia egin dute. Ikasleen ehuneko zenbatek ez dute parte hartu txan-goan?

44. Hotel batek 187 gela ditu hartuta; hau da, guztien % 85. Zenbat gela ditu hotelak?

45. Saskibaloiko jokalari batek 25 jaurtiketa egin eta 16 bider asmatu du. Ehuneko zenbat bider asmatu du?

46. Urtegi jakin bat edukieraren % 23an dago uda-ren amaieran. Une horretan 35 dam3 ur du. Zenbat da urtegiaren edukiera guztira?

47. 5 475 ikasleri egin zaie inkesta eta 76k bakarrik adierazi dute lisatzen dakitela. Ehuneko zenbat ikas-lek aitortu dute badakitela arropa lisatzen?

48. Luisak matematikako 18 problema ebatzi behar ditu eta, dagoeneko, % 65 baino gehiago eta % 70 baino gutxiago ditu ebatzita. Zenbat problema ditu ebazteko?

49. Ur-depositu bat bere edukieraren % 93an dago beterik. 14 000 litro gehituz gero, osoan beteta gera-tuko da. Zer edukiera du depositu horrek?

50. 45 € balio zuen jertsea 36 eurora merkatu dute. Ehuneko zenbat merkatu dute?

51. Orain dela bost urte, 240 000 euroan erosi nuen etxebizitza. Denbora horretan, etxebizitza % 37 ga-restitu da. Zenbat balio du nire etxebizitzak orain?

52. Ogi-barra % 10 garestitu da eta 0,55 € balio du. Zenbat balio zuen garestitu baino lehen?

53. Udaren hasieran, urtegi batek 775 dekametro kubiko ur zituen. Udaldian zehar, erreserbak % 68 urritu dira. Zenbat dira erreserbak orain, udaldiaren amaieran?

54. Ortuzain batek 3 500 m2-ko lursaila du eta % 45ean tomateak sartu nahi ditu. Metro karratu bakoi-tzean 9 landare sartu nahi izan eta beti % 10 gehiago ero-siz gero, zenbat tomate-landare erosi beharko ditu?

55. Kalkulatu zer interes ematen duen 3 500 euroko kapitalak hiru urtean urteko % 5ean jarrita.

56. 4 500 euroko mailegua % 6,5ean hartu eta 4 urte barru itzuliz gero, zenbat ordainduko dut interesetan?

Interpretatu, deskribatu, adierazi57. Aztertu honako irudi honetan ageri diren datuak

eta prozesuak eta aurkitu errakuntzak. Gero, zuzendu kalkuluak.

2 500 2 750

1,8 01,8 00,9 03,5 0

pisua (kg) prezioa (€)2,5 ⎯→ 3,500,25 ⎯→ 3,5 : 10 = 0,352,75 ⎯→ 3,85

58. Evak, Jonek eta Sarek hainbat eratan ebatzi dute honako problema hau. Azaldu zer egin duen bakoitzak.Bulego batek 45 langile ditu eta, abuztuan, % 80k opo-rrak hartzen dituzte. Zenbat ari dira lanean abuztuan?Evaren ebazpena

% 100 – % 80 = % 20 → 45en % 20 = 45 · 10020 = 9

Soluzioa: Abuztuan, 9 langile ari dira lanean.Jonen ebazpena

45en % 80 = ·100

45 80 = 36 → 45 – 36 = 9

Soluzioa: Abuztuan, 9 langile ari dira lanean.Sareren ebazpena

guztira → oporretan + lanean100 → 80 + 2010 → 8 + 25 → 4 + 1

40 → 32 + 845 → 36 + 9

Soluzioa: Abuztuan, 9 langile ari dira lanean.

«+» problemak

59. Zer interes sortzen dute 800 eurok % 6an urtean? Eta hilabete batean? Eta 7 hilabetean?

60. Kalkulatu zer interes sortzen duen 9 000 euroko kapitalak urteko % 4an jarrita.

61. Kalkulatu zer interes sortzen duen 6 000 euroko maileguak % 4,5ean 2 hilabete eta 13 egunean.

62. Denda handietan, berokia % 20 beheratu dute lehenengo merkealdian eta, prezio horren gainean, beste % 20 beheratu dute bigarren merkealdian. Jato-rriko prezioaren ehuneko zenbat merkatu dute berokia?

Jo berokiaren prezioa 100 euro zela hasieran.

63. Urtegi batek bilduta zuen uraren % 20 galdu zuen abuztuan eta, irailean, lehengo maila berresku-ratu zuen. Zenbat izan zen iraileko hazkundea?

64. Denda bateko salmentak % 35 jaitsi dira otsailean eta, martxoan, urtarrileko mailara iritsi dira. Martxoko salmentak otsailekoak baino ehuneko zenbat handiago dira?

65. Alexandrak 35 400 euroko kapitala sartu du bankuan urteko % 6ko interesean. Etekinak hile-ro sartzen dira Alexandraren kontuan.

Zer saldo izango du urtebete eta erdi barru?

Erabili kalkulagailua.

Ikasi problemak ebazten

Zenbat da mailegua? Zenbat iraungo du? Zer interes ordainduko du? Zer galdetu dizute?

Zer zailtasun aurkitu duzu?

Orain, kalkulatu zenbat egun iraungo duen maileguak.

Amaitu al dezakezu problema?

Orduan, mailegua urte oso-rako izanez gero, ba al dakizu maileguaren kostua zenbat den kalkulatzen?

Eta zenbat izango lirateke inte-resak mailegua egun baterako bakarrik izango baldin balitz?

— Maileguaren denbora ez da urte kopuru zehatza.

— Zehatz, honako hauek dira:30 (ekaina) + 31 (uztaila) + 31 (abuztua) + 20 (iraila) = 112 egun

— Bai, 112 egun horietan, interesak izango lirateke:3,6 · 112 = 403,20 € Soluzioa: Mailegua, itundu diren baldintzen arabera, 403,20 € kostatuko litzaioke.

— Hori bai. 18 000 euroko maileguak urteko % 7,3ko interesean , honako interes hauek izango lituzke:

I = · · · , ·C r t100 100

18000 7 3 1= = 1 314 €

— A bai! Egun bateko interesak urtebetekoak zati 365 izango lirateke:1 314 : 365 = 3,60 €

Merkatari batek 18 000 €-ko mailegua itundu du bankuarekin: ekainaren batean hartu eta irailaren hogeian itzuli beharko du urteko % 7,3ko interesak ordainduz. Zenbat kos-tatuko zaio mailegua dena itundutako baldintzen arabera garatzen baldin bada?

Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?


42 1020€geratzenzaizkio.

43 Ikasleek%20kezdutepartehartu.

44 220geladitu.

45 %64biderasmatudu.

46 Urtegiarenedukiera152,2dam3da.

47 %1,4kaitortudutelisatzendakitela.

48 6dituebazteko.

49 200000l-koedukieradu.

50 %20merkatudute.

51 Etxebizitzak328800€baliodu.

52 Garestitubainolehen0,50€baliozuen.

53 248dam3diraerreserbak.

54 15593landareerosibeharkoditu.

55 525€

56 1170€

57 Meloia1,80€/kgsaltzenda

Ezkerrekosaltzaileaktxartokalkulatudubikiloetaerdikomeloiakzen-batbalioduen:1,80+1,80+0,90=4,50€(etaez3,50€).

Datuokerhorihartuta,eskuinekosaltzaileakerehutsegitendu.Kalkuluakhauekizanbeharkolirateke:

Bikiloetaerdik4,50€baliodute,etakilolaurdenbatek,4,50:10=0,45€.Beraz,2,750kg-komeloibatek4,50+0,45=4,95€baliokodu.

58 Evarensoluzioa

Lehenengo,laneandaudenlangileenehunekoakalkulatudu(%100–

%80=%20)eta,gero,zenbatlangiledaudenlanean(45en%20=9).

Jonensoluzioa

Lehenengo,oporretanjoandirenlangileakzenbatdirenkalkulatudu

(45en%80=36)etaosotasunarikendudio,laneanzenbatdaudenja-

kiteko(45–36=9).

Sarerensoluzioa

Berakasmatutakoprozesuarijarraitudio:

—100langiletik,80oporretandaudeeta20lanean.

—10etik,aurrekokantitateenhamarrenakegongodira;hauda,8

oporretaneta2lanean.

—Bostetik(aurrekoarenerdia),4oporretanetabatlanean.

—40tik(10enlaukoitza),8·4=32oporretaneta2·4=8laneandaude.

—45etik(40+5),32+4=36oporretaneta8+1=9laneandaude.

59 1urte:48€ 1hilabete:4€ 7hilabete:28€

60 1urte:360€ 1hilabete:30€ 5hilabete:150€

61 Bihilabeteetahamahiruegunetan54,75€-kointeresasortzendu.

62 Jatorrizkopreziotik%36merkatudute.

63 Irailekohazkundea%25ekoaizanzen.

64 Martxokosalmentakotsailekoakbaino%53,85handiagoakdira.

65 Urtebeteetaerdibarru38586€-kosaldoaizangodu.

80

112 113

Irakurri, ulertu eta kalkulatuProportzioak mosaikoanHonako mosaiko hau eratzeko, pieza urdinen eta pieza horien kopuru bera beharko duzu.Edo gauza bera dena, erronbo eta karratu kopuruen arrazoia 1 da:

aa

KARRATU KOP.ERRONBO KOP. = = 1

Aurreko baieztapena erraz justifikatzen da mosaikoaren honako zatiketa honi erreparatuz gero:

11

2 3

5 4

2 35 4

Hala ere, marraztu eta, gero, pintatu nahi izanez gero, pintura hori gehiago beharko duzu urdina baino.•Kalkulatu zenbat den erosi beharko dituzun pintura urdin eta

horiko poteen arrazoia, kontuan hartuz eskuineko grafikoko datuak.

..

..

POTE HORI KOP.POTE URDIN KOP.

ZATI HORIAREN AZALZATI URDINAREN AZAL

KARRATUAREN AZALERRONBOAREN AZAL= =

•Osatu koadernoan: … pote pintura urdineko, … pote pintura hori erabiliko ditugu.

1. Osatu honako taula hau koadernoan…

m magnitudea 1 2 4 5n magnitudea 20

a) … M eta N magnitudeak zuzenki proportzionalak direla jota.

b) … M eta N magnitudeak alderantziz proportzio-nalak direla jota.

2. Ebatzi unitatera laburtuz.a) Iturri batek 180 l ur ematen ditu 6 minutuan.

Zenbat litro emango ditu ordu laurdenean?b) 6 iturri irekiz gero, depositua 50 minutuan husten

da. 4 bakarrik irekiz gero, zenbat denbora beharko du husteko?

3. Ebatzi hiruko erregela erabiliz.a) Automobil batek, batez beste, 70 km/h-ko abiadu-

ran joanda, 6 orduan egiten du bidaldi jakin bat. Batez beste, 100 km/h-ko abiaduran itzuliz gero, zenbat denbora beharko du etorrian?

b) Evak 10,85 € ordaindu du 875 g-ko bisigua. Zenbat ordainduko du Mikelek 1,2 kg-ko beste bisigu bat?

4. 50 txahalek 1 400 kg alpapa jaten dute astean. Zenbat kilo alpapa beharko dira 30 txahali 20 egu-nean jaten emateko?

5. Banatu 585:a) 3, 4 eta 6ri zuzenki proportzional zaizkien zati-

tan.b) 3, 4 eta 6ri alderantziz proportzional zaizkien za-

titan.

6. Osatu taula koadernoan.

ehunekoa % 25 % 80 % 6zatikia 1/5

zenB. hamartarra 0,07

7. Kalkulatu zenbat den:a) 80ren % 65 b) 3 200en % 4 c) 160ren % 16

8. 36 000 litro ur zuen askatik, % 15 erabili da. Zenbat litro daude orain?

9. 30 ikasleko ikasgela batean, gaur 6 falta dira. Ehu-neko zenbat falta dira?

10. Gure eskualdeko ospitalean, 210 ohe daude hartu-ta; hau da, erabil daitezkeen oheen % 84. Zenbat ohe ditu ospitaleak?

11. Kalkulatu zer interes sortzen duen 5 500 euroko kapitalak, 4 urtean % 3,6an jarrita.

12. Zenbat da bost hilabeterako % 8,2an jarrita dagoen 24 000 euroko maileguaren kostua?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz Erabili logika•Batez beste, bost udaltzainek 5 minutu behar dute bost isun jartzeko.

Zenbat denbora beharko dute hamar udaltzainek hamar isun jartzeko?•Truke-merkatuan, honako truke hauek egiten dira:

A. B. C.

Zenbat angurri emango dizkizute gazta baten truke?

Erabili dakizuna•Honako eskaintza hau aprobetxatuz gero, ehuneko zer beherapen lortuko duzu?

Pentsatu, saiatu eta erantzunErreparatu Endikak ohol zati batean ebaki dituen bi karratuei. Horietako bat bestea bi halako da altueran.

Jakinik txikia 100 gramokoa dela, handia 200 gramokoa dela pentsa dezakegu (alde bikoitza, pisu bikoitza). Hala ere, handia 400 gramokoa da, aldea bider bi eginez gero, azalera laurekin biderkatzen delako.

Hori kontuan hartuta, Paulek dituen bi dadoetako txikia 100 g-koa baldin bada, zer pisu du ertza bi halakoa duen dado handiak?

Matematika-lantegia

eskaintza!3 × 2

KARRATUAREN ÄÄ8 5AZALERA

ERRONBOAREN ÄÄ8 4AZALERA

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

OHARRAK

Irakurri, ulertu eta kalkulatu

Proportzioak mosaikoan

Helburuadaikasleeiikasidituztekontzeptuakegoeraerrealbateannolaezarribehardirenirakasteaetainguruaaztertzekoetakontrolatzekoerabildaitezkeelaerakustea.

Azaldutakoaondoulertuostean,egitendengalderakerabilerapraktikoaetaerabakibatzukhartubeharradakarberekin:motabakoitzekozenbatpoteerosibehardira?

Soluzioak

• bote urdin kop.bote hori kop.

= zati urdinaren azalera

zati horiaren azalera= erronboaren azalera

karratuaren azalera= 4

5

• 4potepinturaurdineko,5potepinturahorierabilikoditugu.

Pentsatu, saiatu eta erantzun

Biirudilauantzekoenazalerenartekoarrazoiaketaluzerenartekoarrazoiakezdatozelabategiaztatuondoren,ikasleeibolumenenartekoerlazioaribu-ruzkogogoetaegitekoeskatukodiegu.

Manipulaziobidezkolaguntzaerabiliz(esaterako,zurezkodadoak),ertzbikoi-tzekokubobategitekoertzbakunekozortzikubobehardirelaikusikodugu;eta,hortik,kubohandiak800gramokopisuaduelaondorioztatukodugu.

Aurreratuendabiltzan ikasleekaurkitukodute,beharbada,azalerenartekoarrazoiaantzekotasun-arrazoiarenkarratuadela;etabolumenenartekoarra-zoia,kuboa.

Soluzioak

Dadohandiak8dadotxikihartzenditu(2·2·2=23).

Dadohandiak800gramokopisuadu.

81

112 113

Irakurri, ulertu eta kalkulatuProportzioak mosaikoanHonako mosaiko hau eratzeko, pieza urdinen eta pieza horien kopuru bera beharko duzu.Edo gauza bera dena, erronbo eta karratu kopuruen arrazoia 1 da:

aa

KARRATU KOP.ERRONBO KOP. = = 1

Aurreko baieztapena erraz justifikatzen da mosaikoaren honako zatiketa honi erreparatuz gero:

11

2 3

5 4

2 35 4

Hala ere, marraztu eta, gero, pintatu nahi izanez gero, pintura hori gehiago beharko duzu urdina baino.•Kalkulatu zenbat den erosi beharko dituzun pintura urdin eta

horiko poteen arrazoia, kontuan hartuz eskuineko grafikoko datuak.

..

..

POTE HORI KOP.POTE URDIN KOP.

ZATI HORIAREN AZALZATI URDINAREN AZAL

KARRATUAREN AZALERRONBOAREN AZAL= =

•Osatu koadernoan: … pote pintura urdineko, … pote pintura hori erabiliko ditugu.

1. Osatu honako taula hau koadernoan…

m magnitudea 1 2 4 5n magnitudea 20

a) … M eta N magnitudeak zuzenki proportzionalak direla jota.

b) … M eta N magnitudeak alderantziz proportzio-nalak direla jota.

2. Ebatzi unitatera laburtuz.a) Iturri batek 180 l ur ematen ditu 6 minutuan.

Zenbat litro emango ditu ordu laurdenean?b) 6 iturri irekiz gero, depositua 50 minutuan husten

da. 4 bakarrik irekiz gero, zenbat denbora beharko du husteko?

3. Ebatzi hiruko erregela erabiliz.a) Automobil batek, batez beste, 70 km/h-ko abiadu-

ran joanda, 6 orduan egiten du bidaldi jakin bat. Batez beste, 100 km/h-ko abiaduran itzuliz gero, zenbat denbora beharko du etorrian?

b) Evak 10,85 € ordaindu du 875 g-ko bisigua. Zenbat ordainduko du Mikelek 1,2 kg-ko beste bisigu bat?

4. 50 txahalek 1 400 kg alpapa jaten dute astean. Zenbat kilo alpapa beharko dira 30 txahali 20 egu-nean jaten emateko?

5. Banatu 585:a) 3, 4 eta 6ri zuzenki proportzional zaizkien zati-

tan.b) 3, 4 eta 6ri alderantziz proportzional zaizkien za-

titan.

6. Osatu taula koadernoan.

ehunekoa % 25 % 80 % 6zatikia 1/5

zenB. hamartarra 0,07

7. Kalkulatu zenbat den:a) 80ren % 65 b) 3 200en % 4 c) 160ren % 16

8. 36 000 litro ur zuen askatik, % 15 erabili da. Zenbat litro daude orain?

9. 30 ikasleko ikasgela batean, gaur 6 falta dira. Ehu-neko zenbat falta dira?

10. Gure eskualdeko ospitalean, 210 ohe daude hartu-ta; hau da, erabil daitezkeen oheen % 84. Zenbat ohe ditu ospitaleak?

11. Kalkulatu zer interes sortzen duen 5 500 euroko kapitalak, 4 urtean % 3,6an jarrita.

12. Zenbat da bost hilabeterako % 8,2an jarrita dagoen 24 000 euroko maileguaren kostua?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz Erabili logika•Batez beste, bost udaltzainek 5 minutu behar dute bost isun jartzeko.

Zenbat denbora beharko dute hamar udaltzainek hamar isun jartzeko?•Truke-merkatuan, honako truke hauek egiten dira:

A. B. C.

Zenbat angurri emango dizkizute gazta baten truke?

Erabili dakizuna•Honako eskaintza hau aprobetxatuz gero, ehuneko zer beherapen lortuko duzu?

Pentsatu, saiatu eta erantzunErreparatu Endikak ohol zati batean ebaki dituen bi karratuei. Horietako bat bestea bi halako da altueran.

Jakinik txikia 100 gramokoa dela, handia 200 gramokoa dela pentsa dezakegu (alde bikoitza, pisu bikoitza). Hala ere, handia 400 gramokoa da, aldea bider bi eginez gero, azalera laurekin biderkatzen delako.

Hori kontuan hartuta, Paulek dituen bi dadoetako txikia 100 g-koa baldin bada, zer pisu du ertza bi halakoa duen dado handiak?

Matematika-lantegia

eskaintza!3 × 2

KARRATUAREN ÄÄ8 5AZALERA

ERRONBOAREN ÄÄ8 4AZALERA

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

OHARRAK

Trebatu problemak ebatziz Atalhonetan,formulazioteorikoetatiketaedukienprogramatikkanpodau-denzenbaitproblemaetaerronkaematendira.Helburuadalogikamatema-tikoariburuzkoproblemakebaztekonorkbereestrategiak landuetagara-tzea.Beraz,ikasleekmatematikaarloanikasitakoezagutzakerabilikodituzte,baina baita saiakuntza, haztamuka jotzea, saio-errore bidezko aurkikuntzaedosoluzioalortzenlagundukodietenbesteedozeinbideere.Horrezgain,programatikkanpokoesparruhonetan,ariketaetaegoeraarinetajostagarrihauenbidez,arrazoitzeazgozatzekomoduaetaerronkakgaindituetagogo-betetzekoaukeraemannahizaie.

Soluzioak

Erabili logika

• Udaltzainbakoitzak5minutubehardituisunbatjartzeko.

Hamarudaltzainek5minutubehardituztehamarisunjartzeko.

• Gaztabatentrukebiangurriemangodizkigute.

Erabili dakizuna

• Eskaintzahorrek%33,33merkeagoegitendelaadieraztendu.

Komenidaikasleekhonakoarrazoitzehauegitea:

3eramaneta2ordainduzgero,3tik1doandaramazu.100etikzenbateramangodituzudoan?

x13 100= 8x=33,33

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a) m magnitudea 1 2 4 5

n magnitudea 20 40 80 100

b) m magnitudea 1 2 4 5

n magnitudea 20 10 5 4

2 a)15minutuan450litroemangoditu.

b)1h15minbeharkodituhusteko.

3 a)4h12min

b)14,88€

4 2400kgbehardira



6 ehunekoa %25 %80 %6 %20 %7

zatikia 1/4 4/5 3/50 1/5 7/100

hamartarra 0,25 0,8 0,06 0,2 0,07

7 a)52b)128 c)25,6

8 30600litrodaudeorain.

9 Ikasleen%20faltadira.

10 250oheditu.

11 792€

12 Bosthilabeterakointeresenkostua820€-koada.

Unitatearen aurkezpena€¦ · Unitatearen aurkezpena • Unitate honetan, aurreko...

Documents

Transcript of Unitatearen aurkezpena€¦ · Unitatearen aurkezpena • Unitate honetan, aurreko...