UNIDADES 2 y 3 - [DePa] Departamento de...

GRM. Física I. Semestre 2014-1 1

UNIDADES 2 y 3

MECÁNICA

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005

Fisica, Vol. 1 Ohanian/Markert, 2009

Tipler/Mosca 2005

Bauer, 2011

MOVIMIENTO EN UNA

DIMENSIÓN


Usain Bolt gana su segundo oro

en Moscú, en la carrera de 200 m

hizo un tiempo de 19.66 segundos,

le falta una medalla para superar

a Carl Lewis

Problemas para clase: Dependencia de

la velocidad con respecto al tiempo

Durante el intervalo de tiempo de 0.0 a 10.0 s, el

vector de posición de un automóvil en la carretera

está dado por

x(t) = a + b t + c t 2 ,

con a = 17.2 m, b = - 10.1 m/s y c = 1.10 m/s2.

¿Cuál es la velocidad del automóvil como función

del tiempo?

¿Cuál es la velocidad media durante el intervalo?


Suponga que una nadadora termina los primeros 50 m

de los 100 m en estilo libre en 38.2 s. Una vez que

llega al extremo opuesto de la piscina de 50 m de

largo, se vuelve y nada de regreso al punto de partida

en 42.5 s

¿Cuál es la velocidad media y cuál es la rapidez

media de la nadadora para

a) el tramo desde la salida hasta el lado opuesto

de la piscina

b) el tramo de regreso

c) la distancia total recorrida? GRM. Física I. Semestre 2011-1 4

Problemas para clase:

Rapidez y velocidad


Rapidez promedio

Pero es una

determinación

relativa…


Velocidad promedio para

movimiento rectilíneo

Un automóvil que se mueve en línea recta. El eje x coincide con esta línea recta.


Gráfica de posición contra tiempo de un automóvil que acelera y luego se detiene.

Velocidad promedio para

movimiento rectilíneo

Velocidad promedio para el intervalo de

t1 = 8.0 s a t2 es la pendiente de la línea recta P1 y P2


Velocidad instantánea

Gráfica de posición contra tiempo para un automóvil que se mueve con velocidad variable

En un intervalo de tiempo puede aproximarse a la gráfica por una línea recta corta (azul)




como derivada de x

con respecto a t

• Para hallar las velocidades

instantáneas a tiempos diferentes,

se trazan las tangentes a la gráfica

en estos tiempos y se miden sus

pendientes.


Aceleración: es un cambio en la velocidad

• Aceleración promedio

La aceleración promedio para

el intervalo de

t1 = 0 a t2 = 10.0 s es la

pendiente de la línea recta

Q1Q2


Aceleracion instantánea

• La aceleración instantánea es el límite de la

aceleración promedio conforme t se

aproxima a 0

2

20lim x x

xt

v dv d xa

t dt dt

• La pendiente del gráfico de velocidad vs. tiempo es la aceleración

• La línea verde representa la aceleración instantánea

• La línea azul es la aceleración promedio


Aceleración

La aceleración instantánea

en t = 4 s es la pendiente de

la tangente en ese punto.


Aceleración

instantánea

como función del

tiempo

• Aceleración

instantánea como

derivada de v con

respecto a t

EJEMPLO: Cuando se está viajando en

automóvil en un camino recto, se puede estar

viajando en sentido positivo o negativo, y se

puede tener una aceleración positiva o

negativa. Asocie las siguientes combinaciones

de velocidad y aceleración


a) Vel (+), acel (+)

b) Vel (+), acel (-)

c) Vel (-), acel (+)

d) Vel (-), acel (-)

1. Desacelerando en el

sentido positivo.

2. Acelerando en el

sentido negativo.

3. Acelerando en el

sentido positivo.

4. Desacelerando en el

sentido negativo.


Aceleración y Velocidad

• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están

en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez.

• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están

en dirección opuesta, el objeto desacelera.

• El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las

flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño).

La aceleración es igual a cero.

Observe el Bat-móvil:


• La velocidad y la aceleración están en la misma dirección.

• La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la misma longitud)

• La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas)

Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva.

• La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas.

• La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la misma longitud)

• La velocidad decrece (las flechas rojas se hacen más cortas)

La velocidad es positiva y la aceleración negativa.

Observe :

17

Ejercicio para practicar:

En los campeonatos mundiales de pista y

campo de 1991 de Tokio, Japón, Carl Lewis

estableció un nuevo record mundial de los

100 m planos. A continuación se muestra una

lista de los tiempos en los que llegó a las

marcas de 10 m, 20 m, etc.

Determine la velocidad promedio para cada

intervalo de 10 s.

Determine también la aceleración promedio

considerando dos valores de

velocidad promedio y vea el desempeño del

atleta durante la carrera.

¿es constante su velocidad?

Trace los gráficos de posición vs. tiempo y

velocidad promedio vs tiempo.

t (s) x (m)

0.00 0

1.88 10

2.96 20

3.88 30

4.77 40

5.61 50

6.46 60

7.30 70

8.13 80

9.00 90

9.87 100


Ecuaciones cinemáticas para el caso

especial de movimiento con aceleración

constante, donde t0 = 0 (tiempo inicial)

Además vx prom = ½ (vxf + vxi)


Movimiento con aceleración constante

a) Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante; esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s2

b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente de 2.0 m/s2

c) Gráfica de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola.


Ejemplo 1: Movimiento con

aceleración constante

Mientras un avión se desplaza por la pista para alcanzar la rapidez de

despegue, se acelera por sus motores de propulsión a chorro. En un

vuelo específico se ha determinado que la aceleración promedio es de

ax = 4.3 m/s2. Bajo la suposición de aceleración constante y partiendo

del reposo,

a) ¿cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s?

b) ¿qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento

del despegue?

Respuesta: Vx = 79 m/s x = 7.3 x102 m

21

Ejemplo 2: Movimiento con

aceleración constante

Ahora, como reto sencillo para Ud., considere el siguiente

problema, también de portaaviones:

Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s.

a) ¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0 s

debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja en

reposo?

b) Si el jet toca al portaaviones en x0 = 0, ¿cuál es su posición

final?

Respuesta para Ud.: ax = - 32 m/s2 xf = 63 m


Gráfico de la curva de movimiento:

desplazamiento vs. tiempo

• La pendiente de la

curva es la

velocidad.

• La línea curva indica

que la velocidad es

cambiante

– Y por lo tanto, hay

aceleración !


Gráfico de la curva de movimiento:

curva velocidad vs. tiempo

• La pendiente da la

aceleración.

• La línea recta indica

aceleración

constante.


• La pendiente cero

indica aceleración

constante.

Gráfico de movimiento: curva

aceleración vs. tiempo

25

Ejemplo 3: Movimiento con aceleración

constante

Un automóvil que viaja con rapidez constante de 45.0 m/s

pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto

detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después

de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su

escondite para detener al automóvil, que acelera

constantemente a 3.00 m/s2.

¿Cuánto tiempo tarda

en darle alcance al

automóvil?

Respuesta para Ud.: t = 31 s

26

Un automóvil frenando. El origen de las coordenadas está en el punto en el que el conductor detecta un accidente

Ejemplo 4: Movimiento con aceleración constante

Un automóvil viaja a 86 km/h en un camino recto cuando el conductor detecta un accidente que está adelante y frena repentinamente. El tiempo de reacción del piloto, es decir, el intervalo de tiempo entre ver el accidente y pisar el pedal de freno, es de 0.75 s. Una vez que se aplican los frenos, el automóvil desacelera a 8.0 m/s2

¿Cuál es la distancia total para detenerse?

Respuesta para Ud.: x = 54 m


• EJEMPLOS DE MOVIMIENTO EN

UNA DIMENSIÓN: CAÍDA LIBRE

La aceleración de la

caída libre Fotografía estroboscópica de una

manzana y de una pluma en caída libre en una cámara en vacío parcial.

La manzana y la pluma se soltaron simultáneamente desde la escotilla en la parte superior.

La fotografía se hizo dejando abierto el obturador de la cámara y disparando un flash de luz a intervalos regulares


Objetos en caída libre

• Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueva libremente, solamente bajo la influencia de la gravedad.

• No depende del movimiento inicial del objeto.

Ejemplos:

– Objetos liberados desde el reposo

– Lanzados hacia abajo

– Lanzados hacia arriba


Aceleración de objetos en caída libre

• La aceleración de un

objeto en caída libre se

dirige hacia abajo, sin

importar su movimiento

inicial.

• La magnitud de la

aceleración de la caída

libre es g = 9.80 m/s2

– g varia con la latitud

– g se reduce al

incrementarse la altitud

– 9.80 m/s2 es el promedio

en la superficie terrestre

• Se desprecia la resistencia

del aire

• El movimiento de caída

libre es un movimiento con

aceleración constante en

una dimensión

• Por conveniencia se fija

como positivo el eje

ascendente (hacia arriba)

• Se emplean las ecuaciones

de movimiento con ay = g =

-9.80 m/s2


A una piedra que se lanza desde lo alto de un

edificio se le da una velocidad inicial de 20.0

m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0

m de alto y la piedra apenas libra el borde del

techo en su camino hacia abajo, como se

muestra en la siguiente figura.

i) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra

deja la mano del lanzador en la posición (A) y

determine el tiempo en el que la piedra llega a su

altura máxima.

ii) Encuentre la altura máxima de la piedra

iii) Determine la velocidad de la piedra cuando

regresa a la altura desde la que se le lanzó.

iv) Encuentre la velocidad y posición de la

piedra en t = 5.0 s

Ejemplo 1. (Serway)

31

Análisis del Ejemplo 1.

• La velocidad inicial en A es hacia

arriba (+) y la aceleración es g (-9.8

m/s2).

• En B, la velocidad es 0 y la

aceleración es g (-9.8 m/s2).

• En C, la velocidad tiene la misma

magnitud que en A, pero es en

dirección opuesta.

• El desplazamiento es –50.0 m

(termina 50.0 m por debajo de su

punto inicial)

Respuestas para Ud. tB = 2.04 s yB = 20.4 m vyC = -20.0 m/s

vyD = -29.0 m/s yD = -22.5 m

32

En Acapulco, clavadistas profesionales

divierten a los turistas saltando al mar desde

un risco de 36 m de altura (ver figura).

a) ¿Durante cuánto tiempo caen?

b) ¿Cuál es la velocidad de impacto en el

agua?

Ejemplo 2. (Ohanian/Markert)

Salto de un

clavadista.

El cambio de

posición es negativo

(x-x0 < 0)

Respuestas para Ud. t = 2.7 s vx = -26 m/s


Juan trepa a un árbol para escuchar mejor al

conferenciante de su ceremonia de graduación que se

celebra al aire libre. Desgraciadamente olvidó sus

prismáticos abajo. María lanza los prismáticos hacia Juan,

pero su fuerza es mayor que su precisión. Los prismáticos

pasan a la altura de la mano extendida de Juan 0.69 s

después del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo

punto 1.68 s más tarde.

a) ¿A qué altura se encuentra Juan?

b) Determinar la velocidad inicial de los prismáticos y la

velocidad que llevan cuando pasan a la altura de Juan en

su trayectoria descendente.

Como reto para Ud. Intente resolver los

siguientes problemas:

Ejemplo 3. (Tipler/Mosca)


Un arco potente, como los que se usan para

establecer récords mundiales de arquería,

puede lanzar una flecha a una velocidad de

90 m/s.

¿A qué altura subirá una flecha si se dispara

verticalmente hacia arriba?

¿Cuánto tardará en regresar al suelo?

¿Cuál será la velocidad al tocar tierra?

Por simplicidad ignore la fricción del aire y

trate la flecha como una partícula ideal.

Ejemplo 4. (Ohanian/Markert)


Año 2018: Un estudiante de física del grupo 3,

contento por su graduación, lanza su

birrete hacia arriba con una velocidad

inicial de 14.7 m/s. Considerando que su

aceleración es 9.81 m/s2 hacia abajo

(desprecie la resistencia del aire).

a) ¿Cuánto tiempo tarda el birrete en

alcanzar su punto más alto?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

c) Suponiendo que el birrete se retoma a la

misma altura de la que ha salido ¿Cuánto

tiempo permanece en el aire?

Ejemplo 5. (Tipler/Mosca)

0

y

y0

ymáx

v0

v


Tarea (no se entrega). Otros Problemas de Repaso

1) Un conductor de temperamento agresivo acelera a fondo su motor al ponerse en verde el

semáforo y luego frena rápidamente para el siguiente semáforo en luz roja. La

aceleración como función del tiempo se muestra en la siguiente figura para 0 t 10 s.

Si el conductor comenzó desde el reposo en el origen en t = 0, dibuje con precisión la

velocidad y la posición como función del tiempo.

2) Suponga que se arroja una piedra directamente hacia arriba de modo que alcanza una altura máxima y luego cae de regreso. En el instante en que la piedra alcanza la altura máxima ¿su velocidad es positiva, negativa o cero? ¿su aceleración es positivo, negativa o cero? Suponga que el eje x se dirige hacia abajo

3) Se deja caer un vaso lleno de agua desde lo alto de un edificio ¿Se derramará el líquido fuera del vaso mientra este cae? ¿Por qué?


• El sistema de

• coordenadas x’ y y’

• (azul) del barco se

• mueve en relación

• con el sistema de

coordenadas x – y

• (verde) de la costa

La relatividad del movimiento y la suma

de velocidades


Regla de la suma para las velocidades,

también conocida como

transformación galileana de

velocidades

La relatividad del movimiento y la suma de

velocidades

La velocidad en los dos marcos de referencia difiere

sólo por una constante Vo. Por lo que las

aceleraciones en los dos marcos de referencia son

iguales:

PARA MARCOS DE REFERNCIA EN MOVIMIENTO

UNIFORME EN RELACION MUTUA, LA

ACELERACIÓN ES UNA CANTIDAD ABSOLUTA.


Componentes de la velocidad y la aceleración

Trayectoria de un automóvil

por las calles de la ciudad de

Nueva York

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES


a) En un pequeño intervalo de tiempo dt, el desplazamiento es P1P2 y los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy

b) Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo

Componentes de la velocidad

y la aceleración


Componentes

de la velocidad

instantánea


y la aceleración, 2D

Magnitud de la velocidad en

términos de los componentes

Componentes

de la aceleración

instantánea


Automóvil tomando una curva. Las flechas indican las direcciones del movimiento


y la aceleración


En un pequeño intervalo de

tiempo dt, los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy. El vector de desplazamiento es

dxi + dxj.

Este vector es tangente a la trayectoria de la partícula, como lo es también el vector de la velocidad

v = (dxi + dyj)/dt

Los vectores velocidad y aceleración


(b) la posición de una partícula

que se mueve con una aceleración

constante a.

Representaciones vectoriales y de

componentes de (a) la velocidad


Extensión de las ecuaciones cinemáticas

para dos dimensiones


Vectores velocidad de un proyectil en diferentes instantes



a) Una “bomba volcánica” después

del impacto en el suelo


b) El vector de velocidad inicial

de la “bomba volcánica” y

sus componentes


Trayectoria de una

bomba volcánica con

una velocidad inicial

v0+

Movimiento de proyectiles


Trayectoria de una bomba soltada por un bombardero.

La componente vertical inicial de la velocidad es cero y la componente horizontal inicial es la misma que la del bombardero

Movimiento de proyectiles


Ejemplo para resolver:

El final del salto con esquíes (Serway, 2005)

Una esquiadora deja la rampa y se desliza en la dirección

horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. El plano de aterrizaje bajo

ella cae con una pendiente de 35°.

¿Dónde

aterrizará

en el plano?


Tarea 5 (se entrega):

EL COYOTE Y EL CORRECAMINOS


Tarea 5 (se entrega):

Un decidido coyote está nuevamente en persecución del elusivo

correcaminos. El coyote usa un par de patines (marca ACME), con

ruedas de propulsión, que proporcionan una aceleración horizontal

constante de 15 .0m/s2. El coyote parte del reposo a 70.0 m de la orilla

de un risco en el instante en que el correcaminos lo pasa en la

dirección del risco.

a) Si se supone que el correcaminos se mueve con rapidez

constante, determine la rapidez mínima que debe tener para

alcanzar el risco antes que el coyote.

En el borde del risco, el correcaminos escapa al hacer un giro

repentino mientras el coyote continúa de frente. Los patines del

coyote permanecen horizontales y continúan funcionando mientras el

coyote está en vuelo, de modo que su aceleración, mientras está en el

aire es (15.0 i – 9.80 j) m/s2.

b) El risco está a 100 m sobre el suelo plano de un cañón. Determine

dónde aterriza el coyote en el cañón.

c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote.


Una piedra es lanzada hacia

arriba desde lo alto de un

edificio,

a un ángulo de 30.0° con la

horizontal y con una rapidez

inicial

de 20.0 m/s. La altura del

edificio es de 45.0 m

a) ¿Cuánto tarda la piedra en

llegar al suelo?

b) ¿Cuál es la rapidez de la

piedra justo antes de golpear

el suelo?


¡Vaya brazo ! (Serway, 2005)


ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA

EN UN PROYECTIL

Revise en un texto de Física I

Universitaria la deducción de estos

casos particulares de movimiento

en dos dimensiones.

56

Ejemplo para resolver: Salto de longitud (Serway, 2005)

Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a

un ángulo de 20.0° sobre la horizontal y con una rapidez

de 11.0 m/s.

a) ¿Qué distancia salta en la dirección horizontal?

b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

En la Universiada Mundial de Kazán 2013,

obtuvo la medalla de oro con un salto de

8.46 metros

El atleta mexicano Luis Rivera ganó una

histórica medalla de bronce en la prueba

de salto de longitud, en el Mundial de

Atletismo Moscú 2013, con un registro de

8.27 metros.


Movimiento circular uniforme

Vectores velocidad

instantánea para una

partícula en movimiento

circular uniforme

58

Movimiento circular uniforme

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

(dirección es hacia el centro del círculo)

Una partícula en movimiento circular

uniforme, experimenta una aceleración

radial a puesto que la dirección de v

cambia con el tiempo.

PERÍODO EN EL MOVIMIENTO

CIRCULAR

Intervalo de tiempo requerido para

una revolución completa de la

partícula



Aceleración centrípeta de la Tierra (Serway, 2005)

¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra a medida que se

mueve en su órbita alrededor del Sol?

Dato: radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol = 1.496x1011 m.


Aceleraciones tangencial y radial

Aceleración total

Si el vector velocidad v

(siempre tangente a la trayectoria)

cambia en dirección y magnitud,

las componentes de la aceleración a

son una componente tangencial at y

otra componente radial ar

La componente de aceleración

radial surge de una cambio en

dirección del vector velocidad.

La componente de aceleración

tangencial causa un cambio en

la rapidez v de la partícula.



En la cumbre (Serway, 2005)

Un automóvil muestra una aceleración constante de 0.300 m/s2 paralela

a la autopista. El automóvil pasa sobre una elevación en el camino tal

que, lo alto de la elevación tiene forma de círculo con 500 m de radio.

En el momento en que el automóvil está en lo alto de la elevación, su

vector velocidad es horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s.

¿Cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración total

para el automóvil en ese instante?

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