UNIDAD_2_MF_2011

MATEMÁTICA FINANCIERA MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

13 UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO

UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 2.1 FLUJOS DE EFECTIVO. Cualquier tipo de entidad, física o moral, siempre tiene movimiento de dinero. Una persona física cobra o percibe dinero (sueldo, pensión, comisión, etc.) y entrega a alguna otra entidad (tiendas, mercados, gobierno, etc.) parte de ese dinero para poder subsistir. Las personas morales (negocio formado por sociedad) percibe dinero por la venta de bienes o servicios producidos y se entrega dinero a los proveedores de insumos (mano de obra, materiales y servicios). Estos ingresos y pagos están dados en cierto intervalo de tiempo y se denomina Flujos de efectivo o flujos de caja. 2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN FLUJO DE EFECTIVO Un flujo de efectivo puede ser positivo o negativo. a.- FLUJOS POSITIVOS (+): Estos representan todas las entradas de dinero

independientemente de donde provenga.

70

50 │

│ 30 │

20 │ │ │ 15 (+)

─────┴─────────┴────────┴─────────┴───────┴───────

b.- FLUJOS NEGATIVOS (-): Estos representan todas las salidas o egresos de dinero

independientemente del concepto que los origine. ─────┬─────────┬───────────┬───────────┬───────────

│ │ │ │ (-)

50 │ │ │

│ 60 │

75 │

100

En cualquier instante de tiempo, el flujo de efectivo podría representarse como:

Flujo de Efectivo Neto = Entradas - Desembolsos Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de caja ocurren al final de cada periodo de interés. Esto se conoce como convención de fin de periodo. Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dado y lo que debe encontrarse.



Escala de tiempo típica para flujos de caja

inicio fin inicio fin Años ├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───────

0 1 2 3 4 5

│ │ │ │

└─────────┘ └─────────┘

Año 1 Año 3

Ejemplo 2.1: Supóngase que una persona depositó $15,000 en el banco el primero de enero de 1981 y puede retirar $19,500 el 1 de enero de 1985. La representación gráfica de este hecho desde el punto de vista de la persona que deposita es: │$19,500

│

│

0 1 2 3 4 años

├────────┼───────┼────────┼────────┼──────────────

1981 1982 1983 1984 1985

│

│

│

$15,000

En el momento en que la persona deposita o inicia el periodo se designa como el valor presente o simplemente P. El momento de retiro del dinero o fin del periodo se designa como valor futuro o F. No es usual representar el tiempo con los años calendarios si no simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo cero. Ejercicios: 1) El presidente de una compañía desea hacer 2 depósitos iguales, uno dentro de dos

años y el segundo dentro de 4, de tal manera que se pueda hacer 5 retiros anuales de $100 que empezaran cuando se haga el segundo depósito. Además él quiere, retirar $500 más, un año después de que la serie de retiro termine. Dibuje un diagrama de flujo de caja.

2) Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $500 hoy e incrementa este depósito en $50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que el interés es de 16% y dibuje el diagrama de flujo de efectivo.

3) Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los planes siguientes para usted: 1.- Depositar $351.8 ahora y $351.80 tres años después 2.- Depositar $136.32 anualmente, empezando el próximo año y terminando el año 6. Dibuje los diagramas de flujo de caja de cada plan si se desea calcular F.



2.2 EQUIVALENCIA Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy y recibir otra diferente de mayor cantidad transcurrida un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto. Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras. Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo:

1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.

2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.

La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés. Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras. Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte $1,000 para obtener más de $1,000 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro. Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera. Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:

F = P + COMPENSACIÓN POR APLAZAR CONSUMO 2.2.1 Donde F: Suma futura obtenida al final de n períodos (Valor Futuro) P: Suma de dinero colocada en el período 0 (Valor Actual) El valor actual es equivalente a mayor cantidad en fecha futura, siempre y cuando la tasa de interés sea mayor que cero.



2.3 CONCEPTO DE INTERES Y PERIODO DE CAPITALIZACION 2.3.1 INTERÉS El interés, tiene importancia fundamental en los movimientos de capitales, la colosal infraestructura financiera y crediticia descansa sobre este concepto básico de pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. Sin el interés, el mercado de capitales o simplemente los negocios no existirían. El interés es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, así como el monto cobrado por prestar recursos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones. El interés es la cantidad convenida que se paga por utilizar dinero ajeno o que se gana por invertir el dinero propio. El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado. Es un factor de equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo. Si la tasa de interés anual es el 8%, quiere decir que el prestamista recibe por concepto de intereses C$ 8, por cada C$ 100 prestado al año. Por otro lado si el inversionista está dispuesto a prestar C$ 100 a cambio de C$ 108 en dos años más, la tasa será de 8%, pero a diferente unidad de tiempo (2 años). El tipo de interés depende directamente de dos factores reales no monetarios: la preferencia por tener los recursos a la promesa de recursos futuros y la productividad de la inversión. El interés es el precio del dinero en el tiempo. Si contamos con una determinada cantidad de dinero o capital inicial P (que denominamos valor actual o valor presente), éste puede producirnos rentabilidad en función del tiempo, si lo colocamos en una determinada actividad económica. Al final del período de tiempo n, cuando se desea evaluar los resultados de la actividad, se obtiene una cantidad F(que denominamos o valor futuro) y el interés es:

Interés = Valor futuro - Valor presente = F – P 2.3.1 La manifestación del valor del dinero en el tiempo se denomina interés, el cual es una medida del aumento entre el capital inicial y el valor futuro. Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la tasa de interés. Esta se calcula como sigue:

i = (I / P)100% 2.3.2



Ejemplo 2.2: Una persona ahorra en una cuenta C$ 500,000. Al cabo de un año retira su dinero y le regresan C$ 600,000. ¿Cuánto fue el interés que ganó por la transacción y cuál fue la tasa que lo produjo? Solución: El interés que ganó en la transacción es: I = 600,000 - 500,000 = C$ 100,000 La tasa de interés que lo produjo es: I = (100,000/500,000)*100% = 20% Se concluye que el interés ganado por la cuenta es del 20% anual. 2.3.2 TASAS DE INTERÉS UTILIZADAS EN LA BANCA NACIONAL La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés. Ahora veamos los distintos tipos de interés utilizados por los mercados financieros. a) De acuerdo a como se fija el interés en el tiempo

Interés fijo: Es cuando la tasa de interés permanece constante en el tiempo.

Interés variable: Es cuando la tasa de interés la calculamos sobre una base fija más un índice de referencia. El índice de referencia varía según las condiciones del mercado.

b) De acuerdo a los plazos de las tasas de interés

Interés de corto plazo: Es cuando los intereses que se devengan o se liquidan se dan en un período inferior a 12 meses.

Interés de largo plazo: Son intereses devengados o liquidados en períodos superiores a un año.

c) De acuerdo a si se cobran o pagan intereses

Tasa de interés activa: es la tasa de interés cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea aquella cobrada a las personas naturales y jurídicas a las cuales les ha sido otorgado financiamiento. Las tasas de interés corriente y las tasas de interés moratoria son tasas activas.

Tasa de interés pasiva: es la tasa de interés pagada por los bancos y las instituciones financieras a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas. La tasa pasiva de alguna manera constituye una tasa interés de rendimiento, por cuanto el ahorro es una inversión de bajo riesgo.



La tasa de interés moratoria es el porcentaje de recargo que se adiciona a la tasa de interés pactada por incumplimiento de pago en la fecha establecida. Generalmente se calcula en base a los días transcurridos posterior a la fecha de vencimiento de la deuda. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora. Por naturaleza, la tasa de interés pasiva es menor que la tasa de interés activa, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. Dichas tasas en el caso de Nicaragua están determinadas por la demanda y la oferta de dinero, así como por el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad económica, política y social. Según el informe anual del Banco Central de Nicaragua al cierre del mes de Diciembre 2010, el promedio ponderado de las tasas de interés activa y pasiva en el Sistema Financiero Nacional se muestra en la siguiente tabla:

TASAS ACTIVAS TASAS PASIVAS

MONEDA CORTO PLAZO LARGO PLAZO CORTO PLAZO LARGO PLAZO

CORDOBAS 10.16% 18.75% 4.32% 4.33%

DOLARES 9.77% 10.06% 4.39% 4.61%

Un spread de tasas de interés es la diferencia entre la tasa activa (que cobran los bancos por créditos o préstamos otorgados) y la tasa pasiva (tasa que pagan los bancos por depósitos a los ahorristas).

SPREAD = Tasa Activa – Tasa Pasiva

Para el caso de Nicaragua el Spread en córdobas es de 8.51% y en dólares es de 7.04%. 2.3.3 PERIODO DE CAPITALIZACION El período de capitalización es el período mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés, se llama así porque a su término ya se tiene o ya se forma más capital. Ejemplo 2.3: Si una persona presta $1,000 al 10% de interés semanal tendrá $1,100 en una semana. De igual forma, si otra persona deposita $1,000 en un banco que paga 20% de interés anual, pasado el periodo de capitalización de un año, su capital habrá aumentado de $1,000 a $1,200.



2.4 INTERES SIMPLE 2.4.1 DEFINICION Se llama interés simple al que, por el uso del dinero a través de varios periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe. Se define como un porcentaje fijo del valor presente multiplicado por el tiempo de duración de la actividad económica. El cálculo de los intereses se realiza solo una vez y solamente sobre el principal primitivo que permanece invariable en base al tiempo estipulado. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. El interés simple de un principal P en n unidades de tiempo y a una tasa de interés i, está dado por la expresión:

I = P.i.n 2.4.1 Variables básicas: I = Interés acumulado o devengado. P = Principal o valor presente (Prestado o ahorrado) n = Plazo del préstamo o depósito en: años, meses o días. i = Tasa de interés anual (en porcentaje) a menos que se diga lo contrario Para que esta fórmula se pueda usar correctamente es necesario que las variables relacionadas con el plazo del préstamo y la tasa de interés estén definidas en el mismo periodo de tiempo. 2.4.2 CLASIFICACION DEL INTERES SIMPLE a) Interés simple ordinario, comercial o bancario. Este presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.

I = P i(n/360) 2.4.2 Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no coincidan exactamente con la fecha en que se otorgo el préstamo. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero del 2007 y con un plazo de 1 año, no necesariamente vence el 15 de enero del 2008, sino que puede vencer el 10 de enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan en crédito y finanzas.



b) Interés simple exacto. Este se basa en el calendario natural donde 1 año tiene 365 o 366 días, y el mes tiene 28, 29, 30 o 31 días.

I = P i(n/365) 2.4.3 El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor. Se desarrollan los ejemplos en el documento considerando el año bancario o comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto. Tiempo transcurrido entre dos fechas: Para la cuenta de los días, es costumbre excluir el primer día e incluir el último Ejemplo 2.4: ¿Cuál es el tiempo transcurrido entre el 1º de enero al 15 de julio del 2005? Lo explicamos con el siguiente ejemplo:

Para determinar el tiempo transcurrido en Excel entre dos fechas utilizamos la función DAYS360.

Ejemplo 2.5: Calcular el interés que devenga un préstamo de C$ 18,000 en un banco a una tasa de interés simple del 15% a plazo fijo de 8 meses. Datos: P = C$ 18,000 i = 20% n = 8 meses Solución: I = Pin = C$ 18,000 (0.2)*(8/12) = C$ 2,400

A B C D

1 Fecha final Fecha inicial Días Fórmula

2 15/07/2005 01/01/2005 194 DAYS360(B2;A2)



Ejemplo 2.6: Calcular la cantidad en conceptos de intereses al final del plazo que tendrá que pagar el Sr. Alberto Martínez si desea solicitar un préstamo de C$ 15,000 en un banco a una tasa de interés simple del 25% a un plazo fijo de 15 meses. Datos: P = C$ 15,000 i = 30% n = 18 meses Solución: I = Pin = C$ 15,000 (0.25)*(15/12) = C$ 4,687.50 2.4.3 VALOR FUTURO A INTERESES SIMPLES DE UNA SUMA DE DINERO El valor futuro (F) de una cantidad (P) a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo (n) medido en años, meses o días y a una tasa de interés (i) que incluye el principal más los intereses. Este valor estará dado por:

F = P + I 2.4.4 Sustituyendo I de (2.4.1) por su ecuación equivalente en 2.4.4 tendremos:

F = P(1 + in) 2.4.5 2.4.4 VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE DE UNA SUMA DE DINERO El valor presente o actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida. De acuerdo la fórmula (2.4.5), despejando (P) obtendremos el "Valor Presente" el cual está dado por:

P = F 2.4.6 (1 + in)

Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:

i = (F/P - 1 )/n n = (F/P - 1)/i 2.4.7 y 2.4.8 El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.



Ejemplo 2.7: El Sr. Berrios deposita en el BDF C$ 120,000.00 en certificado a plazo fijo y a 16 meses de plazo, certificado que devenga el 12.5% anual. Determinar a) Los intereses acumulados y b) El valor futuro de los certificados. F=?

│

0┌─────────────────────────────────┘ (+)

│

(-) │------------------------------── 16 (meses)

│

C$120,000.00

DATOS FORMULA P = C$ 120,000.00 I = Pin n = 16 meses F = P + I i = 0.125 SOLUCION "a" SOLUCION "b"

I = (120,000.00)(0.125)(16/12) F = C$ 120,000 + 20,000.00 I = C$ 20,000.00 F = C$ 140,000.00 Ejemplo 2.8: ¿Cuánto recibió al momento de ser otorgado un préstamo industrial, el Sr. Sergio Suárez, si éste dos años después de otorgado el préstamo pagó un monto de C$ 200,000 a una tasa de interés del 18% anual?

P=?

│

(+) │ (2 año)

└─────────────────────────────┐

--------------------------- │(-)

│

C$200,000.00

DATOS FORMULA F = C$ 200,000 P = F/(1+in) n = 2 año i = 0.18 P = ? SOLUCION

P = 200,000/[1 + (0.18)(2)] = C$ 147,058.82



Ejemplo 2.9: Una persona deposita hoy C$ 15,000 en una cuenta de ahorros, retira al cabo de 10 meses C$ 3,000 en concepto de intereses. ¿De cuánto es la tasa de interés anual que paga el banco? Solución: El monto total es F = P + I F = 15,000 + 3,000 F = 18,000 El tiempo que estuvo P en el banco es 10/12 años, i = (18000/15000 -1)/(10/12) = 24% anual. Ejemplo 2.10: José deposita C$ 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses? Solución: Primero expresaremos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual: VA = P = 2,300; i = 0.0075; n = 9; F = ? Segundo aplicamos la fórmula (2.3.5) o Excel: F = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = C$ 2,455.25

Ejemplo 2.11: Un pequeño empresario, con utilidades por US$ 5,000 los deposita en su cuenta de ahorros en un banco al 9.7% anual. ¿Cuánto tendrá al final de 8 meses? Solución: Primero expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días) 240/365 = 0.6575 años VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ?



Después aplicamos la fórmula (2.3.5) o Excel: F = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = US$ 5,318.89

2.4.5 CALCULO DE INTERES MORATORIO Y AJUSTE DE INTERES SIMPLE. En los contratos de pagos de las obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés moratoria y se entiende como el porcentaje de recargo por el incumplimiento de pago en la fecha establecida y por lo general se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del pago de la cuota. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora del pago. Utilizando el método de interés simple para efectuar el cálculo de interés moratorio se usa la fórmula 2.4.9 que se deriva de la fórmula 2.4.1

Imo = Pcv (im)(tm) 2.4.9 El retraso del pago de la cuota conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al último saldo de la deuda durante el periodo retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe también ser ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fecha de la próxima. Este cálculo se realiza de acuerdo a la fórmula 2.4.10

Iaco = Sk (ic)(tm) 2.4.10 Donde Imo = Interés moratorio Iaco = Ajuste de interés corriente Pcv = Principal de la cuota vencida Sk = Ultimo saldo de la deuda Ic = Tasa de interés corriente pactada im = Tasa de interés moratoria tm = Tiempo de mora de la deuda



Ejemplo 2.12: Una compañía esta amortizando una deuda en el BAC y paga al final de cada mes una cuota de C$ 71,720.55 la cual está vencida y tiene 25 días de mora. El principal de la cuota es de C$ 54,626.23 y los intereses corrientes del mes son de C$ 17,094.32. El último saldo es de C$ 179,940.16. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 9.5% anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 10% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al día? Datos: Principal de la cuota = C$ 54,626.23 Tasa de interés corriente = 9.5 % Tasa de interés moratoria = 10% Días de mora de la cuota = 25 Ultimo saldo de la deuda = C$ 179,940.16 Solución: Calcularemos primero el interés moratorio y después el ajuste del interés corriente Imo = 54,626.23 (0.10) (25/360) = C$ 379.35 Iaco = 179,940.16 (0.095) (25/360) = C$ 1,187.11 Por tanto, el total a pagar será de Cuota + Imo + Iaco = C$ 73,287.01 2.4.6 PAGOS PARCIALES En las actividades financieras, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presenta varias alternativas y el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según el país. REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS Esta regla conocida como la regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto excede el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales. La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que saldrá totalmente la deuda. La incógnita es hallar el



valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda. El procedimiento se llevara a efecto de la siguiente manera: = Saldo inicial de la deuda + Interés devengado a la fecha de pago = Monto de la deuda a la fecha de pago - Valor del pago parcial = Saldo insoluto Ejemplo 2.13: Una persona tiene actualmente una deuda pendiente de $ 12,000 y por acuerdo con su acreedor la cancelará bajo las siguientes condiciones: $ 2,000 el día de hoy, pagos parciales de $ 3,000 y $ 4,000 dentro de tres y ocho meses respectivamente y el saldo final lo cancelará en un plazo de un año con intereses del 3% mensual sobre saldos. Calcular el pago que liquida la deuda en la fecha de vencimiento. Solución: = Valor inicial de la deuda..................................... $ 12,000.00 - Valor del primer pago actual.............................. $ 2,000.00 = Saldo inicial de la deuda ................................... $ 10,000.00 + Intereses a los 3 meses.................................... $ 900.00 = Monte de la deuda a los 3 meses....................... $ 10,900.00 - Valor del segundo pago parcial.......................... $ 3,000.00 = Saldo después del segundo pago....................... $ 7,900.00 + Intereses a los 8 meses...................................... $ 1,185.00 = Monto de la deuda a los 8 meses........................ $ 9,085.00 - Valor del tercer pago parcial................................ $ 4,000.00 = Saldo después del tercer pago............................ $ 5,085.00 + Intereses a la fecha de vencimiento..................... $ 610.20 = Monto en la fecha de vencimiento........................ $ 5,695.20 - Valor del último pago parcial................................ $ 5,695.20 = Saldo de la deuda en la fecha en vencimiento..... $ 0.00 El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar interés sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. Otra forma de expresar los resultados del ejemplo, es a través de la construcción de la tabla de amortización no periódica de la deuda, considerando que todo pago o cuota CK contiene dos elementos importantes tales como; los intereses devengados o vencidos IK y la amortización al principal AK el cual disminuye el saldo, donde K es un contador y representa

el K-ésimo pago parcial con 1 K N; así, la cuota y la amortización se expresan en las



fórmulas:

CK = AK + IK 2.4.11 AK = CK - IK 2.4.12 La tabla tiene 5 columna básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda del ejemplo.

N° de Pago Amortización AK

Intereses

IK

Valor del

Pago CK

Saldo

SK

0 $ 0000000 $ 0.00 $ 0.00 $ 12,000.00

1 $ 2,000.00 $ 0.00 $ 2,000.00 $ 10,000.00

2 $ 2,100.00 $ 900.00 $ 3,000.00 $ 7,900.00

3 $ 2,815.00 $ 1,185.00 $ 4,000.00 $ 5,085.00

4 $ 5,085.00 $ 610.20 $ 5,695.20 $ 0.00

TOTAL $12,000.00 $ 2,695.20 $ 14,695.20

Ejemplo 2.14: Supongamos en el ejemplo anterior que el deudor se retrasó 20 días en cancelar el tercer pago parcial de $ 4,000 y que los intereses en mora se cobra al 10% anual. ¿Qué valor deberá pagar para ponerse al corriente? Solución: Todo pago o cuota por lo general está compuesto por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del tercer pago, por tanto tenemos:

CK = AK + IK o sea C3 = A3 + I3 = 2,815 + 1,185

Como los intereses en mora se cobra sobre la base del principal vencido (AK =

2,815) del pago retrasado, por la fórmula los intereses moratorios son:

Imo = Pcv * im * tm = (2,815) (0.10/12) (20/30) = $ 15.64

El ajuste de interés corriente es el siguiente: Icoa = Sk * ic * tm = (7900) (0.03) (20/30) = $ 158.00 Por tanto, el pago con mora es $ 4,000 + $ 15.64 + $ 158.00 = $ 4,173.64



TABLA PARA HALLAR EL NUMERO EXACTO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS A continuación se presenta una tabla por medio de la cual es posible hallar fácilmente el número exacto de días que abarca cualquier período de tiempo dentro de un año. ┌─────────────────┬───────────────────────────────────────────────────────────┐ │DESDE CUALQUIER │ AL MISMO DIA DEL PROXIMO │ │ DIA │ │ ╞═════════════════╪════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╡ │ MESES │ENE.│FEB.│MAR.│ABR.│MAY.│JUN.│JUL.│AGO.│SEP.│OCT.│NOV.│DIC.│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ ENERO │365 │ 31 │ 59 │ 90 │120 │151 │ 181│ 212│ 243│ 273│ 304│ 334│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ FEBRERO │334 │365 │ 28 │ 59 │ 89 │120 │ 150│ 181│ 212│ 242│ 273│ 303│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ MARZO │306 │337 │365 │ 31 │ 61 │ 92 │ 122│ 153│ 184│ 214│ 245│ 275│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ ABRIL │275 │306 │334 │ 365│ 30 │ 61 │ 91│ 122│ 153│ 183│ 214│ 244│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ MAYO │245 │276 │304 │ 335│365 │ 31 │ 61│ 92│ 123│ 153│ 184│ 214│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ JUNIO │214 │245 │273 │ 304│ 334│ 365│ 30│ 61│ 92│ 122│ 153│ 183│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ JULIO │184 │215 │243 │ 274│ 304│ 335│ 365│ 31│ 62│ 92│ 123│ 153│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ AGOSTO │153 │184 │212 │ 243│ 273│ 304│ 334│ 365│ 31│ 61│ 92 │ 122│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ SEPTIEMBRE │122 │153 │181 │ 212│ 242│ 273│ 303│ 334│ 365│ 30│ 61 │ 91│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ OCTUBRE │ 92 │123 │151 │ 182│ 212│ 243│ 273│ 304│ 335│ 365│ 31 │ 61│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ NOVIEMBRE │ 61 │ 92 │120 │ 151│ 181│ 212│ 242│ 273│ 304│ 334│365 │ 30│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ DICIEMBRE │ 31 │ 62 │ 90│ 121│ 151│ 182│ 212│ 243│ 274│ 304│ 335│ 365│

└─────────────────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘

REGLAS PARA USAR LA TABLA: 1. Para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes

y la misma de cualquier otro mes, hállese el número de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y en la línea correspondiente al nombre del mes inicial.

2. Cuando el número del día del mes terminal es mayor que el número del día del mes inicial, hállese en la tabla el número que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses como en el caso (1), y súmesele la diferencia entre el número del día del mes terminal y el del mes inicial.

3. Cuando el número del día del mes inicial es mayor que el del día del mes terminal, hállese el número de la tabla que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses, como en el caso (1), y réstele la diferencia entre el número del día del mes inicial y el mes terminal.

Ejemplo 2.15: Hállese el número exacto de días desde: a) El 4 de enero al 4 de septiembre........ 243 días b) El 9 de marzo al 19 de agosto............ 153 + 10 = 163 días c) El 23 de mayo al 7 de noviembre........ 184 - 16 = 168 días



EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Determinar el valor futuro y el interés simple de: a) La cantidad de C$40,400 durante 100 días al 25% b) La cantidad de C$45,300 desde el 8 de diciembre 1994 al 15 de septiembre 1995, al 24.55% c) La cantidad de C$16,145.78 durante 10 meses al 25% d) La cantidad de C$200,000 desde el 20 de enero al 17 de octubre del mismo año al 34% 2.- Una inversión de C$180,000 genera intereses pagaderos al final de cada mes por la

cantidad de C$20,000 durante 9 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la inversión.

3.- En qué tiempo un capital de C$30,420 a) Produce C$8,000 al 18% de interés simple. b) Alcanza un monto de C$35,456 al 20% de interés simple c) Produce C$5,600 al 20% de interés simple. 4.- En el ambiente financiero se presentan las siguientes alternativas de inversión: a) Un capital de C$120,000 produce C$5,600 en 42 días. b) Un capital de C$68,500 produce C$6,525 en 69 días. c) Un capital de C$70,000 produce C$7,000 en 32 días. d) Un capital de C$58,600 produce C$6,200 en 50 días. ¿Cuál de las alternativas es la más rentable? 5.- El valor futuro de un préstamo es C$60,000 que vence dentro de 8 meses a una tasa de 15%. Calcule su valor. a) El día de hoy b) Dentro de un año c) Dentro de 9 meses d) Dentro de 2 meses e) Dentro de 14 meses 6.- La señora Díaz desea comprar una casa y se le presentan dos ofertas: (1) C$10,000

iniciales y C$8,000 después de 9 meses. (2) C$8,000 iniciales y C$10,000 después de un año. Si la tasa de interés es del 20% ¿qué oferta deberá seleccionar?

7.- El señor Gutiérrez adquiere un terreno de C$50,000 mediante un pago de contado de

C$5,000. Conviene en pagar el 25% de interés sobre el saldo. Si paga C$20,000 tres meses después de la compra y C$15,000 seis meses más tarde. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo?



8.- Calcule el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de C$100,000 a un año de

plazo al 30% si es reducido mediante dos pagos iguales de C$30,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la fecha de vencimiento.

9.- Una persona da de cuota inicial C$36,000 por la compra de una casa cuyo precio es de

C$100,00. Posteriormente pagará C$10,000 al final de cada trimestre durante 3 trimestres. Hallar el saldo insoluto al final del año aplicando la Regla Americana con intereses del 23.5%.

10.- En el ejercicio anterior suponga que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se

canceló 43 días después. Si la tasa de interés moratoria es del 8.5%, halle el valor del pago que liquida totalmente la casa.

2.5 INTERES COMPUESTO Al interés de un periodo calculado sobre el principal más la cantidad acumulada de intereses ganados en periodos anteriores se le llama interés compuesto. Así el cálculo de interés significa interés sobre interés (esto refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés también). En este caso se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital y en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente durante el período de transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial se le conoce como interés compuesto. 2.5.1.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE INTERES COMPUESTO: VALOR FUTURO Para deducir la fórmula general del cálculo del interés compuesto, valor futuro, partiremos del ejemplo siguiente: Ejemplo 2.16: Una persona deposita en un banco $1,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco capitaliza el interés trimestralmente a una tasa del 2% trimestral, ¿Cuál será el valor de la cuenta final del año? Ilustremos la situación en el siguiente cuadro.



Período Valor Presente Intereses Valor Futuro

1 2 3 4

1,000.00 1,020.00 1,040.40 1,061.21

1,000.00(0.02) 1,020.00(0.20) 1,040.40(0.20) 1,061.21(0.20)

1,020.00 1,040.40 1,061.21 1,082.43

Los nuevos montos o valores futuros para cada período, se muestran a continuación en el gráfico de capitalización, donde el interés es integrado al capital en cada trimestre.

1,020 1,040.4 1,061.21 1,082.43

│ │ │ │

══╤═════════════╧═════════════╧════════════╧═════════════╧═

│ 1 2 3 4

1,000

La situación anterior la podemos representar gráficamente, mostrando el valor presente y el valor futuro así: US$ 1,082.43

│

══╤══════════════════════════════════════════════════════╧═

│ 1 2 3 4

US$ 1,000

La fórmula general para el cálculo de interés compuesto la deducimos a partir de los resultados anteriores, la cual se muestra en el siguiente cuadro.

Período Valor Presente Intereses Valor Futuro

1 2 3 4

n

P

P(1 + i) P(1 + i)2

P(1 + i)3

P(1 + i)n-1

Pi

P(1 + i) * i P(1 + i)2 * i P(1 + i)3 * i

P(1 + i)n-1 * i

P(1 + i)

P(1 + i)2

P(1 + i)3 P(1 + i)4

P(1 + i)n

A B A + B

De lo anterior podemos generalizar la fórmula de valor futuro a interés compuesto para n períodos de la siguiente manera:



F = P(1 + i)n 2.5.1

donde F : Valor futuro o monto a interés compuesto de una deuda P : Capital inicial o valor presente; I : Tasa de interés efectiva que se capitaliza una vez en un año o tasa periódica; n : Número total de capitalizaciones de la transacción. También el valor futuro es equivalente a la siguiente expresión:

F = P(1 + j/m)m.n 2.5.2 donde j : Tasa de interés nominal que se capitaliza más de una vez en un año. m : frecuencia de capitalización o liquidación de interés según el periodo de la tasa j n : Plazo de la transacción medido en años; m.n : número total de capitalizaciones; j/m : Tasa efectiva o periódica. Retomando el ejemplo 2.16 y resolviéndolo por la fórmula (2.5.1) obtenemos lo siguiente: DATOS SOLUCION P = US$ 1,000 F = P(1 + i)n i = 2% = 0.02 trimestral F = 1,000(1+0.02)4 n = año F = 1,000(1.082432) m = 4 F = US$ 1,082.43 N = 4(1) = 4 Como se podrá observar el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior se recalca que el valor de 0.02 es lo que gana un dólar en un trimestre y 4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la transacción, lo que significa que US $ 1,000 colocados al 0.02 trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de US$ 1,082.43.

Al valor (1+i)n lo llamamos Factor de capitalización pago único FCPU y lo designamos

por (F/P,i%,n), que se lee: encontrar F dado P a la tasa i% en n períodos. La ecuación general se representa como:

F = P (F/P,i%,n) Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos: I = F - P luego I = P(1+i)n - P Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:



I = P [(1+i)n − 1] 2.5.3 Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos P, i y n. Ejemplo 2.17: Una persona adquiere 5 certificados de ahorro a plazo fijo en el BDF. El valor de cada certificado es de C$ 25,000; el interés que paga el banco es del 45% anual. ¿De cuánto es la ganancia en concepto de intereses, si mantiene los ahorros por 3 años? Solución: P = (25,000)(5)= 125,000 n = 3 años i = 45% anual Para calcular el valor futuro de los C$125,000 ahorrados se utiliza el factor de capitalización pago único. F = C$125,000(1 + 0.45)3 F = C$ 381,078 I = F - P = 381,078 - 125,000 = C$ 256,078 Ejemplo 2.18: Calcular el valor futuro al final de 5 años de una inversión de C$ 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. Datos: P = VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; F = ? Solución: F = C$ 20,000(1+0.20)5 F = C$ 49,766.40 Aplicamos la función financiera VF en Excel:



2.5.2. DEDUCCION DE LA FORMULA DE VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO El valor presente o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es por ejemplo, la determinación del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las fórmulas (2.5.1) o (2.5.2) al despejar la variable P obtenemos el valor presente a interés compuesto, de la siguiente manera:

P = F/(1 + i)n = F/(1 + i)-n 2.5.4 P = F/(1 + j/m)m.n = F(1 + j/m)-m.n 2.5.5 Todas las variables básicas que intervienen en las fórmulas (2.5.1) y (2.5.2), son válidas para las fórmulas (2.5.4) y (2.5.5). Al valor (1+i)-n se le llama Factor valor actual pago único (FVAPU) y lo designamos por (P/F,i%,n). La ecuación general se representa como:

P = F (P/F,i%,n) De la ecuación (2.5.1) obtenemos también, las fórmulas para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).

2.5.6 y 2.5.7

Ejemplo 2.19: ¿Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono, si desea obtener en su compra un rendimiento del 25%? Suponga que el bono tiene hoy un valor nominal de C$ 10,000, una vida de 5 años y paga una tasa de interés del 20% anual. Solución: Primeramente calculamos el valor futuro del bono. F = 10,000(1 + 0.20)5 = C$ 24,883.20 La cantidad que el inversionista está dispuesto a pagar por el bono es: P = C$ 24,883.20/ (1 + 0.25)5 = C$ 8,153.73



Ejemplo 2.20: La señora Juana López está interesada en acumular la cantidad de C$ 50,000 para comprarse un automóvil usado. En este momento dispone de C$ 20,000 y decide para su propósito, depositarlos en una cuenta de ahorro a plazo fijo en un banco que paga el 12% convertible trimestralmente. ¿Qué tiempo deberá esperar la señora López para comprar el vehículo? DATOS SOLUCION P = C$ 20,000 n = ln(F/P) F = C$ 50,000 ln(1 + i) j = 0.12 m = 4 n = ln(50,000/20,000) = ln2.5 i = 0.12/4 = 0.03 ln(1 + 0.03) ln(1.03) n = ?

n = 0.916290/0.029558 = 30.998888 31 trimestres Lo que significa que la señora López deberá esperar: 7 años, 8 meses, 29 días, 21 horas, 35 minutos 52 segundos y 34 grados, para comprarse su vehículo. Ejemplo 2.21: Una persona nos ofrece pagarnos US$ 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el capital a entregar hoy? Datos: F = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = P = ? Solución: Aplicamos la fórmula (2.5.4) y/o la función financiera VA en Excel tenemos: P = 5 000 = US$ 3,756.57 (1 + 0.10)3



Ejemplo 2.22: Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de C$ 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por C$ 6,500. Datos: i = ?; P = 25,000; n = 3; I = 6,500; F = 25,000 + 6,500 = C$ 31,500 Solución: Aplicando la fórmula 2.5.6 para calcular la tasa o la función TASA en Excel

tenemos:

Ejemplo 2.23: Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de C$ 35,000, si el monto producido fue C$ 56,455 con un interés del 9 % anual. Datos: P = 35,000; F = 56,455; i = 0.09; n = ?; Solución: Aplicando la fórmula 2.5.7 para calcular n o la función NPER en Excel tenemos:



2.6 TASAS DE INTERES NOMINAL, TASAS DE INTERES EFECTIVO Y TASAS EQUIVALENTES

Al iniciar esta unidad abordamos un tanto las tasas de interés sin profundizar en su significado. Trataremos de esclarecer los conceptos relacionados con las tasas nominales y las tasas efectivas; así mismo, la relación entre ellas y la relación entre dos tasas nominales. La tasa efectiva anual aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva. 2.6.1. TASA NOMINAL La tasa de interés nominal es el tasa que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia por lo general lo fija la superintendencia de Bancos o el Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. La tasa nominal es la tasa de interés que la denominaremos "j", que se pacta a un año y el pago de interés se puede acordar que se realice cada día, cada mes, cada 2 meses, cada 3 meses, cada 6 meses etc. Esto no es otra cosa que acordar períodos de interés diario, mensuales, bimestrales, trimestrales etc. De ahí, que una tasa nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con períodos de capitalización diario, mensual, trimestral etc. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período * número de períodos 2.6.1 Ejemplo 2.24: Dada una tasa periódica mensual del 2%. Encuentre una tasa nominal anual capitalizable mensualmente La tasa mensual del 2% nos proporciona una tasa nominal anual j = (0.02)(12)=24% convertible o capitalizable anualmente 2.6.2. TASA EFECTIVA La tasa efectiva determina la cantidad de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante que se liquida. La tasa efectiva también puede ser diaria, mensual, bimensual trimestral etc. Cuando la tasa nominal se capitaliza una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal es igual a la tasa efectiva anual.



Cuando una tasa de interés se capitaliza (n) veces al año, entonces decimos que la tasa es necesariamente nominal, pues las tasas efectivas no se capitalizan. Ejemplo 2.25:

a) 36% capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 y tasa efectiva de i = j/m = 3% mensual

b) 15% semestral. Es una tasa efectiva por semestre. c) 25% efectivo. Es una tasa efectiva ie anual con frecuencia m=1 d) 18% capitalizable semestralmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 2 y tasa

efectiva de i = j/m = 9% semestral. e) 24% trimestral capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j de periodo

trimestral con frecuencia m = 3 y tasa efectiva de i = j/m = 8% mensual. Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual. Capitalizable continuamente a.c.c m → ∞ Capitalizable diariamente a.c.d m = 360 Capitalizable semanalmente a.c.se m = 52 Capitalizable mensualmente a.c.m m = 12 Capitalizable bimensualmente a.c.b m = 6 Capitalizable trimestralmente a.c.t m = 4 Capitalizable semestralmente a.c.s m = 2 Ejercicios: Calcular el monto F de cada una de las siguientes operaciones financieras, para un capital de C$ 150,000 invertido, según las condiciones a) Interés del 20% a.c.s a 5 años de plazo b) Interés del 18% a.c.m a 16 meses de plazo c) Interés del 24% a.c.t a 18 meses de plazo d) Interés de 1.5% mensual a 3 años de plazo. 2.6.3.- TASAS EQUIVALENTES Las tasas equivalentes son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Esto significa que si una misma cantidad de dinero gana intereses a dos tasas diferentes pero equivalentes, estas producirán la misma cantidad de dinero al final del año. 2.6.3.1 Relación entre la tasa nominal y tasa efectiva Conociendo la tasa nominal (j), procedemos a convertirla en tasa efectiva mediante los pasos siguientes: 1. Determinamos el número de capitalizaciones (m), ya que la tasa nominal nos dice el

período de capitalización, entonces podemos hallar el número de períodos que hay en el tiempo definido por la tasa nominal.



2. Determinaremos la tasa efectiva periódica (i), que se obtiene a partir de (j) y (m) así:

i = j = interes nominal 2.6.2 m No. de períodos 3. Pasamos la tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual ie utilizando la siguiente fórmula

ie = (1 + ip )m - 1 = (1 + j/m)m - 1 2.6.3

Ejemplo 2.26: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable trimestralmente a una tasa efectiva anual. Solución: 1. El número de capitalizaciones m = 4 (porque hay 4 trimestres en el año) 2. La tasa periódica para el ejemplo será: i = j/m = 0.30/4 = 0.075 Por lo tanto, una tasa nominal anual del 30% capitalizable trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva trimestral del 7.5%. 3. Calculamos la tasa efectiva anual, donde m = 4, j = 0.30, así:

ie = (1 + 0.30/4)4 - 1 = 0.33546 = 33.55% efectivo anual Ejemplo 2.27: Convirtamos una tasa nominal del 24% semestral capitalizable mensualmente a una tasa efectiva anual. 1. El número de capitalizaciones m = 6 (porque hay 6 meses en un semestre) 2. La tasa periódica para el ejemplo será: i = j/m = 0.24/6 = 0.04 Así, una tasa del 24% semestral capitalizable mensualmente es equivalente a una tasa efectiva del 4% mensual. 3. La tasa efectiva anual será:

ie = (1 + 0.24/6)12 - 1 = 0.6010 = 60.10% Así, para una misma tasa nominal, a mayor número de capitalizaciones mayor tasa de interés efectiva. La tasa efectiva siempre será mayor o igual a la tasa nominal.



Ejemplo 2.28: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable una vez al año, a una tasa efectiva anual equivalente: Aquí tenemos que: j = 0.30, m = 1, luego mediante la fórmula 2.5.3 tenemos:

ie = (1 + 0.30/1)1 - 1 = 1.30 - 1 = 0.30 = 30% Lo anterior nos confirma que: una tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal cuando esta última capitaliza una sola vez al año. Ejemplo 2.29: ¿Qué tasa de interés efectiva semestral, es equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 43.5%? DATOS SOLUCION ie = 0.435 efectiva anual ie = (1 + i)m - 1 i = ie = j/m = ? efectiva semestral 0.435 = (1 + i)2 - 1 m = 2 1 + i = (0.435 + 1)0.5 i = 1.1979 - 1 = 0.1979 = 19.79%

Ejemplo 2.30: Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta. Datos: i = 0.025; m = 12; j = ?; i = ? Primeramente, calcularemos la tasa nominal equivalente a la tasa periódica mensual y posteriormente la convertiremos en una tasa efectiva anual j = 0.025*12 = 0.30 ó 30% i = [1+ 0.025]12 -1= 0.3449 ó 34.49% Aplicando las funciones financieras en Excel tenemos:



De la fórmula 2.6.3 podemos hallar la tasa nominal j y la tasa periódica ip si conocemos su frecuencia m y la tasa efectiva anual ie, esto es:

j = m [(1 + ie)1/m – 1] 2.6.4

ip = [(1 + ie)

1/m – 1] 2.6.5 2.6.3.2 Relación entre dos tasas nominales El valor futuro de P a la tasa nominal j2 con m2 capitalizaciones en el año es F2 = P(1 + j2 /m2)

m2.

El valor futuro de P a la tasa nominal j1 con m1 capitalizaciones en el año es F1 = P(1 + j1/m1)

m1.

Si ambas tasas son equivalentes, entonces al final del año los valores futuros son iguales, es decir F1 = F2 por tanto (1 + j1/m1)

m1 = (1 + j2/m2)

m2

despejando j1 de la ecuación anterior se obtiene:

j1 = m1[(1 + j2/m2 )m

2/m

1 - 1] 2.6.6 La fórmula 2.6.6 nos permite calcular la tasa j1 capitalizable m1 veces en el año, equivalente a una tasa nominal j2 capitalizable m2 veces en el año. Ejemplo 2.31: Encuentre la tasa de interés capitalizable semestralmente, equivalente a la tasa del 12% capitalizable trimestralmente. Datos: j2 = 0.12 m2 = 4 m1 = 2 j1 = ? Solución: Utilizando la formula 2.6.6 tenemos que j1 = 2*[(1 + 0.12/4)4/2 - 1] = 2*[(1 + 0.03)2 - 1] = 0.1218 = 12.18%



2.6.3.3 Relación entre una tasa nominal continua y una tasa efectiva Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso. Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula (2.6.3) puede escribirse de forma diferente. Si se continuaran haciendo cálculos sobre periodos cada vez más cortos, por ejemplo, capitalizaciones cada hora, cada minuto...., se llegaría a un límite que se puede escribir como

el límite i efectivo anual cuando el número de períodos m por año tiende a y esto a su vez puede escribirse como:

i = ej – 1 2.6.7 donde j: tasa de interés continua EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Si una compañía invierte hoy $ 3,000 y va a recibir $ 5,000 dentro de 12 años ¿Cuál es

la tasa de interés compuesta? 2. Calcule el valor futuro de un crédito de C$ 25,000, si la tasa de interés es del 12% anual

a un plazo de 5 años.

3. Si usted invierte hoy C$ 100,000 en un negocio de bienes y raíces, ¿en cuánto debe vender su propiedad dentro de 10 años si quiere obtener una tasa de retorno del 12 % anual?

4. ¿Cuánto dinero podría tomar usted en un préstamo ahora si le paga al prestamista

C$ 1,850 dentro de 2 años y la tasa de interés es del 10% anual?

5. Si se invierten $3,500 ahora esperando obtener $5,000 en una fecha posterior, ¿Cuándo deberá recibirse el dinero a fin de ganar al menos el 8% de interés anual.

6. Si se planea hacer un deposito ahora de tal manera que se tengan C$ 30,000 en una cuenta dentro de 5 años , ¿Cuánto deberá depositarse si la tasa de interés es del 8% anual.

7. ¿Cuánto dinero se acumularía en 25 años si se depositan C$ 800 dentro de un año, C$ 2,400 dentro de 6 años y C$ 3,300 dentro de 7 años, todos a una tasa de interés del 10% anual?

8. ¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de C$10,000 y produce C$20,114 al término de su vida útil de 5 años?



9. Un inversionista deposita un certificado a plazo fijo la cantidad de C$ 15,000 y desea

que se le duplique, se sabe que el certificado gana una tasa de interés del 14% efectivo. Hallar el tiempo del plazo.

10. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de C$ 6,000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en C$ 10,000?

11. Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan C$1,000 anuales

durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1?

12. ¿En qué tiempo un capital P se duplica a una tasa del 24% capitalizable mensualmente en qué tiempo se triplica?

13. Hallar la tasa nominal anual convertible mensualmente equivalente al 22% convertible bimensualmente.

14. Hallar la tasa de capitalización continúa equivalente al 12% efectiva anual.

15. Hallar la tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivalente al 15% de cap. continúa.

16. Una persona contrae una obligación financiera con el Banco del Norte a través de un préstamo comercial por la cantidad de C$230,000 a dos años de plazo y al 18% convertible mensualmente sobre saldo. Conviene cancelar la deuda mediante tres pagos de igual valor, dentro de: un año, 18 meses y al término del plazo respectivamente. Halle el valor de cada pago, si se establece la fecha focal dentro de un año.

17. Un padre coloca C$9,700 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 12% convertible semestralmente, ¿Cuánto habrá en la cuenta al cumplir 14 años y 5 meses el hijo?

18. El señor José Trejos desea realizar un préstamo de C$50,000 por 2 años y le ofrecen dos ofertas: 18% convertible trimestralmente y 18.375% convertible semestralmente. ¿Cuál es la más conveniente?

19. ¿Cuál es el valor inmediato de las siguientes cantidades? a.- C$25,000 pagaderos en 4 y medio año al 12.6% capitalizable mensualmente. b.- C$42,300 pagaderos en 18 meses al 24% convertible semestralmente. c.- C$35,400 pagaderos en 2 años al 18% efectivo.

20. La señora Casco tiene dos ofertas para saldar una deuda pendiente con su acreedor,

pagar C$16,000 en la fecha o pagar C$20,000 dentro de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar si la tasa de interés es del 22% convertible semestralmente?



21. Una pequeña empresa de calzado tiene dos cuentas pendientes con el banco de préstamos, una de C$80,000 pagadera en 2 años y otra de C$65,000 pagadera en 18 meses, ambas con intereses al 26% capitalizable semestralmente. La empresa ha observado un decrecimiento notable en la demanda de sus productos y no puede asumir las obligaciones financieras a como están establecidas. El banco ha analizado la situación de su cliente y le ha propuesto el siguiente plan de pago, de las cuales la empresa debe aceptar una para cancelar las deudas, a una tasa del 18% capitalizable mensualmente. a) Un sólo pago dentro de 3 años.

b) Dos pagos iguales, dentro de 2 y 4 años, respectivamente. c) Tres pagos iguales dentro de 1, 2 y 3 años, respectivamente.

22. Una persona desea acumular la cantidad de $20,000 dólares para comprarse una casa,

si actualmente dispone de 12,500 dólares que los ahorrará en una cuenta que paga el 12% capitalizable trimestralmente, cuánto tiempo deberá esperar para acumular la cantidad deseada y comprar la casa?

23. ¿Cuánto debe invertir una persona ahora al 18% capitalizable trimestralmente para tener C$16,500 en su cuenta dentro de 8 años y 6 meses?

24. Maritza obtiene un préstamo de US$10,000 con intereses al 16% capitalizable mensualmente. Acepta pagar $2,500 en 1 año y 8 meses y el saldo en 2 años y 3 meses. Halle el pago final X.

25. Un terreno es vendido por $8,500 en efectivo y $1,250 anuales por los próximos 4 años. Si la tasa de interés aplicable a esta transacción es del 14.5% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el precio de contado del terreno?

26. Un proyecto tiene un flujo de caja neto de la siguiente manera: primer año $2,200, segundo año $3,450, tercer año $3,500, cuarto año $4,000 y quinto año $4,500. ¿Cuál es el valor actual neto si la tasa de descuento es del 22% anual?

27. Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan $1,000 anuales durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1?

28. ¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida útil de 5 años?

29. ¿En qué tiempo un capital de C$ 48,500 alcanza un valor de C$ 600,000 si es invertido al 8.3% capitalizable mensualmente y ¿en qué tiempo se duplica?

30. Un préstamo personal por C$ 1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de C$ 600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral.



2.7 SERIE UNIFORME DE PAGOS Normalmente las personas vinculadas a la actividad financiera reciben o pagan cantidades iguales de dinero o intervalos iguales de tiempo, a una tasa de interés compuesto y ocasionalmente continuo. Tales pagos o recibos los denominamos anualidades en el mercado financiero. Las anualidades son de frecuencia utilización en las diversas transacciones, ya sea, comerciales o financieras, tanto del sector público (gastos del gobierno) como del sector privado, esto se da en función de: depositar, retirar, amortizar o abonar igual cantidad de dinero; pagar primas de seguros de vida, recibir o pagar salarios nominales fijos, pagos de renta de la vivienda, amortizaciones a préstamos personales e internacionales. El hecho de llamarse anualidades no significa que los pagos o recibos fijos se realicen anualmente. Las anualidades pueden ocurrir cada quince días, cada mes, cada trimestre, semestre anual o cualquier otro período que se escoja en la actividad financiera. La expresión de anualidad puede cambiarse por el de rentas, series uniformes, pagos periódicos, etc. En resumen: “Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes que se pagan o reciben a intervalos iguales de tiempo a una determinada tasa de interés compuesto o continuo.” 2.7.1 ELEMENTOS Y CLASIFICACION DE UNA ANUALIDAD Pago o recibo periódico: Usaremos la letra (A) para designar la magnitud del valor

de cada flujo periódico. Período de pago o período de capitalización de la anualidad: Es el intervalo de

tiempo entre dos flujos sucesivos o sea el intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en capital.

Plazo o termino de la anualidad: Es el intervalo de tiempo transcurrido desde el

comienzo del primer período en que se efectúa el primer flujo, hasta el final del último. Tasa de interés de una anualidad: Por tratarse las anualidades de equivalencias

financieras, las tasas de interés se trabajarán en sus tasas equivalentes efectivas (i) capitalización.

2.7.2 CLASIFICACIÓN DE UNA ANUALIDAD En correspondencia a la forma y al período de pago de las anualidades estas pueden clasificarse como sigue:



1. Anualidad ordinaria o vencida: Es aquella serie de pagos en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago es decir que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago y así sucesivamente.

2. Anualidad anticipada: Es aquella serie de pagos en que los pagos se presentan a

inicios de cada período de capitalización y el último se produce un período antes del plazo de la anualidad.

3. Anualidad diferida: Es aquella serie de pagos cuyo primer pago se realiza después de

transcurrido varios intervalos o períodos de capitalización. 4. Anualidad perpetua: Es aquella serie de pagos cuyo pago se inicia en una fecha fija y

continúa para siempre, en términos matemáticos se interpreta que el plazo de la anualidad tiende al “infinito”.



2.7.3 ANUALIDAD ORDINARIAS O VENCIDAS 2.7.3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS Y SU RELACION CON EL PRESENTE

El valor presente de la serie uniforme (anualidad) mostrada en la figura se puede determinar considerando cada valor A como un valor F en la fórmula del valor presente pago único y luego sumando los valores del valor presente.

P = A + A + A + A +.......+ A + A . 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)n-1 (1 + i)n

Factorizando A

P = A [ 1 + 1 + 1 +........+ 1 + 1 ] 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1 (1 + i)n

La ecuación anterior se puede simplificar multiplicando ambos lados por 1/1+i para obtener:

P = A [ 1 + 1 + 1 +........+ 1 + 1 ] 1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)n (1 + i)n+1 Restando esta última ecuación de la anterior y despejando P se obtiene P - P = A [ 1 - 1 ] 1 + i (1+i)n+1 1 + i

P = A (1 + i)n - 1 , i 0 2.7.1 i(1 + i)n

El término entre corchetes, es denominado factor valor presente serie uniforme (FVPSU),lo denotaremos por (P/A,i%,n), la ecuación general se presenta como

P = A (P/A, i%, n) 2.7.2

P



Esta ecuación dará el valor presente P de una serie uniforme anual equivalente A, que comienza al final del año 1 se extiende durante n años a una tasa de interés i%. De la ecuación 2.7.1 podemos determinar el valor del flujo de efectivo A que se obtendría si se invierte una cantidad P en el tiempo cero.

A = P i (1 + i)n 2.7.3 (1 + i)n - 1 la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

A = P (A/P, i%, n) 2.7.4 el factor (A/P, i%, n) es llamado Factor de recuperación de capital (FRC).

Ejemplo 2.32: Un individuo desea depositar una suma de dinero en una cuenta de ahorros de tal modo que pueda hacer 5 retiros anuales iguales de C$ 2,000 antes que se agote el fondo. Si el primer retiro lo hace un año después del depósito y la cuenta paga un interés del 7% anual. ¿Cuánto debe de depositar? Datos: A = C$ 2,000 n = 5 años i = 7% anual A = C$2,000

Años 0 1 2 3 4 5 P = 2,000( (1+0.07)5 – 1) / (0.07*(1.075)) P = 2,000(P/A,7%,5) P = 2,000(4.1002) = C$8,200.4 Ejemplo 2.33: Una persona deposita C$ 100,000 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si esta persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre durante 5 años. ¿De qué tamaño deben ser los retiros? Datos: P = C$100,000 n = 5 años(2 sem/año) i = 5% sem.



A = ?

Semestre 0 2 4 6 8 10 A = 100,000[(0.05)(1.0510)/(1.0510-1)] A= 100,000(A/P,5%,10) A = 100,000(0.1295) = C$ 12,950.50 Ejemplo 2.34: Si tenemos una anualidad de US$ 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, ¿cuál es el valor presente de la anualidad? Datos: A = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ? Aplicando la fórmula (2.7.1) o la función VA en Excel, tenemos: P = 500* (1 + 0.13)5 - 1 = US$ 1,758.62 0.13(1 + 0.13)5

Ejemplo 2.35: Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy US$ 500,000 ó US$ 3,000 mensuales a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente durante los próximos 25 años. ¿Qué elige Ud.? Solución: En este caso, primero determinamos el valor presente de los US$ 3,000 mensuales para compararlos con los US$ 500,000. El dinero hoy vale más que en el futuro. i = 0.06/12 = 0.005 ; A = 3,000; n = (25*12) = 300 meses; i = 0.005; P = ? Aplicamos la fórmula (2.7.1) o la función VA en Excel



P = 3,000 (1 + 0.005)300 - 1 = US$ 465,620.59 0.005(1 + 0.005)300

El valor presente de las 300 cuotas mensuales de US$ 3,000 descontadas a la tasa del 6% anual capitalizable mensualmente es US$ 465,620.59 inferior a los US$ 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la lotería hoy. Ejemplo 2.36: Una inversión de C$ 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de C$ 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto. Solución: P = 120,000; A = 45,000; n = 5; i = ?

La tasa de rendimiento anual del proyecto es de 25.41% Ejemplo 2.37: Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y asume como monto de contado el valor de US$ 1,200, para su pago en 36 mensualidades constantes pospagables a 2.87% mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Solución: P = 1,200; i = 0.0287; n = 36; A = ? A = 1200 0.0287(1 + 0.0287)36 = US$ 53.90 (1 + 0.0287)36 -1



Aplicando la función financiera PAGO de Excel, tenemos:

2.7.3.2 ANUALIDADES ORDINARIAS Y SU RELACION CON EL FUTURO Para determinar la equivalencia a la tasa convenida i en el futuro, de una serie uniforme de flujos de efectivo, representamos por A el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos. Por consiguiente, la cantidad acumulada F al final del año n, se puede obtener al sumar la equivalencia de cada una de las anualidades. Esta relación de una cantidad futura con una serie uniforme de flujos de efectivo, se representa gráficamente como: ANUALIDADES

Semestre 0 1 2 3 4 … n-3 n-2 n-1 n F

Si comenzamos a sumar los flujos netos A de cada período a partir de n, obtenemos la siguiente serie: F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + A(1 + i)3 + ... A(1 + i)n-1 factorizando: F= A*[1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... (1 + i)n-1 ] lo que está dentro de los corchetes es una progresión geométrica cuya razón es (1 + i); la suma de términos de esta progresión es: S = (1 + i)n-1(1 + i) - 1 = (1 + i)n - 1 (1 + i) - 1 i Para calcular el valor futuro de la serie, dado el valor de A, utilizamos la siguiente relación:



F = A (1 + i)n - 1 2.7.5 i la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = A (F/A, i%, n) 2.7.6 el factor (F/A, i%, n) es llamado Factor de acumulación de capital (FAC).

De la ecuación 2.7.5 podemos determinar el flujo neto A que es necesario desembolsar para acumular al final del período n una cantidad F:

A = F i 2.7.7 (1 + i)n - 1 la nomenclatura que emplearemos para definir está fórmula es:

A = F (A/F, i%, n) 2.7.8 el factor (A/F, i%, n) es llamado Factor fondo de amortización (FFA). Ejemplo 2.38: Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la cantidad de C$5,000. ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al término del segundo año, si el fondo gana una tasa de interés del 12% anual capitalizable mensualmente?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .. 22 23 24 meses

A = C$5,000

DATOS SOLUCION A = C$5,000 n = 24 meses =(12*2) F = 5,000 ((1.0124 - 1)/0.01) j = 0.12 F = 5,000 (26.9735) i = j/m = 0.12 /12= 0.01 mensual F = C$ 134,867.50 F = A(F/A,i%,n) = 5,000 (F/A,1,24) F = 5,000 (26.9735) = C$134,867.50



Ejemplo 2.39: ¿Cuánto deberá invertir la Sra. Gómez al final de cada 3 meses, durante los próximos 4 años en un fondo que paga el 16% anual capitalizable trimestralmente, con el objeto de acumular C$ 250,000al final del periodo?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 trimestre

A = ? DATOS SOLUCION F = 250,000 j = 0.16 anual A = 250,000(0.04/(1.0416 – 1)) m = 4 A = 250,000(0.04582) i = 0.16/4 = 0.04 trimestral A = C$11,455.00 n = 4 años N = 16 trimestres A = ? A = F(A/F,i%,n) = 250,000(A/F,4,16) A = 250,000(0.04582) = C$11,455.00 Ejemplo 2.40: Si trimestralmente deposito C$ 1,800 en un banco que paga el 18% de interés anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habré acumulado después de 16 trimestres?. Solución: A = 1,800; i = (0.18/4) = 0.045; n = 16; F = ? F = 1,800 (1+ 0.045)16 - 1 = C$ 40,894.81 0.045



2.7.4 CALCULO DEL VALOR PRESENTE Y DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Anticipar (Del latín anticipare). Hacer que algo suceda antes del tiempo señalado o esperable o antes que otra cosa. Son aquellas anualidades valoradas anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la anualidad y el momento de valoración es el período de anticipación. Recuérdese que una anualidad anticipada es aquella cuyo pago periódico vence –se efectúa- al principio del intervalo de pago, por ejemplo la renta del edificio dónde están las instalaciones de su empresa. Considere una anualidad vencida con pago anual A durante un plazo n de años y una anualidad anticipada con las mismas condiciones. ¿Qué diferencia existe entre una y otra? De la comparación debe notarse que: La anualidad vencida no tiene pago al principio del plazo, en el primer periodo;

mientras que la anualidad anticipada tiene pago al principio del plazo La anualidad vencida tiene pago al final del plazo , mientras que la anualidad

anticipada no tiene pago al final del plazo, en el último periodo Teniendo presente lo anterior se puede deducir que el valor presente de una anualidad anticipada A, en un plazo n, con una tasa de interés i; corresponde a la suma del pago A realizado al principio del plazo y el valor presente de los n - 1 pagos restantes

P = A + A ((1 + i)n -1 - 1) 2.7.9 i (1 + i)n-1 la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

P = A + A (P/A, i%, n-1) 2.7.10 Para deducir la ecuación del valor futuro de una anualidad anticipada considere la ecuación 2.5.1 de la cual se conoce el valor presente P, al multiplicarla por (1 + i)n se halla la ecuación del valor futuro

P



F = A + A ((1 + i)n -1 - 1) (1 + i)n 2.7.11 i (1 + i)n-1 la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = (A + A (P/A, i%, n-1)) * (F/P; i%;n) 2.7.12 Los valores actuales y futuros de las anualidades anticipadas son el resultado de actualizar o capitalizar con un período más las vencidas. Por esta razón los resultados de las anualidades anticipadas son siempre mayores que de las vencidas. Aplicable también a las funciones financieras de Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al final del período; tipo uno (1) significa pago al principio del período, que viene a ser lo mismo que multiplicar los resultados por (1 + i)n. Ejemplo 2.41: Determinar el valor actual y futuro de una renta de 28 cuotas anuales anticipadas de C$ 2,500 si la tasa de interés es del 9% anual. Datos: A = 2,500; n = 28; i = 0.09; P = ? Para el cálculo del valor actual P aplicamos la fórmula (2.7.9) o la función VA en Excel P = 2,500 + 2,500 ((1 + 0.09)28 -1 - 1) = C$27,566.45 0.09 (1 +0.09)28-1 Para el cálculo del valor futuro aplicamos la fórmula (2.7.11) o la función VF en Excel F = 2,500 + 2,500 ((1 + 0.09 )28 -1 - 1) (1 + 0.09)28 = C$ 307,838.39 0.09 (1 + 0.09)28-1



2.7.5 CALCULO DEL VALOR FUTURO Y EL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA Diferir (Del latín differre). Aplazar la ejecución de un acto. Son aquéllas anualidades valoradas con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la anualidad y el momento de valoración es el período de diferimiento, o de gracia o de carencia. Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos la anualidad en su origen; considerándola como anualidad vencida determinamos el valor presente o actual; posteriormente descontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, a interés compuesto y a la tasa de interés vigente durante el período de diferimiento. El diferimiento únicamente afecta al valor actual, el valor futuro es calculado como una anualidad vencida. Las fórmulas para este tipo de anualidades son las mismas que para las anualidades vencidas y anticipadas con la diferencia que éstas tienen períodos de gracia. Una anualidad es diferida cuando el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer periodo de interés. La anualidad diferida se diferencia de la vencida y la anticipada en que existe un “periodo de desfase” k, durante el cual no se efectúan los pagos A, mismos que deberán hacerse durante un determinado plazo n. Considere esta situación en la que realiza un préstamo bancario P, para pagarlo durante los próximos 16 meses (n), con la condición de hacer el primer pago en el cuarto mes (desfase k = 3); es decir que se harán n – k pagos de C$ 500 mensual a una tasa de interés mensual del 10% mensual, ¿a cuánto asciende el valor del préstamo?. Para poder responder a esta interrogante se ha determinado la ecuación del valor presente de una anualidad diferida, a partir de las ecuaciones 2.7.1, 2.5.4 y de las características señaladas para este tipo de anualidad, se obtiene que

P = A [(1 + i)n -k - 1] (1 + i) –k 2.7.13 i (1 + i)n-k

P

K



la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

P = ( A (P/A, i%, n-k) ) * (P/F, i%, k) 2.7.14

Conociendo el valor presente de una anualidad diferida y multiplicando este valor por (1+ i )n se ha obtenido que el valor futuro de una anualidad diferida con un periodo de desfase k, en un plazo n y con una tasa de interés i es igual al valor futuro de una anualidad vencida, pero calculada para n – k periodos

F = A [(1 + i)n -k - 1] 2.7.15 i la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = A (F/A, i%, n-k) 2.7.16

Ejemplo 2.42: Compramos hoy un producto a crédito por C$ 60,000, para pagar en 20 cuotas trimestrales, el primer abono lo hacemos al año de adquirido. Determinar la cuota asumiendo una tasa de 32% anual capitalizable trimestralmente. Solución: P = 60,000; n = 20; i = (0.32/4) = 0.08; A = ?

Para calcular la cuota primero calcularemos el valor futuro del presente en el año tres: F = 60,000 (F/P, 8%,3) = 60,000 * (1.2597) = 75, 582 Posteriormente calculamos la anualidad como si fuera una anualidad vencida partiendo de un valor presente en el año 3 A = 75,582 (A/P, 8%, 20) = 75,582 * 0.10185 = 7,698.03 Por tanto el valor de la cuota a pagar es de C$ 7,698.03



De la misma manera hacemos el ejercicio utilizando Excel, para calcular la cuota primero calcularemos el valor futuro del presente en el año tres:

Sintaxis

VF(tasa;nper;pago;va;tipo)

Tasa Nper Pago VA Tipo VF

0.08 3 -60,000 75,582.72

Posteriormente calculamos la anualidad como si fuera una anualidad vencida partiendo de un valor presente en el año 3

Sintaxis

PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)

Tasa Nper VA VF Tipo PAGO

0.08 20 -75,583 7,698.27

Por tanto el valor de la cuota a pagar es de C$ 7,698.27 2.7.6 ANUALIDAD PERPETUA Por definición significa duración sin fin. Duración muy larga o incesante. Una anualidad perpetua es una aquella cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre, en términos matemáticos se interpreta que el plazo n de la anualidad tiende al “infinito”

A partir del valor presente P de una anualidad A, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:

A = P * i 2.7.17

P



Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija de muchos periodos. En este caso, A es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés aproximamos el valor de la inversión (A). Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente para este período de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias. Ejemplo 2.43: Para que dos personas estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de C$ 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy? Solución: A = 2,500; i = 0.005; P = ? A = C$ 2,500 meses 0 119 120 n

P = 2,500/ 0.015 = C$ 166,666.67 El valor presente obtenido de C$ 166,666.67, estará ubicado en el mes 119, por tanto hay que llevarlo al mes 0, utilizando la ecuación 2.5.4. Mensualmente el dinero gana C$ 2,500 de interés. P = 166,666.67 (1 + 0.015)-119 = 28,339.34



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una persona compró un terreno para instalar un pequeño negocio de madera. El terreno

fue vendido por C$15,000 en efectivo y C$8,500 al final de cada año por los próximos 4 años. Si la tasa de interés es del 20% nominal anual, hallar el precio de contado del terreno.

2. En lugar de estar pagando US$125 de renta al principio de cada mes, por lo próximos 8 años, Inés decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor en efectivo equivalente de los 8 años de renta al 7.5% capitalizable mensualmente?

3. La señora Pérez compra un carro el día 20 de agosto de 1994 través de un banco, de la siguiente forma: C$20,000 de cuota inicial y acuerda pagar mensualmente la cantidad de C$2,500 por 12 meses, el primero con vencimiento el día 20 de enero de 1995. ¿Cuál será el valor de contado del vehículo, si la tasa de interés es del 24% convertible mensualmente?

4. Una persona devenga un salario de C$3,500 al final de cada mes, de los cuales ahorra el 30% durante 7 años y 4 meses, a una tasa de interés del 1% mensual. ¿Podrá esta persona comprarse una casa cuyo valor es de C$40,000 con el importe de sus ahorros?

5. El señor Torrez está interesado en pagarle los estudios universitarios a su hija y tiene planeado hacer un depósito en una institución financiera. Considera que justamente a los 18 años ella debe comenzar la universidad, en la cual pagará C$30,000 al inicio de cada semestre: si la carrera dura como promedio 6 años y el banco le paga el 12% capitalizable semestralmente, calcule el valor del depósito si la hija tiene actualmente 10 años y suponiendo que el primer pago lo recibirá justamente cuando tenga 18 años.

6. Una persona compra una propiedad en $5,000 al contado hoy y paga de manera anual diferidamente $500 durante seis años, empezando dentro de tres años. ¿Cuál es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es del 8 % anual?

7. Si se efectúan depósitos anuales de C$1,000 en una cuenta de ahorro durante 30 años, empezando dentro de 1 año ¿Cuánto habrá en la cuenta inmediatamente después que se efectuó el último depósito. Si esta paga interés a una tasa anual de 10%?

8. Encuentre el valor de x en el diagrama siguiente que haría igual a C$22,000 el valor presente equivalente del flujo de caja. Si la tasa de interés es del 15% anual.

$22,000 │X

│ A = $950/año │

│ ┌──┬──┬──┬──┬──┐ │

│ │ │ │ │ │ │ │

├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┴───┼────años

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



9. Calcule el número de pagos de C$15,000 que se requeriría en el diagrama de flujo de caja siguiente para que los pagos anuales sean equivalentes al ahorro inicial de C$37,000. Utilice una tasa de interés del 10% anual.

│C$37,000

│

│ i=10%

│ 5 6 7 8 n-2 n-1 n

├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼─────────┼──┼──┼──┼─── años

0 1 2 3 4 │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │

└──┴──┴──┴─────────┴──┴──┘

A = C$15,000/año

2.8 SERIES CON CRECIMIENTO ARITMETICO Y GEOMETRICO. 2.8.1 SERIES DE FLUJO DE EFECTIVO CON CRECIMIENTO ARITMETICO. Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente. Por ejemplo los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se puede incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. El flujo de caja con crecimiento aritmético o serie gradiente aritmética es aquella que aparece en la figura. G│

G┌─────│

G┌─────├─────│

G┌───────────┤─────┤─────┤

G┌─────├───────────├─────├─────│

G┌─────├─────├───────────├─────├─────│

G┌─────├─────├─────├───────────├─────├─────│

G┌─────├─────├─────├─────├───────────├─────├─────│

┌─────┼─────┼─────┼─────┤─────├───────────┤─────┤──── ┤

A │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │

├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼───────────┼─────┼─────┼──

0 1 2 3 4 5 6 n-2 n-1 n

Como puede observarse el flujo del primer periodo es A1 y del segundo periodo en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante G. Dicho flujo es equivalente a tener.



(n-1)G

│

(n-2)G │

(n-3)G │ │

4G │ │ │

3G │ │ │ │

A1 2G │ │ │ │ │

┌───┬───┬─────┬───┬───┐ G │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

├───┼───┼───┼─────┼───┼───┼── + ├───┼───┼───┼───┼───┼─────┼────┼────┼────

0 1 2 3 n-2 n-1 n 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

Existen varias maneras por medio de las cuales se pueden deducir los factores gradientes uniformes. Podemos utilizar el factor VAPU (P/F,i%,n), pero se podría obtener el mismo resultado empleando los factores cantidad compuesto serie uniforme o valor presente serie uniforme.

Refiriéndonos a la figura anterior, encontramos que el valor presente en el año 0 de los pagos gradientes sería igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales, así: PG = G(P/F,i%,2) + 2G(P/F,i%,3) + 3G(P/F,i%,4) +... + (n-2)G(P/F,i%,n-1) + (n-1) G(P/F,i%,n)

Factorizando G

PG = G [ 1 + 2 + 3 + ...... + (n-2) + n-1 ]

(1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

n-1 (1+i)

n

Si multiplicamos la igualdad por (1+i) entonces: PG(1+i) = G [ 1 + 2 + 3 + ...... + (n-2) + n-1 ]

1+i (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

n-2 (1+i)

n-1

Restando las ecuaciones:

PG(1+i) - PG = G[ 1 + 1 + 1 + ...... + 1 + 1-n ]

1+i (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

n-1 (1+i)

n

De donde:

PG = G [ 1 + 1 + 1 + ...... + 1 + 1 ] - G*n .

i 1+i (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

n-1 (1+i)

n i(1+i)

n

La expresión entre corchetes es el valor presente de una serie uniforme de 1 a n años, por tanto:



PG = G (1 + i)n – 1 - G*n . i i(1 + i)n i(1 + i)n

PG = G (1 + i)n - 1 n 2.8.1 i i(1 + i)n (1 + i)n

La ecuación 2.8.1 es la relación general para convertir un gradiente uniforme G para n años en un valor presente en el año 0. El valor presente gradiente uniforme y la notación estándar del factor es:

(P/G,i%,n) = 1 (1 + i)n - 1 - n . i i(1 + i)n (1 + i)n

Nótese que el gradiente empieza en el año 2 y P se halla en el año 0. La ecuación 2.8.1 está representada por la notación estándar como:

PG = G(P/G,i%,n) 2.8.2 La serie anual uniforme equivalente del gradiente G puede obtenerse multiplicando el valor presente de la ecuación 2.8.1 por la expresión del factor (A/P,i%,n).

AG = PG * (A/P,i%,n)

AG = G(P/G,i%,n) * (A/P,i%,n)

AG = G(A/G,i%,n)

Nótese que en la forma estándar la equivalencia de cancelación algebraica de P puede usarse para obtener (A/G,i%,n) De donde: AG = G (1 + i)n -1 - n i(1 + i)n . i i(1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n -1 AG = G (1 + i)n - 1 -ni i(1 + i)n . i i(1 + i)n (1 + i)n -1

AG = G 1 - n 2.8.3 i (1 + i)n - 1

La expresión entre llaves de 2.8.3 se denomina factor serie uniforme gradiente uniforme y se identifica (A/G,i%,n). Hay que comprender que la serie anual no es sino un valor A equivalente al gradiente. Obsérvese que el gradiente empieza en el año 2 y que los valores A ocurren desde el año 1 hasta el año n inclusive.



El factor F/G (valor futuro gradiente uniforme) puede obtenerse multiplicando los factores P/G por F/P para los mismos valores de la tasa de interés y n de la siguiente manera: (P/G, i%,n)(F/P,i%,n) = (F/G,i%,n) De donde:

FG = G(P/G,i%,n)(F/P,i%,n)

FG = G (1 + i)n -1 - n (1 + i)n i i(1 + i)n (1 + i)n FG = G (1 + i)n - 1 -ni (1 + i)n . i i(1 + i)n

FG = G (1+i)n - 1 - n 2.8.4 i i

Así para situaciones de flujos de caja que incluyan gradientes aritméticos: 1. La cantidad base es una serie uniforme A que comienza en el año 1 y se extiende hasta

el año n. 2. Para un gradiente creciente la cantidad de gradiente debe adicionarse a la cantidad de

serie uniforme. 3. Para un gradiente decreciente la cantidad de gradiente debe restarse de la cantidad de

serie uniforme. Las ecuaciones generales de cálculo de gradientes aritméticos son:

Valor Presente PT = PA PG = A1(P/A; i%;n) G(P/G;i%;n) 2.8.5

Valor Futuro FT = FA FG = A1(F/A; i%;n) G(F/G;i%;n) 2.8.6

Anualidad AT = A1 AG = A1 G(A/G;i%;n) 2.8.7



Ejemplo 2.44: Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empezar, piensa ahorrar al final del año C$5,000; sin embargo, puesto que su salario está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en C$1,000 cada año. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma magnitud. ¿De qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma? Sol: En el siguiente gráfico se presenta la situación de la persona. Como podemos ver, se incrementa el ahorro en C$1,000; por lo tanto, podemos descomponer la serie en dos, una constante de 5,000 y una gradiente de 1,000. A = 5,000 n = 10 años i = 12% anual G = 1,000 │

G┌─────│

G ┌─────├─────│

│ │ │

│ │ │

G ┌───────├─────├─────│

G┌─────├───────├─────├─────│

┌─────├─────├───────├─────├─────│

5,000│ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │

├─────┼─────┼─────┼ - - - ┼─────┼─────┤

0 1 2 3 8 9 10

A= 5,000 + 1,000(A/G,12%,10) A= 5,000 + 1,000(3.5846) A= C$ 8,584.7 2.8.2 SERIE DE FLUJO DE EFECTIVO CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO Estos flujos ocurren en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épocas de recesión. Bajo esta situación los flujos de caja pueden aumentar o disminuir de acuerdo a un % fijo de un periodo a otro. Este tipo de flujo de caja se llama serie gradiente, el cual se muestra en forma general en la figura. A1(1+j)

n-1

6 │

A1(1+j) │ │

│ │ │

│ │ │

2 │ │ │ │

A1(1+j) │ │ │ │ │

A1(1+j) │ │ │ │ │ │

A1 │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │

├──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────────┼──────┼── PERIODOS

0 1 2 3 4 5 6 7 n-1 n



donde A representa la cantidad de dinero en el año 1 y j representa la tasa de crecimiento. La derivación de la ecuación para el valor presente PE de una serie en escalera se muestra calculando el valor presente del flujo de caja de la figura.

PE = A1 + A1(1+j) + A1(1+j)2 + A1(1+j)

3 + .... + A1(1+j)

n-1

(1+i) (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

n

= A1 1 + 1+j + (1+j)2 + (1+j)

3 + .... + (1+j)

n-1

1+i (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

n

Multiplicando ambos lados por 1 + j 1 + i

PE 1+j = A1 1+j + (1+j)2 + (1+j)

3 +...... + 1+j)

n .

1+i (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

n+1

Restando las dos ecuaciones y factorizando P se obtiene:

PE 1+j - 1 = A1 (1+j)n - 1

1+i (1+i)n+1 1+i

Resolviendo PE y simplificando se obtiene:

PE = A1 ((1 + j)/(1 + i))n - 1 sí j i 2.8.8 j - i

Donde P indica el valor presente de una serie geométrica partiendo en el año 1 con valor A de dinero. Sí j = i entonces:

PE = A1 n = A1 n 2.8.9 ( 1 + j) ( 1 + i)

El valor futuro FE del gradiente exponencial se calcula de la siguiente manera: FE = PE (1+i)n

FE = A1 [ (1+j)/(1+i) ]n - 1 * (1 + i)n sí j i j - i



FE = A1 (1 + j)n - (1 + i)n sí j i 2.8.10 j - i

Sí j = i entonces:

FE = A1 n (1 + j)n-1 = A1 n (1 + j)n-1 2.8.11 Para encontrar el valor de una anualidad AE equivalente a un gradiente geométrico calculamos primero el valor Futuro equivalente FE y posteriormente hacemos uso de la formula de anualidad ordinaria vencida, dado el valor futuro. Sabemos que: FE = A1 (1+j)n - (1+i)n Pero también F = A (1+i)n -1

(j - i) i

igualando tenemos:

A (1+i)n - 1 = A1 (1 + j)n - (1 + i)n i (j - i)

donde al despejar A obtenemos:

AE = A1 (1+j)n - (1+i)n * i j i 2.8.12 (j - i) (1+i)n - 1

Ejemplo 2.45: Un padre de familia ha destinado un fondo de dinero para que su hijo estudie el bachillerato. Al chico le faltan 9 semestres, y debido a la inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral. ¿Cuánto tendría que depositar si la colegiatura del primer semestre es de C$2,000? Suponga que el pago de la colegiatura ocurre al final del semestre. Sol: A1= C$2,000 n = 9 semestres j = 8% semestral i = 6% semestral P = 2,000(P/A,6%,8%,9) P = 2,000 * 1 – [1.08/1.06]9 = 2,000 (9.1604) = 18,320.90 0.06 - 0.08



EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine la cantidad de dinero que debe depositar ahora una persona para poder retirar

$3,600 anuales durante 10 años empezando dentro de 20 años si la tasa de interés es 14% anual.

2. ¿Cuál es el costo anual uniforme equivalente en los años 1 hasta 16 de $250 por año para 12 años, empezando el primer pago dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 20% anual.

3. Una pareja adquirió una póliza de seguro y piensa utilizarla para financiar la universidad de su hijo. Si la póliza va a proporcionar $10,000 dentro de doce años, ¿cuánto puede retirar cada año durante cinco años si el niño empieza en la universidad dentro de quince años? Supóngase que i = 16% anual.

4. Una mujer ha depositado $700 anuales durante 8 años. A partir del noveno año aumentó sus depósitos a $1,200 anuales durante 5 años. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta inmediatamente después que hizo su último depósito si la tasa de interés era del 15% anual?

5. ¿Cuánto dinero tendría en su cuenta la mujer del problema 4, dentro de treinta años si ella no hiciera más depósitos después del que hizo en el año trece?

6. ¿Cuál es el valor presente un año antes del primer depósito para la inversión planteada en el problema 4?

7. Un hombre se propone ahorrar para cuando se jubile, de manera que pueda retirar dinero todos los años durante treinta años, empezando dentro de veinticinco años. El calcula que podrá empezar a ahorrar dentro de un año y se propone ahorrar $500 anuales. ¿Cuál será la cantidad anual uniforme que podrá retirar cuando se jubile si la tasa de interés es del 12% anual?

8. Un hombre de negocios compró un edificio usado y encontró que el aislamiento del techo era insuficiente. Estimó que con 6 pulgadas de espuma aisladora podría disminuir la cuenta de la calefacción en $25 mensual y el costo del aire acondicionado en $20 mensuales. Suponiendo que los seis primeros meses del año son de invierno y los seis siguientes de verano, ¿cuánto puede permitirse gastar en aislación si espera tener el edificio dos años solamente?. Suponga que i = 1 1/2% mensual?

9. Una pareja se propone hacer una inversión ahora para financiar la universidad de su hijo. Si el hijo pudiera retirar $1,000 anuales en los años 15 hasta 20 de tal manera que el último retiro cierre la cuenta, ¿cuánto debe invertirse ahora si el interés se calcula en 9% anual?



10. Si la pareja del problema 9 busca hacer un depósito uniforme durante 14 años en lugar de invertir una suma total, ¿cuánto deberían depositar cada año empezando dentro de un año?

11. ¿Cuánto dinero recibirán los herederos del hombre del problema 7 si él falleciera cuatro años después de su retiro?

12. Pizzaroni Pizza tiene un contrato de arrendamiento de diez años por 200 metros cuadrados de superficie en un centro comercial cerrado. El arriendo se paga anualmente a una tasa de $100 por metro cuadrado. Al final del cuarto año del contrato, el propietario de la pizzería decide comprar un edificio y reubicar su negocio. ¿Cuánto debe pagársele al propietario del centro comercial por el resto del contrato si la tasa de interés es 12% anual?

13. Para comparar el alquiler contra la compra de un microcomputador, un ingeniero ha determinado convenir pagos de comienzo de período (para arrendamiento) a pagos al final de período. La cantidad de comienzo de período fue de $1,000 por mes y el computador se alquiló durante 3 años. Si la tasa de interés nominal de la compañía es 18% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál es la cantidad equivalente del final de período?

14. Determine los pagos de comienzo de año que podría ser equivalentes al siguiente flujo de caja. Use una tasa de interés de 15% anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────────

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │

└────┴────┴────┴────┤ │ │ │ │

$1,200 │ │ │ │ │

└────┴────┴────┴────┘

$2,000

15. Si una pareja abre una cuenta de ahorros mediante un depósito de $1,500 cada año durante 14 años, ¿cuánto habrá en la cuenta después del último depósito si la tasa de interés es 12% anual?

16. ¿Cuánto habrá en la cuenta del problema 15 si la tasa de interés cambia a 14% después

de los primeros 5 años?

17. Encuentre el valor de X en el diagrama siguiente, que haría igual a $22,000 el valor presente equivalente del flujo de caja, si la tasa de interés es 15% por año.

P = $22,000 A = $950 X

│ ┌──┬──┬──┬──┬──┐ │

│ │ │ │ │ │ │ │

├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼───────

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Año



18. Calcule el valor de x en el siguiente flujo de caja, de tal manera que el valor total equivalente en el mes 7 sea $8,000, utilizando una tasa de interés del 1 1/2% mensual.

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

FC 200 200 200 200 200 X X X X 500 500 500

19. Encuentre el valor de X de tal manera que el flujo de caja positivo sea exactamente

equivalente al flujo de caja negativo, si la tasa de interés es 15% anual. $1,200

$1,000 │ │

$800 │ │ │ │

│ │ │ │ │

│ │ │ │ │

│ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Año

───┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼──────────

0 │ │ │

$500 │ │

X │2X

│

20. Calcule la cantidad de dinero en el año 7 que sería equivalente a los siguientes flujos de caja si la tasa de interés nominal es 13% anual capitalizable semestralmente.

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FC 900 900 900 900 1,300 1,300 1,300 0 900 900

21. La compañía GRQ compra una máquina por $12,000 con un valor de salvamento

esperado de $2,000. Los gastos de operación de la máquina serán de $18,000 anuales. Además se necesita una revisión general importante, cada cinco años, con un costo de $2,800. ¿Cuál es el costo presente equivalente de la máquina si tiene una vida útil de 18 años y la tasa de interés es 15% anual?

22. ¿Cuánto dinero puede pedir prestado hoy si se compromete a pagar C$ 650 anuales durante 8 años, comenzando dentro de un año a una tasa de interés del 18% anual?

23. ¿Qué cantidad anual uniforme tendría que depositar durante 5 años para tener una suma actual equivalente de una inversión de C$ 9,000 a una tasa de interés del 12% anual?

24. ¿Cuál es el valor futuro de una serie anual uniforme de C$ 1,580 durante 12 años a una tasa de interés del 12% anual?

25. Una persona desea comprar una propiedad y le ofrecen el siguiente plan de pago: ocho pagos de C$ 70,000 cada años, empezando a pagar al final del año 1. ¿Cuál es el valor presente de esta oferta si la tasa de interés es del 18% anual?



26. ¿Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones que abona el 10%, capitalizable trimestralmente, para acumular $ 50,000 al cabo de 5 años?

27. Hallar el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias: a) C$ 400 anuales durante 12 años al 8%. b) C$ 150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% capitalizable mensualmente. c) C$ 500 trimestrales durante 8 años 9 meses al 6% capitalizable trimestralmente.

28. Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y un pago adicional de $2,500 al término de dicho período. Hallar el valor presente equivalente del contrato al 7% capitalizable semestralmente.

29. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $6,000 de prima y 12

pagos trimestrales de $2,000 con 12% de interés trimestral. 30. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $ 150,000 al final de cada

año por 8 años, si la tasa de interés es del 22.5% efectivo anual. 31. ¿Qué pago uniforme de fin de año se requiere para pagar completamente una deuda de

C$ 1,250,000 en 9 años, si el primer pago se efectúa dentro de un año y la tasa de interés anual es del 18%?

32. Un ingeniero ha determinado convenir pagos de comienzo de periodo (para arrendamiento) por la compra de un computador. La cantidad de comienzo de periodo fue de C$ 1,500 por mes y el computador se alquila durante 3 años. Si la tasa de interés nominal de la compañía es 18% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál es el valor presente y el valor futuro de la compra?

33. Una persona compra un automóvil en C$ 1,800,000. Si le exigen una cuota inicial del

40% y el saldo lo va a cancelar en 24 cuotas mensuales vencidas, ¿a cuánto ascendería la cuota suponiendo intereses del 36% C.M.?

34. Para reunir C$ 300,000 mediante 6 depósitos iguales y vencidos con interés efectivo

del 5% ¿Cuál debe ser el valor de la cuota? 35. Un artículo cuyo precio de contado es C$ 30,000 se puede adquirir mediante 12 pagos

mensuales de C$ 3,500 al principio de cada mes. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual cobrada y la tasa nominal capitalizable mensualmente?

36. Calcular el valor de contado de una mercancía que es comprada mediante 8 pagos

mensuales al principio de cada mes de C$ 3,000 y un pago final de C$ 10,000 al final de un año. Suponga intereses del 33% capitalizable mensualmente.

37. Una persona devenga un salario de C$ 3,500 al final de cada mes, de los cuales ahorra el 30% durante 7 años y 4 meses, a una tasa de interés del 1% mensual. ¿Podrá esta



persona comprarse una casa cuyo valor, en esa época, es de C$ 140,000 con el importe de sus ahorros?

38. Una compañía petrolera está planeando vender una cantidad de pozos petrolíferos en

producción. Se espera que los pozos produzcan 100,000 barriles de petróleo por año, durante 11 años más. Si el precio de venta por barril es actualmente de $35, ¿cuánto estaría usted dispuesto a pagar por los pozos si se espera que el precio del petróleo aumente $3 por barril cada 3 años, con el primer aumento dentro de 2 años?. Suponga que la tasa de interés es 12% anual para los primeros 4 años y 15% por año después y que las ventas de petróleo se hacen al final de cada año.

39. Calcule el valor presente y el valor futuro en el año 10 de los siguientes desembolsos. Suponga que i = 16% anual.

AÑO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DESEMBOLSO 3500 3500 3500 3500 5000 5000 5000 5000 5000 5000 15000

40. Un concesionario de un edificio compró un triturador de basura en $3,500. Mantuvo el

triturador a un costo de $2,500 por año. Hizo una revisión general de la máquina cuatro años después de la compra, a un costo de $4,000. Dos años después de la revisión vendió el triturador en $18,000. ¿Cuál es el costo anual uniforme equivalente de la máquina si la tasa de interés era 10% anual?

41. ¿Cuánto dinero tendría que depositar usted durante seis años consecutivos, empezando dentro de un año, si desea retirar $45,000 dentro de 11 años? Suponga que la tasa de interés es 15% anual.

42. Una importante compañía manufacturera compró una máquina semiautomática por $13,000. Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a $1,700. Cinco años después de la adquisición inicial, la compañía decidió comprar una unidad adicional para que la máquina fuera totalmente automática. La unidad adicional tuvo un costo original de $7,100. El costo de operación de la máquina en condiciones totalmente automáticas fue $900 anuales. Si la compañía usó la máquina durante un total de 16 años y luego vendió la unidad automática adicional en $1,800 ¿cuál fue el costo anual uniforme equivalente de la máquina a una tasa de interés de 9%?

43. Una compañía solicita un préstamo de $8,000 a una tasa de interés nominal de 12% anual capitalizable mensualmente. La compañía desea pagar la deuda en 14 pagos mensuales iguales, empezando con el primer pago dentro de un mes; (a) ¿cuál debería ser el monto de cada pago?, (b) si después de 8 pagos la compañía desea pagar totalmente el saldo de la deuda en el noveno mes, ¿cuánto deberá pagar la compañía?

44. Si usted necesita tener $125,000 dentro de 21 años para la educación universitaria de su hijo, ¿cuánto deberá depositar cada año si hace su primer depósito ahora y el último dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es 15% anual.



45. La señora Pérez compra un carro el día 20 de agosto de 1994 a través de un banco, de

la siguiente forma: C$20,000 de cuota inicial y acuerda pagar mensualmente la cantidad de C$2,500 por 12 meses, el primero con vencimiento el día 20 de enero de 1995. ¿Cuál será el valor de contado del vehículo, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente? ¿Cuál será el valor financiado?

46. Don José desea que el beneficio de un seguro de C$150,000 sea invertido al 10% anual y que dicha cantidad su viuda reciba C$7,500 anuales, haciéndose el primer pago inmediatamente, y durante todo el tiempo que viva. En la fecha de pago siguiente a la muerte de su esposa, el sobrante del fondo será donado al "Hogar del Niño". Si su esposa muere 7 años 10 meses más tarde. ¿Cuánto recibirá "El Hogar del Niño".

47. En esta fecha Danilo contrae una deuda con intereses al 18% capitalizable trimestralmente, la cual será pagada mediante desembolsos de C$500 al final de cada 3 meses por los próximos 5 años, seguidos de pagos de C$1,000 trimestrales por los siguientes 4 años. Calcule el importe de la deuda que pagará Danilo.

48. Una pareja piensa pedir un préstamo de $500 pesos cada año durante los dos próximos años para cubrir los gastos de Navidad. Debido al aumento en los costos piensan pedir un préstamo de $550 dentro de 3 años, $600 al próximo año y $650 al año siguiente. Sin embargo, debido a la edad de sus hijos, esperan tener que pedir solamente $300 por año después de esa fecha. Calcule (a) el valor presente y (b) el costo anual uniforme equivalente a los desembolsos durante un total de 15 años usando una tasa de interés de 13% anual.

49. Una mujer ha depositado $ 700 anuales durante 8 años. A partir del noveno año aumentó sus depósitos a $ 1,200 anuales durante 5 años. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta inmediatamente después que hizo su último depósito si la tasa de interés era del 15% anual?

50. Con intereses al 24% capitalizable trimestralmente, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos se-

mestrales vencidos que hechos por 10 años amortizaran una deuda de C$ 1,200,000? Y si los pagos se hacen anticipados?

51. ¿Qué cantidad habrá acumulado un fondo si se hacen pagos trimestrales vencidos

de C$ 5,000 durante 2 años? Suponga una tasa del 30% capitalizable trimestralmente.

52. Un apartamento se arrienda mediante el pago de C$ 20,000 por mensualidades

anticipadas y por el término de un año. Si una persona ofrece pagar todo el año por anticipado, ¿Cuánto deberá pagar suponiendo una tasa de interés del 30% capitalizable mensualmente?

53. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $ 320 al final de cada mes

durante 4 años, si la tasa de interés es del 12.1204% capitalizable trimestralmente.



54. La compañía ZN-OK está considerando dos tipos de máquina, las cuales realizarán el

mismo trabajo. Los flujos de caja netos para cada una se tabulan a continuación. Calcule el valor presente de cada máquina utilizando una tasa de interés anual de 18%.

Flujos de Caja Flujos de Caja .

Año Máquina A Máquina B Año Máquina A Maquina B 0 $ + 2,000 $ + 2,000 7 $ + 3,000 $ + 2,500 1 2,000 2,000 8 3,500 2,500 2 2,000 2,500 9 4,000 2,500 3 2,500 3,000 10 4,500 3,000 4 2,500 3,500 11 3,000 3,500 5 2,500 4,000 12 3,000 4,000 6 2,500 2,500 55. Una persona solicita un préstamo de $8,000 a un 7% nominal por año capitalizado

trimestralmente. Ella desea pagar la deuda en 12 cuotas semestrales, la primera de las cuales abonaría dentro de 3 meses. Si los pagos tienen incrementos en $50 cada vez, determine el monto del primer pago.

56. Encuentre el valor G en el siguiente diagrama que haría el flujo de ingreso equivalente al flujo de desembolso, usando una tasa de interés anual de 20%.

A = $600

┌────┬────┬────┬────┬────┐

│ │ │ │ │ │

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼───────── Año

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

│ │ │ │

G │ │ │

2G │ │

3G │

4G

57. Para el diagrama siguiente, halle el valor de la última entrada en el flujo de ingreso que haría las entradas equivalentes a la inversión inicial de $500 en el tiempo 0. Utilice una tasa de interés anual de 15% .

$100 + (n - 4)10

$160 │

$150 │ │

$140 │ │ │

$130 │ │ │ │

$120 │ │ │ │ │

$110 │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ ──┼───────── Año

│

$500



58. Calcule el valor de X para las serie de flujo de caja siguiente, de tal manera el valor total equivalente en el mes 5 sea $25,000 usando una tasa de interés nominal de 12% anual capitalizable mensualmente.

Mes Flujo de Caja Mes Flujo de Caja 0 100 8 100 + 8x 1 100 + x 9 100 + 9x 2 100 + 2x 10 100 + 10x 3 100 + 3x 11 100 + 11x 4 100 + 4x 12 100 + 12x 5 100 + 5x 13 100 + 13x 6 100 + 6x 14 100 + 14x 7 100 + 7x 59. Encuentre el valor de G de tal manera que el diagrama de flujo de caja de la izquierda

sea equivalente al de la derecha. Use una tasa de interés anual de 13%.

4G

3G │

$7,000 2G │ │

$1,000 │ G │ │ │

│ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │

├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───Año ──── ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──────── Año

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7

60. Despeje el valor de X utilizando una tasa de interés de 12% anual. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 Año

├───┼───┼───┼───┼───┼────── = ├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼──────

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

└───┴───┴───┴───┘ X │ │ │ │ │ │

$1,300 X+50 │ │ │ │ │

X+100 │ │ │ │

X+150 │ │ │

X+200 │ │

X+250 │

X+300

61. Si comprar una máquina cuesta $15,000 y los costos de operación son de $1,000 al final del primer año, $1,200 al final del segundo y así sucesivamente $200 más por un año hasta el año 12, ¿Cuál es el valor presente de la máquina si la tasa de interés es 15% anual capitalizable semestralmente?

62. Calcule el valor presente para la compañía Barcia Editores del alquiler de una computadora cuyo costo es de $15,000 para el primer año y de $16,000 para el segundo, y un incremento de 10% para los años subsiguientes. Asuma que los pagos del alquiler se hacen al principio del año utilizando un período de estudio de 7 años. La compañía necesita una tasa de retorno mínima de 16% anual.



63. Para el siguiente diagrama, encuentre el valor de X que hará el flujo de caja negativo

igual al flujo de caja positivo de $800 en el tiempo cero. Suponga un interés de 15% anual.

$800

│

│0 1 2 3 4 Año

├────┼────┼────┼────┼───────

│ │ │ │

$100 │ │ │

$150 │ │

$200 │

X

64. Las ganancias de un proyecto lechero disminuye en $10,000 mensual. Si hubo ganancias el primer mes por $650,000, ¿cuál será el valor acumulado al final de un año, si las ganancias se reinvierten en una corporación financiera al 18% anual capitalizable mensualmente.

65. Encuentre el valor futuro (en el mes 9) del siguiente flujo de caja usando una tasa de interés mensual de 1%.

│

F=?│

│

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mes

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼───────────

│ │ │ │ │

$800 │ │ │ │

$900 │ │ │

$1,000 │ │

$1,100 │

$1,200

66. Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en una universidad privada. Las carreras en esta universidad duran normalmente 8 semestres, y el arancel semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación a una razón del 10% semestral. Para lograr este objetivo, el padre de familia piensa ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo aniversario del nacimiento de su hijo. Si la cuenta de ahorros paga un 15% anual, y el primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del año 18, ¿de qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en la cuenta de ahorros, de tal modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuenta?

67. Calcular el valor presente en el tiempo 0 de un arriendo que requiere un pago actual de $20,000 y que se incrementa en un 6% cada año. Asuma que los pagos se hacen al principio de año y que se toma el arriendo por un total de 10 años. Use un interés de 15% anual.



68. Calcule el valor presente de una máquina que tuvo un costo inicial de $29,000 con un

salvamento de $5,000, después de 8 años, y un costo de operación anual de $13,000 para los tres primeros años, con un incremento de 10% cada año en los años subsiguientes. Use un interés del 15% anual.

69. Calcular el valor presente de una máquina cuyo costo es $55,000 y tiene una vida de 8 años con un costo de salvamento de $10,000 después de 9 años. Se estima un costo de operación de $10,000 en el primer año y de $11,000 en el segundo con un incremento del 10% por año en los años subsiguientes. Use una tasa de interés de 15% anual.

70. Calcule el costo equivalente anual de una máquina que costó $73,000 y que tendrá un costo de salvamento de $10,000 después de 9 años. El costo de operación es de $21,000 en el primer año, $22,050 en el segundo y se va incrementando en un 5% cada año. Se requiere una tasa de retorno de 19% anual.

71. Halle el valor presente del siguiente flujo de caja, utilizando una tasa anual de interés de 16%.

$140

$100 │

$60 │ │

│ │ │

│ │ │

0 1 2 3 4 5 6 7 Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼─────────

│ │ │ │ │ │ │ │

$100 │ │ │ │ │ │ │

$130 │ │ │ │ │ │

$160 │ │ │ │ │

$190 │ │ │ │

$220 │ │ │

│ │ │

$310 │ │

$380 │

$450

72. Halle el valor presente en el tiempo 0 del flujo de caja siguiente. Suponga que el interés

es de 12% anual. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼──────

│ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ $340

│ │ │ │ │ │ │ $360

│ │ │ │ │ │ $380

│ │ │ │ │ $400

│ │ │ │ $420

│ │ │ $440

│ │ $460

│ $480

$500



73. Un ganadero de Matagalpa interesado en fomentar su ganadería se propone montar inicialmente 2 manzanas de pasto el primer año, 4 manzanas el segundo año, 6 manzanas el tercer año y así sucesivamente hasta completar 20 manzanas que tiene como meta. Los costos a precios constantes del año cero son de $900 por manzana y la tasa de interés es del 36% capitalizable trimestralmente. Construya el flujo de fondos y determine a)el valor presente, b) el valor futuro y c) La serie uniforme de costos anuales

74. Calcule el valor presente y la serie de costo anual equivalente a una tasa del 10% anual para el siguiente flujo de caja.

$700

200 │

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9│ 10 Años

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────

│ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ $300

│ │ │ │ │ │ │

$1,000 │ │ │ │ │ $800

$1,200 │ │ │ │

$1,400 │ │ $1,300

$1,600 │

$1,800

75. Encuentre el valor presente de los flujos de caja siguiente a 20% anual de interés.

$300 $300 $300 $300

$250 ┌────┬────┬────┬────┐ $250

$200 │ │ │ │ │ │ │ $200

$150 │ │ │ │ │ │ │ │ │ $150

$100 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ $100

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────────

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Año

76. La compañía Estruco se propone comprar una nueva pieza de equipo de construcción. El ingreso realizable es $15,000 en el primer año, $12,000 en el año dos, $9,000 en el año tres, y así sucesivamente. Si la compañía piensa vender el equipo después de 7 años y el interés es 15% anual, calcule el valor presente y la serie anual equivalente de los ingresos.

77. Calcule el valor presente y el valor futuro del flujo de caja a una tasa del 16% anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Año

├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼───────────

│ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │

│ │ │ │ │

│ │ │ │ $1,000

│ │ │ $1,500

│ │ $2,000

│ $2,500

$3,000

UNIDAD_2_MF_2011

Documents

Transcript of UNIDAD_2_MF_2011