INVESTIGACION OPERATIVA

MODELO DE REDES Existe un gran nmero de situaciones en investigacin de operaciones que se pueden modelar y resolver adecuadamente como redes (nodos conectados por ramas).A manera de ilustracin, considere las siguientes situaciones: 1. El diseo de una red de ductos de gas natural mar adentro, que conecta las fuentes en el Golfo de Mxico con un punto de entrega cerca de la orilla. El objetivo del modelo es minimizar el costo de construccin del ducto. 2. La determinacin de la ruta ms corta entre dos ciudades en una red de carreteras existente.

3. La determinacin de la capacidad mxima (en toneladas por ao) de una red de ductos de suspensin de carbn, que une las minas de carbn en Wyoming con las plantas de energa elctrica en Houston. (Los ductos de suspensin transportan el carbn bombeando agua a lo largo de ductos especialmente diseados.) 4. La determinacin del programa de flujo de costo mnimo de los campos petroleros a las refineras, a travs de una red de ductos. 5. La determinacin del programa de tiempo (fechas de inicio y de terminacin) para las actividades de un proyecto de construccin. La solucin de estas situaciones y de otras semejantes se logra por medio de una va-riedad de algoritmos de optimizacin de redes. Veremos cinco de estos algoritmos. 1. rbol de expansin mnima (situacin 1)

2. Algoritmo de la ruta ms corta (situacin 2)

3. Algoritmo del flujo mximo (situacin 3)

4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mnimo (situacin 4)

5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situacin 5)

Las situaciones para las cuales aplican estos algoritmos tambin se pueden formular y resolver como programas lineales explcitos. Sin embargo, los algoritmos propuestos, basados en redes, son ms eficientes que el mtodo simplex.

DEFINICIONES DE RED Una red consta de un conjunto de nodos unidos por arcos (o ramas). La notacin para describir una red es (N, A), en donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos. Como ilustracin, la red en la figura 3.1 se describe como N = {1,2,3,4,5} A = {(1,3), (1,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5))

Figura 3.1

Hay algn tipo de flujo asociado con cada red (por ejemplo, los productos de petrleo fluyen en una red de ductos y el trfico de automviles fluye en una red de carreteras). En general, el flujo en una red est limitado por la capacidad de sus arcos, que pueden ser finitos o infinitos. Se dice que un arco est dirigido u orientado si permite un flujo positivo en una direc-cin y un flujo cero en la direccin opuesta. Una red dirigida tiene todas las ramas diri-gidas. Una ruta es una secuencia de ramas distintas que unen a dos nodos, sin importar la direccin del flujo de cada rama. Una ruta forma un lazo o ciclo si conecta un nodo con si mismo. Por ejemplo, en la figura 3.1, las ramas (2,3), (3,4) y (4,2) forman un ciclo. Un lazo dirigido es un circuito en el cual todas las ramas estn orientadas en la misma direccin. Una red conectada es una en la cual cada dos nodos distintos estn unidos por lo menos por una ruta. La red en la figura 3.1 demuestra este tipo de red. Un rbol es una red conectada que puede incluir slo un subconjunto de todos los nodos de la red, mientras que un rbol de expansin une todos los nodos de la red, sin permitir ningn lazo. La figura 3.2 proporciona ejemplos de un rbol y de un rbol de expansin.

rbol rbol de expansin

Figura 3.2

Redes. Introduccin. La representacin de redes proporciona un panorama general ms poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes de los sistemas que se usa en casi todas las reas cientficas, sociales y econmicas. Uno de los mayores desarrollos recientes en la Investigacin de Operaciones, ha sido el avance en la metodologa de la aplicacin de los modelos de optimizacin de redes. Ejemplo prototipo. En fecha reciente se adjudic el rea Seervada Park para paseos pblicos y estada en campamentos. No se permite el acceso de automviles particulares, pero existen senderos para jeep y vehculos especiales conducidos por guardabosques. La red de senderos Se inicia en la entrada O y el parque tiene un mirador importante en T; los nodos intermedios A, B, C, D y E son paradas con instalaciones de servicios.

Figura 3.3 Esquema de la red de senderos del Seervada Park. La figura 3.3 esquematiza la red, donde fueron rectificadas las curvas de las aristas y los nmeros sobre las aristas indican las distancias reales entre nodos en kilmetros. Planteo del problema. En este momento la administracin se enfrenta a tres problemas: 1) Uno de ellos consiste en determinar que ruta, desde la entrada hasta el mirador T (importante), es la distancia total mas corta para operar los vehculos especiales de traslado. 2) Problema reside en que deben instalarse lneas de comunicacin subterrneas para establecer contacto entre todas las estaciones. La pregunta es por donde deben tenderse las lneas para que haya un mnimo de kilmetros instalados de cable, y 3) Problema es que en temporada pico, hay personas que quieren utilizar el transporte especial a la estacin T, por ser acompaados por guas. Pero para evitar el ataque a la ecologa y la vida salvaje, se ha racionalizado estrictamente el nmero de viajes. La pregunta es como planificar las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el servicio. El primero es un ejemplo de utilizacin del modelo de la ruta ms corta. El segundo es ejemplo del mtodo del problema del rbol de extensin mnima y el tercero es ejemplo del problema de flujo mximo.

1- Modelo del rbol de extensin mnima El algoritmo del rbol de extensin mnima se inicia al seleccionar un nodo arbitrarlo (puede ser cualquiera) para luego conectarlo con el ms cercano de la red (que defina la rama de longitud mis corta). Los dos nodos forman un conjunto conectado C y los

nodos restantes no conectados (C ), el complemento de C es (C ). A continuacin, el nodo del conjunto no conectado C que sea el ms cercano a C, se incorpora a este conjunto. El proceso se repite hasta que el conjunto no conectado quede vaci. En caso de haber ms de un nodo como ms cercano, se analiza cual de ellos conduce al rbol de menor extensin. De haber una igualdad en la longitud total, situacin conocida como de soluciones ptimas mltiples, se elige arbitrariamente. Ejemplo 1 ARBOL DE EXTENSIN MINIMA La administracin de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las comunicaciones para conectar todas las estaciones con una longitud total mnima de cable. Dada la red indicada en el paso a, se selecciona O como modo inicial.

El nodo no conectado ms prximo a O es A. Se conecta el nodo A con el nodo O, a. quedando

El nodo mas cercano a {OA} es el nodo B. Se conecta el nodo B con el A. b.

El nodo no conectado mas cercano a {O,A,B} es el nodo C. Se conecta el nodo C con el B. c, quedando

El nodo no conectado mas cercano a {O,A,B,C} es el nodo E. Se conecta el nodo E con el B. d, quedando

El nodo no conectado mas cercano a {O, A, B, C, E} es el nodo D. Se conecta el nodo D con el E. e, quedando

El nico nodo no conectado es el nodo T. Se conecta el nodo T con el D. f, dando

Todos los nodos han sido conectados, por lo que sta es la solucin ptima que se buscaba. La longitud total es de 14 Km.

Ejemplo 2 Una compaa de video cable est planificando una red para dar servicio de cable a nuevas reas de desarrollo habitacional. La figura 3.4 indica la red del sistema y los nmeros sobre los arcos, Las longitudes que demanda dar tendido de cable para conectar los nodos. El nodo 1 representa La estacin central y del 2 al 6 los nodos de las reas en desarrollo. Se necesitan determinar los enlaces que originan el uso mnimo de cable y a la vez que todas las reas, directa o indirectamente, se conecten al nodo 1 de la estacin central.

La solucin grfica se resume en La figura 3, mediante iteraciones. El procedimiento puede iniciarse en cualquier nodo, terminando siempre con la misma solucin ptima. Es lgico, en este caso empezar en el nodo 1, lugar de ubicacin de la estacin central de TV.

En el primer paso, tenemos: C ={ 1 } y o C = {2,3,4,5,6}. 1ra iteracin: el nodo 1 est conectado al nodo mas prximo 2 que pertenece al conjunto

C = {2,3,4,5,6}, ya que el mnimo {1,5,7,9} =1 en conclusin queda: C ={1,2} y C = {3,4,5,6}.

2da iteracin: los nodos 1 y 2 tienen al 5 como el mas prximo, quedando ahora:

C = {1,2,5} y C ={3,4,6}. 3ra iteracin: los nodos 1, 2 y 5 tienen al 4 como ms prximo, quedando ahora:

C ={1,2,5,4} y C = {3,6}. 4ta iteracin: los nodos 1, 2, 5 y 4 tienen al 6 como ms prximo, queda:

C ={1,2,5,4,6} y C ={3}. 5ta iteracin: los nodos 1, 2, 5, 4 y 6 tienen dos alternativas vlidas: (1,3) (4,3), ya que la

distancia es la misma (5 Km.). Finaliza el proceso y C{1,2,5,4,6} y C ={f }.Todos Los nodos quedan conectados. La longitud mnima es:

(1,2) + (2,5) + (2,4) + (4,6) + (1,3) (4,3) = (1 + 3 + 4 + 3 + 5) km = 16 km.

Ejercicio para el alumno: Resuelva el mismo problema mediante el uso del nodo 4 como el conjunto conectado inicial.

2- Modelo del problema de la ruta mas corta

El problema genrico del mtodo de La ruta ms corta tiene como objetivo la determinacin de los arcos conectados en una red de transporte, que constituyen en conjunto, la distancia ms corta entre una fuente y un destino. Presentaremos algunos ejemplos de aplicacin y luego los algoritmos de solucin. Ejemplo 1 La administracin del Seervada Park necesita ahora encontrar La ruta ms corta desde la entrada 0 (nodo 0) hasta el mirador T (nodo 1) a travs de caminos que se indican en La grfica de la figura 3.5.

Figura 3.5 Esquema de La red de senderos del Seervada Park.

Para mejor clarificacin del problema. planteamos La siguiente tabla sintetizada: n

N de iteraci

n

Nodos resueltos conectados directo a no resueltos

Nodo no resuelto ms cercano al conectado

Distancia total involucrada

n-simo nodo ms cercano

Distancia

mnima

ltima conexin

1 O A[min. {2.5,4}] 2 A 2 OA 2 3

O A

C[min.{4,5}] B[min.{2,7}]

4 2+2

C B

4 4

OC AB

4 A B C

D E E

2+7=9 4+3=7 4+4=8

E 7 BE

5 A B E

D D D

2+7=9 4+4=8 7+1=8

D D

8 8

BD ED

6 D E

T T

8+5=13 7+7=14

T 13 DT

La primera columna (n) indica el nmero de iteracin. La segunda columna da una lista de los nodos resueltos en el proceso iterativo anterior y sirven para comenzar la iteracin actual, despus de excluir los que no son de utilidad por no tener conexin con los nodos resueltos. La tercera columna formula los posibles nodos de conexin con el n-simo nodo mas cercano. La cuarta columna calcula la distancia acumulada de la ruta ms corta desde el origen 0 y la quinta columna indica el nodo ms cercano. Las dos ltimas columnas resumen informacin para pasar al proceso iterativo siguiente (La ruta ms corta y la ltima rama). Resumiendo, La ruta ms corta desde el destino al origen se rastrea al revs:

T D E B A O T D B A O tenemos dos opciones de 13 Km. De cualquiera de las rutas:

O A B E D T O A B D T

Ejemplo 2 Una compaa para rentar coches est planificando el reemplazo de su flota para los prximos 5 aos. Un automvil para que sea considerado de reemplazo tiene que tener por lo menos un ao de servicio. La tabla 1 sintetiza el costo de reemplazo por unidad (en unidades de costo) como funcin del tiempo y el nmero de aos. El costo incluye la compra, prima de seguro, operacin y mantenimiento.

Ao de reemplazo

Ao de adquisicin 1 2 3 4 5

1 ---- 4.0 5.4 9.8 13.7 2 ---- ---- 4.3 6.2 8.1 3 ---- ---- ---- 4.8 7.1 4 ---- ---- ---- ---- 4.9

Tabla 1. Diagrama de costo por unidad. Representado por medio de un grafo o red (figura 3.6), cada ao de reemplazo est evidenciado por un nodo. La longitud del arco que une dos nodos es igual al costo de reemplazo asociado a

la tabla. El problema se reduce a determinar la ruta ms corta (que involucra la de menor costo de inversin).

Figura 3.6. Red de diagrama de costo por unidad

4 5 4,0+4,3+4,8+4,9= 18,0 3 5 4,0+4,3+7,1= 15,4 1 2 4 5 4,0+6,2+4,9= 15,1 5 4,0+8,1=12,1 4 5 5,4+4,8+4,9=15,1 1 3 5 5,4+7,1=12,5 1 4 5 9,8+4,9=14,7 1 5 13.7 La solucin ptima producir la ruta: 1-2-5, con un costo total de 12,1 unidades de costo. Esto quiere decir que cada automvil debe reemplazarse al segundo ao de uso y desecharse al quinto ao.

Ejemplo 3 Una persona tiene que conducir todos los das desde su casa hasta su lugar de trabajo. Por medio de un grfico podemos determinar la ruta ms corta para cumplir el trayecto. Pero dado a que su manejo es deficiente, permanentemente es multado por las infracciones que comete, encareciendo por este motivo el costo de su traslado. El control municipal se hace intensificando en las arterias de mayor fluencia; razn por la cual la probabilidad de ser sancionado puede variar segn el camino que adopte. Esto hace pensar que el camino mas corto, quizs no sea el mas econmico. Observando todos los arcos posibles que sean factibles de ser utilizados, se estimaron las probabilidades de no ser penado por infracciones. Por ejemplo, para ir de 1 a 3 , tiene una probabilidad del 90% de no ser sancionado, siendo a primera fase mas conveniente que de 1 a 2 que es del 20%. Escoger el camino que maximice La probabilidad de no ser detenido por el control municipal.

Por ejemplo, La probabilidad asociada con la ruta 1,2,3,5,7 viene dada por (0,2).(0,6).(0,3).(0,25)=0,009 0,9% El modelo de conversin de 1 a C sera:

p1,c = p1* p2* p3... pc = Cc

nnp

1=,

que es la probabilidad de no ser detenido en la ruta especifica (1,c). Aplicando logaritmos, tenemos:

Log p1,c =Iog p1 +log p2 + log p3 ...+ log pc = =

c

nnp

1

log

Una maximizacin de P 1,c es equivalente a maximizar log P 1,c y en consecuencia a

maximizar =

c

nnp

1

log y lo que es lo mismo minimizar =

-c

nnp

1

log

Segmento de camino (i,j) Pij log pij - log pij (1,2) 0.2 -0.69897 0.69897 (1.3) 0.9 -0.04576 0.04576 (2,3) 0.6 -0.22185 0.22185 (2,4) 0.8 -0.09691 0.09691 (3.4) 0.1 -1.00000 1.00000 (3.5) 0.3 -0.52288 0.52288 (4.5) 0.4 -0.39794 0.39794 (4,6) 0.35 -0.45593 0.45593 (5,7) 0.25 -0.60206 0.60206 (6.7) 0.5 -0.30103 0.30103

Los caminos posibles desde el origen 1 al destino 7 son:

(4,6) (6,7) 1.55284 (2,4) (4,5) (5,7) 1.79588

(1,2) (4,6) (6,7) 2.67778 (2,3) (3,4) (4,5) (5,7) 2.92082 (3,5) (5,7) 2.04576 (4,6) (6,7) 1.80272 (3,4)

(1,3) (4,5) (5,7) 2.04576 (3,5) (5,7) 1.1707

Min [-log p1,7] = 1.1707 max [log p1,7]=-1,1707 p1,7 = 0.0675. Esto significa que la probabilidad mxima de no ser detenido por el control es de slo 6.75%

3- Modelo del problema de flujo mximo El problema que enfrenta la administracin de Seervada Park durante la temporada pico es determinar las rutas de algunos viajes de vehculos especiales desde la entrada del parque (nodo O) al mirador (nodo T) de manera que el nmero de viajes diarios sea mnimo. Como cada vehculo retorna por la misma va del sendero que tom en la ida, se analiza solamente a los viajes de ida. Para evitar perturbaciones innecesarias a la ecologa y a la vida silvestre se impusieron limites superiores estrictos sobre el nmero de viajes de ida permitidos en cada sendero. Indicamos con flecha el viaje de ida y el nmero que aparece en la base de la flecha da el limite superior para ese camino en la direccin de la salida de la estacin. Dada la informacin de los limites mximos de circulacin, una solucin factible puede ser: enviar 5 vehculos al da por la ruta 0 B E T; 1 vehculo por la ruta 0 B C E T y 1 usando la ruta 0 B C E D T, alcanzando en total 7 unidades por da. Pero esta solucin factible bloquea el uso de cualquier ruta, debido a que las capacidades de E T y E D estn saturadas. Es necesario considerar muchas combinaciones de rutas para encontrar las rutas que maximicen el nmero de viajes al da. Este tipo de problema se conoce como problema de flujo mximo.

Consideremos una red dirigida y conexa que tiene un solo nodo fuente (nodo O) y un solo nodo destino (nodo T) y el resto de ellos se los suele llamar nodos de trasbordo. Dada la capacidad de los arcos, el objetivo es determinar el flujo factible a travs de la red que maximiza el flujo total desde el nodo fuente al nodo destino. El algoritmo que se utiliza se basa en dos conceptos, el de una red residual y el de una trayectoria aumentada. Una vez que se ha asignado flujos en los arcos de la red original, se transcribe al pie del arco el valor residual que queda disponible de acuerdo a su capacidad. La red residual muestra las capacidades disponibles (llamadas capacidades residuales) para asignar flujos adicionales. Por ejemplo, el arco OB tiene una capacidad de arco mximo de 7. Si necesitamos, por estar asignado un flujo de 5 a travs de este arco, dejar una capacidad residual de 7-5 = 2 para cualquier asignacin adicional en el futuro. Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema del flujo mximo. 1) Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida desde el nodo origen al nodo destino en la red residual, tal que cada arco de la trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva o nula; 2) Se identifica la capacidad residual C* de esta trayectoria de aumento encontrando el mnimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en C* el flujo de esta trayectoria, y, 3) Se disminuye en C* la capacidad residual de cada arco. Se aumenta en C* la

capacidad residual de cada arco en La direccin opuesta a la trayectoria. Iteracin 1: en el grfico 1, una de las trayectorias de aumento es 0BET, que tiene una capacidad residual igual a min.{7.5,6}=5 (aplicacin ver grfico 2).

O B 2 5

5

4

5

4

5

Iteracin 2: se asigna un flujo de 3 unidades a la trayectoria de aumento

0BET. La red queda resuelta en el

grfico 3. Iteracin 3: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento 0ABDT. La red queda resuelta en el grafico 4.

Iteracin 4: se asigna un flujo de 2 a la trayectoria de aumento 0BDT. La red queda resuelta en el grafico 5.

Grafico 5

8

9

2

3

4

0

8

2

1

4

0

11

11

4

0

1

Iteracin 5: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento 0C EDT. La red queda resuelta en el grfico 6.

Iteracin 6: se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento 0C ET. La red queda resuelta en el grfico 7 .

Ya no existen trayectorias de aumento por lo que el patrn de flujo actual es ptimo. Problema de la ruta de flujo mximo. Un nodo fuente v un nodo destino se encuentran relacionados por medio de un grafo o red de capacidad finita. La red es unidireccional cuando el flujo comienza en el nodo fuente y sale en el nodo destino. Sin embargo una rama a arco puede tener dos capacidades distintas; si el flujo circula del nodo i al nodo j o si el flujo circula de j a i. Si consideramos un problema de trnsito por una calle, sta puede ser de mano nica (unidireccional) o, si tiene ambas manos, puede tener diferentes capacidades de flujo. Un ejemplo de flujo mximo es la conexin de un nmero de refineras vinculadas por medio de oleoductos a las terminales de distribucin. En los oleoductos estn montadas unidades de bombeo, que impulsan los productos derivados de la destilacin del petrleo hasta las terminales de distribucin. El objetivo es maximizar el flujo entre las refineras y las terminales de distribucin, dentro de los limites de capacidad de las refineras, los oleoductos y la demanda.

12

1

12

4

2

2

13

13

7

6

EL mtodo slo necesita un nodo fuente (como el 0) y un nodo destino (coma el 9). Las capacidades de las aristas que parten del nodo 0, se pueden considerar como iguales a la produccin de las distintas destileras (1, 2 y 3). Por atra parte, las capacidades de las ramas que van de las terminales de distribucin al nodo destino 9, se pueden considerar como las demandas de petrleo. Las ramas tienen capacidad positiva (unidireccional), por circulacin en un solo sentido. En las estaciones de bombeo 4, 5 y 6. el flujo puede circular en cualquier direccin, con capacidades distintas, dependiendo del disea de la tuberia.

Figura 3.5. Red de oleoductos. Se utiliza una notacin para representar el flujo bidireccional de una rama que vincula el nodo i con el j.

La notacin (a, b) significa que la capacidad de flujo de i a j es a y de j a i es b. Por ejemplo, las capacidades entre el nodo 0 (fuente) y las refineras 1, 2 y 3 se representan como (c1,0), (c2,0) y (c3,0), donde c1, c2 c3, son las capacidades (por unidad de tiempo) de las refineras 1, 2 y 3. La idea bsica del algoritmo de flujo mximo es encontrar una trayectoria de penetracin que conecte el nodo fuente con el nodo destino, en forma tal que la capacidad de cada rama sea positiva.

[ ][ ]

-++-

}2*){*,(}1*){*,(

),(cbcacbca

ba {1} si el flujo de (i ,j) es de i a j. {2} si el flujo de (i ,j) es de j a i.

El flujo mximo a lo largo de esta trayectoria debe ser igual a la capacidad mnima c*, de todas las ramas que constituyen la trayectoria. La modificacin c* se ha comprometido. El proceso se repite hasta obtener que no sean posibles mas trayectorias de ese tipo, entre la fuente y el destino. El flujo mximo es igual a la suma de los valores de c* determinados en sucesivas iteraciones.

Fuente Destino

a

b

Ejemplo 2 de flujo mximo

Consideremos el sistema representado por el grfico (3.6) siguiente, donde nicamente la rama (3,4) tiene capacidad en ambas direcciones.

Comenzando con el nodo 0, podemos seleccionar para conectar con este nodo, a los nodos 2, 3 4. Se elige, de acuerdo al principio heurstica, aquella rama de capacidad mxima rama elegida = mx.{20, 30, 10) = 30. Etiquetamos el nodo 3 con [30,1], que representa la capacidad de flujo = 30, de la rama recin conectada con el nodo 0. Este ltimo nodo tiene la etiqueta [,-], que indica una capacidad inicial infinita sin nodo precedente. A continuacin, el nodo 3 podemos conectarlo al 4 o al 5 (capacidad mxima = 10, por sentido de 3 4, y capacidad mxima = 20, de 3 5. De acuerdo al principio heurstico conectamos el 3 con el 5. Ahora se tiene la llamada trayectoria de penetracin de sentido 135. El flujo mximo de circulacin en esta trayectoria evaluado a partir de las etiquetas en esos nodos es c* = min. {, 30, 20) = 20. La figura II muestra el ajuste que refleja un flujo comprometido c* = 20. Esto es, cambiamos (30,0) de la rama 13 a (10,20) y la rama 35 de (20,0) a (0,20). El procedimiento se repite para los flujos modificados de la figura II. Cada nodo es etiquetado solamente por etapas (no puede modificarse en la misma etapa). En el grfico II, la trayectoria sigue los siguientes nodos 12345 los cuales estn etiquetados como [,-], [20,1], [40,2], [10,3] y [20,4] respectivamente.

[,-]

C* = 10

[,-]

C* = 20

II

[20,1]

El flujo mximo a lo largo de esta trayectoria de penetracin es c* = min. {20, 40, 10, 20) = 10. dando los resultados del grfico III. En esta figura III, la trayectoria de penetracin puede ser 125 con c* = 10. Pero se observa que 145 tiene el mismo flujo correspondindole el mismo valor c* = 10. Se adopta la primera de las trayectoria mencionadas manteniendo de esta forma un orden cclico.

Elegimos la trayectoria de penetracin 1325. Se aclara que, al llegar al nodo 3 tiene

bloqueada la salida al nodo 4 y el 5. Es por ello que del 3 retrocede al 2 y de all va al nodo destino 5, figura IV. El proceso de retroceder se aplica mientras tengamos capacidad para hacerlo (trayectoria de penetracin). En las etapas siguientes se repite el proceso hasta que no exista trayectoria de penetracin.

Para la prxima etapa, figura V, queda como posible trayectoria 145 ,con c* = 10. La figura VI corresponde al diseo final, de todas las posibilidades saturadas.

Podemos as obtener un flujo ptimo en la red, restando los flujos modificados (a*,b*) en la figura VI del flujo original (a, b) de la figura I. Si (a-a*)>0, se tendr un flujo de (a-a*) en la direccin i j. Si (b-b*)>0, se tendr un flujo de (b-b*) en la direccin j i. Es imposible que (a-a*) y (b-b*) sean positivos simultneamente. El flujo mximo en la red es la suma de los flujos que llegan al destino 5 provenientes de la fuente 0. En este ejemplo da un valor de 60. Este procedimiento est esquematizado en el grfico VII.

4.- Modelo del problema de flujo capacitado (Restringido) de costo mnimo

Este modelo resulta muy importante entre los modelos de optimizacin de redes, ya que abarca mayor cantidad de aplicaciones y adems su solucin es eficiente.

Como casos especiales.,el problema del flujo con capacidad modificada o flujo capacitado, de costo mnimo, representa una clase general de los problemas de transporte, trasbordo, asignacin y mximo flujo. El problema del flujo restringido de costo mnimo generaliza el modelo del flujo mximo (Caso 3) en cuatro aspectos.

1. Todos los arcos son direccionales (un sentido). 2. Un costo de flujo por unidad (no negativo) est asociado con cada arco. 3. Los arcos pueden tener limites positivos de capacidad inferior. 4. Cualquier nodo en La red puede actuar como un punto de origen o un pozo.

El nuevo modelo determina los flujos en los diferentes arcos que minimizan el costo total, al mismo tiempo que satisface las restricciones del flujo en los arcos y las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos. Primero presentamos el modelo del flujo de red restringido y su formulaci6n equivalente de programacin lineal. Despus, La formulacin de la programacin lineal se utiliza como la base para el desarrollo de un especial algoritmo simplex restringido para resolver el modelo del flujo de la red.

Representacin de la red Considere una red restringida G = (N, A ), donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos y defina

X i j = cantidad del flujo del nodo i al nodo j u i j (l i j ) = capacidad superior (inferior) del arco (i,j) c i j = costo del flujo por unidad del nodo i al nodo j = flujo neto en el nodo i La figura representa estas definiciones en el arco (i,j). La clasificaci6n [fi] asume un valor positivo (negativo) cuando una oferta (demanda) neta se asocia con el nodo i.

Ejemplo 1

Una empresa elabora un compuesto qumico bsico para la fabricaci6n de pinturas. La empresa tiene 2 (dos) plantas y ha firmado contrato con dos proveedores de materias primas. Los contratos de entrega de materias primas estipulan un suministro mnimo de 500 y 700 toneladas por mes de parte de los proveedores 1 y 2, siendo los precios de suministro de $ 200 y $ 210, respectivamente. Se necesita 1,2 toneladas de materia prima pan fabricar una tonelada del compuesto qumico bsico. Adems los costos del transporte par tonelada de materia prima resulta de acuerdo al siguiente detalle:

Proveedor de materia prima Traslado a planta N0 1 [$] Traslado a planta N0 2 [$]

1 10 12 2 9 13

Las capacidades de produccin y el costo por tonelada en las 2 (dos) plantas viene dada por:

Planta N Costo de produccin /ton.$ Capacidad Mnima

(ton.) Capacidad

Mxima (ton.) Demandas Mensuales

1 25 400 800 660 ton. 2 28 450 900 800 ton.

Los costos de transporte por tonelada entre las plantas y los centros de distribucin son los siguientes:

Costo de transporte / ton. Planta Distribuidor 1 Distribuidor 2

1 3 4 2 5 2

Vamos a representar por medio de una red, figura 3.6, el modelo que representa el problema.

El nodo fuente es el nodo 1, y los nodos de destino son los de distribucin 8 y 9.

Las ramas 1 2 y 13 representan los dos proveedores 1 y 2 de materia prima. Estas ramas tienen capacidades mnimas de 500 y 750, pero no mximas (simbolizamos con ). Los precios de compra son $ 200 y $210 por tonelada, respectivamente. Las ramas 46 y 57, son las capacidades produccin de las plantas 1 y 2 que tienen valores de mxima y de mnima indicados en el grfico. Finalmente, a travs de las ramas de transporte 68 , 69, 78 y 79 se conectan a los nodos 89. Las demandas en los nodos de distribucin 8 y 9 estn representadas por [-660] y [-800], respectivamente. La oferta en el nodo fuente se especifica como (F]. Para que el problema de una solucin factible la oferta debe ser igual a la demanda total. Debe tenerse en cuenta el hecho de que los proveedores en la oferta estn tratando con toneladas de materia prima, mientras que en los centros de distribucin estn tratando con toneladas del compuesto qumico. Esta discrepancia se corrige utilizando un factor de 1,2 para convertir la materia prima en compuesto qumico equivalente (dato del problema). Las nuevas capacidades de las ramas 12 y 13 deben reemplazarse por [500 * 1,2, ] y [750*1.2, ]. Una escala similar se aplica a los costos de transporte. Finalmente, con esta conversin podemos especificar la demanda en:

660 + 800 = 1460 toneladas Ejemplo 2 Planteo del problema. La distribuidora Unlimited Co. fabricar el mismo nuevo producto en dos plantas distintas (F1 y F2) y despus tendr que enviarlo a dos almacenes de distribucin (A1 y A2). Cualquiera de las dos fabricas puede abastecer a cualquiera de los almacenes. El centro de distribucin est simbolizado CD. En La figura 3.8 se indican las cantidades producidas por F1 y F2 y las cantidades demandadas en A1 y A2. Entonces, por ejemplo, F1 puede enviar directamente a A2 por intermedio de 3 rutas factibles, como ser: F1CDA2 ; F1F2CDA2 y F1A1A2.

En cambio F2 tiene un solo camino a A2; F2CDA2,y F2 tiene tambin una sola ruta a A1: F2CDA2A1.

En cada arco se tiene indicada el costo por unidad a travs de cada canal .Adems. de F1F2 y CD A2,

se muestran las cantidades mximas que se pueden enviar por estos canales de distribucin.

Figura 3.7. Problema de dos plantas, un centro de distribucin v dos almacenes.

Los otros canales tienen suficiente capacidad para fluir todo lo que las fbricas puedan enviar. La decisin que debe tomarse se refiere a cuanto tengo que enviar a travs de cada canal de distribucin, para minimizar el costo total de envo? Formulacin como un problema de programacin lineal. Como son 7 canales de envo, se necesitan 7 variables de decisin, como: X1 unidades que fluyen de F1 F2 con un mximo de 10 unidades. X2 unidades que fluyen de F1 CD. X3 unidades que fluyen de F1 A1. X4 unidades que fluyen de F2 CD. X5 unidades que fluyen de CD A2 con un mximo de 80 unidades. X6 unidades que fluyen de A1 A2. X7 unidades que fluyen de A2 A1. Las restricciones son: X110 y X580, impuestas por la capacidad limitada de los canales F1F2 y CDA2. Las otras restricciones nacen de las condiciones de no negatividad para cada variable. El modelo de programacin queda expresado como:

min. f( X ) = min. f (X1 , X2, X3,. . . , X7) = =min.(200.X1+400.X2 +900.X3 +300.X4 +100.X5 +300.X6 +200.X7)

X1+ X2+ X3 =50 Fbrica1 -X1+ X4=40 Fbrica2 -X2 +X4 +X5 =0 Centro de distribucin -X3 +X6 - X7 =-30 Almacn 1 -X5 -X6 +X7=-60 Almacn2 con las restricciones de cota superior: X110 y X580, y las restricciones de no negatividad: Xi 0 " i = 1,2,3,4,5,6 y 7.

Ejemplo 3

El ltimo caso especial que se considerar es el problema del flujo mximo ya descripto anteriormente. La red posee un nodo origen 0 y un nodo destino T y varios nodos de trasbordo, al igual que varios arcos y capacidades asociadas. Solo se necesitan 3 ajustes para que sea formulado coma problema de costo mnimo.

Uno es fijar (costo por unidad de flujo a travs del arco ij) para todos los arcos existentes para completar la ausencia de costos en el problema de flujo mximo. Otro es elegir una cantidad F que sea una cota superior segura sobre el flujo mximo factible a travs de la Red y despus asignar una cantidad de recursos y de demanda a F en los nodos de recursos y de demanda respectivamente. Todos los nodos de trasbordo son automticamente de bi =0, siendo bi el flujo neto generado en el nodo i ( si bi0, i es un nodo fuente; si bi

Todas las Cij = 0 y los valores de uij se dan junto a los arcos.

La aplicacin de esta formulacin al problema de flujo mximo conduce a la red II en el problema del parque Seervada Park, donde los nmeros en los arcos son sus capacidades. Formulacin del modelo Considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen (recursos) y al menos un nodo destino (demanda). Las variables de decisin son Xij, flujo a travs del arco i =j y la informacin dato incluye: Cij= costo por unidad de flujo a travs del arco i j uij = capacidad del arco i j. bi= flujo neto generado en el nodo i. El objetivo es minimizar el costo total de enviar los recursos a travs de la red para satisfacer la demanda dada. Usando la convencin de que Las sumas se toman solo sobre arcos existentes, la formulacin del modelo de programacin lineal es:

Minimizar r ==

=n

ijiji

n

i

XCZ1

,,1

,. sujeto a:

==

=-n

iiij

n

iji bXX

1,

1, i" jiji uX ,,0 jiarco "

La primer sumatoria de La restriccin representa el flujo total que sale del nodo i, mientras que la segunda sumatoria representa el flujo total que entra al nodo i y la diferencia es el flujo neto generado en i. En algunas aplicaciones, es necesario tener una cota inferior Lij >0 para el flujo que circula a travs del arco i j. Cuando esto ocurre se hace una traslacin de variables Xij=Xi,j+i,j, donde Xi,j se sustituye por Xi,j +Li,j en ese modelo, con el fin de ajustar al formato anterior de restricciones de no negatividad. No puede aseverarse que el problema posea soluciones factibles. Depender en parte de que arcos se tienen en la red y de las capacidades asociadas a cada arco.

Una condicin necesaria para que el problema de flujo de costo mnimo tenga

soluciones factibles es que =

=n

jjib

1, 0 , es decir, ei flujo total generado en todos los nodos

origen es igual al flujo total absorbido por los nodos destino Se aclara que para los problemas del flujo de costo mnimo, en todas las bi y u i,j, tienen un valor entero y las variables bsicas en cada solucin factible (incluida la ptima) tendrn tambin valores enteros.