UNIDAD 1DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Frecuentemente las observaciones que se generan en experimentos estadísticos tienen algunos tipos generales de comportamiento, por eso sus variables se pueden describir esencialmente con unas pocas distribuciones, las cuales pueden representarse mediante una ecuación.

Frente a la complejidad de los fenómenos bajo estudio, el experimentador aproxima y hace algunos postulados tentativos acerca del mecanismo aleatorio y deriva un modelo por el empleo de esos postulados en combinación con las leyes de probabilidad.

Un modelo de probabilidad para la variable aleatoria X es una forma específica de distribución de probabilidades que es asumida para reflejar el comportamiento de X. Las probabilidades son registradas en términos de parámetros desconocidos que relacionan las características de la población y el método de muestreo.

“EL MODELO DEBE SER COHERENTE CON LA REALIDAD”

En esta unidad se examinarán detalladamente algunas distribuciones específicas de probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. Pero dichas distribuciones son teóricas porque sus funciones de probabilidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen válidas para esos fenómenos aleatorios.

Dichas distribuciones son idealizaciones del mundo real, por lo tanto sus resultados no siempre coinciden con la realidad.

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Dicho de otra forma, una variable aleatoria es una función valorada numéricamente, cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, según su rango de valores.

Una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es contable; generalmente puede asumir únicamente valores enteros. Cada uno de sus valores tiene cierta probabilidad.

La descripción del conjunto de posibles valores de X y la probabilidad asociada a cada uno se denomina distribución de probabilidad. Si la variable puede tomar un número

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pequeño de valores, la forma más simple consiste en construir una tabla que contenga los posibles valores y sus respectivas probabilidades; si no son pocos, lo más adecuado es expresar dicha probabilidad como una ecuación.

EJEMPLO 1.1.

Se lanza una moneda 3 veces. Construir la distribución de probabilidad de X, si éste es el número de caras.

Solución:

x 0 1 2 3f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Siempre que se evalúen variables aleatorias, se cumple que:

1. f(x) ≥ 02. f x( ) 1

3. p(X=x) = f(x)

EJEMPLO 1.2.Un embarque de 8 microcomputadores similares que se envía a un distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estos computadores, encuentre la distribución de probabilidades para el número de computadores defectuosos

Solución:

p(X=0) = 5/8 * 4/7 = 10/28p(X=1) = 5/8 * 3/7 * 2 = 15/28p(X=2) = 3/28

Por lo tanto, la distribución de probabilidades puede expresarse así:

x 0 1 2f(x) 10/28 15/28 3/28

Dicha distribución puede representarse mediante un diagrama de barras, teniendo en cuenta que se trata de una variable discreta.

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EJEMPLO 1.3.Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Cierto estudiante trata de adivinar las respuestas; haga una distribución de frecuencias para el número de respuestas correctas.

Solución:

Además, puede hablarse de una distribución acumulada de dicha variable; ésta se denota como F(X), indica la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico y está dada por:

F(X) = p(X≤x) = p(X)

EJEMPLO 1.4.La producción diaria de 850 partes manufacturadas contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Del lote se escogen dos partes al azar; si X es el número de partes que no cumplen los requerimientos del cliente, hallar F(X=1).

Solución:

F(1) = P(X=0) + P(X=1) = 800/850*799/849 + 800/850*50/849*2 = 0.997

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

1. Distribución Uniforme Discreta: Es la más simple. Se aplica a un experimento que puede ocurrir de n formas mutuamente excluyentes y cada una de esas formas tiene la misma probabilidad de las otras; por tanto, cada probabilidad es 1/n.

EJEMPLO 1.5.Se diseña un generador de números seudoaleatorios. ¿Cuántos cincos se esperaría obtener si se generan 10000 números?

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Solución:

P(X = 5) = 1/10

Por lo tanto, el número esperado de cincos es 10000*1/10 = 1000

2. Ensayos Bernoulli: Consideraremos repeticiones sucesivas de un experimento u observación en la cual cada repetición es llamada un ensayo. Además, asumimos que hay sólo 2 entradas posibles para cada ensayo individual (éxito-fracaso); el uso de esos términos es por conveniencia, pero no tienen la misma connotación de la vida real (éxito es lo que interesa, no necesariamente lo que convenga); por ejemplo, en un accidente el número de muertos puede ser considerado un éxito.

La naturaleza de los resultados de un experimento proporciona un punto de partida conveniente para desarrollar modelos de probabilidad de variables aleatorias que son definidas en términos de repeticiones de ensayos; dichos ensayos son realizados bajo una serie de condiciones que llamaremos postulados (son aproximados y proporcionan modelos simples y útiles). Los ensayos que obedecen esos postulados son llamados ensayos de Bernoulli.

Ejemplo clásico: Lanzamiento de una moneda.

Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que tomamos elementos al azar con reemplazo o a poblaciones conceptualmente infinitas (como las piezas que producirá una máquina), siempre que el proceso generador sea estable.

Llamemos

Población

A: Característica de interés. B: Característica de no interés.

Si se extrae un elemento al azar y ese elemento posee la característica de interés se dice que se obtuvo un éxito; en caso contrario, se dice que se obtuvo un fracaso.

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Siempre p + q = 1

Sea x el número de elementos que poseen la característica de interés; x = 0,1

x 0 1f(x) q p

Entonces:

3. Distribución binomial:Cuando un número fijo n de ensayos repetidos de Bernoulli es realizado con probabilidad de éxito p en cada ensayo, es decir, la probabilidad de un éxito permanece constante.

Además, debe cumplirse que los ensayos sean independientes.

Por ejemplo, supóngase que se resuelve al azar un examen de escogencia múltiple y se quiere encontrar la probabilidad de ganarlo.

La función de probabilidad binomial puede escribirse como:

,

A continuación se muestra la representación gráfica de una distribución binomial con valores de n y p determinados:

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EJEMPLO 1.6.Se sabe que los discos producidos en una empresa salen defectuosos con probabilidad, independientemente unos de otros, de 0.01. La compañía vende los discos en paquetes de 10 y garantiza el reembolso del dinero si más de uno de 10 discos sale defectuoso. ¿Cuál es la proporción de paquetes que se devuelven? Si alguien compra 3 paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva por lo menos uno de ellos?

Solución: P(X>1) = 1 – P(X=0) - P(X=1)

Lo cual implica que el 0.4% de los paquetes podrán ser devueltos.

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De lo anterior se deduce que el número de paquetes que puede devolver la persona constituye una variable aleatoria binomial con n = 3 y p = 0.0043.

Por lo tanto, la probabilidad de que devuelva por lo menos uno de los paquetes es:

P(X1) = 1 – P(X=0) = 1 – 0.9963 = 0.012

Media y varianza de la distribución binomial: Media = np Varianza = npq

Para justificar estas fórmulas, consideremos el caso en que n=1. Recordemos que en un ensayo de Bernoulli, la media es p y la varianza es pq:

Para el caso de n ensayos de Bernoulli:E(X) = E(X1)+.........+E(Xn) = p+p+......+p = np

Lo mismo se aplicaría para varianza

Otra forma: Partir de E(X) = Σxf(x) y utilizar la función de probabilidad binomial.

En todos los libros de Estadística se encuentran tablas de la distribución binomial para valores seleccionados de p. Para ilustrar su uso, veamos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 1.7.Un examen de selección múltiple contiene 20 preguntas, cada una con cuatro posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que un estudiante sólo adivina las respuestas.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente más de la

mitad de las preguntas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente menos de

5 preguntas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante gane el examen?d) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas?e) Responder las preguntas a) y c) si cada pregunta tiene 5 opciones.

Solución:

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p = ¼ n = 20

a) P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9961 = 0.0039

b) P(X<5) = P(X4) = 0.4148

c) P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9991 = 0.0009

d) = np = 20 * ¼ = 5 respuestas correctas

e) La probabilidad de éxito sería ya de 1/5, por tanto:

P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9994 = 0.0006

P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9999 = 0.0001

4. Distribución hipergeométricaComo el muestreo sin reemplazo viola las condiciones de Bernoulli si la muestra no es grande, algunas veces es necesario plantear un tipo diferente de distribución. (Es evidente que la mayoría de muestreos se realiza sin reemplazo, esto implica que si la población es pequeña las probabilidades cambiarán en cada observación).

Cuando se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de una población de tamaño N y el interés recae en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados como éxitos en la población, se realiza un experimento hipergeométrico y su función de probabilidad viene determinada por:

La distribución hipergeométrica requiere el conocimiento de k y N.

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

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EJEMPLO 1.8.Los componentes de un sistema de seis elementos se toman aleatoriamente de un recipiente con 20 componentes usados. El sistema funcionará si por lo menos 4 de los 6 componentes están en condiciones de funcionar; si 15 de los 20 componentes en el recipiente están en condiciones de funcionar, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

Solución:

P(X4) = = 0.8687

5. Distribución de PoissonEste es el modelo de probabilidad más adecuado para eventos que ocurren aleatoriamente a través del tiempo o el espacio.

Poisson supone:a) Independencia: El número de ocurrencias en un intervalo determinado es

independiente del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo. b) La posibilidad de dos ocurrencias simultáneas puede ser asumida como

cero.c) El número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio se

considera una constante.d) La probabilidad de que suceda determinado número de eventos en un

proceso de Poisson depende únicamente de la longitud del intervalo observado y no de su ubicación.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo, área, espacio o volumen específico se denota así:

,

donde es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región y t es la longitud del intervalo. A continuación se observa la representación gráfica de una distribución de Poisson con una media baja:

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EJEMPLO 1.9.La contaminación es un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas contaminantes que aparecen en la superficie de un disco óptico tiene una distribución Poisson; el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es 0.1. El área de un disco bajo estudio es de 100 centímetros cuadrados. Encuentre la probabilidad de encontrar por lo menos una partícula contaminante en el disco.

Solución:

P(X1) = 1 – P(X=0)

= 1 -

La media y la varianza de la distribución de Poisson tienen el valor t.

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En una distribución binomial con n grande y p pequeña se puede aproximar a Poisson.

EJEMPLO 1.10.Los mensajes que llegan a un computador utilizado como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 3 mensajes en un espacio de 15 minutos?b) ¿Cuál es el número esperado de mensajes en una jornada de 14 horas?

Solución:

a) = 10 t = ¼ = 2.5

P(X>3) = 1 – P(X3) = 1 – 0.7576 = 0.2424

b) = 10*14 = 140 mensajes

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra por lo menos uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%; si no se encuentra ningún artículo defectuoso la caja se embarca.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 artículos

defectuosos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo

defectuoso se regrese para verificación?c) Suponga que dicha compañía decide cambiar su esquema de aceptación. Bajo el

nuevo esquema un inspector toma aleatoriamente un artículo, lo inspecciona y lo regresa a la caja; un segundo inspector hace lo mismo; finalmente, un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se embarca si cualquiera de los 3 inspectores encuentra un artículo defectuoso. Responda las preguntas a y b bajo este nuevo plan.

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2. Un programador ha hecho un promedio de 6 programas al mes durante el último año. Calcule la probabilidad de que:a) Haga más de 12 programas en el mes de juniob) Haga por lo menos 12 programas en el mes de junioc) No pasen más de 3 minutos antes de que termine el próximo programad) Se demore más de 10 días para terminar el próximo programa?

3. Un artículo electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que cualquier circuito integrado esté defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El artículo trabajo sólo si no tiene circuitos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo trabaje?

4. Las tarjetas de circuito impreso se envían a una prueba de funcionamiento después de haber montado en ellas todos los chips. Un lote contiene 50 tarjetas y se toman 5 para hacerles la prueba de funcionamiento. Si el lote tiene 5 tarjetas con algún problema, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas aparezca en la muestra?

5. El número de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media = 0.02 fallas por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de 8 horas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un período de 24

horas?

6. Una empresa vendedora de hardware compra a un proveedor lotes de 50 microcomponentes para computador. Para decidir si acepta o no cada lote, selecciona de cada uno una muestra aleatoria del 10% de los componentes; si encuentra por lo menos uno con algún defecto, el lote es rechazado.a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote que contiene 10 artículos con defectos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote que contiene sólo un 10% de los

componentes con defectos sea rechazado?c) Repita la parte a) si la muestra seleccionada es del 20%. ¿Qué concluye?

7. Por ley, una droga se considerará exitosa si tiene una efectividad del 80%. Cierta droga se suministra a 20 pacientes y se considerará efectiva si a los que no les sirve para nada no son más de 5.a) ¿Cuál es la probabilidad de que una droga efectiva sea rechazada? Interprete.b) ¿Cuál es la probabilidad de que una droga que realmente tiene una efectividad del

60% de efectividad, pase la prueba y sea aceptada? Interprete. ¿Qué pasa con ese porcentaje si la efectividad real es menor?

8. Unos ingenieros diseñaron una nueva máquina para la producción de un artículo. El Gerente mandó a construir un prototipo de la máquina, pero como es muy costosa, quiere estar seguro de que la máquina nueva es mucho mejor que la que se utiliza actualmente para esa tarea (para que justifique el gasto). Por eso se evaluaron 15

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artículos producidos por la nueva máquina y la considerarán mejor si máximo 2 artículos no son de excelente calidad.La máquina se considera exitosa si produce un 90% de artículos excelentes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nueva máquina no sea aceptada, aunque sea

mejor que la actual?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la nueva máquina sea aceptada si realmente

produjera sólo un 70% de artículos de excelente calidad?c) Usted es una persona ajena a la empresa, pero le solicitan su opinión. ¿Qué

sugerencia daría para mejorar ese sistema de aceptación?, justifique.

9. Un fabricante de equipo electrónico argumenta que a lo sumo el 10% de sus unidades de fuentes de alimentación necesitan reparación durante el período de garantía. Para investigarlo, técnicos de un laboratorio de pruebas compran 20 unidades y las someten a pruebas aceleradas para simular su uso durante el período de garantía. El argumento se considera razonable si el número de unidades que fallan es menor o igual a 3. NOTA: Responder a) y b) considerando como éxito el hecho de necesitar reparación y c) si se toma como éxito el hecho de no necesitar reparación.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el argumento sea rechazado cuando p = 0.1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el argumento no sea rechazado cuando p = 0.2? c) Responder nuevamente b) teniendo en cuenta lo anterior

10. El número promedio de llamadas por segundo que maneja una central telefónica es 6.5. La central puede admitir máximo 10 llamadas/segundo.a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo dado el sistema no pueda atender

todas las llamadas que se demanden?b) A los ingenieros encargados de esa central les preocupa que permanezca muy

ocupada porque en cualquier momento podría sobresaturarse. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo determinado se supere el promedio de llamadas, pero no se sobresature el sistema?

11. La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital es 0.1. Suponga que los ensayos de transmisión son independientes. De los próximos 20 bits transmitidos,

a) ¿cuál es la probabilidad de que se transmitan erróneamente por lo menos la mitad? b) ¿cuál es el número mínimo de bits erróneos que pueden transmitirse para que la

probabilidad de excederlo no supere 0.05?

12. Se toma una muestra de 15 paquetes estadísticos para evaluar si permiten hacer un determinado análisis. Anteriores estudios indican que la probabilidad de que un software estadístico deje hacer ese análisis es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 13 de los 15 paquetes seleccionados permitan hacer el análisis?a) Si se toma X = número de paquetes que permiten hacer el análisis.b) Si se toma X = número de paquetes que no permiten hacer el análisis.

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13. Cierto proveedor suple a una ensambladora de computadores de unos pequeños accesorios; como los accesorios son baratos, no es práctico realizar un control exhaustivo sobre ellos; por lo tanto se utiliza el siguiente proceso para monitorear la calidad: Se toma una muestra aleatoria de 20 elementos de cada lote y si en una muestra encuentran más de uno con algún defecto, rechazan todo el lote.a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote que tiene 10% de defectuosos?b) Calcule la probabilidad de rechazar un lote que contiene 98% de no defectuosos.

14. Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle durante el período de garantía es 0.01. Suponga que los componentes fallan de manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle durante el período de garantía?

15. Al conmutador de una universidad llegan en promedio 120 llamada/hora durante las horas de actividad. El conmutador no puede hacer más de 5 conexiones por minuto; calcule la probabilidad de que:a) el conmutador se encuentre congestionado en un minuto dado.b) se pierdan 3 o más llamadas si la recepcionista salió 2 minutos de la oficina.

16. El director de control de calidad de una fábrica está realizando su inspección mensual de las transmisiones automáticas en la planta. En este procedimiento, 10 transmisiones se sacan del grupo de componentes y se verifica si no tienen defectos de fabricación. En general, el 98% de las transmisiones no presentan ningún defecto.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra seleccionada contenga más de 2

transmisores con defectos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones seleccionadas tenga

algún defecto de fabricación?

17. Una aeronave de alto rendimiento contiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se utiliza para controlar la nave; las otras dos son reservas que se activan en caso de fallas en el sistema primario. Durante una hora de operación, la probabilidad de falla en el computador primario (o en cualquiera de los sistemas de reserva que se encuentre activo) es 0.0005. Si se supone que cada hora representa un ensayo independiente, a) ¿Cuál es el tiempo promedio de falla de las 3 computadoras?b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 computadoras fallen durante un vuelo de 5

horas?

18. La probabilidad de un alineamiento óptico exitoso en el ensamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos es 0.8. Suponga que los ensayos son independientes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera

exactamente 4 ensayos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como

máximo 4 ensayos?

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c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos 4 ensayos?

19. En una fábrica de circuitos eléctricos se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto componente que ésta produce es del 5%. Un buen comprador de estos componentes revisa 15 unidades seleccionadas al azar y encuentra 4 defectuosas. Si la compañía se encuentra en lo correcto y prevalecen las suposiciones para que la distribución binomial sea el modelo de probabilidad adecuado para esta situación, ¿cuál es la probabilidad de este hecho?. Con base en el anterior resultado, ¿puede concluirse que la compañía está equivocada?

20. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base en una muestra aleatoria de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar 3 o más unidades defectuosas en la muestra, a) ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si éste contiene un 1% de componentes

defectuosos?b) ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8% de unidades

defectuosas?

21. Un ingeniero de control de calidad desea verificar si el 95% de los componentes electrónicos embarcados por su compañía se hallan en buenas condiciones de trabajo. Para eso, selecciona aleatoriamente 15 de ellos de cada lote listo para embarcar y aprueba el lote si todos los componentes seleccionados se hallan en buenas condiciones de funcionamiento; de no ser así, se revisan todos los componentes del lote. Determinar las probabilidades de que cometa el error de:a) Retener un lote para su inspección detallada aunque el 95% de los componentes

estén bien.b) Aprobar un lote aunque sólo el 80% de los componentes estén bien.

22. Un proceso de fabricación tiene 100 pedidos en espera de ser surtidos. Cada pedido necesita un componente que se compra a otro proveedor. Lo común es identificar 2% de estos componentes como defectuosos; por otra parte, puede suponerse que el estado de cada componente es independiente del de los demás.a) Si el inventario del fabricante es de 100 componentes, ¿cuál es la probabilidad de

que se puedan surtir los 100 pedidos sin tener que pedir más componentes?b) Si el inventario del fabricante es de 105 componentes, ¿cuál es la probabilidad de

que se puedan surtir todos los pedidos sin tener que pedir más componentes?

23. El número de componentes que falla antes de cumplir 100 horas de operación es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de éstas es 8:a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente antes de 25 horas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

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24. La producción de un lote de cierto artículo se considera exitosa si tiene una efectividad del 90% (si el 90% de los artículos del lote son de excelente calidad). Se ensayan 20 artículos de cierto lote y se considera bueno si los artículos defectuosos no son más de dos.a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que es bueno?b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote que realmente tiene un 80% de artículos

de excelente calidad?

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