Unidad Tematica 2

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA QUIMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE

NOTAS DE CTEDRA: UNIDAD TEMTICA 2 ANALISIS ENVOLVENTE EN ESTADO ESTACIONARIO

EC. DIFERENCIALES PARA FLUJO DE FLUIDOS ISOTERMICOS ANALISIS DIMENSIONAL

Revisin: Junio 2008

Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008

La presente es una recopilacin de diversas notas y apuntes de ctedra dispersas que

fueron elaboradas o redactadas en los ltimos aos. Se agradece especialmente la

colaboracin de los alumnos cursantes en 2008: Ferullo, Luciana; Gimnez, Dianela;

Parisi, Florencia; Ramunno, Mara Florencia; Risso, Eliana para su compilacin y

organizacin, que con la coordinacin del Auxiliar Juan Dominguez permite disponer de

esta versin revisada. Se advierte que estas notas son solo una gua para el estudio,

debiendo consultarse la bibliografa recomendada en cada tema para lograr un

conocimiento pleno de los mismos.

Ctedra de Fenmenos de Transporte Ing. Jorge E. Robin

Ing. Marcela N. Kaminsky Juan M. Dominguez

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2.A. ANALISIS ENVOLVENTE EN ESTADO ESTACIONARIO

2.A.1 INTRODUCCION A LA RESOLUCION DE BALANCES Los balances de cantidad de movimiento, energa y masa pueden formularse aplicando

las leyes de conservacin que rigen el comportamiento de un sistema. Estos balances se

pueden enunciar para un determinado perodo de tiempo (evolucin discontinua o cclica), o

ms comnmente introduciendo el concepto de velocidad de evolucin, con las cantidades

relacionadas con la unidad de tiempo.

Su formulacin general es la siguiente;

(Velocidad)

ACUMULACION NETA en el

VOLUMEN del

SISTEMA

=

(Velocidad)

TRANSPORTE NETO de ENTRADA a

travs de la

SUPERFICIE del SISTEMA

-

(Velocidad) TRANSPORTE

NETO de SALIDA a travs

de la SUPERFICIE del SISTEMA

+

(Velocidad) GENERACION NETA en el

VOLUMEN del

SISTEMA

El objetivo es obtener una descripcin precisa y conveniente usando expresiones

matemticas tan rigurosas como sea posible, con un mnimo de parmetros desconocidos.

Estas expresiones obtenidas pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias, en derivadas

parciales, diferenciales finitas, algebraicas, etctera.

FORMULACION La secuencia habitual para el planteamiento y resolucin de un balance es la siguiente;

1.- Desarrollar un modelo geomtrico y elegir un sistema de coordenadas.

2.- Identificar las Entradas y Salidas.

3.- Identificar la Generacin (si es positivo se crea y si es negativo se consume).

4.- Verificar el Estado de Rgimen (las evoluciones en estado estacionario tienen acumulacin

nula).

5.- Definir las Condiciones Lmite o de Frontera (condicin de una variable en la superficie de

frontera del sistema. Es la constante arbitraria en la solucin de una ecuacin diferencial.

Existen tantas Condiciones Lmite como el orden de la ecuacin).

6.- Establecer la Condicin Inicial o estado de las variables en el momento inicial (evoluciones

transitorias o no estacionarias).

7.- Definir los Parmetros y los Requisitos. Condiciones o restricciones a cumplir por el sistema,

como por ejemplo, la temperatura, presin, constancia de propiedades, tipo de flujo, etctera.

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EJECUCION 1.- Tomar una envoltura finita lo ms sencilla posible acorde con el sistema coordenado

elegido.

2.- Plantear el balance.

3.- Obtener la expresin simblica representativa.

4.- Resolver la ecuacin para lograr conocer la distribucin de las variables o perfiles.

5.- Simplificarlas para lograr relaciones ms simples o soluciones generales.

6.- Identificar los valores de frontera, los valores promedio y cualquier otro de inters para la

situacin.

APLICACIONES Campo de utilizacin, estudio de limitaciones, ejemplos para diseo.

2.A.2. ANALISIS ENVOLVENTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Consiste en la aplicacin de la ley de conservacin de cantidad de movimiento o 2da. Ley

de Newton a un sistema de flujo en estado estacionario, para un fluido de propiedades

constantes que circula en rgimen isotrmico.

Velocidad de ENTRADA de CANTIDAD de MOVIMIENTO

por FLUJO GLOBAL ( convectivo)

-

Velocidad de SALIDA de

CANTIDAD de MOVIMIENTO

por FLUJO GLOBAL ( convectivo

+

Velocidad de ENTRADA de CANTIDAD de MOVIMIENTO por TRANSP.

MOLEC. ( propagacin)

-

Velocidad de SALIDA de

CANTIDAD de MOVIMIENTO por TRANSP.

MOLEC. ( propagacin)

+

Sumatoria de las FUERZAS EXTERNAS (presin y

gravitacin)

= 0

FORMULACION DEL BALANCE1.- Desarrollar la forma de la envoltura elemental y seleccionar el sistema de coordenadas

adecuado a la misma.

2.- Identificar las Entradas y Salidas. El transporte de cantidad de movimiento a travs de la

superficie de la envoltura puede originarse por dos mecanismos;

Transporte Global o Convectivo, debido al movimiento conjunto del fluido que permite el ingreso o egreso de cantidad de movimiento al sistema.

Transporte Molecular o Propagacin, a causa de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, o esfuerzos cortantes, originada por la viscosidad del fluido.

3.- Identificar Generacin. La cantidad de movimiento puede ser originada, en el elemento de

volumen, por dos tipos de fuerzas;

Presin, que acta en la superficie de la envoltura.

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Gravitacin, que lo hace en todo el volumen. 4.- Verificar el Estado de Rgimen. Para el estado estacionario no existe acumulacin de

cantidad de movimiento, es decir, no habr fuerza resultante actuando sobre el volumen de

fluido, o lo que es lo mismo, no existir aceleracin.

5.- Definir las Condiciones Lmite o de Frontera. Para los balances envolventes de cantidad de

movimiento se pueden identificar tres condiciones de frontera;

Interfase slido-fluido: la velocidad del fluido es nula con respecto al slido en la interfase, de acuerdo a la ya mencionada condicin de no-deslizamiento.

Interfase lquido-gas: se considera que no hay resistencia en la fase lquida por parte de la fase gaseosa, por lo que el gradiente de velocidad y el esfuerzo cortante en el lquido

es nulo.

Interfase lquido-lquido: para lquidos inmiscibles de distinta densidad, hay continuidad en ambos lados de la interfase, siendo la velocidad idntica y comn en la interfase para

cada lquido.

6.- Condicin Inicial: no existe por ser estado estacionario.

7.- Parmetros y Requisitos: temperatura y propiedades fsicas constantes. Trayectoria de las

partculas de fluido rectilneas y paralelas, rgimen de flujo laminar.

EJECUCION1.- Tomar una envoltura finita lo ms sencilla posible acorde con el sistema coordenado

elegido.

2.- Plantear el balance segn enunciado por notacin simblica.

3.- Tender a cero la envoltura y obtener una ecuacin diferencial del esfuerzo en funcin de la

posicin.

4.- Integrar la ecuacin para obtener el perfil de densidad de flujo de cantidad de movimiento

(esfuerzo cortante) en funcin de la posicin.

5.- Introducir la ecuacin de Newton de la viscosidad y obtener una ecuacin diferencial de la

velocidad en funcin de la posicin.

6.- Integrar la ecuacin para obtener el perfil de velocidad en funcin de la posicin.

7.- Obtener la velocidad media de flujo, la velocidad mxima, el caudal volumtrico, la velocidad

de flujo de masa, la diferencia de presiones, el esfuerzo cortante en la pared y la fuerza en la

pared ejercida por el fluido.

APLICACIONES En las condiciones enunciadas es vlido para flujo en conductos de seccin circular,

anular, rectangular, para pelculas de fluido descendentes en planos o cilindros, canales

abiertos, etctera.

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2.B. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA FLUJO DE FLUIDOS ISOTERMICOS

INTRODUCCIONEl concepto de medio continuo explica el comportamiento de la materia como si se

encontrara llenando por completo el espacio que ocupa, no tomando en cuenta el

comportamiento individual de las molculas. Al adoptar este punto de vista, y dentro de las

limitaciones para el que es vlido, se puede tener una descripcin matemtica con funciones

continuas, para los intervalos considerados de las coordenadas de espacio y tiempo. Las

cantidades fsicas resultantes son independientes de cualquier sistema particular de

coordenadas que las describa, aunque pueden referirse a un sistema apropiado por

conveniencia, tales como cartesianas, cilndricas, etctera.

TENSORESSon entidades matemticas que tienen existencia independiente de cualquier sistema de

coordenadas, aun-que pueden ser especificados mediante componentes. Las leyes fsicas se

expresan entonces por ecuaciones tensoriales, que son vlidas en cualquier sistema

coordenado, es decir, que son invariantes. Los tensores pueden ser clasificados por su orden,

reflejando tambin el nmero de componentes que poseen en un espacio n-dimensional.

Tensores de Orden Cero o Escalares; se especifican por una componente en el espacio tridimensional, o sea, se caracterizan por su magnitud o valor, ej.; masa,

temperatura, volumen, tiempo, densidad.

Tensores de Orden Uno o Vectores; tienen tres componentes coordenadas en el espacio fsico, se caracterizan por ser magnitudes orientadas (en el espacio de tres

dimensiones tienen mdulo, direccin y sentido), ej.; velocidad, cantidad de movimiento,

fuerza, densidad de flujo de energa.

Tensores de Orden Dos o Diadas; son el producto indeterminado de dos vectores, se caracterizan por ser magnitudes de nueve componentes en el espacio tridimensional,

ej.; densidad de flujo de cantidad de movimiento, esfuerzos, producto didico de

velocidades.

CAMPO TENSORIAL Asocia un determinado tensor (funcin de sus coordenadas espaciales y el tiempo) a un

vector posicin que vara en una regin particular del espacio en un intervalo particular del

tiempo. Este campo ser continuo (o diferenciable) si las componentes del tensor son

funciones continuas (o diferenciables). Si las componentes son funciones de sus coordenadas

e independientes del tiempo, se llama estacionario.

Campo Escalar: Cuando en cada punto de la regin la magnitud es un escalar, por ej.;

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la densidad de un fluido. Se puede representar por;

( ),ix = Campo Vectorial: Cuando en cada punto de la regin existe un vector, por ej.; la

velocidad de las partculas de un fluido. Se representa por;

( ),i iv v x = Campo Tensorial de 2do. Orden: Cuando en cada punto de la regin existe una diada,

por ej.; el tensor deformacin. Representado por;

( ),i j i j x =

Si observamos una regin del espacio llena de un fluido, que se encuentra en movimiento

respecto de una terna derecha de ejes cartesianos estacionarios, podemos decir que estamos

en presencia de un "campo es-calar" cuando nos referimos a la densidad del mismo y a un

"campo vectorial" cuando nos referimos a las velocidades de las partculas del mismo.

OPERADORES DIFERENCIALES Algunos de los ms importantes son los siguientes;

Diferencial respecto a una coordenada: ix

Gradiente de un escalar: grad Divergencia de un vector: .div v v= Rotacional de un vector: .rot v v. Laplaciana de un escalar: 2.

DERIVADAS DE FUNCIONES

Podemos definir las siguientes;

Derivada PARCIAL o LOCAL: Es la variacin de una condicin o propiedad con el tiempo para un punto fijo en el espacio. En un punto fijo (P), podemos analizar la

variacin de la velocidad de las partculas de fluido que circulan por aquel con el

transcurso del tiempo, esto da lugar a la "Derivada parcial de la velocidad del fluido" en

el punto (P), es decir, en smbolos;

P

v

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Derivada TOTAL: Variacin de una condicin o propiedad con el tiempo en las inmediaciones de un punto del espacio tomado como referencia. Para expresar el cambio

de la velocidad en los alrededores con respecto al tiempo, obtenemos la "Derivada Total

de la velocidad del fluido" para un desplazamiento infinitesimal, o sea;

dv v v dx v dy v dzd x d y d z d

= + + + Derivada MATERIAL, SUSTANCIAL SIGUIENDO EL MOVIMIENTO: Variacin de una

condicin o propiedad con el tiempo a lo largo de la trayectoria o movimiento, a partir de

un punto del espacio tomado como referencia. Para conocer el cambio de velocidad de

una partcula de fluido a lo largo del movimiento, escribimos la "Derivada Sustancial de la

velocidad del fluido" respecto del tiempo, que representa la aceleracin o rapidez de la

variacin de velocidad de la partcula en su trayectoria.

x y zDv v v vv v v vD x y z

= + + +

Las siguientes figuras representan cada una de las respectivas derivadas enunciadas.

Punto fijo Po

Propiedad varia segn tiempo; derivada parcial= , ,o o ox y z

P

Punto desplazado PoP1

Propiedad vara segn posicin y velocidad de desplazamiento;

DERIVADA TOTAL: P P P PdP d dx dy dz

x y z

= + + +

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Punto desplazndose PoP1

Velocidad desplazamiento punto y vector posicin iguales;

DERIVADA SUSTANCIAL: DP P P dx P dy P dy P dzD x d y d y d z d

= + + + +

Siendo, xdxvd= ; y

dyvd= ; z

dzvd=

x y zD P P P Pv v v PD x y

= + + + z Las expresiones generales anteriores pueden representarse para cada una de sus

componentes en el espacio. Por ejemplo, las componentes cartesianas del vector aceleracin

sern;

Componente en "x": x x x xx x y xzDv v v v va v v vD x y z

= = + + +

Componente en "y": y y y yy x yy

z

Dv v v v va v v v

D x y z = = + + +

Componente en "z": z z z zz x y zzDv v v v va v v vD x y z

= = + + +

Forma General: x y zDv v v va v v vvD x y z

= = + + +

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LA ECUACION DE CONTINUIDAD Consideramos un elemento estacionario de volumen, un cubo de lados x, y, z, a

travs del cual circula un fluido cuya densidad y velocidad son funciones de la posicin y el

tiempo.

Si aplicamos un balance de materia al mismo, se podr calcular el flujo de masa por

unidad de tiempo que atraviesa cada cara de ese elemento de volumen, de acuerdo a la

siguiente expresin;

Velocidad de

Acumulacin de

Materia =

Velocidad de

Entrada de

Materia -

Velocidad de

Salida de

Materia

La velocidad de acumulacin de materia ser la rapidez de variacin, respecto del

tiempo, de la masa en el interior del cubo, o sea;

( )x y z

Para cada par de caras paralelas, la velocidad de entrada y salida de materia podr

expresarse;

caras perpendiculares al eje x: ( )+ x x x x xv v z y caras perpendiculares al eje y: ( )+ y y y y yv v x z

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caras perpendiculares al eje z: ( )+ z z z z zv v x y El balance de materia quedar entonces;

( ) ( ) ( ) (+ + + = + + x x x x x y y y y y z z z z zx y z v v z y v v x z v v x y)

Dividiendo la expresin por el elemento de volumen (x y z), y aplicando el lmite

cuando el volumen y el tiempo tienden a cero, se obtiene;

yx zvv vx y z

= + +

Esta expresin es la Ecuacin de Continuidad, que describe la variacin de la densidad

para un elemento de volumen fijo en el espacio, como resultado de las variaciones del vector

velocidad msica.

Utilizando notacin vectorial-tensorial, tambin puede escribirse;

( ). 0v + =

El vector velocidad msica corresponde a una densidad de flujo de materia, y tambin

significa la velocidad de concentracin de cantidad de movimiento. El trmino ( ). v se conoce como divergencia de (v), y significa la velocidad neta con que disminuye la densidad

de flujo de materia por unidad de volumen. La ecuacin establece que la velocidad de aumento

de densidad en el interior del elemento de volumen fijo en el espacio, es iguala la velocidad

neta de entrada de densidad de flujo de materia dividido por el volumen.

Efectuando la diferenciacin de los trminos y reuniendo las derivadas de la densidad en

el primer miembro, se obtiene;

yx zx y z

vv vv v vx y z x y z

+ + + = + +

Se observar que el primer miembro es la derivada substancial de la densidad, o sea, la

derivada con respecto al tiempo para una trayectoria de una partcula de fluido. Por lo tanto, la

expresin quedar;

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( ). 0D vD

+ =

La anterior representa la variacin de la densidad de una partcula de fluido tal como la

observa quien se mueve con el fluido.

Estas ecuaciones son el resultado de la formulacin de la conservacin de la materia, y

puede efectuarse para un elemento de volumen de una forma arbitraria cualquiera.

Para ilustrarlo, vamos a aplicar el balance de masa a un elemento de volumen (V), que se

encuentra limitado por una superficie (S), como el de la figura siguiente.

La formulacin del balance de materia es idntica a la anterior, pero ahora la masa

acumulada en la unidad de tiempo ser la integral extendida a todo el volumen;

v

dv

Mientras que la masa que atraviesa la superficie

elemental puede expresarse por;

. c o sv d sv N d s =JJG Donde es el ngulo formado entre la velocidad

msica y el versor unitario dirigido hacia fuera en cada punto de la superficie.

La cantidad neta de materia que atraviesa toda la superficie del sistema viene dada

por el flujo neto, que se representa por;

( ).s

v N ds JJG En consecuencia, el balance de materia indica que la su las expresiones para la

acumulacin en el volumen y el flujo neto deben ser idntica

distinto signo), o sea;

( ).v s

d v v N d +

JJG

El teorema de la divergencia (o de Gauss), se puede escr

( ) ( ). .s v

A N ds A= JG JJG JG Por lo tanto, aplicndolo a la situacin planteada, se obtiema de mente nulas (iguales pero de

0s = ibir;

dv

ne;

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( ) ( ). .s v

v N d s v d v = JJG que indica que el flujo neto de materia a travs de la superficie del elemento de volumen

considerado tiene que ser igual a la velocidad con que se acumula en ese volumen,

quedando;

( ). 0v v

d v v d v + =

y para un volumen que no vara en el tiempo, se debe cumplir;

( ). 0v v

dv v dv + =

o lo que es lo mismo;

( ). 0v + =

Formas especiales importantes de la ecuacin de continuidad son las siguientes:

Para estado estacionario, la densidad no vara en el tiempo en el punto fijo del espacio, y la expresin quedar;

( ). 0v = Para fluidos incompresibles (densidad constante) se debe cumplir que;

( ). 0v = Aunque ningn fluido es totalmente incompresible, en general se admite que los lquidos

tienen densidad constante, sin introducir casi error. An para los gases, dentro de moderados

cambios de presin pueden suponerse con densidad constante.

Para que la ltima sea vlida, slo es necesario que la densidad sea constante para el

elemento de fluido que se mueve a lo largo de una lnea de corriente, entendiendo por tal a

la curva imaginaria que conecta sucesivos puntos del espacio cuyos vectores velocidad son

tangentes a la misma, indicando la direccin del movimiento y la trayectoria del elemento.

LA ECUACION DEL MOVIMIENTO Para un fluido viscoso, en flujo isotrmico, se puede aplicar el principio de conservacin

de la cantidad de movimiento al mismo elemento de volumen utilizado anteriormente.

El balance de cantidad de movimiento, aplicado al elemento de lados x, y, z se

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puede escribir;

Velocidad de

acumulacin de

cantidad de

movimiento

=

Velocidad de

entrada de

cantidad de

movimiento

_

Velocidad de

salida de

cantidad de

movimiento

+

Suma de

fuerzas que

actan sobre el

sistema

Este balance tiene en cuenta que;

La expresin representa la ecuacin de un vector, con componentes para cada una de las direcciones coordenadas (x, y, z).

El fluido es puro e isotrmico. El comportamiento puede ser no-estacionario. El movimiento del fluido es arbitrario a travs de la superficie del elemento de

volumen.

La velocidad de entrada y salida de cantidad de movimiento se puede efectuar por dos mecanismos; (a) Flujo global o convectivo, o sea, la contribucin del movimiento

conjunto de las partculas del fluido que atraviesan una superficie, y (b) Transporte

molecular o propagacin, debido a la contribucin viscosa originada en los gradientes

de velocidad.

La aceleracin gravitatoria es un vector de tres componentes. Para iniciar el balance solo tendremos en cuenta la componente x de cada uno de los

trminos de la ecuacin, tal como lo muestra la figura siguiente. Los correspondientes a los

ejes y, z se pueden obtener por analoga.

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1- El termino de flujo global o velocidad de flujo de cantidad de movimiento por

conveccin a travs de las seis caras, puede representarse por el producto de la componente

de la velocidad msica (v) con la velocidad en direccin x (vx) multiplicadas por el rea

transversal o superficie de la cara en cuestin. Por lo tanto, se puede escribir;

Entrada en la cara x: ( ) x x xv v y z Salida por x + x: ( ) + x x xv v y z x Entrada en la cara y: ( ) y x yv v x z Salida por y+ y: ( ) + y x y yv v x z Entrada en la cara z: ( ) z x zv v x y Salida por z+ z: ( ) + z x z zv v x y

2- Para la propagacin, tenemos que puede formularse para todas las caras en forma similar, donde las densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como

esfuerzos (ij). La conveccin indica que el primer subndice indica la direccin de la propagacin y el segundo la de la velocidad. Para este caso, el segundo subndice ser

siempre x. El trmino xx es el esfuerzo normal que acta sobre la cara x, y los trminos yx y

zx son los esfuerzos tangenciales, quedando:

Entrada en la cara x: x x xy z x+ Salida por x+ x: x x xy z x+ Entrada en la cara y: yx yx z Salida por y+ y: y x y yx z + Entrada en la cara z: zx zx y Salida por z+ z: zx z zx y +

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3- Las nicas fuerzas que se tienen en cuenta en este caso son las de presin del fluido y

la gravitacin, en la direccin del moviendo considerado (direccin x), resultando;

Para la presin en x: ( )+ x x xp p y z Para la gravitacin en x: ( )xg x y z

4- la velocidad de acumulacin de cantidad de movimiento (en la direccin x) en el

elemento de volumen ser;

velocidad de acumulacin en x: ( )

xv x y z Sustituyendo cada una de las anteriores en la expresin general correspondiente al

balance y dividimos por el elemento de volumen (x y z) obteniendo una expresin

incremental de le la variacin de cantidad de movimiento en el tiempo y espacio.

y x y y x y yx x x x x x x x v v v vv v v v vx y

++ = + yx x yx y yz x z z x z z xx x xx x x

zx x zx z z x x xx

v v v vz x

p p gz x

++ +

+ +

+ + + + + +

y+

Aplicando lmite cuando la norma de los incrementos ( , , , )x y z tiende a cero, se obtiene la componente x de la ecuacin del movimiento.

Componente x:

= + + + + + x x x y x z x xx yx zxv pv v v v v v g

x y z x y z x

x

De igual manera se pueden obtener las correspondientes a las coordenadas y, z:

Componente y: = + + + + +y

x y x y z y xy yy zyv pv v v v v v ygx y z x y z y

Componente z:

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= + + + + +zx z x z z z xz yz zz

v pv v v v v v zgx y z x y z z

Los trminos se pueden identificar de la siguiente forma;

Velocidad msica (v), un vector cuyos tres componentes espaciales son: vx, vy, vz Aceleracin gravitatoria (g), un vector cuyos tres componentes son: gx, gy, gz.

Gradiente de presin ( , un vector cuyos tres componentes son: )p , , p p px y z

Tensor esfuerzo ij de segundo orden, correspondiente a la propagacin, con nueve componentes: xx, xy, xz, yx, yy, yz, zx, zy,, zz Densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento (vv), producto didico de los

vectores velocidad por velocidad msica, de nueve componentes: vxvx, vxvy, vxvz,

vyvx, vyvy, vyvz, vzvx, vzvy, vzvz

En notacin vectorial-tensorial, se puede escribir:

[ ] [ ]. .v vv p g = +

El trmino [ ]. vv representa la velocidad de perdida de cantidad de movimiento (un vector) por unidad de volumen debido al flujo de fluido, mientras que [ ]. representa la perdida de cantidad de movimiento debido a la viscosidad. Estos trminos no son divergencias

simples, por el origen tensorial del producto didico y tensor esfuerzo.

Para la expresin del trmino en direccin x, si aplicamos la ecuacin de continuidad al

primer miembro y al primer termino del segundo miembro, la misma puede reordenarse,

quedando:

xxx yx zx

Dv pxgD x x y z

= + + +

Idntica transformacin se puede realizar para las direcciones y y z, obteniendo una

expresin en notacin compacta que describe el movimiento de una partcula de fluido que se

mueve bajo el efecto de las fuerzas que actan sobre ella, a saber;

[ ].D v p gD

= +

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La ecuacin del movimiento expresada as establece una expresin de la segunda ley de

Newton, en la cual (masa x aceleracin= suma de fuerzas). El balance de cantidad de

movimiento aplicado a un fluido es totalmente equivalente a la segunda ley de Newton, donde

las fuerzas que actan son las originadas en la presin, la viscosidad, y la gravitacin.

Los trminos se pueden identificar de la siguiente forma:

v

: Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen.

: Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por conveccin por unidad de volumen.

[ . vv ] : Fuerza de presin sobre el elemento por unidad de volumen. p [ ]. : Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte

viscoso, por unidad de volumen (equivale a fuerza viscosa sobre elemento por

unidad de volumen).

g : Fuerza de gravitacin que acta sobre el elemento de volumen.

v

: Masa por unidad de volumen, por aceleracin.

En cada caso, la expresin con la derivada parcial representa un balance aplicado a un

elemento de volumen fijo en el espacio, mientras que la correspondiente a la derivada

sustancial describe las variaciones del elemento que sigue el movimiento del fluido. Ambas

son validas para medios continuos, sin importar la naturaleza de la relacin esfuerzo-

deformacin, es decir, pueden aplicarse tanto a fluidos newtonianos como no-newtonianos,

como tampoco distingue entre los fluidos compresibles o incompresibles.

Aplicando las relaciones entre esfuerzo-deformaciones (ver apndice), aquellas

expresiones pueden transformarse para obtener las distribuciones de velocidad del fluido,

obteniendo ecuaciones generales que describen el movimiento del fluido.

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Hemos obtenido anteriormente, la Ecuacin de Continuidad,

( . ) = v

Y la Ecuacin del Movimiento en funcin de los esfuerzos cortantes,

[ ].p g = +

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En esta ltima se establece que un pequeo elemento de volumen que se mueve con el

fluido es acelerado por las fuerzas que actan sobre l (fuerzas de presin, gravitacin y

viscosidad). Estas ecuaciones la representacin de la segunda Ley de Newton a un fluido en

movimiento.

Sin embargo, de acuerdo a las relaciones obtenidas entre esfuerzos y deformaciones

(ver Apndice Pginas 21 a 26), podemos decir que tenemos seis componentes del esfuerzo

desconocidas y tres componentes de velocidad tambin desconocidas, con lo que existen

nueve incgnitas en las ecuaciones.

Se tratar de reducir el exceso de incgnitas por la introduccin de ecuaciones

constitutivas que relacionan el esfuerzo con la velocidad, para obtener expresiones que

relacionen solamente velocidades, presiones y gravitacin.

Para ello se desarrollara la ecuacin cartesiana de cantidad de movimiento para una

direccin (el eje x), que puede expresarse,

= + + + + +y x yxx x x z x xx zx x

v vv v v v v p gx y z x y z x

Que, combinada con la ecuacin de continuidad,

yx zvv vx y z

= + + Permite obtener la componente x de la aceleracin por unidad de volumen de fluido,

( )x xx yx zx xDv p gD x x y z x

= + + +

Introduciendo las expresiones del esfuerzo del Apndice, quedar,

22 ( . ) ( (3

= + + + + + + x x x y x z x

Dv v v v v vv gD x x x y y x z z x

Ecuaciones similares se pueden obtener para las direcciones y, z.

Estas ecuaciones, junto a la ecuacin de continuidad, la ecuacin de estado p=p(). La

variacin de viscosidad con la densidad =(), y las condiciones iniciales y lmite, determinan

en forma completa la presin, densidad y los componentes de velocidad de un fluido en

movimiento isotrmico.

La expresin general de la Ecuacin del Movimiento, en notacin vectorial-tensorial

quedar entones,

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2 ( . )3

Dv p v vD

g = + + Para el caso de fluidos de viscosidad constante. Como la viscosidad es funcin de la

temperatura principalmente y en pequea medida de la presin, la anterior se puede aplicar

an en los casos de moderados cambios de presin.

Para el caso de fluidos newtonianos (viscosidad constante) e incompresibles (densidad

constante), la ecuacin de continuidad predice que,

) 0v(. =

Por lo que la anterior se puede simplificar para obtener la conocida Ecuacin de Navier-

Stokes, que en coordenadas cartesianas viene representada por,

2 Dv v gD

= + + - Las componentes cartesianas, as como las expresiones correspondientes a

coordenadas cilndricas y esfricas se encuentran tabuladas.

En principio, con la Ecuacin del Movimiento y la Ecuacin de Continuidad se puede

obtener la solucin de cualquier problema de flujo isotrmico. Sin embargo, las soluciones

generales de las Ecuaciones de Navier-Stokes an no han sido encontradas debido a la

naturaleza no lineal de las ecuaciones diferenciales de derivadas parciales de segundo orden.

No obstante, un buen nmero de soluciones particulares se pueden obtener, y se

obtienen, en ciertos sistemas de flujo ms simples o sencillos. Para ello debe disponerse de la

descripcin fsica del sistema y usando las tablas en el sistema coordenado adecuado,

descartando los trminos de valor cero. Este procedimiento tiene que hacer uso de una cierta

intuicin para poder aproximarse a la solucin.

ECUACION DE EULER Para el caso de considerar un fluido no-viscoso, el trmino de esfuerzos constantes es

nulo, y la Ecuacin del Movimiento se reduce a:

Dv gD

= + - Que dice que los cambios de velocidad del fluido se deben exclusivamente a las fuerzas

de presin y gravitatorias. Si bien los fluidos reales tienen viscosidad, esta ecuacin se puede

aplicar el caso de que los efectos viscosos son poco importantes.

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ECUACION DE LA ENERGIA MECANICA Dada la Ecuacin de Movimiento, expresada de la forma:

. Dv gD

= + - - [ ] Se forma el producto escalar de la velocidad con la misma. La ecuacin resultante es una

ecuacin escalar, y describe la velocidad de variacin de la energa cintica por unidad de

masa ( v2) para el elemento de fluido que se mueve con la corriente, quedando:

2( ) . ( . ) ( .D v v v vD

= + -( )- [ ] )g

La Ecuacin se conoce con el nombre de Ecuacin de la Energa Mecnica y representa

la nterconversin de energa mecnica de un fluido en movimiento.

Desarrollando la ecuacin en funcin de las derivadas parciales, se puede escribir:

Para la derivada sustancial, segn la ecuacin de continuidad, 2

2 2( ) ( ) (D v v vD

= + )v

)

v

Para el trmino de presin, segn las reglas de derivacin.

. (v v v( . ) = + ( ) Para la contribucin viscosa, de igual forma,

( . . ) ( . . ) ( : )v v = + [ ] [ ]

Quedando entonces la Ecuacin de la Energa Mecnica en funcin de un elemento

estacionario de volumen por donde circula el fluido,

2 2( ) ( ) ( ) ( . . ) ( : ) ( .v v v v v v v = (. ) . + - - - - - - - [ ] )v g

Donde el significado fsico de cada trmino es el siguiente:

2( ) v : Velocidad de incremento de energa cintica por unida de volumen.

- : Velocidad neta de entrada de energa cintica debida al fluido global. 2( v v )

)

- : Velocidad de trabajo producido por la presin de los alrededores sobre el elemento de volumen.

v(. )

- : Velocidad de conversin reversible en energa interna. ( v.- - ( . . )[ ] v : Velocidad de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actan sobre el

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elemento de volumen.

- ( : ) v : Velocidad de conversin irreversible en energa interna (1) : Velocidad de trabajo producido por la fuerza de gravedad que acta sobre el

elemento de volumen.

( . )v g

El trmino (1) ser desarrollado posteriormente, pero indica que en los sistemas de flujo hay una degradacin de energa mecnica en energa calorfica, y que los procesos reales no

son reversibles.

Un sistema isotrmico, es por lo tanto, aquel en que el calor generado o absorbido no

da variacin apreciable de temperatura.

Esta ecuacin servir posteriormente para la deduccin del balance de energa mecnica

macroscpico o Ecuacin de Bernoulli.

APENDICE: TRANSPORTE MOLECULAR Y ESFUERZOS

Para fuerzas normales y tangenciales que actan sobre un poco en un fluido sern

completamente definidas por nueve componentes tal como se muestra en la figura para las 3

caras positivas de un elemento cbico en el espacio, cuyo centro est en el origen de

coordenadas.

Para las 3 caras negativas actan las mismas ternas de esfuerzos pero en sentido

negativo. Estos no son independientes, ya que se demuestra que los esfuerzos cuyos

subndices estn permutados (p.ej. xy= yx) son iguales. Para demostrarlo, mostraremos para una cara situada en un plano z=0, los esfuerzos

tangenciales que actan sobre la misma en las direcciones x e y.

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2dx

xxy

xy +

2dy

yyx

yx

Estos esfuerzos que actan en cada cara son los que originan la deformacin del

elemento de volumen (el cuadrado en este caso).

La suma algebraica de los momentos de las fuerzas alrededor del eje z (perpendicular al

plano del papel) es igual al producto de la masa por el cuadrado del radio de giro y por la

aceleracin angular (Ver pgina 26). No existe contribucin de las fuerzas normales a la cara,

ni de las fuerzas del campo gravitatorio porque no tienen momento respecto al eje z.

As, considerando el sentido positivo contrario al giro de las agujas del reloj, obtendr,

Momento = Fuerza x rea x distancia= m rgiro aang

( ) (22 2 2

2 2 2

xy xyxy xy

yx yxyx yx giro ang

dx dx dxdydzx x

dy dy dydzdx dxdydz r ay y

+ + + + = )

De aqu,

( ) ( )2 =xy yx giro angr a Para un elemento cuyo radio de giro tienda a cero, el segundo miembro de la ecuacin

debe tender a cero (para aceleracin angular finita) y luego,

xy y = x

0 x

y

2dx

xxy

xy

2dy

yyx

yx +

2dy

2dx

Giro (+)

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De igual forma, tomando momentos alrededor de ejes x e y respectivamente, se cumplir,

y z z y

x z z x

==

Demostrado lo anterior podemos ejecutar la suma de todas las fuerzas normales y

tangenciales que actan sobre el elemento de volumen.

A fin de simplificar el modelo analizaremos solamente las fuerzas originadas por un

movimiento del fluido en la direccin-x, como se muestra en la figura;

2xy

xxdx

x 2

yxyx

dyy

+ 2zx

zxdz

z

2zx

zxdz

z + 2

yxyx

dyy

2xx

xxdx

x +

Para las direcciones y-z existirn los mismos sistemas de fuerzas centrados en cada

cara. Luego la fuerza que acta en la direccin-z ser,

2 2 2 2 = + + + + +

xy yx yxxxx xx xx yx yx

dx dx dy dy F dydz dxdz

x x y y

2 2zx zx

zx zxdz dz dxdy

z z + + +

Para lo cual, realizando las operaciones se obtienen,

yxxx zxxF dxdydzx y z

= + +

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RELACIONES ENTRE LOS ESFUERZOS CORTANTES Y LA VISCOSIDAD La expresin (unidimensional) de la Ley de Newton indica que la viscosidad de un fluido

es la propiedad que describe su resistencia a los esfuerzos de deformacin, y en los fluidos

Newtonianos la magnitud del esfuerzo de deformacin es una funcin lineal de la velocidad de

deformacin angular.

Esto se puede poner en evidencia considerando un elemento bidimensional de fluido que

est sujeto a una deformacin angular, ya que cuando existen las velocidades en cada

direccin espacial se obtiene el rombo (figura punteada) a partir del cuadrado original.

yy

vv d

y+ y

xx

vv dy

+ y

y

y

vv

xdx

+ x

xvv dxx+

La velocidad angular del elemento lineal dx ser,

. .

yy y

yx

vv dx v

vxveloc ang

dx x

+ = = Para el elemento dy,

. .

xx x

xx

vv v dxvxveloc ang

dy y

+ = = Se ha tomado como sentido positivo de giro la contraria a la rotacin de las agujas del

reloj.

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La velocidad neta de deformacin angular del elemento se la diferencia entre las

velocidades angulares dx y dy,

. . . . y yx xv vv vveloc neta def angx y x y

= = + Anteriormente se obtuvo la expresin de Newton que relacionaba la densidad de flujo de

cantidad de movimiento con la deformacin angular en un fluido con una sola componente de

viscosidad. Luego, para el caso de una cara del elemento de volumen, bidimensional, la

relacin ser,

yxxy yx

y zyz zy

xzxz zx

vvy x

v vz y

vvx z

= = + = = +

= = +

Para los esfuerzos normales se llega a demostrar que,

( )( )

22 .322 .3

xx x

yy y

v vxv

vy

= + = +

( )22 .3

zz z

v vz

= +

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Demostracin Suponiendo una masa m que gira alrededor de un eje con cierta distancia r con una

velocidad angular w, y a la que se aplica una fuerza tangencial F. Si consideramos que no

actan otras fuerzas, la F tiende a aumentar la velocidad angular en dw.

El trabajo ejecutado ser:

dw Fds Frddw Md

= ==

Siendo:

M: momento respecto al eje

La energa cintica inicial ser:

2 2Ec mv mr w= = 2

Siendo:

v rw=Y el incremento,

2( )d Ec mr wdw=

Si no hay rozamiento,

2

2

( )dw d EcMd mr wd

dwM mr wd

w=

==

Y como la aceleracin angular () ser:

2

dw d dw dwwd d d d

M mrM I

= = = ==

Siendo:

I=mr2 el momento de inercia respecto al eje.

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2.C. ANALISIS DIMENSIONAL

Muchos problemas planteados en ingeniera, tanto en el flujo de fluidos como en la

transmisin del calor o la transferencia de masa, no se pueden solucionar por mtodos

exclusivamente analticos. Tampoco es posible obtener expresiones generales nicamente por

va experimental, ya que cuando una funcin depende de varias variables, para obtener una

relacin completa se debern fijar todos los factores menos uno, para determinar entonces el

efecto de este y as sucesivamente, resultando extremadamente laborioso relacionar todos los

datos en un resultado nico que comprenda todas las alternativas.

Como resultado de la experimentacin, se puede llegar a ecuaciones empricas donde no

se necesita prestar atencin a su coherencia dimensional, es decir, que se pueden aplicar a

ecuaciones cuyos trminos sean aparentemente de diferentes dimensiones. En estas

ecuaciones dimensionalmente heterogneas, solo se pueden utilizar las variables en las

unidades que estn especificadas.

Entonces, por ejemplo, si se estudia un fenmeno que depende de cinco variables, por el

mtodo emprico habra que realizar por lo menos 100.000 experimentos para obtener series

de 10 ensayos donde cada variable est determinada por las otras cuatro fijadas en distintos

valores. Adems de la cantidad de datos a correlacionar, generalmente algunas de las

variables son difciles de manipular y el mtodo resulta bastante limitado de aplicar para

obtener resultados amplios y generales.

Un mtodo intermedio consiste en la aplicacin del Anlisis Dimensional, que se basa en

la proposicin de que si hay una solucin analtica que relacione todas las variables, la

expresin resultante deber ser dimensionalmente homognea, es decir, todos sus trminos

tienen las mismas dimensiones, mientras que las constantes numricas que ellas puedan

contener son adimensionales, resultando posible obtener la forma en que aparecen las

variables. Una ecuacin de esta ndole puede aplicarse con cualquier sistema de unidades,

siempre que estas sean coherentes entre s, o lo que es lo mismo, utilizar las mismas para

cada magnitud fundamental.

Queda entonces determinado que, si en una ecuacin de este tipo se dividen todos los

trminos por uno de ellos, estos se transformarn en relaciones adimensionales. Una

combinacin de variables tal que sus dimensiones se anulan, reciben el nombre de grupo,

nmero o razn adimensional y su valor es siempre el mismo, sin importar el sistema de

unidades que se utilice mientras sea homogneo.

Las expresiones obtenidas solo conducen a estas relaciones entre las variables, no se

conocen los valores de las constantes numricas, por lo que no se obtiene el resultado final

completo de la ecuacin. Sin embargo, es un poderoso y valioso mtodo que orienta a la

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experimentacin mnima indispensable para corroborar los resultados, ya que reduce

drsticamente la cantidad de ensayos que deberan realizarse.

El Anlisis Dimensional se puede aplicar directamente a las denominadas Ecuaciones de

Cambio (Ecuacin de Continuidad, Ecuacin del Movimiento) o puede estudiarse a partir de un

teorema fundamental (Teorema de Buckingham) siguiendo un proceso deductivo-inductivo que

se apoya en resultados experimentales previos y posteriores relacionados con el problema en

cuestin.

ANLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO VARIACIN Partiremos de las Ecuaciones de Continuidad y del Movimiento deducidas previamente,

para mayor sencillez en esta introduccin nos limitaremos a aplicarlo en fluidos cuya densidad

y viscosidad son constantes, aunque debe destacarse que el procedimiento es general y no

tiene limitaciones en cuanto a estas condiciones.

Para un sistema de flujo cualquiera, es posible identificar arbitrariamente una longitud

caracterstica "D" y una velocidad caracterstica "V" del mismo, Por ejemplo, "D" es para flujos

en conductos cilndricos el dimetro del tubo circular y para flujo alrededor de esferas el

dimetro de la misma, mientras "V" es la velocidad media en el tubo y la velocidad de

aproximacin, respectivamente. Si bien la eleccin es arbitraria, deber ser cuidadosamente

especificada en cada caso que se trate.

A partir de esa eleccin, se podrn definir una serie de variables adimensionales y

operaciones diferenciales, que en todos los casos cumplirn las mismas condiciones de

transformacin, segn las siguientes relaciones donde los smbolos tienen el significado

habitual;

v* = v/V ; p* = (p- p0 )/V2 ; * = V/D ;

x* = x/D ; y* = y/D ; z* = z/D ;

* = D = 1 ( /x*) + 2 ( /y*) + 3 ( /z*) ;

*2 = D2 2 = 2 /x*2 + 2 /y*2 + 2 /z*2

(D /D*) = (D/V) (D /D)

Recordando las expresiones de las Ecuaciones de Cambio, para fluidos newtonianos de

densidad y viscosidad constante;

Ecuacin de Continuidad: ( v) = 0

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Ecuacin del Movimiento:

(Dv/D)= -p + 2v + g e introduciendo las variables adimensionales definidas anteriormente, estas ecuaciones

quedarn de la siguiente forma;

Ec. de Continuidad con variables adimensionales: 1/D (* v*V) = 0

Ec. del Movimiento con variables adimensionales):

(V /D)(D v*V /D*) = - 1/D (* p* V2)+ ( /D2 ) *2(v*V) + g

Reordenndolas y simplificando trminos, se obtiene;

Ec. de Continuidad (adimensional): (* v*) = 0

Ec. del Movimiento (adimensional):

(Dv* /D*) = - (* p*)+ [ /DV] *2v* + [g D/V2] (g/g)

Las anteriores son las Ecuaciones de Variacin equivalentes a las de partida, pero

presentadas con la forma de sus variables adimensionales, describiendo el movimiento del

fluido de igual manera que las expresiones dimensionales. En la Ecuacin del Movimiento aqu

presentada, por otra parte, aquellas variables que describen el tamao total, la velocidad del

sistema y las propiedades fsicas se agrupan en un coeficiente que tambin es adimensional y

que se puede denominar como el "factor de escala" de la expresin.

De acuerdo a los Principios de Semejanza, si en dos sistemas diferentes sus factores de

escala son iguales para ambos, ambos estn descritos por idnticas ecuaciones diferenciales

adimensionales. Adems, si las condiciones adimensionales inicial y lmite son las mismas, lo

que implica la restriccin de Semejanza Geomtrica, los dos sistemas son matemticamente

idnticos, o en otras palabras, la distribucin de la velocidad y de la presin adimensionales

son las mismas para cada uno de ellos, cumpliendo entonces la condicin de Semejanza

Dinmica.

Para el pasaje de escala en procesos que no se conocen muy bien, deberan mantenerse

las restricciones de Semejanza Geomtrica y Dinmica para obtener resultados comparables.

En este caso particular, como los factores de escala obtenidos intervienen con mucha

frecuencia en los estudios de ingeniera, reciben los nombres particulares de Nmero de

Reynolds y Nmero de Froude, en honor a los celebres investigadores en el estudio de la

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mecnica de los fluidos. Cabe destacar que en las expresiones se obtienen las inversas de los

mismos, que relacionan las fuerzas inerciales, las fuerzas viscosas y las gravitatorias, segn;

Nmero de Reynolds: v D Fuerzas InercialesRe = Fuerzas Viscosas

Partiendo de la expresin de la Ecuacin del Movimiento en funcin de las presiones

locales y la gravitacin, se hubiera obtenido un segundo factor de escala, que es la inversa del

denominado Nmero de Froude, que relaciona las fuerzas inerciales con las gravitatorias,

segn;

Nmero de Froude: 2v Fuerzas InercialesFr =

g D Fuerzas Gravitatorias

ANLISIS DIMENSIONAL POR EL TEOREMA DE BUCKINGHAM Tal como se present anteriormente en este curso, ya en el ao 1850 Stokes estableci

que en un sistema de flujo geomtricamente semejante puede utilizarse el nmero de Reynolds

como criterio de semejanza dinmica. En 1914, Buckingham formul el denominado teorema

de , que es el fundamento de la descripcin siguiente. Segn Bridgman, los principios

fundamentales del mtodo son los siguientes:

1) Todas las magnitudes fsicas pueden expresarse como funciones potenciales de

un reducido nmero de magnitudes fundamentales.

2) Las ecuaciones que relacionan las magnitudes fsicas son homogneas desde

un punto de vista dimensional, es decir, todos los trminos tienen las mismas dimensiones.

3) Teorema de Buckingham; si una ecuacin es dimensionalmente homognea,

puede reducirse a una serie completa de nmeros adimensionales, en los que figuran todas

las variables fsicas que influyen en el fenmeno, las constantes dimensionales que puedan

corresponder al sistema de unidades elegido (si este fuera redundante) y las constantes

universales que puedan intervenir en el fenmeno que se trate.

En forma muy general y segn algunos autores, solo existiran cinco constantes

universales imprescindibles; (i) la velocidad de la luz, (ii) la constante de Planck, (iii) la

constante de gravitacin, (iv) la constante dielctrica y (v) la constante de Boltzmann. En

general en el campo de la Ingeniera Qumica y en especial en el de los Fenmenos de

Transporte, las anteriores no suelen intervenir habitualmente, aunque s las magnitudes fsicas

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fundamentales, tales como la masa (M), la longitud (L), el tiempo () y la temperatura (T), entre

otras.

As, una descripcin completa de un fenmeno estar representada por la funcin;

(N1a, N2b, N3c, . . . Nik) = 0

donde (N1, N2, N3, . . . Ni ) son las variables o constantes dimensionales y (a, b, c, . . .k) los

exponentes a los que deben estar elevadas para obtener la solucin del problema.

El teorema de Buckingham del tercer apartado es una consecuencia de los dos

anteriores, teniendo una demostracin matemtica que excede los alcances del curso y de

estas notas. Plantea que una serie de nmeros adimensionales es completa cuando todos ellos

son independientes entre s, de manera que cualquier otro que pueda formarse con las mismas

variables sera una combinacin de dos o ms nmeros adimensionales de los contenidos en

la serie completa original. En forma restringida, la cantidad de nmeros adimensionales

independientes, que pueden formarse con N variables y constantes dimensionales es igual a su

diferencia con la cantidad de magnitudes fundamentales F del sistema de unidades elegido, es

decir;

= N - F

En una forma menos restringida, la relacin anterior se puede expresar como ( = N - j),

donde j ser la caracterstica de una matriz formada por los exponentes en que estn elevadas

las magnitudes fundamentales en las ecuaciones dimensionales de las distintas variables y

constantes dimensionales con relacin a un determinado sistema de unidades, o sea, el orden

del mayor determinante distinto de cero que puede formarse a partir de dicha matriz. En la

mayora de los casos, j coincide con F.

En conclusin, siendo 1, 2, 3, . . . n, una serie completa de relaciones

adimensionales que pueden formarse con las variables que determinan un cierto fenmeno, el

Teorema de Buckingham se puede representar por,

(1, 2, 3, . . . n) = 0

donde es una funcin universal independiente del sistema de unidades elegido.

Como ocurre en muchos casos, si su resolucin en trminos de funciones conocidas

resulta muy difcil, se utilizan formas de representacin grfica o de aproximaciones.

Si bien existen dos mtodos principales para resolver un sistema aplicando el teorema,

identificados como mtodos de Buckingham y de Rayleigh, en nuestras aplicaciones

utilizaremos una forma simplificada propuesta por Kay (considerando que j F) , siguiendo

ordenadamente los siguientes pasos;

a) Identificar y establecer todas las variables (N) que condicionan el fenmeno en

estudio.

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b) Formular el sistema de magnitudes fundamentales (F) que se desee. Esta

eleccin deber contener no menos de todas las magnitudes que intervienen en el

fenmeno. Ocasionalmente, puede ser redundante conteniendo magnitudes derivadas de

las fundamentales.

c) Calcular la cantidad de grupos adimensionales ( = N - F) que describirn el

fenmeno.

d) Separar una cantidad del total de N variables, teniendo en cuenta que cada

magnitud fundamental deber aparecer por lo menos una vez entre las elegidas (en este

mtodo simplificado, el proceso de seleccin es por tanteo, necesitando conocer

previamente algo de la naturaleza fsica del fenmeno). Estas variables sern conocidas

como "caractersticas", porque aparecern solamente en uno de los nmeros

adimensionales que se formen (el que la caracteriza).

e) Formular ecuaciones entre cada variable "caracterstica" y todas las restantes

variables "no caractersticas". Deben quedar conformadas ecuaciones, en cada una se

encuentra solo una variable caracterstica, un grupo adimensional y todas las variables

no-caractersticas elevadas a un exponente particular.

f) Reemplazar en cada una las variables por sus dimensiones (no unidades) y

resolver entre cada variable "caracterstica" y todas las restantes variables "no

caractersticas". Formar una matriz de los exponentes a que quedan afectadas las

magnitudes fundamentales en las ecuaciones dimensionales de las variables. Al resolver,

se debera obtener el valor del exponente que afecta a cada variable.

g) Introducir los resultados en el conjunto de expresiones del apartado "e". Se

obtendrn las expresiones de los nmeros adimensionales (1, 2, 3, . . . n ) formado

por productos, cocientes o potencias de las variables que intervienen en la solucin del

problema. No se obtienen las constantes numricas adimensionales de las ecuaciones,

que debern determinarse por experimentacin.

En conclusin, se puede verificar una significativa reduccin en la cantidad de ensayos a

realizar para obtener una correlacin que describa el fenmeno. As, en el ejemplo inicial de

cinco variables, si fueran tres las dimensiones fundamentales consideradas la descripcin se

lograra con dos grupos adimensionales independientes, por lo que se deberan realizar

solamente 100 ensayos con las mismas premisas anteriores.

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Unidad Tematica 2

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