Unidad N 5: Momentos, Sesgo y Curtosis

Unidad N 5: Momentos, Sesgo y CurtosisAsignatura: Estadstica I (MAT-31214)Elaborado por: Lcdo. Ely Rosas

UNIDAD N 5: MOMENTOS, SESGOS Y CURTOSIS

5.1. MOMENTOS

Pueden definirse como las potencias de los desvos de los valores o puntos medios de la serie con relacin a un determinado valor que generalmente es: la Media Aritmtica (Momentos centrales), un valor arbitrario tomado como Media (Momentos con respecto a la Media Arbitraria) o el origen cero (Momentos con respecto al origen).

Los Momentos Centrales o con respecto a la Media Aritmtica son los de mayor importancia ya que alguno de ellos o bien son equivalentes a algn indicador estadstico o por su parte se utilizan para la determinacin de los Coeficientes de Asimetra y de Kurtosis.

Se acostumbra no calcular ms all de los Momentos de Cuarto Orden ya que son ellos los que presentan alguna relacin de equivalencia con los Indicadores de Dispersin, Asimetra y Kurtosis.

Las frmulas de clculo de los Momentos Centrales o con respecto a la Media Aritmtica () son:

(Por la 1 Propiedad de la Media Aritmtica)

(Igual a la Varianza)

(Se usa para hallar el Coeficiente de Asimetra)

(Se usa para determinar el Coeficiente de Kurtosis)

Para datos agrupados, los Momentos se obtienen de la siguiente manera:

(Por la 1 Propiedad de la Media Aritmtica)

(Igual a la Varianza)

(Se usa para hallar el Coeficiente de Asimetra)

(Se usa para determinar el Coeficiente de Kurtosis)

5.1.1. MOMENTOS EN FORMA ADIMENSIONAL

Para evitar usar unidades particulares, se definen momentos adimensionales respecto de la media:

donde es la desviacin estndar. Como y , se tiene que y .

5.2. EL SESGO

El sesgo de una distribucin es su grado de asimetra o el grado en el que se aleja de la simetra. Los indicadores de asimetra permiten conocer el grado de distorsin de un Polgono de Frecuencias Absolutas, con lo cual se podr observar hacia dnde se encuentran mayormente concentrados los datos de una serie: si en la cola derecha de la curva (a la derecha de la ordenada mxima), si en la cola izquierda ( a la izquierda de la ordenada mxima ) o si por el contrario se encuentran proporcionalmente distribuidos alrededor de la misma, situaciones stas que van a dar lugar a una serie de relaciones entre ciertos promedios que se cumplen de acuerdo al tipo de distorsiones mencionadas. Los resultados de estos indicadores no vienen expresados en ningn tipo de unidades por considerarse valores abstractos (aquellos cuyas unidades no se determinan).

TIPOS DE ASIMETRA

Asimetra Positiva o hacia la derecha As = (+)Indica que hay mayora de datos ubicados en la cola derecha de la curva, es decir, a la derecha de la ordenada mxima, debido a lo cual se cumple la siguiente relacin dentro de ciertos promedios.

Lase: Media Aritmtica mayor que la Mediana y sta a su vez mayor que Moda, por tanto una

Asimetra Negativa o hacia la izquierda As = (-)Muestra que hay mayor parte de datos concentrados en la cola izquierda de la curva, es decir, a la izquierda de la ordenada mxima, por lo cual se cumple:

Lase: Moda mayor que la Mediana y sta a su vez mayor que Media Aritmtica, por tanto una

Distribuciones SimtricasLos datos se encuentran proporcionalmente distribuidos alrededor de la ordenada mxima en ambas colas cumplindose la siguiente relacin:

Se cumple ello cuando la As sea exactamente igual a 0.

FRMULAS PARA DETERMINAR EL COEFICIENTE DE ASIMETRA

a) Mtodo de Pearson.a.1) Primer Coeficiente de sesgo de Pearson

a.2) Segundo Coeficiente de sesgo de Pearson

b) Mtodo de Bowley o de los Cuartiles

c) Mtodo de los Momentos

De acuerdo a los Mtodos antes nombrados, la Asimetra vara entre (-)1 y (+)1, es decir:

Lase: El Coeficiente de Asimetra es mayor o igual que menos uno y menor o igual que uno.

Obviamente, mientras ms se aleje del valor cero, bien sea hacia la derecha o hacia la izquierda, ms intenso es dicho Coeficiente. Cuando tenga un valor exactamente igual a cero se dice que la Distribucin es Simtrica.

Grado de Intensidad del Coeficiente de Asimetra

Aunque no existe una regla general para calificar a una distribucin, de acuerdo al resultado de su Coeficiente de Asimetra como dbil, moderada, fuerte o extremadamente Asimtrica, se podra establecer en forma emprica los siguientes grados de intensidad:

Cuando sea menor que la Serie indica: Una dbil suave o ligera Asimetra positiva o negativa segn el respectivo signo.

Cuando est comprendida entre es decir, entre 0,33 y 0,66 la serie indica una moderada Asimetra.

Cuando sea mayor que , es decir, mayor que 0,66 pero menor que uno, la serie indica una fuerte Asimetra.

Cuando o , la serie indica una extremada Asimetra Positiva o Negativa, respectivamente.

Ejemplo: Determine e interprete el coeficiente de asimetra para la Distribucin de Frecuencias de la Tabla N 3.

5.3. LA CURTOSIS

Se entiende por Curtosis, el grado de apuntamiento o picudez que presenta una curva simtrica (polgono de frecuencias absolutas) con relacin a la denominada Curva Normal o de Gauss, la cual es tomada como patrn de referencia para la correspondiente comparacin.

La curtosis es un recurso para describir una distribucin de frecuencia, se usa para mostrar el grado de concentracin (curva con gran apuntamiento) de los datos o dispersos o descentralizados (curva achatada).

La frmula para determinar el Coeficiente de Curtosis es la siguiente:

Donde = Cuarto Momento Central o con respecto a la Media Aritmtica.

Interpretacin del Coeficiente de Curtosis

Cuando K = 3 la distribucin estudiada se denomina MESOKRTICA (igual apuntamiento, picudez o altura que la Curva Normal o de Gauss).Cuando k < 3, al resultar el Coeficiente menor que tres la distribucin es considerada como PLATIKRTICA o ms achatada o aplastada que la Normal.Cuando K > 3, al ser el Coeficiente mayor que tres se denomina a la serie en estudio como LEPTOKRTICA, es decir, ms alta, ms aguda, mayor picudez que la Distribucin Normal.

Visualizacin grfica aproximada de los Tipos de Curtosis.

Ejemplo: Determine e interprete el Coeficiente de Curtosis para la Distribucin de Frecuencias mostrada en la Tabla N 3.

1