UNIDAD Nº 1-ESPACIOS VECTORIALES · DEFINICIÓN Nº 1 : 1) ℚ y R son cuerpos porque verifican...

UNIDAD N° 1

ESPACIOS VECTORIALES

UNIDAD Nº 1: ESPACIOS VECTORIALES – PROF. MARÍA EUG ENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________

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INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V . GONZÁLEZ” 17

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN Nº 1:

1) ℚ y R son cuerpos porque verifican las 9 propiedades anteriores.

2) ℕ no es cuerpo porque no se verifican las siguientes propiedades:

3: El elemento neutro para la adición, 0, no es un número natural.

4: El opuesto de un número natural no es un número natural.

Un CUERPO F es un conjunto con dos operaciones (denotadas por + y ⋅ )

que satisface las siguientes propiedades:

( ) ( )1) La adición es conmutativa, o sea x y y x x, y F.

2) La adición es asociativa, o sea x y z x y z x, y, z F

3) Existe un único elemento 0 de F tal que x 0 x x F.

4) A cada elemento x F le

+ = + ∀ ∈+ + = + + ∀ ∈

++ = ∀ ∈

∈ ( )

( ) ( )

corresponde un único elemento - x F tal que x x =0

5) La multiplicación es conmutativa, o sea x y y x x, y F.

6) La multiplicación es asociativa, o sea x y z x y z x, y, z F

7) Existe u

∈ + −

⋅ = ⋅ ∀ ∈⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈

⋅

-1

-1

n elemento no nulo único de F, el 1, tal que x 1 x x F.

18) A cada elemento no nulo x F le corresponde un único elemento x F tal que

xx x 1

La multiplicación es distributiva con re

⋅ = ∀ ∈ ∈ = ∈ ⋅ =

+ ⋅{ ( )specto de la adición, o sea x y z x y x z

x, y, z F

⋅ + = ⋅ + ⋅

∀ ∈

Por ejemplo…


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8: El inverso de un número natural no es un número natural, excepto para el 1 que

es el único natural inversible en ℕ .

3) ℤ no es cuerpo porque no se verifica la propiedad 8 ya que los únicos

enteros inversibles en ℤ son 1 y -1.

DEFINICIÓN Nº 2:

Un ESPACIO VECTORIAL consta de lo siguiente:

1) Un cuerpo F de escalares .

2) Un conjunto V de objetos llamados vectores .

3) Una regla u operación, llamada adición vectorial , que asocia a cada

par de vectores α , β de V, un vector α β+ de V, que se llama suma de α y β ,

de tal modo que:

a) α β β α α,β V+ = + ∀ ∈ (conmutativa )

b) ( ) ( )α β δ α β δ α,β,δ V+ + = + + ∀ ∈ (asociativa )

c) Existe un único vector 0 V∈ , llamado vector nulo, tal que

α 0 α α V+ = ∀ ∈ (neutro aditivo )

d) Para todo vector α V∈ , existe un único vector α V− ∈ tal que

( )α α 0+ − = (inverso aditivo ).

4) Una regla u operación, llamada multiplicación escalar , que asocia a

cada escalar c de F y a cada vector α de V un vector cα de V, llamado

producto de c y de α , de tal modo que:

a) Existe un único escalar 1 en F, tal que 1 α α α V⋅ = ∀ ∈

b) ( ) ( )1 2 1 2 1 2c c α c c α c ,c F α V= ∀ ∈ ∧ ∀ ∈

c) ( )c α β cα cβ c F α,β V+ = + ∀ ∈ ∧ ∀ ∈

d) ( )1 2 1 2 1 2c c α c α c α c ,c F α V+ = + ∀ ∈ ∧ ∀ ∈


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1) Sea F un cuerpo cualesquiera y V el conjunto de todas las n-uplas de

escalares de F.

Sean: ( )1 n iα x ; ;x con x F i 1; ;n= ∈ ∀ =… …

( )1 n iβ y ; ;y con y F i 1; ;n= ∈ ∀ =… …

c F∈ .

Se definen: ( )1 1 n nα β x y ; ;x y⊕ = + +…

( )1 nc α cx ; ;cx=i …

Para demostrar que un conjunto es espacio vectorial

con las operaciones que para él se definen es necesario

verificar que:

En los siguientes ejemplos aplicaremos la definición de

espacio vectorial.

La suma de dos elementos de ese conjunto pertenece a ese conjunto.

Se cumplen las cuatro propiedades de la adición vectorial.

El producto de un elemento del cuerpo por un elemento del conjunto

pertenece al conjunto.

Se cumplen las cuatro propiedades de la multiplicación escalar.

Si alguna de estas condiciones no se cumpliera no es necesario continuar la

verificación de las otras. Directamente podemos afirmar que el conjunto no es

espacio vectorial.


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Demostraremos que con estas operaciones usuales, V es un F-espacio

vectorial.

Demostración :

Como podemos observar, las operaciones definidas son las usuales. A partir de

ellas demostraremos las 8 propiedades.

Sean ( ) ( ) ( )1 n 1 n 1 nα x ; ;x , β y ; ;y , δ z ; ;z V= = = ∈… … … y sean 1 2c, c , c F∈ .

1. ( )1 1 n nα β x y ; ;x y por definición de suma⊕ = + + →…

( )1 1 n n y x ; ;y x por ser F cuerpo la suma es conmutativa

β α

= + + →

= ⊕

…

α β β α α,β V∴ ⊕ = ⊕ ∀ ∈

2. ( ) ( ) ( )1 1 n n 1 nα β δ x y ; ;x y z ; ;z por definición de suma⊕ ⊕ = + + + →… …

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

1 1 1 n n n

1 1 1 n n n

x y z ; ; x y z por definición de suma

x y z ; ;x y z por ser F cuerpo la suma es asociativa

α β δ

= + + + + →

= + + + + →

= ⊕ ⊕

…

…

( ) ( ) α β δ α β δ α,β,δ V∴ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ∀ ∈

3. Demostraremos la existencia y la unicidad del elemento neutro aditivo.

Sea ( )1 nλ a ; ;a V= ∈… tal que α λ α α V⊕ = ∀ ∈ . Pretendemos probar que, en

este caso, λ 0= .

( )

( )1 1 n n

1 n

α λ x a ; ;x a por definición de suma

x ; ;x porque tomamos λ / α λ α α V

α

⊕ = + + →

= → ⊕ = ∀ ∈

=

…

…

( )i i ix a x i 1; ;n⇒ + = ∗ ∀ = … .


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Como ( )i i i ix F i 1; ;n x F / x x 0∈ ∀ = ⇒ ∃ − ∈ + − =… .

Sumando miembro a miembro en ( ) i x∗ − , obtenemos:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i i

i i i i i

i i i

x a x

x a x x x

a x x 0 por la propiedad conmutativa y del inverso aditivo en F

+ = ∗

+ + − = + −

+ + − = →

( )i i i

i

i

a x x 0 por la propiedad asociativa en F

a 0 0 por la propiedad del inverso aditivo en F

a 0 por ser 0 el elemento neutro en F

+ + − = →

+ = →

= →

De esta forma, ia 0 i 1; ;n λ (0; ;0)= ∀ = ⇒ =… … , con lo cual queda demostrada

la existencia y la unicidad del vector nulo.

! 0 V / α 0 α α V∴ ∃ ∈ ⊕ = ∀ ∈

4. Demostraremos la existencia y la unicidad del inverso aditivo de un vector.

Sea ( )1 nθ b ; ;b V= ∈… tal que α θ 0 α V⊕ = ∀ ∈ . Demostraremos que

θ α= − .

( )

( )1 1 n nα θ x b ; ;x b por definición de suma

0; ;0 porque tomamos θ / α θ 0 α V

0

⊕ = + + →

= → ⊕ = ∀ ∈

=

…

…

( )i ix b 0 i 1; ;n⇒ + = ∗ ∀ = … .

Como ( )i i i ix F i 1; ;n x F / x x 0∈ ∀ = ⇒ ∃ − ∈ + − =… .

Sumando miembro a miembro en ( ) i x∗ − , obtenemos:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

i i

i i i i

i i i i

i i i i

x b 0

x b x 0 x

b x x x por la propiedad conmutativa en F y por ser 0 el elemento neutro en F

b x x x por la propiedad asociativa en F

+ = ∗

+ + − = + −

+ + − = − →

+ + − = − →


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i i

i i

b 0 x por la propiedad del inverso aditivo en F

b x por ser 0 el elemento neutro en F

+ = − →

= − →

De esta forma, ( )i i 1 nb x i 1; ;n θ α x ; ; x= − ∀ = ⇒ = − = − −… … , con lo cual queda

demostrada la existencia y la unicidad del inverso aditivo de un vector.

( ) Dado α V, ! α V / α α 0∴ ∈ ∃ − ∈ ⊕ − = .

5. Por ser F cuerpo, 1 F / 1 x x x F∃ ∈ ⋅ = ∀ ∈ . Luego,

( )

( )1 n

1 n

1 α 1 x ; ;1 x por definición de multiplicación

x ; ;x por ser 1 el neutro del producto en F

α

= ⋅ ⋅ →

= →

=

i …

…

1α α α V∴ = ∀ ∈i

6. ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 1 2 nc c α c c x ; ; c c x por definición de multiplicación escalar= →i …

( ) ( )( )( )

( )

1 2 1 1 2 n

1 2 1 2 n

1 2 1 n

c c x ; ;c c x por la propiedad asociativa del producto en el cuerpo F

c c x ; ;c x por definición de multiplicación escalar

c c x ; ;x por definición de mu

= →

= →

= →

…

i …

i i …

( )1 2

ltiplicación escalar

c c α= i i

( ) ( )1 2 1 2 1 2 c c α c c α c ,c F α V∴ = ∀ ∈ ∧ ∀ ∈i i i

7. ( ) ( )1 1 n nc α β c x y ; ;x y por definición de adición vectorial⊕ = + + →i i …

( ) ( )( )( )

1 1 n n

1 1 n n

c x y ; ;c x y por definición de multiplicación escalar

cx cy ; ;cx cy por la propiedad distributiva de la multiplicación con

= + + →

= + + →

…

…

( ) ( )1 n 1 n

respecto a la adición en el cuerpo F

cx ; ;cx cy ; ;cy por definición de adición vectorial= ⊕ →… …


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( ) ( )1 n 1 n c x ; ;x c y ; ;y por definición de multiplicación escalar

c α c β

= ⊕ →

= ⊕

i … i …

i i

( ) c α β c α c β c F α,β V∴ ⊕ = ⊕ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈i i i

8. ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 nc c α c c x ; ;x+ = +i i …

( ) ( )( )( )

1 2 1 1 2 n

1 1 2 1 1 n 2 n

c c x ; ; c c x por definición de multiplicación escalar

c x c x ; ;c x c x por la propiedad distributiva de la multiplicación

= + + →

= + + →

…

…

con respecto a la adición en el cuerpo F

( ) ( )

( ) ( )1 1 1 n 2 1 2 n

1 1 n 2 1 n

1 2

c x ; ;c x c x ; ;c x por definición de adición vectorial

c x ; ;x c x ; ;x por definición de multiplicación escalar

c α c α

= ⊕ →

= ⊕ →

= +

… …

i … i …

i i

( )1 2 1 2 1 2 c c α c α c α c ,c F α V∴ + = ⊕ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈i i i

Al verificarse las cuatro propiedades de la adición vectorial y las cuatro

propiedades de la multiplicación escalar, entonces V es un F – espacio vectorial.

Como podemos observar, cuando el conjunto junto con las operaciones

definidas para él es espacio vectorial, la demostración no es difícil si se tienen en

claro las propiedades, pero sí es extensa.

En cambio, cuando el conjunto no es espacio vectorial la demostración puede

resultar mucho más corta si se logra detectar rápidamente cuál propiedad es la que

no se verifica y demostrar que esto es así o mostrar un contraejemplo para la misma.

2) Sea F el cuerpo de los números reales y V el conjunto de pares ( )x;y de

números reales.

Se definen las siguientes operaciones: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2x ;y x ;y x x ;0⊕ = +

( ) ( )c x;y cx;0=i


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¿Es V, con estas operaciones, un R espacio vectorial?

Demostración :

Para poder demostrar si un conjunto con unas determinadas operaciones

definidas es o no espacio vectorial, es importante comprender en qué consisten esas

operaciones.

Para este ejemplo, en el caso de la adición vectorial, al sumar dos vectores,

obtenemos un nuevo vector cuya primera componente es la suma de las primeras

componentes de los vectores dados y cuya segunda componente es igual a cero,

independientemente de cuáles sean los vectores sumados.

Así, por ejemplo, si estuviésemos sumando los vectores ( )3;5 y ( )4; 2−

obtendríamos lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )3;5 4; 2 3 4;0 7;0⊕ − = + =

En el caso de la multiplicación escalar, al multiplicar un escalar por un vector,

obtenemos un nuevo vector cuya primera componente es el producto entre el

escalar dado y la primera componente del vector dado y cuya segunda componente

es igual a cero, independientemente de cuál sea el escalar y cuál sea el vector.

Así, por ejemplo, si estuviésemos multiplicando 3− por el vector ( )4; 2−


( ) ( ) ( )3 4; 2 3 4;0 12;0− − = − ⋅ = −i

Dejando esto en claro, comenzaremos la demostración.

Sea ( )x;y V∈ con y 0≠ .

Supongamos que existe 0 V∈ tal que 0 es el neutro de la adición vectorial.

Luego, si V es un R espacio vectorial, se verifica que ( )x;y ⊕ 0 = ( )x;y .

Pero, de acuerdo a las operaciones definidas, ( )x;y ⊕ 0 = ( ) ( )x;0 x;y≠ por ser

y 0≠ .

Por lo tanto no existe un elemento neutro aditivo, con lo cual se puede concluir

que V no es un R espacio vectorial.


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3) Sea 2V = R y F = R .

Se definen las siguientes operaciones: ( ) ( ) 1 1 1 1x;y x ';y ' x x '; y y '

2 2 2 2 ⊕ = + +

( ) ( )c x;y cx;cy• =

¿Es V, con estas operaciones, un R espacio vectorial?

Demostración :

Nuevamente, es importante comprender en qué consisten las operaciones

definidas.

Para este ejemplo, en el caso de la adición vectorial, al sumar dos vectores,

obtenemos un nuevo vector cuya primera componente es la suma de las mitades de

las primeras componentes de los vectores dados y cuya segunda componente es la

suma de las mitades de las segundas componentes de los vectores dados.

Así, por ejemplo, si estuviésemos sumando los vectores ( )3;5 y ( )4; 2−


( ) ( ) 3 4 5 2 7 33;5 4; 2 ; ;

2 2 2 2 2 2 ⊕ − = + − =

En el caso de la multiplicación escalar, se trata de la multiplicación común entre

un escalar y un vector, es decir, al multiplicar el escalar por el vector se obtiene un

nuevo vector en el que cada una de sus componentes resulta de multiplicar el

escalar por las componentes del vector dado.

Así, por ejemplo, si estuviésemos multiplicando 3− por el vector ( )4; 2−


( ) ( )( ) ( )3 4; 2 3 4; 3 2 12;6− − = − ⋅ − ⋅ − = −i

Dejando esto en claro, comenzaremos la demostración.

Sean ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2α a ;a , β b ;b , δ d ;d= = = ∈R y sean 1 2c, c , c ∈R .

Comenzaremos a chequear si se verifican las 8 propiedades.


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1. ( ) ( )1 2 1 2α β a ;a b ;b⊕ = ⊕

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1 a b ; a b por definición de suma

2 2 2 2

1 1 1 1 b a ; b a por ser F cuerpo la suma es conmutativa

2 2 2 2

b ;b a ;a

β α

= + + →

= + + →

= ⊕

= ⊕

α β β α α,β V∴ ⊕ = ⊕ ∀ ∈

2. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2α β δ a ;a b ;b d ;d ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

( )1 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 a b ; a b d ;d por definición de suma

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 a b d ; a b d por definición de suma

2 2 2 2 2 2 2 2

= + + ⊕ →

= + + + + →

( )1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 a b d ; a b d

4 4 2 4 4 2 = + + + + → ∗

Por otra parte:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2α β δ a ;a b ;b d ;d ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

( )1 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2

1 1 1 1 a ;a b d ; b d por definición de suma

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 a b d ; a b d por definición de suma

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 a b d ; a

2 4 4 2

= ⊕ + + →

= + + + + →

= + + + ( )2 2

1b d

4 4 + → ∗∗

Si observamos lo obtenido en ( )∗ y en ( )∗∗ podemos comprobar que existen

α,β,δ V∈ tal que ( ) ( )α β δ α β δ⊕ ⊕ ≠ ⊕ ⊕ .

Por lo tanto, como no se verifica una de las propiedades puede concluirse en

que 2R , con estas operaciones definidas, no es un R espacio vectorial.


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Lo que se ha efectuado es una demostración de que no se verifica la propiedad

asociativa de la adición para las operaciones definidas. Previamente se ha probado

la conmutatividad, aunque esto no hubiese sido necesario si de antemano

hubiésemos podido determinar cuál era la propiedad que no se cumplía. En este

caso, bastaba con dedicarnos exclusivamente a ella.

También hubiese sido suficiente con dar un contraejemplo que mostrase que

esa propiedad no se verificaba.

Por ejemplo: sean ( ) ( ) ( ) 2α 2;3 , β 6;7 y δ 8;4= − = = − ∈R . Calcularemos

( )α β δ⊕ ⊕ y ( )α β δ⊕ ⊕ y veremos si lo obtenido en un caso es o no igual a lo

obtenido en el otro.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

α β δ 2;3 6;7 8;4

2 6 3 7 ; 8;4

2 2 2 2

2;5 8;4

2 8 5 4 ;

2 2 2 2

9 3;

2

⊕ ⊕ = − ⊕ ⊕ −

− = + + ⊕ −

= ⊕ −

= − +

= −

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

α β δ 2;3 6;7 8;4

6 8 7 4 2;3 ;

2 2 2 2

11 2;3 1;

2

112 1 3 2 ;2 2 2 2

3 17 ;

2 4

⊕ ⊕ = − ⊕ ⊕ −

= − ⊕ − +

= − ⊕ −

= − − +

= −


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Como podemos observar, para los vectores tomados se tiene que

( ) ( )α β δ α β δ⊕ ⊕ ≠ ⊕ ⊕ .

Por lo tanto, podría concluirse en que existen 2α,β,δ∈R tales que

( ) ( )α β δ α β δ⊕ ⊕ ≠ ⊕ ⊕ . Esto nos indica que el conjunto no es espacio vectorial.

Es importante tener en cuenta que en la conclusión final diremos que “existen”

determinados vectores que no verifican la propiedad y no expresaremos que “para

todos” no se cumple, puesto que sólo hemos tomado algunos de ellos para dar

nuestro contrajemplo.

Indica si se verifican para cada uno de los siguientes conjuntos, con las

operaciones definidas, las ocho propiedades correspondientes a los espacios

vectoriales.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3V , F , x;y;z x ';y ';z ' x x ';y y ';z z ' , c x;y;z cx;y;z= = ⊕ = + + + • =R R .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2V , F , x;y x ';y ' x y ';y x ' , c x;y cx;y= = ⊕ = + + • =R R .

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3V , F , x;y;z x ';y ';z ' x x ';y y ';z z ' , c x;y;z 0;0;0= = ⊕ = + + + • =R R .

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2V , F , x;y x ';y ' x x ';y y ' , c x;y 2cx;2cy= = ⊕ = + + • =R R .

e) nV , F , α β α β, c α cα= = ⊕ = − • = −R R .

f) ( ) ( )mxn mxn mxnij ij ijij ij

V F . Si A, B F , A B a b . Si c F y A F , c A ca .= ∈ ⊕ = + ∈ ∈ • =

g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2V , F , x;y x ';y ' x x ';y y ' , c x;y cx;0= = ⊕ = + + • =R R .

RTA: Es espacio vectorial el del ítem f.

En el siguiente lema veremos dos propiedades que se verifican en un espacio

vectorial.

Ahora es tu turno…

Te invito a resolver los siguientes ejercicios…


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DEMOSTRACIÓN:

1) Sean c F∈ y α V∈ .

⇐

• Sea c = 0, entonces ( ) �4d

cα 0α 0 0 α 0α 0α= = + = + ( )∗

Como 0α V∈ , por 3d, ( ) ( ) -0α / 0α 0α 0 ∃ + − = ∗∗ .

Entonces, sumando al segundo y último miembro de la cadena de igualdades

de ( )∗ 0α− obtenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0α 0α 0α 0α 0α

0 0α 0α 0α por y por la propiedad 3b de espacio vectorial

0 0α 0 por

0 0α por 3c

0 cα

+ − = + + −

= + + − → ∗∗

= + → ∗∗

= →

=

Si c 0 cα 0∴ = ⇒ =

• Sea α 0= , entonces ( ) �4b

cα c0 c 0 0 c0 c0= = + = + ( )∗

Como c0 V∈ , por 3d, ( ) ( ) -c0 V / c0 c0 0 ∃ ∈ + − = ∗∗ .

Así, sumando al segundo y último miembro de la cadena de igualdades de ( )∗

c0− obtenemos:

LEMA Nº 1 :

Sea V un F – espacio vectorial. Entonces se cumple:

1) Si c F∈ y α V∈ , cα 0 c 0 ó α 0= ⇔ = =

2) 1 α α α V− ⋅ = − ∀ ∈ .


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( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

c0 c0 c0 c0 c0

0 c0 c0 c0 por y por la propiedad 3b de espacio vectorial

0 c0 0 por

0 c0 por 3c

0 cα

+ − = + + −

= + + − → ∗∗

= + → ∗∗

= →

=

Si α 0 cα 0∴ = ⇒ =

⇒ Sea cα 0= ( )∗

Puede suceder que c 0= o que c 0≠ .

• Si c 0= , la demostración estaría terminada.

• Si c 0≠ , entonces, por ser F cuerpo, existe 1c F− ∈ tal que 1c c 1− = .

Multiplicando a ambos miembros de la igualdad ( )∗ por 1c− , obtenemos:

( )1 1

1

c cα c 0

4b c cα 0 probado anteriormente

1 α 0

4a α 0

− −

−

=

← = →

⋅ =

← =

De acuerdo con lo demostrado, si cα 0= y c 0≠ , entonces α 0= .

Si cα 0 c 0 ó α 0∴ = ⇒ = =

2) Por 1), � ( )( ) � ( ) � ( )1) 4d 4a

0 0α 1 1 α 1α 1 α α 1 α= = + − = + − = + − ( )∗

Ahora, dado α V∈ , por 3d, existe ( )α V / α α 0− ∈ + − =

Sumando α− al primer y último miembro de la igualdad ( )∗ obtenemos:

( )

( ) ( )

( )

α 0 α α 1 α

3c α α α 1 α 3b

α 0 1 α 3d

− + = − + + −

← − = − + + − →

− = + − →


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( ) α 1 α 3c− = − →

1 α α α V∴ − ⋅ = − ∀ ∈

DEFINICIÓN Nº 3:

1) Sean ( ) ( ) ( )1 2β 3; 4 ; α 3; 2 y α 1;0= − = − = .

¿Es 1 2β combinación lineal de α y α ?

Para poder responder a esta pregunta, deberemos plantearnos otra,

equivalente a ella: ¿Existen escalares 1 2 1 1 2 2c ,c F / β c α c α ?∈ = +

Si existieran se verificaría la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 13; 4 c 3; 2 c 1;0 3c c ; 2c− = − + = + − ,

Esto último nos lleva a plantear el sistema de ecuaciones 1 2

1

3c c 3

2c 4

+ =− = −

, cuya

solución es 1

2

c 2

c 3

= = −

.

Así, podemos expresar a β de la siguiente forma: ( )1 2 β 2α 3 α= + − , con lo

cual, concluimos en que 1 2β combinación lineal de α y α .

2) Sean ( ) ( ) ( )1 2β 2;1; 1 ; α 2;1;0 y α 3;1;0= − = = − .

¿Es 1 2β combinación lineal de α y α ?

Un vector β de V se dice COMBINACIÓN LINEAL de los vectores 1 nα ; ;α…

en V, si existen escalares 1 nc ; ;c… de F tales que n

1 1 n n i ii 1

β c α c α c α=

= + + =∑… .

Buscaremos comprender la definición anterior a través

de los siguientes ejemplos.


_________________________________________________________________________________


Nuevamente, para poder responder a esta pregunta, deberemos verificar si

existen escalares 1 2 1 1 2 2c ,c F / β c α c α∈ = + .

Supongamos que existen tales escalares. Luego:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22;1; 1 c 2;1;0 c 3;1;0 2c 3c ;c c ;0− = + − = − + , con lo cual resulta 1 0− = .

Absurdo: el absurdo proviene de suponer que 1 2β combinación lineal de α y α .

Por lo tanto, 1 2β no es combinación lineal de α y α .

3) En este caso, expresaremos al polinomio ( ) 2A x 1 3x 2x= − + como

combinación lineal de los polinomios

( )( )( )

21

22

23

P x 2 x 4x

P x 1 x 3x

P x 3 2x 5x

= + + = − + = + +

Aquí no se nos pregunta si A es combinación lineal de 1 2 3P , P y P , sino que

directamente se pide que se arme esa combinación, lo que permite asegurar que

esto es posible.

Sean a, b y c escalares tales que se verifica la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3A x aP x bP x cP x= + +

Entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

21 2 3

2 2 2

2 2 2

2

1 3x 2x aP x bP x cP x

a 2 x 4x b 1 x 3x c 3 2x 5x

2a ax 4ax b bx 3bx 3c 2cx 5cx

2a b 3c a b 2c x 4a 3b 5c x

− + = + +

= ⋅ + + + ⋅ − + + ⋅ + +

= + + + − + + + +

= + + + − + + + +

Se tiene una igualdad entre dos polinomios. Uno de ellos es 21 3x 2x− + y el

otro es ( ) ( ) ( ) 22a b 3c a b 2c x 4a 3b 5c x+ + + − + + + + .

Para que la igualdad entre ellos se verifique deben ser iguales sus términos

independientes, sus coeficientes lineales y sus coeficientes principales.


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De esta manera:

2a b 3c 1

a b 2c 3

4a 3b 5c 2

+ + = − + = −

+ + =

Resolvemos el sistema armando la matriz correspondiente al mismo y

reduciéndola hasta encontrar los valores de a, b y c.

1 1 2 32 1 3 1 1 1 2 3 1 1 2 3

1 71 1 2 3 2 1 3 1 0 3 1 7 0 1

3 34 3 5 2 4 3 5 2 0 7 3 14 0 7 3 14

− − − − − − − − → → − → − → − −

5 2 5 2 131 0 1 0 1 0 0

3 3 3 3 21 7 1 7 7

0 1 0 1 0 1 03 3 3 3 2

72 7 70 0 10 0 0 0 1

23 3 2

− − − − → − → − −

Por lo tanto 13 7 7

a , b y c2 2 2

= − = = .

Es decir que, ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

13 7 7A x P x P x P x

2 2 2= − + +

4) Expresaremos los siguientes vectores como combinación lineal de

( )α 1; 2;0 ,= − ( ) ( )β 0;1;3 y δ 4; 2;1= = − .

a) ( )4;2; 3− b) ( )5;0;1 c) ( )1; 3;2−

En este caso, no se nos pide determinar si los vectores de los ítems a, b y c

son o no son combinación lineal de α, β y δ . Se sobreentiende por el enunciado que

sí lo son y lo que se nos pide es que armemos la combinación lineal

correspondiente.

Para hacerlo habría que construir las matrices aumentadas en tres

oportunidades. Ahorraremos trabajo procediendo de la siguiente manera:


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Sea ( ) 3x;y;z ∈R combinación lineal de α, β y δ . Entonces, existen a, b, c ∈R

tal que:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

x;y;z aα bβ cδ

a 1; 2;0 b 0;1;3 c 4; 2;1

a; 2a;0 0;b;3b 4c; 2c;c

a 4c; 2a b 2c;3b c

= + +

= − + + −

= − + + −

= + − + − +

De acuerdo con esto, resulta el siguiente sistema:

a 4c x

2a b 2c y

3b c z

+ =− + − =

+ =

Armamos la matriz aumentada del sistema y la reducimos hasta obtener los

valores de a, b y c en función de los de x, y, z.

1 0 4 x 1 0 4 x 1 0 4 x

2 1 2 y 0 1 6 2x y 0 1 6 2x y

0 3 1 z 0 3 1 z 0 0 17 6x 3y z

− − → + → + → − − − +

7 12 4 7 12 41 0 0 x y z a x y z

17 17 17 17 17 171 0 4 x2 1 6 2 1 6

0 1 6 2x y 0 1 0 x y z b x y z17 17 17 17 17 17

6 3 1 6 3 1 6 3 10 0 1 x y z 0 0 1 x y z c x y z17 17 17 17 17 17 17 17 17

− − + = − − + + → − − + ⇒ = − − +

+ − + − = + −

Por lo tanto:

( ) 7 12 4 2 1 6 6 3 1x;y;z x y z α x y z β x y z δ

17 17 17 17 17 17 17 17 17 = − − + + − − + + + −

.

Escribiremos ahora cada una de las combinaciones lineales pedidas.

a) ( )4;2; 3−

En este caso, x 4, y 2 y z 3= = = − .


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Entonces:

( )

( )

( )

7 12 4 7 12 4 64a x y z 4 2 3

17 17 17 17 17 17 172 1 6 2 1 6 28

b x y z 4 2 317 17 17 17 17 17 17

6 3 1 6 3 1 33c x y z 4 2 3

17 17 17 17 17 17 17

= − − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − = − − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − = + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − =

Por lo tanto, ( ) 64 28 334;2; 3 α β δ

17 17 17− = − − + .

b) ( )5;0;1

En este caso, x 5, y 0 y z 1= = = .

Entonces:

7 12 4 7 12 4 31a x y z 5 0 1

17 17 17 17 17 17 172 1 6 2 1 6 4

b x y z 5 0 117 17 17 17 17 17 17

6 3 1 6 3 1 29c x y z 5 0 1

17 17 17 17 17 17 17

= − − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − = − − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − = + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ =

Por lo tanto, ( ) 31 4 295;0;1 α β δ

17 17 17= − − + .

c) ( )1; 3;2−

En este caso, x 1, y 3 y z 2= = − = .

Entonces:

( )

( )

( )

7 12 4 7 12 4 37a x y z 1 3 2

17 17 17 17 17 17 172 1 6 2 1 6 13

b x y z 1 3 217 17 17 17 17 17 17

6 3 1 6 3 1 5c x y z 1 3 2

17 17 17 17 17 17 17

= − − + = − ⋅ − ⋅ − + ⋅ = = − − + = − ⋅ − ⋅ − + ⋅ = = + − = ⋅ + ⋅ − − ⋅ = −

Por lo tanto, ( ) 37 13 51; 3;2 α β δ

17 17 17− = + − .


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1) ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinación lineal de ( )α 1; 1;3= − y

( )β 2;4;0= ? Justifica.

a) ( )3;3;3− b) ( )4;2;6 c) ( )1;5;6 d) ( )0;0;0

RTA: Son combinación lineal los vectores de los ítems b y d. b) ( )4;2;6 2α β= + d) ( )0;0;0 0α 0β= +

2) Expresa los siguientes vectores como combinación lineal de ( )α 2;1;4 ,=

( ) ( )β 1; 1;3 y δ 3;2;5= − = .

a) ( )5;9;5 b) ( )2;0;6 c) ( )0;0;0 d) ( )2;2;3

RTA: a) 3α 4β δ− + b) 4α 0β 2δ+ − c) 0α 0β 0δ+ + d) 1 1 1α β δ

2 2 2− +

3) Expresa cada uno de los siguientes vectores como combinación lineal de

( )α 1; 1;3;5 ,= − ( ) ( ) ( )β 2; 1;2;6 , δ 1;4;0;3 y λ 2;2;2;1= − = = − .

a) ( )3;0; 3;6− b) 1

3;2;5;4

c) ( )3;8;7; 3− d) ( )0; 4; 2; 2− − −

RTA: a) 243 249 24 51

α β δ λ43 43 43 43

− + − + b) 1015 455 134 795

α β δ λ86 43 43 172

− + −

c) 841 797 254 314

α β δ λ43 43 43 43

− + − d) 106 98 54 18

α β δ λ43 43 43 43

− + − +

4) Expresa cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de

( ) 21P x 2 x 4x= + + , ( ) 2

2P x 1 x 3x= − + y ( ) 23P x 3 2x 5x= + + .

¡Es hora de practicar!

Resuelve los siguientes ejercicios.


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a) ( ) 2A x 9 7x 15x= − − − b) ( ) 2B x 6 11x 6x= + +

c) ( )C x 0= d) ( ) 2D x 7 8x 9x= + +

RTA: a) 1 2 3A 2P P 2P= − + − b) 1 2 3B 4P 5P P= − + c) 1 2 3C 0P 0P 0P= + + d) 1 2 3D 0P 2P 3P= − +

DEFINICIÓN Nº 4:

Para demostrar que W es un subespacio de V hay que probar que es un

espacio vectorial él mismo con las operaciones definidas sobre V.

Pero, ¿es necesario verificar todas las propiedades? Veamos una a una.

• Dados α , β en W..... ¿α β W ?+ ∈ Como no podemos asegurar que

α β W+ ∈ (sí que α β V+ ∈ ), esta deberá ser una de las cosas a demostrar.

• ¿α β β α α,β W ?+ = + ∀ ∈ La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que

si α,β W∈ , como W V⊂ , entonces α,β V∈ y por ser V espacio vectorial se verifica

que α β β α+ = + . Por lo tanto no deberemos probar la conmutatividad de la adición

en W.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F.

Un SUBESPACIO de V es un subconjunto W de V que, con las operaciones

de adición vectorial y multiplicación escalar sobre V, es él mismo un F – espacio

vectorial.

V

W • α

• β • ¿α + β?

• ¿α + β?


_________________________________________________________________________________


• ( ) ( )¿ α β δ α β δ α,β,δ W ?+ + = + + ∀ ∈ La respuesta a esta pregunta es sí,

puesto que si α,β,δ W∈ , como W V⊂ , entonces α,β,δ V∈ y por ser V espacio

vectorial se verifica que ( ) ( )α β δ α β δ+ + = + + . Por lo tanto no deberemos

comprobar la asociatividad de la adición en W.

• Existe un único vector 0 V∈ , llamado vector nulo, tal que

α 0 α α V+ = ∀ ∈ . Ahora, ¿0 W ?∈ No necesariamente, por ello, que 0

pertenezca a W es otra de las cosas que deberemos verificar.

• Dado α W∈ , sabemos que α V∈ , con lo cual, por ser V espacio vectorial,

existe un único vector α V− ∈ tal que ( )α α 0+ − = . Ahora, ¿ α W ?− ∈ No

necesariamente… Por ello, que α− pertenezca a W es otra de las cosas que

deberemos demostrar.

• Dados c en F y α en W..... ¿cα W ?∈ Como no podemos asegurar que

cα W∈ (sí, que cα V∈ ), esta deberá ser una de las cosas a chequear.

V

W • α

• ¿0?

• 0

V

W • α

• ¿−α?

• −α


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• Por ser V espacio vectorial, existe un único escalar 1 en F, tal que

1 α α α V⋅ = ∀ ∈ . Luego, si α W∈ , entonces α V∈ . Por lo tanto

1 α α α W⋅ = ∀ ∈ , con lo cual no deberemos demostrar esta propiedad.

• ( ) ( )1 2 1 2 1 2¿ c c α c c α c ,c F α W ?= ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ La respuesta a esta

pregunta es sí, puesto que si α W∈ , como W V⊂ , entonces α V∈ y por ser V

espacio vectorial se verifica que ( ) ( )1 2 1 2c c α c c α= . Por lo tanto no deberemos

comprobar esta propiedad.

• ( )¿c α β cα cβ c F α,β W ?+ = + ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ La respuesta a esta

pregunta es sí, puesto que si α,β W∈ , como W V⊂ , entonces α,β V∈ y por ser V

espacio vectorial se verifica que ( )c α β cα cβ+ = + . Por lo tanto no deberemos

demostrar la distributividad en el producto de un escalar por una suma de vectores

de W.

• ( )1 2 1 2 1 2¿ c c α c α c α c ,c F α W ?+ = + ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ La respuesta a esta

pregunta es sí, puesto que si α W∈ , como W V⊂ , entonces α V∈ y por ser V

espacio vectorial se verifica que ( )1 2 1 2c c α c α c α+ = + . Por lo tanto no deberemos

probar la distributividad en el producto de un vector de W por una suma de

escalares.

CONCLUSIÓN:

Por lo tanto, para demostrar que un subconjunto W de V es subespacio de V

basta con probar:

V

W • α

• ¿cα?

• ¿cα?


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1) α, β W α β W∀ ∈ ⇒ + ∈ .

2) 0 W∈ .

3) α W α W− ∈ ∀ ∈ .

4) α W c F cα W∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ⇒ ∈ .

1) Sea ( ){ }W a;0;0 / a= ∈R .

Para poder determinar si W es o no subespacio deberemos considerar

elementos que pertenezcan a este conjunto. Pero…. ¿qué característica tienen

estos elementos?

Si observamos cómo está definido el conjunto, podemos ver que W está

constituido por vectores de tres coordenadas. La primera es un número real

cualesquiera y las dos últimas son nulas.

Gráficamente, W queda representado mediante los puntos del eje x.

Teniendo en cuenta las observaciones anteriores, tomaremos un vector α y un

vector β en W.

Sean ( ) ( )α a;0;0 , β b;0;0 W, c= = ∈ ∈R .

En los siguientes ejemplos veremos cómo analizar si algunos

conjuntos son o no subespacios de 3R , con las operaciones

usuales.


_________________________________________________________________________________


Veremos si se cumplen las cuatro condiciones enumeradas anteriormente y

necesarias para que W sea un subespacio de 3R .

1) ( ) ( ) ( )α β a;0;0 b;0;0 a b;0;0+ = + = +

Este último vector pertenece a W pues su primer componente es suma de dos

números reales y, por tanto, es un número real y su segunda y tercer componente es

igual a 0.

Por lo tanto, α, β W se verifica que α β W∀ ∈ + ∈ .

2) El vector ( )0;0;0 W∈ pues sus dos últimas componentes son 0 y su primer

componente también es 0, que es un número real.

3) Sea ( ) ( )α a;0;0 y sea α a;0;0= − = − .

Se verifica entonces que ( )α α 0+ − = y además α W− ∈ pues su primer

componente es el opuesto de un número real y, por tanto, es también un número

real y sus dos últimas componentes son 0.

Por lo tanto, α W α W− ∈ ∀ ∈ .

4) ( ) ( )cα c a;0;0 ca;0;0 W= = ∈ pues su primer componente es igual al producto

entre dos números reales y, por tanto, es un número real y sus dos últimas

componentes son 0.

Por lo tanto, α W c se verifica que cα W∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∈R .

Por lo demostrado en 1), 2), 3) y 4), W es un subespacio de 3R .

2) Sea ( ){ }W a;1;1 / a= ∈R .

En este caso, el conjunto W está formado por vectores de tres componentes.

La primera de ella es un número real cualesquiera y las dos últimas son 1.

En el siguiente gráfico podemos observar la representación de W.


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Sean ( ) ( )α a;1;1 , β b;1;1 W, c= = ∈ ∈R .

Veremos si se cumplen las cuatro condiciones enumeradas anteriormente y

necesarias para que W sea un subespacio de 3R .

1) ( ) ( ) ( )α β a;1;1 b;1;1 a b;2;2 W+ = + = + ∉ pues su primer componente es suma

de dos números reales y, por tanto, es un número real, pero su segunda y tercer

componente no son iguales a 1, sino a 2.

Por lo tanto, α, β W se verifica que α β W∀ ∈ + ∉ .

Gráficamente, podemos observar que, tomando dos vectores cualesquiera

α,β W∈ , la suma de ellos, a la cual se ha nombrado δ en el gráfico, no pertenece a

W.

Con esto, alcanza para afirmar que W no es un subespacio de 3R .

Sin embargo, seguiremos verificando las demás propiedades a modo de

ejemplo.


_________________________________________________________________________________


2) El vector ( )0;0;0 W∉ pues sus dos últimas componentes no son 1.

3) Sea ( )α a;1;1= , entonces ( )α a; 1; 1 W− = − − − ∉ pues sus dos últimas

componentes son distintas de 1.

Por lo tanto, dado α W∈ , α W− ∉ .

Podemos observar que si tomamos un vector α en W (señalado en rosa), su

opuesto α− no pertenece a W (señalado en gris).

4) ( ) ( )cα c a;1;1 ca;c;c W c 1= = ∉ ∀ ≠ .

Por lo tanto, α W c , c 1, se verifica que cα W∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ≠ ∉R .

Por lo demostrado en 1), 2), 3) y 4), W no es un subespacio de 3R .

A partir de la conclusión obtenida anteriormente, podemos enunciar el siguiente

teorema, en el cual se caracteriza a los subespacios.

El mismo reduce las cuatro propiedades que demostramos a tan solo una y

facilitará la resolución de aquellos ejercicios en los cuales se nos pregunte si un

conjunto es o no subespacio de un espacio vectorial dado.

TEOREMA Nº 1:

Un subconjunto no vacío W de V es un subespacio si y sólo si

α, β W y c F, cα β W.∀ ∈ ∀ ∈ + ∈


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DEMOSTRACIÓN:

⇒ Sean α, β W c F∈ ∧ ∈ .

Por ser W subespacio de V se verifica 4, entonces cα W∈ .

Como cα W∈ y β W∈ , por 1, cα β W+ ∈ .

⇐ Sabiendo que α, β W y c F se verifica que cα β W∀ ∈ ∀ ∈ + ∈ , queremos

demostrar que W es subespacio de V. Para ello deberemos probar las condiciones 1

a 4.

1) Sean α, β W α β α 1 β W∈ ⇒ + = + ⋅ ∈ por hipótesis.

2) Como W δ W 1 δ δ W≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ ⇒ − ⋅ + ∈ por hipótesis.

Luego, �lemanº 1

1 δ δ δ δ 0− ⋅ + = − + = .

Por lo tanto, 0 W∈ .

3) Sea α W∈ . Ya se demostró que 0 W 1 α 0 α W∈ ⇒ − ⋅ + = − ∈ por hipótesis.

4) Sean α W y c F∈ ∈ . Como 0 W cα 0 cα W∈ ⇒ + = ∈ por hipótesis.

Por lo probado en 1), 2), 3) y 4), W es subespacio de V.

1) Si V es un espacio vectorial cualesquiera:

• V es subespacio de V.

• El subconjunto que consta sólo del vector nulo es un subespacio de V

llamado SUBESPACIO NULO .

Veamos algunos ejemplos.


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2) Verificaremos que ( ){ }W x;0 / x= ∈R es un subespacio de 2R .

Para ello se debe demostrar que si α, β W y c , entonces cα β W∈ ∈ + ∈R . Es

necesario comprender entonces cómo son los vectores que están en W. Estos

vectores tienen la primera componente que es un número real cualquiera y la

segunda componente que es igual a cero.

Gráficamente, la representación es el eje x.

Sean ( ) ( )α x;0 , β y;0 W= = ∈ (por tanto, x,y ∈R )

( ) ( ) ( )cα β c x;0 y;0 cx y;0 W+ = + = + ∈ pues la primera componente de cα β+

es un número real y la segunda es igual a 0.

Por lo tanto, W es un subespacio de 2R .

3) ¿Es ( ){ }n1 n 2W a , ,a / a= ∈ ∈… ℚR subespacio de n

R ( )n 3≥ ?

En primer lugar, debemos comprender que cualquier vector de W tiene n

componentes reales, pero entre ellas, la segunda no puede ser irracional, la

segunda es sí o sí un número racional.

Sea entonces ( )1 2 nα a ,a , ,a W= ∈… y sea c 2= .

Luego, ( ) ( )1 2 n 1 2 ncα 2 a ,a , ,a 2a , 2a , , 2a= =… …


_________________________________________________________________________________


De esta manera, la segunda componente de cα es 22a , es decir, es el

producto entre un número irracional y uno racional, con lo cual resulta irracional.

Así no se verifica que cα W α W c F∈ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ . Por lo tanto W no es un

subespacio vectorial de nR .

1) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de 3R son subespacios de 3

R ?

a) ( ){ }W a;b;a b / a,b= + ∈R b) ( ){ }W 1;a;0 / a= − ∈R

c) ( ){ }3W a;b;c /b a c= ∈ = +R d) ( ){ }3W a;b;c / c a b 1= ∈ = + +R

RTA: Son subespacios a y c.

2) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores de nR son subespacios de

nR ( )n 3≥ ?

a) ( ){ }n1 n 1W a , ,a / a 0= ∈ ≥… �

R b) ( ){ }n1 n 1 2 3W a , ,a / a 3a a= ∈ + =… �

R

c) ( ){ }n1 n 1 2W a , ,a / a a= ∈ =… �

R d) ( ){ }n1 n 1 2W a , ,a / a a 0= ∈ ⋅ =… �

R

RTA: Son subespacios b y c.

DEMOSTRACIÓN:

Resuelve los siguientes ejercicios.

TEOREMA Nº 2:

Sea V un F – espacio vectorial.

La intersección de una familia arbitraria de subespacios de V es

un subespacio de V.


_________________________________________________________________________________


Sea { }i i IW

∈ una familia de subespacios de V y sea

{ }i ii I

W W x / x W i I∈

= = ∈ ∀ ∈∩ (es decir, W es la intersección de todos estos

subespacios).

Se debe demostrar que W es un subespacio de V.

Como cada iW es subespacio de V, entonces i0 W i I∈ ∀ ∈ , con lo cual 0 W∈

y así podemos ver que W ≠ ∅ y aplicar el teorema anterior.

Sean α, β W c F∈ ∧ ∈ .

Como i iα, β W α, β W i I cα β W i I∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ + ∈ ∀ ∈ (por ser iW

subespacio de V) cα β W W es subespacio de V⇒ + ∈ ⇒ .

Por lo tanto, la intersección de una familia arbitraria de subespacios de V es un

subespacio de V.

SUBESPACIO GENERADO

Sea V un F – espacio vectorial y S un conjunto de vectores de V.

Nos preguntamos…¿existe un subespacio de V que contenga a S?

La respuesta a esta pregunta es SÍ. Ese subespacio es el mismo V puesto que

V es subespacio de V y V contiene a S.

Sea entonces { }L :L es subespacio de V y S L= ⊂F .

≠ ∅F pues V ∈ F .

S V


_________________________________________________________________________________


Sea { }W L : L= ∈∩ F , entonces W es subespacio de V pues es intersección de

subespacios.

Tenemos entonces que:

• S L L S W.⊂ ∀ ∈ ⇒ ⊂F

• Si L ∈F (L es subespacio de V tal que S L⊂ ), entonces W L L= ⊂∩ .

Por lo tanto, existe un subespacio mínimo que contiene a S y que está

contenido en cada uno de los otros subespacios que contienen a S, y que

denotamos por <S>.

DEFINICIÓN Nº 5:

El siguiente teorema nos permite extraer conclusiones respecto de cómo

construir el subespacio generado por un subconjunto de un espacio vectorial.

DEMOSTRACIÓN:

Sea { }L combinaciones lineales de elementos de S=

Sea S un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.

El SUBESPACIO GENERADO por S se define como la intersección W de

todos los subespacios de V que contienen a S.

Cuando S es un conjunto finito de vectores, { }1 nS α ; ;α= … , se dice que W

es el subespacio generado por los vectores 1 nα ; ;α… y se denota por <S>.

TEOREMA Nº 3:

El subespacio generado por un subconjunto no vacío S de un

espacio vectorial V es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los

vectores de S.


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Debemos probar que S L< >= . Para ello habrá que demostrar la doble

contención.

⊆ Probaremos que L es subespacio de V y que S L⊂ . Luego, como S< > es

el mínimo subespacio de V tal que S S⊂< > , entonces resultará que S L< >⊂ .

1) Veamos que L es subespacio de V.

Sean α, β L∈ .

Como L es igual al conjunto de combinaciones lineales de elementos de S,

entonces m

i ii 1

α aα=

=∑ y n

l ll 1

β bβ=

=∑ con ia F∈ y iα S i 1; ;m∈ ∀ = … y lb F∈ y

lβ S l 1; ;n∈ ∀ = … .

Sea además c F∈ .

( )m n m n

i i l l i i l li 1 l 1 i 1 l 1

cα β c aα bβ ca α bβ L= = = =

+ = + = + ∈∑ ∑ ∑ ∑ pues es combinación lineal de

elementos de S.

Por lo tanto L es subespacio de V.

2) Veamos que S L⊂ .

Sea α S∈ .

α 1 α= ⋅ , o sea, α es combinación lineal de elementos de S, con lo cual α L∈ y

entonces concluimos en que S L⊂ .

Por lo demostrado en 1) y 2), resulta que S L< >⊂ .

⊇ Sea α L∈ , entonces n

i ii 1

α c α=

=∑ con ic F∈ y iα S i 1; ;n∈ ∀ = … , entonces

i ic α S∈< > i 1; ;n∀ = … (por ser S< > subespacio).


_________________________________________________________________________________


De esta manera, n

i ii 1

α c α S=

= ∈< >∑ por ser S< > subespacio.

Por lo tanto L S⊆< >

Por todo lo demostrado se concluye en que S L< >= .

1) Sea 2V = R y ( ) ( ){ }S 2;3 ; 0;0= . Determinaremos S< > .

Por lo visto en el teorema anterior, el subespacio generado por S es el conjunto

de todas las combinaciones lineales de elementos de S. Armaremos estas

combinaciones.

Sean a, b ∈R .

( ) ( ) ( ) ( )a 2;3 b 0;0 2a;3a a 2;3⋅ + ⋅ = = ⋅ .

Por lo tanto ( ){ }S a 2;3 : a< >= ⋅ ∈R .

Gráficamente, podemos observar que el subespacio generado por S es la recta

que pasa por el punto ( )2;3 y por el origen de coordenadas.

Observa el archivo SUBESPACIO GENERADO – EJEMPLO 1.ggb.

En el mismo se muestra cómo, al variar el valor de a, se van generando los

distintos puntos de la recta.

Trataremos de comprender el concepto de subespacio

generado a través de los siguientes ejemplos.


_________________________________________________________________________________


2) Sea 2V = R y ( ) ( ){ }S 2;3 ; 3;2= . Nuevamente, determinaremos S< > .

Sean a, b ∈R .

( ) ( ) ( )a 2;3 b 3;2 2a 3b;3a 2b⋅ + ⋅ = + + .

Por lo tanto ( ){ }S 2a 3b;3a 2b / a,b< >= + + ∈R

Pero, ¿a qué es igual S< > ? Vamos a demostrar que 2S< >= R . Para ello

veremos la doble contención.

⊆ Trivialmente 2S< >⊆ R (pues todo elemento de S< > es un par ordenado

con dos coordenadas reales).

⊇ Sea ( ) 2x;y ∈R .

( )x;y S a,b / x 2a 3b e y 3a 2b AX Y tiene solución∈< >⇔ ∃ ∈ = + = + ⇔ =R �

donde 2 3

A3 2

=

, a

Xb

=

e x

Yy

=

.


_________________________________________________________________________________


Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método que deseemos.

En este caso, lo haremos aplicando operaciones elementales de filas sobre la

matriz aumentada 2 3 x

A '3 2 y

=

.

2 33 x3 x3 x 1 0 x y112 3 x 1 5 52 22 2A' 2 2

3 23 2 y 5 3 3 23 2 y 0 1 x y0 x y 0 1 x y

5 52 2 5 5

− + = → → → → −− − + −

Por lo tanto, 2 3 3 2

a x y y b x y5 5 5 5

= − + = − .

Así, para cada ( ) 2x;y ∈R , 2 3 3 2

a x y y b x y5 5 5 5

∃ = − + ∈ = − ∈R R tal que

x 2a 3b e y 3a 2b= + = + .

Por ejemplo, dado ( ) ( )x;y 5; 5= − , ( ) ( )2 3 3 2 a 5 5 5 y b 5 5 5

5 5 5 5∃ = − ⋅ + ⋅ − = − = ⋅ − ⋅ − =

tal que ( ) ( ) ( ) ( )5 2;3 5 3;2 x;y 5; 5− ⋅ + ⋅ = = − .

Como 2S< >⊆ R y 2 <S> ⊆R , entonces 2S< >= R .

Si tuviésemos que representar

gráficamente el subespacio

generado por S deberíamos

marcar entonces todo el plano

(señalado en celeste).


_________________________________________________________________________________


Observa el archivo SUBESPACIO GENERADO – EJEMPLO 2.ggb. En el

mismo se muestra cómo, al variar los valores de a y de b, se van generando los

distintos puntos del plano

.

3) Determinaremos ahora si los siguientes vectores pertenecen al subespacio

de 3R generado por ( )α 3; 5;1= − y ( )β 1; 2;4= − .

a) ( )5; 8; 2− − b) ( )4; 7;0−

Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta que para que un vector

pertenezca al subespacio generado por α y β debe ser combinación lineal de

α y β . Es decir, ( ) ( )x;y;z α;β a, b / x;y;z aα bβ∈ ⟨ ⟩ ⇔ ∃ ∈ = +R .

Veamos qué implica esto.

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x;y;z aα bβ

a 3; 5;1 b 1; 2;4

3a; 5a;a b; 2b;4b

3a b; 5a 2b;a 4b

= +

= − + −

= − + −

= + − − +

De acuerdo con esto:

( )3a b x

x;y;z α;β a, b / tiene solución el sistema 5a 2b y

a 4b z

+ =∈ ⟨ ⟩ ⇔ ∃ ∈ − − = + =

R

Armamos la matriz aumentada del sistema y la reducimos.

4 11 0 y z1 4 z 18 93 1 x 1 4 z 1 4 z

1 5 1 55 2 y 5 2 y 0 18 y 5z 0 1 y z 0 1 y z

18 18 18 181 4 z 3 1 x 0 11 x 3z 0 11 x 3z 11 1

0 0 x y z18 18

− − − − → − − → + → + → + − − − − + +


_________________________________________________________________________________


4 1a y z

18 91 5

b y z18 1811 1

x y z 018 18

= − −

⇒ = + + + =

Luego, el sistema tiene solución si y sólo si 11 1

x y z 018 18

+ + = . Esto significa

que ( ) 11 1 11 1x;y;z α;β x y z 0 x y z

18 18 18 18∈ ⟨ ⟩ ⇔ + + = ⇔ = − − .

Si esto ocurre:

( )x;y;z aα bβ

4 1 1 5 y z α y z β

18 9 18 18

= +

= − − + +

Por lo tanto: ( ) 3 11 1S x;y;z / x y z

18 18 < >= ∈ = − −

R .

Gráficamente, la representación del subespacio generado por S es la siguiente:

Veremos si los vectores de cada uno de los ítems pertenecen al subespacio

generado por α y β .


_________________________________________________________________________________


a) ( )5; 8; 2− −

En este caso x 5, y 8 y z 2= = − = − .

Veamos si se verifica la condición bajo la cual el sistema tiene solución.

( ) ( )11 1 11 1x y z 5 8 2 0

18 18 18 18+ + = + ⋅ − + ⋅ − =

Por lo tanto ( )5; 8; 2 α;β− − ∈ ⟨ ⟩ . Esto significa que ( )5; 8; 2− − es combinación

lineal de α y β . Calcularemos a y b para armar dicha combinación.

( ) ( )

( ) ( )

4 1 4 1a y z 8 2 2

18 9 18 91 5 1 5

b y z 8 2 118 18 18 18

= − − = − ⋅ − − ⋅ − = = + = ⋅ − + ⋅ − = −

De esta manera: ( )5; 8; 2 2α β− − = − .

b) ( )4; 7;0−

En este caso x 4, y 7 y z 0= = − = .

Veamos si se verifica la condición bajo la cual el sistema tiene solución.

( )11 1 11 1 5x y z 4 7 0 0

18 18 18 18 18+ + = + ⋅ − + ⋅ = − ≠ .

Por lo tanto ( )4; 7;0 α;β− ∉ ⟨ ⟩ .

En el siguiente gráfico podemos observar cómo el vector ( )5; 8; 2− − se

encuentra en el plano determinado por α y β , mientras que el vector ( )4; 7;0− ,

señalado en línea de puntos, se encuentra fuera de este plano.


_________________________________________________________________________________


En 2R …

el vector nulo y otro vector cualesquiera α , distinto de cero,

generan…………………………………………….................................

si consideramos la recta que pasa por cero y por un vector α no

nulo y otro vector β que no se encuentra en esa misma recta,

podemos decir que α y β generan ………….................................


nulo y otro vector β que se encuentra en esa misma recta,

podemos decir que α y β generan …………................................

¿Podrías completar, a modo de conclusión, los

siguientes enunciados?


_________________________________________________________________________________


1) En cada caso, determina si los vectores dados generan 3R .

a) ( ) ( ) ( )α 2;2;2 ; β 0;0;3 ; δ 0;1;1= = =

b) ( ) ( ) ( )α 2; 1;3 ; β 4;1;2 ; δ 8; 1;8= − = = −

c) ( ) ( ) ( ) ( )α 3;1;4 ; β 2; 3;5 ; δ 5; 2;9 ; θ 1;4; 1= = − = − = −

d) ( ) ( ) ( ) ( )α 1;2;6 ; β 3;4;1 ; δ 4;3;1 ; θ 3;3;1= = = =

RTA: a) Generan 3R .

b) No generan 3R , sólo generan ( ) 3 13 1 1

x;y;z / x y z 030 3 5

∈ − + =

R

¡A trabajar!

Te invito a resolver los siguientes ejercicios…

En 3R …

el vector nulo y otro vector cualesquiera α , distinto de cero,

generan……………………………………………...................................


nulo y otro vector β que no se encuentra en esa misma recta,

podemos decir que α y β generan ………….................................


nulo y otro vector β que se encuentra en esa misma recta, podemos

decir que α y β generan …………...................................................

si consideramos tres vectores no nulos α , β y δ no alineados,

el subespacio generado por ellos es igual a …………………………...

si consideramos tres vectores no nulos α , β y δ , siendo que β

se encuentra en la recta que pasa por el origen de coordenadas y por

α y δ no se encuentra en esa recta, el subespacio generado por α ,

β y δ es …………………………............................................


_________________________________________________________________________________


c) No generan 3R , sólo generan ( ) 3 17 7

x;y;z / x y z 011 11

∈ − + + =

R

d) Generan 3R .

2) Determina si los siguientes polinomios generan 2P :

( )( )( )( )

2

2

2

A x 1 x 2x

B x 3 x

C x 5 x 4x

D x 2 2x 2x

= − +

= +

= − + = − − +

RTA: Los polinomios no generan 2P . Sólo generan 22

1 1 1a bx cx P / a b c 0

12 4 6 + + ∈ − + + =

.

3) Indica cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de 4R

generado por ( )α 2; 1;3;2 ,= − ( ) ( )β 1;1;1; 3 y δ 1;1;9;5= − − = . Justifica.

a) ( )3; 1;0; 1− − b) ( )2; 5; 17;1− − c) 1 47 14

3; ; ;20 4 5

− −

RTA: a) No b) ( ) 2 29 172; 5; 17;1 α β δ

5 10 10− − = − − c)

1 47 14 59 293; ; ; α β 0δ

20 4 5 20 10 − − = − − +

DEFINICIÓN Nº 6:

Sean 1 2 kS ;S ; ;S… subconjuntos del F – espacio vectorial V.

Llamamos SUMA DE 1 2 kS ;S ; ;S… al conjunto

{ }k

1 2 k i 1 2 k i ii 1

S S S S α V /α α α α con α S i 1; ;k=

+ + + = = ∈ = + + + ∈ ∀ =∑… … …


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

1) Veamos primero que iW W i 1; ;k⊆ ∀ = … .

Sea i iα W∈ .

Podemos expresar a iα de la siguiente forma:

�i i

i

α 0 0 α 0 0= + + + + + +… …

Esto nos permite concluir en que iα W∈ pues j0 W∈ j 1; ;k∀ = … por ser jW

subespacio de V.

iW W i 1; ;k∴ ⊆ ∀ = … .

2) Sean c F; α,β W.∈ ∈ Para verificar que W es subespacio de V se debe

demostrar que cα β W+ ∈ .

k

i i ii 1

α W α α con α W i 1; ;k=

∈ ⇒ = ∈ ∀ =∑ … k

ii 1

por ser W W=

=

∑ .

k

i i ii 1

β W β β con β W i 1; ;k=

∈ ⇒ = ∈ ∀ =∑ … k

ii 1

por ser W W=

=

∑ .

Luego: ( )i

k k k

i i i ii 1 i 1 i 1

W

cα β c α β cα β= = =

∈

+ = + = +∑ ∑ ∑��

PROPOSICIÓN Nº 1:

Si 1 2 kW ,W ,...,W son subespacios del espacio vectorial

V y k

ii 1

W W=

=∑ , entonces:

1) iW W i 1; ;k⊆ ∀ = … .

2) W es subespacio de V

3) k

ii 1

W W=

= ⟨ ⟩∪


_________________________________________________________________________________


Como iW es subespacio de V, i ic F y α W∈ ∈ , entonces i icα W∈ . Además,

i iβ W∈ , entonces i i icα β W i 1; ;k+ ∈ ∀ = … .

Por lo tanto, cα β W+ ∈ , con lo cual queda demostrado que W es subespacio

de V.

3) ⊇ En 1) probamos que iW W i 1; ;k⊆ ∀ = … , entonces k

ii 1

W W=

⊆∪ .

Además, por lo probado en 2), W es subespacio de V, entonces k

ii 1

W W=

⟨ ⟩ ⊆∪ .

⊆ Sea α W∈k

i i ii 1

α α con α W i 1; ;k α=

⇒ = ∈ ∀ = ⇒∑ … es combinación lineal

de elementos de k

ii 1

W=∪

k k

i ii 1 i 1

α W W W= =

⇒ ∈ ⟨ ⟩ ⇒ ⊆ ⟨ ⟩∪ ∪ .

CONCLUSIONES:

Dado un espacio vectorial V y dos subespacios 1W y 2W de V:

1) 1 2W W∩ es subespacio de V (teorema nº 2)

2) 1 2W W+ es subespacio de V (proposición anterior)

3) 1 2W W∪ no es necesariamente subespacio de V.

k

ii 1

W W=

∴ = ⟨ ⟩∪

Por ejemplo, sean ( ){ }( ){ }

1

2

W a 2;3 / a

W a 5;1 / a

= ⋅ ∈

= ⋅ ∈

ℝ

ℝ


_________________________________________________________________________________


Podemos observar que 1W es el conjunto de todos los múltiplos del vector

( )2;3 (geométricamente, es la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el

punto ( )2;3 ). De esta manera, el vector ( ) 14;6 W∈ (pues se obtiene de multiplicar

por 2 al vector ( )2;3 ) y por lo tanto, el vector ( ) 1 24;6 W W∈ ∪ .

Asimismo, 2W es el conjunto de todos los múltiplos del vector ( )5;1

(geométricamente, es la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto

( )5;1 ). De esta manera, el vector ( ) 215; 3 W− − ∈ (pues se obtiene de multiplicar por

3− al vector ( )5;1 ) y, por lo tanto, el vector ( ) 1 215; 3 W W− − ∈ ∪ .

Ahora, si 1 2W W∪ fuese subespacio, debería verificarse que la suma de dos

elementos cualesquiera de esa unión perteneciera a ella. Pero, como podemos

observar, esto no sucede:

( ) ( ) ( ) 1 24;6 15; 3 11;3 W W+ − − = − ∉ ∪ pues ( )11;3− no es múltiplo ni del vector

( )2;3 ni del vector ( )5;1 .

Con esto hemos mostrado que la suma de dos subespacios no es

necesariamente un subespacio.


_________________________________________________________________________________


Esta suma sólo será subespacio cuando uno de ellos esté contenido en el otro,

es decir: si 1W y 2W son subespacios de un espacio vectorial V tales qu e

1 2W W⊆⊆⊆⊆ , entonces, 1 2W W∪∪∪∪ es subespacio de V.

UNIDAD Nº 1-ESPACIOS VECTORIALES · DEFINICIÓN Nº 1 : 1) ℚ y R son cuerpos porque verifican...

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